Sobre la geometría del espacio moduli de haces …enjim.matem.unam.mx/images/2018/pdf/Osbaldo_Mata.pdfSobre la geometr a del espacio moduli de haces vectoriales sobre curvas. Para

Sobre la geometrıa del espacio moduli de haces vectoriales sobre curvas.

Sobre la geometrıa del espacio moduli de hacesvectoriales sobre curvas.

Osbaldo Mata Gutierrez.(UdG)

Segundo Encuentro Nacionalde

Jovenes Investigadores en Matematicas2018.


Los seres humanos siempre han sentido la necesidad de clasificar.

Clasificamos las plantas, lo animales.

La naturaleza clasifica a los aptos de los no aptos.


Los seres humanos siempre han sentido la necesidad de clasificar.Clasificamos las plantas, lo animales.



Los seres humanos siempre han sentido la necesidad de clasificar.Clasificamos las plantas, lo animales.



En matematicas clasificamos los objetos:


Y los clasificamos otra vez...


En general, clasificamos los objetos tomando en cuentapropiedades “discretas”.

¿Y si las propiedades no fueran discretas?


En general, clasificamos los objetos tomando en cuentapropiedades “discretas”.

¿Y si las propiedades no fueran discretas?


Una manera de clasificar los colores de forma discreta es:


Una manera de clasificar los colores de forma discreta es:


Una manera de clasificar los colores de forma continua es:


Una manera de clasificar los colores de forma continua es:


¿Es posible clasificar de manera “continua” los objetosmatematicos?

1 Clasifiquemos las rectas.

2 ¿Que dimension tendra el espacio clasificante de las rectas?










La idea de un problema de clasificacion es:

Dado un conjunto de objetos con una relacion de equivalenciaquisieramos encontrar un “espacio” (espacio clasificante) querepresente:

1 Todos los objetos.

2 No existan objetos repetidos.

Mas aun, dotar al espacio clasificante de una estructura conocida(topologica, diferencial, algebraica).


La idea de un problema de clasificacion es:Dado un conjunto de objetos con una relacion de equivalenciaquisieramos encontrar un “espacio” (espacio clasificante) querepresente:















Ejemplo: Espacio clasificante de triangulos en el plano.

¿Que dimension tendra el espacio clasificante?¿Que informacion ofrece respecto a los objetos clasificados?


Ejemplo: Espacio clasificante de triangulos en el plano.

¿Que dimension tendra el espacio clasificante?¿Que informacion ofrece respecto a los objetos clasificados?


B. Riemann (1857) introduce rigurosidad matematica a losproblemas de clasificacion.

Introduce la idea de familia y el concepto de espacio moduli (1857).


B. Riemann (1857) introduce rigurosidad matematica a losproblemas de clasificacion.Introduce la idea de familia y el concepto de espacio moduli (1857).


Para estudiar los objetos, tambien es importante compararlo consus pares, es decir:

Estudiarlos con respecto a los demas objetos.Para lograrlo, la mejor manera es considerar familias.Sin embargo, esto nos lleva a que el espacio clasificante quebuscamos tenga incorporada (codificada) la informacion de lasfamilias.Mas aun, que la informacion codificada sea unica para cada familia.¿Como ver las familias en los triangulos?


Para estudiar los objetos, tambien es importante compararlo consus pares, es decir:Estudiarlos con respecto a los demas objetos.

Para lograrlo, la mejor manera es considerar familias.Sin embargo, esto nos lleva a que el espacio clasificante quebuscamos tenga incorporada (codificada) la informacion de lasfamilias.Mas aun, que la informacion codificada sea unica para cada familia.¿Como ver las familias en los triangulos?


Para estudiar los objetos, tambien es importante compararlo consus pares, es decir:Estudiarlos con respecto a los demas objetos.Para lograrlo, la mejor manera es considerar familias.

Sin embargo, esto nos lleva a que el espacio clasificante quebuscamos tenga incorporada (codificada) la informacion de lasfamilias.Mas aun, que la informacion codificada sea unica para cada familia.¿Como ver las familias en los triangulos?


Para estudiar los objetos, tambien es importante compararlo consus pares, es decir:Estudiarlos con respecto a los demas objetos.Para lograrlo, la mejor manera es considerar familias.Sin embargo, esto nos lleva a que el espacio clasificante quebuscamos tenga incorporada (codificada) la informacion de lasfamilias.

Mas aun, que la informacion codificada sea unica para cada familia.¿Como ver las familias en los triangulos?


Para estudiar los objetos, tambien es importante compararlo consus pares, es decir:Estudiarlos con respecto a los demas objetos.Para lograrlo, la mejor manera es considerar familias.Sin embargo, esto nos lleva a que el espacio clasificante quebuscamos tenga incorporada (codificada) la informacion de lasfamilias.Mas aun, que la informacion codificada sea unica para cada familia.¿Como ver las familias en los triangulos?


Dos familias de triangulos:


Dos familias de triangulos:


Ingredientes para un problema moduli:

1 Una coleccion de objetos

2 Una relacion de equivalencia entre los objetos.

3 Un concepto de familia.

4 Una relacion de equivalencia entre familias.


























Solucion al problema moduli:

Encontrar un espacio clasificante tal que:

1 Clasifique los objetos por completo y sin repeticion.

2 Clasifique a todas las familias y codifique su informacion sinrepeticion.

Moduli GruesoModuli Fino.

Ejemplo

Ejemplo: Dada una variedad proyectiva X , existe un espaciomoduli fino que clasifica todas las subvariedades cerradas de X .Este espacio es llamado el espacio de Hilbert de X y se denota porHilbX .


Solucion al problema moduli:Encontrar un espacio clasificante tal que:




Ejemplo







Ejemplo







Ejemplo



¡MALAS NOTICIAS!No siempre existe un espacio moduli.


¡MALAS NOTICIAS!No siempre existe un espacio moduli.


¿Que impide la existencia de un espacio moduli?


¿Como resolver un problema moduli?

GIT Elimina todos los objetos que tengan simetrıas.

Stacks Considera todos los objetos y todas las familias con todos susespacios de parametros.


¿Como resolver un problema moduli?

GIT Elimina todos los objetos que tengan simetrıas.

Stacks Considera todos los objetos y todas las familias con todos susespacios de parametros.


GIT

Mumford (medalla Fields en 1974)Teorıa de Invariantes Geometricos G.I.T. (1965)


GIT

Teorıa de Invariantes Geometricos GIT.La relacion de equivalencia esta determinada por la accion de ungrupo. Divide los objetos en tres tipos:

Los buenos: (estables) Estos objetos sı pueden clasificarse.

Los no tan buenos: (semiestables) Estos objetos bajo situacionesmuy especiales pueden clasificarse.

Los malos: (inestables) Estos objetos nunca podran clasificarse ydeberan ser eliminados si deseamos obtener un espacio moduli.

Si quieres determinar un espacio moduli, es necesario quitar loselementos malos e identificar los demas.


GIT

Teorıa de Invariantes Geometricos GIT.La relacion de equivalencia esta determinada por la accion de ungrupo. Divide los objetos en tres tipos:Los buenos: (estables) Estos objetos sı pueden clasificarse.





GIT






GIT






GIT






GIT

Para el caso de haces vectoriales.

Mumford demuestra la existencia de un espacio moduli M(n, d).Los haces vectoriales estables (semiestables) estan caracterizadospor el rango y el grado.

1 Un haz vectorial E sobre una curva algebraica proyectiva esestable si para cualquier subhaz F se cumple

deg F

rk F<

deg E

rk E

2 Son semiestables si la desigualdad no es estricta.


GIT

Para el caso de haces vectoriales.Mumford demuestra la existencia de un espacio moduli M(n, d).Los haces vectoriales estables (semiestables) estan caracterizadospor el rango y el grado.


deg F

rk F<

deg E

rk E



GIT

Para el caso de haces vectoriales.Mumford demuestra la existencia de un espacio moduli M(n, d).Los haces vectoriales estables (semiestables) estan caracterizadospor el rango y el grado.


deg F

rk F<

deg E

rk E



GIT

1 El espacio moduli M(n, d), es una variedad algebraica dedimension n2(g − 1) + 1.

2 Ramanan demuestra que el espacio moduli es fino si y solo si(n, d) = 1, en este caso la variedad es proyectiva.

3 En otro caso la variedad algebraica M(n, d) es casiproyectiva.


GIT

El trabajo que se realiza en esta area es determinar informaciongeometrica del moduli M(n, d):

Estudiamos subvariedades:

1 Subvariedades de Brill-Noether.

2 Curvas racionales (Curvas de Hecke).

3 Subvariedades Grassmannianas.


GIT

El trabajo que se realiza en esta area es determinar informaciongeometrica del moduli M(n, d):Estudiamos subvariedades:





GIT






GIT






GIT

Estudiamos propiedades geometricas de otros espacios moduli,particularmente los haces vectoriales aumentados:

1 Sistemas coherentes (E ,V ): haces vectoriales con subespaciosde secciones. Bα(n,d, k)

2 Haces de Higgs (E , ϕ): haces vectoriales con un morfismoϕ : E → E ⊗ ω, llamado campo de Higgs. M(n,d, ω).

3 Haces vectoriales (k, l)-estables sobre una curva algebraica.Bk,l(n,d).


GIT

Estudiamos propiedades geometricas de otros espacios moduli,particularmente los haces vectoriales aumentados:

1 Sistemas coherentes (E ,V ): haces vectoriales con subespaciosde secciones. Bα(n,d, k)

2 Haces de Higgs (E , ϕ): haces vectoriales con un morfismoϕ : E → E ⊗ ω, llamado campo de Higgs. M(n,d, ω).

3 Haces vectoriales (k, l)-estables sobre una curva algebraica.Bk,l(n,d).


GIT

1 L. Brambila-Paz, O. Mata-Gutierrez, On the Hilbert Schemeof the moduli space of vector bundles on algebraic curves.Manuscripta Mathematica. 142, 525-544 (2013).

2 O. Mata-Gutierrez, Frank Neumann, Geometry of modulistacks of (k,l)-stable vector bundles over algebraic curves.Journal of Geometry and Physics. 111, 54-70 (2017).

3 S.A.H. Cardona, O. Mata-Gutierrez, On Gieseker stability forHiggs Sheaves. Differential Geometry and its Applications,53, 169-181 (2017) .

4 L. Brambila-Paz, O. Mata-Gutierrez, P. E. Newstead, AngelaOrtega, On generated coherent systems and a conjecture ofD. C. Butler. arXiv:1711.04815 [math.AG]


GIT

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