1

SÜREKLİ ZAMAN FOURIER ANALİZİ

Fourier analizi titreşim olan her alanda gereken, mühendislikte çok önemli yöntemleri kapsar. Sürekli zaman

sinyallerinden periyodik olanlar üzerinde uygulanan Fourier serileri ve periyodik olan veya olmayanlar üzerinde

uygulanan Fourier dönüşümü başlıca iki hesap yöntemidir.

FOURİER SERİLERİ

𝑇0 ile periyodik bir 𝑥(𝑡) sinyali, çok özel istisnalara takılmıyorsa (Drichlet şartları denilen ve matematiksel bazı zorlamalar dışında pratikte parçalı sürekli hemen her sinyal için sağlanan şartları sağlıyorsa), ana frekansın tam

katı frekanslarda sinüzoidal dalgaların toplamı halinde ifade edilebilir. Dalganın bu şekilde ifadesine Fourier

serisi denir. Yani 𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ olmak üzere

𝑥(𝑡) =𝑎02+ (𝑎1 cos𝜔0𝑡 + 𝑏1 sin𝜔0𝑡) + (𝑎2 cos 2𝜔0𝑡 + 𝑏2 sin 2𝜔0𝑡) + (𝑎3 cos3𝜔0𝑡 + 𝑏3 sin 3𝜔0𝑡) + ⋯

biçiminde yazılabilen seridir. Sin ve cos fonksiyonlarının karmaşık üstel karşılığı da kullanılabilir. Yani Fourier

serisi gerçel ya da karmaşık biçimlerde gösterilebilir:

𝑥(𝑡) =𝑎02+∑𝑎𝑘 cos𝑘𝜔0𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=1⏟ gerçel gösterim

= ∑ 𝑐𝑘𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=−∞⏟ karmaşık gösterim

Burada, 𝑎0

2= 𝑐0 = ortalama değer = dc bileşen

𝑎1 cos𝜔0𝑡 + 𝑏1 sin𝜔0𝑡 = 𝑐−1𝑒−𝒋𝜔0𝑡 + 𝑐1𝑒

𝒋𝜔0𝑡 = temel bileşen = 1. harmonik

𝑎𝑘 cos𝑘𝜔0𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜔0𝑡 = 𝑐−𝑘𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡 + 𝑐𝑘𝑒

𝒋𝑘𝜔0𝑡 = k. harmonik diye adlandırılır.

Dikkat: Süreksizlik (ani sıçrama) noktalarında sinyalin asıl değeri ne tanımlanırsa tanımlansın, Fourier serisi,

sağdan ve soldan limitlerin ortalamasını verir.

Bir Soru

Kataloğunda 100 MHz’e kadar sabit bir kazançla ideal sayılabilecek bir kazançla çalıştığı söylenen doğrusal bir

yükselticinin girişine 30 MHz’lik ideal bir kare dalga uygulanırsa çıkışında ideal bir kare dalga mı elde edilir

yoksa bozulmuşu mu? Neden?

Cevap

30 MHz’lik kare dalganın Fourier serisinde 3. harmoniğe (90 MHz) kadarki bileşenler sınırın altında olduğundan

ideale yakın sabit kazançla yükseltilir. Sonraki harmonikler ise bozularak çıkışa ulaşır. Bu yüzden çıkışta

bozulmuş bir kare dalga görülür. Sinyalin yavaş değişen kısımları alçak frekans bileşenleriyle, hızlı değişen

kısımları ise yüksek frekans bileşenleriyle ifade edilir. Yüksek numaralı harmoniklerin bozulması bu yüzden kare

dalganın ani değişim civarında bozulmaya karşılık gelir.

Gerçel seriden karmaşık seriye geçiş

𝑎𝑘 cos𝑘𝜔0𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜔0𝑡 = 𝑎𝑘 (𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡 + 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡

2) + 𝑏𝑘 (

𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡 − 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡

𝒋2) = 𝑐−𝑘𝑒

−𝒋𝑘𝜔0𝑡 + 𝑐𝑘𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡

𝑐0 =𝑎02 , 𝑐𝑘 =

𝑎𝑘 − 𝒋𝑏𝑘2

, 𝑐−𝑘 =𝑎𝑘 + 𝒋𝑏𝑘

2 ; 𝑘 = 1,2,… ,+∞

Sinyal gerçel ise, tüm 𝑎𝑘 ve 𝑏𝑘 katsayıları gerçel olacağından, 𝑐−𝑘 = 𝑐𝑘∗ olur ( 𝒋𝑘 ayrılmaz ikilidir).

2

Karmaşık seriden gerçel seriye geçiş

𝑎0 = 2𝑐0 , 𝑎𝑘 = 𝑐𝑘 + 𝑐−𝑘 , 𝑏𝑘 = 𝒋(𝑐𝑘 − 𝑐−𝑘) ; 𝑘 = 1,2,… , +∞

Sinyal gerçel ise 𝑐−𝑘 = 𝑐𝑘∗ kullanılarak, 𝑎𝑘 = 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐𝑘} ve 𝑏𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐𝑘} bulunur.

Seri katsayılarının bulunması Gerçel seri katsayıları:

𝑎0 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

(ortalamanın 2 katı)

𝑎𝑘 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) cos𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡

𝑇0

𝑏𝑘 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡

𝑇0

Karmaşık seri katsayıları:

𝑐0 =1

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

(ortalama değer)

𝑐𝑘 =1

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

Bu integrallerde sınırlar yerine sadece alta 𝑇0 yazılmasının anlamı, keyfi bir p için demektir.

İspat: 𝑥(𝑡) ’nin Fourier serisi biçiminde yazılabildiği kabulüyle özel bir k için karmaşık seri katsayısının

formüldeki gibi olduğunu ispatlayalım. Formüldeki 𝑥(𝑡) yerine Fourier serisini karışmasın diye n ’e göre yazalım.

1

𝑇0∫ ( ∑ 𝑐𝑛𝑒

𝒋𝑛𝜔0𝑡

+∞

𝑛=−∞

) 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

= ∑ 𝑐𝑛 ∙ (1

𝑇0∫ 𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

)

+∞

𝑛=−∞

𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡 = cos((𝑛 − 𝑘)𝜔0𝑡) + 𝒋 sin((𝑛 − 𝑘)𝜔0𝑡)

olduğundan, 𝑛 = 𝑘 ise 1 olur ve 𝑇0 periyodu üzerinden

ortalaması da 1’dir. 𝑛 ≠ 𝑘 ise 𝑇0 periyodu içinde |𝑛 − 𝑘| adet tam sinüzoidal dalga içerir. Mesela |𝑛 − 𝑘| = 2 için yandaki şekildeki gibi olur ve 𝑇0 periyodu üzerinden ortalaması sıfırdır:

1

𝑇0∫ 𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

= { 1 𝑛 = 𝑘 ise0 𝑛 ≠ 𝑘 ise

Bunu yerine yazarsak, değişkeni 𝑛 olan toplamın sadece 𝑛 = 𝑘 durumu kalır:

∑ 𝑐𝑛 ∙ (1

𝑇0∫ 𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

)

+∞

𝑛=−∞

= 𝑐𝑘

𝑎𝑘 = 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐𝑘} ve 𝑏𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐𝑘} formülleri gereği gerçel seri katsayılarına geçiş ise açıkça görülmektedir.

𝑎0 ve 𝑐0 formülleri aslında 𝑘 = 0 için 𝑎𝑘 ve 𝑐𝑘 formülleriyle aynıdır. Ancak sinyalde sabit veya doğru rampa

gibi 𝑡𝑛 biçimli parça varsa genel 𝑎𝑘, 𝑏𝑘 veya 𝑐𝑘 formülleriyle yapılan ara hesaplamalar 𝑘 = 0’da belirsizlik veya tanımsızlık verebilmekte, fakat sonrasında bu belirsizlik veya tanımsızlık gözden kaçabilmektedir. Ara

hesaplamalarda herhangi bir 𝑘 için belirsizlik veya tanımsızlığın ilk çıktığı yerden bir önceki adımda o k değeri

yerine konulup o katsayılar buna göre ayrıca hesaplanmalıdır. Buna da en çok 𝑘 = 0’da karşılaşıldığı için 𝑎0 ve

𝑐0 formülleri ayrıca verilmiştir. Böyle bir belirsizlik veya tanımsızlık olmadığından eminsek buna gerek yoktur.

3

Dikkat: Bu integralleri hangi periyot üzerinden almak istiyorsak, önce o periyot için sinyalin fonksiyonu

yazılmalı, sonra integraller alınmalıdır. Her periyotta fonksiyonun analitik ifadesi değişebilir. Mesela ilk

örneğimizde rampa doğru parçalarından orijinden geçenin fonksiyonu 2𝑉𝑡 𝑇0⁄ iken, sağa doğru her bir periyottaki, 2V kadar daha eksiltilmişidir.

Örnek

Şekilde verilen 𝑇0 ile periyodik sinyali Fourier

serisine açmak için, 0 ≤ 𝑡 < 𝑇0 aralığında

𝑥(𝑡) = {

2𝑉

𝑇0𝑡 0 ≤ 𝑡 <

𝑇0

2

0𝑇0

2≤ 𝑡 < 𝑇0

fonksiyonunu yazıp, gerçel seri katsayıları formüllerini uygulayalım:

𝑎0 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

0

=2

𝑇0∫

2𝑉

𝑇0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

+2

𝑇0∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0 2⁄

= ∫4𝑉

𝑇02 𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

= [4𝑉

𝑇02

𝑡2

2]0

𝑇0 2⁄

=4𝑉

𝑇02

𝑇02

8= 𝑎0 =

𝑉

2

Kısaca, bir üçgenin alanını tam periyoda bölerek 𝑉 4⁄ ortalaması, bunun da 2 katı ile 𝑎0 bulunabilirdi.

𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ olmak üzere

𝑎𝑘 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0

0

=2

𝑇0∫

2𝑉

𝑇0𝑡 cos(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡⏟

𝑑𝑟 olsun

𝑇0 2⁄

0

+2

𝑇0∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0 2⁄

=4𝑉

𝑇02 [𝑡 ∙ 𝑟 − ∫𝑟𝑑𝑡]

0

𝑇0 2⁄

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑟 =1

𝑘𝜔0sin(𝑘𝜔0𝑡) → 𝑎𝑘 =

4𝑉

𝑇02 [

𝑡

𝑘𝜔0sin(𝑘𝜔0𝑡)]

0

𝑇0 2⁄

−4𝑉

𝑘𝜔0𝑇02 ∫ sin(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑎𝑘 =4𝑉

𝑇02

𝑇02𝑘𝜔0

sin(𝑘𝜔0 𝑇0 2⁄ ) − 0 +4𝑉

𝑘2𝜔02𝑇0

2[cos(𝑘𝜔0𝑡)]0

𝑇0 2⁄ , 𝜔0𝑇0 = 2𝜋 olduğu için:

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑎𝑘 =4𝑉

4𝑘𝜋sin(𝑘𝜋)⏟

0

+4𝑉

4𝑘2𝜋2[cos (𝑘𝜔0

𝑇02) − cos0] =

𝑉

𝑘2𝜋2[cos(𝑘𝜋)⏟

(−1)𝑘

− 1]

𝑎𝑘 = {

0 𝑘 ≠ 0 çift ise−2𝑉

𝑘2𝜋2𝑘 tek ise

→ 𝑎1 =−2𝑉

𝜋2 , 𝑎2 = 0 , 𝑎3 =

−2𝑉

9𝜋2 , 𝑎4 = 0 , 𝑎5 =

−2𝑉

25𝜋2 , …

𝑏𝑘 =2

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0

0

==2

𝑇0∫

2𝑉

𝑇0𝑡 sin(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡⏟

𝑑𝑟 olsun

𝑇0 2⁄

0

+2

𝑇0∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0 2⁄

=4𝑉

𝑇02 [𝑡 ∙ 𝑟 − ∫𝑟𝑑𝑡]

0

𝑇0 2⁄

𝑟 =−1

𝑘𝜔0cos(𝑘𝜔0𝑡) → 𝑎𝑘 =

4𝑉

𝑇02 [−𝑡

𝑘𝜔0cos(𝑘𝜔0𝑡)]

0

𝑇0 2⁄

+4𝑉

𝑘𝜔0𝑇02 ∫ cos(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

𝑏𝑘 =4𝑉

𝑇02 ∙

−𝑇02𝑘𝜔0

cos(𝑘𝜔0 𝑇0 2⁄ ) − 0 +4𝑉

𝑘2𝜔02𝑇0

2[sin(𝑘𝜔0𝑡)]0

𝑇0 2⁄ , 𝜔0𝑇0 = 2𝜋 olduğu için:

𝑏𝑘 = −4𝑉

4𝑘𝜋cos(𝑘𝜋)⏟ (−1)𝑘

+4𝑉

4𝑘2𝜋2[sin (𝑘𝜔0

𝑇02)

⏟ sin(𝑘𝜋)=0

− sin 0]

0

𝑇0 2⁄

=𝑉

𝑘𝜋(−1)𝑘+1

4

𝑏𝑘 = {

−𝑉

𝑘𝜋𝑘 çift ise

𝑉

𝑘𝜋𝑘 tek ise

→ 𝑏1 =𝑉

𝜋 , 𝑏2 =

−𝑉

2𝜋 , 𝑏3 =

𝑉

3𝜋 , 𝑏4 =

−𝑉

4𝜋 , …

Katsayıları yerine yazarsak, gerçel seri:

𝑥(𝑡) =𝑉

4−2𝑉

𝜋2(cos(𝜔0𝑡)

12+cos(3𝜔0𝑡)

32+cos(5𝜔0𝑡)

52+⋯) +

𝑉

𝜋(sin(𝜔0𝑡)

1−sin(2𝜔0𝑡)

2+sin(3𝜔0𝑡)

3− +⋯)

Karmaşık seriye geçiş yaparsak:

𝑐0 =𝑎02= 𝑐0 =

𝑉

4

𝑐𝑘 =𝑎𝑘 − 𝒋𝑏𝑘

2= 𝑐𝑘 = {

𝒋𝑉

2𝑘𝜋𝑘 çift ise

−𝑉

𝑘2𝜋2− 𝒋

𝑉

2𝑘𝜋𝑘 tek ise

𝑐−𝑘 = 𝑐𝑘∗ olduğundan, bu formül 𝑘 < 0 için de geçerlidir. Katsayıları yerine yazarsak, karmaşık seri:

𝑥(𝑡) = 𝑉 {⋯+ (−1

9𝜋2+ 𝒋

1

6𝜋)𝑒−𝒋3𝜔0𝑡 − 𝒋

1

4𝜋𝑒−𝒋2𝜔0𝑡 + (−

1

𝜋2+ 𝒋

1

2𝜋) 𝑒−𝒋𝜔0𝑡 +

1

4+ (−

1

𝜋2− 𝒋

1

2𝜋)𝑒𝒋𝜔0𝑡

+ 𝒋1

4𝜋𝑒𝒋2𝜔0𝑡 + (−

1

9𝜋2− 𝒋

1

6𝜋)𝑒𝒋3𝜔0𝑡 +⋯}

Örnek

Şekilde verilen 𝑇0 ile periyodik sinyali Fourier

serisine açmak için, 0 ≤ 𝑡 < 𝑇0 aralığında

𝑦(𝑡) = {𝑉 sin(𝜔0𝑡) 0 ≤ 𝑡 <

𝑇0

2

0𝑇0

2≤ 𝑡 < 𝑇0

fonksiyonunu yazıp, karmaşık seri katsayıları formüllerini uygulayalım. 𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ olmak üzere:

𝑐𝑘 =1

𝑇0∫ 𝑦(𝑡)𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

0

=1

𝑇0∫ 𝑉 sin(𝜔0𝑡) 𝑒

−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

+1

𝑇0∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0 2⁄

𝑐𝑘 =1

𝑇0∫ 𝑉 (

𝑒𝒋𝜔0𝑡 − 𝑒−𝒋𝜔0𝑡

𝒋2) 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

=𝑉

𝒋2𝑇0∫ 𝑒−𝒋(𝑘−1)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

−𝑉

𝒋2𝑇0∫ 𝑒−𝒋(𝑘+1)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

𝑐𝑘 =𝑉

−𝒋(𝑘 − 1)𝜔0𝒋2𝑇0[𝑒−𝒋(𝑘−1)𝜔0𝑡]

0

𝑇0 2⁄−

𝑉

−𝒋(𝑘 + 1)𝜔0𝒋2𝑇0[𝑒−𝒋(𝑘+1)𝜔0𝑡]

0

𝑇0 2⁄ , 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil)

𝜔0𝑇0 = 2𝜋 olduğu için:

𝑐𝑘 =𝑉

4𝜋[𝑒−𝒋(𝑘−1)𝜔0𝑇0 2⁄

⏞ 𝜋

− 𝑒0

𝑘 − 1−𝑒−𝒋(𝑘+1)𝜔0𝑇0 2⁄

⏞ 𝜋

− 𝑒0

𝑘 + 1] , 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil)

𝑒−𝒋(𝑘∓1)𝜋 = (−1)𝑘∓1 = (−1)𝑘−1 olduğundan,

5

𝑐𝑘 =𝑉

4𝜋[(−1)𝑘−1 − 1] [

1

𝑘 − 1−

1

𝑘 + 1] =

𝑉

4𝜋[(−1)𝑘−1 − 1]

2

𝑘2 − 1 , 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil)

𝑐𝑘 = {

−𝑉

𝜋(𝑘2 − 1)𝑘 çift ise

0 𝑘 tek ise (𝑘 ≠ ∓1)

𝑘 = 0 dahil olduğundan 𝑐0 =𝑉

𝜋

Burada yarım dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın ortalama değeri (dc bileşeni) 𝑐0 üzerinde biraz duralım.

Tam dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın dc bileşeni bunun 2 katı olur. AC voltmetrelerin en ilkel olanları,

gerçekten etkin (rms) değer ölçmez; sensörü dc voltmetredir ve ac gerilimi bir diyot ile yarım dalga doğrultarak

dc voltmetreden geçirir. Bu değeri rms değere (𝑉 √2⁄ ) dönüştürmek için 𝜋 √2⁄ ≈ 2,2 katsayısıyla çarpılmış olarak göstergeye iletir. Bunları anlamak için ac voltmetre kademesinde dc gerilim, mesela bir pil, ölçeriz. Bir

yönde sıfır volt veya diğer yönde dc voltajın 2,2 katını göstermesinden, bunun ilkel bir voltmetre olduğunu

anlarız. Bunların ac voltmetre kademesine sinüzoidal dalgalar için güvenebiliriz ama diğer dalgalar için ölçüm

geçersizdir. Tam dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın dc bileşeni bunun 2 katı olur.

Çözüme devam edelim. Henüz 𝑘 = ∓1 için 𝑐𝑘’yı bulmamıştık. Belirsizlik veya tanımsızlığın ilk çıktığı yerden

hemen önceki adımda 𝑘 = 1 yazarak devam edelim:

𝑐1 =𝑉

𝒋2𝑇0∫ 𝑒−𝒋0𝜔0𝑡⏟

1

𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

−𝑉

𝒋2𝑇0∫ 𝑒−𝒋2𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

=𝑉

𝒋2𝑇0

𝑇02−

𝑉

𝒋2𝑇0∫ cos(2𝜔0𝑡) − 𝒋 sin(2𝜔0𝑡) ⏟

periyodu 𝑇0 2⁄ olduğu için

bu sınırlarda integrali sıfır

𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

𝑐1 =𝑉

𝒋4= −𝒋

𝑉

4 → 𝑐−1 = 𝑐1

∗ = 𝑐−1 =𝑉

−𝒋4= 𝒋

𝑉

4

Bu sinyalin gerçel serisini yazmak bizim için daha anlamlı olacaktır:

𝑎𝑘 = 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐𝑘} = 𝑎𝑘 = {

−2𝑉

𝜋(𝑘2 − 1)𝑘 çift ise

0 𝑘 tek ise

, 𝑎0 =2𝑉

𝜋

𝑏𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐𝑘} → 𝑘 ≠ 1 için 𝑏𝑘 = 0 ve 𝑏1 =𝑉

2

Katsayılar yerine konulup gerçel seri yazılırsa:

𝑦(𝑡) =𝑉

𝜋+𝑉

2sin(𝜔0𝑡) −

2𝑉

𝜋(cos(2𝜔0𝑡)

3+cos(4𝜔0𝑡)

15+cos(6𝜔0𝑡)

35+⋯)

Dikkat edilirse temel bileşen hariç, ki o da sadece sin terimidir, tek numaralı harmonik yoktur. Bunun sebebini

daha sonra belirteceğiz; şimdilik sadece dikkat çekmekle yetinelim.

Simetri özellikleri

1) Sinyal tek ise:

Gerçel seri sadece sin terimlerinden oluşur. Yani gerçel seride 𝑎0 = 𝑎𝑘 = 0 ∀𝑘 ve sinyal gerçel ise karmaşık

seride 𝑐𝑘 daima sanal olur. 𝑏𝑘 integrali ise keyfi bir aralık değil, sıfırdan itibaren yarı periyot üzerinden basitleşir:

6

𝑏𝑘 =4

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

= 𝒋2𝑐𝑘

2) Sinyal çift ise:

Seri sadece cos terimlerinden oluşur. Yani gerçel seride 𝑏𝑘 = 0 ∀𝑘 ve sinyal gerçel ise karmaşık seride 𝑐𝑘

daima gerçel olur. 𝑎𝑘 integrali ise keyfi bir aralık değil, sıfırdan itibaren yarı periyot üzerinden basitleşir:

𝑎0 =4

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

= 2𝑐0 , 𝑎𝑘 =4

𝑇0∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔0𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

0

= 2𝑐𝑘

3) Sinyal tek harmonik simetrili ise:

Bu simetriyi tek sinyallerle karıştırmamak gerekir. Tek harmonik simetrisi, sinyalin her bir yarı periyodunun,

komşu yarı periyottakinin zıt işaretlisi olmasıdır:

𝑥(𝑡 +𝑇02) = −𝑥(𝑡) ∀𝑡

Yataydaki kayma bu simetriyi değiştirmez.

Bu sinyallerde sadece tek harmonik bulunur.

Yani çift k ’lar için

𝑎0 = 𝑐0 = 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 = 𝑐𝑘 = 0

Tek k ’lar için ise tüm katsayı formüllerindeki integraller herhangi bir yarı periyot için alınıp 2’yle çarpılarak

basitleştirilebilir.

Tek harmonik simetrili bir sinyalin ortalama değeri sıfırdır. Elektrik işlerinde karşılaşılan sinyallerin pek çoğu bu

simetriye sahiptir. Simetrik kare ve üçgen dalga, trafo boşta çalışma akımı, güç elektroniği devreleri ile kıyılmış

pek çok dalga vb.

Dikkat: Bazen sinyal bu simetrilerden birine doğrudan sahip olmasa da, bir sabit farkıyla bu simetrilerin bir veya

ikisine sahip bir sinyal cinsinden ifade edilebilir. Bu durumda, sabit terim dışındaki katsayılar için simetri

kolaylıklarından faydalanılabilir.

Örnek

Aşağıda solda görülen 𝑇0 = 2𝜋 periyotlu 𝑦(𝑡) sinyali, ne tektir, ne çifttir, ne de tek harmonik simetrilidir. Fakat

1 eksiltilerek elde edilen 𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 1 sinyali, aşağıda sağda görüldüğü gibi hem tektir, hem de tek harmonik

simetrilidir. 𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ = 1

−𝜋

2≤ 𝑡 <

3𝜋

2 aralığında 𝑥(𝑡) = {

2

𝜋𝑡 −

𝜋

2≤ 𝑡 <

𝜋

2

−2

𝜋𝑡 + 2

𝜋

2≤ 𝑡 <

3𝜋

2

𝑦(𝑡) = 1⏟𝑎0 2⁄

+∑𝑏𝑘 sin(𝑘𝑡)

+∞

𝑘=1⏟ 𝑥(𝑡)

7

Burada 𝑏𝑘 bulunurken simetri kolaylığından faydalanmak için formüllerde 𝑥(𝑡) sinyali kullanılmalıdır. Aşağıda tek sinyale göre kolaylık formülü solda, tek harmonik simetrisine göre kolaylık formülü sağda verilmiştir. Soldaki

iki parçalı, sağdaki tek parçalı integral olduğu için, tek harmonik simetrisine göre olanla devam edelim:

𝑏𝑘 =4

2𝜋∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝑡)𝑑𝑡

𝜋

0

=4

2𝜋∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝑡)𝑑𝑡

𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

𝑏𝑘 =2

𝜋∫2

𝜋𝑡 sin(𝑘𝑡) 𝑑𝑡⏟

𝑑𝑟

𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

, 𝑟 = −1

𝑘cos(𝑘𝑡)

𝑏𝑘 =4

𝜋2[𝑡 ∙ 𝑟 − ∫𝑟𝑑𝑡]

−𝜋 2⁄

𝜋 2⁄

=4

𝜋2[−𝑡

𝑘cos(𝑘𝑡)]

−𝜋 2⁄

𝜋 2⁄

⏟ 0

+4

𝑘𝜋2∫ cos(𝑘𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

=4

𝑘2𝜋2[sin(𝑘𝑡)]−𝜋 2⁄

𝜋 2⁄

𝑏𝑘 =4

𝑘2𝜋2[sin(𝑘𝜋 2⁄ ) − sin(−𝑘𝜋 2⁄ )] =

8

𝑘2𝜋2sin(𝑘𝜋 2⁄ ) = 𝑏𝑘 =

{

0 𝑘 çiftse8

𝑘2𝜋2𝑘 = 4𝑛 + 1 ise

−8

𝑘2𝜋2𝑘 = 4𝑛 − 1 ise

Katsayılar yerine yazılırsa:

𝑦(𝑡) = 1 +8

𝜋2(sin(𝑡)

12−sin(3𝑡)

32+sin(5𝑡)

52− +⋯)

Parseval Eşitliği (Fourier serileri için) Akım, gerilim, basınç, kuvvet, hız, elektrik alan, manyetik alan gibi, karesi güç ile orantılı olan sinyaller ile

ortalama güç hesabında, “kare ortalamasının karekökü (rms = root mean square)” kullanılır. Parseval eşitliğine

göre gerçel bir sinyal için rms değer, her bir frekans bileşeninin rms2’lerinin toplamının kareköküdür. Yani son

karekökü almadan (rms2 olarak) yazılırsa:

rms2 =1

𝑇0∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡

𝑇0

=𝑎02

4+∑

𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2

2

+∞

𝑘=1

= ∑ |𝑐𝑘|2

+∞

𝑘=−∞

İspat: Karmaşık seri üzerinden ispatlayalım.

rms2 =1

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑥∗(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

=1

𝑇0∫ ( ∑ 𝑐𝑛𝑒

𝒋𝑛𝜔0𝑡

+∞

𝑛=−∞

)( ∑ 𝑐𝑘𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=−∞

)

∗

𝑑𝑡

𝑇0

Burada 𝑥(𝑡) ve eşleniği yerine Fourier seri karşılıklarını birinde n diğerinde k indisiyle yazmamızın nedeni, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini kullanırken terimlerin karışmamasıdır.

rms2 = ∑ ∑ 𝑐𝑛𝑐𝑘∗1

𝑇0∫ 𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

+∞

𝑘=−∞

+∞

𝑛=−∞

Daha önce gösterildiği gibi

8

1

𝑇0∫ 𝑒𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0

= { 1 𝑛 = 𝑘 ise0 𝑛 ≠ 𝑘 ise

Bunu yerine yazarsak, değişkeni 𝑛 olan toplamın sadece 𝑛 = 𝑘 durumları kalacağından:

rms2 = ∑ 𝑐𝑘𝑐𝑘∗

+∞

𝑘=−∞

= ∑ |𝑐𝑘|2

+∞

𝑘=−∞

Gerçel seri için ispat ise buradan geçişle bulunabilir.

rms2 = ∑ |𝑐𝑘|2

+∞

𝑘=−∞

= 𝑐02 +∑(𝑐𝑘𝑐𝑘

∗ + 𝑐−𝑘𝑐−𝑘∗ )

+∞

𝑘=1

= (𝑎02)2

+∑{(𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘)

2

(𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘)∗

2+(𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘)

2

(𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘)∗

2}

+∞

𝑘=1

=𝑎02

4+∑{

𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2

4+𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2

4}

+∞

𝑘=1

=𝑎02

4+∑

𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘

2

2

+∞

𝑘=1

Örnekler

Sinyal rms değer

𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴 cos𝜙 cos(𝜔𝑡) − 𝐴 sin𝜙 sin(𝜔𝑡) √(𝐴 cos𝜙)2 + (−𝐴 sin 𝜙)2

2=𝐴

√2

3 + 7 sin(𝜔𝑡) + 8 cos(𝜔𝑡) √32 +72 + 82

2

−4 + 10sin(𝜔1𝑡 + 60°) + 6 cos(𝜔1𝑡) − 7 sin(𝜔2𝑡)

= −4 + (5√3 + 6) cos(𝜔1𝑡) + 5 sin(𝜔1𝑡) − 7 sin(𝜔2𝑡) √42 +

(5√3 + 6)2+ 52 + 72

2

Periyodik Olmayan Sinyaller İçin Fourier Serisi Periyodik olmayan bir sinyalin Fourier serisi olmaz. Ancak, bu sinyalin ilgilendiğimiz bir zaman aralığında bu

sinyale eşit olan periyodik bir sinyal tanımlarsak, o periyodik sinyalin Fourier serisini, ilgilenilen zaman

aralığında periyodik olmayan sinyal için kullanabiliriz.

Örnek

Yandaki periyodik olmayan

𝑥(𝑡) sinyali için, −𝑇0

2≤ 𝑡 <

𝑇0

2

aralığında geçerli bir

Fourier serisi bulalım.

Bunun için 𝑇0 ile periyodik ve

−𝑇0

2≤ 𝑡 <

𝑇0

2⇒ �̂�(𝑡) = 𝑥(𝑡)

olan bir �̂�(𝑡) sinyali tanımlıyoruz. Bunu karmaşık Fourier serisine açalım. Her ne kadar sinyal çift ise de bu

9

örneğe özel, simetri özelliğini kullanmadan daha kolay bulunmaktadır. 𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ olmak üzere

𝑐𝑘 =1

𝑇0∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

−𝑇0 2⁄

=1

𝑇0∫ 1 ∙ 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇1

−𝑇1

=1

𝑇0[𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡

−𝒋𝑘𝜔0]−𝑇1

𝑇1

; 𝑘 ≠ 0

𝑐𝑘 =−𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑇1 + 𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑇1

𝒋𝑘 𝜔0𝑇0⏟2𝜋

=𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑇1 − 𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑇1

𝒋2𝑘𝜋=1

𝑘𝜋sin(𝑘𝜔0𝑇1) = 𝑐𝑘 ; 𝑘 ≠ 0

Burada sinc(𝑝) = {sin 𝑝

𝑝𝑝 ≠ 0

1 𝑝 = 0 fonksiyon

tanımını kullanalım. Dikkat edilirse 𝑝 = 0’daki

tanım, 𝑝 → 0 limit değerine eşit olduğundan

sinc(𝑝) fonksiyonu süreklidir. p ’nin sıfır hariç, π’nin tam katlarında sıfırdan geçen ve genliği iki

yönde azalan bir fonksiyondur.

𝑐𝑘’yı sinc fonksiyonuyla ifade etmeye çalışalım:

𝑘 ≠ 0 ⇒ 𝑐𝑘 =sin(2𝑘𝜋𝑇1 𝑇0⁄ )

2𝑘𝜋 𝑇1 𝑇0⁄∙2𝑇1𝑇0

𝑐0 ortalama değer olduğu için 𝑐0 = 2𝑇1 𝑇0⁄ olduğu kolayca görülür. Buna göre 𝑘 = 0 da dahil olmak üzere:

𝑐𝑘 =2𝑇1𝑇0sinc(2𝑘𝜋𝑇1 𝑇0⁄ ) �̂�(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒

𝒋𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=−∞

Dikkat edilirse 𝑇0 = 4𝑇1 olduğunda, �̂�(𝑡) yatayda simetrik bir kare dalga olur. Ayrıca ortalama değeri (1 2⁄ ) kadar eksiltilirse tek harmonik simetrisine de sahip olur. Zaten bu durumda k’nın çift değerlerinde sinc içi π’nin

tam katları olur. Yani 𝑐0 hariç çift k’lar için 𝑐𝑘 = 0 olur.

Spektrum Çizimleri Bir büyüklüğün frekansa karşı çizilmesidir. Frekans yerine harmonik numarası kullanılarak ayrık bir çizim de

olabilir. [0,+∞) frekans aralığında çizilebileceği gibi, özellikle karmaşık Fourier serisi ve Fourier

dönüşümündeki gibi eksi ve artı frekanslar ayrı harmonikler gibi düşünülerek (−∞,+∞) aralığında da çizilebilir. Mesela bir fotodiyodun hangi frekanslardaki ışığa ne derece duyarlı olduğunun grafiği, LED ışığın hangi

renklerde ne kadar yoğunlaştığının grafiği, yükselticinin hangi frekanslara ne kadar kazanç ve faz kayması

uyguladığının grafiği gibi.

Örnek: 0,sinmax)( ttx sinyalinin gerçel Fourier seri katsayıları spektrumunu çizelim.

Daha önce yapılan örnekte 𝑉 = 1 ve 𝜔0 = 1

(𝑇0 = 2𝜋) alınıp adına 𝑥(𝑡) denilmiştir.

Temel bileşen yanda kesikli çizgiyle

gösterilmiştir.

Gerçel seri katsayıları 𝑎𝑘 ve 𝑏𝑘 çizilebilir:

1

000 )sin()cos(

2)(

k

kk tkbtkaa

tx

10

Burada 1. harmonik sadece tb sin1 teriminden ibarettir ve bunun dışında tek harmonik bulunmamaktadır. Bunun

da nedeni, eğer bu 1. harmonik sinyalden çıkarılırsa elde kalan kısmın ( tbtxty sin)()( 1 ) çift harmonik

simetrisine ( ttyT

ty )()2

( 0 ) sahip olmasıdır ki bu da aşağıda gösterildiği gibi o kısmın periyodunun 20T

olduğu anlamına gelir. Ayrıca 1. harmonik teriminden başka sin terimi yoktur. Çünkü aşağıdaki şekilden

görüldüğü gibi 1. harmonik çıkartılınca kalan kısım )(ty çifttir.

Çift harmonik simetrisi, periyodun ana periyodun

2 katı alınmasıyla aynı anlama gelmektedir.

Böylece ana frekansın hep çift katlarında

harmonikler varmış gibi düşünülür. Çift harmonik

simetrisi bu yüzden karışıklığa yol açar ve bundan

pek bahsedilmez; ancak bu örnekteki gibi bir

sinyalin bileşeni olarak anlamı vardır.

İstenirse yandaki gibi her bir harmoniğin genliği olan

22

kk ba değerlerini de k ’ya karşı çizebiliriz.

Soldaki gibi kc ’nın gerçel ve sanal

kısımları da çizilebilir, fakat bu pek

tercih edilmez.

11

Genellikle |𝑐𝑘| ve ∡𝑐𝑘 açısı (derece) tercih edilir:

Sanal kısım sıfır ise tek bir çizimle kc çizilebilir. Bunu sıradaki konudaki örnek üzerinde göreceğiz.

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ

Fourier Serisinden Fourier Dönüşümüne Geçiş

Anlatım örneği olarak,

şekildeki �̂�(𝑡) sinyalinin daha önce bulduğumuz

�̂�(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=−∞

; 𝑐𝑘 =2𝑇1𝑇0sinc(2𝑘𝜋𝑇1 𝑇0⁄ )

karmaşık Fourier seri katsayılarının spektrumunu inceleyelim (𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ ).

Gerçel olduğu için kc katsayılarının spektrumu tek bir çizimle gösterilebilir. Ancak biz şimdi aynı 1T , farklı 0T

değerleri için bu spektrumun nasıl değiştiğine bakalım. Sırasıyla 101 4TT , 102 8TT ve 103 16TT için kc

spektrumunu k değerlerine karşı çizelim:

12

Görüldüğü gibi 0T artarken genlik azalmakta ve spektrum yüksek harmonik numaralarına doğru genişleyerek

yayılmaktadır.

Şimdi de bu üç spektrumu yatay ve düşey eksenleri farklı ölçeklerle çizelim. Düşey eksen 0Tck , yatay eksen ise

0 k diye adlandıracağımız yeni bir büyüklük olsun. Çizimler arasında 0T değişirken 0 da değişecek fakat

1T değişmeyecektir. Bu yüzden 1T değerine göre büyüklükleri karşılaştırmak yerinde olacaktır. Önceki üç ve

sonraki üç grafikteki eksenlerdeki sayısal değerler 11 T içindir.

13

111010110 sinc2sinc22sinc2 TTTkTTTkTTck

olacaktır. Çizimler şöyle olur:

Görüldüğü gibi 0T artarken 0Tck , genliği ve genişliği aynı olan bir zarf fonksiyonuna yakınsamaktadır.

0T ’a giderken bu kesikli çizim, sürekli bir fonksiyona yakınsar. İşte bu fonksiyon, 0T durumunda

artık periyodik olmayan )(tx ’nin Fourier dönüşümü olarak tanımlanır.

14

Yani aşağıda soldaki )(tx sinyalinin Fourier dönüşümü sağdaki 𝑋(𝜔) fonksiyonudur:

Fourier Dönüşümü ve Ters Fourier Dönüşümü, Anlam ve Formülleri

Periyodik sinyallerin içindeki frekans bileşenlerinin, ana frekansın tam katı frekanslarda olduğunu Fourier serileri

ile görmüştük. Peki periyodik olmayan sinyaller için frekans bileşenlerinden bahsedilebilir mi? Mesela bir

arabanın taşlı bir yolda giderken maruz kaldığı titreşimlerin frekansından bahsedebilir miyiz? Bu titreşimler

periyodik değildir, ancak araba hızlanırsa kuşkusuz titreşimler sıklaşacaktır. “Sıklık” kelimesinin eş anlamlısı

“frekans” olduğuna göre demek ki bahsedebilmeliyiz.

Periyodik olmayan bir 𝑥(𝑡) sinyali için bir Fourier serisi kullanabilmek için, ilgilendiğimiz aralıkta o sinyale eşit,

o aralığın dışında da periyodik bir �̂�(𝑡) sinyali tanımlayıp onun Fourier serisini ilgilendiğimiz aralık için ilk sinyal

yerine kullanabiliyorduk. �̂�(𝑡) sinyalini, (−𝑇0 2⁄ , 𝑇0 2⁄ ) aralığında 𝑥(𝑡) ’ye eşit ve 𝑇0 ile periyodik olarak

tanımlarsak, ve lim 𝑇0 → ∞ için �̂�(𝑡)’yi Fourier serisine açarsak, tüm zamanlarda 𝑥(𝑡)’ye eşit olacağından,

aradığımız frekans bileşenlerini bulacağımızı düşünebiliriz. Ancak bu durumda ana frekans 𝜔0 = 2𝜋 𝑇0⁄ sonsuz küçük olacağından, bunun katlarındaki frekans bileşenleri sonsuz küçük frekans adımlarıyla bulunacaktır. Bu iyi

bir şeydir; 𝑘𝜔0 = 𝜔 tanımıyla sürekli bir frekans değişkenine göre incelemek mümkün olur. Fakat lim 𝑇0 → ∞ için seri katsayıları, yani frekans bileşenlerinin katsayıları da genellikle sonsuz küçük olacaktır. Farklı sinyallerin

frekans bileşenlerini karşılaştırmak için bu haliyle kullanışsızdır. Ama katsayıların 𝑇0 ile çarpılması, onları

karşılaştırılabilir büyüklüklere getireceğinden, �̂�(𝑡) ’nin karmaşık Fourier seri katsayılarının 𝑇0 ile çarpımı olan

𝑐𝑘𝑇0 ’ın 𝜔 = 𝑘𝜔0 = 2𝑘𝜋 𝑇0⁄ tanımıyla lim 𝑇0 → ∞ hali, ilk sinyalimiz 𝑥(𝑡) ’nin Fourier dönüşümü olarak

tanımlanır ve 𝑋(𝜔) şeklinde gösterilir.

𝑐𝑘𝑇0 = ∫ �̂�(𝑡)⏟𝑥(𝑡)

𝑒−𝒋𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇0 2⁄

−𝑇0 2⁄

→ ℱ{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝒋𝜔𝑡𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

Dikkat: Fourier dönüşümü, Fourier serisinin limit hali değildir! Seri katsayılarının limit halinin yatay ve düşey

eksenlerde ölçeklendirilmiş halidir. Fourier serisinin limit hali ise ters Fourier (ℱ−1) dönüşümü olarak tanımlanır.

�̂�(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝒋𝑘𝜔0𝑡

+∞

𝑘=−∞

=1

2𝜋∑ (𝑐𝑘𝑇0)𝑒

𝒋𝑘𝜔0𝑡2𝜋

𝑇0⏟𝜔0

+∞

𝑘=−∞

𝜔 = 𝑘𝜔0 ve lim 𝑇0 → ∞ için, �̂�(𝑡) → 𝑥(𝑡) , (𝑐𝑘𝑇0) → 𝑋(𝜔) , 𝜔0 → 𝑑𝜔 (𝜔’daki sonsuz küçük bir adımlık değişim) ve

∑ →

+∞

𝑘=−∞

∫

+∞

𝜔=−∞

olacağından,

ℱ−1{𝑋(𝜔)} = 𝑥(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝑋(𝜔)𝑒𝒋𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

𝜔=−∞

15

𝑥(𝑡) ile 𝑋(𝜔) arasındaki ilişki, şu şekillerde de gösterilebilir:

Fourier dönüşümü, periyodik olan veya olmayan sinyallerin frekans analizi için kullanılır. Zaman uzayındaki

(domain = tanım kümesi) bir sinyalin, frekans uzayındaki (domenindeki) karşılığını verir. Dönüşüm genellikle

aynı fonksiyon sembolünün büyük harfle yazılmasıyla gösterilir. Frekans uzayında zaman değişkeni yoktur,

frekans değişkeni 𝜔 vardır (rad/s).

Fourier dönüşümünün kutupsal gösterimdeki mutlak değeri ve açısı sırasıyla, sinyalin frekans bileşenlerinin hangi

frekansta ne kadar yoğunlaştığını ve ne kadar faz kaymasına maruz kaldığını verir. 𝑥(𝑡) ’deki yavaş değişen

bileşenler, |𝑋(𝜔)| ’da sıfır frekans civarında kendini gösterir. Hızlı değişen bileşenler ise |𝑋(𝜔)| ’da + – yüksek frekanslarda kendini gösterir.

Örnek 1:

ℜ𝑒{𝑎} > 0 olmak üzere 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡) sinyalinin Fourier dönüşümünü bulalım:

ℱ{𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡)} = 𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝒋𝜔𝑡𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡)⏟𝑡 0

Örnek 2:

ℜ𝑒{𝑎} > 0 olmak üzere 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑎|𝑡| sinyalinin Fourier dönüşümünü bulalım:

ℱ{𝑒−𝑎|𝑡|} = 𝑌(𝜔) = ∫ 𝑒−𝑎|𝑡|𝑒−𝒋𝜔𝑡𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑒(𝑎−𝒋𝜔)𝑡𝑑𝑡

0

𝑡=−∞

+ ∫ 𝑒−(𝑎+𝒋𝜔)𝑡𝑑𝑡

+∞

𝑡=0⏟ 1 (𝑎+𝑗𝜔)⁄

𝑌(𝜔) =1

(𝑎 + 𝒋𝜔)+ [𝑒(𝑎−𝒋𝜔)𝑡

𝑎 − 𝒋𝜔]𝑡=−∞

0

=1

(𝑎 + 𝒋𝜔)+

1

(𝑎 − 𝒋𝜔)(1 − lim

𝑡→−∞𝑒(𝑎−𝒋𝜔)𝑡

⏟ 0

)

𝑌(𝜔) =1

𝑎 + 𝒋𝜔+

1

𝑎 − 𝒋𝜔=

2𝑎

𝑎2 + 𝜔2

Şimdi son iki örnekteki iki sinyali, hem zaman hem frekans uzaylarında karşılaştıralım. Gerçel a için 𝑌(𝜔) gerçel

olduğundan tek bir çizimle gösterilebilir. 𝑋(𝜔) ise karmaşık olduğundan kutupsal gösterimdeki mutlak değeri |𝑋(𝜔)| ve açısı ∡𝑋(𝜔) ile gösterilecektir.

16

𝑦(𝑡) sinyali, 𝑥(𝑡) sinyalinin sıfırdan farklı kısmının simetriğini de içerdiği için, yavaş değişen bileşenleri

𝑥(𝑡)’dekinin 2 katıdır. Bu yüzden sıfır frekansta |𝑌(0)| = 2 ∙ |𝑋(0)| .

𝑦(𝑡) sinyali ani değişim içermemektedir; sadece 𝑡 = 0’daki türevinde ani değişim vardır. 𝑥(𝑡) sinyali ise 𝑡 = 0

anında ani değişim gösterdiği için hızlı değişen bileşenleri 𝑦(𝑡)’dekinden daha çoktur. Bu yüzden artı ve eksi

yüksek frekanslarda |𝑋(𝜔)| > |𝑌(𝜔)| .

Fourier Dönüşümünün Mevcudiyeti için Şartlar Fourier dönüşümü için Drichlet şartları denilen şu 4 şartın tümünü sağlayan sinyallerin Fourier dönüşümü

alınabilir:

1) ∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡

+∞

−∞

< ∞ (yani sonlu) olmalı.Mesela 𝑢(𝑡) gibi olmamalı.

2) ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡

+∞

−∞

< ∞ olmalı.Mesela 𝛿(𝑡) gibi olmamalı.

3) Her sonlu zaman aralığındaki ekstremum (maksimum, minimum ve büküm) nokta sayısı sonlu olmalı.

4) Her sonlu zaman aralığındaki süreksizlik nokta sayısı sonlu olmalı.

Bunlar yeterlilik şartlarıdır, gereklilik değil. Bu şartları sağlamayan bazı sinyallerin de Fourier dönüşümü

alınabilmektedir. Mesela bahsi geçen 𝑢(𝑡) ve 𝛿(𝑡) sinyalleri tüm şartları sağlamasa da Fourier dönüşümleri mevcuttur.

…….