76 Organi di trasmissione - maggio 2010

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Progettazione ottimizzatadi alberi e cuscinettiKISSsoft AG offre uno strumento versatile per il calcolo degli alberi, tenendo in considerazione gli effetti non lineari della geometria interna dei cuscinetti volventi.

Data la crescente importanza del time-to-market e del design-to-cost, è sempre più necessario che i singoli elementi di macchina, già nella fase iniziale del loro di-mensionamento, vengano studia-

ti anche tenendo conto di come essi interagiscono col sistema in cui vengono inseriti e utilizzati.So� ware di calcolo moderni e a� dabili portano, se a� ancati al know-how tecnico dell’azienda, a impor-tanti contributi in merito. In apparenza molti programmi per il calcolo dei cu-scinetti volventi in cui si forniscono in ingresso i pa-rametri geometrici, i carichi e il numero di giri e che forniscono la previsioni di vita del cuscinetto, si as-somigliano. In realtà esistono più livelli di modella-zione che portano a risultati di� erenti dal punto di vista dei limiti di utilizzo come margini di sicurezza approssimati. Per i generatori eolici, per esempio, le procedure di calcolo prescritte richiedono l’impiego

di un calcolatore mentre per altri metodi può esse-re su� ciente una calcolatrice. In quali circostanze particolarmente severe è necessario l’utilizzo di un programma di calcolo? Bisogna pertanto esamina-re quando risulta utile tenere conto degli e� etti non lineari della rigidezza dei cuscinetti a rotolamento nel dimensionamento degli alberi e quando non è necessario.

Effetto del cuscinetto nel dimensionamento degli alberiGli alberi sono elementi di macchina rotanti, nor-malmente cilindrici, per il trasferimento della coppia per la cui modellazione la resistenza è un parametro importante. Altri parametri sono per esempio la ve-locità critica e l’in� essione. L’in� essione di un albe-ro risulta determinante per le correzioni di pro� lo delle dentature. La progettazione di un albero passa anche attraverso la conoscenza del relativo cuscinetto. La progettazio-ne degli alberi viene eseguita molto spesso modellan-do i cuscinetti con condizioni al contorno sempli� ca-te e rigide (in� nitamente rigide). Ciò può essere cor-retto per speci� ci supporti statici � ssi. Per supporti inde� niti bisogna, invece, considerare anche la rigi-dezza dei supporti stessi. Tale rigidezza non è lineare sia per quanto riguarda i cuscinetti volventi che per quanto riguarda i cuscinetti radenti. Questa viene per lo più determinata per un preciso punto di lavoro e poi utilizzata linearmente per la progettazione. Dati relativi alla rigidezza spesso non sono reperibili co-sicché si utilizzano di norma delle stime. Nella progettazione dei cuscinetti con grandi angoli di contatto, l’analisi dell’in� essione, delle forze o delle frequenze critiche passa sempre più spesso attraver-so la considerazione delle corrette rigidezze del cu-scinetto basate sulla geometria interna dello stesso e cui carichi agenti sul cuscinetto. I produttori dei cuscinetti volventi hanno da tempo, nei loro programmi di progettazione, la possibilità si considerare le non linearità. A volte tali programmi vengono anche parzialmente messi a disposizione dei clienti. Le rigidezze dei cuscinetti possono anche es-

Fig. 1 - Modello di un

cuscinetto a sfere e a rulli

secondo la normativa

ISO/TS16281 [1].

77maggio 2010 - Organi di trasmissione

sere richieste direttamente al produttore ma questo porta a un allungamento dei tempi del processo di progettazione. Alcuni rari programmi di calcolo so-no liberi e reperibili e danno la possibilità di deter-minare la rigidezza del cuscinetto a partire dalla geo-metria interna dello stesso. KISSso� AG ha allargato il proprio programma di progettazione per elementi di macchina anche a questa possibilità. La possibi-lità di calcolare la rigidezza dei cuscinetti viene de-scritta nella norma ISO/TS16281 [1]. Il programma di calcolo KISSso� è stato integrato con la norma del 2008. A � anco al metodo classico, quello che preve-de la determinazione della durata L

10 da catalogo, è

stata aggiunta la possibilità di determinare il valore di durata di riferimento modi� cata L

10r.

Questa operazione di calcolo numerica prevede l’uti-lizzo delle rigidezze del cuscinetto e da queste calco-la le pressioni sui singoli elementi volventi attraver-so cui risulta anche possibile una modellazione dei momenti � ettenti trasmessi. Attraverso l’integrazione del modulo per cuscinetti volventi, nel calcolo degli alberi vengono esaminati automaticamente i carichi sui cuscinetti, così da poter determinare, in base alla durata e ai coe� cienti statici tabellati, il cuscinetto corretto. Nel seguito viene presentato il calcolo dei cuscinetti secondo la normativa ISO/TS16281.

Calcolo dei cuscinetti secondo la normativa ISO/TS16281Come precedentemente accennato, i cuscinetti rigi-di vengono spesso considerati nel calcolo degli alberi come condizioni al contorno rigide e nella struttura di calcolo con un modello a trave, lo spostamento viene posto a zero in corrispondenza del cuscinet-to. D’altra parte nei cuscinetti elastici lineari viene trovato per ogni cuscinetto e coordinata il corretto equilibrio. Nei cuscinetti il diagramma carichi-spo-stamenti è una funzione nonlineare di tutte le com-ponenti di spostamento e rotazione. Per questo risul-ta necessario determinare per un certo punto di la-voro una rigidezza che conduca a una deformazione equivalente. Per il calcolo della velocità critica è per

contro importante la rigidezza tangente della cur-va carico spostamento. In accordo con ciò l’obiettivo del calcolo è, di conseguenza, trovare una rigidezza di� erente. Nell’introduzione al calcolo dei cuscinet-ti la norma ISO/TS16281 descrive un metodo per la determinazione della durata dei cuscinetti mediante la conoscenza della geometria interna del cuscinetto per carichi generici. Qui viene anche determinata la ripartizione del carico sui corpi volventi basandosi sulla rigidezza di questi e delle piste. Sulla base della teoria hertziana vengono determinate le forze normali Q sugli elementi volventi attraverso la deformazione elastica δ delle super� ci di contatto degli elementi volventi con la pista.

Q = cp# d3

2 con cp= 3r# 2

#1+ yE

2

E#

# K (li)# li2# E(li)Rti

3 +c

+ K (le)# le2# E(le)Rte

3 m-

32

(1)

Le grandezze κ e ρ derivano dalla geometria inter-na del cuscinetto, per cui, oltre al diametro dei corpi volventi e al numero di questi, è necessario conoscere anche il raggio di curvatura della pista. Nei cuscinetti a rulli, la forza normale Q di un corpo volvente di lunghezza L

we è de� nita come

Q c con c L35948L L we

109

89# #d= = (2)

Per poter calcolare l’inclinazione sui supporti e la bombatura degli elementi volventi, il cuscinetto vie-ne suddiviso in più sezioni (� g. 1 destra).Anche l’in� usso dei carichi assiali, che porta a una ripartizione non omogenea dei carichi nei cusci-netti a rulli, non viene considerata dalla normativa ISO/TS16281; per questa si trovano altri dati se-condo Harris [2]. Assegnati gli spostamenti e le ro-tazioni è possibile, attraverso la somma della forze sui singoli contatti, determinare le forze e i momenti risultanti sul cuscinetto. Quando anziché le rotazio-

Fig. 2 - Andamento degli

sforzi di fl essione e taglio

per un gruppo di cuscinetti

per mandrini tenendo conto

della geometria interna del

cuscinetto.

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ni e gli spostamenti sono noti i carichi, la soluzio-ne viene ricavata iterativamente. Nel calcolo della ripartizione dei carichi sul cuscinetto bisogna te-nere in considerazione per la determinazione della pressione hertziana, oltre al raggio, anche il gioco radiale del cuscinetto. Il gioco radiale viene in� uen-zato dal gioco radiale iniziale, dagli accoppiamenti tra albero e alloggiamento così come dalle dilata-zioni termiche.Per quanto riguarda il sistema di equazioni relati-ve all’albero, ne viene fornito uno nonlineare per la forza sui cuscinetti.

, , , , ( , , , , )F F F M M f u u ux y z x z x y z x z{ {=6 @ (3)

Per risolvere il sistema di equazioni dell’albero, per esempio con un metodo newtoniano, viene deter-minata una matrice C delle rigidezze per le condi-zioni attuali:

Fx,Fy,Fz,Mx,Mz7 AT = f (ux0,uy0,uz0,{x0,{z0)+

+ C# Dux,Duy,Duz,D{x,D{z7 AT(4)

La matrice delle rigidezze è normalmente piena. Un scarico del cuscinetto radiale caricato nel cen-tro causa, per esempio, una forza assiale in quanto il gioco assiale, a causa dello spostamento radiale, diviene minore dal lato caricato che non dalla par-te opposta.Nel caso non si proceda nel computo con incrementi degli spostamenti ma con un calcolo lineare, l’equa-zione può essere scritta nel seguente modo:

Fx,Fy,Fz,Mx,Mz7 AT = f (ux0,uy0,uz0,{x0,{z0)-

- C# ux0,uy0,uz0,{x0,{z07 AT+ C# ux,uy,uz,{x,{z7 AT

(5)

In questo modo risulta possibile l’utilizzo di un qualsiasi algoritmo per il calcolo degli alberi che ammetta una de� nizione della rigidezza. Oltre alla rigidezza viene de� nito anche un carico esterno e il sistema viene risolto iterativamente.Durante la risoluzione bisogna anche tenere in con-siderazione che la rigidezza del cuscinetto nella con-� gurazione d’uscita deve essere nulla in assenza di spostamenti e che nel calcolo della rigidezza per grandi spostamenti, che possono emergere durante le soluzioni iterative, possono emergere problemi. Nel caso in cui durante le iterazioni gli spostamen-ti risultassero maggiori del diametro degli elementi volventi, le equazioni non porterebbero a risultati attendibili. Per poter ovviare a entrambi i casi, si è optato di iniziare l’iterazione aggiungendo una ri-gidezza in parallelo.Come si legano ora i dati per i calcoli con la geo-metria interna del cuscinetto stesso? Per un singolo cuscinetto è possibile richiedere i dati al produttore.

Fig. 3 - Esempio di

albero nell’editor

di KISSsoft.

Fig. 4 - Curvatura

secondo il metodo

classico nell’ipotesi di

rigidezza infi nita.

TAB. 1 CALCOLO DELLA DURATA DEI CUSCINETTI SECONDO DIVERSI METODI

Cuscinetto 1 (sinistra) Cuscinetto 2 (destra)

Metodo classico: ipotesi di rigidezza infi nita 9.938 ore 10.434 ore

Metodo classico: ipotesi di rigidezza fi nita 1.1020 ore 10.737 ore

Metodo secondo ISO/TS16281 (geometria interna) 4.7475 ore 25.370 ore

79maggio 2010 - Organi di trasmissione

Dato che i risultati derivanti dai dati storici sono di gran lunga meglio che non i risultati ottenibili con-siderando i cuscinetti come in� nitamente rigidi, è possibile stimare tali dati da catalogo. Secondo la norma ISO281 [3] e ISO76 [4] si hanno due equa-zioni per i fattori di carico C e C

0 da cui risulta pos-

sibile, prendendo valori tipici di curvatura delle pi-ste ottenibili dalle norme, ricavare il numero Z degli elementi volventi e il diametro D

w di tali elementi.

Nei cuscinetti a rulli vi è anche la lunghezza Lwe

de-gli elementi volventi. Questa può essere solamente stimata a partire dalla larghezza del cuscinetto.

Gruppi di cuscinetti per mandriniSpesso nelle macchine utensili vengono posiziona-ti più cuscinetti uno a � anco all’altro. Nell’ipotesi di cuscinetti rigidi, le forze nel cuscinetto anche in una disposizione semplice a tandem non possono essere calcolate perché anche a piccole inclinazioni dell’albero corrispondono elevatissime reazioni vin-colari. In alternativa è necessario tenere conto della rigidezza di tutti i cuscinetti o utilizzare un unico cuscinetto nei calcoli relativi all’albero e ripartire successivamente la forza sui vari cuscinetti nella fase di calcolo propria dei cuscinetti stessi. Nel caso di scelta appropriata della rigidezza del cuscinetto, anche un elemento molla avrebbe por-tato a risultati analoghi al considerare la geometria interna del cuscinetto. Il problema è la determina-zione di tale rigidezza.

Metodo da catalogo o calcolo dei cuscinetti secondo la normativa ISO/TS16281?I metodi computazionalmente più dispendiosi pongono la domanda se gli sforzi aggiuntivi ne-cessari alla risoluzione del modello con tal metodi siano effettivamente ripaganti. In base ai seguenti esempi si vorrebbe trovare una risposta a tale que-sito. L’albero in figura 3 viene innanzitutto conside-rato nell’ipotesi di rigidezza infinita dei cuscinetti e progettato secondo il metodo classico. La linea elastica è da confrontare con la deforma-zione assiale dell’albero in figura 4. Si nota facil-mente come in corrispondenza dei supporti la de-formazione sia nulla. Come durata emergono 9.950 ore per il cuscinetto di sinistra e 10.450 ore per il cuscinetto di destra (tabella 1). Si è effettuato un secondo calcolo an-cora secondo il metodo classico considerando pe-rò, nella determinazione della linea elastica e del-le forze, la rigidezza dei cuscinetti come un valore finito. Innanzitutto consideriamo ancora la linea

elastica: in figura 5 si noti l’andamento qualitativo molto differente con una chiara deviazione anche in corrispondenza dei cuscinetti così che l’albero risulta posizionato storto. La componente assiale ha una parte costante di quasi -0.06mm. Ciò signi-fica che l’albero in questa configurazione è spo-stato verso sinistra. La durata del cuscinetto varia altrettanto, anche se non in modo critico. Strana-mente adesso il cuscinetto sinistro resiste 300 ore più di quello destro che prima risultava il più re-sistente dei due. Nel caso di utilizzo del dispendioso metodo secon-do la normativa ISO/TS16281 i risultati relativi alla durata cambiano in modo significativo: la durata di riferimento calcolata si eleva a 25.000 ore per il cuscinetto destro e a 47.000 ore per il cuscinetto sinistro! Se ne deduce che tale metodo restituisca risultati realistici (un’ipotesi che viene sostenuta dall’osservazione pratica) e che quindi il metodo classico sottostima in questo caso la durata dei cu-scinetti di un fattore 2.5. Nella figura 6 si nota il motivo delle differenze nel-le previsioni di vita dei cuscinetti: il carico sul cu-

Fig. 5 - Curvatura secondo il

metodo classico nell’ipotesi

di rigidezza fi nita.

Fig. 6 - Ripartizione

omogenea (sinistra)

e non (destra) del carico

sui cuscinetti.

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scinetto 2 di destra non è uniformemente ripartito mentre nel cuscinetto 1 di sinistra è distribuito in modo omogeneo. La causa è la mancanza del pre-carico del cuscinetto a rulli conici che impedirebbe lo sfilamento dell’anello del cuscinetto 2.

Il maggiore dispendio è giustifi catoIl maggiore sforzo nel considerare la geometria in-terna del cuscinetto è in questo esempio giustifica-to, in particolare con l’utilizzo di programmi inge-gneristici: il maggiore dispendio computazionale avviene all’interno del programma e dall’esterno non è percepibile. Nell’ambito della produzione di energia eolica tale metodo basato sulla normativa ISO/TS16281 è già stato applicato e la crescente attenzione ai costi e la necessità di ridurre i pesi lasciano supporre che anche altri settori adotteranno tale metodo.

Conclusioni e previsioneL’utilizzo delle rigidezze non lineari dipendenti dai carichi per la progettazione degli alberi porta, co-me anche gli esempi hanno mostrato, a notevoli vantaggi: risulta possibile analizzare effetti qua-

li il precarico, l’inclinazione dell’albero o il gioco radiale dei cuscinetti nel caso di supporti multipli (con più cuscinetti) ottenendo risultati diversifi-cati e vicini alla realtà. Quando il calcolo delle ri-gidezze non lineari è particolarmente dispendioso occorre seguire una via numerica. KISSsoft offre per questo uno strumento versatile e dalle ottime qualità che ottimizza innegabilmente il processo di progettazione di alberi e cuscinetti dal punto di vista della durata. ■

Bibliografi a[1] ISO/CD TS 16281 (2008): Rolling bearings – Methods

for calculating the modi� ed reference rating life for uni-

versally loaded bearings.

[2] T. A. Harris: Rolling Bearing Analysis; John Wiley &

Sons Inc., New York; Fourth Edition 2001.

[3] ISO 281 (2007): Rolling bearings – Dynamic load ra-

tings and rating life.

[4] ISO 76 (2006): Rolling bearings – Static load ratings.