Sobre una caracterizaci on de las algebras de Von Neumanndemetrio/Monografias/Materias/AF/11. Sobr… · mente Algebras de Von Neumann , en honor a John Von Neumann, quien di o inicio

Sobre una caracterizacion de lasalgebras de Von Neumann

Noelia Belen Rıos

Febrero, 2013

1

INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 42.1. Espacios vectoriales topologicos y topologıas debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Teorıa general de C∗-algebras 83.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Representacion de C∗-algebras abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Espacios de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Elementos positivos de una C∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Funcionales lineales positivos sobre una C∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6. Puntos extremales de la esfera unitaria de una C∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. W ∗-algebras 254.1. La topologıa debil sobre una W ∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Otras topologıas sobre una W ∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3. Ideales de una W ∗-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Unicidad del predual de un algebra de Von Neumann 345.1. El teorema de Dixmier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A. Apendice: Representacion de algebras de Banach abelianas 36A.1. Caracteres y espectro de un algebra de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36A.2. Transformada de Gelfand y teorema de representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Trabajo Final de Analisis Funcional Hoja 2 de 41

1. Introduccion

Shoichiro Sakai afirma en su libro [15] que existen esencialmente dos maneras diferentes deestudiar las ∗-algebras de operadores en espacios de Hilbert. La primera consiste en asumir queel algebra es cerrada con la topologıa uniforme, este tipo de algebras son llamadas C∗-algebras yquienes primero desarrollaron esta teorıa fueron Izrail Gelfand y Mark Neumark en 1943. Fueronellos mismos quienes probaron que toda C∗-algebra puede representarse de manera concreta comouna C∗-subalgebra cerrada de B(H) para algun espacio de Hilbert H.

La segunda alternativa es asumir que el algebra es cerrada con la topologıa debil de operadores.Este tipo de algebras han sido denominadas W ∗-algebras o anillos de operadores y mas reciente-mente Algebras de Von Neumann, en honor a John Von Neumann, quien dio inicio al estudio de lasalgebras de operadores en espacios de Hilbert en el ano 1929 y establecio junto a Murray los funda-mentos de la teorıa de W ∗-algebras en una serie de trabajos publicados alrededor de los anos 1930y 1940. El mismo Von Neumann se encargo de probar que las W ∗-algebras estan caracterizadas porser aquellas C∗-subalgebras de B(H) que coinciden con su doble conmutante. Gracias a esta teorıase han obtenido muchos resultados para W ∗-algebras de operadores acotados sobre espacios deHilbert, que han sido de gran interes tanto para la matematica como para ciertas areas de la fısicateorica. Sin embargo, la dependencia de un espacio de Hilbert subyacente ha sido una dificultadque ambas disciplinas han querido sortear. Irving Kaplansky en su intento de conseguirlo definio en[9] las AW ∗-algebras (o algebras de Von Neumann abstractas), pero no paso mucho tiempo hastaque se pudo probar que existen AW ∗-algebras que no son algebras de Von Neumann, incluso hayejemplos de algebras abelianas que no cumplen esta condicion. Quien tambien trato de caracterizarestas algebras fue Jaques Dixmier y en el ano 1953 pudo probar en [4] que toda algebra de VonNeumann es el espacio dual de un espacio de Banach. Poco tiempo despues Sakai demostro en [13]la recıproca del teorema de Dixmier y de esa manera obtuvo una caracterizacion abstracta de lasW ∗-algebras justamente como las C∗-algebras que son el espacio dual de un espacio de Banach.

En general no es cierto que si un espacio de Banach es el dual de otro, este sea unico. Porejemplo, si c es el espacio de Banach que consta de todas las sucesiones convergentes, y c0 esel espacio de Banach de las sucesiones que convergen a cero, entonces se tiene que c∗0 y c∗ sonisometricamente isomorfos a `1, el espacio de todas las sucesiones sumables. Pero sin embargo c0

no es isometricamente isomorfo a c. En el caso de las algebras de Von Neumann se puede probarque son el espacio dual de un unico espacio de Banach y esta es una de las razones por la cual lacaracterizacion abstracta de estas algebras, ademas de elegante, puede ser muy util.

Este trabajo esta fundamentalmente basado en el libro de Sakai [15], por lo tanto utilizaremoscomo definicion de algebra de Von Neumann la dada por el autor. El objetivo es mostrar algunosresultados clasicos de esta teorıa a partir de la nueva definicion y probar que las W ∗-algebras sonel espacio dual de un unico espacio de Banach. Para ello empezaremos recordando en la seccion2 algunos resultados basicos de la teorıa de analisis funcional sobre espacios localmente conve-xos y algebras de Banach. En la seccion 3 daremos la definicion de C∗-algebra y de W ∗-algebra,pero nos enfocaremos principalmente en los resultados basicos de la teorıa de C∗-algebras. Pro-baremos la existencia de una representacion de Gelfand para C∗-algebras abelianas derivada dela representacion del mismo para algebras de Banach abelianas. Luego presentaremos los espaciosde Stone y probaremos algunos teoremas sobre elementos positivos, funcionales positivos y sobrepuntos extremales de la esfera unitaria de una C∗-algebra, que nos seran de gran utilidad en lassecciones posteriores. En la seccion 4 nos dedicaremos especialmente a las W ∗-algebras y algunosaspectos topologicos. Finalmente, en la seccion 5, probaremos un teorema de Dixmier que nos per-

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 41

2 PRELIMINARES

mitira obtener como corolario del mismo, que toda algebra de Von Neumann es el espacio dual deun unico espacio de Banach. En el apendice A, definiremos la transformada de Gelfand y daremosuna prueba del teorema de representacion de Gelfand para algebras de Banach abelianas.

2. Preliminares

2.1. Espacios vectoriales topologicos y topologıas debiles

Definicion 2.1.1. Decimos que (E, τ) es un espacio vectorial topologico(EVT), si E es unespacio vectorial (sobre C), la topologıa τ es de Hausdorff y ademas verifica que las operacionesvectoriales

+ : E × E → E, dada por (x, y) 7→ x+ y.

· : C× E → E dada por (λ, x) 7→ λx.

son continuas con la topologıa producto de E × E y C× E respectivamente.

Observacion 2.1.2. Para cualquier x ∈ E fijo, las aplicaciones Tx : E → E y Mx : C→ E dadaspor y 7→ x+ y y λ 7→ λx respectivamente, son continuas. 4

Definiciones 2.1.3. Sea E un F-espacio vectorial. Diremos que una funcion ‖·‖ : E → R+ es unanorma si verifica las siguientes propiedades:

i. ‖αx‖ = |α| ‖x‖, ∀α ∈ C.

ii. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

iii. ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0, (x ∈ E).

La norma ‖·‖ define una metrica d (x, y) = ‖x− y‖, y el par (E, ‖·‖) se denomina espacio nor-mado. Si E es un espacio completo con esta norma, entonces es un espacio de Banach. En casoque ‖·‖ verifique las propiedades i. y ii. diremos que es una seminorma.

En el caso de una seminorma no alcanza en general para definir una metrica, pero sin embargoes muy comun construir topologıas en espacios vectoriales usando familias de seminormas.

Definicion 2.1.4. Un espacio vectorial topologico (E, τ) es un espacio localmente convexo(ELC) si para cada x ∈ E existe una base de entornos de x, abiertos y convexos.

Definicion 2.1.5. Sea (E, τ) un ELC. Se denomina espacio dual o dual topologico de E alespacio

(E, τ)∗ := ϕ : E → F : ϕ es lineal y τ − continua .

Observacion 2.1.6. En general, topologıas distintas sobre un mismo espacio producen espaciosduales distintos. Cuando este claro de que topologıa estamos hablando, denotaremos al dual de Esimplemente como E∗. 4

2.1.7. Teorema de extension de Hahn-Banach. Sean E un espacio normado, F ⊆ E unsubespacio y ϕ ∈ F ∗. Luego, existe un funcional Φ ∈ E∗ tal que Φ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ F y‖Φ‖

E∗ = ‖ϕ‖F∗ .


2.1 Espacios vectoriales topologicos y topologıas debiles

2.1.8. Teorema de separacion de Hahn-Banach. Si E es un espacio localmente convexo,A 6= ∅ un conjunto cerrado y convexo en E y K ⊂ E es un conjunto convexo y compacto tal queK ∩A = ∅, entonces existe un hiperplano que separa a A y a K de manera estricta.

Definicion 2.1.9. Sea E un C-espacio vectorial y K ⊆ E. Un elemento x ∈ K es un puntoextremal de K si para cada par de elementos y, z ∈ K tales que x = λy+ (1−λ)z, para λ ∈ [0, 1],se tiene que x = y = z. Es decir, x no se puede escribir como combinacion lineal convexa de doselementos distintos de K.

Definicion 2.1.10. Sea E un C-espacio vectorial y K ⊆ E, llamaremos capsula convexa de Kal conjunto formado por todas las combinaciones lineales convexas de elementos de K.

2.1.11. Teorema de Krein-Milman. Si E es un espacio localmente convexo y K ⊂ E escompacto, entonces K esta contenido en la clausura de la capsula convexa de los extremales de K.En particular se tiene que:

La clausura de la capsula convexa de los extremales de K coincide con la clausura de lacapsula convexa de K.

Si ademas se tiene que K es convexo, entonces K coincide con la clausura de la capsulaconvexa de sus extremales.

Definicion 2.1.12. Un espacio de Banach E es reflexivo si su imagen por la isometrıa naturalJE : E → E∗∗ es todo el espacio E. Es decir, los unicos funcionales continuos sobre E∗ son lasevaluaciones en los elementos de E.

Observacion 2.1.13. Si dim(E) <∞ entonces E es reflexivo. 4Definiciones 2.1.14. Sea E un espacio de Banach y E∗ su dual. Consideremos sobre E la familiade seminormas pϕ : ϕ ∈ E∗ , donde pϕ(x) = |ϕ(x)| para x ∈ E. Luego, la topologıa inducida poresta familia sobre E se denomina topologıa debil de E y se denota por σ (E,E∗). Tomemos ahorala familia de seminormas px : x ∈ E, donde px(ϕ) = |ϕ(x)| para ϕ ∈ E∗. En este caso la topologıainducida por esta familia sobre E∗ se denomina topologıa ∗-debil y se denota por σ (E∗, E).

Observaciones 2.1.15. Tanto la topologıa debil como la ∗-debil estan definidas por familias deseminormas que son separadoras, por lo tanto son topologıas de Hausdorff1. Ademas ambas puedenser bien definidas mediante las convergencias:

xidebil−−−→i

x ⇐⇒ ϕ (xi) −→iϕ(x), ∀ϕ ∈ E∗.

ϕi∗−debil−−−−−→

iϕ ⇐⇒ ϕi (x) −→

iϕ(x), ∀x ∈ E.

Notemos que en realidad la topologıa σ (E∗, E) se produce por el subespacio JE(E) ⊆ E∗∗. 42.1.16. Teorema de Banach-Alaoglu. Sea E un espacio normado. Luego, la bola unitaria Sde E∗ es σ (E∗, E)-compacta.

Observacion 2.1.17. Notemos que como S es convexa y σ (E∗, E)-compacta (2.1.16) entoncespor el teorema de Krein-Milman (2.1.11) tiene puntos extremales. 42.1.18. Teorema de Banach-Smulian. Si X es un espacio de Banach y A es un subespaciolocalmente convexo de X ∗ tal que A ∩ ϕ ∈ X ∗ : ‖ϕ‖ ≤ r es ∗-debil cerrado para todo r > 0,entonces A es ∗-debil cerrado.

1Para mas detalle al respecto, ver por ejemplo [17] capıtulo 5.


2 PRELIMINARES

2.2. Algebras de Banach

Definicion 2.2.1. A es un algebra sobre el cuerpo F si es un F-espacio vectorial dotado con unaforma bilineal

A×A → A(a, b) 7→ ab

que para todo a, b, c ∈ A y para todo α ∈ F verifica las siguientes propiedades:

i. a(bc) = (ab)c.

ii. α(ab) = (αa)b = a(αb).

En el caso en que exista una unidad 1A ∈ A, diremos que el algebra es unital. (Si es claro de quealgebra estamos hablando tambien sera comun que denotemos a la unidad por 1.)

Definicion 2.2.2. Si A es un algebra sobre el cuerpo F, decimos que B es una subalgebra de A sies un subespacio vectorial que verifica que:

b, c ∈ B ⇒ bc ∈ B.

De aquı en mas todas las algebras mencionadas se tomaran sobre el cuerpo C.

Definicion 2.2.3. Sea A un algebra. Decimos que A es normada si esta dotada de una norma‖·‖ : A → R+ que es submultiplicativa, es decir

‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Y en el caso que A sea unital, ‖1A‖ = 1.

Definicion 2.2.4. Decimos que el par (A, ‖·‖) es un algebra de Banach si (A, ‖·‖) es un espaciode Banach, es decir, si A es completo con la norma ‖·‖.

Definicion 2.2.5. Una aplicacion ∗ : A → A es una involucion si:

i. (x∗)∗ = x.

ii. (x+ y)∗ = x∗ + y∗.

iii. (xy)∗ = y∗x∗.

iv. (αx)∗ = αx∗, ∀α ∈ C.

Si A es un algebra dotada con una involucion, decimos que A es una ∗-algebra. En general lla-maremos al elemento x∗ adjunto de x.

Definicion 2.2.6. Sean A y B dos ∗-algebras, decimos que Φ : A → B es un ∗-homomorfismosi para todo par de elementos a ∈ A y b ∈ B, y para todo λ ∈ C verifica las siguientes condiciones:

i. Φ(λa) = λΦ(a).

ii. Φ(a+ b) = Φ(a) + Φ(b).


2.2 Algebras de Banach

iii. Φ(ab) = Φ(a)Φ(b).

iv. Φ(a∗) = Φ(a)∗.

Si Φ es inyectivo, lo denominaremos ∗-isomorfismo. En caso que Φ sea un ∗-isomorfismo sur-yectivo diremos que las ∗-algebras, A y B, son ∗-isomorfas.

Observacion 2.2.7. Si A es un algebra de Banach sin unidad podemos considerar el espacio

A1 = A⊕ C = (a, λ) : a ∈ A y λ ∈ C ,

con la estructura de espacio vectorial dada por las operaciones:

(a, λ) + (b, γ) = (a+ b, λ+ γ), ∀ (a, λ) , (b, γ) ∈ A1.

α (a, λ) = (αa, αλ), ∀ (a, λ) ∈ A1 y ∀α ∈ C.

Si para (a, λ) , (b, γ) ∈ A1 definimos el producto,

(a, λ) (b, γ) = (ab+ λb+ γa, λγ),

obtenemos que A1 es un algebra donde 1 = (0, 1) es un neutro para este producto. Llamaremos aesta nueva algebra unitizacion del algebra A. Notemos ademas que:

La aplicacion A → A1 dada por a 7→ (a, 0), es un homomorfismo inyectivo el cual nos permiteidentificar a A como un ideal de A1, mas aun este ideal resulta ser maximal.

La aplicacion A1 → C dada por (a, λ) 7→ λ es un homomorfismo unital que tiene como nucleoal algebra A y por eso la denominaremos homomorfismo canonico.

Si A es abeliana, su unitizacion tambien lo es.

Supongamos que A es un algebra normada, entonces podemos definir en A1 la norma dada por

‖(a, λ)‖A1= ‖a‖A + |λ|.

Con esta norma, A es una subalgebra cerrada de A1. Mas aun si A es un algebra de Banach,entonces A1 tambien lo es. De manera muy natural se puede definir el adjunto de un elemento deA1 como,

(a, λ)∗ =(a∗, λ

).

Luego, si A es un ∗-algebra tambien lo es su unitizacion. En general, denotaremos al par (x, λ) ∈ A1

como x+ λ1, donde 1 representa la unidad que se le adjunta a A. 4

2.2.8. Teorema de Stone-Weierstrass. Sea (E, τ) un espacio vectorial topologico compacto yHausdorff y sea A ⊆ C(E) una subalgebra que cumple las siguientes condiciones:

1. Las funciones constantes pertenecen a A.

2. f ∈ A ⇒ f ∈ A.

3. Si x, y ∈ E son tales que x 6= y, existe f ∈ C(E) tal que f(x) 6= f(y).

Luego, A = C(E). Es decir, A es densa en C(E) con la norma ‖·‖∞.


3 TEORIA GENERAL DE C∗-ALGEBRAS

3. Teorıa general de C∗-algebras

3.1. Definiciones y propiedades basicas

Definicion 3.1.1. Una C∗-algebra A es una ∗-algebra de Banach tal que, para todo x ∈ A secumple que:

‖x∗x‖ = ‖x‖2 .

Lema 3.1.2. Si A es una C∗-algebra entonces ‖x‖ = ‖x∗‖, ∀x ∈ A.

Demostracion. Notemos que por la definicion de C∗-algebra, si x ∈ A entonces

‖x‖2 = ‖x∗x‖ ≤ ‖x∗‖ ‖x‖ ⇒ ‖x‖ ≤ ‖x∗‖ ,

y analogamente,‖x∗‖2 = ‖xx∗‖ ≤ ‖x‖ ‖x∗‖ ⇒ ‖x∗‖ ≤ ‖x‖ .

Definicion 3.1.3. Una C∗-algebra M es una W ∗-algebra si es el espacio dual de un espacio deBanach, es decir, si existe un espacio de Banach M∗ tal que (M∗)∗ = M. Llamaremos a esteespacio M∗, el predual de M.

Como ya hemos mencionado anteriormente, el objetivo de este trabajo es probar que las W ∗-algebras, tambien denominadas ((Algebras de Von Neumann)), tienen un unico predual.

Definicion 3.1.4. La topologıa definida por la norma ‖ . ‖ sobre una C∗-algebra A es denomina-da topologıa uniforme. La topologıa ∗-debil σ (M,M∗), sobre una W ∗-algebra es denominadatopologıa debil o σ-topologıa sobre M.

Definicion 3.1.5. Un subconjunto V de una C∗-algebra A se denomina autoadjunto si, para todox ∈ V se tiene que x∗ ∈ V .

Observacion 3.1.6. Una subalgebra de A que es autoadjunta y uniformemente cerrada es tambienuna C∗-algebra, y por lo tanto la denominaremos C∗-subalgebra de A. Si M es una W ∗-algebraentonces una subalgebra N que es autoadjunta y σ-cerrada, tambien es una W ∗-subalgebra de Mpues, si el polar de N en M∗ es el ideal

N 0 := x ∈M∗ : |〈x, y〉| ≤ 1, y ∈ N ,

el cual es cerrado en M∗, se tiene que (M∗/N 0)∗ = N . 4

Ejemplos 3.1.7. 1. C es una C∗-algebra unital, con las operaciones usuales y con la involuciondada por la conjugacion.

2. Si tomamos un espacio K que sea compacto y Hausdorff, y denotamos por C(K) al algebrade las funciones continuas sobre K a valores complejos con el producto y la suma definidospunto a punto, podemos definir para todo a ∈ C(K),

la norma, ‖a‖ = supt∈K|a(t)|.

la adjuncion, a(t)∗ = a(t).


3.1 Definiciones y propiedades basicas

Entonces C(K) es una C∗-algebra. Pues si a ∈ C(K), se tiene que

‖a∗a‖ = supt∈K|(a∗a)(t)| = sup

t∈K|a∗(t)a(t)| = sup

t∈K

∣∣∣a(t)a(t)∣∣∣ = sup

t∈K|a(t)|2 = ‖a‖2 .

3. Si H es un espacio de Hilbert y B(H) es el algebra de todos los operadores sobre H que sonacotados, entonces B(H) es una C∗-algebra con la involucion dada por la adjuncion2, y lanorma de operadores definida como,

‖T‖ = sup‖x‖ = ‖y‖ = 1

|〈Tx, y〉| , (x, y ∈ H) .

Pues, notemos que

‖T ∗‖ = sup‖x‖ = ‖y‖ = 1

|〈T ∗x, y〉| = sup‖x‖ = ‖y‖ = 1

|〈x, Ty〉|

= sup‖x‖ = ‖y‖ = 1

∣∣∣〈Ty, x〉∣∣∣ = sup‖x‖ = ‖y‖ = 1

|〈Ty, x〉|

= ‖T‖ ,

entonces ‖T ∗T‖ ≤ ‖T ∗‖ ‖T‖ = ‖T‖2. Y por otro lado, si x ∈ H es tal que ‖x‖ = 1 entonces,

‖T‖2 = sup‖x‖ = 1

‖Tx‖2 = sup‖x‖ = 1

|〈Tx, Tx〉| = sup‖x‖ = 1

|〈T ∗Tx, x〉| ≤ ‖T ∗T‖ .

Finalmente, hemos probado que ‖T ∗T‖ = ‖T‖2. Si tomamos una ∗-subalgebra cerrada deB(H), entonces tambien es una C∗-algebra. Mas aun, un hecho interesante del cual no nosocuparemos en este trabajo pero vale la pena mencionar, es que cualquier C∗-algebra puederepresentarse como una ∗-subalgebra cerrada de B(H), para algun espacio de Hilbert H.Aunque este espacio de Hilbert en general no es unico, y esa es una de las razones por la quela caracterizacion abstracta suele ser mas util.3

Definicion 3.1.8. Sea Aαα∈I una familia de C∗-algebras. Definimos la suma directa⊕α∈IAα,

como el conjunto compuesto por todas las familias (aα)α∈I, tales que para todo α ∈ I,

aα ∈ Aα y supα‖aα‖ <∞.

Observacion 3.1.9. Sea Aαα∈I una familia de C∗-algebras, y consideremos sobre la suma directalas siguientes operaciones:

El producto por un escalar: λ (aα) = (λaα), ∀λ ∈ C.

La suma: (aα) + (bα) = (aα + bα) .

2Recordemos que para cada operador T ∈ B(H) existe un unico operador T ∗ ∈ B(H) tal que para todo x, y ∈ H,〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉. A este operador T ∗ se lo suele llamar adjunto de T .

3La famosa representacion mencionada es denominada representacion GNS. Para una prueba de este resultadover por ejemplo [10], capıtulo 3.



El producto: (aα) (bα) = (aαbα) .

La adjuncion: (aα)∗ = (a∗α).

La norma: ‖(aα)‖ = supα‖aα‖.

De este modo, se tiene que la suma directa es tambien una C∗-algebra. Supongamos ahora, queMαα∈I es una familia de W ∗-algebras, entonces la suma directa tambien es una W ∗-algebra,pues ⊕

α

Mα =

(⊕α

Mα∗

)∗`1

,

donde la norma de un elemento (fα) en

(⊕α

Mα∗

)`1

esta dada por

‖(fα)‖ =∑α∈I‖fα‖ .

4

Proposicion 3.1.10. Sea A una C∗-algebra sin unidad y sea A1 la unitizacion del algebra Adefinida en 2.2.7. Luego, A1 es una C∗-algebra.

Demostracion. Sea x+ λ1 ∈ A1, luego

‖(x+ λ1)∗ (x+ λ1)‖ =∥∥∥x∗x+ λx+ λx∗ + |λ|2 1

∥∥∥≤ ‖x∗x‖+

∣∣λ∣∣ ‖x‖+ |λ| ‖x∗‖+ |λ|2

= ‖x‖2 + 2 |λ| ‖x‖+ |λ|2 = (‖x‖+ |λ|)2

= ‖x+ λ1‖2 .

Por otro lado, si µ ∈ (0, 1) existe y ∈ A, ‖y‖ = 1 tal que µ ‖x+ λ1‖ < ‖xy + λy‖, entonces

µ2 ‖x+ λ1‖2 < ‖xy + λy‖2

= ‖(xy + λy)∗ (xy + λy)‖= ‖y∗ (x+ λ1)∗ (x+ λ1) y‖≤ ‖(x+ λ1)∗ (x+ λ1)‖ .

y como µ ∈ (0, 1) es arbitrario tenemos la desigualdad querida. Por lo tanto, A1 es una C∗-algebra.

Definiciones 3.1.11. Sea A una C∗-algebra con unidad 1A. Denotemos por gl(A) al conjunto delos elementos de A que son invertibles. Luego, definimos como espectro de a ∈ A al conjunto

σ(a) := λ ∈ C : (a− λ1A) /∈ gl(A) .

Tambien definimos, para cada a ∈ A, el radio espectral como

ρ(a) = supλ ∈ σ(a)

|λ| .



Si A es una C∗-algebra sin unidad, entonces el espectro de un elemento a ∈ A, es el espectro de acomo elemento del algebra A1, obtenida de adjuntarle el 1 a A. En general, σ(a) es un conjuntocerrado en C.

Definiciones 3.1.12. Diremos que un elemento a ∈ A es:

Normal, si a∗a = aa∗.

Unitario, si a∗a = aa∗ = 1A, (en el caso que A sea unital).

Autoadjunto, si a = a∗.

Proyector, si es autoadjunto y a2 = a.

Isometrıa parcial, si a∗a es un proyector.

Observacion 3.1.13. Notemos que si A es unital y a ∈ A es invertible, entonces a∗ tambien lo es.Pues, si existe b ∈ A tal que es el inverso de a entonces

ab = 1A = ba ⇐⇒ (ab)∗ = 1∗A = (ba)∗ ⇐⇒ b∗a∗ = 1A = a∗b∗,

y por lo tanto, b∗ es el inverso de a∗. 4

Proposicion 3.1.14. Sean a, b elementos de una C∗-algebra A, unital. Luego,

σ(a∗) = σ(a) y σ(ab) ∪ 0 = σ(ba) ∪ 0 .

Demostracion. Veamos primero que σ(a∗) = σ(a). Lo cual se deduce practicamente de ladefinicion, pues

σ(a∗) : = λ ∈ C : (a∗ − λ1A) /∈ gl(A)

=λ ∈ C :

(a− λ1A

)∗/∈ gl(A)

= µ ∈ C : µ ∈ σ(a)) = σ(a).

Ahora probemos que σ(ab) ∪ 0 = σ(ba) ∪ 0. Para ello, tomemos un elemento λ 6= 0 talque λ /∈ σ(ab). Luego, existe u ∈ gl(A) tal que

u (ab− λ1A) = (ab− λ1A)u = 1A.

Entonces,

(ba− λ1A) (bua− 1A) = babua− λbua− ba+ λ1A

= b (ab− λ1A)u︸︷︷︸1A

a− ba+ λ1A

= ba− ba+ λ1A = λ1A.

Analogamente, se tiene que (bua− 1A) (ba− λ1A) = λ1A y por lo tanto (ba− λ1A) es inver-tible en A, lo cual prueba que

σ(ba) ∪ 0 ⊆ σ(ab) ∪ 0 .

Del mismo modo se puede ver que,

σ(ab) ∪ 0 ⊆ σ(ba) ∪ 0 .



Observacion 3.1.15. Supongamos que A es un algebra de Banach unital y a, b ∈ A son tales queab = ba y ab ∈ gl(A). Notemos que a(ab) = a(ba) = (ab)a, entonces

a(ab)−1 = (ab)−1(ab)a(ab)−1 = (ab)−1a(ab)(ab)−1 = (ab)−1a.

Por lo tanto a ∈ gl(A), pues a((ab)−1b

)= a

(b(ab)−1

)= 1 y

((ab)−1b

)a = (ab)−1(ab) = 1.

Analogamente se puede probar que b ∈ gl(A). 4

Proposicion 3.1.16. Sea A una C∗-algebra unital y a ∈ gl(A). Luego, σ(a−1)

= σ(a)−1.

Demostracion. Si a ∈ A es invertible entonces, como 1λa−1 y (a− λ1A) conmutan, por la observa-

cion 3.1.15 se tiene que,

λ ∈ σ(a) ⇐⇒ (a− λ1A) /∈ gl(A) ⇐⇒ 1

λa−1 (a− λ1A) /∈ gl(A)

⇐⇒(

1

λ1A − a−1

)/∈ gl(A) ⇐⇒ λ−1 ∈ σ

(a−1).

Por lo tanto, σ(a−1)

=λ−1 : λ ∈ σ(a)

= σ(a)−1.

Lema 3.1.17. Si a ∈ A es autoadjunto entonces σ(a) ⊆ R. Mas aun, si A es unital y u ∈ A esunitario entonces σ(u) esta contenido en cırculo unidad.

Demostracion. Supongamos primero que A es unital y tomemos u ∈ A unitario. Luego, si λ ∈ σ(u)entonces (por 3.1.16) λ−1 ∈ σ

(u−1

)= σ (u∗). Como

‖u∗u‖ =∥∥u−1u

∥∥ = 1,

se tiene que |λ| ≤ 1 y∣∣λ−1

∣∣ ≤ 1. Por lo tanto |λ| = 1. Para probar la primera parte del lema,

tengamos en cuenta que si A es una C∗-algebra unital y x ∈ A, entonces la serie∑n≥0

xn

n!converge

absolutamente, pues ∥∥∥∥∥∥∑n≥0

xn

n!

∥∥∥∥∥∥ ≤∑n≥0

‖x‖n

n!= exp (‖x‖) <∞.

Mas aun,∑n≥0

xn

n!= exp(x). Supongamos ahora que a ∈ A es autoadjunto, entonces si consideramos

la unitizacion de A, por lo que acabamos de observar, podemos afirmar que

∑ (ia)n

n!= exp (ia) ,

entonces (exp (ia))∗ = exp (−ia) = (exp (ia))−1 y por lo tanto exp (ia) es unitario en A1. Luego, porlo probado anteriormente σ (exp (ia)) esta contenido en el cırculo unidad. Por otro lado, notemos



que si λ ∈ σ (a) entonces exp (iλ) ∈ σ (exp (ia)) pues,

exp (ia)− exp (iλ)1 = (exp (ia) exp (−iλ)− 1) exp (iλ)

= (exp (i(a− λ1))− 1) exp (iλ)

=

∑n≥0

in(a− λ1)n

n!− 1

exp (iλ)

= (a− λ)∑n≥1

in(a− λ1)n−1

n!exp (iλ) .

Como a− λ1 y∑in (a−λ1)n−1

n! conmutan, por la observacion 3.1.15 se tiene que

(a− λ1)∑n≥1

in(a− λ1)n−1

n!exp (iλ) ∈ gl(A) ⇐⇒ (a− λ) ,

∑n≥1

in(a− λ1)n−1

n!∈ gl(A).

De este modo podemos asegurar que |exp (iλ)| = 1. Supongamos que λ = α + iβ (α, β ∈ R),entonces

exp (iλ) = exp (iα− β) = exp(iα) exp(−β).

Luego, 1 = |exp (iλ)| = |exp(iα)| |exp(−β)| = exp(−β). Por lo tanto β = 0 y λ ∈ R.

Observacion 3.1.18. Sea v ∈ A una isometrıa parcial. Luego, vv∗ tambien es un proyector yaque por el teorema 3.1.14 se tiene que

σ(vv∗) ∪ 0 = σ(v∗v) ∪ 0 .

v∗v es llamado proyector inicial y vv∗ es llamado proyector final de v. 4

En el ano 1943, Gelfand y Neumark probaron en [7] que una ∗-algebra de Banach A con unidad,es isometrica e isomorfa a una C∗-algebra si, y solo si, se satisfacen las siguientes condiciones:

1. ‖x∗x‖ = ‖x∗‖ ‖x‖ .

2. ‖x∗‖ = ‖x‖ .

3. (1A + x∗x) ∈ gl(A).

Mas aun, ellos mismos conjeturaron que las condiciones 2 y 3 podıan ser removidas. En 1952,Schatz hace notar en [16] que Kaplansky ya habıa senalado que Fukamiya habıa dado en [5] unaprueba, implıcita, de que la condicion 2 no es necesaria. Esta prueba esta basicamente centrada enla proposicion 3.1.14. Por otro lado, Kaplansky y Rickart notaron que la hipotesis de que el algebratenga unidad tambien podıa ser quitada. Mas tarde, en 1958, Ono probo en [11] que la conjetura deGelfand y Neumark era cierta tambien para la condicion 3. Por lo tanto, otra manera (mas debil)de definir una C∗-algebra es mediante la siguiente condicion:

‖x∗x‖ = ‖x∗‖ ‖x‖ , ∀x ∈ A.



3.2. Representacion de C∗-algebras abelianas

En el ano 1939 Gelfand probo un importante teorema de representacion de algebras de Banachabelianas [6]. No es el objetivo principal de este trabajo desarrollar la teorıa de Gelfand, pero sinembargo, como vale la pena mencionarlo y sera una herramienta de gran utilidad para este trabajo,daremos una demostracion de dicho teorema en el apendice A.

Teorema 3.2.1. Sea A una C∗-algebra unital. Luego, A es ∗-isomorfa a la C∗-algebra C(K) detodas las funciones continuas de K a valores en C, donde K es el espacio compacto y Hausdorff detodos los ideales maximales de A. Esto significa que podemos identificar a A con C(K).

Demostracion. Por el teorema de Gelfand (A.2.2), si A es un algebra de Banach abeliana, entoncesla aplicacion dada por ese mismo teorema,

Γ : A → C (Ω(A)) ,

es un homomorfismo. Mas aun, como A es unital, por A.1.2 se tiene que,

C0(Ω(A)) ≈ C0(K) = C(K),

entonces existe una aplicacion

Φ : A → C(K),

que resulta de componer de manera adecuada los dos homomorfismos mencionados anteriormente,que es un homomorfismo. Veamos que en este caso Φ es ademas isometrica, biyectiva y respeta ∗.

Por la observacion A.2.3, podemos afirmar que Γ es isometrica, y por lo tanto tambien lo esΦ.

La inyectividad de Φ, se deduce del hecho de ser isometrica pues, si a, b ∈ A son tales queΦ(a) = Φ(b), entonces

0 = Φ(a)− Φ(b) = Φ(a− b)⇒ 0 = ‖Φ(a− b)‖ = ‖a− b‖ ⇒ a− b = 0.

Ahora probemos que Φ(A) = C(K). Para ello es suficiente con ver que Γ(A) = C0(Ω(A))pues, C0(Ω(A)) ≈ C0(K) = C(K). Y para comprobarlo, utilizaremos el teorema de Stone-Weierstrass. Notemos que por ser Γ un homomorfismo, Γ(A) es una subalgebra cerrada deC0(Ω(A)) que ademas contiene al 1. Por otro lado, si τ1, τ2 ∈ Ω(A) son caracteres distintos,existe a ∈ A tal que

τ1(a) 6= τ2(a)⇒ a(τ1) 6= a(τ2),

es decir, existe a ∈ Γ(A) que separa a τ1 y τ2 en Ω(A). Tomemos ahora a ∈ A, tal que a = a∗.Luego, τ(a) ∈ σ(a) ⊆ R y por lo tanto a ∈ Γ(A) es tal que

(a)∗ (τ) = τ(a) = τ(a∗) = a∗(τ),

para todo τ ∈ Ω(A). Ahora, si a ∈ A es arbitrario, entonces podemos escribir

a =a+ a∗

2+ i

a− a∗

2i,


3.3 Espacios de Stone

donde

b =a+ a∗

2y c =

a− a∗

2i,

son autoadjuntos. De este modo, se tiene que

(a)∗ (τ) = τ(a) = τ(b+ ic) = τ(b) + iτ(c) = τ(b)−iτ(c) = τ(b)−iτ(c) = τ(b−ic) = τ(a∗) = a∗(τ).

Lo cual prueba que si a ∈ Γ(A) entonces (a)∗ = a∗ ∈ Γ(A). Finalmente, podemos aplicar elTeorema de Stone-Weierstrass (2.2.8) y ası concluir que Γ(A) = C (Ω(A)).

Φ es un homomorfismo que preserva ∗. Pues, si a ∈ A y a = b+ ic como antes, entonces por3.1.17 se tiene que

Φ (a∗) = Φ (b∗ − ic∗) = Φ (b)− iΦ (c) = Φ (b)− iΦ (c) = Φ (b) + iΦ (c) = Φ(a).

Corolario 3.2.2. Si A es una C∗-algebra abeliana no unital, entonces A es ∗-isomorfa a la C∗-al-gebra C0(Ω) de todas las funciones continuas de Ω en C, donde Ω es un espacio localmente compactoHausdorff. Ω no es ni mas ni menos que el espectro de A (A.1.5).

Definicion 3.2.3. Si S es un subconjunto de una C∗-algebra A, se denomina C∗-algebra gene-rada por S a la C∗-subalgebra de A mas chica que contiene a S.

Observacion 3.2.4. Si S = a ⊂ A, denotaremos por C∗(a) a la C∗-subalgebra de A generadapor S. Si a es normal, entonces C∗(a) es abeliana. En el caso en que A sea unital y a ∈ A seanormal, entonces la C∗-subalgebra generada por a y 1A es abeliana. 4

Teniendo en cuenta la definicion 3.2.3, la observacion 3.2.4 y los resultados del apendice A,tambien podemos deducir del teorema anterior el siguiente corolario.

Corolario 3.2.5. Si C∗(a) es la C∗-algebra abeliana generada por un elemento a autoadjunto, ysi Ω es el espectro de C∗(a), entonces Ω ∪ ∞ es homeomorfo a σ(a) ∪ 0. Mas aun,

C∗(a) = C0(σ(a) ∪ 0).

3.3. Espacios de Stone

Una de las partes mas insatisfactorias del estudio de las algebras de Von Neumann, es la de-pendencia de un espacio de Hilbert subyacente. En su afan de caracterizar las algebras de VonNeumann, Kaplansky definio en [9] las AW ∗-algebras (W ∗-algebras abstractas), como las C∗-alge-bras que cumplen las siguientes condiciones:

1. En el conjunto de proyecciones, cualquier coleccion de proyecciones ortogonales tiene unsupremo.

2. Cualquier subalgebra maximal, abeliana y autoadjunta esta generada por sus proyecciones.



La nocion de espacio de Stone (o espacio totalmente disconexo) fue introducida por primeravez por Marshal Stone en [18]. El mismo probo la proposicion 3.3.5 y su recıproca y a partir de eseresultado se pudo probar que una C∗-algebra de funciones continuas C(K) es una AW ∗-algebra si,y solo si, K es un espacio de Stone. En esta subseccion solo probaremos los resultados relacionadoscon los espacios de Stone que necesitaremos a lo largo de este trabajo. Para un desarrollo masamplio acerca de esta teorıa se puede consultar por ejemplo [3] o [18].

Definicion 3.3.1. Sea K un espacio compacto y Hausdorff. Decimos que K es un espacio deStone, o que es stoneano, si la clausura de todo subconjunto abierto es abierta.

Proposicion 3.3.2. Sea K un espacio de Stone. Luego, todo elemento a ∈ C(K) puede ser unifor-memente aproximado por una combinaciones lineales finitas de proyectores.

Demostracion. Sea a ∈ C(K). Podemos suponer, sin perdida de la generalidad, que a es una funcionpositiva sobre K. Pues de no ser ası podemos escribir a a como combinacion lineal de funcionespositivas. Sea ε > 0, consideremos una particion del intervalo [0, ‖a‖+ 1], dada por

[0, ‖a‖+ 1] =

n−1⋃i=0

[λi, λi+1] ,

donde λi+1 − λi < ε, λ0 = 0 y λn = ‖a‖ + 1. Construyamos ahora una familia finita de conjuntosabiertos y cerrados Gini=1 de la siguiente manera:

G1 = t : a(t) < λ1, t ∈ K,

Gi =

t : a(t) < λi, t ∈ K\i−1⋃j=1

Gj

.Luego, Gi ∩ Gj = ∅ si i 6= j. Si χi es la funcion caracterıstica de Gi, entonces χi es una funcioncontinua, tal que χ2

i = χi. Mas aun,∣∣∣∣∣a(t)−n∑i=1

λi χi(t)

∣∣∣∣∣ < ε, (t ∈ K)⇒

∥∥∥∥∥a−n∑i=1

λi χi

∥∥∥∥∥ < ε.

Definicion 3.3.3. Decimos que un conjunto I, parcialmente ordenado (con el orden ≤) es dirigido,si para cada par de elementos α, β ∈ I existe γ ∈ I tal que α ≤ γ y β ≤ γ. Una red es una familiaindexada por un conjunto dirigido.

Definicion 3.3.4. Una red xαα∈I es creciente, si xα ≥ xβ siempre que α ≥ β.

Proposicion 3.3.5. Sea K un espacio compacto y Hausdorff. Supongamos que toda red crecientede funciones a valores reales y no negativos fα ∈ C(K), tiene un supremo en C(K) . Luego, K esun espacio de Stone.


3.4 Elementos positivos de una C∗-algebra

Demostracion. Sea G un abierto en K, y sea F el conjunto de todas las funciones continuas fαsobre K tales que 0 ≤ fα ≤ 1 y con soporte en G. Luego, fα es una red creciente4. Seanf =

∨αfα ∈ C(K) y g(t) =

∨αfα(t), para t ∈ K. Como fα ≤ f para todo α, entonces g(t) ≤ f(t)

para todo t ∈ K. Si t ∈ G, entonces existe algun ındice α tal que fα(t) = 1. Luego, g(t) = 1 y porlo tanto f(t) = 1 sobre G, pues fα ≤ f ∧ 1 para todo α. De este modo se tiene que f(t) = 1 sobreG. Supongamos ahora que existe un elemento t0 ∈ K\G tal que f(t0) > 0 y tomemos una funcionh positiva en C(K), tal que h = 1 sobre G y h(t0) = 0. Luego, fα ≤ f ∧ h < f , lo cual es absurdo.

3.4. Elementos positivos de una C∗-algebra

SeaA una C∗-algebra, de aquı en mas denotaremos porAs al conjunto formado por los elementosautoadjuntos de A. Decimos que h ∈ As es positivo si su espectro esta contenido en el intervaloreal [0,∞). Denotaremos por PA al subconjunto de As formado por los elementos positivos.

Observacion 3.4.1. Sea h ∈ PA, y consideremos C∗(h), la C∗-subalgebra de A generada por h yrecordemos que por 3.2.2 podemos identificar a C∗(h) con C0(Ω). Luego, por 3.2.5 se tiene que

Ω ∪ ∞ ≈ σ(h) ∪ 0 ⊂ [0, ‖h‖] .

Sea f ∈ C0 ([0, ‖h‖]), y f |A la restriccion de f a σ(h)∪ 0. Notemos que f |A ∈ A y denotemos porf(h) a f |A. Luego, la aplicacion

Φ : C0 ([0, ‖h‖])→ A,

dada por f 7→ f(h), es un ∗-homomorfismo tal que

Φ (C0 ([0, ‖h‖])) = C0 (Ω) .

Una funcion g ∈ C0 (σ(h) ∪ 0), puede extenderse a una funcion f ∈ C0 ([0, ‖h‖]). Diremos quef(h) = h si f(λ) = λ para λ ∈ [0, ‖h‖]. 4

Proposicion 3.4.2. Sea h un elemento en PA. Luego, para n ∈ N arbitrario, existe un unicoelemento k ∈ PA tal que kn = h. Este unico elemento k es denotado por h1/n o n

√h.

Demostracion. Sea f la funcion dada por f(λ) = n√λ, sobre [0, ‖h‖]. Luego, f(h)n = fn(h) = h.

Supongamos ahora, que existe algun k1 ∈ PA tal que kn1 = h. Por el teorema de Stone-Weiertrass,la funcion f(λ) = n

√λ, puede aproximarse de manera uniforme por polinomios pi(λ), tales que

pi(0) = 0. De este modo se tiene que f(h) se puede aproximar uniformemente por polinomios pi(h).Notemos que k1h = hk1, lo cual implica que k1f(h) = f(h)k1. Si ahora consideramos la C∗-subal-gebra C0(Ω) de A generada por k1 y f(h), entonces k1(t) ≥ 0, f(h)(t) ≥ 0 y k1(t)n = f(h)(t)n parat ∈ Ω. Finalmente podemos concluir que k1(t) = f(h)(t) para t ∈ Ω.

Lema 3.4.3. Si A es una C∗-algebra unital, y h ∈ A es autoadjunto, entonces para t ∈ R se tieneque h ∈ PA si ‖h− t‖ ≤ t. Recıprocamente, si h ∈ PA es tal que ‖h‖ ≤ t, entonces ‖h− t‖ ≤ t.

4El conjunto de las funciones continuas sobre un espacio topologico X a valores reales, esta parcialmente ordenadode manera natural con el orden ≤, es decir f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ X. Con respecto a este orden,este conjunto forma un reticulado donde las operaciones ∨ y ∧ estan dadas por (f ∨ g)(x) = max f(x), g(x), y(f ∧ g)(x) = mın f(x), g(x).



Demostracion. Consideremos la C∗-subalgebra abeliana y unital de A generada por 1A y h ∈ Ae identifiquemosla con C0(Ω) (3.2.1). De este modo, podemos afirmar que si h ∈ C0(Ω) es tal queh = h∗, entonces h toma valores reales. Luego, si ‖h− t‖ ≤ t (para t ∈ R) entonces para todox ∈ Ω,

‖h(x)− t‖ ≤ t⇒ −t ≤ h(x)− t ≤ t⇒ 0 ≤ h(x).

Recıprocamente, si ‖h‖ ≤ t y h ≥ 0, para todo x ∈ Ω se tiene que,

0 ≤ h(x) ≤ t⇒ −t ≤ h(x)− t ≤ 0 ≤ t⇒ ‖h(x)− t‖ ≤ t.

Teorema 3.4.4. Si A es una C∗-algebra. Luego,

1. Si α ∈ R≥ 0 y h ∈ PA, entonces αh ∈ PA.

2. Si h1, h2 ∈ PA entonces, h1 + h2 ∈ PA.

Demostracion. Supongamos que A es unital, (sino consideramos la unitizacion como en 2.2.7). Seah un elemento autoadjunto de A, tal que ‖h‖ ≤ 1 y consideremos C(K), la representacion de laC∗-subalgebra abeliana de A generada por 1A y h (3.2.1). Luego, por 3.4.3, h es positivo si y solosi ‖h− 1A‖ ≤ 1. La condicion 1 se cumple naturalmente. Para probar la condicion 2 notemos que,∥∥∥∥1A − h1 + h2

‖h1‖+ ‖h2‖

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥‖h1‖+ ‖h2‖ − h1 − h2

‖h1‖+ ‖h2‖

∥∥∥∥≤‖h1‖

∥∥∥1A − h1‖h1‖

∥∥∥+ ‖h2‖∥∥∥1A − h2

‖h2‖

∥∥∥‖h1‖+ ‖h2‖

=

∥∥∥∥1A − h1

‖h1‖

∥∥∥∥∥∥∥∥1A − h2

‖h2‖

∥∥∥∥ ≤ 1.

Luego, h1+h2‖h1‖+‖h2‖ ∈ PA y por la condicion 1,

(‖h1‖+ ‖h2‖)h1 + h2

‖h1‖+ ‖h2‖= h1 + h2 ∈ PA.

Por estas condiciones que acabamos de probar podemos concluir que PA es un cono convexo.

Observaciones 3.4.5. Como PA ⊂ As es un cono convexo (3.4.4), podemos definir un ordenparcial en As inducido por PA de la siguiente manera,

h ≤ k ⇐⇒ k − h ∈ PA.

Recordemos que por 3.4.2, si h ∈ PA entonces existe un unico k ∈ PA tal que h = k2. Si h ∈ Asentonces h2 ∈ PA. Esto nos permite tomarle la raız cuadrada y definir el valor absoluto de h como

|h| =(h2)1/2

. Luego, podemos expresar a h de la siguiente manera

h =1

2(|h|+ h)− 1

2(|h| − h) .


3.4 Elementos positivos de una C∗-algebra

Utilizando la representacion en 3.2.2, se puede ver que

h+ =1

2(|h|+ h) , h− =

1

2(|h| − h) y |h| = h+ + h−,

pertenecen a PA. Mas aun, esta representacion de h ∈ As como h = h+−h−, cumple que h+ h− = 0y es unica. Llamaremos a esta descomposicion de h descomposicion ortogonal5. Justamente la((ortogonalidad)) de la representacion nos permite calcular la norma de h como,

‖h‖ = max∥∥h+

∥∥ , ∥∥h−∥∥ .4

Teorema 3.4.6. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. h ≥ 0.

2. h = x∗x para algun x ∈ A.

Demostracion.

1⇒ 2. Si h ≥ 0 entonces h = h1/2h1/2 =(h1/2

)∗h1/2.

2 ⇒ 1. Antes que nada, notemos que (x∗x)∗ = x∗x. Supongamos, sin perdida de generalidad, queA es unital. Si −x∗x ∈ PA, entonces por 3.1.14

σ(−x∗x)\ 0 = σ(−xx∗)\ 0 = −σ(xx∗)\ 0 ⊂ R≥ 0. (1)

Lo cual implica que −xx∗ ∈ PA. Si escribimos,

x =x+ x∗

2+ i

x− x∗

2i,

y llamamos Re(x) = x+x∗

2 e Im(x) = x−x∗2i a la parte real e imaginaria de x respectivamente,

entonces Re(x), Im(x) ∈ As y por lo tanto, por 3.4.5, podemos tomar la descomposicion ortogonalde ambos elementos,

Re(x) = Re(x)+ −Re(x)− e Im(x) = Im(x)+ − Im(x)−.

Luego,x∗x+ xx∗ = 2Re(x)2 + 2Im(x)2 ⇒ x∗x = 2Re(x)2 + 2Im(x)2 − xx∗ ∈ PA,

entonces σ(x∗x) ⊆ R≥ 0. Pero por (1), σ(x∗x) ⊆ R≤ 0. Por lo tanto

σ(x∗x) = 0 ⇒ ‖x‖2 = ‖x∗x‖ = ρ(x∗x) = 0⇒ x = 0.

Veamos ahora que para x ∈ A arbitrario, x∗x ∈ PA. Como h = x∗x ∈ As, podemos tomar sudescomposicion ortogonal, h = h+ − h−. Luego,

−(xh−

)∗ (xh−

)= −h−(x∗x)h− = −h−(h+ − h−)h− = −h−h+h− +

(h−)3

=(h−)3 ∈ PA.

Entonces xh− = 0, lo cual implica que h− = 0 y por lo tanto, x∗x = h = h+ ∈ PA.

5Como h es un elemento autoadjunto su espectro es real entonces considerando la representacion 3.2.2 podemosescribir, h+(t) = t ∨ 0 y h−(t) = − (t ∧ 0).



Proposicion 3.4.7. Sea A una C∗-algebra unital. Luego, todo elemento h ∈ A se puede escribircomo una combinacion lineal de cuatro elementos unitarios de A.

Demostracion. Si x ∈ As (x 6= 0), es claro que

ux =x

‖x‖+ i

√1− x2

‖x‖2y u∗x =

x

‖x‖− i

√1− x2

‖x2‖,

son unitarios. Mas aun,

x =‖x‖2

ux +‖x‖2

u∗x.

Como todo elemento h ∈ A se puede escribir como combinacion lineal de dos elementos autoad-juntos, (Re(h) e Im(h)) entonces h se puede escribir como combinacion lineal de cuatro elementosunitarios.

3.5. Funcionales lineales positivos sobre una C∗-algebra

Definicion 3.5.1. Si ϕ es un funcional lineal sobre una C∗-algebra A, definimos ϕ∗(x) = ϕ(x∗)para x ∈ A. Luego, ϕ∗ tambien es un funcional lineal sobre A, y lo denominaremos adjunto de ϕ.Diremos que ϕ es autoadjunto si ϕ = ϕ∗.

Observacion 3.5.2. Todo funcional lineal ϕ sobre A puede ser representado como

ϕ = ϕ1 + iϕ2,

donde ϕ1, ϕ2 son autoadjuntos. Mas aun,

ϕ1 =ϕ+ ϕ∗

2y ϕ2 =

ϕ− ϕ∗

2i.

4

Definicion 3.5.3. Decimos que un funcional lineal ϕ sobre una C∗-algebra A es positivo, siϕ(x∗x) ≥ 0 para x ∈ A y lo denotaremos por ϕ ≥ 0.

Observaciones 3.5.4. Notemos que un funcional lineal ϕ es autoadjunto si, y solo si, ϕ(h) ∈ Rpara todo elemento h ∈ As. Tambien podemos deducir de 3.4.6, que ϕ es un funcional linealpositivo sobre A, si ϕ(h) ≥ 0, para h ∈ PA. Ademas, si ϕ es funcional lineal positivo entonces esautoadjunto. Pues, si h ∈ PA

ϕ∗(h) = ϕ(h∗) = ϕ(h) = ϕ(h).

Si h ∈ A es arbitrario, entonces existen hi ∈ PA, (i = 1, · · · , 4) tales que h = (h1−h2) + i(h3−h4).Luego,

ϕ∗(h) = ϕ∗ ((h1 − h2) + i(h3 − h4)) = ϕ ((h1 − h2 + i(h3 − h4))∗)

= ϕ (h∗1 − h∗2 − i(h∗3 − h∗4)) = ϕ (h1)− ϕ (h2)− i (ϕ (h3)− ϕ (h4))

= ϕ (h1)− ϕ (h2) + i (ϕ (h3)− ϕ (h4)) = ϕ(h).

Si ϕ1 y ϕ2 son funcionales lineales autoadjuntos, podemos considerar la relacion de orden (parcial)

ϕ1 ≤ ϕ2 ⇐⇒ 0 ≤ ϕ2 − ϕ1.

4


3.5 Funcionales lineales positivos sobre una C∗-algebra

3.5.5. Desigualdad de Schwartz. Sea ϕ un funcional lineal positivo sobre una C∗-algebra A.Luego, para todo par de elementos x, y ∈ A, se tiene que

|ϕ(y∗x)|2 ≤ ϕ(y∗y)ϕ(x∗x).

Demostracion. Sea λ ∈ C, entonces por ser ϕ ≥ 0 se tiene que ϕ ((λx+ y)∗(λx+ y)) ≥ 0. Su-pongamos que ϕ(y∗x) 6= 0 (de no ser ası, la desigualdad es claramente verdadera) y elijamosλ = tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1, donde t ∈ R. Luego,

ϕ ((λx+ y)∗(λx+ y)) = ϕ(

(tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1 x+ y)∗(tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1 x+ y))

= ϕ(

(tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1x∗ + y∗)(tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1 x+ y))

= ϕ(

(tϕ(y∗x) |ϕ(y∗x)|−1 x∗ + y∗)(tϕ(x∗y) |ϕ(y∗x)|−1 x+ y))

= ϕ

(t2ϕ(y∗x)ϕ(x∗y)

|ϕ(y∗x)|2x∗x+ t

ϕ(x∗y)

|ϕ(y∗x)|y∗x+ t

ϕ(y∗x)

|ϕ(y∗x)|x∗y + y∗y

)= t2

ϕ(y∗x)ϕ(y∗x)

|ϕ(y∗x)|2ϕ(x∗x) + 2t

ϕ(y∗x)ϕ(y∗x)

|ϕ(y∗x)|+ ϕ(y∗y)

= t2ϕ(x∗x) + 2t |ϕ(y∗x)|+ ϕ(y∗y) ≥ 0.

Pero notemos que t2ϕ(x∗x) + 2t |ϕ(y∗x)| + ϕ(y∗y) representa una parabola, entonces por lo queacabamos de probar, el discriminante debe ser menor o igual a cero, esto es

4 |ϕ(y∗x)|2 − 4ϕ(x∗x)ϕ(y∗y) ≤ 0⇒ |ϕ(y∗x)|2 − ϕ(x∗x)ϕ(y∗y) ≤ 0,

y por lo tanto|ϕ(y∗x)|2 ≤ ϕ(x∗x)ϕ(y∗y).

Proposicion 3.5.6. Sea A una C∗-algebra con unidad. Luego, si ϕ es un funcional lineal sobre Aentonces es acotado. Mas aun, ‖ϕ‖ = ϕ(1A).

Demostracion. Sea x ∈ A, por 3.5.5 se tiene que

|ϕ(x)| = |ϕ(1A x)| ≤ ϕ(1A)1/2 ϕ(x∗x)1/2.

Por otro lado, como x∗x ≤ ‖x∗x‖1A, entonces 0 ≤ ‖x∗x‖1A − x∗x y por lo tanto,

0 ≤ ϕ (‖x∗x‖1A − x∗x)⇒ 0 ≤ ‖x∗x‖ϕ (1A)− ϕ (x∗x)⇒ ϕ (x∗x) ≤ ‖x∗x‖ϕ (1A) = ‖x‖2 ϕ (1A) .

Finalmente, podemos concluir que

‖ϕ‖ = sup‖x‖ = 1

|ϕ(x)| ≤ sup‖x‖ = 1

ϕ(1A)1/2 ϕ(x∗x)1/2 ≤ sup‖x‖ = 1

ϕ(1A) ‖x‖ = ϕ(1A).

Proposicion 3.5.7. Sean A una C∗-algebra, y ϕ un funcional lineal y acotado sobre A, tal queϕ(h) = ‖ϕ‖ ‖h‖ para h ∈ A; h > 0. Luego, ϕ es un funcional lineal positivo.



Demostracion. Por el teorema de extension de Hahn-Banach, podemos asumir que A es unital.Sean ϕ0 = ϕ

‖ϕ‖ y h0 = h‖h‖ . Luego, por hipotesis

ϕ0(h0) =ϕ (h)

‖ϕ‖ ‖h‖= 1.

Probaremos primero que ϕ0(1) = 1. Para ello empecemos suponiendo que existen a, b ∈ R, b 6= 0tales que

ϕ0(1) = a+ bi,

entonces para cualquier λ ∈ R se tiene que,

|ϕ0(1 + λih0)| = |ϕ0(1) + λiϕ0(h0)| = |a+ i(b+ λ)| ≥ |b+ λ| .

Por otro lado, para cualquier λ ∈ R sucede que,

|ϕ0(1 + λih0)| ≤ ‖1 + λih0‖ ≤(1 + λ2

)1/2.

Absurdo. Pues,

|b+ λ| ≤(1 + λ2

)1/2 ⇐⇒ λ ≥ 1− b2

2b.

De este modo acabamos de probar que ϕ0(1) es real. Supongamos ahora que ϕ0(1) < 1, luego

|ϕ0(1− 2h0)| = |ϕ0(1)− 2ϕ0(h0)| > 1.

Pero notemos que,

|ϕ0(1− 2h0)| ≤ ‖ϕ0‖ ‖1− 2h0‖ = ‖(1− h0)− h0‖ ≤ 1.

Absurdo. Por lo tanto ϕ0(1) ≥ 1 y como ‖ϕ0‖ = 1, entonces ϕ0(1) = 1. Consideremos ahora unelemento k ∈ As y supongamos que existen c, d ∈ R, d 6= 0 tales que

ϕ0(k) = c+ di.

Entonces para λ ∈ R arbitrario,

|ϕ0(k + iλ1)| = |ϕ0(k) + iλϕ0(1)| = |c+ i (d+ λ)| ≥ |d+ λ| .

Por otro lado,

|ϕ0(k + iλ1)| ≤ ‖ϕ0‖ ‖k + iλ1‖ =(‖k‖2 + λ2

)1/2,

y nuevamente tenemos un absurdo que, en este caso, viene de suponer que ϕ0(k) /∈ R. Es claro queesto implica que ϕ(k) ∈ R. Si ahora pedimos que k sea positivo con ‖k‖ ≤ 1, entonces ϕ(k) ≥ 0.Pues, de no ser ası se tiene que ϕ(1− k) = ϕ(1)− ϕ(k) > 1. Pero por otro lado,

|ϕ(1− k)| ≤ ‖1− k‖ ≤ 1.

Finalmente, podemos concluir que ϕ es un funcional positivo.

Definicion 3.5.8. Decimos que un funcional lineal positivo ϕ sobre una C∗-algebra es un estado,si ‖ϕ‖ = 1.


3.6 Puntos extremales de la esfera unitaria de una C∗-algebra

Denotaremos por SA al conjunto de todos los estados sobre la C∗-algebra A, y consideraremossobre este conjunto la topologıa σ (A∗,A). Si A es unital, entonces SA es un espacio compacto.

Proposicion 3.5.9. Sean A una C∗-algebra y h ∈ As. Luego, ‖h‖ = supϕ∈SA

|ϕ(h)|.

Demostracion. Como h ∈ As, por 3.4.5, podemos escribir su descomposicion ortogonal h = h+−h−,entonces

‖h‖ = max∥∥h+

∥∥ , ∥∥h−∥∥ .Sin perdida de generalidad, supongamos que ‖h‖ = ‖h+‖ (de no ser ası se puede tomar −h). Luego,por el teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal acotado ϕ sobre A tal que ϕ(h+) = ‖h+‖y ‖ϕ‖ = 1. Si aplicamos la proposicion 3.5.7, tenemos que ϕ ≥ 0 y ademas notemos que,

‖h‖ = ‖|h|‖ = ‖h+ + h−‖ = ‖h+‖.

ϕ(h+) + ϕ(h−) = ϕ(h+ + h−) = |ϕ(|h|)| ≤ ‖|h|‖ = ‖h+‖.

entonces, ϕ(h−) = 0 y por lo tanto,

ϕ(h) = ϕ(h+ − h−) = ϕ(h+)− ϕ(h−) = ϕ(h+) = ‖h‖ .

Finalmente, como para todo ψ ∈ SA se tiene que |ψ(h)| ≤ ‖ψ‖ ‖h‖ = ‖h‖, podemos concluir que‖h‖ = sup

ϕ∈SA|ϕ(h)|.

Corolario 3.5.10. Si h, k son dos elementos positivos de una C∗-algebra, entonces

‖h+ k‖ ≥ max ‖h‖ , ‖k‖ .

3.6. Puntos extremales de la esfera unitaria de una C∗-algebra

A lo largo de esta subseccion A denotara una C∗-algebra y S la esfera unitaria de A.La proposicion que mostraremos a continuacion fue probada por Sakai en [13], con el fin de

poder asegurar que toda algebra de Von Neumann es unital.

Proposicion 3.6.1. S tiene puntos extremales si, y solo si, A tiene unidad.

Demostracion. Empecemos suponiendo que A es unital y probemos que 1A es un punto extremalde S. Si 1A = 1

2a+ 12b para a, b ∈ S y tomamos c = 1

2a+ 12a∗ y d = 1

2b+ 12b∗, entonces

1

2c+

1

2d =

1

2

(a+ a∗

2+b+ b∗

2

)=

1

2

(a+ b

2+

(a+ b

2

)∗)= 1A.

Como d = 21A − c, es claro que c y d conmutan. Esto nos permite tomar la representacion dela C∗-algebra abeliana generada por 1A, c, d y en ese caso obtenemos que c = d = 1A. Luego,como a∗ = 21A − a se tiene que a ∈ S es normal. Entonces, del mismo modo que antes, podemosconsiderar la representacion de la C∗-algebra abeliana generada por 1A, a, a∗ y obtenemos quea∗ = a = 1A. Por lo tanto a = b = 1A, lo cual implica que 1A es un punto extremal de S.

Recıprocamente, supongamos que x es un punto extremal de S y sea C0(Ω) la representacionde la C∗-subalgebra generada por x∗x. Luego, podemos tomar una sucesion yn de elementospositivos en C0(Ω) tales que ‖yn‖ ≤ 1 para todo n y ademas,

‖(x∗x) yn − (x∗x)‖ −−−→n→∞

0 y∥∥(x∗x) y2

n − (x∗x)∥∥ −−−→

n→∞0.



Supongamos que en algun punto t ∈ Ω, x∗x toma algun valor no nulo menor que uno. En ese casopodemos tomar un elemento c ∈ C0(Ω) positivo y no nulo en t, tal que

rn = yn + c, sn = yn − c,∥∥(x∗x) r2

n

∥∥ ≤ 1 y∥∥(x∗x) s2

n

∥∥ ≤ 1.

De este modo se tiene que xrn y xsn pertenecen a S. Por otro lado,

‖xyn − x‖2 = ‖(xyn − x)∗ (xyn − x)‖ =∥∥x∗xy2

n − x∗xyn − x∗xyn + x∗x∥∥ −−−→

n→∞0.

Esto implica que xyn −−−→n→∞

x, entonces xrn −−−→n→∞

x+ xc y xsn −−−→n→∞

x− xc. Notemos que x+ xc

y x− xc son elementos de S y ademas

x =1

2(x+ xc) +

1

2(x− xc) ,

pero como x es un punto extremal resulta que x = x+ xc = x− xc y por lo tanto xc = 0. Luego,‖cx∗xc‖ =

∥∥x∗xc2∥∥ = 0, lo cual es absurdo! pues x∗x(t)c2(t) 6= 0. Podemos concluir entonces que

x∗x no toma ningun valor (no nulo) menor que uno en Ω. Esto significa que x∗x es un proyector.Sea h = x∗x + xx∗ y consideremos la C∗-subalgebra abeliana maximal B, de A que contiene a h.Supongamos que h no es invertible en B. Luego, existe una sucesion de elementos positivos zntal que ‖zn‖ = 1 para todo n y

∥∥hz2n

∥∥ −−−→n→∞

0, entonces

‖xzn‖ = ‖znx∗‖ = ‖znx∗xzn‖1/2 ≤ ‖znhzn‖1/2 −−−→n→∞

0,

y de manera analoga se tiene que ‖znx‖ = ‖x∗zn‖ −−−→n→∞

0. Luego,

‖zn − xx∗zn − znx∗x+ xx∗znx∗x‖ −−−→

n→∞1. (2)

De manera simbolica escribamos y − yx = y(1− x), y − xy = (1− x)y y probemos que

(1− xx∗)A (1− x∗x) = 0.

Supongamos que a ∈ (1− xx∗)A (1− x∗x) y ‖a‖ ≤ 1, entonces

‖x± a‖ = ‖(x∗ ± a∗) (x± a)‖1/2 = ‖x∗x± (x∗a+ a∗x) + a∗a‖1/2 .

Como ya hemos probado anteriormente, xx∗ es un proyector entonces (a∗x) (a∗x)∗ = a∗xx∗a = 0,(a∗x) = (a∗x)∗ = 0 y x∗xa∗a = x∗x (1− x∗x) a∗a = 0. De este modo podemos concluir que

‖x± a‖ = max‖x∗x‖1/2 , ‖a∗a‖1/2

≤ 1,

y por ser x un punto extremal de S, resulta que a = 0 como querıamos probar. Ahora, notemosque

(zn − xx∗zn − znx∗x+ xx∗ + xx∗znx∗x) ∈ (1− xx∗) A (1− x∗x) = 0,

y esto es absurdo por (2). Por lo tanto, h es invertible en B, h−1h = 1B y entonces es un proyectorsobre A y la unidad de h−1hAh−1h. Supongamos que A

(1− h−1h

)6= 0, entonces existe un

elemento a ∈ A(1− h−1h

)tal que a 6= 0 y como a∗ah−1h = 0, a∗a conmuta con h−1hAh−1h ⊃ B,

pero entonces B no es maximal y esto nos permite concluir que h−1h = 1A.


Proposicion 3.6.2. Los puntos extremales de PA ∩ S son los proyectores de A.

Demostracion. Sea p un proyector. Supongamos que existen a, b ∈ PA ∩ S tales que p = 12a + 1

2b,entonces a = 2p− b. Luego, como 0 ≤ a ≤ 2p, a ∈ pAp entonces a conmuta con b. Consideremos larepresentacion C(K) de la C∗-algebra abeliana generada por a y b tal como hicimos en la proposicionanterior (3.6.1) y de ese modo se tiene que a = b = p. Recıprocamente, supongamos que h es unpunto extremal de PA∩S y consideremos la representacion C(X) de la C∗-algebra abeliana generadapor h, de ese modo se puede ver que h es un proyector.

Proposicion 3.6.3. Los puntos extremales de As ∩ S son los unitarios de A.

Demostracion. Supongamos que u es unitario y autoadjunto en A. Luego, como el mapa x 7→ ux esuna isometrıa lineal y 1 es extremal es claro que u es extremal. Supongamos ahora que a = a+−a−es un punto extremal en As ∩ S. Luego, a+ y a− deben ser extremales en PA ∩ S, pues

a+ =1

2c+

1

2d, c, d ∈ PA ∩ S ⇒ c− a−, d− a− ∈ As ∩ S y a =

c− a−

2+d− a−

2,

entonces se tiene que a = c − a− = d − a− y por lo tanto c = d = a+. Analogamente se puedever que a− es un extremal de PA ∩ S. Aplicando la proposicion 3.6.2, se tiene que a+ y a− sonproyectores. Notemos ademas que |a| = a+ + a− = 1 y por lo tanto a es unitario.

4. W ∗-algebras

De aquı en mas M denotara una W ∗-algebra y S la esfera unitaria de M.

4.1. La topologıa debil sobre una W ∗-algebra

En esta subseccion usaremos siempre la σ (M,M∗)-topologıa sobreM. Recordemos que por elteorema de Banach-Alaoglu (2.1.16) S es debilmente compacta, ademas por Krein-Milman (2.1.11)S tiene puntos extremales y por lo tanto, gracias a la proposicion 3.6.1 podemos afirmar queM esunital.

Lema 4.1.1. Ms y PM son σ-cerrados.

Demostracion. Probaremos que Ms ∩ S es cerrado y luego aplicaremos el teorema de Banach-Smulian (2.1.18). Supongamos que no es cierto que Ms no es cerrado, en ese caso existe una redxα ⊂ Ms ∩ S que converge a un elemento de la forma x = a + ib con b 6= 0 y a, b ∈ Ms. Seaλ ∈ σ(b), tal que λ > 0 (si no existe tal λ consideramos la red −xα), y notemos que para n ∈ Nse tienen las siguientes desigualdades:

1. ‖xα + in1‖2 ≤ 1 + n2.

2. 1 + n2 < (λ+ n)2 ⇐⇒ 1 + n2 < λ2 + 2λn+ n2 ⇐⇒ 1 < λ2 + 2λn.

Entonces, para algun n lo suficientemente grande, se tiene que

‖xα + in1‖(1)

≤(1 + n2

)1/2 (2)< λ+ n ≤ ‖b+ in1‖ ≤ ‖a‖+ ‖b+ n1‖ = ‖a+ i (b+ n1)‖ .


4 W ∗-ALGEBRAS

Como xα + in1 ∈ (1 + n2)1/2S converge a a + i(b + n1) y la bola (1 + n2)1/2S es compacta,entonces a+ i(b+ n1) ∈ (1 + n2)1/2S. Absurdo, pues la desigualdad anterior prueba que

‖a+ i(b+ n1)‖ > (1 + n2)1/2.

Por lo tanto,Ms∩S es σ-cerrado y por 2.1.18,Ms tambien es σ-cerrado. En cuanto a PM, notemosque

PM ∩ S = Ms ∩ S ∩ Ms ∩ S + 1 ,

entonces PM ∩ S es σ-cerrado y por la misma razon que antes PM resulta σ-cerrado.

Lema 4.1.2. Sea T el conjunto de todos los funcionales lineales σ-continuos, positivos sobre M,entonces para cualquier elemento a que sea autoadjunto y tal que a /∈ PM, existe ϕ ∈ T tal queϕ(a) < 0. En particular, si b ∈M es tal que ψ(b) = 0 para todo ψ ∈ T , se tiene que b = 0.

Demostracion. Como PM es un cono convexo (3.4.4) σ-cerrado en Ms (4.1.1), por el teorema deseparacion de Hahn - Banach (2.1.8) existe un funcional lineal φ σ-continuo y real sobre Ms talque

ınfh∈PM

φ(h) > φ(a).

Luego, por ser PM un cono convexo,

ınfh∈PM

φ(h) = 0⇒ φ(a) < 0 y φ(h) ≥ 0 (∀h ∈ PM) .

Definamos ahora

ϕ(c+ id) = φ(c) + iφ(d), (∀c, d ∈Ms) .

Queda claro que ϕ es un funcional lineal sobre M. Mas aun, como Ms es cerrado, la aplicacion∗ : Ms →Ms dada por a 7→ a∗, es σ-continua y por lo tanto ϕ es un funcional lineal σ-continuotal que

ϕ(a) = φ(a) < 0.

Notemos que efectivamente, si para todo ψ ∈ T ψ(b) = 0 entonces b = 0.

Definicion 4.1.3. Diremos que una red xα ∈ Ms es creciente, si xα ≥ xβ siempre que α ≥ β.Es decir, xα − xβ ∈ PM para α ≥ β.

Lema 4.1.4. Toda red creciente y uniformemente acotada converge a su mınima cota superior o

supremo. Mas aun, si x =∨α

xα, entonces a∗xa =∨α

a∗xαa.

Demostracion. Sea E el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de T . Latopologıa σ (M, E) es mas debil que la topologıa σ (M,M∗) y ademas σ (M, E) es de Hausdorff(2.1.15). Como S es σ (M,M∗)-compacta entonces σ (M, E) es equivalente a σ (M,M∗) sobreesferas acotadas. De este modo, para probar que una red uniformemente acotada xα es de Cauchyen la topologıa σ (M,M∗), es suficiente con ver que para cada ϕ ∈ T y para todo ε > 0, existeα0 tal que |ϕ (xα)− ϕ (xβ)| ≤ ε, ∀α, β ≥ α0. Supongamos que xα es una red uniformementeacotada y creciente de elementos autoadjuntos deM, entonces ϕ (xα) es una red uniformementeacotada y creciente de numeros reales y por lo tanto converge. Luego, xα es de Cauchy respectode σ (M,M∗) y por ser S σ (M,M∗)-compacta podemos concluir que xα converge a un elemento


4.1 La topologıa debil sobre una W ∗-algebra

x ∈ S. Mas aun, el lema 4.1.2 implica que x =∨α

xα. Pues, si x 6=∨α

xα, para algun ındice β se

tiene que x− xβ /∈ PM, entonces existe ψ ∈ T tal que ψ (x− xβ) < 0. Luego, ψ(x) < ψ (xβ) lo cuales absurdo. Si u es un elemento invertible de M, entonces

∨α

(u∗xαu) = u∗

(∨α

xα

)u = u∗xu.

Pues, si y, z son elementos de Ms entonces

u∗yu ≤ u∗zu ⇐⇒ (u∗)−1 u∗yuu−1 ≤ z ⇐⇒ y ≤ z.

Luego,

u∗xαu ≤ u∗∨α

xαu⇒∨α

u∗xαu ≤ u∗∨α

xαu = u∗xu.

Para probar la otra desigualdad, supongamos que existe β tal que u∗xβu > u∗xu, de ese modo setiene que xβ >

∨αxα, lo cual es absurdo. Supongamos ahora que a ∈M es arbitrario. Luego, existe

λ > 0 tal que λ1 + a es invertible. Entonces,

ϕ ((λ1 + a)∗ xα (λ1 + a)) = λ2ϕ (xα) + λϕ (a∗xα) + λϕ (xαa) + ϕ (a∗xαa) ,

por lo tanto, para cualquier ϕ ∈ T se tiene que,

λ2ϕ (xα) + λϕ (a∗xα) + λϕ (xαa) + ϕ (a∗xαa) −→αϕ ((λ1 + a)∗ x (λ1 + a)) .

Por otro lado, la desigualdad de Schwartz (3.5.5) nos permite afirmar que para α ≥ β,

|ϕ (a∗ (xα − xβ))| =∣∣∣ϕ(a∗ (xα − xβ)1/2 (xα − xβ)1/2

)∣∣∣ ≤ ϕ (a∗ (xα − xβ) a)1/2 ϕ (xα − xβ)1/2 ,

y ademas |ϕ (a∗ (xα − xβ))| = |ϕ ((xα − xβ) a)|. Entonces podemos decir que ϕ (a∗xα) y ϕ (xαa)convergen. Mas aun,

λ2ϕ (xα) + λϕ (a∗xα) + λϕ (xαa) −→αλ2ϕ (x) + λϕ (a∗x) + λϕ (xa) .

Por lo tanto, ϕ (a∗xαa) −→αϕ (a∗xa) lo cual implica que

∨α

(a∗xαa) = a∗xa.

Lema 4.1.5. Si C es una C∗-subalgebra abeliana maximal de M, entonces su espectro es unespacio de Stone.

Demostracion. Sea xα una red creciente de elementos positivos de C, y sea x0 =∨αxα ∈ Ms.

Si u es un elemento unitario de C entonces,

∨α

u∗xαu = u∗

(∨α

xα

)u y

∨α

u∗xαu =∨α

xα = x0.

Luego, u∗x0u = x0. Como por 3.4.7 se tiene que cada elemento de C se puede escribir como combi-nacion lineal de unitarios en C, entonces x0 conmuta con todos los elementos de C. Finalmente,podemos concluir que x0 ∈ C, y por 3.3.5 (considerando la representacion 3.2.2) resulta que suespectro es un espacio de Stone.


4 W ∗-ALGEBRAS

Lema 4.1.6. Sea p un proyector enM. Luego, la subalgebra pMp es σ- cerrada, y el mapa x 7→ pxpes σ- continuo.

Demostracion. Consideremos el espacio p (PM ∩ S) p. Es decir, los elementos q ∈ (PM ∩ S) talesque q ≤ p. Si tomamos una red xα ∈ p (PM ∩ S) p que converge a x0 ≥ 0, entonces para todo αp− xα ≥ 0 y por lo tanto p− x0 ≥ 0. Luego, p (PM ∩ S) p es cerrado. Notemos ahora que

p (Ms ∩ S) p = p (PM ∩ S) p− p (PM ∩ S) p,

y como p (PM ∩ S) p es compacto, p (Ms ∩ S) p resulta ser cerrado. Luego, pMp es cerrado. Paraprobar que la aplicacion x 7→ pxp es continua es suficiente probar que el nucleo

(1− p)M+M (1− p) ,

es cerrado, ya que

M = (pMp)⊕ ((1− p)M+M (1− p)) .

Mostraremos primero que si aα ∈ (Ms ∩ S) y paα (1− p) converge a a, entonces

pap = (1− p) a (1− p) = 0.

Sean n ∈ Z y c ∈ C (|c| = 1). Luego,

‖paα (1− p) + cnp‖ = ‖[paα (1− p) + cnp] [(1− p) aαp+ cnp]‖1/2

=∥∥paα (1− p) aαp+ n2p

∥∥1/2

≤(1 + n2

)1/2.

Supongamos ahora que pap 6= 0 y que existe un numero λ > 0 en el espectro de pap+pa∗p2 (de no ser

ası podemos considerar la red −aα.) entonces

‖pap+ np+ pa (1− p) + (1− p) ap+ (1− p) a (1− p)‖

≥ ‖p (a+ n1) p‖ ≥∥∥∥∥pap+ pa∗p

2+ np

∥∥∥∥ ≥ λ+ n.

Luego, ‖a+ np‖ >(1 + n2

)1/2para algun n lo suficientemente grande y esto es absurdo. Entonces

pap+ pa∗p

2= 0.

Analogamente, supongamos que existe λ > 0 en el espectro de ipa∗p−ipap2 . Entonces,

‖a+ nip‖ ≥ ‖pap+ nip‖ ≥∥∥∥∥ ipa∗p− ipap2

+ inp

∥∥∥∥ ≥ λ+ n,

y nuevamente tenemos una contradiccion. Entonces,

ipa∗p+ ipap

2= 0,


4.1 La topologıa debil sobre una W ∗-algebra

y por lo tanto, pap = 0. De manera similar supongamos que (1− p) a (1− p) 6= 0 y en ese caso setiene que

‖paλ (1− p) + cn (1− p)‖ =∥∥∥[(1− p) aαp+ cn (1− p)]1/2 [(1− p) aαp+ cn (1− p)]

∥∥∥=∥∥(1− p) aαpaα (1− p) + n2 (1− p)

∥∥1/2

≤(1 + n2

)1/2.

Absurdo!, entonces a = pa (1− p) + (1− p) ap. Por lo tanto,

(1− p)Sp ⊆ (pM (1− p) + (1− p)Mp) ,

y por simetrıapS (1− p) ⊆ (pM (1− p) + (1− p)Mp) .

Finalmente, por las observaciones anteriores y por la compacidad de S, podemos concluir quepS (1− p) + (1− p)Sp es cerrado y por ende tambien lo es pM (1− p) + (1− p)Mp. Luego,

M (1− p) + (1− p)M =M (1− p) p+ p (1− p)M+ (1− p)M (1− p) ,

es cerrado.

Lema 4.1.7. Sea p un proyector sobre M. Luego, los mapas x 7→ px y x 7→ xp son σ-continuos.

Demostracion. Tomemos la misma red que en la demostracion del teorema anterior, paα (1− p),aα ∈ S, y supongamos que converge a un elemento a y ademas (1− p) ap 6= 0. Luego, por lademostracion de 4.1.6, a = pa (1− p) + (1− p) ap entonces para cualquier n > 0 se tiene que,

‖a+ n (1− p) ap‖ = ‖pa (1− p) + (n+ 1) (1− p) ap‖= max ‖pa (1− p)‖ , (n+ 1) ‖(1− p) ap‖= (n+ 1) ‖(1− p) ap‖ .

Pero por otro lado, para algun n > 0 lo suficientemente grande,

‖paα (1− p) + n (1− p) ap‖ ≤ max 1, n ‖(1− p) ap‖ = n ‖(1− p) ap‖ ,

lo cual contradice la igualdad anterior. Por lo tanto acabamos de probar que pM (1− p) es cerrado.Finalmente podemos concluir que los mapas x 7→ px (1− p), x 7→ (1− p)xp, x 7→ xp y x 7→ px sonσ-continuos.

Teorema 4.1.8. Los mapas x 7→ x∗, x 7→ ax y x 7→ xa son σ-continuos, para x, a ∈M.

Demostracion. Escribamos M = Ms + iMs, donde por supuesto Ms ∩ iMs = 0. Por 4.1.1sabemos que Ms es cerrado, luego x 7→ x∗ es σ-continua. Tomemos un elemento h ∈ MS yllamemos C a la C∗-subalgebra abeliana maximal de M que contiene a h. Luego, el espectro de Ces un espacio de Stone (4.1.5), y por 3.3.2, para cualquier ε > 0 existe una familia finita pi ⊂ Cde proyecciones mutuamente ortogonales tales que,∥∥∥∥∥h−

n∑i=1

λipi

∥∥∥∥∥ < ε,


4 W ∗-ALGEBRAS

donde λi ∈ R, ∀ i = 1, · · · , n. Si ahora consideramos una red xα que converja a 0, donde paratodo α, ‖xα‖ ≤ 1, entonces para cualquier funcional lineal ϕ que sea σ-continuo se tiene que

|ϕ (hxα)| =

∣∣∣∣∣ϕ((

h−n∑i=1

λipi

)xα

)∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣ϕ((

n∑i=1

λipi

)xα

)∣∣∣∣∣≤ ‖ϕ‖ ε+

n∑i=1

|λi| |ϕ (pixα)| .

Si tomamos el lımite superior, lım supα|ϕ (hxα)| ≤ ‖ϕ‖ ε, podemos concluir que lım

αϕ (hxα) = 0.

Tenemos entonces, que un funcional lineal φ(x) = ϕ (hx) es σ-continuo sobre S y por 2.1.18, φ(x)es σ-continuo sobre M y por lo tanto el mapa x 7→ hx y luego, x 7→ ax es σ-continuo. Finalmente,el mapa x 7→ (a∗x∗)∗ = xa tambien es σ-continuo.

Corolario 4.1.9. Sean H un subconjunto de M, A la C∗-subalgebra de M generada por H yA la clausura de A respecto de la topologıa σ (M,M∗). Luego, A es una W ∗-subalgebra de M.Mas aun, A es denominada W ∗-subalgebra generada por H, y es abeliana siempre que A seaabeliana.

4.2. Otras topologıas sobre una W ∗-algebra

Si (E,µ) es un ELC de dimension infinita, existe una topologıa ν tal que µ 6= ν sobre E y(E,µ)∗ = (E, ν)∗, cualquier topologıa ν (localmente convexa) sobre E que verifique esta propiedadse denomina topologıa compatible con µ. La topologıa mas debil posible que es compatible conµ es la que suele llamarse topologıa debil y que usualmente se denota por σ. La existencia deuna topologıa (unica) que es la mas fuerte posible que es compatible con µ, fue probada porGeorge Mackey en su tesis doctoral en el ano 1942. Esta topologıa se suele denotar por τ y esllamada topologıa de Mackey . Mackey tambien probo que todo subespacio convexo que es τ -cerrado resulta σ-cerrado. Y conjuntamente con Arens mostro que si dos topologıas son compatibles,entonces tienen los mismos conjuntos acotados.

Si M es un espacio de Banach entonces, gracias a la teorıa de ELC, podemos identificar a supredual M∗ con el espacio de todos los funcionales lineales σ (M,M∗)-continuos. Consideremosahora sobre M la topologıa de Mackey τ (M,M∗), la cual no es mas que la topologıa de laconvergencia uniforme sobre todos los subconjuntos convexos relativamente σ (M∗,M)-compactosen M∗. Como ya hemos mencionado recientemente, ambas topologıas producen el mismo espaciodual pero sin embargo σ (M,M∗) < τ (M,M∗). 6

Notacion. Si A es una C∗-algebra y A∗ es su dual (como espacio de Banach) para ϕ ∈ A∗denotaremos ϕ(x) = 〈x, ϕ〉 para x ∈ A, 〈x, Laϕ〉 = 〈ax, ϕ〉 y 〈x,Raϕ〉 = 〈xa, ϕ〉 para x, a ∈ A. Laϕy Raϕ pertenecen a A∗.

Definiciones 4.2.1. Sean A una C∗-algebra y V un subespacio de A∗. Se dice que V es invariantesi siempre que ϕ ∈ V , se tiene que Raϕ y Laϕ pertenecen a V (para a ∈ A). Del mismo modo, sedice que V es autoadjunto si siempre que ϕ ∈ V , se tiene que ϕ∗ ∈ V .

6Mackey no fue el primero en estudiar los ELC, pero sin embargo probo resultados muy importantes que produjeronun gran impacto dentro de esa teorıa. Para mas detalle sobre la teorıa desarrollada por el ver por ejemplo [1], [2] o[19].


4.2 Otras topologıas sobre una W ∗-algebra

Observacion 4.2.2. SiM es una W ∗-algebra, entoncesM∗ es un subespacio cerrado deM∗. Masaun, por 4.1.8, M∗ es un subespacio autoadjunto e invariante. 4

Proposicion 4.2.3. Los mapas ϕ 7→ ϕ∗, Laϕ y Raϕ en M∗ son σ (M,M∗)-continuos.

Demostracion. Sea ϕα ∈ M∗ una red que converge a 0. Luego,

〈x, ϕ∗α〉 = 〈x∗, ϕα〉 −→α

0.

Si x, a ∈M entonces

〈x, Laϕα〉 = 〈ax, ϕα〉 −→α

0 y 〈x,Raϕα〉 = 〈xa, ϕα〉 −→α

0.

Proposicion 4.2.4. Los mapas a 7→ Laϕ y a 7→ Raϕ definidos desde M con la topologıaσ (M,M∗), en M∗ con la topologıa σ (M∗,M), son continuos para cada ϕ en M∗.

Demostracion. Supongamos que la red aα converge a 0 con la topologıa σ (M,M∗). Luego,

〈x, Laαϕ〉 = 〈aαx, ϕ〉 −→α

0.

Por lo tanto, a 7→ Laϕ es continuo y analogamente, a 7→ Raϕ tambien lo es.

Proposicion 4.2.5. Los mapas x 7→ x∗, x 7→ ax y x 7→ xa son τ (M,M∗)-continuos.

Demostracion. Supongamos que xα ⊂ M es una red que converge a 0 en la topologıa τ (M,M∗),y sea G un subconjunto de M∗ relativamente σ (M∗,M)-compacto y convexo. Luego G∗, LaG yRaG tambien son relativamente σ (M,M∗)-compactos, entonces

〈x∗α, G〉 = 〈xα, G∗〉unif.−−−→α

0.

〈axα, G〉 = 〈xα, LaG〉unif.−−−→α

0.

〈xαa,G〉unif.−−−→α

0.

Definicion 4.2.6. Sea T el conjunto de todos los funcionales lineales σ (M,M∗)-continuos sobreM. Para cada ϕ ∈ T podemos definir,

αϕ(x) = ϕ (x∗x)1/2 , x ∈M.

Luego, αϕdefine una seminorma sobre M. La familia de seminormas αϕ : ∀ϕ ∈ T define unatopologıa localmente convexa. Esta topologıa es llamada topologıa fuerte o s-topologıa sobre My la denotaremos por s (M,M∗) o s cuando no sea necesario especificar el espacio en el que estamostrabajando.


4 W ∗-ALGEBRAS

Definicion 4.2.7. Sea T como en 4.2.6, para ϕ ∈ T definimos

α∗ϕ(x) = ϕ (xx∗)1/2 , x ∈M.

Luego, α∗ϕdefine una seminorma sobre M. La topologıa localmente convexa sobre M, definida poruna familia de seminormas

αϕ, α

∗ϕ : ∀ϕ ∈ T

, es denominada topologıa ∗-fuerte o s∗-topologıa

sobre M y la denotaremos por s∗ (M,M∗) o s∗.

Teorema 4.2.8. σ (M,M∗) ≤ s (M,M∗) ≤ s∗ (M,M∗) ≤ τ (M,M∗) .

Demostracion. La idea es probar que s (M,M∗) es compatible con σ (M,M∗). Pues en ese caso,por lo dicho al comienzo de esta subseccion, se tiene que σ (M,M∗) ≤ s (M,M∗) ≤ τ (M,M∗) .Comencemos tomando un funcional lineal ϕ sobre M que sea τ (M,M∗)-continuo sobre S, ydenotemos el espacio nulo de ϕ por Vϕ := x ∈M : ϕ(x) = 0. Luego, Vϕ∩S es τ (M,M∗)-cerrado.Como Vϕ ∩ S es convexo, entonces es σ (M,M∗)-cerrado por el teorema de Mackey. Luego, Vϕ esσ (M,M∗)-cerrado, entonces ϕ es σ (M,M∗)-continuo y por lo tanto ϕ es τ (M,M∗)-continuo.Sea xλ ⊂ S una red que converge a 0 en la topologıa τ (M,M∗). Luego,

αϕ (xλ)2 = ϕ (x∗λxλ) = 〈x∗λxλ, ϕ〉 = 〈xλ, Lx∗λϕ〉.

Como Lx∗λϕ ⊂ LSϕ y LSϕ es σ (M,M∗)-compacto (4.2.4), se tiene que αϕ (xλ) −→λ

0 y entonces

xλ converge a 0 con la topologıa s (M,M∗). Podemos concluir entonces que cualquier funcionals (M,M∗)-continuo sobre S es τ (M,M∗)-continuo sobre S y tambien σ (M,M∗)-continuo. Paraprobar la recıproca veremos que cualquier funcional lineal ψ es s (M,M∗)-continuo, y para elloes suficiente con asumir que ψ = ψ∗ (de no serlo, se lo puede escribir como combinacion lineal deelementos con tal propiedad.). Como S es σ-compacta, existe un elemento a0 ∈ S autoadjunto talque ‖ψ‖ = ψ(a0). Consideremos ahora el conjunto σ-compacto convexo,

E = a ∈ S ∩M : ψ(a) = ‖ψ‖ .

Si u es un punto extremal de E entonces es extremal enMs∩S. Pues, si u = c2 + d

2 para c, d ∈Ms∩S,entonces

ψ (u) =ψ(c)

2+ψ(d)

2= ‖ψ‖ .

Luego, ψ(c) = ψ(d) = ‖ψ‖ y ası se tiene que c, d ∈ E . Por 3.6.3, u es autoadjunto y unitario.Ademas Luψ(1) = ψ(u) = ‖ψ‖ y entonces Luψ pertenece a T . Por otro lado,

|ψ(x)| =∣∣ψ(u2x)

∣∣ = |Luψ(ux)| ≤ Luψ(u2)1/2Luψ(x∗x)1/2.

Luego, ψ es s (M,M∗)-continuo y entonces el espacio dual deM con la topologıa s (M,M∗) es elmismo que producen las topologıas σ (M,M∗) y τ (M,M∗). Por lo tanto,

σ (M,M∗) ≤ s (M,M∗) ≤ τ (M,M∗) .

Es claro que s (M,M∗) ≤ s∗ (M,M∗). La operacion ∗ es τ -continua. Finalmente,

σ (M,M∗) ≤ s (M,M∗) ≤ s∗ (M,M∗) ≤ τ (M,M∗) .


4.3 Ideales de una W ∗-algebra

4.3. Ideales de una W ∗-algebra

Recordemos que si A es un algebra, un ideal a izquierda de A es una subalgebra L ⊆ A talque para todo elemento a de A se tiene que ax ∈ L, siempre que x ∈ L. Del mismo modo, un ideala derecha de A es una subalgebra R ⊆ A tal que xa ∈ R para a ∈ A y x ∈ R. En caso que unideal verifique las dos condiciones anteriores, diremos que es un ideal bilatero. Si consideramosuna W ∗-algebraM, como los mapas x 7→ ax y x 7→ xa son σ (M,M∗)-continuos, entonces para unproyector p se tiene queMp y pM son ideales a izquierda y a derecha respectivamente, σ (M,M∗)-cerrados de M.

Proposicion 4.3.1. Sea L un ideal a izquierda y σ (M,M∗)-cerrado deM. Luego, existe un unicoproyector p en M, tal que L =Mp.

Demostracion. Sean L∗ = x∗ : x ∈ L y N = L ∩ L∗. Luego, N es una C∗-subalgebra de M ycomo la adjuncion es una aplicacion σ (M,M∗)-continua, podemos decir que N es σ (M,M∗)-cerrada y por lo tanto es una W ∗-subalgebra deM. Por lo mencionado al principio de esta seccion,N es unital. Entonces supongamos que p es la identidad en N , es claro entonces que p es unproyector sobre M. Mas aun, Mp ⊆ L. Probemos ahora la otra contencion. Si a ∈ L, entoncesa∗a ∈ N y ademas,

pa∗ap = pa∗a = a∗ap = a∗a⇒ (1− p) a∗a (1− p) = a∗a− pa∗ap = 0.

Luego, a (1− p) = 0 y por lo tanto L =Mp. Para probar la unicidad de p, supongamos que existeotro proyector p1 en M tal que L =Mp1. Entonces

p1 = ap y p1 = p∗1p1 = pa∗ap,

esto implica que p1 ≤ p. Analogamente se puede probar la otra desigualdad y ası se obtiene launicidad de p.

Observacion 4.3.2. Del mismo modo que en la proposicion anterior se puede probar que, si R esun ideal a derecha y σ (M,M∗)-cerrado deM, entonces existe un unico proyector q enM tal queR = qM. 4

Proposicion 4.3.3. SeaMp el conjunto de todos los proyectores enM. Luego,Mp es un reticuladocompleto respecto del orden ≤.

Demostracion. Tomemos un conjunto de proyectores pα y llamemos L1 al ideal a izquierda

σ (M,M∗)-cerrado de M generado por Mpα, y sea L2 =⋂α

Mpα. Luego, por 4.3.1, existen

proyectores p1 y p2 sobre M tales que L1 = Mp1 y L2 = Mp2. Es claro que para todo ındice α,p2 ≤ pα ≤ p1. Mas aun, si q es un proyector enM tal que pα ≤ q para todo α entoncesMpα ⊂Mq,luego q ≥ p1. Por lo tanto, ∨

α

pα = p1.

Analogamente podemos concluir que∧α

pα = p2.


5 UNICIDAD DEL PREDUAL DE UN ALGEBRA DE VON NEUMANN

Definiciones 4.3.4. Sea a ∈ M. Luego, L := x ∈M : xa = 0 y R := x ∈M : ax = 0 sonideales a izquierda y a derecha respectivamente, σ (M,M∗)-cerrados de M. Por la proposicion4.3.1, existe un unico proyector p en M tal que L =Mp. Luego, 1− p es el mınimo de todos losproyectores e tal que ea = a. 1 − p es denominado soporte a izquierda de a y lo denotaremospor l(a). Del mismo modo, por 4.3.2 existe un proyector q tal que R = qM y 1 − q es el mınimode todos los proyectores f en M tal que af = a. 1− q es denominado soporte a derecha de a ylo denotaremos por r(a). En caso que a ∈M sea autoadjunto, se tiene que l(a) = r(a) se denominasoporte de a y es denotado por s(a).

Proposicion 4.3.5. Sea h ∈ M un elemento autoadjunto y sea C la W ∗-algebra generada por h.Luego, s(h) pertenece a C.

Demostracion. Sea p la identidad sobre C, en ese caso ph = h y por lo tanto s(h) ≤ p. Como(p− s(h))h = 0, entonces (p− s(h)) q = 0 para todo q ∈ Todos los polinomios enh, donde laclausura es respecto de la topologıa σ (M,M∗). Luego, (p− s(h)) p = 0 y por lo tanto, s(h) = p.

Definicion 4.3.6. Definimos el centro deM como el conjunto Z := x ∈M : ax = xa ∀a ∈M.Un elemento de M se denomina central si pertenece a Z.

Proposicion 4.3.7. Todo ideal bilatero σ (M,M∗)-cerrado de M es de la forma Mz para algunproyector central z ∈M.

Demostracion. Sea I un ideal bilatero σ (M,M∗)-cerrado deM. Luego, por 4.3.1, existen proyec-tores p1 y p2 en M tales que I =Mp1 = p2M. Notemos que ambas proyecciones son la identidadsobre I ∩ I∗, entonces p = p1 = p2 y por lo tanto I = I∗. Tenemos entonces que I ∩ I∗ es unaW ∗-algebra, que tiene por unidad a z. De este modo se tiene que para todo elemento x ∈M,

xz = z (xz) = zxz y zx = (zx) z = zxz.

Finalmente, podemos concluir que I =Mz, donde z es un proyector central de M.

5. Unicidad del predual de un algebra de Von Neumann

En esta ultima seccion daremos una demostracion del teorema que Dixmier probo en [4] y quele permitio a Sakai obtener, como corolario del mismo, la unicidad del predual de un algebra deVon Neumann.

5.1. El teorema de Dixmier

Definicion 5.1.1. Sea ϕ un funcional lineal positivo sobre la W ∗-algebra M. Decimos que ϕ esnormal si para toda red creciente xα de elementos positivos de M que este uniformementeacotada se tiene que,

ϕ

(∨α

xα

)=∨α

ϕ (xα) .

Teorema 5.1.2. Sea ϕ un funcional lineal positivo sobre una W ∗-algebra M. Luego, son equiva-lentes:

1. ϕ es normal.


5.1 El teorema de Dixmier

2. ϕ es σ (M,M∗)-continuo.

Demostracion.

2⇒ 1. Esta implicacion ya fue probada en 4.1.4.

1 ⇒ 2. Sea pα una red creciente de proyectores, tal que el mapa x 7→ ϕ (xpα) sea σ (M,M∗)-continuo. Si p =

∨α

pα entonces p tambien es un proyector. Luego, para x ∈ S se tiene que

|ϕ (x (p− pα))| ≤ ϕ (xx∗)1/2 ϕ (p− pα)1/2 ≤ ϕ(1)1/2ϕ (p− pα)1/2 .

Como ϕ(xp) es lımite uniforme de la red ϕ (xpα) sobre S, entonces ϕ(xp) tambien es σ (M,M∗)-continuo sobre S y por lo tanto tambien es continuo sobreM. Luego, existe un proyector maximalp0 tal que el mapa x 7→ ϕ (xp0) es σ (M,M∗)-continuo. Supongamos ahora que p0 < 1 y tomemosψ ∈ T (T definido como en 4.1.2.) tal que

ϕ (1− p0) < ψ (1− p0) .

La idea es probar que existe un proyector no nulo p1 ≤ 1 − p0 tal que ϕ(p) < ψ(p) para todoproyector no nulo p ∈ M, p ≤ p1. Para empezar supongamos que no es cierto, entonces para todoproyector no nulo p ∈ M, p ≤ (1− p0) existe un proyector no nulo q tal que q ≤ p y ψ(q) ≤ ϕ(q).Tomemos un proyector maximal q0 tal que q0 ≤ 1− p0 y ψ(q0) ≤ ϕ(q0), entonces q0 = 1− p0. Pues,si q0 < 1 − p0 podemos elegir otro proyector no nulo q1 tal que q1 < 1 − p0 − q0 y ψ(q1) ≤ ϕ(q1).Luego,

ϕ (q0 + q1) = ϕ (q0) + ϕ (q1) ≥ ψ (q0 + q1) = ψ (q0) + ψ (q1) ,

y esto contradice la maximalidad de q0, por lo tanto

ϕ (1− p0) ≥ ψ (1− p0) .

Lo cual es absurdo. Finalmente podemos concluir que ϕ(p) < ψ(p) para todo proyector p nonulo, p ≤ p1. Mas aun, ϕ(q) ≤ ψ(q) para todo proyector q ≤ p1, Como el espectro de cualquierC∗-subalgebra abeliana maximal de p1Mp1 es stoneano (4.1.5), entonces todo elemento positivo dep1Mp1 se puede escribir como lımite uniforme combinaciones lineales finitas positivas de proyectoresen p1Mp1 (3.3.2). Se tiene entonces que ϕ(a) ≤ ψ(a) para a ∈ p1Mp1 (a ≥ 0). Luego,

|ϕ (x (p0 + p1))| ≤ |ϕ (xp0)|+ |ϕ (xp1)|≤ |ϕ (xp0)|+ ϕ(1)1/2ϕ (p1x

∗xp1)1/2

≤ |ϕ (xp0)|+ ϕ(1)1/2ψ (p1x∗xp1)

1/2 .

Esto prueba que la aplicacion x 7→ ϕ (x (p0 + p1)) es s (M,M∗)-continua y por 4.2.8 es σ (M,M∗)-continua. Este hecho contradice la maximalidad de p0. Es ası como podemos concluir que p0 = 1

tal como querıamos probar.

Como ya hemos mencionado anteriormente, el teorema anterior implica justamente el resultadoque motiva este trabajo. Si M∗ y M∗ son el dual y el predual de M respectivamente, como existeuna forma canonica de embeber a M∗ en M∗, se tiene que M∗ es un subespacio cerrado de M∗generado por T . Por otro lado, el teorema anterior nos muestra que T es el conjunto de todoslos funcionales lineales positivos normales. Como la condicion de normalidad esta determinada


A APENDICE: REPRESENTACION DE ALGEBRAS DE BANACH ABELIANAS

unicamente por la propiedad de orden sobreM, el espacioM∗ es unico. Pues, siM =M∗∗1 =M∗∗2para dos espacios de Banach M∗1,M∗2, entonces M∗1 = M∗2 vıa el embebimiento canonico deambos espacios en M∗. Luego, existe un unico espacio de Banach M∗ tal que M = M∗∗. Por lotanto, estamos en condiciones de enunciar el siguiente corolario.

Corolario 5.1.3. Sea M una W ∗-algebra. Luego, M tiene un unico predual M∗.

Observacion 5.1.4. Notemos que acabamos de mencionar una clase ((distinguida)) de espaciosde Banach. Es decir, acabamos de ver que hay espacios de Banach E para los cuales existe ununico espacio de Banach F tal que F ∗ = E. Por supuesto que la reflexividad de un espacio deBanach implica esta propiedad, pero lo curioso es que si una W ∗-algebra es reflexiva entonces esde dimension finita7. 4

A. Apendice: Representacion de algebras de Banach abelianas

Como ya hemos mencionado, en el ano 1939 Gelfand presento en [6] una representacion de lasalgebras de Banach abelianas en terminos de las algebras de funciones continuas sobre un espaciocompacto Hausdorff. La idea de este apendice es dar una prueba de este resultado tan importanteque permite obtener tambien una caracterizacion del mismo tipo para las C∗-algebras abelianas(3.2.1), la cual ha sido crucial en la demostracion de multiples resultados a lo largo de este trabajo.8

A.1. Caracteres y espectro de un algebra de Banach

Definicion A.1.1. Sea A un algebra de Banach, llamamos caracter de A a cualquier homomor-fismo τ : A → C, no nulo. Definimos entonces el espacio de caracteres de A como

Ω(A) := τ : A → C, τ es caracter .

Teorema A.1.2. Sea A un algebra de Banach abeliana y unital. Luego,

1. Si τ ∈ Ω(A), entonces ‖τ‖ = 1.

2. Ω(A) 6= ∅ y el mapa dado por τ 7→ ker(τ) define una biyeccion entre el espacio de caracteresde A y el conjunto de ideales maximales de A.

Antes de probarlo tengamos en cuenta los siguientes resultados:

Observacion A.1.3. Si τ ∈ Ω(A) entonces τ(1A) = τ(12A) = τ(1A)2. Pero τ(1A) 6= 0, por lo cual

τ(1A) = 1. Ademas, notemos que si τ ∈ Ω(A) y a ∈ gl(A) entonces,

a−1a = aa−1 = 1A ⇒ τ(a−1a) = τ(aa−1) = τ(1A) = 1,

y comoτ(a−1)τ(a) = τ(a−1a) = τ(aa−1) = τ(a)τ(a−1),

se tiene que τ(a) ∈ gl(C). Mas aun, τ(a) ∈ σ(a). Pues, si

a− 1Aτ(a) ∈ gl(A)⇒ τ (a− 1Aτ(a)) ∈ gl(C)⇒ τ (a)− τ(a)τ (1A) = 0 ∈ gl(C).

Absurdo!. Por lo tanto τ(a) ∈ σ(a). 47Este resultado fue probado por Sakai en Weakly compact operators on operator algebra. Pacific J. Math 14,

659-664, 1964.8Este apendice esta principalmente basado en el capıtulo 1 del libro de Murphy [10].


A.1 Caracteres y espectro de un algebra de Banach

Ahora sı estamos en condiciones de probar el teorema.

Demostracion. 1. Por la observacion anterior, τ(a) ∈ σ(a), entonces

|τ(a)| ≤ supλ ∈ σ(a)

|λ| = ρ(a) ≤ ‖a‖ .

Luego, ‖τ‖ ≤ 1. Pero como hemos probado en las observaciones previas, τ(1A) = 1 y por lotanto ‖τ‖ = 1, ∀τ ∈ Ω(A).

2. Veamos primero que la aplicacion τ 7→ ker(τ) define una biyeccion entre Ω(A) y el conjuntode ideales maximales de A. Para eso, supongamos que τ ∈ Ω(A) y notemos que Iτ = ker(τ)es un ideal cerrado y propio de A (τ es no nulo). Mas aun, Iτ es maximal en A, pues paratodo a ∈ A se tiene que

(a− τ(a)1A) ∈ Iτ ⇒ a = (a− τ(a)1A) + τ(a)1A.

Luego, A = Iτ + C1A.

Inyectividad:

Tomemos τ1, τ2 ∈ Ω(A), tales que ker(τ1) = ker(τ2). Entonces, como para cada a ∈ Asabemos que a− τ2(a)1A ∈ ker(τ2) = ker(τ1), entonces

τ1(a− τ2(a)1A) = 0⇒ τ1(a)− τ2(a)τ1(1A) = 0⇒ τ1(a) = τ2(a).

Suryectividad:

Tomemos un ideal maximal I ⊂ A. Luego, A = I + C1A y por eso podemos escribir acualquier elemento a de A como

a = λ1A + aI , (λ ∈ C, aI ∈ I) .

Definamos entonces τ : A → C, de la siguiente manera

τ(a) = τ(λ1A + aI) = λ.

Veamos rapidamente que τ es homomorfismo. Sean a = λ1A+aI ∈ A, b = β 1A+bI ∈ Ay α ∈ C, se tiene que

τ(αa+ b) = τ (α (λ1A + aI) + β 1A + bI) = τ (αλ1A + αaI + β 1A + bI)

= τ ((αλ+ β)1A + αaI + bI) = αλ+ β = ατ(a) + τ(b).

τ(ab) = τ ((λ1A + aI) (β 1A + bI)) = τ (λβ 1A + βaI + λbI + aIbI)

= λβ = τ(a)τ(b).

Ademas es claro que τ es no nulo y por lo tanto τ ∈ Ω(A). Hemos probado entonces,que la aplicacion τ 7→ ker(τ) define una biyeccion entre Ω(A) y el conjunto de idealesmaximales de A, es decir que ambos conjuntos son coordinables. Por esta razon, comoA es unital y por lo tanto tiene ideales maximales, podemos afirmar que Ω(A) 6= ∅.



Teorema A.1.4. Sea A un algebra de Banach abeliana. Luego,

1. Si A es unital, entonces ∀a ∈ A, σ(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A).

2. Si A no es unital, entonces ∀a ∈ A, σ(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A) ∪ 0.Demostracion. 1. Supongamos que A es unital, y tomemos λ ∈ σ(a). Entonces

a− λ1A /∈ gl(A)⇒ τ (a− λ1A) = 0⇒ τ(a) = λ ∈ C.

Por otro lado, ya hemos probado en A.1.3 que τ(a) ∈ σ(a) . Por lo tanto, para todo a ∈ A,

σ(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A) .

2. Si A no es unital, entonces podemos considerar A1 = A ⊕ C, (el algebra que se obtiene deadjuntarle el 1 a A) y definir τ∞ : A1 → C como el homomorfismo que aplica a cada elementoa + λ1 de A1 en λ. Notemos ademas, que cualquier caracter τ de A se puede extender demanera unica a un caracter de A1, como

τ(a+ λ1) = τ(a).

De este modo,Ω(A1) = τ : τ ∈ Ω(A) ∪ τ∞ ,

y aplicando la primera parte del teorema, se tiene que

σ(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A) ∪ τ∞(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A) ∪ 0 .

Observaciones A.1.5. Si A es un algebra de Banach abeliana, entonces Ω(A) esta contenido en labola unitaria cerrada de A∗. Si consideramos sobre A∗ la topologıa ∗-debil, entonces por el teoremade Banach-Alaoglu, la bola unitaria es compacta con esta topologıa. Como Ω(A) esta contenido enla bola unitaria de A, entonces podemos considerar a Ω(A) como un subespacio de la bola unitaria,respecto a la topologıa ∗-debil. Decimos que Ω(A) dotado con esta topologıa, es el espectro de A.4Teorema A.1.6. Si A es un algebra de Banach abeliana, entonces Ω(A) es localmente compactoHausdorff. Mas aun, si A es unital entonces Ω(A) es compacto Hausdorff.

Demostracion. A∗ dotado de la topologıa ∗-debil es un espacio de Haussdorff. Y como Ω(A) esun subespacio de A∗, entonces tambien es Haussdorff con la topologıa ∗-debil. Probemos que engeneral,

Ω(A) ∪ 0 ⊆ τ ∈ A∗ : ‖τ‖A∗ ≤ 1 ,es ∗-debil cerrado y por ser τ ∈ A∗ : ‖τ‖A∗ ≤ 1 ∗-debil compacto, resulta que Ω(A) es localmentecompacto. Para ello consideremos, τiI ⊆ Ω(A) ∪ 0 tal que, τi −−−−−→

∗−debilτ para algun τ ∈ A∗.

Luego, para a, b ∈ A y λ ∈ C se tiene que:

τ(αa+ b) = lımi∈I

τi(αa+ b) = lımi∈I

[ατi(a) + τi(b)] = α lımi∈I

τi(a) + lımi∈I

τi(b) = ατ(a) + τ(b).

τ(ab) = lımi∈I

τi(ab) = lımi∈I

τi(a)τi(b) = lımi∈I

τi(a) lımi∈I

τi(b) = τ(a)τ(b).

Hemos probado entonces que τ ∈ Ω(A)∪0. Por lo tanto Ω(A)∪0 es ∗-debil compacto. Ademases una compactificacion por un punto de Ω(A), lo cual implica que Ω(A) es localmente compacto.En caso que A sea unital, Ω(A) es ∗-debil cerrado en S y por lo tanto es compacto.


A.2 Transformada de Gelfand y teorema de representacion

A.2. Transformada de Gelfand y teorema de representacion

Observaciones A.2.1. Notemos que si A es no unital, Ω(A) podrıa ser vacıo (por ejemplo siA = 0). Supongamos entonces que A es un algebra de Banach abeliana, tal que Ω(A) 6= ∅.Luego, para cada a ∈ A definimos la aplicacion a : Ω(A) → C, dada por τ 7→ τ(a). Luego,a ∈ C (Ω(A)), porque si τiI ⊆ Ω(A) es tal que τi −−−→

Ω(A)τ ∈ Ω(A), entonces

a(τi) = τi(a) −→Cτ(a) = a(τ).

Mas aun, a ∈ C0 (Ω(A)). Pues, si ε > 0 y Kε := τ ∈ Ω(A) : |τ(a)| ≥ ε, entonces Kε es ∗-debilcerrado en A∗ y por lo tanto es ∗-debil compacto. De este modo se tiene que, si para ε > 0 existeKε ⊆ Ω(A) compacto y τ ∈ Ω(A)\Kε, entonces |a(τ)| = |τ(a)| < ε. Llamaremos a a ∈ C0 (Ω(A)),transformada de Gelfand de a ∈ A. 4

A.2.2. Teorema de representacion de Gelfand. Sea A un algebra de Banach abeliana, talque Ω(A) 6= ∅. Luego, existe un homomorfismo

Γ : A → C (Ω(A)) ,

que es decreciente en norma y ademas, ‖Γ(a)‖∞ = ρ(a) := sup |λ| : λ ∈ σ(a) (∀a ∈ A). Mas aun,para todo a ∈ A, si A es unital entonces σ(a) = a (Ω(A)) y si A es no unital, σ(a) = a (Ω(A))∪0.

Demostracion. Sean a, b ∈ Ω(A) y α ∈ C. Luego, si τ ∈ Ω(A) se tiene que

αa+ b(τ) = τ(αa+ b) = ατ(a) + τ(b) = αa(τ) + b(τ). Entonces, Γ (αa+ b) = αΓ (a) + Γ (b).

ab(τ) = τ(ab) = τ(a)τ(b) = a(τ )b(τ). Entonces, Γ (ab) = Γ (a) Γ (b).

Por lo tanto Γ es un homomorfismo. Si A es unital, por A.1.4 sabemos que

σ(a) = τ(a) : τ ∈ Ω(A) = a(τ) : τ ∈ Ω(A) = a(Ω(A)),

y si A es no unital, tambien por A.1.4 se tiene que

σ(a) = a(τ) : τ ∈ Ω(A) ∪ 0 = a(Ω(A)) ∪ 0,

y entonces, en ambos casos podemos decir que

‖a‖∞ = supτ ∈ Ω(A)

|a(τ)| = supτ ∈ Ω(A)

|τ(a)| = supλ ∈ σ(a)

|λ| = ρ(a) ≤ ‖a‖ .

De este modo, resulta que Γ es un homomorfismo contractivo.

Observacion A.2.3. Supongamos que A es un algebra de Banach abeliana, tal que para todoa ∈ A se tiene que ∥∥a2

∥∥ = ‖a‖2 .

y supongamos que para algun n ∈ N vale que∥∥a2n∥∥ = ‖a‖2

n

.



Luego,∥∥∥a2(n+1)∥∥∥2

=∥∥∥(a2(n+1)

)∗a2(n+1)

∥∥∥ =∥∥∥(a∗a)2(n+1)

∥∥∥2=∥∥∥(a∗a)2n

∥∥∥2= ‖(a∗a)‖2

(n+1)

= ‖a‖2(n+2)

,

entonces ∥∥∥a2(n+1)∥∥∥ = ‖a‖2

(n+1)

.

Por lo tanto, por el principio de induccion completa, para todo n ∈ N vale que∥∥a2n∥∥ = ‖a‖2

n

,

o equivalentemente ∥∥a2n∥∥ 1

2n = ‖a‖ .

Esto implica que para todo a ∈ A,

‖a‖ = lımn→∞

∥∥a2n∥∥ 1

2n = ρ(a) = ‖a‖∞ .

Es decir que si A es un algebra de Banach abeliana tal que∥∥a2∥∥ = ‖a‖2 (∀a ∈ A), entonces Γ es

una isometrıa. 4


BIBLIOGRAFIA - REFERENCIAS

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