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2.- (5p) Se tiene la planta mostrada, si se le
agrega las acciones Proporcional–Integral (PI) y
Derivativa (D), se le pide determinar los valores de K1,
K2 y K3, si se desea que el sistecompleto responda
exactamente como un sistema de segundo orden, tal que a
uentrada en escalón unitario, responda con las siguientes
características: ess = 0 , Mp = 10
y ts(±2%)
= 1 seg.
1 2
1K K
s
)256(
5
2 ss
R(s) E(s) Y(s)U(s)
3K s
plantaacción PI
acción D
+ +
4.- (5p) Dado el siguiente sistema no lineal de dos
tanques cilíndricos iguales, colocados cascada, siendo las áreas de
sección iguales a 9 m2, el objetivo del sistema es controlarnivel
en el tanque 2.
Si se conoce que:H1 y H2 alturas en los tanques 1 y 2
A Área de sección de los tanques cilíndricos
Qi Flujo (caudal) de alimentación Qi = Q = 3 m3/sQo
Flujo (caudal) de salida = 1.23 Kg/m3 g = 9.81
m/s2 = 1 (factor que depende de la geometría del
orificio de salida de cada tanque), este fac
es la constante de proporcionalidad para determinar los
caudales.Se le pide determinar el sistema linealizado, para lo cual
debe responder lo siguiente:a) (1p) Determine el o los puntos
de equilibrio del sistema.b) (3p) Determine el modelo
incremental linealizado (ecuación de estados y ecuación
salida), alrededor del o de los puntos de equlibrio.c)
(1p) ¿Qué puede decir de la estabilidad del sistema?
H1H2
Q i
Q0
Tanque 1 Tanque 2
Q12
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Solución P1)
Determinando la FT en Lazo Cerrado:
I P D
I P
K sK sK s
K sK
s R
sY
5)25(5)65(
)(5
)(
)(23
…….. (1)
Como es un sistema de 3° orden y se pide que responda como uno
de 2° orden:
)2(
5
)2()(
)(5
)2()(
)(5
)(
)(222222
nn
P
nn
P
I
P
nn
I P
wsws
K
wsws ps
K
K sK
wsws ps
K sK
s R
sY
…. (2)
De la simplificación se deduce que:
P
I
K
K
p ……………………..(3)
De la ecuación (2):Pn K w 5
2 ………………..(4)
Además del denominador genérico de un sistema de 3°
orden:
pws pwwsw pswsws ps nnnnnn222322
)2()2()2()( ……..(5)
Entonces de (1) y (5):
)8(....................5
)7...(..........2255
)6(..........265
2
2
pwK
pwwK
w pK
n I
nnP
n D
Luego de los datos dinámicos:
segrad ww
t
M
n
n
s
P
/77.64
14
59.0)1.0(ln
)1.0(ln1.0
22
2
De (4): 95
2
nPw
K ………..(9)
De (7): 32
255 2
n
nP
w
wK p
………(10)
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De (6): )12(..........15
62
n D
w pK
De (8): )13(....................5.275
2
pw
K n I
Por lo tanto la respuesta es: KP = 9
KI = 27.5
KD = 1 (Rpta)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución P2)
MODELAMIENTO DEL SISTEMA
Planteando las ecuaciones de conservación de la masa
dtdH
CQQ 1112i dtdH
CQQ 22o12
Donde
3.4731)(1.23)(9.8(1)gρkparaesto
HkHgρHgρQo
H(Hk)HH(gρ)HH(gρQ
222
21212112
)
Reemplazando obtenemos:
A
Hk
A
HHkH
A
HHk
AQ
H
2212
21i1
.
.
f
f
2
1
g y = H2
eligiendo como variables de estados: x1 = H1 y
x2 = H2
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A
xk
A
xxkx
A
xxk
AQ
x
2212
21i1
.
.
y = x2
DETERMINACION DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
f1: xx0.38593
1xxx
S
gρ
SQix 22 1111
..
f2: xxx0.3859xxxxS
gρx 212212 22
..
g: y = x2
El sistema es no lineal, por lo que antes de la linealización
obtendremos el punto de operacióhaciendo:
0x
0x
.
.
2
1
Aplicando:
xxS
gρ
S
Qi0 21
xxgρ
Qi21 gρ
QiHH
2
2
21 = 0.7458 …. (1)
xxxS
gρ0
21 2
x1 – x2 = x2 H1 = 2 ( H2) …… (2)
De (1) y (2): H2 = 0.7458 y H1 = 1.4916
Por lo que el punto de operación es:
0.74581.4916 _ x
_ x 21
OBTENCION DEL SISTEMA LINEALIZADO
Conocido el punto de operación, obtendremos las matrices del
sistema linealizado: A, B, C y D.
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0.44680.2234
0.22340.2234
x
f
x
f x
f
x
f
A
2
2
1
2
2
1
1
1
Qix2,x1,
0
1/9
0
1/S
Q
f
Q
f
B
0
2
0
1
Qix2,x1,
10x
g
x
gC
21
