Solucao do Simulado PROFMAT/UESC 2012

(1) Encontre uma fracao equivalente a 9/5 cuja soma dos termos e igual a 196:(A) 96/100(B) 106/90(C) 116/80(D) 126/70(E) 136/60

Solucao:95

=95· 14

14=

12670

(2) Um grupo de 6 pessoas e formado por Andre, Bento, Caio, Luisa, Maria e Neide. Apenasuma das tres mulheres e irma de um dos tres homens. Bento e filho unico, tal qual Neide.Maria e prima de Caio, Andre nao tem irmas e e tio de Maria. Os irmaos sao(A) Caio e Luiza(B) Caio e Maria(C) Andre e Neide(D) Andre e Luiza(E) Bento e Maria

Solucao: Bento e filho unico, tal qual Neide, diante disso, analisaremos Andre, Caio,Luiza e Maria. Como Maria e prima de Caio e Andre e tio de Maria, segue que Andre naoe irmao de Caio. Tambem temos que Andre nao e irmao de Luiza nem de maria pois elenao tem irmas. Agora analisando Caio, Luiza e Maria, podemos concluir que os irmaossao Caio e Luiza pois Caio e primo de Maria.

(3) A quantidade de numeros multiplos de 4, com 4 algarismos distintos que se pode formarcom os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6} e igual a:(A) 12(B) 18(C) 24(D) 26(E) 36

Solucao: Um numero sera multiplo de 4 quando seus dois ultimos algarismos for ummultiplo de 4. Assim temos as seguintes possibilidades para os dois ultimos algarismos: 12,16, 24, 32, 36, 64. Entao, para os tres primeiros algarismo temos 3× 2 = 6 possibilidades.Portanto, ha 6× 6 = 36 numeros multiplos de 4, com 4 algarismos distintos.

(4) Comparando os numeros x = 92,5.103 e y = 10240,1.105, podemos afirmar que:(A) x= 43.y(B) y=43.x(C) x=4300+y(D) y= 43000 + x(E) x= 43000 + y

Solucao:

x = 92,5 · 103 = 95/2 · 103 = 35 · 103 = 243 · 103 = 243.000

ey = 10240,1 · 105 = (210)0,1 · 105 = 2 · 105 = 200.000

1

2

Logo, x = 43000 + y.

(5) A media aritmetica de 10 numeros e 2,35. Retirando um desses numeros, a media passa aser 2,75. O numero retirado e igual a:(A) -1,25(B) -0,4(C) -2,75(D) -2,25(E) 3,3

Solucao: Sejam a1, a2, a3, . . . , a10 tais quea1 + a2 + a3 + . . .+ a10

10= 2, 35. Suponha

que retiramos o numero a10 e, assim,a1 + a2 + a3 + . . .+ a9

9= 2, 75.

Daı,

a1 + a2 + a3 + . . .+ a10

10= 2, 35

⇒ a1 + a2 + a3 + . . .+ a10 = 23, 5

⇒ a10 = 23, 5− (a1 + a2 + a3 + . . .+ a9)

= 23, 5− 2, 75 · 9

= 23, 5− 24, 75

= −1, 25

(6) O grafico abaixo nos dar informacoes sobre a velocidade de conexao a internet utilizadaem domicılios no Brasil. Analisando os dados do grafico, podemos afirmar que:

(A) Menos de 25% dos entrevistados tem em seus domicılios banda larga de conexao depelo menos 256 kbps.(B) Mais de 27% dos entrevistados nao sabem informar sobre a velocidade de conexao.(C) E predominante ha banda larga de conexao de 1Mbps a 2Mbps.(D) Mais de 20% dos entrevistados tem em seus domicılios banda larga de conexao de2Mbps a 8Mbps.(E) Menos de 20% dos entrevistados tem em seus domicılios banda larga de conexao de2Mbps a 8Mbps.

Solucao: ANULADA

(7) Dezoito litros de agua foram dispostos em tres garrafoes. O maior deles tem o dobro dacapacidade de um dos outros dois e a diferenca entre os volumes dos dois menores e dedois litros. O volume do garrafao menor pode ser de:(A) 1

3

(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

Solucao: ANULADA

(8) Na figura a seguir, dois triangulos equilateros sao sobrepostos de modo que a regiao comumdos triangulos seja um hexagono com pares de lados paralelos e de perımetro 12 cm. Quale o perımetro de cada um dos triangulos?

(A) 12 cm(B) 16 cm(C) 18 cm(D) 24 cm(E) 36 cm

Solucao:

(9) Renata pagou R$ 102, 00 ao comprar um celular devido ao fato de ter feito o pagamento avista obtendo um desconto de 15%. Qual era o seu preco original?(A) R$ 120, 00(B) R$ 117, 30(C) R$ 110, 00(D) R$ 117, 00(E) R$ 112, 00

Solucao:Valor a vista com o desconto = R$ 102, 00Desconto = 15%Valor do preco original = x

Assim,

x− 15%x = 102, 00

x− 0, 15x = 102, 00

x(1− 0, 15) = 102, 00

x = 102,000,85

x = 120, 00

(10) Seja ABC um triangulo retangulo em B. Sejam M e N os pontos medios de AB e BC,respectivamente. Dado que AN=19 e CM=22, determine a medida do segmento AC.(A) 24(B) 26(C) 28(D) 30

4

(E) 32

Solucao: Sejam AB = 2y e BC = 2x, como mostra a figura abaixo.

Aplicando o Teorema de Pitagoras nos triangulos ABN e BMC, obtemos x2 + 4y2 = 192

4x2 + y2 = 222.

Resolvendo o sistema, obtemos x2 = 105 e y2 = 64. Portanto,

AC2 = 4x2 + 4y2 = 4 · 105 + 4 · 64 = 676

e, assim, AC = 26.

(11) O numero 16−3/4 e igual a:(A) 2−1

(B) 2−2

(C) 2−3

(D) 1/16(E) 1/32

Solucao:

16−3/4 =(

4√

16)−3

= 2−3

(12) Assinale a alternativa verdadeira.(A) Se f for uma funcao, entao f(u+ v) = f(u) + f(v)(B) Se f(u) = f(v), entao u = v(C) Se f for uma funcao, entao f(3u) = 3f(u)(D) Uma reta vertical intercepta o grafico de uma funcao no maximo uma vez(E) Se f e g sao funcoes, entao f ◦ g = g ◦ f

Solucao:

(13) Considere tres quadrados de area igual a 1 inscritos no retangulo, como mostra a figuraabaixo.

A area do retangulo e:(A) 3

√2

(B) 4√

2

5

(C) 6(D) 6

√2

(E) 8

Solucao: Consideremos a figura abaixo.

Usando o Teorema de Pitagoras, obtemos 2x2 = 22 e 2y2 = 12, donde concluimos que

x =√

2 e y =√

22

. Portanto, a area do retangulo e igual ao produto da base (√

2 +√

2)

pela altura (√

2 +√

22

), isto e,

A =(√

2 +√

2)·

(√

2 +√

22

)= 6.

(14) Se a+ b+ c = 8, ab+ ac+ bc = 12 e abc = 4, o valor dea

bc+

b

ac+

c

abe igual a:

(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10

Solucao:

a

bc+

b

ac+

c

ab=a2 + b2 + c2

abc=

(a+ b+ c)2 − 2(ab+ ac+ bc)abc

= 10

(15) Qual dever ser o valor de y para o numero de divisores do numero A = 22.34.5y seja igualao numero de divisores do numero B = 104.38.(A) 12(B) 13(C) 14(D) 15(E) 16

Solucao: Seja C = 2α3β5λ um numero qualquer. O numero de divisores de C e igual a

(α+ 1)(β + 1)(λ+ 1).

Assim, o numero de divisores de B e igual a

(4 + 1)(4 + 1)(8 + 1) = 225.

Para que A tenha o mesmo numero de divisores de B devemos ter

(2 + 1)(4 + 1)(y + 1) = 225.

Portanto, y = 14.

(16) Os valores de n ∈ R tais que a equacao (2−n)x2 + 2nx+n+ 2 = 0 tenha duas raızes reaisdistintas e maiores que zero devem pertencer ao intervalo:(A) (−

√2,√

2)(B) (−∞,−

√2) ∪ (

√2,+∞)

6

(C) (−2,−√

2)(D) (

√2, 2)

(E) (−2, 2)

Solucao: Para determinar o numero de raızes de uma equacao do segundo grau ax2 +bx + c = 0 calcula-se o valor do discriminante, isto e, o valor de ∆ = b2 − 4ac. Se o valorencontrado for maior que zero entao a equacao do segundo grau tem duas raızes reaisdistintas. Portanto, e preciso que

(2n)2 − 4(2− n)(n+ 2) > 0,

ou seja,

n2 − 2 > 0,

o que implica

n >√

2 ou n < −√

2.

Agora, para as raızes serem positivas devemos ter que o produto e soma sejam maiores que0. Assim,

ca > 0

n+22−n > 0

n > −2

e

−ba > 0−2n2−n > 0

−2n > 0

n < 0

Portanto, o intervalo ao qual devem pertencer as raızes reais distintas positivas e (−2,−√

2).

(17) Depois que o pai de Pedro faleceu, os dois irmaos de Pedro, sua mae e ele receberam cadaum uma parte da heranca. A irma de Pedro e o irmao ficaram com a metade, distribuıdana proporcao de 4 para 3, respectivamente. A viuva ganhou o dobro do que coube ao irmaode Pedro, e Pedro, R$ 800, 00. Qual o valor da heranca?(A) R$ 7.200, 00(B) R$ 8.400, 00(C) R$ 11.200, 00(D) R$ 15.800, 00(E) R$ 13.700, 00

Solucao: Sejam x o valor que a irma de Pedro recebeu de heranca, y o valor que oirmao de Pedro recebeu de heranca, z o valor que a viuva recebeu de heranca e w o valortotal da heranca. Assim, x+ y + z + 800, 00 = w.

Temos que a irma de Pedro e o irmao ficaram com a metade, isto e, x + y = w2 .

Distribuıda na proporcao de 4 para 3, respectivamente. Assim, xy = 4

3 , e obtemos quex+yx = 4+3

4 = w2x . Isolando os valores de x e y obtemos x = 2w

7 e y = 3w7 .

A viuva ganhou o dobro do que coube ao irmao de Pedro, isto e, z = 2y. Substituindoo valor de y temos z = 3w

7 .Portanto,

7

x+ y + z + 800, 00 = w

⇒ 2w7 + 3w

14 + 3w7 + 800, 00 = w

⇒ −w14 = −800, 00

⇒ w = 11.200, 00

(18) Camila comprou uma cartolina retangular de 120 centımetros de comprimento por 80centımetros de largura. Ela pintou 20% da cartolina. Ela faz isso pintando-a em duasfaixas de mesma largura nas laterais da cartolina, conforme mostra a figura. Qual e essalargura?

(A) 6(B) 8(C) 10(D) 16(E) 24

Solucao: Seja x a largura de cada faixa. A area pintada por Camila e 2x · 120. Poroutro lado, Camila pintou 20% da area total, isto e, ela pintou

20% de 120 · 80 =20100· 120 · 80 = 1920 cm2.

Portanto, 240x = 1920 e, assim, x = 8.

(19) Sejam a e b numeros reais. Assinale a alternativa correta.(A)

√a2 + b2 = a+ b

(B) 1a−b = 1

a −1b

(C)(a+b2

)2 ≤ a2+b2

2

(D) (a+ b)2 = a2 + b2

(E) 1+Taa = 1 + T

Solucao: Como (a− b

2

)2

≥ 0,

para todo a, b numeros reais, segue que

a2 + b2 − 2ab4

≥ 0,

ou seja,a2 + b2

2− (a2 + 2ab+ b2)

4≥ 0.

Isto implica que (a+ b

2

)2

≤ a2 + b2

2.

8

(20) Considere o conjunto A ={r ∈ Q : r ≥ 0 e r2 < 3

}. As seguintes afirmacoes sao feitas so-

bre A:I. 2

3 ∈ A e 1, 666... ∈ AII. {x ∈ R : 0 < x <

√3} ∩A = φ

III. (√

2 + 7)√

12 ∈ APode-se dizer, entao, que e(sao) verdadeira(s) apenas(A) I e II(B) I e III(C) II e III(D) I(E) II

Solucao: I e verdadeira. Com efeito, o conjunto A e dado por

A ={r ∈ Q : r ≥ 0 e r2 < 3

}= [0,

√3).

Diante disso, e facil ver que 23 ∈ A e 1, 666... ∈ A.

II e falsa.{x ∈ R : 0 < x <

√3} ∩A = (0,

√3) 6= φ

III e falsa. √3 < 2

√6 + 7

√2 = (

√2 + 7)

√12

(21) Para preparar um chocolate quente para 8 pessoas, foi necessario misturar 3 colheres dechocolate com 7 copos de leite. Entao, para preparar esse mesmo chocolate para 24 pes-soas, mantidas as proporcoes, seriam necessarios(A) 6 colheres de chocolate e 14 copos de leite.(B) 6 colheres de chocolate e 21 copos de leite.(C) 9 colheres de chocolate e 14 copos de leite.(D) 9 colheres de chocolate e 21 copos de leite.(E) 12 colheres de chocolate e 28 copos de leite.

Solucao:

(22) Sejam f(x) = x e g(x) = xx+1 duas funcoes reais. Assinale a alternativa correta.

(A) Se x < −1, entao f(x) < g(x)(B) Se x < 0, entao f(x).g(x) > 0(C) Para todo x ∈ R, f(x) > g(x)(D) Se −5/3 < x < 3, entao g(x) ≤ f(x)(E) Se x < 0, entao f(x) > g(x)

Solucao: (A) Verdadeira. De fato, para x < −1,

f(x)− g(x) = x− x

x+ 1=x(x+ 1)− x

x+ 1=

x2

x+ 1< 0.

Assim, f(x) < g(x).(B) Falso, pois para x = −2,

f(−2) · g(−2) = (−2) · 2 = −4 < 0.

(C) Falso, pois para x = 0, f(x) = g(x).

9

(D) Falso. Para x = −32

, temos g (−3/2) = 3 e f(−3/2) = −3/2. Portanto, g(x) > f(x).

(E) Falso, pois para x = −2, f(−2) = −2 e g(−2) = 2, o que implica f(−2) < g(−2).

(23) O perımetro de um retangulo e 100 centımetros e a diagonal mede x centımetros. Qual ea area do retangulo, em centımetros quadrados?(A) 625− x2

(B) 625− x2

2

(C) 1250− x2

2

(D) 250− x2

2

(E) 2500− x2

2

Solucao: Sejam a e b as dimensoes do retangulo. Sabendo que a+b = 50 e a2+b2 = x2,temos que a area A do retangulo e dada por

A = a · b

= a(50− a)

= 50a− a2

= 50a− x2 + b2

= 50a− x2 + (50− a)2

= 50a− x2 + 2500− 100a+ a2

= 2500− 50a+ a2 − x2

= 2500−A− x2.

Daı concluimos que

A = 1250− x2

2.

(24) Permutam-se de todas as formas possıveis os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevem-se os numerosassim formados em ordem crescente.I. O numero 43 521 ocupa o 90o lugar.II. O 85o lugar e ocupado pelo numero 43 152.III. Podemos formar 120 algarismos distintos, usando-se estes algarismos.Podemos afirmar, que e(sao) verdadeira(s) apenas:(A) I e II sao verdadeiras(B) I e III sao verdadeiras(C) II e III sao verdadeiras(D) Nenhuma afirmacao e verdadeira(E) Todas as afirmacoes sao verdadeiras

Solucao: ANULADA

(25) Nos tres primeiros meses de funcionamento de uma pizzaria, 120 pizzas foram vendidas.Somando tres pizzas ao numero de pizzas vendidas no primeiro mes, subtraindo tres pizzasao numero de pizzas vendidas no segundo mes e dividindo por tres o numero de pizzasvendidas no terceiro mes, obtem-se o mesmo numero. Comparando o numero de pizzasvendidas em cada um desses meses, o maior desses numeros e:(A) Impar(B) Menor que 40(C) Divisıvel por 7(D) Cubo perfeito

10

(E) Multiplo de 8

Solucao: Sejam x o numero de pizzas vendidas no primeiro mes, y o numero de pizzasvendidas no segundo mes e z o numero de pizzas vendidas no terceiro mes. Temos quex+y+z = 120. Sabemos que somando tres pizzas ao numero de pizzas vendidas no primeiromes, subtraindo tres pizzas ao numero de pizzas vendidas no segundo mes e dividindo portres o numero de pizzas vendidas no terceiro mes, obtem-se o mesmo numero. Logo,

3 + x = y − 3 =z

3.

Isolando os valores de y e z em funcao de x obtemos, y = 6 + x e z = 9 + 3x.Assim,

x+ y + z = 120

x+ (6 + x) + (9 + 3x) = 120

5x = 120− 15

x = 21

Substituindo x em y e z temos que y = 27 e z = 72. Logo o maior desses numeros e ummultiplo de 8.

(26) A figura ao lado e formada por dois quadrados de area 400 cm2 cada um, parcialmentesobrepostos, de modo que o perımetro da figura (linha mais grossa) e igual 100 cm. Quale a area da regiao comum aos dois quadrados, em cm2 ?

(A) 50(B) 100(C) 200(D) 400(E) 450

Solucao: Cada quadrado tem lado igual a 20 cm. Sejam X e Y as intersecoes dosquadrados, como mostra a figura abaixo.

A reta XY divide a parte hachurada em 2 triangulos retangulos de catetos 20 cm e 10 cm.Portanto, a area na regiao hachurada e

2 · 20 · 102

= 200.

11

(27) A subtracao das solucoes da equacao |x− 6|2 − 4|x− 6| − 5 = 0 e igual a:(A) 9(B) 10(C) 11(D) 12(E) 13

Solucao: Consideremos w = |x−6|. Entao w2−4w−5 = 0 implica que w = 5 (w = −1nao satisfaz pois w ≥ 0). Assim, |x − 6| = 5 implica que x1 = 11 e x2 = 1. Portanto,x1 − x2 = 10.

(28) No conjunto R dos numeros reais, a alternativa falsa e:(A) Se 0 < x < 1 entao x2 < x(B) Se x > 1 entao x2 > x(C) Se x < y entao x < x+y

2

(D) Se x(x2 − x− 2) = 0 entao x = 0 ou x = 2 ou x = −1(E) Se x < y e u < v entao xu < yv

Solucao: (A) Verdadeiro. Se 0 < x < 1, entao 0 · x < x · x < 1 · x, ou seja, x2 < x.(B) Verdadeiro.

x > 1⇒ x · x > 1 · x⇒ x2 > x

(C) Verdadeiro.

x < y ⇒ x+ x < x+ y ⇒ 2x < x+ y ⇒ x <x+ y

2

(D) Verdadeiro. De fato, qualquer um dos valores x = 0, x = 2 ou x = −1 satisfaz aequacao.

(E) Falso. De fato, se x = −1, y = 2, u = −5, v = 1 entao (−1).(−5) = 5 > 2.1 = 2.

(29) Em um curso de Ingles com 35 pessoas, 16 sao homens e 11 sao mulheres com 18 anos oumais. Se nesse curso ha 15 pessoas com menos de 18 anos, o numero de homens com 18anos ou mais e:(A) 10(B) 9(C) 8(D) 7(E) 6

Solucao: O numero total de pessoas e 35. Como 16 sao homens, temos que 19 saomulheres. Sabemos que 11 mulheres tem 18 anos ou mais, logo 8 mulheres tem menos de18 anos. Sabemos tambem que 15 pessoas tem menos de 18 anos, e 8 delas sao mulheres,logo 7 sao homens. Como ha 16 homens e 7 deles tem menos de 18 anos obtemos que onumero total de homens com 18 anos ou mais e igual a 9.

(30) Para sua festa de aniversario Joana fez 144 brigadeiros para serem distribuıdos igualmenteentre todas as pessoas que foram convidadas. No dia da festa faltaram 12 pessoas, eladividiu os 144 doces igualmente entre os convidados presentes, cabendo a cada convidadoum doce a mais.O numero de convidados que estavam presentes na festa era:(A) 36(B) 40(C) 42(D) 48(E) 50

12

Solucao: Sejam x o numero de convidados e d a quantidade de brigadeiros para cadapessoa da festa. A questao nos diz que

144x

= d

144x− 12

= d+ 1.

Resolvendo o sistema, obtemos x = 48 e d = 3. Logo, o numero de convidados que estavampresentes na festa era x− 12 = 36.

(31) Um numero e chamado capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita paraa esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo, o numero 77. Quantossao os numeros de tres algarismos que sao capicuas e pares?(A) 40(B) 50(C) 69(D) 99(E) 120

Solucao: Para formar um numero temos os seguintes algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. Como nao podemos iniciar o numero com o algarismo 0, restam 9 possibilidadespara o primeiro algarismo do numero, mas como queremos que o numero seja par, restam4 possibilidades para o ultimo algarismo. Assim temos 4 × 10 × 1 = 40 numeros de tresalgarismos que sao capicuas e pares.

(32) A nota de Joao na disciplina de Fısica sera dada pela media aritmetica das notas dasprovas. Depois das duas primeiras provas sua nota era 3, com a terceira prova sua notaaumentou um ponto. Que nota Joao tirou na terceira prova?(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8(E) 9

Solucao: Sejam n1, n2 e n3 as notas de Joao das 1a, 2a e 3a provas, respectivamente.Entao

n1 + n2

2= 3

n1 + n2 + n3

3= 4.

Daı obtemos n3 = 6.

(33) Na figura, todas as circunferencias menores tem o mesmo raio r e os centros das circun-ferencias que tocam a circunferencia maior sao vertices de um quadrado. Sejam a e b asareas hachuradas indicadas na figura. Entao a diferenca a− b e igual a:

13

(A)12

(B)π

2r

(C) 0(D) r(E) rπ

Solucao: Sejam S1, S2 e S3 as areas hachuradas como mostra a figura abaixo.

Daı vemos que S1 =12πr2, S2 =

14πr2 e S3 =

12πr2. Assim,

S1 + S2 + S3 + b =14π(3r)2

⇒ b = πr2.

A area a e a area de uma circunferencia de raio r, isto e, a = πr2.Portanto, a− b = 0.

(34) Podemos garantir que o numero x =√

3−√

8−√

3 +√

8 e:(A) Irracional e positivo(B) Inteiro e negativo(C) Um numero entre -1 e 0(D) Multiplo de 7(E) Decimal e positivo

Solucao:

x2 = (3−√

8) + (3 +√

8)− 2√

3−√

8 ·√

3 +√

8

= 6− 2√

(3−√

8)(3 +√

8)

= 6− 2√

9− 8

= 4

⇒ x = ±2.

Como√

3−√

8 <√

3 +√

8, segue que x < 0. Logo, x = −2, que e um numero inteiro enegativo.

(35) Quantos divisores positivos e pares o numero 6! = 6× 5× 4× 3× 2× 1 possui?(A) 36(B) 30(C) 24(D) 12(E) 8

Solucao: