NOMBRE: IVON ARCE MORALES

CARRERA: LICENCIATURA INFORMATICA ADMINISTRATIVA

NIVEL: QUINTO CUATRIMESTRE

MATERIA: ADMINISTRACION DE CENTRO DE COMPUTO

PROFESOR: LI GABRIEL FLORES GONZALEZ

PROYECTO: SOLUCION NUMERICA DE METODO DE GAUSS JORDAN

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Tabla de contenido

Introduccin... Desarrollo Conclusiones.. Bibliografa.. Anexos

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Introduccin

La solucin de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicacin en la ciencia y la tecnologa. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniera existe al menos una aplicacin que requiera del planteamiento y solucin de tales sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniera y Licenciatura en informtica, en la materia Complementos de Matemticas, se incluya el tema solucin de sistemas de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordan, por las ventajas que ste ofrece. Esperamos que estas notas sirvan de apoyo para aquellos alumnos que han llevado o lleven el curso de Complementos de Matemticas, que por alguna razn deseen contar con un material sucinto del tema, con ejercicios similares a los que se proponen en los exmenes departamentales. Tambin resulta til para quienes estn interesados en aprender y ejercitar el mtodo de Gauss-Jordan.

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Eliminacin de Gauss-Jordan En matemticas, la eliminacin Gaussiana, eliminacin de Gauss o eliminacin de Gauss-Jordan, llamadas as debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".

Desarrollo El Mtodo de Gauss Jordan o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordan, es un mtodo por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nmeros de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicacin mencionada. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este mtodo, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notacin matricial:

Entonces, anotando como matriz (tambin llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuacin se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

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Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin; teniendo en cuenta que una operacin se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso. Obsrvese que en dicha matriz identidad no aparecen los trminos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos trminos resultaran ser la solucin del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondindose de la siguiente forma:

d1 = x d2 = y d3 = z

Ahora que estn sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este mtodo. Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solucin, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

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Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1 fila de la matriz original en el 1 de la 1 fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1 fila por el inverso de 2, es decir .

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que ser -3 y el opuesto de 5 que ser -5.

Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de los elemento de la 1 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2 fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1 fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3 fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1 fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la tercera fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2 fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Adems si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3 fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del mtodo, es til para facilitar clculos posteriores.

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Anlisis de Complejidad La complejidad computacional de la eliminacin gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el nmero de operaciones requeridas es n3 si el tamao de la matriz es n n. Algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordan 1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos adecuados del rengln superior a los renglones debajo de l 4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escaln) 5. Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando mltiplos correspondientes a los renglones correspondientes Una variante interesante de la eliminacin de Gauss es la que llamamos eliminacin de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) as para cuando estos finalicen ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida Ejemplo Supongamos que es necesario encontrar los nmeros simultneamente estas ecuaciones: x, y, z, que satisfacen

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuacin por un escalar no nulo. Intercambiar de posicin dos ecuaciones Sumar a una ecuacin un mltiplo de otra.

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Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan tambin en otros procedimientos como la factorizacin LU o la diagonalizacin por congruencia de una matriz simtrica. En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuacin sumando 3/2 veces la primera ecuacin a la segunda y despus sumamos la primera ecuacin a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuacin sumando -2 veces la segunda ecuacin a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuacin a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuacin sumando -2 veces la tercera ecuacin a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuacin a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notacin matricial: Primero:

Despus,

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Por ltimo.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraramos con una fila como esta:

Que representa la ecuacin: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solucin. Forma escalonada y escalonada reducida Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas cero estn en la parte inferior de la matriz. 2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, ste es llamado "pivote"; stos estn a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero). Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Adems, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de rengln escaln o tan solo en forma escalonada reducida. 1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1 2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos. Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondera a una variable que nunca habra aparecido. Sin embargo esta situacin puede presentarse (imaginemos la ecuacin de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). As la matriz

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Tambin es una matriz escalonada. Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fcil discutirlo (es decir, determinar cuntas soluciones tiene): 1. Cuando aparece un pivote en la columna de los trminos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solucin). 2. En otro caso el sistema es compatible. Si adems el nmero de pivotes coincide con el nmero de incgnitas el sistema es compatible determinado (tiene una nica solucin). Cuando el nmero de pivotes es menor que el nmero de incgnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parmetros como indique la diferencia entre el nmero de incgnitas y el nmero de pivotes).

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Conclusin

Con la presente investigacin, se puede concluir, lo siguiente: Las matemticas pueden ser aprendidas por todos incluso por los alumnos que los maestros consideran de lento aprendizaje. - El alumno es capaz de construir su propio aprendizaje mediante actividades orientadas al auto descubrimiento de nuevos conocimientos. - La creatividad no es una cualidad exclusiva de las ciencias grficas, los alumnos de matemticas son capaces de encontrar diferentes soluciones a un mismo problema, incluso soluciones ms eficientes. - Los alumnos pueden generar sus propios axiomas en matemticas, entender los axiomas matemticos puede ser de gran ayuda para que los alumnos comprendan la filosofa de hacer matemticas. - El aprendizaje de las matemticas es un proceso y como tal nunca puede darse por concluido. - El proceso inductivo del aprendizaje de las matemticas es una manera eficiente y diferente del tipo de proceso deductivo, el alumno se apropia del conocimiento ms rpidamente obteniendo habilidades mentales de pensamiento.

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Bibliografa

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminacion_de_Gauss-Jordan http://www.uv.es/diaz/mn/node30.html

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ANEXOS EXPLICION DE EJERCICIOS

Mtodo de Gauss-JordanComo hemos visto, el mtodo de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El mtodo de Gauss-Jordan contina el proceso de transformacin hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ).

Veamos el mtodo de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el mtodo de Gauss habamos llegado a la siguiente ecuacin:

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el mtodo de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuacin por y la restamos a la primera:

Realizamos la misma operacin con la segunda y tercera fila, obteniendo:

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Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuacin por la primera:

y la restamos a

Repetimos la operacin con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuacin por primera:

y la sumamos a la

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fcil de resolver. Empleando la ecuacin (46) obtenemos las soluciones:

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