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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 SEMESTRE 2016-I

SEMINARIO-EP – MATEMÁTICA BÁSICA – ADM

1. Un Luthier vende finas guitarras cada una por 3500 dólares, con un costo por cada

una de 1000 dólares. Los costos fijos son 2000 dólares, ¿cuántas guitarras debe

vender el Luthier para tener una utilidad mayor de 10000?

Solución:

Sea x : número de guitarras producidas

u P =precio unitario de venta = 3500

uC =costo unitario = 1000

f C =costo fijo = 2000

Tenemos que U I C , donde I = es el ingreso total y C = es el costo total el cual es la

suma del costo variable y del costo fijo.

u I P x y u f C C x C entonces

10000u u f U P x C x C

3500 1000 2000 10000 x x

2500 12000 x

4.8 x

Rspta: Tiene que vender como mínimo 5 guitarras para tener una utilidad de 10 000

2. Se ha disparado un arma química sobre USA, la cual convierte a los seres humanos

en zombis hambrientos de carne, la CIA, determino que para controlar la epidemia es

absolutamente necesario cercar rectangularmente la zona afectada con reja eléctrica

de 2000 voltios. La CIA tiene disponibilidad inmediata de 2000 metros de reja

eléctrica y pide a sus ingenieros determinar los posibles intervalos de variación para

el largo y ancho del área rectangular, la cual se ha estimada que debe ser de al

menos 210 000 metros cuadrados.

Solución:

Consideremos un cuadrado, de base x y de altura y ,

Como el perímetro es 2000, entonces 1000 x y , entonces 1000 y x

MATEMÁTICA BÁSICA - ADM


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Entonces el área ( ) (1000 ) 210000 A x x x

21000 210000 x x

20 1000 210000 x x

0 ( 300)( 700) x x

Así 300,700 x análogamente 300,700 y

Rpta: Los intervalos de variación de la base y la altura son de 300 a 700 metros de reja

eléctrica.

3. Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas

por p = 220 – 3x. El costo de producir x unidades del mismo artículo es C = 700 +

25x dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberían producirse como mínimode modo que la utilidad mensual sea de por lo menos de 2450 dólares?

Solución:

Sea el número de unidades a producir. ( ) ………..…(1)

El costo total es:

El ingreso es:

I = (precio).(Cantidad producida)Entonces

– – La Utilidad es la diferencia entre Ingreso y Costo Total

Es decir: – Entonces – – – –

………..… (2)

Se desea obtener utilidades de al menos $ 2450, es decir:

………..… (3)De (2) y (3):

– –


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– – –

Factorizamos:

– x – 90x – 15

– – – Los puntos críticos son: , luego lo ubicamos en la recta real, y considerando(1):

Deben de producirse como mínimo 30 unidades.

4. El Nobel MVLL puede vender 3 600 ejemplares en la feria de libros 2015 al precio de

S/. 25 cada uno. Por cada sol de incremento en el precio, las ventas bajan en 48

ejemplares, ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr

ingresos por lo menos de S/. 100 800?

Solución:

Sea x el precio a fijar. ( ) ………..… (1) Precio ($) Cantidad Ingresos ($)

–

–

…. …. ….

– –

30 35

+ – +


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Se desea obtener ingresos de por lo menos , es decir:

–

–

– – – – – – –

Los puntos críticos son: {5; 45}, luego lo ubicamos en la recta real, yconsiderando (1):

Deben de fijarse como precio máximo

soles.

5. Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se

sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las

viviendas se ocuparán; pero con cada incremento de $3 en la renta, es muy probable

que un apartamento permanezca vacante. ¿Cuántos apartamentos deberían quedar

vacantes como máximo, para obtener un ingreso de por lo menos $9000?.

Solución:

Sea “x” el número de apartamentos vacíos, o el número de incrementos de $3.

Entonces cuando la renta sea 150+3x, el número de apartamentos rentados será: 60-x. Por lo tanto el ingreso seria: (150+3x)(60-x). Según el problema éste ingreso debe

ser por lo menos $9000, es decir:

5 45

+ – +


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Por lo tanto los puntos críticos son: x=0 y x=10. Ubicando en la recta numérica

tenemos:

Dado que x representa el número de apartamentos vacíos, el conjunto solución del

problema es:

C.S: {0,1,2,3,…,10}. Respondemos entonces la pregunta: Deberían quedar vacantes

como máximo 10 departamentos para obtener un ingreso de por lo menos $9000.

6. Manuel Zamora, gerente de una distribuidora de televisores, sabe que a un precio de

p dólares por unidad de cierto modelo pueden venderse x unidades al mes, y la

relación entre precio por unidad y unidades vendidas es: . Si cuesta6000 +300x dólares producir x televisores al mes ¿Cuántos televisores deberían

fabricarse y venderse para que la utilidad mensual sea al menos $ 13 200?.

Solución:

Calculando la utilidad:

Utilidad=Ingreso-Costo=px-(6000+300x)=(1000-2x)x-6000-300x=1000x-2-6000-300x=-2 .Según el problema ésta utilidad debe ser de al menos $13 200, entonces:

+∞ ∞ 10

+0

-


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Por lo tanto los puntos críticos son: x=30 y x= 320. Ubicando en la recta numérica,

tenemos:

Respondiendo la pregunta: Se deberían fabricar y vender entre 30 y 320 televisores

para obtener una utilidad de al menos $13 200.

7. (Inversiones) Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual del 5%.

Calcule el valor de la inversión después de 10 años.

Solución:

En este caso 0 200, 5C r entonces /100 0.05r . Después de t años, el

valor de la inversión es

0 1 200(1 0.05) 200(1.05)100

t

t t

F

r C C

Cuando 10t , esto es

10200(1.05) 200(1.628895) 325.78

El valor de la inversión es por tanto $325.78 .

8. (Inversión) Una inversión de $250 se compone de manera continua a una tasa

nominal de interés anual de 7.5%. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 6

años?

Solución:

Debemos utilizar la fórmula ( ) rt A t Pe para el valor después de t años. En este

ejemplo, 250, 6 P t e 7.5 /100 0.075.r Por tanto, (0.075)(6) 0.45rt y el

valor es:

( ) rt A t Pe 0.45(6) 250 A e dólares

El valor de 0.45e es

(6) 250(1.5683) 392.08 A Así, el valor de la inversión después de 6 años es $392.08.

+∞ ∞ 320+ 30 -


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9. La suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual de 8%. ¿Cuánto tardará la

inversión en incrementar su valor a $500?

Solución:

n: años

Apl icamos logar i tmos en ambos lados y s impl i f icamos:

Respuesta: Tardará casi 12 años a la inversión incrementar su valor a $500.

10. La ecuación de oferta de un fabricante es dólares por unidad dondeq es el número de unidades ofrecidas. Si el precio es $4,50, ¿cuántas unidades se

ofrecerán?

Solución:

Si p= $4,50 entonces q = ?. Remplazando en la ecuación de oferta:

Respuesta: Por tanto se ofrecerá 94 808 unidades.


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11. Se tienen dos capitales: $5380 y $3600 que se irán a invertir en un banco local. Este

les ofrece pagar una tasa de interés compuesto continuo de 8% anual y de 12%

anual respectivamente. Según estos datos, determine ¿cuándo ambas cuentas de

ahorro tendrán el mismo monto?

Solución:Dado que la tasa es compuesta y continua, se usara la fórmula:

r t0

M C e

Datos:

0

1

0.08t

1

C 5380

r 8%

M 5380 e

0

2

0.12t

2

C 3600

r 12%

M 3600 e

¿t?, para que M1 = M2

Es decir que:

1 2

0.08 t 0.12 t

0.12t

0.08t

0.04t

0.04t

M M

5380 e 3600 e

5380 e

3600 e

5380e

3600

538ln ln e

360

538ln 0.04 t ln e

360

538ln 0.04 t

360

10.04386322 t

Respuesta: al cabo de los 10 años (aproximadamente) ambas cuentas de ahorro tendránel mismo monto.


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12. Cierto producto de la empresa “Casio” ya ha estado en el mercado y lanzó una

campaña publicitaria para incentivar las ventas. Dado a que la campaña publicitaria

estuvo mal organizada, la empresa prevé que su ingreso semanal “I” (dado en

dólares) por tal producto bajará según sea “t” semanas después de la campaña y

cumplirá con la fórmula:

0.2tI 20 000 2

Según la fórmula, determine:

a. El ingreso semanal 4 semanas después de la campaña.

b. ¿Cuándo el ingreso semanal será de $8700?

Solución:

a) ¿I? 4 semanas después de la campaña.

Es decir que hallar I para t=4

0.2 4I 20 000 2

I 11486.98355

Respuesta: 4 semanas después de la campaña, la empresa tendrá un ingreso semanalde $11487 aproximadamente.

b) ¿t? para que I=$8700.

0.2t

0.2t

0.2t

0.2t

20 000 2 8700

87002

20000

2 0.435

log 2 log 0.435

0.2tlog 2 log 0.435

log 0.435t

0.2log 2

t 6.004556347

Respuesta: Aproximadamente 6 semanas después de la campaña, la empresa tendrá uningreso semanal de $8700.


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13. La compañía DALU S.A.C. presenta sus reportes de ventas mensuales por medio de

matrices cuyas filas representan, en orden, el número de modelos regular, lujo y de

súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de unidades

rojas, blancas, azules y purpuras que se vendieron. Las matrices para Enero(E) y

para Febrero (F) son:

2 6 0 21 2 8 4

0 1 2 33 5 , 3 2

2 7 4 09 0 2 6

E F

Expresa en una sola matriz los reportes de ventas de Enero y Febrero.

Solución:

Para expresar los reportes de ventas de Enero y Febrero en una sola matriz, lo

único que debemos hacer es sumar las matrices, es decir:

2 0 6 2 2 81 8 2 4 9 6

0 2 1 3 2 43 3 5 2 6 7

2 4 7 0 6 79 2 0 6 11 6

E F

14. Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y magnetos en

dos plantas. I y II. La matriz X representa la producción de las plantas para el

minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el

minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas

para ambos minoristas. Las matrices X e Y son:

30 50 15 25

800 720 , 960 800

25 30 10 5

X Y

Solución:

Para representar la matriz de producción total para ambos minoristas en una sola

matriz para debemos sumar las matrices, es decir:

30 15 50 25 45 75

800 960 720 800 1760 1520

25 10 30 5 35 35

X Y


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15. Un mecánico tiene tres marcas de motos (honda, Yamaha y waxin), para dejarlo en

perfecto estado requiere de tres piezas que hacen falta al motor (bujías filtros de

aire, filtros de aceite)

honda Yamaha Wanxin

N° de bujías 8 5 6N° de filtros de aire 3 4 2

N°de filtros deaceites

2 3 1

Si cada bujía para la honda cuesta $ 4.00 para la Yamaha $5.00, para la wanxin

$2.00, cada filtro de aire para la honda $12.00, para la Yamaha $11.00, para la

wanxin $6.00, cada filtro de aceite para la honda $6.00, para la yamaha $5.00, para

la wanxin $3.00, si el mecánico recibe pedidos en el mes de agosto , 15 modelos

de honda , 24 modelos de Yamaha, 17 modelos de wanxin; y en el mes de setiembre, 25 modelos de honda , 32 modelos de Yamaha, y 27 del modelo wanxim.¿cuál es el

costo total que hace en cada moto ?.

Solución:

( ) ( )

P es la matriz de las piezas para las motos.

I, es la matriz de dólares que cuesta cada pieza.

Z, representa a la matriz de pedidos en los meses de agosto y setiembre.

( ) ( ) (

)

( ) (

) (

)

M representa la matriz de gastos de hace en los repuestos para hasta los

meses de agosto y setiembre

M=27873 dolares


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16. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente

tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:

F 1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C .



Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada

unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C , 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el

beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matrizque buscamos:

17. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Método de Cramer):

)3........(..........02

)2(................1223

)1(..................12

z y x

z y x

z y x

Solución:

Aplicando la regla de Cramer:

z z

y y

x x ;;

1)26(1)23(1)42(2

121

223112

1)02(1)01(1)42(1

120

221

111

x

6002

1008

7002

30

20

5

405080

20010020

3040200

3

2

1

3

2

1

F

F

F

C

B

A

F

F

F

C B A


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2)10(1)23(1)01(2

101

213

112

y

3)26(1)10(1)20(2

021

123

112

z

Luego:

31

3;2

1

2;1

1

1

z z

y y

x x

Por lo tanto: C.S.={(1;2:-3)}

18. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Eliminación Gaussiana):

134

12

1

z y x

z y x

z y x

Solución:

0230

0230

1111

1341

1121

1111

313

212

f f f

f f f

0000

0230

1111

323

f f f

De la matriz aumentada anterior podemos representar el sistema

023

1

z y

z y x

Usando sustitución hacia atrás en el ultimo sistema equivalente se tiene

infinitas soluciones.

Si t z

entonces t y3

2 y t x

3

21


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19. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Eliminación Gaussiana):

00035552

000104

0001523

z y x

z y x

z y x

Solución:

5000110

5000110

15000231

235000552

10000141

15000231

313

212

f f f

f f f

0000

5000110

15000231

323

f f f

De la matriz aumentada anterior podemos representar el sistema equivalente comosigue:

5000

1500023

z y

z y x

Usando sustitución hacia atrás en el ultimo sistema equivalente se tiene

infinitas soluciones. Si t z

entonces 5000 t y y t x 530000

20. Sean / es impar ]1;8[ A x N x x y / es par 4;10 B x N x x . Hallar el dominio

y el rango de la relación ( , ) / 12S x y A B x y

Solución:

Los conjuntos A y B por extensión es

/ es impar ]1;8[ 3;5;7 A x N x x

/ es par 4,10 4;6;8;10 B x N x x

Entonces el conjunto “S” se define

(3;4),(3;6),(3;8),(5;4),(5;6),(7;4)S

Luego, el dominio y el rango es


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( ) 3;5;7 Dom S , ( ) 4;6;8 Ran S

21. Sean los conjuntos A = 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; B = 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 y la

relación 2

; / 2 1

R = x y A B y x .Halle el dominio y rango de la relación R.

Solución:

Los elementos de R son , x y A B tal que 2

2 1 x A y x B . Entonces,

2

1 2 1 1 9 x A y B

2

2 2 2 1 25 x A y B

2

3 2 3 1 49 x A y B

24 2 1 1 81 x A y B

2

5 2 5 1 121 x A y B

2

6 2 6 1 169 x A y B

Luego, la relación es

(1,9),(2,25),(3,49) R

Entonces el dominio y rango es

( ) 1; 2; 3 Dom R

9; 25; 49 Ran R

A B

R

1

2

3

4

5

6

1

4

9

16

25

36

49


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