Sobre as transformações de sequências vetoriais por ... · Sobre as transformações de sequências vetoriais por operadores lineares e multilineares Carlos Alberto da Silva Nonato

Universidade Federal da Bahia -UFBAInstituto de Matemática e Estatística - IMEPrograma de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT

Dissertação de Mestrado

Sobre as transformações de sequências vetoriaispor operadores lineares e multilineares

Carlos Alberto da Silva Nonato

Salvador-BahiaAbril de 2018

Sobre as transformações de sequências vetoriaispor operadores lineares e multilineares

Carlos Alberto da Silva Nonato

Dissertação de Mestrado apresentada aoColegiado da Pós-Graduação em Matemática daUniversidade Federal da Bahia como requisitoparcial para obtenção do título de Mestre emMatemática.

Orientador: Prof. Dr. Joilson Oliveira Ri-beiro.

Salvador-BahiaAbril de 2018

Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Universitário de Bibliotecas (SIBI/UFBA), com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

da Silva Nonato, Carlos Alberto Sobre as transformações de sequências vetoriais poroperadores lineares e multilineares / Carlos Albertoda Silva Nonato. -- Salvador, 2018. 90 f.

Orientador: Joilson Oliveira Ribeiro. Dissertação (Mestrado - Mestrado em Matemática) --Universidade Federal da Bahia, UFBA, 2018.

1. Espaços de Banach. 2. Espaços de sequênciasvetoriais. 3. Operadores somantes. 4. Classes desequências. 5. Ideais de operadores. I. Oliveira Ribeiro, Joilson. II. Título.

Aos meus pais, familiares eamigos. À minha esposa,Edvânia.

Agradecimentos

Não poderia deixar de iniciar agradecendo ao meu orientador, Prof. Dr. JoilsonOliveira Ribeiro, que aceitou me orientar e dispensou um inestismável auxílio na elabora-ção deste trabalho, desde a escolha do tema até sua finalização.

Agradeço a todos os professores e colegas com quem convivi ao longo da graduaçãoe mestrado. Foi um grande privilégio ter convivido com pessoas tão maravilhosas.

Quero registrar um agracedimento especial ao Prof. Dr. Jamilson Ramos Campose ao Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva, que gentilmente aceitaram o convitepara participar da banca examinadora e dispensaram seu precioso tempo para leiturade meu trabalho, e também aos seguintes professores que, ao lado de meu orientador,marcaram de forma mais acentuada minha trajetória na UFBA e na Universidade deCoimbra: Profa. Rita de Cássia de Jesus Silva, Prof. Evandro Carlos Ferreira dos Santos,Profa. Maria de Fátima da Silva Leite e Profa. Maria Emília de Mesquita Nogueira.

Agradeço ainda aos seguintes colegas que, na graduação ou no mestrado, tor-naram essa árdua caminhada mais leve e divertida: Ives Vergne, Paulo Andrade, LouisCharles, João Elias, Adeilton Barbosa, Rodrigo Laranjeira, Jeferson Aragão, Pedro Henri-que, Gideone Ribeiro, Pedro Paulo, Isabela Duarte, Josyclesio Lima, Crisia Ramos, ÊnioCarlos, Cleidiane Araújo, Yure Carneiro, Fabrício Santos, Edward Landi, Diogo Soares eVinicius Coelho.

Não posso deixar de lembrar dos funcionários do Centro de Atendimento à Pós-Graduação (CEAPGMAT): Diogo Barreiros, Davilene Santos, Kleber Batista, MárcioKleber, Marcos Samuel e Mayara Nascimento. São profissionais competentes, que meajudaram muito, dando todo suporte necessário, não só a mim, mas a todos os estudantesda pós-graduação. São pessoas que tenho grande admiração e que hoje considero comoamigos(as).

Registro também meus agradecimentos para meu irmão Ailton Santos de Souza,aos meus grandes amigos de infância e outros grandes amigos que surgiram em meucaminho, que mesmo longe, tenho guardado em meu coração. São pessoas que sempreme deram apoio e com quem compartilhei minhas alegrias dentro e fora da universidade:Célio Medeiros Costa, Ênio Soares, Danilo Rocha, Édipo Resende, Isaac Aragão, AlisonReis, Lucas Barbosa e sua adorável esposa Ericleide Gonçalves.

Tenho que lembrar de minha amorosa tia Ivonete, da generosa e extrovertida tia

Fátima e seu marido Sr. Claúdio, com o apoio dessas pessoas pude morar mais próximoda universidade e ter suporte para um melhor desempenho nos estudos.

Um agradecimento muito especial à minha esposa, Edvânia da Silva Carvalho,pelo companherismo, pelo constante incentivo. Sem seu apoio e amor, tudo isso teria seconcretizado de forma muito mais difícil.

Agradeço imensa e eternamente aos meus pais, Carlos Santos Nonato e JosenitaSouza da Silva Nonato, que mesmo sem entender direito as coisas que eu estudava, meconcederam incondicional apoio e estímulo para estudar.

A todos que, direta ou indiretamente, contribuiram para realização deste traba-lho, meus sinceros agradecimentos.

Agradeço à FAPESB pelo apoio financeiro concedido durante todo o meu mes-trado.

Por fim, e acima de tudo, agradeço a Deus!

“A educação é o nosso passaporte para o fu-turo, pois, o amanhã pertence as pessoas quese preparam hoje.”

–Malcolm X

Resumo

Neste trabalho, estudamos os ideais de operadores lineares e multilineares entreespaços de Banach definidos ou caracterizados por meio de transformações de sequênciasvetoriais. Para o desenvolvimento do trabalho, começamos estudando resultados conhe-cidos da Análise Funcional. Em seguida, apresentamos um ambiente abstrato, chamadoclasses de sequências (no sentido de Botelho e Campos [6]), que serão a base para constru-ção desses ideais de operadores. O próximo passo foi o estudo da estabilidade linear e daestabilidade multilinear de algumas classes de sequências frequentemente usadas. Por fim,será mostrado que ideais já estudados individualmente na literatura são casos particularesda construção abstrata baseada em classes de sequências.

Palavras-chave: Espaços de Banach, espaços de sequências vetoriais, operadores soman-tes, classes de sequências, ideais de operadores.

Abstract

In this work, we study the Banach ideals of linear and multilinear operatorsdefined or characterized by the transformation of vector-valued sequences. For the deve-lopment of the work, we began by studying known results of Functional Analysis. Next,we present an abstract environment, called sequence classes (in the sense of Botelho andCampos [6]) which will be the basis for the construction of these ideal operators. The nextstep was the study of linear stability and multilinear stability of some classes of frequentlyused sequences. Finally, it will be shown that ideals already studied individually in theliterature are particular cases of abstract construction based on sequence classes.Keywords: Banach Spaces, vector sequence space, summing operators, classes of vector-valued sequences, operators ideal.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 41.1 Alguns resultados da Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Espaços de sequências vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Sequências limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Sequências norma nulas e finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Sequências fortemente p-somáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Sequências fracamente p-somáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Sequências fracamente nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.6 Sequências incondicionalmente p-somáveis . . . . . . . . . . . . . . 271.2.7 Sequências Cohen fortemente p-somáveis . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.8 Sequências quase incondicionalmente somáveis . . . . . . . . . . . . 36

2 Classes de sequências vetoriais 452.1 Classes de sequências finitamente determinadas . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Estabilidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Estabilidade multilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Classes de sequências e ideais de operadores 783.1 Ideais de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Operadores lineares absolutamente p-somantes . . . . . . . . . . . . 853.2.2 Operadores Cohen fortemente somantes . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Referências 88

Introdução

A Análise Funcional surgiu nas primeiras décadas do século 20 abstraindo osconceitos de convergência e continuidade. Um dos principais objetivos parecia ser umatentativa de dar um tratamento unificado para várias questões que foram estudadas se-paradamente por séculos. Desde a publicação do famoso livro de S. Banach [2], em 1932,a Análise Funcional assumiu um papel fundamental na matemática moderna e tem-sedesenvolvido para caminhos não-lineares.

Na década de 60, com a redescoberta dos trabalhos de A. Grothendieck, ficouevidente a importância de estudar classes especiais de operadores lineares. Segundo J.Diestel, H. Jarchow e A. Pietsch [11], o "Résumé"de Grothendieck [13] é a fonte da teoriamoderna de espaços de Banach. Contudo, apenas no final da década de 60, as ideias deGrothendieck começaram a ser melhor compreendidas e reescritas de forma mais acessível,com os trabalhos de J. Lindernstrauss e A. Peleczyński [14], de A. Pietsch [20], dentreoutros.

Uma das subáreas mais importantes da Análise Funcional é o estudo dos ideaisde operadores lineares entre espaços de Banach. Os ideais de operadores são famílias deoperadores lineares contínuos que se comportam de maneira similar aos ideais da álgebrano seguinte sentido: Se u : E −→ F é um elemento do ideal I, então para quaisqueroperadores lineares e contínuos v : H −→ E e t : F −→ G, a composição t◦u◦v : H −→ G

pertence a I.Muitas famílias de operadores que satisfazem essa propriedade foram estudadas

isoladamente. Em seu livro [22], A. Pietsch reuniu os principais exemplos até entãoestudados e unificou-os com a teoria abstrata dos ideais de operadores lineares e o próprioPietsch, em [21], apresentou a teoria dos ideais multilineares.

Importantes classes de operadores lineares e não lineares entre espaços de Ba-nach são definidos ou caracterizados por transformações de sequências vetoriais. Um dosprincipais exemplos é o ideal dos operadores absolutamete p-somantes: um operador li-near contínuo u : E −→ F é absolutamente p-somante se u leva sequências fracamentep-somantes em E em sequências fortemente p-somantes em F. A referência [10] é total-mente voltada para o estudo de operadores absolutamente somantes. A consideraçãodessa e outras classes de sequências vetoriais originou vários estudos sobre ideais linearese multilineares, que até agora têm sido investigados individualmente na literatura.

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O objetivo principal deste trabalho é sintetizar o estudo dos ideais de operadoreslineares e multilineares entre espaços de Banach, introduzindo um quadro abstrato degeração de ideais por meio de transformações de sequências vetorias, no sentido de Botelhoe Campos, em [6].

Passamos agora a descrever como foi organizada a dissertação. No primeiro capí-tulo, foi dissertado sobre os conhecimentos preliminares necessários para uma boa leiturado texto. Inicialmente, foi discorrido sobre os conceitos e resultados básicos da AnáliseFuncional, mas por se tratar de uma parte básica, foram dadas apenas as definições e osenunciados principais, disponibilizando as devidas referências para as demonstrações. Emseguida, introduzimos os espaços de sequências vetoriais, nos preocupando em estudar aspropriedades de espaço vetorial, norma, completude e alguns exemplos importantes.

No segundo capítulo, foi definido um ambiente abstrato, chamado classes desequências e começamos estudando os operadores multilineares contínuos entre espaços desequências, buscando condições necessárias e suficientes para que a família destes opera-dores formem um ideal de operadores, para tal, foram introduzidos conceitos importantescomo as classes de sequências finitamente determinadas e linearmente estáveis.

Por fim, no terceiro capítulo iremos trabalhar com os ideais de operadores ca-racterizados por meio de classes de sequências. Aqui, enunciaremos o resultado maisimportante do trabalho. Veremos que, impondo condições especiais as classes de sequên-cias, obtemos ideais de operadores entre espaços de Banach, e então fazemos algumasaplicações.

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Alguns resultados da Análise Funcional

O objetivo dessa seção é apresentar alguns resultados da Análise Funcional queserão muito importantes para o desenvolvimento de todo o trabalho.

Definição 1.1. Seja E um espaço vetorial sobre o corpo K, onde K denota R ou C.Uma norma é uma função ‖.‖ : E −→ [0,∞) que satisfaz as seguintes propriedades, paraquaisquer x, y ∈ E e λ ∈ K:

(i) ‖x‖E ≥ 0 e ‖x‖E = 0 se, e somente se, x = 0;

(ii) ‖λx‖E = |λ| ‖x‖E;

(iii) ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E.

Um espaço vetorial normado é um par (E, ‖.‖E) onde E é um espaço vetoriale ‖.‖E é uma norma em E. Quando não houver perigo de ambiguidade, escreveremosapenas ‖.‖ ao invés de ‖.‖E.

A norma ‖.‖ em um espaço vetorial E sempre está associada a uma métricad : E × E −→ [0,∞) dada por

d(x, y) := ‖x− y‖ ,∀x, y ∈ E.

Definição 1.2 (Espaços de Banach). Um espaço vetorial normado cuja métrica associadaé completa é chamado de espaço vetorial completo, ou espaço de Banach.

A classe de todos os espaços de Banach será denotado por BAN.Se E e F forem espaços vetoriais normados, denotaremos por L(E;F ) a classe dos

operadores lineares de E em F e por L(E;F ) a classe dos operadores lineares contínuosde E em F .

O próximo resultado nos traz várias equivalências sobre a continuidade de umoperador linear:

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Teorema 1.3. Seja u ∈ L(E;F ). São equivalentes:

(i) u é lipschitziano;

(ii) u é uniformemente contínuo;

(iii) u é contínuo;

(iv) u é contínuo em algum ponto de E;

(v) u é contínuo na origem;

(vi) sup {‖u(x)‖ ; x ∈ E e ‖x‖ ≤ 1} <∞;

(vii) Existe uma constante C > 0 tal que ‖u(x)‖ < C ‖x‖ para todo x ∈ E.

Demonstração. Veja ([7], Teorema 2.1.1)

É fácil ver que L(E;F ) é um espaço vetorial com as operações usuais e que ositens (vi) e (vii) do teorema anterior definem uma norma em L(E;F ):

Proposição 1.4. Sejam E e F espaços vetoriais normados.

(i) A expressão‖u‖ = sup {‖u(x)‖ ; x ∈ E e ‖x‖ ≤ 1}

define uma norma no espaço L(E;F );

(ii) ‖u(x)‖ ≤ ‖u‖ ‖x‖ para todos u ∈ L(E;F ) e x ∈ E;

(iii) Se F for Banach, então L(E;F ) também é Banach.


Quando F = K, ao invés de escrevermos L(E;K), denotaremos por E ′ e chama-remos de espaço dual topológico de E, ou simplesmente dual de E, e seus elementos sãofuncionais lineares. Como K é completo, segue que E ′ é sempre Banach.

Agora, veremos alguns resultados básicos da teoria das aplicações multilinearesentre espaços normados.

Definição 1.5. Sejam n ∈ N, E1, . . . , En e F espaços vetoriais normados sobre K. Dize-mos que uma aplicação A : E1 × · · · × En −→ F é n-linear (multilinear) se é linear emcada variável.

Para cada n ∈ N, denotaremos o conjunto de todas as aplicações multilineares deE1× · · · ×En em F por L(E1, . . . , En;F ). Quando F = K denotaremos L(E1, . . . , En;F )

por L(E1, . . . , En).

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Para n ∈ N, o conjunto de todas as aplicações multilineares contínuas de E1 ×· · · × En em F será denotada por L(E1, . . . , En;F ). Quando F = K denotaremosL(E1, . . . , En;F ) por L(E1, . . . , En).

Facilmente se verifica que o conjunto L(E1, . . . , En;F ) é espaço vetorial munidocom as operações usuais de espaços de funções.

Se E1, . . . , En são espaços vetoriais normados sobre K, temos que E1 × · · · × Entambém se torna um espaço vetorial normado se considerarmos qualquer uma das normasnaturais

‖x‖∞ = max1≤j≤n

‖xj‖Ej

ou

‖x‖p =

(n∑j=1

‖xj‖pEj

) 1p

, (1 ≤ p <∞),

onde x = (x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En. Quando não houver perigo de ambiguidade,escreveremos apenas ‖.‖ ao invés de ‖.‖∞.

O próximo teorema nos apresenta várias equivalências sobre a continuidade deuma aplicação multilinear.

Teorema 1.6. Sejam n ∈ N, E1, . . . , En, F espaços vetoriais normados sobre K e A ∈L(E1, . . . , En;F ). Então são equivalentes:

(i) A é contínua;

(ii) A é contínua na origem;

(iii) Existe uma constante C > 0 tal que ‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ C ‖x1‖ · · · ‖xn‖, para qual-quer (x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En;

(iv) A é uniformemente contínua sobre os limitados;

(v) A é limitada em toda bola de raio finito;

(vi) A é limitada em alguma bola.


O item (iii) da proposição anterior sugere uma forma de definir uma norma emL(E1, . . . , En;F ). A proposição a seguir nos informa não apenas que isso é possível, comonos fornece resultados adicionais.

Proposição 1.7. Sejam n ∈ N, E1, . . . , En, F espaços vetoriais normados sobre K. Paracada A ∈ L(E1, . . . , En;F ), defina

‖A‖ := sup {‖A(x1, . . . , xn)‖ ;xj ∈ Ej e ‖xj‖ ≤ 1, ∀j = 1, . . . , n} .

Então:

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(i) ‖.‖ é uma norma em L(E1, . . . , En;F );

(ii) ‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ C ‖x1‖ · · · ‖xn‖ para qualquer (x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En;

(iii) ‖A‖ = inf {C; ‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ C ‖x1‖ · · · ‖xn‖ , com (x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En}

Além disso, se F é uma espaço de Banach, então (L(E1, . . . , En;F ), ‖.‖) também é umespaço de Banach.

Demonstração. Veja ([15], Proposition 1.3)

Teorema 1.8. Sejam E1, . . . , En espaços de Banach e F um espaço vetorial normado.Então a aplicação A ∈ L(E1, . . . , En;F ) é contínua se, e somente se, é contínua em cadavariável.

Demonstração. Veja ([4], Teorema 1.2.6).

Destacamos a seguir duas classes de aplicações multilineares contínuas que se-rão importantes para a definição de ideais de operadores lineares e ideais de operadoresmultilineares que aparecerão mais adiante em nosso trabalho.

Definição 1.9. Dizemos que uma aplicação multilinear A ∈ L(E1, . . . , En;F ) é de postofinito se a dimensão do subespaço vetorial de F gerado pela imagem de A tem dimensãofinita, ou, equivalentemente, se existem k ∈ N, formas multilineares Tj ∈ L(E1, . . . , En;K)

e vetores yj ∈ F , para j = 1, . . . , k, tais que

A(x1, . . . , xn) =k∑j=1

Tj(x, . . . , xn)yj,

para todo x1, . . . , xn ∈ E1 × · · · × En. Esta aplicação multilinear A também é denotada

pork∑j=1

Tj ⊗ yj. O subespaço vetorial de L(E1, . . . , En;F ) formado pelas aplicações de

posto finito será denotado por LF(E1, . . . , En;F ).

Definição 1.10. Dizemos que uma aplicação multilinear A ∈ L(E1, . . . , En;F ) é de tipofinito se existem k ∈ N, funcionais lineares ϕlj ∈ E ′l e vetores yj ∈ F , com j = 1, . . . , k el = 1, . . . , n tais que

A(x1, . . . , xn) =k∑j=1

ϕ1j(x1) · · ·ϕnj (xn)yj,

para todo x1, . . . , xn ∈ E1×· · ·×En. Esta aplicação multilinear A também é denotada pork∑j=1

ϕ1j ⊗· · ·⊗ϕnj ⊗ yj. O subespaço vetorial de L(E1, . . . , En;F ) formado pelas aplicações

de tipo finito será denotado por Lf (E1, . . . , En;F ).

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A seguir, exibiremos uma lista de espaços formados por sequências escalares quesão clássicos na Análise Funcional e serão estudados mais a fundo na Seção 1.2 dessecapítulo:

c00(K) :={(aj)

∞j=1 ∈ KN;∃j0 ∈ N tal que aj = 0,∀j ≥ j0

},

c0(K) :=

{(aj)

∞j=1 ∈ KN; lim

j→∞aj = 0

},

`p(K) :=

{(aj)

∞j=1 ∈ KN;

∞∑j=1

|aj|p <∞

}, para p ∈ [1,∞),

`∞(K) :={(aj)

∞j=1 ∈ KN;∃M ≥ 0 tal que |aj| ≤M, ∀j ∈ N

}.

Em `p(K) definimos a norma

∥∥(aj)∞j=1

∥∥p:=

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p

,

e em `∞(K) definimos a norma

∥∥(aj)∞j=1

∥∥∞ := sup

j∈N|aj| .

Em [7], mostra-se que `p(K) e `∞(K) são espaços de Banach com as normas definidasacima. Além disso, mostra-se também que c0(K) é um subespaço fechado de `∞(K), masc00(K) não satisfaz essa propriedade.

A seguir, exibiremos alguns resultados clássicos da Análise Funcional.

Definição 1.11 (Base de Schauder). Uma sequência (xj)∞j=1 no espaço de Banach E é

chamada base de Schauder de E se cada x ∈ E tem uma representação única sob a forma

x =∞∑j=1

ajxj,

onde an ∈ K, para todo n ∈ N. A unicidade da representação permite considerar osfuncionais lineares

x′n : E −→ K, x′n

(∞∑j=1

ajxj

)= an,

n ∈ N, que são chamados de funcionais coeficientes.

Enunciaremos agora as desigualdades de Hölder e Minkowski, resultados que sãomuito utilizados para a demonstração de diversos teoremas em espaços Lp das funçõesintegráveis.

Teorema 1.12 (Desigualdade de Hölder). Sejam p, q ∈ [1,∞) tais que 1p+ 1q= 1 ( 1

∞ = 0).

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Se (aj)∞j=1 ∈ `p(K) e (bj)

∞j=1 ∈ `q(K), então

∞∑j=1

|aj| |bj| ≤

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p(∞∑j=1

|bj|q) 1

q


Teorema 1.13 (Desigualdade de Minkowski). Se p ∈ [1,∞) e (aj)∞j=1, (bj)

∞j=1 ∈ `p(K),

então (aj + bj)∞j=1 ∈ `p(K) e

(∞∑j=1

|aj + bj|p) 1

p

≤

(∞∑j=1

|aj|p) 1

p

+

(∞∑j=1

|bj|p) 1

p

(1.1)


Agora será apresentado uma versão da desigualdade de Hölder clássica em espaçoscaracterizados por normas mistas.

Teorema 1.14 (Desigualdade de Hölder generalizada). Sejam p, p1, . . . , pn ∈ (0,∞] taisque 1

p= 1

p1+ · · · + 1

pn. Se cada ak =

(akj)∞j=1∈ `pk(K), com k = 1, . . . , n, então

a1 · · · an ∈ `p(K) e, além disso,

‖a1 · · · an‖p ≤ ‖a1‖p1 · · · ‖an‖pn .

Demonstração. Veja ([1], Teorema 1.1).

Muitos dos principais teoremas de Análise estão associados a algum tipo de con-trole uniforme baseado em hipóteses pontuais. O próximo resultado garante que umafamília de operadores lineares contínuos é uniformemente limitada sempre que for pontu-almente limitada.

Teorema 1.15 (Banach-Steinhaus). Sejam E um espaço de Banach, F um espaço nor-mado e (Tj)j∈I uma família de operadores em L(E;F ) satisfazendo a condição de quepara cada x ∈ E, existe Cx > 0 tal que

supj∈I‖Tj(x)‖ < Cx.

Então supj∈I ‖Tj‖ <∞.


Sejam E e F espaços normados e T : E −→ F um operador linear. O gráfico deT é o conjunto

graf(T ) := {(x, T (x);x ∈ E)} ⊆ E × F.

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Note que graf(T ) é um subespaço vetorial de E × F . Em geral graf(T ) pode ser umsubconjunto fechado de E × F ou não. O próximo teorema afirma que, para operadoreslineares entre espaços de Banach, a continuidade de T é equivalente ao fato de graf(T )

ser fechado.

Teorema 1.16 (Teorema do Gráfico Fechado). Sejam E e F espaços de Banach e T ∈L(E;F ). Então T é contínuo se, e somente se, graf(T ) := {(x, T (x);x ∈ E)} é fechadoem E × F .


Veremos agora que, mesmo no ambiente multilinear, o resultado anterior continuaválido, como mostra o próximo teorema.

Teorema 1.17 (Teorema do Gráfico Fechado para aplicações multilineares). Sejam E1, . . . , En, F

espaços de Banach. Então A ∈ L(E1, . . . , En;F ) tem gráfico fechado se, e somente se, Aé contínua.


O próximo teorema, juntamente com os seus corolários e aplicações são impor-tantíssimos na Análise Funcional. Encontra também aplicações em outras áreas da ma-temática; por exemplo, Análise Complexa, Teoria da Medida e Teoria dos Jogos (parareferências mais precisas, veja [16]). Porém, sua utilidade alcançam áreas fora da mate-mática, como por exemplo, uma aplicação à Termodinâmica (ver [12]).

Teorema 1.18 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam E um espaço vetorial sobre o corpoK e p : E −→ R uma função que satisfaz

(i) p(ax) = |a| p(x) para todo a ∈ K e todo x ∈ E, e

(ii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ E.

Se G ⊆ E é um subespaço vetorial e ϕ : G −→ K é um funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤p(x) para todo x ∈ G, então existe um funcional linear ϕ : E −→ K que estende ϕ a E eque satisfaz |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ E.

Corolário 1.19 (Hahn-Banach). Sejam E um espaço vetorial normado. Para todo x0 ∈E, x0 6= 0, existe um funcional linear ϕ ∈ E ′ tal que ‖ϕ‖ = 1 e ϕ(x0) = ‖x0‖.

Demonstração. Veja ([7], Corolário 3.1.4).

Corolário 1.20 (Hahn-Banach). Sejam E um espaço vetorial normado, E 6= 0 e x ∈ E.Então

‖x‖ = sup {|ϕ(x)| ;ϕ ∈ BE′} = max {|ϕ(x)| ;ϕ ∈ E ′ e ‖ϕ‖ = 1} .

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Demonstração. Veja ([7], Corolário 3.1.5).

Definição 1.21. Sejam E, F espaços vetoriais normados e u ∈ L(E;F ). Definimos ooperador u′ : F ′ −→ E ′ por

u′ (ϕ) (x) = ϕ (u(x)) ,

para todos x ∈ E e ϕ ∈ F ′. O operador u′ é chamado adjunto de u.

Proposição 1.22. Seja u ∈ L(E;F ). Então u′ ∈ L(F ′;E ′) e ‖u‖ = ‖u′‖. Mais ainda,se u é um isomorfismo (isométrico), então u′ também é um isomorfismo (isométrico).

Demonstração. Veja ([7], Proposição 4.3.11).

1.2 Espaços de sequências vetoriais

1.2.1 Sequências limitadas

Definição 1.23. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências limitadasé definido da seguinte forma:

`∞(E) :={(xj)

∞j=1 ∈ EN;∃M ≥ 0 tal que ‖xj‖ ≤M,∀j ∈ N

}.

Facilmente se verifica que `∞(E) é um espaço vetorial com as operações usuaisde sequências.

Proposição 1.24. Seja E um espaço vetorial normado. A função

‖·‖∞ :`∞(E) −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7→ sup

j∈N‖xj‖E

define uma norma em `∞(E).

Demonstração. Primeiramente, notemos que a função ‖·‖∞ está bem definida, pois (xj)∞j=1 ∈`∞(E) se, e somente se, ‖xj‖E é limitada em K, para todo j ∈ N, logo existe sup

j∈N‖xj‖E.

Agora, verifiquemos os axiomas de norma.

(i) Como ‖·‖E é uma norma em E, segue que ‖xj‖E ≥ 0 para qualquer xj ∈ E. Daí,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N‖xj‖E ≥ 0,

para toda sequência (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Mais ainda,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ = 0⇔ sup

j∈N‖xj‖E = 0⇔ ‖xj‖E = 0,∀j ∈ N

⇔ xj = 0,∀j ∈ N⇔ (xj)∞j=1 é a sequência nula.

12

(ii) Sejam λ ∈ K e (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Segue que

∥∥λ(xj)∞j=1

∥∥∞ =

∥∥(λxj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N‖λxj‖E = sup

j∈N

(|λ| ‖xj‖E

)= |λ| sup

j∈N‖xj‖E = |λ|

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ .

(iii) Sejam (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ `∞(E). Temos que

∥∥(xj)∞j=1 + (yj)∞j=1

∥∥∞ =

∥∥(xj + yj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N‖xj + yj‖E ≤ sup

j∈N

(‖xj‖E + ‖yj‖E

)≤ sup

j∈N‖xj‖E + sup

j∈N‖yj‖E =

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ +

∥∥(yj)∞j=1

∥∥∞ .

Por (i), (ii) e (iii), concluímos o desejado.

Proposição 1.25. Para todo espaço de Banach E, (`∞(E), ‖·‖∞) é espaço de Banach.

Demonstração. Seja a sequência de Cauchy (xk)∞k=1 em `∞(E). Para cada k ∈ N, deno-temos por xk = (xkj )

∞j=1 ∈ `∞(E). Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

∥∥xk − xr∥∥∞ < ε, (1.2)

sempre que k, r ≥ n0. Da desigualdade

∥∥xkj − xrj∥∥E ≤ ∥∥xk − xr∥∥∞ , (1.3)

que é claramente válida para todo j ∈ N, concluímos que, para j fixado, a sequência(xkj )

∞k=1 é de Cauchy em E. Assim, podemos definir a sequência y = (yj)

∞j=1 em EN por

yj = limk→∞

xkj . Devemos mostrar que y ∈ `∞(E) e que limk→∞

∥∥xk − y∥∥∞ = 0. Com efeito, de(1.2) e (1.3), segue que ∥∥xkj − xrj∥∥E < ε,

sempre que k, r ≥ n0. Fazendo r →∞, tem-se

∥∥xkj − yj∥∥E ≤ ε, (1.4)

sempre que k ≥ n0 e para todo j ∈ N. Em particular, para k = n0,

supj∈N

∥∥xn0j − yj

∥∥E≤ ε,

ou seja,(xn0j

)∞j=1−(yj)∞j=1 ∈ `∞(E). Como `∞(E) é um espaço vetorial sobreK, concluímos

13

que y = xn0 − (xn0 − y) ∈ `∞(E). Mais ainda, de (1.4), temos que

∥∥xk − y∥∥∞ = supj∈N

∥∥xkj − yj∥∥E ≤ ε,

sempre que k ≥ n0, o que mostra que limk→∞

∥∥xk − y∥∥∞ = 0.

1.2.2 Sequências norma nulas e finitas

Definição 1.26. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências normanulas é definida da seguinte forma:

c0(E) :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN; lim

j→∞‖xj‖ = 0

}.

Definição 1.27. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências finitas édefinida da seguinte forma:

c00(E) :={(xj)

∞j=1 ∈ EN;∃j0 ∈ N tal que xj = 0, j ≥ j0

}.

Proposição 1.28. Seja E um espaço vetorial normado. Então c00(E) é subespaço vetorialde c0(E) e c0(E) é subespaço vetorial de `∞(E).

Demonstração. Primeiramente, mostraremos que c00(E) é subespaço vetorial de c0(E).Seja (xj)

∞j=1 ∈ c00(E), então existe j0 ∈ N tal que xj = 0, para todo j ≥ j0. Assim,

quando j → ∞, temos que xj → 0, portanto, ‖xj‖ → 0. Logo, c00(E) ⊆ c0(E). Agora,sejam (xj)

∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ c00(E) e λ ∈ K, então existem j1, j2 ∈ N tais que xj = 0, para

todo j ≥ j1 e yj = 0, para j ≥ j2. Tome j0 = max{j1, j2} e então xj = yj = 0, para todoj ≥ j0. Portanto,

xj + λyj = 0, ∀j ≥ j0,

donde conclui-se que c00(E) é subespaço vetorial de c0(E).Agora, vamos mostrar que c0(E) é subespaço vetorial de `∞(E). Se (xj)

∞j=1 ∈

c0(E), então limj→∞‖xj‖ = 0. Daí, a sequência (xj)

∞j=1 é limitada e portanto (xj)

∞j=1 ∈

`∞(E). Logo, c0(E) ⊆ `∞(E). Agora, se (xj)∞j=1, (yj)

∞j=1 ∈ c0(E) e λ ∈ K, então

limj→∞‖xj‖ = lim

j→∞‖yj‖ = 0 e portanto

limj→∞‖xj + λyj‖ ≤ lim

j→∞(‖xj‖+ |λ| ‖yj‖) = lim

j→∞‖xj‖+ |λ| lim

j→∞‖yj‖ = 0.

Logo, c0(E) é subespaço vetorial de `∞(E).

Proposição 1.29. Seja E um espaço vetorial normado. Então c0(E) é subespaço fechadode `∞(E). Consequentemente, (c0(E), ‖·‖∞) é espaço de Banach, quando E é espaço deBanach.

14

Demonstração. Seja (xk)∞k=1 uma sequência em c0(E) tal que limk→∞

xk = y em `∞(E). De-

vemos mostrar que y ∈ c0(E). De fato, como limk→∞

∥∥xk − y∥∥∞ = 0, para qualquer ε > 0

existe n0 ∈ N tal que

∥∥xkj − yj∥∥E ≤ ∥∥(xkj )∞j=1 − (yj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N

∥∥xkj − yj∥∥E < ε

2,

para todo j ∈ N e sempre que k ≥ n0. Em particular,

∥∥xn0j − yj

∥∥E<ε

2,

para todo j ∈ N. Como xn0 =(xn0j

)∞j=1∈ c0(E), temos que lim

j→∞

∥∥xn0j

∥∥E= 0 e daí existe

um índice j0 ∈ N tal que ∥∥xn0j

∥∥E<ε

2,

sempre que j ≥ j0. Logo,

‖yj‖E =∥∥yj − xn0

j + xn0j

∥∥E≤∥∥yj − xn0

j

∥∥E+∥∥xn0

j

∥∥E<ε

2+ε

2= ε,

sempre que j ≥ j0. Portanto, limj→∞‖yi‖E = 0 e, consequentemente, c0(E) é fechado.

Proposição 1.30. Seja E um espaço vetorial normado. Então c00(E) não é fechado emc0(E).

Demonstração. Considere um vetor x ∈ E arbitrário, com ‖x‖ 6= 0 e, para cada k ∈ N,seja

xk =(x,x

2,x

3, · · · , x

k, 0, 0, · · ·

).

Claramente, xk ∈ c00(E) ⊆ c0(E) para todo k ∈ N. Mostraremos que

limk→∞

xk =(x,x

2,x

3, · · ·

)∈ c0(E).

De fato, temos

limk→∞

∥∥∥xk − (x, x2,x

3, · · ·

)∥∥∥∞

= limk→∞

∥∥∥(x, x2,x

3, · · · , x

k, 0, 0, · · ·

)−(x,x

2,x

3, · · ·

)∥∥∥∞

= limk→∞

∥∥∥∥(0, 0, . . . , 0, x

k + 1,

x

k + 2, · · ·

)∥∥∥∥∞

= limk→∞

supk∈N

{∥∥∥∥ x

k + 1

∥∥∥∥ ,∥∥∥∥ x

k + 2

∥∥∥∥ , · · ·}= lim

k→∞supk∈N

{‖x‖k + 1

,‖x‖k + 2

, · · ·}

= limk→∞‖x‖ sup

k∈N

{1

k + 1,

1

k + 2, · · ·

}

15

= limk→∞‖x‖ 1

k + 1= 0.

Porém,(x,x

2,x

3, · · ·

)/∈ c00(E), pois x 6= 0. Logo c00(E) não é fechado em E.

1.2.3 Sequências fortemente p-somáveis

Nesta subseção, vamos considerar 1 ≤ p <∞.

Definição 1.31. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências fortementep−somáveis é definido da seguinte forma:

`p(E) :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN;

∞∑j=1

‖xj‖p <∞

}.

Note que(xj)

∞j=1 ∈ `p(E)⇔ (‖xj‖)∞j=1 ∈ `p(K).

Facilmente se verifica que `p(E) é um espaço vetorial com as operações usuais de sequên-cias.


‖·‖p :`p(E) −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7→

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

define uma norma em `p(E).

Demonstração. Mostremos os axiomas de norma.

(i) Seja (xj)∞j=1 ∈ `p(E). Como ‖xj‖ ≥ 0, para todo j ∈ N, temos que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥p=

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

≥ 0.

Mais ainda,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥p= 0⇔

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

= 0⇔ ‖xj‖ = 0, ∀j ∈ N

⇔ xj = 0,∀j ∈ N⇔ (xj)∞j=1 é a sequência nula.

16

(ii) Sejam (xj)∞j=1 ∈ `p(E) e λ ∈ K. Temos que

∥∥λ(xj)∞j=1

∥∥p=∥∥(λxj)∞j=1

∥∥p=

(∞∑j=1

‖λxj‖p) 1

p

=

(∞∑j=1

|λ|p ‖xj‖p) 1

p

= |λ|

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

= |λ|∥∥(xj)∞j=1

∥∥p.

(iii) Se (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ `p(E), então (‖xj‖)∞j=1, (‖yj‖)

∞j=1 ∈ `p(K) e segue que

∥∥(xj)∞j=1 + (yj)∞j=1

∥∥p=∥∥(xj + yj)

∞j=1

∥∥p=

(∞∑j=1

‖xj + yj‖p) 1

p

≤

(∞∑j=1

(‖xj‖+ ‖yj‖)p) 1

p

(∗)≤

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

+

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥p+∥∥(yj)∞j=1

∥∥p,

onde (∗) segue da desigualdade de Minkowski.


Proposição 1.33. Para todo espaço de Banach E,(`p(E), ‖·‖p

)é espaço de Banach.

Demonstração. Seja (xk)∞k=1 uma sequência de Cauchy em `p(E). Para cada k ∈ N, xk

é uma sequência de vetores em E que denotemos por xk = (xkj )∞j=1 ∈ `p(E). Vejamos

que, para cada j ∈ N, a sequência (xkj )∞k=1 é de Cauchy em E e, portanto, convergente.

Com efeito, como (xk)∞k=1 é uma sequência de Cauchy em `p(E), dado ε > 0, existen0 = n0(ε) ∈ N tal que

∥∥xk − xr∥∥p=∥∥(xkj )∞j=1 − (xrj)

∞j=1

∥∥p<ε

2,

sempre que k, r ≥ n0. Dado que

∥∥xkj − xrj∥∥E ≤ ∥∥(xkj )∞j=1 − (xrj)∞j=1

∥∥p

para todo j ∈ N, tem-se que ∥∥xkj − xrj∥∥E < ε

2,

sempre que k, r ≥ n0 e para todo j ∈ N. Logo, para cada j ∈ N, a sequência (xkj )∞k=1 é

de Cauchy em E e, portanto, podemos tomar yj = limk→∞

(xkj )∞j=1 ∈ E. Assim, formamos

uma sequência y = (yj)∞j=1 de elementos de E. Devemos provar que y ∈ `p(E) e que

17

limk→∞

xk = y. De fato, como (xk)∞k=1 é uma sequência de Cauchy em `p(E), segue que

(∞∑j=1

∥∥xkj − xrj∥∥pE) 1

p

=∥∥xk − xr∥∥

p<ε

2,

sempre que k, r ≥ n0 ou, equivalentemente,

∞∑j=1

∥∥xkj − xrj∥∥pE =∥∥xk − xr∥∥p

p<εp

2p,

sempre que k, r ≥ n0. Em particular, para todo m ∈ N,

m∑j=1

∥∥xkj − xrj∥∥pE < εp

2p,

sempre que k, r ≥ n0. Fixando k e fazendo r →∞, obtemos

m∑j=1

∥∥xkj − yj∥∥pE < εp

2p,

sempre que k ≥ n0 e para todo m ∈ N. Agora, fazendo m → ∞ no somatório acima,segue que

∞∑j=1

∥∥xkj − yj∥∥pE < εp

2p, (1.5)

sempre que k ≥ n0. Em particular, para k = n0, obtemos

xn0 − y =(xn0j

)∞j=1− (yj)

∞j=1 =

(xn0j − yj

)∞j=1∈ `p(E).

Como `p(E) é um espaço vetorial sobre K, resulta que y = xn0 − (xn0 − y) ∈ `p(E) e, de(1.5), concluímos que lim

k→∞xk = y ∈ `p(E).

Proposição 1.34. Seja E um espaço vetorial normado. Então `p(E) ⊆ c0(E). Alémdisso, ‖.‖∞ ≤ ‖.‖p.

Demonstração. Se (xj)∞j=1 ∈ `p(E), então∞∑j=1

‖xj‖p <∞, donde concluímos que limj→∞‖xj‖p =

0, isto é, dado ε1 > 0, existe j0 ∈ N tal que

‖xj‖p < ε1 ⇒ ‖xj‖ < p√ε1,

sempre que j ≥ j0. Tomando ε = p√ε1, segue que lim

j→∞‖xj‖ = 0, ou seja, (xj)∞j=1 ∈ c0(E).

18

Mais ainda,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N‖xj‖ ≤

(supj∈N‖xj‖p

) 1p

≤

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥p,

para toda (xj)∞j=1 ∈ `p(E).

A seguir, veremos uma observação muito importante.

Observação 1.35. Seja 1 ≤ p ≤ q < ∞, então `p(E) ⊆ `q(E), para todo espaço de

Banach E. De fato, se (xj)∞j=1 ∈ `p(E), então

∞∑j=1

‖xj‖p <∞ e assim, limj→∞‖xj‖ = 0, ou

seja, existe j0 ∈ N tal que, para todo j ≥ j0, ‖xj‖ ≤ 1, portanto

‖xj‖q ≤ ‖xj‖p .

Logo,∞∑j=1

‖xj‖q ≤∞∑j=1

‖xj‖p <∞,

mostrando que (xj)∞j=1 ∈ `q(E), donde concluímos que `p(E) ⊆ `q(E).

A seguir, veremos um resultado que será muito útil quando tratarmos das sequên-cias Cohen fortemonte p-somáveis.

Proposição 1.36 (O dual topológico de `1(E)). Se E é um espaço vetorial normadosobre K, então existe um isomorfismo isométrico entre (`1(E))

′ = `∞(E′).

Demonstração. Veja ([17], Proposição 2.1.5)

1.2.4 Sequências fracamente p-somáveis

Nesta subseção, consideremos novamente 1 ≤ p <∞.

Definição 1.37. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências fracamentep−somáveis é definido da seguinte forma:

`wp (E) :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN;

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p <∞,∀ϕ ∈ E ′}.

Observação 1.38. Note que, para todo funcional linear contínuo ϕ ∈ E ′, temos

(xj)∞j=1 ∈ `wp (E)⇔ (ϕ(xj))

∞j=1 ∈ `p(K).

Proposição 1.39. Seja E um espaço vetorial normado. Então `wp (E) é um espaço vetorialcom as operações usuais de sequências.

19

Demonstração. Seja ϕ ∈ E ′ um funcional linear contínuo. Sendo ϕ linear, é imediato quea sequência identicamente nula pertence a `wp (E). Se (xj)

∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ `wp (E) e λ ∈ K,

então (ϕ(xj))∞j=1, (ϕ(yj))

∞j=1 ∈ `p(K). Daí,

(∞∑j=1

|ϕ (xj + λyj)|p) 1

p

=

(∞∑j=1

|ϕ (xj) + λϕ (yj)|p) 1

p

(∗)≤

(∞∑j=1

|ϕ (xj)|p) 1

p

+ |λ|

(∞∑j=1

|ϕ (yj)|p) 1

p

<∞,

onde (∗) segue da desigualdade de Minkowski. Portanto, concluímos que (xj)∞j=1 +

λ(yj)∞j=1 ∈ `wp (E).


‖·‖w,p :`wp (E) −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7→ sup

ϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

define uma norma em `wp (E).

Demonstração. Seja x = (xj)∞j=1 ∈ `wp (E). Primeiramente, mostraremos que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

<

∞. De fato, definamos o seguinte operador linear

Tx :E′ −→ `p(K)

ϕ 7→ (ϕ(xj))∞j=1 .

Pela definição de `wp (E), o operador Tx está bem definido, e vamos mostrar que Tx é lineare contínuo. Sejam ϕ, ψ ∈ Tx e λ ∈ K, temos que

Tx (ϕ+ λψ) = ((ϕ+ λψ) (xj))∞j=1 = (ϕ(xj) + λψ(xj)))

∞j=1

= (ϕ(xj))∞j=1 + λ (ψ(xj))

∞j=1 = Tx (ϕ) + λTx (ψ) ,

portanto Tx é linear. Agora, mostraremos a continuidade. Para cada k ∈ N, seja(ϕk, Tx (ϕk)) ∈ Graf(Tx), tal que (ϕk, Tx (ϕk)) → (ϕ, y) em E ′ × `p(K). Daí, segue queϕk → ϕ em E ′ e Tx (ϕk) = (ϕk(xj))

∞j=1 → y := (yj)

∞j=1 em `p(K), quando k → ∞. Dessa

última convergência, segue que ϕk(xj)→ yj, quando k →∞, para todo j ∈ N. Por outrolado, como ϕk → ϕ em E ′. Temos ϕk(xj) → ϕ(xj) em K, quando k → ∞, para todoj ∈ N. Pela unicidade do limite, ϕ(xj) = yj, para todo j ∈ N. Portanto,

y = (yj)∞j=1 = (ϕ(xj))

∞j=1 = Tx (ϕ) .

20

A igualdade Tx (ϕ) = y, onde y = (yj)∞j=1 ∈ `p(K), nos dá que (ϕ, y) ∈ Graf(Tx). Logo,

Graf(Tx) é fechado em E ′ × `p(K) e pelo Teorema do Gráfico Fechado (Teorema 1.16),concluímos que Tx é contínuo. Assim, segue que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

= supϕ∈BE′

∥∥∥(ϕ(xj))∞j=1

∥∥∥p= sup

ϕ∈BE′

‖Tx (ϕ)‖p = ‖Tx‖ <∞,

como queríamos mostrar.Finalmente, provaremos os axiomas de norma.

(i) Seja (xj)∞j=1 ∈ `wp (E). É imediato que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p≥ 0. Mais ainda, se xj = 0

para todo j ∈ N, segue que∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= 0. Por outro lado, se∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= 0,mostraremos que xj = 0 para todo j ∈ N. De fato, se não fosse verdade, existiriaj0 ∈ N, tal que xj0 6= 0. Pelo Corolário 1.19, existe ϕ0 ∈ E ′, tal que ‖ϕ0‖ = 1 eϕ0(xj0) = ‖xj0‖. Portanto,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

≥ |ϕ0(xj0)| > 0,

que é um absurdo. Logo xj = 0, para todo j ∈ N.

(ii) Sejam (xj)∞j=1 ∈ `wp (E) e λ ∈ K. Temos

∥∥λ(xj)∞j=1

∥∥w,p

=∥∥(λxj)∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(λxj)|p) 1

p

= |λ| supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

= |λ|∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

.

(iii) Sejam (xj)∞j=1, (yj)

∞j=1 ∈ `wp (E). Então

∥∥(xj)∞j=1 + (yj)∞j=1

∥∥w,p

=∥∥(xj + yj)

∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj + yj)|p) 1

p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj) + ϕ(yj)|p) 1

p

(∗)≤ sup

ϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

+ supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(yj)|p) 1

p

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

+∥∥(yj)∞j=1

∥∥w,p

,

onde (∗) segue da desigualdade de Minkowski.

21


Proposição 1.41. Para todo espaço de Banach E,(`wp (E), ‖·‖w,p


Demonstração. Seja (xk)∞k=1 uma sequência de Cauchy em `wp (E). Para cada k ∈ N,denotemos por xk = (xkj )

∞j=1 ∈ `wp (E). Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, para todo

k, r ≥ n0 temos que

∥∥xk − xr∥∥w,p

=∥∥∥(xkj − xrj)∞j=1

∥∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p)1

p< ε.

Assim, para todos ϕ ∈ BE′ e j ∈ N, temos

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p ≤ ∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p ≤ supϕ∈BE′

(∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p)< εp,

sempre que k, r ≥ n0. Portanto, ∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣ < ε,

sempre que k, r ≥ n0. Pelo Corolário 1.20, segue que, para todos j ∈ N, k, r ≥ n0∥∥xkj − xrj∥∥ = supϕ∈BE′

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣ < ε,

isto é, a sequência(xkj)∞k=1

é de Cauchy em E para cada j ∈ N fixado. Como E é umespaço de Banach, para cada j ∈ N existe yj ∈ E tal que lim

k→∞xkj = yj em E. Formamos

assim uma sequência y = (yj)∞j=1 em EN. Provaremos que y ∈ `wp (E) e que lim

k→∞xk = y

em `wp (E). De fato, para cada m ∈ N e cada ϕ ∈ BE′ ,

m∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p ≤ ∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xrj)∣∣p ≤ ∥∥∥(xkj − xrj)∞j=1

∥∥∥pw,p

< εp,

para todos k, r ≥ n0. Fazendo r → ∞ no somatório acima, quando k ≥ n0 e para todom ∈ N, obtemos

m∑j=1

∣∣ϕ (xkj − yj)∣∣p < εp.

Agora fazendo m→∞, segue que

∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − yj)∣∣p ≤ εp (1.6)

22

sempre que k ≥ n0. Seja ψ ∈ E ′, ψ 6= 0, entãoψ

‖ψ‖∈ BE′ e, consequentemente, se k 6= n0

∞∑j=1

∣∣∣∣ ψ‖ψ‖ (xkj − yk)∣∣∣∣p ≤ εp ⇒

∞∑j=1

∣∣ψ (xkj − yk)∣∣p ≤ ‖ψ‖p εp.Concluímos que, para todo k 6= n0, a sequência (xk−y) pertence a `wp (E). Em particular,para k = n0, (xn0 − y) ∈ `wp (E). Como `wp (E) é um espaço vetorial sobre K, entãoy = xn0 − (xn0 − y) ∈ `wp (E). Mais ainda, de (1.6), segue que

∥∥xk − y∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − yj)∣∣p) 1

p

< ε

para todo k ≥ n0, provando que limk→∞

xk = y ∈ `wp (E).

Observação 1.42. De forma análoga como foi feita na Observação 1.35, mostra-se que`wp (E) ⊆ `wq (E), para todo espaço vetorial normado E, para 1 ≤ p ≤ q <∞.

Exemplo 1.43. Se 1 ≤ p′ ≤ q < ∞ tal que1

p+

1

p′= 1, então (ej)

∞j=1 ∈ `wq (`p(K)) e∥∥(ej)∞j=1

∥∥w,q

= 1, ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), onde 1 aparece na j-ésima coordenada. Comefeito, temos que ej ∈ `p(K), para todo j ∈ N. Daí, dado ϕ ∈ (`p(K))′, tome b = (bj)

∞j=1 ∈

`p′(K) tal que ϕ = J(b), onde J é o isomorfismo isométrico em [7], Proposição 4.2.1.Sendo p′ ≤ q, segue que `p′(K) ⊆ `q(K), logo b ∈ `q(K). Assim,

∞∑j=1

|ϕ(ej)|q =∞∑j=1

|J(b)(ej)|q =∞∑j=1

|bj|q <∞,

provando que (ej)∞j=1 ∈ `wq (`p(K)). A igualdade

∥∥(ej)∞j=1

∥∥w,q

= 1 é imediata.

Exemplo 1.44. (ej)∞j=1 ∈ `wp (c0(K)), para todo p ≥ 1. De fato, temos que ej ∈ c0(K),para todo j ∈ N. Daí, dado ϕ ∈ (c0(K))′, tome b = (bj)

∞j=1 ∈ `1(K) tal que ϕ = J(b),

onde J é o isomorfismo isométrico em [7], Proposição 4.2.3. Como `1(K) ⊆ `p(K), paratodo p ≥ 1, segue que b ∈ `p(K). Assim,

∞∑j=1

|ϕ(ej)|p =∞∑j=1

|J(b)(ej)|p =∞∑j=1

|bj|p <∞,

provando que (ej)∞j=1 ∈ `wp (c0(K)).

Os próximos resultados serão muito úteis no decorrer do trabalho.

Definição 1.45. Um subconjunto A ⊆ E é fracamente limitado se ϕ(A) é limitado emK para todo funcional ϕ ∈ E ′.

23

Lema 1.46. Seja E um espaço vetorial normado. Um subconjunto A ⊆ E é limitado se,e somente se, A é fracamente limitado.

Demonstração. Seja ϕ ∈ E ′. Se A ⊆ E for limitado, existe uma constante M ≥ 0 tal que‖x‖ ≤M para todo x ∈ A. Logo,

|ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ ≤ ‖ϕ‖M,

para todo ϕ ∈ E ′. Portanto, A é fracamente limitado.Reciprocamente, suponha que ϕ(A) seja limitado para todo ϕ ∈ E ′. Daí, para

cada ϕ ∈ E ′, existe M ≥ 0 tal que |ϕ(x)| ≤ M , para todo x ∈ A. Considerando omergulho canônico JE de E no seu bidual E ′′, segue que

|JE(x) (ϕ)| = |ϕ(x)| ≤M,

para todo x ∈ A. Portanto, (JE(x))x∈A é uma família pontualmente limitada no espaçode Banach E ′. Pelo Teorema 1.15, a família é uniformemente limitada, isto é,

supx∈A‖x‖ = sup

x∈A‖JE(x)‖ <∞,

mostrando que A é limitado.

Lema 1.47. Sejam A e B conjuntos não vazios e f : A×B −→ R uma função. Então

supx∈A

supy∈B

f (x, y) = supy∈B

supx∈A

f (x, y) .

Demonstração. Suponha quesupx∈A

supy∈B

f (x, y) =∞.

Daí, para todo c ∈ R, existe x0 ∈ A tal que

supy∈B

f (x0, y) > c,

donde existe y0 ∈ B tal quef (x0, y0) > c.

Portanto,supy∈B

supx∈A

f (x, y) ≥ supx∈A

f (x, y0) ≥ f (x0, y0) > c,

assim, concluímos quesupy∈B

supx∈A

f (x, y) =∞.

24

De forma análoga, sesupy∈B

supx∈A

f (x, y) =∞,

entãosupx∈A

supy∈B

f (x, y) =∞.

Agora, para r, s <∞, se

supx∈A

supy∈B

f (x, y) = r e supy∈B

supx∈A

f (x, y) = s,

temos que

supx∈A

supy∈B

f (x, y) = r ⇒ supy∈B

f (x, y) ≤ r,∀x ∈ A

⇒ f (x, y) ≤ r,∀x ∈ A,∀y ∈ B

⇒ supx∈A

f (x, y) ≤ r,∀y ∈ B

⇒ s = supy∈B

supx∈A

f (x, y) ≤ r.

De maneira análoga, mostra-se que r ≤ s.

Observação 1.48. Se E um espaço vetorial normado, então `w∞(E) = `∞(E) isome-tricamente. De fato, seja (xj)

∞j=1 ∈ `w∞(E), então para qualquer ϕ ∈ E ′, a sequência

(ϕ(xj))∞j=1 ∈ `∞(E) é limitada, ou seja, para todo ϕ ∈ E ′, o conjunto ϕ ({xj; j ∈ N})

é limitado ou, equivalentemente, {xj; j ∈ N} é fracamente limitado, Pelo Lema 1.46,segue que {xj; j ∈ N} é limitado. Logo, (xj)

∞j=1 ∈ `∞(E). Por outro lado, sejam

(xj)∞j=1 ∈ `∞(E) e ϕ ∈ E ′. Então

supj∈N|ϕ(xj)| ≤ sup

j∈N(‖ϕ‖ ‖xj‖) = ‖ϕ‖ sup

j∈N‖xj‖ <∞.

Logo, (ϕ(xj))∞j=1 ∈ `∞(E), isto é, (xj)∞j=1 ∈ `w∞(E).

Agora, definindo∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,∞ := sup

ϕ∈BE′

∥∥∥(ϕ(xj))∞j=1

∥∥∥∞, temos que ‖·‖∞ = ‖‖w,∞.

Com efeito, se (xj)∞j=1 ∈ `∞(E), então∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ = sup

j∈N‖xj‖E = sup

j∈Nsupϕ∈BE′

|ϕ(xj)|

= supϕ∈BE′

supj∈N|ϕ(xj)| = sup

ϕ∈BE′

∥∥∥(ϕ(xj))∞j=1

∥∥∥∞

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,∞ .

Dessa forma, como foi provado que `w∞(E) = `∞(E) com igualdade de normas, segue que(`w∞(E), ‖·‖w,∞

)é um espaço de Banach.

25

Proposição 1.49. Seja E um espaço vetorial normado. Então `p(E) ⊆ `wp (E). Alémdisso, ‖·‖w,p ≤ ‖·‖p.

Demonstração. Se (xj)∞j=1 ∈ `p(E), então

∞∑j=1

‖xj‖p <∞. Dado ϕ ∈ E ′, temos

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p ≤∞∑j=1

‖ϕ‖p ‖xj‖p = ‖ϕ‖p∞∑j=1

‖xj‖p <∞,

ou seja, (xj)∞j=1 ∈ `wp (E). Mais ainda,

∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

≤ supϕ∈BE′

(∞∑j=1

‖ϕ‖p ‖xj‖p) 1

p

= supϕ∈BE′

‖ϕ‖( ∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

supϕ∈BE′

‖ϕ‖

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥p,

para toda (xj)∞j=1 ∈ `p(E).

Proposição 1.50. Seja E um espaço vetorial normado. Então `wp (E) ⊆ `∞(E). Alémdisso, ‖·‖∞ ≤ ‖·‖w,p.

Demonstração. Seja (xj)∞j=1 ∈ `wp (E). Então (ϕ(xj))

∞j=1 ∈ `p(K). Como `p(K) ⊆ `∞(K),

segue que (ϕ(xj))∞j=1 é limitada, logo (xj)

∞j=1 é fracamente limitada. Pelo Lema 1.46,

(xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Mais ainda,

‖xj‖ = supϕ∈BE′

|ϕ(xj)| = supϕ∈BE′

(|ϕ(xj)|p)1p ≤ sup

ϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

,

para toda (xj)∞j=1 ∈ `wp (E).

A igualdade `p(E) = `wp (E) segue sob condições especiais dadas pelo próximoresultado, conhecido como Teorema Fraco de Dvortezky-Rogers.

Teorema 1.51. `p(E) = `wp (E) se, e somente se, E tem dimensão finita.

Demonstração. Veja ([18], Teorema 3.3)

26

1.2.5 Sequências fracamente nulas

Definição 1.52. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências fracamentenulas é definido da seguinte forma:

cw0 (E) :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN; lim

j→∞ϕ(xj) = 0, ∀ϕ ∈ E ′

}Proposição 1.53. Seja E um espaço vetorial normado. Então cw0 (E) é um subespaçofechado de `∞(E), logo (cw0 (E), ‖·‖∞) é espaço de Banach, quando E é espaço de Banach.

Demonstração. Claramente, as sequências identicamente nulas pertencem a cw0 (E), logocw0 (E) é não vazio. Se (xj)

∞j=1 ∈ cw0 (E), então lim

j→∞ϕ(xj) = 0, para todo ϕ ∈ E ′, e daí,

segue que o conjunto {xj; j ∈ N} é fracamente limitado e pelo Lema 1.46 {xj; j ∈ N} élimitado, provando que cw0 (E) ⊆ `∞(E). Da continuidade dos funcionais lineares, segueque cw0 (E) é um subespaço de `∞(E), visto que

limj→∞

ϕ(xj + λyj) = limj→∞

ϕ(xj) + λ limj→∞

ϕ(yj) = 0,

quaisquer que sejam (xj)∞j=1, (yj)

∞j=1 ∈ cw0 (E), λ ∈ K e ϕ ∈ E ′. Agora vejamos que

cw0 (E) é fechado em `∞(E). Sejam (xk)∞k=1 uma sequência em cw0 (E) e y ∈ `∞(E) tais quelimk→∞

xk = y em `∞(E). Denotemos y = (yj)∞j=1 e, para cada k ∈ N, xk =

(xkj)∞j=1

. Dadosϕ ∈ E ′ e ε > 0, devemos provar que existe j0 ∈ N tal que |ϕ(yj)| < ε, para todo j ≥ j0.Com efeito, se ϕ ≡ 0, então ϕ(yj) = 0, para todo j ∈ N. Se ϕ não for identicamente nulo,então, como lim

k→∞xk = y em `∞(E), existe n0 ∈ N tal que

ε

2 ‖ϕ‖>∥∥xk − y∥∥∞ =

∥∥(xkj )∞j=1 − (yj)∞j=1

∥∥∞ =

∥∥(xkj − yj)∞j=1

∥∥∞ ≥

∥∥xkj − yj∥∥ ,para todos k ≥ n0 e j ∈ N. Em particular,

∥∥xn0j − yj

∥∥ < ε

2 ‖ϕ‖,

para todo j ∈ N. Por outro lado, como limj→∞

ϕ(xn0j

)= 0, existe j0 ∈ N tal que

∣∣ϕ (xn0j

)∣∣ < ε

2,

para todo j ≥ j0. Daí, segue que

|ϕ (yj)| =∣∣ϕ (yj − xn0

j + xn0j

)∣∣ = ∣∣ϕ (yj − xn0j

)+ ϕ

(xn0j

)∣∣ ≤ ∣∣ϕ (yj − xn0j

)∣∣+ ∣∣ϕ (xn0j

)∣∣≤ ‖ϕ‖

∥∥yj − xn0j

∥∥+ ∣∣ϕ (xn0j

)∣∣ < ‖ϕ‖ ε

2 ‖ϕ‖+ε

2= ε,

27

para todo j ≥ j0, mostrando que y ∈ cw0 (E).

Proposição 1.54. Seja E um espaço vetorial normado. Então c0(E) ⊆ cw0 (E).

Demonstração. Dada a seguinte desigualdade

|ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ ,

para todos x ∈ E e ϕ ∈ E ′, segue que se (xj)∞j=1 ∈ c0(E), temos

limj→∞|ϕ(xj)| ≤ lim

j→∞‖ϕ‖ ‖xj‖ = 0,

para todo ϕ ∈ E ′. Assimlimj→∞

ϕ(xj) = 0

e portanto (xj)∞j=1 ∈ cw0 (E).

Proposição 1.55. Seja E um espaço vetorial normado. Então `wp (E) ⊆ cw0 (E).

Demonstração. Sejam (xj)∞j=1 ∈ `wp (E) e ϕ ∈ E ′. Da convergência

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p <∞,

segue quelimj→∞|ϕ(xj)|p = 0⇒ lim

j→∞|ϕ(xj)| = 0.

Portanto, (xj)∞j=1 ∈ cw0 (E).

1.2.6 Sequências incondicionalmente p-somáveis

Definição 1.56. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências incondi-cionalmente p-somáveis é definido da seguinte forma:

ùp(E) :={(xj)

∞j=1 ∈ `wp (E); lim

n→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = 0}.

Proposição 1.57. Seja E um espaço vetorial normado. Então ùp(E) é um subespaço

fechado de `wp (E), logo(ùp(E), ‖·‖w,p

)é espaço de Banach, quando E é espaço de Banach.

Demonstração. Sejam (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ ùp(E) e λ ∈ K. Então

limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = limn→∞

∥∥(yj)∞j=n∥∥w,p = 0,

e, pela desigualdade triangular, segue que

0 ≤ limn→∞

∥∥(xj + λyj)∞j=n

∥∥w,p

= limn→∞

∥∥(xj)∞j=n + λ(yj)∞j=n

∥∥w,p

28

≤ limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p + |λ| limn→∞

∥∥(yj)∞j=n∥∥w,p = 0,

ou seja,limn→∞

∥∥(xj + λyj)∞j=n

∥∥w,p

= 0.

Portanto, (xj)∞j=1 + λ(yj)∞j=1 ∈ ùp(E). Vejamos que ùp(E) é fechado em `wp (E). De fato,

sejam (xk)∞k=1 uma sequência em ùp(E) e x ∈ `wp (E) tais que limk→∞

xk = x em `wp (E).

Denotemos x = (xj)∞j=1 e, para cada k ∈ N, xk =

(xkj)∞j=1∈ `wp (E). Logo,

limn→∞

∥∥∥(xkj )∞j=n∥∥∥w,p = 0,

para todo k ∈ N, isto é, dado ε > 0, existe n0(k) ∈ N tal que∥∥∥(xkj )∞j=n∥∥∥w,p < ε

2, (1.7)

para todo n ≥ n0(k). Além disso, como limk→∞

xk = x em `wp (E), existe k0 ∈ N tal que

ε

2>∥∥xk − x∥∥

w,p=∥∥(xkj )∞j=1 − (xj)

∞j=1

∥∥w,p

=∥∥∥(xkj − xj)∞j=1

∥∥∥w,p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

∣∣ϕ (xkj − xj)∣∣p) 1

p

≥ supϕ∈BE′

(∞∑j=n

∣∣ϕ (xkj − xj)∣∣p) 1

p

=∥∥(xkj )∞j=n − (xj)

∞j=n

∥∥w,p

, (1.8)

para todo k ≥ k0 e n ∈ N. Logo, para n0 ≥ n0(k), de (1.7) e (1.8), temos∥∥∥(xj)∞j=n∥∥∥w,p

=∥∥∥(xj)∞j=n − (xk0j )∞j=n + (xk0j )∞j=n∥∥∥w,p

≤∥∥∥(xj)∞j=n − (xk0j )∞j=n∥∥∥w,p + ∥∥∥(xk0j )∞j=n∥∥∥w,p

<ε

2+ε

2= ε.

Isso prova que x ∈ ùp(E) e portanto ùp(E) é fechado em `wp (E).

Proposição 1.58. Seja E um espaço vetorial normado. Então `p(E) ⊆ ùp(E).

Demonstração. Seja (xj)∞j=1 ∈ `p(E). Pela Proposição 1.49, sabemos que (xj)∞j=1 ∈ `wp (E),então é suficiente mostrar que lim

n→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = 0. De fato, seja n ∈ N, novamente pela

Proposição 1.49, sabe-se que∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p ≤ ∥∥(xj)∞j=n∥∥p. Daí, dado que (xj)

∞j=1 ∈ `p(E) e

29

por definição∞∑j=1

‖xj‖p <∞, segue que

limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥p = limn→∞

(∞∑j=n

‖xj‖p) 1

p

= 0.

Assim,limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p ≤ limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥p = 0⇒ limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = 0.

Proposição 1.59. Seja E um espaço vetorial normado. Então ùp(E) ⊆ c0(E).

Demonstração. Seja (xj)∞j=1 ∈ ùp(E). Pelo Corolário 1.19, para cada j ∈ N, podemos

escolher ϕj ∈ BE′ tal que ‖xj‖ = ϕj(xj). Dessa forma,

0 ≤ limn→∞

‖xn‖ = limn→∞

ϕn(xn) ≤ limn→∞

|ϕn(xn)| ≤ limn→∞

(∞∑j=n

|ϕj(xj)|p) 1

p

≤ limn→∞

supϕ∈BE′

(∞∑j=n

|ϕ(xj)|p) 1

p

= limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = 0,

provando que (xj)∞j=1 ∈ c0(E).

Exemplo 1.60. Considere a sequência (ej)∞j=1 dos vetores canônicos em c0(K). No exem-

plo 1.44 foi visto que (ej)∞j=1 ∈ `wp (c0(K)) para qualquer 1 ≤ p < ∞. Notemos que

(ej)∞j=1 /∈ ùp(c0(K)). De fato, para todo ψ ∈ Bc′0(K) e para todo n ∈ N, temos que

∥∥(ej)∞j=n∥∥w,p = supϕ∈Bc′0

(∞∑j=n

|ϕ(ej)|p) 1

p

≥

(∞∑j=n

|ψ(ej)|p) 1

p

≥ |ψ(ej)| .

Pelo Corolário 1.19, para cada en ∈ c0(K), existe ψn ∈ (c0(K))′ tal que ‖ψn‖ = 1 eψ(en) = ‖en‖∞ = 1. Logo,

∥∥(ej)∞j=1

∥∥w,p≥ |ψn(en)| = 1,

para todo n ∈ N e, portanto,limn→∞

∥∥(ej)∞j=n∥∥w,p 6= 0.

30

1.2.7 Sequências Cohen fortemente p-somáveis

Definição 1.61. Seja E um espaço vetorial normado. O espaço das sequências Cohenfortemente p-somáveis é definido da seguinte forma:

`p〈E〉 :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN;∀(ϕj)∞j=1 ∈ `wq (E ′),

∞∑j=1

ϕj(xj) converge, com1

p+

1

q= 1

}.

Proposição 1.62. Seja E um espaço vetorial normado. Então `p〈E〉 é um espaço vetorialcom as operações usuais de sequências.

Demonstração. É imediato que a sequência nula pertence a `p〈E〉. Sejam (xj)∞j=1, (yj)

∞j=1 ∈

`p〈E〉 e λ ∈ K. Então

∞∑j=1

ϕj (xj + λyj) =∞∑j=1

(ϕj(xj) + λϕj(yj)) =∞∑j=1

ϕj(xj) + λ

∞∑j=1

ϕj(yj) <∞,

para toda sequência (ϕj)∞j=1 ∈ `wq (E ′). Portanto, (xj)∞j=1 + λ(yj)

∞j=1 ∈ `p〈E〉.

Proposição 1.63. Seja (xj)∞j=1 ∈ EN. Então a série

∞∑j=1

ϕj(xj) converge para toda sequên-

cia (ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′) se, e somente se, a série∞∑j=1

|ϕj(xj)| converge para toda sequência

(ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′).

Demonstração. A volta é imediata, visto que, em um espaço de Banach, toda série abso-

lutamente convergente é convergente. Agora suponhamos que a série∞∑j=1

ϕj(xj) converge

para toda sequência (ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′). Para cada j ∈ N, considere

ψj =

{ϕj, se ϕj(xj) ≥ 0 e−ϕj, se ϕj(xj) < 0,

para o caso real, e ψj = ϕje−iθj , onde θj é o argumento principal de ϕj(xj), no caso

complexo. Para cada j ∈ N, temos

‖ψj‖ = supx∈BE′

|ψj(x)| =

supx∈BE′

|ϕj(xj)| , se ϕj(xj) ≥ 0

supx∈BE′

|−ϕj(xj)| , se ϕj(xj) < 0

= supx∈BE′

|ϕj(x)| = ‖ϕj‖ ,

31

no caso real, ou

‖ψj‖ = supx∈BE′

|ψj(x)| = supx∈BE′

∣∣ϕj(x)e−iθj ∣∣ = supx∈BE′

|ϕj(x)| = ‖ϕj‖ ,

no caso complexo, concluindo que ψj ∈ E ′. É fácil ver que∥∥∥(ψj)∞j=1

∥∥∥w,q

=∥∥∥(ϕj)∞j=1

∥∥∥w,q.

Por hipótese, a série∞∑j=1

ψj(xj) converge para toda sequência (ψj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′), portanto

∞∑j=1

|ϕj(xj)| =∞∑j=1

ψj(xj)

converge para toda sequência (ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′).


‖·‖C,p :`p〈E〉 −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7→ sup

(ϕj)∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)|

define uma norma em `p〈E〉.

Demonstração. Seja p = 1. Note que, dado que1

p+

1

q= 1, segue que q =∞. Daí, dado

(xj)∞j=1 ∈ `1〈E〉, então

∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,1

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`w∞(E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| = sup(ϕj)

∞j=1∈B`∞(E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| .

Agora, note que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥1

(∗)= sup

ϕ∈B(`1(E))′

∣∣ϕ ((xj)∞j=1

)∣∣ (∗∗)= sup(ϕj)

∞j=1∈B`∞(E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)|

onde (∗) provém do Corolário 1.20, (∗∗) provém da Proposição 1.36. Portanto, se (xj)∞j=1 ∈`p〈E〉, então ∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,1

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥1.

Analisaremos agora o caso 1 < p < ∞. Para cada x = (xj)∞j=1 ∈ `p〈E〉, considere a

32

aplicação

ux :`wq (E

′) −→ `1(K)

(ϕj)∞j=1 7→ (ϕj(xj))

∞j=1 .

Claramente, a aplicação ux é linear e pela Proposição 1.63, segue que ux está bem definida.Provaremos que ux é contínua. De fato, suponha que

limk→∞

(ϕkj)∞j=1

= (ϕj)∞j=1 em `wq (E

′),

limk→∞

ux

((ϕkj)∞j=1

)= (yj)

∞j=1 em `1(K).

(1.9)

Uma vez quelimk→∞

ux

((ϕkj)∞j=1

)= (yj)

∞j=1

em `1(K), para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que se k ≥ n0, então∥∥∥ux ((ϕkj )∞j=1

)− (yj)

∞j=1

∥∥∥1=∥∥∥(ϕkj (xj))∞j=1

− (yj)∞j=1

∥∥∥1< ε,

ou ainda,∞∑j=1

∣∣ϕkj (xj)− yj∣∣ < ε.

Como ∣∣ϕkj (xj)− yj∣∣ ≤ ∞∑j=1

∣∣ϕkj (xj)− yj∣∣ < ε,

para todo j ∈ N, segue quelimk→∞

ϕkj (xj) = yj, ∀j ∈ N. (1.10)

Por outro lado, comolimk→∞

(ϕkj)∞j=1

= (ϕj)∞j=1

em `wq (E′), para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que k ≥ n0 implica em∥∥∥(ϕkj )∞j=1

− (ϕj)∞j=1

∥∥∥w,q

=∥∥∥(ϕkj − ϕj)∞j=1

∥∥∥w,q

< ε.

Assim, para todo x ∈ E e ϕ ∈ E ′, consideremos o operador linear

JE : E −→ E ′′, JE(x)(ϕ) = ϕ(x).

33

Como E e JE(E) são isometricamente isomorfos (veja [7], Proposição 4.3.1), temos

supx∈BE

(∞∑j=1

∣∣(ϕkj − ϕj) (x)∣∣q) 1

q

= supJE(x)∈BJE(E)

(∞∑j=1

∣∣JE(x) (ϕkj − ϕj)∣∣q) 1

q

≤ supψ∈BE′′

(∞∑j=1

∣∣ψ (ϕkj − ϕj)∣∣q) 1

q

≤∥∥∥(ϕkj − ϕj)∞j=1

∥∥∥w,q

< ε,

e, consequentemente, limk→∞

ϕkj (x) = ϕj(x), para todo x ∈ E com ‖x‖ ≤ 1. Como

limk→∞

ϕkj

(xj‖xj‖

)= ϕj

(xj‖xj‖

),

então ∣∣∣∣ϕkj ( xj‖xj‖

)− ϕj

(xj‖xj‖

)∣∣∣∣ = 1

‖xj‖∣∣ϕkj (xj)− ϕj(xj)∣∣ < ε ‖xj‖ ,

e assim, para todo j ∈ N,limk→∞

ϕkj (xj) = ϕj(xj). (1.11)

Por (1.10), (1.11) e pela unicidade do limite, temos que yj = ϕj(xj), para todo j ∈ N, oque mostra que

(yj)∞j=1 = ux

((ϕj)

∞j=1

)= (ϕj(xj))

∞j=1 .

Portanto, pelo Teorema do Gráfico Fechado (Teorema 1.16), segue que ux é contínua e

∞ > ‖ux‖ = sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∥∥∥ux ((ϕj)∞j=1

)∥∥∥1= sup

(ϕj)∞j=1∈B`wq (E′)

∥∥∥(ϕj(xj))∞j=1

∥∥∥1

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

(∞∑j=1

|ϕj(xj)|

)=∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

.

Logo, ‖.‖C,p está bem definida.Finalmente, provaremos os axiomas de norma.

(i) Por definição, temos que ‖·‖C,p ≥ 0. Se xj = 0, para todo j ∈ N, implica que∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

= 0. Por outro lado, se∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

= 0, então

sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| = 0.

Isso implica que ϕj(xj) = 0, para todo j ∈ N e para todo (ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′). Como(0, . . . , 0, ϕ, 0, . . . ) ∈ `wq (E

′) para todo ϕ ∈ E ′, segue que ϕ(xj) = 0 para todoϕ ∈ E ′, donde concluímos que xj = 0, para todo j ∈ N.

34

(ii) Dados (xj)∞j=1 ∈ `p〈E〉 e λ ∈ K, temos

∥∥λ(xj)∞j=1

∥∥C,p

=∥∥(λxj)∞j=1

∥∥C,p

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(λxj)|

= |λ| sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| = |λ|∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

.

(iii) Sejam (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ `p〈E〉. Como ‖.‖1 é norma em `1 (K), então

∞∑j=1

|ϕj(xj + yj)| =∥∥∥(ϕj(xj + yj))

∞j=1

∥∥∥1=∥∥∥(ϕj(xj) + ϕj(yj))

∞j=1

∥∥∥1

=∥∥∥(ϕj(xj))∞j=1 + (ϕj(yj))

∞j=1

∥∥∥1≤∥∥∥(ϕj(xj))∞j=1

∥∥∥1+∥∥∥(ϕj(yj))∞j=1

∥∥∥1

=∞∑j=1

|ϕj(xj)|+∞∑j=1

|ϕj(yj)| ,

para todo (ϕj)∞j=1 ∈ `wq (E ′). Daí,

∥∥(xj)∞j=1 + (yj)∞j=1

∥∥C,p

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj + yj)|

≤ sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)|+ sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(yj)|

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

+∥∥(yj)∞j=1

∥∥C,p

.


Proposição 1.65. Para todo espaço de Banach E,(`p〈E〉, ‖·‖C,p


Demonstração. Seja (xk)∞k=1 uma sequência de Cauchy em `p〈E〉. Para cada k ∈ N,denotemos por xk = (xkj )

∞j=1 ∈ `p〈E〉. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

∥∥xk − xr∥∥C,p

< ε,

sempre que k, r ≥ n0. Observe ainda que, para todo xj ∈ E, temos que

‖xj‖E = supϕ∈BE′

|ϕ(xj)| ≤ sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| =∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

,

onde a desigualdade segue do fato de (0, . . . , 0, ϕ, 0, . . . ) ∈ `wq (E ′), para todo ϕ ∈ E ′. Daí,segue que ∥∥xkj − xrj∥∥E ≤ ∥∥(xkj )∞j=1 − (xrj)

∞j=1

∥∥C,p

< ε,∀j ∈ N.

35

sempre que k, r ≥ n0. Logo, para cada j ∈ N, a sequência (xkj )∞k=1 é de Cauchy em E, e

portanto podemos tomar yj = limk→∞

xkj ∈ E. Assim, formamos uma sequência y = (yj)∞j=1

de elementos de E. Devemos provar que y ∈ `p〈E〉 e que limk→∞

xk = y em `p〈E〉. Com

efeito, para cada m ∈ N e (ϕj)∞j=1 ∈ `

wq (E

′), temos

m∑j=1

∣∣ϕj(xkj )− ϕj(xrj)∣∣ < ε,

sempre que k, r ≥ n0. Fazendo r →∞ no somatório acima, obtemos

m∑j=1

∣∣ϕj(xkj )− ϕj(yj)∣∣ ≤ ε,

sempre que k ≥ n0 e para todo m ∈ N. Fazendo m→∞, segue que

∞∑j=1

∣∣ϕj(xkj )− ϕj(yj)∣∣ ≤ ε, (1.12)

sempre que k ≥ n0. Concluímos que, para todo k ≥ n0, a sequência(xk − y

)∈ `p〈E〉.

Em particular, para k = n0, (xn0 − y) ∈ `p〈E〉. Mais ainda, de (1.12), concluímos que

∥∥xk − y∥∥C,p

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

∣∣ϕj(xkj − yj)∣∣ = sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

∣∣ϕj(xkj )− ϕj(yj)∣∣ ≤ ε,

sempre que k ≥ n0, provando que limk→∞

xk = y em `p〈E〉.

Observação 1.66. A relação em que o dual de `p(K) coincide isometricamente com `q(K)

garante que o operador

T : `q(E′) −→ `p(E)

′, T((ϕj)

∞j=1

)((xj)

∞j=1

)=∞∑j=1

ϕj(xj) (1.13)

é um isomorfismo isométrico (veja [7], Proposição 4.2.1).

Proposição 1.67. Seja E um espaço vetorial normado. Se 1 ≤ p ≤ ∞, então c00(E) ⊆`p〈E〉 ⊆ `p(E).

Demonstração. A primeira continência é óbvia. Para a segunda, note que, dado (xj)∞j=1 ∈

`p〈E〉, temos que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥p= sup

ψ∈B(`p(E))′

∣∣ψ ((xj)∞j=1

)∣∣ (1.13)= sup(ϕj)

∞j=1∈B`q(E′)

∣∣∣∣∣∞∑j=1

ϕj(xj)

∣∣∣∣∣≤ sup

(ϕj)∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)| =∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

.

36

Proposição 1.68. Seja E um espaço vetorial normado. Então `1〈E〉 = `1(E).

Demonstração. Seja (xj)∞j=1 ∈ `1(E). Como p = 1, então q = ∞. Dada (ϕj)

∞j=1 ∈

`w∞(E′) = `∞(E

′) (Observação 1.48), existe uma constante M ≥ 0 tal que ‖ϕj‖ ≤ M ,para todo j ∈ N, e sendo assim

∞∑j=1

|ϕj(xj)| ≤∞∑j=1

‖ϕj‖ ‖xj‖ ≤M

∞∑j=1

‖xj‖ <∞.

1.2.8 Sequências quase incondicionalmente somáveis

As funções de Rademacher são definidas como

rj : [0,1] −→ R

t 7→ sign[sin(2jπt

)],

com j ∈ N.Essas funções formam uma sequência de variáveis aleatórias independentes (para

detalhes sobre variáveis aleatórias e teoria da medida, olhe [3]). O fato mais importantedas funções de Rademacher é que elas têm a propriedade de ortogonalidade: Se 0 < n1 <

· · · < nk e p1, . . . , pk ≥ 0 são inteiros, então

∫ 1

0

rp1n1(t) · · · rpknk

(t)dt =

{1, se cada pj é par,0, caso contrário.

Uma consequência imediata é que as rj formam uma sequência ortogonal em L2, e assim,

∫ 1

0

∣∣∣∣∣∞∑j=1

ajrj(t)

∣∣∣∣∣2

dt =∞∑j=1

|aj|2 , (1.14)

para todo a = (aj)∞j=1 ∈ `2(K) (Ver [10], página 10).

Um dos principais resultados sobre as funções de Radamacher é o seguinte:

Teorema 1.69 (Desigualdade de Khinchin). Para todo 0 < p < ∞, existem constantesAp e Bp tais que, para toda sequência (aj)

∞j=1 em `2(K), temos

Ap

(∞∑j=1

|aj|2) 1

2

≤

(∫ 1

0

∣∣∣∣∣∞∑j=1

ajrj(t)

∣∣∣∣∣p) 1

p

≤ Bp

(∞∑j=1

|aj|2) 1

2

.

37


Agora, já temos ferramentas suficientes para introduzir o espaço das sequênciasquase incondicionalmente somáveis.

O espaço vetorial formado pelas sequências (xj)∞j=1 tais que

n∑j=1

rj(·)xj converge

em Lp ([0, 1], F ), 0 < p <∞ é denotado por Radp(F ). O limite é denotado por∞∑j=1

rj(.)xj

onde as funções rj(t) são as funções de Rademacher.O próximo teorema vai justificar a validade do uso da igualdade (1.14) ao longo

de algumas demonstrações a seguir.

Teorema 1.70. (i) Para 0 < p <∞, Radp é isomorfo a `2.

(ii) Rad∞ é isomorfo a `1, isometricamente no caso real.

(iii) Para 1 < p <∞, Radp é completado em Lp[0, 1].


Enunciaremos agora um lema que será bem útil para posteriores demonstrações.

Lema 1.71. Se (xj)∞j=1 ∈ Radp(F ), então

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt = limn→∞

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt

Demonstração. Como (xj)∞j=1 ∈ Rad(F ), então

n∑j=1

rj(·)xj converge para∞∑j=1

rj(·)xj em

Lp ([0, 1], F ). Isto implica que

limn→∞

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(·)xj

∥∥∥∥∥p

=

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(·)xj

∥∥∥∥∥p

,

concluindo o resultado.

Teorema 1.72 (Desigualdade de Kahane I). Se 0 < p, q <∞, então existe uma constanteKp,q > 0 tal que

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∑k≤n

rk(t)xk

∥∥∥∥∥q

dt

) 1q

≤ Kp,q

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∑k≤n

rk(t)xk

∥∥∥∥∥p

dt

) 1p

, (1.15)

para todo espaço de Banach E e qualquer quantidade finita de vetores x1, . . . , xn ∈ E.


38

Agora temos a seguinte variação do Teorema 1.72:

Teorema 1.73 (Desigualdade de Kahane II). Sejam 0 < p, q < ∞ e suponha que asequência (xj)

∞j=1 ∈ Radp(E). Então (xj)

∞j=1 ∈ Radq(E). Além disso, existe uma cons-

tante Kp,q onde a desigualdade abaixo é verdadeira:

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥q

dt

) 1q

≤ Kp,q

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt

) 1p

.

Demonstração. Mostremos inicialmente que Sn =n∑j=1

rj(t)xj converge em Lq([0, 1], E).

De fato, note que

‖Sm − Sn‖Lq=

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥m∑

j=n+1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥q

dt

) 1q

(1.15)

≤ Kp,q

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥m∑

j=n+1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt

) 1p

= Kp,q ‖Sm − Sn‖Lp

Como (Sn)∞n=1 é de Cauchy em Lp([0, 1], E), segue que (Sn)∞n=1 é de Cauchy em Lq([0, 1], E).Portanto, (Sn)∞n=1 converge em Lq([0, 1], E).

Passando o limite e utilizando o Lema 1.71, vem que

limn→∞

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥q

dt

) 1q

≤ Kp,q limn→∞

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt

) 1p

,

⇒

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥q

dt

) 1q

≤ Kp,q

(∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥p

dt

) 1p

.

Com esse resultado, temos a garantia que, se uma sequência (xj)∞j=1 ∈ Radp(E)

para um dado 0 < p < ∞, então (xj)∞j=1 ∈ Radq(E) para todo 0 < q < ∞. Moti-

vado por tal resultado, podemos definir o espaço de sequências que estudaremos algumasimportantes propriedades em capítulos posteriores.

Definição 1.74. O espaço vetorial formado pelas sequências (xj)∞j=1 tais que a soma

n∑j=1

rj(·)xj é convergente em E para quase todo t ∈ [0, 1], isto é, a soma converge em

Lp([0, 1], E) para algum, e portanto, todo 0 < p <∞ ([10], Teorema 12.3) será denotadopor Rad(E).

39


‖·‖Rad(E) :Rad(E) −→ [0,∞)

(xj)∞j=1 7→

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

define uma norma em Rad(E).

Demonstração. Seja (xj)∞j=1 ∈ Rad(E), então tem-sen∑j=1

rj(t)xj convergente em L2 ([0, 1];E),

onde E é um espaço vetorial normado. Daí, segue que

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

é finito

em quase todo t ∈ [0, 1], logo a norma está bem definida. Agora, mostremos os axiomasde norma.

(i) Seja (xj)∞j=1 ∈ Rad(E). Como ‖xj‖E ≥ 0, para todo j ∈ N, temos

∥∥(xj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt(1.14)=

∞∑j=1

‖xj‖2 ≥ 0,

⇒∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

≥ 0.

Mais ainda, se xj = 0, para todo j ∈ N, segue que∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

= 0. Reciproca-mente, se

∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

= 0, então

0 =∥∥(xj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt(1.14)=

∞∑j=1

‖xj‖2 ,

⇒ xj = 0,∀j ∈ N.

(ii) Sejam (xj)∞j=1 ∈ Rad(E) e λ ∈ K, temos que

∥∥λ(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

=∥∥(λxj)∞j=1

∥∥Rad(E)

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)λxj

∥∥∥∥∥2

dt

12

=

∫ 1

0

|λ|2∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

= |λ|

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

= |λ|∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

.

40

(iii) Sejam (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ Rad(E), temos que

∥∥(xj)∞j=1 + (yj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

=∥∥(xj + yj)

∞j=1

∥∥2Rad(E)

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)(xj + yj)

∥∥∥∥∥2

dt

(1.14)=

∞∑j=1

‖xj + yj‖2 ≤∞∑j=1

(‖xj‖2 + ‖yj‖2

)=∞∑j=1

‖xj‖2 +∞∑j=1

‖yj‖2

(1.14)=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt+

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)yj

∥∥∥∥∥2

dt

=∥∥(xj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

+∥∥(yj)∞j=1

∥∥2Rad(E)


Agora, provemos um lema que será necessário para demonstração do próximoresultado.

Lema 1.76. Seja E um espaço vetorial normado. Se (xj)∞j=1 ∈ Rad(E), então

‖xj‖E ≤∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

,

para todo j ∈ N.

Demonstração. Se (xj)∞j=1 ∈ Rad(E), então

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt <∞.

Pelo Lema 1.71,

limn→∞

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt =

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt.

Mas o Lema de Contração ([10], 12.2) garante que essa convergência é crescente. Destaforma, para cada n, temos que

‖xn‖ =(∫ 1

0

‖rn(t)xn‖2 dt) 1

2

≤

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

41

≤

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

,

e o resultado está provado.

Proposição 1.77. Para todo espaço de Banach E,(Rad(E), ‖·‖Rad(E)

)é espaço de Ba-

nach.

Demonstração. Seja (xm)∞m=1 uma sequência de Cauchy em Rad(E). Para cada m ∈ N,xm é uma sequência de vetores em E, denotemos por xm = (xmj )

∞j=1 ∈ Rad(E). Vejamos

que, para cada j ∈ N, a sequência (xmj )∞m=1 é de Cauchy em E e, portanto, convergente.

Com efeito, como (xm)∞m=1 é uma sequência de Cauchy em Rad(E), dado ε > 0, existen0 = n0(ε) ∈ N tal que

‖xm − xr‖Rad(E) =∥∥(xmj )∞j=1 − (xrj)

∞j=1

∥∥Rad(E)

< ε,

sempre que m, r ≥ n0. Para cada j ∈ N fixo, segue do Lema 1.76 que

∥∥xmj − xrj∥∥E ≤ ∥∥(xmj )∞j=1 − (xrj)∞j=1

∥∥Rad(E)

< ε,

sempre que m, r ≥ n0. Consequentemente, (xmj )∞m=1 é de Cauchy em E. Assim, podemosdefinir a sequência y = (yj)

∞j=1 de elementos de E por yj = lim

m→∞xmj . Devemos provar que

y ∈ Rad(E) e que limm→∞

xm = y. De fato, seja Sn =n∑j=1

rj(t)(xmj − yj), para n > k temos

que

‖Sn − Sk‖L2=

∥∥∥∥∥n∑

j=k+1

rj(t)(xmj − yj)

∥∥∥∥∥L2

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑

j=k+1

rj(t)(xmj − yj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤

∫ 1

0

(n∑

j=k+1

∥∥xmj − yj∥∥)2

dt

12

=n∑

j=k+1

∥∥xmj − yj∥∥ .Como yj = lim

m→∞xmj ∈ E, então, para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que

∥∥xmj − yj∥∥ < ε,sempre que m > N . Como a desigualdade é válida para qualquer ε > 0, em particular, éválida para

ε

2j. Logo, quando m > N , segue que

‖Sn − Sk‖L2≤

n∑j=k+1

∥∥xmj − yj∥∥ < n∑j=k+1

ε

2j

42

Agora, quando n, k →∞, segue que

‖Sn − Sk‖L2< ε,

ou seja,k∑j=1

rj(t)(xmj − yj) é de Cauchy em L2([0, 1];E), logo convergente, concluindo que(

xmj − yj)∞j=1

=(xmj)∞j=1− (yj)

∞j=1 ∈ Rad(E). Portanto, y = xm − (xm − y) ∈ Rad(E),

pois Rad(E) é espaço vetorial sobre K. Mais ainda, concluímos que limm→∞

xm = y.

Neste caso, em virtude da desigualdade de Kahane, a convergência em L2([0, 1], E)

pode ser trocado por Lp([0, 1], E), onde 1 ≤ p < ∞. Os elementos em Rad(E) sãochamados de sequências quase incondicionalmente somáveis.

Observação 1.78. A partir do Rad(E), podemos definir outro espaço de sequências,dado por

RAD(E) :=

{(xj)

∞j=1 ∈ EN;

∥∥(xj)∞j=1

∥∥RAD(E)

:= supk∈N

∥∥(xj)kj=1

∥∥Rad(E)

<∞}.

Antes de provarmos o próximo resultado, consideremos o seguinte Lema:

Lema 1.79. Seja E um espaço vetorial normado. Se (xj)∞j=1 ∈ RAD(E), então

‖xn‖E ≤∥∥(xj)∞j=1

∥∥RAD(E)

,

para todo n ∈ N.

Demonstração. Basta fazer uma modificação da prova do Lema 1.76 e obtemos o desejado.

Proposição 1.80. Para todo espaço de Banach E,(RAD(E), ‖·‖RAD(E)

)é espaço de

Banach.

Demonstração. Seja (xm)∞m=1 uma sequência de Cauchy em RAD(E). Para cada m ∈ N,xk é uma sequência de vetores em E, denotemos por xm = (xmj )

∞j=1 ∈ RAD(E). Vejamos

que, para cada j ∈ N, a sequência (xmj )∞m=1 é de Cauchy em E e, portanto, convergente.

Com efeito, como (xm)∞m=1 é uma sequência de Cauchy em RAD(E), dado ε > 0, existen0 = n0(ε) ∈ N tal que

‖xm − xr‖RAD(E) =∥∥(xmj )∞j=1 − (xrj)

∞j=1

∥∥RAD(E)

< ε,

sempre que m, r ≥ n0. Pelo Lema 1.79,

∥∥xmj − xrj∥∥E ≤ ∥∥(xmj )∞j=1 − (xrj)∞j=1

∥∥RAD(E)

43

para todo j ∈ N, tem-se ∥∥xmj − xrj∥∥E < ε,

sempre que m, r ≥ n0 e para todo j ∈ N. Logo, para cada j ∈ N, a sequência (xmj )∞m=1 é

de Cauchy em E. Assim, podemos definir a sequência y = (yj)∞j=1 de elementos de E por

yj = limm→∞

xmj . Devemos provar que y ∈ RAD(E) e que limm→∞

xm = y. De fato, temos que

supk∈N

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)(xmj − yj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤ supk∈N

∫ 1

0

(k∑j=1

∥∥xmj − yj∥∥)2

dt

12

= supk∈N

k∑j=1

∥∥xmj − yj∥∥ .Como yj = lim

m→∞xmj ∈ E, então, para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que

∥∥xmj − yj∥∥ < ε,sempre que m > N . Como a desigualdade é válida para qualquer ε > 0, em particular, éválida para

ε

2j. Logo, quando m > N , segue que

supk∈N

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)(xmj − yj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤ supk∈N

k∑j=1

∥∥xmj − yj∥∥ < supk∈N

k∑j=1

ε

2j

= limk→∞

k∑j=1

ε

2j< ε,

ou seja,(xmj − yj

)∞j=1

=(xmj)∞j=1− (yj)

∞j=1 ∈ RAD(E). Portanto, y = xm − (xm − y) ∈

RAD(E), pois RAD(E) é espaço vetorial sobre K. Mais ainda, concluímos que limm→∞

xm =

y.

Observação 1.81. Um resultado muito útil e bem interessante sobre os espaços Rad(·)e RAD(·) é que Rad(E) é um subespaço vetorial fechado de RAD(E), para todo espaçode Banach E.

De fato, seja (xj)∞j=1 ∈ Rad(E), temos que a Sn =

n∑j=1

rj(t)xj converge em

L2 ([0, 1], E). Logo, yn =

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

também converge em K, em quase

todo t ∈ [0, 1]. Sendo assim, a sequência (yn)∞n=1 é limitada, isto é, existe uma constante

M > 0 tal que ‖yn‖ ≤M , implicando que

supk∈N

yk = supk∈N

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤M.

44

Portanto, (xj)∞j=1 ∈ RAD(E), provando assim que Rad(·) ⊆ RAD(·).Como Rad(E) é um espaço de Banach (Proposição 1.77), segue que o espaço é

fechado. Portanto, concluímos que Rad(E) é subespaço vetorial fechado de RAD(E).Agora, tome (xj)

∞j=1 ∈ Rad(E), vem que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt(∗)= lim

k→∞

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

(1.14)= lim

k→∞

k∑j=1

‖xj‖2(∗∗)= sup

k∈N

k∑j=1

‖xj‖2

= supk∈N

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt =∥∥(xj)∞j=1

∥∥2RAD(E)

,

onde (∗) vem do Lema 1.71, (∗∗) segue do fato dek∑j=1

‖xj‖2 ser uma sequência monótona

crescente, logo o limite coincide com o supremo.

Capítulo 2

Classes de sequências vetoriais

O objetivo desse capítulo é montar um mecanismo abstrato que permita consi-derar, de forma unificada, todos os espaços de sequências vetoriais estudados na subseção1.3 e tantos outros espaços que não foram mencionados nesse trabalho.

Definição 2.1. Uma classe de sequências vetoriais X, ou simplesmente, classe de sequên-ciasX, é uma regra que atribui a cada E ∈ BAN um espaço de BanachX(E) de sequênciasem E, onde X(E) é subespaço vetorial de EN com operações coordenadas, tais que:

c00(E) ⊆ X(E)1↪→ `∞(E) e ‖ej‖X(K) = 1, ∀j ∈ N,

com ej = (0, . . . , 0, 1, 0, 0 . . . ), onde 1 está localizada na j-ésima coordenada.Dados os espaços de Banach E e F , o símbolo E

1↪→ F significa que E é subespaço

vetorial de F e ‖x‖F ≤ ‖x‖E, para todo x ∈ E.

Exemplo 2.2. Sejam 1 ≤ p <∞, temos que a correspondência E 7→ X(E) é uma classede sequências, onde X(E) é qualquer um dos seguintes espaços: `∞(E), c0(E), cw0 (E),`p(E), `wp (E), ùp(E), `p〈E〉, Rad(E), RAD(E).

A verificação de que os espaços de sequências citados acima são de fato, classesde sequências é bem simples. Mostraremos apenas para os casos do `p(E) e do Rad(E).É imediato que c00(E) ⊆ `p(E) e c00(E) ⊆ Rad(E). Dado que `p(E) é espaço vetoriale pela Proposição 1.34, segue que `p(E) é subespaço vetorial de `∞(E) e

∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ ≤∥∥(xj)∞j=1

∥∥p, para toda sequência (xj)

∞j=1 ∈ `p(E). Além disso, dado ek = (δjk)

∞j=1, onde

δjk é o delta de kronecker, temos que

‖ek‖p =

(∞∑j=1

|δjk|p) 1

p

= 1.

45

46

Agora, seja (xj)∞j=1 ∈ Rad(E). Pela Observação 1.81, temos

∞ >∥∥(xj)∞j=1

∥∥2Rad(E)

= supk∈N

k∑j=1

‖xj‖2 ≥ supk∈N‖xk‖2 =

∥∥(xj)∞j=1

∥∥2∞ ,

onde obtemos que (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Logo, dado que Rad(E) é espaço vetorial, se-

gue que Rad(E) é subespaço vetorial de `∞(E) e também obtemos que∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ ≤∥∥(xj)∞j=1

∥∥Rad(E)

, para toda sequência (xj)∞j=1 ∈ Rad(E). Mais ainda,

‖ek‖Rad(K) =

∫ 1

0

∣∣∣∣∣∞∑j=1

rj(t)δjk

∣∣∣∣∣2 1

2

=

(∫ 1

0

|rk(t)|2) 1

2

= 1.

2.1 Classes de sequências finitamente determinadas

Abordaremos nessa seção uma importante propriedade que classes de sequênciaspodem gozar.

Definição 2.3. Uma classe de sequências X é finitamente determinada se para todasequência (xj)

∞j=1 ∈ EN, (xj)∞j=1 ∈ X(E) se, e somente se, sup

k∈N‖(xj)kj=1‖X(E) <∞, e, nesse

caso,‖(xj)∞j=1‖X(E) = sup

k∈N‖(xj)kj=1‖X(E).

Das classes de sequências citadas no Exemplo 2.2, provaremos agora quais são ounão finitamente determinadas.

Proposição 2.4. As seguintes classes de sequências são finitamente determinadas.

(i) `∞(·);

(ii) `p(·);

(iii) `wp (·);

(iv) `p〈·〉;

(v) RAD(·).

Demonstração. Seja E um espaço de Banach.

(i) Se (xj)∞j=1 ∈ `∞(E), então sup

j∈N‖xj‖ <∞ e, para todo k ∈ N, temos que

‖(xj)kj=1‖∞ = sup1≤j≤k

‖xj‖ ≤ supj∈N‖xj‖ = ‖(xj)∞j=1‖∞ <∞.

47

Assim,supk∈N‖(xj)kj=1‖∞ ≤ ‖(xj)∞j=1‖∞ <∞.

Reciprocamente, note que para todo j ∈ N, tem-se

‖xj‖ ≤ supk∈N

sup1≤j≤k

‖xj‖ = supk∈N‖(xj)kj=1‖∞.

Sendo supk∈N‖(xj)kj=1‖∞ <∞, temos que (‖xj‖)∞j=1 é limitada em K, ou seja, (xj)∞j=1 ∈

`∞(E). Mais ainda,

‖(xj)∞j=1‖∞ = supj∈N‖xj‖ ≤ sup

k∈Nsup

1≤j≤k‖xj‖ = sup

k∈N‖(xj)kj=1‖∞,

e portanto,‖(xj)∞j=1‖∞ = sup

k‖(xj)kj=1‖∞.

(ii) Dado (xj)∞j=1 ∈ EN, então

supk∈N‖(xj)kj=1‖p = sup

k∈N

(k∑j=1

‖xj‖p) 1

p

= limk→∞

(k∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=

(limk→∞

k∑j=1

‖xj‖p) 1

p

=

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

= ‖(xj)∞j=1‖p.

(iii) Se (xj)∞j=1 ∈ EN, pelo Lema 1.47, fazendo uma troca de supremos, obtemos que

supk∈N‖(xj)kj=1‖w,p = sup

k∈Nsupϕ∈BE′

(k∑j=1

| ϕ(xj) |p) 1

p

= supϕ∈BE′

supk∈N

(k∑j=1

| ϕ(xj) |p) 1

p

= supϕ∈BE′

limk→∞

(k∑j=1

| ϕ(xj) |p) 1

p

= supϕ∈BE′

(limk→∞

k∑j=1

| ϕ(xj) |p) 1

p

= supϕ∈BE′

(∞∑j=1

| ϕ(xj) |p) 1

p

= ‖(xj)∞j=1‖w,p.

(iv) Seja (xj)∞j=1 ∈ EN, pelo Lema 1.47, fazendo uma troca de supremos, temos que

supk∈N‖(xj)kj=1‖C,p = sup

k∈Nsup

(ϕj)∞j=1∈B`wq

(E′)

(k∑j=1

| ϕj(xj) |

)

48

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq

(E′)

supk∈N

(k∑j=1

| ϕj(xj) |

)

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq

(E′)

(supk∈N

k∑j=1

| ϕj(xj) |

)

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq

(E′)

(∞∑j=1

| ϕj(xj) |

)= ‖(xj)∞j=1‖C,p.

(v) Note que a definição do RAD(E) já garante o desejado.

Proposição 2.5. As seguintes classes de sequências não são finitamente determinadas.

(i) c0(·);

(ii) cw0 (·);

(iii) ùp(·);

(iv) Rad(·).

Demonstração. Seja E um espaço de Banach.

(i) Dado y ∈ E tal que ‖y‖ 6= 0 e a sequência (xj)∞j=1 ∈ EN definida por xj = y, ∀j ∈ N.

Assim,supk∈N‖(xj)kj=1‖∞ = sup

k∈N‖y‖E = ‖y‖E <∞,

porém (xj)∞j=1 /∈ c0(E).

(ii) Considere E = K e (xj)∞j=1 = (1, 1, . . . , 1, . . . ). Daí, temos que

supk∈N‖(xj)kj=1‖∞ = 1,

mas (xj)∞j=1 não converge fracamente para 0, pois existe um funcional linear contínuoϕ tal que ϕ(1) = 1, portanto

ϕ(xj) = ϕ(1) = 1 9 0.

(iii) Combinando o que foi visto nos Exemplos 1.44 e 1.60, sabemos que (ej)∞j=1 ∈ `wp (c0) e(ej)

∞j=1 /∈ ùp(c0). Como na Proposição 2.4 (iii) foi provado que a classe de sequências

`wp (.) é finitamente determinada, temos que

supk∈N

∥∥(ej)kj=1

∥∥ùp (c0)

= supk∈N

∥∥(ej)kj=1

∥∥w,p

=∥∥(ej)∞j=1

∥∥w,p

<∞,

49

mas (ej)∞j=1 /∈ ùp(c0).

(iv) Seja u ∈ L(K;K). Definamos o operador u : `2(K) −→ c0(K) dado por u((αj)

∞j=1

)=

(u(αj))∞j=1 = ((αj)

2)∞j=1. Temos que u está bem definido, visto que, como (αj)

∞j=1 ∈

`2(K), temos∞∑j=1

|αj|2 <∞ e assim limj→∞|αj|2 = 0, ou seja, ((αj)2)

∞j=1 ∈ c0(K). Daí,

dados x1, . . . , xk ∈ `2(K), para cada j ∈ {1, . . . , k}, denotemos xj =(ξij)∞i=1

. Seja(ei)

∞i=1 a base canônica de Schauder de `2(K). Note que

∥∥∥(u(xj))kj=1

∥∥∥Rad(c0(K))

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2

∞

dt

12

=

∫ 1

0

[supi∈N

∣∣∣∣∣k∑j=1

rj(t)(ξij)2∣∣∣∣∣]2dt

12

≤

∫ 1

0

[supi∈N

k∑j=1

|rj(t)|∣∣ξij∣∣2

]2dt

12

=

∫ 1

0

[supi∈N

k∑j=1

∣∣ξij∣∣2]2dt

12

= supi∈N

k∑j=1

∣∣ξij∣∣2= sup

i∈N

k∑j=1

|ei(xj)|2

≤ supϕ∈B`2(K)

k∑j=1

|ϕ(xj)|2

=∥∥∥(xj)kj=1

∥∥∥2`w2 (`2(K))

. (2.1)

Agora, observe que (ej)∞j=1 ∈ `w2 (`2(K)). Com efeito, temos que ej ∈ `2(K), para

todo j ∈ N. Daí, dado ϕ ∈ (`2(K))′, tome b = (bj)∞j=1 ∈ `2(K) tal que ϕ = J(b),

onde J é o isomorfismo isométrico em [?, 7], Proposição 4.2.1. Assim,

∞∑j=1

|ϕ(ej)|2 =∞∑j=1

|J(b)(ej)|2 =∞∑j=1

|bj|2 <∞,

provando que (ej)∞j=1 ∈ `w2 (`2(K)). Porém (u(ej))

∞j=1 = (ej)

∞j=1 /∈ Rad(c0(K)).

De fato, suponha por absurdo que (ej)∞j=1 ∈ Rad(c0(K)), então Sn =

n∑j=1

rj(t)ej

converge em L2([0, 1]; c0(K)), logo (Sn)∞n=1 é de Cauchy, que é uma contradição,

50

pois

‖Sn − Sm‖L2=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑

j=m+1

rj(t)ej

∥∥∥∥∥2

∞

dt

12

= 1.

Portanto, (u(ej))∞j=1 = (ej)∞j=1 /∈ Rad(c0(K)).

Agora, por (2.1), tem-se∥∥∥(u(ej))kj=1

∥∥∥Rad(c0(K))

=∥∥∥(ej)kj=1

∥∥∥Rad(c0(K))

≤∥∥∥(ej)kj=1

∥∥∥2`w2 (`2(K))

.

Como `w2 (K) é finitamente determinado (Proposição 2.4 (iii)), segue que

supk∈N

∥∥∥(ej)kj=1

∥∥∥Rad(c0(K))

≤ supk∈N

∥∥∥(ej)kj=1

∥∥∥2`w2 (`2(K))

=∥∥∥(ej)∞j=1

∥∥∥2`w2 (`2(K))

<∞,

isto é, supk∈N

∥∥∥(ej)kj=1

∥∥∥Rad(c0(K))

<∞, mas (ej)∞j=1 /∈ Rad(c0(K)).

O seguinte resultado descreve como as transformações de sequências vetoriaispara operadores lineares e multilineares trabalham. No que se segue, para o caso linearbasta tomar n = 1.

Proposição 2.6. Sejam n ∈ N e X1, . . . , Xn, Y classes de sequências. As seguintescondições são equivalentes para o operador multilinear A ∈ L(E1, . . . , En;F ) dado:

(i)(A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1∈ Y (F ) sempre que (xmj )

∞j=1 ∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n;

(ii) A aplicação induzida A : X1(E1)× · · · ×Xn(En) −→ Y (F ) dada por

A((x1j)

∞j=1, . . . , (x

nj )∞j=1

)=(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

,

é um operador bem definido, n-linear e contínuo.

As condições acima implicam na condição (iii) seguinte e elas são todas equivalentes seas classes de sequências X1, . . . , Xn e Y são finitamente determinadas.

(iii) Existe uma constante C > 0 tal que

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))kj=1‖Y (F ) ≤ C

n∏m=1

‖(xmj )kj=1‖Xm(Em), (2.2)

para todo k ∈ N e todas as sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n.Nesse caso,

‖A‖ = inf {C; (2.2) é satisfeita} . (2.3)

51

Demonstração. (ii)⇒ (i) Imediato.(i) ⇒ (ii) Segue da hipótese que a aplicação A está bem definida e é n-linear.

Mostraremos que o operador A é contínuo apenas para o caso n = 2, pois o caso geral, aprova é análoga.

Sejam (xj)∞j=1 em X1(E1), (yj)∞j=1 em X2(E2) sequências tais que (xj, yj)→ (x, y)

em X1(E1) ×X2(E2) e A(xj, yj) → z em Y (F ). Então xj → x em X1(E1) e yj → y emX2(E2). Façamos

xj = (ξj,m)∞m=1 , yj = (ηj,m)

∞m=1 , x = (ξm)

∞m=1 , y = (ηm)

∞m=1 , z = (ωm)

∞m=1 .

Como X(·) 1↪→ `∞(·), temos

‖ξj,m − ξm‖E1≤ sup

j∈N‖ξj,m − ξm‖E1

=∥∥(ξj,m − ξm)∞m=1

∥∥∞

=∥∥(ξj,m)∞m=1 − (ξm)

∞m=1

∥∥∞ ≤

∥∥(ξj,m)∞m=1 − (ξm)∞m=1

∥∥X1(E1)

= ‖xj − x‖X1(E1)< ε,

para todo ε > 0. Daí, temos que ξj,mj→ ξm em E1 e, de forma análoga, temos que ηj,m

j→ηm em E2, para todo m ∈ N. Pela continuidade de A, tem-se A (ξj,m, ηj,m)

j→ A (ξm, ηm)

em F , para todo m ∈ N. Daí, do fato de

(A (ξj,m, ηj,m))∞m=1 = A

((ξj,m)

∞m=1 , (ηj,m)

∞m=1

)= A (xj, yj)

j→ z = (ωm)∞m=1 em Y (F ),

temos que A (ξj,m, ηj,m)j→ ωm em F , para todo m ∈ N. Logo, pela unicidade do limite,

segue que A (ξm, ηm) = ωm, para todo m ∈ N. Portanto,

A(x, y) = A ((ξm)∞m=1 , (ηm)

∞m=1) = (A (ξm, ηm))

∞m=1 = (ωm)

∞m=1 ,

provando que o gráfico de A é fechado. Logo, pelo Teorema do Gráfico Fechado paraaplicações multilineares (Teorema 1.17), concluímos que A é contínua.

(ii)⇒ (iii) Sendo A bilinear e contínuo, tem-se∥∥∥A ((xj)∞j=1, (yj)∞j=1

)∥∥∥Y (F )≤∥∥∥A∥∥∥∥∥(xj)∞j=1

∥∥X1(E1)

∥∥(yj)∞j=1

∥∥X2(E2)

,

para todas sequências (xj)∞j=1 ∈ X1(E1) e (yj)

∞j=1 ∈ X2(E2). Assim, dado k ∈ N,

x1, . . . , xk ∈ E1 e y1, . . . , yk ∈ E2, tem-se

(x1, . . . , xk, 0, 0, . . . ) ∈ c00(E1) ⊆ X1(E1) e (y1, . . . , yk, 0, 0, . . . ) ∈ c00(E2) ⊆ X2(E2)

52

e podemos calcular∥∥∥(A(xj, yj))kj=1

∥∥∥Y (F )

= ‖(A(x1, y1), . . . , A(xk, yk), A(0, 0), A(0, 0), . . . )‖Y (F )

=∥∥∥A ((x1, . . . , xk, 0, 0, . . . ), (y1, . . . , yk, 0, 0, . . . ))

∥∥∥Y (F )

≤∥∥∥A∥∥∥ ‖(x1, . . . , xk, 0, 0, . . . )‖X1(E1)

‖(y1, . . . , yk, 0, 0, . . . )‖X2(E2)

=∥∥∥A∥∥∥∥∥(xj)kj=1

∥∥X1(E1)

∥∥(yj)kj=1

∥∥X2(E2)

,

bastando tomar C =∥∥∥A∥∥∥. Segue também que

inf {C; (2.2) é satisfeita} ≤ ‖A‖.

Agora, suponha que X1, X2 e Y são finitamente determinadas e provemos que, neste caso,(iii)⇒ (ii). Sejam (xj)

∞j=1 ∈ X1(E1) e (yj)

∞j=1 ∈ X2(E2). Como X1 e X2 são finitamente

determinados, temos que

supk∈N

∥∥(xj)kj=1

∥∥X1(E1)

<∞, supk∈N

∥∥(yj)kj=1

∥∥X2(E2)

<∞

e

∥∥(xj)∞j=1

∥∥X1(E1)

= supk∈N

∥∥(xj)kj=1

∥∥X1(E1)

,∥∥(yj)∞j=1

∥∥X2(E2)

= supk∈N

∥∥(yj)kj=1

∥∥X2(E2)

. (2.4)

Por hipótese, existe uma constante C > 0 que independe de (xj)∞j=1 e (yj)

∞j=1, tal que∥∥∥(A(xj, yj))kj=1

∥∥∥Y (F )≤ C

∥∥(xj)kj=1

∥∥X1(E1)

∥∥(yj)kj=1

∥∥X2(E2)

, (2.5)

para todo k ∈ N. Logo, de (2.4) e (2.5) e dado que Y é finitamente determinado, segueque ∥∥∥A ((xj)∞j=1, (yj)

∞j=1

)∥∥∥Y (F )

=∥∥∥(A(xj, yj))∞j=1

∥∥∥Y (F )

= supk∈N

∥∥∥(A(xj, yj))kj=1

∥∥∥Y (F )

≤ C supk∈N

∥∥(xj)kj=1

∥∥X1(E1)

∥∥(yj)kj=1

∥∥X2(E2)

= C∥∥(xj)∞j=1

∥∥X1(E1)

∥∥(yj)∞j=1

∥∥X2(E2)

.

Portanto, A é contínuo e∥∥∥A∥∥∥ ≤ inf {C; (2.2) é satisfeita}.

Normalmente, é mais prático se trabalhar com (2.2) ao invés de transformações desequências vetoriais. Caso as classes de sequências não forem finitamente determinadas,podem ocorrer problemas como veremos mais adiante. Felizmente, como veremos agora,

53

algumas transformações de sequências vetoriais que não são finitamente determinadas sãoequivalentes à outras que são finitamente determinadas. Apresentaremos a seguir, umaconsequência da Proposição 2.6, que embora um pouco técnica será bastante útil e terávárias aplicações práticas.

Quando um espaço de Banach E é um subespaço fechado de um espaço de BanachF , dizemos que E é subespaço vetorial de F e podemos definir ‖·‖E := ‖·‖F .

Definição 2.7. Sejam X, Y classes de sequências. Dizemos que

(i) X < Y se, para todo espaço de Banach E, X(E) é subespaço fechado de Y (E) e,para cada sequência (xj)

∞j=1 ∈ Y (E),

(xj)∞j=1 ∈ X(E)⇔ lim

k→∞‖(xj)∞j=k‖Y (E) = 0.

(ii) X ≺ Y se, para todo espaço de Banach E, X(E) é subespaço fechado de Y (E) e,para cada sequência (xj)

∞j=1 ∈ Y (E),

(xj)∞j=1 ∈ X(E)⇔ lim

k,l→∞‖(xj)lj=k‖Y (E) = 0.

Exemplo 2.8. (i) ùp(·) < `wp (·), para todo 1 ≤ p < ∞. De fato, pela Proposição1.57, temos que ùp(·) é subespaço vetorial fechado de `wp (·). Agora, temos que se(xj)

∞j=1 ∈ `wp (E), segue imediatamente da definição de ùp(E) que

(xj)∞j=1 ∈ ùp(E)⇔ lim

k→∞

∥∥(xj)∞j=k∥∥w,p = 0.

(ii) Rad(·) ≺ RAD(·). De fato, pela Observação 1.81, temos que Rad(E) é um subespaçofechado de RAD(E), para todo espaço de Banach E. Agora, seja (xj)∞j=1 ∈ RAD(E).

Suponhamos que (xj)∞j=1 ∈ Rad(E). Daí, temos que Sn =

n∑j=1

rj(t)xj é conver-

gente em L2 ([0, 1], E). Pela completude de L2 ([0, 1], E), segue que ‖Sl − Sk‖2 < ε,para todo ε > 0, ou seja, lim

k,l→∞

∥∥(xj)lj=k∥∥Rad(E)= 0. Como

∥∥(xj)lj=k∥∥Rad(E)=∥∥(xj)lj=k∥∥RAD(E)

(Observação 1.81), concluímos que limk,l→∞

∥∥(xj)lj=k∥∥RAD(E)= 0.

Reciprocamente, suponha que limk,l→∞∥∥(xj)lj=k∥∥RAD(E)

= 0. Dado Sn =n∑j=1

rj(t)xj,

como∥∥(xj)lj=k∥∥Rad(E)

=∥∥(xj)lj=k∥∥RAD(E)

(Observação 1.81), segue que

limk,l→∞

∥∥(xj)lj=k∥∥RAD(E)= lim

k,l→∞

∥∥(xj)lj=k∥∥Rad(E)= lim

k,l→∞‖Sl − Sk‖2 < ε,

para todo ε > 0. Logo, Sn converge em L2 ([0, 1], E). Portanto, (xj)∞j=1 ∈ Rad(E).

54

Corolário 2.9. Sejam n ∈ N e X1, . . . , Xn, Y , Z1, . . . , Zn, W classes de sequênciastais que Z1, . . . , Zn, W são finitamente determinadas. Suponha que uma das seguintescondições seja válida:

(i) Xm < Zm, para m = 1, . . . , n e Y < W ;

(ii) Xm ≺ Zm, para m = 1, . . . , n e Y ≺ W ;

(iii) Xm < Zm, para m = 1, . . . , n e Y ≺ W .

Então, para todos os espaços de Banach E1, . . . , En, F , as seguintes afirmações são equi-valentes para o operador n-linear A ∈ L(E1, . . . , En;F ):

(a)(A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1∈ Y (F ) sempre que (xj)

∞j=1 ∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n.

(b)(A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1∈ W (F ) sempre que (xj)

∞j=1 ∈ Zm(Em), m = 1, . . . , n.

Nesse caso,

‖A : X1(E1)× · · · ×Xn(En) −→ Y (F )‖ = ‖A : Z1(E1)× · · · × Zn(En) −→ W (F )‖.

Demonstração. (a) ⇒ (b) Por hipótese e pela Proposição 2.6 [(i)⇒ (iii)], existe umaconstante C > 0 tal que

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥Y (F )≤ C

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥Xm(Em)

,

para todo k ∈ N e todas as sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n. Tendoem conta que nos três casos acima, Xm(Em) é subespaço fechado de Zm(Em) e Y (F ) ésubespaço fechado de W (F ), segue que

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))kj=1‖W (F ) =

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥Y (F )

≤ C

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥Xm(Em)

= Cn∏

m=1

‖(xmj )kj=1‖Zm(Em).

Como Z1, . . . , Zn, W são finitamente determinadas, pela Proposição 2.6 [(iii)⇒ (i)], ob-temos (b).

(b)⇒ (a) Sejam (xmj )∞j=1 ∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n. Como Xm é subespaço veto-

rial fechado de Zm, tem-se que (xmj )∞j=1 ∈ Zm(Em) e∥∥(xmj )∞j=1

∥∥Xm(Em)

=∥∥(xmj )∞j=1

∥∥Zm(Em)

,m = 1, . . . , n. Pela Proposição 2.6 [(i)⇒ (iii)], existe uma constante C > 0 tal que

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F ) ≤ C

n∏m=1

‖(xmj )lj=k‖Zm(Em), (2.6)

55

para arbitrários l > k e vetores xmj ∈ Em, m = 1, . . . , n.

(i) Para Xm < Zm, temoslimk→∞‖(xj)∞j=k‖Zm(E) = 0,

m = 1, . . . , n. Tomando o supremo sobre l > k para um k fixado em (2.6), comocada Zm e W são finitamente determinados, obtemos

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=k‖W (F ) = sup

l∈N‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F )

≤ C

n∏m=1

supl∈N‖(xmj )lj=k‖Zm(Em)

= Cn∏

m=1

‖(xmj )∞j=k‖Zm(Em), (2.7)

para todo k ∈ N. Tomando agora o limite para k →∞ em (2.7), temos que

0 ≤ limk→∞‖(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=k‖W (F ) ≤ lim

k→∞C

n∏m=1

‖(xmj )∞j=k‖Zm(Em)

= Cn∏

m=1

limk→∞‖(xmj )∞j=k‖Zm(Em) = 0.

⇒ limk→∞‖(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=k‖W (F ) = 0.

Sendo Y < W , segue que(A(x1j , · · · , xnj

))∞j=1∈ Y (F ).

(ii) Para Xm ≺ Zm, temoslimk,l→∞

‖(xj)lj=k‖Zm(E) = 0,

m = 1, . . . , n. Tomando o limite para k, l→∞ em (2.6), concluímos que

0 ≤ limk,l→∞

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F ) ≤ C

n∏m=1

limk,l→+∞

‖(xmj )lj=k‖Zm(Em) = 0,

⇒ limk,l→∞

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F ) = 0.

Sendo Y ≺ W , segue que(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ Y (F ).

(iii) Xm < Zm, temoslimk→∞‖(xj)∞j=k‖Zm(E) = 0,

m = 1, . . . , n. Tomando o limite para k, l→∞ em (2.6), concluímos que

0 ≤ limk,l→+∞

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F ) ≤ C

n∏m=1

limk,l→∞

‖(xmj )lj=k‖Zm(Em)

56

= Cn∏

m=1

limk→∞‖(xmj )∞j=k‖Zm(Em) = 0.

⇒ limk,l→∞

‖(A(x1j , . . . , x

nj

))lj=k‖W (F ) = 0.

Sendo Y ≺ W , segue que(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ Y (F ).

A igualdade das normas, segue de forma imediata, por (2.3).

De acordo com [10], página 234, as seguintes condições são equivalentes para ooperador linear u ∈ L(E;F ):

(i) (u(xj))∞j=1 ∈ Rad(F), sempre que (xj)

∞j=1 ∈ `w2 (E);

(ii) Existe uma constante C > 0 tal que∥∥∥(u(xj))kj=1

∥∥∥Rad(F)

≤ C∥∥(xj)kj=1

∥∥w,2

, (2.8)

para todo sequência finita x1, . . . , xn ∈ E.

O operador u é chamado quase somante nesse caso.Como observado em [5], Section 3 estas condições nem sempre são equivalentes.

Elas são equivalentes se F não contém uma cópia de c0(K). O ponto é que Rad(·) não éfinitamente determinado. Essa imprecisão causou muitos problemas no estudo dos ope-radores quase somantes lineares e não lineares. Por exemplo, a parte sobre os operadoresquase somantes em [24], Section 4 tem que ser corrigida, pois foi tomada a concessão queos operadores quase somantes são definidos pela inequação (2.8). A partir disso, as classesde operadores quase somantes lineares e multilineares e seus relativos foram amplamenteestudados na literatura usando a inequação (2.8) para o caso linear ou o análogo para suaversão multilinear. Mas o que dizer das transformações de sequências vetoriais? Sendoù2(·) < `w2 (·), Rad(·) ≺ RAD(·) e como `w2 (·) e RAD(·) são finitamente determinadas, aProposição 2.6 e o Corolário 2.9 (iii) resolvem a questão:

Proposição 2.10. As seguintes afirmações são equivalentes para o operador linear u ∈L(E;F ):

(i) u é quase somante no sentido que seja válida a desigualdade (2.8);

(ii) (u(xj))∞j=1 ∈ Rad(F), sempre que (xj)

∞j=1 ∈ ù2(E);

(iii) (u(xj))∞j=1 ∈ RAD(F), sempre que (xj)

∞j=1 ∈ `w2 (E).

Nesse caso,

‖u : ù2(E) −→ Rad(F )‖ = ‖u : `w2 (E) −→ RAD(F )‖ = inf {C > 0; (2.8) vale}

57

Demonstração. Como ù2(·) < `w2 (·) e Rad(·) ≺ RAD(·), o Corolário 2.9 (iii) nos dá(ii)⇔ (iii). Além disso,

‖u : ù2(E) −→ Rad(F )‖ = ‖u : `w2 (E) −→ RAD(F )‖ .

Agora, como `w2 (·) e RAD(·) são finitamente determinados, da Proposição 2.6, segue que(i)⇔ (iii). Mais ainda,

‖u : `w2 (E) −→ RAD(F )‖ = inf {C > 0; (2.8) vale} .

Portanto, concluímos a demonstração.

Agora, faremos a análogo para a versão multilinear.

Proposição 2.11. As seguintes afirmações são equivalentes para o operador multilinearA ∈ L(E1, . . . , En;F ):

(i) A é quase somante no sentido que vale o seguinte:

Existe uma constante C > 0 tal que

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥Rad(F)

≤ Cn∏

m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥w,2

, (2.9)

para todo k ∈ N e todas sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n.

(ii)(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ Rad(F), sempre que (xmj )

∞j=1 ∈ ù2(Em), m = 1, . . . , n;

(iii)(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ RAD(F), sempre que (xmj )

∞j=1 ∈ `w2 (Em), m = 1, . . . , n.

Nesse caso,∥∥∥A : ù2(E1)× · · · × ù2(En) −→ Rad(F )∥∥∥ =

∥∥A : `w2 (E1)× · · · × `w2 (En) −→ RAD(F )∥∥

= inf {C > 0; (2.9) vale} .

Demonstração. Como ù2(·) < `w2 (·) e Rad(·) ≺ RAD(·), o Corolário 2.9 (iii) nos dá(ii)⇔ (iii), além disso,∥∥∥A : ù2(E1)× · · · × ù2(En) −→ Rad(F )

∥∥∥ =∥∥A : `w2 (E1)× · · · × `w2 (En) −→ RAD(F )

∥∥ .Agora, como `w2 (·) e RAD(·) são finitamente determinados, da Proposição 2.6, segue que(i)⇔ (iii), mais ainda,

∥∥A : `w2 (E1)× · · · × `w2 (En) −→ RAD(F )∥∥ = inf {C > 0; (2.9) vale} .

Portanto, concluímos a demonstração.

58

2.2 Estabilidade linear

Definição 2.12. Sejam n ∈ N e X1, . . . , Xn, Y classes de sequências. O operadorA ∈ L(E1, . . . , En;F ) é (X1, . . . , Xn;Y )-somante se as condições equivalentes da Propo-sição 2.6 forem válidas para A, isto é, (A(x1j , · · · , xnj ))∞j=1 ∈ Y (F ) sempre que (xmj )

∞j=1 ∈

Xm(Em),m = 1, . . . , n. Nesse caso, escrevemos A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ) e definimos

‖A‖X1,...,Xn;Y = ‖A‖L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F )).

Se X1 = · · · = Xn = X, escrevemos apenas Ln,X;Y e ‖.‖n,X;Y . No caso linear, escrevemosLX;Y e ‖ · ‖X;Y .

Mais adiante, será provado que LX1,...,Xn;Y é um ideal de operadores. A definiçãoseguinte será muito importante para esse fim.

Definição 2.13. A classe de sequênciasX é dita ser linearmente estável se LX;X(E;F )1=

L(E;F ), para todo espaço de Banach E e F , onde 1= significa igualdade de normas.

Ou seja, para cada u ∈ L(E;F ), (u(xj))∞j=1 ∈ X(F ), sempre que (xj)

∞j=1 ∈ X(E) e

‖u : X(E) −→ X(F )‖ = ‖u‖.

O próximo lema será muito útil para demonstrar que algumas classes de sequên-cias são linearmente estáveis.

Lema 2.14. Seja X(·) uma classe de sequências satisfazendo as seguintes condições:

(i) Para todo u ∈ L(E;F ), (u(xj))∞j=1 ∈ X(F ) sempre que (xj)∞j=1 ∈ X(E).

(ii) ‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖X(E) = ‖x‖E, para todo espaço de Banach E e todo x ∈ E.

Então o operador induzido u : X(E)→ X(F ) é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖.

Demonstração. Da condição (i) e usando a Proposição 2.6, segue que o operador induzidou está bem definido, é linear e contínuo. Para todo x ∈ E, tem-se que

(0, . . . , 0, u(x), 0, . . . ) ∈ c00(F ) ⊆ X(F )

e usando a condição (ii), vem que

‖u‖ = sup{∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥X(F )

; (xj)∞j=1 ∈ X(E) e

∥∥(xj)∞j=1

∥∥X(E)

≤ 1}

= sup

{∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥X(F )

; (xj)∞j=1 ∈ X(E) e

∥∥(xj)∞j=1

∥∥X(E)

≤ 1

}≥ sup

{‖(0, . . . , 0, u(x), 0, 0, . . . )‖X(F ) ;x ∈ E e ‖x‖E ≤ 1

}= sup {‖u(x)‖F ;x ∈ E e ‖x‖E ≤ 1}

59

= ‖u‖ .

Proposição 2.15. As seguintes classes de sequências são linearmente estáveis:

(i) `∞(·);

(ii) c0(·);

(iii) cw0 (·);

(iv) `p(·), 1 ≤ p <∞;

(v) `wp (·), 1 ≤ p <∞;

(vi) ùp(·), 1 ≤ p <∞;

(vii) `p〈·〉, 1 ≤ p <∞;

(viii) Rad(·);

(ix) RAD(·).

Demonstração. Sejam E e F espaços de Banach.

(i) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ `∞(E), existe uma constante M > 0 tal que ‖xj‖ ≤

M , para todo j ∈ N. Daí, temos que

‖u(xj)‖ ≤ ‖u‖ ‖xj‖ ≤ ‖u‖M < +∞,

pois u é contínuo, portanto, (u(xj))∞j=1 ∈ `∞(F ). Daí, temos a condição (i) do Lema

2.14 é satisfeita. A condição (ii) é imediata, visto que `∞(.) trabalha com a normado supremo. Segue então que o operador induzido

u : `∞(E) −→ `∞(F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. Por fim, temos

∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥∞ =

∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥∞

= supj∈N‖u(xj)‖

≤ supj∈N

(‖u‖ ‖xj‖) ≤ ‖u‖ supj∈N‖xj‖

≤ ‖u‖∥∥(xj)∞j=1

∥∥∞ ,

que vale para para toda sequência (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Portanto, temos que ‖u‖ ≤ ‖u‖.

60

(ii) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ c0(E), isto é, lim

j→∞‖xj‖ = 0. Daí, temos que

limj→∞‖u(xj)‖ ≤ lim

j→∞‖u‖ ‖xj‖ = ‖u‖ lim

j→∞‖xj‖ = ‖u‖ .0 = 0,

portanto, (u(xj))∞j=1 ∈ c0(F ). Daí, temos que a condição (i) do Lema 2.14 é satis-

feita. A condição (ii) é imediata, visto que c0(·) trabalha com a norma do supremo.Segue então que o operador induzido

u : c0(E) −→ c0(F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. A desigualdade contrária segue de forma análogaao que foi feito no item (i).

(iii) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ cw0 (E). Se ψ ∈ F ′, então ψ ◦ u ∈ E ′. Assim,

ψ (u(xj)) = (ψ ◦ u) (xj)→ 0,

para qualquer que seja ψ ∈ F ′, ou seja, (u(xj))∞j=1 ∈ c

w0 (F ). Daí, temos a condição

(i) do Lema 2.14 é satisfeita. A condiçõ (ii) é imediata, visto que cw0 (·) trabalhacom a norma do supremo. Segue então que o operador induzido

u : cw0 (E) −→ cw0 (F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. A desigualdade contrária segue de forma análogaao que foi feito no item (i).

(iv) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ `p(E), 1 ≤ p <∞, tem-se que

∞∑j=1

‖u(xj)‖p ≤ ‖u‖p∞∑j=1

‖xj‖p <∞,

portanto, (u(xj))∞j=1 ∈ `p(F ). Seja agora x ∈ E, então

‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖p = (‖0‖p + · · ·+ ‖0‖p + ‖x‖p + ‖0‖p + · · · )1p = ‖x‖ .

Segue do Lema 2.14 que operador induzido

u : `p(E)→ `p(F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖.

61

Agora, basta mostrar que ‖u‖ ≤ ‖u‖. De fato,

∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥p=∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥p=

(∞∑j=1

‖u(xj)‖p) 1

p

≤

(∞∑j=1

‖u‖p ‖xj‖p) 1

p

= ‖u‖

(∞∑j=1

‖xj‖p) 1

p

= ‖u‖∥∥(xj)∞j=1

∥∥p,

para todo (xj)∞j=1 ∈ `p(E). Logo, temos que ‖u‖ ≤ ‖u‖.

(v) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ `wp (E), 1 ≤ p <∞, segue que

∞∑j=1

|ϕ(xj)|p <∞, ∀ϕ ∈ E ′.

Dado ψ ∈ F ′ um funcional linear, então ψ ◦ u ∈ E ′. Logo,

∞∑j=1

|ψ (u(xj)) |p =∞∑j=1

| (ψ ◦ u) (xj)|p <∞.

Portanto, (u(xj))∞j=1 ∈ `

wp (F ). Seja agora x ∈ E, então

‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖w,p = supϕ∈BE′

(|ϕ(0)|p + · · ·+ |ϕ(0)|p + |ϕ(x)|p + |ϕ(0)|p + · · · )1p

= supϕ∈BE′

(|ϕ(x)|p)1p = sup

ϕ∈BE′

|ϕ(x)| = ‖x‖E .


u : `wp (E)→ `wp (F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖.

Agora, basta mostrar que ‖u‖ ≤ ‖u‖. Com efeito, se ψ ∈ BF ′ , então ψ ◦u

‖u‖∈ BE′ .

Logo, dada (xj)∞j=1 ∈ `wp (E),∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥w,p

=∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥w,p

= supψ∈BF ′

(∞∑j=1

|ψ (u(xj)) |p) 1

p

62

= supψ∈BF ′

(∞∑j=1

| (ψ ◦ u) (xj)|p) 1

p

= ‖u‖ supψ∈BF ′

(∞∑j=1

∣∣∣∣(ψ ◦ u

‖u‖

)(xj)

∣∣∣∣p) 1

p

≤ ‖u‖ supϕ∈BF ′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

= ‖u‖∥∥(xj)∞j=1

∥∥w,p

.

Portanto, temos que ‖u‖ ≤ ‖u‖.

(vi) Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ ùp(E), 1 ≤ p <∞, temos que limn→∞

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p = 0.

Da desigualdade∥∥∥(u(xj))∞j=n∥∥∥

w,p≤ ‖u‖

∥∥(xj)∞j=n∥∥w,p, que segue exatamente como na

demonstração anterior, temos limn→∞

∥∥∥(u(xj))∞j=n∥∥∥w,p

= 0, provando que (u(xj))∞j=1 ∈

ùp(F ). Note que a prova do item (ii) do Lema 2.14 já foi verificado na demonstraçãodo item anterior. Portanto, temos que o operador u : ùp(E) → ùp(F ) é linear,contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. A prova da desigualdade inversa segue de forma idêntica aoda prova do item anterior.

(vii) Primeiramente, provaremos o seguinte lema:

Lema 2.16. Sejam E e F espaços de Banach, (ψj)∞j=1 ∈ `wq (F

′) e u ∈ L(E;F ).Então (ψj ◦ u)∞j=1 ∈ `

wq (E

′) e, mais ainda,∥∥∥(ψj ◦ u)∞j=1

∥∥∥w,q≤ ‖u‖

∥∥∥(ψj)∞j=1

∥∥∥w,q.

Demonstração. Considere o operador adjunto u′ ∈ L(F ′;E ′) dado por u′ (ϕ) (x) =ϕ (u(x)) (veja Definição 1.21 e Proposição 1.22). Como `wq (·) é linearmente estável,então

(ψj ◦ u)∞j=1 = (u′ (ψj))∞j=1 ∈ `

wq (E

′),

sempre que (ψj)∞j=1 ∈ `

wq (F

′). Mais ainda, o operador induzido u : `wq (F′)→ `wq (E

′)

é linear, contínuo e∥∥∥u′∥∥∥ = ‖u′‖ = ‖u‖. Assim,

∥∥∥(ψj ◦ u)∞j=1

∥∥∥w,q

=∥∥∥(u′ (ψj))∞j=1

∥∥∥w,q

=∥∥∥u′ ((ψj)∞j=1

)∥∥∥w,q

≤∥∥∥u′∥∥∥∥∥∥(ψj)∞j=1

∥∥∥w,q

= ‖u‖∥∥∥(ψj)∞j=1

∥∥∥w,q.

63

Agora, estamos aptos a provar o resultado. Dados u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ `p〈E〉,

1 ≤ p < ∞. Pelo Lema 2.16, segue que (ψj ◦ u) ∈ `wq (E′), para toda sequência

(ψj)∞j=1 ∈ `

wq (F

′), logo, pela definição de `p〈E〉, a série

∞∑j=1

ψj (u(xj)) =∞∑j=1

(ψj ◦ u) (xj)

é convergente para toda sequência (ψj)∞j=1 ∈ `

wq (F

′), ou seja, (u(xj))∞j=1 ∈ `p〈E〉. As-

sim, seja x ∈ E e considere que x ocupe a n-ésima posição na sequência (0, . . . , 0, x, 0, . . . ) =(xj)

∞j=1. Note que

∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

(|ϕ1(0)|+ · · ·+ |ϕn−1(0)|+ |ϕn(x)|+ |ϕn+1(0)|+ · · · )

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (E′)

|ϕn(x)| = supϕn∈BE′

|ϕn(x)|

= ‖x‖ .

Daí, pelo Lema 2.14, o operador induzido u : `p〈E〉 → `p〈F 〉 é linear, contínuo e‖u‖ ≥ ‖u‖. Por fim, dado (ψj)

∞j=1 ∈ B`wq (F ′), segue do Lema 2.16 que∥∥∥∥∥

(ψj ◦

u

‖u‖

)∞j=1

∥∥∥∥∥w,q

=1

‖u‖

∥∥∥(ψj ◦ u)∞j=1

∥∥∥w,q≤ 1

‖u‖‖u‖

∥∥∥(ψj)∞j=1

∥∥∥w,q≤ 1.

Logo,

∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥C,p

=∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥C,p

= sup(ψj)

∞j=1∈B`wq (F ′)

∞∑j=1

|ψj (u(xj))|

= sup(ψj)

∞j=1∈B`wq (F ′)

∞∑j=1

|(ψj ◦ u) (xj)|

= ‖u‖ sup(ψj)

∞j=1∈B`wq (F ′)

∞∑j=1

∣∣∣∣(ψj ◦ u

‖u‖

)(xj)

∣∣∣∣≤ ‖u‖ sup

(ϕj)∞j=1∈B`wq (E′)

∞∑j=1

|ϕj(xj)|

= ‖u‖∥∥(xj)∞j=1

∥∥C,p

,

para toda (xj)∞j=1 ∈ `p〈E〉, portanto ‖u‖ ≤ ‖u‖.

(viii) Seja u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ Rad(E). Mostremos que (u(xj))

∞j=1 ∈ Rad(F). Defina

u : Rad(E)→ Rad(F) por u((xj)

∞j=1

)= (u(xj))

∞j=1. Para quaisquer naturais n > m,

64

temos que

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑j=1

rj(t)u(xj)−m∑j=1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥n∑

j=m+1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

=

∫ 1

0

∥∥∥∥∥u(

n∑j=m+1

rj(t)xj

)∥∥∥∥∥2

dt

12

≤ ‖u‖

∫ 1

0

∥∥∥∥∥(

n∑j=m+1

rj(t)xj

)∥∥∥∥∥2

dt

12

−→n,m→∞

0.

Então,

(n∑j=1

rj(t)u(xj)

)∞n=1

é uma sequência de Cauchy em L2. Portanto, conver-

gente. Daí, (u(xj))∞j=1 ∈ Rad(F), provando que u está bem definida. Agora, sejamx ∈ E e a sequência (0, . . . , 0, x, 0, . . . ), suponha, sem perda de generalidade que ovetor x se encontra na n-ésima coordenada, daí, temos que

∥∥(0, . . . , 0,x, 0, . . . )∥∥Rad(E)

=

(∫ 1

0

‖r1(t) · 0 + · · ·+ rn−1(t) · 0 + rn(t)x+ rn+1(t) · 0 + · · · ‖2 dt) 1

2

=

(∫ 1

0

‖rn(t)x‖2 dt) 1

2

=

(∫ 1

0

|rn(t)|2 ‖x‖2 dt) 1

2

= ‖x‖

∫ 1

0

|rn(t)|2 dt︸︷︷︸=1

12

= ‖x‖ .

Segue do Lema 2.14 que o operador induzido

u : Rad(E)→ Rad(F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. Por fim, temos

‖u‖ = sup‖(xj)∞j=1‖Rad(E)≤1

∥∥u ((xj)∞j=1

)∥∥Rad(F )

65

= sup‖(xj)∞j=1‖Rad(E)≤1

∥∥∥(u(xj))∞j=1

∥∥∥Rad(F )


∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2 1

2


∫ 1

0

∥∥∥∥∥u(∞∑j=1

rj(t)xj

)∥∥∥∥∥2 1

2

≤ ‖u‖ sup‖(xj)∞j=1‖Rad(E)≤1

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∞∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2 1

2

= ‖u‖ sup‖(xj)∞j=1‖Rad(E)≤1

‖(xj)∞j=1‖Rad(E)

= ‖u‖.

(ix) Seja u ∈ L(E;F ) e (xj)∞j=1 ∈ RAD(E). Mostremos que (u(xj))

∞j=1 ∈ RAD(F).

supk∈N‖(u(xj))kj=1‖Rad(E) = sup

k∈N

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤ ‖u‖ supk∈N

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

= ‖u‖ supk∈N‖(xj)kj=1‖Rad(E) <∞.

Então, (u(xj))∞j=1 ∈ RAD(F). Agora, sejam x ∈ E e a sequência (0, . . . , 0, x, 0, . . . ).Suponha, sem perda de generalidade, que o vetor x se encontra na n-ésima coorde-nada, com n < k daí, temos que

∥∥(0, . . . , 0, x, 0, . . . )∥∥RAD(E)

= supk∈N

∥∥(0, . . . , 0, x, 0, . . . )∥∥Rad(E)

= supk∈N

(∫ 1

0

‖r1(t) · 0 + · · ·+ rn−1(t) · 0 + rn(t)x+ rn+1(t) · 0 + · · ·+ rk(t) · 0 + · · · ‖2 dt) 1

2

=

(∫ 1

0

‖rn(t)x‖2 dt) 1

2

=

(∫ 1

0

|rn(t)|2 ‖x‖2 dt) 1

2

66

= ‖x‖

∫ 1

0

|rn(t)|2 dt︸︷︷︸=1

12

= ‖x‖ .


u : RAD(E)→ RAD(F )

é linear, contínuo e ‖u‖ ≥ ‖u‖. Por fim, temos que

‖u‖ = sup‖(xj)∞j=1‖RAD(E)≤1

∥∥∥u (xj)∞j=1

∥∥∥RAD(F)

= sup‖(xj)∞j=1‖RAD(E)≤1

supk∈N

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)u(xj)

∥∥∥∥∥2

dt

12

≤ ‖u‖ sup‖(xj)∞j=1‖RAD(E)≤1

supk∈N

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t)xj

∥∥∥∥∥2

dt

12

= ‖u‖ sup‖(xj)∞j=1‖RAD(E)≤1

∥∥∥(xj)∞j=1

∥∥∥RAD(E)

= ‖u‖.

Agora, veremos exemplos de classes de sequências que não são linearmente está-veis.

Exemplo 2.17. A classe de sequências

E ∈ BAN 7→ X(E) =

{c0(E), se E é reflexivo,`∞(E), caso contrário.

não é linearmente estável. De fato, basta considerar o operador inclusão i : `1(K)→ `2(K),e tomando o vetor canônico (ej)

∞j=1, temos que (ej)

∞j=1 ∈ `∞ (`1(K)) = X (`1(K)), visto

que ∥∥∥(ej)∞j=1

∥∥∥∞

= supj∈N‖ej‖1 = 1,

mas (i(ej))∞j=1 = (ej)

∞j=1 /∈ c0 (`2(K)) = X (`2(K)), pois∥∥∥(ej)∞j=1

∥∥∥∞

= supj∈N‖ej‖2 = 1.

67

Exemplo 2.18. A classe de sequências

E ∈ BAN 7→ X(E) =

{c0(E), se dim(E) =∞,`∞(E), caso contrário.

não é linearmente estável. Com efeito, basta considerar o operador linear contínuo

u : K −→ `∞(K)

λ 7−→ (λ, λ, . . . ).

Daí, temos que (1, 1, . . . ) ∈ `∞(K) = X (K), mas

(u(1), u(1), . . . ) = ((1, 1, . . . ) , (1, 1, . . . ) , . . . ) /∈ c0 (`∞(K)) = X (`∞(K)) .

No próximo resultado, mostramos que a condição (ii) do Lema 2.14 é válida comestabilidade linear. Tal resultado será muito importante no decorrer dos estudos.

Lema 2.19. Sejam n ∈ N e X,X1, . . . , Xn, Y classes de sequências linearmente estáveis.

(i) Para todo espaço de Banach E,

‖(0, . . . , 0, x, 0, 0, . . . )‖X(E) = ‖x‖E,

independentemente do vetor x ∈ E e da posição que x aparece na sequência.

(ii) Para k ∈ N e sequêncais (xm1 )∞m=1 , . . . , (x

mk )∞m=1 em X(E), se lim

m→∞xmj = xj ∈ E

para j = 1, . . . , k, então

limm→∞

(xm1 , . . . , xmk , 0, 0, . . . ) = (x1, . . . , xk, 0, 0, · · · ) em E.

(iii) ‖A‖ ≤ ‖A‖X,X1,...,Xn;Y para cada A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ).

Demonstração. (i) Considere o operador linear contínuo

ux : K −→ E

λ 7−→ λx.

Seja j ∈ N a posição que x aparece na sequência (0, . . . , 0, x, 0, . . . ). Daí, da condiçãoX(E)

1↪→ `∞(E), obtemos

‖x‖E = ‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖∞≤ ‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖X(E)

= ‖(ux(0), . . . , ux(0), ux(1), ux(0), . . . )‖X(E)

68

= ‖(ux(0, . . . , 0, 1, 0, . . . ))‖X(E)

= ‖ux(ej)‖ ,

onde ux : X(K) −→ X(E) é o operador induzido de ux. Como X é uma classe desequência linearmente estável, temos que ux está bem definido, é linear e contínuocom

‖ux‖L(X(K);X(E)) = ‖ux‖L(K,E) = ‖x‖E ,

e da definição de classe de sequências, segue que ‖ej‖X(K) = 1, para todo j ∈ N.Portanto,

‖x‖E ≤ ‖(0, . . . , 0, x, 0, . . . )‖X(E) = ‖ux(ej)‖ ≤ ‖u‖L(X(K);X(E)) ‖ej‖X(K) = ‖x‖E ,

concluindo o desejado.

(ii) Como, limm→∞

xmj = xj ∈ E, para j = 1, . . . , k, segue que

(x1, . . . , xk, 0, . . . ) =k∑j=1

(0, . . . , 0, xj, 0, . . . ) =k∑j=1

limm→∞

(0, . . . , 0, xmj , 0, . . . )

= limm→∞

k∑j=1

(0, . . . , 0, xmj , 0, . . . ) = limm→∞

(xm1 , . . . , xmk , 0, . . . ) .

(iii) Para todo x1 ∈ E1, . . . , xn ∈ En, por (i) e dado que X1, . . . , Xn e Y são classes desequências linearmente estáveis, segue que

‖A(x1, . . . , xn)‖F = ‖(A(x1, . . . , xn), 0, 0, . . . )‖Y (F )

=∥∥∥A ((x1, 0, 0, . . . ), . . . , (xn, 0, 0, . . . ))

∥∥∥Y (F )

≤∥∥∥A∥∥∥

L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

n∏j=1

‖(xj, 0, 0, . . . )‖Xj(Ej)

= ‖A‖X1,...,Xn;Y‖x1‖E1

· · · ‖xn‖En.

Portanto, concluímos que ‖A‖ ≤ ‖A‖X,X1,··· ,Xn;Y .

2.3 Estabilidade multilinear

Nessa seção estabeleceremos uma grande diferença entre os casos linear e multi-linear com respeito a preservação de sequências com valores vetoriais.

Definição 2.20. Sejam E1, . . . , En e F espaços de Banach e o operadorA ∈ L(E1, . . . , En;F ).

69

Uma classe de sequências X é dita multilinearmente estável se Ln,X;X1= Ln, onde Ln

denota a classe de todos os operadores n-lineares com a norma do sup usual. Ou seja,(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ X(F ), sempre que

(xmj)∞j=1∈ X(Em), m = 1, . . . , n e

∥∥∥A : X1(E1)× · · · ×Xn(En) −→ X(F )∥∥∥ = ‖A‖ .

Lema 2.21. Se1

p≤ 1

p1+ · · ·+ 1

pnentão

L`p1(·),...,`pn(·);`p(·)1= Ln. (2.10)

Demonstração. Primeiramente, mostremos que L`p1(·),...,`pn(·);`p(·)1= Ln. De fato, a seguinte

inclusão L`p1(·),...,`pn(·);`p(·) ⊆ Ln é imediata. Por outro lado, suponha A ∈ L(E1, . . . , En;F ),temos que

(k∑j=1

∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥p) 1

p

≤ ‖A‖

(k∑j=1

(∥∥x1j∥∥ · · · ∥∥xnj ∥∥)p) 1

p

= ‖A‖∥∥∥(∥∥x1j∥∥ · · · ∥∥xnj ∥∥)kj=1

∥∥∥p

(∗)≤ ‖A‖

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥pm,

onde(xmj)∞j=1∈ `pm(Em), m = 1, . . . , n e (∗) segue do Teorema de Hölder generalizado

(Teorema 1.14), dado que1

p≤ 1

p1+ · · · + 1

pn. Como `p(·) é uma classe de sequências

finitamente determinada e dado que o operador induzido

A : `p(E1)× · · · × `p(En) −→ `p(F )

dado por A((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)=(A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1

é uma aplicação bem definida,

n-linear e contínua, segue da Proposição 2.6 que(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ `p(F ), sempre

que(xmj)∞j=1∈ `pm(Em), m = 1, . . . , n. Logo, A ∈ L`p1(·),...,`pn(·);`p(·). Mais ainda, dado

A ∈ L(E1, . . . , En;F ), como

(k∑j=1

∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥p) 1

p

≤ ‖A‖n∏

m=1

∥∥∥(xmj )∞j=1

∥∥∥pm,

para todo k ∈ N e todas sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n. PelaProposição 2.6, segue que inf {C; (2.2) é satisfeita} ≤ ‖A‖. Por outro lado,

‖A‖ = sup‖xm‖≤1

‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ sup‖(xmj )kj=1‖pm(Em)

≤1

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥p

70

≤ inf {C; (2.2) é satisfeita} sup‖(xmj )kj=1‖pm(Em)

≤1

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥pm

= inf {C; (2.2) é satisfeita} ,

para m = 1, . . . , n. Portanto, obtemos a igualdade das normas.

Exemplo 2.22. As classes de sequências `∞(·), c0(·) e `p(·), 1 ≤ p <∞ são multilinear-mente estáveis.

Note que1

p≤ 1

p+ · · ·+ 1

p︸︷︷︸n parcelas

, para todo p ≥ 1, então, por (2.10), segue que

Ln,`p(·);`p(·)1= Ln e Ln,`∞(·);`∞(·)

1= Ln, provando que `p(·) e `∞(·) são multilinearmente

estáveis.Por fim, note que Ln,c0(·);c0(·) ⊆ Ln. Supondo A ∈ L(E1, . . . , En;F ), vem que

0 ≤ limj→∞

∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥ ≤ limj→∞‖A‖

∥∥x1j∥∥ · · · ∥∥xnj ∥∥ = 0.

⇒ limj→∞

∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥ = 0,

para toda(xmj)∞j=1∈ c0(Em), m = 1, . . . , n. Logo, A ∈ Ln,c0(·);c0(·). Portanto, temos que

Ln ⊆ Ln,c0(·);c0(·), obtendo assim que Ln = Ln,c0(·);c0(·).Observe também que

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥∞≤ ‖A‖

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥∞,

para todo k ∈ N e todas sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n. Daí,pela Proposição 2.6, segue que inf {C; (2.2) é satisfeita} ≤ ‖A‖. Por outro lado,


‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ sup∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥≤1∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥∞

≤ sup∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥≤1 inf {C; (2.2) é satisfeita}k∏

m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥∞

= inf {C; (2.2) é satisfeita} ,

para m = 1, . . . , n. Portanto Ln 1= Ln,c0(·);c0(·), mostrando que c0(·) é multilinearmente

estável.

Exemplo 2.23. A classe de sequências cw0 (·) não é multilinearmente estável. De fato,

71

considere o operador bilinear

A : `2(K)× `2(K) −→ `1(K), A((xj)

∞j=1, (yj)

∞j=1

)= (xjyj)

∞j=1 .

Sejam (xj)∞j=1, (yj)∞j=1 ∈ `2(K). Como

1

2+

1

2= 1, pela desigualdade de Hölder, segue que

∞∑j=1

|xjyj| =∞∑j=1

|xj| |yj| ≤

(∞∑j=1

|xj|2) 1

2(∞∑j=1

|yj|2) 1

2

<∞.

Logo, (xjyj)∞j=1 ∈ `1(K), portanto, A está bem definida. Afirmamos que (ek)

∞k=1 ∈

cw0 (`2(K)). De fato, temos que ek ∈ `2(K) para todo k ∈ N. Denotemos ek = (δkj)∞j=1.

Daí, dado ϕ ∈ (`2(K))′, tome b = (bj)∞j=1 ∈ `2(K) tal que ϕ = J(b), onde J é o isomorfismo

isométrico em [7], Proposição 4.2.1. Assim,

ϕ(ek) = ϕ((δkj)

∞j=1

)= J(b)

((δkj)

∞j=1

)=∞∑j=1

bjδkj = bk.

Dado que (bj)∞j=1 ∈ `2(K) ⊆ c0(K), concluímos que

limk→∞

ϕ(ek) = limk→∞

bk = 0.

Logo, (ek)∞k=1 ∈ cw0 (`2(K)). Agora, note que A(ek, ek) = ek ∈ `1(K), mas (A(ek, ek))∞k=1 =

(ek)∞k=1 /∈ cw0 (`1(K)). Com efeito, dado ψ ∈ (`1(K))′, tome c = (cj)

∞j=1 ∈ `∞(K) tal que

ψ = J(c). Daí, temos que

ψ(ek) = J(c)((δkj)

∞j=1

)=∞∑j=1

cjδkj = ck.

Como (cj)∞j=1 ∈ `∞(K), tomando (cj)

∞j=1 uma sequência constante não nula, vem que

limk→∞

ψ(ek) = limk→∞

ck 6= 0.

Logo, (ek)∞k=1 /∈ cw0 (`1(K)). Portanto, cw0 (·) não é multilinearmente estável.

A partir do exemplo acima, concluímos que a estabilidade multilinear não se segueda estabilidade linear, visto que a classe de sequências cw0 (·) é linearmente estável, masnão é multilinearmente estável. O próximo resultado é muito forte para as sequênciassomáveis: por um lado, temos que as classes de sequências `wp (·) e ùp(·) são linearmenteestáveis para todo 1 ≤ p <∞. Por outro lado:

Teorema 2.24. Seja 1 ≤ p < ∞. A classe de sequências `wp (·) e ùp(·) são multilinear-mente estáveis se, e somente se, p = 1.

72

Demonstração. Primeiramente, provemos o seguinte lema:

Lema 2.25. Sejam E um espaço de Banach, xj ∈ E e λj ∈ K, j = 1, . . . , n, temos que

∥∥(xj)kj=1

∥∥w,1

= sup|λj |≤1

∥∥∥∥∥k∑j=1

λjxj

∥∥∥∥∥E

.

Demonstração.

∥∥(xj)kj=1

∥∥w,1

= sup|ϕ|≤1

k∑j=1

|ϕ(xj)| = sup|ϕ|≤1

∥∥∥(ϕ(xj))kj=1

∥∥∥1

(∗)= sup|ϕ|≤1

(supψ∈B`′1

∣∣∣ψ (ϕ(xj))kj=1

∣∣∣) = sup|ϕ|≤1

sup|λj |≤1

∣∣∣∣∣k∑j=1

λjϕ(xj)

∣∣∣∣∣= sup|λj |≤1

sup|ϕ|≤1

∣∣∣∣∣ϕ(

k∑j=1

λjxj

)∣∣∣∣∣ = sup|λj |≤1

∥∥∥∥∥k∑j=1

λjxj

∥∥∥∥∥E

,

onde (∗) provém do Corolário 1.20.

Sejam E1, . . . , En e F espaços de Banach, A ∈ L(E1, . . . , En;F ) e (xmj )∞j=1 ∈

`w1 (Em), m = 1, . . . , n. Note que, se n = 2, temos que

k∑i=1

A(xi, yi) =k∑i=1

A(xi, yi)

∫ 1

0

r2i (t)dt︸︷︷︸=1

=k∑

i,j=1

A(xi, yj)

∫ 1

0

ri(t)rj(t)dt

=k∑

i,j=1

∫ 1

0

ri(t)rj(t)A(xi, yj)dt =

∫ 1

0

k∑i,j=1

ri(t)rj(t)A(xi, yj)dt

=

∫ 1

0

k∑i=1

ri(t) [A(xi, r1(t)y1) + · · ·+ A(xi, rk(t)yk)] dt

=

∫ 1

0

k∑i=1

ri(t)A

(xi,

k∑j=1

rj(t)yj

)dt =

∫ 1

0

A

(k∑j=1

rj(t)xj,k∑j=1

rj(t)yj

)dt.

Para n = 3, vem que

∫ 1

0

∫ 1

0

A

(k∑j=1

rj(t1)xj,k∑j=1

rj(t2)yj,k∑j=1

rj(t1)rj(t2)zj

)dt1dt2

=

∫ 1

0

∫ 1

0

k∑i=1

ri(t1)A

(xi,

k∑j=1

rj(t2)yj,k∑j=1

rj(t1)rj(t2)zj

)dt1dt2

=

∫ 1

0

∫ 1

0

k∑i=1

ri(t1)k∑j=1

rj(t2)A

(xi, yj,

k∑l=1

rl(t1)rl(t2)zl

)dt1dt2

73

=

∫ 1

0

∫ 1

0

k∑i=1

ri(t1)k∑j=1

rj(t2)k∑l=1

rl(t1)rl(t2)A (xi, yj, zl) dt1dt2

=k∑

i,j,l=1

A (xi, yj, zl)

∫ 1

0

∫ 1

0

ri(t1)rj(t2)rl(t1)rl(t2)dt1dt2

=k∑

i,j,l=1

A (xi, yj, zl)

∫ 1

0

ri(t1)rl(t1)dt1

∫ 1

0

rj(t2)rl(t2)dt2

=︸︷︷︸i=j=l

k∑j=1

A (xj, yj, zj)

∫ 1

0

r2j (t1)dt1︸︷︷︸=1

∫ 1

0

r2j (t2)dt2︸︷︷︸=1

=k∑j=1

A (xj, yj, zj) .

Já para um n arbitrário, segue que

∫ 1

0

· · ·∫ 1

0︸︷︷︸n−1 parcelas

A

(k∑j=1

rj(t1)x1j , . . . ,

k∑j=1

rj(tn−1)xn−1j ,

k∑j=1

n−1∏l=1

rj(tl)xnj

)dt1 . . . dtn−1

=

∫ 1

0

· · ·∫ 1

0

k∑j1=1

rj1(t1) · · ·k∑

jn−1=1

rjn−1(tn−1)k∑

jn=1

n−1∏l=1

rjn(tl)A(x1j1 , . . . , x

njn

)dt1 . . . dtn−1

=k∑

j1,...,jn=1

A(x1j1 , . . . , x

njn

) ∫ 1

0

· · ·∫ 1

0

rj1(t1) . . . rjn−1(tn−1)n−1∏l=1

rjn(tl)dt1 . . . dtn−1

=k∑

j1,...,jn=1

A(x1j1 , . . . , x

njn

) ∫ 1

0

rj1(t1)rjn(t1)dt1 · · ·∫ 1

0

rjn−1(tn−1)rjn(tn−1)dtn−1

=︸︷︷︸j1=···=jn=j

k∑j=1

A(x1j , . . . , x

nj

) ∫ 1

0

r2j (t1)dt1︸︷︷︸=1

· · ·∫ 1

0

r2j (tn−1)dtn−1︸︷︷︸=1

=k∑j=1

A(x1j , . . . , x

nj

).

Daí, para todo λij ∈ K, com∣∣λij∣∣ ≤ 1, j = 1, . . . , k, i = 1, . . . , n, temos que

k∑j=1

λ1j . . . λnjA(x1j , . . . , x

nj

)=

k∑j=1

A(λ1jx

1j , . . . , λ

nj x

nj

)=

∫ 1

0

· · ·∫ 1

0

A

(k∑j=1

rj(t1)λ1jx

1j , . . . ,

k∑j=1

rj(tn−1)λn−1j xn−1j ,

k∑j=1

n−1∏l=1

rj(tl)λnj x

nj

)dt1 . . . dtn−1,

74

então∥∥∥∥∥k∑j=1

λ1j . . . λnjA(x1j , . . . , x

nj

) ∥∥∥∥∥F

≤ supti∈[0,1]

∥∥∥∥∥A(

k∑j=1

rj(t1)λ1jx

1j , . . . ,

k∑j=1

rj(tn−1)λn−1j xn−1j ,

k∑j=1

n−1∏l=1

rj(tl)λnj x

nj

)∥∥∥∥∥F

≤ ‖A‖ supti∈[0,1]

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(t1)λ1jx

1j

∥∥∥∥∥E

. . .

∥∥∥∥∥k∑j=1

rj(tn−1)λn−1j xn−1j

∥∥∥∥∥E

∥∥∥∥∥k∑j=1

n−1∏l=1

rj(tl)λnj x

nj

∥∥∥∥∥E

= ‖A‖

∥∥∥∥∥k∑j=1

λ1jx1j

∥∥∥∥∥E

. . .

∥∥∥∥∥k∑j=1

λn−1j xn−1j

∥∥∥∥∥E

∥∥∥∥∥k∑j=1

λnj xnj

∥∥∥∥∥E

≤ ‖A‖n∏

m=1

∥∥(xmj )kj=1

∥∥w,1

,

para todo k ∈ N, onde a terceira desigualdade segue do fato que supt∈[0,1]

rn(t) = 1, para todo

n ∈ N e a última desigualdade provém do Lema 2.25.Portanto,

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ) )kj=1

∥∥∥w,1

(∗)= sup

∥∥∥∥∥

k∑j=1

λjA(x1j , . . . , x

nj

)∥∥∥∥∥F

; |λj| ≤ 1, j = 1, . . . , k

= sup

∥∥∥∥∥

k∑j=1

λ1j . . . λnjA(x1j , . . . , x

nj

)∥∥∥∥∥F

;∣∣λij∣∣ ≤ 1, j = 1, . . . , k, i = 1, . . . , n

≤ ‖A‖

n∏m=1

∥∥(xmj )kj=1

∥∥w,1≤ ‖A‖

n∏m=1

∥∥(xmj )∞j=1

∥∥w,1

,

para todo k ∈ N, onde (∗) segue do Lema 2.3. Como `w1 (·) é finitamente determinado,segue da Proposição 2.6 que o operador induzido A : `w1 (E1)× · · · × `w1 (En)→ `w1 (F ) estábem definido, é n-linear, contínuo e

∥∥∥A∥∥∥ ≤ ‖A‖. Como `w1 (·) é linearmente estável, ainequação inversa segue do Lema 2.19 (iii). Logo, `w1 (·) é multilinearmente estável.

Como ù1(·) < `w1 (·) e `w1 (·) é finitamente determinado, pelo Corolário 2.9 (i),temos que, para A ∈ L(E1, . . . , En;F ), segue que

(A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1∈ ù1(F ), sempre que (xmj )

∞j=1 ∈ ù1(Em), m = 1, . . . , n,

e (A(x1j , . . . , x

nj ))∞j=1∈ `w1 (F ), sempre que (xmj )

∞j=1 ∈ `w1 (Em), m = 1, . . . , n.

75

Nesse caso,∥∥∥A : ù1(E1)× · · · × ù1(En)→ ù1(F )∥∥∥ =

∥∥∥A : `w1 (E1)× · · · × `w1 (En)→ `w1 (F )∥∥∥ ,

isto é,Ln,ù1 (.);ù1 (.)

1= Ln,`w1 (.);`w1 (.)

1= Ln,

para todo n ∈ N. Portanto, ù1(·) é multilinearmente estável.Agora, dado 1 < p <∞, escolha n ≥ p∗, tal que 1

p+ 1

p∗= 1 e considere o operador

n-linear contínuo

A : (`p∗(K))n → `1(K), definido por A((λ1j)∞j=1

, . . . ,(λnj)∞j=1

)=(λ1j . . . λ

nj

)∞j=1

.

Note que o operador A está bem definido. De fato, temos que

1

p∗+ · · ·+ 1

p∗︸︷︷︸n parcelas

=n

p∗≥ 1.

Daí, considere agora q ∈ N tal que

1

p∗+ · · ·+ 1

p∗︸︷︷︸n-1 parcelas

+1

q=n− 1

p∗︸︷︷︸<1

+1

q= 1,

então1

q≤ 1

p∗⇒ p∗ ≤ q ⇒ `p∗(K) ⊆ `q(K).

Daí, sejam(λkj)∞j=1∈ `p∗(K), k = 1, . . . , n. Como `p∗(K) ⊆ `q(K), então

(λnj)∞j=1∈ `q(K),

portanto∥∥(λnj )∞j=1

∥∥q< ∞. Logo, pelo Teorema de Hölder Generalizado (Teorema 1.14),

vem que ∥∥λ1j . . . λnj ∥∥1 ≤ ∥∥λ1j∥∥p∗︸︷︷︸<∞

. . .∥∥λn−1j

∥∥p∗︸︷︷︸

<∞

∥∥λnj ∥∥q︸︷︷︸<∞

<∞.

Donde concluímos que o operador A está bem definido.Dada a sequência (ek)

∞k=1, temos que (ek)

∞k=1 ∈ `wp (`p∗(K)) pelo Exemplo 1.43.

Mas note que (ek)∞k=1 /∈ `wp (`1(K)). De fato, dado ψ ∈ (`1(K))′, tome c = (ck)∞k=1 ∈ `∞(K)

tal que ψ = J(c). Daí, temos que

∞∑k=1

|ψ(ek)|p =∞∑k=1

|J(c)(ek)|p =∞∑k=1

|ck|p .

76

Como (ck)∞k=1 ∈ `∞(K), podemos tomar (ck)∞k=1 = (1, 1, . . . ). Logo,

∞∑k=1

|ψ(ek)|p =∞.

Portanto, (ek)∞k=1 /∈ `wp (`1(K)). Assim, a classe de sequências `wp (·) falha a estabilidademultilinear. Como ùp(·) < `wp (·) e `wp (·) é finitamente determinada, temos que

Ln,ùp (·);ùp (·)1= Ln,`wp (·);`wp (·) 6= Ln,

para todo n ∈ N. Portanto, ùp(·) não é multilinearmente estável.

Teorema 2.26. As classes de sequências Rad(·) e RAD(·) são multilinearmente estáveis.

Demonstração. Veja ([6], Theorem 4.5).

Agora, mostraremos que a classe de sequências `p〈·〉 é multilinearmente estável.

Teorema 2.27. Dado1

p+

1

q= 1. A classe de sequências `p〈·〉 é multilinearmente estável

para todo 1 ≤ p <∞.

Demonstração. Primeiramente, note que a inclusão Ln,`p〈·〉;`p〈·〉 ⊆ Ln é imediata. Agoraprovemos a inclusão contrária. Seja A ∈ L(E1, . . . , En;F ), temos que

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥C,p

= sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (F ′)

k∑j=1

∣∣ϕj (A (x1j , . . . , xnj ))∣∣≤ sup

(ϕj)∞j=1∈B`wq (F ′)

k∑j=1

‖ϕj‖∞∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥

≤ sup(ϕj)

∞j=1∈B`wq (F ′)

k∑j=1

∥∥∥(ϕj)kj=1

∥∥∥w,q

∥∥A (x1j , . . . , xnj )∥∥≤ ‖A‖

k∑j=1

∥∥x1j∥∥ · · · ∥∥xnj ∥∥(∗)= ‖A‖

k∑j=1

∣∣ϕ1j

(x1j)∣∣ · · · ∣∣ϕnj (xnj )∣∣

≤ ‖A‖k∑j=1

∣∣ϕ1j

(x1j)∣∣ · · · k∑

j=1

∣∣ϕnj (xnj )∣∣≤ ‖A‖ sup

(ϕ1j)∞j=1∈B`wq (E′)

k∑j=1

∣∣ϕ1j

(x1j)∣∣ · · · sup

(ϕnj )∞j=1∈B`wq (E′)

k∑j=1

∣∣ϕnj (xnj )∣∣= ‖A‖

∥∥∥(x1j)kj=1

∥∥∥C,p· · ·∥∥∥(xnj )kj=1

∥∥∥C,p

,

77

onde (∗) segue do Corolário 1.19. Como `p〈·〉 é uma classe de sequências finitamente deter-minada, segue da Proposição 2.6 que

(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1∈ `p〈F 〉, sempre que

(xmj)∞j=1∈

`p〈Em〉, m = 1, . . . , n. Logo, A ∈ Ln,`p〈·〉;`p〈·〉, concluindo que Ln,`p〈·〉;`p〈·〉 ⊆ Ln. Portanto,Ln,`p〈·〉;`p〈·〉 = Ln.

Pelos cálculos acima, temos que

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥C,p≤ ‖A‖

n∏m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥C,p

,

para todo k ∈ N e todas sequências finitas xmj ∈ Em, j = 1, . . . , k, m = 1, . . . , n. Daí,pela Proposição 2.6, segue que inf {C; (2.2) é satisfeita} ≤ ‖A‖. Por outro lado,


‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ sup∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥C,p≤1

∥∥∥(A (x1j , . . . , xnj ))kj=1

∥∥∥C,p

= sup∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥C,p≤1

inf {C; (2.2) é satisfeita}n∏

m=1

∥∥∥(xmj )kj=1

∥∥∥C,p≤ inf {C; (2.2) é satisfeita} ,

para m = 1, . . . , n. Portanto Ln,`p〈·〉;`p〈·〉1= Ln, mostrando que `p〈·〉 é multilinearmente

estável.

Capítulo 3

Classes de sequências e ideais deoperadores

Nesse capítulo introduziremos o conceito de ideais de operadores entre espaçosde Banach, com a finalidade de apresentar um resultado mais geral da teoria, utilizandoalguns resultados estudados no capítulo anterior.

3.1 Ideais de operadores

Definição 3.1. Um ideal de operadores multilineares M é uma subclasse da classede todos os operadores multilineares contínuos entre espaços de Banach tal que, paratodo n ∈ N e espaços de Banach E1, . . . , En e F , as componentes M(E1, . . . , En;F ) =

L(E1, . . . , En;F ) ∩M satisfazem:

(i) M(E1, . . . , En;F ) é um subespaço vetorial de L(E1, . . . , En;F ) que contém os ope-radores multilineares de tipo finito (posto finito, para n = 1);

(ii) A propriedade de ideal: se A ∈M(E1, . . . , En;F ), uj ∈ L(Gj;Ej) para j = 1, . . . , n

e t ∈ L(F ;H), então tA(u1, . . . , un) ∈M(G1, . . . , Gn;H).

Para cada n fixado, E1, . . . , En e F espaços de Banach,

Mn =⋃

E1,...,En,F

M(E1, . . . , En;F )

é chamado de ideal de operadores n-lineares.

Definição 3.2. Um ideal normado (respectivamente, quasi-normado) de operadores mul-tilineares (M, ‖.‖M) é um ideal de operadores multilineares munido da função ‖.‖M :

M→ [0,∞), satisfazendo:

78

79

(i) ‖.‖M restrista aM(E1, . . . , En;F ) é uma norma (respectivamente quasi-norma, comconstante não dependendo dos espaços, dependendo eventualmente do n) para quais-quer espaços de Banach E1, . . . , En, F e todo n ∈ N;

(ii) ‖idKn‖M = 1, onde idKn : Kn → K é dada por idKn(λ1, . . . , λn) = λ1 . . . λn paratodo n ∈ N;

(iii) Se A ∈ M(E1, . . . , En;F ), uj ∈ L(Gj;Ej) para j = 1, . . . , n e t ∈ L(F ;H), então‖tA(u1, . . . , un)‖M ≤ ‖t‖ ‖A‖M ‖u1‖ . . . ‖un‖.

De maneira análoga, se n for um inteiro positivo fixado, sob as condições acima, dizemosqueMn é um ideal normado (quasi-normado) de operadores n-lineares.

Observação 3.3. Se as componentes M(E1, . . . , En;F ) são completas com respeito anorma ‖·‖M, dizemos que M é um ideal de operadores multilineares entre espaços deBanach. De modo análogo, se procede paraMn.

Agora vamos introduzir um método abstrato para gerar ideais de operadores entreespaços de Banach por meio da transformação de sequências vetoriais.

Começamos enunciando o principal teorema desse trabalho, que caracteriza osideais de operadores que são definidos, ou caracterizados, por meio de transformações desequências vetoriais no ambiente abstrato das classes de sequências. Mais ainda, veremosque alguns desses ideais, já muito estudados em diversos trabalhos são casos particula-res deste resultado. Mas antes veremos a seguinte observação que será necessária paraenunciar o teorema.

Observação 3.4. Dada as classes de sequências X1, . . . , Xn, Y , dizemos que

X1(K) · · ·Xn(K)1↪→ Y (K)

se(λ1j · · ·λnj

)∞j=1∈ Y (K) e

∥∥∥(λ1j · · ·λnj )∞j=1

∥∥∥Y (K)≤

n∏m=1

∥∥∥(λmj )∞j=1

∥∥∥Xm(K)

,

sempre que(λmj)∞j=1∈ Xm(K), m = 1, . . . , n.

Lema 3.5. Seja o operador induzido A : X1(E1)× · · · ×Xn(En) −→ Y (F ), dado por

A((x1j)

∞j=1, . . . , (x

nj )∞j=1

)=(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

.

Então A+ λB = A+ λB, para todo A, B ∈ LX1,...,Xn;Y e λ ∈ K.

80

Demonstração. Sejam(xmj)∞j=1∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n, temos que

A+ λB((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)=((A+ λB)

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

=(A(x1j , . . . , x

nj

)+ λB

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

=(A(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

+ λ(B(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

= A((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)+ λB

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)=(A+ λB

)((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

).

Corolário 3.6. LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ) é subespaço vetorial de L(E1, . . . , En;F ).

Demonstração. Sejam A, B ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ) e λ ∈ K. Assim, segue que A eB pertencem ao espaço vetorial L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )), portanto

A+ λB ∈ L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )) .

Como A+ λB = A+ λB, temos

A+ λB ∈ L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F ))⇒ A+ λB ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ).

Lema 3.7. Sejam A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ), um ∈ L(Gm;Em), m = 1, . . . , n ev ∈ L(F ;H). Então v ◦ A ◦ (u1, . . . , un) = v ◦ A ◦ (u1, . . . , un).

Demonstração. Dado(xmj)∞j=1∈ Xm(Gm), m = 1, . . . , n, temos que

v ◦ A ◦ (u1, . . . , un)((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)=((v ◦ A ◦ (u1, . . . , un))

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

=(v(A(u1(x1j)), . . . , A

(un(xnj))))∞

j=1

= v((A(u1(x1j)))∞

j=1, . . . ,

(A(un(xnj)))∞

j=1

)= v

(A((u1(x1j))∞j=1

), . . . , A

((un(xnj))∞j=1

))= v ◦ A

((u1(x1j))∞j=1

, . . . ,(un(xnj))∞j=1

)= v ◦ A

(u1

((x1j)∞j=1

), . . . , un

((xnj)∞j=1

))= v ◦ A ◦ (u1, . . . , un)

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

).

Como(xmj)∞j=1∈ Xm(Gm), m = 1, . . . , n são tomados de forma arbitrária, segue que

v ◦ A ◦ (u1, . . . , un) = v ◦ A ◦ (u1, . . . , un).

81

Teorema 3.8. Sejam n ∈ N e X1, . . . , Xn, Y classes de sequências linearmente está-veis tais que X1(K) · · ·Xn(K)

1↪→ Y (K). Então

(LX1,...,Xn;Y , ‖·‖X1,...,Xn;Y

)é um ideal de

operadores multilineares entre espaços de Banach.

Demonstração. Sejam E1, . . . , En, F espaços de Banach.Pelo Corolário 3.6, temos que LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ) é subespaço vetorial de

L(E1, . . . , En;F ). Agora provaremos que LX1,...,Xn;Y contém os operadores lineares de tipofinito. De fato, basta mostrar que, se ϕj ∈ E ′j, j = 1, . . . , n e b ∈ F , então ϕ1⊗· · ·⊗ϕn⊗bé (X1, . . . , Xn;Y )-somante. Daí, dadas as sequências

(xmj)∞j=1∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n,

uma vez que Xm é linearmente estável, temos que(ϕm(xmj))∞j=1∈ Xm(K), para todo

m ∈ {1, . . . , n}. Dado que X1(K) . . . Xn(K)1↪→ Y (K), segue que

(ϕ1

(x1j). . . ϕn

(xnj))∞j=1∈ Y (K).

Considerando o operador linear contínuo

λ ∈ K 7→ λb ∈ F

e usando a estabilidade linear de Y , obtemos que

(ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕn ⊗ b

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

=(ϕ1

(x1j). . . ϕn

(xnj)b)∞j=1∈ Y (F ),

provando que ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕn ⊗ b ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ), como desejado.Verifiquemos que é válida a propriedade de ideal para LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ).

Sejam A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ), um ∈ L(Gm;Em), m = 1, . . . , n e v ∈ L(F ;H).Se(xmj)∞j=1∈ Xm(Gm), m = 1, . . . , n, como cada Xm é linearmente estável, então(

um(xmj))∞j=1∈ Xm(Em). Sendo A (X1, . . . , Xn;Y )-somante, então

(A(u1(x1j), . . . , un

(xnj)))∞

j=1∈ Y (F )

e, finalmente, a estabilidade linear de Y implica que

(v ◦ A ◦ (u1, . . . , un)

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

=(v(A(u1(x1j), . . . , un

(xnj))))∞

j=1∈ Y (H).

Logo, v◦A◦(u1, . . . , un) ∈ LX1,...,Xn;Y (G1, . . . , Gn;H) e portanto LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F )

é um ideal de operadores n-linear.Mostremos agora os axiomas de norma para ‖·‖X1,...,Xn;Y

:Por definição, dado A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ), segue que

‖A‖X1,...,Xn;Y=∥∥∥A∥∥∥

L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F )).

82

Daí, pelo Lema 3.5 e do fato de A ser normado, concluí-se que ‖.‖X1,...,Xn;Yé uma norma

em cada componente.Provemos que ‖idKn‖X1,...,Xn;Y

= 1. Como idKn tem tipo finito, então idKn ∈LX1,...,Xn;Y . Sendo X1(K) · · ·Xn(K)

1↪→ Y (K), segue que∥∥∥idKn

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)∥∥∥Y (K)

=∥∥∥(idKn

(x1j , . . . , x

nj

))∞j=1

∥∥∥Y (K)

=∥∥∥(x1j · · ·xnj )∞j=1

∥∥∥Y (K)

≤n∏

m=1

∥∥∥(xmj )∞j=1

∥∥∥Xm(K)

,

ou seja,∥∥∥idKn

∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

≤ 1. Mais ainda, consideremos e1 ∈ c00(K). Como

Xm(K) e Y (K) são classes de sequências, temos que ‖e1‖Xm(K) = ‖e1‖Y (K) = 1 param = 1, . . . , n, portanto, ∥∥∥idKn(e1, . . . , e1)

∥∥∥Y (K)

= ‖e1‖Y (K) = 1.

Isso prova que‖idKn‖X1,...,Xn;Y

=∥∥∥idKn

∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

= 1.

Provemos a desigualdade da propriedade de ideal. Sejam A ∈ LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ),um ∈ L(Gm;Em), m = 1, . . . , n e v ∈ L(F ;H). Sendo Xm, m = 1, . . . , n e Y classes desequências linearmente estáveis, por definição, os operadores induzidos

v : Y (F ) −→ Y (H) e um : Xm(Gm) −→ Xm(Em)

estão bem definidos, são lineares e contínuos e, mais ainda,

‖v‖L(Y (F );Y (H)) = ‖v‖ e ‖um‖L(Xm(Gm);Xm(Em)) = ‖um‖ .

Já vimos que v ◦A ◦ (u1, . . . , un) ∈ LX1,...,Xn;Y (G1, . . . , Gn;H). Daí, pelo Lema 3.7, temosque v ◦ A ◦ (u1, . . . , un) = v ◦ A ◦ (u1, . . . , un). Assim, segue que

∥∥v ◦ A◦(u1, . . . , un)∥∥X1,...,Xn;Y=∥∥∥ v ◦ A ◦ (u1, . . . , un)

∥∥∥L(X1(G1),...,Xn(Gn);Y (F ))

=∥∥∥v ◦ A ◦ (u1, . . . , un)∥∥∥

L(X1(G1),...,Xn(Gn);Y (F ))

≤ ‖v‖L(Y (F );Y (H))

∥∥∥A∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

n∏m=1

‖um‖L(Xm(Gm);Xm(Em))

= ‖v‖ ‖A‖X1,...,Xn;Y

n∏m=1

‖um‖ .

83

Portanto,(LX1,...,Xn;Y , ‖.‖X1,...,Xn;Y

)é um ideal normado de operadores multilineares.

Por fim, provemos a completude. Seja (Ak)∞k=1 uma sequência de Cauchy em

LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ). Como cada operador Ak é multilinear e contínuo e as classesXm, m = 1, . . . , n e Y são linearmente estáveis, os operadores induzidos

Ak : X1(E1)× · · · ×Xn(En) −→ Y (F )

estão bem definidos e ∥∥∥Ak∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

= ‖A‖X1,...,Xn;Y,

para todo k ∈ N. Por um lado, essa igualdade de normas nos diz que a sequência(Ak

)∞k=1

é de Cauchy em L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )) e portanto, convergente em

L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )). Seja T ∈ L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )) tal que limk→∞

Ak = T

em L (X1(E1), . . . , Xn(En);Y (F )). Por outro lado, da desigualdade

‖·‖L(E1,...,En;F ) ≤ ‖·‖X1,...,Xn;Y,

segue que (Ak)∞k=1 é uma sequência de Cauchy em L(E1, . . . , En;F ). SejaA ∈ L(E1, . . . , En;F )

tal que limk→∞

Ak = A em L(E1, . . . , En;F ).Como a classe de sequências `∞(·) é multilinearmente estável, os operadores in-

duzidos

Ak : `∞(E1)× · · · × `∞(En) −→ `∞(F ) e A : `∞(E1)× · · · × `∞(En) −→ `∞(F ),

para todo k ∈ N, estão bem definidos, são multilineares e contínuos. Vejamos quelimk→∞

Ak = A em L (`∞(E1), . . . , `∞(En); `∞(F )). De fato,

limk→∞

∥∥∥Ak − A∥∥∥L(`∞(E1),...,`∞(En);`∞(F ))

(∗)= lim

k→∞

∥∥∥Ak − A∥∥∥L(`∞(E1),...,`∞(En);`∞(F ))

= limk→∞‖Ak − A‖L(E1,...,En;F )

= 0,

onde (∗) segue do Lema 3.5. Para cada(xmj)∞j=1∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n, como

Xm(Em)1↪→ `∞(Em), então

(xmj)∞j=1∈ `∞(Em). Portanto, é claro que

Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

).

84

Da mesma forma,

A((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= A

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

).

Mais ainda, por um lado, como limk→∞

Ak = A, tem-se que

limk→∞

Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= A

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)em `∞(F ).

Por outro lado, como limk→∞

Ak = T , tem-se que

limk→∞

Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= T

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)em Y (F ),

e sendo Y (F )1↪→ `∞(F ), segue que

limk→∞

Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= T

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)em `∞(F ).

Assim, temos que

limk→∞

Ak

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)=

A((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)T((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

) em `∞(F ).

Da unicidade do limite, segue que

A((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= A

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)= T

((x1j)∞j=1

, . . . ,(xnj)∞j=1

)∈ Y (F ),

para toda sequência(xmj)∞j=1∈ Xm(Em), m = 1, . . . , n. Portanto, isto prova que A e T

são (X1, . . . , Xn;Y )-somantes. Finalmente, temos que

limk→∞‖Ak − A‖X1,...,Xn;Y

= limk→∞

∥∥∥Ak − A∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

= limk→∞

∥∥∥Ak − A∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

= limk→∞

∥∥∥Ak − T∥∥∥L(X1(E1),...,Xn(En);Y (F ))

= 0.

Logo, limk→∞

Ak = A em LX1,...,Xn;Y (E1, . . . , En;F ).

Observação 3.9. Um resultado relacionado com a geração de ideais multilineares base-ados na transformação de sequências com valores vetoriais pode ser encontrada em ([24],Theorem 3), porém uma suposição importante ficou faltando, para que o resultado sejaverdadeiro, devemos supor que os espaços de sequências subjacentes sejam linearmente

85

estáveis.

3.2 Aplicações

Importantes ideais de operadores lineares e multilineares que foram estudadosindividualmente na literatura são casos particulares dos ideais gerados pelo Teorema 3.8.Veremos agora dois exemplos de operadores lineares que são ideais de operadores deBanach.

3.2.1 Operadores lineares absolutamente p-somantes

Na literatura, a classe dos operadores absolutamente p-somantes é um dos ide-ais de operadores mais estudados. O livro [10] é totalmente dedicado ao estudo dessesoperadores e suas aplicações.

Definição 3.10. Seja 1 ≤ p <∞. Um operador u ∈ L(E;F ) entre espaços de Banach édito absolutamente p-somante se (u(xj))

∞j=1 ∈ `p(F ), sempre que (xj)∞j=1 ∈ `wp (E), isto é, u

transforma sequências fracamente p-somáveis em E em sequências fortemente p-somáveisem F .

O espaço de todos os operadores absolutamente p-somantes entre os espaços deBanach E e F será denotado por

∏p(E;F ).

Existem caracterizações para o conceito de operadores absolutamente p-somantes,que apresentaremos no seguinte resultado:

Proposição 3.11. Seja u ∈ L(E;F ). Então as seguintes condições são equivalentes:

(i) u ∈∏

p(E;F );

(ii) Existe uma constante C > 0, tal que

(n∑j=1

‖u(xj)‖p) 1

p

≤ C supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

, (3.1)

para todo n ∈ N e x1, . . . , xn ∈ E.

(iii) Existe uma constante C > 0, tal que

(∞∑j=1

‖u(xj)‖p) 1

p

≤ C supϕ∈BE′

(∞∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

,

para todo (xj)∞j=1 ∈ `wp (E).

86

Mais ainda, o ínfimo das constantes C > 0 satisfazendo (3.1) define uma norma em∏p(E;F ), que será denotada por πp(.)

Demonstração. Como as classes de sequências `p(·) e `wp (·) são finitamente determinadas,as caracterizações seguem de forma imediata pela Proposição 2.6.

Observação 3.12. O espaço∏

p(E;F ) é um subespaço vetorial de L(E;F ). De fato,sejam u, v ∈

∏p(E;F ) e λ ∈ K. Dado (xj)

∞j=1 ∈ `wp (E), pela proposição anterior, existem

constantes Cu, Cv > 0, tais que

(n∑j=1

‖u(xj)‖p) 1

p

≤ Cu supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

e (n∑j=1

‖v(xj)‖p) 1

p

≤ Cv supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

.

Daí,

(n∑j=1

‖u(xj) + λv(xj)‖p) 1

p (∗)≤

(n∑j=1

‖u(xj)‖p) 1

p

+ |λ|

(n∑j=1

‖v(xj)‖p) 1

p

≤ (Cu + |λ|Cv) supϕ∈BE′

(n∑j=1

|ϕ(xj)|p) 1

p

,

para quaisquer x1, . . . , xn ∈ E, e (∗) segue da desigualdade de Minkowski. Logo, u+λv ∈∏p(E;F ).

Proposição 3.13. Sejam E, F espaços de Banach e 1 ≤ p <∞, então(∏

p(E;F ), πp(·))

é um ideal de operadores lineares entre espaços de Banach.

Demonstração. Na Proposição 2.15 (iv) e (v), foi visto que as classes de sequências `p(·)e `wp (·) são linearmente estáveis. Pelo Teorema 1.51, temos que `p(K) = `wp (K). Portanto,

é claro que `wp (K)1↪→ `p(K). Daí, combinando a Proposição 3.11, a Proposição 2.6 e o

Teorema 3.8, segue que(∏

p(E;F ), πp(·))é um ideal de operadores lineares entre espaços

de Banach.

3.2.2 Operadores Cohen fortemente somantes

Os operadores Cohen fortemente p-somantes foram introduzidos por Cohen em[9] para descrever os operadores que têm adjuntos absolutamente q-somantes. Para odesenvolvimento da teoria desses operadores, veja [8] e [23].

87

Definição 3.14. Seja 1 < p ≤ ∞. Um operador u ∈ L(E;F ) entre espaços de Banach édito Cohen fortemente p-somante se (u(xj))

∞j=1 ∈ `p〈F 〉, sempre que (xj)

∞j=1 ∈ `p(E), isto

é, u transforma sequências fortemente p-somáveis em E em sequências Cohen fortementep-somáveis em F .

O espaço de todos os operadores Cohen fortemente p-somantes entre os espaçosde Banach E e F será denotado por Dp(E;F ).

Observação 3.15. O fato de tomarmos 1 < p ≤ ∞ é motivado pela Proposição 1.68.

Existem caracterizações para o conceito de operadores Cohen fortemente p-somantes,que apresentaremos no seguinte resultado:

Proposição 3.16. Seja u ∈ L(E;F ) e1

p+

1

q= 1. Então as seguintes condições são

equivalentes:

(i) u ∈ Dp(E;F );

(ii) Existe uma constante C > 0, tal que

∞∑j=1

|ϕj (u(xj))| ≤ C∥∥∥(ϕj)∞j=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)∞j=1

∥∥p,

para toda (xj)∞j=1 e (ϕ)∞j=1 ∈ `wq (F ′);

(iii) Existe uma constante C > 0, tal que

n∑j=1

|ϕj (u(xj))| ≤ C∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p, (3.2)

para todo n ∈ N, xj ∈ E e ϕj ∈ F ′, com j = 1, . . . , n.

Mais ainda, o ínfimo das constantes C > 0 satisfazendo (3.2) define uma norma emDp(E;F ), que será denotada por dp(.).

Demonstração. Como as classes de sequências `p〈·〉 e `wp (·) são finitamente determinadas,as caracterizações seguem de forma imediata pela Proposição 2.6.

Observação 3.17. Dp(E;F ) é um subespaço vetorial de Lp(E;F ). Com efeito, comoo operador identicamente nulo é claramente Cohen fortemente p-somante, o conjuntoDp(E;F ) é não vazio. Sejam u, v ∈ Dp(E;F ), λ ∈ K e n ∈ N. Dado (xj)

∞j=1 ∈ `p(E),

pela proposição anterior, existem constantes C1, C2 > 0, tais que

n∑j=1

|ϕj (u(xj))| ≤ C1

∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p

88

en∑j=1

|ϕj (v(xj))| ≤ C2

∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p.

Daí,

n∑j=1

|ϕj ((u+ λv) (xj))| =n∑j=1

|ϕj ((u(xj))) + ϕj ((v (λxj)))|

≤n∑j=1

|ϕj (u(xj))|+n∑j=1

|ϕj (v (λxj))|

=n∑j=1

|ϕj (u(xj))|+ |λ|n∑j=1

|ϕj (v(xj))|

≤ C1

∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p+ |λ|C2

∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p

= (C1 + |λ|C2)∥∥∥(ϕj)nj=1

∥∥∥w,q

∥∥(xj)nj=1

∥∥p,

para quaisquer xj ∈ E e ϕj ∈ F ′, com j = 1, . . . , n. Logo, u+ λv ∈ Dp(E;F ).

Proposição 3.18. Sejam E, F espaços de Banach e 1 < p ≤ ∞, então (Dp(E;F ), dp(·))é um ideal de operadores lineares entre espaços de Banach.

Demonstração. Na Proposição 2.15 (iv), (vii), foi visto que as classes de sequências `p(·)e `p〈·〉 são linearmente estáveis. Como `p(E) = `p〈E〉, com E sendo um espaço ve-torial de dimensão finita, temos que `p(K) = `p〈K〉. Portanto, é claro que `p〈K〉

1↪→

`p(K). Daí, combinando a Proposição 3.16, a Proposição 2.6 e o Teorema 3.8, segue que(D(E;F ), dp(·)

)é um ideal de operadores lineares entre espaços de Banach.

Referências

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[22] Pietsch, A.: Operator ideals. North-Holland Publishing Company, Amsterdam(1980).

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[24] Serrano-Rodríguez, D.M.: Absolutely γ-summing multilinear operators, Linear Al-gebra Appl. 439, 4110-4118 (2013).

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Sobre as transformações de sequências vetoriais por ... · Sobre as transformações de sequências vetoriais por operadores lineares e multilineares Carlos Alberto da Silva Nonato