PRESENTACIN

A travs de este presente informe que contiene la resolucin de problemas de flujo compresible nos presentamos un grupo de estudiantes del rea de Mecnica de Fluidos con la finalidad de potenciar los conocimientos tericos asimilados durante el desarrollo del curso a travs de la resolucin de problemas tipo, detallaremos nuestra forma de trabajar dichos problemas, con nuestras propias ideas e introduciendo la programacion como una herramienta til para el desarrollo de dichos ejercicios presentados ms adelante.

INTRODUCCION

A travs del desarrollo del curso hemos ido aprendiendo muchas cosas nuevas las cuales han servido de cimiento para esta parte del curso que trata acerca del flujo compresible, en principio se trat sobre flujos incompresibles en donde en la mayora de los casos no se consideraban los efectos de compresibilidad en problemas dinmicos. Sin embargo en la realidad no se encuentran flujos incompresibles como los que analizan tericamente, debido a que la variacin de la densidad es acompaada por cambios de temperatura y transferencia de calor, los cuales son muy frecuentes en cualquier fenmeno de la naturaleza; a este tipo de flujos se les conoce como flujos compresibles y su estudio es de suma importancia para el desarrollo del rea de Mecnica de Fluidos, para poder analizarlos es necesario utilizar la segunda ley de la termodinmica principalmente, as como el resto de la termodinmica. Al estudiar el flujo compresible se consideraran las mismas caractersticas que para el flujo incompresible, para el desarrollo de los problemas que se presentan se decidi emplear la teora necesaria para la comprensin y el anlisis respectivo de cada uno de los ejercicios, asimismo se hace uso de la programacion para facilitar su desarrollo, cada ejercicio cuenta con sus respectivas conclusiones y los datos que se emplearon los cuales se obtuvieron de diversas de fuentes.

SOLUCION DE FLUJOS COMPRESIBLES EN CONDUCTOS

I.

Problema N01: Se requiere disear una tobera convergente divergente para flujo compresible que fluye helio a una razn de flujo de masa 8 kg/s, si las condiciones de estancamiento a la entrada son 1000 kPa y 350 C. Considere que el flujo es isoentrpico y el conducto sin friccin, y determine: a) Grafique la forma del conducto a escala para intervalos de 100KPa de la cada de presin hasta la presin de salida Ps=100Kpa. b) Grafique el comportamiento del nmero de Mach, razn de presiones, ratio de densidades y ratio de temperaturas de acuerdo a la forma del conducto.

SOLUCIN: Hiptesis: Flujo isoentropico, adiabtico Cv = ctte Cp = ctte = Cp/Cv Flujo unidimensional. Conducto sin friccin. Sin gravedad.

Procedimiento: Para poder solucionar el problema se utiliza las ecuaciones de la energa y de la conservacin de la masa aplicados a un flujo compresible adiabtico e isotrpico.

De la ecuacin de la energa.

Con NOTA:

y Pi = P0 100kPa

Se debe resaltar que en este caso el subndice cero quiere decir condicin inicial y no condicin de remanso. Adems la entropa es siempre la misma S0 = S1 entonces dado que se tiene un gas ideal y con las condiciones dadas se puede aplicar la ecuacin:

( ) De lo que se tiene:

( ) Con: T0 = 350C , de las tablas se puede ver que el calor especfico del Helio es prcticamente constante e igual a ideal. . Y con la ecuacin de gas

y ( )

Ahora como:

Entonces se puede hallar: ( )

( (

) )

(

)

De la ecuacin de la continuidad: ( )

Para la solucin del problema se utiliz los siguientes algoritmos los cuales fueron hechos en MATLAB y se encuentran en los anexos. Par la elaboracin de estos se tom presiones segn:

Es decir con 900 puntos. Archivo laval para el clculo del rea: P0=input('introduzca la presin inicial: '); T0=input('introduzca la temperatura inicial: '); m=input('introduzca el flujo msico '); R=input('introduzca la constante univerzal '); Cp=input('introduzca el calor especfico a presion cosntante '); G=input('introduzca coeficiente adiabtico ');

h0=input('introduzca la entalpia inicial '); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 h(n)=Cp*T(n); end for n=1:900 V(n)=sqrt(2*(h0-h(n))); end for n=1:900 Vs(n)=(G*R*T(n))^0.5; end for n=1:900 Ma=V(n)/Vs(n); end for n=1:900 Ro(n)=P(n)/(R*T(n)); end for n=1:900 A(n)=m/(Ro(n)*V(n)); end disp([A]); Datos del rea. Archivo Mach para el clculo del nmero de MACH, densidad (Ro) y temperatura (TR). P0=input('introduzca la presin inicial: '); T0=input('introduzca la temperatura inicial: '); m=input('introduzca el flujo msico '); R=input('introduzca la constante univerzal '); Cp=input('introduzca el calor especfico a presion cosntante '); G=input('introduzca coeficiente adiabtico '); h0=input('introduzca la entalpia inicial '); for n=1:900

P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 h(n)=Cp*T(n); end for n=1:900 V(n)=sqrt(2*(h0-h(n))); end for n=1:900 Vs(n)=(G*R*T(n))^0.5; end for n=1:900 M(n)=V(n)/Vs(n); end disp([M]); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 Ro(n)=P(n)/(R*T(n)); end disp([Ro]); for n=1:900 P(n)=(P0-1000*n)/P0; end disp([P]); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 TR(n)=(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end disp([TR]); RESULTADOS:

Las grficas de los slidos y las simulaciones son solo referenciales.

GRFICA DE LAS DESIDADES, TEMPERATURAS Y PRESIONES.

ANLISIS DE RESULTADOS. Respecto a los grficos de SolidWorks que parecen bajo las curvas se tiene que decir que son solo referenciales utilizadas solo para ver el comportamiento del fluido y verificar que se cumple lo que se ha hecho al solucionar este problema. Otro punto es resaltar el hecho que al graficar el radio de la tobera (hallado a partir de los resultados del rea y tomando la seccin de la tobera como circular) se hiso versus una posicin la cual est sin unidades.

CONCLUSIONES. Se puede decir que los resultados que se predicen con las ecuaciones de flujo compresible usadas si se predice el comportamiento y se logra disear una tobera para cierto comportamiento (como el dado para las presiones) lo cual hasta ahora se ha probado con simulacin en SolidWorks. Como era de esperarse y en forma de comprobacin del mtodo usado se puede ver que en la ltima grfica el comportamiento de la temperatura, densidad y presin normalizadas es el mismo que el que se muestra en la bibliografa.(Mecnica de Fluidos-Frank White-Chap-9-Flujo compresiblepag.610-6ta edicin-ISBN: 978-84-481-6603-8)

II.

PROBLEMA N02: Fluye aire a travs de un conducto adiabtico de dimetro 10 cm con condiciones en la entrada 200 m/s, 500 k y 200 kPa y un nmero de Mach a la salida Ma2=1. Para estudiar el efecto de la longitud del ducto en la razn del flujo de masa y velocidad de entrada, se modificar la longitud del ducto mientras que P1 y T1 permanecen constantes. Tome el factor de friccin del diagrama de Moody considerando tubera de acero comercial y calcule la razn del flujo de masa y la velocidad de entrada para varias longitudes de extensin y grafquelas.

Hiptesis:

- Tubera de acero comercial (e =0.15 ) - Flujo adiabtico, gas ideal - f de Moody ( )

Procedimiento:

Entonces: ( )

(

)

(

)

Se calcula ( Ahora )

Pero: L* Lo

Con Lo Luego:

(Ma)1*

(Vs) = (RT)1/2 (V1) = (Vs).Ma*

SOLUCIN

[(

)(

)(

)]

Luego:

Del Apndice B, tabla B-3 del Libro de Mecnica de Fluidos del autor F. White, obtenemos los siguientes datos, interpolando:

( ( ) )

( ( (

) ) )

(

(

)

)

( ( ( (

) ) ) )

Resultados y grfica para la temperatura a lo largo del conducto de un metro de longitud con las condiciones dadas en el problema en el cual la salida es snica y por tanto bloqueada. Posicin 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.55 0.6 0.7 0.8 1 Temperatura 441.7093 445.4373 448.9526 455.342 455.3618 456.7592 458.2426 460.8207 463.4449 467.9698

ANLISIS DE RESULTADOS: Debido al uso de la tabla B-2 (anexos del libro Frank White), en el cual nos presentan los valores de un factor de friccin promedio, para diferentes Ma; obtenemos que para longitudes L/2, L, 2L, 4L, los resultados finales del flujo msico y velocidad, por lo tanto el Ma de entrada son las mismas en todos los casos, debido a que la longitud de tubera queda multiplicada por un factor, el cual tambin queda multiplicada al factor de friccin promedio.

CONCLUSIONES. Al finalizar con el ejercicio llegamos a la siguiente conclusin: Al utilizar la tabla B-2 mencionada anteriormente los clculos son muy alejados a los reales, debido a que en el clculo del factor de friccin promedio no se tiene en cuenta la rugosidad relativa del material ni el nmero de Reynolds promedio en toda la tubera, es decir son datos adimensionales brindados para cualquier material.

III.

PROBLEMA N03 Un compresor de aire tiene las curvas de operacin que se muestra en la figura, el compresor descarga aire a una temperatura 60 C a travs de una tubera de dimetro 20 cm. La tubera tiene una longitud L y descarga a la atmsfera a Ps= 1 atm. Determine el caudal msico a travs de la tubera de 90 metros de longitud..

HIPTESIS: Flujo adiabtico y aislado. Gas ideal (aire): Cv = ctte Cp = ctte = Cp/Cv Sin gravedad. Flujo unidimensional. Flujo permanente Conducto de seccin constante

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIN: Para la resolucin del problema se va a seguir la siguiente metodologa: Debido a que para cierto caudal escogido se tiene la presin de entrada al conducto y a adems como el aire sale del compresor a una temperatura constante Ts=60C entonces para la entrada se podr obtener la velocidad del sonido en la entrada, la densidad y con el caudal escogido la velocidad de entrada con lo cual se calcula el Mach para el clculo del factor de friccin se tendr que hallar una viscosidad y Reynolds medio pero en este caso se asumir que estos parmetros no varan mucho a lo largo del conducto y se hallarn con las condiciones de entrada, luego al hallar las condiciones de salida se comprobar que este hecho es cierto. La viscosidad del aire se calcular con la ecuacin de la ley de Sutherland para la viscosidad: ( Donde Para hallar la relacin entre Y utilizando la ecuacin: ) ( )

(

)

(

)

Se halla ( ) con lo que se calcula el mach de la salida y como se tiene la temperatura en el punto snico por tablas se halla la temperatura de salida y como la presin de salida es la atmosfrica se tiene una densidad de salida y si se aplica la ecuacin de continuidad en la entrada y salida se tendr que comprobar que el flujo msico sea el mismo, en este caso se comprobar que Siendo A el rea transversal de la tubera la cual es constante. Cuando lo anterior suceda entonces se podr decir que se ha encontrado el punto de operacin del compresor.

SOLUCIN.

Se utilizan la tabla B.3 de flujo viscoso adiabtico en una tubera de rea constante para cuando K=1.4, es decir, para el aire. Con esto se procedi al clculo: ( ) Para convertir las unidades al S.I. se tiene: ( ) Entonces si se escoge un caudal de entrada de se tiene que: ( rugosidad del acero galvanizado e=0.15mm. La temperatura de entrada T1=Ts=60C 333.15 K La presin de entrada P1=113860,92 Pa (del grfico proporcionado en el problema). Con lo que se tiene que La viscosidad segn Sutherland sera: Con lo anterior se puede hallar Reynolds: Con lo que si se utiliza la ecuacin de Colebrook se tiene que el factor de friccin es: y se tiene que : Como ( ) Y ) Siendo la

luego se tiene que ( )

entonces

Con lo cual se obtendra un valor de: ( ) negativo lo cual es imposible por lo que esto quiere decir que se debe tomar un caudal ms bajo: Entonces si se escoge un caudal de entrada de P1=283095.866 Pa se tiene que:

Con lo que se tiene: ( )

Y (

)

Con lo que se tiene: y Con lo que se tiene: Y se tiene que

y

Por lo que se elige un caudal ms bajo el cual viendo las condiciones del problema

entre las cuales se ve que el factor de friccin casi no vara por lo que casi no variar por lo que se tiene que escoger un valor del caudal de entrada que provoque un Mach con el cual se tenga que ( ) sea mayor a 8.3 pero lo suficiente como para en la salida el valor de ( ) no sea muy bajo ni muy alto para provocar Machs de salida cercanos a 1 o muy bajos adems se debe resaltar que entre los valores de 80 a 125 pies3/s el valor de casi no vara y su pequea variacin no se nota en la grfica proporcionada por lo que la presin de entrada ser practiamente la misma paralos caudales que se escoger e igual a: y la densidad se mantendr es por eso que haciendo una inspeccin se propone el siguiente caudal: Caudal de entrada de para que segn la tabla Mach sea 0.25 y se tiene que:

Con lo que Con lo que se tiene : (

)

Y ( Con lo que se tiene:

)

y Con lo que se tiene: y Y se tiene que

y

Por lo cual ahora se toma un valor de Mach para la entrada de: Caudal de entrada de para que segn la tabla Mach sea 0.2490908 y se tiene que:

Con lo que Con lo que se tiene :

(

)

Y ( Con lo que se tiene: y Con lo que se tiene: y Y se tiene que

)

y

Ya que solo falla en Por lo que se puede decir que se ha hallado el punto de operacin del compresor y para las condiciones dadas su caudal ser: ANLISIS DE RESULTADOS

Si se analiza a la salida se ver que y Y se puede ver que estos valores difieren en menos del 1% de los que se tom para el clculo lo cual da confianza a lo hecho y hallado en cuanto que se ha hallado un valor correcto o muy cercano al real. Se pudiese obtener mayor precisin en el clculo del punto de operacin si es que se tuviera una grfica P Vs. Caudal mucho ms precisa del compresor en la que se obtenga las presiones con exactitud y adems como para el clculo se ha utilizado las tablas del libro Mecnica de Fluidos de Frank White lo que se ha hecho es interpolar hubiera sido mucho ms preciso si es que se hubiera utilizado las ecuaciones aunque esto solo dara unos decimales ms el caudal de salida se hubiera calculado hasta con 0.1Kg/s de precisin. CONCLUSIONES: Se ha obtenido un punto de operacin del compresor con bastante exactitud ya que la diferencia entre el caudal de salida calculado respecto al asumido es de solo -0.29% . Otra conclusin importante es que para las condiciones dadas se dice que el conducto no est bloqueado ya que . BIBLIOGRAFIA. MECANICA DE FLUIDOS, Frank M. White, 5 Edicin, Ed. Mc. Graw Hill ISBN: 978-84-481-6603-8 MECANICA DE FLUIDOS, Irving H. Shames, 3 Edicin, Ed. Mc. Graw Hill ISBN: 958-600-246-2