Investigação Operacional - Ano lectivo 2011/2012

Soluções do 2º Exame (26 de Junho de 2012)

Grupo II

a) Variáveis de decisão: devem definir as coordenadas (projecções nos eixos das abcissas e das ordenadas) das paredes de cada compartimento

Nota: a largura de qualquer compartimento é dada pela diferença entre as coordenadas (no eixo das abcissas) da 2ª e da 1ª parede desse compartimento. O mesmo se passa com o comprimento, neste caso usando as ordenadas. Numa formulação alternativa, poderiam usar-se como variáveis de decisão a largura e o comprimento de cada compartimento, a partir dos quais se obteriam as coordenadas das paredes. Ambas as formulações são possíveis e, desde que correctas, conduziriam ao mesmo resultado (configuração optimizada)

b) Função objectivo: perímetro total das paredes (sem dupla contabilização de paredes partilhadas)

c) Restrições

[Distância d1] >= 1 [Distância d2] >= 1 [Distância d3] >= 1 [Largura de A]: entre 3,5 e 6,5 [Largura de B] : entre 3,5 e 6,5 [Largura de C] : entre 3,5 e 6,5 [Comprimento de A] : entre 3,5 e 6,5 [Comprimento de B] : entre 3,5 e 6,5 [Comprimento de C] : entre 3,5 e 6,5 [Rácio de A] : Maior dimensão/menor dimensão <= 1,6 [Rácio de B] : Maior dimensão/menor dimensão <= 1,6 [Rácio de C] : Maior dimensão/menor dimensão <= 1,6

d) Todas as variáveis são contínuas (e não negativas) e as restrições e a função objectivo são expressões lineares naquelas variáveis, pelo que o modelo é de PL (e, portanto, resolúvel pelo Simplex).

Grupo III

a) Forma canónica (ou standard), com introdução de variáveis de folga:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

1 2 3

min. 14 30 11 0 0 0s.a. 2 5 52 3 2 9 75 7 2 62 , , ,

F x x x f f f

x x x fx x x fx x x fx x x

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, , 0

) 14 30 11 0 0 0 14 30 11 0 0 0 0

f f f

a F x x x f fNot

fF x x x f f

as

f

Forma canónica (ou standard) do problema P.L. modificado (método do grande M, após introdução de variável artificial a1 na 1ª restrição):

Conjunto de variáveis básicas (base) da primeira solução básica possível do problema de P.L. modificado: 1 2 3{ , , }a f fB

Quadro de partida

V. B. x1 x2 x3 f1 f2 f3 a1 b̂

A a1 2 5 1 -1 0 0 1 52

B f2 3 2 9 0 1 0 0 75

C f3 1 7 2 0 0 1 0 62

D (- F ) 14 30 11 0 0 0 M 0

Após eliminar/anular coeficiente da variável básica a1 na função objectivo:

Quadro 1 do Simplex Primal

V. B. x1 x2 x3 f1 f2 f3 a1 b̂

a1 2 5 1 -1 0 0 1 52

f2 3 2 9 0 1 0 0 75

f3 1 7 2 0 0 1 0 62

(- F ) 14-2M 30-5M 11-M M 0 0 0 -52M

1 2 3 1 2 3 1

1 2 3 1 1

1 2 3 2

1 2 3 3

min. 14 30 11 0 0 0s.a. 2 5 + 52 3 2 9 75 7 2 62

F x x x f f f Ma

x x x f ax x x fx x x f

1 2 3 1 2 3 1

1 2 3 1 2 3 1

1 2 3 1 2 3 1

, , , , , , 0

) coeficiente positivo muito grande) 14 30 11 0 0 0

14 30 11 0 0 0 0

Nx x x f f f a

a Mb F x x x f f f Ma

F x x x f f f

tas

Ma

o

Quadro novo do Simplex Primal

V. B. x1 x2 x3 f1 f2 f3 a1 b̂

a1 9/7 0 -3/7 -1 0 -5/7 1 54/7

f2 19/7 0 59/7 0 1 -2/7 0 401/7

x2 1/7 1 2/7 0 0 1/7 0 62/7

(- F ) (68-9M)/7 0 (17+3M)/7 M 0 (-30+5M)/7 0

-(1860+54M)/7

A solução representada no Quadro novo do Simplex é uma solução básica possível para o problema de P.L. modificado (inclusão de variável artificial a1 e função objectivo com adição de termo de penalização Ma1). A solução é básica, por construção, a solução é possível porque os valores das variáveis básicas ou dependentes são não negativos. Mas não é uma solução básica possível para o problema de P.L. original convertido à forma canónica (ou standard), porque a variável artificial a1 é uma variável básica com valor positivo. A solução básica possível do problema modificado não é óptima, porque, tendo presente que se trata de problema de minimização, o coeficiente na função objectivo reduzida da variável não básica x1 é negativo para valores suficientemente positivos da constante/coeficiente M (grande M).

b) Parte 1: A solução do Quadro final do Simplex é 1) básica, por construção1; 2) possível porque os valores de todas as variáveis básicas satisfazem a condição de não negatividade, isto é, são não negativos; 3) óptima porque os coeficientes de todas as variáveis não básicas na função objectivo reduzida2 são todos não negativos. A solução básica possível óptima é ainda única, porque aqueles coeficientes são todos positivos.

Parte II: Uma interpretação

Processando x1 = 6 lotes segundo o método 1, x2 = 8 lotes segundo o método 2 e nenhum (x3 = 0) lote segundo o método 3, é possível produzir exactamente 52 toneladas do novo tipo de tinta (valor óptimo da variável de folga f1 = 0) a um custo mínimo F = 324 milhares de u.m., consumindo 34 toneladas do ingrediente A (sobrando 41 toneladas, valor óptimo da variável de folga f2) e 62 toneladas (a totalidade) do ingrediente B (folga f3 = 0 toneladas).

c) A CONTINTAS não está disposta a pagar qualquer valor para comprar mais ingrediente A.

d) Resposta: 1 1Será necessário obter novo plano de produção optimal quando 12, isto é, 12.c c

1 Número de variáveis básicas ou dependentes igual ao número de equações lineares gerais, sendo as restantes variáveis em excesso (sobre o número de equações lineares gerais) variáveis não básicas ou independentes com valor 0. 2 Chamados coeficientes de custo reduzido e que podem igualmente ser interpretados como as 1ªs derivadas parciais da função objectivo reduzida em ordem às variáveis não básicas.

Grupo IV

a) O valor de qualquer corte da rede define um majorante para o fluxo máximo. Exemplificam-se na figura abaixo alguns cortes possíveis:

Valor do corte a: 10 + 5 + 15 = 30

Valor do corte b: 9 + 15 + 4 + 5 + 15 = 48

Valor do corte c: 9 + 15 + 8 + 6 + 30 = 68

Valor do corte d: 10 + 15 + 15 + 8 + 15 + 10 = 73

Valor do corte e: 10 + 10 + 10 = 30

Nota: face aos cortes apresentados (meramente ilustrativos), o menor dos valores daqueles cortes representa o majorante que limita superiormente o fluxo máximo: 30 m3 /s (cortes a e e)

b) Valor do fluxo máximo: Fmax = 9 + 5 + 10 + 5 = 29 m3 / s

c) Para aumentar o fluxo entre os tanques O e T seria necessário aumentar a capacidade dos arcos já saturados na solução obtida, isto é, A – D e/ou os arcos de saída da origem O (O – B e O – C) e/ou de entrada no destino T (E – T e F – T).

Grupo V

a) O número mínimo de cabines de portagem é 16 cabines.

b) Tempo médio gasto pelos utentes nas filas da portagem (modelo M / M / 1): Wq=7,5 minutos

c) Valorização do tempo de espera do cliente para se justificar a instalação de uma nova cabine de portagem: Ce > 0,089 €/hora