SOBRE O PROJETO E A CONSTRUÇÃO DE … · domo de cabos em formato circular, com diâmetro de 207,3m, também projetada e executada por Geiger [9,10,11]

X X X I J O R N A D A S S U D - A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R Í A E S T R U C T U R A L

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17 a 21 de Mayo de 2004 Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendoza. Argentina. Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural

SOBRE O PROJETO E A CONSTRUÇÃO DE ESTRUTURAS TENSEGRITY

Telmo Egmar Camilo Deifeld1

Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Av. Prof. Almeida Prado, trav. 2, número 83

05508-900, São Paulo, SP-Brasil

[email protected]; [email protected]

RESUMO Tensegrity é, segundo Richard Buckminster Füller, o princípio estrutural pelo qual a forma da estrutura é

garantida pela interação entre uma rede contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos

comprimidos, isolados entre si. As estruturas tensegrity fazem parte de um grupo de estruturas que somente

são possíveis de existir a partir da aplicação de um campo equilibrado de tensões iniciais - as assim

chamadas tensoestruturas, ou estruturas retesadas. Para estas estruturas a definição da forma inicial é

uma das incógnitas do projeto estrutural.

O processo da busca de uma forma inicial equilibrada é parte de relevada importância na concepção e no

dimensionamento destas estruturas. O conhecimento deste aspecto, que diferencia significativamente as

estruturas retesadas das estruturas convencionais, não pode ser negligenciado no momento de construir. É

por este motivo que as técnicas de construir assumem papel tão importante neste sistema estrutural.

Este trabalho inicia relatando, de forma sucinta, a origem das estruturas tensegrity e discutindo sua

definição. Na seqüência apresenta-se uma breve descrição de obras já construídas segundo este princípio,

descrevendo-se os processos de montagem utilizados, discutindo-se, posteriormente a importância do

processo de busca da forma.

Propõe-se um processo para a busca da forma e uma metodologia para a simulação da montagem de

estruturas tensegrity, por meio de um elemento finito especial, cuja formulação é apresentada. Finalmente,

apresentam-se as formas equilibradas e o processo de montagem de alguns módulos tensegrity básicos,

definidos por meio da metodologia proposta.

1 Doutorando 2 Orientador


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1 Introdução

1.1 Origem das estruturas tensegrity

É difícil apontar, de forma convicta, uma obra, ou uma pessoa, como marco inicial no desenvolvimento das

estruturas tensegrity, mas com certeza Richard Buckminster Füller foi um dos grandes mentores deste

sistema estrutural. Ele afirmou que as estruturas deveriam fazer maior uso das forças normais de tração.

Convidado a ser professor em um curso de verão no Black Mountain College (Carolina do Norte, EUA), teve

Kenneth Snelson como um de seus alunos que mais se interessou pelo conceito transmitido. Snelson

desenvolveu uma série de esculturas formadas por fios contínuos separados por estroncas descontínuas,

usando o que ele denominou de “compressão flutuante”, como a esquematizada na Figura 1 (a) [1]. Em

1968, Snelson construiu uma torre medindo 18,2mx6mx6m, a qual ficou conhecida como “Needle Tower”

(Figura 1(b)), e posteriormente, em 1969, outra com 30m de altura ("Needle Tower II"). Foram estas

algumas das obras que mais divulgaram o comportamento das estruturas tensegrity. Outro marco das

estruturas tensegrity foi a escultura construída próximo a Rambouillet, na França, conhecida como

“Monument à la Forme Futile” (Figura 2) [2].

Figura 1 – X-column (uma das primeiras esculturas de

Snelson) e a Needle Tower II (extraídas de http://www.kennethsnelson.net/)

Figura 2 – Monument à la Forme Futile (extraída de [2])

Ainda que as estruturas tensegrity tenham surgido como manifestação artística, sem intenção de aplicação

na engenharia estrutural, e que uma obra tão qualificada para exemplificar o comportamento que

apresentam tenha sido relacionada com a futilidade, elas têm se mostrado como um sistema estrutural

confiável e vêm despertando o interesse de pesquisadores e projetistas. Füller parece ter percebido isto,

pois ele declarou logo no primeiro parágrafo da sua patente sobre tensegrity que o sistema tem aplicação a

estruturas especiais que com vãos livres poderiam ‘abrigar uma cidade inteira’ [3].

1.2 Conceito

O termo “tensegrity” – uma contração de “tensional integrity” – foi criado por Richard Buckminster Füller para

descrever o princípio estrutural em que a forma da estrutura é garantida pela interação entre uma rede

contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos comprimidos [4].

Em 1994, Motro definiu os sistemas tensegrity como estruturas espaciais reticuladas compostas por

membros retificados, barras e cabos que definem um volume estável no espaço pelo efeito do equilíbrio


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entre tração e compressão. Segundo ele, estruturas tensegrity caracterizam-se por serem: a) compostas por

elementos comprimidos (barras) e tracionados (cabos); b) estruturas articuladas; e c) auto-equilibradas [5].

Quirant, em 2001, definiu tensegrity como sistemas constituídos de elementos de forma retilínea,

reticulados, espaciais e retesados (as barras são comprimidas e os cabos tracionados) e compostos por

tensegrity simplex [6].

Outras definições podem ser encontradas na literatura, mas assim como estas, sem uniformidade no que

diz respeito ao auto-equilíbrio. No entanto, todas podem ser resumidas em duas: a definicão restrita, que

considera apenas as redes de cabos retesadas auto-equilibradas, nas quais se incluem barras rígidas

comprimidas, isoladas entre si, e a definição abrangente, na qual são consideradas também as estruturas

que transferem cargas de retesamento a um sistema de apoios, não sendo, portanto, auto-equilibradas.

A polêmica envolvendo a definição das estruturas tensegrity atinge as aplicações mais prósperas deste

sistema, os domos de cabos. Estes domos são ancorados em anéis de compressão, normalmente formados

por peça única de concreto ou por treliça de aço. Todavia a discussão é inócua, pois é possível definirmos

um anel de compressão formado por módulos tensegrity e ancorarmos nele o domo de cabos, como mostra

a Figura 3. Este arranjo, por mais que não seja tão eficaz como a solução usual – pois o anel tensegrity é

mais instável –, atende ao quesito de estrutura auto-equilibrada. Como se vê neste exemplo, a

desconsideração dos domos de cabos como estruturas tensegrity não é justificável.

XY

Z

(a) (b)

Figura 3 –(a) Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity; (b) detalhe do anel tensegrity

Sabe-se ainda que estes sistemas são estática e cinematicamente indeterminados. Portanto, sua

concepção requer um estudo mecânico que leva o projetista a buscar os estados de retesamento e os

mecanismos infinitesimais presentes no sistema [7]. É então possível comprovar a estabilidade do estado

de tensões iniciais por um método energético que considere os mecanismos infinitesimais [8].

1.3 Obras realizadas

As obras mais relevantes já construídas com base nos sistemas tensegrity são os domos de cabos.

Também neste caso Füller foi pioneiro. Mas para ele as redes de cabos tracionados deveriam obedecer a

um critério de triangulação. Esta limitação, em muitos casos, impedia o uso efetivo deste sistema estrutural.

Geiger, em 1984, disse que a triangulação não é uma parte necessária da estrutura de cabo, pois a torna

estrutura redundante e pode induzir a um refinamento desnecessário. Ele definiu uma estrutura nova que

não é baseada na triangulação, mas que tem as mesmas propriedades . Na verdade, Geiger desejava criar

um sistema estrutural tão econômico quanto uma estrutura de membrana inflada, mas sem a necessidade

de um sistema mecânico para derreter a neve ou mesmo para inflar a estrutura. Simplificando a rede de


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cabos de Füller e fazendo um domo com perfil muito mais baixo e aerodinâmico, Geiger pôde projetar uma

estrutura auto-portante pesando pouco mais que suas estruturas pneumáticas [3,9].

Os principais domos tensegrity já construídos são as coberturas dos seguintes estádios esportivos:

• Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena (Seoul, South Korea – 1986) – Foram

construídos para os Jogos Asiáticos (1986) e os Jogos Olímpicos de Seul (1998), com projetos

arquitetônicos de Space Group of Korea (Gymnastics) e Dong Myeong Architects and Planners

(Fencing). Suas coberturas, com projeto e execução de David Geiger, constituem as primeiras estruturas

a utilizar o sistema tensegrity em grande escala. São dois domos circulares que têm diâmetros de

119,8m e 89,9m, respectivamente, cada qual composto por um anel de tração central e um anel

periférico de compressão, além de anéis intermediários de tração (três e dois, respectivamente). Em

ambas estruturas os anéis são concêntricos e juntamente com os cabos radiais (16), diagonais

intermediárias e mastros volantes (48 e 36, respectivamente) levam as cargas até ao anel de

compressão. Painéis de membrana cobrem a estrutura, seguindo a superfície delineada pelos cabos

radiais [9,10,11,12].

• Redbird Arena (Normal, Illinois, USA – 1988) – Construído na Illinois State University, com projeto

arquitetônico de Paul Kennon, tem como cobertura um domo de cabos tensegrity, projetada e executada

por David Geiger e David Campbell. Este foi o primeiro domo tensegrity construído em formato oval,

medindo 92,6m por 78,0m, com altura total de 24,34 m [11,12,13].

• Florida Suncoast Dome (Saint Petersburg, Florida, USA – 1989) – Construído inicialmente para a

prática de beisebol, hoje abriga competições de vários esportes. Foi renomeado duas vezes: em 1993

tornou-se ThunderDome e em 1996 passou a ser chamado de Tropicana Field. Sua cobertura é um

domo de cabos em formato circular, com diâmetro de 207,3m, também projetada e executada por Geiger

[9,10,11].

• Georgia Dome (Atlanta, Georgia, USA – 1992) – Foi construído para ser o centro das atividades dos

Jogos Olímpicos de Atlanta em 1996. Sua cobertura, o maior domo tensegrity construído até hoje, foi

projetada por Matthys P. Levy and Weidlinger Associates e construída por Wesley R. Terry, combinando

uma estrutura metálica tensegrity com painéis hiperbólicos de membranas. Em planta tem formato oval,

consistindo de duas semi-circunferências separadas por um segmento reto de 56m, medindo 240m por

193m. A rede de cabos é ancorada, nas suas extremidades, a um anel de compressão de concreto

armado. Os 52 pilares que sustentam este anel permitem que ele tenha deslocamentos radiais, de forma

a minimizar os efeitos das variações de temperatura. O ginásio tem altura total de 82,5m.

Do ponto de vista de projeto, por apresentar formato elíptico e com uma treliça central disposta na

direção longitudinal da construção, a cobertura do Georgia Dome é consideravelmente mais complicada

do que as dos domos circulares, pois as tensões não são uniformes. Por esta razão, Levy optou por

considerar a idéia inicial de Füller, que propôs uma rede de cabos baseada na triangulação [12,14,15].

• Taoyuan Sports Arena (Taoyuan, Taiwan – 1993) – Com projeto arquitetônico de H. C. Chen, tem

diâmetro de 136,2m e altura de 29,59 m. Sua cobertura foi projetada, fabricada e erigida em 14 meses.

Idealizada por Geiger, tem um vão livre de 120m [12,13,16].


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• Crown Coliseum (Fayetteville, North Carolina, USA – 1997) – Este ginásio tem uma estrutura circular,

com vão livre de 99,7m, que combina as vantagens dos domos de cabos com uma estrutura

convencional. Enquanto que todos os domos anteriores eram cobertos por membranas, este apresenta

uma cobertura metálica. Cada painel da cobertura tem quatro pontos de apoio, sendo que os painéis não

têm função estrutural, servindo apenas como vedação. São em número de três os seus anéis de tração.

O anel de compressão externo, formado por uma treliça cônica, é completamente exposto, aumentando

o impacto arquitetônico, pois esta configuração tem o aspecto de uma coroa. A diagonais mais externas

atravessam a cobertura, saindo do interior da construção, para conectar-se a parte superior da treliça

[13].

• La Plata Stadium (La Plata, Buenos Aires, Argentina – 2000) – Este estádio tem projero arquitetônico de

Roberto Ferreira y Arquitectos Associados, projeto estrutural de Weidlinger Associates e foi construído

por Astilleros Rio Santiago. A planta da cobertura deste estádio mede 238,06m por 187,48m, sendo uma

interseção de dois círculos com raio de 85,62m cujos centros distam um do outro de 48m, com. A altura

total da construção é de 65m. O domo de cabos que a constitui tem três anéis internos de tração e é

ancorado em uma treliça de aproximadamente 9m de largura e 13m de altura, apoiada no alto da

arquibancada do estádio. A forma da cobertura é definida pelos cabos que passam pelo topo dos

mastros volantes formando uma rede triangularizada, assim como no Georgia Dome. Cabos radiais que

partem do topo dos dois mastros centrais – localizados cada qual no centro de um dos círculos que

definem a forma do estádio – sustentam o anel de compressão mais interno. Cabos diagonais que

partem do topo dos mastros deste anel, juntamente com os cabos de topo, sustentam o segundo anel. O

mesmo processo se repete para o terceiro anel de compressão. Cabos dispostos em forma de diamante

partem do anel de compressão mais periférico para conectarem-se à treliça perimetral. Uma membrana

de fibra de vidro cobre a estrutura [12,17].

1.4 Métodos construtivos

Uma etapa chave no projeto de estruturas tensegrity é a definição do processo de montagem. Cada etapa

deste processo deve ser rigorosamente planejada. Uma forma de encontrar um procedimento eficiente é, a

partir de uma estrutura montada, imaginar a sua desmontagem, invertendo-se o processo na hora de

construir. Esta forma foi sugerida por Geiger para determinar o processo de montagem dos seus primeiros

domos [9]. A seguir descrevemos resumidamente dois processos de montagem. O primeiro processo foi

usado inicialmente na construção dos domos de cabos em Seul, e depois nas demais obras projetadas por

Geiger. O segundo processo foi adotado na construção do Georgia Dome, e muito provavelmente, no La

Plata Stadium.

Processo de montagem utilizado nos domos em Seoul

A montagem dos domos de cabos construídos em Seul foi executada gradualmente. Iniciou-se conectando

os cabos radiais ao anel central. Embora este conjunto pudesse ser levantado desde o chão, uma torre

central de apoio foi construída para sustentá-lo inicialmente a uma altura intermediária.

Depois de se tracionar este conjunto, os mastros que compõem o anel intermediário mais externo foram

içados e suspensos nos cabos radiais. Na seqüência, foram conectados os cabos que formam este anel e

as correspondentes diagonais, retesando-se posteriormente o conjunto.


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O mesmo procedimento foi adotado para os demais anéis intermediários até a montagem final da estrutura.

A cada etapa o anel central era içado à altura do último anel intermediário retesado.

Geiger havia pensado inicialmente em levantar de uma só vez o anel central, tracionando-se os cabos

radiais. Estimou-se que o ganho de tempo de construção que se conseguiu ao utilizar a torre central foi de

quatro semanas [9,10,11].

Figura 4 – Ilustração da montagem dos domos construídos em Seoul (adaptada de [11])

Figura 5 – Ilustração da montagem do domo do Georgia Dome (adaptada de [14] )

Processo de montagem utilizado no Georgia Dome

Até a construção do Georgia Dome, o procedimento adotado na montagem dos domos tensegrity incluía o

corte dos cabos no local da obra. Mesmo na montagem do Florida Suncoast Dome – a maior cobertura

tensegrity até então –, este processo foi utilizado. No entanto, os cabos da cobertura do Georgia Dome

foram pré-fabricados. Esta mudança melhorou o controle de qualidade, permitiu maior rapidez na execução

e propiciou uma melhor organização do canteiro de obras.

O processo de montagem também foi diferente do usado nos domos anteriores. Primeiramente a montagem

foi simulada em computador, com 20 estágios intermediários, sendo que as forças atuantes em cada

estágio foram calculadas. Foi necessária uma análise não-linear em 3D, devido aos grandes deslocamentos

que ocorreriam no processo de levantamento do domo. O deslocamento máximo sofrido por um elemento,

considerando a soma dos passos, passou de 80m.

A estrutura toda foi montada no chão e posteriormente levantada, inclusive com a treliça central. “Era como

erguer uma teia de aranha gigantesca puxando em suas extremidades”, disse Terry, “a seqüência e o

sincronismo eram críticos”. Através da tração aplicada aos cabos externos, conectados ao anel de

compressão, a rede de cabos foi erguida até sua posição final, em oito intervalos, no período de uma

semana, inclusive com a treliça central.


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O último passo seria erguer a treliça central a sua posição final. Usando-se cabos temporários presos aos

topos dos mastros do anel mais interno e içando-se a treliça em múltiplos pontos inferiores, ela foi levantada

e conectada aos cabos definitivos [14].

1.5 Processo de busca da forma

Além da definição do processo de montagem, outra fase muito importante do projeto de uma estrutura

tensegrity, que inclusive a antecede, é a determinação de sua configuração geométrica equilibrada,

conhecida como busca de forma. Pugh [18] reuniu trabalhos de Füller, Snelson [19] e Emmerich [2] sobre a

forma de estruturas tensegrity básicas, nos quais estes autores usaram, principalmente, poliedros convexos

regulares como base para encontrar novas configurações. Pugh identificou três tipos de forma padrão:

diamante, circuito e zigue-zague.

No entanto, modelos físicos e numéricos mostraram que a forma retesada de um tensegrity não é idêntica

àquela do poliedro regular e, conseqüentemente, métodos apropriados são necessários para encontrar a

configuração de equilíbrio mais simples da estrutura tensegrity. Esta diferença pode ser também

evidenciada pela simples verificação do equilíbrio nos nós.

Métodos de busca de forma para estruturas tensegrity foram estudados por muitos autores. Em 1994 Motro

et al. classificaram os métodos de busca de forma em: geométricos, analíticos e numéricos [5]. Mais

recentemente Connelly & Terrell [20], Vassart & Motro [21] e Sultan et al. [22] propuseram métodos

diferentes, mas sem a preocupação da ligação entre o proposto e o já existente. Tibert & Pellegrino [23],

fazendo uma revisão do estado da arte, os classificaram em dois grupos, cinemáticos e estáticos,

identificando as vantagens e as limitações de cada um e procurando identificar ligações entre eles.

Pela classificação de Tibert & Pellegrino, os métodos cinemáticos caracterizam-se por determinar a

geometria de uma estrutura tensegrity maximizando os comprimentos das barras ao manter constante os

comprimentos dos cabos3 enquanto que os métodos estáticos buscam uma relação entre as configurações

de equilíbrio de uma estrutura em uma topologia e as forças atuantes em seus membros. Tabela 1 mostra a

classificação proposta por estes autores.

Tabela 1– Classificação dos métodos de busca de forma para estruturas tensegrity, segundo Tibert & Pellegino [23].

Métodos cinemáticos Métodos estáticos

Soluções analíticas

Programação não-linear

Relaxação dinâmica

Soluções analíticas

Método da densidade de força

Método da energia

Redução de coordenadas

2 Uma proposta para o processo de busca da forma

Para a busca da forma equilibrada de estruturas tensegrity, Deifeld [24] e Pauletti [25] sugerem a utilização

de um elemento finito cuja principal característica é manter constante a tensão que nele atua. Um elemento

3 Alternativamente, os comprimentos das barras podem ser mantidos constantes em quando que os comprimentos dos cabos forem diminuídos até que alcancem um mínimo.


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semelhante foi proposto por Meek [26], que o denominou ‘variable initial length element’ (VIL) – de onde

adotamos a nomenclatura.

2.1 Formulação do elemento VIL

Define-se a matriz de rigidez tangente de um elemento como

t∂

=∂pku

, ( 1)

onde é p vetor das forças internas e u é o vetor dos deslocamentos deste elemento. Os nós i e j do

elemento na numeração global, correspondendo aos nós 1 e 2, respectivamente, na numeração do

elemento (Figura 6).

Considere-se então a obtenção da matriz de rigidez tangente tk deste elemento

i

j

→

ijP

→

jiP

( )e

1

2

Figura 6 – elemento finito, indicando-se a correspondência entre a numeração local do elemento e a numeração global do sistema reticulado (extraída de [25]).

O vetor das forças internas é

NN

N−⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

vp C

v, ( 2)

onde o escalar N é esforço interno e C um operador geométrico dado pelo vetor

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

vC

v. ( 3)

Substituindo ( 2) em ( 1) obtém-se as parcelas elásticas e geométricas da matriz de rigidez tangente, tal que T

t e gN N∂ ∂⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ck k k Cu u

. ( 4)

Considere-se primeiramente a obtenção da parcela elástica presente em ( 4), admitindo linearidade física,

ou seja:

( )rr

EAN = −l ll

. ( 5)

onde rl é o comprimento indeformado (ou de referência) do elemento, que em uma configuração inicial,

onde já se encontra sujeito a uma tração 0N , é dado por

00

r EAEA N

=+

l l . ( 6)

Tem-se, depois de algumas operações algébricas4, que

4 Dedução mais completa pode ser encontrada na referência [25]


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r

N EA∂=

∂C

u l. ( 7)

Resulta, para a parcela elástica da rigidez tangente, T

Te r

N EA∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠k C C C

u l ( 8)

onde fica ressaltada a simetria de ek .

Levando em conta a definição do operador geométrico C , tem-se, portanto,

T T

e r T T

EA ⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

vv vvk

vv vvl ( 9)

Considere-se agora a obtenção da parcela geométrica presente em ( 4):

g N N

∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂= = ⎢ ⎥∂∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂⎣ ⎦

vC uk

vuu

. ( 10)

Depois de algumas operações algébricas semelhantes ao caso da parcela elástica, tem-se que

( ) ( )( ) ( )

3 3

3 3

T T

g T T

NN⎡ ⎤− − −∂ ⎢ ⎥= =

∂ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

I vv I vvCku I vv I vvl

( 11)

onde 3I é a matriz identidade de ordem 3.

Finalmente, combinando ( 9) e ( 11) em ( 4), obtém-se a matriz de rigidez do elemento de treliça

geometricamente exato:

( ) ( )( ) ( )

3 3

3 3

T TT T

t e g r T T T T

EA N ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤− ⎢ ⎥= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I vv I vvvv vvk k k

vv vv I vv I vvl l ( 12)

O elemento VIL é uma especialização do elemento de treliça, caracterizada por um estado de tração

constante, fisicamente correspondente, por exemplo, à ação de um acionador hidráulico ideal. Neste caso,

como a força normal não varia, tem-se e =k 0 , e a rigidez tangente resume-se à parcela gk , ou seja, a

segunda parcela da equação ( 12). Nesta equação l é o comprimento do elemento na configuração

corrente, rl o comprimento na configuração de referência, N a força normal atuando no elemento, E o

módulo de elasticidade longitudinal do material, A a seção transversal da barra, e v o vetor unitário na

direção do eixo do elemento considerado [25].

O comprimento inicial do elemento, variável, é calculado, para cada configuração de equilíbrio, reordenando

a equação ( 5), de modo a obter-se

0r E

E N=

+l l . ( 13)


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2.2 Aplicação do elemento VIL na busca da forma

Para encontrar formas equilibradas de módulos tensegrity, utilizamos o elemento VIL juntamente com os

elementos de treliça e de cabo com dois nós. Para a simulação numérica usamos o código PEFSYS [27] –

um programa de elementos finitos para análises não-lineares, estáticas e dinâmicas, de estruturas. No

procedimento de análise estática não linear este programa adota o método de Newton exato, o qual requer

a montagem da matriz de rigidez tangente da estrutura, obtida através da soma das contribuições de cada

elemento da estrutura. Para os elementos empregados, a matriz de rigidez tangente é dada pela equação

( 12).

O procedimento consiste em especificar as tensões (de tração ou compressão) que devem agir sobre um

conjunto de elementos do módulo na sua configuração de equilíbrio, e, partindo-se de uma configuração

correspondente a uma figura geométrica regular, buscar a posição de equilíbrio. Na modelagem numérica

os elementos cujas tensões foram arbitradas serão representados por elementos VIL5. A resolução do

sistema de equações que expressa o equilíbrio de forças na estrutura convergirá para a solução

correspondente ao equilíbrio da mesma.

Procedimento semelhante pode ser usado na busca da forma de uma estrutura tensegrity qualquer.

Todavia, se a configuração inicial ou as tensões não forem convenientemente arbritradas, será impossível

encontrar uma forma equilibrada, ou encontrar-se-á uma de equilíbrio indesejada [24].

A seguir apresentam-se alguns exemplos de busca de forma de tensegrity simplex. Em cada figura são

mostradas as configurações inicial e equilibrada, em perspectiva e na vista topo.

(a) configuração inicial, em

perspectiva (b) configuração equilibrada, em

perspectiva (c) configuração inicial, vista de

topo (d) configuração equilibrada,

vista de topo

Figura 7 – Prisma com base triangular



perspectiva (a) configuração inicial, vista de

topo (b) configuração equilibrada,

vista de topo

Figura 8 – Prisma com base hexagonal

5 Normalmente, por simplicidade, convenciona-se que todos os elementos rígidos (barras) terão suas tensões pré-estabelecidas, ou

seja, serão simulados por elementos VIL.


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perspectiva (a) configuração inicial, vista de

topo (b) configuração equilibrada,

vista de topo

Figura 9 – Monument à la Forme Futile

2.3 Aplicação do elemento VIL na montagem de estruturas tensegrity

O elemento VIL pode ser usado, também, para estudar o processo de montagem de estruturas tensegrity. A

partir de uma configuração equilibrada da estrutura, simula-se o deslocamento que a estrutura sofreria com

o afrouxamento gradual de um conjunto de cabos previamente selecionados, mantendo-se constante o

comprimento das barras. Após encontrar a posição de repouso da estrutura, pode-se estudar a sua

montagem.

Como exemplo, a Figura 10 mostra uma seqüência de montagem para o Monument à la Forme Futile. O

cabo que, na modelagem, foi gradualmente afrouxado está destacado em vermelho. Partindo-se da posição

de repouso, basta retesar este cabo para erigir a estrutura.

Figura 10 – Processo de montagem do Monument à la Forme Futile. O cabo vermelho é usado para erigir a estrutura do repouso à forma retesada final.

3 Considerações finais

Este trabalho apresenta um resumo do surgimento, das principais obras, dos métodos construtivos e da

conceituação dos sistemas de estruturas tensegrity. Argumenta-se que a discussão criada em torno da

aceitação de estruturas não auto-equilibradas dentro da definição de estruturas tensegrity é perfunctória,

pois sempre há como gerar uma estrutura tensegrity auto-equilibrada, mesmo que não seja esta a solução

mais eficiente.

No que diz respeito ao uso do elemento de comprimento inicial variável (ou VIL, 'variable initial lenght') para

a modelagem de estruturas tensegrity, pode-se afirmar que, tanto na busca da forma quanto na simulação

do processo de montagem, seu desempenho é satisfatório. No entanto, o sucesso da busca de uma forma


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equilibrada depende de fatores como a escolha adequada da configuração inicial e do conjunto de tensões

nas barras. De qualquer modo, os resultados apresentados sugerem que a simulação do processo

desmontagem por meio deste tipo de elemento é uma opção viável para a determinação do processo de

montagem das estruturas tensegrity.

4 Referências bibliográficas

[1] Letter from Kenneth Snelson to R. Motro, published in November 1990, International Journal of Space

Structures. Disponível em <http://www.grunch.net/snelson/rmoto.html>. Acesso em 12.11.2003.

[2] Emmerich, 1966 Emmerich, D. G., “Réseaux”, International Conference on Space Structures. University

of Surrey, pp. 1059-1072, 1966.

[3] Building Technologies – Graduate School of Architeture Planning and Preservation. New York. Apresenta

um resumo descritivo da construção dos estádios Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena

em Seul. Disponível em <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/intro.html>. Acesso em

12.11.2003.

[4] Füller, R. B., “Synergetics, Explorations in the Geometry of Thinking”. Macmillan Publishing Co. Inc., Vol.

I, pp. 372.1975.

[5] Motro, R., Belkacem, S., Vassart, N. “Form finding numerical methods for tensegrity systems”. Spatial,

Lattice and tension structures – proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 704-

713. New York, 1994.

[6] Quirant, J., Kazi-Aoual, M. N. “Systemes de tensegrite: sensibilite et etats d’autocontrainte” XV Congrès

Français de Mécanique. França, September, 2001.

[7] Pellegrino, S., Calladine, C. R. “Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks”.

International Journal of Solids and Structures V. 26 pp. 1329-1350. 1990

[8] Vassart, N., Motro, R. “Determination of mechanism’s order for kinematically and statically indetermined

systems”. International Journal of Space Structures V. 37 pp. 3807-3839. 2000.

[9] Tuchman, J., Shin Ho-Chul, "Olympic Domes First of Their Kind", Engineering News Record, March 6,

1986, pp. 24-27. Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-olymp.html>.

Acesso em 15.11.2003.

[10] Geiger, D., Stefaniuk, A., and Chen, D., "The Design and Construction of Two Cable Domes for the

Korean Olympics". Shells, Membranes and Space Frames (Vol.2), Proceedings IASS Symposium,

Elsevier Appl. Science, pp. 265-272. 1986. Disponível em:

<http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-desig.html>. Acesso em 15.11.2003.

[11] Ratorfer, D., "Structural Gymnastics for the Olympics", Architectural Record, September, 1988.

Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-struc.html>. Acesso em

15.11.2003.

[12] International Database and Gallery of Structures. New York. Apresenta dados técnicos e imagens de

estruturas. Disponível em <http://www.structurae.net/en/structures/>. Acesso em 12.11.2003.


- 13 -

[13] Gossen, P., Chen, D., Mikhlin, E, "The First Rigidly Clad 'Tensegrity' Type Dome, The Crown Coliseum,

Fayetteville, North Carolina", Spatial, Structures in New and Renovation Projects of Buildings and

Construction, Volume II, Proceedings of International Congress IASS-ICSS 1998, pp., 477-484.

Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-struc.html>. Acesso em

15.11.2003.

[14] Terry, W. R.. “Georgia Dome cable roof construction techniques”. Spatial, Lattice and tension structures

– proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 563-572. New York, 1994.

[15] Levy, M. P., “The Georgia Dome and beyond achieving lightweight – longspan structures”. Spatial,

Lattice and tension structures – proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 560-

562. New York, 1994.

[16] Campbell, D. M., Chen, D., Gossen, P. A., “Design Experience with Nonlinear Tension Based Systems:

Tents, Trusses and Tensegrity”. Disponível em: <http://www.geigerengineers.com>. Acesso em

15.11.2003.

[17] Lazzari, M., Vitaliani, R. V., Majowiecki, M. and Seatta, A., “Dynamic behavior of a tensegrity system

subjected to follower wind loading“. Computers and Structures V. 81 pp. 2199–2217. 2003

[18] Pugh, A.,"An Introduction To Tensegrity", ed University of California Press Berkeley.U.S.A, 1976

[19] Kennteh Snelson. New York. Apresenta textos e imagens sobre suas esculturas. Disponível em

<http://www.kennethsnelson.net>. Acesso em 18.11.2003.

[20] Connelly, R., Terrell, M., “Globally rigid symmetric tensegrities, Structural Topology”, V.21, pp. 59-78.

1995.

[21] Vassart, N., Motro, R., “Multiparametered formfinding method: application to tensegrity systems”,

International Journal of Space Structures, V.14 (2), pp. 147-154. 1999.

[22] Sultan, C., Corless, M., Skelton, R.E., “Reduced prestressability conditions for tensegrity structuresed”,

Proceedings of 40th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials

Conference, 12-15 April 1999, St Louis, MO, AIAA, 1999.

[23] Tibet, A. G., Pellegrino, S., “Review of form-finding methods for tensegrity structures”. International

Journal of Space Structures. Accepted of publication in 2001.

[24] Deifeld, T.E.C., Pauletti, R. M.O., “Um breve estudo sobre as estruturas tensegrity”. I Simpósio Nacional

sobre Tensoestruturas. São Paulo, 5-6 de maio de 2002. Anais do Simpósio. 1 CD-ROM.

[25] Pauletti, R. M. O. ”História, Análise e Projeto de Estruturas Retesadas”. Tese de Livre-Docência. Escola

Politécnica da Universidade de São Paulo, 2003.

[26] Meek, J. L. “Matrix Structural Analysis”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD. Tokyo, 1971.

[27] Pimenta, P. M., Maffei, C. E. M., Gonçalves, H. H. S. and Pauletti, R. M. O. , “A programming system

for nonlinear dynamic and static analysis of tall buildings” Computational Mechanics New Trends and

Applications. Barcelona, pp. 1-17. Spain, 1998.

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SOBRE O PROJETO E A CONSTRUÇÃO DE … · domo de cabos em formato circular, com diâmetro de 207,3m, também projetada e executada por Geiger [9,10,11]