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JAIRO FRUCHTENGARTEN
SOBRE O ESTUDO DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE
AÇO POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DE UMA TEORIA NÃO-
LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenharia
SÃO PAULO 2005
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SÃO PAULO
2005
i
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO..................................................................................................... 1
1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................. 1
1.2 - O COMPORTAMENTO DE PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDE
DELGADA .................................................................................................................. 3
1.3 - BREVE HISTÓRICO........................................................................................... 7
1.4 - METODOLOGIA ................................................................................................ 9
2 - TEORIAS DE BARRAS .................................................................................... 11
2.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................. 11
2.2 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE LINEAR .................................................. 12
2.2.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................. 12
2.2.2 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO.......................................................... 14
2.2.3 - APOIOS ELÁSTICOS ............................................................................................ 18
2.3 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE DE ESTABILIDADE .............................. 20
2.3.1 - EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ................................................................................ 20
2.3.2 - MÉTODO ENERGÉTICO ...................................................................................... 23
2.4 - TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA............................. 25
2.4.1 - INTRODUÇÃO .................................................................................................... 25
2.4.2 - FUNCIONAL DA SEGUNDA VARIAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL ............................ 27
2.4.3 - ANÁLISE LINEARIZADA DE EULER ....................................................................... 28
3 - APLICAÇÃO DA TEORIA DE VLASOV AOS CASOS CLÁSSICOS DA
FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS ................................................................ 35
3.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ........................................................................... 35
3.2 - DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO ELÁSTICO........................... 45
3.2.1 - MOMENTO CRÍTICO BÁSICO............................................................................... 46
3.2.2 - MOMENTO CRÍTICO - EXPRESSÃO APROXIMADA ................................................. 50
ii
3.3 - TRATAMENTO NORMATIZADO.................................................................. 56
3.3.1 - PRAISC-LRFD:2003........................................................................................ 56
3.3.2 - NBR8800:1986................................................................................................ 58
3.3.3 - PREN1993-1-1:2002 STAGE 54 ........................................................................ 59
3.3.4 - PREN1999-1-1:2004 STAGE 54 ........................................................................ 63
3.4 - FLAMBAGEM EM REGIME INELÁSTICO................................................... 72
4 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA OS CASOS USUAIS DA FLAMBAGEM
LATERAL DE VIGAS ............................................................................................ 74
4.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ........................................................................... 74
4.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS......................................................... 77
4.3 - VIGA BIAPOIADA SOB GRADIENTE DE MOMENTO FLETOR ............... 79
4.3.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................... 80
4.3.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO......................................................... 88
4.3.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................................ 96
4.4 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA .... 98
4.4.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................... 99
4.4.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 103
4.4.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 105
4.5 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO 111
4.5.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 112
4.5.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 115
4.5.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 118
4.6 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
.................................................................................................................................. 122
4.6.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 123
4.6.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 125
4.6.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 127
4.7 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO
.................................................................................................................................. 129
4.7.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 130
iii
4.7.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 132
4.7.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 134
4.8 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA
COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA............................................ 136
4.8.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 137
4.8.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 138
4.8.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 140
4.9 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA
COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO ......................................... 142
4.9.1 - RESUMO DA LITERATURA ................................................................................. 142
4.9.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO....................................................... 143
4.9.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 146
4.10 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA
COM MOMENTO FLETOR APLICADO NA EXTREMIDADE APOIADA ....... 147
4.10.1 - RESUMO DA LITERATURA ............................................................................... 148
4.10.2 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE VÍNCULO..................................................... 148
4.10.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................ 151
4.11 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA NA
EXTREMIDADE LIVRE ........................................................................................ 152
4.11.1 - RESUMO DA LITERATURA ............................................................................... 153
4.11.2 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................ 163
4.12 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
.................................................................................................................................. 166
4.12.1 - RESUMO DA LITERATURA ............................................................................... 167
4.12.2 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................ 171
5 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA ALGUNS CASOS ADICIONAIS.............. 174
5.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS ......................................................................... 174
5.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS....................................................... 175
5.3 - CARGA APLICADA FORA DO CENTRO DE TORÇÃO............................. 176
5.3.1 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA APLICADA NO MEIO DO VÃO ...... 177
iv
5.3.2 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA APLICADA NA EXTREMIDADE LIVRE
.................................................................................................................................. 179
5.3.3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 181
5.4 - VÍNCULOS AO LONGO DO VÃO ................................................................ 183
5.4.1 - REQUISITOS DA NORMA PRAISC-LRFD:2003 ................................................. 185
5.4.1.1 - Considerações Gerais sobre os Travamentos ........................................... 185
5.4.1.2 - Dimensionamento de Contenções ao Deslocamento Lateral .................... 187
5.4.1.3 - Dimensionamento de Contenções à Torção .............................................. 188
5.4.2 - VIGA BIAPOIADA COM VÍNCULOS NO MEIO DO VÃO - CARGA CONCENTRADA .... 190
5.4.2.1 - Recomendações das Normas de Projeto.................................................... 190
5.4.2.2 - Influência do Tipo de Vinculação.............................................................. 191
5.4.3 - VIGA BIAPOIADA COM VÍNCULOS NO MEIO DO VÃO - CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUÍDA .............................................................................................................. 194
5.4.3.1 - Recomendações das Normas de Projeto.................................................... 194
5.4.3.2 - Influência do Tipo de Vinculação.............................................................. 195
5.4.4 - VIGA EM BALANÇO COM VÍNCULOS NA EXTREMIDADE - CARGA CONCENTRADA. 197
5.4.4.1 - Resumo da Literatura ................................................................................ 197
5.4.4.2 - Influência do Tipo de Vinculação.............................................................. 197
5.4.5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 199
5.5 - ENRIJECEDORES JUNTO ÀS EXTREMIDADES....................................... 206
5.5.1 - ANÁLISE DOS RESULTADOS .............................................................................. 208
6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.......... 210
BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 217
v
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Flambagem por Distorção ........................................................................... 4
Figura 2 - Flambagem por Distorção de Vigas de Piso ............................................... 4
Figura 3 - Flambagem Local ........................................................................................ 5
Figura 4 - Flambagem Lateral...................................................................................... 6
Figura 5 - Tensões de Cisalhamento .......................................................................... 13
Figura 6 - Sistemas de Referência.............................................................................. 14
Figura 7 - Deslocamentos do Ponto M - Área Setorial .............................................. 15
Figura 8 - Apoios Elásticos ........................................................................................ 18
Figura 9 - Diagrama de Momento Fletor Uniforme................................................... 36
Figura 10 - Posição do Carregamento na Seção Transversal ..................................... 37
Figura 11 - Eficiência da Contenção Lateral de Vigas .............................................. 38
Figura 12 - Contenções Usuais à Flambagem Lateral ............................................... 40
Figura 13 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo I .............................................. 41
Figura 14 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo II ............................................. 41
Figura 15 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo III............................................ 42
Figura 16 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo IV ............................................ 42
Figura 17 - Ligação Viga-Pilar .................................................................................. 43
Figura 18 - Vinculação e Reforços no Pilar ............................................................... 43
Figura 19 - Vinculação na Viga ................................................................................. 44
Figura 20 - Seções Transversais - Momento Crítico Básico...................................... 48
Figura 21 - Exemplos de Vinculação - Condições de Contorno nas Extremidades .. 52
Figura 22 - Momentos Fletores de Referência - prAISC-LRFD:2003 ...................... 57
Figura 23 - Coeficiente Cb - Diagrama Linear de Momentos Fletores ...................... 59
Figura 24 - Tabela - Vigas Biapoiadas sob Gradiente de Momento Fletor - C1 e C3 -
prEN1993-1-1:2002 ........................................................................................... 61
Figura 25 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2, C3 - prEN1993-1-1:2002................. 63
Figura 26 - Tabela - Gradiente de Momento Fletor - C1, C3 - prEN1999-1-1:2004.. 66
Figura 27 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2 - prEN1999-1-1:2004....................... 67
Figura 28 - Tabela para Casos Usuais - C3 - prEN1999-1-1:2004............................. 68
vi
Figura 29 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Concentrada - Valores de ηcr
(kx = ky = kω = 2) - prEN1999-1-1:2004 ............................................................ 69
Figura 30 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Uniformemente Distribuída -
Valores de ηcr (kx = ky = kω = 2) - prEN1999-1-1:2004 .................................... 70
Figura 31 - Curvas de Dimensionamento................................................................... 73
Figura 32 - Dimensões dos Perfis VS ........................................................................ 74
Figura 33 - Numeração de Nós e Elementos - PEFSYS ............................................ 76
Figura 34 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor.................................................................................................. 80
Figura 35 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de Momento
Fletor - Salvadori (1955).................................................................................... 81
Figura 36 - Tabela Simplificada - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente
de Momento Fletor - Salvadori (1956)............................................................... 81
Figura 37 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de Momento
Fletor - Nethercot; Rockey (1971) ..................................................................... 83
Figura 38 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de Momento
Fletor - Salmon; Johnson (1990)........................................................................ 85
Figura 39 - Tabela - Coeficientes Ai e Bi para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor - Sherbourne; Pandey (1989) .................................................. 86
Figura 40 - Gráfico para Vinculação Tipo I (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 89
Figura 41 - Gráfico 1 para Vinculação Tipo I - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 89
Figura 42 - Gráfico 2 para Vinculação Tipo I - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 90
Figura 43 - Gráfico para Vinculação Tipo II (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 90
Figura 44 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 91
Figura 45 - Gráfico para Vinculação Tipo III (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 91
vii
Figura 46 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 92
Figura 47 - Gráfico para Vinculação Tipo IV (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 92
Figura 48 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor .................................................... 93
Figura 49 - Gráfico para Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Momento Fletor
Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 94
Figura 50 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Momento Fletor
Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 94
Figura 51 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Momento Fletor
Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 95
Figura 52 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Momento Fletor
Uniforme (ψ = -1,0)........................................................................................... 95
Figura 53 - Gráfico Mcr / M0cr x ψ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor ............................................................................ 96
Figura 54 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Momento Fletor Uniforme (ψ = -1,0)................................................................ 97
Figura 55 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................... 99
Figura 56 - Tabela - Valores do Parâmetro γ para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Timoshenko; Gere (1961)................................. 100
Figura 57 - Tabela - Coeficientes A e B para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot; Rockey (1971) ................................ 101
Figura 58 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 103
Figura 59 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 104
Figura 60 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 104
Figura 61 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 105
viii
Figura 62 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 107
Figura 63 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída.......................................... 108
Figura 64 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída.......................................... 109
Figura 65 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída.......................................... 109
Figura 66 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída.......................................... 110
Figura 67 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 111
Figura 68 - Tabela - Valores do Parâmetro γ para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão - Timoshenko; Gere (1961)............................. 113
Figura 69 - Tabela - Coeficientes A e B para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão - Nethercot; Rockey (1971) ............................. 114
Figura 70 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 116
Figura 71 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 116
Figura 72 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 117
Figura 73 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 117
Figura 74 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão................................................................ 119
Figura 75 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão....................................... 120
Figura 76 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão....................................... 120
ix
Figura 77 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão....................................... 121
Figura 78 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão....................................... 121
Figura 79 - Momento Fletor de Referência para Viga Biengastada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 122
Figura 80 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Uniformemente
Distribuída - prEN1993-1-1:2000.................................................................... 124
Figura 81 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 125
Figura 82 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 126
Figura 83 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 126
Figura 84 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 127
Figura 85 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 128
Figura 86 - Momento Fletor de Referência para Viga Biengastada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 130
Figura 87 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Concentrada no
Meio do Vão - prEN1993-1-1:2000................................................................. 131
Figura 88 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 132
Figura 89 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com Carga
Concentrada no Meio do Vão .......................................................................... 133
Figura 90 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão................................................................ 133
Figura 91 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão................................................................ 134
Figura 92 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão................................................................ 135
x
Figura 93 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa Extremidade e
Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída........................... 136
Figura 94 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 138
Figura 95 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 139
Figura 96 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 139
Figura 97 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 140
Figura 98 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída .. 141
Figura 99 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa Extremidade e
Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão........................ 142
Figura 100 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 144
Figura 101 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 144
Figura 102 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 145
Figura 103 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 145
Figura 104 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão 146
Figura 105 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa Extremidade e
Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na Extremidade Apoiada147
Figura 106 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada....................................................................................... 149
Figura 107 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada....................................................................................... 149
xi
Figura 108 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada....................................................................................... 150
Figura 109 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada....................................................................................... 150
Figura 110 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada....................................................................................... 152
Figura 111 - Momento Fletor de Referência para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre.................................................................. 153
Figura 112 - Tabela - Parâmetro γ para Viga em Balanço com Carga Concentrada na
Extremidade Livre - Timoshenko; Gere (1961)............................................... 154
Figura 113 - Tabela - Tipos de Vinculação na Extremidade Livre de Vigas em
Balanço............................................................................................................. 156
Figura 114 - Tabela - Coeficientes A, B1 e B2 para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)................................. 157
Figura 115 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Kerensky et al. (1956)........................... 158
Figura 116 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)................................. 159
Figura 117 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Kirby; Nethercot (1979) ....................... 160
Figura 118 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Galambos (1998) .................................. 160
Figura 119 - Comparação entre as Hipóteses de Vinculação................................... 161
Figura 120 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Essa; Kennedy (1994)........................... 162
Figura 121 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada na
Extremidade Livre............................................................................................ 165
Figura 122 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Casos Adicionais para Viga em Balanço com
Carga Concentrada na Extremidade Livre ....................................................... 166
xii
Figura 123 - Momento Fletor de Referência para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída ............................................................................. 167
Figura 124 - Tabela - Coeficiente γ para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Poley (1954) ..................................................... 168
Figura 125 - Tabela - Coeficientes A, B1 e B2 para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)............................................. 169
Figura 126 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)............................................. 170
Figura 127 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Uniformemente
Distribuída........................................................................................................ 172
Figura 128 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Casos Adicionais para Viga em Balanço com
Carga Uniformemente Distribuída................................................................... 173
Figura 129 - Exemplos de Aplicação de Carga Fora do Centro de Torção ............. 176
Figura 130 - Elemento Adicional do PEFSYS para Carga Aplicada Fora do Centro de
Torção .............................................................................................................. 177
Figura 131 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Superior (Comprimida) ........................................................ 178
Figura 132 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Inferior (Tracionada) ............................................................ 179
Figura 133 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Tracionada............................................................................ 180
Figura 134 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Comprimida.......................................................................... 180
Figura 135 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção ................................. 181
Figura 136 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço com
Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção ................................. 182
Figura 137 - Travamento da Viga por meio de uma Laje Tipo Steel-Deck............. 184
Figura 138 - Introdução de Carga por Meio da Viga de Travamento...................... 185
Figura 139 - Travamento Relativo e Nodal ............................................................. 186
Figura 140 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo V............................................................................................ 192
xiii
Figura 141 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo VI .......................................................................................... 192
Figura 142 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo VII ......................................................................................... 193
Figura 143 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada e
Vinculação ao Deslocamento Lateral na Aba Superior ................................... 193
Figura 144 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo V ...................................................................... 195
Figura 145 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo VI .................................................................... 196
Figura 146 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo VII .................................................................. 196
Figura 147 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo V................................................ 198
Figura 148 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VI .............................................. 198
Figura 149 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VII ............................................. 199
Figura 150 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada - Vínculos no Meio do Vão .............................................. 200
Figura 151 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída - Vínculos no Meio do Vão ...................... 201
Figura 152 - Estudo da Variação da Relação (EA / L) do Travamento - Viga com
Vinculação Tipo VI .......................................................................................... 202
Figura 153 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada - Vinculação Tipo VI - µ = 35 .................................................... 203
Figura 154 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada - Vinculação Tipo VI - µ = 25 .................................................... 203
Figura 155 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µ = 35 ............................ 204
xiv
Figura 156 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µ = 25 ............................ 204
Figura 157 - Gráfico Mcr / M0cr x µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço
com Carga Concentrada - Vínculos na Extremidade ....................................... 205
Figura 158 - Enrijecedores de Extremidade............................................................. 207
Figura 159 - Seção Transversal nos Trechos do Reforço ........................................ 207
Figura 160 - Gráfico Mcr/M0cr x µ - Viga Biapoiada com Enrijecedores Junto às
Extremidades e Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão....................... 209
Figura 161 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Alguns Casos Usuais de
Carregamento e de Vinculação no Plano da Flexão......................................... 212
Figura 162 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Vigas Biapoiadas sob
Gradiente de Momento Fletor .......................................................................... 213
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
α, β, γ, ... índices gregos
i, j, k, ... índices latinos
(x, y, z) sistema de eixos de referência
f, w índices relativos às abas e à alma da viga, respectivamente
( )~⋅ símbolo de vetor
( )−⋅ símbolo de tensor ou matriz
( )´⋅ ( )
z∂⋅∂
( )d⋅ esforço de cálculo
( )k⋅ esforço característico
( )R⋅ esforço resistente
( )S⋅ esforço solicitante
∧ símbolo de produto vetorial
A área
−B matriz de transformação para cálculo das deformações generalizadas
b largura
bf largura da aba de uma viga com seção transversal tipo I
bs largura do enrijecedor
C1 coeficiente associado ao diagrama de momentos fletores, conhecido
como fator de momento equivalente
C2 coeficiente associado ao ponto de aplicação do carregamento
C3 coeficiente associado à monossimetria da seção transversal
Cb
razão entre o momento crítico elástico e o momento crítico básico:
= cr
crM
M0
−D matriz de rigidez constitutiva
( ).e posição de aplicação do carregamento externo em relação ao centro
de torção
xvi
E módulo de elasticidade (para os aços, E = 205000 MPa)
F carga concentrada aplicada na viga
fx , fy , fz forças por unidade de comprimento nas direções x, y e z,
respectivamente
fxN , fyN forças fictícias por unidade de comprimento nas direções x e y,
respectivamente
fxβ , fyβ forças provenientes do meio elástico, por unidade de comprimento,
nas direções x e y, respectivamente
G módulo de deformação transversal (para os aços, G ≅ 0,385E)
−G operador que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços internos
( )⋅H parâmetro de assimetria da seção transversal
−H operador diferencial matricial
h altura da viga
h0 distância entre os centróides das abas de uma viga com seção tipo I
I momento de inércia
Ix , Iy momentos de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente
Ixy produto de inércia
Iω momento de inércia ao empenamento ou momento de inércia setorial
Iωx , Iωy produtos de inércia setoriais em relação aos eixos x e y,
respectivamente
It momento de inércia à torção
Io momento polar de inércia
k coeficiente associado ao tipo de vinculação
ky coeficiente associado ao comprimento efetivo para flexão em torno
do eixo de menor inércia
kω coeficiente associado ao comprimento efetivo para empenamento
L comprimento da viga
Lb comprimento destravado da viga (distância entre travamentos)
−
eL operador que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços externos
Mcr momento crítico para a flambagem de vigas em regime elástico
xvii
M0cr momento crítico básico
MA , MB , MC momentos fletores nos quartos do vão da viga (valor em módulo)
M1 , M2 momentos fletores nas extremidades de um trecho travado da viga
Mmax momento fletor máximo de uma viga em um trecho entre travamentos
Mpl momento de plastificação
Mx , My momentos fletores em relação aos eixos x e y, respectivamente
MRd momento fletor resistente de cálculo
MSd momento fletor solicitante de cálculo
Mz momento de torção uniforme
Mω bimomento aplicado
mω bimomento aplicado por unidade de comprimento
mz momento de torção aplicado por unidade de comprimento
mzN momento de torção fictício por unidade de comprimento
mzβ momento de torção proveniente do meio elástico por unidade de
comprimento
N força normal
NxE , NyE forças normais críticas para a flambagem por flexão nas direções x e
y, respectivamente
NRd força normal resistente de cálculo
NSd força normal solicitante de cálculo
Nω força normal crítica para a flambagem por torção
p intensidade do empenamento
q carga distribuída aplicada na viga
r raio vetor de um ponto a partir do pólo
rn , rs componentes de r nas direções normal e tangente à superfície média
rx , ry raios de giração em relação aos eixos x e y, respectivamente
r0 raio polar de inércia, dado por: AI 0
r0(.) parâmetro de assimetria da seção transversal
Sx , Sy momentos estáticos da seção nas direções x e y, respectivamente
Sω momento estático setorial
s coordenada ao longo do contorno
xviii
~s eixo de referência tangente à superfície média
T momento de torção total ( zMTT += ω )
Tω momento de flexo-torção
tf espessura das abas de uma viga com seção transversal tipo I
tw espessura da alma de uma viga com seção transversal tipo I
ts espessura do enrijecedor
U energia potencial total
uM deslocamento de um ponto M qualquer da seção transversal na
direção x
´u declividade associada ao deslocamento u
Vx , Vy força cortante nas direções x e y, respectivamente
Vω bicortante (Vω = ´ωM = − Tω)
vM deslocamento de um ponto M qualquer na direção y
´v declividade associada ao deslocamento v
δWi , δWe trabalho virtual dos esforços internos e externos, respectivamente
wM deslocamento longitudinal de um ponto M qualquer
wC deslocamento longitudinal do centro de torção, descontado o
empenamento
w0 deslocamento longitudinal do centro de gravidade
xG , xC coordenadas na direção x do centro de gravidade e do centro de
torção, respectivamente
yG , yC coordenadas na direção y do centro de gravidade e do centro de
torção, respectivamente
~z vetor posição do eixo da barra
xβ , yβ , ϕβ coeficientes do meio elástico para deslocamento nas direções x e y, e
para rotação, respectivamente
trβ rigidez do travamento (norma americana, prAISC-LRFD:2003)
Tβ rigidez do travamento, excluindo-se a parcela de distorção da alma
(norma americana, prAISC-LRFD:2003)
secβ rigidez à distorção da alma (norma americana, prAISC-LRFD:2003)
xix
~γ vetor das deformações generalizadas
xyγ , xzγ , yzγ deformações tangenciais
szγ deformação por cisalhamento na superfície média da barra
Uδ primeira variação da energia potencial total
U2δ segunda variação da energia potencial total
~∆δ deslocamentos virtuais generalizados
~uδ vetor que contém os três deslocamentos virtuais nas direções x, y e z
~ϕδ vetor que contém as três rotações virtuais
~∆ vetor dos deslocamentos generalizados
∆ deslocamento
U∆ diferença da energia potencial entre a configuração deformada e a
configuração imediatamente anterior à flambagem
θ ângulo
λ índice de esbeltez
ν coeficiente de Poisson (para os aços, 3,0=ν )
σ tensão normal
τ tensão de cisalhamento
~ϕ vetor rotação da seção transversal
( ).ϕ rotação
´zϕ rotação específica
ψ razão entre os momentos de extremidade M1 e M2
fψ parâmetro que relaciona o valor do momento de inércia das abas de
uma viga tipo I (regulamento europeu, prEN1993-1-1:2002)
( )sAω área setorial
µ parâmetro utilizado para a flambagem lateral, dado por: ωIELIG t
2
ηcr parâmetro utilizado para a determinação do momento crítico
(regulamento europeu, prEN1999-1-1:2004)
xx
PONTOS NOTÁVEIS
A pólo
B origem das áreas setoriais
C centro de torção da seção transversal ; pólo principal
D origem principal
G centro geométrico da seção, cuja notação é aqui estendida também
para o centro de gravidade
H ponto da seção transversal onde se localizam os vínculos do meio
elástico
M ponto qualquer da seção transversal
O origem dos eixos
xxi
RESUMO
O valor do momento crítico à flambagem lateral de vigas em regime elástico-
linear é geralmente obtido na literatura técnica por meio de teorias aproximadas e
definido apenas para alguns casos usuais. Entretanto, a utilização de modernas
técnicas computacionais permite que o estudo da flambagem lateral não fique restrito
apenas a esses casos.
O objetivo deste trabalho é determinar o valor do momento crítico de vigas de
aço em regime elástico-linear para diversos casos de carregamento e de vinculação,
por meio de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Estes resultados são
comparados aos obtidos com o emprego de expressões baseadas em teorias
aproximadas, em particular as normas de projeto NBR8800:1986, prAISC-
LRFD:2003, prEN1993-1-1:2002 Stage 54 e prEN1999-1-1:2004 Stage 54.
Com o emprego do programa de elementos finitos PEFSYS, realiza-se, para
vigas tipo I bissimétricas, uma análise paramétrica que incorpora a faixa usual de
utilização destas vigas em projetos usuais de edifícios. Estuda-se a influência da
restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao da flexão para quatro
condições de vinculo nas extremidades da viga. Consideram-se ainda alguns casos
adicionais, como carga aplicada fora do centro de torção e vínculos ao longo do vão,
para mostrar o potencial do método de análise utilizado.
xxii
ABSTRACT
The elastic lateral buckling moment is generally obtained in technical
literature by means of approximated theories, and defined just for some common
cases. However, the use of recent computational techniques allows that lateral-
torsional buckling’s study doesn’t remain restricted to this few cases.
The intend of this work is to establish accurate values for the elastic critical
moment of steel beams in several cases of loading and end-restraint, using a
Geometrically Exact Nonlinear Theory. This results are compared with the ones
derived from approximate theories, in particular, Brazilian code NBR8800:1986,
American Specification prAISC-LRFD:2003, and European Prestandards prEN1993-
1-1:2002 Stage 54 and prEN1999-1-1:2004 Stage 54.
A parametrical analysis is performed for doubly-symmetric I-beams using the
finite element program PEFSYS for usual range in conventional structures. The
influence of warping and lateral rotation restraints is studied for four idealized
support conditions. Some other cases, like transverse load applied above and below
shear center and presence of bracings along the span, are accounted of to corroborate
the validity and the powerful of this procedure.
1
1 - INTRODUÇÃO
1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS
O emprego de estruturas metálicas no Brasil, embora ainda pouco intenso,
vem sendo incrementado continuamente, tanto nos edifícios industriais quanto nos
comerciais e residenciais.
Tal mudança justifica-se pelas vantagens do emprego do aço em relação às
estruturas convencionais de concreto, destacando-se a rapidez de execução; maior
precisão no processo de fabricação e montagem, com a conseqüente redução dos
custos do empreendimento; maior limpeza e organização do canteiro; menores cargas
nas fundações em decorrência da redução de peso próprio da estrutura; entre outras.
Nas edificações de grande porte, a estrutura principal em aço é constituída por
perfis laminados e perfis fabricados a partir de chapas soldadas entre si, em geral
com seção transversal em forma de I.
Esses perfis podem ser fabricados com as dimensões necessárias para o
projeto, variando-se a largura e a espessura das chapas componentes. Entretanto, a
soldagem de chapas não é economicamente vantajosa para chapas de pequena
espessura, tanto por requerer cuidados especiais para minimizar as tensões residuais
e a distorção dos perfis quanto pelo próprio custo do corte das chapas, soldagem e
desempenamento.
Já nas edificações que possuem vãos menores e cargas de pequena
intensidade, os perfis formados a frio são geralmente mais adequados, criando maior
flexibilidade para sua escolha, adequando-se a forma da seção transversal às
necessidades de projeto. São exemplos de aplicação as terças de cobertura, as
longarinas de fechamento e os montantes de caixilhos e forros.
2
Tendo em vista a pequena espessura dos elementos componentes desses
perfis, uma série de características os diferencia dos elementos comumente utilizados
em estruturas convencionais de concreto.
Pela utilização de peças esbeltas e por não apresentar o monolitismo
característico das estruturas de concreto, exige-se das estruturas de aço um estudo
mais acurado do seu comportamento estrutural. Nesse enfoque, merece especial
destaque a instabilidade lateral de perfis, principalmente no caso de vigas com
grandes vãos.
Na literatura técnica, encontram-se resultados para um grande número de
casos particulares de flambagem lateral, geralmente baseados em teorias
aproximadas que consideram diferentes condições de vínculo e de carregamento,
geometria das vigas, entre outros.
Por sua vez, as normas de projeto utilizam esses resultados e impõem
algumas simplificações, procurando desta forma atender as necessidades do
projetista de estruturas metálicas para os mais variados arranjos estruturais.
Em contrapartida, poucos trabalhos utilizam uma Teoria de Barras Não-
Linear Geometricamente Exata ou uma Teoria Não-Linear de Cascas. Atualmente,
esses estão tornando-se mais freqüentes, embora a maioria enfoque apenas a
distorção da seção transversal dos perfis.
Estuda-se neste trabalho a flambagem lateral de vigas de aço em regime
elástico-linear à luz de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Por meio de
teorias de barras, analisa-se em pormenores o fenômeno da instabilidade lateral de
perfis tipo I bissimétricos.
Os resultados são comparados, quando possível, com as recomendações da
norma brasileira NBR8800:1986, da norma americana prAISC-LRFD:2003, do
regulamento europeu prEN1993-1-1:2002 Stage 34 e prEN1999-1-1:2004 Stage
3
34, e da literatura técnica, discutindo-se a validade das expressões e das hipóteses
apresentadas.
1.2 - O COMPORTAMENTO DE PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDE
DELGADA
A principal característica de uma barra de parede delgada é que a espessura
da seção transversal é muito menor que sua largura, altura ou contorno. Por sua vez,
estas dimensões são muito menores do que seu comprimento, de modo que ainda é
possível utilizar modelos de barra para sua análise.
Os fenômenos de instabilidade de uma barra de seção aberta e parede delgada
submetida à flexão são classificados como “flambagem por flexo-torção” ou
“flambagem lateral”; “flambagem por distorção” e “flambagem local”. Não é
objetivo deste trabalho o estudo da flambagem local e da distorção, de forma que se
dará enfoque apenas ao primeiro desses fenômenos.
O tipo de instabilidade presente é função principalmente das características
geométricas dos perfis (sobretudo, da relação largura/espessura das partes
componentes), das condições de vínculo e do carregamento. Cabe ressaltar que é
comum a ocorrência simultânea de mais de um dos fenômenos citados.
Um caso particular de instabilidade é aquele em que ocorre distorção no
próprio plano da seção transversal, com deslocamentos transversais nos encontros
dos elementos componentes da seção e flexão dos elementos componentes na direção
normal ao plano dos mesmos (Figura 1).
4
Figura 1 - Flambagem por Distorção
Esse fenômeno é comum nas peças onde as partes comprimidas não possuem
adequada contenção lateral - mesmo que as demais partes o tenham - e naquelas onde
a alma possui elevada relação largura/espessura.
São exemplos típicos deste problema as vigas contínuas de piso (Figura 2)
que, embora contidas lateralmente por uma laje de concreto no nível da aba superior,
possuem abas inferiores não-contidas lateralmente, submetidas à compressão nas
regiões junto aos apoios intermediários.
Figura 2 - Flambagem por Distorção de Vigas de Piso
5
A instabilidade local verifica-se geralmente para altas relações
altura/espessura ou largura/espessura da seção, e se dá pela distorção da seção
transversal em seu próprio plano, resultado da flambagem dos elementos de chapa
componentes do perfil. Nesse caso, não ocorrem deslocamentos transversais nos
encontros dos elementos componentes da seção transversal - por exemplo, aba e alma
de um perfil tipo I (Figura 3).
Figura 3 - Flambagem Local
É possível estabelecer valores limites para as relações supracitadas para
diferentes condições de vínculo e de carregamento, de forma que o perfil atinja sua
capacidade portante à flexão sem a ocorrência da flambagem local. Uma outra forma
de se evitar a flambagem local é modificar as condições de vínculo pela adição de
enrijecedores, sejam eles intermediários ou de extremidade.
Em geral, a ocorrência de flambagem local não leva ao esgotamento da
capacidade portante da viga, na medida que, ao se exceder a carga crítica de uma
chapa, gradualmente surgem deslocamentos normais ao seu plano médio,
acompanhados de uma redistribuição de esforços atuantes no mesmo. Essa
redistribuição produz um efeito estabilizante da chapa, implicando o fato da
capacidade portante ser normalmente muito superior ao carregamento crítico.
6
Por fim, a instabilidade por flexo-torção é denominada flambagem lateral
quando se aplica a vigas e envolve uma combinação de flexão, torção e
empenamento sem modificação na seção transversal, como mostra a Figura 4.
Figura 4 - Flambagem Lateral
Para os perfis com elevada relação largura/espessura dos elementos de chapa
componentes, a instabilidade pode se dar por uma combinação de flambagem local e
lateral.
Em projeto, essa interação é comumente avaliada como um problema de
instabilidade por flexo-torção, considerando-se a redução da seção transversal pelo
método das larguras efetivas.
7
1.3 - BREVE HISTÓRICO
Os primeiros estudos do fenômeno da flambagem foram realizados por Euler
que, em 1759, analisou a flambagem em regime elástico de pilares sob forças axiais
de compressão, propondo-se então um primeiro modelo analítico que considerava a
relação entre a capacidade portante e o comprimento da peça.
Por sua vez, as pesquisas empíricas realizadas em 1854 por Fairbairn
consistem no primeiro trabalho relacionado diretamente à flambagem lateral de
vigas, cujos resultados mostraram que a resistência de uma viga de seção tipo I
aumenta se a largura e a espessura de sua aba comprimida forem superiores às da aba
tracionada.
Burr (1884), Marburg (1909) e Moore (1910) realizaram ensaios para
confirmar a relação entre a resistência ao momento fletor de uma viga e o índice de
esbeltez da aba comprimida na direção de menor inércia.
Em 1899, Prandtl e Michell estudaram a flambagem de vigas de seção
transversal retangular em regime elástico para determinar as equações diferenciais
que regem o fenômeno. O primeiro para diversas condições de vínculo e
carregamento; e o segundo apenas para vigas biapoiadas submetidas a momento
fletor uniforme ao longo do vão.
Posteriormente, por volta de 1910, o resultado desses trabalhos foi estendido
por Timoshenko, incluindo o efeito do empenamento em vigas com seção transversal
tipo I.
Publicações subseqüentes de diversos autores, destacando-se a de Wagner em
1929, contribuíram para o surgimento de uma primeira teoria geral para a flambagem
lateral de vigas, presente nos trabalhos de Vlasov (1936) apud Vlasov (1961), Bleich
(1952) e Timoshenko (1953) apud Timoshenko; Gere (1961).
8
Nesta mesma época, outros pesquisadores procuraram obter soluções
numéricas, entre eles Winter (1943), Massonet (1947), Flint (1951), Poley (1954),
Horne (1954), Salvadori (1955 e 1956) e Austin et al. (1955).
Até então, a obtenção de resultados de caráter prático estava limitada pela
necessidade de extensos cálculos manuais. Entretanto, entre as décadas de 1960 e
1970, a evolução dos métodos de resolução com o uso de técnicas computacionais
possibilitou uma análise mais acurada.
A aplicação do Método dos Elementos Finitos à análise da flambagem por
flexo-torção, proposta por Barsoum e Gallagher em 1970, impôs uma nova
dinâmica aos futuros trabalhos, já que a maioria dos casos poderia ser estudada
isoladamente em um programa específico de computador que utilizasse
adequadamente essa teoria.
Novos resultados foram obtidos considerando-se as vigas isoladas ou
levando-se em conta sua continuidade com membros adjacentes. Em ambos os casos,
foram verificados os efeitos de diferentes condições de vínculo para alguns casos
usuais de carregamento.
As pesquisas foram então direcionadas aos seguintes campos: condições de
carregamento (posição de aplicação da carga e variações no diagrama de momento
fletor, diferente do diagrama da flexão pura); condições de vínculo (nos apoios e ao
longo do vão); vigas com seção variável (presença de furos, enrijecedores, recortes e
mudança de altura); continuidade entre vigas; e análise em regime não-elástico.
Neste sentido, destacam-se para este trabalho as publicações de Nethercot e
Rockey (1971) e (1973), Anderson e Trahair (1972), Nethercot (1973), Trahair e
Woolcock (1973), Nethercot e Trahair (1976), Chen e Atsuta (1977), Hancock
(1978), Heins e Potocko (1979), Kitipornchai et al. (1984), Sherbourne e Pandey
(1989), Bradford (1992), Pi e Trahair (1992) e (2000), Essa e Kennedy (1994) e
(1995), Helwig et al. (1997), e Suryoatmono (2002).
9
Alguns dos principais resultados obtidos com a utilização de teorias
aproximadas bem como uma comparação com as recomendações de algumas normas
de projeto encontram-se sumarizados em Johnston et al. (1986), Chen e Lui (1987),
Salmon e Johnson (1990), Silva (1992), Trahair (1993), Wang et al. (1993), Aoki
e Kubo (1997), Reis (1996) e Galambos (1998).
Apenas na década de 1980 surgiram as primeiras Teorias Não-Lineares
Geometricamente Exatas. Simo (1985) apud Campello (2000) apresenta uma
formulação não-linear, sem aproximações geométricas, para as equações do
movimento de barras no espaço, aprimorada no ano seguinte com a dedução de
equações de equilíbrio estático.
Esse trabalho pode ser citado como principal referência para publicações
subseqüentes que buscaram estabelecer as equações constitutivas de barras como, por
exemplo, o procedimento proposto por Shen e Zhang (1992) apud Reis (1996),
utilizando o Método dos Elementos Finitos para uma análise não-linear da
estabilidade de barras.
Um trabalho de destaque desenvolvido na Escola Politécnica da USP é o de
Pimenta e Yojo (1993), base da teoria não-linear que resultou na implementação do
PEFSYS, um programa computacional de elementos finitos em linguagem
FORTRAN 90 desenvolvido no Laboratório de Mecânica Computacional da EPUSP.
Esta teoria foi complementada posteriormente por Fruchtengarten, Julio (1995) e
Campello (2000) e seus resultados foram incorporados ao PEFSYS.
1.4 - METODOLOGIA
Para o estudo da flambagem lateral de vigas em regime elástico, emprega-se
neste trabalho tanto a Teoria de Vlasov quanto uma Teoria Não-Linear
Geometricamente Exata.
10
Inicialmente, utilizam-se as equações de equilíbrio e a expressão da energia
potencial total da Teoria de Vlasov para a obtenção do momento crítico de vigas sob
diversas condições de carregamento.
Para a Teoria Geometricamente Exata, apresentam-se a expressão da segunda
variação da energia potencial total sob forma matricial e, em seguida, a expressão
resultante de uma linearização proposta por Fruchtengarten, Julio (1995). Estas
expressões são comparadas, com ênfase aos termos correspondentes ao momento
fletor e à força cortante, numa primeira discussão sobre as imprecisões das teorias
aproximadas.
Apresentam-se, a seguir, os resultados de diversos autores para alguns casos
clássicos de flambagem lateral de vigas baseados na Teoria de Vlasov, e as
recomendações da norma brasileira, da norma americana e do regulamento europeu.
Para a obtenção da carga crítica de flambagem lateral de vigas sob diversas
condições de vínculo e carregamento de forma mais precisa, utiliza-se a Teoria Não-
Linear, sem nenhuma aproximação ou linearização, por meio do PEFSYS.
Discutem-se ainda as hipóteses simplificadoras implícitas nas recomendações
supracitadas, e comparam-se os resultados para alguns casos usuais de carregamento
e vinculação por meio de uma análise paramétrica de vigas com diferentes seções
bissimétricas tipo I e vãos compatíveis com sua utilização corrente.
Finalmente, estudam-se alguns casos adicionais de vinculação e de
carregamento, comparando-se quando possível os resultados obtidos do programa
PEFSYS com os de normas de projeto e da literatura.
11
2 - TEORIAS DE BARRAS
2.1 - INTRODUÇÃO
Na teoria clássica de barras da Resistência dos Materiais, denominada Teoria
de Bernoulli-Euler, supõe-se que as seções transversais permanecem planas e
ortogonais a um determinado eixo da barra, não sendo, portanto, considerados o
empenamento e a distorção por força cortante.
A distorção da seção transversal por força cortante é considerada na Teoria de
barras de Timoshenko, onde se admite que as seções inicialmente planas
permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da barra, e que as
rotações são independentes dos deslocamentos. A hipótese cinemática da
dependência entre os deslocamentos e as rotações denomina-se vínculo de Bernoulli-
Euler.
Por sua vez, o empenamento é considerado na Teoria de Vlasov. Denomina-
se vínculo de Vlasov a hipótese de que a intensidade do empenamento é igual à
rotação específica em torno do eixo longitudinal z.
Na Teoria de Vlasov aqui empregada, admitem-se válidos tanto o vínculo de
Bernoulli-Euler quanto o de Vlasov.
Os principais fundamentos da Teoria de Vlasov e da Teoria Não-Linear
Geometricamente Exata, na qual estes vínculos não são impostos, são apresentados
neste capítulo, discutindo-se também as imperfeições contidas na Teoria de Vlasov e,
para efeito de comparação, as simplificações que podem ser feitas na Teoria Exata.
12
Para a Teoria de Vlasov, apresentam-se inicialmente as equações de
equilíbrio da Teoria Linear e, em seguida, as equações de equilíbrio e a expressão da
energia potencial total U para a análise de estabilidade.
Em seguida, na Teoria Exata, obtêm-se as expressões do funcional da
segunda variação da energia potencial total e de uma linearização do mesmo,
novamente com o objetivo de comparação com a Teoria de Vlasov.
2.2 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE LINEAR
2.2.1 - Considerações Iniciais
A Teoria de Vlasov aplicada às barras de seção transversal aberta e parede
delgada baseia-se nas seguintes hipóteses:
a forma da seção transversal não se altera, ou seja, não se considera a distorção
em seu próprio plano:
0;0 == xyxy γτ
o empenamento da seção transversal é constante ao longo da espessura; sua forma
é a mesma para todas as seções, mas sua intensidade difere de uma seção para outra,
sendo proporcional à rotação específica 'zϕ .
as deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser
desprezadas ( 0=szγ ). Esta hipótese corresponde à de Bernoulli-Euler na Teoria
Clássica da Resistência dos Materiais.
13
as tensões de cisalhamento paralelas à superfície média são dadas pela soma de
dois termos (Figura 5):
(i) O primeiro termo (τω) pode ser admitido constante ao longo da espessura, e o
esforço solicitante de torção resultante é denominado momento de flexo-torção (Tω).
A existência dessa parcela de tensão confronta a hipótese da Resistência dos
Materiais de deformações por cisalhamento nulas na superfície média.
Por esse motivo, as tensões τω são aqui determinadas pelas equações de
equilíbrio e não pela relação constitutiva τ = G γ.
(ii) O segundo termo, com distribuição linear ao longo da espessura e anti-
simetricamente distribuído em relação à linha média, é obtido da Teoria de torção
uniforme de Saint-Venant. O esforço solicitante resultante destas tensões de
cisalhamento (τt) é o momento de torção uniforme, dado por:
'ztz IGM ϕ=
2
21 τττ ω+
= 2
21 τττ −=t
Figura 5 - Tensões de Cisalhamento
14
2.2.2 - Equações Diferenciais de Equilíbrio
Para a dedução das equações diferencias de equilíbrio subseqüentes, utilizam-
se dois sistemas de coordenadas. Um ponto pode então ser geometricamente
determinado pelas coordenadas x,y,z (comumente utilizadas na Resistência dos
Materiais) ou pelas coordenadas s (ao longo da linha de contorno da superfície média
a partir de uma origem B) e z (na direção do eixo da barra) - Figura 6.
Figura 6 - Sistemas de Referência
Os deslocamentos de um ponto M qualquer da superfície média podem ser
escritos em função do deslocamento de um ponto denominado pólo e da rotação ϕz
da seção transversal (Figura 7.a). Dado um pólo A qualquer, define-se área setorial
ωA (s) como o dobro da área do setor definido pelos raios vetores AB e AM (Figura
7.b), obtendo-se:
( ) −=s
On
A dsrsω
15
(a)
(b)
Figura 7 - Deslocamentos do Ponto M - Área Setorial
Pode-se demonstrar que, em particular, o deslocamento longitudinal wM é
dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )szsyzvsxzuzww AzM ωϕ '''
0 +−−= (2.1)
Os três primeiros termos da equação (2.1) correspondem à teoria usual de
barras da Resistência dos Materiais, em que se admite válida a hipótese de Bernoulli-
Euler de que as seções planas permanecem planas e ortogonais ao eixo após a
deformação. Esse fato decorre da hipótese γsz = 0.
O primeiro termo representa um deslocamento axial uniforme na seção. Os
dois seguintes correspondem aos deslocamentos devidos às rotações ϕx e ϕy ,
associadas por esta hipótese às derivadas em relação a z dos deslocamentos do eixo
passando pelo pólo, que será tomado coincidente com o centro de torção (ϕx = -v’ e
ϕy = u’).
O quarto termo representa o empenamento da seção transversal e é similar ao
obtido da Teoria de Saint-Venant para torção uniforme, embora aqui 'zϕ não seja
constante em z.
16
As funções deslocamento do pólo A - w0(z), u(z), v(z) e ϕz(z) - são
determinadas a partir das condições de equilíbrio de um elemento da barra de
comprimento dz. A ação do restante da barra é substituída pelas tensões (normal e de
cisalhamento) e pelo momento de torção Mz correspondentes.
O carregamento, estaticamente equivalente às forças de magnitude fx , fy e fz ,
é substituído por um sistema de forças de mesma intensidade que passa pelo pólo A,
e pelo momento de torção mz resultante destas forças.
Têm-se, então, as seguintes equações de equilíbrio:
Ef
SvSuSwA zzxy −=+−+ '''''''''''
0 ϕω
Ef
IvIuIwS xIVzx
IVxy
IVyy −=++−− ϕω
'''0
E
fIvIuIwS yIV
zyIV
xIV
xyx −=+−+ ϕω'''
0
Em
EIG
IvIuIwS zz
tIVz
IVy
IVx −=+−++− '''''
0 ϕϕωωωω
Note-se que, por analogia com a Resistência dos Materiais, definem-se novas
propriedades geométricas da seção, a saber:
momento estático setorial:
( )dsstSs
so
= ωω (2.2)
17
momento de inércia setorial ou momento de inércia ao empenamento:
=A
dAI 2ωω (2.3)
produto de inércia setorial em relação ao eixo x:
=A
x dAxI ωω (2.4)
produto de inércia setorial em relação ao eixo y:
=A
y dAyI ωω (2.5)
As equações diferenciais de equilíbrio supracitadas podem ser simplificadas
adotando-se uma origem, um pólo e um sistema de referência convenientes.
Os momentos estáticos Sx e Sy se anulam para eixos de referência que passam
pelo centro de gravidade G da seção. Pode-se definir ainda um pólo principal C e
uma origem principal D que anulam respectivamente os produtos de inércia setoriais
Iωx e Iωy e o momento estático setorial Sω . O pólo principal coincide com o centro de
torção da seção transversal, resultando:
zfwAE −=''0 (2.6.a)
xIVG
xyIVG
y fvEIuIE =− (2.6.b)
yIVG
xIVG
xy fvIEuEI =+− (2.6.c)
zztIV
zC mIGIE =− ''ϕϕω (2.6.d)
18
Em particular, para eixos principais, o produto de inércia Ixy também se anula.
Assim, as equações diferenciais de equilíbrio ficam desacopladas e assumem a
seguinte forma:
zfwAE −=''0 (2.7.a)
xIVG
y fuIE = (2.7.b)
yIVG
x fvIE = (2.7.c)
zztIV
zC mIGIE =− ''ϕϕω (2.7.d)
2.2.3 - Apoios Elásticos
Considera-se agora uma barra com seção de parede delgada (Figura 8),
continuamente apoiada em meio elástico ao longo de um eixo paralelo ao eixo z e
passando por um ponto H de coordenadas (xH , yH).
Figura 8 - Apoios Elásticos
19
As forças reativas do meio elástico nas direções x e y são proporcionais
respectivamente aos deslocamentos uH e vH , e o momento de torção reativo depende
destas forças e da rotação ϕzH , resultando em:
Hxx uf ββ −= (2.8.a)
Hyy vf ββ −= (2.8.b)
( ) ( ) ββϕβ ϕβ xCHyCHzHz fyyfxxm −−−+−= (2.8.c)
onde:
fxβ , fyβ e mzβ são as reações no meio elástico por unidade de comprimento da
barra.
βx , βy e βϕ representam as rigidezes do apoio elástico, ou seja, as forças e o
momento de torção correspondentes a deslocamentos nas direções x e y e rotações
unitários.
Colocando os deslocamentos e rotações do ponto H em função dos
deslocamentos e rotações do centro de torção, obtêm-se as forças e momentos de
torção adicionais a serem considerados nas equações de equilíbrio, a saber:
( )[ ]zCHxx yyuf ϕββ −−−= (2.9.a)
( )[ ]zCHyy xxvf ϕββ −+−= (2.9.b)
( ) ( )
( ) ( )[ ] zCHyCHx
CHyCHxzz
xxyy
vxxuyym
ϕββ
ββϕβϕβ
22 −−−−+
+−−−+−=
(2.9.c)
20
2.3 - TEORIA DE VLASOV - ANÁLISE DE ESTABILIDADE
2.3.1 - Equações de Equilíbrio
A teoria clássica de flambagem objetiva determinar a intensidade do
carregamento a partir do qual a configuração inicial deixa de ser estável. Um estado
de equilíbrio é considerado estável se perturbações suficientemente pequenas causam
deslocamentos arbitrariamente pequenos da estrutura.
O estado em que um arranjo muda de estável para instável é denominado
“estado crítico” e o carregamento correspondente, “carga crítica”.
Ao atingir a carga crítica, a viga passa da configuração de equilíbrio básica
para uma nova configuração, denominada “pós-crítica”. As equações de equilíbrio
são determinadas, na Teoria de Vlasov, para uma configuração pós-crítica próxima
da inicial, de modo que os incrementos dos deslocamentos e das tensões sejam
pequenos de tal forma que possam ser consideradas desprezáveis as mudanças nos
esforços solicitantes.
Em vista dessa aproximação, o procedimento aqui adotado dá apenas uma
indicação da forma da configuração logo após se atingir a carga crítica, fornecendo
um valor aproximado dessa carga.
Por sua vez, a intensidade dos deslocamentos na configuração pós-crítica só
pode ser estudada à luz de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata, como
será mostrado no item 2.4.
Para a configuração básica de equilíbrio, o estado de tensões está em
equilíbrio com o carregamento externo. Assim, para os deslocamentos adicionais
resultantes da perda de estabilidade da barra, considera-se que o incremento de
21
tensões está em equilíbrio com um carregamento externo fictício, a ser determinado,
dado pelas forças transversais fxN , fyN e pelo momento de torção mzN.
Admitem-se válidas, para a configuração final, as equações de equilíbrio
deduzidas na análise linear para a configuração básica, mas desprezam-se os
deslocamentos anteriores à perda de estabilidade, ou seja, admite-se que u, v, w e ϕz
são os incrementos dos deslocamentos na mudança de configuração de equilíbrio.
Vale relembrar que, por simplicidade, os deslocamentos e as propriedades
setoriais da seção transversal são calculados em relação ao centro de torção e que a
origem é a principal.
Adicionam-se ainda às equações de equilíbrio da análise linear (equação 2.6)
as forças e momentos de torção provenientes de apoios elásticos (equação 2.9) e as
forças fictícias fxN , fyN e mzN , deduzidas a partir do equilíbrio de um elemento de
barra na configuração deformada.
Obtêm-se, assim, as seguintes equações diferenciais de equilíbrio para a
análise de estabilidade - Fruchtengarten, Julio (1995):
0''0 =wAE (2.10.a)
( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''''' =−−+++−− zCHxzxzCIV
xyIV
y yyuMyuNvIEuIE ϕβϕϕ
(2.10.b)
( )[ ] ( ) ( )[ ] 0''''' =−+++−−− zCHyzyzCIV
xyIV
x xxvMxvNuIEvIE ϕβϕϕ
(2.10.c)
22
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0
22
''''
22
''000
20
''''''
=+−−+−+
+−+−+−+−−+
++−+−++−
vNxuNyyefxef
xxyyvxxuyy
MrMrMrNrMvMuIGIE
CCzCyyCxx
zCHyCHxCHyCHxz
zyxxyyxztIV
zC
ϕ
ϕββββϕβ
ϕϕϕ
ϕ
ωωω
(2.10.d)
Hx, Hy e Hω são parâmetros de assimetria da seção transversal, obtidos por
meio de:
( ) +=A
x dAyxyH 22 (2.11.a)
( ) +−=A
y dAyxxH 22 (2.11.b)
( ) +=A
dAyxH 22ωω (2.11.c)
dos quais resultam, por analogia com o raio polar de inércia r0:
−
−
−= C
xyyx
yxxxyx x
III
HIHIr 2
21
20 (2.12.a)
−
−−
= Cxyyx
yxyxyy y
III
HIHIr 2
21
20 (2.12.b)
ω
ωω I
Hr =0 (2.12.c)
23
2.3.2 - Método Energético
A condição necessária para o equilíbrio de um sistema estrutural elástico sob
carregamento conservativo numa determinada configuração é que a energia potencial
total do sistema passe por um extremo, isto é, que a primeira variação da energia
potencial total δU seja nula.
Por sua vez, o teorema de Lagrange-Dirichlet estabelece que uma condição
suficiente para a estabilidade do equilíbrio de uma determinada configuração é que a
energia potencial total seja mínima nesta configuração, isto é, que a segunda variação
da energia potencial total δ2U seja positiva definida.
A transição da estabilidade para a instabilidade se dá para uma configuração
tal que a condição acima deixa de ser satisfeita, ou seja, para δ2U=0.
Conhecida a expressão exata da segunda variação da energia potencial total,
pode-se determinar um valor aproximado do carregamento crítico por meio de uma
análise linearizada de estabilidade, denominada análise de Euler, na qual se
confundem as configurações inicial e crítica, calculando-se os esforços internos pela
Teoria Linear.
Esse procedimento não dá nenhuma indicação a respeito da configuração pós-
crítica, mas conduz a uma simplificação na expressão da segunda variação da energia
potencial total e permite obter um valor aproximado da carga crítica.
Por outro lado, pode-se mostrar que um valor aproximado da carga crítica
pode também ser determinado utilizando-se a diferença de energia potencial entre a
configuração deformada e a configuração imediatamente anterior à flambagem ( U∆ )
no lugar da segunda variação da energia potencial. Alternativamente, como mostra
Fruchtengarten, Julio (1995), pode-se utilizar a expressão da primeira variação da
energia potencial δU.
24
Esses procedimentos são usuais na literatura técnica, mas partem
normalmente de expressões aproximadas de U∆ ou de δU, determinadas a partir de
hipóteses simplificadoras na formulação das equações diferenciais de equilíbrio,
como foi feito no item 2.3.1. A discussão da imprecisão desta conduta é um dos
objetivos deste trabalho.
Uma expressão aproximada da primeira variação da energia potencial total
pode ser obtida aplicando-se o princípio dos trabalhos virtuais, ponderando-se as
equações de equilíbrio de forças e de momentos (equação 2.10) pelos deslocamentos
virtuais correspondentes (Método de Galerkin).
Esses deslocamentos virtuais são funções cinematicamente admissíveis para o
problema, denominadas “funções coordenadas”. A condição de equilíbrio é obtida
impondo-se que a soma dos trabalhos virtuais dos esforços sob esses deslocamentos
virtuais é nula.
Com este procedimento, chega-se à seguinte expressão para o funcional da
energia potencial total:
[ ]( ) ( )
[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]
−+−+
++−++−−+
+−++−++
++−−+++
+++−++=
L
zCyyCxx
L
zzCHyzCHx
L
yxz
L
yxxyz
L
yxz
L
zCzC
L
ztzxyxy
dzyefxef
dzxxvyyu
dzuVvVdzMrMrMrNr
dzvMuMdzvxuyvuN
dzIGIEvuIEvIEuIEwAEU
0
2
0
222
00000
20
2'
0
'
0
''22
0
2'2''''''2''2''2'0
21
21
''2221
'''2'2''21
221
ϕ
ϕβϕβϕβ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ωω
ω
(2.13)
25
A primeira integral é denominada termo constitutivo, as quatro seguintes
correspondem ao efeito geométrico dos esforços internos e as duas últimas,
respectivamente, aos apoios elásticos e ao efeito geométrico dos esforços externos.
Embora corresponda à diferença da energia potencial entre a configuração
deformada e a configuração reta imediatamente anterior à flambagem, esse funcional
é referido na literatura como sendo o da própria energia potencial total do sistema.
Da condição δU = 0 pode ser obtido, como já visto, o carregamento crítico.
As expressões do funcional da energia potencial total dependem da forma de
integração por partes adotada. Como conseqüência, encontram-se na literatura
diferentes expressões para o funcional da energia potencial total, correspondentes a
diferentes condições de contorno, onde, em particular, os termos que contêm as
forças cortantes e os momentos fletores diferem bastante.
No item seguinte, procura-se estabelecer a expressão da energia potencial
total a partir de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata. Para efeito de
comparação, adotar-se-ão simplificações que permitam determinar um valor
aproximado do carregamento crítico por meio de uma análise linearizada de
estabilidade.
2.4 - TEORIA NÃO-LINEAR GEOMETRICAMENTE EXATA
2.4.1 - Introdução
A Teoria Geometricamente Exata aplica-se a barras de seção transversal
qualquer, delgada ou não, e é valida para estruturas com grandes deslocamentos e
grandes rotações, sem nenhuma limitação. Dispensa-se, portanto, quaisquer
aproximações nas relações deslocamentos-deformações, bem como simplificações de
26
caráter geométrico, semelhantes às realizadas nas teorias de primeira e segunda
ordem.
Os deslocamentos de um ponto qualquer da seção transversal podem ser
decompostos em duas parcelas: a primeira correspondente ao movimento da barra,
mantendo-se as seções planas e indeformáveis, embora não ortogonais ao eixo; e a
segunda correspondente ao empenamento, ortogonal à seção transversal na
configuração deformada.
Nesta teoria, as seções transversais não permanecem ortogonais ao eixo da
barra, ou seja, não é imposto o vínculo de Bernoulli-Euler; como conseqüência, as
rotações independem da declividade ( 'vx −≠ϕ e 'uy ≠ϕ ). Na Teoria de Vlasov, a
imposição deste vínculo pode ser verificada na equação (2.1).
Os deslocamentos correspondentes ao empenamento p são tratados como
grandezas independentes da rotação zϕ , de modo que a intensidade do empenamento
independe da rotação específica ( pz ≠'ϕ ), ao contrário do que é admitido na Teoria
de Vlasov.
Deduzida a expressão exata da segunda variação da energia potencial total,
pode-se obter uma expressão aproximada do funcional da segunda variação da
energia potencial total para uma análise linearizada de Euler.
Para tanto, admitem-se válidas as mesmas hipóteses já enunciadas na Teoria
de Vlasov. A título de comparação com a expressão obtida por meio da Teoria de
Vlasov, introduzem-se ainda os vínculos de Bernoulli-Euler e de Vlasov no funcional
resultante da utilização de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata.
27
2.4.2 - Funcional da Segunda Variação da Energia Potencial
A dedução da expressão do funcional da segunda variação de energia
potencial total pode ser vista em Fruchtengarten, Julio (1995). Sob forma matricial,
ela é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dzLHHGHBHBDL
e ∆∆−∆∆+∆∆=
−−−−−−−−− ~~~~~~
2 ... δδδδδδδ (2.14)
onde:
D−
é a matriz dos coeficientes de rigidez tangente da seção transversal, que é a
parcela constitutiva do operador.
−G é a matriz que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços internos.
Le é a matriz que caracteriza os efeitos geométricos dos esforços externos.
−−
HeB são matrizes auxiliares.
~∆δ são deslocamentos virtuais generalizados, constituídos pelo vetor
~uδ que
contém os três deslocamentos nas direções x, y e z ; pelo vetor ~ϕδ que contém as
três rotações; e pelo vetor pδ que representa a intensidade do empenamento:
=∆
p
u
δ
ϕδ
δ
δ~
~
~ (2.15)
28
A expressão (2.14) deu origem a um programa computacional de elementos
finitos para uma análise não-linear geometricamente exata de estruturas denominado
PEFSYS. Desenvolvido no Laboratório de Mecânica Computacional da Escola
Politécnica da USP, o PEFSYS é a ferramenta utilizada neste trabalho.
Nesse programa, os deslocamentos da estrutura são obtidos por meio de
interpolação dos valores nodais, os quais são introduzidos nas expressões dos
trabalhos virtuais, gerando as equações das forças residuais e as matrizes de rigidez
tangente constitutiva, geométrica e de carregamento - Campello (2000). Essas
últimas são finalmente empregadas na resolução de sistemas não-lineares por meio
do Método de Newton.
2.4.3 - Análise Linearizada de Euler
Uma expressão aproximada do funcional da segunda variação da energia
potencial pode ser obtida por linearização da expressão de .2Uδ As hipóteses para
esta linearização são:
o gradiente de deslocamentos é pequeno.
confunde-se a configuração inicial com a configuração imediatamente anterior à
flambagem (logo, ~~∆=∆δ ).
a barra está submetida a um carregamento proporcional.
os esforços solicitantes são os da Teoria Linear.
29
a) Termo geométrico dos esforços internos
Para a determinação do termo geométrico dos esforços internos, impõem-se
inicialmente as hipóteses supracitadas no segundo termo da expressão (2.14).
Referindo-se os esforços solicitantes ao centro de gravidade, tomando-se para
o eixo da barra aquele que passa pelo centro de torção, e impondo-se os vínculos de
Bernoulli-Euler ( 'vx −=ϕ e 'uy =ϕ ) e de Vlasov ( 'zp ϕ= ) no centro de torção, o
termo geométrico dos esforços internos da expressão da segunda variação da energia
potencial total é dado por:
( ) ( )[ ] −−−−++ dzvvxuuyvuNL
zzCzzC0
"''"''2'2'
21 ϕϕϕϕ
( ) ( )[ ] [ ] +−+−+−− dzvuvuTdzvvMuuMLL
zzyzzx 0
"''"
0
"''"''
21
21 ϕϕϕϕ
( ) ( ) dzvVuVwdzuVvVL
yxCyx
L
z +−−+0
'''''
021 ϕ (2.16)
onde:
wC é o deslocamento longitudinal do centro de torção descontado o empenamento,
a saber:
''
0 vyuxww CCC −−=
implicando:
30
""'0
' vyuxww CCC−−=
Procedendo-se de maneira análoga para o eixo da barra passando pelo centro
de gravidade, obtém-se para o termo geométrico dos esforços internos:
[ ] ( )[ ] −−−−++ L
zzx
L
zCzC dzuuMdzvxuyvuN0
''''
0
''''2'2'
21
2221 ϕϕϕϕ
( )[ ] [ ] ( ) −−+−+−−L
yx
L zL
zzy dzuVvVdzvuvuTdzvvM0
''
00
"''"''''
221
21 ϕ
ϕϕ
( ) ( ) −+−+− dzyVxVdzvVuVw CyCxz
L
zyx
L '
0
''
0
'0 ϕϕ
( ) ( ) −−−L
CyCx dzvuuvxVyV0
"''''
21
(2.17)
onde:
w0 é o deslocamento longitudinal do centro de gravidade.
Esses termos podem agora ser comparados aos obtidos na expressão (2.13)
(segunda, terceira e quinta integrais). Note-se que a imposição das condições de
contorno em pontos diferentes da seção transversal (C e G) conduz a expressões
também diferentes. Na Teoria de Vlasov, as condições de vínculo são referidas ao
centro de torção.
O termo da força normal curiosamente só coincide com o de Vlasov (segunda
integral da equação 2.13) para o eixo no centro de gravidade, quando nessa teoria o
eixo é tomado no centro de torção.
31
Os termos de força cortante são diferentes dos de Vlasov (quinta integral da
equação 2.13) em ambas as situações. O termo em ϕz é a metade do de Vlasov.
Aparecem ainda termos adicionais em w referentes à projeção da força cortante na
direção z (em ambas as expressões), assim como termos que contemplam momentos
de torção adicionais referentes à excentricidade entre o centro de gravidade e o
centro de torção.
Os termos em Mx e My são iguais em ambas as expressões, embora não
coincidam com a terceira integral da equação (2.13).
É interessante observar que o momento de torção produz um efeito
geométrico, não presente na expressão (2.13).
b) Termo geométrico dos esforços externos
Impondo-se as hipóteses para a linearização e os vínculos de Vlasov e de
Bernoulli-Euler para os eixos passando pelo centro de torção, o termo geométrico
dos esforços externos pode ser escrito como:
( ) ( )[ ] [ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] −−−−−−+−−
−++−+−−
dzyeuxevfdzyefxefvu
dzfufvdzyefxef
CyCxz
L
zCyxCxy
L
xy
L
zCyyCxx
L
z
''
0
'
0
'
''
0
'
0
2
21
21
21
ϕ
ωωϕϕ
( ) ( )[ ]dzyefvxefuL
CyyCxx −+−−0
2'2'
21 (2.18)
onde os valores (ex - xC), (ey - yC) e ω são correspondentes ao ponto de aplicação do
esforço externo que está sendo considerado. Em geral, estas forças são aplicadas no
mesmo ponto.
32
O termo geométrico da expressão (2.13) - correspondente à última integral -
se resume ao primeiro termo da expressão (2.18).
Note-se que a expressão (2.18) se anula para forças passando pelo centro de
torção, já que ω = 0 ; (ex - xC)=0 ; (ey - yC)=0 neste ponto.
c) Termo constitutivo
A matriz de rigidez constitutiva D é obtida na Teoria Não-Linear associando-
se linearmente o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff com o tensor das
deformações de Green (material de Saint-Venant). Esta associação resulta em tensões
com termos de até quarta ordem nas deformações generalizadas.
Uma solução aproximada pode ser obtida tomando-se apenas os termos até
segunda ordem nas deformações generalizadas e desprezando-se os termos de
segunda ordem em G.
A matriz constitutiva é, então, a soma de uma parcela constante - que é a
usual na Teoria Linear - e outra linear nas deformações generalizadas.
Substituindo-se a matriz D no termo constitutivo da expressão (2.14),
impondo-se os vínculos de Bernoulli-Euler e de Vlasov no eixo da barra passando
pelo centro de torção, e utilizando-se as propriedades geométricas referidas ao centro
de gravidade, obtém-se o que segue:
a parcela constante de D resulta na primeira integral da expressão (2.13), a saber:
[ ] +−+++L
yxyxzzt dzuEIvuEIvEIEAwEIGI0
2"""2"2'0
2"2' 221 ϕϕ ω (2.19)
33
a parcela linear de D resulta não só na quarta integral da expressão (2.13) -
conhecida como “termo de Wagner” - como também num termo constitutivo não-
linear envolvendo o momento de torção uniforme:
[ ] ++−+ dzMrMrMrNrL
yxxyz0
0002
0
2' 2221
ωωϕ
( ) ( )[ ] +−+−−++ dzIyIxHvIyIxHuGIEML
xCxyCxxyCyCyzt
z
0
""' 22ϕ
[ ]dzIwHGIEML
zzt
z ++0
0'
0"'
ωϕϕ (2.20)
Usualmente, nos perfis de seção delgada, o momento de torção uniforme não
é um esforço solicitante significativo.
Finalmente, adicionando-se os termos correspondentes aos apoios elásticos, o
funcional da segunda variação da energia potencial total a ser utilizado para a análise
de Euler, obtido por meio da linearização proposta por Fruchtengarten, Julio
(1995), é dado por:
[ ] ++−+++= L
yxyxzzt dzuEIvuEIvEIEAwEIGIU0
2"""2"2'0
2"2'2 221 ϕϕδ ω
( ) ( )[ ] +−−−+++ dzvvxuuyvuNL
zzCzzC0
"''"''2'2'
21 ϕϕϕϕ
( ) ( )( )[ ] −+++−+−+L
yxcCyxz dzvVuVvyuxwuVvV0
''""'0
'' 221 ϕ
( ) ( ) ( )[ ] +−−−+−− dzvuvuTvvMuuML
zzyzzx0
"''""''"''
21 ϕϕϕϕ
34
[ ] ++−++ dzMrMrMrNrL
yxxyz0
0002
0
2' 2221
ωωϕ
( ) ( )[ ] +−+−−++ dzIyIxHvIyIxHuGIEML
xCxyCxxyCyCyzt
z
0
""' 22ϕ
[ ] +++ dzIwHGIEML
zzt
z
00
'0
"'ωϕϕ
( )[ ] ( )[ ] ++−++−−+ dzxxvyyuL
zzCHyzCHx0
222
21 ϕβϕβϕβ ϕ
( ) ( )[ ] +−+−+ dzyefxefvuL
cyxCxy0
''
21
( )[ ] dzxefvL
Cxzz −+0
'
21 ϕ ( )[ ] +−− dzyefu
L
Cyzz0
'
21 ϕ
( )[ ]dzyefvL
Cyy −+0
2'
21 ( )[ ] +−+ dzxefu
L
Cxx0
2'
21
( ) ( )[ ] −−+−+ dzyefxefL
CyyCxxz0
2
21 ϕ ( ) +
L
xyz dzfufv0
''' ωωϕ
(2.21)
Por simplicidade, omitiram-se os índices C e G na equação (2.21). Os
deslocamentos u e v ; os momentos de torção T e Mz ; e as propriedades geométricas
It , Iω , I0 , Hω , r0 e r0ω são tomados em relação ao centro de torção. Os deslocamentos
w0 ; as coordenadas do centro de torção xC e yC ; os momentos fletores Mx e My ; e as
propriedades geométricas Ix , Iy , Ixy , Hx , Hy , r0x e r0y são tomados em relação ao
centro de gravidade.
35
3 - APLICAÇÃO DA TEORIA DE VLASOV AOS CASOS
CLÁSSICOS DA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS
3.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS
A flambagem lateral de vigas tem sido muito pesquisada atualmente. Para
vigas com seção transversal bissimétrica, sob carregamentos usuais e com condições
de vínculo idealizadas, existem diversas publicações que apresentam expressões para
a determinação do momento crítico elástico. Por sua vez, as normas de projeto
apresentam expressões simplificadas que têm sido comumente empregadas para estes
casos.
Entretanto, para vigas com seção transversal monossimétrica ou ainda
assimétrica, e em especial para carregamentos e condições de vínculo não-usuais, o
problema é bastante complexo, não havendo um tratamento simplificado para estes
casos que se mostre adequado.
O momento crítico elástico de uma viga é função principalmente de suas
características físicas e geométricas, do carregamento e da vinculação.
Dentre as características geométricas, destacam-se a forma da seção
transversal da viga, a presença de enrijecedores, a existência de imperfeições iniciais
e de descontinuidades na seção transversal (furos na alma, mudanças de altura,
recortes na aba, etc.). Para as características físicas, destacam-se as propriedades do
material, e a magnitude e distribuição das tensões residuais.
Por sua vez, a variação do momento fletor ao longo do vão, resultado do
carregamento ao qual a viga está submetida (ou seja, a presença de cargas
distribuídas e concentradas ou de momentos aplicados), também afeta
significativamente o valor do momento crítico.
36
A situação mais desfavorável é aquela na qual o momento fletor é constante
ao longo do vão (Figura 9), na medida em que todas as seções transversais da viga
estão submetidas ao máximo valor de momento.
O momento crítico elástico para esta situação em vigas biapoiadas com
restrição à rotação nas extremidades (vínculo de garfo) é denominado “momento
crítico básico” crM 0 .
É usual apresentar o momento crítico elástico de uma viga qualquer como
sendo esse valor corrigido por coeficientes que levam em conta as condições de
carregamento e de vinculação, obtendo-se assim o “momento crítico” crM .
Figura 9 - Diagrama de Momento Fletor Uniforme
O carregamento atuante na viga pode ser classificado de acordo com a sua
posição em relação à seção transversal. Assim, como mostra a Figura 10, ele é
definido como “estabilizante” se seu ponto de aplicação situa-se abaixo do centro de
torção; ou “desestabilizante”, se o ponto de aplicação situa-se acima.
37
CARGA ESTABILIZANTE CARGA DESESTABILIZANTE
F
C
F
Cx
F
C
F
C
e
xe
M = F . ex M = F . ex
diminui o deslocamento lateral aumenta o deslocamento lateral
Mcr aumenta Mcr diminui
Figura 10 - Posição do Carregamento na Seção Transversal
O comprimento do trecho de viga sem contenção à flambagem lateral é
denominado “comprimento destravado”. Em análises simplificadas, costuma-se
considerar apenas o vão da viga entre contenções para a determinação do momento
crítico; no entanto, faz-se mister avaliar também o tipo de vínculo e sua posição na
seção transversal, tanto nos apoios quanto ao longo do vão. Adicionalmente, a
existência de continuidade com membros adjacentes da estrutura também altera o
valor do momento crítico.
O tipo de vínculo depende do grau de liberdade a ser restringido, sendo usual
conter a rotação ϕz e o deslocamento no plano perpendicular ao da flexão u, embora a
declividade correspondente u’ e o empenamento p também possam ser impedidos.
Diferentes restrições a estes graus de liberdade implicam diferentes valores
para o momento crítico. Neste sentido, o travamento deve possuir uma rigidez tal que
o grau de liberdade a ele associado possa ser considerado efetivamente restringido.
38
Tomando-se como exemplo as vinculações apresentadas a seguir, pode-se
observar na Figura 11.a que embora exista no meio do vão uma viga transversal à
viga principal, esta não pode ser considerada como contida lateralmente, ao contrário
do que ocorre na Figura 11.b.
(a) (b)
(c)
Figura 11 - Eficiência da Contenção Lateral de Vigas
É prática usual fazer os travamentos com barras de seção circular combinadas
com perfis, os quais são denominados, respectivamente, correntes e barras rígidas
(Figura 11.c), reduzindo o comprimento destravado das vigas.
Quando da presença de lajes, o sistema de travamento supracitado tem
efetividade apenas durante a fase construtiva. Nesta situação, note-se que o
comprimento definido para a flambagem lateral é aquele entre contenções.
39
A Figura 12 ilustra alguns tipos de vínculo em diversas posições da seção
transversal.
Nas Figuras 12.a e 12.b, o travamento restringe o topo da viga para
deslocamento e parcialmente para rotação, dependendo da forma de ligação à aba e
da rigidez à flexão da laje ou do perfil de travamento. Observe-se que em caso de
momento fletor negativo, pode ocorrer também instabilidade por distorção em função
dos valores assumidos pela relação altura/espessura da alma da viga.
Na Figura 12.c, a viga de travamento está ligada na posição do centro de
torção, de forma que se restringe o deslocamento mas pouco a rotação, já que a
ligação entre as vigas é do tipo articulação.
A Figura 12.d ilustra um sistema de travamento à rotação das vigas sem
restrição ao deslocamento lateral de ambas.
O travamento apresentado na Figura 12.e restringe tanto deslocamento
quanto rotação, graças à vinculação a uma viga de grande rigidez.
A Figura 12.f apresenta um sistema de contenção lateral onde se vincula a
aba superior da viga a uma treliça horizontal, garantindo assim restrição desta aba ao
deslocamento mas não à rotação.
Na Figura 12.g encontra-se um exemplo de vinculação ao empenamento pela
adição de chapas de aço paralelas à alma e soldadas às abas da viga, constituindo-se
neste trecho uma seção do tipo caixão.
(a) (b) (c)
40
(d) (e) (f)
(g)
Figura 12 - Contenções Usuais à Flambagem Lateral
Destaca-se ainda que, neste trabalho, a vinculação ao empenamento e a
vinculação para flexão das abas no plano ortogonal ao da flexão não estão
associadas, o que é pouco usual em projeto.
Assim, para cada caso de carregamento, analisam-se quatro casos de
vinculação nas extremidades da viga, que são independentes do tipo de vinculação no
plano da flexão, apresentados aqui pela seguinte notação:
41
Condição de Vínculo Tipo I: sem restrições ao empenamento e à rotação no
plano perpendicular ao da flexão.
Figura 13 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo I
Condição de Vínculo Tipo II: restrição ao empenamento e sem restrição à
rotação no plano perpendicular ao da flexão.
Figura 14 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo II
42
Condição de Vínculo Tipo III: restrição à rotação no plano perpendicular ao da
flexão e sem restrição ao empenamento.
Figura 15 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo III
Condição de Vínculo Tipo IV: restrições ao empenamento e à rotação no plano
perpendicular ao da flexão.
Figura 16 - Modelo Simplificado - Vinculação Tipo IV
As condições de vínculo que consideram engastamento para empenamento
e/ou para flexão em torno do eixo de menor inércia são tratadas com menos
freqüência na literatura, pois nem sempre são de fácil realização na prática. Pode-se
tomar como exemplo a ligação entre viga e pilar da Figura 17, ambos com seção
transversal tipo I.
43
Figura 17 - Ligação Viga-Pilar
Nota-se que qualquer restrição à rotação da viga em torno do eixo de menor
inércia ou restrição ao empenamento das abas leva à introdução de momentos de
torção no pilar. Exemplos de vinculação do pilar à rotação e introdução de reforços
localizados para aumentar sua rigidez à torção encontram-se, respectivamente, nas
Figuras 18.a e 18.b.
(a) (b)
Figura 18 - Vinculação e Reforços no Pilar
44
Alternativamente, quando se pretende restringir apenas o empenamento,
pode-se optar pelo acréscimo de enrijecedores na viga, aumentando sua rigidez à
torção junto à ligação e restringindo deslocamentos longitudinais diferenciais das
abas, conforme mostra a Figura 19.
Figura 19 - Vinculação na Viga
Destaca-se, por fim, que a carga crítica em regime elástico-linear - cuja
obtenção para diversos casos de vinculação e carregamento é o objetivo principal
deste trabalho - não corresponde, em geral, à carga de colapso das estruturas, quer
devido à presença de imperfeições geométricas ou comportamento não-linear do
material, quer devido à resistência pós-crítica. Entretanto, esse parâmetro tem sido
empregado até hoje como um valor de referência, em relação ao qual a carga de
colapso é estimada.
Por sua vez, a reserva pós-crítica para a flambagem lateral é baixa, e os
deslocamentos no campo pós-crítico são incompatíveis com a utilização normal de
uma estrutura, justificando a não-consideração dessa reserva em projeto.
Já o comportamento não-linear do material, bem como a magnitude e a
distribuição das tensões residuais, são geralmente considerados por meio de
expressões semi-empíricas que corrigem o valor do momento crítico elástico.
45
3.2 - DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO ELÁSTICO
O momento crítico elástico é obtido neste item por meio de dois caminhos
distintos: primeiro pelas equações diferenciais de equilíbrio e, em seguida, a partir da
expressão da energia potencial total da Teoria de Vlasov.
Considerando-se apenas barras submetidas à flexão, ou seja, N = 0 e Mω = 0;
tomando-se por simplicidade os eixos x e y como principais, ou seja, Ixy = 0; e
admitindo-se a inexistência de apoios elásticos, as expressões (2.10) e (2.13) se
resumem a:
( ) 0" =+ zxIV
y MuIE ϕ (3.1.a)
( ) 0" =+ zyIV
x MvIE ϕ (3.1.b)
[ ] +−+−++ "00
'''' 22 zyxxytyxIV
z MrMrGIvMuMIE ϕϕω
( ) ( )[ ] 0=−+−+ zCyyCxx yefxef ϕ (3.1.c)
( )[ ]( ) ( )[ ] +−++−+
+−++++=
L
zyxzyx
L
zyxxytzxy
dzuVvVvMuM
dzMrMrIGIEvIEuIEU
0
´´´´´
0
2'00
2''2''2'' 2221
ϕϕ
ϕϕω
( ) ( )[ ] −+−+L
zCyyCxx dzyefxef0
2
21 ϕ (3.2)
46
3.2.1 - Momento Crítico Básico
O momento crítico básico é aqui obtido por meio das equações diferenciais de
equilíbrio, impondo-se nas equações (3.1) o que segue:
barra biapoiada sem apoios elásticos
u , v , ϕ z = 0 para z = 0 , L
u” , v” , ϕ z” = 0 para z = 0 , L
flexão pura
fx = fy = 0
Assumem-se para os deslocamentos u e v e para a rotação ϕ z funções
senoidais que satisfazem as condições de contorno supracitadas, a saber:
Lzn
Auπ
sen=
Lzn
Bvπ
sen=
Lzn
Cz
πϕ sen=
47
Substituindo u , v e ϕ z nas equações de equilíbrio (3.1) e definindo-se
Lnπχ = , tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
=−+++−−
=−
=−
022
0
0
002
2
2
CMrMrIGIEBMAM
CMBIE
CMAIE
yyxytyx
yx
xy
χ
χ
χ
ω
Existem duas soluções para o sistema de equações homogêneas nas variáveis
A, B e C: a solução trivial (A = B = C = 0), que corresponde à configuração
indeformada da viga; e a solução obtida impondo-se que o determinante dos
coeficientes de (A, B, C) é nulo.
Sendo as forças normais críticas expressas por:
( )2
22
nL
EIEIN y
yyE
πχ −=−= (3.3.a)
( )2
22
nL
EIEIN x
xxE
πχ −=−= (3.3.b)
20
2
rGIEI
N t+−= χωω (3.3.c)
48
chega-se a:
022
00
002
0
=−+−−
−−
yxxyyx
yxE
xyE
MrMrNrMMMN
MN
ω
(3.4)
onde NxE e NyE são as forças normais críticas para a flambagem por flexão nas
direções x e y, já conhecidas da Teoria Clássica de Flambagem; e Nω é a força normal
crítica para a flambagem por torção.
Resolvendo a equação (3.4), obtém-se a expressão geral do momento crítico
básico, simplificada a seguir para as seções transversais indicadas na Figura 20.
(c) ponto-simétrica(a) 1 eixo de simetria (b) 2 eixos de simetria
Figura 20 - Seções Transversais - Momento Crítico Básico
a) Barras com um eixo de simetria - eixo y (xc = r0x = 0)
Se o momento fletor atua no plano de simetria yz (My=0), o momento crítico
básico é dado por:
49
+±=
yEyyyEcrx N
NrrrNM ω2
02
000 (3.5)
Para momento fletor no plano normal ao plano de simetria (Mx=0), tem-se:
ωNNrM xEcry 00 = (3.6)
b) Barras com dois eixos de simetria (C ≡ G ; xc = r0x = yc = r0y = 0)
Para My = 0, tem-se:
=
+==
2
2
2
2
00 L
EIGI
L
EINNrM t
yyEcr
ωω
ππ
t
ty GIEI
LGIEI
Lωππ
2
2
1+= (3.7)
c) Barras ponto-simétricas (rox = roy = 0)
ωNNrM yEx cr
200 = (3.8)
ωNNrM xEy cr
200 = (3.9)
50
3.2.2 - Momento Crítico - Expressão Aproximada
Para a flambagem lateral de vigas com vínculo de garfo nas extremidades e
sob quaisquer condições de carregamento, um valor aproximado do momento crítico
elástico pode ser obtido por meio da expressão da energia potencial total - equação
(3.2).
Este procedimento apresenta em geral boa precisão desde que se assumam
funções adequadas para os deslocamentos e para a rotação da viga. Problemas mais
complexos devem ser tratados por meio de Teorias Não-Lineares Geometricamente
Exatas de barras, quando fenômenos locais não são condicionantes, ou por meio de
Teorias de Cascas, quando o são.
A solução numérica desses problemas é geralmente obtida com o auxílio do
Método dos Elementos Finitos. Para o caso de teoria de barras, utiliza-se neste
trabalho o programa PEFSYS para a resolução da flambagem lateral de vigas de aço
sob diversos casos de carregamento e de vinculação.
Tomando-se por simplicidade My=0, e portanto fx=0, e notando-se que a
solução da equação de equilíbrio (3.1.b) está desacoplada e portanto não há
contribuição do termo em Ix na expressão da energia potencial total, a expressão (3.2)
passa a ser:
( ) ( )[ ] ++−+++=L
zyzxzxytzy dzuVMMrIGIEuIEU0
''2'0
2''2'' 2221 ϕϕϕϕω
( )[ ] −+L
zCyy dzyef0
2
21 ϕ (3.10)
Integrando-se duas vezes a equação (3.1.a), tem-se:
51
( ) 0" =+ zxIV
y MuIE ϕ
( ) _
0
`´´´xzxy VMuIE −=+ ϕ
_
0
_
0´´
yxzxy MzVMuIE −−=+ ϕ (3.11)
Em vigas biapoiadas com vínculo de garfo, 0" =u e 0=zϕ nas
extremidades (ou seja, em z=0 e z=L). Assim, substituindo-se na equação (3.11),
obtém-se 0_
0 =yM e 0_
0 =xV , conduzindo a:
zxy MuIE ϕ−=´´ (3.12)
A expressão acima é comumente utilizada na literatura técnica na dedução da
expressão geral do momento crítico para quaisquer condições de vínculo. Desta
forma, obtém-se apenas uma solução aproximada nos casos onde ela não é válida
(por exemplo, vigas em balanço).
Pode-se ainda escrever o termo geométrico dos esforços internos da
expressão (3.10), com o auxílio da expressão (3.12) e notando-se que 'xy MV = ,
como:
( ) ( ) ( ) =−−=−=+− L
y
L
zx
L
zxzx dzuIEudzuMdzuMM0
''"
0
''
0
''' ϕϕϕ
[ ] −=+=L
y
L
y
L
y dzuIEuuIEdzuuIE0
2''0
'''
0
''''
O termo [ ]L
y uuIE 0''' constitui uma nova condição de contorno para o
problema, satisfeita nos casos onde em cada extremidade da viga 0´ =u (engaste) ou
52
0" =u (apoio simples), resultando [ ] 00''' =L
y uuIE . Tal imposição de vínculo nas
extremidades da viga é ilustrada nos exemplos da Figura 21.
Figura 21 - Exemplos de Vinculação - Condições de Contorno nas Extremidades
Tomando-se ainda "xy Mf −= , a expressão da energia potencial total
resume-se a:
( ) ( )
−−+++−=
L
zCyxzxytzy
zx dzyeMMrIGIEIE
MU
0
2"2'0
2''22
221 ϕϕϕ
ϕω
(3.13)
Para este caso, verifica-se que a expressão da energia potencial total pode ser
escrita apenas em função da rotação ϕz .
53
Procurando-se obter uma solução genérica para qualquer condição de
carregamento, o momento fletor da viga é agora expresso por meio da seguinte
relação:
Mx = Mmax m(z)
onde:
→ Mmax é o máximo momento fletor ao longo do vão.
→ m(z) é uma função que dá a forma do diagrama de momento fletor da viga.
Impondo-se U = 0 na equação (3.13), chega-se finalmente a:
( ) ( ) +
−−+
− 0
0
2"
0
2'0
20
0
2
2 MdzmyedzmrMdzIE
m L
zCy
L
zy
L
y
z ϕϕϕ
00 0
2'2" =
++
L L
ztz dzIGdzIE ϕϕω
Tem-se, desta forma, uma equação do segundo grau em Mo , que pode ser
resolvida tomando-se funções aproximadas para m (z) e ϕz (z), e considerando-se a
mudança de variáveis Z = Lz , de tal forma que:
LdZd
zz 'ϕϕ
=
2"
2
2
LdZ
dz
z ϕϕ=
54
2"2
2
LmdZ
md =
Obtém-se assim, de acordo com o procedimento proposto por Clark; Hill
(1960) apud Silva (1992), a expressão do momento crítico Mcr , válida para qualquer
condição de carregamento, a saber:
( )( )[ ]
( )( )[ ]
+++−+
++−−=
22
0322
2
1
0322
2
1
1π
π
π
ω
ω kLIEIG
II
rCyeCkL
IEC
rCyeCkL
IECM
t
yyCy
y
yCyy
cr
(3.14)
Definem-se, enfim, os seguintes coeficientes:
→ C1: coeficiente associado ao diagrama de momentos fletores, conhecido como
“fator de momento equivalente”.
=
dZdZ
ddZm
dZdZd
C
zz
z
21
02
21
0
22
21
01
ϕϕ
ϕ
(3.15)
55
→ C2: coeficiente associado ao ponto de aplicação do carregamento.
−=
dZdZ
ddZm
dZdZ
md
C
zz
z
21
02
21
0
22
21
02
2
2 21
ϕϕ
ϕ (3.16)
→ C3: coeficiente associado à monossimetria da seção.
−=
dZdZ
ddZm
dZdZd
m
C
zz
z
21
02
21
0
22
21
03
ϕϕ
ϕ
(3.17)
→ k: coeficiente que pode ser associado ao tipo de vinculação.
dZdZd
dZdZd
k21
02
2
21
022
=ϕ
ϕ
π (3.18)
Note-se que a dedução da expressão (3.14) foi feita para vínculo de garfo nas
extremidades e em nenhum momento fora introduzida outra vinculação. No entanto,
como será visto nos itens 3.3.3 e 4.1, o coeficiente k é normalmente associado ao tipo
de vinculação, embora não seja possível distinguir aqui vinculações ao empenamento
ou à rotação no plano ortogonal ao de flexão. Observe-se, ainda, que os coeficientes
supracitados não estão associados entre si.
56
3.3 - TRATAMENTO NORMATIZADO
As normas têm por finalidade padronizar e simplificar o trabalho do
engenheiro na elaboração de um projeto e, para atingir tal objetivo, a normatização é
feita apenas para os casos particulares mais freqüentes. Deste modo, as limitações
existentes no uso do formulário contido nas normas nem sempre estão claramente
expressas, cabendo ao engenheiro conhecê-las.
Procura-se, a seguir, apresentar as recomendações para a determinação do
momento crítico elástico pelas normas brasileira e americana, e pelo regulamento
europeu.
3.3.1 - prAISC-LRFD:2003
O momento crítico elástico para vigas com seção duplamente simétrica pode
ser obtido por meio da seguinte expressão:
2
+=LE
IIIGIEL
CM ytybcr
ππω =
+=t
ytb IGIE
LEIIG
LC ωππ 2
1
crb MC 0= (3.19)
Nota-se que a expressão da norma americana contém apenas um coeficiente
(Cb), diferente do que é apresentado na expressão (3.14). Define-se, ainda:
CBAb MMMM
MC
3435,25,12
max
max
+++= (3.20)
57
onde:
Mmax , MA , MB e MC são, respectivamente, os valores em módulo do momento
fletor máximo no trecho considerado, e a um quarto, metade e três quartos do vão,
como mostra a Figura 22.
Figura 22 - Momentos Fletores de Referência - prAISC-LRFD:2003
Essa equação provém de uma sutil alteração de uma proposta de Kirby e
Nethercot (1979), a saber:
CBAb MMMM
MC
343212
max
max
+++=
Nas recomendações da norma americana, não há referências sobre a
influência da posição do carregamento na determinação do momento crítico, ou seja,
o efeito desfavorável da presença de cargas aplicadas acima do centro de torção, ou o
efeito favorável da aplicação de cargas abaixo deste.
Não há referências também às condições de vínculo nas extremidades,
supondo-se que a aplicação das expressões (3.19) e (3.20) a outras condições (que
não vínculo de garfo) está a favor da segurança. Nesse sentido, de acordo com as
hipóteses de utilização da norma americana, Cb corresponde ao coeficiente C1
apresentado na expressão (3.14).
58
No que se refere às vigas em balanço, o AISC recomenda usar o valor 1,0
para o coeficiente Cb.
3.3.2 - NBR8800:1986
O dimensionamento proposto pela norma brasileira segue as recomendações
da edição de 1986 do AISC.
Para o caso particular de uma viga com seção transversal bissimétrica do tipo
I, o momento crítico é o da expressão (3.19) e o coeficiente Cb é definido apenas para
variação linear entre pontos travados, como segue:
3,23,005,175,12
2
1
2
1 ≤
+
+=
MM
MM
Cb (3.21)
onde:
M1 ≤ M2 correspondem aos momentos fletores nas extremidades de um trecho
não-contido lateralmente. A razão ψ = M1 / M2 é positiva quando a barra está sujeita
à curvatura reversa, e negativa para curvatura simples.
Essa expressão para a determinação do coeficiente Cb pressupõe que o
diagrama de momentos fletores se aproxime de uma linha reta entre M1 e M2 . Caso
isto não se verifique, os valores obtidos para o coeficiente Cb não se aplicam, já que
em alguns casos podem estar contra a segurança.
A NBR8800:1986 recomenda o uso de 00,1=bC para os seguintes casos:
quando o momento fletor em alguma seção intermediária for superior, em valor
absoluto, a M1 e M2; para vigas em balanço; e para vigas com diagrama de momentos
59
fletores não-linear entre pontos travados. Conservadoramente, pode-se admitir
00,1=bC para qualquer situação, embora em situação antieconômica.
Por sua vez, para diagrama linear de momento fletor, a Figura 23 mostra a
diferença entre os valores do coeficiente Cb obtidos pelas recomendações das normas
brasileira NBR8800:1986 e americana prAISC-LRFD:2003.
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
-1-0,75-0,5-0,2500,250,50,751
M 1 /M 2
C b
Norma Brasileira NBR:1986 Norma Americana AISC:2003
Figura 23 - Coeficiente Cb - Diagrama Linear de Momentos Fletores
3.3.3 - prEN1993-1-1:2002 Stage 54
Apresentam-se agora as recomendações da versão preliminar do regulamento
europeu do ano de 2002 para a obtenção do momento crítico em regime elástico,
complementadas com algumas simplificações e particularizações visando sua
aplicação nos casos analisados nos capítulos 4 e 5 deste trabalho.
60
O valor do momento crítico para vigas simétricas em relação ao eixo de
menor inércia e submetidas à flexão em torno do eixo de maior inércia é dado por
meio de:
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
+−++
+
++−−=
20322
22
2
2
1
0322
2
1
yCyy
ty
y
y
y
y
yCy
y
ycr
rCyeCIE
IGLk
II
k
k
Lk
EIC
rCyeCLk
EICM
ππ
π
ω
ω
(3.22)
onde:
C1 , C2 e C3 são, respectivamente, os coeficientes associados à forma do
diagrama de momento fletor, à posição da carga e à assimetria da seção transversal,
apresentados sob forma de tabelas.
ky e kω são os coeficientes associados aos comprimentos efetivos,
respectivamente, para flexão em torno do eixo de menor inércia e para
empenamento, variando de 0,5 (para ambas as extremidades engastadas ou com
empenamento restringido) a 1,0 (para ambas as extremidades apoiadas ou com
empenamento livre). Note-se que o coeficiente kω não aparece na expressão (3.14).
Destaca-se que os coeficientes C1 , C2 e C3 possuem valores diferentes
daqueles apresentados nas expressões (3.15) a (3.17), já que no regulamento europeu
é considerada a restrição ao empenamento (por meio do coeficiente kω) como um
parâmetro independente da restrição à flexão no eixo de menor inércia. Note-se
também que os coeficientes C1 , C2 e C3 não são mais independentes de ky, ao
contrário do que ocorre na expressão (3.14).
61
Não há nenhuma indicação para os coeficientes supracitados no caso de vigas
em balanço.
Sugere-se na norma prEN1993-1-1:2002 adotar, a favor da segurança, kω =
1,0 nos casos onde a restrição ao empenamento não está claramente definida.
Apresentam-se, a seguir, os valores dos coeficientes C1, C2 e C3 para alguns
casos usuais de vinculação e de carregamento.
Observa-se na Figura 24 que para os casos de momento fletor aplicado nas
extremidades, não se define o coeficiente C2 , já que não há forças transversais
aplicadas ao longo do vão.
Figura 24 - Tabela - Vigas Biapoiadas sob Gradiente de Momento Fletor - C1 e
C3 - prEN1993-1-1:2002
62
O coeficiente fψ que consta na tabela é definido por:
tfcf
cff II
I
,,
,
+=ψ (3.23)
onde:
If,c é o momento de inércia da aba comprimida da viga em relação ao eixo de
menor inércia da seção.
If,t é o momento de inércia da aba tracionada da viga em relação ao eixo de menor
inércia da seção.
Em perfis bissimétricos, nos casos onde ky = 1,0 e para qualquer razão entre
momentos de extremidade aplicados em vigas sem carga transversal, o valor de C1
pode ser obtido por meio de:
60,227,004,177,1 21 ≤++= ψψC (3.24)
sendo ψ a razão entre o menor e o maior momento fletor nas extremidades do trecho
destravado. O coeficiente C1 supracitado é muito semelhante ao Cb apresentado na
expressão (3.21), adotado pela NBR8800:1986.
Por sua vez, quando existe carregamento transversal aplicado ao longo do
vão, o regulamento europeu apresenta os valores contidos na tabela da Figura 25.
63
Figura 25 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2, C3 - prEN1993-1-1:2002
Para vigas bissimétricas, a expressão do momento crítico para regime
elástico simplifica-se para:
( )( ) ( )[ ] ( )
−−−++
= CyCy
y
ty
y
y
y
ycr yeCyeC
IE
IGLk
II
k
k
Lk
EICM 2
222
22
2
2
1 ππ ω
ω
(3.25)
No caso particular de vigas bissimétricas com cargas aplicadas no centro de
torção, resulta, re-arranjando os termos:
tyt
ycr IG
IELk
EIIGLk
CM ω
ω
ππ2
1 1
+
= (3.26)
3.3.4 - prEN1999-1-1:2004 Stage 54
As recomendações da versão preliminar de 2004 do regulamento europeu
para o dimensionamento de estruturas de alumínio, cujos resultados relativos à
64
flambagem lateral podem ser estendidos às vigas de aço, destacam-se pela definição
de novas expressões e novos valores para os coeficientes supracitados.
No caso de vigas com seção transversal simétrica em relação ao eixo de
menor inércia e sob flexão em torno do eixo de maior inércia, o momento crítico
elástico para a flambagem lateral é agora obtido por meio de:
L
GIEIM
ty
crcr
πη=
onde:
[ ])()(1 j3g22
j3g22
ty
1cr ζζζζκη ω CCCC
kC
−−−++= (3.27)
resultando em:
[ ])()(1 j3g22
j3g22
ty
ty1cr ζζζζκ
πω CCCC
Lk
GIEICM −−−++= (3.28)
São definidos os seguintes parâmetros auxiliares:
tt GI
EILk
ω
ωω
πκ = ; t
0t GIEI
Lω
ωπκ = (3.29)
( )t
yg GI
EI
Lk
ye
y
Cy −=
πζ ;
( )t
y0g GI
EI
L
ye Cy −=
πζ (3.30)
t
y0j GI
EI
Lk
r
y
yπζ −= ;
t
y00j GI
EI
L
r yπζ −= (3.31)
65
( ) 1,1t0,11,10,11 CCCCC ≤−+= ωκ (3.32)
o que implica:
0,11 CC = para 0t =ωκ ,
1,11 CC = para 1t ≥ωκ
Para os casos usuais de carregamento e vinculação, os coeficientes C1, C2 e
C3 podem ser obtidos por meio das tabelas das Figuras 26 a 28.
Acrescente-se ainda que a expressão (3.28) corresponde à expressão (3.25) do
prEN1993-1-1:2002, embora ela esteja agora apresentada sob uma forma diferente.
Por sua vez, para vigas biapoiadas com kx = 1,0 , ky = 1,0 , e 0,5 kω 1,0 (a
favor da segurança) ou para segmentos restringidos lateralmente em ambas
extremidades, sugere-se o uso da expressão (3.33), válida para qualquer
carregamento, para a obtenção de um valor aproximado do coeficiente C1, a saber:
5,27,1
222
max1 ≤
++=
CBA MMM
MC (3.33)
Em particular, nos casos onde ky = 1,0 e para qualquer razão entre momentos
de extremidade aplicados em vigas sem carga transversal ao longo do vão, o valor de
C1 em perfis bissimétricos pode ser obtido por meio de:
( ) 5,021 262,0428,0310,0
−++= ψψC (3.34)
66
Valores dos Coeficientes C1 e C3 C1 C3
Momentos de
Extremidade
ky
0,1C 1,1C
1f −=ψ
09,0 f ≤≤− ψ
9,00 f ≤≤ψ
1f =ψ
1,0 1,000 1,000 1,000
0,7E 1,016 1,100 1,025 1,000 0,7D 1,016 1,100 1,025 1,000 ψ = -1,00 0,5 1,000 1,127 1,019 1,0 1,139 1,141 1,000
0,7E 1,210 1,313 1,050 1,000 0,7D 1,109 1,201 1,000 ψ = -0,75 0,5 1,139 1,285 1,017 1,0 1,312 1,320 1,150 1,000
0,7E 1,480 1,616 1,160 1,000 0,7D 1,213 1,317 1,000 ψ = -0,50 0,5 1,310 1,482 1,150 1,000 1,0 1,522 1,551 1,290 1,000
0,7E 1,853 2,059 1,600 1,260 1,000 0,7D 1,329 1,467 1,000 ψ = -0,25 0,5 1,516 1,730 1,350 1,000 1,0 1,770 1,847 1,470 1,000
0,7E 2,331 2,683 2,000 1,420 1,000 0,7D 1,453 1,592 1,000 ψ = 0 0,5 1,753 2,027 1,500 1,000 1,0 2,047 2,207 1,65 1,000 0,850
0,7E 2,827 3,322 2,40 1,550 0,850 -0,30 0,7D 1,582 1,748 1,38 0,850 0,700 0,20 ψ = +0,25 0,5 2,004 2,341 1,75 1,000 0,650 -0,25
1,0 2,331 2,591 1,85 1,000 f2,13,1 ψ− -0,70
0,7E 3,078 3,399 2,70 1,450 f2,11 ψ− -1,15
0,7D 1,711 1,897 1,45 0,780 f75,09,0 ψ− -0,53 ψ = +0,50
0,5 2,230 2,579 2,00 0,950 f75,0 ψ− -0,85
1,0 2,547 2,852 2,00 1,000 f55,0 ψ− -1,45
0,7E 2,592 2,770 2,00 0,850 f9,023,0 ψ− -1,55
0,7D 1,829 2,027 1,55 0,700 f68,0 ψ− -1,07 ψ = +0,75
0,5 2,352 2,606 2,00 0,850 f35,0 ψ− -1,45
1,0 2,555 2,733 2,00 fψ− -2,00
0,7E 1,921 2,103 1,55 0,380 -0,580 -1,55 0,7D 1,921 2,103 1,55 0,580 -0,380 -1,55 ψ = +1,00
0,5 2,223 2,390 1,88 f7,0125,0 ψ− f7,0125,0 ψ−− -1,88
Figura 26 - Tabela - Gradiente de Momento Fletor - C1, C3 - prEN1999-1-1:2004
67
Valores de k Valores dos Coeficientes C1 e C2
1C 2C Carga e
Vinculação xk yk ωk 0,1C 1,1C
1f −=ψ
9,09,0 f ≤≤− ψ
1f =ψ
1 1 1 1,127 1,132 0,33 0,459 0,50
1 1 0,5 1,128 1,231 0,33 0,391 0,50
1 0,5 1 0,947 0,997 0,25 0,407 0,40
q
Mcr
L
1 0,5 0,5 0,947 0,970 0,25 0,310 0,40
1 1 1 1,348 1,363 0,52 0,553 0,42
1 1 0,5 1,349 1,452 0,52 0,580 0,42
1 0,5 1 1,030 1,087 0,40 0,449 0,42
F
Mcr
L/2 L/2
1 0,5 0,5 1,031 1,067 0,40 0,437 0,42
1 1 1 1,038 1,040 0,33 0,431 0,39
1 1 0,5 1,039 1,148 0,33 0,292 0,39
1 0,5 1 0,922 0,960 0,28 0,404 0,30
F
Mcr
L/4 L/4
F
1 0,5 0,5 0,922 0,945 0,28 0,237 0,30
1f −=ψ 5,05,0 f ≤≤− ψ 1f =ψ
0,5 1 1 2,576 2,608 1,00 1,562 0,15
0,5 0,5 1 1,490 1,515 0,56 0,900 0,08
q
Mcr
L
0,5 0,5 0,5 1,494 1,746 0,56 0,825 0,08
0,5 1 1 1,683 1,726 1,20 1,388 0,07
0,5 0,5 1 0,936 0,955 0,69 0,763 0,03
F
Mcr
L/2 L/2
0,5 0,5 0,5 0,937 1,057 0,69 0,843 0,03
Figura 27 - Tabela para Casos Usuais - C1, C2 - prEN1999-1-1:2004
68
Valores de k Valores do Coeficiente C3 Carga e
Vinculação kx
ky
kω
1f −=ψ
9,09,0 f ≤≤− ψ
1f =ψ
1 1 1 0,93 0,525 0,38
1 1 0,5 0,93 0,806 0,38
1 0,5 1 0,84 0,478 0,44
q
Mcr
L
1 0,5 0,5 0,84 0,674 0,44
1 1 1 1,00 0,411 0,31
1 1 0,5 1,00 0,666 0,31
1 0,5 1 0,80 0,338 0,31
F
Mcr
L/2 L/2
1 0,5 0,5 0,80 0,516 0,31
1 1 1 0,93 0,562 0,39
1 1 0,5 0,93 0,878 0,39
1 0,5 1 0,88 0,539 0,50
F
Mcr
L/4 L/4
F
1 0,5 0,5 0,88 0,772 0,50
1f −=ψ 5,05,0 f ≤≤− ψ 1f =ψ
0,5 1 1 1,00 -0,859 -1,99
0,5 0,5 1 0,61 -0,516 -1,20
q
Mcr
L
0,5 0,5 0,5 0,61 0,002712 -1,20
0,5 1 1 1,15 -0,716 -1,35
0,5 0,5 1 0,64 -0,406 -0,76
F
Mcr
L/2 L/2
0,5 0,5 0,5 0,64 -0,0679 -0,76
Figura 28 - Tabela para Casos Usuais - C3 - prEN1999-1-1:2004
69
Para o caso de vigas em balanço com carga aplicada na extremidade livre ou
com carga uniformemente distribuída ao longo do vão, utilizam-se os valores do
parâmetro ηcr contidos nas tabelas das Figuras 29 e 30 ou as expressões
aproximadas subseqüentes para a determinação dos coeficientes C1, C2 e C3.
(C)(T)(C)
(T)
0jjyk ςς = (C)(T)(C)
(T)
Carga e
Vinculação
tk ωωκ
0tωκ=
gyk ς
0gς= 4 2 1 0 -1 -2 -4
-4 0.107 0.156 0.194 0.245 0.316 0.416 0.759
-2 0.123 0.211 0.302 0.463 0.759 1.312 4.024
0 0.128 0.254 0.478 1.280 1.589 2.795 5.365
2 0.129 0.258 0.508 1.619 3.894 6.500 11.860
0
4 0.129 0.258 0.511 1.686 4.055 6.740 12.240
-4 0.151 0.202 0.240 0.293 0.367 0.475 0.899
-2 0.195 0.297 0.393 0.560 0.876 1.528 5.360
0 0.261 0.495 0.844 1.815 3.766 6.170 11.295
2 0.329 0.674 1.174 2.423 4.642 7.235 12.595
0.5
4 0.364 0.723 1.235 2.529 4.843 7.540 13.100
-4 0.198 0.257 0.301 0.360 0.445 0.573 1.123
-2 0.268 0.391 0.502 0.691 1.052 1.838 6.345
0 0.401 0.750 1.243 2.431 4.456 6.840 11.920
2 0.629 1.326 2.115 3.529 5.635 8.115 13.365
1
4 0.777 1.474 2.264 3.719 5.915 8.505 13.960
-4 0.335 0.428 0.496 0.588 0.719 0.916 1.795
-2 0.461 0.657 0.829 1.111 1.630 2.698 7.815
0 0.725 1.321 2.079 3.611 5.845 8.270 13.285
2 1.398 3.003 4.258 5.865 7.845 10.100 15.040
2
4 2.119 3.584 4.760 6.360 8.385 10.715 15.825
-4 0.845 1.069 1.230 1.443 1.739 2.168 3.866
-2 1.159 1.614 1.992 2.569 3.498 5.035 10.345
0 1.801 3.019 4.231 6.100 8.495 11.060 16.165
2 3.375 6.225 8.035 9.950 11.975 14.110 18.680
F
Mcr
L
4
4 5.530 8.130 9.660 11.375 13.375 15.365 19.925
Figura 29 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Concentrada - Valores de
ηηηηcr (kx = ky = kωωωω = 2) - prEN1999-1-1:2004
70
(C)(T)(C)
(T)
0jjyk ςς =
(C)(T)(C)
(T)
Carga e
Vinculação
tk ωωκ
0tωκ=
0g
gyk
ςς
=
4 2 1 0 -1 -2 -4
-4 0.113 0.173 0.225 0.304 0.431 0.643 1.718
-2 0.126 0.225 0.340 0.583 1.165 2.718 13.270
0 0.132 0.263 0.516 2.054 6.945 12.925 25.320
2 0.134 0.268 0.537 3.463 10.490 17.260 30.365
0
4 0.134 0.270 0.541 4.273 12.715 20.135 34.005
-4 0.213 0.290 0.352 0.443 0.586 0.823 2.046
-2 0.273 0.421 0.570 0.854 1.505 3.229 14.365
0 0.371 0.718 1.287 3.332 8.210 14.125 26.440
2 0.518 1.217 2.418 6.010 12.165 18.685 31.610
0.5
4 0.654 1.494 2.950 7.460 14.570 21.675 35.320
-4 0.336 0.441 0.522 0.636 0.806 1.080 2.483
-2 0.449 0.663 0.865 1.224 1.977 3.873 15.575
0 0.664 1.263 2.172 4.627 9.715 15.530 27.735
2 1.109 2.731 4.810 8.695 14.250 20.425 33.075
1
4 1.623 3.558 6.025 10.635 16.880 23.555 36.875
-4 0.646 0.829 0.965 1.152 1.421 1.839 3.865
-2 0.885 1.268 1.611 2.185 3.282 5.700 18.040
0 1.383 2.550 4.103 7.505 12.770 18.570 30.570
2 2.724 6.460 9.620 13.735 18.755 24.365 36.365
2
4 4.678 8.635 11.960 15.445 21.880 27.850 40.400
-4 1.710 2.168 2.500 2.944 3.565 4.478 8.260
-2 2.344 3.279 4.066 5.285 7.295 10.745 23.150
0 3.651 6.210 8.845 13.070 18.630 24.625 36.645
2 7.010 13.555 17.850 22.460 27.375 32.575 43.690
q
Mcr
L
4
4 12.27 18.705 22.590 26.980 31.840 37.090 48.390
Figura 30 - Tabela para Viga em Balanço com Carga Uniformemente
Distribuída - Valores de ηηηηcr (kx = ky = kωωωω = 2) - prEN1999-1-1:2004
a) Vigas em balanço com carga concentrada na extremidade livre
para ( ) 0=− Cy ye , 00 =yr e 80 ≤tωκ , tem-se:
200 017,014,127,1 ttcr ωω κκη ++=
71
para 00 =yr , 44 ≤≤− gς e 4≤tωκ , crη pode ser obtido considerando-se:
32
1 5,062,2675,456,2 tttC ωωω κκκ +−+= , se 2≤tωκ
55,51 =C , se 2>tωκ
432
2 024,0245,0931,0566,1255,1 ttttC ωωωω κκκκ −+−+= , se 0≤gς
gttttC ςκκκκ ωωωω )013,0102,0032,0(054,0585,0192,0 222 −+−−+= , se 0>gς
b) Vigas em balanço com carga uniformemente distribuída ao longo do vão
para ( ) 0=− Cy ye , 0=ay e 80 ≤tωκ , tem-se:
2
00 021,068,204,2 ttcr ωω κκη ++=
para 00 =yr , 44 ≤≤− gς e 4≤tωκ , crη pode ser obtido considerando-se:
32
1 975,065,52,1111,4 tttC ωωω κκκ +−+= , se 2≤wtκ
121 =C , se 2>wtκ
432
2 014,0153,0609,0068,1661,1 ttttC ωωωω κκκκ −+−+= , se 0≤gς
gttttC ςκκκκ ωωωω )0085,0074,0061,0(029,0426,0535,0 222 −+−−+= , se 0>gς
72
3.4 - FLAMBAGEM EM REGIME INELÁSTICO
De forma geral, quaisquer problemas que envolvem tensões residuais, não-
linearidade do material e imperfeições iniciais podem ser tratados numericamente
por meio do Método dos Elementos Finitos, mas este tipo de análise, com raras
exceções, só é utilizada atualmente para pesquisa.
As normas de projeto tratam o assunto por meio de expressões semi-
empíricas, denominadas curvas de resistência ou curvas para dimensionamento, que
consideram, dentre outros fatores, a magnitude e a distribuição das tensões residuais
e a existência de imperfeições geométricas iniciais.
Nas normas NBR8800:1986 e prAISC-LRFD:2003, estas curvas apresentam
três trechos distintos, a saber:
Regime Elástico, no qual as tensões em qualquer fibra da viga são inferiores à
tensão de escoamento por ocasião da flambagem. O momento resistente nominal é
dado, neste trecho, pelo momento crítico elástico.
Regime Inelástico, no qual a instabilidade ocorre após o escoamento de partes da
viga onde as tensões residuais são mais elevadas.
Regime Plástico, no qual o comprimento não travado é pequeno de tal forma que
se atinge o momento de plastificação Mpl antes da ocorrência da flambagem lateral.
Por exemplo, a norma brasileira NBR8800:1986 (Figura 31) considera que
para índices de esbeltez em torno do eixo de menor inércia λy inferiores a λp , o
momento resistente é dado pelo momento de plastificação da viga Mpl ; para índices
de esbeltez superiores a λr , o momento resistente é o próprio momento crítico
elástico Mcr ; e para índices de esbeltez entre λp e λr , o momento resistente é obtido
por meio de uma reta que une os pontos (Mpl , λp) e (Mr , λr).
73
λ λ
−σ
λ
Figura 31 - Curvas de Dimensionamento
O parâmetro λr corresponde a um momento crítico elástico tal que a fibra
com máxima tensão residual σr atinja a tensão de escoamento. O parâmetro λp é
definido de modo a garantir uma capacidade de rotação suficiente para a formação de
rótula plástica.
74
4 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA OS CASOS USUAIS DA
FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS
4.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS
Apresentam-se neste capítulo os resultados do estudo de alguns casos usuais
da flambagem lateral de vigas de aço em regime elástico-linear, utilizando-se o
programa de elementos finitos PEFSYS por meio de uma análise paramétrica,
comparando-se os resultados com os encontrados na literatura.
Para a realização desta análise, adotam-se apenas vigas do tipo VS, ou seja,
perfis comerciais bissimétricos em forma de I, fabricados por solda de chapas, que
possuem relação altura do perfil / largura da aba variando entre dois e quatro
(Figura 32).
h =
(2 a
4) b
f
Figura 32 - Dimensões dos Perfis VS
São utilizadas, em geral, a primeira e a última viga de cada série - ou seja, a
de menor e maior massa, respectivamente. Em algumas situações, são adicionadas
75
mais vigas à análise paramétrica quando os resultados mostram-se não-conclusivos
ou quando se deseja uma análise mais acurada. Totalizam-se, assim, sessenta e cinco
vigas para cada condição de vínculo e de carregamento, exceto para os casos de vigas
sob gradiente de momento fletor (para os quais utilizam-se vinte vigas para cada
razão entre os momentos de extremidade).
Considera-se o valor ω
µIELIG t
2
= como o principal parâmetro para a escolha
do vão de cada viga, levando-se em consideração:
relação entre o vão e a altura da viga: mantém-se a relação L / h entre 10 e 30,
escolhendo-se ainda alguns casos com a relação supracitada muito baixa (da ordem
de 5) ou muito alta (acima de 40), não-usuais em projeto.
índice de esbeltez da viga: varia-se o parâmetro λy entre 100 e 300; utilizam-se
também alguns casos de λy da ordem de 50 e acima de 400.
Em virtude do exposto, grande parte dos valores de µ encontra-se na faixa
sugerida por Salvadori (1955) para os casos usuais de aplicação, a saber: 404 ≤≤ µ ,
exceção às vigas cujos vãos foram escolhidos ou para representar casos extremos ou
para eventuais comparações com resultados presentes na literatura técnica.
No processamento via elementos finitos por meio do programa PEFSYS, o
vão das vigas é dividido igualmente em dez elementos lineares de barra, cada qual
com três nós (dois de extremidade e um intermediário), como mostra a Figura 33:
NÚMERO DOS NÓS
NÚMERO DOS ELEMENTOS
76
Figura 33 - Numeração de Nós e Elementos - PEFSYS
Os graus de liberdade de cada nó de um elemento são os deslocamentos
generalizados do eixo da barra, constituindo-se de três translações, três rotações e um
parâmetro de empenamento. O deslocamento axial da viga (direção z) não foi
restringido nos exemplos aqui estudados; os demais graus de liberdade são definidos
pelas condições de vínculo impostas em cada caso.
Para um determinado caso de carregamento e de vinculação no plano da
flexão, os resultados são apresentados separadamente em função da vinculação ao
empenamento e à flexão em torno do eixo de menor inércia.
Associa-se a cada vinculação supracitada um comprimento efetivo, aqui
designados respectivamente por kωL e kyL. Os coeficientes k variam de 0,5 (ambas as
extremidades totalmente restringidas à flexão na direção de menor inércia ou com
vinculação ao empenamento) a 1,0 (ambas as extremidades simplesmente apoiadas
ou sem vinculação ao empenamento).
Assim sendo, consideram-se quatro casos de vinculação nas extremidades da
viga para uma determinada condição de carregamento e de vínculo no plano da
flexão, obtendo-se o que segue:
Condição de Vínculo tipo I: kω = 1,0 e ky = 1,0
Condição de Vínculo tipo II: kω = 0,5 e ky = 1,0
Condição de Vínculo tipo III: kω = 1,0 e ky = 0,5
Condição de Vínculo tipo IV: kω = 0,5 e ky = 0,5
77
4.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Os resultados obtidos do programa PEFSYS são apresentados por meio de
gráficos que expressam a variação da razão entre o momento crítico e o momento
crítico básico crcr MM 0/ com o parâmetro µ.
Esses resultados são comparados com os valores mais representativos da
literatura técnica, discutindo-se as hipóteses adotadas e a validade de aplicação dos
coeficientes comumente empregados para cada um dos casos.
Para a obtenção do momento crítico em regime elástico, algumas publicações
utilizam as mesmas expressões do regulamento europeu, apresentadas aqui sob a
forma:
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]yCy
y
y
yCyy
ty
y
y
y
ycr
rCyeCLk
EIC
rCyeCIE
IGLk
II
k
k
Lk
EICM
0322
2
1
20322
22
2
2
1
+−−
−
+−++
=
π
ππ ω
ω
(4.1)
Os coeficientes C1, C2 e C3 são tabelados em função das condições de vínculo
no plano da flexão e do carregamento.
Para vigas bissimétricas (C3 = 0) e para carregamento aplicado no centro de
torção ( Cy ye − = 0), a expressão (4.1) pode ser re-escrita como:
tyt
ycr IG
IELk
EIIGLk
CM ω
ω
ππ2
1 1
+
= (4.2)
78
Por outro lado, outros autores que também consideram as quatro condições de
vínculo supracitadas não apresentam os resultados sob a forma da expressão (4.1), na
medida em que fornecem diretamente para o caso em estudo o valor da relação entre
o momento crítico e o momento crítico básico.
Esta relação será aqui denominada Cb , implicando:
tytbcr IG
IEL
EIIGL
CM ωππ 2
1
+= (4.3)
cr
crb M
MC
0
= (4.4)
Verifica-se na expressão (4.3) que os valores dos coeficientes ky e kω não são
empregados diretamente para o cálculo do momento crítico já que, para cada caso de
vinculação, eles alteram apenas o valor do coeficiente Cb.
Em particular, no caso de vigas bissimétricas com carga aplicada no centro de
torção, vínculos também no centro de torção e para kω = ky = 1,0, tem-se C1 = Cb.
Para cada caso de vinculação estudado, obtém-se do programa PEFSYS um
carregamento crítico que, para efeito de comparação com os resultados presentes na
literatura, será convertido em um momento fletor crítico, aqui denominado
“momento de referência”.
Convenciona-se neste trabalho que este momento de referência será o
máximo momento fletor ao longo do vão da viga, independente se ele ocorre no meio
do vão ou junto aos apoios.
Destaca-se que não há indicação explícita sobre qual o momento de referência
utilizado no regulamento europeu prEN1993-1-1:2002. Pela análise dos valores
79
tabelados de C1, pode-se concluir que se considera o momento fletor no meio do vão
da viga, o qual nem sempre corresponde ao máximo valor ao longo do vão.
Entretanto, nota-se que na norma prEN1999-1-1:2002 esta imprecisão já está
corrigida, na medida em que há indicação explícita da seção onde se considera o
momento de referência (ver tabelas das Figuras 26 a 30).
Para fins de uniformidade de apresentação, a nomenclatura dos coeficientes e
parâmetros apresentada nas expressões (4.1) e (4.2) será estendida para todas as
publicações. Adicionalmente, salvo indicação contrária, a indicação dos valores do
coeficiente Cb nos itens subseqüentes refere-se à condição de vínculo tipo I.
Neste capítulo, consideram-se apenas as quatro condições de vínculo
supracitadas e carregamentos aplicados no centro de torção das vigas.
Por sua vez, a utilização da Teoria Não-Linear Geometricamente Exata por
meio do programa PEFSYS para os casos de carga fora do centro de torção e para
aqueles com a presença de vínculos fora das extremidades restringidas da viga (ou
seja, vínculos no meio do vão de vigas biapoiadas ou na extremidade livre de vigas
em balanço) encontra-se somente no capítulo 5, embora as expressões
correspondentes estejam aqui apresentadas.
4.3 - VIGA BIAPOIADA SOB GRADIENTE DE MOMENTO FLETOR
O primeiro caso de estudo da flambagem lateral é o de vigas biapoiadas sob
gradiente de momento fletor. Define-se ψ como a relação entre os momentos de
extremidade, e convenciona-se que valores negativos de ψ correspondem à
curvatura simples, e valores positivos à curvatura reversa. Em particular, 0,1−=ψ
representa o caso de diagrama de momento uniforme.
80
ψψ
Figura 34 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada sob Gradiente
de Momento Fletor
Para a análise paramétrica deste caso, varia-se o coeficiente ψ entre -1,0 e
1,0, considerando-se valores a cada 0,25. Utilizam-se vinte vigas tipo VS para cada
valor de ψ, de tal forma que os vãos adotados para as vigas implicam uma variação
para o parâmetro µ de 5 a 85.
Poucos trabalhos encontrados na literatura consideram, para esta condição de
carregamento, a possibilidade de diferentes vinculações ao empenamento e à flexão
em torno do eixo de menor inércia nas extremidades da viga.
Em particular, para o caso de momento fletor uniforme, costuma-se adotar
por simplicidade o valor 0,1=bC para quaisquer condições de vínculo. A validade
deste procedimento e a influência das condições de vínculo no valor do momento
crítico são discutidas neste item.
4.3.1 - Resumo da Literatura
Salvadori (1955) e (1956) apresenta os resultados do estudo da flambagem
lateral de vigas sob gradiente de momentos por meio de extensas tabelas, para o
coeficiente ψ variando entre -1,0 e 1,0 e para condições de vínculo I e IV.
81
Os valores obtidos para o coeficiente Cb encontram-se resumidos na tabela da
Figura 35.
ψψψψ -1,0 -0,5 0 0,5 1,0
ky-kωωωω 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5
Cb 1,0 1,0
1,31
a
1,32
1,30
a
1,32
1,77
a
1,86
1,78
a
1,85
2,33
a
2,62
2,29
a
2,55
2,56
a
2,74
2,33
a
2,58
Figura 35 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor - Salvadori (1955)
Verifica-se ainda que o coeficiente Cb cresce com o aumento de ψ e que ele
pouco varia com as condições de vínculo e com o parâmetro µ.
Em função do exposto, Salvadori (1956) propõe uma simplificação, válida
inclusive para os casos onde existam cargas transversais ao longo do vão, mas que
apresentam diagrama de momento fletor aproximadamente linear (tabela da Figura
36).
ψψψψ -1,0 -0,5 0 +0,5 +1,0
Cb 1,0 1,32 1,82 2,49 2,50
Figura 36 - Tabela Simplificada - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor - Salvadori (1956)
Massonet (1947) apud Sherbourne; Pandey (1989) apresenta uma expressão
para a determinação do coeficiente Cb, obtida para µ ∞ , a saber:
82
( ) ψψ 40,0130,0
12 −+
=bC (4.5)
Djalaly (1967) apud Sherbourne; Pandey (1989) considera a influência do
empenamento no valor do coeficiente Cb, obtendo-se o que segue:
vigas sem restrição ao empenamento (condição de vínculo tipo I):
( ) ψψ 434,01283,0
12 −+
=bC (4.6)
vigas com restrição ao empenamento (condição de vínculo tipo II):
( )21333,0
1
ψψ +−=bC (4.7)
Para condição de vínculo tipo I, Nethercot; Rockey (1971) definem o valor
do coeficiente Cb para vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor pelas
seguintes expressões:
( ) ( )26,06,016,1 ψψ −−−++=bC para 8,01 ≤≤− ψ (4.8)
56,2=bC para 8,0≥ψ (4.9)
Na expressão (4.8), os termos dentro dos parênteses só devem ser
considerados se positivos; caso contrário, estes devem ser assumidos como 0. Tem-
se, como exemplo, Cb = 1,00 para ψ = -1,0 e Cb = 1,76 para ψ =0.
83
Para momento fletor uniforme ao longo do vão (ψ = -1,0) e diferentes
condições de vínculo nas extremidades, Nethercot; Rockey (1971) recomendam
ainda os seguintes valores:
Tipo de Vinculação Cb
I 1
II µµ778,1304,0
1 +−
III µµ134,1787,0
2 +−
IV usar 2L ao invés de L
na expressão (4.3)
Figura 37 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor - Nethercot; Rockey (1971)
Esta tabela também consta de Allen; Bulson (1980).
Nethercot; Trahair (1976), baseados nos resultados obtidos por Salvadori
(1955) e (1956), apresentam a seguinte expressão:
56,23,005,175,1 2 ≤++= ψψbC (4.10)
Tem-se, assim, Cb = 1,00 para ψ = -1,0, Cb = 1,75 para ψ =0 e Cb = 2,56
para ψ =1,0.
Essa expressão também consta nas recomendações de Galambos (1998), da
norma brasileira NBR8800:1986, e da norma americana AISC-LRFD:1986.
84
Para vigas com vinculação tipo I, Kirby; Nethercot (1979) propõem o uso de
uma expressão, válida para qualquer carregamento, que correlaciona o coeficiente Cb
com os valores em módulo dos momentos fletores máximo e a um, dois e três
quartos do vão, a saber:
CBAb MMMM
MC
343212
max
max
+++= (4.11)
Alternativamente, para o caso específico de vigas biapoiadas sob gradiente de
momento fletor, Kirby; Nethercot (1979) obtêm o coeficiente Cb utilizando a
expressão (4.12), como segue:
33,21,033,057,0
12
≤+−
=ψψbC (4.12)
Em particular, tem-se 00,1=bC para ψ = -1,0, Cb = 1,76 para ψ = 0 e
33,2=bC para ψ =1,0.
Cuk; Trahair (1981) apud Sherbourne; Pandey (1989) propõem o uso da
seguinte expressão:
3
21
40,02
1
1
++
−=
ψψbC (4.13)
Salmon; Johnson (1990) apresentam também seus resultados considerando a
possibilidade de vinculação à flexão na direção de menor inércia (ky = 1,0 ou 0,5).
Os valores do coeficiente C1 - a serem utilizados na expressão (4.2) - encontram-se
na tabela da Figura 38.
85
Relação entre os Momentos
de Extremidade ky C1
1,0 1,0 ψ = ψ = ψ = ψ = -1,0
0,5 1,0
1,0 1,3 ψ = ψ = ψ = ψ = -0,5
0,5 1,3
1,0 1,8 ψ = ψ = ψ = ψ = 0
0,5 1,8
1,0 2,4 ψ = ψ = ψ = ψ = 0,5
0,5 2,3
1,0 2,6 ψ = ψ = ψ = ψ = 1,0
0,5 2,3
Figura 38 - Tabela - Coeficiente Cb para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor - Salmon; Johnson (1990)
Sherbourne; Pandey (1989) apresentam o momento crítico de vigas
biapoiadas sob gradiente de momento fletor por meio da seguinte expressão:
tttycr IGL
IEBBIGIE
LM
2
2ω
ωππ += (4.14)
Utilizando o Método de Galerkin, obtêm uma solução aproximada para os
seguintes casos:
condição de vínculo tipo I:
ψψω 296193193682
2 −+== BBt (4.15)
86
condição de vínculo tipo II:
( ) ψψ 5133743,13
2 −+=tB (4.16.a)
( ) ψψω 5139141,56
2 −+=B (4.16.b)
Adicionalmente, Sherbourne; Pandey (1989) realizam uma análise
paramétrica com o auxílio de um programa de elementos finitos para verificar a
influência das demais condições de vínculo no valor do momento crítico, obtendo-se:
2321
1 ψψ AAABt
+−= (4.17.a)
2321
1 ψψω
BBBB
+−= (4.17.b)
Os valores dos coeficientes Ai e Bi encontram-se na tabela da Figura 39.
Condição
de Vínculo A1 A2 A3 B1 B2 B3
I 0,3175 0,4202 0,2604 0,2799 0,4312 0,2866
II 0,2892 0,3979 0,2451 0,0527 0,0875 0,0536
III 0,0788 0,1000 0,0727 0,0579 0,0752 0,0612
IV 0,0788 0,1000 0,0727 0,0176 0,0263 0,0182
Figura 39 - Tabela - Coeficientes Ai e Bi para Viga Biapoiada sob Gradiente de
Momento Fletor - Sherbourne; Pandey (1989)
87
Aoki; Kubo (1997) sugerem o uso da seguinte expressão para o cálculo do
coeficiente Cb:
5,24,06,0
1 ≤−
=ψbC (4.18)
Em particular, tem-se 00,1=bC para ψ = -1,0, 67,1=bC para ψ =0 e
50,2=bC para ψ =1,0.
Suryoatmono; Ho (2002), utilizando o Método das Diferenças Finitas, obtêm
a seguinte expressão para o coeficiente Cb:
8292,12584,14828,01037,0364,03009,0094,0 23456 +++−−−−= ψψψψψψbC
(4.19)
Tem-se, assim, Cb = 1,00 para ψ = -1,0, Cb = 1,83 para ψ =0 e Cb = 2,71
para ψ =1,0.
O coeficiente Cb apresentado na norma americana prAISC-LRFD:2003 é
obtido por meio de uma expressão semelhante à apresentada por Kirby; Nethercot
(1979), a saber:
CBAb MMMM
MC
3435,25,12
max
max
+++= (4.20)
Por sua vez, as recomendações do regulamento europeu prEN1993-1-1:2002
e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 24 e 26,
respectivamente.
88
Para este último, os resultados também podem ser obtidos por meio da
expressão (3.33), que é uma aproximação válida apenas para a condição de vínculo
tipo I.
4.3.2 - Influência das Condições de Vínculo
Apresentam-se a seguir os resultados da comparação entre os valores obtidos
por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da literatura técnica e das
normas de projeto, considerando-se as condições de vínculo I a IV, variando-se a
relação crcr MM 0 com o coeficiente ψ .
Em cada um dos gráficos, são traçadas duas curvas representando os valores
extremos da relação crcr MM 0 - obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata
para cada valor de ψ - de vinte vigas cujo parâmetro µ varia de 5 a 85.
Note-se ainda que as comparações dos resultados para a vinculação tipo I
foram apresentadas em dois gráficos distintos para facilitar a visualização.
Observe-se que para o prEN1999-1-1:2004, os resultados são obtidos por
dois caminhos distintos: primeiramente, utilizando-se a expressão (3.28), implicando
valores de crcr MM 0 compreendidos entre os extremos assinalados no gráfico como
(i) e (ii); em seguida, pelo uso da expressão geral (3.33).
89
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85
Figura 40 - Gráfico para Vinculação Tipo I (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Nethercot; Trahair (1976) Kirby; Nethercot (1979) - 4.11 Kirby; Nethercot (1979) - 4.12Aoki; Kubo (1997) Suryoatmono; Ho (2002) prAISC-LRFD:2003prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004 - 3.28 (i) prEN1999-1-1:2004 - 3.28 (ii)prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 41 - Gráfico 1 para Vinculação Tipo I - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor
90
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Massonet (1947) Salvadori (1956) Djalaly (1967)
Nethercot; Rockey (1971) Cuk; Trahair (1981) Salmon; Johnson (1990)
Sherbourne; Pandey (1989) - 4.15 Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17
Figura 42 - Gráfico 2 para Vinculação Tipo I - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85
Figura 43 - Gráfico para Vinculação Tipo II (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor
91
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Djalaly (1967) Sherbourne; Pandey (1989) - 4.16 Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17prEN1993-1-1:2002 (i) prEN1993-1-1:2002 (ii) prEN1999-1-1:2004 (i)prEN1999-1-1:2004 (ii)
Figura 44 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85
Figura 45 - Gráfico para Vinculação Tipo III (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor
92
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Sherbourne; Pandey (1989) Salmon; Johnson (1990) prEN1993-1-1:2002
prEN1999-1-1:2004 (i) prEN1999-1-1:2004 (ii)
Figura 46 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
µ = 5 µ = 10 µ = 25 µ = 35 µ = 40 µ = 55 µ = 65 µ = 85
Figura 47 - Gráfico para Vinculação Tipo IV (PEFSYS) - Viga Biapoiada sob
Gradiente de Momento Fletor
93
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Sherbourne; Pandey (1989) prEN1993-1-1:2002 (i) prEN1993-1-1:2002 (ii)
prEN1999-1-1:2004 (i) prEN1999-1-1:2004 (ii)
Figura 48 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Comparação (Literatura) - Viga
Biapoiada sob Gradiente de Momento Fletor
Em particular, para momento fletor uniforme ao longo do vão (ψ = -1,0),
apresentam-se também os resultados da variação da relação crcr MM 0 com o
parâmetro µ, comparando-se os resultados do PEFSYS com alguns valores
representativos da literatura, como segue.
94
1,000
1,020
1,040
1,060
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Literatura (Tip.)
Figura 49 - Gráfico para Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com Momento
Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)
1,000
1,250
1,500
1,750
2,000
2,250
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Djalaly (1967)Nethercot; Rockey (1971) Sherbourne; Pandey (1989) - 4.16Sherbourne; Pandey (1989) - 4.17 prEN1993-1-1:2002 e prEN1999-1-1:2004
Figura 50 - Gráfico para Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com Momento
Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)
95
1,900
2,000
2,100
2,200
2,300
2,400
2,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) Sherbourne; Pandey (1989)
Salmon; Johnson (1990) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 51 - Gráfico para Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com Momento
Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Sherbourne; Pandey (1989) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 52 - Gráfico para Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com Momento
Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)
96
4.3.3 - Análise dos Resultados
Os resultados obtidos por meio de uma Teoria Geometricamente Exata
mostram que, diferente do que é comumente utilizado, o valor da relação
crcr MM 0 é influenciado não só pela razão entre os momentos de extremidade (ψ)
mas também pelo valor do parâmetro µ.
A influência de µ nos resultados mostra-se mais acentuada para as condições
de vínculo onde existe restrição ao empenamento (tipos II e IV), para as quais a
diferença entre os valores da relação crcr MM 0 para um mesmo ψ chega a 60%.
Esta diferença pode ser melhor observada no gráfico da Figura 53, no qual
são colocadas as curvas obtidas do PEFSYS para as quatro condições de vínculo
analisadas.
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1
ψψψψ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 53 - Gráfico Mcr / M0cr x ψψψψ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada
sob Gradiente de Momento Fletor
97
Para o caso de momento fletor uniforme (ψ= −1,0), os resultados da literatura
são próximos aos do PEFSYS para as quatro condições de vínculo (ver gráficos das
Figuras 49 a 52). Em particular, para a vinculação tipo I, a diferença entre o
momento crítico básico e aquele encontrado por meio da utilização de uma Teoria
Geometricamente Exata - PEFSYS - é da ordem de 3% (ver gráfico da Figura 49),
ou seja, praticamente desprezável.
Verifica-se no gráfico da Figura 54 que a variação da relação crcr MM 0 para
o caso ψ= −1,0 dá-se de forma mais acentuada para as condições de vínculo tipo II e
IV, permanecendo aproximadamente constante para as demais vinculações.
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 54 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada
com Momento Fletor Uniforme (ψψψψ = -1,0)
Por outro lado, pode-se concluir que a influência no valor da relação
crcr MM 0 do engaste no plano ortogonal ao da flexão é mais significativa do que a
restrição ao empenamento nas extremidades.
98
Por sua vez, para os demais valores do coeficiente ψ , os valores da literatura
estão muito a favor da segurança, inclusive aqueles das normas NBR8800:1986 e
prAISC-LRFD:2003. Observe-se também que esses resultados apresentam
discrepâncias maiores para as condições de vínculo II e IV e para valores de ψ mais
próximos de +1,0.
Adicionalmente, constata-se que a utilização dos valores da literatura técnica
definidos para a condição de vínculo tipo I para os casos que apresentem as demais
condições de vínculo nas extremidades conduz a um dimensionamento
excessivamente antieconômico, como pode ser observado no gráfico da Figura 53.
Note-se ainda na Figura 54 que, para valores baixos de µ, há alguns pontos
do gráfico que não pertencem à curva média dos valores obtidos por meio do
PEFSYS, com valores significativamente inferiores ao esperado. Este
comportamento deve-se principalmente ao efeito da força cortante e será estudado de
forma mais acurada nos itens 4.4 e 4.5 deste trabalho.
4.4 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
Em função da presença de cargas transversais aplicadas ao longo do vão, o
diagrama de momentos fletores para o caso de vigas biapoiadas sob carregamento
distribuído não é mais linear, diferente do apresentado no item anterior.
Como mostra a Figura 55, o momento de referência para o qual são
comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor
no meio do vão, implicando:
( )( )
8
2LqM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.21)
99
Figura 55 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída
4.4.1 - Resumo da Literatura
Os primeiros estudos da flambagem lateral de vigas biapoiadas com carga
uniformemente distribuída ao longo do vão foram conduzidos por Bleich (1952),
Austin; Yegian; Tung (1955) e Timoshenko; Gere (1961).
Nesses, pode-se obter a carga crítica de vigas por meio de tabelas em função
do parâmetro µ ; analisa-se, ainda, a influência da posição da carga em relação ao
centro de torção.
Austin; Yegian; Tung (1955) e Allen; Bulson (1980) apresentam os
seguintes coeficientes para a expressão (4.2), novamente considerando vigas
bissimétricas e carga aplicada no centro de torção:
vinculação tipo I: C1 = 1,13 , ky = 1,0 e kω = 1,0
vinculação tipo IV: C1 =0,97 , ky = 0,5 e kω = 0,5
Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico de vigas
submetidas a uma carga uniformemente distribuída ao longo do vão por meio de:
100
L
IGIEM
ty
cr 8
γ= (4.22)
onde γ é um adimensional auxiliar, definido para as condições de vínculo I e IV, dado
pela tabela da Figura 56
Condição de Vínculo Tipo I
Posição de µµµµ = G It L2 / E Iωωωω
Aplicação da Carga 0,4 4 8 16 24 32 48
aba superior 92,9 36,3 30,4 27,4 26,6 26,1 25,8
centro de torção 143 53 42,6 36,3 33,8 32,6 31,5
aba inferior 222 77,3 59,4 48 43,4 40,4 37,6
Posição de µµµµ = G It L2 / E Iωωωω
Aplicação da Carga 64 80 128 200 280 360 400
aba superior 25,7 25,7 26 26,4 26,5 26,6 26,6
centro de torção 30,5 30,1 29 29 28,8 28,7 28,6
aba inferior 36,4 35,1 33,3 32,1 31,4 31 30,7
Condição de Vínculo Tipo IV
G It L2 / E Iωωωω 0,4 4 8 16 32 96 128 200 400
γγγγ (carga no
centro de torção) 488 161 119 91,3 73 58 55,8 53,5 51,2
Figura 56 - Tabela - Valores do Parâmetro γγγγ para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Timoshenko; Gere (1961)
101
Ressalta-se, novamente, que o estudo comparativo entre os resultados
apresentados para a carga aplicada fora do centro de torção e aqueles obtidos por
meio da Teoria Geometricamente Exata encontra-se no capítulo 5.
Nethercot; Rockey (1971) apresentam parâmetros auxiliares A e B para a
determinação do coeficiente Cb , propondo a utilização das seguintes expressões:
carga aplicada no centro de torção:
ACb = (4.23)
carga aplicada na aba superior:
BA
Cb = (4.24)
carga aplicada na aba inferior:
BACb = (4.25)
Condição de Vínculo A B
I 123,1 µµ681,1522,11 +−
II µµ263,1106,42,1 ++
µµ794,1217,20,1 +−
III µµ02,0184,19,1 +−
µµ531,2991,00,1 +−
IV µµ563,50,4643,1 +−
µµ964,1342,30,1 +−
Figura 57 - Tabela - Coeficientes A e B para Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot; Rockey (1971)
102
Estes resultados também são apresentados por Galambos (1998).
Para vigas bissimétricas, vinculação tipo I e carga aplicada no centro de
torção, Nethercot; Trahair (1976) e Trahair (1993) recomendam o uso do valor
13,1=bC , semelhante àquele apresentado por Suryoatmono; Ho (2002), a saber:
131,1=bC . Salmon; Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) obtêm, respectivamente,
C1 = 1,1 e C2 = 0,45 , C1 = 1,132 e C2 = 0,459.
Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),
obtém-se o que segue:
( ) ( )zLzq
zM −=2
, implicando:
( )32
34
2LqLzMM A === ;
( )82
2LqLzMM B === ;
( ) AC MLzMM === 43 ;
BMM =max
Tem-se, desta forma ≅bC 1,143.
O coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-LRFD:2003 é
obtido por meio da expressão (3.20), implicando ≅bC 1,136.
Por sua vez, os valores sugeridos pelo regulamento europeu prEN1993-1-
1:2002 e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 25, 27 e 28.
Para este último, utilizando-se a expressão aproximada (3.33), válida apenas para a
vinculação tipo I, obtém-se: ≅bC 1,166.
103
4.4.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
1,110
1,120
1,130
1,140
1,150
1,160
1,170
1,180
1,190
1,200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971)Kirby; Nethercot (1979) Allen; Bulson (1980) Suryoatmono; Ho (2002)prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 58 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída
104
1,200
1,400
1,600
1,800
2,000
2,200
2,400
2,600
2,800
3,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 59 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída
1,500
1,600
1,700
1,800
1,900
2,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 60 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída
105
2,000
2,250
2,500
2,750
3,000
3,250
3,500
3,750
4,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 61 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída
4.4.3 - Análise dos Resultados
Para vinculação tipo I , os resultados do programa PEFSYS - coeficiente Cb
variando entre 1,148 e 1,183 - mostram-se ligeiramente superiores aos apresentados
na literatura, indicando que os valores comumente empregados estão 3% a 5% a
favor da segurança.
Verifica-se ainda que, para essa condição de vínculo, o valor resultante do
uso da expressão aproximada (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004
representa uma média daqueles obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata,
de tal forma que a pequena dispersão dos resultados permite que ele seja aceito como
um valor adequado.
106
A relação crcr MM 0 do PEFSYS para as demais vinculações é ora superior
ora inferior aos valores da literatura, embora as diferenças possam ser consideradas
pequenas, principalmente para valores de µ altos.
Para a condição de vínculo tipo II, o prEN1993-1-1:2002 mostra-se
conservador em relação às demais publicações; enquanto que para os tipos III e IV, o
valor da relação crcr MM 0 sugerido é um pouco superior ao obtido pela Teoria
Geometricamente Exata - excetuando-se o caso de valores de µ muito baixos.
Por sua vez, os valores obtidos para a relação crcr MM 0 por meio das
recomendações do prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças inferiores a 5% para
as quatro condições de vínculo e para quaisquer valores de µ.
Para as vinculações tipo II e III, os resultados de Nethercot; Rockey (1971)
(sugeridos apenas para µ superiores a 4) não estão adequadas para valores baixos de
µ.
É interessante notar que para a condição de vínculo tipo II, os resultados para
µ baixos estão excessivamente contra a segurança, enquanto que para o tipo III, eles
estão a favor da segurança. Esta não-conformidade é verificada em ambas as
vinculações supracitadas inclusive para µ superiores a 4, em especial para valores
menores que 10.
O gráfico da Figura 62 ilustra a importância da avaliação correta das
condições de vínculo nos apoios extremos. A diferença entre os resultados para as
vinculações tipo I e IV chega a quase 200% para valores baixos do parâmetro µ
(inferiores a 10) e a 100% para valores de µ altos (da ordem de 80).
Nota-se que para as condições de vínculo I e III, o valor da relação
crcr MM 0 é praticamente constante, ou seja, independe do valor do parâmetro µ. Por
107
outro lado, para as condições de vínculo II e IV, a relação supracitada é inversamente
proporcional ao parâmetro µ.
Verifica-se também no gráfico da Figura 62 que a influência do engaste no
plano ortogonal ao da flexão é, novamente, mais significativa do que a restrição ao
empenamento nas extremidades da viga, exceto para valores baixos de µ.
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 62 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Uniformemente Distribuída
Observa-se ainda que, para valores baixos de µ, há pontos que não pertencem
à curva média dos valores do PEFSYS. Desta forma, faz-se necessária uma nova
análise paramétrica para avaliar esta situação, considerando-se três casos distintos
apenas para uma faixa restrita de µ:
Caso a: vigas com relação vão / altura entre cinco e dez.
108
Caso b: vigas com altura elevada (acima de 800mm) e relação vão / altura da
ordem de dez.
Caso c: as mesmas vigas dos casos a e b admitindo-se seção transversal com área
mil vezes maior, mantendo-se as demais propriedades geométricas (em particular, Ix,
Iy e Iω).
Os resultados encontram-se nos gráficos das Figuras 63 a 66.
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 63 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída
109
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 64 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 65 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída
110
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Inicial Caso a Caso b Caso c
Figura 66 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuída
Verifica-se que o valor da relação crcr MM 0 para o caso c é sempre superior
aos demais casos. Adicionalmente, os valores deste caso aproximam-se da curva
média dos valores obtidos por meio do programa PEFSYS para a análise paramétrica
inicial.
Conclui-se desta forma que, principalmente para as condições de vínculo tipo
III ou IV e sobretudo para valores baixos de µ, o efeito da força cortante deve ser
levando em conta, diferente do que se verifica na grande parte dos resultados
encontrados na literatura.
No entanto, cabe ressaltar que a maioria dos valores obtidos para as cargas
críticas dos três casos supracitados não é aplicável em situações reais de projeto, na
medida em que a força cortante para o carregamento crítico da viga é muito superior
à capacidade resistente da mesma.
111
4.5 - VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO
VÃO
Obtém-se neste item o momento crítico de vigas biapoiadas com carga
aplicada no meio do vão, confrontando-se os resultados com os de vigas sob
carregamento uniformemente distribuído.
Para vigas biapoiadas com carga concentrada no meio do vão, o momento de
referência para o qual são comparados os valores da literatura e os do programa
PEFSYS é novamente o momento fletor no meio do vão, como mostra a Figura 67.
Figura 67 - Momento Fletor de Referência para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão
Tem-se, assim:
( )( )
4
LFM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.26)
112
4.5.1 - Resumo da Literatura
Os primeiros estudos da flambagem lateral de vigas biapoiadas com carga
concentrada no meio do vão foram conduzidos por Bleich (1952), Austin; Yegian;
Tung (1955) e Timoshenko; Gere (1961).
De forma análoga ao exposto para carga uniformemente distribuída ao longo
do vão, obtém-se desses autores a carga crítica de vigas bissimétricas para
determinados valores de µ , analisando-se ainda a influência da posição da carga em
relação ao centro de torção.
Austin; Yegian; Tung (1955) e Allen; Bulson (1980) apresentam os
seguintes valores:
vinculação tipo I: C1 = 1,35 , ky = 1,0 e kω = 1,0
vinculação tipo IV: C1 = 1,07 , ky = 0,5 e kω = 0,5
Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico de vigas
biapoiadas bissimétricas submetidas a uma carga concentrada no meio do vão por
meio de:
L
IGIEM
ty
cr 4
γ= (4.27)
sendo o parâmetro γ agora obtido pela tabela da Figura 68.
113
Condição de Vínculo Tipo I
Posição de µµµµ = G It L2 / E Iωωωω
Aplicação da Carga 0,4 4 8 16 24 32 48
aba superior 51,5 20,1 16,9 15,4 15,0 14,9 14,8
centro de torção 86,4 31,9 25,6 21,8 20,3 19,6 18,8
aba inferior 147,0 50,0 38,2 30,3 27,2 25,4 23,5
Posição de µµµµ = G It L2 / E Iωωωω
Aplicação da Carga 64 80 96 160 240 320 400
aba superior 15,0 15,0 15,1 15,3 15,5 15,6 15,8
centro de torção 18,3 18,1 17,9 17,5 17,4 17,2 17,2
aba inferior 22,4 21,7 21,1 20,0 19,3 19,0 18,7
Condição de Vínculo Tipo IV
G It L2 / E Iωωωω 0,4 4 8 16 24 32 64 128 200
γγγγ (carga no
centro de torção) 268 88,8 65,5 50,2 43,6 40,2 34,1 30,7 29,4
Figura 68 - Tabela - Valores do Parâmetro γγγγ para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão - Timoshenko; Gere (1961)
Na tabela da Figura 69, encontram-se os parâmetros auxiliares A e B
apresentados por Nethercot; Rockey (1971), a serem empregados nas expressões
(4.23), (4.24) e (4.25).
114
Condição de Vínculo A B
I 35,1 µµ039,2779,11 +−
II µµ455,1788,443,1 ++
µµ945,113,30,1 +−
III µµ955,0726,00,2 +−
µµ289,3045,20,1 +−
IV µµ814,5186,4916,1 +−
µµ899,2602,40,1 +−
Figura 69 - Tabela - Coeficientes A e B para Viga Biapoiada com Carga
Concentrada no Meio do Vão - Nethercot; Rockey (1971)
Esta tabela também consta em Galambos (1998), embora esteja apresentada
sob outra forma, já que é utilizado um parâmetro diferente do µ.
Para vigas bissimétricas, vinculação tipo I e carga aplicada no centro de
torção, Nethercot; Trahair (1976) e Trahair (1993) sugerem o valor Cb = 1,35,
semelhante ao apresentado por Suryoatmono; Ho (2002), a saber: Cb = 1,361.
Salmon; Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) obtêm: C1 = 1,40 , C2 = 0,55
e C1 = 1,365 , C2 = 0,553 , respectivamente.
Por sua vez, para cargas aplicadas fora do centro de torção, Trahair (1993)
apresenta a seguinte expressão para o cálculo do momento crítico:
( ) ( )
−+
−+=
20
22
20
2
0
54,054,0135,1
LM
yeEI
LM
yeEIMM
cr
Cyy
cr
Cyycrcr
ππ
115
Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),
obtém-se o que segue:
( )2
zFzM = para 2
Lz ≤ , implicando:
( )84LFLzMM A === ;
( )42LFLzMM B === ;
( ) AC MLzMM === 43 ;
BMM =max
Tem-se, desta forma ≅bC 1,333.
O coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-LRFD:2003 é
obtido por meio da expressão (3.20), implicando ≅bC 1,316.
Por sua vez, as recomendações do regulamento europeu prEN1993-1-1:2002
e prEN1999-1-1:2004 encontram-se nas tabelas das Figuras 25, 27 e 28. Para este
último, além dos valores das tabelas supracitadas, pode-se utilizar a expressão (3.33)
para a obtenção de um valor aproximado do coeficiente Cb , resultando em
388,1≅bC .
4.5.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
116
1,300
1,320
1,340
1,360
1,380
1,400
1,420
1,440
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Kirby; Nethercot (1979) Suryoatmono; Ho (2002)prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004 prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 70 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 71 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
117
2,050
2,100
2,150
2,200
2,250
2,300
2,350
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot; Rockey (1971) Allen; Bulson (1980) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 72 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Austin et al (1955) Timoshenko; Gere (1961)Nethercot; Rockey (1971) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 73 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
118
4.5.3 - Análise dos Resultados
Inicialmente, verifica-se nos gráficos das Figuras 70 a 73 que a presença de
uma carga concentrada no meio do vão aumenta significativamente o valor da
relação crcr MM 0 , quando se comparam estes valores com os obtidos para um
carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão da viga.
Para vinculação tipo I , os resultados do PEFSYS - coeficiente Cb variando
entre 1,38 e 1,42 - mostram-se novamente superiores aos apresentados na literatura.
As relações crcr MM 0 obtidas por meio das recomendações da norma americana e
do regulamento europeu são inferiores às da Teoria Exata; em especial, os resultados
do prAISC-LRFD:2003 apresentam diferenças em relação ao PEFSYS de até 10%.
Para as demais vinculações, os resultados do PEFSYS são coerentes com os
da literatura, aproximando-se mais das recomendações do prEN1999-1-1:2004. Para
as condições de vínculo tipo II, III e IV, o prEN1993-1-1:2002 mostra-se
conservador em relação às demais publicações. Novamente, para vinculações tipo II
e III, verifica-se que as recomendações de Nethercot; Rockey (1971) não estão
adequadas para valores baixos de µ.
O gráfico apresentado na Figura 74 compara os resultados obtidos por meio
do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculação. Considerando-se
vigas com µ baixo (da ordem de dez, por exemplo), a diferença entre os resultados
para as vinculações tipo I e IV chega a quase 150%.
Verifica-se também que a influência no valor da relação crcr MM 0 do
engaste no plano ortogonal ao da flexão é mais significativa do que a restrição ao
empenamento nas extremidades da viga, exceto para valores baixos de µ.
119
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 74 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
Observe-se ainda que, para valores baixos de µ, há pontos do gráfico que não
pertencem à curva média Procedendo-se uma nova análise paramétrica de forma
análoga ao descrito no item 4.4.3, tem-se:
120
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 75 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão
2,45
2,55
2,65
2,75
2,85
2,95
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso b
Figura 76 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão
121
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 77 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
0 1 2 3 4 5 6 7µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Caso a Caso b Caso c
Figura 78 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV (Casos a, b e c) - Viga
Biapoiada com Carga Concentrada no Meio do Vão
122
Verifica-se também para o caso de vigas biapoiadas com carga concentrada
no meio do vão que o efeito da força cortante deve ser levado em conta nos casos
onde o parâmetro µ é muito baixo. Por analogia, esta conclusão será estendida para
os demais casos de vinculação e de carregamento.
4.6 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUÍDA
Analisa-se neste item o caso de vigas com engaste no plano da flexão em
ambas as extremidades associado às quatro condições de vínculo.
Como mostra a Figura 79, o momento de referência para o qual são
comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor na
seção do engaste, de tal forma que:
( )( )
12
2LqM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.28)
Figura 79 - Momento Fletor de Referência para Viga Biengastada com Carga
Uniformemente Distribuída
123
Destaca-se que algumas publicações, dentre elas o prEN1993-1-1:2002,
consideram como momento de referência o momento fletor na seção do meio do vão
=
24
2LqM . Assim, os valores apresentados a seguir dos coeficientes C1 ou Cb
destes trabalhos foram aqui multiplicados por dois.
4.6.1 - Resumo da Literatura
Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão de vigas bissimétricas,
Kirby; Nethercot (1979) sugerem o valor ≅bC 2,564, semelhante ao valor obtido
por Nethercot; Trahair (1976), a saber: Cb = 2,58. Salmon; Johnson (1990) e
Aoki; Kubo (1997) recomendam, respectivamente, a utilização de C1 = 2,60 e
55,12 =C , C1 = 2,572 e C2 = 1,563.
Alternativamente, no mesmo artigo supracitado, Kirby; Nethercot (1979)
propõem a utilização da expressão (4.11), obtendo-se o que segue:
( ) ( )22 6612
zLLzq
zM −−= , implicando:
( )964
2LqLzMM A === ;
( )242
2LqLzMM B === ;
( ) AC MLzMM === 43 ;
( )12
02
max
qLzMM ===
Tem-se, desta forma ≅bC 2,526.
124
Para vigas bissimétricas com µ < 100, Austin; Yegian; Tung (1955)
apresentam uma série de tabelas com valores auxiliares adimensionais para o cálculo
do momento crítico, dos quais se obtêm:
condição de vínculo tipo I: C1 = 2,60 ; ky = 1,0 ; kω = 1,0
condição de vínculo tipo IV: C1 = 1,72 ; ky = 0,5 ; kω = 0,5
Por sua vez, o coeficiente Cb na norma americana prAISC-LRFD:2003 é
obtido por meio da expressão (3.20), resultando ≅bC 2,381.
As recomendações do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 encontram-
se nas tabelas das Figuras 27 e 28. Utilizando-se ainda a expressão (3.33), obtém-se
Cb = 2,50.
Note-se que este caso de vinculação não é tratado no prEN1993-1-1:2002, de
forma que serão apresentados os valores da versão preliminar do regulamento
europeu do ano de 2000, a saber:
ky C1 C2 C3
1,0 2,570 1,562 0,753
0,5 1,428 0,652 1,070
Figura 80 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga
Uniformemente Distribuída - prEN1993-1-1:2000
125
4.6.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
2,350
2,450
2,550
2,650
2,750
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Salmon; Johnson (1990) prAISC-LRFD:2003prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004 prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 81 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída
126
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS prEN1993-1-1:2000
Figura 82 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída
2,800
2,850
2,900
2,950
3,000
3,050
3,100
3,150
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004
Figura 83 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída
127
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
6,000
6,500
7,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Austin et al (1955) prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004
Figura 84 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com
Carga Uniformemente Distribuída
4.6.3 - Análise dos Resultados
Inicialmente, percebe-se que a presença do engaste no plano da flexão
aumenta consideravelmente a relação crcr MM 0 quando comparada ao caso de vigas
biapoiadas com mesmo carregamento.
Os valores da relação crcr MM 0 obtidos por meio do programa PEFSYS
mostram-se superiores aos apresentados na literatura para todas as condições de
vínculo analisadas.
As diferenças entre o PEFSYS e os resultados do prEN1999-1-1:2004 são
inferiores a 5% para todas as condições de vínculo. Em relação à versão de 2000, as
128
diferenças para as condições de vínculo I a IV chegam a, respectivamente, 5%, 15%,
10% e 25%.
O resultado sugerido pela norma americana está excessivamente a favor da
segurança, apresentando valores até 15% inferiores aos da Teoria Geometricamente
Exata para condição de vínculo tipo I.
Por outro lado, para a mesma condição de vínculo, a expressão (3.33) do
prEN1999-1-1:2004 e os resultados de Salmon; Johnson (1990) apresentam,
respectivamente, diferenças de 9% e 5% em relação aos valores do PEFSYS.
O gráfico apresentado na Figura 85 compara os resultados obtidos por meio
do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculo, no qual se verifica que a
diferença entre os resultados para as vinculações tipo I e IV varia de 50 a 140%.
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 85 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada
com Carga Uniformemente Distribuída
129
Constata-se que, diferente do que ocorre para o caso de vigas biapoiadas, a
restrição ao empenamento nas extremidades (condição de vínculo tipo II) aumenta o
valor da relação crcr MM 0 de forma mais significativa quando se compara aos casos
com a presença de engaste no plano ortogonal ao da flexão (condição de vínculo tipo
III).
Além disso, verifica-se novamente que o efeito da força cortante é importante
para valores baixos de µ.
4.7 - VIGA BIENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO
VÃO
Da mesma forma como realizado para vigas biapoiadas, analisa-se neste item
a influência da presença de carga concentrada no meio do vão de uma viga
biengastada.
Como mostra a Figura 86, o momento de referência para o qual são
comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento fletor na
seção do meio do vão, que tem o mesmo valor em módulo do momento na seção do
engaste, a saber:
( )( )
8
LFM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.29)
130
Figura 86 - Momento Fletor de Referência para Viga Biengastada com Carga
Concentrada no Meio do Vão
4.7.1 - Resumo da Literatura
Para carga concentrada no meio do vão, Kirby; Nethercot (1979) sugerem o
valor ≅bC 1,695, semelhante ao valores de Nethercot; Trahair (1976), a saber:
.70,1=bC Salmon e Johnson (1990) e Aoki; Kubo (1997) recomendam,
respectivamente, a utilização de C1 = 1,70 , C2 = 1,42 e C1 = 1,736 , C2 = 1,406.
Utilizando-se ainda a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot
(1979), obtém-se o que segue:
( ) ( )LzF
zM −= 48
para 2Lz < , implicando:
( ) 04 === LzMM A ;
( )82LFLzMM B === ;
( ) AC MLzMM === 43 ;
BMM =max
131
Tem-se, desta forma =bC 2,000.
Para vigas bissimétricas com µ < 100, Austin; Yegian; Tung (1955)
apresentam uma série de tabelas com valores adimensionais para o cálculo do
momento crítico, dos quais se obtêm:
condição de vínculo tipo I: C1 = 1,70 ; ky = 1,0 ; kω = 1,0
condição de vínculo tipo IV: C1 = 1,04 ; ky = 0,5 ; kω = 0,5
O coeficiente Cb na norma americana é obtido por meio da expressão (3.20),
resultando ≅bC 1,923.
Utilizando-se a expressão (3.33) proposta pelo regulamento europeu
prEN1999-1-1:2004, obtém-se Cb = 1,700. Por sua vez, os coeficientes C1, C2 e C3
para este caso de carregamento e vinculação encontram-se nas tabelas das Figuras
27 e 28.
Observa-se ainda que, novamente, este caso não é tratado no prEN1993-1-
1:2002, de forma que são aqui apresentados os valores da edição preliminar do ano
de 2000, a saber:
ky C1 C2 C3
1,0 1,565 1,267 2,640
0,5 0,938 0,715 4,800
Figura 87 - Tabela - C1, C2, C3 para Viga Biengastada com Carga Concentrada
no Meio do Vão - prEN1993-1-1:2000
132
4.7.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
1,500
1,600
1,700
1,800
1,900
2,000
2,100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) Kirby; Nethercot (1979) - 4.11prAISC-LRFD:2003 prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 88 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
133
1,500
1,750
2,000
2,250
2,500
2,750
3,000
3,250
3,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS prEN1993-1-1:2000
Figura 89 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
1,860
1,880
1,900
1,920
1,940
1,960
1,980
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004
Figura 90 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
134
2,000
2,250
2,500
2,750
3,000
3,250
3,500
3,750
4,000
4,250
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Austin et al (1955) prEN1993-1-1:2000 prEN1999-1-1:2004
Figura 91 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Biengastada com
Carga Concentrada no Meio do Vão
4.7.3 - Análise dos Resultados
Os valores da relação crcr MM 0 obtidos por meio do programa PEFSYS
mostram-se superiores aos apresentados na literatura, exceção ao caso de vinculação
tipo I. Neste, os valores obtidos por meio da expressão (3.20) são aproximadamente
10% superiores aos da Teoria Exata, indicando que o resultado sugerido pela norma
americana está contra a segurança.
Para a condição de vínculo tipo II, a diferença entre os valores da Teoria
Exata e os do regulamento europeu prEN1993-1-1:2000 são da ordem de 20%; para
a vinculação tipo III, apenas 5%; e para a vinculação tipo IV, da ordem de 15%. Por
outro lado, nesses casos, as diferenças entre o PEFSYS e os resultados do
prEN1999-1-1:2004 são inferiores a 5%.
135
O gráfico apresentado na Figura 92 compara os resultados obtidos por meio
do programa PEFSYS para as quatro condições de vinculação. A diferença entre os
valores da relação crcr MM 0 para as vinculações tipo I e IV varia de 30 a 130%,
sendo maior para valores baixos de µ.
No caso de carga uniformemente distribuída ao longo do vão de vigas
biengastadas, a influência da restrição ao empenamento é mais significativa do que
aquele para engastamento à flexão no plano ortogonal ao da flexão.
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 92 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biengastada
com Carga Concentrada no Meio do Vão
136
4.8 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA
COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
Por ser um caso pouco estudado na literatura e por apresentar assimetria de
vinculação no plano da flexão, considera-se importante para esta análise o estudo de
vigas apoiadas em uma extremidade e engastadas na outra.
No caso de carga uniformemente distribuída ao longo do vão, o momento
fletor de referência ocorre na seção junto ao engaste, conforme mostra a Figura 93.
( )( )
8
2LqM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.30)
Figura 93 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
Para este item, assim como para os itens 4.9 e 4.10, adotar-se-á, por
simplicidade, condição de vínculo tipo I na extremidade apoiada, alterando-se em
cada caso apenas as vinculações no engaste.
137
4.8.1 - Resumo da Literatura
Na bibliografia pesquisada, não foram encontrados resultados específicos
para este caso de vinculação, de forma que só é possível comparar os resultados
obtidos por meio do programa PEFSYS com as recomendações de Kirby; Nethercot
(1979), da norma americana prAISC-LRFD:2003 e do regulamento europeu
prEN1999-1-1:2004.
Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),
obtém-se o que segue:
( )28
3 2qzzqLzM −= , implicando:
( )164
2LqLzMM A === ;
( )162
2LqLzMM B === ;
( ) 043 === LzMM C ;
( )8
2
max
qLLzMM ===
Tem-se, desta forma ≅bC 2,182.
O coeficiente Cb definido pela norma americana é obtido por meio da
expressão (3.20), resultando: ≅bC 2,083.
Por sua vez, utilizando-se a expressão (3.33) do prEN1999-1-1:2004, obtém-
se ≅bC 2,404. Observe-se que não há indicação deste caso de vinculação nas tabelas
das Figuras 27 e 28.
138
4.8.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
2,050
2,100
2,150
2,200
2,250
2,300
2,350
2,400
2,450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 94 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
139
2,250
2,500
2,750
3,000
3,250
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 95 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
2,400
2,420
2,440
2,460
2,480
2,500
2,520
2,540
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 96 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
140
2,500
2,750
3,000
3,250
3,500
3,750
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 97 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
4.8.3 - Análise dos Resultados
Nota-se que para a condição de vínculo tipo I, as recomendações do prAISC-
LRFD:2003 estão a favor da segurança quando comparadas aos resultados do
PEFSYS, apresentando diferenças da ordem de 10%. Por sua vez, para a expressão
do regulamento europeu prEN1999-1-1:2004, os resultados estão contra a
segurança.
A diferença entre os resultados do programa PEFSYS para as quatro
diferentes vinculações na extremidade engastada varia de 20% a 65%, conforme
mostra o gráfico da Figura 98.
141
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 98 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Uniformemente Distribuída
Novamente, para os casos de vinculação aqui estudados, a relação
crcr MM 0 praticamente independe de µ para as condições de vínculo tipo I e III, e
decresce com o aumento de µ para as condições tipo II e IV. A influência da restrição
ao empenamento mostra-se de novo mais significativa do que o engaste no plano
ortogonal ao da flexão.
Tendo em vista que as condições de vínculo afetam significativamente os
valores da relação crcr MM 0 , faz-se mister uma análise mais acurada deste caso; em
especial, para diferentes vinculações na extremidade apoiada. Este estudo não faz
parte do escopo deste trabalho.
Em virtude do exposto, os valores aqui obtidos representam uma orientação
para uma possível revisão das normas de projeto, em especial a NBR8800:1986.
142
4.9 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA OUTRA
COM CARGA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO
Para carga concentrada no meio do vão, o momento de referência para o qual
são comparados os valores da literatura e os do programa PEFSYS é o momento
fletor na seção do engaste, como mostra a Figura 99.
Figura 99 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão
Tem-se assim:
( )( )
16
3 LFM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.31)
4.9.1 - Resumo da Literatura
Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),
obtém-se o que segue:
( )16
5 zFzM = para 2
Lz ≤ e
143
( )
−=1611
2zL
FzM para 2Lz ≥ , implicando:
( )64
54
FLLzMM A === ;
( )32
52
FLLzMM B === ;
( )644
3 FLLzMM C === ;
( )16
3max
FLLzMM ===
Tem-se, desta forma ≅bC 1,756.
Por sua vez, o coeficiente Cb definido pela norma americana prAISC-
LRFD:2003 é obtido por meio da expressão (3.20), resultando em ≅bC 1,705.
Utilizando-se a expressão (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-
1:2004, obtém-se ≅bC 1,817.
4.9.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
144
1,700
1,750
1,800
1,850
1,900
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 100 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão
2,000
2,100
2,200
2,300
2,400
2,500
2,600
2,700
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 101 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão
145
1,925
1,950
1,975
2,000
2,025
2,050
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 102 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão
2,000
2,200
2,400
2,600
2,800
3,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 103 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do Vão
146
4.9.3 - Análise dos Resultados
Nota-se que para a condição de vínculo tipo I, as recomendações do prAISC-
LRFD:2003, de Kirby; Nethercot (1979) e do prEN1999-1-1:2004 estão a favor da
segurança quando comparadas aos resultados do PEFSYS, apresentando diferenças
inferiores a 11%, 8% e 4%, respectivamente.
A diferença entre os resultados do programa PEFSYS para as quatro
diferentes vinculações varia de 20% a 60%, conforme mostra o gráfico da Figura
104. Observa-se nesse mesmo gráfico que a influência no valor da relação
crcr MM 0/ da restrição ao empenamento nas extremidades da viga é mais
significativa do que o engaste no plano ortogonal ao da flexão.
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 104 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada
numa Extremidade e Engastada na Outra com Carga Concentrada no Meio do
Vão
147
Constata-se ainda que a variação qualitativa da relação crcr MM 0 com o
parâmetro µ apresenta o mesmo comportamento verificado nos itens anteriores.
4.10 - VIGA APOIADA NUMA EXTREMIDADE E ENGASTADA NA
OUTRA COM MOMENTO FLETOR APLICADO NA EXTREMIDADE
APOIADA
Para momento fletor aplicado na extremidade apoiada, o momento de
referência para o qual são comparados os valores da literatura e os do programa
PEFSYS é o próprio momento na seção do apoio, como mostra a Figura 105.
Figura 105 - Momento Fletor de Referência para Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
Tem-se assim:
( ) 0MM PEFSYSref = (4.32)
148
4.10.1 - Resumo da Literatura
Utilizando-se a expressão (4.11) proposta por Kirby; Nethercot (1979),
obtém-se o que segue:
( ) ( )zLL
MzM 32
20 −= , implicando:
( )8
54
0MLzMM A === ;
( )42
0MLzMM B === ;
( )84
3 0MLzMM C === ;
( ) 0max 0 MzMM ===
Tem-se, desta forma ≅bC 2,286.
Por sua vez, o coeficiente Cb definido pela norma americana é obtido por
meio da expressão (3.20), resultando =1C 2,174.
Utilizando-se a expressão (3.33) do regulamento europeu prEN1999-1-
1:2004, obtém-se ≅bC 2,483.
4.10.2 - Influência das Condições de Vínculo
A seguir, sob a forma de gráficos, apresentam-se os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e das normas de projeto para as condições de vínculo I a IV.
149
2,000
2,200
2,400
2,600
2,800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Kirby; Nethercot (1979) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004 - 3.33
Figura 106 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo I - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
2,500
2,700
2,900
3,100
3,300
3,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 107 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo II - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
150
2,500
2,550
2,600
2,650
2,700
2,750
2,800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 108 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo III - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
2,500
2,700
2,900
3,100
3,300
3,500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS
Figura 109 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Vinculação Tipo IV - Viga Apoiada numa
Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
151
4.10.3 - Análise dos Resultados
Novamente para a condição de vínculo tipo I, as recomendações da norma
americana, de Kirby; Nethercot (1979) e do regulamento europeu estão a favor da
segurança quando comparadas aos resultados do PEFSYS, apresentando diferenças
da ordem de 20%, 15% e 5%, respectivamente.
A diferença entre os resultados do programa PEFSYS para as quatro
diferentes vinculações varia de 10% a 40%, conforme mostra o gráfico da Figura
110.
Neste caso de carregamento, a relação crcr MM 0 diminui na medida em que
se aumentam os valores do parâmetro µ para todas as condições de vínculo
estudadas, embora este comportamento seja pouco acentuado para as condições de
vínculo tipo I e III.
Observa-se ainda que os valores do PEFSYS são similares aos apresentados
no caso de vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor com 5,0=ψ (item
4.1).
Por fim, constata-se que a influência no valor da relação crcr MM 0 da
restrição ao empenamento é mais significativa do que o engaste no plano ortogonal
ao da flexão.
152
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II Vinculação Tipo III Vinculação Tipo IV
Figura 110 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Apoiada
numa Extremidade e Engastada na Outra com Momento Fletor Aplicado na
Extremidade Apoiada
4.11 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA CONCENTRADA NA
EXTREMIDADE LIVRE
Para as vigas em balanço, são por ora estudados os casos onde a carga está
aplicada no centro de torção, a extremidade livre não possui qualquer tipo de
restrição, e a outra extremidade representa um engaste perfeito no plano da flexão,
associado à condição de vínculo tipo IV (restrições ao empenamento e à flexão na
direção de menor inércia).
Vigas com carga aplicada fora do centro de torção ou com vínculos na
extremidade livre são analisadas apenas no capítulo 5, embora os resultados
encontrados na literatura sejam apresentados neste item.
153
O momento de referência neste caso é dado por:
( ) ( ) LFM PEFSYScrPEFSYSref = (4.33)
Figura 111 - Momento Fletor de Referência para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre
4.11.1 - Resumo da Literatura
Timoshenko; Gere (1961) resolvem o problema específico de uma viga em
balanço com seção transversal tipo I e carga concentrada na extremidade livre por
meio da utilização do sistema de equações de equilíbrio, deduzido especificamente
para este caso de vinculação e carregamento.
A solução desse sistema de equações diferenciais fornece o valor do momento
crítico, a saber:
L
IGIEM
ty
cr
.γ= (4.34)
onde:
154
γ é um adimensional que, para grandes valores de µ , poder ser dado
aproximadamente por:
( )21
013,4
µγ
−= (4.35)
Para que os valores obtidos por Timoshenko; Gere (1961) possam ser
comparados com os demais autores, pode-se obter o coeficiente Cb , correspondente à
razão entre o momento crítico da viga em balanço e o momento crítico básico,
implicando:
µππγ
21 +=bC (4.36)
Alguns valores do parâmetro γ são apresentados a seguir:
µµµµ 0,1 1 2 3 4 6 8
γγγγ 44,3 15,7 12,2 10,7 9,76 8,69 8,03
µµµµ 10 12 14 16 24 32 40
γγγγ 7,58 7,20 6,96 6,73 6,19 5,87 5,64
Figura 112 - Tabela - Parâmetro γ γ γ γ para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Timoshenko; Gere (1961)
Para valores de µ = ωIELIG t /2 ∞ , o coeficiente Cb se aproxima de
1,28, que é o valor recomendado por Clark; Hill (1960) e Allen; Bulson (1980) para
vigas em balanço.
155
Por sua vez, Salmon; Johnson (1990) apresentam os valores 30,11 =C e
.64,02 =C
Para carregamento aplicado no centro de torção, Nethercot; Rockey (1971)
propõem o uso da expressão:
µµ75,18,1
28,1 +−=bC (4.37)
Para valores de µ superiores a quatro, Nethercot (1973b) propõe o uso de
expressões semelhantes às (4.23), (4.24) e (4.25), adaptadas para vigas em balanço
como segue:
carga aplicada no centro de torção:
ACb = (4.38)
carga aplicada na aba superior:
1BA
Cb = (4.39)
carga aplicada na aba inferior:
2BACb = (4.40)
Quando a extremidade livre não possui restrições, os parâmetros auxiliares A,
B1 e B2 são dados por:
156
µµ521,2539,3
287,1 +−=A (4.41.a)
µµ364,2016,3
947,01 ++=B (4.41.b)
µµ189,1024,0
995,02 +−=B (4.41.c)
Novamente para µ ∞ , o coeficiente Cb tende a 1,28 para qualquer posição
da carga.
Nethercot (1973b) apresenta os parâmetros supracitados também para alguns
casos de vinculação na extremidade livre, com vínculos no centro de torção, a saber:
TIPO V
TIPO VI
TIPO VII
VÍNCULO RESTRIÇÃO NA EXTREMIDADE LIVRE
rotação em torno de z e deslocamento lateral
rotação em torno de z
deslocamento lateral
Figura 113 - Tabela - Tipos de Vinculação na Extremidade Livre de Vigas em
Balanço
Tem-se, desta forma:
157
Vínculo A B1 B2
V µµ681,4192,4
743,1 +− 1 1
VI µµ948,1461,3
167,2 +− µµ046,4478,3
905,0 +−
µµ
745,1438,0009,1 +−
VII µµ010,5624,3
163,3 +− 1 1
Figura 114 - Tabela - Coeficientes A, B1 e B2 para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)
Kerensky et al. (1956) apud Nethercot (1973b) define o momento crítico de
uma viga em balanço por meio da seguinte expressão:
2
.1
.
+=
LkIGIE
IGIELk
Mbt
tyb
cr
ππ ω (4.42)
onde:
kb é um fator que define o comprimento efetivo de uma viga em balanço
Pode-se admitir por simplicidade que a formulação via comprimentos
equivalentes de vigas em balanço é uma adaptação da expressão (3.22), admitindo-se
C1 = C2 = C3 = 1,0 e valores iguais de ky e kω, os quais não estão aqui associados às
restrições no plano ortogonal ao da flexão e ao empenamento.
Assim, por meio dessa formulação, pode-se avaliar a flambagem lateral de
vigas em balanço para diferentes vinculações na extremidade livre variando-se
apenas um parâmetro, associado ao comprimento da viga.
158
É interessante observar que esta formulação, utilizando apenas comprimentos
efetivos e sem um coeficiente de equivalência de momentos (C1 ou Cb), contraria o
senso comum, pois implica o uso de “comprimentos de flambagem” por vezes
inferiores ao comprimento real da viga, eliminando qualquer similaridade com a
flambagem de pilares.
A seguir, apresentam-se na tabela da Figura 115 valores do comprimento
efetivo obtidos por Kerensky et al. (1956) para diferentes vinculações no centro de
torção das vigas, admitindo-se Iω = 0, ou seja, ∞→µ .
Destaca-se que para todas as tabelas subseqüentes, convenciona-se considerar
a carga aplicada na extremidade livre no sentido da aba tracionada para o centro de
torção, logo com efeito desestabilizante se aplicada no topo da viga (vide item 3.1).
Essa observação é importante na medida em que cargas no sentido contrário
(por exemplo, originadas de sucção de vento) podem induzir a uma interpretação
errada de alguns resultados que se referem à posição da carga em relação ao centro
de torção (acima ou abaixo deste) e não em relação às regiões tracionadas ou
comprimidas da viga.
1,02 L
-
0,9 L
0,85 L
-
0,75 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
Livre
Carga na
Engaste Perfeito0,6 L 0,5 L
Carga no
Centro de TorçãoAba Tracionada
Figura 115 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Kerensky et al. (1956)
159
Utilizando a expressão (4.42) e considerando agora o efeito do empenamento
na formulação proposta por Kerensky et al. (1956), Nethercot (1973b) sugere os
valores de comprimentos efetivos indicados na tabela da Figura 116.
1,4 L
1,4 L
0,55 L
0,75 L
0,65 L
0,55 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
Livre Aba Tracionada
Engaste Perfeito0,45 L 0,45 L
Carga no
Centro de Torção
Carga na
Figura 116 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Nethercot (1973b)
Os valores obtidos por Nethercot (1973b) para carga no centro de torção são
recomendados em algumas publicações para os casos onde a carga é aplicada ou em
qualquer posição ou entre o centro de torção e a aba comprimida. Esta consideração é
contra a segurança se a carga é aplicada numa posição qualquer entre o centro de
torção e a aba tracionada.
Kirby; Nethercot (1979) e Galambos (1998) apresentam valores
semelhantes aos de Nethercot (1973b), conforme mostram as tabelas das Figuras
117 e 118.
160
1,4 L
1,4 L
0,6 L
0,8 L
0,7 L
0,6 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
LivreCarga na
Outros Casos
Engaste Perfeito0,5 L 0,5 L
Aba Tracionada
Figura 117 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Kirby; Nethercot (1979)
1,4 L
1,4 L
0,6 L
0,8 L
0,7 L
0,6 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
LivreCarga na
Outros Casos Aba Tracionada
Figura 118 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Galambos (1998)
Na Figura 119 destaca-se que embora os valores apresentados por Nethercot
(1973b) e Galambos (1998) sejam os mesmos em três dos quatro casos estudados, as
condições de vínculo correspondentes consideradas por cada autor não são as
mesmas.
161
Galambos (1998) Nethercot (1973)
Figura 119 - Comparação entre as Hipóteses de Vinculação
A vinculação no centro de torção da extremidade livre apresentada em
Nethercot (1973b) corresponde numericamente em Galambos (1998) à vinculação
da aba tracionada da viga.
Por outro lado, a vinculação à rotação no centro de torção é tida em
Galambos (1998) como restrição ao deslocamento lateral das abas da viga. Neste
caso, o deslocamento lateral é impedido, o que não ocorre para a condição de vínculo
proposta por Nethercot (1973b).
Essa; Kennedy (1994) apresentam os valores da tabela da Figura 120.
162
0,57 +
0,44 L
0,75 L
0,5 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
Livre
Carga na
0,71π(µ)1/2
- 0,1πµ
L2
0,44 L
1,20 - 0,161π(µ)1/2
L - 0,184π
µ2
Carga no
Centro de Torção Aba Tracionada
Figura 120 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Concentrada na Extremidade Livre - Essa; Kennedy (1994)
Quando a carga está aplicada entre o centro de torção e a aba tracionada,
Essa; Kennedy (1994) definem o coeficiente de comprimento equivalente k por
meio de interpolação linear, como segue:
( ) tfC krkrk ,1−+= (4.43)
onde:
Ck é o coeficiente de comprimento equivalente para carga aplicada no centro de
torção.
tfk , é o coeficiente de comprimento equivalente para carga aplicada na aba
tracionada.
( ) ( )
−+
−=
d
ye
d
yer CyCy 5,1 (4.44)
163
No caso de vigas bissimétricas, Trahair (1993) obtém a seguinte expressão:
( )( )
( )( )
−+
−+
−+
++=
222
2
22
2
1,02,11
1,02,1124
2,11
2,1111
ε
επ
ε
ε ω
LGI
EI
GIEI
FL
tty
sendo:
( )
t
yCy
GI
EI
L
ye −=ε (4.45)
Para carga no centro de torção da viga, 0=ε , e esta expressão resulta em:
+≅=2
2
12,125,1LGI
EIGIEI
LLFM
ttycr
ωππ (4.46)
Por sua vez, as normas NBR8800:1986, prAISC-LRFD:2003 e prEN1993-
1-1:2002 sugerem adotar o valor Cb = 1,0 para vigas em balanço com quaisquer
condições de vínculo e carregamento; enquanto que as recomendações da norma
prEN1999-1-1:2004 são apresentadas na tabela da Figura 29 e nas expressões
subseqüentes a ela. Destaca-se que, nesta última, ky = kω = 2,0.
4.11.2 - Análise dos Resultados
Apresentam-se agora os resultados obtidos por meio do programa PEFSYS
apenas para carga concentrada aplicada no centro de torção da viga e sem quaisquer
restrições na extremidade livre. O estudo dos casos com vinculação na extremidade
livre de vigas em balanço ou com carga fora do centro de torção encontra-se no
capítulo 5.
164
Os valores obtidos por meio da Teoria Geometricamente Exata mostram que
as recomendações de grande parte das publicações e normas de projeto estão
exageradamente a favor da segurança.
Neste sentido, observa-se no gráfico da Figura 121 que a diferença entre os
valores obtidos com o uso de um comprimento equivalente único e os resultados do
programa PEFSYS chegam a até 60%.
Em contrapartida, os valores propostos por Trahair (1993) e pelo
regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças da ordem de
apenas 5%, estando também a favor da segurança quando comparados àqueles
obtidos por meio do uso da Teoria Geometricamente Exata.
Note-se ainda que os resultados de Nethercot; Rockey (1971) e Nethercot;
Rockey (1973) são incongruentes com os do PEFSYS, já que nesses a relação
crcr MM 0 cresce para valores mais baixos de µ, ao contrário do que se verifica para
a Teoria Exata. Por sua vez, para valores maiores de µ, os valores da relação
crcr MM 0 dessas duas publicações praticamente independem do parâmetro µ,
embora mostrem-se exageradamente conservadores.
Por outro lado, o comportamento da curva resultante do uso da Teoria Exata
assemelha-se, em toda sua extensão, àquele verificado para Trahair (1993) e para a
norma prEN1999-1-1:2004.
165
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
1,800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Clark; Hill (1960) Timoshenko; Gere (1961)Nethercot; Rockey (1971) Nethercot; Rockey (1973) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Kerensky (1956) - k=0,85 Nethercot (1973) - k=0,75Kirby;Nethercot (1979) - k=0,80 prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 121 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
na Extremidade Livre
Observa-se que para µ da ordem de 80, os valores obtidos pelo PEFSYS
( 60,1≅bC ) ainda são muito superiores àqueles comumente adotados na literatura
para µ ( 28,1=bC ).
Além disso, os valores do PEFSYS ainda decrescem com o coeficiente µ sem
apresentar, aparentemente, um ponto de convergência.
Em vista disso, opta-se por uma nova análise paramétrica, escolhendo-se
determinados vãos para as vigas em balanço que impliquem valores elevados de µ,
embora não-usuais na prática. Estes resultados encontram-se no gráfico da Figura
122, no qual se verifica que a relação crcr MM 0 tende a 1,40.
166
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Casos Adicionais
Figura 122 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Casos Adicionais para Viga em Balanço
com Carga Concentrada na Extremidade Livre
4.12 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUÍDA
O caso de vigas em balanço com carga uniformemente distribuída ao longo
do vão apresenta as mesmas particularidades descritas no item 4.11. Entretanto, por
ser menos desfavorável, alguns autores estendem os valores encontrados para carga
concentrada na extremidade livre para este caso, implicando valores excessivamente
a favor da segurança.
O momento de referência para o qual são comparados os valores da literatura
e os do programa PEFSYS é o momento fletor na seção junto ao engaste, como
mostra a Figura 123.
167
( )( )
2
2LqM PEFSYScr
PEFSYSref = (4.47)
Figura 123 - Momento Fletor de Referência para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída
4.12.1 - Resumo da Literatura
Poley (1954) resolve o problema de vigas em balanço com carga
uniformemente distribuída ao longo do vão pelo Método das Diferenças Finitas,
considerando vigas de seção bissimétrica, totalmente engastadas em uma
extremidade e totalmente livres na outra, com carregamento aplicado no centro de
torção.
De forma análoga ao já exposto, é proposto o uso de uma expressão que
correlaciona os valores de Cb ao parâmetro µ , a saber:
122
+
=
µππ
γbC (4.48)
onde:
168
γ é um adimensional auxiliar dado pela tabela da Figura 124.
µµµµ 1 2 3 4 6 8 10
γγγγ 66,9 50,9 44,0 39,8 34,9 31,9 29,8
µµµµ 12 14 16 24 32 40 100
γγγγ 28,3 27,1 26,0 23,5 21,9 20,9 17,6
Figura 124 - Tabela - Coeficiente γγγγ para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Poley (1954)
Timoshenko; Gere (1961) determinam o momento crítico por meio da
seguinte expressão:
L
IGIEM
ty
cr
425,6= (4.49)
Clark; Hill (1962) e Allen; Bulson (1980) sugerem o uso do valor
05,2=bC , semelhante ao apresentado por Salmon; Johnson (1990), a saber:
10,2=bC .
Nethercot; Rockey (1971) propõem o uso da expressão:
µµ88,50,6
054,2 +−=bC (4.50)
169
Utilizando as expressões (4.38) a (4.40) e com as mesmas considerações de
Poley (1954), Nethercot (1973b) sugere os seguintes valores dos coeficientes A, B1 e
B2 para o caso onde não existem restrições na extremidade livre:
µµ245,7114,9
030,2 +−=A (4.51.a)
µµ418,3290,1
934,01 ++=B (4.51b)
µµ644,3806,2
002,12 +−=B (4.51.c)
Nethercot (1973b) apresenta também os coeficientes supracitados para os
casos de vinculação na extremidade livre definidos no item 4.11, a saber:
Vínculo A B1 B2
V µµ36,10858,9
499,2 +− µµ
933,0956,0990,0 +−
µµ822,0860,0
994,0 +−
VI µµ354,914,12
182,4 +− µµ
710,7059,1849,0 ++
µµ644,3806,2
002,1 +−
VII µµ50,1514,14
941,4 +− µµ
926,1020,2971,0 +−
µµ549,1628,1
985,0 +−
Figura 125 - Tabela - Coeficientes A, B1 e B2 para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)
170
Utilizando a expressão (4.42), Nethercot (1973b) apresenta na tabela da
Figura 126 os valores dos comprimentos equivalentes para vigas em balanço com
carga uniformemente distribuída.
1,0 L
0,9 L
0,45 L
0,5 L
0,4 L
0,4 L
Extremidade ApoiadaExtremidade
Livre
Engaste Perfeito0,4 L 0,3 L
Carga no
Centro de Torção
Carga na
Mesa Tracionada
Figura 126 - Tabela - Comprimento Efetivo para Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída - Nethercot (1973b)
Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão, Kerensky et al.
(1956), Kirby; Nethercot (1979) e Galambos (1998) conservadoramente sugerem
os mesmos valores apresentados sob a forma de tabela nas Figuras 115, 117 e 118
para carga concentrada na extremidade livre.
Por sua vez, Trahair (1993) propõe o uso da seguinte expressão:
( )( )( )
( )( )( )
−+
−+
−+
−+
−+=
222
2
22
3
1,03,11
1,03,11210
1,04,11
1,04,1127
2 ε
επ
ε
ε ω
LGI
EI
GIEI
qL
tty
(4.52)
onde ε é dado pela expressão (4.45)
171
Para carga no centro de torção da viga, 0=ε , resultando em:
−+≅= 277,240,7
2 2
22
LGI
EIGIEI
LqL
Mt
tycrωππ
(4.53)
Novamente, as normas NBR8800:1986, prAISC-LRFD:2003 e prEN1993-
1-1:2002 recomendam adotar o valor Cb = 1,0. Por sua vez, as recomendações de
prEN1999-1-1:2004 são apresentadas na tabela da Figura 30 e nas expressões
subseqüentes a ela.
4.12.2 - Análise dos Resultados
Os resultados obtidos por meio do programa PEFSYS (gráfico da Figura
127) confirmam que grande parte das recomendações da literatura técnica e das
normas de projeto para momento crítico de vigas em balanço com carga
uniformemente distribuída ao longo do vão está exageradamente a favor da
segurança.
Em especial, para aquelas que adotam os mesmos valores sugeridos para
vigas em balanço com carga concentrada na extremidade livre, as diferenças chegam
a aproximadamente 200% quando comparadas com os resultados do PEFSYS.
Em contrapartida, os resultados propostos por Trahair (1993) e pelo
regulamento europeu prEN1999-1-1:2004 apresentam diferenças da ordem de
apenas 5%, estando a favor da segurança quando comparados àqueles obtidos por
meio do uso da Teoria Geometricamente Exata.
172
Da mesma forma como visto no item 4.11, os resultados dessas duas
publicações e do PEFSYS apresentam comportamentos distintos quando comparados
àquele verificado para Nethercot; Rockey (1971) e Nethercot; Rockey (1973).
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Poley (1954)Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971)Nethercot; Rockey (1973) Trahair (1993)Kerensky (1956) - k=0,85 Nethercot (1973) - k=0,50Kirby; Nethercot (1979) - k=0,80 prAISC-LRFD:2003prEN1999-1-1:2004
Figura 127 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga
Uniformemente Distribuída
Observa-se, novamente, que os valores do PEFSYS ainda não apresentam um
ponto de convergência e que, para µ da ordem de 80, os valores obtidos pelo
PEFSYS ( 85,2≅bC ) ainda são muito superiores àqueles comumente adotados na
literatura para µ (Cb = 2,05).
Procedendo-se uma nova análise paramétrica para vigas com valores elevados
de µ, observa-se no gráfico da Figura 128 que a relação crcr MM 0 tende a 2,30.
173
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Inicial) Casos Adicionais
Figura 128 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Casos Adicionais para Viga em Balanço
com Carga Uniformemente Distribuída
174
5 - ANÁLISE NUMÉRICA PARA ALGUNS CASOS
ADICIONAIS
5.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS
As expressões deduzidas no item 2.3 foram simplificadas no item 3.2, para o
cálculo do momento crítico, admitindo-se que o eixo da barra passa pelo centro de
torção e que os vínculos estão neste ponto; os deslocamentos são os do centro de
torção, para o qual a posição do carregamento também é referenciada.
Entretanto, a análise da flambagem lateral pode envolver casos mais
complexos, como as vigas com carregamento e/ou vínculos fora do centro de torção,
ou aqueles que apresentam variações na seção transversal ao longo do vão.
Considerando-se por exemplo a existência de lamelas, recortes e/ou aberturas
na seção, a posição do centro de torção varia ao longo do vão da viga, implicando
alteração no valor do momento crítico, na medida que, além da mudança nas
propriedades geométricas nestes trechos, altera-se a posição do carregamento em
relação ao centro de torção.
Na modelagem em elementos finitos do programa PEFSYS, tem-se a
vantagem de que tanto o eixo da barra quanto os vínculos, o carregamento e o centro
de torção podem estar em qualquer posição.
Escolhe-se, nestes casos, um eixo qualquer para a barra e definem-se, para
cada elemento, as posições do centro de torção e centro de gravidade relativas a este
eixo (bem como as demais propriedades geométricas da seção, a posição dos
vínculos e a posição de aplicação do carregamento). Os resultados do programa
PEFSYS são, dentre outros, os deslocamentos dos pontos contidos no eixo definido
175
para a barra, e não os deslocamentos do centro de torção da viga, como ocorre nas
teorias aproximadas convencionais.
Como estas teorias trabalham apenas com o centro de torção como referência,
entende-se que, no caso da presença de lamelas nas abas da viga, a mudança em si da
posição do centro de torção é desprezada no cálculo do momento crítico, de forma
que apenas são consideradas as alterações nas propriedades geométricas (área,
momentos de inércia, etc.) e a conseqüente mudança na posição de aplicação do
carregamento em relação ao centro de torção.
A precisão dos resultados obtidos por meio da Teoria Não-Linear
Geometricamente Exata (PEFSYS) está diretamente relacionada ao refinamento da
malha de elementos finitos utilizada, e não à variação da posição do centro de torção.
5.2 - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Estudam-se agora alguns casos adicionais da flambagem lateral de vigas em
regime elástico, destacando-se a aplicação do carregamento fora do centro de torção
e a presença de vínculos intermediários ao longo do vão da viga.
Estes casos são tratados com menor profundidade quando comparados à
análise realizada no capítulo 4, objetivando-se apenas levantar dados preliminares,
mostrar o potencial desta ferramenta de trabalho e do método de análise utilizado, e
identificar alguns problemas a serem abordados em trabalhos futuros.
Os resultados são apresentados novamente sob a forma de gráficos e
comparados com as recomendações das normas de projeto e da literatura; por
simplicidade, algumas dessas recomendações já foram apresentadas no capítulo 4
sob a forma de expressões ou tabelas. Adicionalmente, adota-se somente vinculação
tipo I nas extremidades de vigas biapoiadas, ou seja, não é avaliada a influência da
176
restrição ao empenamento e do engastamento à rotação no plano ortogonal ao da
flexão nos resultados aqui obtidos.
5.3 - CARGA APLICADA FORA DO CENTRO DE TORÇÃO
Não é possível estender a consideração da carga estar aplicada no centro de
torção das vigas como um caso geral de projeto, de forma que o valor do momento
crítico pode estar sendo incorretamente avaliado em função da posição efetiva da
carga.
Para carga aplicada acima do centro de torção, pode-se tomar como exemplo
o apoio de tubos em perfis tipo I, e de terças em tesouras de cobertura (Figura
129.a). Por outro lado, para carga aplicada abaixo do centro de torção, pode-se citar a
utilização de talhas e guinchos para a movimentação de cargas em instalações
industriais (Figura 129.b).
C
C
(a) Carga Acima do Centro de Torção
C C
(b) Carga Abaixo do Centro de Torção
Figura 129 - Exemplos de Aplicação de Carga Fora do Centro de Torção
177
Estuda-se neste item a flambagem lateral de vigas com carga concentrada
aplicada fora do centro de torção, utilizando-se um elemento adicional de grande
rigidez a partir do nó central (nó número 11 na Figura 130), com dimensão igual à
metade da altura total da viga. Consideram-se aqui, portanto, apenas dois casos, com
a carga nas abas inferior e superior. Note-se que, por este artifício, é possível aplicar
o carregamento em qualquer posição relativa ao centro de torção, variando-se
somente a dimensão do elemento. Esta análise, entretanto, não faz parte do escopo
deste trabalho.
F
h / 2
NÓS 1 e 21 : EXTREMIDADES RESTRINGIDAS DA VIGA
Figura 130 - Elemento Adicional do PEFSYS para Carga Aplicada Fora do
Centro de Torção
5.3.1 - Viga Biapoiada com Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão
Os resultados da literatura técnica para o caso da flambagem lateral de vigas
biapoiadas com carga concentrada aplicada fora do centro de torção encontram-se no
item 4.5, e as recomendações do regulamento europeu, nos itens 3.3.3 e 3.3.4.
178
Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e do regulamento europeu.
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Aoki; Kubo (1997) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 131 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Superior (Comprimida)
179
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Timoshenko; Gere (1961) Nethercot; Rockey (1971) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Aoki; Kubo (1997) prEN1993-1-1:2002 prEN1999-1-1:2004
Figura 132 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Inferior (Tracionada)
5.3.2 - Viga em Balanço com Carga Concentrada Aplicada na Extremidade
Livre
Analisa-se agora a flambagem lateral de vigas em balanço com carga
concentrada aplicada nas abas inferior e superior da extremidade livre, de forma
análoga ao realizado para vigas biapoiadas no item 5.3.1.
Os resultados da literatura técnica para este caso encontram-se no item 4.11,
e as recomendações do regulamento europeu, no item 3.3.4.
Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica e do regulamento europeu.
180
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot (1973b) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Essa; Kennedy (1994) Kerensky et al (1956) - k=1,02Galambos (1998) - k=1,4 prEN1999-1-1:2004
Figura 133 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Tracionada
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot (1973b) Salmon; Johnson (1990)Trahair (1993) Galambos (1998) - k=0,80 prEN1999-1-1:2004
Figura 134 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Aba Comprimida
181
5.3.3 - Análise dos Resultados
Para o caso de vigas biapoiadas (item 5.3.1), as diferenças entre os valores
apresentados na literatura técnica e no regulamento europeu e aqueles obtidos por
meio do PEFSYS são pequenas, chegando a, no máximo, 7%.
Por sua vez, para vigas em balanço (item 5.3.2), as relações
crcr MM 0 obtidas por meio da literatura técnica e das recomendações do
regulamento europeu são significativamente inferiores às da Teoria
Geometricamente Exata, excetuando-se apenas os resultados de Trahair (1993).
Observa-se nos gráficos das Figuras 135 e 136 que a relação crcr MM 0
assume valores significativamente diferentes em relação à consideração da carga
estar aplicada no centro de torção da viga. Estas diferenças não podem ser
considerados desprezáveis em projeto.
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Carga no Centro de Torção Carga na Aba Comprimida Carga na Aba Tracionada
Figura 135 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada
com Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção
182
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Carga no Centro de Torção Carga na Aba Tracionada Carga na Aba Comprimida
Figura 136 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço
com Carga Concentrada Aplicada Fora do Centro de Torção
Para os casos de carga aplicada na aba comprimida de vigas biapoiadas e na
aba tracionada de vigas em balanço, a utilização dos valores obtidos para carga
aplicada no centro de torção, ao invés daqueles correspondentes à posição real do
carregamento, conduz a resultados excessivamente contra a segurança, obtendo-se
diferenças de até 60% para baixos valores do parâmetro µ.
Por outro lado, para carga aplicada na aba tracionada de vigas biapoiadas e na
aba comprimida de vigas em balanço, a não consideração da posição da carga
implica uma situação muito a favor da segurança - com diferenças novamente de até
60% para baixos valores do parâmetro µ - conduzindo a um dimensionamento
antieconômico. Note-se que tanto para vigas biapoiadas quanto para vigas em
balanço, essas diferenças vão se reduzindo para µ crescente.
183
Dos resultados encontrados na literatura, as recomendações de Trahair
(1993) apresentam as menores diferenças em relação à Teoria Geometricamente
Exata.
Adicionalmente, para vigas em balanço, verifica-se que o procedimento de se
adotar um comprimento equivalente (expressão 4.42) não conduz a resultados
satisfatórios, como já havia sido constatado para os casos de carga no centro de
torção.
Verifica-se nos gráficos das Figuras 135 e 136 que a relação crcr MM 0/
praticamente independe de µ para carga aplicada no centro de torção, mas é
fortemente dependente nos casos em que a carga é aplicada fora deste ponto.
5.4 - VÍNCULOS AO LONGO DO VÃO
Algumas vigas de aço do tipo VS (perfis fabricados a partir de chapas
soldadas) utilizadas na análise paramétrica deste trabalho são comumente
empregadas em projeto vencendo grandes vãos. Por este motivo, sua utilização sem
quaisquer travamentos intermediários é antieconômica.
Mesmo nos casos em que existe uma laje de piso - do tipo moldada in loco de
concreto ou do tipo steel-deck - que trava a viga ao longo de toda sua extensão
(Figura 137), o concreto ainda não-endurecido na fase construtiva não serve de
contenção, e a viga fica durante esta fase com todo o seu vão destravado, a menos
que, no caso de lajes tipo steel-deck, a forma seja soldada às vigas.
184
Figura 137 - Travamento da Viga por meio de uma Laje Tipo Steel-Deck
Estudam-se neste item as implicações da presença de um travamento na
extremidade de vigas em balanço e no meio do vão de vigas biapoiadas, por meio de
uma análise paramétrica com as mesmas vigas utilizadas no capítulo 4.
Para o uso da Teoria Geometricamente Exata, são estudados inicialmente
neste item apenas os casos de carga e vínculos no centro de torção, e vinculação tipo
I nas extremidades das vigas biapoiadas (ou seja, sem restrição ao empenamento e à
flexão na direção de menor inércia). Estas simplificações são adotadas para facilitar a
análise qualitativa dos valores da relação crcr MM 0/ .
Consideram-se, deste modo, três tipos diferentes de travamentos, os quais
restringem a rotação em torno do eixo longitudinal z (vinculação Tipo V), o
deslocamento lateral (vinculação tipo VI), e tanto o deslocamento lateral quanto a
rotação em torno de z (vinculação tipo VII).
Adicionalmente, para efeito de comparação, utiliza-se o programa PEFSYS
também para o caso onde a carga concentrada e os vínculos estão na aba superior da
viga. Justifica-se esta análise pelo fato de que, em geral, a viga recebe carga por meio
da barra que serve de travamento. Observe-se ainda que, na ligação apresentada na
Figura 138.a, restringe-se o deslocamento da aba superior mas apenas parcialmente
a rotação da viga.
185
(a) Ligação com a Viga de Travamento (b) Modelo Simplificado
Figura 138 - Introdução de Carga por Meio da Viga de Travamento
5.4.1 - Requisitos da Norma prAISC-LRFD:2003
5.4.1.1 - Considerações Gerais sobre os Travamentos
A norma americana prAISC-LRFD:2003 especifica recomendações para o
dimensionamento dos travamentos de uma estrutura (pórticos, pilares ou vigas),
definindo assim uma rigidez e resistência mínimas. Para o caso particular de vigas, a
norma apresenta os requisitos mínimos para contenções ao deslocamento lateral e à
torção (impedimento à rotação em torno do eixo longitudinal z).
Assume-se inicialmente que o travamento é ortogonal à barra, de forma que,
para travamentos inclinados, os valores de resistência (força ou momento fletor) e
rigidez (força por unidade de deslocamento ou momento por unidade de rotação)
devem ser decompostos de acordo com sua direção.
Definem-se dois tipos de sistemas de travamento. O primeiro, denominado
“travamento relativo”, consiste naquele onde se controla o movimento do ponto
186
travado em relação a pontos adjacentes travados pelo mesmo sistema de contenção
(Figura 139.a). Para o segundo tipo, o “travamento nodal”, controla-se o movimento
de um ponto travado sem interação direta com pontos adjacentes travados (Figura
139.b).
(a) (b)
Figura 139 - Travamento Relativo e Nodal
Alternativamente, uma análise não-linear considerando um desaprumo inicial
da estrutura ou uma imperfeição inicial da barra (levando em conta, portanto, efeitos
de segunda ordem) pode ser utilizada em substituição aos requisitos apresentados nos
itens subseqüentes. Destaca-se que a consideração de imperfeições iniciais é
importante para a análise do travamento, mas o problema será tratado neste trabalho
como um problema de flambagem para uma primeira análise.
De forma geral, o travamento lateral de uma viga deve ser realizado próximo
à aba comprimida, exceto nos casos de vigas em balanço, onde se recomenda travar a
aba tracionada (aba superior para carregamentos de origem gravitacional).
Entretanto, por simplicidade, a maior parte dos casos analisados no PEFSYS
consideram vínculo apenas no centro de torção da viga.
187
5.4.1.2 - Dimensionamento de Contenções ao Deslocamento Lateral
(a) Travamento Relativo
A força normal resistente de cálculo e a rigidez mínima para força normal de
um travamento são dadas, respectivamente, por:
dSd
tr Ch
MN
0
008,0= (5.1)
dob
Sdtr C
hLM
75,04
=β (5.2)
onde:
SdM é o momento fletor solicitante de cálculo da viga
oh é a distância entre o centróide das abas da viga
bL é o comprimento destravado (distância entre travamentos)
dC é um coeficiente que assume os seguintes valores: 1,0 para curvatura simples
e 2,0 para curvatura reversa (o valor 2,0 só é aplicado ao travamento mais próximo
do ponto de inflexão)
188
(b) Travamento Nodal
A força normal resistente de cálculo e a rigidez mínima para força normal de
um travamento são dadas, respectivamente, por:
do
Sdtr C
hM
N 02,0= (5.3)
db
Sdtr C
hLM
075,010
=β (5.4)
Definindo-se Lq como o comprimento máximo destravado que permita que a
viga resista ao momento fletor solicitante de cálculo, pode-se tomar Lq no lugar de Lb
nas expressões (5.2) e (5.4) quando Lq for maior que o comprimento destravado Lb.
5.4.1.3 - Dimensionamento de Contenções à Torção
O travamento à torção pode estar em qualquer posição da seção transversal, e
em apenas um ponto ou contínuo ao longo do vão, não necessitando estar ligado à
aba comprimida da viga desde que a seção transversal não sofra distorção.
Estas contenções devem apresentar uma ligação com a viga capaz de resistir
ao valor do momento fletor Mtr , tendo uma rigidez mínima de pórtico ou diafragma
trΩ obtidos respectivamente por meio de:
bb
Sdtr CLn
LMM
024,0= (5.5)
189
−
=
sec
1ββ
ββ
T
Ttr (5.6)
com:
2
2
75,0
4,2
by
SdT CnEI
ML=β (5.7)
+=
12125,13,3 33
secsswo
o
btthh
Eβ (5.8)
onde:
L é o vão da viga
n é o número de travamentos nodais ao longo do vão. No caso estudado neste
trabalho, n = 1,0
ts é a espessura do enrijecedor de alma, quando houver
bs é a largura do enrijecedor
Tβ é a rigidez do travamento, excluindo-se a distorção da alma da viga
secβ é a rigidez à distorção da alma da viga, incluindo-se o efeito de enrijecedores
transversais de alma
190
Nota-se que se secβ < Tβ , a equação (5.6) resulta num valor negativo,
implicando inadequação do travamento utilizado (devido à grande distorção da alma,
o travamento não é efetivo).
Admite-se neste trabalho que a seção transversal da viga permanece
indeformável, ou seja, trβ = Tβ . Observe-se ainda que o dimensionamento do
travamento também leva em conta a distorção da alma do perfil, estando portanto
fora do escopo deste trabalho.
Novamente, se Lq é maior que o comprimento destravado Lb, pode-se utilizá-
lo na equação (5.5) no lugar de Lb.
5.4.2 - Viga Biapoiada com Vínculos no Meio do Vão - Carga Concentrada
5.4.2.1 - Recomendações das Normas de Projeto
Utilizando-se a expressão proposta pela norma americana prAISC-
LRFD:2003, mas considerando agora que os momentos fletores parciais estão
referenciados aos quartos do vão entre travamentos (ou seja, para um comprimento
igual a L/2), tem-se:
( )2
zFzM = para 2
Lz ≤ , implicando:
( )168
LFLzMM A === ;
( )84LFLzMM B === ;
191
( )16
38
3 LFLzMM C === ;
4max
LFM =
Tem-se, desta forma ≅bC 1,667.
Procedendo de forma análoga, obtém-se por meio da expressão (3.33) do
prEN1999-1-1:2004: ≅bC 1,817.
5.4.2.2 - Influência do Tipo de Vinculação
Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os valores obtidos por meio
do programa de elementos finitos PEFSYS e a comparação entre esses resultados e
aqueles das normas prAISC-LRFD:2003 e prEN1999-1-1:2004.
Observe-se que na presença de vínculos ao longo do vão de vigas biapoiadas,
o momento crítico básico crM 0 refere-se à distância entre pontos travados, ou seja,
metade do vão (L/2).
A prática usual em projeto considera para este caso de carregamento e de
vinculação os valores da relação crcr MM 0/ obtidos para vigas biapoiadas sob
gradiente de momento fletor com 021 == MMψ (item 4.3), os quais serão
incluídos nos gráficos subseqüentes para efeito de comparação.
192
1,55
1,80
2,05
2,30
2,55
2,80
3,05
3,30
3,55
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo V) PEFSYS (M1/M2 = 0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 140 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo V
1,30
1,55
1,80
2,05
2,30
2,55
2,80
3,05
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo VI) PEFSYS (M1/M2=0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 141 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo VI
193
1,55
1,80
2,05
2,30
2,55
2,80
3,05
3,30
3,55
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo VII) PEFSYS (M1/M2 = 0) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 142 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada -
Vinculação Tipo VII
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Carga e Vínculos na Aba Superior Vinculação Tipo VI Vinculação tipo VII
Figura 143 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Concentrada e
Vinculação ao Deslocamento Lateral na Aba Superior
194
5.4.3 - Viga Biapoiada com Vínculos no Meio do Vão - Carga Uniformemente
Distribuída
5.4.3.1 - Recomendações das Normas de Projeto
Utilizando-se a expressão proposta pela norma americana prAISC-
LRFD:2003, e considerando que os momentos fletores parciais estão referenciados
aos quartos do vão entre travamentos (ou seja, para um comprimento igual a L/2),
tem-se:
( ) ( )zLzq
zM −=2
, implicando:
( )128
78
2LqLzMM A === ;
( )32
34
2LqLzMM B === ;
( )128
158
32LqLzMM C === ;
8
2LqM máx =
Tem-se, desta forma ≅bC 1,299.
Procedendo de forma análoga, obtém-se por meio da expressão (3.33) do
prEN1999-1-1:2004: ≅bC 1,330.
195
5.4.3.2 - Influência do Tipo de Vinculação
Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os valores obtidos por meio
do programa de elementos finitos PEFSYS e a comparação entre esses resultados e
aqueles das normas de projeto.
1,10
1,35
1,60
1,85
2,10
2,35
2,60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo V) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 144 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo V
196
1,10
1,35
1,60
1,85
2,10
2,35
2,60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo VI) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 145 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo VI
1,10
1,35
1,60
1,85
2,10
2,35
2,60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Tipo VII) prAISC-LRFD:2003 prEN1999-1-1:2004
Figura 146 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Carga Uniformemente
Distribuída - Vinculação Tipo VII
197
5.4.4 - Viga em Balanço com Vínculos na Extremidade - Carga Concentrada
5.4.4.1 - Resumo da Literatura
O tratamento conferido à flambagem lateral de vigas em balanço costuma ser
bastante conservador, na medida que se considera em algumas publicações 0,1=bC ;
em outras, como visto no capítulo 4, igualam-se os valores do coeficiente Cb para os
casos de carga uniformemente distribuída ao longo do vão com aqueles onde existe
uma carga concentrada aplicada na extremidade. Poucos trabalhos conferem
tratamento adequado às vigas em balanço.
Por sua vez, para vigas em balanço com vínculos na extremidade, os
resultados da literatura técnica encontram-se no item 4.11 deste trabalho.
Em particular, das normas prAISC-LRFD:2003 e prEN1999-1-1:2004,
obtêm-se 667,1≅bC e .817,1≅bC Note-se que estes valores são praticamente
idênticos àqueles obtidos, respectivamente, por Kirby; Nethercot (1979) e
Nethercot (1973b).
5.4.4.2 - Influência do Tipo de Vinculação
Apresentam-se a seguir, sob a forma de gráficos, os resultados da comparação
entre os valores obtidos por meio do programa de elementos finitos PEFSYS e os da
literatura técnica.
198
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Kerensky et al (1956) - k=0,75Nethercot (1973b) - k=0,55 Kirby; Nethercot (1979) - k=0,60
Figura 147 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo V
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Nethercot (1973b) - k=0,65Kirby; Nethercot (1979) - k=0,70 Essa; Kennedy (1994) - k=0,50
Figura 148 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VI
199
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS Nethercot (1973b) - Figura 114 Kerensky et al (1956) - k=0,50Nethercot (1973b) - k=0,45 Essa; Kennedy (1994) - k=0,44
Figura 149 - Gráfico Mcr/M0cr x µ µ µ µ - Viga em Balanço com Carga Concentrada
Aplicada na Extremidade - Vinculação Tipo VII
5.4.5 - Análise dos Resultados
Para o caso de vigas biapoiadas com carga concentrada e vínculos no meio do
vão, os resultados das recomendações do regulamento europeu e da norma americana
- por meio das expressões aproximadas (3.20) e (3.33) - estão excessivamente a favor
da segurança, em especial para valores baixos do parâmetro µ.
Adicionalmente, considerando-se o caso de vigas biapoiadas sob gradiente de
momento fletor, com vão igual a L/2, e com ψ = 0, os valores ainda são muito
inferiores aos obtidos pelo PEFSYS para a condição real, com diferenças de até 80%.
Esse resultado é surpreendente em vista da simetria da vinculação e do diagrama de
momentos fletores em relação ao centro de torção.
200
O gráfico da Figura 150 mostra os resultados para as condições de vinculo
tipo V a VII. Observe-se que a diferença entre esses casos de vinculação é
significativa quando se comparam os valores da relação crcr MM 0/ com aqueles
obtidos para vigas sem considerar quaisquer travamentos intermediários (item 4.5 -
Figura 70), em particular para valores baixos de µ. Note-se ainda que as diferenças
entre os casos de vinculação tipo V e VII são desprezáveis, e que os vínculos à
rotação têm um efeito mais favorável que os de deslocamentos do centro de torção.
É importante observar da Figura 143 que a prática usual de travar
deslocamentos na aba superior da viga conduz a valores da relação crcr MM 0/
semelhantes àqueles obtidos para vínculos tipo VII no centro de torção.
1,15
1,65
2,15
2,65
3,15
3,65
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos no Meio do Vão
Figura 150 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada
com Carga Concentrada - Vínculos no Meio do Vão
Por sua vez, para vigas biapoiadas com vínculos no meio do vão e carga
uniformemente distribuída, os valores sugeridos pelas normas de projeto mostram-se,
201
novamente, muito conservadores em relação àqueles da Teoria Geometricamente
Exata (PEFSYS).
O gráfico da Figura 151 ilustra esta diferença e apresenta uma comparação
entre os casos de vinculação supracitados e o caso onde a viga não possui travamento
intermediário. Pode-se observar que os três casos de vinculação conduzem
praticamente ao mesmo resultado, e que este é muito superior ao de vigas sem
vinculação no centro de torção.
Comparando-se esses valores com aqueles obtidos para vigas biapoiadas com
carga concentrada no meio do vão (gráfico da Figura 150), observa-se para os
primeiros que o efeito do tipo de vínculo é menos forte, já que a carga é distribuída e
o vínculo, portanto, não está no ponto de aplicação da carga.
1,10
1,40
1,70
2,00
2,30
2,60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos no Meio do Vão
Figura 151 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga Biapoiada
com Carga Uniformemente Distribuída - Vínculos no Meio do Vão
202
Para vigas biapoiadas com o caso de vinculação tipo VI (sem impedimento à
rotação em torno do eixo longitudinal no meio do vão), realiza-se a seguir uma nova
análise paramétrica por meio da variação do parâmetro LEA do travamento,
considerado do tipo nodal.
Para cada caso, procura-se avaliar como a rigidez do travamento afeta os
valores da relação crcr MM 0/ da viga, apresentados nos gráficos das Figuras 141 e
148. Para tanto, por simplicidade, são escolhidos apenas dois valores diferentes de µ
(ver Figura 152).
VS 275x40µ = 35
= 2,07MM
cr0cr
VS 325x46µ = 25
= 2,13MM
cr0cr
= 1,79MM
cr0cr
= 1,88MM
cr0cr
Figura 152 - Estudo da Variação da Relação (EA / L) do Travamento - Viga
com Vinculação Tipo VI
203
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
EA / L - travamento (tf/cm)
Mcr
/ M
0cr -
vig
a
Análise Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.2)
Figura 153 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 35
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450EA / L - travamento (tf/cm)
Mcr
/ M
0cr -
vig
a
Análise Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.2)
Figura 154 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Concentrada - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 25
204
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
EA / L - travamento (tf/cm)
Mcr
/ M
0cr -
vig
a
Variação Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.3)
Figura 155 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 35
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
EA / L - travamento (tf/cm)
Mcr
/ M
0cr -
vig
a
Análise Paramétrica EA/L Vinculação Tipo VI (item 5.4.3)
Figura 156 - Gráfico Mcr / M0cr x (EA / L)trav - Viga Biapoiada com Carga
Uniformemente Distribuída - Vinculação Tipo VI - µµµµ = 25
205
Observa-se nos gráficos das Figuras 153 a 156 que os valores da relação
crcr MM 0/ tendem rapidamente àqueles correspondentes ao caso de vinculação tipo
VI, ou seja, a efetividade do travamento não está associada a elevados valores de sua
rigidez para peças sem imperfeições iniciais. A análise da influência de imperfeições
iniciais na viga não faz parte do escopo deste trabalho.
Por fim, analisam-se agora os valores obtidos para vinculação na extremidade
de vigas em balanço, apresentados no gráfico da Figura 157.
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
Vinculação Tipo V Vinculação Tipo VI Vinculação Tipo VII Sem Vínculos na Extremidade
Figura 157 - Gráfico Mcr / M0cr x µµµµ - Comparação (PEFSYS) - Viga em Balanço
com Carga Concentrada - Vínculos na Extremidade
Quando se comparam os valores da relação crcr MM 0/ dos casos de vigas em
balanço com ou sem restrição na extremidade (itens 5.3.3 e 4.11), verificam-se
diferenças muito significativas, em especial para vínculo tipo VII e valores baixos do
parâmetros µ .
206
Note-se ainda que, para baixos valores de µ , a restrição à rotação em torno
do eixo longitudinal z é mais eficiente do que aquela ao deslocamento lateral, embora
esta diferença seja desprezável para elevados valores de µ . A condição de vínculo
tipo VII, por sua vez, é muito mais eficiente que as outras duas.
Os resultados de Nethercot (1973b) apresentam boa precisão quando
comparados àqueles da Teoria Geometricamente Exata, o que não se verifica para
aqueles obtidos por meio da formulação que utiliza o coeficiente k para ajustar o
comprimento da viga em função do caso de carga e vinculação (expressão 4.42).
5.5 - ENRIJECEDORES JUNTO ÀS EXTREMIDADES
Realiza-se neste item o estudo do efeito da presença de enrijecedores junto às
extremidades, que servem de contenção para empenamento mas não restringem a
rotação no plano perpendicular ao da flexão. Para tanto, trata-se do caso particular de
vigas biapoiadas com carga concentrada no meio do vão, aplicada no centro de
torção.
Para avaliar o comportamento da viga nessa situação, consideram-se somente
dois casos distintos, nos quais o comprimento do enrijecedor é igual à altura ou à
metade da altura de cada viga analisada (Figura 158).
207
h
h ou h
enrijecedor
2
Figura 158 - Enrijecedores de Extremidade
No trecho reforçado, a viga passa a ter uma seção fechada tipo caixão
(Figura 159), para a qual definem-se novas propriedades geométricas. Por
simplicidade, despreza-se a parcela correspondente à alma da viga para o cálculo de
It e admite-se que o valor de Iω não se altera em relação à seção transversal tipo I.
h
Figura 159 - Seção Transversal nos Trechos do Reforço
208
Pretende-se, nesta análise, comparar os resultados da simulação como viga
caixão com aqueles obtidos para a condição de vínculo tipo II (a qual restringe o
empenamento nas extremidades e cujos resultados encontram-se no item 4.5.2),
avaliando-se ainda a influência do comprimento do enrijecedor no valor do momento
crítico.
Destaca-se que não faz parte do escopo deste trabalho avaliar de forma mais
acurada a influência da presença dos enrijecedores por meio de uma análise
paramétrica que considere a mudança de sua espessura e/ou comprimento. Os
resultados aqui apresentados são, assim, apenas indicativos para o comportamento da
viga sob esta condição de vínculo.
5.5.1 - Análise dos Resultados
O gráfico da Figura 160 indica que a presença de enrijecedores afeta
significativamente o momento crítico à flambagem lateral, quando confrontam-se os
resultados da relação crcr MM 0 com aqueles obtidos para o caso de uma viga sem
restrição ao empenamento e à flexão no plano ortogonal ao da flexão (ky = kω = 1,0,
condição de vínculo tipo I). Esta constatação já tinha sido verificada no item 4.5.2
para a vinculação tipo II.
209
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90µµµµ
Mcr
/ M
0cr
PEFSYS (Lenrij=h) PEFSYS (Lenrij=h/2) Vinculação Tipo I Vinculação Tipo II
Figura 160 - Gráfico Mcr/M0cr x µµµµ - Viga Biapoiada com Enrijecedores Junto às
Extremidades e Carga Concentrada Aplicada no Meio do Vão
Admitindo-se as simplificações supracitadas no cálculo das propriedades
geométricas da seção transversal e tomando-se somente os dois casos analisados
como referência, observa-se que os valores da relação crcr MM 0 são sempre
superiores àqueles obtidos para o caso de vinculação tipo II, indicando que é
necessário apenas um pequeno comprimento do enrijecedor para simular a restrição
ao empenamento.
210
6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS
FUTUROS
A utilização cada vez mais freqüente de modernas técnicas computacionais
para auxiliar o engenheiro na concepção e no cálculo de uma estrutura permite que a
flambagem lateral de vigas possa ser avaliada de forma mais acurada.
Este trabalho apresenta o estudo do fenômeno da flambagem lateral de vigas
de aço por meio de uma Teoria Não-Linear Geometricamente Exata, utilizando-se o
programa de elementos finitos PEFSYS, desenvolvido no Laboratório de Mecânica
Computacional da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Os resultados
encontrados são comparados aos encontrados na literatura e nas normas de projeto.
Para conferir um caráter mais prático aos resultados, consideram-se valores
aplicáveis em projetos usuais de estruturas, os quais são alcançados por meio de uma
análise paramétrica de diversas vigas com perfis soldados comerciais bissimétricos
tipo I (série VS225 a VS1000), e para vãos compatíveis com sua utilização.
Adicionalmente, definem-se quatro condições básicas de vinculação para as
quais são avaliados os casos usuais de carregamento e de vinculação no plano da
flexão. Consideram-se, desta forma, extremidades com ou sem restrição ao
empenamento e à rotação no plano perpendicular ao da flexão.
Faz-se mister citar que algumas das condições de vínculo supracitadas são de
difícil realização na prática. Por este motivo, os resultados apresentados neste
trabalho são aplicáveis no dimensionamento de vigas somente com uma correta
identificação das condições de vínculo, por meio de uma análise criteriosa das
ligações e da rigidez dos elementos em que a viga se conecta.
A comparação dos resultados obtidos na análise via PEFSYS com aqueles da
literatura e das normas de projeto permite concluir que a maioria das recomendações
211
para a obtenção do momento crítico está a favor da segurança; mais que isso, não são
tratadas de forma adequada condições de vínculo que consideram restrição ao
empenamento e/ou impedimento à rotação no plano ortogonal ao da flexão.
Os valores sugeridos pelas normas prAISC-LRFD:2003 e NBR8800:1986
estão, em geral, excessivamente a favor da segurança. A difícil identificação das
condições de vínculo num projeto justifica a utilização desses valores por sua
simplicidade. Por sua vez, as recomendações da norma prEN1999-1-1:2004 estão
adequadas para praticamente todos os casos estudados neste trabalho (incluindo-se as
vigas em balanço, cuja recomendação na norma americana prAISC-LRFD:2003 e
em diversas outras publicações costuma ser excessivamente a favor da segurança),
mas são muito complexas para uso rotineiro em projeto.
De uma forma geral, as expressões aproximadas comumente utilizadas para
os casos usuais de carregamento e de vinculação conduzem a resultados pouco
precisos. O mesmo ocorre para os valores obtidos pela formulação baseada na
definição de um comprimento efetivo único para cada caso.
Por outro lado, a formulação que utiliza dois comprimentos efetivos (ky e kω),
associados respectivamente às restrições ao empenamento e à rotação no plano
ortogonal ao da flexão, e três coeficientes (C1, C2 e C3) que levam em conta a forma
do diagrama de momento fletor, a posição de aplicação da carga e a monossimetria
da seção, mostra-se mais adequada para o estudo da flambagem lateral de vigas.
Nesta situação, a identificação do efeito de cada um dos parâmetros supracitados no
valor do momento crítico elástico é clara, o que não ocorre na formulação que utiliza
apenas um coeficiente (Cb) que corrige o valor do momento crítico básico.
Grande parte da literatura técnica desconsidera a influência do parâmetro µ
no cálculo do momento crítico, já que se dá maior ênfase aos resultados da condição
de vínculo tipo I (sem restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao
da flexão, ou seja, ky = kω = 1,0), para a qual esta influência é desprezável. Mesmo
nesses casos, constata-se que a relação crcr MM 0/ obtida por meio da Teoria Não-
212
Linear Geometricamente Exata é superior àquela usualmente encontrada, em
particular para vigas biengastadas e em balanço.
Nas tabelas das Figuras 161 e 162 indica-se o menor valor obtido por meio
do programa PEFSYS para as condições de vínculo I a IV. Cabe ressaltar que podem
ser obtidos valores muito superiores aos tabelados caso seja considerada a influência
do parâmetro µ. Por exemplo, no caso de vigas em balanço com carga concentrada
na extremidade livre, o coeficiente Cb é superior ao valor 1,40 adotado, para o qual a
curva dos valores de Cb tende assintoticamente. Vale lembrar que, segundo
Salvadori (1955), a faixa de utilização de vigas de aço em projetos usuais de
estruturas é 404 ≤≤ µ e nesse caso, tem-se 68,1>bC .
ψ
ψ
Figura 161 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Alguns Casos Usuais de
Carregamento e de Vinculação no Plano da Flexão
213
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ = 1,00
ψ = 0
ψ = 0,25
ψ = 0,50
ψ = 0,75
ψ = −0,50
ψ = −0,25
ψ = −0,75
ψ = −1,00
ψ
ψ
Figura 162 - Tabela - Valores do Coeficiente Cb para Vigas Biapoiadas sob
Gradiente de Momento Fletor
Quando se consideram as demais condições de vínculo (tipos II a IV),
verifica-se que as diferenças em relação ao caso usual de dimensionamento de vigas
de aço (sem restrição ao empenamento e à rotação no plano ortogonal ao da flexão)
são muito grandes. Em particular, para vigas biapoiadas, a influência do
impedimento à rotação em torno do eixo de menor inércia é mais significativa do que
a restrição ao empenamento, exceto para valores baixos de µ; para vigas
biengastadas, no entanto, a restrição ao empenamento mostra-se mais importante.
A relação crcr MM 0/ para os casos de vinculação tipo I e III (sem restrição
ao empenamento) é, em geral, pouco dependente do parâmetro µ. No entanto, para as
vinculações tipo II e IV (com restrição ao empenamento), esta relação passa a ser
fortemente dependente de µ, sendo decrescente com o aumento de µ .
Os resultados para vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor
apresentam este mesmo comportamento, indicando que, sobretudo para as condições
214
de vínculo tipo II e IV, a razão entre o momento crítico e o momento crítico básico
também depende do parâmetro µ.
Observe-se ainda que o efeito da força cortante reduz os valores do momento
crítico elástico, o que não é considerado nas publicações técnicas. Essa redução
mostra-se importante para valores de µ baixos, embora a carga crítica da viga nestas
condições não corresponda a valores aplicáveis em situações usuais de projeto.
Os resultados obtidos para todas as condições de vínculo indicam que os
valores aplicados aos casos usuais de carregamento e de vinculação podem ser
revistos, implicando um dimensionamento mais econômico, ainda a favor da
segurança.
O estudo paramétrico iniciado neste trabalho, apresentado no capítulo 4, deve
ter continuidade, em trabalhos futuros, para os seguintes casos:
vigas com continuidade, inclusive com tramos em balanço, por meio de uma nova
análise paramétrica que contemple, agora, a relação entre esses vãos. Os valores
obtidos pela Teoria Não-Linear Geometricamente Exata nesses casos podem ser
comparados aos resultados de vigas biapoiadas sob gradiente de momento fletor
(item 4.3), analisando-se cada vão isoladamente, que corresponde ao procedimento
utilizado em projeto para o dimensionamento de vigas com estas condições de
vínculo.
perfis monossimétricos, para os quais se faz necessária a consideração dos dois
sentidos de aplicação da carga.
avaliação da restrição parcial à rotação e ao empenamento por meio da
consideração da rigidez e da resistência dos vínculos, em particular para ligações em
pilares de seção transversal tipo I.
215
No capítulo 5 deste trabalho, dá-se uma indicação do potencial do método de
análise utilizado para os casos de carga aplicada fora do centro de torção e para a
presença de vínculos ao longo do vão.
Quanto à posição de carga, pode-se observar deste estudo inicial que os
valores da relação crcr MM 0/ crescem para valores decrescentes de µ no caso de
carga estabilizante, e decrescem para carga desestabilizante. De forma análoga ao
verificado nos casos em que a carga é aplicada no centro de torção de vigas em
balanço e de vigas biapoiadas com condição de vínculo tipo I nas extremidades, as
diferenças entre os resultados da literatura e aqueles obtidos por meio do programa
PEFSYS são pequenas.
Para o caso de vigas biapoiadas com travamento central e simetria de
vinculação, constata-se de forma surpreendente que o procedimento de se considerar
como comprimento efetivo apenas a distância entre pontos travados (metade do vão)
conduz a resultados pouco precisos, muito a favor da segurança. Observa-se ainda
que os travamentos são mais eficientes se estão no ponto de aplicação de carga e que,
em particular, vínculos à rotação apresentam resultados melhores do que vínculos ao
deslocamento lateral.
A prática comum de se travar deslocamentos na aba superior, considerando-se
que a carga também é aplicada nesse ponto, implica resultados semelhantes aos casos
de restrição à rotação e ao deslocamento no centro de torção da viga (vinculação tipo
VII).
O uso de enrijecedores de extremidade, mesmo com comprimento reduzido,
praticamente garante a restrição ao empenamento, e os resultados se aproximam dos
obtidos para a condição de vínculo tipo II.
Para trabalhos futuros, a análise realizada no capítulo 5 deve ser estendida
para os seguintes casos:
216
existência de carga e vínculos fora do centro de torção. Destaca-se que este último
caso não é encontrado na literatura técnica, mas verifica-se em situações de projeto,
por exemplo, no caso de movimentação de equipamentos em instalações industriais
ou quando existe um travamento na aba da viga.
avaliação da eficiência das contenções pela consideração de uma imperfeição
inicial na viga. Embora não seja um caso de estudo de flambagem, este é o
procedimento usual para a determinação da rigidez do travamento. Os requisitos de
rigidez e de resistência dos travamentos podem ser estudados a partir da análise da
mudança da configuração de equilíbrio da barra com imperfeição inicial, e
comparados com as especificações da norma prAISC-LRFD:2003.
estudo da distorção e sua relação com a posição do travamento e a presença de
enrijecedores, lamelas ou recortes na viga, com a utilização complementar da Teoria
de Cascas por meio de programas computacionais de elementos finitos.
217
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