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Solução de exercicios
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218 Neemias Alves de Lima
Lista 1
1. Suponha que a equação descreva o
movimento de um objeto em particular, com tendo a
dimensão de comprimento e , a dimensão de tempo. (a)
Determine as dimensões das constantes e .
Solução:
Como o lado esquerdo da equação, “ ” tem dimensão de
comprimento, então o lado direito “ ” deve ter.
Assim
Logo tem dimensão de comprimento por tempo ao cubo.
No SI seria .
Fazendo do mesmo modo para o outro termo
Logo tem dimensão de comprimento por tempo, ou
velocidade. No SI seria .
2. A unidade SI da força, o quilograma-metro por segundo a
quadrado ( ), é chamada de Newton ( ). A
magnitude da força ( ) que uma mola exerce quando
219 Notas de Aula de Física, Mecânica
distendida de uma distância a partir de seu comprimento
quando frouxa é governada pela lei de Hooke, . Quais
são as dimensões da constante de força, ?
Solução:
Portanto a constante de força tem dimensão de massa
sobre tempo ao quadrado, o que no SI corresponde a .
3. Uma peça maciça de chumbo tem massa de 23,94 g e volume
de . Com base nesses dados, calcule a densidade do
chumbo em unidades no SI (quilogramas por metro cúbico).
Solução:
A resposta final nesta operação de dividir tem três algarismos
significativos porque “2,10” o número com menor número de
algarismos tem três algarismos significativos.
4. Qual é a área de uma sala retangular de 2,52 m por 3,0 m?
Solução:
220 Neemias Alves de Lima
A resposta deve ter dois algarismos significativos, pois na
multiplicação o número “3,0” é o que tem menos algarismos
significativos, e são dois.
Lista 2
1. Um carro de montanha-russa move-se 10 m horizontalmente
e sobe 7,0 m em um ângulo de acima da horizontal.
Depois, move-se 7,0 m a um ângulo de para baixo.
Qual é a distância final a partir do ponto de partida?
Solução:
Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo
para a direita e o eixo para cima, se o carro parte da
origem do sistema de coordenadas os vetores deslocamentos
são os seguintes:
A distância final é dada pelo módulo do vetor resultante:
Logo, a distância final do ponto de partida é
O resultado final tem apenas dois dígitos porque os
deslocamentos dados têm dois algarismos significativos. Nos
221 Notas de Aula de Física, Mecânica
cálculos intermediários mantemos um algarismo a mais para
evitar erros de arredondamento.
2. Uma força de módulo 8,00 unidades age sobre um corpo
na origem em uma direção acima do eixo
positivo. Uma segunda força de módulo unidades
age sobre o mesmo corpo na direção do eixo negativo.
Encontre o módulo e a direção da força resultante .
Solução:
Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo
para a esquerda e o eixo para cima, as representações
vetoriais dos vetores força são:
A força resultante é:
O módulo desta força resultante é
A direção é dada pelo ângulo que esta força faz com o eixo
. Usando a função tangente para calcular este ângulo
temos:
222 Neemias Alves de Lima
Portanto, as respostas considerando os algarismos
significativos são que a força resultante tem módulo igual a
e a direção é de abaixo do eixo
positivo, porque a componente da força resultante é
positiva (vale ) e a componente é negativa
(vale ). Note que embora o ângulo seja
fornecido com três algarismos significativos, a precisão dele é
de uma casa decimal!
3. Considere três vetores deslocamento ,
, e . Use o método das
componentes para determinar (a) o módulo e a direção do
vetor e (b) o módulo e a direção do vetor
.
Solução:
(a) A soma é
Logo, o módulo do deslocamento resultante é
A direção é o ângulo que faz com o eixo :
Portanto o deslocamento final é de 4 m e o ângulo para
baixo do eixo positivo, pois e .
(b) A soma:
223 Notas de Aula de Física, Mecânica
Logo, o módulo é
A direção é o ângulo que faz com o eixo :
Portanto o módulo de é de 13 m e o ângulo para cima
do eixo negativo, pois e .
4. Que ângulo, em radianos e em graus, os vetores
e fazem entre si?
Solução:
Podemos determinar usando a definição de produto escalar
.
Os módulos dos vetores são:
Assim
224 Neemias Alves de Lima
Portanto, o ângulo que os vetores fazem entre si é de
ou .
Lista 3
1. A posição de uma partícula é dada por , onde
está em metros e em segundos. Determine (a) a posição,
(b) a velocidade e (c) a aceleração dela em . (d) Qual
é a coordenada positiva máxima que ela consegue ir e (e) em
que instante de tempo isto ocorre? (f) Qual é a velocidade
positiva máxima que ela atingida e (g) em que tempo
acontece? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante
em que ela não está se movendo (além do instante
)? (i) Determine a sua velocidade média entre 0,0 e 3,0
s.
Solução:
(a) A equação horária da partícula é ,
quando temos:
(b) A velocidade é:
Quando , segue:
225 Notas de Aula de Física, Mecânica
(c) A aceleração:
Quando :
(d) A coordenada positiva máxima pode ser obtida
calculando o ponto máximo da função:
De acordo com os estudos de Cálculo o máximo ou
mínimo de acontece quando a sua derivada
primeira é igual a zero e sua derivada segunda é
negativa. Ora, a derivada primeira é justamente a
velocidade da partícula, então se vê que quando a
partícula fica em repouso, momentaneamente, é quando
é máximo (ou mínimo). Como a potência maior do
polinômio tem coeficiente negativo, isso implica que a
derivada segunda, que é a aceleração, é negativa e
portanto vamos obter um ponto de máximo.
Calculemos então este ponto:
As raízes são:
Em :
a partícula está na origem.
Em :
226 Neemias Alves de Lima
Portanto coordenada positiva máxima que a partícula
alcança é de .
(e) O tempo em que a partícula chega em é .
(f) A velocidade positiva máxima atingida pela partícula
acontece quando a sua derivada é igual a zero e sua
derivada segunda é negativa. Como a derivada da
velocidade é a aceleração, temos que encontrar os
tempos em que a aceleração se torna nula:
Para este tempo a velocidade ( ) é
Note que a derivada segunda da velocidade (ou derivada
da aceleração) é negativa, tal que realmente estamos
tratando de uma velocidade positiva máxima e não
mínima. Isso também pode ser visto que para um tempo
maior que 4,0 s a velocidade é sempre negativa, e cada
vez maior.
(g) A velocidade positiva máxima acontece em 2,0 s.
(h) Em (d) determinamos os tempos em que a partícula está
em repouso, ou velocidade nula, isso ocorre nos tempos
0,0 s e 4,0 s. Em 4,0 s a aceleração é
227 Notas de Aula de Física, Mecânica
(i) A velocidade média é calculada pela razão do
deslocamento pelo respectivo intervalo de tempo
2. No instante em que um sinal de trânsito fica verde, um
automóvel começa a se mover com uma aceleração
constante de 2,3 . No mesmo instante, um caminhão,
que se move com uma velocidade constante de 40 km/h,
ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do sinal o
automóvel alcança o caminhão? (b) Em que instante isso
acontece, contado a partir da abertura do sinal. (c) Qual é a
velocidade do automóvel, em km/h, nesse instante?
Solução:
Temos aqui dois objetos em movimento, vamos chamar de
a posição do caminhão e de a posição do automóvel
em função do tempo. O automóvel se movimenta com
aceleração constante, e o caminhão com velocidade
constante, e o tempo é computado a partir do momento em
que eles estão na mesma posição na primeira vez, que é o
sinal (ou semáforo). Esta posição será a origem do nosso
sistema de coordenadas. As equações horárias do
movimento do caminhão e do automóvel são
respectivamente:
onde
228 Neemias Alves de Lima
A posição de reencontro entre os dois móveis implica que:
A posição em que eles estão neste instante é
Então respondendo, (a) o automóvel encontra de novo o
caminhão a 110 m do sinal, e isso ocorre (b) em 9,7 s.
(a) A velocidade do automóvel durante a ultrapassagem é
3. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e
permanece em contato com o solo por antes de
parar completamente. (a) Qual é o módulo de aceleração
média da bola durante o tempo de contato com o solo?
(Trate a bola como uma partícula.) (b) A aceleração média é
para cima ou para baixo?
229 Notas de Aula de Física, Mecânica
Solução:
(a) A aceleração média é a razão da variação de velocidade
pelo respectivo intervalo de tempo em que ocorre esta
variação. Como temos o intervalo de tempo e a
velocidade final, que é zero, falta apenas a velocidade da
bola quando ela entra em contato com o chão. Vamos
calcular esta velocidade.
Como a bola cai de uma altura de 15,0 m, se
aproximarmos este movimento pelo movimento de
queda livre, podemos usar a fórmula de Torricelli para
obter a velocidade quando ela chega ao solo. A fórmula
de Torricelli diz:
Aqui consideramos o chão como o zero do eixo de
coordenadas , cujo eixo positivo aponta para cima em
direção ao céu. Assim, supondo a velocidade inicial da
bola igual a zero quando solta em , temos:
Logo, o módulo da velocidade ao tocar no solo vale:
e como ela está caindo no sentido negativo do eixo de
coordenadas, então
Esta será a velocidade inicial nesta segunda etapa do
movimento em que o solo interage com a bola.
Agora calcularemos a sua aceleração média da bola
durante o contato com o chão:
230 Neemias Alves de Lima
(b) Como o sinal da aceleração média é positiva, isso implica
que e ela é para cima, como é o esperado.
Lista 4
1. A posição de uma partícula que se move em um plano é
dada por , com
em metros e t em segundos. (a) Obtenha , e para
. (b) Desenhe o vetor posição no instante
, e então os vetores e neste mesmo instante
com suas origens na extremidade do vetor . (c) Que ângulo
fazem estes vetores entre si? Em que direção aponta a
aceleração? (d) Que trajetória está fazendo a partícula?
Solução:
(a) A posição em é
A velocidade em qualquer instante é:
No instante :
231 Notas de Aula de Física, Mecânica
A aceleração em qualquer instante é:
No instante :
(b) O desenho dos vetores posição, velocidade e aceleração
no instante é:
(c) Enquanto a aceleração aponta na direção contrária do
vetor posição, a velocidade é perpendicular à aceleração.
(d) A trajetória realizada pela partícula é dada pela função
. Então temos que expressar a coordenada em
função da coordenada .
Sendo:
vemos que
ou seja:
232 Neemias Alves de Lima
Esta equação é igual à de um círculo de raio com
centro no ponto :
portanto, a partícula descreve uma trajetória circular de
raio igual a 2 com centro na origem do sistema de
coordenadas.
2. Uma pedra, atirada horizontalmente do alto de uma torre
de 24 m de altura, atinge o chão em um ponto que dista 18
m da base da torre. (a) Encontre a velocidade com que a
pedra foi atirada. (b) Encontre a velocidade da pedra justo
antes de atingir o chão.
Solução:
(a) Neste problema queremos saber a velocidade de
lançamento da pedra, e sabemos que o lançamento é
horizontal, o que implica que o ângulo de lançamento é
zero. Além desta informação temos que o alcance
horizontal da pedra são 18 m e a altura do lançamento
são 24 m. Com estes dados podemos determinar a
velocidade de lançamento com a equação da
trajetória de um projétil:
Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na
base da torre, temos que a posição inicial da pedra é
e a posição final,
233 Notas de Aula de Física, Mecânica
Mais a informação de que o lançamento é horizontal
( ), da equação da trajetória temos:
(b) Para determinar a velocidade da pedra ao impactar com
o solo resta apenas calcular a componente desta
velocidade, pois a componente já conhecemos:
A componente podemos obter usando a fórmula de
Torricelli já que conhecemos a aceleração (de queda
livre), o deslocamento (diferença entre as alturas final e
inicial) e a componente da velocidade inicial, que é
nula. Assim,
A velocidade da pedra justo antes de atingir o solo é
234 Neemias Alves de Lima
3. O cano de um canhão está elevado de acima da
horizontal. Ele dispara uma bala com uma rapidez de 300
m/s. (a) Que altura a bala atinge? (b) Quanto tempo a bala
fica no ar? (c) Qual o alcance horizontal da bala de canhão?
(Ignore a resistência do ar.)
Solução:
Em todos os cálculos a seguir estamos ignorando a
resistência do ar de modo que as equações de movimento de
um projétil podem ser usadas.
(a) Queremos saber a altura que a bala de canhão atinge, e
sabemos o ângulo de lançamento, a velocidade inicial e a
velocidade final (porque no ponto mais alto a velocidade
é igual à componente da velocidade inicial). Se
conhecêssemos a distância final da boca do canhão
poderíamos usar a fórmula da trajetória:
Como não podemos usar a equação da trajetória para
responder a pergunta, vejamos outra abordagem. O
interesse da questão se resume ao eixo vertical .
Conhecendo-se as componentes das velocidades final e
inicial, e a aceleração nesta direção, podemos usar a
fórmula de Torricelli para calcular o deslocamento em ,
e portanto a altura que a bala atinge!
235 Notas de Aula de Física, Mecânica
Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na
boca do cano do canhão, temos que a posição inicial da
pedra é
e a posição final
mais a informação de que o lançamento ocorre em um
ângulo , temos:
e sendo:
na altura máxima, segue pela fórmula de Torricelli,
que:
Portanto, a altura que a bala atinge é de .
(b) O tempo que bala fica no ar é o tempo que ela leva para
atingir a altura máxima e voltar de novo à altura de onde
foi lançada. Aqui estamos desprezando o tempo que ela
leva para ir da altura da boca do canhão até o solo.
Este tempo podemos calcular usando a equação horária
da altura ou da velocidade,
236 Neemias Alves de Lima
A componente da velocidade quando a bala retorna à
altura de seu lançamento é
Então, a equação horária da velocidade nos dá o tempo
que a bala permanece no ar:
Portanto, a bola permanece no ar durante 31 segundos.
(c) O alcance horizontal da bala é a distância horizontal
percorrida pela bala durante sua permanência no ar.
Como a velocidade horizontal é constante e igual a
e conhecemos o tempo em que a bala permanece no ar,
então:
Assim, o alcance horizontal da bala é uns 8000 m, ou 8,0
km.
237 Notas de Aula de Física, Mecânica
Lista 5
1. Uma partícula se move em um plano . Suas coordenadas
são dadas em função do tempo por:
onde e são constantes. (a) Faça um esboço da trajetória
da partícula. (Essa curva é a trajetória de um ponto que se
desloca na periferia de uma roda que rola com velocidade
constante numa superfície horizontal. A curva traçada por
esse ponto enquanto ele se move no espaço denomina-se
ciclóide.) (b) Determine os componentes e os módulos da
velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo
. (c) Para que instantes a partícula está momentaneamente
em repouso? (d) Quais são as coordenadas e da
partícula nesses instantes? (e) Compare este movimento com
o movimento circular uniforme.
Solução:
(a) A trajetória é dada pela função , para este caso não é
tão fácil chegar a tal função, mas mesmo assim podemos
conhecer a trajetória fazendo a seguinte manipulação
matemática:
Elevando ao quadrado ambos lados das equações (1) e (2) e
somando as equações resultantes temos:
238 Neemias Alves de Lima
como a soma do seno ao quadrado com o cosseno ao
quadrado é 1, então:
Esta é a equação de um círculo com centro nas posições:
Enquanto a altura do centro do círculo está fixa em a
posição de aumenta linearmente com o tempo. Ou seja, a
partícula realiza um movimento circular combinado com um
movimento de translação com velocidade constante na
direção do eixo positivo igual a
A trajetória desta soma de movimentos se chama ciclóide, e
é a trajetória realizada por um ponto em uma roda que gira
com velocidade angular constante sem deslizar.
(b) Cálculo das componentes da velocidade:
239 Notas de Aula de Física, Mecânica
então o módulo da velocidade é:
Ou seja:
Cálculo da aceleração:
assim o módulo da aceleração é:
Ou seja:
(c) A partícula está momentaneamente em repouso nos
instantes que são soluções da equação:
Ou seja:
que implica nos instantes:
240 Neemias Alves de Lima
Em termos do período do movimento, isso é, do tempo em
que o ponto realiza uma volta completa, estes instantes são:
Ou seja, são múltiplos inteiros do período, isso é, a cada volta
completa há um ponto que fica momentaneamente em
repouso.
(d) Neste item do problema calcularemos as coordenadas
deste ponto especial que fica em repouso a cada volta.
Substituindo
nas coordenadas
temos:
Portanto, sempre que a partícula passar pela altura o
deslocamento de sua coordenada será um múltiplo do
perímetro do círculo de raio e sua velocidade será zero.
(e) A semelhança com o movimento circular uniforme é a
aceleração que são iguais.
2. A Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo
em 24 horas. (a) Qual é a aceleração radial de um objeto no
equador da Terra? Dê sua resposta em e como uma
fração de (a aceleração da gravidade). (b) Se no
241 Notas de Aula de Física, Mecânica
equador fosse maior do que , os objetos seriam ejetados da
Terra e voariam para o espaço. (Veremos a razão disso
quando estudarmos as leis de Newton do movimento.) Qual
deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para que
isso ocorresse?
Solução:
(a) A aceleração radial de um objeto no equador da Terra é
dado pela equação
onde é a velocidade do ponto onde está o objeto e é o
raio da Terra. Como a Terra gira com velocidade de módulo
constante, um ponto no equador tem velocidade igual a
Assim:
Como uma fração da aceleração gravitacional temos que:
(b) Para que a aceleração radial seja no mínimo igual à
aceleração da gravidade, o período de rotação da Terra é
calculado assim:
242 Neemias Alves de Lima
que em horas equivale a
Lista 6
1. Um bloco em forma de cunha (Figura) tem uma aceleração
para a direita que mantém o carrinho parado na face
inclinada. As rodas do carrinho, e da cunha, são pequenas e
os mancais estão bem lubrificados. (a) Mostre que .
(b) Que ocorre se .
Solução:
(a) O diagrama de corpo livre para o carrinho no plano
inclinado é:
243 Notas de Aula de Física, Mecânica
Escolhemos o eixo na direção da aceleração (o que é
extremamente recomendado). Aplicando a segunda lei de
Newton a este diagrama temos as seguintes componentes da
força resultante:
A componente é zero porque o carrinho não desce o plano
inclinado para ter aceleração neste eixo.
Das duas equações acima vêm que:
Pelo diagrama temos que
244 Neemias Alves de Lima
logo
(b) Se não podemos dizer que a força resultante
em é nula, assim:
A componente é:
Substituindo o valor (2) em (1):
Como segue que , e portanto o carrinho vai
subir o face inclinada da cunha.
2. A massa do bloco suspenso na Figura é 50 kg. Determine a
tensão em cada corda.
245 Notas de Aula de Física, Mecânica
Solução:
O diagrama de corpo livre para o bloco é:
Como ele está em equilíbrio estático segue pela primeira lei
de Newton que:
Expressando estas equações em termos dos módulos das
tensões e dos ângulos temos:
246 Neemias Alves de Lima
De (1) temos:
que substituímos em (2) para resolver o sistema de
equações:
Então
Portanto, as tensões são e
247 Notas de Aula de Física, Mecânica
Lista 7
1. O bloco B da figura pesa 700 N. O coeficiente de atrito
estático entre o bloco e a mesa é 0,25, o ângulo é de ,
suponha que o trecho da corda entre o bloco B e o nó é
horizontal. Determine o peso máximo do bloco A para o qual
o sistema permanece em repouso.
Solução:
Quando peso do bloco A for máximo, a força de atrito de B com a
superfície será máxima.
Do diagrama de corpo livre do bloco B temos:
Do diagrama de corpo livre do nó:
248 Neemias Alves de Lima
Do diagrama de corpo livre do bloco A temos:
De (5) temos que o peso de A é igual a tração
temos que obter esta tensão, portanto. De (4):
e de (3):
logo
De (1):
onde o valor da normal, por (2), é igual ao peso do bloco B:
249 Notas de Aula de Física, Mecânica
Portanto:
2. Na Figura abaixo, é o mesmo entre cada bloco e a
superfície, e . O sistema está em movimento
conforme apresentado na figura e e
. Determine (a) a aceleração do sistema e (b) a tensão
no fio. Despreze o atrito e os efeitos rotacionais na polia.
Solução:
Do diagrama de corpo livre do bloco A temos:
Do diagrama de corpo livre do bloco B temos:
250 Neemias Alves de Lima
De (2) e (4) obtemos as forças normais em cada bloco, que
substituímos em (1) e (2):
Somando (5) e (6) obtemos a aceleração:
A tensão no fio é dada por:
251 Notas de Aula de Física, Mecânica
3. Mr. Bean passa com seu carro com velocidade constante por
uma elevação circular e por uma depressão circular de
mesmo raio. No alto da elevação a força normal exercida
sobre ele pelo assento do carro é zero. A massa de Mr. Bean
é de 70,0 kg. Qual é o módulo da força normal exercida pelo
assento sobre ele quando o carro passa pelo fundo do vale?
Solução:
Do diagrama de corpo livre no alto da colina temos:
Do diagrama de corpo livre na baixada da colina temos
(velocidade igual ao do alto da colina):
Substituindo (1) em (2):
252 Neemias Alves de Lima
4. Um disco de metal de massa descreve uma
circunferência de raio sobre uma mesa sem
atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro de massa
que está pendurado por um fio que passa por
um furo no centro da mesa. Que velocidade do disco
mantém o cilindro em repouso?
Solução:
Do diagrama de corpo livre do disco temos:
Do diagrama de corpo livre do cilindro:
assim
Logo:
253 Notas de Aula de Física, Mecânica
5. Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo em
24 horas. Prove que se a aceleração radial no equador fosse
maior do que os objetos seriam ejetados da Terra e
voariam para o espaço. Qual deveria ser o período mínimo de
rotação da Terra para que isso ocorresse?
Solução:
Do diagrama de corpo livre de um objeto no equador temos:
então:
Um objeto perde contato com a superfície da Terra quando a
força normal se torna nula, então pela equação acima temos
que a aceleração radial não pode ser maior que a aceleração
da gravidade, porque se isso acontece o corpo é lançado para
o espaço.
Quando a normal é nula temos a condição mínima para isso
acontecer, então:
Isolando o período temos: