Sobre de la Derivada Hiperholomorfatesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/5968/1/1435.pdf · 2020. 10. 2. · INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de F sica y Matem aticas

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALEscuela Superior de Fısica y Matematicas

Sobre de la DerivadaHiperholomorfa

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN MATEMATICAS

PRESENTA:

M. en C. Marco Antonio Macıas Cedeno

Director:Dr. Michael Shapiro Fishman

Mexico D.F., mayo de 2009.

En este trabajo le agradezco a mi esposa Cynthia por suconstante e invaluable apoyo, a mi madre Marıa Elenapor su ingente e inquebrantable espıritu, a papa Tonopor su ejemplar muestra de esfuerzo y honestidad; y amama Carmelita por su amor.

Asimismo le manifiesto mi gratitud al Dr. Michael Sha-piro por su confianza y guıa academica y a la Dra. MarıaElena Luna Elizarraras por las charlas y esfuerzos com-partidos.

2

RESUMEN

Este trabajo se desarrolla dentro del Analisis Hipercomplejo con-tribuyendo a la generalizacion del concepto de diferenciabilidad pa-ra funciones de valores Cuaternionicos y Cliffordianos. El problematiene sus antecedentes en la extension buscada por mismo descubri-dor de los cuaternios: R. W. Hamilton; de la definicion clasica dederivada para funciones cuaternionicas. Desde entonces la comuni-dad matematica ha explorado avanzar en esta direccion con diversosenfoques y variados resultados. Los frutos de este trabajo de inves-tigacion se han concretizado en tres artıculos de investigacion, dosde ellos publicados en memorias de congresos internacionales y otroen una revista arbitrada; ası como tambien otros dos, actualmenteen desarrollo. Ademas a lo largo del tiempo que esta investigacionse ha desenvuelto, el autor ha sido invitado a participar en diversoscongresos nacionales e internacionales como expositor.

Los resultados obtenidos en esta investigacion se concentran en seiscapıtulos del documento y que pueden ser distribuidos en tres par-tes. Las primeras dos desarrollan teorıas para funciones con valoresen H o C`0,m, cada una en un capıtulo. La seccion final, que agrupalos restantes cuatro capıtulos expone la aplicacion de la teorıa desa-rrollada en la segunda parte a los operadores de Moisil-Theodorescoy de Dirac.

En la primer parte se trabaja con funciones cuaternionicas y se de-fine para ellas el concepto de la derivada direccional bidimensionalconsiderando incrementos dos-dimensionales y se plantea una clasi-ficacion de las direcciones sobre las cuales se toman tales incremen-tos. Ademas se generan las condiciones necesarias para garantizarla existencia de la derivada bidimensional.

La siguiente parte desarrolla para funciones con valores en un alge-bra de Clifford el concepto de la hiperderivada y el de la hiperderi-vada direccional a lo largo de planos m-dimensionales, para despuesemplearla para la derivacion de la integral de Cauchy Cliffordiana yla obtencion de las formulas de Sokhotski-Plemelj para la derivadade la integral de Cauchy Cliffordiana.

3

Para la aplicacion de los conceptos y tecnicas desarrolladas en laseccion previa a los operadores de Moisil-Theodoresco y el Dirac, sedota el espacio lineal euclidiano, R3 o Rm segun sea el caso; de unaestructura algebraica Cliffordiana y esto ultimo permite aprovecharel analisis de Clifford correspondiente a la estructura en cuestion.

En el caso del operador de Moisil-Theodoresco, a lo largo de doscapıtulos se presentan tres diferentes maneras de desarrollar los ele-mentos necesarios para la introduccion del concepto de la hiperderi-vada y de la hiperderivada direccional; ası como tambien su empleopara la derivacion de la integral de tipo de Cauchy correspondien-te. Dicha diversidad proviene de la posibilidad de fijar distintas es-tructuras para R3. Por esta razon y con fines explicativos, es queposteriormente se incluye un capıtulo en terminos completamen-te complejos, para mostrar que al considerar diferentes estructurascomplejas en el plano complejo usual C, se generan diferentes deri-vadas complejas y clases de funciones holomorfas.

Finalmente, en el ultimo capıtulo se muestra una descomposicion nocanonica del algebra C`0,m, que posteriormente permite mostrar atoda funcion de valores Cliffordianos como una combinacion linealCliffordiana de dos funciones con valores en C`0,m−1 y de esta formapresentar la hiperderivada para el operador de Dirac en terminos deuna suma de hiperderivadas en el algebra C`0,m−1.

4

ABSTRACT

This work develops inside the Hypercomplex Analysis contribu-ting to the generalization of the differentiability concept for Quater-nionic- and Cliffordian-valued functions. The problem has its pre-cedents in the extension looked by the same discoverer of the qua-ternions: R. W. Hamilton; of a definition in the classic sense of thederivative for quaternionic functions. Since then the mathematicalcommunity has explored to advance in this direction with diverse ap-proaches and varied results. The fruits of this research have result inthree published papers, two of them have been sent to proceedingsof International Congresses and the other one to a ISI journal, aswell as two others currently in development. Further along the timethat this research has been developed, the author has been invitedto participate in various national and international conferences as aspeaker.

The results of this research is concentrated in six chapters of thedocument and it can be divided in three parts. The first two of them,develop theories for Quaternionic- and Cliffordian-valued functions,each one in chapter. The final section, which includes the remainingfour chapters illustrate the use of the theory developed in the secondpart to the Moisil-Theodoresco and the Dirac operators

In the first part, dealing with quaternionic functions; it is definedthe concept of the two-dimensional directional derivative, based onthe consideration of two-dimensional increments. Besides it is deve-lop a classification of the directions along the increments are taken.Furthermore, it is studied the necessary conditions for the existenceof the two-dimensional directional derivative and its relations withthe hyperholomorphic class of functions.

The next part develops the concepts of hyperderivative and the m-dimensional directional hyperderivative along hyperplanes. Then m-dimensional directional hyperderivative is employed for the hyper-derivation of the Cliffordian Cauchy-type integral and for obtain theSokhotski-Plemelj formulas for the hyperderivate of the CliffordianCauchy-type integral.

5

For the application of the concepts and techniques developed in theprevious section to the Moisil-Theodoresco and Dirac operators, thelinear Euclidean spaces R3 or Rm are doted of a Cliffordian algebraicstructure with the aim of taking advantage of the suitable Cliffordanalysis.

For the Moisil-Theodoresco operator, along two chapters are presen-ted three different ways to develop the necesary elements for intro-duce the concepts of the hyperderivative and of the 2-dimensionaldirectional hyperderivative, as well as their use for the derivation ofthe corresponding Cauchy-type integral. This diversity in approa-ches comes from the possibility to set different algebraic structuresfor R3. For this reason and for explanatory purposes only, it wassubsequently included a chapter written in terms entirely complexto show that once it is consider different complex structures for thecomplex plane C, then there are generated different types of complexderivatives and holomorphic classes of functions.

Finally in the last chapter is shown a non-canonical decomposition ofthe algebra C`0,m, which then can be used to present any Cliffordian-valued function as a linear combination of two C`0,m−1-valued fun-ctions and in this form submit he hyperderivative for Dirac operatorin terms of a sum of hyperderivatives in the C`0,m−1 algebra.

6

OBJETIVO

La meta fundamental de este trabajo ha sido aportar conocimientoen el desarrollo de la derivada y la diferenciabilidad de funciones convalores en un semicampo no conmutativo. Para lograrlo se procedioa traves de incrementos en la variable de una funcion de valores hi-percomplejos mediante dos enfoques. En el primero, para funcionescon dominios en R4 y de valores cuaternionicos se estudio una deri-vada direccional en donde el incremento de la variable se encuentraen planos bidimensionales. En el otro enfoque se consideran funcio-nes con dominio en Rm+1 y valores en el algebra C`0,m. Las derivadasintroducidas en este caso, llamadas hiperderivadas; considera incre-mentos que se hallan en paralelepıpedos m-dimensionales fijos a unpunto en Rm; el cual, en algunos casos es libre y en otros se en-cuentra ubicado en un plano hiperplano en Rm. En ambos casos, unobjetivo particular es estudiar la correlacion entre la respectiva clasede funciones hiperholomorfas y las derivadas antes descritas. Asimis-mo, un objetivo final de esta investigacion es emplear el segundo delos enfoques para establecer hiperderivadas para los operadores deMoisil-Theodoresco y de Dirac.

El nivel con el cual se ha alcanzado el objetivo se muestra por elhecho de que, como resultado de esta investigacion, se han publica-do tres artıculos en las menorias de un mismo numero de CongresosInternacionales; ası como tambien la invitacion hacia el autor paraparticipar en Congresos Nacionales e Internacionales de la especia-lidad.

Indice general

1. Introduccion 91.1. Antecedentes matematicos e historia del problema enfrentado en

esta tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Descripcion del contenido de esta tesis. . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Frutos derivados de la investigacion realizada . . . . . . . . . . . 13

2. Antecedentes complejos e hipercomplejos. 172.1. Rudimentos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Funciones y transformaciones holomorfas. . . . . . . . . . 172.2. Cuaternios reales y complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Algebras de cuaternios reales y complejos. . . . . . . . . . 182.2.2. Producto cuaternionico y su relacion con los productos

vectoriales en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3. Operador de multiplicacion derecha cuaternionica . . . . . 192.2.4. Conjugacion cuaternionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.5. Conjunto estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Funciones hiperholomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1. Funciones cuaternionicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2. Operadores de Cauchy-Riemann cuaternionicos, Fueter y

de Moisil-Theodoresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3. Operador de Cauchy-Riemann complejos . . . . . . . . . . 242.3.4. Funciones cuaternionicas hiperholomorfas y clases de hi-

perholomorfıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Analisis de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Algebras de Clifford reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2. Algebras de Clifford para bajas dimensiones . . . . . . . . 262.4.3. Operador de multiplicacion derecha Cliffordiano . . . . . 272.4.4. Funciones Cliffordianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.5. Una estructura hipercompleja para Rm+1. . . . . . . . . . 272.4.6. Operadores de Cauchy-Riemann Cliffordianos y operado-

res de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.7. Funciones hiperholomorfas y clases de hiperholomorfıa . 302.4.8. Nucleo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.9. Formas diferenciales hipercomplejas . . . . . . . . . . . . 31

7

8 INDICE GENERAL

2.5. Integral de tipo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Derivada direccional bidimensional. 353.1. Derivada direccional bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. Definicion de derivada direccional bidimensional . . . . . 353.1.2. Isomorfismos entre H y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.3. Definicion de derivada direccional bidimensional para H . 373.1.4. Incremento de los valores de la funcion . . . . . . . . . . . 38

3.2. Holomorfıas asociadas con la derivada direccional bidimensional . 403.2.1. Clasificacion de planos en H . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2. Planos del tipo (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3. Planos del tipo (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Planos de tipo (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.5. Holomorfıa alterna para planos de tipo (iii) . . . . . . . . 453.2.6. Planos afınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.7. Existencia derivada bidimensional . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. La derivada direccional bidimensional y otras regularidades . . . 483.3.1. Ejemplo: Funcion hiperholomorfa que no posee una deri-

vada direccional bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2. Conexion con la hiperholomorfıa . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3. Relacion con la Cullen-regularidad . . . . . . . . . . . . . 513.3.4. Ejemplo: La funcion potencia . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. Vınculo con las transformaciones de dos variables complejas . 533.4.1. Relacion entre las bases de L y L⊥ para planos de los

tipos (i) y (ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2. Relacion entre las bases de L y L⊥ para planos del tipo

(iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.3. Transformaciones de dos variables complejas . . . . . . . 543.4.4. Relacion entre las transformaciones holomorfas y la deri-

vada direccional bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. La hiperderivada en el analisis Clifford. 614.1. Hiperholomorfıa e hiperderivabilidad local . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1. Hiperderivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2. Hiperderivada en terminos de incrementos . . . . . . . . . 654.1.3. Hiperderivada en terminos de incrementos para

m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2. Derivada aerolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3. Derivada direccional m-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2. Antecedentes de la derivada direccional real y compleja . 714.3.3. Formula para la derivada direccional compleja . . . . . . 724.3.4. Derivada direccional Cliffordiana para m = 1 . . . . . . . 73

4.4. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy . . . . . . . . . . . . 734.4.1. Diferenciales Cliffordianas auxiliares . . . . . . . . . . . . 73

INDICE GENERAL 9

4.4.2. El nucleo de Cauchy y conjugado del operador derecho deCauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.3. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy . . . . . . . . 774.4.4. Hiperderivada p-esima de la integral de tipo de Cauchy . 794.4.5. Derivacion de las formulas de Sokhotski-Plemelj . . . . . 804.4.6. Derivada de la integral de tipo de Cauchy Cliffordiana

para m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. Acerca del operador de Moisil-Theodoresco. 835.1. Motivacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1. Antecedente cuaternionico para el operador deFueter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.2. Antecedente cuaternionico para el operador deMoisil - Theodoresco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2. El algebra de Clifford C`0,2 y los analisis de Clifford asociados. . 865.3. El i-analisis de C`0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1. Los i-operadores de Cauchy-Riemann y las i-formas dife-renciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.2. La i-diferencial cuaternionica. . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.3. La i-MT-diferencial cuaternionica. . . . . . . . . . . . . . 88

5.4. La i-hiperderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.2. La i-hiperderivada de un campo Laplaciano . . . . . . . . 905.4.3. La i-hiperderivada en terminos de incrementos . . . . . . 90

5.5. La i-hiperderivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6. La i-hiperderivada y la integral de tipo de Cauchy. . . . . . . . . 935.6.1. La i-MT diferencial derecha cuaternionica. . . . . . . . . 935.6.2. El operador de Moisil-Theodoresco y el nucleo de Cauchy 955.6.3. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6. Mas sobre el operador de Moisil-Theodoresco. 996.1. El j-analisis para C`0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2. La j-hiperderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.2. La j-hiperderivada de un campo Laplaciano . . . . . . . . 1016.2.3. La j-hiperderivada en terminos de incrementos . . . . . . 102

6.3. La j-hiperderivada direccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.1. Definicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4. La j-hiperderivada de la integral de tipo de Cauchy . . . . . . . . 1036.4.1. La j-MT diferencial cuaternionica derecha. . . . . . . . . 1036.4.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.5. El k-analisis para C`0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.6. La k-hiperderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10 INDICE GENERAL

6.6.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.6.2. La k-hiperderivada de un campo Laplaciano . . . . . . . . 1066.6.3. La k-hiperderivada en terminos de incrementos . . . . . . 107

6.7. La k-hiperderivada direccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.1. Definicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.8. La k-hiperderivada de la integral de tipo de Cauchy . . . . . . . 1086.8.1. La k-MT diferencial cuaternionica derecha. . . . . . . . . 1086.8.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.9. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7. Derivadas complejas 1117.1. Holomorfıa real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.2. Complexificacion canonica del plano R2. . . . . . . . . . . 1137.1.3. Real holomorfıa en forma compleja . . . . . . . . . . . . . 1137.1.4. Funcion compleja asociada a f . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2. Plano bidimensional R2ξ,η y su complexificacion . . . . . . . . . . 115

7.3. Relacion entre las estructuras complejas . . . . . . . . . . . . . . 1157.4. La holomorfıa real y la estructura Cζ . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5. Analogıas entre las estructuras complejas . . . . . . . . . . . . . 1167.6. Relacion entre las clases de holomorfıa . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7. Relacion con la holomorfıa real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8. La hiperderivada y el operador de Dirac 1238.1. Descomposiciones del algebra C`0,m . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.1.1. Descomposiones clasicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.1.2. Descomposicion en terminos del subalgebra par. . . . . . 124

8.2. Elementos del analisis para el algebra C`0,m−1. . . . . . . . . . . 1288.2.1. Correspondencia entre direcciones y bivectores. . . . . . . 1288.2.2. Operadores de Cauchy-Riemann asociados al operador de

Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.3. Operador de tipo de Cauchy-Riemann restringido. . . . . 1298.2.4. Descomposicion de los valores de una funcion

Cliffordiana y el operador de Dirac. . . . . . . . . . . . . 1298.2.5. Diferencial izquierda para el operador de Cauchy-Riemann

restringido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.6. Diferencial izquierda para el operador de Dirac. . . . . . . 132

8.3. La Dirac-hiperderivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3.1. Definiciones y teoremas vinculantes. . . . . . . . . . . . . 1358.3.2. La Dirac-hiperderivada en terminos de incrementos. . . . 1368.3.3. La Dirac-hiperderivada direccional. . . . . . . . . . . . . . 137

8.4. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy. . . . . . . . . . . . . 1398.4.1. Formas diferenciales auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . 1398.4.2. Teorema y corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

INDICE GENERAL 11

9. Conclusiones. 145

12 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Antecedentes matematicos e historia del pro-blema enfrentado en esta tesis.

Los bien conocidos conceptos de derivada, diferenciabilidad y dife-rencial en los analisis real y complejo unidimensionales, han sidotratados de generalizar de diversas maneras.

En primer lugar, la derivada se define en terminos del lımite de uncociente de incrementos en el cual, ambos componentes son de lamisma especie, es decir, tanto el numerador como el denominadorson numeros reales o complejos; mientras que en caso de conside-rarse funciones reales f : Rn → Rm o complejas f : Cn → Cm, laderivada se define mediante la matriz Jacobiana J(f). En los casosunidimensionales antes senalados, el campo escalar coincide con elespacio vectorial por lo que la derivada es una matriz (1 × 1) y sereduce a una sola funcion.

En un intento por extender a un campo distinto de R o C la ideadel lımite de un cociente de incrementos, se considero el campo anti-simetrico H. De esta forma, para funciones de valores cuaternionicosy de variable cuaternionica, es decir f : H→ H, en 1860 R. W. Ha-milton planteo el lımite

lımt→0

f(q + t4q)− f(q)

t

13

14 CAPITULO 1. INTRODUCCION

con 4q := q′ − q, q′, q ∈ H y t ∈ R, el cual claramente no considerauna razon de incrementos cuaternionicos. Entre 1947 y 1948 N. M.Krylov y A.S. Melijhzon analizaron lımites de cocientes incremen-tales cuaternionicos de la forma

lım4q→0

(f(q +4q)− f(q)) (4q)−1 y lım4q→0

(4q)−1 (f(q +4q)− f(q)) ,

encontrando que las funciones del tipo f(q) = aq+b y f(q) = qa+b ,con a, b ∈ H, son las mas generales para las cuales los lımites existen.

Otro enfoque para abordar el problema de la generalizacion del con-cepto de derivada en forma clasica para H, se da con la idea quepresenta la definicion de diferencial de una funcion compleja, la cualse define como la parte lineal del incremento de la funcion y comose sabe para funciones diferenciables el coeficiente de esta parte li-neal coincide con la derivada de la funcion. Por lo que la derivadarepresenta un factor de proporcionalidad entre el incremento de lafuncion y el de la variable.

Es ası que en 1979 A. Sudberry introduce para funciones f : H→ Hla regularidad-izquierda ( y -derecha), a traves de un factor de pro-porcionalidad cuaternionico entre dos formas diferenciales cuater-nionicas y muestra que la derivada de una funcion regular es ellımite de un cociente de incrementos, aunque son unos incrementosmuy peculiares. En 1993 I. Mitelman y M. Shapiro, presentan parauna funcion f : H→ H el concepto de la derivada direccional tridi-mensional, la cual se define a lo largo de planos tridimensionales ytambien considerando un lımite de un cociente de incrementos. Parafunciones f : Rm+1 → C`0,m en 1999 H. Malonek y K. Gurlebeckdefinen la regularidad de dichas funciones, bajo ideas similares a lasexpuestas por A. Sudbery.

1.2. DESCRIPCION DEL CONTENIDO DE ESTA TESIS. 15

1.2. Descripcion del contenido de esta tesis.

Este trabajo pretende contribuir en la solucion al problema de la de-rivabilidad y diferenciabilidad hipercomplejas; y se encuentra orga-nizado de la forma siguiente. En el Capıtulo 2 se hallan los elementoshipercomplejos necesarios para el desarrollo de esta investigacion.

Debido a que en el caso de funciones de valores cuaternionicos los in-crementos se pueden considerar unidimensionales, bidimensionales,tridimensionales o tetradimensionales; en el Capıtulo 3 se introduceel concepto de la derivada direccional bidimensional definida a lolargo de planos bidimensionales en H y mediante un cociente de in-crementos cuaternionicos. Se detalla la clasificacion de los posiblestipos de planos bidimensionales que se pueden encontrar en H y semuestran las estructuras complejas asociadas a cada tipo de plano.Dichas estructuras permiten obtener operadores y condiciones deholomorfıa, que garantizan la existencia de la derivada direccionalbidimensional a lo largo de los diferentes tipos de planos. Ademasse muestran algunos ejemplos de la aplicacion de este concepto. Eneste mismo capıtulo se estudian sus vınculos con la hiperholomorfıa,la Cullen-regularidad y finalmente con mapeos holomorfos de dosvariables complejas.

En el Capıtulo 4 se trabaja ya con funciones f : Rm+1 → C`0,m. Secomienza por definir la hiperholomorfıa local e hiperderivabilidadlocal, ası como tambien se introduce la hiperderivada de una funcionde valores Cliffordianos mediante una relacion de proporcionalidadentre dos formas diferenciales adecuadas y se muestra su relacion conel lımite de un cociente de incrementos. A continuacion se consideranhiperplanos en Rm que determinaran las direcciones a lo largo de lascuales se definen las hiperderivadas direccionales m-dimensionales.El concepto de la hiperderivada direccional m-dimensional se empleadespues para derivar a la integral de tipo de Cauchy en C`0,m yobtener las formulas de Sokhotski-Plemelj para la derivada de laintegral de tipo de Cauchy.

El Capıtulo 5 desarrolla el concepto de hiperderivada para una fun-cion Moisil-Theodoresco hiperholomorfa, mediante un operador detipo de Cauchy-Riemann especıfico. Se comienza presentando comomotivacion el hecho de que al tratar de generar con un enfoque clasi-co el concepto para funciones Moisil-Theodoresco hiperholomorfas,


este conduce a una clase de funciones muy reducida. Acto seguidose considera el conjunto de unidades imaginarias −k, j, el cual alagregarle la unidad real genera el algebra de Clifford C`0,2 y per-mite producir un encajamiento del espacio tridimensional R3 en Hno canonico. Una vez que se ha fijado en el dominio la estructu-ra con la variable x1 − x2k + x3j, se desarrolla el concepto de lai-hiperderivada a traves del analisis Cliffordiano correspondiente alalgebra C`0,2 = gen−k, j ∼= H. Continuando con la lınea de pen-samiento mostrada en el Capıtulo 4 se obtienen la i-hiperderivadaen terminos de incrementos y su relacion con las funciones Moisil-Theodoresco hiperholomorfas, la i-hiperderivada direccional ası co-mo tambien la posibilidad por medio de la aplicacion del operadorde Moisil-Theodoresco de derivar a la integral de tipo de Cauchy.

Para el Capıulo 6, se introduce de nueva cuenta el concepto de hi-perderivada para una funcion Moisil-Theodoresco hiperholomorfa,solo que ahora se presenta al considerar otros dos encajamientosdistintos del espacio tridimensional R3 en H. Estos encajamientosse establecen por los conjuntos k,−i y −j, i los cuales tambiengeneran el algebra de Clifford C`0,2. Las hiperderivadas correspon-dientes son llamadas la j- y la k-hiperderivada respectivamente; lascuales se determinan a traves de los correspondientes operadores detipo de Cauchy-Riemann. Ademas se definen las respectivas hiper-derivadas direccionales y al igual que en Capıtulo previo se logra laposibilidad de derivar a la integral de tipo de Cauchy con ayuda dela aplicacion del operador de Moisil-Theodoresco, en cada una delas estructuras planteadas.

Como se puede observar una vez que se analiza lo presentado en losCapıtulos 5 y 6, en ellos se desarrolla un mismo concepto, pero atraves de tres distintos encajamientos, los cuales a su vez generansus correpondientes estructuras algebraicas en el dominio pero laestructura en la imagen permanece invariante, pues es la asociadaa H. De esta forma surge la pregunta de que si en las dimensio-nes inferiores existe un antecedente semejante. En la busqueda deuna respuesta a la interrogante antes planteada es que se elabo-ra el Capıtulo 7. En este capıtulo se consideran transformacionesf : Ω ⊂ R2 → R2, para las cuales se define el concepto de real holo-morfıa y se muestra la forma de complexificar a la transformacionf de acuerdo a la estructura compleja canonica. Acto seguido se

1.3. FRUTOS DERIVADOS DE LA INVESTIGACION REALIZADA 17

introducen dos estructuras complejas distintas en el plano R2 quecontiene el dominio de la funcion. De esta manera se muestra quepara una misma funcion f cuya complexificacion toma valores enel plano C existen dos diferentes derivadas complejas, una por cadaestructura, con las correspondientes distintas clases de holomorfıa.Para concluir se establecen las relaciones entre estas dos derivadascomplejas y su relacion con la real holomorfıa.

El Capıtulo 8 inicia con la exposicion de una relacion entre el es-pacio lineal C`−0,m y la subalgebra par C`+

0,m mediante un factorCliffordiano adecuado, para despues desarrollar una descomposicionalternativa del algebra de Clifford C`0,m como una suma directa, enla que sus terminos son el algebra C`0,m−1 y un multiplo Cliffordianode ella. Una vez establecida la descomposicion antes mencionada, seprocede a presentar a toda funcion f : Ω ⊂ Rm → C`0,m comouna suma de dos funciones con dominio Ω y valores en el algebraC`0,m−1, de esta forma se aprovecha la teorıa desarrollada en elCapıtulo 4 para definir el concepto de hiperderivada para funcionesf : Ω ⊂ Rm → C`0,m y su relacion con las Dirac-hiperholomorfas.En seguida se introduce la definicion de Dirac-hiperderivada direc-cional y se obtiene una formula similar a los casos anteriores parasu calculo. Finalmente se establece la derivacion de una integral detipo de Cauchy mediante la aplicacion del operador de Dirac.

Para concluir, en el ultimo de los capıtulos, el 9, contiene las con-clusiones que permiten obtener los resultados descubiertos y en elCapıtulo 10 se muestran las caratulas de los artıculos desarrolladosy aceptados hasta el momento en que esta tesis fue escrita.

1.3. Frutos derivados de la investigacion realiza-da

En los capıtulos que componen este trabajo se encuentran resultadosoriginales y algunos de estos resultados han sido publicados en losartıculos que a continuacion enumero:


• Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., ShapiroM., On some relations between the derivative and the two-dimensional directional derivatives of a quaternionic function.American Institute of Physics. Numerical Analysis and Ap-plied Mathematics,International Conference Corfu, Gree-ce. 2007. 758–760.

• Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., Shapi-ro M., On the Derivatives of Quaternionic Functions AlongTwo-Dimensional Planes. Advances in Applied Clifford Alge-bras.Birkhauser. 2008.

• Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., ShapiroM., Hyperderivatives in Clifford Analysis and Some Applica-tions to the Cliffordian Cauchy-type Integrals. Quaternions andClifford Analysis. Trends in Mathematics. Birkhauser. 2008.221–234.

Ademas en el transcurso de esta investigacion los resultados logradoshan sido expuestos a la comunidad matematica nacional e interna-cional, quien los ha acogido con gran aceptacion. A continuacion seenumeran las conferencias nacionales e internacionales impartidaspor el autor.

• XXXIX Congreso Nacional de la Sociedad Matematica Mexi-cana, con sede en la Universidad Juarez Autonoma de Tabasco,Ciudad de Villahermosa, Tabasco; del 1 al 6 de Octubrede 2006. Sobre la derivada cuaternionica.

• Seminario Interinstitucional “Analisis: Norte - Sur”, CINVES-TAV - IPN; del 22 al 24 de noviembre de 2006. Sobre lasderivadas direccionales en analisis cuaternionico.

• 6th International ISAAC Congress, celebrado en METU, Anka-ra, Turquıa; del 13 al 18 de agosto de 2007. About the two-dimensional direcctional derivative of quaternionic functions.

• III Congreso Internacional APPLIEDMATH, UP Zacatenco- IPN; del 9 al 12 de octubre de 2007. Acerca de la derivadadreccional para funciones hiperholomorfas.

1.3. FRUTOS DERIVADOS DE LA INVESTIGACION REALIZADA 19

• 8th International Conference on Clifford Algebras and their Ap-plications to Mathematical Physics, celebrado en UNICAMP,Campinas, Brasil; del 26 al 30 de mayo de 2008. On the no-tions of hyperderivatives and n-dimensional directional deriva-tive.

• XLI Congreso Nacional de la Sociedad Matematica Mexicana,con sede en el Tecnologico de Estudios Superiores de Valle deBravo, Valle de Bravo, Estado de Mexico; del 20 al 24 deoctubre de 2008. Sobre la hiperderivada y la hiperdiferenciabi-lidad hipercompleja.

Por ultimo agrego que en este mes de mayo participare en el Con-greso IWOTA 2009 con la platica

The hyperderivative and the Moisil-Theodoresco operator ,

con la cual muestro a la sociedad matematica otra parte de los re-sultados contenidos en este trabajo y que actualmente se preparanen un artıculo para su posterior publicacion..

Mexico, D. F., mayo de 2009.


Capıtulo 2

Antecedentes complejos ehipercomplejos.

En este capıtulo se encuentran los elementos complejos e hipercomplejos nece-sarios para el desarrollo de los capıtulos subsecuentes.

2.1. Rudimentos complejos.

2.1.1. Funciones y transformaciones holomorfas.

Sea n ∈ N. El espacio complejo n-dimensional se define por

Cn := z|z = (z1, z2, . . . , zn); zj ∈ C, 1 ≤ j ≤ n ; (2.1)

el cual es el producto cartesiano de n copias de C y cada coordenada zj serepresenta por zj := xj + iyj , donde xj , yj ∈ R e i es la unidad compleja usual.

Mediante la relacion

z −→ (x1, y1, . . . , xn, yn) ; (2.2)

se establece un isomorfismo entre Cn y R2n. Debido a esta identificacion los con-ceptos usuales de topologıa y analisis en el espacio Euclidiano R2n se extiendeninmediatamente al conjunto Cn.

Sea Ω ⊂ Cn un dominio. En C1(Ω; C) se definen los operadores

∂

∂zj=

12

(∂

∂xj− i ∂

∂yj

),

∂

∂zj=

12

(∂

∂xj+ i

∂

∂yj

); (2.3)

para 1 ≤ j ≤ n.

21

22 CAPITULO 2. ANTECEDENTES COMPLEJOS E HIPERCOMPLEJOS.

Definicion 2.1.1.1 La funcion f ∈ C1(Ω; C) se llama holomorfa en Ω si

∂f

∂zj(z) = 0 ; (2.4)

para 1 ≤ j ≤ n y todo z ∈ Ω.La funcion f : Cn → C se dice holomorfa en elpunto a ∈ Cn si es holomorfa en una vecindad de a,V(a).

Definicion 2.1.1.2 Sea Ω ⊂ Cn. La transformacion F = (f1, . . . , fm) ∈ C1(Ω; Cm),con fk : C→ C para 1 ≤ k ≤ m; se llama holomorfa si

∂fk∂zj

(z) = 0 ; (2.5)

para 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m y para todo z ∈ Ω.

2.2. Cuaternios reales y complejos.

2.2.1. Algebras de cuaternios reales y complejos.

Los conjuntos de los cuaternios reales y complejos se denotan mediante H(R)y H(C), respectivamente. Para a ∈ H(R), o H(C); su representacion esta dadapor a =

∑3`=0 a` i`, con a` ∈ R (o C); i0 es la unidad; i` |` = 1, 2, 3 son las

unidades imaginarias cuaternionicas y que poseen las propiedades:

i20 = i0 = −i2` ; i0i` = iì0 = i`; (2.6)

para ` = 1, 2, 3 y

i1i2 = −i2i1 = i3; i2i3 = −i3i2 = i1; i3i1 = −i1i3 = i2; (2.7)

Con un enfoque clasico se establece la siguiente identificacion

i1 = i i2 = j i3 = k . (2.8)

Como de costumbre, i representa la unidad imaginaria en C y por definicion

i · i` = i` · i; (2.9)

para ` = 0, 1, 2, 3.

La definicion de cualquier cuaternio real o complejo como una combinacion linealde las unidades imaginarias i` permite presentarlo en la forma vectorial.

2.2. CUATERNIOS REALES Y COMPLEJOS. 23

Sea a =∑3`=0 a` i` ∈ H(C), entonces la forma vectorial de a se define por

a = a0 + ~a , (2.10)

en donde a0 =: Sc(a) se conoce como la parte escalar y ~a =: Vec(a) =∑3`=1 a` i`

se llama la parte vectorial. Notese como en este caso el termino escalar se escribesin i0.

Un cuaternio a ∈ H(C) para el cual Sc(a) = 0 es conocido como cuaterniopuramente vectorial. En caso de que a ∈ H(R) y a = ~a entonces a se identificacon un vector en R3.

2.2.2. Producto cuaternionico y su relacion con los pro-ductos vectoriales en R3

Existe una relacion muy estrecha entre el producto cuaternionico y los productosdefinidos en el analisis vectorial. El producto de dos cuaternios a, b ∈ H(C) sepuede presentar en terminos vectoriales como a continuacion se muestra:

a b = a0b0 −⟨~a,~b⟩

+[~a×~b

]+ a0

~b+ b0~a , (2.11)

donde

⟨~a,~b⟩

:=3∑k=1

akbk ∈ C (2.12)

representa el producto interno y

[~a×~b

]:=

∣∣∣∣∣∣i1 i2 i3a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ ∈ C3 (2.13)

es el producto vectorial, ambos definidos en C3.

2.2.3. Operador de multiplicacion derecha cuaternionica

Como se sabe, la multiplicacion (2.11) no es conmutativa, por lo cual resultaconveniente para los propositos de este trabajo introducir el siguiente operadorentre cuaternios.

Definicion 2.2.3.1 Sea a ∈ H(C), entonces el operador de multiplicacion de-recha Ma : H(C)→ H(C) se define por

Ma[b] := b a ,

para b ∈ H(C).


De esta forma, se podra indicar una multiplicacion por la derecha entre cuater-nios.

2.2.4. Conjugacion cuaternionica

En H(C) se distinguen dos conjugaciones distintas: la compleja y la cuaternioni-ca. Sea a ∈ H(C), la conjugacion compleja de a se define por

ZC(a) := a∗ = Re a− i Im a =3∑`=0

Re(a`)i` − i3∑`=0

Im(a`)i` ,

y la conjugacion cuaternionica de a se define por

ZH(a) := a = a0 − ~a.

Para a, b ⊂ H(C) se tiene

a · b = b · a (2.14)

y satisface

a · a = a · a =3∑`=0

a2` = |Re a|2 − |Im a|2 + 2i 〈Re a, Im a〉R4 ∈ C , (2.15)

donde |Re a| , |Im a| representan la norma euclideana de un vector tetradimen-sional y 〈 Re a, Ima〉R4 el producto escalar euclideano en R4.

La ultima ecuacion indica que el producto aa puede ser cero aun cuando a nolo sea, por lo que H(C) tendra divisores de cero.

Para a ∈ H(C) que no sea divisor de cero su inverso a−1 se define por

a−1 :=a

aa. (2.16)

En adelante, a lo largo de este trabajo se considerara solamente el conjunto delos cuaternios reales y sera denotado por H.

2.2.5. Conjunto estructural

El conjunto ψ := ψ0, ψ1, ψ2, ψ3 ⊂ H que satisface

ψj ψk + ψk ψl = 2δjk ; (2.17)

donde δjk es la delta de Kronecker, se conoce como conjunto estructural. En elcaso de las unidades imaginarias i` |` = 0, 1, 2, 3, entonces ψ se llama conjunto

2.3. FUNCIONES HIPERHOLOMORFAS 25

estructural estandar y es denotado por ψst. Este conjunto tambien se presentaen la forma clasica como 1, i, j, k y a lo largo de este trabajo se intercambianlibremente ambas representaciones, con la finalidad de mantener la forma clasicade algunos operadores.

Puesto que cualquier α = (α0, α1, α2, α3) ∈ R4 puede ser considerado un ele-mento de H al identificarlo con la combinacion lineal

∑3`=0 α` i`. Entonces para

α y β en R4, con

α =∑3`=0 α` i` y β =

∑3`=0 β` i`;

se tiene por (2.11)

α · β = α0 β0 +⟨~α; ~β

⟩R3−[~α× ~β

]− α0

~β + β0~α .

Por lo que

α · β + β · α = 2α0 β0 + 2⟨~α; ~β

⟩R3.

Ası que al asumir que α y β son vectores ortonormales, entonces

α · β + β · α =

2 si α = β ;0 si α 6= β .

(2.18)

De esta forma se demuestra la siguiente proposicion.

Proposicion 2.2.5.1 El conjunto α1, α2, α3, α4 ⊂ R4 es un conjunto orto-normal si y solo si es un conjunto estructural en H.

2.3. Funciones hiperholomorfas

2.3.1. Funciones cuaternionicas

Es posible establecer relaciones funcionales con valores en H y la siguiente defi-nicion lo presenta.

Definicion 2.3.1.1 Sea Ω ⊂ R4 un dominio. Una funcion f : Ω→ H dada por

f =3∑`=0

f` i` ,

con f` : Ω→ R, ` = 0, 1, 2, 3; se llamara funcion cuaternionica.

Con p ∈ N∪ 0 ∪ ∞ el conjunto Cp(Ω; H) tiene el significado usual, ver [29];

Cp(Ω; H) := f : Ω→ H |f` ∈ Cp(Ω; R), ` = 0, 1, 2, 3 .


2.3.2. Operadores de Cauchy-Riemann cuaternionicos, Fue-ter y de Moisil-Theodoresco

Ahora se presentan una serie de operadores fundamentales dentro del analisiscuaternionico y que se definen en C1(Ω ⊂ R4,H(R)). Se comienza con el llamadooperador cuaternionico izquierdo de Cauchy-Riemann, el cual esta dado por

ψD :=3∑`=0

ψ`∂

∂x`, (2.19)

donde ψ es un conjunto estructural. La version derecha del operador de Cauchy-Riemann (2.19) es

Dψ :=3∑`=0

Mψ`∂

∂x`. (2.20)

Los correspondientes operadores conjugados de (2.19) y (2.20) se definen por

ψD :=3∑`=0

ψ`∂

∂x`(2.21)

y

Dψ :=3∑`=0

Mψ`∂

∂x`. (2.22)

Con los operadores de cuaternionicos de Cauchy-Riemann antes presentados,se generaliza un hecho bien conocido en el analisis complejo unidimensional: lafactorizacion del operador de Laplace en R2.

En [29] se ha mostrado que sobre el conjunto C2(Ω,H(R))

∆H =ψ D ·ψ D =ψ D ·ψ D = Dψ ·Dψ = Dψ ·Dψ , (2.23)

en donde ∆H[f ] :=3∑`=0

∆[f ] i` y ∆ es el operador de Laplace en R4 y se aplica

a cada componente de la funcion f .

En caso de considerar el conjunto estructural ψst el operador (2.19) es conocidocomo el operador de Fueter. En este caso el operador toma la forma

ψstD = DF :=∂

∂x0+ i

∂

∂x1+ j

∂

∂x2+ k

∂

∂x3. (2.24)

2.3. FUNCIONES HIPERHOLOMORFAS 27

El operador dado por la expresion

DMT := i∂

∂x1+ j

∂

∂x2+ k

∂

∂x3, (2.25)

es conocido como el operador de Moisil-Theodoresco, el cual a diferencia de losanteriores operadores esta definido en C1(R3,H).

Para este operador cuaternionico su conjugado es tan solo su inverso aditivo, yaque

DMT = −i ∂

∂x1− j ∂

∂x2− k ∂

∂x3.

= −DMT .

(2.26)

Con estos ultimos dos operadores, la propiedad de factorizar al operador deLaplace en R3 se preserva, aunque por (2.26) se tiene

DMT DMT = −D2MT = ∆R3 .

Lo cual determina un hecho peculiar: el operador de Moisil-Theodoresco es unaraız cuadrada de −∆R3 .

Como consecuencia de la configuracion del operador de Moisil-Theodoresco, esposible que se piense en que este es una parte del operador de Fueter. Es factiblevincular ambos operadores, aunque para lograr dicho fin es necesario consideraruna extensin del operador (2.25) a R4.

Sea el operador DMT : C1(R4,H) y tal que

DMT |R3 = DMT . (2.27)

Entonces

DF =∂

∂x0+ DMT . (2.28)

Para finalizar con el operador de Moisil-Theodoresco, se muestra que comoconsecuencia de (2.10) y (2.11) la aplicacion del operador de Fueter a una funcioncuaternionica se puede presentar en terminos vectoriales y de la extension recienpresentada del operador de Moisil-Theodoresco en la forma siguiente

DF [f ] =∂f0

∂x0+

∂ ~f

∂x0+ DMT [f0]−

⟨DMT , ~f

⟩+[DMT × ~f

]; (2.29)

donde de acuerdo a [27], los ultimos dos terminos de (2.29) se definen como


⟨DMT , ~f

⟩:=

3∑`=1

∂f`∂x`

y

[DMT × ~f

]:=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

2.3.3. Operador de Cauchy-Riemann complejos

Haremos referencia a los operadores complejos que sirven de antecedente a losoperadores de Cauchy-Riemann cuaternionicos y de Fueter. Para el conjuntoC1(R2; C) se define el operador

∂

∂z:=

12

(∂

∂x− i ∂

∂y

), (2.30)

el cual es llamado como operador de Cauchy-Riemann complejo o tambien esconocido como operador de Derivada de Wirtinger.

El conjugado complejo de (2.30) esta dado por

∂

∂z:=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

). (2.31)

Observe la semejanza entre estos operadores complejos y el operador de Fueter,

aunque en este caso el operador DF le corresponde a∂

∂zy el operador DF a

∂

∂z. En analogıa, el operador (2.19) se considera como una generalizacion del

operador (2.31).

Por otra parte el operador de Moisil-Theodoresco no presenta un antecedentecomplejo.

2.4. ANALISIS DE CLIFFORD 29

2.3.4. Funciones cuaternionicas hiperholomorfas y clasesde hiperholomorfıa

En el analisis complejo unidimensional existe un conjunto de funciones muy bienconocido y estudiado: el de las funciones holomorfas. Dado un dominio Ω ⊂ C,el conjunto de funciones holomorfas en Ω esta determinado por el nucleo deloperador (2.31), es decir

Hol(Ω) := ker∂

∂z. (2.32)

Para H, la generalizacion de las funciones holomorfas se da mediante la definicionsiguiente.

Definicion 2.3.4.1 Sean ψ un conjunto estructural y Ω ⊂ R4 un dominio fijos.Los conjuntos

ψM(Ω) := ker ψD , (2.33)Mψ(Ω) := kerDψ , (2.34)

son llamados las clases de hiperholomorfıa izquierda y derecha respectivamente.La funcion f ∈ ψM(Ω) se denomina ψ-hiperholomorfa izquierda y de maneraanaloga se nombran las ψ-hiperholomorfas derechas. En caso de que ψ = ψst lafuncion se llamara Fueter hiperholomorfa

Se debe observar la discrepancia de la generalizacion presentada en la Definicion2.2.4.1 de la dada por (2.32). Esta diferencia se da por la aplicacion en el caso

cuaternionico del operador que corresponde a∂

∂z.

Como se menciono antes, en caso del operador de Moisil-Theodoresco no existeun operador complejo que sirva de antecedente, pero aun ası es posible definirla correspondiente clase de funciones hiperholomorfas.

Definicion 2.3.4.2 La funcion f : Ω ⊂ R3 → H se conoce como Moisil-Theodoresco hiperholomorfa si f ∈ kerDMT . La clase de funciones Moisil-Theodoresco hiperholomorfas en Ω se denotara por MMT (Ω).

2.4. Analisis de Clifford

2.4.1. Algebras de Clifford reales

Definicion 2.4.1.1 Sean e0 la unidad real y e1, e2, . . . , em una base ortonormal(ON) de Rm, con las siguientes reglas de multiplicacion:


e2k = −e0

eke` + eèk = −2δkè0,(2.35)

donde k, ` = 1, 2, . . . ,m y δk` es la delta de Kronecker .

El algebra de Clifford 2m-dimensional C`0,m sobre R se genera por la baseeA : A ⊆ 1, 2, . . . , n con eA = eh1eh2 · · · ehr , 1 ≤ h1, < · · · < hr ≤ m, e∅ =e0 = 1.

Los numeros de Clifford a ∈ C`0,m son de la forma

a =∑A

aA eA ,

tal que aA ∈ R. El conjugado de a ∈ C`0,m se define por

Z(a) := a =∑A

aA eA ,

con

eA = ehrehr−1 · · · eh1 ; ek = −ek (k = 1, . . . ,m) , e0 = e0 = 1 ;

y para c, d ∈ C`0,m se tiene

c d = d c . (2.36)

2.4.2. Algebras de Clifford para bajas dimensiones

Dos ejemplos inmediatos de algebras de Clifford son

(i) m = 1 ; se tiene solamente el vector basico e1, el cual es identificado conla unidad imaginaria i, con lo que C`0,1 ∼= C(i).

(ii) m = 2 ; los basicos e1 y e2 generan e3 := e1 e2, ası que al hacer laidentificacion

e1 = i, e2 = j y e3 = k ,

entonces C`0,2 ∼= H(R).


2.4.3. Operador de multiplicacion derecha Cliffordiano

Por (2.35) el producto en C`0,m no es conmutativo, por lo que en semejanza aH, aquı tambien se definira un operador que permita multiplicar por la derecha.

Definicion 2.4.3.1 Sea c ∈ C`0,m, entonces el operador de multiplicacion de-recha M c : C`0,m → C`0,m se define por

M c[d] := d c ,

para d ∈ C`0,m.

2.4.4. Funciones Cliffordianas

Sea Ω ⊂ Rm+1 un dominio. Una funcion f : Ω → C`0,m se dice de valoresCliffordianos si puede ser escrita en la forma

f (x) =∑A

fA (x) eA,

con fA : Ω→ R .

2.4.5. Una estructura hipercompleja para Rm+1.

En la busqueda de una generalizacion para los espacios euclidianos Rm+1, conm ≥ 2; de una estructura algebraica analoga a la de la variable compleja unidi-mensional z, se introduce la representacion paravectorial para cualquier punto(x0, x1, . . . , xm) ∈ Rm+1 dada por

x = x0 + x1e1 + x2e2 + · · ·xmem ∈ A := genR 1, e1, . . . , em ;

con e` los basicos de Rm sujetos a (2.35), e0 la unidad de C`0,m y su conjugadosiendo

x = x0 −m∑`=1

xè` .

A lo largo de este trabajo la representacion paravectorial de cualquier x ∈ Rm+1

sera tambien llamada como numero hipercomplejo.

En esta representacion hipercompleja en lugar de considerar la parte real y lacompleja, se distinguira entre la parte escalar

Sc x :=12

(x + x) ,


y la parte vectorial

Vec x :=12

(x− x) .

del numero hipercomplejo x. La norma de x ∈ A se define por

|x| :=√

x x . (2.37)

Para cada 0 6= x ∈ A su inverso esta dado por

x−1 =x|x|2

. (2.38)

2.4.6. Operadores de Cauchy-Riemann Cliffordianos y ope-radores de Dirac

De forma analoga al caso cuaternionico, en este caso tambien se definen opera-dores que buscan generalizar a los operadores de Cauchy-Riemann complejos.

Definicion 2.4.6.1 El operador

D :=m∑`=0

e`∂

∂x`, (2.39)

es conocido como el operador de Cauchy- Riemann generalizado para Rm+1 ysu conjugado esta definido por

D :=m∑`=0

e`∂

∂x`. (2.40)

Los operadores generalizados de Cauchy-Riemann y sus conjugados preservanla propiedad de factorizar al operador de Laplace en Rm+1 , es decir

DD = DD = ∆Rm+1 . (2.41)

Los operadores derechos correspondientes estan definidos por

Dr :=m∑`=0

Me`∂

∂x`, (2.42)

y


Dr :=m∑`=0

Me`∂

∂x`. (2.43)

De (2.36) se tiene

Dr = ZDZ , Dr = ZDZ .

Por lo que, los operadores (2.45) y (2.43) tambien factorizan al operador deLaplace:

DrDr = DrDr = ∆Rm+1 .

Otro operador de gran importancia dentro del analisis en algebras de Cliffordes el siguiente.

Definicion 2.4.6.2 En C1(Ω ⊂ Rm;C`0,m) se define el operador izquierdo deDirac mediante

DD :=m∑`=1

e`∂

∂x`(2.44)

y el correspondiente operador derecho por

DD,r :=m∑`=1

Me`∂

∂x`. (2.45)

Para el operador (2.44) su conjugado esta dado por

DD :=m∑`=1

e`∂

∂x`

= −DD .

(2.46)

De esta forma

−D2D = ∆m ,

lo cual nos indica que el operador de Dirac es una raız cuadrada del operadorde Laplace. De esta forma se observa que el operador de Dirac presenta uncomportamiento semejante al del operador de Moisil-Theodoresco.


2.4.7. Funciones hiperholomorfas y clases de hiperholo-morfıa

Una vez que se han introducido los operadores generalizados de Cauchy-Riemanny de Dirac, es natural pensar en extender el concepto de holomorfıa para fun-ciones con valores en C`0,m.

Definicion 2.4.7.1 Las funciones f ∈ C1(Ω ⊂ Rm+1, C`0,m

)son llamadas

Cauchy-Riemann hiperholomorfas izquierdas (Cauchy-Riemann hiperholomor-fas derechas), o mas brevemente C-R hiperholomorfas izquierdas (C-R hiperho-lomorfas derechas) si

D [f ] (x) =∂f

∂x0(x) + e1

∂f

∂x1(x) + · · ·+ em

∂f

∂xm(x) = 0 (2.47)

y

Dr [f ] (x) =∂f

∂x0(x) +

∂f

∂x1(x) e1 + · · ·+ ∂f

∂xm(x) em = 0 , (2.48)

para todo x ∈ Ω (respectivamente). El conjunto de funciones C-R hiperholomor-fas izquierdas (derechas) se denota por M(Ω) (Mr(Ω)).

Para el operador de Dirac se tiene la siguiente definicion

Definicion 2.4.7.2 En C1(Ω ⊂ Rm; C`0,m) la clase de funciones Dirac hiper-holomorfas izquierdas es ker DD(Ω) y se denotara por MD(Ω). Analogamente,las funciones Dirac hiperholomorfas derechas se encuentran en ker DD,r(Ω) yla correspondiente clase es MD,r(Ω).

2.4.8. Nucleo de Cauchy

En este momento se desarrollara uno de los ejemplos mas importantes de fun-ciones C-R hiperholomorfas. En primer lugar, se recuerda que Am+1 representael area de superficie de la esfera unitaria Sm, dada por

Am+1 =2π

m+12

Γ(m+1

2

) .Se sabe que la solucion fundamental del operador de Laplace ∆Rm+1 es la funcion

N(z) =

1

(1−m)Am+1|x|m−1, si m > 1 ,

12

log|x|, si m = 1 ;


la cual sirve para generar una funcion esencial y que se obtiene mediante laaplicacion de (2.41) a N(x). Ası que

E(x) = D[N ](x)

=x

Am+1|x|m+1.

(2.49)

La funcion recien obtenida es conocida como el nucleo de Cauchy y es la solucionfundamental de los operadores (2.39) y (2.45).

2.4.9. Formas diferenciales hipercomplejas

Ahora se presentan las formas diferenciales necesarias para el desarrollo delpresente trabajo.

Para f : Ω→ C`0,m la diferencial

df =∂f

∂x0dx0 +

∂f

∂x1dx1 + · · ·+ ∂f

∂xmdxm , (2.50)

es considerada como una 1-forma con valores C`0,m.

Como de costumbre, el elemento de volumen en Rm+1 es la (m + 1)-forma devalores reales dada por

dV := dx0 ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxm . (2.51)

Ahora la m-forma

σx := dx0 − e1dx1 + · · ·+ (−1)memdxm , (2.52)

donde dxk, es la m-forma diferencial que se obtiene de (2.51) al omitir el factordxk, para k = 0, 1, . . . ,m. Esta forma tambien es conocida como la representa-cion Cliffordiana del elemento de superficie, ya que si Γ es una superficie suaveen Rm+1 entonces

σx = nxdSx ,

donde

nx :=m∑`=0

e`n`,x

es la Cliffordizacion del vector normal unitario ~n := (n0, n1, . . . , nm) en el puntox ∈ Γ y dSx es el elemento de superficie en Rm+1.


Al determinar el conjugado del elemento de superficie se tiene

σx = dx0 + e1dx1 − e2dx2 + · · ·+ (−1)m+1emdxm . (2.53)

Entonces de (2.52) y (2.53) las partes escalar y vectorial del elemento de super-ficie son

Sc(σx) = 12 (σx + σx)

= dx0

(2.54)

y

Vec(σx) = 12 (σx − σx)

= −e1dx1 + e2dx2 − · · ·+ (−1)memdxm(2.55)

respectivamente.

Debido a que dxk conmuta con e`, para k, ` = 0, 1, . . . ,m; entonces al factorizardx0 de (2.55) se obtiene la (m− 1)-forma τx dada por

τx = −e1dx0,1 + e2dx0,2 + · · ·+ (−1)memdx0,m . (2.56)

2.5. Integral de tipo de Cauchy

La siguiente definicion,corolario y teoremas son unas formulas integrales funda-mentales para los propositos de este trabajo y pueden ser hallados en su formamas general en el texto [11]. Se comienza con la definicion de una superficie deLiapunov.

Definicion 2.5.0.1 Una superficie compacta Γ es llamada una superficie deLiapunov, si las siguientes condiciones se verifican

(i) En cada punto x ∈ Γ existe el espacio tangente.

(ii) Existe un numero r, tal que para cada punto x ∈ Γ el conjunto Γ ∩Br(x)es conexo y las lıneas paralelas a la normal exterior n(x) intersectan a lasuperficie tan solo en un punto.

(iii) La normal n(x) es una funcion de Holder sobre Γ.

Como consecuencia de la definicion anterior se tiene el corolario.

2.5. INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY 37

Corolario 2.5.0.1

(i) Cada superficie de clase C2 es tambien una superficie de Liapunov.

(ii) Cada superficie de Liapunov es una superficie C1.

Teorema 2.5.0.1 Sea Ω un dominio en Rm+1 acotado por una superficie Γ ∈C2. Entonces para f ∈ C(Ω;C`0,m) se verifica

1Am+1

∫Γ

y − x|y − x|m+1

σyf(y) =

f(x), si x ∈ Ω ,0, si x ∈ Rm+1\Ω .

(2.57)

Las formulas de Sokhotski-Plemelj, bastante bien conocidas en el analisis com-plejo unidimensional, tambien tienen su analogo en el analisis de Clifford.

Teorema 2.5.0.2 Sean Ω+ := Ω un dominio en Rm+1 con frontera Γ ∈ C2,Ω− := Rm+1\Ω+, entonces para f ∈ C0,µ(Γ, C`0,m), con 0 < µ ≤ 1 y x0 ∈ Γ setiene

lımΩ±3x→x0

1Am+1

∫Γ

y − x|y − x|m+1

σyf(y) = ±12f(x0) +

1Am+1

∫Γ

y − x0

|y − x0|m+1σyf(y) ,

(2.58)con y ∈ Ω±.


Capıtulo 3

Derivada direccionalbidimensional.

La definicion de derivada direccional bidimensional de una funcion cuaternionicaen un punto del dominio se basa en la idea de considerar el cambio de la variablea lo largo de un plano bidimensional en H.

3.1. Derivada direccional bidimensional

3.1.1. Definicion de derivada direccional bidimensional

Definicion 3.1.1.1 Sea Ω ⊂ R4 un dominio, q0 ∈ Ω. Sea L un plano bidimen-sional que pasa por q0. Dada f : Ω→ H, si el siguiente lımite existe

∂f

∂L(q0) := lım

L3q→q0(q − q0)−1 (f (q)− f (q0)) , (3.1)

entonces se dice que f posee la derivada direccional bidimensional izquierda enel punto q0 a lo largo de L.

Se puede definir de manera similar la derivada direccional bidimensional dere-cha, pero a lo largo de este trabajo solo se considera la derivada direccionalbidimensional izquierda y se hara referencia a ella como la derivada direccionalbidimensional.

Notese ademas que la definicion considera cualquier tipo de plano bidimensionalL, por lo que se distingue a aquellos que pasan por el origen mediante L0 y paraaquellos que 0 /∈ L se empleara la traslacion afın L = a+L0, con a ∈ L, para elestudio de la derivada direccional bidimensional a lo largo de ellos.

39

40 CAPITULO 3. DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL.

3.1.2. Isomorfismos entre H y HLa definicion (3.1.1.1) puede expresarse en terminos de coordenadas locales aso-ciadas a los planos. Considerese un plano L0, sean α0 y α1 ∈ L0 un par devectores ortonormales, es decir, α0, α1 es una base ortonormal (ON) del es-pacio lineal real 2-dimensional L0. Se extiende el conjunto α0, α1 a una baseortonormal α0, α1, α2, α3 para el espacio lineal real 4-dimensional R4, con loque R4 = H := gen α0, α1, α2, α3.

Por lo que en este momento se definen las transformaciones de cambio de variableentre H y H. Sea ϕ : H→ H dado por

q =3∑`=0

a`α`ϕ→ q =

3∑`=0

xì` =3∑`=0

ϕ`(q)i` , (3.2)

donde ϕ`(q) :=3∑i=0

aiαi` con ` = 0, 1, 2, 3. La transformacion es inyectiva, ya que

la condicion ϕ(q) = 0 ∈ R4 genera el siguiente sistema homogeneo de ecuacioneslineales

α00 α10 α20 α30

α01 α11 α21 α31

α02 α12 α22 α32

α03 α13 α23 α33

a0

a1

a2

a3

=

0000

. (3.3)

El sistema tiene solucion trivial pues el conjunto de vectores α0, α1, α2, α3es linealmente independiente, por lo que kerϕ = 0, Ası que ϕ es inyectiva yademas por tratarse de una transformacion inyectiva entre espacios de la mismadimension se tiene que ϕ es un isomorfismo.

El isomorfismo inverso ψ : H→ H esta dado por

q =3∑`

xì`ψ→ q =

3∑`=0

a`α` =3∑`=0

ψ`(q)α` , (3.4)

con ψ`(q) := 〈q, α`〉R4 para ` = 0, 1, 2, 3.

El producto interno entre el cuaternio q y el vector α` se determina al considerara el cuaternio como un vector en R4, es decir

q = q0i0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 → q = (q0, q1, q2, q3) , (3.5)

de esta forma si α` = (α0 `, α1 `, α2 `, α3 `) entonces

〈q, α`〉R4 =3∑i=0

qiαi ` . (3.6)

3.1. DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL 41

Con lo que de acuerdo a (3.6) se tiene

a` =3∑i=0

qiαi ` . (3.7)

De forma similar a la presentada para la transformacion ϕ se determinakerψ = 0 y se obtienen las mismas conlusiones para esta transformacion.

Para los valores de las funciones cuaternionicas tambien se tiene una represen-tacion en H. Sea f : Ω ⊂ H→ H se define su representacion en H como

f := f ϕ : Ω := ψ(Ω)→ H , (3.8)

con f =3∑`=0

f`α` y f` : Ω→ R.

De manera similar se define

f := f ψ : Ω := ϕ(Ω)→ H . (3.9)

3.1.3. Definicion de derivada direccional bidimensional pa-

ra H

Las siguientes lıneas muestran la invarianza de los incrementos cuaternionicos.

Para q =3∑i=0

aiαi y q0 =3∑i=0

a0iαi en H se tiene por (3.2) que

q − q0 = (ϕ(q)− ϕ(q0))

=3∑i=0

(3∑`=0

(ai − a0i )i`

)αi`

=3∑`=0

(3∑i=0

(ai − a0i )αi`

)i`

= q − q0 .

(3.10)

Por otra parte, como consecuencia de (3.2) y (3.9) se tiene que

f(q) =(f ψ

)(ϕ(q))

= f (ψ ϕ) (q)

= f(q) ,

(3.11)


ası que por (3.10) y (3.11) se tiene

(q − q0)−1 (f(q)− f(q0)) = (q − q0)−1(f(q)− f(q0)

)(3.12)

.Con lo cual se demuestra que la existencia del lımite en (3.1.1.1) es equivalentea la existencia del lımite

lımL03eh→0

h−1(f(q0 + h

)− f (q0)

). (3.13)

3.1.4. Incremento de los valores de la funcion

Considerando ahora que f ∈ C1(Ω, H), se analiza el comportamiento del incre-

mento en cada una de las funciones componentes f` en x :=3∑`=0

x`α` haciendo

4x :=3∑`=0

4x`α` . Ası que

4f` (4x ) = f`

(3∑`=0

(x` +4 x`)α`

)− f`

(3∑`=0

x` α`

)

= f`((x0 +4 x0)α0 + (x1 +4 x1)α1 + (x2 +4 x2)α2 + (x3 +4 x3)α3)

−f`(x0 α0 + (x1 +4 x1)α1 + (x2 +4 x2)α2 + (x3 +4 x3)α3)

+f`(x0 α0 + (x1 +4 x1)α1 + (x2 +4 x2)α2 + (x3 +4 x3)α3)

−f`(x0 α1 + x1 α2 + (x2 +4 x2)α3 + (x3 +4 x3)α4)

+f`(x0 α1 + x1 α2 + (x2 +4 x2)α3 + (x3 +4 x3)α4)

−f`(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + (x3 +4 x3)α3)

+f`(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + (x3 +4 x3)α3)

−f`(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x3 α3)

Notese que cada pareja de sumandos puede ser vista como el incremento en elargumento de una funcion de una variable.

3.1. DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL 43

Aplicando el Teorema del Valor Medio para cada diferencia se tiene:

4f` = 4x0∂f`∂ x0

(x∗0 α0 + (x1 +4x1)α1 + (x2 +4 x2)α2 + (x3 +4 x3)α3)

+4x1∂f`∂ x1

(x0 α0 + x∗1 α1 + (x2 +4 x2)α2 + (x3 +4 x3)α3)

+4x2∂f`∂ x2

(x0 α0 + x1 α1 + x∗2 α2 + (x3 +4 x3)α3)

+4x3∂f`∂ x3

(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x∗3 α3),

con x∗j ∈ (xj , xj +4 xj) para ` = 0, 1, 2, 3.

Ya que f` ∈ C1(Ω,R) entonces el incremento de la funcion se escribe como:

4f` = 4x0∂f`∂ x0

(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x3 α3) + o0(4x)4x0

+4x1∂f`∂ x1

(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x3 α3) + o1(4x)4x1

+4x2∂f`∂ x2

(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x3 α3) + o2(4x)4x2

+4x3∂f`∂ x3

(x0 α0 + x1 α1 + x2 α2 + x3 α3) + o3(4x)4x3

=3∑j=0

4xj∂f`∂xj

(q0) + oj(4x)4xj ,

(3.14)

donde para cada funcion oj(4x) se tiene lım4ex→0

oj(4x)4x

= 0.

Por lo que el incremento de la funcion f es:

4f eq0(h) = f(q0 + h)− f(q0) =4∑`=1

(f`(q0 + h)− f`(q0))α`

=4∑`=1

3∑j=0

hj∂f`∂xj

(q0) + oj(h) hj

α` =3∑j=0

hj∂f

∂xj(q0) + o(h),

(3.15)


con lımeh→0

o(h)

h= 0.

Si se restringe el incremento de f a h ∈ L0, entonces h = h0 α0 + h1 α1 por loque se tiene:

4feq0(h) =∂f

∂x0(q0) · h0 +

∂f

∂x1(q0) · h1 + o(h) . (3.16)

3.2. Holomorfıas asociadas con la derivada di-reccional bidimensional

En esta seccion se analizara una estructura compleja asociada a cada planobidimensional L ∈ R4 que sea consistente con la estructura algebraica de H, lacual da origen a una holomorfıa local. Se comienzara estableciendo una particionde todos los tipos de planos L0 que se pueden inmergir en H.

Antes de comenzar con la clasificacion se hace notar que a lo largo de estecapıtulo, el espacio R3 es considerado como la parte imaginaria de H.

3.2.1. Clasificacion de planos en HPara L0, este puede ser de cualquiera de los siguientes tipos

(i) α0 = 1 y α1 un vector unitario, es decir, α21 = −1 ;

(ii) L0 ⊂ R3;

(iii) L0 6⊂ R3 y L0 ∩ R = 0.

Como se vera se establece una forma canonica de encontrar cuaternios α0, α1,α2, α3 tales que L0 = gen α0, α1 y α0, α1, α2, α3 sea una base de R4.Para cada uno de los casos a estudiar se construira la correspondiente base, lacual para los planos de los tipos (i) y (ii) es ortonormal (ON). Esta base seraconocida como la base asociada al plano L0.

3.2.2. Planos del tipo (i)

Puesto que para un plano L0 de este tipo dimRL0∩R3 = 1, se tiene que α1 ∈ R3

con |α1| = 1, tal que L0 ∩ R3 = span α1, por lo tanto existe un unico planoL⊥0 ⊂ R3 ortogonal a α1 ∈ R3. Sean entonces α2, α3 vectores y que formen unabase ON de L⊥0 .

Para h ∈ L0 se tiene h = h0 − h1α1, ası que para las coordenadas locales setiene

3.2. HOLOMORFIAS ASOCIADAS CON LA DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL45

h0 =h+ h

2y h1 = α1

h− h2

;

y debido a (3.16) se tiene

h−14feq0(h) =12

(∂f

∂x0(q0)− α1

∂f

∂x1(q0)

)+

+ h−1h12

(∂f

∂x0(q0) + α1

∂f

∂x1(q0)

)+ h−1o(h) .

Por lo tanto f posee la derivada direccional bidimensional en q0 a lo largo deL0 si y solo si

∂f

∂z(q0) :=

12

(∂f

∂x0(q0) + α1

∂f

∂x1(q0)

)= 0 , (3.17)

es decir; la restriccion de f es holomorfa en el plano coordenado (x0, x1) deacuerdo a la estructura compleja local, aquella generada por la unidad imagi-naria α1.

Ademas la derivada direccional bidimensional de f en q0 coincide con la “deri-vada compleja” de la funcion f(x0, x1):

∂f

∂L0(q0) =

∂f

∂z(q0) :=

12

(∂f

∂x0(q0)− α1

∂f

∂x1(q0)

)= f ′(q0).

3.2.3. Planos del tipo (ii)

Para L0 ⊂ R3, se consideran los cuaternios unitarios α0, α1 en R3 tales queL0 = gen α0, α1. Sea α2 := α0 α1 y α3 = 1. Si h = h0α0 + h1α1 ∈ L0 entoncesh = α0

(h0 + α−1

0 α1h1

)= α0

(h0 + α2h1

)= α0h

∗ , con h∗ = h0 + α2h1.Entonces las coordenadas locales se determinan mediante:

h0 =h∗ + h∗

2y h1 =

h∗ − h∗2

α2 .

De (3.16) se sigue


4feq0(h) = h∗12

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0)

)+

+ h∗12

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)+ o(h) .

Recordando que h = α0 h∗ entonces h−1 = h∗−1 α0 y que α2 = α1α0, por lo que

h∗−1α0h∗ = h∗−1(h0 α0 + α0α1(−α0)h1)

= h∗−1 (h0 + α2h1)α0

= h∗−1h∗ α0

y

h∗−1 α0 h∗ = h∗−1 (h0α0 + α0(−α1α0)h1)

= h∗−1(h0 − α0α1h1)α0

= h∗−1 h∗ α0 .

Ası que

h−14feq0(h) = α012

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)+

+ h∗−1h∗ α012

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0)

)+ h−1o(h) .

Por consiguiente la funcion f posee la derivada direccional bidimensional en q0

a largo L0 si y solo si

∂f

∂z(q0) :=

12

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0)

)= 0 , (3.18)

Ası que la restriccion de f en el plano L0 es holomorfa en la estructura complejagenerada por la unidad imaginaria α2.

Ademas, la derivada direccional para f en q0 coincide con la “derivada compleja”de la funcion f(x0, x1) pero ahora con un factor adicional:

∂f

∂L0(q0) =

∂f

∂z(q0) := α0

12

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)= α0 f

′(q0).

Se hace notar ahora que la estructura compleja en L0 se genera por una unidadimaginaria que geometricamente no es un elemento de L0.


3.2.4. Planos de tipo (iii)

En los dos casos previos la base asociada a los planos es ortonormal. Para planosdel tipo (iii) se vera lo que sucede al tratar de asociar una base ortonormalsiguiendo los razonamientos de las secciones previas.

Considerese L0 un plano de este tipo, entonces L1 := L0∩R3 6= ∅ tiene dimension1, con lo que existe un vector α1 tal que gen α1 = L1 ⊂ L0. Sea α0 ∈ L0 con|α0| = 1 y 〈α0, α1〉R4 = 0, por lo que Sc(α0) 6= 0.

El complemento ortogonal de L0 en R4, L⊥0 , tiene una interseccion no vacıa conR3 y dimRL

⊥0 ∩ R3 = 1, ası que tomando α2 ∈ R3 tal que α2 ∈ L⊥0 .

Por lo tanto gen α0, α1, α2 es un subespacio lineal 3-dimensional de H, conlo que al tomar el vector normal n se determina una base ortonormal para R4,

con α3 := n ( o α3 := −n). En particular se va a considerar α2 :=−→α0 × α1

‖ ~α0‖,

puesto que α0 α1 = −→α0 × α1 ∈ R3 y ademas ‖−→α0 × α1‖ = ‖−→α0‖.

En la busqueda de una holomorfıa que se pueda asociar con L0 y que resultecongruente con una base ON como la antes descrita se considera:

la transformacion τ : R4 → R4, siendo R4 := gen 1, α2, α3, α1, α3 :=−→α0

‖−→α0‖y

τ dada por

τ (q) := x0 + x1 α2 + x2 α3 + x3α1 .

De esta manera para h = h0 α0 + h1 α1 ∈ L0 se tiene τ(h) = h0 + h1α2 =: h y

h = h0 − h1α2, con lo que∥∥∥h∥∥∥ =

∥∥∥h∥∥∥ ya que

∥∥∥h∥∥∥ =[h h] 1

2

=[h0α

00

2+ h2

0 〈−→α0,−→α0〉+ h2

1 〈α1, α1〉] 1

2

=[h2

0 + h21

] 12

=[h2

0 + h21 〈α2, α2〉R3

] 12

=[h h] 1

2

=∥∥∥h∥∥∥ .

De forma analoga a los casos previos, se tiene que las coordenadas locales sepueden expresar de la manera siguiente


h0 =h+ h

2y h1 =

h− h2

α2 . (3.19)

Se debe observar que bajo el mapeo τ el plano L0 toma valores en el planoL0 := gen 1, α2.

Ahora se determina la relacion de los incrementos entre los diferentes planos,es decir, de que forma se vinculan h y h. Debido a la definicion de α2 y a lascoordenadas locales expresadas en (3.19), se tiene para h ∈ L0 que:

h = h0 α0 + h1 α1

= h0 α00 −−→α0

(h0 + h1 (−→α 0)−1

α1

)

= h0 α00 −−→α0

(h0 −

h1

‖−→α0‖2α2

)

=12α0

(h+ h

)− 1

2

−→α0

‖−→α0‖2

(h− h

);

con lo que

h−1 =12α0

((h)−1

+(h)−1

)− 1

2

−→α0

‖−→α0‖2

((h)−1

−(h)−1

).

Entonces el producto h−14feq0(h) en la direccion del plano L0 es

h−14feq0(h) =(

12

)2(α0

((h)−1

+(h)−1

)−−→α0

‖−→α0‖2

((h)−1

−(h)−1

))·

·

(h

(∂f

∂x0− α2

∂f

∂x1

)(q0 )

+h

(∂f

∂x0+ α2

∂f

∂x1

)(q0 ) + o(h)

)=


=(

12

)2(α0

((h)−1

h+ 1)− α0

‖−→α0‖

(1−

(h)−1

h

))·

·

(∂f

∂x0− α2

∂f

∂x1

)(q0) +

(α0

(1 +

(h)−1

h

)−

−−→α0

‖−→α0‖

((h)−1

h− 1))(

∂f

∂x0+ α2

∂f

∂x1

)(q0)

+ h−1o(h) .

La ultima expresion tendra lımite si y solo si existe los lımites de los sumandos

((h)−1

h

)(∂f

∂x0− α2

∂f

∂x1

)(q0) y

((h)−1

h

)(∂f

∂x0+ α2

∂f

∂x1

)(q0) ;

(3.20)

pero los cocientes(h)−1

h y(h)−1

h no tienen lımite cuando h→ 0 .

Ası que para la existencia de dicho lımite la funcion f se debe anular para ambostipos de operadores de Cauchy-Riemann(

∂f

∂x0− α2

∂f

∂x1

)(q0) ,

lo cual nos indicarıa que la funcion f es independiente de x0 y x1, por lo que ellımite de los factores mostrados en (3.20) trivialmente existen.

3.2.5. Holomorfıa alterna para planos de tipo (iii)

A pesar de lo mostrado en la subseccion previa, es posible dotar con una es-tructura compleja adecuada a los planos L0 del tipo ((iii)). Dicha estructuracompleja permitira dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia dela derivada direccional bidimensional a lo largo de L0 en terminos de su res-pectiva holomorfıa, pero en contraste con los dos casos presentados en (3.2.2) y(3.2.3) ahora el conjunto generador de R4 no es ortonormal.

De la definicion de α0 y α1 el cuaternio α1 α−10 = α1(α0

0 − −→α0) = α00α1 +

[−→α0 × α1] = α0 α1 y ademas es unitario, ası que se considera α2 := α0α1 yα3 := 1. De esta forma la nueva base asociada a L0 es α0, α1, α2, 1, dondeα0 /∈ R3 y α1, α2 ∈ R3.

Para h ∈ L0 considerese la factorizacion h =(h0 + α2h1

)α0 = h∗α0, de donde

las coordenadas locales quedan


h0 =h∗ + h∗

2y h1 =

h∗ − h∗

2α2 .

De las ecuaciones locales arriba mostradas y de (3.16) se tiene

h−14feq0(h) = α−10 h∗−1

(h∗

12

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

x1

)(q0) +

+h∗12

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)=

= α012

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)+

+ α0 h∗−1h∗

12

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0)

)+ h−1o(h) .

Por lo que la funcion f , al igual que en los casos previos, posee la derivadadireccional bidimensional en la direccion L0 si y solo si

∂f

∂z(q0) :=

12

(∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0)

)= 0 , (3.21)

es decir, si y solo si la restriccion de f en el plano L0 es holomorfa en la estruc-tura compleja generada por la unidad imaginaria α2; pero aun mas la derivadadireccional bidimensional de f en q0 esta dada por:

∂f

∂L(q0) =

∂f

∂z(q0) := α0

12

(∂f

∂x0(q0)− α2

∂f

∂x1(q0)

)= α0f

′(q0).

Se debe observar que la unidad imaginaria que genera la estructura complejapara el plano L0 no se encuentra en el plano, al igual que en (3.2.3).

Como resultado del analisis hecho a lo largo de las ultimas paginas se concluyepor completo, que la existencia de la derivada direccional bidimensional esta di-rectamente relacionada con una holomorfıa local asociada a cada tipo de plano,aunque en cada caso con sus particularidades.


3.2.6. Planos afınes

En este momento los planos L a tomarse en cuenta no contienen al origen de R4.En (3.1.1.1) ya se habıa hecho mencion que este tipo de planos se estudiarıanmediante la descomposicion L = a+L0, con a ∈ L; ya que al fijar L el plano L0

es unico. En este caso se dira que los planos L y L0 son paralelos. Para cualquierq ∈ L se tiene entonces que puede ser expresado en la forma q = a + h, conh ∈ L0, aunque esta representacion no es unica debido a que a puede ser elegidoarbitrariamente.

Sean f ∈ C1(Ω,H) y L un plano con 0 6= L y L ∩ Ω 6= ∅. Para q0 ∈ L ∩ Ω fijose tiene que cualquier q ∈ L puede ser presentado en la forma q = q0 + h, conh ∈ L0 y L0 un plano paralelo a L. Como antes R4 es la representacion de R4

mediante la base α0, α1, α2, α3 que se asocia al plano L0 y las transformacionesde cambio de variable ϕ : R4 → R4, ψ : R4 → R4 tienen el mismo sentido queantes.

Para determinar la posesion de la derivada direccional bidimensional por partede la funcion f a lo largo de L es necesario determinar si el lımite ( 3.1.1.1)existe, el cual como ya se mostro en (3.13) es equivalente al hecho de que elsiguiente lımite exista

lımL3eq→eq0(q−q0)−1

(f(q)− f(q0)

)= lımL03eh→0

(h)−1 (

f(q0 + h)− f(q0)). (3.22)

Por (3.16) se sabe que el incremento 4feq0(h) es una combinacion lineal de lascoordenadas locales del incremento h, pero en este caso h ∈ L0. Ası que la exis-tencia del lımite en (3.22) esta determinada por la estructura compleja asociadaal plano L0. Con lo cual se evidencia que la funcion f tiene la derivada direccio-nal bidimensional a lo largo de L, si su restriccion f es holomorfa de acuerdo a laestructura compleja vinculada al plano L0. Mas aun este razonamiento muestrala siguiente afirmacion

Proposicion 3.2.6.1 Sea f ∈ C1(Ω,H) y L0 un plano tal que 0 ∈ L0 y L0∩Ω 6=∅. La funcion f posee la derivada direccional bidimensional en la direccion de L0

si y solo si f tiene la derivada direccional bidimensional a lo largo de cualquierplano L paralelo a L0, con L ∩ Ω 6= ∅.

3.2.7. Existencia derivada bidimensional

El analisis hecho hasta ahora se recapitula en el siguiente teorema.

Teorema 3.2.7.1 Dada f ∈ C1(Ω,H), sea L tal que L∩Ω 6= ∅. La funcion tienela derivada direccional bidimensional en cualquier q0 ∈ L ∩ Ω en la direccion


L; si y solo si su restriccion f es holomorfa en q0 con la estructura complejacorrespondiente. Aun mas cuando f posea la derivada direccional bidimensionalen una direccion, esta solamente diferira de la derivada de la funcion holomorfaf por un coeficiente constante.

3.3. La derivada direccional bidimensional y otrasregularidades

En este momento se presenta el vınculo entre el concepto desarrollado a lo largode las primeras dos secciones y otras regularidades conocidas: la hiperholomorfıay la Cullen regularidad.

3.3.1. Ejemplo: Funcion hiperholomorfa que no posee unaderivada direccional bidimensional

En la variable compleja unidimensional se sabe que si una funcion es holomorfaen el punto z0 perteneciente a su dominio, entonces existe la derivada direccio-nal a lo largo de cualquier direccion unidimensional y coincide con la derivadade la funcion en el numero z0. En [23] se introdujo el concepto de la derivadadireccional tridimensional para una funcion cuaternionica, con las direccionesdeterminadas por hiperplanos Λ ⊂ R3. Los autores demuestran que para unafuncion hiperholomorfa todas sus derivadas direccionales 3-dimensionales exis-ten y son iguales a la derivada de la funcion cuaternionica. Por estas razones esque se considero que existirıa tambien una “buena relacion” entre las funcioneshiperholomorfas con las funciones con derivada direccional bidimensional. Peroen este caso la conexion no es tan buena.

Por ejemplo considerese la variable de Fueter ς(q) = x1 − x0i ∈ M(R4) y elplano bidimensional L = gen 1, j. De acuerdo a lo desarrollado en (3.2.3) seconsidera la representacion H = gen 1, j, i,k, con lo que ϕ(q) = q = x0 + x2i+x1j + x3k y

ζ1(q) = [ζ1 ϕ] (q)= x2 − ix0 .

Entonces para q0 = x0 + x1j ∈ L se tiene ζ1(q0) = −ix0, por lo tanto

∂ζ1∂x0

(q0) + j∂ζ1∂x1

(q0) = −i 6= 0 .

Lo cual muestra que la variable de Fueter no posee derivada direccional bidi-mensional a lo largo de L.

3.3. LA DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL Y OTRAS REGULARIDADES53

3.3.2. Conexion con la hiperholomorfıa

Para poder vincular a la derivada direccional bidimensional con la clase defunciones hiperholomorfas, se consideran las transformaciones de cambio de va-riable ϕ y ψ entre R4 y R4. Ademas se consideran los operadores de cambio devariable Wϕ y Wψ que actuan entre los espacios de funciones C1 (Ω) y C1

(Ω)

de la siguiente forma

Wϕ : u ∈ C1(Ω) 7→ u ϕ =: u ∈ C1(Ω);

Wψ : u ∈ C1(Ω) 7→ u ψ =: u ∈ C1(Ω).

Con lo que si A y B son operadores lineales que actuan en C1(Ω) y C1(Ω)respectivamente, entonces

Wϕ A Wψ = A : C1(Ω)→ C1(Ω) ,

y

Wψ B Wϕ = B : C1(Ω)→ C1(Ω) .

Por lo tanto los operadores Wϕ y Wψ establecen isomorfismos entre L(C1(Ω))y L(C1(Ω)).

En particular ahora se analiza el efecto de los operadores arriba mencionadosen el operador de Fueter DF , ası que con A = DF se tiene

DF = Wϕ DF Wψ = Wϕ

(3∑`=0

i`∂

∂x`

)Wψ

=3∑`=0

Wϕ i`∂

∂x`Wψ

(3.23)

Empleando un argumento semejante al mostrado en Definicion 2.3.3.1 se denotapor i`M a el operador de multiplicacion por la izquierda por el basico i`. Conlo que cada uno de los terminos en (3.23) se presenta en la siguiente forma

Wϕ i`∂

∂x`Wψ = Wϕ i`M ∂

∂x`Wψ

= Wϕ i`M Wψ Wϕ ∂

∂x`Wψ . (3.24)

Ahora se analizara la expresion anterior en dos etapas. Para la primera se tra-bajara con la composicion de los primeros tres operadores, de esta forma setiene


Wϕ i`M Wψ[u] = Wϕ i`M [u] = Wϕ[i` u]

= i` (u ϕ)

= i` u ,

por lo que Wϕ i`M Wψ = i`M , para cada ` ∈ 0, 1, 2, 3.Para la segunda etapa se desarrollara el resto de (3.24). Por la regla de la cadenase tiene

Wϕ ∂

∂x`Wψ[u] = Wϕ

∂

∂x`

[u

(3∑`=0

ψ`(q) · α`

)]

=3∑j=0

∂u

∂xj(q) · ∂ψj

∂x`

(3∑`=0

ϕ`(q) i`

).

Haciendo

α`j = α`j(q) :=∂ψj∂x`

(3∑`=0

ϕ`(q) i`

),

se obtiene

Wϕ ∂

∂x`Wψ =

3∑j=0

α`j∂

∂xj.

De esta forma por (3.23) se obtiene

D[u] = Wϕ D Wψ[u] =

(Wϕ

(3∑`=0

i`∂

∂x`

)Wψ

)[u]

=3∑`=0

i`

(Wϕ

∂

∂x`Wψ

)[u]

=3∑`=0

i`3∑j=0

α`j∂u

∂xj(q)

=3∑`=0

α`∂u

∂x`(q) .

El cual es un operador de tipo de Fueter para H. Como consecuencia de (2.2.5.1),[15] y [29] se tiene f ∈ kerDF si y solo si f ∈ ker DF . Por lo tanto de (3.17) ylo desarrollado arriba se tiene el siguiente teorema

3.3. LA DERIVADA DIRECCIONAL BIDIMENSIONAL Y OTRAS REGULARIDADES55

Teorema 3.3.2.1 Sea L un plano del primer tipo. Si f : Ω ⊂ H → H es unafuncion hiperholomorfa tal que f = f ϕ depende unicamente de las variablesx0 y x1, entonces f tiene la derivada direccional bidimensional a lo largo delplano L = gen 1, α1.

3.3.3. Relacion con la Cullen-regularidad

En [7] definen la Cullen-regularidad para funciones f : Ω ⊂ H→ H, si para cadacuaternio puramente vectorial y unitario I, su restriccion fI a la lınea complejaLI = R + RI 3 0H, 1, I es holomorfa en Ω ∩ L.

De acuerdo a la Definicion 3.1.1.1 y a la Seccion 3.2.2 la funcion f es Cullen-regular si para cualquier q ∈ Ω posee la derivada direccional bidimensional en ladireccion del plano L. Un hecho fino e importante que se desea destacar es quepara cualquier q ∈ H existe un unico plano del primer tipo tal que q ∈ L, ya quepara construir el plano se toma la parte vectorial de q. De esta forma los autoresen [7] consideran dichas direcciones para definir la nocion de Cullen-regularidadde la funcion f y su Cullen-derivada. La Cullen-derivada ∂C [f ](q) en un puntoq de una funcion Cullen-regular se define como

∂C [f ] (q) :=

∂f

∂L(q), q ∈ L,

∂f

∂x(q), q = x ∈ R.

La cual coincide con la dada en Seccion 3.2.2.

3.3.4. Ejemplo: La funcion potencia

En este momento se analizan las direcciones bidimensionales a lo largo de lascuales la funcion f : H → H dada por f(q) = qn tiene derivada direccionalbidimensional. En primer lugar, de acuerdo a (3.8) se tiene

f (q) = [f ϕ] (q) =

3∑`=0

3∑j=0

xjα`j

e`

n ,de donde

∂f

∂x0(q) = nqn−1α0 y

∂f

∂x1(q) = nqn−1α1 .

Lo cual es cierto para cualquier tipo de dominio, pero ahora se distinguira deacuerdo a (3.2.1). Para un plano del tipo (i) se tiene q = q (x0, x1) = x0α0+x1α1

ası que


∂f

∂z(q) =

12

(∂f

∂x0(q) + α1

∂f

∂x1(q)

)=

12n(qn−1 + α1q

n−1α1

). (3.25)

Puesto que f tiene la derivada direccional bidimensional en q en la direccion L

si y solo si (3.17) es satisfecha, por lo que∂f

∂z(q) = 0 siempre que α1q

n−1 y

qn−1α1 coincidan.

Ya que

α1qn−1 = −

⟨α1;−−→qn−1

⟩+[α1 ×

−−→qn−1

]= −

⟨−−→qn−1;α1

⟩−[−−→qn−1 × α1

],

entonces qn−1α1 = α1qn−1 si y solo si

[α1 ×

−−→qn−1

]= 0, lo cual es cierto para

cualquier q ∈ L. Por lo que la derivada direccional bidimensional de f a lo largode L es

∂f

∂L(q) =

12

(∂f

∂x0(q )− α1

∂f

∂x1(q )

)= nq n−1 , (3.26)

la cual es a su vez la Cullen-derivada de f .

Para los otros dos tipos de planos generados se tiene que α2 = α0α1, con lo que

∂f

∂z(q ) =

12

(∂f

∂x0(q ) + α2

∂f

∂x1(q )

)

=12n(q n−1α0 + α0α1q

n−1α1

).

(3.27)

Empleando argumentos similares a los empleados previamente se concluye que

12

(∂f

∂x0(q) + α2

∂f

∂x1(q)

)= 0 ,

si y solo si qn−1 ∈ span 1, α0α1. En este caso la derivada direccional bidimen-sional es

∂f

∂L(q) = α0

12

(∂f

∂x0(q)− α0α1

∂f

∂x1(q)

)= α0nq

n−1α0 . (3.28)

3.4. VINCULO CON LAS TRANSFORMACIONES DE DOS VARIABLES COMPLEJAS 57

Pero a diferencia de los planos de tipo (i) aquı se nota la influencia de la direccionL en la derivada al aparecer el cuaternio α0 y su conjugado. Por lo cual en estasituacion surge la pregunta: ¿que condiciones se deben verificar para que laderivada no dependa de la direccion L? los productos qn−1α0 y α0q

n−1 debencoincidir, lo cual se verifica siempre que

−−→qn−1 ∈ span α0, hecho que contradice

−−→qn−1 ∈ span α0 α1 = α2. De esta forma se concluye que siempre que α0 6= 1 laderivada direccional bidimensional de f a lo largo de L depende de la direccion.

Notese de que en caso de n = 1 entonces por (3.26) y (3.28) la derivada direc-cional bidimensional de la funcion identidad es 1 y por otra parte es un ejemplode una funcion que no es hiperholomorfa pero que posee todas las derivadasdireccionales en cada punto de su dominio.

3.4. Vınculo con las transformaciones de dos va-riables complejas

Se establecera la relacion directa entre transformaciones holomorfas de C2 a C2

y la nocion de la derivada direccional bidimensional. Se comenzara por exhibiralgunas relaciones entre las bases asociadas a los planos L y las asociadas a suscomplementos ortogonales L⊥.

3.4.1. Relacion entre las bases de L y L⊥ para planos delos tipos (i) y (ii).

Sea L un plano del primer tipo, ası que L = gen α0 := 1, α1 siendo α1 ∈ R3 y|α1| = 1. Por lo mostrado en (3.2.2) se considera R4 := gen 1, α1, α2, α3, conα2, α3 ∈ R3, |α2| = 1 y α3 = α1α2; ademas sea ϕL : R4 → H la transformacionde cambio de variable. Entonces para q ∈ R4 se tiene

q =3∑`=0

x` α` = (x0 + x1 α1) + (x2 + x3 α1)α2 = z1 + z2 α2 , (3.29)

con z1, z2 ∈ C(α1) y el cuaternio q ∈ L si y solo si q = z1.

Claramente el complemento ortogonal L⊥ de L es un plano del segundo tipoy en este caso L⊥ := gen α2, α3. Entonces la base asociada a L⊥ es β0 :=α2, β1 := α3, β2 := α1, β3 := 1. Denotando ahora a R4 con esta base ONmediante R4 y con la transformacion de cambio de variable ϕL⊥ : R4 → H, setiene entonces para q ∈ R4 la expresion

q =3∑`=0

x` β` = (x3 + x2 β2) + (x0 + x1 β2)β0 = z1 + z2 β0 , (3.30)

con z1, z2 ∈ C(β2) = C(α1).


Se debe observar que, para un plano L del segundo tipo su complemento orto-gonal L⊥ es un plano del primer tipo, por lo que las relaciones (3.29) y (3.30)se verificarıan en este caso.

3.4.2. Relacion entre las bases de L y L⊥ para planos deltipo (iii)

Si L es un plano del tercer tipo, L = genα0, α1, con α0 = α00 + −→α 0 /∈ R3,

α1 ∈ R3 , donde α00 6= 0 y −→α 0 6= 0. La base, no ortonormal, asociada a R4 es

α0, α1, α2, α3 := 1, con α2 = α0 α1 ∈ R3. Cualquier q ∈ R4 se presenta como

q =3∑`=0

x` α` = (x3 + x2 α2) + (x0 + x1 α2)α0 = z1 + z2 α0 ,

con z1, z2 ∈ C(α2).

Para el plano complementario a L se va a considerar

β1 :=1‖−→α 0‖

−→α 0α1 ∈ R3 ,

el cual por construccion es ortogonal a L. Para el segundo generador de L⊥

se toma a β0 ∈ R4 tal que gen β0 = (gen α0, α1, β1)⊥. Entonces L⊥ =gen β0, β1 y a su vez tambien es un plano del tercer tipo. Con lo cual la baseasociada a L⊥ es β0, β1, β2 := β0 β1, β3 := 1. Denotando mediante R4 a R4

con esta base, entonces para q ∈ R4, se presenta como

q =3∑`=0

x` β` = (x3 + x2 β2) + (x0 + x1 β2)β0 = z1 + z2 β0 ,

con z1, z2 ∈ C(β2).

3.4.3. Transformaciones de dos variables complejas

Se sabe de la teorıa clasica hiperholomorfa que una funcion cuaternionica puedeser presentada como una transformacion de dos variables complejas. En estemomento se mostraran los mapeos con los cuales se pueden identificar a lasfunciones f : Ω ⊂ R4 → H de acuerdo al tipo de plano y el del plano comple-mentario.

Sea L un plano del primer tipo entonces la funcion

f ϕL = f =3∑`=0

f`α` : Ω→ H

se asocia con el mapeo


f = f ϕL =: F1 + F2α2 : Ω ⊂ C(α1) + C(α1)α2 → C(α1) + C(α1)α2 ,

con F1, F2 : C(α1) + C(α1)α2 → C(α1).

De manera analoga para el complemento ortogonal L⊥, el cual como se co-mento en (3.4.1) es un plano del segundo tipo, con q0 ∈ L⊥ ∩ Ω, la funcion

f := f ϕL⊥ =3∑`=0

f`β` : Ω ⊂ R4 → R4 ,

se ve como la transformacion

F1 + F2β0 = f : Ω ⊂ C(β2) + C(β2)β0 → C(β2) + C(β2)β0 .

Para un plano L del tercer tipo, f : Ω ⊂ R4 → H y q0 ∈ Ω ∩ L se tiene que lasfunciones f := f ϕL : Ω→ R4 y f := f ϕL⊥ : Ω→ R4 se identifican con:

F1 + F2α0 := f : Ω ⊂ C(α2) + C(α2)α0 → C(α2) + C(α2)α0

y

F1 + F2β0 := f : (Ω) ⊂ C(β2) + C(β2)β0 → C(β2) + C(β2)β0 ,

respectivamente.

3.4.4. Relacion entre las transformaciones holomorfas y laderivada direccional bidimensional.

En este momento se presenta el vınculo entre una transformacion holomorfa,F : C2 → C2; de acuerdo a la Definicion 2.1.1.2 y el concepto de la derivadadireccional bidimensional.

Teorema 3.4.4.1 Sean f ∈ C1(Ω ⊂ R4,H), L un plano bidimensional, q0 ∈L ∩ Ω y (q0 ∈ L⊥ ∩ Ω). Entonces f posee en q0 la derivada direccional bidi-mensional a lo largo de L y L⊥ si y solo si f := f ϕL y f := f ϕL⊥ sonholomorfas.

Demostracion.

Para la demostracion del teorema se comienza considerando un plano L delprimer tipo. Por lo hecho en (3.4.3) se tiene


f = f ϕL =3∑`

f`α`

= (f0 + f1α1) + (f2 + f3)α2

=: F1 + F2α2 ,

con f` : Ω→ R y Fk : Ω→ C(α1), k = 1, 2 y ` = 0, 1, 2, 3.

Suponiendo que f : Ω ⊂ C(α1) + C(α1)α2 → C(α1) + C(α1)α2 es un mapeoholomorfo entonces de acuerdo a la Definicion 2.1.1.2 las siguientes igualdadesson ciertas:

∂F1

∂z1=∂F1

∂x0+ α1

∂F1

∂x1= 0 ; (3.31)

∂F1

∂z2=∂F1

∂x2+ α1

∂F1

∂x3= 0 ; (3.32)

∂F2

∂z1=∂F2

∂x0+ α1

∂F2

∂x1= 0 ; (3.33)

∂F2

∂z2=∂F2

∂x2+ α1

∂F2

∂x3= 0 . (3.34)

Puesto que las funciones F1 y F2 satisfacen las ecuaciones (3.31) y (3.33) enton-ces

∂f

∂x0(q0) + α1

∂f

∂x1(q0) =

∂

∂x0(F1 + F2 α2)(q0) + α1

∂

∂x1(F1 + F2 α2)(q0)

=

(∂F1

∂x0(q0) + α1

∂F1

∂x1(q0)

)+

+

(∂F2

∂x0(q0) + α1

∂F2

∂x1(q0)

)α2 = 0 ,

(3.35)

lo cual muestra que f posee la derivada direccional bidimensional a lo largo deL.


Ahora, para el complemento ortogonal L⊥ se considera la funcion f : f ϕL⊥ .Como se concluyo en (3.17) la funcion f tiene la derivada direccional bidimen-sional a lo largo de L⊥ si y solo si

∂f

∂x0(q0) + β2

∂f

∂x1(q0) = 0.

En (3.4.1) se mostro que para L⊥, se tiene

L⊥ = gen β0 = α2, β1 = α3, β2 = α1, β3 = 1 ,

por lo que

∂f

∂x0(q0) =

∂f

∂x2(q0) and

∂f

∂x1(q0) =

∂f

∂x3(q0) ,

ası que de acuerdo (3.32) y (3.34) se tiene

∂f

∂x0(q0) + β2

∂f

∂x1(q0) =

∂f

∂x2(q0) + α1

∂f

∂x3(q0)

=∂

∂x2(F1 + F2 α2)(q0) + α1

∂

∂x3(F1 + F2 α2)(q0)

=

(∂F1

∂x2(q0) + α1

∂F1

∂x3(q0)

)+

+

(∂F2

∂x2(q0) + α1

∂F2

∂x3(q0)

)α2 = 0 ,

(3.36)

mostrando que f posee la derivada direccional bidimensional a lo largo de L⊥.

Suponiendo ahora que f posee la derivada direccional bidimensional en q0 a lolargo de los planos L y L⊥, entonces en esas direcciones se cumplen

∂f

∂x0(q0) + α1

∂f

∂x1(q0) = 0 (3.37)

y

∂f

∂x0(q0) + β2

∂f

∂x1(q0) = 0 . (3.38)

Por lo que de acuerdo a (3.35) y (3.36) se determinan (3.31), (3.32), (3.33) y(3.34). Ası que


f = f ϕL = F1 + F2α2 ,

y

f = f ϕL⊥ = F1 + F2β0 ,

son holomorfas. Por las razones expuestas en (3.4.1) el segundo tipo de planoqueda cubierto con lo ya desarrollado.

Sean V (q0) una vecindad de q0 y q ∈ V (q0), con q 6= q0. Entonces existen losplanos L y L⊥ tales que q ∈ L ∩ L⊥, L||L y L⊥||L⊥. Por Proposicion (3.2.6.1),la funcion posee derivada direccional bidimensional en q en las direcciones L yL⊥, con lo cual (3.37) y (3.38) tambien se verifican para q.

Sea ahora L un plano del tercer tipo con f = f ϕL = F1 + F2α0. En este casorecordamos que las variables complejas son z1 = x3 + α2 x2 y z2 = x0 + α2 x1,ası que suponiendo que f es un mapeo holomorfo se tiene

∂F1

∂z1=∂F1

∂x3+ α2

∂F1

∂x2= 0 ; (3.39)

∂F1

∂z2=∂F1

∂x0+ α2

∂F1

∂x1= 0 ; (3.40)

∂F2

∂z1=∂F2

∂x3+ α2

∂F2

∂x2= 0 ; (3.41)

∂F2

∂z2=∂F2

∂x0+ α2

∂F2

∂x1= 0 . (3.42)

Entonces por (3.38) y (3.40) se tiene

∂f

∂x0(q0) + α2

∂f

∂x1(q0) =

∂

∂x0(F1 + F2 α0)(q0) + α2

∂

∂x1(F1 + F2 α0)(q0)

=

(∂F1

∂x0(q0) + α2

∂F1

∂x1(q0)

)+

+

(∂F2

∂x0(q0) + α2

∂F2

∂x1(q0)

)α0 = 0 ,

(3.43)

mostrando de acuerdo a (3.21) que f tiene derivada direccional bidimensional alo largo de L.


Para el complemento ortogonal L⊥ se definio f := f ϕL⊥ = F1 + F2β0 y seconsideran las variables z1 = x3 + x2β2 y z2 = x0 + x1β2. De esta forma alsuponer que f es un mapeo holomorfo se generan ecuaciones similares a las(3.29), (3.30), (3.31) y (3.32), pero con las funciones F1, F2 y las variablesx0, x1, x2 y x3. Entonces se obtiene

∂f

∂x3(q0) + β2

∂f

∂x2(q0) =

∂

∂x3(F1 + F2 β0)(q0) + β2

∂

∂x2(F1 + F2 β0)(q0)

=

(∂F1

∂x3(q0) + β2

∂F1

∂x2(q0)

)+

+

(∂F2

∂x3(q0) + β2

∂F2

∂x2(q0)

)β0 = 0 ,

(3.44)

lo cual muestra que f tiene derivada direccional bidimensional a lo largo de L⊥.

Ahora considerando que f posee la derivada direccional bidimensional a lo largode los planos L y L⊥, entonces se verifican las siguientes ecuaciones

∂f

∂x0(q0) + α1

∂f

∂x1(q0) = 0

y

∂f

∂x3(q0) + β2

∂f

∂x2(q0) = 0 .

De (3.43) y (3.44) se generan (3.39), (3.40), (3.41) y (3.42); y sus analogos paralas variables z1 y z2. Entonces

f = f ϕL = F1 + F2α2 ,

y

f = f ϕL⊥ = F1 + F2β0 ,

son holomorfos y por lo tanto el teorema esta demostrado. 2


Capıtulo 4

La hiperderivada en elanalisis Clifford.

A partir de este capıtulo se comienza con un enfoque distinto. Ahora comenza-remos a desarrollar los resultados para funciones con valores en unl algebra deClifford C`0,m, ademas a lo largo del capıtulo se consideraran los operadores deCauchy-Riemann generalizados (2.39), (2.40), (2.45) y (2.43).

Para una funcion f ∈ C1(Ω;C`0,m) se definio en (2.4.7.1) el concepto de hiper-holomorfıa en forma global, es decir sobre todo el dominio Ω; pero ahora lo quese hara en la siguiente seccion es definirla en forma local y a lo largo del capıtulose mostraran algunas consecuencias que la definicion de hiperholomorfıa localgenera.

4.1. Hiperholomorfıa e hiperderivabilidad local

4.1.1. Hiperderivabilidad

Definicion 4.1.1.1 La funcion f : Ω ⊂ Rm+1 → C`0,m es llamada hiperholo-morfa por la izquierda en el punto x0 ∈ Ω si f es hiperholomorfa por la izquierdaen alguna vecindad V (x0) ⊂ Ω de x0.

La teorıa de funciones hiperholomorfas por la derecha es completamente equi-valente a la teorıa de funciones hiperholomorfas por la izquierda, por esta razones que solamente se presenta el caso izquierdo.

Se emplean las formas diferenciales (2.52) y (2.56) para establecer la siguientedefinicion.

Definicion 4.1.1.2 La funcion f ∈ C1(Ω, C`0,m) es llamada hiperderivable porla izquierda en Ω si para cada x ∈ Ω existe un numero de Clifford, denotado porf ′(x), tal que

65

66 CAPITULO 4. LA HIPERDERIVADA EN EL ANALISIS CLIFFORD.

d(τxf(x)) = σx f′(x) . (4.1)

El numero de Clifford f ′(x) es llamado la hiperderivada izquierda de f en elpunto x.

El enfoque mostrado en la definicion arriba introducida, se expone por primeravez para funciones cuaternionicas por Sudberry [31] y en el caso de funcioneshipercomplejas f : Ω ⊂ Rm+1 → C`0,m por Gurlebeck y Malonek [9]. En am-bos casos los autores la denominan regularidad y la presentan sin consideraruna region del espacio correspondiente, es con Mitelman y Shapiro [23] que ladefinicion de hiperderivabilidad de una funcion cuaternionica, Definicion 3.4, seintroduce distinguiendo el aspecto local en analogıa al analisis complejo unidi-mensional.

De esta forma al emplear la estructura hipercompleja presentada en la sub-seccion 2.4.5., la Definicion 4.1.1.1 generaliza para funciones f : Ω ⊂ Rm+1 →C`0,m la idea de diferenciabilidad conocida del analisis complejo unidimensional.

El siguiente teorema, que vincula los conceptos de hiperholomorfıa e hiperderi-vabilidad ya se encuentra mostrado en [9], aunque en el sentido ya senalado. Eneste caso se presenta con la orientacion enunciada en la Definicion 4.1.1.1.

Teorema 4.1.1.1 Sea f ∈ C1(Ω, C`0,m). Entonces f es hiperholomorfa por laizquierda en x0 ∈ Ω si y solo si f es hiperderivable por la izquierda en x0. Aunmas, para estas funciones

f ′(x0) =12D[f ](x0) , x0 ∈ Ω . (4.2)

Demostracion

Se comienza por calcular d(τxf(x)), ası que

d(τxf(x)) = (−1)m−1 τx ∧ df(x)

4.1. HIPERHOLOMORFIA E HIPERDERIVABILIDAD LOCAL 67

= (−1)m−1 (−e1dx0,1 + e2dx0,2 + · · ·+ (−1)m−1emdx0,m)∧

∧(dx0

∂f

∂x0(x) + dx1

∂f

∂x1(x) + · · ·+ dxm

∂f

∂xm(x))

= (−1)m−1

(−1)m−1(−e1dx1 + e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm)

∂f

∂x0(x)−

−(−1)m−1dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm(

e1∂f

∂x1(x) + e2

∂f

∂x2(x) + · · ·+ em

∂f

∂xm(x))

= (−e1dx1 + e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm)∂f

∂x0(x)−

− dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm(

e1∂f

∂x1(x) + e2

∂f

∂x2(x) + · · ·+ em

∂f

∂xm(x)).

(4.3)Lo cual es cierto debido a que los siguientes productos

dx0,i ∧ dx0 = (dx1 ∧ dx2 ∧ · · · dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm) ∧ dx0

= (−1)m−1dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ · · · dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

= (−1)m−1dxi

y

dx0,i ∧ dxi = (dx1 ∧ dx2 ∧ · · · dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm) ∧ dxi

= (−1)m−idx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm

= (−1)m−idx0 ,

se verifican para todo i ∈ 1, 2, . . . ,m.

Recordando que por (2.54) y (2.55) se tiene

dx0 =12

(σx + σx) .

y

−e1dx1 + e2dx2 + · · ·+ (−1)memdxm =12

(σx − σx) ,


Ademas para el operador de Cauchy-Riemann Cliffordiano se tiene

∂f

∂x0(x) =

12

(D[f ](x) +D[f ](x)) ,

y

e1∂f

∂x1(x) + e2

∂f

∂x2(x) + · · ·+ em

∂f

∂xm(x) =

12

(D[f ](x)−D[f ](x)) .

Ası que (4.3) se transforma en

d(τxf(x)) =(

12

)2 (σx − σx)

(D[f ](x) +D[f ](x)

)

− (σx + σx)(D[f ](x)−D[f ](x)

)=

12σxD[f ](x)− 1

2σxD[f ](x) . (4.4)

Entonces

d(τxf(x)) =12σxD[f ](x) , (4.5)

si y solo si f es hiperholomorfa; asimismo la hiperderivada es

f ′(x) =12D[f ](x) . (4.6)

2

En caso de que m = 1, el conjugado del operador de Cauchy-Riemann es

D =∂

∂x0− e1

∂

∂x1,

con lo cual la formula (4.6) queda

f ′(x) =∂f

∂z. (4.7)

La formula (4.4) es la generalizacion de

df(z0) =∂f

∂z(z0)dz +

∂f

∂z(z0)dz , (4.8)

que corresponde a la diferencial de una funcion en terminos de las derivadasformales.

4.1. HIPERHOLOMORFIA E HIPERDERIVABILIDAD LOCAL 69

4.1.2. Hiperderivada en terminos de incrementos

En el analisis complejo unidimensional la derivada y la holomorfıa estan defini-dos en terminos de un cociente de incrementos, tanto de la variable como delvalor de la funcion. En este momento se introducen los elementos necesariospara tratar de generalizar este enfoque en el analisis de Clifford.

Se definen ahora los paralelepıpedos m-dimensionales no degenerados, con verti-ce en x0 ∈ Rm+1 y vectores aristas v1, v2, . . . , vm ⊂ Rm+1 dados por

Π :=

x0 +

m∑`=1

t` v` ∈ Rm+1 | (t1, . . . , tm) ∈ [0, 1]n

y su frontera por

∂Π :=

x0 +

m∑`=1

t` v` ∈ Rm+1 | (t1, . . . , tm) ∈ ∂[0, 1]m.

El siguiente resultado relaciona el numero f ′(x0) ∈ C`0,m con el lımite de un“cociente de incrementos”.

Teorema 4.1.2.1 Sean f : Ω → C`0,m hiperholomorfa por la izquierda en x0

y f ′(x0) su hiperderivada izquierda. Entonces, para cada sucesion Πk∞k=1 deparalelepıpedos m-dimensional orientados, no degenerados y con vertice x0 laigualdad

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1 ∫∂Πk

τx · f(x)

= f ′(x0) , (4.9)

es verdadera si lımk→∞

diamΠk = 0.

Demostracion

Por el teorema de Stokes y (4.4) se tiene

∫∂Πk

τx(z) · f(x) =∫

Πk

d(τx(x) · f(x))

=∫

Πk

(12σxD[f ](x)− 1

2σxD[f ](x)

).


Por la hipotesis de que la funcion f es hiperholomorfa se tiene entonces

∫∂Πk

τx · f(x) =∫

Πk

(12σxD[f ](x)

). (4.10)

Por (4.10) y puesto que f ∈ C1 entonces

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1 ∫∂Πk

τx · f(x)

= lımk→∞

∫

Πk

σx

−1∫Πk

(12σxD[f ](x)

)

= lımk→∞

∫

Πk

σx

−1∫Πk

σx

(12D[f ](x)

)

= f ′(x0) .

(4.11)

2

4.1.3. Hiperderivada en terminos de incrementos param = 1

Si m = 1 se tiene que el paralelepıpedo 1-dimensional

Π := z ∈ C | z = z0 + tv1 , t ∈ [0, 1], , (4.12)

es un segmento de recta en el plano complejo con origen en z0 y direccion dadapor el numero v1 ∈ C. La frontera es el conjunto ∂Π := z0, z.

En este caso las formas diferenciales (2.52) y (2.56) tienen la forma:

σx = dx1 − e1dx0 y τx = −e1 . (4.13)

Ademas puesto que σx = −e1dz entonces

4.2. DERIVADA AEROLAR 71

∫

Π

σx

−1∫∂Π

τx · f(x)

=

∫

Π

−e1dz

−1∫∂Π

−e1 · f(z)

=

∫

Π

dz

−1∫∂Π

f(z)

=

∫z0,z

f(ζ)

z∫z0

dζ

=f(z)− f(z0)

z − z0,

(4.14)

con ζ representando la variable de integracion.

En caso de que la funcion f fuese complejo diferenciable en z0, entonces

f ′(z0) = lımz→z0

∫z0,z

f(ζ)

z∫z0

dζ

, (4.15)

para cualquier paralelepıpedo 1-dimensional en cada direccion que se contraiga az0, lo cual indica que la formula (4.9) se circunscribe a los hechos bien conocidosdel analisis complejo unidimensional.

4.2. Derivada aerolar

En 1912, D. Pompeiu introdujo el siguiente lımite

lım∆→z0

∫∂∆

f(z)dz

2i∫∫∆

dw

; (4.16)


donde Ω es un dominio en R2, ∆ ⊂ Ω es un subdominio y z0 ∈ ∆; f ∈ C(Ω; R2)y dw es el elemento de area en C2. De existir el lımite (4.16), este se denominala derivada aerolar de f en z0.

Se observa que a diferencia del lımite en (4.15), el cociente en (4.16) involucraen el denominador el area del subdominio. En [22] se demuestra como (4.16) se

relaciona con el operador∂

∂zen la forma

∂f

∂z(z0) = lım

∆→z0

∫∂∆

f(z)dz

2i∫∫∆

dw

; (4.17)

y de hecho, tambien en [22] se exhibe el vınculo con el operador de derivacion

compleja∂

∂zen la forma

∂f

∂z(z0) = lım

∆→z0

∫∂∆

f(z)dz

2i∫∫∆

dw

. (4.18)

Las correlaciones (4.17) y (4.18) muestran que las derivadas de Wirtinger se pue-den interpretar como lımites con respecto a medidas 2-dimensionales; ademas demanifestar que toda funcion holomorfa en Ω posee derivada aerolar y esta dadapor el lımite

lımz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

;

el cual, como se mostro en (4.15) se identifica con un cociente que involucra lamedida de un paralelepıpedo 1-dimensional.

De esta forma, se observa como en la derivada aerolar se tiene un antecedentepara definir derivadas en terminos de lımites de cocientes que involucran medidasde conjuntos y que se generaliza para funciones con valores en C`0,m en laSubseccion 4.1.2.

4.3. Derivada direccional m-dimensional

4.3.1. Definicion

Las “direcciones” a lo largo de las cuales se va a definir la derivada direccional deuna funcion con valores en C`0,m , son los hiperplanos L ⊂ Rm+1 con ecuacion

4.3. DERIVADA DIRECCIONAL M -DIMENSIONAL 73

γ(x) :=m∑`=0

n` x` + d ; (4.19)

en donde ~n = (n0, n1, · · · , nm) es el vector normal unitario a L y d ∈ R.

Ya que para cualquier plano L, existe un hiperplano L0 que pasa por el origende Rm+1, es paralelo a L y con vector normal unitario

−→n0; entonces de acuerdo

a la Subseccion 2.3.5. el numero n0 =m∑`=0

n0è` indica la Cliffordnizacion de la

direccion de L.

La siguiente definicion introduce el concepto de la derivada direccional a lo largode un hiperplano.

Definicion 4.3.1.1 Sea x0 ∈ Ω ∩ L. La funcion de f : Ω → C`0,m se llamahiperderivable por la izquierda en x0 a lo largo de L, si para cualquier suce-sion Πk∞k=1, con Πk ⊂ L, tal que lım

k→∞diamΠk = 0 de paralelepıpedos m-

dimensionales no degenerados con vertice en x0, el lımite

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1 ∫∂Πk

τx · f(x)

, (4.20)

existe y es independiente de la sucesion Πk∞k=1.

Si existe, el lımite es llamado la hiperderivada direccional izquierda m-dimensionala lo largo del hiperplano L y se denota por f ′L(x0).

La definicion recien presentada considera que la familia de paralelepıpedos Πk

esta completamente contenida en el hiperplano L, por lo que se trata de con-juntos m-dimensionales y el punto x0 cumple con x0 ∈ L ∩ Ω.

A continuacion se presenta un resultado que indica que con pedir “pocas” con-diciones a una funcion de valores Cliffordianos f , esta posera la hiperderivadam-dimensional en una gran cantidad de direcciones y ademas ofrecera una ex-presion explıcita para el calculo de la derivada direccional a lo largo de cualquierhiperplano que contenga al punto x0.

Teorema 4.3.1.1 Sea V (x0) una vecindad (m+1)-dimensional de x0 ∈ Rm+1.Sea f ∈ C1(V (x0);C`0,m). Entonces f es hiperderivable por la izquierda en elpunto x0 a lo largo de cualquier hiperplano L 3 x0.


Demostracion

En primer lugar se va a establecer una relacion entre los elementos de superficieσx y σx en L. Aplicando (4.4) a γ se tiene

d(τxγ(x)) = σxD[γ](x)− σxD[γ](x)

= 0 ,

por lo que

σx = σxD[γ](x) (D[γ](x))−1

= σx(D[γ](x)

)2= σx(n0)2 .

(4.21)

Eligiendo ahora paralelepıpedos Πk∞k=1, con Πk ⊂ L y lımk→∞ diamΠk = 0.Entonces por (4.4) y la correlacion (4.21) se tiene

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1 ∫∂Πk

τx · f(x)

=

= lımk→∞

∫

Πk

σx

−1∫Πk

d(τx · f(x))

=12

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1

·∫

Πk

(σxD[f ](x)− σxD[f ](x)

)

=12

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1

·

∫Πk

σx

(D[f ](x)− (n0)2D[f ](x)

) .

Puesto que f ∈ C1(V (x0), C`0,m), finalmente se tiene

lımk→∞

∫

Πk

σx

−1 ∫∂Πk

τx · f(x)

=

12D[f ](x0)− 1

2(n0)2D[f ](x0) . (4.22)

2

4.3. DERIVADA DIRECCIONAL M -DIMENSIONAL 75

Como una consecuencia inmediata del teorema recien probado se tiene:

Corolario 4.3.1.1 Sea f ∈ C1(V (z0);C`0,m). Entonces f es hiperholomorfapor la izquierda en x0 si y solo si f ′(x0) es independiente del hiperplano L.

Demostracion

De (4.22) se tiene

f ′L(x0) =12D[f ](x0) .

si y solo si f es hiperholomorfa en V (x0). 2

4.3.2. Antecedentes de la derivada direccional real y com-pleja

Se recuerdan ahora los conceptos de derivada direccional en el sentido real mul-tidimensional y complejo unidimensional.

Sea f : Ω ⊂ Rm+1 → Rp, entonces la derivada direccional en x0 ∈ Ω en ladireccion del vector ~u ∈ Rm+1, con |~u| = 1 se define por el lımite

∂f

∂~u(x0) := lım

t→0

f(x0 + t~u)− f(x0)t

, (4.23)

con t ∈ R. En particular, si ~u es un vector unitario del eje coordenado x` entoncesel lımite (4.23) coincide con la derivada parcial

∂f

∂x`(x0)

para toda ` = 1, . . . ,m.

Lo anterior continua sigue siendo cierto para m = 1, i.e. en R2, pero al introducirla estructura compleja canonica al plano R2, entonces es posible plantear laderivada direccional con un “enfoque complejo”.

Sea ξ un numero complejo de modulo 1, que determina el conjunto

zξ := z ∈ C|z = z0 + t ξ, t ∈ R ,

el cual geometricamente representa en el plano complejo C una lınea recta.

Entonces si el lımite

lımzξ3 z→z0

f(z)− f(z0)z − z0

, (4.24)

existe, este es conocido como la derivada direccional compleja de f en z0 en la

direcion zξ y se denota por∂f

∂zξ(z0). Debido a que


lımzξ3z→z0

f(z)− f(z0)z − z0

= lımt→0

f(z0 + tξ)− f(z0)tξ

= ξ lımt→0

f(z0 + t~ξ )− f(z0)t

,

entonces ambas derivadas direccionales , (4.23) y (4.25), existen simultaneamen-te en R2 y ellas difieren por un factor constante

∂f

∂~ξ(z0) = ξ · ∂f

∂zξ(z0) . (4.25)

Por lo que si ξ = 1 entonces

∂f

∂zξ(z0) =

∂f

∂x0(z0) , (4.26)

y si ξ = i entonces

∂f

∂zξ(z0) = −i ∂f

∂x1(z0) . (4.27)

La ultima ecuacion exhibe la diferencia entre ambas definiciones de las derivadasdireccionales, ya que en ellas la estructura compleja se manifiesta.

4.3.3. Formula para la derivada direccional compleja

Para funciones complejas de clase C1 la siguiente formula es conocida

4fz0(h) = h∂f

∂z(z0) + h

∂f

∂z(z0) + o(h) ,

con h ∈ C y lımh→0 o(h) = 0, de donde

4fz0(h)h

=∂f

∂z(z0) +

h

h

∂f

∂z(z0) +

o(h)h

=∂f

∂z(z0) + e−2iargh ∂f

∂z(z0) +

o(h)h

,

con h = |h|eiargh. Si h = ξ y tal que z = z0 + ξt ∈ zξ se tiene entonces

lımh→0

4fz0(h)h

= lımzξ3z→z0

4fz0(ξ)ξ

,

con lo cual el lımite (4.24) puede ser presentado por

4.4. DERIVACION DE LA INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY 77

∂f

∂zξ(z0) =

∂f

∂z(z0) + e−2i argξ ∂f

∂z(z0) . (4.28)

Comparando las formulas (4.22) y (4.28) se debe advertir como se generalizaal analisis de Clifford un hecho complejo unidimensional. En primer lugar, am-bas formulas se obtienen a traves de una combinacion lineal de los respectivosoperadores de Cauchy-Riemann y asimismo en ambos casos se hace evidente ladependencia de la derivada direccional de la direccion, al aparecer en ellas losfactores e−2i argξ y (n0)2.

4.3.4. Derivada direccional Cliffordiana para m = 1

En caso de que m = 1 el hiperplano L es una recta con ecuacion γ = n0x0 +n1x1 + d. De esta forma la Definicion 4.1.4.1 queda

lımL3z→z0

z∫

z0

−e1dz

−1 ∫z0,z

−e1f(z)

= lım

L3z→z0

f(z)− f(z0)z − z0

, (4.29)

la cual coincide con la definicion de la derivada direccional compleja (4.24).

Sea ξ ∈ C tal que | ξ |= 1 y que determine la direccion de L. Entonces n0 = e1ξ( o −e1ξ) y ademas (n0)2 = −ξ 2.

Por lo tanto la formula (4.22) toma la forma:

12

(D[f ](x0)− (n0)2D[f ](x0)

)=

∂f

∂z(z0) + ξ 2 ∂f

∂z(z0)

=∂f

∂z(z0) + e−2e1argξ ∂f

∂z(z0) ,

(4.30)

la cual coincide con la formula (4.28) para la derivada direccional compleja.

Por lo tanto la definicion de la hiperderivada direccional para funciones de valo-res en C`0,m es una generalizacion de las nociones mostradas en la subsecciones4.1.5 y 4.1.6.

4.4. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy

4.4.1. Diferenciales Cliffordianas auxiliares

Desarrollaremos ahora unas formas diferenciales que nos resultaran de utilidadpara la derivacion de la integral de tipo de Cauchy Cliffordiana.


Empleando razonamientos similares a los mostrados en la demostracion del Teo-rema 8.3.1.1 se tiene ahora que

d(f(x)τx) = df(x) ∧ τx

=∂f

∂x0(−e1dx1 + e2dx2 + · · ·+ (−1)nemdxm)−

− (∂f

∂x1e1 +

∂f

∂x2e2 + · · ·+ ∂f

∂xnem)dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm

=(

12

)2 (Dr[f ] +Dr[f ])(σx − σx)− (Dr[f ]−Dr[f ])(σx + σx)

=

12Dr[f ]σx −

12Dr[f ]σx .

(4.31)

La ecuacion obtenida generaliza la ecuacion compleja (4.8) pero para el operadorderecho de Cauchy-Riemann.

Ahora se generara la forma diferencial que vincula ambos operadores de Cauchy-Riemann Cliffordianos.

Con las funciones f y g ∈ C1(Ω;C`0,m) se genera la (m− 1)-forma diferencialf(x)τxg(x). Ası que, como consecuencia de (4.3) y (4.31) se tiene

d(f(x)τxg(x)) = d(f(x)τx)g(x) + (−1)m−1f(x)d(τxg(x))

=12

(Dr[f ](x)σx −Dr[f ](x)σx)g(x) +

+ (−1)m−1f(x)12

(σxD[g](x)− σxD[g](x))

=12Dr[f ](x)σxg(x)−Dr[f ](x)σxg(x) +

+ (−1)m−1f(m)σxD[g](x) + (−1)mf(x)σxD[g](x).

(4.32)

4.4.2. El nucleo de Cauchy y conjugado del operador de-recho de Cauchy-Riemann

Sea y ∈ Rm+1, con y 6= x y tal que su representacion hipercompleja es y =x∑`=0

yè`.


Se aplicara el operador Dr a la funcion E(y − x) con respecto a diferentesvariables, comenzando por la variable y

Dr,y[E(y − x)] =(

∂

∂y0+Me1

∂

∂y1+ · · ·+Mem

∂

∂ym

)·

·

(1

Am+1·y0 − x0 +

∑m`=1(x` − y`)e`

[∑m`=0(y` − x`)2]

m+12

).

(4.33)

Las derivadas parciales son

∂

∂y0[E(y − x)] =

1Am+1 |y − x|m+1

(1− (m+ 1)

y − x|y − x|2

(y0 − x0)), (4.34)

y

∂

∂y`[E(y − x)] =

1Am+1 |y − x|m+1

(− e` − (m+ 1)

y − x|y − x|2

(y` − x`)),

(4.35)

para ` = 1, 2, . . . ,m.

Entonces por (4.35), se tiene

m∑`=1

∂

∂y`[E(y − x)] e` =

=1

Am+1 |y − x|m+1

m∑`=1

(−e` − (m+ 1)

y − x‖y − x‖2

(y` − x`)

)e`

=1

Am+1 |y − x|m+1

m∑`=1

(e2` + (m+ 1)

y − x‖y − x‖2

(y` − x`)e`

)

=1

Am+1 |y − x|m+1

−m+ (m+ 1)

y − x‖y − x‖2

(m∑`=1

(y` − x`)e`

).

Ası que

∂

∂x0[E(y − x)] +

m∑`=1

∂

∂y`[E(y − x)]e` =

=1

Am+1 |y − x|m+1

1−m− (m+ 1)

y − x‖y − x‖2

(y0 − x0 −

m∑`=1

(y` − x`)e`

).


Por lo que finalmente se tiene

Dr,y[E(y − x)] =1

Am+1 ‖y − x‖m+1

((1− m)− (m+ 1)

y − x 2

‖y − x‖2

). (4.36)

Procediendo ahora con respecto a la variable x, se tienen las siguientes derivadasparciales

∂

∂x0[E(y − x)] =

1Am+1 |y − x|m+1

(−1 + (m+ 1)

y − x|y − x|2

(y0 − x0)),

(4.37)y

∂

∂x`[E(y − x)] =

1Am+1 |y − x|m+1

(e` + (m+ 1)

y − x|y − x|2

(y` − x`)), (4.38)

para ` = 1, 2, . . . ,m.

Siguiendo procedimientos similares a los desarrollados para la variable y se ob-tiene

Dr,x[E(y − x)] = − 1Am+1 |y − x|m+1

((1−m)− (m+ 1)

y − x 2

|y − x|2

). (4.39)

Entonces

Dr,y[E(y − x)] = −Dr,x[E(y − x)] . (4.40)

Ahora al calcular Dx[E(y − x)] se tiene

Dx[E(y − x)] =1

Am+1 |y − x|m+1

((−1 +m) + (m+ 1)

y − x 2

|y − x|2

)

= Dr,x[E(y − x)] ,(4.41)

al emplear (4.37) y (4.38). Ası que, se establece la siguiente relacion

Dr,y[E(y − x)] = −Dr,x[E(y − x)] = −Dx[E(y − x)] . (4.42)

La ultima ecuacion indica que la aplicacion del conjugado del operador deCauchy-Riemann derecho, al nucleo de Cauchy con respecto a diferentes va-riables se distingue tan solo por un signo y ademas coincide con la aplicaciondel operador izquierdo de Cauchy-Riemann a la funcion E(y − x).


4.4.3. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy

Como antes sea Ω ⊂ Rm+1 un dominio, pero ahora ademas se considera simple-mente conexo con frontera Γ :=

y ∈ Rm+1|%(y) = 0

tal que % ∈ C1(Rm+1,R)

y grad %|Γ(y) 6= 0 para todo y ∈ Γ. Aplicando ahora (4.32) con E(y−x) y f(y),con f ∈ C1(Γ, C`0,m) se tiene

d(E(y − x)τyf(y)) =12Dr,y[E(y − x)]σyf(y) +

+ (−1)m−1E[(y − x)]σyDy[f ](y) + (−1)mE(y − x)σy(ζ)Dy[f ](y),

(4.43)

e integrando sobre Γ se tiene∫Γ

Dr,y[E(y − x)]σyf(y) = (−1)m∫Γ

E[(y − x)]σyDy[f ](y) +

+ (−1)m+1

∫Γ

E(y − x)σy(ζ)Dy[f ](y).

(4.44)

Por (4.42) la ecuacion (4.41) queda como

Dx

∫Γ

[E(y − x)]σm(ζ)f(y) = (−1)m+1

∫Γ

E[(y − x)]σyDy[f ](y) +

+ (−1)m∫Γ

E(y − x)σyDy[f ](y) .

(4.45)

Debido a que %|Γ = 0, entonces

d(τy%(y)) =12σyDy[%](y)− 1

2σyDy[%](y)

= 0 ,

de donde se establece la siguiente relacion sobre la hipersuperficie Γ

σy = σyDy[%](y) (Dy[%](y))−1.

Al considerar V |Γ(y) := Dy[%](y) (Dy[%](y))−1 entonces (4.4.3) queda como

Dx

∫Γ

E(y − x)σyf(y) =∫Γ

E(y − x)σy((−1)m+1Dy +

+ (−1)mV |Γ(y)Dy) [f ](y) .


De esta forma se ha demostrado que la integral de tipo de Cauchy Cliffordianapuede ser “derivada” mediante el operador de Cauchy-Riemann generalizado yel siguiente teorema lo sintetiza.

Teorema 4.4.3.1 Sean Ω ⊂ Rm+1 un dominio simplemente conexo con fronte-ra Γ :=

y ∈ Rm+1|%(y) = 0

, tal que % ∈ C1(Rm+1,R) y grad %|Γ(y) 6= 0 para

todo y ∈ Γ; con f ∈ C1(Γ, C`0,m). Entonces para todo x /∈ Γ

Dx

∫Γ

E(y − x)σyf(y) =∫Γ

E(y−x)σy((−1)m+1Dy + (−1)mV |Γ(y)Dy

)[f ](y) ,

(4.46)donde

V |Γ(y) = Dy[%](y) (Dy[%](y))−1.

Del teorema recien demostrado el primer aspecto a destacar es el hecho de quela derivada de la integral de tipo de Cauchy Cliffordiana es de nueva cuenta unaintegral de tipo de Cauchy, pero con densidad(

(−1)m+1Dy + (−1)mV |ΓDy

)[f ](y) . (4.47)

Ademas, puesto que para cada y ∈ Γ existe un hiperplano tangente, el cual sedenota por T (y), entonces la densidad (4.47) es la hiperderivada direccional dela funcion f a lo largo del hiperplano tangente que sera denotada por f ′T (y)(y).De esta forma (4.46) puede ser reescrita en la forma∫

Γ

E(y − x)σyf(y)

′ =∫Γ

E(y − x)σy f ′T (y)(y) , (4.48)

o tambien

(K[f ])′ (x) = K[f ′T ](x) , (4.49)

donde

K[f ](x) :=∫Γ

E(y − x)σyf(y) .

Este resultado es la generalizacion al analisis de Clifford del hecho bien conocidoen el analisis complejo unidimensional y tambien del analisis cuaternionico.


4.4.4. Hiperderivada p-esima de la integral de tipo de Cau-chy

Corolario 4.4.4.1 Sea p ∈ N, f ∈ Cp(Γ;C`0,m) y % ∈ Cp(Rm+1; R). Entoncespara cada y ∈ Γ

Dp

x

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

=∫Γ

E(y − x)σy((−1)m+1Dy+

+(−1)mV |Γ(y)Dy )(p) [f ](y) ,

(4.50)

o equivalentemente∫Γ

E(y − x)σyf(y)

(p)

=∫Γ

E(y − x)σyf(p)T (y)(y) , (4.51)

con T (y) el plano tangente a Γ en y ∈ Γ.

Demostracion

Se procede por induccion sobre p para la demostracion. Con p = 1, el teoremaprevio lo demuestra. Suponiendolo valido para un p, entonces

Dp+1

x

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

= Dx

Dp

x

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

= Dx

∫Γ

E(y − x)σy((−1)m+1Dy + (−1)mV |Γ(y)Dy

)p[f ](y)

(4.52)

De acuerdo a (4.46) se calcula

((−1)m+1Dy + (−1)mV |Γ(y)Dy

) ((−1)m+1Dy + (−1)mV |Γ(y)Dy

)p[f ](y) ,

de donde se ve que se trata del mismo operador, pero ahora aplicado p+1 vecesa la funcion f . Por lo que finalmente se tiene

Dp+1

x

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

=∫Γ

E(y − x)σy((−1)m+1Dy +

+(−1)mV |Γ(y)Dy)(p+1) [f ](y) .

(4.53)

2


4.4.5. Derivacion de las formulas de Sokhotski-Plemelj

Supongase que f ∈ Cp(Γ;C`0,m) entonces por el Teorema 4.1.4.1 existe sup-esima hiperderivada direccional, denotada por f (p)

T (ξ)(ξ) para todo ξ ∈ Γ. Sienseguida se asume que f es una funcion de Hoelder sobre Γ, es decir f ∈Cp,µ(Γ, C`0,m), entonces por Teorema 2.3.10.2 y Corolario 4.2.4.1 se obtiene elsiguiente lımite:

lımy±→x0

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

(p)

= lımy±→x0

∫Γ

E(y − x)σyf(p)T (y)(y)

= ± 12f

(p)T (x0)(x

0) +∫Γ

E(y − x0)σyf(p)T (y)(y) ,

(4.54)

para y ∈ Ω±. De esta forma se ha demostrado el siguiente resultado:

Corolario 4.4.5.1 Sea f ∈ Cp,µ(Γ;C`0,m), % ∈ Cp,µ(Rm+1; R). Entonces parax0 ∈ Γ los siguientes lımites existen

lımy±→x0

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

(p)

y estan dados por

lımy±→x0

∫Γ

E(y − x)σyf(y)

(p)

= ± 12f

(p)T (x0)(x

0)+

+∫Γ

E(y − x0)σyf(p)T (y)(y) .

(4.55)

4.4.6. Derivada de la integral de tipo de Cauchy Cliffor-diana para m = 1

Si m = 1 el nucleo de Cauchy es

E[(ζ − z)] =1

2π· 1ζ − z

.

Puesto que σζ = −e1dζ entonces (4.46) se reescribe como


∂

∂z

12πe1

∫Γ

1ζ − z

f(ζ)dζ

=

=1

2πe1

∫Γ

1ζ − z

(∂f

∂ζ(ζ) − ∂%

∂ζ(ζ)(∂%

∂ζ(ζ))−1

∂f

∂ζ(ζ)

)dζ .

(4.56)

Estableciendo la coorrespondencia entre los operadores grad y∂

∂ζde la forma

grad −→ 2∂

∂ζ,

entonces se puede pensar al operador de Cauchy-Riemann como la “complexifi-cacion” del operador gradiente, ası que

∂%

∂ζ(ζ)(∂%

∂ζ(ζ))−1

= e−2e1 arggrad%(ζ) . (4.57)

Con lo cual (4.56) queda

∂

∂z

12πe1

∫Γ

1ζ − z

f(ζ)dζ

=

=1

2πe1

∫Γ

1ζ − z

(∂f

∂ζ(ζ) − e−2e1 arggrad%(ζ) ∂f

∂ζ(ζ))dζ ,

(4.58)

y al comparar con (4.28) permite presentar a (4.56) como 12πe1

∫Γ

1ζ − z

f(ζ)dζ

′ =1

2πe1

∫Γ

1ζ − z

f ′T (ζ)dζ , (4.59)


Capıtulo 5

Acerca del operador deMoisil-Theodoresco.

En este capıtulo se elabora una teorıa en el contexto Cliffordiano que per-mitira introducir los conceptos de hiperderivabilidad e hiperderivada para eloperador de Moisil-Theodoresco; ası como tambien la posibilidad de derivar lacorrespondiente integral de tipo de Cauchy.

5.1. Motivacion.

5.1.1. Antecedente cuaternionico para el operador deFueter.

La correlacion compleja (4.8) tiene su equivalente cuaternionico, ver [29]; la cualpara el conjunto estructural estandar esta dada por

d(σ2xf(x)) =

12σ3xDF [f ](x) +

12σ3xDF [f ](x) , (5.1)

donde f : Ω ⊂ R4 → H, es una funcion cuaternionica, DF es el operadorde Fueter introducido en la Subseccion 2.2.2 y las formas diferenciales de 2-superficie e hipersuperficie cuaternionicas involucradas estan dadas por

σ2x := idx0,1 − jdx0,2 + kdx0,3 , (5.2)

y

σ3x := dx0 − idx1 + jdx2 − kdx3 , (5.3)

87

88CAPITULO 5. ACERCA DEL OPERADOR DE MOISIL-THEODORESCO.

respectivamente.

En caso de que la funcion f fuese hiperholomorfa, es decir DF [f ](x) = 0; en-tonces por (5.1) se tiene

d(σ2xf(x)) =

12σ3xDF [f ](x) . (5.4)

En [23] se presenta el concepto de hiperdiferenciabilidad e hiperderivabilidadcuaternionica, en donde ademas se muestra que la hiperderivada de f esta dadapor

f ′(x) =12DF [f ](x) . (5.5)

5.1.2. Antecedente cuaternionico para el operador deMoisil - Theodoresco.

Para el operador de Moisil-Theodoresco (2.25) se busca desarrollar una teorıasimilar a la establecida para los operadores de Cauchy-Riemann cuaternionicosy Cliffordianos, como se hace en [23] y en el capıtulo previo, respectivamente.En esta subseccion se muestran dos enfoques directos que buscan alcanzar lameta antes senalada.

En primer lugar, se recuerda como es que se presenta en (2.28) el operador deFueter

DF =∂

∂x0+ DMT ,

el cual en ocasiones es conocido como el operador de Moisil-Theodoresco exten-dido. La representacion anterior permite concebir la idea de que ciertas funcionesMoisil-Theodoresco hiperholomorfas son a su vez Fueter hiperholomorfas.

Pero como se recordara, el operador de Moisil-Theodoresco se aplica a funcionescon dominio Ω ⊂ R3, mientras que el operador de Fueter lo hace en funcionesdefinidas en dominios Ω ⊂ R4. De este modo, para que ambos operadores se apli-quen simultaneamente a una misma clase de funciones, es necesario encontraruna manera de encajar Ω en R4.

Una forma de hacerlo es considerar el dominio “cilındrico” Ω× R ⊂ R4, con locual para cualquier funcion f : Ω → H se define la funcion f : Ω × R → H talque

5.1. MOTIVACION. 89

f(x0, x1, x2, x3) := f(x1, x2, x3) ,

para todo x0 ∈ R. Esto ultimo indica que la funcion f es constante con respectoa la variable x0. Si ahora se supone que f ∈MMT (Ω) entonces

DF [f](x0, x1, x2, x3) =∂f

∂x0(x0, x1, x2, x3)−DMT [f](x0, x1, x2, x3)

= −DMT [f ](x0, x1, x2)

= 0 .

Ası que en este dominio tubular la hiperderivada (5.5) existe, aunque tiene pocointeres ya que

f′(x0, x1, x2, x3) = 0 . (5.6)

El otro enfoque plantea el hecho de que fuese posible hallar un par de formasdiferenciales correspondientes a la 1-forma de superficie y la forma de hipersu-perficie en R3, digamos σ1

x,MT y σ2x,MT respectivamente; y tales que existiese

una ecuacion equivalente a (5.1) para el operador de Moisil-Theodoresco, esdecir

d(σ1x,MT f(x)) =

12σ2x,MT DMT [f ](x) +

12σ2x,MT DMT [f ](x) , (5.7)

para f : Ω ⊂ R3 → H. Pero por las caracterıstcas del operador de Moisil-Theodoresco, se tendrıa

d(σ1x,MT f(x)) =

12(−σ2

x,MT + σ2x,MT

)DMT [f ](x)

= −σ2x,MTDMT [f ](x) .

(5.8)

ası que en caso de que f ∈MMT (Ω) entonces

d(σ1x,MT f(x)) = 0 .

Por lo que si se definiera la hiperderivada para funciones con dominio en R3 yde valores cuaternionicos en forma similar a (5.5) entonces resultarıa que

f ′(x) = 0 ,


lo cual indica que la funcion f posee la hiperderivada, pero de nueva cuenta seanula.

Como se ve con ambos enfoques, para una funcion Moisil-Theodoresco hiperho-lomorfa, la hiperderivada existe pero resulta de poca trascendencia.

5.2. El algebra de Clifford C`0,2 y los analisis deClifford asociados.

En la Subseccion 2.3 se presenta la definicion de algebras de Clifford, en par-ticular para m = 2, el algebra C`0,2 se genera al considerar cualquier baseortonormal de R2 y ademas es bien conocido que C`0,2 ∼= H.

Entonces con cualquier par de las unidades imaginarias i, j,k es posible ge-nerar el algebra C`0,2 y como consecuencia de lo desarrollado en el Capıtulo 4,el analisis de Clifford correspondiente. Pero se debe mencionar que de acuerdoa la pareja de unidades imaginarias elegidas se tendran distintos operadores deCauchy-Riemann para la misma algebra C`0,2.

En concreto existen tres maneras distintas de producir el algebra C`0,2 a partirde parejas de unidades imaginarias del conjunto i, j,k, ası que de acuerdo ala estructura hipercompleja presentada en la Subseccion 2.3.5 es posible hallarotras tres formas de encajar el espacio tridimensional R3 en H; ademas de laclasica que toma a las unidades imaginarias i, j y k.

Cada uno de estos conjuntos de unidades imaginarias generadores del algebraC`0,2 producira una teorıa de analisis y por tanto los correspondientes resul-tados obtenidos en el Capıtulo 4. En particular se obtendran tres diferenteshiperderivadas e hiperderivadas direccionales.

5.3. El i-analisis de C`0,2.

Como ya se se menciono antes existen varias maneras de encajar el espaciovectorial R3 en C`0,2, la primera de ellas a considerar es aquella que toma el parunidades imaginarias j,−k y con el cual se establece el siguiente encajamiento

x1 −→ 1 ,

x2 −→ − k ,

x3 −→ j .

(5.9)

Una vez que se ha fijado el “acoplamiento” se esta ya en condiciones de desa-rrollar la teorıa Cliffordiana adecuada.

5.3. EL I-ANALISIS DE C`0,2. 91

5.3.1. Los i-operadores de Cauchy-Riemann y las i-formasdiferenciales

De acuerdo con (2.39) y (5.9) el operador izquierdo de Cauchy-Riemann respec-tivo esta dado por

DiCR :=

∂

∂x1− k

∂

∂x2+ j

∂

∂x3(5.10)

y su conjugado es

Di

CR :=∂

∂x1+ k

∂

∂x2− j

∂

∂x3. (5.11)

Ademas los correspondientes operadores derechos de Cauchy-Riemann son

DiCR,r :=

∂

∂x1+M−k ∂

∂x2+M j ∂

∂x3(5.12)

y

Di

CR,r :=∂

∂x1+Mk ∂

∂x2+M−j ∂

∂x3. (5.13)

De acuerdo a lo presentado en la Subseccion 2.3.9 las formas diferenciales dehipersuperficie y de superficie 1-dimensional son

σ2x,i = dx1 + k dx2 + j dx3 y τx,i = k dx1,2 + j dx1,3 . (5.14)

5.3.2. La i-diferencial cuaternionica.

Sean Ω ⊂ R3 un dominio y f ∈ C1(Ω;C`0,2). Entonces de acuerdo (4.4) lasiguiente ecuacion se verifica

d(τx,if(x)) =12

(σ2x,iD

i

CR[f ](x)− σ2x,iD

iCR[f ](x)

). (5.15)


5.3.3. La i-MT-diferencial cuaternionica.

Al multiplicar a (5.15) por la unidad imaginaria i se obtiene

d(σ1x,MT f(x)) =

12

(σ2x,MT D

i

CR[f ](x)− iσ2x,iD

iCR[f ](x)

), (5.16)

donde la 1-forma diferencial σ1x,MT se define por

σ1x,MT := i τx,i

y la 2-forma σ2x,MT es ya bien conocida en el analisis cuaternionico y esta dada

por

σ2x,MT = idx1 − jdx2 + kdx3 . (5.17)

La relacion entre los operadores de Moisil-Theodoresco y de Cauchy-Riemann(5.10) esta dada por

DMT = iDiCR , (5.18)

con lo cual

DiCR = −iDMT . (5.19)

Entonces como consecuencia de la igualdad funcional (5.19) la ecuacion (5.16)queda

d(σ1x,MT f(x)) =

12

(σ2x,MT D

i

CR[f ](x) + iσ2x,MT DMT [f ](x)

), (5.20)

ya que σ2x,i i = σ2

x,MT .

En (5.20) aparecen dos elementos bastante bien conocidos: el operador de Moisil-Theodoresco y la 2-forma diferencial de Moisil-Theodoresco. Pero a diferenciade la ecuacion cuaternionica (5.1) o la equivalente Cliffordiana (4.4), en loscuales aparecen un mismo operador: el de Fueter o el de Cauchy-Riemann res-pectivamente; en (5.20) aparecen dos operadores diferentes ademas de la unidadimaginaria i. De esta forma se evita un resultado como el mostrado en la Sub-seccion 5.1.2, el cual impide desarrollar mas profundamente la teorıa para eloperador de Moisil-Theodoresco.

Finalmente al definir el operador DMT mediante

5.4. LA I-HIPERDERIVADA 93

DMT := Di

CR , (5.21)

entonces (5.20) queda

d(σ1x,MT f(x)) =

12(σ2x,MT DMT [f ](x) + iσ2

x,MT DMT [f ](x)). (5.22)

Esta ultima ecuacion es similar a (5.1) y (4.4), pues aparece en ella un “uni-co” operador y ademas en caso de que la funcion f fuese Moisil-Theodorescohiperholomorfa entonces (5.22) se reduce a

d(σ1x,MT f(x)) =

12σ2x,MT DMT [f ](x) .

Lo cual ya permite desarrollar una teorıa analoga a la desarrollada en el Capıtulo4 pero ahora para el operador de Moisil-Theodoresco; aunque se debe notar quelos resultados obtenidos vendran de la aplicacion de un operador de tipo deCauchy-Riemann.

5.4. La i-hiperderivada

Una vez establecida la ecuacion (5.22) expandamos la teorıa para el operadorde Moisil-Theodoresco.

5.4.1. Definiciones

Definicion 5.4.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es llamada i-hiperderivablepor la izquierda en Ω, si para cada x ∈ Ω existe un cuaternio, denotado por f ′i(x),tal que

d(σ1x,MT f(x)) = σ2

x,MT f′i(x) . (5.23)

El cuaternio f ′i(x) es conocido como la i-hiperderivada izquierda de f .

Como consecuencia de (5.22) y la Definicion 5.4.1.1 se establece el siguienteresultado

Teorema 5.4.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es Moisil-Theodoresco hi-perholomorfa en Ω si y solo si es i-hiperderivable por la izquierda. Aun mas

f ′i(x) =12DMT [f ](x) . (5.24)


5.4.2. La i-hiperderivada de un campo Laplaciano

Para ejemplificar el Teorema 5.4.1.1, considerese que la funcion f =−→f es un

campo Laplaciano (solenoidal e irrotacional), es decir verifica las siguientes con-diciones

div−→f = 0 y rot

−→f = 0 ,

entonces de acuerdo a (5.24) se tiene que la i-hiperderivada del campo−→f es

f ′i(x) =12DMT [

−→f ](x) .

De acuerdo a (5.21) se tiene

f ′i(x) =∂−→f

∂x1(x) . (5.25)

El primer aspecto a destacar es el hecho de que la i-hiperderivada del campoLaplaciano, es de nueva cuenta un campo vectorial y el segundo es que coincidecon una derivada parcial con respecto a x1.

5.4.3. La i-hiperderivada en terminos de incrementos

En la Subseccion 4.1.2 se definieron para Rm+1 los paralelepıpedos m-dimensio-nales, los cuales resultaron fundamentales para la presentacion del concepto dela hiperderivada Cliffordiana en terminos de “incrementos” de la variable y dela funcion.

Ahora para R3 los paralelepıpedos 2-dimensionales son paralelogramos, que con-tribuiran a mostrar la Definicion 5.4.1.1 en terminos similares. Dados x0 un pun-to y v1, v2 vectores linealmente independientes en R3, entonces el paralelogramoΠ2 con vertice en x0 es

Π2 :=

x0 +

2∑`=1

t` v` | (t1, t2) ∈ [0, 1]2,

con frontera

∂Π2 :=

x0 +

2∑`=1

t` v` | (t1, t2) ∈ ∂[0, 1]2.

5.5. LA I-HIPERDERIVADA DIRECCIONAL 95

Empleando la ecuacion (5.20) y argumentos analogos a los expuestos en la de-mostracion del Teorema 4.1.2.1, se obtiene el teorema que a continuacion seinscribe.

Teorema 5.4.3.1 Sea f ∈ MMT (Ω) y sea f ′i(x) su i-hiperderivada izquierda.Entonces para cada sucesion Π2,k∞k=1 de paralelogramos orientados no dege-nerados y con vertice en x0 la igualdad

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2x,MT

−1 ∫

∂Π2,k

σ1x,MT · f(x)

= f ′i(x

0) . (5.26)


Π2,k = 0.

5.5. La i-hiperderivada direccional

5.5.1. Definicion

Sea L un hiperplano en R3 y como antes su direccion esta determinada porla direccion de un plano paralelo L0 que pasa por el origen de R3, con vectorunitario normal −→n 0 = (n0

1, n02, n

03). Ası que la definicion de la i-hiperderivada

direccional se presenta a continuacion.

Definicion 5.5.1.1 La funcion f se llama i-hiperderivable en x0 ∈ L∩Ω, en ladireccion del hiperplano L, si para cualquier sucesion Π2,k∞k=1, con Π2,k ⊂ L,de paralelogramos con vertice en x0, el lımite

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2x,MT

−1 ∫

∂Π2,k

σ1x,MT · f(x)

, (5.27)

existe y es independiente de la sucesion Π2,k∞k=1. La i-hiperderivada sera de-notada por f ′i,L(x0).

5.5.2. Teorema y corolario

Se procede ahora a mostrar los elementos necesarios para establecer el equiva-lente al Teorema 4.3.1.1. De acuerdo a Definicion 5.5.1.1 se debe determinar elproducto


∫

Π2,k

σ2x,MT

−1 ∫

∂Π2,k

σ1x,MT · f(x)

,

el cual por el teorema de Stokes y la ecuacion (5.22) se transforma en

12

∫

Π2,k

σ2x,MT

−1

·

∫Π2,k

σ2x,MT DMT [f ](x) + iσ2

x,MT DMT [f ](x)

.(5.28)

Por otra parte al aplicar (5.22) a la ecuacion γ del hiperplano se tiene

12(σ2x,MT

(n0

1 + n02 k− n0

3 j)

+ iσ2x,MT

(n0

1 i + n02 j + n0

3 k))

= 0 ,

de donde

iσ2x,MT = −σ2

x,MT

(n0

1 + n02 k− n0

3 j) (n0

1 i + n02 j + n0

3 k)−1

,

y al recordar que para un cuaternio unitario puramente vectorial se tiene a−1 =−a, entonces

iσ2x,MT = −σ2

x,MT

(n0

1 + n02 k− n0

3 j) (−n0

1 i− n02 j− n0

3 k)

= σ2x,MT

(n0

1 + n02 k− n0

3 j) (

n01 + n0

2 k− n03 j)

i .

Entonces en el hiperplano el vınculo entre las dos 2-formas diferenciales quedacomo

iσ2x,MT = σ2

x,MT

(n0)2

i , (5.29)

donde n0 = n01 − n0

2 k + n03 j, de acuerdo al encajamiento del espacio tridimen-

sional R3 que se elijio.

Por lo tanto el producto (5.28) se transforma en

12

∫

Π2,k

σ2x,MT

−1

·

∫Π2,k

σ2x,MT (DMT [f ](x) +

(n0)2

iDMT [f ](x))

.

5.6. LA I-HIPERDERIVADA Y LA INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY.97

Ası que al calcular el lımite senalado en la Definicion 5.5.1.1 el producto anteriorqueda

12DMT [f ](x0) +

(n0)2

iDMT [f ](x0) .

En donde de nueva cuenta se mantiene la influencia de la direccion y ademassurge la unidad imaginaria i. De esta forma pueden enunciarse los siguientesresultados.

Teorema 5.5.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es i-derivable a lo largode cualquier plano L 3 x0 y esta dada por

f ′i,L(x0) =12

(DMT [f ](x0) +

(n0)2

iDMT [f ](x0)). (5.30)

Corolario 5.5.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es Moisil-Theodorescohiperholomorfa en x0 si y solo si f ′i,L(x0) es independiente del hiperplano L.

5.6. La i-hiperderivada y la integral de tipo deCauchy.

Para concluir con la obtencion de resultados analogos a los generados en elCapıtulo 4, pero ahora para el operador de Moisil-Theodoresco es necesariovolver a trabajar con las formas diferenciales mostradas en la Seccion 5.3 eigualmente establecer las relaciones entre lo operadores derechos de Cauchy-Riemann y el de Moisil-Theodoresco.

5.6.1. La i-MT diferencial derecha cuaternionica.

De conformidad con (4.31) y (5.14) se tiene la siguiente ecuacion

d(f(x) τx,i) =12

(Di

CR,r[f ](x)σ2x,i − Di

CR,r[f ](x)σ2x,i

). (5.31)

Como se hizo antes, ahora se transformara la ecuacion (5.31) para generaruna correlacion similar en donde aparezca el operador y la forma diferencialde Moisil-Theodoresco.

En primer lugar se muestran las siguientes relaciones


τx,i i = j dx1,2 − k dx1,3

= −σix,MT

y

σ2x,i i = (dx1 − k dx2 − j dx3) i

= σ2x,MT .

Por otra parte para el primer termino de (5.31) se tiene

Di

CR,r[f ](x)σ2x,i = D

i

CR,r[f ](x) (−i i)σ2x,i

= −(∂f

∂x1(x) +

∂f

∂x2(x) k− ∂f

∂x3(x) j

)i iσ2

x,i

= −(∂f

∂x1(x) i +

∂f

∂x2(x) j +

∂f

∂x3(x) k

)σ2x,MT .

De donde se ve que aparece el correspondiente operador derecho de Moisil-Theodoresco, definido por

DMT,r := M i ∂

∂x1+M j ∂

∂x2+Mk ∂

∂x3, (5.32)

por lo tanto se ha establecido la siguiente relacion con el operador derecho deMoisil-Theodoresco

Di

CR,r[f ](x)σ2x,i = DMT,r[f ](x)σ2

x,MT . (5.33)

Con lo que, al multiplicar a la ecuacion (5.31) por la derecha por la unidadimaginaria i y empleando (5.33) se obtiene

− d(f(x)σix,MT ) =12(DMT,r[f ](x)σ2

x,MT i−DiCR,r[f ](x)σ2

x,MT

). (5.34)

Finalmente al recordar que en la Subseccion 5.3.3 se introdujo la definicion(5.21), entonces de manera analoga se define

DMT,r := DiCR,r (5.35)

por lo que entonces (5.34) se transcribe en la forma


d(f(x)σix,MT ) =12(DMT,r[f ](x)σ2

x,MT −DMT,r[f ](x)σ2x,MT i

). (5.36)

De esta forma se obtiene una forma diferencial en donde ya aparecen el operadorderecho y la forma de hipersuperficie de Moisil-Theodoresco.

Para terminar con la obtencion de las formas diferenciales necesarias, se consi-deran ahora las funciones f, g : Ω ⊂ R3 → H y la 1-forma σix,MT con lo cual segenera la siguiente ecuacion

d(f(x)σix,MT g(x)) = d(f(x)σix,MT ) g(x)− f(x) d(σix,MT g(x)) .

Al considerar (5.22) y (5.36) en la ecuacion previa, esta se transforma en

d(f(x)σix,MT g(x)) =12DMT,r[f ](x)σ2

x,MT g(x)−DMT,r[f ](x)σ2x,MT i g(x)−

−f(x)σ2x,MT DMT [g](x)− f(x) iσ2

x,MT DMT [g](x).

(5.37)

Evaluando a la ecuacion (5.37) con las funciones E(y−x) y f(y); esta se reducea la correlacion

d(E(y − x)σiy,MT f(y)) =12−DMT,r,y[E](y − x)σ2

y,MT i f(y)−

−E(y − x)σ2y,MT DMT,y[f ](y)− E(y − x) iσ2

y,MT DMT,y[f ](y).

(5.38)

5.6.2. El operador de Moisil-Theodoresco y el nucleo deCauchy

Como resultado de (2.49) en R3, la funcion nucleo de Cauchy E(y − x) tiene larepresentacion hipercompleja canonica siguiente

E(y − x) = − (y1 − x1)i + (y2 − x2)j + (y3 − x3)k

A3

[3∑`=1

(y` − x`)2

]3/2,

donde A3 es el area de la superficie de la esfera S2.


Calculando las derivadas parciales de E(y − x) con respecto a las variables x1

y x2 se tiene

∂

∂y1E(y − x) =

1A3 |y − x|5

−i|y − x|2 − 3(y1 − x1) y − x

(5.39)

y

∂

∂x1E(y − x) =

1A3 |y − x|5

i|y − x|2 + 3(y1 − x1) y − x

. (5.40)

Al derivar al nucleo de Cauchy con respecto a las variables y2, y3, x2 y x3; se ob-tienen expresiones analogas en las que ahora aparecen las unidades imaginariasj y k.

Ası que

DMT,r,y[E(y − x)] =1

A3 |y − x|5−3|y − x|2 − 3y − x2

(5.41)

y

DMT,r,x[E(y − x)] =1

A3 |y − x|5

3|y − x|2 + 3y − x2

= DMT,x[E(y − x)] .

(5.42)

Por lo que entonces, la relacion entre la aplicacion de los operadores conjugadosde Moisil-Theodoresco derecho e izquierdo al nucleo de Cauchy, con respecto adistintas variables es

DMT,r,y[E(y − x)] = −DMT,r,x[E(y − x)] = −DMT,x[E(y − x)] . (5.43)

De esta forma se tienen los ingredientes necesarios para derivar a la integral detipo de Cauchy correspondiente.


Teorema 5.6.3.1 Sea Ω ⊂ R3 dominio simplemente conexo con frontera Γ :=y ∈ R3|%(y) = 0

, donde % ∈ C1(R3,R), grad %|Γ(y) 6= 0 para toda y ∈ Γ y

f ∈ C1(Γ,H). Entonces para toda x /∈ Γ


DMT,x

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT i f(y) =

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V i|Γ(y)DMT,y

)[f ](y) ,

(5.44)

donde V i|Γ (y) := DMT [%](y) (DMT [%](y))−1.

En forma equivalente∫Γ

E(y − x)σ2y,MT i f(y)

′x

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT f

′i,T (y)(y) , (5.45)

donde T (y) el hiperplano tangente a Γ en el punto y ∈ Γ.

Demostacion

De acuerdo a (5.38) al integrar sobre Γ se tiene

∫Γ

DMT,r,y[E(y − x)]σ2y,MT i f(y) = −

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT DMT,y[f ](y)−

−∫Γ

E(y − x) iσ2y,MT DMT,y[f ](y) ,

entonces por (5.43) la anterior ecuacion queda

−DMT,x

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT i f(y) = −

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT DMT,y[f ](y)−

−∫Γ

E(y − x) iσ2y,MT DMT,y[f ](y) .

(5.46)Ahora al aplicar (5.22) a % en Γ se tiene

σ2y,MT DMT,y[%](y) + iσ2

y,MT DMT,y[%](y) = 0 ,

de donde se establece la relacion


− iσ2y,MT = σ2

y,MT DMT,y[%](y)(DMT,y[%](y))−1 . (5.47)

Por lo que al emplear (5.47) en (5.46), esta queda como

DMT,x

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT i f(y) =

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT (DMT,y − V i|Γ(y)DMT,y)[f ](y) ,

(5.48)

donde V i|Γ(y) := DMT,y[%](y)(DMT,y[%](y))−1. 2

Como consecuencia inmediata se tiene el resultado que a continuacion se pre-senta

Corolario 5.6.3.1 Sea p ∈ N, f ∈ Cp(Γ; H) y % ∈ Cp(R3; R). Entonces paracada y ∈ Γ

D(p)

x,MT

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT i f(y)

=

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V i|Γ(y)DMT,y

)(p)[f ](y) ,

(5.49)

el cual se demuestra siguiendo un proceso inductivo semejante al presentado enla demostracion del Corolario 4.4.4.1.

Capıtulo 6

Mas sobre el operador deMoisil-Theodoresco.

A lo largo de este capıtulo se desarrollara la teorıa de hiperderivabilidad parauna funcion Moisil - Theodoresco hiperholomorfa, pero considerando ahora otroconjunto generador del algebra C`0,2.

6.1. El j-analisis para C`0,2.

En este momento al considerar el conjunto k,−i se muestra otro encajamientode R3 en C`0,2 dado por

x2 −→ 1

x1 −→ k

x3 −→ − i .

(6.1)

De esta forma, el operador izquierdo de Cauchy-Riemann correspondiente es

DjCR =

∂

∂x2+ k

∂

∂x1− i

∂

∂x3, (6.2)

y su respectivo operador conjugado

Dj

CR =∂

∂x2− k

∂

∂x1+ i

∂

∂x3. (6.3)

103

104CAPITULO 6. MAS SOBRE EL OPERADOR DE MOISIL-THEODORESCO.

Al considerar las formas diferenciales

τx,j = idx2,3 + kdx2,1 y σ2x,j = −dx2 + kdx1 − idx3 , (6.4)

se verifica la ecuacion siguiente

d(τx,jf(x)) =12

(σ2x,jD

j

CR[f ](x)− σ2x,jD

jCR[f ](x)

), (6.5)

para f ∈ C1(Ω ⊂ R3;C`0,2).

Por otra parte, la relacion entre el operador de Moisil-Theodoresco y el operadorde Cauchy-Riemann (6.2) se da por

DMT = jDjCR . (6.6)

Ademas se establecen los vınculos entre la 2-forma de Moisil-Theodoresco y la2-forma en (6.4) de acuerdo a

σ2x,MT = jσ2

x,j (6.7)

y

σ2x,MT = σ2

x,j j . (6.8)

Por lo que al multiplicar (6.5) por la izquierda por la unidad imaginaria j yemplear las correlaciones (6.6), (6.7) y (6.8) se obtiene la ecuacion

d(σjx,MT f(x)) =12

(σ2x,MTD

j

CR[f ](x) + jσ2x,MTDMT [f ](x)

), (6.9)

donde σjx,MT = jτx,j . En esta ultima correlacion ya aparecen el operador deMoisil -Theodoresco y la forma de hipersuperficie en R3 asociada a el.

Finalmente al definir el operador

DMT := Dj

CR , (6.10)

se genera

d(σjx,MT f(x)) =12(σ2x,MTDMT [f ](x) + jσ2

x,MTDMT [f ](x)). (6.11)

En este momento ya se han determinado las condiciones necesarias para intro-ducir la hiperderivada en terminos de otro encajamiento del dominio Ω ⊂ R3 enH, por lo que siguiendo argumentos similares a los ya expuestos en el capıtuloanterior se generara la teorıa respectiva a este caso. Por esta razon es que deaquı en adelante solamente se enunciaran los resultados.

6.2. LA J-HIPERDERIVADA 105

6.2. La j-hiperderivada

6.2.1. Definicion

Definicion 6.2.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es llamada j-hiperderivablepor la izquierda en Ω, si para cada x ∈ Ω existe un cuaternio, denotado porf ′j(x), tal que

d(σjMT,xf(x)) = σ2MT,x f

′j(x) . (6.12)

El cuaternio f ′j(x) es conocido como la j-hiperderivada izquierda de f .

Entonces por (6.11) y la Definicion 6.2.1.1 se establece el siguiente resultado

Teorema 6.2.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es Moisil-Theodoresco hi-perholomorfa en Ω si y solo si es j-hiperderivable por la izquierda. Mas aun

f ′j(x) =12

DMT [f ](x) . (6.13)

6.2.2. La j-hiperderivada de un campo Laplaciano

Estudiemos que resulta de aplicar el Teorema 6.2.1.1 a un campo

~f = f1i + f2j + f3k ,

que cumple con

div−→f = 0 y rot

−→f = 0 .

Por (6.36) se tiene

12

DMT [~f ](x) =12

(∂

∂x2− k

∂

∂x1+ i

∂

∂x3

)[~f ](x) .

Entonces

~f ′j (x) =∂ ~f

∂x2, (6.14)

la cual muestra que la j-hiperderivada del campo ~f es de nueva cuenta un campovectorial, su derivada parcial en la direccion x2.

Para terminar con los resultados correspondientes a la j-hiperderivada se pre-senta el siguiente teorema.


6.2.3. La j-hiperderivada en terminos de incrementos

Teorema 6.2.3.1 Sea f ∈ MMT (Ω) y sea f ′j(x) su j-hiperderivada izquierda.Entonces para cada sucesion Π2,k∞k=1 de paralelogramos orientados no dege-nerados y con vertice en x0 la igualdad

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1 ∫

∂Π2,k

σjMT,x · f(x)

= f ′j(x

0) . (6.15)


Π2,k = 0.

6.3. La j-hiperderivada direccional.

6.3.1. Definicion.

Definicion 6.3.1.1 La funcion f se llama j-derivable en x0 ∈ L ∩ Ω, en ladireccion del hiperplano L, si para cualquier sucesion Π2,k∞k=1, con Π2,k ⊂ L,de paralelogramos con vertice en x0, el lımite

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1 ∫

∂Π2,k

σjMT,x · f(x)

, (6.16)

existe y es independiente de la sucesion Π2,k∞k=1. La j-hiperderivada sera de-notado por f ′j,L(x0).


Puesto que en el plano L se tiene la siguiente relacion entre las formas dehipersuperficie

jσ2x,MT = σ2

x,MT

(n0)2

, (6.17)

con n0 = n02 + n0

1k− n03i. De esta forma el lımite (6.16) toma la forma

12

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1

·

∫Π2,k

σ2MT,x (DMT [f ](x) +

(n0)2

jDMT [f ](x))

,

y de manera inmediata se obtienen

6.4. LA J-HIPERDERIVADA DE LA INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY107

Teorema 6.3.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es j-derivable a lo largode cualquier plano L 3 x0 y su j-hiperderivada esta dada por

f ′j,L(x0) =12

(DMT [f ](x0) +

(n0)2

jDMT [f ](x0)). (6.18)

Corolario 6.3.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es Moisil-Theodorescohiperholomorfa en x0 si y solo si f ′j,L(x0) es independiente del hiperplano L.

6.4. La j-hiperderivada de la integral de tipo deCauchy

6.4.1. La j-MT diferencial cuaternionica derecha.

La ecuacion siguiente se cumple

d(f(x)τx, j) =12

(Dj

CR,r[f ](x)σ2x,j −D

jCR,r[f ](x)σ2

x,j

); (6.19)

y puesto que las siguientes relaciones

τx,jj = −σjx,MT , σ2x,jj = σ2

x,MT , Dj

CR,r[f ](x) = DMT,r[f ](x)σ2x,MT

tambien se verifican, entonces al multiplicar a (6.19) por la derecha por la unidadj se logra

d(f(x)σjx,MT ) =12(DMT,r[f ](x)σ2

x,MT j + DMT,r[f ](x)σ2x,MT

), (6.20)

donde

DMT,r := DjCR,r . (6.21)

Ası que de (6.11) y (6.20) se tiene

d(f(x)σjx,MT g(x)) =12DMT,r[f ](x)σ2

x,MT j g(x) + DMT,r[f ](x)σ2x,MT g(x)−

−f(x)σ2x,MT DMT [g](x)− f(x) jσ2

x,MT DMT [g](x),

(6.22)

con f, g ∈ C1(Ω ⊂ R3,H). Al evaluar la ecuacion anterior en las funcionesE(y − x) y f(x), esta se reduce a


d(E(y − x)σjy,MT f(y)) =12DMT,r,y[E](y − x)σ2

y,MT j f(y)−

−E(y − x)σ2y,MT DMT,y[f ](y)− E(y − x) jσ2

y,MT DMT,y[f ](y).

(6.23)

Por (5.43) y (6.23) se logran los siguientes resultados.


Teorema 6.4.2.1 Sea Ω ⊂ R3 dominio simplemente conexo con frontera Γ :=y ∈ R3|%(y) = 0

, donde % ∈ C1(R3,R), grad %|Γ(y) 6= 0 para toda y ∈ Γ y

f ∈ C1(Γ,H). Entonces para toda x /∈ Γ

DMT,x

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT j f(y) =

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V j |Γ (y)DMT,y

)[f ](y) ,

(6.24)

donde V j |Γ (y) := DMT [%](y) (DMT [%](y))−1.


E(y − x)σ2y,MT j f(y)

′x

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT f

′j,T (y)(y) , (6.25)

donde T (y) es el hiperplano tangente a Γ en el punto y ∈ Γ.

Corolario 6.4.2.1 Sea p ∈ N, f ∈ Cp(Γ; H) y % ∈ Cp(R3; R). Entonces paracada y ∈ Γ

D(p)

x,MT

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT j f(y)

=

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V j |Γ(y)DMT,y

)(p)[f ](y) .

(6.26)

6.5. EL K-ANALISIS PARA C`0,2. 109

6.5. El k-analisis para C`0,2.

Ahora al considerar el conjunto de unidades imaginarias −j, i se establece elsiguiente encajamiento

x3 −→ 1 ,

x1 −→ − j ,

x2 −→ i ;

(6.27)

de R3 en C`0,2 con lo cual ya es posible desarrollar el analisis de Clifford corres-pondiente. En primer lugar el operador izquierdo de Cauchy-Riemann respectivoes

DkCR :=

∂

∂x3− j

∂

∂x1+ i

∂

∂x2, (6.28)

y su conjugado esta dado por

Dk

CR :=∂

∂x3+ j

∂

∂x1− i

∂

∂x2. (6.29)

Entonces definiendo las formas diferenciales siguientes

τx,k := jdx3,1 + idx3,2 y σ2x,k := dx3 − jdx1 − idx2 ,

se establece la relacion

d(τx,kf(x)) =12

(σ2x,kD

k

CR[f ](x)− σ2x,kD

kCR[f ](x)

). (6.30)

Debido a que

σ2x,MT = kσ2

x,k , σ2x,MT = σ2

x,kk

y la relacion entre el operador de Moisil-Theodoresco y el operador (6.28) dadapor

DMT = kDkCR , (6.31)

entonces multiplicando por la izquierda a (6.30) por k se genera la correspon-dencia

d(σkx,MT f(x)) =12

(σ2MTD

k

CR[f ](x) + kσ2MTDMT [f ](x)

), (6.32)

donde σkx,MT := kτx,k.


Definiendo el operador

DMT := Dk

CR , (6.33)

entonces (6.32) se transcribe como

d(σkx,MT f(x)) =12(σ2MTDMT [f ](x) + kσ2

MTDMT [f ](x)). (6.34)

6.6. La k-hiperderivada

6.6.1. Definicion

Definicion 6.6.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es llamada k-hiperderivablepor la izquierda en Ω, si para cada x ∈ Ω existe un cuaternio, denotado porf ′k(x), tal que

d(σkMT,xf(x)) = σ2MT,x f

′k(x) . (6.35)

El cuaternio f ′k(x) es conocido como la k-hiperderivada izquierda de f .

De (6.34) y la Definicion 6.6.1.1 se tiene

Teorema 6.6.1.1 Sea f ∈ C1(Ω; H). La funcion f es Moisil-Theodoresco hi-perholomorfa en Ω si y solo si es k-hiperderivable por la izquierda. Aun mas

f ′k(x) =12

DMT [f ](x) . (6.36)

6.6.2. La k-hiperderivada de un campo Laplaciano

Sea ~f un campo solenoidal e irrotacional, entonces aplicando Teorema 6.6.1.1se tiene

~f ′k(x) =12

DMT [f ](x)

=∂ ~f

∂x3. (6.37)

Obteniendose de nuevo un campo vectorial, que coincide con la derivada en ladireccion x3 del campo vectorial original.

6.7. LA K-HIPERDERIVADA DIRECCIONAL. 111

6.6.3. La k-hiperderivada en terminos de incrementos

Teorema 6.6.3.1 Sea f ∈ MMT (Ω) y sea f ′k(x) su k-hiperderivada izquierda.Entonces para cada sucesion Π2,k∞k=1 de paralelogramos orientados no dege-nerados y con vertice en x0 la igualdad

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1 ∫

∂Π2,k

σkMT,x · f(x)

= f ′k(x0) . (6.38)


Π2,k = 0.

6.7. La k-hiperderivada direccional.

6.7.1. Definicion.

Definicion 6.7.1.1 La funcion f se llama k-derivable en x0 ∈ L ∩ Ω, en ladireccion del hiperplano L, si para cualquier sucesion Π2,k∞k=1, con Π2,k ⊂ L,de paralelogramos con vertice en x0, el lımite

lımk→∞

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1 ∫

∂Π2,k

σkMT,x · f(x)

, (6.39)

existe y es independiente de la sucesion Π2,k∞k=1. El lımite sera denotado porf ′k,L(x0).


Puesto a que en el plano L se tiene la siguiente relacion entre las formas dehipersuperficie

kσ2x,MT = σ2

x,MT

(n0)2

, (6.40)

con n0 = n03 − n0

1j + n02i. De esta forma el lımite (6.39) toma la forma

12

∫

Π2,k

σ2MT,x

−1

·

∫Π2,k

σ2MT,x (DMT [f ](x) +

(n0)2

kDMT [f ](x))

,

y de manera inmediata se obtienen


Teorema 6.7.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es k-derivable a lo largode cualquier plano L 3 x0 y la k-hiperderivada esta dada por

f ′k,L(x0) =12

(DMT [f ](x0) +

(n0)2

kDMT [f ](x0)). (6.41)

Corolario 6.7.2.1 Sea f ∈ C1(V (x0); H). Entonces f es Moisil-Theodorescohiperholomorfa en x0 si y solo si f ′k,L(x0) es independiente del hiperplano L.

6.8. La k-hiperderivada de la integral de tipo deCauchy

6.8.1. La k-MT diferencial cuaternionica derecha.

Tambien en este caso se verifica la siguiente ecuacion

d(f(x)τx,k) =12

(Dk

CR,r[f ](x)σ2x,k −Dk

CR,r[f ](x)σ2x,k

); (6.42)

y puesto que las relaciones

τx,kk = −σ1,kx,MT , σ2

x,kk = σ2x,MT , D

k

CR,r[f ](x) = DMT,r[f ](x)σ2x,MT

tambien son validas, entonces al multiplicar a (6.42) por la derecha por la unidadimaginaria k se obtiene

d(f(x)σkx,MT ) =12(DMT,r[f ](x)σ2

x,MTk + DMT,r[f ](x)σ2x,MT

), (6.43)

con

DMT,r := DkCR,r . (6.44)

Por lo tanto de (6.34) y (6.43) se tiene

d(f(x)σkx,MT g(x)) =12DMT,r[f ](x)σ2

x,MT k g(x) + DMT,r[f ](x)σ2x,MT g(x)−

−f(x)σ2x,MT DMT [g](x)− f(x) kσ2

x,MT DMT [g](x),

(6.45)

con f, g ∈ C1(Ω ⊂ R3; H). Cuando en la ecuacion anterior f(y) = E(y−x), estase reduce a

6.8. LAK-HIPERDERIVADA DE LA INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY113

d(E(y − x)σky,MT g(y)) =12DMT,r,y[E](y − x)σ2

y,MT k g(y)−

−E(y − x)σ2y,MT DMT,y[g](y)− E(y − x) kσ2

y,MT DMT,y[g](y).

(6.46)

De (5.43) y (6.46) se obtiene


Teorema 6.8.2.1 Sea Ω ⊂ R3 un dominio simplemente conexo con fronteraΓ :=

y ∈ R3|%(y) = 0

, donde % ∈ C1(R3,R), grad %|Γ(y) 6= 0 para toda y ∈ Γ

y g ∈ C1(Γ,H). Entonces para toda x /∈ Γ

DMT,x

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT k g(y) =

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V k|Γ (y)DMT,y

)[g](y) ,

(6.47)

donde V k|Γ (y) := DMT [%](y) (DMT [%](y))−1.


E(y − x)σ2y,MT k g(y)

′x

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT g

′j,T (y)(y) , (6.48)

donde T (y) es el hiperplano tangente a Γ en el punto y ∈ Γ.

Corolario 6.8.2.1 Sea p ∈ N, g ∈ Cp(Γ; H) y % ∈ Cp(R3; R). Entonces paracada y ∈ Γ

D(p)x,MT

∫Γ

E(y − x)σ2y,MT k g(y)

=

=∫Γ

E(y − x)σ2y,MT

(DMT,y − V k|Γ(y)DMT,y

)(p)[g](y) .

(6.49)


6.9. Notas

Con el establecimiento de los resultados obtenidos a lo largo de este capıtu-lo y el anterior, se alcanza el objetivo senalado al comienzo del Capıtulo 5: laposibilidad de introducir, en analogıa al enfoque clasico, un concepto de dife-renciabilidad para funciones f : Ω ⊂ R3 → H.

Pero dos hechos deben ser destacados. El primero de ellos corresponde a la situa-cion de definir a la hiperderivada de tres maneras, lo cual se debe a las diferentesformas de encajar el espacio tridimensional R3 en el algebra C`0,2. Las corres-pondencias (5.9), (6.1) y (6.27) no son las unicas que permiten realizar dichasinserciones, pero fueron elegidas debido a que los correspondientes operadoresde Cauchy-Riemann y 2-formas σ2

x,`, para ` = i, j, k, tienen una conexion directacon el operador de Moisil-Theodoresco y la forma σ2

x,MT , respectivamente.

El segundo de ellos, es que en cada caso fue posible establecer una generalizacionde la diferencial compleja (4.8), pero la peculiaridad de estas generalizacioneses que aparecen dos diferentes operadores: uno de tipo de Cauchy-Riemann yel otro es el de Moisil-Theodoresco. De esta manera, para una funcion Moisil-Theodoresco hiperholomorfa cada una de las hiperderivadas definidas en el pre-sente capıtulo y el anterior, se determina por un operador de tipo de Cauchy-Riemann.

Capıtulo 7

Derivadas complejas

En este capıtulo se exponen los precedentes complejos que permitiran explicar yentender el comportamieno descubierto al definir la hiperderivada de una funcioncon dominio en el espacio tridimensional R3 y con valores en una estructuraalgebraica fija, a saber el semicampo antisimetrico H.

7.1. Holomorfıa real

Durante esta seccion se muestra la manera de vincular una transformacion realdefinida en un plano bidimensional real y con valores en otro plano bidimensionalreal, con los conceptos complejos de derivabilidad y holomorfıa.

7.1.1. Definiciones

Se comienza con un par de definiciones esenciales para nuestros fines.

Definicion 7.1.1.1 Sean Ω ⊂ R2 un dominio y una transformacion f ∈ C1(Ω;; R2) tal que f(x, y) = (u(x, y); v(x, y)). Si f verifica

∂u

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y) y

∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y) (7.1)

sobre Ω, entonces la transformacion se llamara real holomorfa.

Definicion 7.1.1.2 Considerando las hipotesis de la definicion anterior, en-tonces la complexificacion canonica de los valores de la transformacion f , sedetermina mediante una funcion F : Ω→ C definida por

F (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) . (7.2)

115

116 CAPITULO 7. DERIVADAS COMPLEJAS

Notese que la representacion dada a la funcion de valores complejos F es lacanonica, por lo que los valores de la funcion en un punto del dominio Ω seranconsiderados con la representacion w := u + iv y el correspondiente espacioimagen por Cw. La “complexificacion” de las funciones coordenadas u y v dela transformacion f , se determina de forma usual al emplear la expresion (7.2)mediante

u =F + F

2y v =

F − F2i

. (7.3)

Ası que al sustituir (7.3) en las condiciones dadas en (7.1) se tiene

∂

∂x

(F (x, y) + F (x, y)

2

)= −i ∂

∂y

(F (x, y)− F (x, y)

2

)

y

∂

∂y

(F (x, y) + F (x, y)

2

)= i

∂

∂x

(F (x, y)− F (x, y)

2

).

De donde se generan las ecuaciones

12

(∂F

∂x(x, y) + i

∂F

∂y(x, y)

)= −1

2

(∂F

∂x(x, y)− i∂F

∂y(x, y)

)

y

12

(∂F

∂x(x, y) + i

∂F

∂y(x, y)

)=

12

(∂F

∂x(x, y)− i∂F

∂y(x, y)

).

Entonces sumando las ultimas dos ecuaciones se obtiene

∂F

∂x(x, y) + i

∂F

∂y(x, y) = 0 . (7.4)

7.1. HOLOMORFIA REAL 117

7.1.2. Complexificacion canonica del plano R2.

La manera canonica de encajar una estructura compleja en el plano R2 es me-diante el isomorfismo de espacios vectoriales α1 : R2 → C dado por

α1 : (x, y)→ z := x+ iy . (7.5)

Para cualquier dominio Ω ⊂ R2 su correspondiente imagen bajo α1 sera denota-da por Ωz := α1(Ω), el cual se encuentra en el plano Cz. El ındice z nos indicaque se trata de “complexificar” al plano R2 con la estructura compleja definidapor la transformacion α1.

7.1.3. Real holomorfıa en forma compleja

Con la introduccion de la representacion compleja del plano R2, la ecuacion(7.4) es equivalente a la bien conocida condicion de holomorfıa

∂F

∂z(x, y) = 0 . (7.6)

De esta forma se ha demostrado que la Definicion 7.1.1.1 es equivalente a lasiguiente definicion.

Definicion 7.1.3.1 Sean f ∈ C1(Ω; R2) y la funcion F su complexificaciondefinida de acuerdo a (7.2). Entonces la transformacion f se dice holomorfacon respecto a la variable compleja z := x+ iy, si

∂F

∂z(x, y) = 0 . (7.7)

La derivada compleja con respecto a la variable compleja z de la transformacionreal f se define mediante

∂f

∂z(x, y) := F ′(z). (7.8)

Las definiciones introducidas han permitido asignar a la transformacion real fde una caracterıstica plenamente compleja.


7.1.4. Funcion compleja asociada a f

Empleando las relaciones (7.2) y (7.5) se construye la funcion F1 : Ωz → C dadapor

F1 := F α−11 , (7.9)

la cual liga el dominio Ω y la transformacion real f con los planos complejos Czy Cw para el dominio y la imagen respectivamente.

Por lo desarrollado en la subseccion previa y la definicion de la funcion (7.9),los operadores que determinan la clase de transformaciones reales holomorfas fy de derivacion compleja son los clasicos operadores formales complejos

∂

∂z:=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)(7.10)

y

∂

∂z:=

12

(∂

∂x− i ∂

∂y

)(7.11)

respectivamente.

Entonces por Definicion 7.1.3.1 se dice que la transformacion real f es holomorfasi

∂f

∂z(z) =

∂F1

∂z(z) = 0 (7.12)

y la derivada compleja con respecto a la variable z de la transformacion esta dadapor

∂f

∂z(z) =

∂F1

∂z(z) . (7.13)

7.2. PLANO BIDIMENSIONAL R2ξ,η Y SU COMPLEXIFICACION 119

7.2. Plano bidimensional R2ξ,η y su complexifica-

cion

Se considera de nueva cuenta un plano R2, pero ahora cada punto en el seidentifica con la pareja (ξ, η). Para dotar de una estructura compleja a dichoplano se presenta el isomorfismo α2 : R2 → C definido mediante

α2 : (ξ, η)→ ζ := ξ + iη ; (7.14)

donde ξ y η ∈ R. El plano complejo que resulta de considerar a la variablecompleja ζ sera denotado por Cζ .

7.3. Relacion entre las estructuras complejas

Lo desarrollado hasta ahora ha sido generar dos planos complejos ajenos, enesta seccion se establecera una relacion entre ellos.

Sea ϕ : Ωz → Cζ una transformacion dada por

ζ = ϕ(z) := −i z . (7.15)

De esta forma en el plano Cζ se produce el dominio Ωζ y las respectivas coor-denadas quedan ξ = y y η = −x. A su vez, la transformacion inversa esta dadapor

z = ϕ−1(ζ) = iζ . (7.16)

Por lo tanto la relacion entre los dominios Ωz y Ωζ se da mediante

Ωz = iΩζ . (7.17)

y

Ωζ = −iΩz . (7.18)

Las transformaciones (7.15) y (7.16) permiten ahora vincular ambas estructurascomplejas.


7.4. La holomorfıa real y la estructura Cζ

Definiendo ahora a la funcion F2 : Ωζ → Cw por

F2 := F α−11 ϕ−1 , (7.19)

se liga a la transformacion real f con los planos complejos Cζ y Cw.

En este caso los operadores correspondientes de holomorfıa y derivacion com-pleja con respecto a la variable ζ de la transformacion f , son los siguientesoperadores complejos formales

∂

∂ζ:=

12

(∂

∂ξ+ i

∂

∂η

)(7.20)

y

∂

∂ζ:=

12

(∂

∂ξ− i ∂

∂η

). (7.21)

De esta forma la derivada compleja de f de acuerdo a la variable ζ esta dadapor

∂f

∂ζ(ζ) :=

∂F2

∂ζ(ζ) (7.22)

y la transformacion es holomorfa en la estructura algebraica ζ si

∂f

∂ζ(ζ) =

∂F2

∂ζ(ζ) = 0 . (7.23)

7.5. Analogıas entre las estructuras complejas

Durante las ultimas dos secciones se presentaron dos maneras de complexificarde acuerdo a dos diferentes estructuras complejas el plano bidimensional R2.Ademas por construccion se tienen dos clases de funciones complejas vinculadasa la transformacion real f , de acuerdo a la estructura compleja en el dominio,aunque se debe notar que el conjunto imagen Cw es el mismo independiente-mente del encajamiento complejo en el dominio.

Pero de acuerdo a los operadores∂

∂zy∂

∂ζse generan dos conjuntos ajenos de

funciones holomorfas con valores en un mismo plano complejo Cw, correspon-dientes a las distintas variables complejas.

7.6. RELACION ENTRE LAS CLASES DE HOLOMORFIA 121

De esta forma, al parecer existen por lo menos dos familias de funciones ho-lomorfas para la transformacion real f y dos posibles derivadas complejas condistintos valores en Cw, todo esto dependiendo de la manera en que se dote alplano R2 de una estructura compleja.

Sin embargo, es importante senalar que en el planteamiento desarrollado hastaahora la representacion funcional para la funcion F es la canonica, pero si secambiase esta forma funcional por otra “posible” combinacion compleja entrelas coordenadas de la transformacion f y se conservan los isomorfismos (7.5)y (7.14), entonces los operadores de holomorfıa y de derivacion (7.10), (7.11),(7.20) y (7.21) estarıan compuestos de distintas formas.

Por ejemplo, al considerar la complexificacion dada por la transformacion α1

del plano R2 y asociando ahora a la transformacion f con la funcion compleja

G(x, y) := v(x, y) + iu(x, y) , (7.24)

entonces al aplicar Definicion 6.1.1.1 a las coordenadas de la funcion G y si-guiendo argumentos analogos a los mostrados en las Subsecciones 7.1 y 7.2, segeneran las siguientes condiciones de anti holomorfıa y de derivacion complejapara la transformacion f

∂G1

∂z(x, y) = 0 (7.25)

y

∂f

∂z(x, y) := G′1(z) , (7.26)

respectivamente; con G1 := G α−11 .

7.6. Relacion entre las clases de holomorfıa

Debido a que la composicion de funciones continuas es continua, se tiene que alconsiderar a la funcion F1 ∈ C1(Ωz; Cw) entonces la funcion definida por

F 2 := F1 ϕ−1 , (7.27)

se encontrara en C1(Ωζ ; Cw). De la misma manera siempre que F2 ∈ C1(Ωζ ; Cw)entonces la funcion

F 1 := F2 ϕ , (7.28)

se hallara en C1(Ωz; Cw).


Ası mediante las transformaciones (7.15) y (7.16) es posible ahora, ademas derelacionar los distintos dominios complejos asociados a Ω, estudiar la conexionentre las diferentes clases de funciones complejas asociadas a la transformacionf .

Estudiemos ahora que clase de relacion se presentara entre las clases de holo-morfıa de ambos encajamientos complejos.

Aplicando el operador (7.11) a la funcion (7.28) se tiene

∂F 1

∂z(z) =

∂[F2 ϕ]∂z

(z)

=∂F2

∂ζ[ϕ(z)]

∂ϕ

∂z(z)

= −i∂F2

∂ζ(−iz) ;

(7.29)

ya que

∂ϕ

∂z(z) =

12

(∂[y − ix]

∂x− i ∂[y − ix]

∂y

)

=12

(−2i)

= −i .

De forma similar, al aplicar el operador (7.21) a la funcion (7.27) se obtiene

∂F 2

∂ζ(ζ) =

∂[F1 ϕ−1]∂ζ

(ζ)

=∂F1

∂z[ϕ−1(ζ)]

∂ϕ−1

∂ζ(ζ)

= i∂F1

∂z(iζ) ;

(7.30)

pues

∂ϕ−1

∂ζ(z) =

12

(∂[−η + iξ]

∂ξ− i ∂[η − iξ]

∂η

)= i .

7.7. RELACION CON LA HOLOMORFIA REAL 123

Las derivadas complejas de la transformacion f , en general son numeros com-plejos distintos en el plano imagen comun Cw, pero las igualdades (7.29) y(7.30) muestran la manera en que se relacionan, una vez que fue introducida latransformacion ϕ y su inversa.

Ahora determinemos de que forma es la relacion entre los operadores de deriva-cion. De (7.29) se tiene

∂[F2 ϕ]∂z

(z) = −i∂F2

∂ζ(−i z) ;

donde Wϕ es el operador de cambio de variable; entonces

∂

∂z∗Wϕ [F2](z) = −iWϕ ∗

∂F2

∂ζ(z) ;

con lo cual

∂

∂z= −iWϕ ∗

∂

∂ζ∗W−1

ϕ . (7.31)

De manera similar por (7.30) se obtiene

∂

∂ζ= iWϕ ∗

∂

∂z∗W−1

ϕ . (7.32)

7.7. Relacion con la holomorfıa real

Las ultimas dos secciones han mostrado que al dotar a un mismo plano R2 de dosdiferentes estructuras complejas, relacionadas a traves de una transformacionde cambio de variable, las clases de holomorfıa se vinculan y los operadoresde derivacion estan ligados. Estudiemos ahora como se relacionan estos hechoscomplejos con una transformacion real f : Ω ⊂ R2.

Sea f ∈ C1(Ω; R2), tal que f(x, y) = (u(x, y); v(x, y)) y sea F su complexifica-cion de acuerdo a (7.2). Sean F1 y F2 definidas de acuerdo a (7.9) y (7.19).

Supongase que F1 es holomorfa, ası que


0 =∂F1

∂z(z)

=∂[F α−1

1 ]∂z

(z)

=∂F

∂z[α−1

1 (z)]

=12

(∂[u+ iv]

∂x[α−1

1 (z)] + i∂[u+ iv]

∂y[α−1

1 (z)]).

(7.33)

De donde se obtienen las condiciones

∂u

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y) y

∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y) ; (7.34)

que coinciden plenamente con la Definicion 6.1.1.1. Suponiendo ahora que lafuncion F2 es holomorfa entonces

0 =∂F2

∂ζ(ζ)

=∂[F α−1

1 ϕ−1]∂ζ

(ζ)

=∂F α−1

1

∂z[ϕ−1

1 (ζ)]∂ϕ−1

∂ζ(ζ)

=∂F1

∂z(z)

∂(iζ)∂ζ

=∂F1

∂z(z)

∂(iζ)∂ζ

= −i ∂F1

∂z(z) ;

(7.35)

con lo cual

∂F1

∂z(z) = 0 ;

y que por lo arriba mostrado genera las relaciones (7.34).

7.7. RELACION CON LA HOLOMORFIA REAL 125

Con ambas complexificaciones asociadas al plano R2, las correlaciones (7.34)demostrando que la transformacion f es real holomorfa.

Ademas de acuerdo a lo desarrollado en la Subsecciones 1.3 y 1.4, la transfor-macion f tendra dos derivadas complejas distintas.

De esta forma lo generado hasta ahora puede resumirse en el siguiente resultado

Teorema 7.7.0.1 Sea Ω ⊂ R2 un dominio, f ∈ C1(Ω; R2) con f(x, y) :=(u(x, y); v(x, y)) y F su complexificacion definida mediante

F (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) .

Sean F1 y F2 las funciones complejas dadas por

F1 := F α−11 y F2 := F α−1

1 ϕ−1 ,

donde α1, α2 y ϕ son las transformaciones definidas a traves de

z = α1(x, y) := x+ iy ; ζ = α2(ξ, η) := ξ + iη

y ζ = ϕ(z) := −iz. Entonces las funciones F1 y F2 son holomorfas en susrespectivos dominios complejos si y solo si la transformacion f es real holomorfa.


7.8. Notas

A lo largo del capıtulo se crearon dos maneras de complexificar a una funcionentre espacios vectoriales reales. En ambos casos, la imagen complexificada de lafuncion se encontro en el mismo espacio imagen Cw, pero el dominio se inserto endos diferentes estructuras complejas, con lo cual se determinan los concernientesoperadores y clases de holomorfıa.

De esta forma se encuentran dos distintas derivadas complejas para la mismafuncion real, en un caso similar a lo hallado para las funciones con dominio en R3

y de valores cuaternionicos. Aunque durante este capıtulo, ademas de mostrarestas derivadas complejas tambien se logra establecer la relacion entre ellas y elmodo en que se vinculan las respectivas clases de holomorfıa.

Es de notarse que con el afan de mostrar solamente un argumento explicativo alcomportamiento descubierto en los Capıtulos 5 y 6, es que en el caso complejotan solo se desarrollaron dos estructuras complejas en donde encajar el dominioΩ, pero existen mas posibilidades de crear estructuras complejas, tanto para eldominio como para la imagen.

Capıtulo 8

La hiperderivada y eloperador de Dirac

En este capıtulo se desarrolla, siguiendo un enfoque similar al expuesto para eloperador de Moisil-Theodoresco, una teorıa que permitira definir para cualquieralgebra de Clifford C`0,m los conceptos de hiperderivada direccional e hiperde-rivada para una funcion Dirac-hiperholomorfa, ası como tambien desarrollar losrudimentos necesarios para derivar a la integral de tipo de Cauchy Cliffordiana.

8.1. Descomposiciones del algebra C`0,m

El conjunto C`0,m puede ser descompuesto de diferentes maneras, se puederevisar [4] y [5] .

8.1.1. Descomposiones clasicas.

Para la primera de las descomposiciones que se presentaran se comienza pordefinir los subconjuntos de numeros de Clifford C`

(k)0,m dados por

C`(k)0,m :=

a ∈ C`0,m | a =∑|A|=k

aAeA

, (8.1)

para k ∈ 0, 1, . . . ,m, los cuales son subespacios lineales generados por los(mk

)vectores eA que satisfacen |A| = k y sus elementos son llamados k-

vectores. De esta forma

127

128 CAPITULO 8. LA HIPERDERIVADA Y EL OPERADOR DE DIRAC

C`0,m =m⊕k=0

C`(k)0,m . (8.2)

Ahora al emplear (8.2) el algebra C`0,m puede ser descompuesta en la formasiguiente

C`0,m = C`+0,m ⊕ C`−0,m , (8.3)

donde

C`+0,m :=⊕k par

C`(k)0,m , (8.4)

se conoce como la subalgebra par y

C`−0,m :=⊕

k impar

C`(k)0,m , (8.5)

es el espacio lineal real impar de C`0,m. De esta forma para cualquier y ∈ C`0,mse tiene la siguiente representacion

y = y+ + y− (8.6)

donde y+ ∈ C`+0,m y y− ∈ C`−0,m.

8.1.2. Descomposicion en terminos del subalgebra par.

Para establecer la ultima de las descomposiciones utiles para los fines de este tra-bajo, se va a considerar al segundo de los sumandos en (8.3) y se mostrara comopresentarlo como un “multiplo” del subalgebra C`+0,m.

Por (8.5) y (8.6) se tiene que

y− =∑

A||A| es impar

yAeA , (8.7)

para todo y− ∈ C`−0,m.

Para realizar la tarea antes anunciada es necesario proceder en dos etapas. Secomienza por considerar el caso en que m sea impar.

8.1. DESCOMPOSICIONES DEL ALGEBRA C`0,M 129

Por (8.1) y Definicion 2.4.1.1 se sabe que cada uno de los k-vectores generadoresde C`−0,m, es decir los eA en (8.7), esta formado por un numero impar de facto-

res y en particular para el conjunto C`(m)0,m el pseudo escalar eN que lo genera

esta dado por el producto

eN := e1e2 · · · em . (8.8)

De acuerdo a [4] se tiene

e2N = (−1)−

m+12 =

1 si k es impar;−1 si k es par.

(8.9)

con m = 2k + 1 y k ∈ N. Ası que al desarrollar (8.7) se tiene

y− = y1e1 + y2e2 + . . .+ yNeN

= ±y1e1e2N ± y2e2e2

N ± . . .+ yNeN

= (±y1e1eN ± y2e2eN ± . . .+ yN )eN ,

donde el signo esta de acuerdo a (8.9). El producto eAeN , para |A| = impar,genera un k-vector basico de C`+0,m ya que las unidades imaginarias comunes eneA y eN se multiplicaran y quedara un producto de un numero par de unidadesimaginarias, con lo cual

±y1e1eN ± y2e2eN ± . . .+ yN ∈ C`+0,m .

De esta forma se establece la siguiente relacion entre el espacio lineal C`−0,m yla subalgebra par dada por

C`−0,m = C`+0,meN . (8.10)

El siguiente caso a analizar es cuando m es par. De nueva cuenta se considerala combinacion lineal de un elemento arbitrario de C`−0,m, esto es

y− = y1e1 + . . .+ yè` + . . .+ yN−1eN−1 ,

donde eN−1 := e1e2 · · · em−1; ası que

y− = y1e1(−e`)2 + y2e2(−e`)2 + . . .+ yè` + . . .+ yN−1eN−1(−e`)2

= (−y1e1e` − y2e2e` − . . .+ y` − . . .− yN−1eN−1e`)e` ;


con ` ∈ 1, 2, · · · ,m.

Ahora examinando los productos eAe`, se puede afirmar que de nuevo generanvectores basicos de C`+0,m, pues existen dos posibilidades: que e` sea un factorde eA o no. En caso de serlo, entonces la multiplicacion eAe` reduce la cantidadde factores en eA en uno y si no lo fuera, entonces el numero de factores en eAaumenta en uno. En ambos casos el producto eAe` termina con una cantidadpar de elementos y por lo tanto

−y1e1e` − y2e2e` − . . .+ y` − . . .− yN−1eN−1e` ∈ C`+0,m .

Ası que tambien en este caso es posible vincular al espacio lineal C`−0,m y lasubalgebra C`+0,m, mediante la relacion

C`−0,m = C`+0.me` . (8.11)

Es de destacar que para este segundo caso la relacion arriba establecida no esunica, ya que al menos existen m maneras de establecerla. Aun ası es posibleenunciar el teorema siguiente.

Teorema 8.1.2.1 Sean C`0,m un algebra de Clifford y C`+0,m su respectivasubalgebra par. Entonces es posible relacionar el espacio lineal real C`−0,m conC`+0,m y esta relacion esta dada por

C`−0,m = C`+0,mα , (8.12)

donde α ∈ C`0,m y α2 = 1 o −1.

Por lo que de acuerdo a (8.3) y al teorema anterior se obtiene

Corolario 8.1.2.1 Bajo la hipotesis del Teorema 8.1.2.1 se tiene

C`0,m ∼= C`+0,m ⊕ C`+0,mα . (8.13)

donde α ∈ C`0,m y α2 = 1 o −1.

Con lo cual ya se ha podido presentar a cualquier algebra de Clifford como unasuma directa entre su subalgebra par y un “multiplo” Cliffordiano de ella. Porotra parte en [4] se encuentra la version general del teorema que a continuacionse presenta

8.1. DESCOMPOSICIONES DEL ALGEBRA C`0,M 131

Teorema 8.1.2.2 El subalgebra par C`+0,m es isomorfa al algebra C`0,m−1.

Demostracion

Sea e1, . . . , em una base ON de Rm que verifica las propiedades de la Defini-cion 2.4.1.1. Tomando e` con ` ∈ 1, . . . ,m se construye el conjunto

e1, . . . , em (8.14)

donde

ej := eje` , (8.15)

para j 6= `, el cual satisface las condiciones de la Definicion 2.4.1.1 ya que

ej2 = (eje`)(eje`)

= −e2j e2

`

= −1 ,

y

ej ek + ekej = (eje`)(eke`) + (eke`)(eje`)

= ejek + ekej

= 0 . 2

Se debe notar que por construccion el conjunto (8.14) esta formado por m−1 bi-vectores, en donde el correspondiente al ındice ` no aparece. Como consecuenciadel Corolario 8.1.2.1 y el Teorema 8.1.2.2 se logra el siguiente resultado

Teorema 8.1.2.3 Sea C`0,m un algebra de Clifford. Entonces el algebra se des-compone en la forma

C`0,m ∼= C`0,m−1 ⊕ C`0,m−1α , (8.16)

con α ∈ C`0,m tal que α2 = 1 o α2 = −1.


8.2. Elementos del analisis para el algebra C`0,m−1.

8.2.1. Correspondencia entre direcciones y bivectores.

En primer lugar, se indica la manera en que se asocian las “unidades imagina-rias” que forman el conjunto (8.14) y las direcciones del espacio lineal Rm.

Dicha correspondencia se establece de la manera siguiente

ej −→ xj , (8.17)

de esta forma la direccion x` es independiente de cualquiera de los bivectoresej .

Ası que por lo presentado en la Subseccion 2.3.5, dado un punto x ∈ Rmcon coordenadas x1, x2, . . . , xm, su representacion hipercompleja en el algebraC`0,m−1 esta dada por

x` + x1e1 + · · ·+ xmem . (8.18)

Entonces cualquier dominio Ω ⊂ Rm puede ser encajado en el algebra de CliffordC`0,m−1.

8.2.2. Operadores de Cauchy-Riemann asociados al ope-rador de Dirac.

Por (2.39) se definen en este caso los operadores de tipo de Cauchy-Riemanncomo

D`CR =

∂

∂x`+ e1

∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ . . .+ em

∂

∂xm, (8.19)

con 1 ≤ ` ≤ m; y debido a que

eèj = eèje`

= −e2èj

= ej ,

(8.20)

entonces los operadores de tipo de Cauchy-Riemann (8.19) se relacionan con eloperador de Dirac (2.44) mediante la correlacion

8.2. ELEMENTOS DEL ANALISIS PARA EL ALGEBRA C`0,M−1. 133

DD = e`D`CR . (8.21)

o tambien por la forma

D`CR = −e`DD . (8.22)

8.2.3. Operador de tipo de Cauchy-Riemann restringido.

Se debe tener presente que el operador de Dirac esta definido en el conjuntoC1(Ω ⊂ Rm;C`0,m), de modo que por (8.21) el operador de tipo de Cauchy-Riemann (8.19), estara tambien definido en este mismo conjunto.

Definiendo ahora el operador de Cauchy-Riemann restringido D`,+CR mediante

D`,+CR := D`

CR|C1(Ω⊂Rm;C`+0,m) , (8.23)

la cual como su definicion lo indica se aplica a funciones de clase C1 y de valoresen el subalgebra par.

Entonces por Teorema 8.1.2.2 se tiene

D`,+CR : C1(Ω ⊂ Rm;C`0,m−1) . (8.24)

8.2.4. Descomposicion de los valores de una funcionCliffordiana y el operador de Dirac.

De acuerdo al Teorema 8.1.2.3 para cualquier funcion f : Ω ⊂ Rm → C`0,mexisten las funciones f1, f2 : Ω→ C`0,m−1 tales que

f(x) = f1(x) + f2(x)α , (8.25)

aunque en general la descomposicion no es unica.

De esta forma al aplicar el operador de Dirac a la funcion f , por (8.24) y (8.25)se tiene

DD[f ](x) = e`D`CR[f ](x)

= e`D`,+CR[f1(x) + f2(x)α]

= e`D`,+CR[f1](x) +D`,+

CR[f2](x)α . (8.26)


De este modo se observa que la aplicacion del operador de Dirac se transformaen la aplicacion del operador de tipo de Cauchy-Riemann para funciones convalores en C`0,m−1, ası que

DD = e`D`,+CR . (8.27)

Aun mas si f ∈MD(Ω) entonces por (8.26) se tiene

D`,+CR[f1](x) +D`,+

CR[f2](x)α = 0 . (8.28)

Puesto que D`,+CR[f1](x) y D`,+

CR[f2](x)α se encuentran en el algebra C`0,m−1

entonces de acuerdo al Teorema 8.1.2.3 existen y+ y y− en C`0,m tales que y+ ∈C`+0,m le corresponde a D`,+

CR[f1](x) y y− ∈ C`−0,m es concordante a D`,+CR[f2](x)α.

Por lo que de acuerdo a (8.28) se tiene que

y+ + y− = 0 ,

y ya que C`+0,m ∩ C`−0,m = 0 entonces y+ = 0 = y−. Ası que de acuerdo a las

relaciones establecidas resulta que

D`,+CR[f1](x) = 0

y

D`,+CR[f2](x)α = 0 .

Puesto que α2 6= 0 entonces f1, f2 ∈ kerD`,+CR. Por otra parte, si se comienza

asumiendo que f1, f2 ∈ kerD`,+CR entonces claramente f ∈ kerDD.

De esta forma se ha demostrado el siguiente resultado.

Teorema 8.2.4.1 Sea Ω un dominio en Rm. Sean f ∈ C1(Ω;C`0,m) y f1, f2 ∈C1(Ω;C`0,m−1) tales que

f = f1 + f2α ,

donde α ∈ C`0,m y α2 = 1 o −1. Entonces f ∈ kerDD si y solo si f1, f2 ∈kerD`,+

CR.

El teorema nos prueba la relacion tan estrecha entre ambas clases de funcioneshiperholomorfas, lo cual nos permitira aprovechar la teorıa desarrollada en elCapıtulo 4 para introducir la hiperderivada para el operador de Dirac.


8.2.5. Diferencial izquierda para el operador de Cauchy-Riemann restringido.

Para las funciones f1 y f2 antes introducidas se tienen como consecuencia de(4.4) las siguientes relaciones

d(τ `xf1(x)) =12σ`xD

`,+

CR[f1](x)− 12σ`xD

`,+CR[f1](x) (8.29)

y

d(τ `xf2(x)) =12σ`xD

`,+

CR[f2](x)− 12σ`xD

`,+CR[f2](x) . (8.30)

Donde las formas diferenciales τ `x y σ`x son las correspondientes formas (2.56) y(2.52) para el algebra C`0,m−1.

Multiplicando a (8.30) por la derecha por el numero de Clifford α se tiene

d(τ `xf2(x)α) =12σ`xD

`,+

CR[f2](x)α− 12σ`xD

`,+CR[f2](x)α . (8.31)

Como

D`,+

CR[f2](x)α = D`,+

CRMα[f2](x) y D`,+

CR[f2](x)α = D`,+CRM

α[f2](x) ,

entonces (8.31) se transcribe de la manera siguiente

d(τ `xMα[f2](x)) =

12σ`xD

`,+

CRMα[f2](x)− 1

2σ`xD

`,+CRM

α[f2](x) . (8.32)

Ahora sumando (8.32) a (8.29) se tiene

d(τ `xf1(x) + τ `xMα[f2](x)) =

=12σ`x(D

`,+

CR[f1] +D`,+

CRMα[f2])(x)− σ`x(D`,+

CR[f1] +D`,+CRM

α[f2])(x)

=12σ`xD

`,+

CR[f1 +Mαf2](x)− σ`xD`,+CR[f1 +Mαf2](x) .

Sea f : Ω→ C`0,m tal que como antes se considero f := f1 + f2α, o en la formaf := f1 +Mα[f2], entonces definiendo


D`,+CR[f ](x) := D`,+

CR[f1 +Mαf2](x)

y

D`,+

CR[f ](x) := D`,+

CR[f1 +Mαf2](x) ,

se determina la diferencial izquierda

d(τ `xf(x)) =12σ`xD

`,+

CR[f ](x)− 12σ`xD

`,+CR[f ](x) . (8.33)

Los analogos a la correlacion diferencial (8.33) resultaron fundamentales en loslos Capıtulos 4 y 5 para la determinacion de la hiperderivada correspondiente yel consecuente desarrolllo de la teorıa asociada. Pero el hecho que debe tenersepresente en la comprension de la ecuacion (8.33) y las consecuencias que de ellase deriven, es fue obtenida a traves de la teorıa conocida para funciones convalores en el algebra C`0,m−1.

En caso de que f fuese Dirac-hiperholomorfa entonces por Teorema 8.2.4.1 laecuacion (8.33) se reduce a

d(τ `xf(x)) =12σ`xD

`,+

CR[f ](x) . (8.34)

De esta forma se ha establecido una igualdad entre (m− 1)-formas a traves delfactor de proporcionalidad D

`,+

CR[f ](x).

En base a lo expuesto a lo largo de este trabajo, la determinacion de las relaciones(8.33) y (8.34) resultarıan suficientes para continuar desarrollando la teorıa dehiperderivacion para funciones con dominio en Rm y valores en el algebra C`0,m,pero de acuerdo a la filosofıa que se ha tratado de mantener hasta ahora depresentar la teorıa en terminos del operador hipercomplejo mas adecuado, esque a partir de ahora se continuaran generando los resultados con elementosvinculados al operador de Dirac.

8.2.6. Diferencial izquierda para el operador de Dirac.

Para la constuccion del conjunto (8.14) hasta ahora se ha considerado que apartir de cualquiera de las unidades imaginarias iniciales e` pueden ser deter-minados de los bivectores ej , pero en adelante se va a considerar el conjunto debivectores (8.14) generado a partir de la unidad imaginaria e1. De esta forma elalgebra C`0,m−1 sera generada por las “unidades imaginarias”


e2, e3, . . . , em .

El correspondiente operador de tipo de Cauchy-Riemann es

D1CR =

∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ . . .+ em

∂

∂xm, (8.35)

y su restriccion esta dada por D1,+CR ; ademas de acuerdo a (8.21) el vınculo con

el operador de Dirac es el siguiente

DD = e1D1CR . (8.36)

Las correspondientes formas diferenciales para (2.52) y (2.56 ) en este caso estandadas por

σ1x = dx1 − e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm (8.37)

y

τ1x = −e2dx1,2 + · · ·+ (−1)m−1emdx1,m . (8.38)

Ası que para este caso, la expresion para la forma diferencial (8.33) es

d(τ1xf(x)) =

12σ1xD

1,+

CR[f ](x)− 12σ1xD

1,+CR [f ](x) . (8.39)

Por otra parte, en la teorıa de analisis de Clifford respectiva al operador deDirac, vease [4], la forma diferencial de hipersuperficie esta dada por

σx,D := e1dx1 − e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm , (8.40)

para cualquier hipersuperficie suave contenida en Rm.

Entonces al multiplicar a (8.37) por e1 por la izquierda y emplear (8.20) para` = 1 se tiene

e1σ1x = e1dx1 − e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm

= σx,D ,(8.41)

ademas el siguiente producto tambien se relaciona con la forma (8.40)


σ1xe1 = e1dx1 − e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm

= σx,D .(8.42)

De modo que ambas formas de hipersuperficie, (8.37) y su conjugado, se relacio-nan mediante la unidad imaginaria e1 con la forma de hipersuperficie conocidapara el operador de Dirac.

Al multiplicar a (8.39) por la izquierda por la unidad imaginaria e1 y usando larelacion entre los operadores de Dirac y el de Cauchy-Riemann restringido, laecuacion (8.39) se transforma en

d(τx,Df(x)) =12

(σx,DD1,+

CR[f ](x) + e1σx,DDD[f ](x)) , (8.43)

donde τx,D := e1τ1x . En esta ultima ecuacion ya estan presentes los componentes

concernientes al operador de Dirac.

Definiendo ahora

DD := D1,+CR . (8.44)

entonces (8.43) se transcribe como

d(τx,Df(x)) =12

(σx,DDD[f ](x) + e1σx,DDD[f ](x)) , (8.45)

Cuando f ∈MD(Ω) entonces (8.45) se reduce a

d(τx,Df(x)) =12σx,DDD[f ](x) . (8.46)

Pero no debe olvidarse que tanto en (8.45) como en (8.46), el factor DD[f ](x) sedetermina mediante la suma de la aplicacion de un operador de tipo de Cauchy-Riemann a dos funciones de valores en el algebra C`0,m−1.

8.3. La Dirac-hiperderivada.

Una vez que ha sido posible establecer la ecuacion (??) se procedera a pro-ducir los resultados de hiperderivacion correspondientes al operador de Dirac,siguiendo el enfoque de los capıtulos previos.

8.3. LA DIRAC-HIPERDERIVADA. 139

8.3.1. Definiciones y teoremas vinculantes.

En primer lugar se comienza por presentar las definiciones locales de Dirac-hiperholomorfıa y de Dirac-hiperderivabilidad.

Definicion 8.3.1.1 La funcion f : Ω ⊂ Rm → C`0,m es llamada Dirac-hiperholomorfa por la izquierda en el punto x0 ∈ Ω si f es Dirac-hiperholomorfapor la izquierda en alguna vecindad V (x0) ⊂ Ω de x0.

Definicion 8.3.1.2 La funcion f ∈ C1(Ω ⊂ Rm, C`0,m) es llamada Dirac-hiperderivable por la izquierda en Ω si para cada x ∈ Ω existe un numero deClifford, denotado por f ′D(x), tal que

d(τx,Df(x)) = σx,D f′D(x) . (8.47)

El numero de Clifford f ′D(x) es llamado la Dirac-hiperderivada izquierda de fen el punto x.

Al igual que en los capıtulos previos el siguiente teorema vincula los conceptosde hiperholomorfıa e hiperderivabilidad pero ahora para el operador de Dirac.

Teorema 8.3.1.1 Sea f ∈ C1(Ω ⊂ Rm, C`0,m). Entonces f es Dirac-hiperholo-morfa por la izquierda en x0 ∈ Ω si y solo si f es Dirac-hiperderivable por laizquierda en x0. Aun mas, para estas funciones

f ′D(x0) =12DD[f ](x0) , x0 ∈ Ω . (8.48)

La demostracion del teorema es una consecuencia inmediata de la ecuacion (??),pero el aspecto a destacar es la forma de determinar la Dirac-hiperderivadaf ′D(x0), ya que por construccion

DD[f ](x0) = D1,+

CR[f ](x0)

= D1,+

CR[f1 +Mαf2](x0)

= D1,+

CR[f1](x0) +D1,+

CR[f2](x0)α .

Al asumir que la funcion f sea Dirac-hiperholomorfa entonces por Teorema8.2.4.1 las funciones f1 y f2 son hiperholomorfas en x0 y ademas debido aTeorema 8.3.1.1 en Capıtulo 4, dichas funciones son hiperderivables en x0 siendof ′1(x0) y f ′2(x0) sus respectivas hiperderivadas. Ası que finalmente se tiene

f ′D(x0) = f ′1(x0) + f ′2(x0)α , (8.49)


lo cual revela que la Dirac-hiperderivada de la funcion f es la combinacion delas hiperderivadas de sus funciones “componentes”. De hecho el analisis antesdescrito se puede sintetizar en el siguiente teorema

Teorema 8.3.1.2 Sea Ω ⊂ Rm un dominio. Sean f ∈ C1(Ω, C`0,m) y f1, f2 ∈C1(Ω, C`0,m−1) tales que

f = f1 +Mαf2 ,

donde α ∈ C`0,m y α2 = 1 o −1. Entonces f es Dirac-hiperderivable en x0 si ysolo si f1 y f2 son hiperderivables; y ademas

f ′D(x0) = f ′1(x0) + f ′2(x0)α . (8.50)

8.3.2. La Dirac-hiperderivada en terminos de incremen-tos.

Es posible tambien en este caso, presentar a la Dirac-hiperderivada como ellımite de un cociente de incrementos y el teorema que a continuacion se muestralo determina.

Teorema 8.3.2.1 Sea f ∈ Ω ⊂ Rm → C`0,m Dirac-hiperholomorfa por laizquierda en x0 y f ′D(x0) es su Dirac-hiperderivada izquierda. Entonces, paracada sucesion Πk∞k=1 de paralelepıpedos (m − 1)-dimensional orientados, nodegenerados y con vertice x0 la igualdad

lımk→∞

∫

Πk

σx,D

−1 ∫∂Πk

τx,D · f(x)

= f ′D(x0) , (8.51)

es verdadero si lımk→∞

diamΠk = 0.

La demostracion sigue los mismos argumentos del teorema similar introducidoen el Capıtulo 4, pero ahora empleando la ecuacion (8.45).

El hecho a destacar ahora, es que de acuerdo al Teorema 8.3.1.2, el lımite en(8.51) se determina por la suma de los lımites de los “cocientes incrementales”de las funciones f1 y f2 en el punto x0.

8.3. LA DIRAC-HIPERDERIVADA. 141

8.3.3. La Dirac-hiperderivada direccional.

Sea L ⊂ Rm un hiperplano con ecuacion

γ(x) :=m∑`=1

n` x` + d ; (8.52)

en donde ~n = (n1, · · · , nm) es el vector normal unitario a L y d ∈ R; y al igual

que en los capıtulos previos el numero n0 =m∑`=0

n0è` representa la Cliffordni-

zacion de la direccion de L. Con la siguiente definicion se introduce el conceptode la derivada direccional en el sentido de Dirac a lo largo de un hiperplano.

Definicion 8.3.3.1 Sea x0 ∈ Ω ∩ L. La funcion de f : Ω → C`0,m se llamaDirac-hiperderivable por la izquierda en x0 a lo largo de L, si para cualquiersucesion Πk∞k=1, con Πk ⊂ L, tal que lım

k→∞diamΠk = 0 de paralelepıpedos

(m− 1)-dimensionales no degenerados con vertice en x0, el lımite

lımk→∞

∫

Πk

σx,D

−1 ∫∂Πk

τx,D · f(x)

, (8.53)

existe y es independiente de la sucesion Πk∞k=1.

Si existe, el lımite es llamado la Dirac-hiperderivada direccional izquierda(m− 1)-dimensional a lo largo del hiperplano L y se denota por f ′L,D(x0).

Ahora al aplicar (??) a la ecuacion (8.52) se tiene

σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem) + e1σx,D(n1e1 + n2e2 + · · ·+ nmem) = 0 ,

de donde

σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem) = −e1σx,D(n1e1 + n2e2 + · · ·+ nmem) .

Ası que

e1σx,D =


= σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem)(n1e1 + n2e2 + · · ·+ nmem)

= σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem)(n1e1 + n2e2(−e21) + · · ·+ nmem(−e2

1))

= σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem)(n1 − n2e2e1 − · · · − nmeme1)e1 ,

ya que

(n1e1 + n2e2 + · · ·+ nmem)−1 = −(n1e1 + n2e2 + · · ·+ nmem) .

Por lo que se tiene la siguiente relacion entre las formas diferenciales en elhiperplano L

e1σx,D = σx,D(n1 − n2e2 − · · · − nmem)2e1 . (8.54)

Si

n0 := n1 + n2e2e1 + · · ·+ nmeme1 ,

entonces (8.54) queda

e1σx,D = σx,D(n0)2e1 . (8.55)

De esta forma, siguiendo la demostracion del Teorema 4.3.1.1 y usando (8.55)se obtiene

Teorema 8.3.3.1 Sea V (x0) una vecindad m-dimensional de x0 ∈ Rm. Seaf ∈ C1(V (x0);C`0,m). Entonces f es Dirac-hiperderivable por la izquierda enel punto x0 a lo largo de cualquier hiperplano L 3 x0 y la Dirac-hiperderivadadireccional izquierda (m− 1)-dimensional esta dada por

f ′L,D(x0) =12

(DD[f ](x0)− (n0)2e1DD[f ](x0)) . (8.56)

Ademas de inmediato resulta

Corolario 8.3.3.1 Sea f ∈ C1(V (x0);C`0,m). Entonces f es Dirac-hiperholomorfapor la izquierda en x0 si y solo si f ′D(x0) es independiente del hiperplano L.

8.4. DERIVACION DE LA INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY. 143

8.4. Derivacion de la integral de tipo de Cauchy.

8.4.1. Formas diferenciales auxiliares

Debido a (4.31) para la funcion f1 : Ω ⊂ Rm → C`0,m−1 se tiene

d(f1(x)τ1x) =

12

(D1,+

CR,r[f1]σx −D1,+CR,r[f1]σ1

x) . (8.57)

Sean g : Ω ⊂ Rm → C`0,m, β ∈ C`0,m y las siguientes formas diferenciales

βτ1x = −βe2dx1,2 + · · ·+ (−1)m−1βemdx1,m

y

βσ1x = βdx1 − βe2dx2 + · · ·+ (−1)m−1βemdxm .

Con lo cual

d(g(x)βτ1x) =

=(∂g

∂x1(x)dx1 + · · ·+ ∂g

∂xm(x)dxm

)∧

∧(−βe2dx1,2 + · · ·+ (−1)m−1βemdx1,m)

=∂g(x)∂x1

β(−e2dx2 + · · ·+ (−1)m−1emdxm)+

+(− ∂g

∂x2(x)βe2 + · · ·+ (−1)m−1 ∂g

∂xm(x)βem

)dx1

=12

(D

1

CR,r[g](x)βσ1x −D1

CR,r[g](x)βσ1x

).

Entonces si se considera ahora g = f2 : Ω ⊂ Rm → C`0,m−1 y β = α la ecuacionanterior queda

d(f2(x)ατ1x) =

12

(D

1,+

CR,r[f2](x)ασ1x −D

1,+CR,r[f2](x)ασ1

x

). (8.58)

Ahora sumando las ecuaciones (8.57) y (8.58) se tiene


d((f1(x) + f2(x)α)τ1x) =

=12

(D

1,+

CR,r[f1 +Mαf2](x)σ1x −D

1,+CR,r[f1 +Mαf2](x)σ1

x

).

Definiendo

D1,+

CR,r[f ](x) := D1,+

CR,r[f1 +Mαf2](x) y D1,+CR,r[f ] := D1,+

CR,r[f1 +Mαf2] ,

con f := f1 +Mαf2, se obtiene

d(f(x)τ1x) =

12

(D

1,+

CR,r[f ](x)σ1x −D

1,+CR,r[f ](x)σ1

x

). (8.59)

Ahora se transformara la ecuacion (8.59). En primer lugar considerese el primertermino

D1,+

CR,r[f ](x)σ1x = D

1,+

CR,r[f ](x)(−e1e1)σ1x

=(∂f

∂x1(x)− ∂f

∂x2(x)e2 − · · · −

∂f

∂xm(x)em

)− e1(e1σ

1x)

=(− ∂f

∂x1(x)e1 −

∂f

∂x2(x)e2(−e2

1)− · · · − ∂f

∂xm(x)em(−e2

1))σx,D

=(− ∂f

∂x1(x)e1 −

∂f

∂x2(x)e2 − · · · −

∂f

∂xm(x)em

)σx,D

= −DD,r[f ](x)σx,D ,

ası que

D1,+

CR,r[f ](x)σ1x = DD,r[f ](x)σx,D . (8.60)

Multiplicando (8.59) por la unidad e1 y empleando (8.59) se tiene

−d(f(x)τx,D) =12

(DD,r[f ](x)σx,De1 −D1,+

CR,r[f ](x)σx,D).

Ası que definiendo


DD,r := D1,+CR,r , (8.61)

se genera

d(f(x)τx,D) =12

(DD,r[f ](x)σx,D −DD,r[f ](x)σx,De1

). (8.62)

Tomando ahora f, g : Ω ⊂ Rm → C`0,m para construir la forma f(x)τx,Dg(x)y al emplear las ecuaciones (8.45), (8.62) se tiene que d(f(x)τx,Dg(x)) toma laforma

d(f(x) τx,D g(x)) =12

DD,r[f ](x)σx,D g(x)−DD,r[f ](x)σx,D e1 g(x)+

+(−1)mf(x)σx,D DD[g](x) + (−1)mf(x) e1 σx,DDD[g](x).

(8.63)

Al evaluar a (8.63) con las funciones E(y − x) y f(y), se tiene

d(E(y − x)σy,D f(y)) =12−DD,r,y[E](y − x)σy,D e1 f(y)+

+(−1)mE(y − x)σy,D DD,y[f ](y) + (−1)mE(y − x) e1 σy,DDD,y[f ](y).

(8.64)


Integrando la ecuacion (8.64) sobre una hipersuperficie suave Γ ⊂ Rm se tiene

∫Γ

DD,r,y[E](y − x)σy,D e1 f(y) = (−1)m∫Γ

E(y − x)σy,D DD,y[f ](y)+

+(−1)m∫Γ

E(y − x) e1 σy,DDD,y[f ](y) ,

y puesto que para el operador de Dirac tambien se verifica la relacion

DD,r,y[E(y − x)] = −DD,x[E(y − x)] = −DD,x[E(y − x)] , (8.65)

entonces la ecuacion integral anterior queda


−DD,x

∫Γ

E(y − x)σy,D e1 f(y) = (−1)m∫Γ

E(y − x)σy,D DD,y[f ](y)+

+(−1)m∫Γ

E(y − x) e1 σy,DDD,y[f ](y) .

Sea γ la ecuacion de la hipersuperficie Γ. Aplicando la ecuacion (8.45) a γ seobtiene la siguiente relacion

e1σy,D = −σy,DD[γ](y)(DD[γ](y))−1 , (8.66)

y al denotar U |Γ(y) := D[γ](y)(DD[γ](y))−1, se tiene finalmente

DD,x

∫Γ

E(y − x)σy,D e1 f(y) =∫Γ

E(y − x)σy,D((−1)m+1DD,y+

+(−1)mU |Γ(y)DD,y)[f ](y) .

(8.67)

De esta forma se ha demostrado el siguiente resultado

Teorema 8.4.2.1 Sea Ω ⊂ Rm dominio simplemente conexo con frontera Γ :=y ∈ Rm|%(y) = 0 , donde % ∈ C1(Rm,R), grad %|Γ(y) 6= 0 para toda y ∈ Γ yf ∈ C1(Γ, C`0,m). Entonces para toda x /∈ Γ

DD,x

∫Γ

E(y − x)σy,D e1 f(y) =

=∫Γ

E(y − x)σy,D(

(−1)m+1DD,y + (−1)mU |Γ(y)DD,y

)[f ](y) ,

(8.68)

donde U |Γ(y) := D[γ](y)(DD[γ](y))−1 .


E(y − x)σy,D e1 f(y)

′x

=∫Γ

E(y − x)σy,D f ′D,T (y)(y) , (8.69)

donde T (y) el hiperplano tangente a Γ en el punto y ∈ Γ.


Ademas se tiene

Corolario 8.4.2.1 Sea p ∈ N, f ∈ Cp(Γ;C`0,m) y % ∈ Cp(Rm; R). Entoncespara cada y ∈ Γ

D(p)x,D

∫Γ

E(y − x)σy,D e1 f(y)

=

=∫Γ

E(y − x)σy,D(

(−1)m+1DD,y + (−1)mU |Γ(y)DD,y

)(p)

[f ](y) .

(8.70)


Capıtulo 9

Conclusiones.

El objetivo planteado al comienzo de esta investigacion fue la generacion deuna derivada direccional para funciones cuaternionicas, a lo largo de planos bi-dimensionales en R4 y teniendo como antecedente el artıculo [23], en donde seintrodujo la derivada direccional 3-dimensional tambien para funciones cuater-nionicas pero a lo largo de hiperplanos en R4.

Por este motivo es que el Capıtulo 3 se dedico a la exploracion de la derivadadireccional bidimensional definida en terminos de incrementos en los planos bidi-mensionales, considerando todos los posibles planos bidimensionales en R4, peroel vınculo con la clase de funciones hiperholomorfas resulto bastante debil, noobstante aun ası se consiguio establecer una conexion con las transformacionesholomorfas de dos variables complejas.

Como consecuencia de la poca relacion con las funciones hiperholomorfas queeste primer enfoque presento, es que se decidio replantear la forma de abordarel objetivo al inicio senalado. Por esta razon es que a partir del Capıtulo 4 secomienza el trabajo con funciones de valores en un algebra de Clifford C`0,mintroduciendo la hiperderivada como un factor de proporcionalidad entre formasdiferenciales Cliffordianas adecuadas y ademas al demostrar que dicho factorcoincide con el lımite de un cociente de incrementos, se abrio la posibilidadde introducir una derivada a lo largo de hiperplanos en Rm+1, en donde elincremento de la variable se encuentra totalmente contenido en los hiperplanosy que fue denominada la m-hiperderivada direccional.

El sentido mediante el cual se definio la m-hiperderivada direccional permitio ha-llar una formula para su calculo. Asimismo dicha formula determina una relaciondirecta con la clase de funciones hiperholomorfas, pues se demostro que para to-da funcion hiperholomorfa su hiperderivada es independiente de la direccion, enanalogıa a las funciones holomorfas del analisis complejo unidimensional. Para

149

150 CAPITULO 9. CONCLUSIONES.

complementar los hechos citados hasta ahora, se debe mencionar que la hiper-derivada direccional ademas permitio obtener una formula para la derivada dela integral de tipo de Cauchy Cliffordiana.

De esta manera se puede establecer como primer conclusion que el hecho deconsiderar direcciones mas robustas, hiperplanos en Rm+1, mejora el alcance delos resultados generados. Una segunda reflexion final se tiene al notar que lageneralizacion del concepto de derivada a campos asociativos distintos de R yC, resulta mas apropiada al definirla como la parte lineal de la aproximacion deuna funcion que como un lımite de cociente de incrementos.

A lo largo del resto de este trabajo se empleo el analisis de Clifford desarrolladoen el Capıtulo 4 para introducir una hiperderivada para funciones H- y C`0,m-valuadas, compatible con las clases de funciones Moisil-Theodoresco- y Dirac-hiperholomorfas respectivamente. Pero como se advirtio en los Capıtulos 5, 6y se deja percibir en el 8; esta hiperderivada no es unica. Sin embargo en elCapıtulo 7 se intentan explicar los resultados de los Capıtulos 5 y 6, hallandoun patron similar en el caso de la derivada compleja.

Lo cual nos lleva a plantear dos conclusiones finales. La primera de ellas es quela hiperderivada que se obtendra dependera de la manera de encajar el espaciovectorial Rm en la estructura hipercompleja subyacente al algebra de Clifforden cuestion y la conclusion final es que los distintos encajamientos representancambios de coordenadas, por lo cual es posible establecer relaciones entre lashiperderivadas y las respectivas clases de funciones hiperholomorfas; en analogıaal caso complejo unidimensional.

Bibliografıa

[1] Ab lamowicz R., Sobczyk G. Lectures on Clifford (Geometric) Algebras andApplications. Birkhauser, 2004.

[2] Bracks F., Delanghe R., Sommen F. Clifford Analysis. Pitman ResearchNotes in Math. V. 76, 1986, 283 pp.

[3] Cullen C.G.. An integral theorem for analytic intrinsic functions on qua-ternions. Duke Math. J. 32 (1965) 139–148.

[4] Delanghe R., Sommen F., Soucek V. Clifford Algebra and Spinor ValuedFunctions. Kluwer Academic Publishers. 1992, 485 pp.

[5] Delanghe R., Clifford Analysis: History and Perspective. ComputationalMethods and Function Theory. Vol 1 (2001). 107 - 153.

[6] Frankel T. The Geometry of Physics. An introduction. Second Edition.Cambridge University Press. 2004

[7] Gentili G., Struppa D.C., A new approach to Cullen-regular functions of aquaternionic variable. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 342 (2006), 741–744.

[8] Girard P.R. Quaternionic Clifford Algebras and Relativistic Physics.Birkauser Verlag AG. 2007.

[9] Gurlebeck K., Malonek H.R. A Hypercomplex Derivative of Monogenic Fun-ctions in Rn+1 and its Applications. Complex Variables. Vol 39 (1999),199-228.

[10] Gurlebeck K., Sprossig W. Quaternionic Analysis and Elliptic BoundaryValue Problems. Birkhauser-Verlag, Bassel 1990.

[11] Gurlebeck K., Sprossig W. Quaternionic and Clifford Calculus for Engi-neers and Physics. John Wiley and Sons, 1997.

[12] Hestenes D., Sobczyk G. Clifford algebra to geometric calculus. D. ReidelPu. Co. Dordrecht, 1984.

[13] Kodaira K. Introduction to Complex Analysis. Cambridge University Press.1984

151

152 BIBLIOGRAFIA

[14] Krausshar R. S. Generalized Analytic Automorphic Forms in HypercomplexSpaces. Frontiers in Mathematics. Birkauser Verlag. 2004.

[15] Kravchenko V.V., Shapiro M.V., Integral representations for spatial mo-dels of mathematical physics. Addison-Wesley-Longman, Pitman ResearchNotes in Mathematics 351, 1996.

[16] Lee John M., Introduction to topological manifolds. Springer, GTM V. 202.2002.

[17] Lee John M., Introduction to smooth manifolds. Springer, GTM V. 218.2002.

[18] Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., Shapiro M., On some rela-tions between the derivative and the two-dimensional directional derivati-ves of a quaternionic function. American Institute of Physics. NumericalAnalysis and Applied Mathematics, International Conference Corfu, Greece(2007), 758–760.

[19] Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., Shapiro M., On the Deriva-tives of Quaternionic Functions Along Two-Dimensional Planes. Advancesin Applied Clifford Algebras. Birkhauser. 2008.

[20] Luna-Elizarraras M.E., Macıas-Cedeno M.A., Shapiro M., Hyperderivati-ves in Clifford Analysis and Some Applications to the Cliffordian Cauchy-type Integrals. Quaternions and Clifford Analysis. Trends in Mathematics.Birkhauser. 221–234.

[21] Malonek Helmuth. A New Hypercomplex Structure of the Euclidean SpaceRm+1 and the Concept of Hypercomplex Differentiability. Complex Varia-bles. Vol 14 (1990) 25-33.

[22] Malonek Helmuth R. Selected Topics in Hypercomplex Function TheoryClifford Algebras and Potential Theory, Ericksson, S. L. (ed.), Universityof Joensun. Report Series 7. 111-150. 2004

[23] Mitelman I. M. , Shapiro M. , Differentiation of the Martinelli-BochnerIntegrals and the Notion of Hyperderivability. Math. Nachr. 172 (1995),211–238.

[24] Range R. M. Holomorphic Functions and Integral Representations in Seve-ral Complex Variables. Springer, GTM V. 108. 1986.

[25] Rinehart R.F. Elements of a theory of intrinsic functions on algebras. DukeMath. J. 27 (1960) 1—19.

[26] Ryan J. (editor) Clifford Algebras in Analysis and Related Topics. CRCPress,New York. 1995.

BIBLIOGRAFIA 153

[27] Shapiro M. V. Structure of the Quaternionic Modules and Some Propertiesof the Involutive Operators. Journal of Natural Geometry, No 1 (1992),9—37.

[28] Silverman R. Introductory Complex Analysis. Prentice-Hall 1967.

[29] Shapiro M.V., Vasilevski N.L., Quaternionic ψ-Hyperholomorphic Fun-ctions, Singular Integral Operators and Boundary Value Problems I. ψ-Hyperholomorphic Function Theory. Complex Variables 27 (1995), 17—46.

[30] Shapiro M.V., Vasilevski N.L., Quaternionic ψ-Hyperholomorphic Fun-ctions, Singular Integral Operators and Boundary Value Problems II. ψ-Hyperholomorphic Function Theory. Complex Variables 27 (1995), 67—96.

[31] Sudbery A. Quaternionic Analysis Math. Proc. Camb. Phil. (1979), 85, pp199-225.

154 BIBLIOGRAFIA

Artıculos

En un trabajo de investigacion, una de las tareas fundamentales esla publicacion de los resultados generados, por esta razon es que estecapıtulo se encuentra dedicado a la presentacion de las portadas delos artıculos escritos, aceptados y proximamante publicados hastael momento de escribir esta tesis.

Documents

Sobre de la Derivada Hiperholomorfatesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/5968/1/1435.pdf · 2020. 10. 2. · INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de F sica y Matem aticas