Sobre Sistemas Dinâmicos (SD) · Generalidades sobre sincronizaçªo Estudo de caso ... Essa certeza baseava-se na natureza determinística das leis ... Newton provou que os corpos

ISCTE-IUL� � �School ofTechnology

andArchitecture[ISTA]

Dpto deMatemática

Esquema daapresentação

Abordagemhistórica dosSD

Pesquisa emSincronizaçãoGeneralidadessobresincronizaçãoEstudo de casoem tempocontínuoSincronizaçãoidênticaCom o SDnão-linear deLorenzCom o SDnão-linear deRösslerSincronizaçãogeneralizadaEstudo de casoem tempodiscretoLigação originalde quadráticasVariantes daligação original

Conclusões

Bibliogra�a

Sobre Sistemas Dinâmicos (SD)Abordagem histórica dos Caos Determinístico

Sincronização de sistemas caóticos

Rosário Laureano

Departamento de Matemática do ISCTE-IUL

20 de Fevereiro de 2013



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Bibliogra�a

� Fazemos parte de um mundo em que detalhesinsigni�cantes podem ter um grande impacto: veri�ca-seque em muitos fenómenos do mundo real pequenasdiferenças nas condições iniciais de um processo podem terum efeito signi�cativo (por vezes até dramático) noresultado �nal.

� Contudo, durante séculos predominou a convicção/certezade que o universo (funcionava) "runs like a clockwork", eque esse funcionamento podia era completamenteprevisível a partir de certo conjunto de condições iniciais.Essa certeza baseava-se na natureza determinística das leismatemáticas que modelavam os movimentos.

� A evolução da Ciência ditou que tal convicção era ingénuae as 1as ferramentas matemáticas essenciais para entendereste tipo de fenómenos foram obtidas por Poincaré,conduzindo à nova teoria de SD que ele iniciou.



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I - Abordagem histórica da TeoriaQualitativa/Moderna dos SD

� Trabalho pioneiro do matemático Henri Poincaré noproblema restrito dos 3 corpos que marcou o início daTeoria Moderna/Qualitativa dos SD.

� Contexto histórico em que surgiu a TeoriaModerna/Qualitativa dos SD: o Determinismo inspiradona Mecânica Clássica (Newtoniana) como paradigmadominante

� Possibilidade criada pela Teoria Moderna/Qualitativa dosSD no estudo de SD com comportamento caótico(seguindo a de�nição de Tien-Yien Li e James Yorke -1975)

� Elevado potencial aplicativo da Teoria do CaosDeterminístico transversal a muitas áreas do conhecimento(física, biologia, medicina, engenharia, economia, gestão eaté na educação)



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II - Sincronização de SD caóticos

� Em tempo contínuo, estudo de sincronização idênticaque inclui:

� substituição parcial em vez de conhecida substituição totalformalizada por Pecora and Carroll [1];

� uso de deslocamento no controle feedback negativodesenvolvido por Parlitz et al. [2]

� A escolha de uma função de Lyapunov apropriada permitiuobter condições, dependentes do parâmetro de ligação,que garantem estabilidade assintótica global.Estas condições são obtidas numa abordagem um poucodiferente do método direto de Lyapunov (He e Vaidya [3]):resultam da possibilidade de majorar a derivada da funçãode Lyapunov através de constantes que limitam asvariáveis dinâmicas dos SD em ligação.



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II - Sincronização de SD caóticos

� Em tempo discreto, estudo de um esquema de ligaçãonão-linear assimétrica entre transformações quadráticasreais que surge de forma natural a partir da família detransformações quadráticas complexas analíticas:

� Aplicação de uma técnica de controle de caos quando nãoé alcançada sincronização prática no sentido deKapitaniak, mas a diferença entre as variáveis dinâmicasdos dois sistemas é limitada

� Obtenção de sincronização idêntica e generalizada estávelcom algumas variantes da ligação original, privilegiando aausência de simetria. Duas delas constituem umageneralização ao uso de parâmetros de ligação distintos.

� Por análise da diferença entre as variáveis dinâmicas dossistemas ligados (erro de sincronização), são estabelecidosalguns resultados que garantem a sua sincronizaçãoestável.



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Sistemas dinâmicos (SD)� O termo sistema dinâmico tem origem na MecânicaClássica em que as grandezas eram posições e velocidadesmas na verdade um SD pode envolver grandezas dos maisdiversos tipos

� Embora existam SD estocásticos, em que os possíveisestados seguem uma lei de distribuição probabilística, estacomunicação apenas aborda SD determinísticos, aquelesem que um estado é determinado de forma únivoca peloestado anterior.

� Os SD são de�nidos por regras dinâmicas que determinama sua evolução num espaço de fase ou espaço de estados.Os estados são ordenados no tempo: a regra especi�ca aevolução a partir de determinado estado para "a frente"(ou "para trás" se o sistema for invertível).

� Dado um estado inicial x0, o SD determina uma órbita (outrajectória): a órbita que inicia nesse estado x0 do espaçode fase e é seguida por todos os outros estadosconsequentes.



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Um SD pode ser:� Discreto (t 2 N0 ou t 2 Z) de�nido por uma aplicaçãoiterada

xn = f (xn�1) = f n (x0) ,

a partir de um estado inicial x0 = x (t0) no tempo inicialt0.

� Contínuo (t 2 R+0 ou t 2 R) de�nido por um �uxo, uma

função que dá diretamente o estado x (t) no tempo t apartir de um estado inicial x0 = x (t0) no tempo inicial t0.� Diferenciabilidade de um �uxo permite de�nir um campovetorial F associado a ele, através de uma EDO de 1a

ordem

dxdt= F (x) equivalente a x(t) = F (x).

As órbitas x (t) de um �uxo são as soluções da EDOassociada. Por cada ponto do espaço de fase passa uma euma só órbita (propriedade dos �uxos).



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O problema dos n corpos

� O problema dos n corpos consiste em determinar, paraqualquer valor do tempo t, as posições de n corpossujeitos (apenas) às forças de mútua gravitação, segundoas leis da mecânica clássica, quando conhecidas as suasmassas e as suas posições e velocidades em dado momento(dito inicial).

� Newton provou que os corpos celestes podem sermodelados como pontos de massa. A 1a formulação doproblema dos n corpos aparece no 1o Livro do "Principia"(1687).

� Para n = 2, o SD (de 2 EDOs) é integrável. O problemafoi completamente resolvido por Johann Bernoulli noinício do séc. XVIII: cada corpo desloca-se ao longo deuma secção cónica, a qual tem um dos foco no centro demassa do SD.



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Formulação matemática doproblema dos n corpos

� Exprimindo as interações gravitacionais que determinam omovimento de n corpos celestes e usando a sua 2a lei damovimento, Newton obteve um SD contínuo modeladopor n EDOs autónomas de 2a ordem. Após contributo deLagrange (em "Mécanique analytique", 1788) o problemapode ser enunciado como:� Dado um conjunto de informação inicial com as posiçõessi (0), massas constantes mi e velocidades si (0) de npontos de massa ( i = 1, 2, . . . , n), com si (0) 6= sj (0)para i 6= j , encontrar a solução do sistema de n EDO de2a ordem

mi � si (t) = ∑j 6=imi �mj �

�sj (t)� si (t)

� sj (t)� si (t) 3 .

(i = 1, . . . , n) que descrevem as posições si (t) dos npontos de massa.



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Elevado no de varáveis noproblema dos n corpos

� O SD contém 6� n variáveis, visto que para cada pontode massa há 3 coordenadas para o vetor posição e outras 3para o vetor velocidade.

� Heinrich Bruns (1887) provou que as 10soluções/integrais clássicas (3 para as posições dos centrosde massa, 3 para a velocidade destes, 3 para o momentoangular e 1 para a energia) são as únicas algebricamentelinearmente independentes deste SD com 6� n graus deliberdade.Isto apenas permitiu a redução para 6� n� 10 variáveis.

� O problema dos n corpos revelou-se bastante difícil deresolver para n � 3.



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O problema dos 3 corpos

� Historicamente, o problema dos 3 corpos é particularmenteinteressante por modelar o sistema Terra-Lua-Sol ondenenhuma das forças gravitacionais pode ser ignorada.

� Muitas das tentativas iniciais para resolver o problema dos3 corpos foram quantitativas com o objetivo de encontrarsoluções explícitas (exatas ou aproximadas) para situaçõesparticulares:

� D�Alembert (1747) e Clairaut (1747) (rivalidade, grau degeneralidade), Euler (1767), Lagrange (1772), Jacobi(1836), Delaunay (1860) e Hill (1878), entre outros,também estudaram o problema dos 3 corpos.

� O trabalho de Bruns reduziu o no de variáveis do SD de 18para 8. Ele mostrou que soluções, de�nidas por séries defunções, poderiam mudar de convergentes para divergentespor pequenas perturbações de alguns dos parâmetrosenvolvidos.



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Dissertação de Henri Poincaré(1854�1912)

� Em 1879 Poincaré defendeu a sua dissertação pelaUniversidade de Paris, sob orientação de Charles Hermite,no campo das equações diferenciais sob o título "Sur lespropriétés des fonctions dé�nies par les équationsdi¤érences". O júri foi bastante crítico com o seu trabalho.

� Nesse trabalho, além de tratar a determinação dassoluções/integrais de equações diferenciais, foi pioneiro noestudo das propriedades geométricas gerais de tais funçõessolução (através da geometria não-euclidiana deLobachevsky).

� Segundo ele, esse trabalho poderia ser usado para modelaro comportamento de múltiplos corpos em movimento nosistema solar onde, enfatizou, a questão central estava naestabilidade e propriedades qualitativas das órbitasplanetárias e não na obtenção de solução explícitas ouaproximadas das equações gravitacionais.



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Competição matemáticapatrocinada por Oscar II

� O problema de descrever o movimento de mais do que 2corpos continuava por resolver no �nal do séc. XIX.Aconselhado por Mittag-Le er, o rei Oscar II da Suéciaestabeleceu então um prémio relativo à sua solução.O desa�o era:

� "Given a system of arbitrarily many mass points whichattract each other according to Newton�s law, under theassumption that no 2 points ever collide, try to �nd arepresentation of the coordinates of each point as a seriesin a variable which is some known function of time and, forall of whose values, the series converges uniformly."

� Poincaré foi um dos cientistas da época que aceitou estedesa�o.



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Envolvimento de Poincaré noproblema restrito com n=3

� Poincaré pesquisou no problema restrito dos 3 corposonde a massa de um deles é in�ntamente pequena. Umcaso particular deste problema restrito foi analiticamenteresolvido por Lagrange assumindo que 2 dos corposestavam em órbitas circulares e que o 3o tinha massanegligenciável.

� Poincaré usou a sua dissertação de doutoramento "Sur lespropriétés des fonctions dé�nies par les équationsdi¤érences" (1879).

� Poincaré provou que o SD de EDO que modelava oproblema restrito dos 3 corpos não tinha solução (nãoera integrável): não existia uma função s (t) queveri�casse a relação entre as derivadas.



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Contributo de Poincaré noproblema restrito com n=3

� Poincaré ganhou o prémio e Weierstrass (um dos júris)disse:� «This work cannot indeed be considered as furnishing thecomplete solution of the question proposed, but it isnevertheless of such importance that its publication willinaugurate a new era in the history of celestialmechanics.»

� Weierstrass decerto percebeu o alcance das ideias originaispresentes no trabalho de Poincaré, ideias essas quelevariam ao que atualmente conhecemos porcomportamento caótico, e que Poincaré designou porinstabilidade dinâmica.

� Poincaré publicou o fundamental do seu trabalho nos 3volumes de "Les Méthodes Nouvelles de la MécaniqueCéleste" (1892-1899) e mais tarde em "Leçons deMécanique Céleste" (1905-1910).



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Papel fundamental dos pontos deequilíbrio

� Para encontrar instabilidade no SD que modela oproblema restrito dos 3 corpos foi fundamental quePoincaré tivesse:� introduzido o retrato (ou diagrama) de fase como um"esquema" onde as propriedades qualitativas de um SDsão representadas;

� detetado o papel fundamental das órbitas periódicas (queincluem pontos de equilíbrio):� «D�ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques siprécieuses, c�est qu�elles sont, pour ainsi dire, la seulebrèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans uneplace jusqu�ici réputée inabordable.» (1o vol. de "LesMéthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste"),

� classi�cado os pontos de equilíbrio em atratores (pontosestáveis ou sink), repulsores (pontos instáveis ou source) eintroduzido os pontos de sela como pontos que sãoatratores segundo certa direção e repulsores segundo outra.



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Pontos homoclínicos� Poincaré introduziu ainda "ferramentas" topológicasessenciais ao seu trabalho:� a aplicação (ou transformação) 1o retorno (dePoincaré) ao considerar uma secção do espaço de fase.quepermitisse visualizar uma órbita periódica como umasequência (discreta) de pontos;

� as noções de variedade estável e variedade instável deuma órbita periódica.

� A estrutura destas variedades para um ponto de sela podeter importantes implicações para o que Poincaré chama deinstabilidade dinâmica: elas podem intersetar-se e daíresultar um ponto homoclínico.� Provou que a 9ência de um ponto homoclínico potencia a9ência de um no in�nito deles, o que confere umaconsiderável complexidade na estrutura orbital do SD.

� Teorema da Recorrência (de Poincaré): certos SDevoluem ao longo do tempo para estados muito próximosdo estado inicial.



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Instabilidade dinâmica encontradapor Poincaré

� Poincaré mostrou que o SD que modela o problemarestrito dos 3 corpos é não-integrável pela presença depontos homoclínicos, os quais surgiram naturalmente doestudo da aplicação 1o retorno:� Con�nando a posição (e velocidade) do corpo com massanegligenciável ao plano orbital, ele reduziu os Sd para 4variáveis s1, s2, s1 e s2. Restringindo a energia total do SDele eliminou mais 1 variável. Obteve um espaço de fase dedimensão 3.

(�gure at "The Character of Physical Law", Richard Feynman).



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Dependência sensível às condiçõesiniciais

� Em "Science and Method" (1908) Poincaré escreveu:� "It may happen that small di¤erences in the initialconditions (as the initial position of one body) producevery great ones in the �nal phenomena. A small error inthe former will produce an enormous error in the latter.Prediction becomes impossible."

� O trabalho de Poincaré foi uma prova de que para certosSD (como o que modela o problema restrito dos 3corpos), a única maneira de obter previsões com rigorsigni�cativo é determinar as condições iniciais comabsoluta precisão, por apresentarem a dependênciasensível às condições iniciais como propriedade.



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Legado de Newton

� Em �nais do séc. XIX ainda dominava a visãodeterminística do Universo inspirada na física Newtonianacomposta por um bem de�nido conjunto de princípios. ODeterminismo estabelece que:

� as regras de causa-efeito governam todo o movimento eestrutura ao nível material. Logo, em princípio, cadaacontecimento podia ser completamente previsto.

� Existia a convicção quase generalizada de que amatemática (quando bem combinada com a lógica) podiaser usada para obter uma descrição exata do Universo:

� se fosse conhecido o estado do Universo num dadomomento e todas as leis que o governam, poder-se-iarigorosamente prever o seu estado num outro momentoqualquer.



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Determinismo vs(im)previsibilidade

� As leis de Newton, sendo escritas como equaçõesmatemáticas, e não como simples a�rmações/sentenças,são completamente determinísticas:

� as EDO que de�nem um certo SD fazem a interligaçãoentre os valores num dado momento inicial com osrespectivos valores num momento posterior (ou anterior) epermitem determinar exatamente o que esperar.

� se pudéssemos diminuir a incerteza num valor inicialintroduzido então diminuíria da mesma maneira/proporçãoqualquer imprecisão na previsão obtida a partir dele("shrink-shrink" rule).

� dois conjuntos de valores iniciais quase indistinguíveis comcerteza produziriam exatamente o mesmo comportamentoem qualquer momento do futuro (ou do passado).



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Determinismo vs(im)previsibilidade

� Estava implícito entre a comunidade cientí�ca que:� a incerteza numa previsão era um problema menor porqueera assumido que tal não resultava de qualquer propriedadedas leis dinâmicas (visto que elas eram completamentedeterminísticas).

� era teoricamente possível obter previsões (outputs) quaseperfeitas para o comportamento de qualquer SD: supondoa possibilidade de medições reais (inputs) cada vez maisprecisas.

� O trabalho de Poincaré vem mostrar que a naturezadeterminística de um SD não implica a sua previsibilidade:um SD é teoricamente previsível mas pode ser imprevisívelna prática:� Mesmo usando processos de medição perfeitos, éimpossível escrever/representar uma medição real comin�nita precisão, visto que para tal pode ser necessário umnúmero in�nito de dígitos.



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Comportamento caótico

� Em linguagem comum, caos signi�ca desordem oualeatoriedade.

� Em matemática é bastante mais.

� Um SD com comportamento caótico é determinístico,porque de�nido por equações matemáticas, logo a cadaconjunto de condições iniciais corresponde um determinadocomportamento do sistema. Não há qualquer aleatoriedadeneste processo.

� Em SD, a presença de alguma incerteza numa mediçãoreal signi�ca que as condições iniciais do SD em estudonão podem ser especi�cadas com absoluto rigor.

� Logo, porque existem pequenos erros inerentes a qualquermedição real (nunca há um rigoroso conhecimento dascondições iniciais) qualquer previsão é imprecisa.



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Def. SD caótico - o qualitativo� O termo caos foi introduzido por Tien-Yien Li e JamesYorke (1975).Existem várias de�nições de SD caótico, algumas delasadaptadas a espaços de fase muito particulares. A maisconsensual é a dada por Devaney (1989): se existe umsubconjunto do espaço de fase com as 3 propriedades:� dependência sensível às condições iniciais� transitividade topológica e� densidade do conjunto de órbitas periódicas.

� 3 estudos relevantes, após Poincaré, que clari�cam as 3propriedades do caos: Lorenz (1961) ! dependênciasensivel às condições iniciais, Arnold (nos anos 60) !transitividade topológica, May (1970) ! densidade doconjunto de órbitas periódicas.

� Caracterização do comportamento caótico baseado empontos periódicos: importantes trabalhos analíticos deSharkowski (1964) e Yorke e Li (1975)



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Caos determinístico é + do que aexcepção - tema uni�cador

� Pelo Teorema de Poincaré-Bendixson Theorem, umSD contínuo de dimensão 2 nunca é caótico. Nosrestantes casos 9 a possibilidade de caos (exceptuandoobviamente os SD de�nidos por uma aplicação linear).No �nal dos anos 70, Feigenbaum obteve resultados queesclarecem a transição de comportamento regular paracomportamento caótico.

� Regularidade/ordem dinâmica inerente a um SD caóticoevidenciada:� pela sua evolução para um padrão - o atrator estranho� pelas suas propriedades geométricas: auto-semelhança

� Consequências na modelação de cada sistema real:� se exibe um comportamento não regular, põe-se a questãode saber se deve ser modelado por um SD caótico (logodeterminístico), por um SD estocástico, ou ainda, por ummodelo "tipo mistura" estocástico/determinístico.



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De SD periódicos para SD caóticos� Christiaan Huygens em 1665 [3]: igualdade de períodoem dois relógios mutuamente ligados:

� Capacidade de SD dissipativos auto-oscilatórios ajustaremos seus comportamentos de modo a seguirem ummovimento periódico global.

� Desde a década de 80, o termo "sincronização" inclui SDcaóticos (Fujisaka e Yamada (1983 [4]), Pikovsky (1984[5]), Kaneko (1986 [6]), Afraimovich (1986 [1]) e Pecora eCarroll (1990 [1])).

� O efeito atrativo de uma ligação dissipativa (contratora)apropriada pode anular/compensar a tendência dastrajetórias para divergirem e �forçar�que sigam a mesmatrajetória no atrator caótico.

� Não é possível aplicar diretamente à sincronização de caosos métodos desenvolvidos para sincronização de oscilaçõesperiódicas.



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Regimes de sincronização econ�gurações de ligação

� Regimes de sincronização:� Sincronização idêntica entre SD idênticos com condiçõesiniciais diferentes;

� Sincronização generalizada entre SD não-idênticos e quese traduz pela existência de uma relação funcional entre osSD.

� Con�gurações de ligação:� bidirecional (mútua ou global) que implica interaçãomútua entre os SD;

� unidirecional (ou direcional) em que um dos SD interfereno outro, sem que este forneça retorno ao 1o .

� A e�cácia de uma ligação entre SD caóticos� depende de fatores tais como as regiões paramétricas decada um deles, o grau de diferenciação dos SD entre si e aforça de ligação considerada.

� decorre da análise da diferença entre as variáveis dos SDem ligação.



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Níveis de sincronização eestabilidade

� É possível distinguir casos de:� sincronização assintótica, em que o erro de sincronizaçãoconverge para 0 ao longo do tempo;

� sincronização prática no sentido de Kapitaniak, emque apenas é esperada a estabilização do erro desincronização abaixo de uma constante inferior a 1.

� Condição de estabilidade: que as trajetórias sincronizadassejam assintoticamente estáveis por perturbaçõestransversais ao subespaço de sincronização.

� Critérios para a estabilidade transversal baseados� nos valores próprios da matriz Jacobiana correspondenteà dinâmica no subespaço de sincronização;

� numa função de Lyapunov apropriada (método directo deLyapunov) relativa às perturbações transversais aosubespaço de sincronização;

� na estimação dos expoentes de Lyapunov que indicam sepequenas perturbações transversais diminuem ou não.



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Estudo de caso em tempo contínuo� Análise de sincronização entre sistemas não-lineares

� de Lorenz

x = σ (y � x) ^ y = x (α� z)� y ^ z = xy � βz

(simulações com σ = 10, α = 28 e β = 2.(6))� de Rössler

x = � (y + z) ^ y = x + ay ^ z = b+ z (x � c)(simulações com a = b = 0.2 e c = 5)

� hipercaótico de Rössler

x = �y � z ^ y = x+ ay +w ^ z = xz+b^ w = �cz+dw(simulações com a = 0.25, b = 3, c = 0.5 e d = 0.05)

� Os sistemas ligados são obtidos pela combinação dediferentes esquemas de ligação com substituição parcial outotal em termos não-lineares do segundo sistema. Éaplicado o método directo de Lyapunov numa abordagemdiferente da usual.



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Sincr. idêntica em SD contínuos� Experimentalmente descoberta em 1985 por Afraimovichet al. [1] entre SD idênticos.

� X um subconjunto compacto de Rm , com m � 3, ef (�; a) : X � Rm ! Rm um campo vetorial contínuo paracada vetor a de parâmetros de controle reais.

� S1 e S2 SD idênticos (de�nidos em X ) pelas EDOnão-lineares

u01 = f(u1; a) e u02 = f(u2; a),

resp., e condições iniciais u1 (0) 6= u2 (0) tais que, paracerto a, S1 e S2 evoluem num atrator caótico Aassintoticamente estável. As soluções com para estascondições iniciais na bacia de atração B(A), representamtrajetórias independentes que evoluem em A, evoluçãocaracterizada por um expoente de Lyapunov positivo. S1 eS2 dizem-se assintoticamente sincronizados se

limt!+∞

ku1 (t)�u2 (t)k = 0.



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Variedade de sincronização esistema transversal

� A evolução da diferença e (t) = u2 (t)� u1 (t) entreórbitas inicialmente próximas é descrita por

e0 (t) = u02 (t)� u01 (t) = f(u2 (t) ; a)� f(u1 (t) ; a). (1)

No caso de sincronização assintótica, esta diferença é oerro de sincronização e o sistema caraterizado por (1)diz-se o sistema transversal.

� Quando é alcançada sincronização assintótica, a dinâmicacaótica de u1 (t) e u2 (t) �cam restringidas à variedadede sincronização invariante suave de dimensão m

M� f(u1,u2) 2 X � X j u1 = u2g � R2m ,

na qual ocorre a dinâmica sincronizada de�nida peloestado caótico sincronizado simétrico.



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Estabilidade transversal do sistemaligado

� O problema da sincronização pode ser entendido como umproblema de estabilidade assintótica do atrator caótico A(mergulhado emM) no espaço de fase de dimensão 2mdo sistema ligado (Pecora e Carroll [1], Fujisaka e Yamada[4]): saber se é alcançada sincronização para todas ascondições iniciais numa vizinhança de A.

� Visto que o sistema transversal (1) carateriza a dinâmicana direção transversal aM, é necessário analisar sepequenas perturbações transversais aM são reduzidas ouampliadas pela evolução dos SD S1 e S2.

� Se são reduzidas entãoM é transversalmente estável e oestado caótico sincrónico u1 = u2 é estável. Como tal, aestabilidade de sincronização é designada comoestabilidade transversal.



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Ligação unidirec. por substit. total� É considerada uma decomposição arbitrária da variávelu1 = (x1, y1) no SD S1 de�nido por u01 = f(u1; a), emdois subsistemas

(transporte) x01 = g(x1, y1; a) ^ y01 = h (x1, y1; a) , (2)

com variáveis x1 = (u1, . . . , uk ) e y1 = (uk+1, . . . , um),resp., 1 � k � m. São tomadas condições iniciaisindependentes x1 (0) e y1 (0) nos dois subsistemas (2).

� Tomando um subsistema y02 = h (x1, y2; a) idêntico ay01 = h (x1, y1; a), onde a variável x1 é substituída pelacorrespondente x2, constitui-se o sistema respostau02 = fx2!x1 (u2; a) = f (x1, y2; a) de�nido por

(resposta) x01 = g(x1, y1; a) ^ y02 = h (x1, y2; a) . (3)

O sistema ligado é

x01 = g(x1, y1; a) ^ y01 = h (x1, y1; a) ^ y02 = h (x1, y2; a) .



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Ligação unidirecional porsubstituição parcial

� Em vez da substituição total formalizada por Pecora eCarroll [1]), podemos aplicar substituição parcial (comosugerido por Guemez e Matias [2]):� uma das variáveis (ou conjunto de variáveis) no SDresposta é substituída pela sua(s) correspondente(s) no SDtransporte mas apenas em algumas das equações doSD resposta.

� Em geral, os resultados de estabilidade em substituiçãoparcial diferem dos resultados obtidos em substituiçãototal.



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Ligação unidirec. por controlefeedback negativo

� Controle feedback negativo: a ligação de S1 e S2baseia-se num termo amortecedor linear ρ(u2 � u1),

u01 = f(u1; a) ^ u02 = f(u2; a) + ρ(u2 � u1),onde ρ = (ρ1, ρ2, ..., ρm) é o vetor paramétrico de ligação,com ρi > 0 para todo i = 1, . . . ,m (Parlitz et al. [2]).

� CASO PARTICULAR. É escolhida uma única variável uk(com 1 � k � m) do SD transporte S1 (designada porvariável condutora) e o termo amortecedor linearρ (uk � uk ) (designado por sinal de controle) apenas éadicionado à k-ésima equação. A força de ligação ρ éexperimentalmente ajustável e mede a intensidade daperturbação.� Controle feedback negativo deslocado: se ρ (uk � uk ) éusado como um sinal de controle aplicado ao SD respostamas não na k-ésima equação.



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L1 - Ligação unidirecional porsubstituição total

� É escolhida a variável condutora x1 para ser transmitidacomo sinal condutor do SD transporte para o SD resposta,obtendo-se o sistema ligado8<:

x1 = 10 (y1 � x1)y1 = 28x1 � x1z1 � y1z1 = x1y1 � 2.(6)z1

^

8<:x2 = x1y2 = 28x1 � x1z2 � y2z2 = x1y2 � 2.(6)z2

,

onde é eliminada a equação x1 = 10 (y1 � x1) por sersuper�ua. Tomamos os valores paramétricos σ = 10,α = 28 e β = 2.(6).

� Consideremos a função que caracteriza o SD resposta(y2 (t) , z2 (t))

bf (x1, y2, z2) = (�x1z2 + 28x1 � y2, x1y2 � 2.(6)z2) .



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a


� A equação linearizada e0 (t) � D(y2,z2)bf � e (t) que de�ne osistema transversal corresponde a�eyez

�� D(y2,z2)bf � � eyez

�=

��1 �x1x1 �2.(6)

��eyez

�,

para diferenças ey e ez su�cientemente pequenas. Assoluções do sistema transversal indicam sobre aestabilidade assimptótica do sistema ligado.

� O cálculo dos valores próprios da matriz JacobianaD(y2,z2)h conduz a

Λ1,2 = �116� 12

r259� 4x21 .

Dado que ambos são negativos para x1 2 [�5/6, 5/6],está garantida a sincronização estável.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a


� Estudo do sinal dos expoentes de Lyapunov: exigeconsiderar novas variáveis no sistema ligado

� V(t) = (V1,V2,V3) =12(x1 � x2, y1 � y2, z1 � z2) que

descreve a evolução de pequenas perturbações transversaisà variedade de sincronizaçãoM, e

� U(t) = (U1,U2,U3) =12(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) que

descreve a evolução nessa variedade invariante ou próximodela.

� Como x1 = U1 � V1, x2 = U1 + V1, y1 = U2 � V2,y2 = U2 + V2, z1 = U3 � V3 e z2 = U3 + V3, o sistemaligado pode ser reescrito8<:U1 = 10 (U2 � V2 � U1)V2 = �U1V3 � V2V3 = U1V2 � 2.(6)V3

^

8<:V1 = 0U2 = 28U1 � U1U3 � U2U3 = U1U2 � 2.(6)U3

.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L1 - Lig. unidirec. p/ subst. total

0 50 100 150 200 250 300 350 400

14

12

10

8

6

4

2

0

2X: 361.5

Y: 0.005492

tempo

expo

ente

s de

Lya

puno

v

Figure: Espectro dos expoentes de Lyapunov do sistema ligado:

λk =n

λk1,λ

k2,λ

k3

oos exp. de Lyap. tangenciais e λ? =

nλ?1 ,λ

?2

oos exp. de Lyap. transversais associados à evolução de V(t).

Se o maior exp. de Lyapunov transversal λ?max é negativo,então qualquer perturbação transversal aM é amortecida e oestado sincrónico u1 = u2 é estável.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a


� Com vista ao estudo da estabilidade global, consideremosa função de Lyapunov

L (e) =12

�e2y + e

2z

�que veri�ca L (e) > 0 se e 6= 0 e L (0) = 0 [3].

� Substituindo as expressões de ey e ez na derivada de L emordem a t, L (e) = ey ey + ez ez , obtemos

L (e) = ey (�ey � x1ez ) + ez (x1ey � 2.(6)ez )= �

�e2y + 2.(6)e

2z

�� 0.

Como L (e) é negativa excepto em e = 0, o métododirecto de Lyapunov garante que a origem é globalmenteassimptoticamente estável para o sistema transversal.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L2 - Ligação unidirec. p/ controlefeedback negativo deslocado c/

substit. parcial

� É escolhida a variável condutora x1, e é aplicado o sinal decontrole ρ (x1 � x2) ao SD resposta mas deslocado para a2a equação. Além disso, a variável x2 é substituída por x1apenas no termos não-lineares x2z2 e x2y2 do SD resposta8<:

x1 = σ (y1 � x1)y1 = αx1 � x1z1 � y1z1 = x1y1 � βz1

^

8>><>>:x2 = σ (y2 � x2)y2 = αx2 � x1z2 � y2

+ ρ (x1 � x2)z2 = x1y2 � βz2

.

� Consideremos a função

bf = (σ (y2 � x2) , αx2 � x1z2 � y2 + ρ (x1 � x2) , x1y2 � βz2) .



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L2 - Estabilidade local do estadosincrónico

� A equação que de�ne as perturbações transversais àvariedade de sincronização é

e0 (t) � D(x2,y2,z2)bf � e (t) .Portanto, o sistema transversal é de�nido pela equaçãolinearizada24 ex

eyez

35 =24 �σ σ 0

α� ρ �1 �x10 x1 �β

35 �24 exeyez

35� Condição de sincronização localmente estável (estudo dosvalores próprios da matriz Jacobiana D(x2,y2,z2)bf):

ρlocSync > α� 1� Para os valores paramétricos σ = 10, α = 28 e β = 2.(6)é tomada a força de ligação ρ = 27.1, por ser o menor dosvalores de ρ que veri�ca a condição acima (Fig. 2 a,b,c).



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L2 - Estabilidade local do estadosincrónico - �guras

10 0 1020

10

0

10

20

t

x,y,

z

20 0 20 4020

0

20

40

x1,y1,z1

x2,y

2,z2

0 5 10 15 20 25 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t

||e(t)

||

X: 23.9Y: 0

Figure: Valores paramétricos σ = 10, α = 28 e β = 2.(6); força deligação ρ = 27.1. (a) Atrator do sistema ligado; (b) Variedade desincronização; (c) Evolução do erro de sincronização



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L2 - Estabilidade global do estadosincrónico

� A condição de estabilidade global resulta da possibilidadede majorar a derivada L (e) = ex ex + ey ey + ez ez dafunção de Lyapunov

L (e) =12

�e2x + e

2y + e

2z

�� 0

através de constantes que limitam as variáveis dinâmicasdos sistemas. Concluímos L (e) < 0, sempre que e 6= 0,

L (e) = �σe2x � e2y � βe2z + (σ+ α� ρ) ex ey

� �σe2x � e2y � βe2z + (σ+ α� ρ) jex ey jdesde que σ+ α� ρ < 0.

� Condição de sincronização globalmente estável:

ρgloSync > α+ σ > α� 1 = ρlocSync

(não depende de β), conduzindo a um intervalo de valoresde ρ mais restritivo. (Fig. 3 a,b,c).



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L2 - Estabilidade global do estadosincrónico - �guras

10 0 10

10

0

10

20

t

x,y,

z

0 20 40

0

20

40

x1,y1,z1

x2,y

2,z2

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t

||e(t)

||

X: 9.85Y: 0


Com ρ = 38.1 é obtida o menor tempo de sincronização: seρ = 38.1 então t = 23.9 enquanto para ρ = 27.1 temost = 9.85.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Outras ligações entre SD deLorenz

Controle feedback negativo deslocado

� Outras ligações por controle feedback negativo deslocado,com ou sem a substituição (parcial ou total) da variável x2por x1 em termos não-lineares do SD resposta

� Condições de estabilidade global da sincronizaçãoresultantes da majoração da derivada de uma função deLyapunov apropriada por constantes que limitam asvariáveis dinâmicas dos subsistemas (K = Kx +K 0x ):

Desloc. Substit. Condição su�ciente2a eq. � � β (ρ� σ� α+Kz )

2 < 4σβ�K 2y2a eq. 3a eq. β (ρ� σ� α+Kz )

2 < 4σβ� σK 2

3a eq. 2a eq.(ρ� σ� α)2 < 4σ ^

β (ρ� σ� α)2 < 4σβ�KKy (ρ� σ� α) +K 2y + σK 2



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L3 - Ligação unidirecional p/controle feedback negativo c/

substituição parcial� É aplicado o controle feedback negativo. Além disso, avariável x2 é substituída por x1 apenas no termosnão-lineares x2z2 e x2y2 do SD resposta8<:x1 = σ (y1 � x1)y1 = αx1 � x1z1 � y1z1 = x1y1 � βz1

^

8>><>>:x2 = σ (y2 � x2) + ρ (x1 � x2)y2 = αx2 � x1z2 � y2

+ ρ (y1 � y2)z2 = x1y2 � βz2 + ρ (z1 � z2)

� A matriz que carateriza o sistema transversal

e0 (t) � D(x2,y2,z2)bf � e (t)é

A = D(x2,y2,z2)bf =24 �σ� ρ σ 0

α �1� ρ �x10 x1 �β� ρ

35 .



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

ProposiçãoProposiçãoSeja A a matriz que caracteriza o sistema transversal relativo auma ligação dos SD idênticos S1 e S2, ou seja,

�e= A � e para

e = u2 � u1. Se a matriz simétrica AT +A é de�nida negativae existe uma constante δ < 0 tal que AT +A � δI,8u1,u2 2 X, então a dinâmica do sistema transversal églobalmente estável.

Proof.Para todo o e 6= 0, é negativa a derivada

L (e) =dn[e(t)]T � e(t)

odt

(e) =d�eT�

dt� e+ eT � de

dt

= eT �AT � e+ eT �A � e = eT�AT +A

�e

� δ�eT � I � e

�= δ

�eT � e

�< 0.

Pelo método directo de Lyapunov está garantida a estabilidadeassimptótica global do sistema transversal.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L3 - Ligação unidirecional p/controle feedback negativo c/

substituição parcial� Determinantes das submatrizes principais da matriz

AT +A =

24 �2 (σ+ ρ) σ+ α 0σ+ α �2 (1+ ρ) 00 0 �2 (β+ ρ)

35são ∆1 = �2 (σ+ ρ), ∆2 = 4 (σ+ ρ) (1+ ρ)� (σ+ α)2

e

∆3 =h2 (σ+ α)2 � 8 (σ+ ρ) (1+ ρ) 2 (σ+ α)2

i(β+ ρ) .

Temos �∆1 > 0 e a condição �∆3 > 0 é satisfeita sempreque ∆2 > 0 (pois β+ ρ > 0).

� Condição para sincronização globalmente estável:

4 (σ+ ρ) (1+ ρ) > (σ+ α)2 .



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

L3 - Estabilidade global do estadosincrónico - �guras

Para os valores paramétricos σ = 10, α = 28 e β = 2.(6), étomada a força de ligação ρ = 14.5, por ser o menor valor de ρque veri�ca a condição acima (Fig. 4 a,b,c).

10 0 10

10

0

10

20

t

x,y,

z

0 20 40

0

20

40

x1,y1,z1

x2,y

2,z2

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

t

||e(t)

||

X: 5Y: 0




Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Outras ligações entre SD deLorenz

� Condições su�cientes para estabilidade global:

Ligação Condição su�cientecontrole feedback negat. 4 (σ+ ρ) (1+ ρ) > (σ+ α)2

difusiva linear bidirec. 4 (2ρ+ σ) (2ρ+ 1) > (σ+ α)2

em que foi efectuada substituição parcial da variável x2por x1 em todos os termos não-lineares do SD resposta.

� Ligação difusiva linear bidirecional:8<:x1 = σ (y1 � x1) + ρ (x2 � x1)y1 = αx1 � x1z1 � y1 + ρ (y2 � y1)z1 = x1y1 � βz1 + ρ (z2 � z1)

^

8<:x2 = σ (y2 � x2) + ρ (x1 � x2)y2 = αx2 � x1z2 � y2 + ρ (y1 � y2)z2 = x1y2 � βz2 + ρ (z1 � z2)



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

R1 - Ligação difusiva linearbidirecional entre SD de Rössler

Sistema ligado:8<:x1 = � (y1 + z1) + ρ (x2 � x1)y1 = x1 + ay1 + ρ (y2 � y1)z1 = b+ z1 (x1 � c) + ρ (z2 � z1)

^

8<:x2 = � (y2 + z2) + ρ (x1 � x2)y2 = x2 + ay2 + ρ (y1 � y2)z2 = b+ z2 (x2 � c) + ρ (z1 � z2)

� Para qualquer valor de ρ, o sistema transversal é de�nidopelas equações8<:

ex = x2 � x1 = �ey � ez � 2ρexey = y2 � y1 = ex + (a� 2ρ) eyez = z2 � z1 = z2ex + (x1 � c � 2ρ) ez

.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

R1 - Lig. bidirec. difusiva linear� Para a função de Lyapunov L (e) =

12

�e2x + e

2y + e

2z

�, é

válida a desigualdade

L (e) � �2ρe2x + (a� 2ρ) e2y +Kx e2z � (c + 2ρ) e2z

+Kz jex ez j � jex ez jpara constantes Kx ,Kz > 0 que majorem as funções x1 ez2, ou seja, jx1j � Kx e jz2j � Kz .

� Sistema transversal é assintoticamente estável na origem,sempre que a matriz simétrica constante

P =

266642ρ 0

12(1�Kz )

0 2ρ� a 012(1�Kz ) 0 c + 2ρ�Kx

37775associada à forma quadrática �kekT �P� kek, em quekek = (jex j , jey j , jez j), seja ser de�nida positiva.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

R1 - Lig. bidirec. difusiva linear� Condição para sincronização assintótica globalmenteestável:

2ρ > a ^ 8ρ (2ρ+ c �Kx ) > (1�Kz )2 ,onde Kx e Ky são tais que jx1j � Kx e jz2j � Kz .

0.5 0 0.5

0.5

0

0.5

t

x,y,

z

0.5 0 0.5

0.5

0

0.5

1

x1,y1,z1

x2,y

2,z2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

t

||e(t)

||

X: 44.05Y: 0

Figure: Valores paramétricos a = b = 0.2 e c = 5; força de ligaçãoρ = 8. (a) Atractor do sistema ligado; (b) Variedade desincronizaçao; (c) Evolução do erro de sincronizaçao



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

R2 - Lig. difusiva linear bidirec. c/subst. parcial entre SD de Rössler

Sistema ligado8<:x1 = � (y1 + z1) + ρ (x2 � x1)y1 = x1 + ay1 + ρ (y2 � y1)z1 = b+ z1 (x1 � c) + ρ (z2 � z1)

^

8<:x2 = � (y2 + z2) + ρ (x1 � x2)y2 = x2 + ay2 + ρ (y1 � y2)z2 = b+ z2

�x1 � c

�+ ρ (z1 � z2)

(4)

� Condição para sincronização assintótica globalmenteestável em (4):

2ρ > a ^ 8ρ (2ρ+ c �Kx ) > 1onde Kx é uma constante positiva tal que jx1j � Kx .

� Para os mesmos valores paramétricos, obtem-sesincronização globalmente estável para ρ = 6 num tempomenor (t = 38.65 face ao anterior t = 44.05 com ρ = 8).



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Sincr. generalizada em SDcontínuos

� Sejam campos vetoriais f (�; a) : X � Rl ! Rl eg (�;b) : Y � Rm ! Rm , com l ,m � 3, para vetors a e bde parâmetros de controle reais.

� Consideremos SD autónomos S1 e S2 unidirecionalmenteligados

u01 = f(u1; a) and u02 = g(u2,Cρ (u1) ;b), (5)

através de uma função vetorialCρ (u1) : X � Rl ! Y � Rm que depende explicitamentede um vetor parâmetro de ligação vector ρ.

� Em sincronização generalizada é procurada uma relaçãofuncional (que não é a identidade)

u2 (t) = h (u1 (t))

entre as variáveis, a qual pode não ser válida em todo oespaço de fase X � Y do sistema ligado (5), mas simnuma variedade invarianteM.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Função de sincronização

� Sejam φt (u1(0)) e ψt (u1(0),u2(0)) soluções dos SD S1e S2, respectivamente, para as condições iniciais u1(0) e(u1(0),u2(0)).

� Se existe uma função vetorial h : X ! Y entre os espaçosde fase X e Y tal que

limt!+∞

ψt (u1(0),u2(0))� h�φt (u1(0))

� = 0e a variedade invarianteM de�nida por

M� f(u1,h (u1)) 2 X � Y j u1 2 Xg � Rl �Rm

contém pelo menos um atrator caótico, os SD S1 e S2estão em sincronização generalizada relativamente àfunção de sincronização.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Erro de sincronização

� Existem diversos tipos de sincronização generalizadaconforme as diferentes propriedades exigidas à função desincronização h. Contudo, exigir que h seja continuamentediferenciável permite tratar muitas situações que surgemem aplicações.

� O erro de sincronização é de�nido por

e(t) = u2 (t)� h (u1 (t)) ,

e o sistema transversal por

e0 = u02 � h0 (u1) = u02 �Dh (u1) � f (u1; a)

onde Dh (u1) é a matriz Jacobiana l �m de h.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Lig. unidirec. por função controle� Para uma escolha especí�ca de uma função desincronização h, é possível encontrar uma funçãoC (u1,u2) das variáveis dos SD, designada por funçãocontrole, tal que a ligação unidirecional

u01 = f (u1; a) ^ u02 = g (u2;b) +C (u1,u2)

conduz a sincronização generalizada globalmente estável.� Muitos sistemas (incluindo o de Lorenz, o de Rössler e ohipercaótico de Rössler) podem ser escritos na forma

u02 = A � u2 +B (u2)onde A é uma matriz constante e B (u2) é uma partenão-linear. Logo, consideramos a ligação

u01 = f (u1; a) ^ u02 = A � u2 +B (u2) +C (u1,u2) ,como caso particular case do sistema ligado (5), ondeC (u1,u2) é a função controle a determinar.



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Conclusões

Bibliogra�a

Determinação da função controle� Suponhamos o sistema transversal

e0 = u02 � h0 (u1)= A � u2 +B (u2) +C (u1,u2)�Dh (u1) � f (u1; a)

escrito como e0 = (A�A0) � e, para certa matrizconstante A0 de ordem m, a função controle é dada por

C (u1,u2) = �A0 �e�A � h (u1)�B (u2)+Dh (u1) � f (u1; a) .(6)

� Usando a função de Lyapunov L(e (t)) = [e(t)]T � e(t),concluímos pelo método direto de Lyapunov que a funçãocontrole de�nida por (6) garante sincronizaçãogeneralizada globalmente estável no sistema ligadorelativamente à função de sincronização h sempre que amatriz (A�A0)T +A�A0 é de�nida negativa. Bastadeterminar uma matriz A0 tal que A�A0 seja uma matrizdiagonal apenas com entradas negativas na diagonalprincipal.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Ligação entre o SD de Rössler e oSD hipercaótico de Rössler

� Sejam os SD S1 and S28<:x1 = � (y1 + z1)y1 = x1 + a1y1z1 = b1 + z1 (x1 � c1)

e

8>><>>:x2 = �y2 � z2y2 = x2 + a2y2 + w2z2 = x2z2 + b2w2 = �c2z2 + d2w2

Com a2 = 0.25, b2 = 3, c2 = 0.5 e d2 = 0.05 o SDhipercaótico de Rössler tem comportamento caótico.

� Objectivo: obter sincronização generalizada globalmenteestável relativamente à função de sincronização

h (x1, y1, z1) = (x1z1, y1, x1, 2y1 + z1) .



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Função controle?� O SD hipercaótico de Rössler pode ser escrito comoA � u2 +B (u2) com

A =

26640 �1 �1 01 a2 0 10 0 0 00 0 �c2 d2

3775 e B =

266400

x2z2 + b20

3775 .Tomando a matriz constante

A0 =

26641 �1 �1 01 2a2 0 10 0 1 00 0 �c2 2d2

3775 ,a matriz A�A0 é diagonal e todas as suas entradasnão-nulas são negativas. A matriz (A�A0)T +A�A0 éde�nida negativa com valores próprios Λ1,2 = �2,Λ3 = �2a2 e Λ4 = �2d2.



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Conclusões

Bibliogra�a

Função controle?� Calculando a matriz Jacobiana h temos o necessário paradeterminar facilmente a função controle C (u1,u2) em (6),2664

y2 � x2 + z2 + (2+ b1) x1 � z1 [y1 + z1 � x1 (x1 � c1 + 1)]�x2 � 2a2y2 + (a2 + a1) y1 + x1x1 � (x2 + 1) z2 � b2 � (y1 + z1)

c2z2 � 2d2w2 + (2d2 + 2a1) y1 + 2x1 + b1 + z1 (x1 � c + d2)

3775� Então o SD resposta que garante sincronizaçãogeneralizada globalmente estável relativamente à funçãode sincronização h é

S2 �

8>>>>>><>>>>>>:

x2 = �x2 + (2+ b1) x1 � z1 (y1 + z1)+ z1x1 (x1 � c1 + 1)

y2 = �a2y2 + w2 + (a2 + a1) y1 + x1z2 = x1 � z2 � (y1 + z1)w2 = �d2w2 + (2d2 + 2a1) y1 + 2x1 + b1

+ z1 (x1 � c1 + d2)

.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Estudo de caso em tempo discreto� Estudo da ligação bidireccional assimétrica dastransformações quadráticas reais não-idênticas caóticas

f (x ; a) = a� x2 e g (y ; b) = b� y2

com o termo de ligação não-linear ρ (xn � yn)2 , quedecorre da decomposição da família de transformaçõesquadráticas analíticas Zn+1 = α� Z 2n , Z , α 2 C

� Estudo de algumas variantes dessa ligação, privilegiando aausência de simetria. Em particular, a con�guraçãounidireccional (com a = b) e o uso de parâmetros deligação distintos ρ1 e ρ2 em con�guração bidireccional(com a = b e a 6= b)

� Análise da dinâmica do sistema ligado e estudo daestabilidade local da sincronização, com base nos valorespróprios da equação linearizada do sistema transversal e naestimação dos correspondentes expoentes de Lyapunov



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Conclusões

Bibliogra�a

Ligação original de quadráticasDe transformações quadráticas complexas para reais

Família de transformações quadráticas analíticas

Zn+1 = α� Z 2n , com Z , α 2 C

conduz, para Z = X + Yi e α = α1 + α2i , ao sistema

Xn+1 = α1 � X 2n + Y 2n ^ Yn+1 = α2 � 2XnYn.Com x = X + βY , y = X � βY , a = α1 + βα2 eb = α1 � βα2, onde β 6= 0, obtém-se (Isaeva et al. [4])8>>>><>>>>:

xn+1 = �3β2 � 14β2

x2n +1+ β2

4β2y2n �

1+ β2

2β2xnyn + a

yn+1 =1+ β2

4β2x2n �

3β2 � 14β2

y2n �1+ β2

2β2xnyn + b.

Sendo ρ =�1+ β2

�/4β2 obtém-se o sistema ligado

xn+1 = a� x2n + ρ (xn � yn)2 ^ yn+1 = b� y2n + ρ (xn � yn)2



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Conclusões

Bibliogra�a

Ligação original de quadráticasAbordagem computacional: a=1.87 e b=1.97

� Valores de a e b maiores que o ponto de Misiurewicza� ' 1.565, onde os subsistemas são caóticos

� No sistema ligado consideram-se a = 1.87 e b = 1.97 econdições iniciais x0 = 0.1 e y0 = 0.2

� Quando ρ 2 [�0.39, 0.24] a diferença y � x está limitadaa um intervalo Ie (ρ), mas não é obtida sincronizaçãoprática pois a amplitude de Ie (ρ) é maior do que 1



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

São considerados valores de ρ entre �1 e 0.5, um intervalo[�1.0, 0.5] que contém [�0.39, 0.24]. Se ρ = �0.40 eρ = 0.25 a diferença y � x explode para in�nito� A amplitude de Ie (ρ) varia entre 4.59 e 36.78 e aumentacom ρ. Em ρ = �0.39 é obtida a amplitude minimal deIe (ρ), 4.59 (pois Ie (�0.39) = ]�2.40, 2.19[), mas não háevidência de estabilização. Aplicou-se uma técnica decontrole de caos - técnica de colocação dos pólos(Romeiras et al. [6]) - para obter sincronização prática



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Caso particular: a=bSistema ligado:

xn+1 = a� x2n + ρ (xn � yn)2 ^ yn+1 = a� y2n + ρ (xn � yn)2

(7)

A análise da diferença yn+1 � xn+1 conduz ao resultado:ProposiçãoPara cada valor de a e condições iniciais x0 e y0 tais quey0 = �x0, existe um intervalo I (a, x0, y0) de valores de ρ paraos quais é alcançada sincronização (idêntica) assimptóticaestável em (7).

� Para qualquer ρ /2 I (a, x0, y0) a diferença y � x explodepara in�nito

� Abordagens computacionais com a = 1.97 permitemidenti�car, para cada valor de x0, os intervalosI (1.97, x0,�x0)



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Caso particular: a=bAbordagens computacionais: a=1.97

� A amplitude dos intervalos I (1.97, x0,�x0) diminuiquando a diferença entre as condições iniciais x0 ey0 = �x0 aumenta. Se x0 > 9.9 apenas é alcançadasincronização assimptótica estável para ρ = 0.25

� Com condições iniciais x0 = 0.1 e y0 = 0.2 não-simétricas,é alcançada sincronização prática sempre queρ 2 IK = [�338.29,�14.77]. Em ρ = �338.29 o erro desincronização varia em Ie (�0.39) = ]�0.11, 0.11[ deamplitude minimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101000

500

0

500

N

x, y

, yx

a=1.97, parâmetro de ligação 0.25

X: 2Y: 0

100 0 100 200 300 400 500600

400

200

0

200

x

y



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Variantes da ligação originalCon�guração unidireccional com a=b

Sistema ligado:

xn+1 = a� x2n ^ yn+1 = a� y2n + ρ (xn � yn)2 (8)

Por análise da diferença entre as variáveis dinâmicas dossubsistemas transporte e resposta, obtêm-se uma relação entreas condições iniciais e o parâmetro de ligação ρ. A diferençay � x no sistema ligado (8) evolui pela equação às diferenças

yn+1 � xn+1 = x2n � y2n + ρ (xn � yn)2 ,

e a equação yn+1 � xn+1 = 0 é equivalente a

yn = xn _ xn + yn + ρ (xn � yn) = 0.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

ProposiçãoPara cada valor �xo de a e condições iniciais x0 e y0, éalcançada sincronização (idêntica) assimptótica estável nosistema ligado (8) sempre que

ρ =x0 + y0y0 � x0

.

Além disso, para cada valor �xo ρ do parâmetro de ligação,existe um intervalo I (a, ρ) de condições iniciais x0 para as quaisé obtida sincronização (idêntica) assimptótica estável sempreque é tomada a condição inicial

y0 =ρ+ 1ρ� 1x0

no sistema resposta, excepto em valores isolados onde ocorrelimitação da diferença y � x mas não é necessariamentealcançada sincronização prática.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Con�guração unidirec. com a=bAbordagem computacional: a=1.97

� Sejam a = 1.97 e as condições iniciais x0 = 0.1 e y0 = 0.2� A relação x0 + y0 + ρ (x0 � y0) = 0 conduz a ρ = 3

� Contudo, para ρ = 3, obtém-se sincronização assimptóticaestável para todas as condições iniciais x0 no intervaloI (1.97, 3) = [�1.5, 1.5], em passo de uma décima, sempreque é tomada a condição inicial y0 = 2x0 no subsistemaresposta, excepto em valores isolados (por exemplo,x0 = �1.3, x0 = �1.0, x0 = �0.6 e x0 = �0.2)

0 10 20 30 40 502

0

2

N

x,y,

yx

a=1.97, parâmetro de ligação 3

2 1 0 1 22

0

2

x

y

0 10 20 30 40 505

0

5

N

x,y,

yx


2 1 0 1 25

0

5

0 20 40 605

0

5

N

x,y,

yx


2 1 0 1 25

0

5

x

y



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Variantes da ligação originalCon�guração bidirec. c/ parâm. de ligação distintos

Abordagem computacional: a=1.67 e b=1.97

Sistema ligado:

xn+1 = a� x2n + ρ1 (xn � yn)2 ^ yn+1 = b� y2n + ρ2 (xn � yn)

2

(9)

� Sincronização prática� Para cada ρ2 2 [�0.7, 0] existe um intervalo fechadoIK (ρ2) � I (ρ2) de valores de ρ1 para os quais éalcançada sincronização prática em (9). A amplitude dointervalo I (ρ2) aumenta com ρ2

� Para (ρ1, ρ2) = (�7.00,�0.70) é obtida a menor variaçãodo erro de sincronização:e 2 Ie ,min (�0.7) = ]�0.21, 0.34[ de amplitude 0.55

� Para cada ρ2 2 [0.1, 59.5] existe um intervalo fechadoIK (ρ2) � I (ρ2) de valores de ρ1 para os quais éalcançada sincronização prática em (9). A amplitude dointervalo I (ρ2) decresce com ρ2



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

� Sincronização assimptótica� Para cada ρ2 2 [16.7, 30.9] existe um intervalo fechadoIA (ρ2) � I (ρ2) de valores de ρ1 para os quais é alcançadaestabilização do erro de sincronização num valor próximode 0

� Para cada ρ2 2 [31.0, 59.4] é alcançada estabilização doerro de sincronização num valor próximo de 0 para todo oρ1 2 I (ρ2)

� Se ρ2 = 59.3 ou ρ2 = 59.4 existe um único valor de ρ1para o qual é alcançada estabilização do erro desincronização: ρ1 = 44.97 onde e = 0.5365 e ρ1 = 45.06onde e = 0.5307, respectivamente

0 50 100 15020

10

0

10

20

N

x,y,

yx

a=1.67, b=1.97, parâmetros de ligação 45.06 e 59.40

X: 128Y: 0.5307

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1020

10

0

10

20

x

y



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Variantes da ligação originalCon�guração bidireccional com parâmetros de

ligação distintos e a=b

Sistema ligado:

xn+1 = a� x2n + ρ1 (xn � yn)2 ^ yn+1 = a� y2n + ρ2 (xn � yn)

2

(10)

A diferença y � x em (10) evolui pela equação às diferenças

yn+1 � xn+1 = x2n � y2n � (ρ1 � ρ2) (xn � yn)2 .

A equação yn+1 � xn+1 = 0 é equivalente a

(ρ2 � ρ1 + 1) xn = (ρ2 � ρ1 � 1) yn _ yn = xn.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

ProposiçãoPara cada valor �xo de a e condições iniciais x0 e y0, existeuma sequência de intervalos Ii (a, x0, y0), com i = 1, ..., l , devalores de ρ1 tal que é alcançada sincronização assimptóticaestável ou sincronização prática em (10) para cada par (ρ1, ρ2)de parâmetro de ligação que veri�quem

(ρ2 � ρ1 + 1) x0 = (ρ2 � ρ1 � 1) y0 ^ ρ1 2 Ii (a, x0, y0)

para certo i . Sendo I (a, x0, y0) =l[i=1

Ii (a, x0, y0), existem ainda

intervalos IK (a, x0, y0) � I (a, x0, y0) com o mesmo extremoinferior que I (a, x0, y0) e intervalos IA(a, x0, y0) � I (a, x0, y0)com o mesmo extremo superior que I (a, x0, y0) para os quais éalcançada, respectivamente, sincronização prática esincronização assimptótica estável. Paraρ1 2 I (a, x0, y0) n IK (a, x0, y0) [ IA(a, x0, y0) pode ocorreralternadamente qualquer um dos tipos de sincronização.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Con�guração bidirec. com parâm.de ligação distintos e a=b

Abordagem computacional: a=1.97

� Sejam a = 1.97 e as condições iniciais x0 = 0.1 e y0 = 0.2� A relação (ρ2 � ρ1 + 1) x0 = (ρ2 � ρ1 � 1) y0 traduz-seem ρ2 = ρ1 + 3

� Para cada par (ρ1, ρ1 + 3) com ρ1 2 [�394.99, 2.99] éalcançada sincronização assimptótica estável ousincronização prática, excepto em valores isolados (porexemplo, ρ1 = �12.58). Para ρ1 2 [�394.99,�380.18] éobtida sincronização prática

0 50 1002

0

2

N

x,y,

yx

a=1.97, parâmetros de ligação 12.57 e 9.57

2 1 0 1 22

0

2

x

y

0 50 1002

0

2

N

x,y,

yx


2 1 0 1 22

0

2

x

y

0 50 1002

0

2

N

x,y,

yx


2 1 0 1 22

0

2

x

y



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Algumas notas conclusivas

� Em tempo contínuo:

� A substituição total da variável x1 pela sua correspondentex2 (em todos os termos não-lineares da resposta) é, emgeral, mais vantajosa que a parcial (em apenas algunstermos não-lineares), na obtenção de condições su�cientespara estabilidade global

� A e�cácia dessas substituições depende em muito do s.d.em causa (de Lorenz ou de Rössler) e da ligação escolhida

� Em tempo discreto:

� A consideração de parâmetros de ligação distintos entre ossistemas permite obter resultados de sincronização nãoveri�cados com um único parâmetro

� Em con�guração unidireccional, é possível garantir asincronização assimptótica estável sempre que o parâmetrode ligação veri�que uma certa relação com as condiçõesiniciais



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

� Prosseguimento do trabalho:� Em tempo discreto: aplicação das ligações estudadas aoutras transformações reais unidimensionais

� Em tempo contínuo: estudo das mesmas ligações masconsiderando pequenos desajustes paramétricos com vistaà obtenção de sincronização generalizada

� Análise das vantagens, ou não, de condução esporádica,em vez de substitição total ou parcial em termosnão-lineares da resposta

� Introdução de baixo ruído nas ligações para concluir acercada robustez da sincronização

� Utilização da entropia topológica para melhor compreenderas ligações



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

Bibliogra�a de base

L.M. Pecora e T.L. Carroll (1990), Synchronization inchaotic systems, Phys. Rev. Lett. 64 (8), 821-824.

U. Parlitz, L.O. Chua, L. Kocarev, K.S. Hale and A. Shang(1992), Transmission of digital signals by chaoticsynchronization, Int. J. Bifur. Chaos 2 (4), 973-977.

Ch. Huygens (1673), Horoloquium Oscillatorium, Apud. F.Muguet, Paris.

T. Yamada e H. Fujisaka (1983), Stability theory ofsynchronized motion in coupled-oscillator systems, Prog.Theoret. Phys. 69 (1), 32-47.

A.S. Pikovsky (1984), On the interaction of strangeattractors, Z. Physik B 55 (2), 149-154.

K. Kaneko (1986), Lyapunov analysis and information �owin coupled map lattices, Physica D 23, 436.



Dpto deMatemática




Conclusões

Bibliogra�a

V.S. Afraimovich, N.N. Verichev e M.I. Rabinovich (1986),Stochastic synchronization of oscillations in dissipativesystems, Radiophys. Quantum Electron. 29 (9), 795-803.

J. Guemez and M.A. Matias (1995), Modi�ed method forsynchronizing and cascading chaotic systems, Phys. Rev. E52, R2145-R2148.

R. He and P.G. Vaidya (1992), Analysis and synthesis ofsynchronous periodic and chaotic systems, Phys. Rev. A 46(12), 7387-7392.

O.B. Isaeva, S.P. Kuznetsov and V.I. Ponomarenko (2001),Mandelbrot set in coupled logistic maps and in anelectronic experiment, Phys. Rev. E 64, R055201-4.

E. Ott, C. Grebogy e J.A. Yorke (1990), Controlling chaos,Phys. Rev. Lett. 64 (11), 1196-1199.

F.J. Romeiras, C. Grebogi, O.E. Ott and W.P. Dayawansa(1992), Controlling chaotic dynamical systems, Phys. D58, 165-192.

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