S.L.S O B O L EV ECUATIILE FIZICII MATEMATICE TRADUCEREDINLIMBA l IJI'fUR.A 1 .l C.Jl.COBOJIEB YI)ABHEHMHMATEMArHqECF;,Oii ll3l1Kit1 TEXHHKO-TEOPETHqEC.KOJIHTEPATYPI,I MoeKDa1960JieunurpaJl r"ffl: LA 1NT1IA cartea fostcarezultatal deautorlaUniversitateadeStatM.V.Lomonosovdin Moscova.Deaceeaautorula titlurileacestor Prin aceastase alegereamaterialului volumafost limitatde orelordecurs. Autorulprofundasa academicianului V.I.Smirnov,careaparcurscarteanmanuscris,pentruoserie de foarteimportanteprecum profesoruluiV.V.Ste-panm;,pentruutile. Sobolev 1 LAEDITIAAII-a .. ..adoua acursuluide fiziciimate matice"afost uneirevizuiriconsiderabilen cuprima Revizuireaaavutnspecialdreptscop diferitelor ndreptareaanumitor sauinega- destil,iarnanumitelocuriafostchestiu-nilorexpuse. celemaide. deprima constau nsimplificareaaexpuneriiteorieiintegralelor Lebesguemultiple,ntr-o expunereateoriei inte-gralecunucleecusingularitate ntr-ofundamentaremai ametodeiluiFourier. Materialul consacrateteorieiintegralelorLebesguenu se n lateoria fiziciimatematice.1 denmomentulde oseriedeexpuneriasupra teorieiintegralelorLebesguelacarene-am fipututreferi.Autorul'> n aconsideratnecesar subo mult n noua att pentru ct pentru motivul ea unnoumoddeaexpuneteoriaintegralelor Lebesgue,ca.rearputeafimaiaccesibilunorcategoriidecititori. Lacitirea sepoate deoparte dreptbuneacelerezultatelacarene . vomreferincele ce ' metodeiluiRitzafostnadoua Materialuleiestentructva decelelaltecapitole deaceasta,sub formasa nu nniciunfeloidee asuprametodelor din fizica La celeide-adoua autorula ian valoroasecarei-aufost dediferite persoane elle sa.Foartemulteindi- asupralipsurilor,pecareleav.eacartea,aufost datedeacademicianulV.1.Smirnot\ autoruliestedeosebit de S.Sobolcv I DEDUCEREA FUNDAMENTALE Obiectulteorieiecuatiilorfiziciimatematicel studiul integrale care descriu diferitefenomenealenaturii. cumse deobicei? estedestuldegreu cadrulexactalacesteidis-cipline.d,eaceasta,mareadiversitateachestiunilorcare .se lafizicii matematice,nupermite,ctdect, caacestea fiecuprinsenntregimen.tr-uncursuniversitar. Continutul de numaiopartedinteoria aecuatiiorfiziciimatematice.Aiciauintratnumaiacele -elemente,ca;enis-au maiimportantepentruoluarede ceontact cuteorie. Cursulnostruestenchinatnspecialstudierii .euderivate deordinulaldoileacuo nparticularstudiului undelo1,lui Laplace denumite de obicei clasice alefiziciimatematice.Concomitent,vomdezvolta teoria achestiuniloranexe. 1.FormulaluiOstrogradsky naintedeatreceladeducereaacelorecuatiialefizicii matematicedecare ne vom ocupa n cele ce amintim eacalcululuiintegral,carese latransformarea integralelorde inintegraledevolum.. FieP(x,y, z),Q(x, y, z) R(.x, y, z)treidevaria-bilelex,y,z,definitentr-unanumitdomeniuD careaun aceldomeniuderivatecontinuedeordinul nti n raport x, y z 1). n Do S, 1)Astfeldese numesc declasa C1indomeniul D.ngeneral, -o estedeclasa C2 ntr-undomeniuD, este in aceldomeniu cuderivatelesale piniilaordinulrinclusiv(N.Red.E.T.). Deducerea fundamentale dintr-un finitde avndplanetangente,care continuu. Oasemenea se pe Vom presupune,deaceasta, drepteleparalelecuaxelede coordonatesau ntlnesc ntr-un finitdepuncte sauauncomuncuaceastaunsegmentntreg. integrala : S[P cos(nx)+ Q cos(ny)+ Rcos (nz)]dS,(1,1) s pcareamnotatcos (nx),cos (ny) cos(nz)cosiniiunghiurilor pecare lenormala la Scuaxelede coordonate,iarcudS,elementulpozitivde Folosind vectoriale putem: consideraP, Q,Rca fiindcomponentele unuivector,pecarel cuo T

Atunci Pcos (nx)+Q cos (ny)+ Rcos (nz)=Tn, undeT nestevectoruluiTpe norn1aleiinte-rioare. Teoremaacalcululuiintegralnepermite trecem de la integrala de (1,1)la odevolum asupradomeniuluiD de S,caresatisface enumeratemaisus.V omavea : S [ Pcos(nx)+ Q cos(ny)+ Rcos(nz)]dS= s =- (f)P+ aQ dx dy dz Daxi)yf)z saucuvectoriale : divTdv, D undedv elementuldevolum,iar: divT =aP + aQ+ !2!! ax()yaz (semnuldivse (I,2} (1,3) 1)Conformcustasulnvigoarevectoriisnt cuo deasupr& literei.(N.Red.E.1'.). r \ FormulaluiOstrogradsky Formula denoieste n mult mai generale n ceea ce S. n particular formula_ (I,2)areloc,oricarearfi pe S,care unanumitdomeniuD. n celecenu se vor facerezerve, vom princuvntul o pe Dinformula(1,2),decurgeo .Lemal.FieFo ntr'-unanumit domeniu. al euclidiancutreidimensiuni.Pentruca loc egalitatea: Tn dS-- SFdv- =O,(I,4) sQ oricarear fi S,ninterioruldomeniului-. n careeste T care domeniul n,estenecesar suficient locegalitatea 1): divT+ F=.O. Aplicndformula(1,2);egalitatea(I,4)poatefila: forma: (div T + F) dv=O. Q ipotezei. din devineevi-stabilim necesitateaei. ntr-un punct oarecareA,precum n lui(nbaza functiadivT+ Farfi dezero,deexe1nplu integrala : --+-( divT'+ F) dv (1) ladomeniulmicwdinjurulluiA n-arficuiarmembrulstng(1,4)arfi eldiferitdezero.Prinurmare, presupunerea.contraziceipoteza.Necesitatea :.

divT+ F=O esteLa fel,poatefiopentrudomeniile bidimensionaledinplan. 1)FestedeclasaC0,iar1.'declasaC1cel(N.Recl.E.T.). 10Deducerea fundamentaLe 2.eoardeivibrant- luileste,confo1mipotezei, perpendicularei comuneconturuluis vectoruluiorientat normalainte -vla u=u(t,x, y).Ladnduloricevector s, 14DeducereaecuaJ-iilorfundatnentaie orientat tangentalaconturuls,esteperpendicularpe normalavpevectorulunitatenorientat normalainte- laconturuluispeplanulxOy,deoarecevectorul ' tangents tangentalaluisnplanulxOyse nplanultangentalcilindrulniproiectant. Dreptvectors,putemluaprodusulvect01ial: -+ nXv. -+ vectorul11 determinatdeformula: -+.......-+....... 11 =(nXv)X.v nbazaformulelorgeometrieianalitice,avem : .......-+-+-+ l1 =- n'J2 + v( nv) -+ Lundn vectorulnarecomponentele -+a cos(n.x),cos{ny)"O vectOIulvareeon1ponentele :- __!!_, ..ax au 1, neglijnd deordinulaldoileaca1e a;;-, pe (r ( r :: pentrucomponentelehi.i -+

expresiile : ou - cos(nx),- cos(ny),- ---- cos (nx) ax -+ i)ucos(ny), c1u Lungimeavectorului11 estecuunitateacu unorctimideordinsuperior.Deaceea, a precizia, :..._..putemconsiderape11 egalcuvectorulunitatel,ndreptat liniadeatensiunii. Introducndexpresiendeechilibn1amem-carencazulde areforma: -+j SS p(x, y)d;'tdy+ S '1'cos(lu)ds=O, Ul Ecuajia membranei undeamno.tatcup(x, y) sarci'nu'care t1 . launitateade iarcuCJ,luiSpeplanulxOy, ' p(x, Y)dx dy- (nx)+(ny))Tdso, s saunbazalemeil: ..E_(Tflu) + _E_(' TQ_r:_)axaxfJyf)y_+ p(x,y)=o.(I.Il) memhianei . sescriesub forma: (P( x, y)- p dx dy-(1) - T(!:cos (nx)-cos(ny)) ds=o, undep =p(xy)estd. '."eens1tateamemhranei, Ia tateade sauconformlemeil:uni-___ (" T -i- (Tau)L..()(J2u axax.0.1/8y-,- px, y- p ( x, y) (Jt2=o. (I.12) Din(I,12), T psnt ::T(()2n+(){)2u f)x2d!P"Px, Y=P-0!2 (I,13) SfJ2u()2u uma-- -i- --- sau,n Cltt.1' (Jx2(J y2,.t l'Cl(IIDensiuni : azu'()2u.(]2n ---r- . (Jx2ay2-.,- aia' seadeseaoperatorulluiLl(1l. cusimboluluCap a:eapaCianul) seno-tubforma :.uacestea,(I,13)poatefi (I,'14) 16 Deducerea fundamentale ------------------------------------------ncare: T a2=-- =const. p 4.Ecuatia decontinuitate pentru unui fluid'luiI ..aplace naintedeatreceladeducerea vomdemonstrao dinanaliza ooarecareS(t) pe depinznddepara'metrult unvolumvariabilQ(t).Fiep(x,y,z,t)ooareca1e decoordonate detimpult. integrala : Q(t)=S S p dx dy dz Q(t) nepropunemcalculareaderivateinraportcutimpula acesteiexpresii.. lanceputcazulparticularcndvolumul Q(t)estedetern1inatde : O Iim_!_(p(t+ t) dz= fl.tJ ql(t) rp(t+dt) =Iim cp (t +flt)- cp (i)[---1---- ((t-t- t)dz]=Bcp fltcp (t+ ll.t)- cp(t))p(JtP cp(t) ::!.Ecuatiilefiziciima,tematl.ce. 13 Deducereaecuajiilorfundamentale Deaici: :?=H!!o=H dz]dx dy+p:; dx dy= O::;""= dx dy dz+ p cos(nz)dS .Qs ExpresiaBri numelede aat S(t) axeiz .ointerpretare foartesimpla.Sanenchipuimfam1liade S(t)subformanraportcut: t=S (x"y, z). Atunci: f)z1 8t =fii. az ..E!_estecomponenta axa zavectoruluig1ad orien-Bz tat normalala S avnd compo-nente: atcos(nx),_i?.!_ cos(ny),!:_cos (nz). ananan Deaici: BC? fJ.z\.1----- ==== --- === ------- ------ f)tat_.!__ olcos(nz) azan E 1 t'tzaaparenta"a .xpres1a- se evz,e, fU d .... d't..anl.o vom notacu VPentru vi'teza upauec ,Ia norma e1.... ..n..,aparentea Sdupaaxeiz(aceasta -0 cuvz)avem: Vn V=---.-. . zcos (nz)' decontinuitatepentru unuifluid11 ----Deaceea: ocp Vz=-. ;]t Seste dinparticulemateriale, carese cuvitezav,vitezan normaleivafi: vn=V11cos (nx)+ v11cos (ny)-1- v, cos(nz), putems1esupunnd lichidulincompresibil omogen,vomputea pune p=const suficientdePutem verificaacumproblemei .alichidnluiincomp1esibil, maisus : -+ v=gradV, Il V_:_O, :satisface sistemulcompletdedea :fluidului, inmod ndeaceasta : Y=au i)y' Z=au. fjz' fol"teleextedoare dintr-unpotential.Este ;suficient ne(1,22)nepmmit con-:struimp, avavav Vro=iJx'Vy=(Jy'Vz=-a; introducemn(1,22),nloculluivru,vtl,v;, -valorilelor anterior. atunci,,dinaceste exp1esiileexplicitepentru :. ()a: ' ()p' i)y

()z Dinteoriaecuatiilorcuderivatepartialedemdinulnti :sesistemul va, ficompatibil incazul' cndderivatelemixt; -deordinulaldoilea f)'Jp ---, axay 28Deducerea fundamentale determinatedindiferitele sntegalentreele.Propunem cititorului verificare. ncazulgeneralallichiduluicompresibil,se din presiunea densitatea lichidsaugazsntlegatentre eleprin numitadestare,ncaremaitempe-raturaT. Pentru un gaz ideal,are forma::o=_!!_, 'RT undeReste numita a gazelor .. intro-duce ofunctieT.nanumitecazuri,mai trebuie ecuatiilorintroduse oecuatieaportuluide ,' ntr-oseriedecazuri putempresupune p1esiunea. densitateasntlegatentreeleprintr-o p =f(p),(1,23). unde festeo mprejurareareloc,deexemplu,lacercetareapro-ceselorcaredecurgattderepedenct nu se delaolaalta.Asemeneaprocesesenumesc: adiabatice. Pentrua dingenerale(1,16),(1,22)(1,23) ecuatiile sunetului,pecare le vom facecteva silnplificatoare.V omconsidera gazului micinjurul deechilibru.n staredeechilibru,presiuneap0 densitateap0 sntconstante. V omp1esupune att p- p0 p - p0,ct vitezele sntmicinparticular,vomconsidera te1meniidetipul (v din(I,22),pot fi P i)v:!.l+ i)'p=X,p vv + p=Y, 0 iJvz+ i)p= z. taxoiiJy8tiJz C ....dpoPoP uunorexpresuetorma- V00,- v'll,- V2" atatat pecare le presupunem mici,aceste pot fi scrise sub forma::.E_(pt;) +oP=X, .1_(pv)+ p=Y, ____ (pvz)+ p=Z. fXQXQl'IJ OYi)tQZ Undeacustice 29 Derivndaceste respectivnraportcu:t:,y z, adunndu-le,: _iL[div (p0]+fJ2p+ 82p-+82p= -1- oY+- az. ot(Jx2 0!/2 O'Z2 axOYaz {I,24) Membrulstngal (I,24)poatefiscris,nbaza decontinuitate,subforma: .Q2p+ -t- a2p- a2e= + iJ2p.+ a2.P.- f'((p) iJ2p- f" (p) l'ap .f)x28y2az2ot2f)x28y2oz2ot2{)t n considerndf'(p)constantpentruuninterval devariatieallui p, f'(p)= f'(p0) notndmemb1uldrept ll(124)d.V ax1- i)Y+ azin .aui,,a1ca- - -- - cuw,vomavea : axauaz a2p+ fJ2p+ a2P__!__a2p= iJx28y2oz2a2ot2(I,25) undeaesteo prinformula: _!__=Vf'(po) a Folosind avem : 182p p -- --=.a2at2 .Putem depropagareasunetului pe lund,deexemplu,canupresiuneap ddensitateap.Se nacestcazpentrupo cude ca (1,25). dedusedenoisntdestuldecaracteristice.Am JiputuL da multealteexemple, deducereaecua- fiziciimatematicenuncercetarea. ntruct :Scopulnostruprincipalestecercetarea rezolvareaunorase-_meneaecuatii. De nevomlimitalaexemplele vomtrece lastudiuldiferitelorproblemepentruacesteLEC'fiAaII-a PUNEREAPROBLEMELORFIZICii EXEMPLULLUIHADAMARD 1. la Se dincursulde ordinare, acestorecuatiinuestenmodunic. Solutia1, F(X. Yy'y(n))- O ''' .... ,-(II,1) depindengeneraldenconstantearbitrare : (II,2) Putemluaadeseapentruacesteconstantevalorile ale necunoscute alederivatelorsale 1_,1__{lJ(n-1) [_(n-1) Y 1 x=o- Yo'Yo -- Yo' ' Yx=o- Yo (Il,3) Sespune deforma(II,2)este atunci cndputemsatisface (II,3)oticarearfi y0,yb11, y

alegndvalorile pentruconstantele e1, e";pentruaceastaestenecesar serezolveun anumit sistemde nparticular (Il,1)este integrala (II,2)areformafoarte Y=C1.Y1+ C2.Y2+ +cnYn' undey1,y2 ,y91, unsistemdepalti--culareliniarindependente. Lafel,nuavemunicenicipentrucudeii-vate unei cuderivate depinde la 3L ngeneraldeanumitearhitra1e.Deexemplu, aau=o 8y cu variabileindependentex yvafi u= f(x), undef(x)esteocutotulPentruafacebine estedeobicei necesar sedeaanumite suplimenta1e;deeste necesa1 seca uneotiunele din derivatelesalesauanumite ale deiivatelor-sale, iavaloridatepediferite Este ngeneral, problemade formei generalea pentrucuderivate analog C.l.l>' problema: pentrudeforma(II,1). Il.. generale lor,curare nune nimicpentrurezolvareaproblemelorparti-culareimportante,deoarece,n locul sistemuluidefinite luie1,e2, ,cn, cumseprezentaulu.crurile pentruorqinare,ntezolvareaacestorpro-blemeparticulareunsistemdeattdecom-plicate arbitrare,nct lorestepractic . .. . E:'iecare din fizicasepune ca o derezolvareauneianumite deexemplu(1,9)(1,14) (1,l7), sau "(I,19)cusuplimentare binedeterminatecare . nmajoritatea.cazurilorsntdictatede problema pe sntp1oblemeleposibilepentnt. .ecuatulededusedeno1matsus. Inproblema coardeiestenatural deexemplu, de O -1,destuldenetede,oasemenea poateexistatotdeauna p1inurmare,printreaceste conditiinusntconditiideprisos. Problema membraneisepunenmodcutotul analog.Pentruadetermina sa,estesuficient se deexemplu ult=o =q>o(x,y), ()u1=Cf>l (x,y) f)tt-=0 valoarea upefrontieraS, uls= f(S, 1), } (II, 7) (II,8) unde f(S, t)depindedepunctulde pe S detimpult. nloculvaloriloru.pese uneoricombinatia. :' C1.U 1+ au 1f(S, t). s8ns 9) (II,7) (II,9)fac, cum vom stabili n celece caproblema fiecomplettot-deaunaocare les deaceea, (II,7) (II,9)nu deprisos. Pentrurezolvareaproblemeireferitoarelat1ansmisia duriintr-uncorp oarecare [v. (I, 19)],estesuficient temperaturasa (Il,10) la 33 precumpe corpului 1 8 Tl(J.T+ =f(S), sans (II,11) undef(S)esteo deunpunctdepe n toate ecuatiilecercetate- ecuatia vibratiilormembranei, coardei -'nuestedeloc un corp Putem considera deacesta o unplan,sauun caresentind lainfinit;atunci (II,4),(II,5),(II,8),(II,9)(Il, 11),caredeobicei se numesc pe la cad.Problema ase_n;tenea poartanumele deproblemaluiCauchy; (Il,6),(II,7) (II,10)se numesc . saudateleluiCauchy. .Putemconsiderauncorpncare, prelun- adife:ritelor constanteasuprafrontiereisale, nfiecarepunct d,ip, corpului, care dela .pli11;ctla: altul., ncorpse astfelostare Din (1,20),punnd aT=O,: 8t ()2T()2T(J2Tq -+-+-=--.. ax2ay2()z2pc (II,12) [(II,12)poateficu (II,11). Uninteresdeosebit cazurifoartesimple:cnd =O,sau =O.Problema (Il,12)cucon- Tis='J(S) 'SeproblemaluiDirichlet. poate fi pentrucu variabile indepen-dente;(Il,12)sescrieatunci,astfel fJ2T+a2T- _!.!_ . ()x28y2pc Cndq ::::::: O,problemapoatefin timp :ca o deechilibruamembranei. 3.Ecuatiilefiziceimatematice. 34Punereafiziciimatematice punemnmembranei au=() at ()2u pnnurma1e- =O,dinnouodeforma. at2 (II,14). referitoareladeterminarea (II,12)cu ar= f(S) an (II,15) seproblemaluiNeumann;eapoatefipentru variabileindependente.La alui Neumannneconduce problema aunui fluid incompresibil (I,17).Dorind viteza fluid ului din_ interiorulunui domeniu,estenatural pefrontieraacestuidomeniu componenteinormale: avitezei vn,care fluxul fluid ului prin fiecarepunct al deexemplu, Sesteunperete-impermeabil,trebuie punem cafluxulprinacest perete fienul. vn=deundesevede p1ohlema. an... . denoisereducelaproblemaluiNeumann. Pentru(II,12)precum pentruceleprecedente, nuestedelocobligatoriu nenumaidesa ntr-un domeniu finit.Foarte adesea, este important s-o pentruundomeniuinfinit.Acestlucruse deatunci cnddimensiuniledomeniuluiconsideratsntfoartemari n raportcuscara studiat.Estefiresc;deexe;mplu, canstudiul fenomenuluidetransmisiea pentru ocon n nuesteo ciun infinit (II, 12)ntr-undin care extras un cilindru ....nstudiuldomeniilorinfinite;nu delocindiferentcum_ -se punctele :. aledomeniului studiat ;nmultecazuri,problemadevinenumai cuanumiteipotezeasupraacestei Deexemplu, (II, 12) n infinit, din care s-a extras o o pentruexteriorulacesteisfere)' trebuie impunem caea se-,anulezelainfinit.Altfelsolutia Unrolimportantl o de corect 35 2. de eo1ect Exemplul luiHadamard Punereaproblemelorfiziciimatematiceintroduce, cum am anumite caren initiale n la iar n genere, depinde de aceste functii, carese deobicei,din deaceeanupot fi cutotulexact. Deaceea,estetotdeaunaoeroaren saun la eroarese resfrnge asupra nutotdeaunaeroareadinsolutie este , Vomconsideraexemplefoartesimpledeproblemencare .? eroare n datele problemei poate atrage sine oeroare foartemarenrezultate.Cercetndecuatiileflziciimatematice trebue totdeauna n modproblema

de . de la ...... presupunemo de s-a red-q.sla unei anumite u(x,y, z,t)de patru variabile _ de n,aacestorvariabile inacestdomeniuecuatia fn;'" F -, -,.-,,. ., =O ''('.aui)uauaua2uamu) ..'axayi)zatax2 .i)tm (II.16) :, .::.nexemplele. maisus,unasemeneadomeniua fost. domeniuln al variabilelor independentex, y, z, intervalul arbitrardetimpO < t< T. ' upunemsolutia este unor deforma. , 'F;( u, au, ... ,-JJ'u).1- f)x8yi)zi)t"Si (II,17) i=1,2, ... , l; j=1,2, ... ,p, odin x,y,z,t,al de este ma1 m1cdect patru, iar