Solución Exactas de las Ecuaciones de Einstein.pdf

7/25/2019 Solucin Exactas de las Ecuaciones de Einstein.pdf

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SOLUCIONES EXACTAS DE LAS

ECUACIONES EINSTEIN -

YANG-MILLS ALGEBRAICAMENTEESPECIALES

Memoria presentada por:Jos Antonio Ruiz Martn

Director de la Tesis:Prof. Francisco Javier Chinea Trujillo


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)- - - =zUNIVERSIDADCOMPLUTENSE

1 1 1 1 1 1 1~5314280876

Universidad Complutense de Madrid

Facultadde CienciasDepartamento de Fsica

FsicasTerica JI

SOLUCIONES EXACTAS DELASECUACIONES EINSTEIN -

YANG-MILLS ALGEBRAICAMENTEESPECIALES

Agosto 1992

(3 /;~qMemoria presentada por:

Jos Antonio Ruiz Martnpara optar al Ttulo de Doctor en C.C. Fsicas..Director de la Tesis:

Prof Francisco Javier Chinea Trujillo


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th4ti1~&h


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Agraclee irule ntos

Esta lesis la, sido dirigida, por EJ. Chinea, a l quiero agradecerelhabermepropuesto el tema de trabajo de la misma, queparamiharesultado tan enriquecedor, y e haberme guiado con tanta pacienciaensu desarrollo, hasta. llevar abuen fin este trabajo.

Igualmente importante ha sido la existencia de un ambiente mo-tivador de trabajo einvestigacin dentro del grupode Relatividad di-rigido por EJ. (ihinea. Dentro de lhe recibidolas siempre interesantessugerencias de LXI. CionzalezRomero y Leonardo Fernandez Jambrinaen las peridicas reuniones de trabajo quehemos realizado.

Est..a


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Contenido

1 INTRODUCCION

2 CAMPOS YANG-MILLS. SIMETRA ESFERICA2.1 Simetras espaciotemporales cr teoras gauge

.3

1.1 Campos Yang-Milisconsimetra, esfrica2.1. 2 Simetras adicionales en campos Yang-Milis con

simetra esfrica. Generalizacin de teorema (leBi khoff

2.1.3 Algo mssobre simetra 50(4)

3 CLASIFICACION ALGEBRAICA DE CARMELJ3.1 Particularizacion a lasolucin de Bartnik-McKinnon

3.2 Particularizacion asimetra esfrica

4 SOLUCIONES EXACTAS ENESPACIO PLANO4.1 Espacio Minkowski

4.1.1 k=1, Tipos algebraicosII4. I I ~ 7 ~ ~o ~4.1.2 k=-2, Tipos algebraicos 1 ( 3 .

11o.D0,IIJ0,JWgo

4.2 Espacio Euctideo4.2.1 Mern

4.2.2 Mern-Mern, Mern-Antituern y nuevas sotu-ciones

4.3 Caso esttico. Euclideo y Minkowski

5 SOLUCIONES EXACTAS CON METRICA LORENT-

ZIANA5.1 Planteamiento (leproblema

5

13

1 7

- 20

- 24- 31

33- 37

40

45

4648

50

5154

5556

5961

1


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2 Contenido

o .2 Sim pi li ca cin (le 1a.s ecta.cion es Van g N Ii l Is y algebraicas 635.3 Soluciones estticas 5

- 5 - 1 Condcmii de co rYII)a.tibilid ad - - 675.5 Resolucin (le l a . ecuaciones -- 70-5.6 Ansatz de Bartnik-McI


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Contenido 3

8 CONCLUSIONES 145


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Contenido4


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Captulo 1

INTRODUCCION

En 1 954 apatecio el aituulo de Xang y Milis donde se generalizaba el

concepto de simetra gaugelocal al caso deun grupo interno no abeliano

(~l3, 2 ~ ). Durantelos primerosanos no(lespert


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O Captulo 1. INTRODUCCION

Yang [3]. Pero hay queesperar sobre todo a las tiesto q e to 0 gatige sem~sini

pie. ~ ~r ser (st e el mas smicilio (l e tratar, los ma votes esfuerzos seconcentraron en el caso ~U(2), espacio plano (etclideo o minkowski)

y vaco (en ausencia. de corrientes < le carga Yang-MilIs). Una buena

coleccin de resultados obteidos. si bien ya un poco desfasada (fu

publicada en 1-979> se puede encontrar en el artculo < le Actor [3]. En-

tre to(tos ellos destacamos las soluciones tipo iinonopolo (no singular,

conenergafinitay acoplada a un triplete Riggs) debidas, porseparado,

a t Hooft y Polvakov ( [ 4 ] . h l) en espacio minkowski. y las soluciones

tipo insta ntnco y neotuco en espac i o euclideo.

En espacio eiclideo la solucin exacta ms famosa es el ms-tantn. Se trata deunasolucin a.utoch.ia.l (por tanto sutensor energa

momento es identicamente nulo) (jite posee como cualidades destacables

un bten comportatil ento ( ni sen cia. < le s ngu la.ri(la.des ) en todo it,carga topolgica. entera.. El iioinl>i-e iiist a.ntoii proviene (le hecho de

que lasolucin estconcentrada en una t-egin < le R4. Se han obtenido

de distintas formas las soluciones n-instantn. petoporsimilitud con la

notacinen este trabajo, nos referiremos en especial alaconstruccin

deWitten ~7](otrasconstrucciones comolas de Polyakov y la deAtiyah

se pueden encontrar por ejemplo en la referencia [3]). Se haasociado

este tipo de sohciones a la existencia de efectos tunel entre estados

de vaciotopolgicamente caracterizados en teoras estticas Yang-Milis

segn 1 . Ramorid en jO ) estenombre fu puesto por 1 bou, en virtud de que

solucionesen tiempo imaginariose puedeninterpretar en una teora cuntica cornoprocesos que ocurren instanteneamente en un tiempo real


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7

acopladas a un campo Higgs en espacio rninkowski.

Punto y aparte nos merecen las soluciones debidas a De Al-

faro,Fubini y Furlan ([8], [3]) tipo mern, se caracterizan por tenerla

densidad de cargatopolgica concentrada en forma de ~(x). La ini-

portanciaquese les hadado en la literatura no ha sido tan grande como

en elcaso(le las instantnicas. sin embargo. paranosotros son especial-

mentedestacables pues las soluciones ineroncas (con simetraesfrica)

obtenidas hasta la fecha de forma explicita. (a saber. rieron. meron-

aiern y mern-ant mern ) se nie(len obtener en nuestro esquemade

forma muysencilla.. En otras l)a.la.l)ras, hemoscomprobadoque este tipo


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8 Captulo 1. INTROD(TCCIOIV

Milis, el problema que se plantea es la resolucin (le un sistema de

ecuaciones diferenciales en derivada.s parciales d e . segundo orden y no

lineal. Por tanto es necesario un trabajo previo a . fin ce intentar sim-

pliflca.r al i n~x


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9

presenta. el serioproblema de nc seraplicable en el caso iniikowskiano.

Otro tipo < le Ansatze algebraicos es. porejemplo. el suponer clir


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10 Capitulo 1 . IXTRODUCCION

cional. Este resultado nos permitir probar la no existencia de un

anlogo Yang-Milis del teorema de Birkioff [23].

En el tercer cal)Ltulo introduciremos la clasificacinalgebraica

de Carmeli y la. particularizaremos a) ca.so de simetra esfrica. Este

trabajo nos permitir obtener una. liga.cl.ra. algebraica cuadrtica so-

bre 1a .s compponentes de los ca nipos. ce tal forma.


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II

cial, en espacio tipo minkowsl-iia.rio (mtrica +++ y Como resulta


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12 Captulo 1 . INTf?ODUCCION

enespacios planos.


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Captulo 2

CAMPOS YANG-MJLLS.

SIMETRIA ESFERICA

En ladcada. < l e los 50 aparece el artculo < le Yang y Xlilis, que intro-

duce el concepto de teora gaige local no abeliana (ver por ejemplo

[1], [23. [3]). Conceptualmente consiste en lageneralizacin del carac-tergauge del electromagnetismo a. l caso en que el grupo (le invaranza,

en un detei-ininado espacio interno, es no abeliano. Se supone (lije la

teora. tsica quese esta tratandoes invariante bajola.stransformaciones

en este espacio interno, ce isospn - La conj eto < le un profi u< lo

trabajode interpretac o i cii ten ii ros geoniet ricos a tiavcs delconcepto

defibrados (vease porejemplo la. referencia [14]).

En lo quesigue vamos a introducirestos conceptos deforma

ms sistemtica para el caso de grupo gauge SU(2), de esta forma

1 3


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14 (aptulo 2 . ()AMPOSlA YG-MILLS. SIMETR.L4ESEERICA

vamos a fijar la notacincie usaremos en adelante, ascomo las deflni-

ciones de los distintos com-eptosqueusaremos.

Tengamos un conjunto decampos 4) ,,+ s

(En adelante 4?> r4 Para mantener lasimetra del Lagrangianoes necesario introducir un campo adicional conunas leyes de transfor-macion dadas por

Ap ~ SA~S~1 + S~t

Es decir, este campo nuevo (en adelante nos referiremos alcomo po-

tencial Yang-MilIs) esta valuado enel lgebra de Lie del grupogauge

en la. representacion Cli (fue este acta sol>re 4 ? . Por tanto, laforma

de mantener la smetria es sustituir los termnos cneinatcos del la-

grangianopor la siguiente regla

Q >QA

Por analoga,conel electromagnetismo el trmino cintico quese intro-

duce para el nuevo campo tiene laforma


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15

/r(F>FP)

Donde el campo Yang-MilIs F ~.> es lageneralizacin no abeliana del

tensor de Faraday electromagntico. El trmino cinemtico recin in-

troducido es invariante Lorentz, y para quesea invariante gauge debe

tener unas propiedades ce transformacin de la forma

: SF~, ~

El campo massencillo cue se pue,> A~ [A>, A~j

En adelante nos referiremos aeste campo como campo Yang-Milis,

distinguiendolo del potencial Yang- MilIs previamente definido.

Una vez que tenemos definido el potencial Yang-MilIs y el

campo, es trivial comprobar quese cumplen las identidades de Bianchi

QF03 + D0F3> +D3F~0 = O

donde hemos definido D ~ = O > [A>,

Partiendo del trmino Lagrangiano Yang-MilIs definido ante-

riormentese pueden calcular las ecuaciones < le evolucin,queen elcaso

devaco (esto es, en ausencia decorrientes de carga Yang-Milis) son:

1yDVW>) = 0


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16 Captulo 2 . C iA MPOS Y4NG-MFLLS. SIMETRAESPERICA

Las soluciones autoduales son aquellas que cumplen

Fgw= *F~ =

Se puede conpobar fa.ci1ien te que las ecuaciones de evolucin se co n

vierten en las i


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21. Simetrasespacio temporales en teonr.s gauge 17

tan un buen comportamiento en todo it. y tales que la integral de

ladensidad F en todoR, conocida como carga topolgica. esta

cuantificada. La primera solucin deeste tipo fu el 1-instantn, encor-

trado por Belavin y col. [17]. apareciendo posteriormente lasolucion

generca -instantn ( [ 3 3 . [7]).

Sin


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18 Captulo 2 . CAMPOS Y4NG-MILLS S rA WTRIA ESFERCA

concepto de simetraespacio temporal tiene que sufrir unaampliacin

con respecto aaquel que ingenuamente se impondra. Si no se toma

esta precauci llegarainos a resultados tales, como la existencia de

un anlogo al teorema de Birkhoffpara Yang-MilIs (vease (22]) (toda

solucin con simetra esfrica es adems esttica). La expresin de

las condiciones dc simetra en teo-as gauge ha sido desarrollada en

la literatura, especialmente en la. dcasila < le los 80. con un enfoque

infinitesimal (es 1V [A>,l.Tj (2.1)

donde Lx representa la derivada de Lic respecto al generador X y

Wes un campo valuado en el lgebra de Lic del grupo gauge. Esta


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2.1 Simetras espacio teinpotaJes en teorias gauge 19

expresin es vlida para uia teora Yang-MilIs dondeel potencial tiene

unas determinadas reglas de transformacin bajo la accin del grupo

gauge, en una teora gauge co otras reglas de trausformacion, como

por ejemplo, la Formulacin en ttradas de la gravitacin, donde las

reglas ce t ran sformacI 1 pa ca la ttrada son distintas, la condicin ce

simetra es diferente.. La. ecuacin (2.1) es invariantegauge. con solo

inpo n erclii eel 1 4 sea titi escalar y tenga una ley - de trausfornacin del

siguiente tipo:

U = Sltt + X>(O


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20 Captulo 2 . CAMPOS lANG-AIILLS. SIMETRA ESFERICA

Sobre el campo Yang-Milis F > ~ , la. con


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2.1. Simetras espacio temporales en Leonas gauge 2 1

(orno mcii conairos cii la . seccin anterior, siemprees posible

hacer una t rausformaci] ga.ug.. clepencliente de ~, tal c L e 14 4 se anule.

Entonces las ecuaciones < le conxpat ibiliclad (2.2) que ( 1eben resolverse

son para. (ui,n) = (A) y (2.3)

11< + V Ii~ = O

u -; .

que se resuelven coix

1 V ~ = Pco.s + Qse7~

VI? =J~sno - 1 - Qcoso

= O

ydonde P =P(O) y 9 =9(0). Las reglas < le cambio de P y 9 bajouna transformacin gauge inclepen


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22 Capitulo 2. (lAMPOS Y4NG-SIILLS. SIMETRL4 ESFERICA

puede hacer,siL


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21. Simetrasespacio temporales en teorasgauge 23

Con un potencial Yang-MilIs comoel de lasecuaciones (2.7/10).

la forma delcampo Yang - MilIs es(~ = 1):

x x (0.01r /lLr) = (0,0, [Y) (2.11)

xx(y~~ A,92, 924 +A,91,0) (2.12)

Fro = H9i,4Y2~ 92.r +A~p

1, 0) (2.13)

x x (2.! U< ~-i~ 22. 0)senO (2.14)Frr


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24 Captulo 2 . CAMPOS YANG -MTLLS. SIMETRA ESFfRICA

xx( A19, ,. 0)seitO 1224)

=(A~y. ,. 0)sen (2.25)

x x ((LO,( 1 945CUO) (2.26)

2.1.2 Simetras adicionales encampos Yang-Miliscon simetra esfrica. Generalizacin delteorema de Birkhoff.

Los resultados ms importantes de este apartado fueron presentados

en los ER.E88 (Encuentros ce Relativistas Espaoles [23)).La idea

bsica. que existe tras estos calculos era el demostrar la existencia ono existencia < le un analogo al teorema (le Birkhoff para el caso de

una teora YangMilis en vaco. El teorema. ce Bi rhhoff puede leerse

de varias formas. Quizs la formulacin ms sencilla sea diciendoque

toda solucin de vaco con sinetra esfrica adems debe ser esttica

[25]. Desde esta lectura es trivial comprobar que dicho teorema no

seriavlido para elcaso Yang-MilIs; bastara con recordar queexiste la

solucin instantnica en espacio euc)ideo, que es intrinsecamente depen-

diente de las cLiatro coor


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2.1. Simetras espacio t .enpo-ahs < m teonas gauge .35

saber, toda solucin (le vaco c om simetraesfrica poseeadems alguna

smetria. adicional.

El problema see simetra, esf~rica, y que por lo tanto se puede

encontrar liii gauge en c que se es


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2 6 Captulo2 . CAMPOS Y4NG-MILLS. SINIETRIA ESFERCA

msla exigencia.(le quese cumpla una de las dos siguientes condiciones

~ [F~,F~t (2.28)senO

tV 2 = VV 3 = 0 (2.29)

Si no se cumple la ecuacin (2.28) deber cumplirse (2.29),

usandosta.podremos obtener nuevasrelaciones cecompatibilidad, que

nos fuerzan aque Z a . u a t riz siguiente tenga rango 1 (o menor)

( 4.V OrX~ a,x~ a ~ - x ~9 6 2< ~~~&

0X dx ~ )Y a que sea c]erta una de las dos ecuaciones siguientes

_______ k (F ~6 ,F70]3 (230)

= F(t. r)X (2.31)

donde k es unaconstante. Si no se cumple (2.30) estamos obligados aque se cumpla (2.31) y aquese cumpla una(le dos condiciones sgn-

entes

[F,0, F~6]

3 = 0 (2.32)

a,.v = = 4X~>= /2


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2.1. Simetrasespacio tempoi-aes en teorasgauge 34

Las condiciones finales de compatibilidad para. un generador (le este

tipo sern una de las siguientes:

xx0 ; & tF o~ < = 45,. = 0 (2.34)

1 . 2< = 0; OrEw, xx xx 9 (2.35)

iii. A ~ ~ 0: AV ~ 0; (,I%~)(O.[Ka,

Pr

(2.37)

Los resultados son vlidos tanto en espacio minkowskiano

como eticlidiano, plano o curvo. Si observanios la . eslructura. ce condi-

ciones quehemos obtenido observaremos que en cada.uno de los pasos,

se limita, mediante alguna. condicin los c-a.mpos Yang-N I ilis - < re son

condicin necesaria. para la exislemci a(le L Ira si muetra acli cional aparte

de la puramente esfrica. Por tratarse (le una condicin necesaria no

sirve para probar la existencia de un anlogo, en el sentido que expuse

anteriormente, al teorema de Birkhoff, por tanto adelantamos que, en

los proximos prrafos.. vamos a mostrar un contraejeniplo en espacio

enclideo. que, pese a poseer simetraesfrica, no cumple ninguna ce las

condiciones anteriores, y por tanto ros permite concluir cIne 1 1 0 existe

un anlogo al teorena deBirklmoff en teoras Yang-Mills en vacio.

Si nos restringirnos al caso euclicleo. y dentro de ste a las

soluciones autoduales el anlisis anterior se simplifica ce manera con-


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28 Captulo 2. CA AIPOS lANC-MILLS . SIAETRIA ESPERICA

siderable. Es evi


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2.1. Simetrasespacio temporales en teoras gauge 20

la . forma < le 2 < < y Y< Siguiendo las lineas y - la notacin del trabajo de

Witten [7]. la ecuacin fi tal d u ito< l rial iciad quese debe resol ver es

~2p


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30 Capitulo 2 . (AMPOS YANG-MILIS. SIAIEIRIAESFERICA

1,.((k1t +/2)rd,.)( +t>)) = 0 (2.49)

Es laborioso ver q m e la ri mueracon 0 1-insta nton. pci-o esto era de esperar pues el m s

tantn deWittem tiene simetra 30(4) y - por lo tanto, debe cumplir almenos una < le las condicioes necesarias (2.18/49). Lo mismo ocurre

parala solucin q(z) xx z. Sinembargo la solucin g(z) xx 9 no cumple

(2.48/49) y por lo tanto, temenios almenos una solucin (si bien no

perteneciente al grupo instantnico) cue no cumple las condiciones

necesarias para (ue una. solucin con simetra esfrica posea alguna

simetra adicional. tenemos por tanto un contraejemplo, en espacio

cuclicleo, djue demuestra la no existencia de un anlogo al teorema de

Birl=hoffenuna teora Yang-MilIs en vacio.

Para. po(ler llegar a . este mesultado ha siclo importante el que

en espaco euclitleo exista. una condicin algebraica (ce autodualidad)

le per~xitesiuxplificar las ecuaciones ce forna que se puedei~ resolver

completamente. En espacio mninkowski no existe unacondicin deeste

estilo, y la mayora de las soluciones que se conocen se lan obtenido

mponendo explcitamnent e < m u grupo ce simetra mayor ctie 30(3). Encualquier caso se ha pasado el test de ecuaciones definido en (2.28/

30/ 32/ 36) sobre las soluciones muinkowskianas dlue aparecen en [3],

encontrandose cietodas ellas cumplan alguna.c e las condiciones dela

bate-a y-, por lo tanto. no liemos tenido xito en labusqueda deotro

contraejemplo al teorema deBirkhoff, esta vez en espacio minkowski.


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2.1. Simetras espacio temporalesen teoras gauge 31

2.1.3 Algo ms sobre simetra SO(4)

El proceso de laseccin anterior se ha rel)eti (2.-SO)< m i O

(r2F1t , (F ,~

7 ~ 2 (2.51)II O

(el sgmo su>erior teiiida a uteriorunerte en general

y la segunda. es especfica ce


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32 Captulo 2 . (lAMPOS 1 1 4NG-MILLS.SIAIETUL4 ESFERICA


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Captulo 3

CLASIFICACION

ALGEBRAICA DECARMELJ

Durante los ltimos aos ce la.


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Capitulo 3 . CLASFICACIONALGEBRAICA DECARAEELI

En este trabajo Lemnos hecho uso del esquema< le Carmeli. por

ello, vamos aexplicarsomeranente en quconsiste.

Se define el espinor correspondiente al campo Yang-Millscorno

(3.1)ABCI) = aB~acD~P,v

donde a> E SOil inatrces lierinitcas dLie satisfacen

gv

U48 xx9

(71 (718 itAB 0 0

Esteespinor pim e cle ser facloriza < lo como

I - AB CL) YA


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3 .5

que denotaremos corno P en adelante. Laecuacin deautovalomesque

planteamos paraclasificar el campo Yang-MilIs es

CID = (3.3)

Si los tres autovalome~ son distintos tenemos los tipos4 y(en lo que sigue el subiiclice p representa cue el invariante gauge P

definidoen (3.2) es (listinto ce cero y el subn


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Captulo- 3 . CLASIFICACION ALGEBRAICA DF CARMCLI

ilpo l~ P #Oyp

tipo 11 , , , D > > P~ O m j (2 =6 1 1 2

upe I I I > , JI1~% ~ P ~ 09 (7 = L I = O

l > o tu. lo. I)o.I[Jo,J1,j>-0~ P = O

Lo interesante de estaformade representar laclasificacinde

Carrneli, es quese pueden obtener esos invariantes gauge. sinnecesidad

decalcular elespinor 5. Para elo bastaquedefinamos la matriz

At=E~+Bt=Fk+j \/57ok i rnF Mi

donde representa las

E= trcLzcr( 53)= ti


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3.1. Particularizacin a l a s o l m c in d e 3artnik-Mckinnon 27

En el prrafoanterior hemos definido una matriz ir .. partir

de dicha matriz se construye la clasificacin < le Yang (a la que haca-

nos referencia al principio deeste tema). En funcin de que su rango

sea tres, dos, uno. o cero tedrenos los cuatro tipos posibles (le dicha

clasificacin -

3.1 Particularizacin a la solucinde Bart-nik-McKinnon

Denotamos como ansatz ce BM- (aunque no fu misado por primera

vez por ellos, la . primera rele-enca conocida por el autor aparece enla revisin de Actor [3]) al caso < le simetra esfrica definido en las

expresiones (2.17-226) cuando A, = A .. = 2 = 0. Adems de es-

tas restricciones las solucin dc B 1 . es ~sttica.. En simetra esferca

podemos paramet rizar la . mtricace forma di agonal [9~1-

d. s2 xx e 2tdi2 c2h2 >2d02 m 2se n 29 d g r 5 2 (3.10)

donde r y p sonfunciones de y . Definimos las matrices a < le la siguiente

forma:

t

e .

a =


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43/157

3.1. Particularizacin a a solucin de Bartnik-McKinnon 39

La ecuacin de a.utovalores se puede resolver (lan(lo la si-

guiente solucin - Tiene u u tt o\alor doble

Am

y un autovalor simple

Am Am (14>.4

Si

ji = /3 (3.12)

tenemos liii autovalor triple coui ti-es autoespnores x - por lo tanto se

trata del tipo O ~ 0o c m i laclasificacin (le Carmeli (el segundo nica-

mente cuando p = 1 donde se obtiene una. solucin gauge pura). Porel contrario, si A y /3 son distintos. entonces los dos autovalores son

distintos, al autova br doble le cOriXYS}oi>der en los canpos y . por tanto. c l iferene ial ce

primer orden en las componemtes (lepotemicial Yang-MilIs. En la s-

guiente seccinverenios queestos resultados se )ue


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40 Captulo 3 . (iLASIFICACION .4LGFBF?AICA DFCARAIFL

3.2 Particularizacin a simetra esfrica

El proceso quese ha llevado a cabo en el punto anterior se puede repe-

tir parael caso general < le un campo con simetra esfrica. Concep-

tualnente no existen ntavores diferencias. Sin embargo, para lo que

estamos mritem-esa


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3.2. Particularizacina simetraesfrm ca 4)

xx (0,0, g)TP

= (y,,A,~. o>t7

F0 3 ( 4& v,~ 0)

rfi

xx l,.. 0)/ ~~1>

.0)

7 -

F~ m O (1 ~L a s n i c a s c o n p o n e i t e s n o m i i i 1 n d l a m a t r i z A d e f i n i d a e n ( : 3 . 4 ) s o n :

A= ( h _qxx< ( 1

1< 4?

7 1

2 ~

,- K___ +9

La, matriz 5 d e f i n i d a . e n ( 3 . ) e s c m g o n a l

5nir (12 ~>2~2 b2+c2

)En e s t e p U L u t o e s c o n\- enien te h ac er a l g u n o s c o m e n t ar i o s . E lp r i m e r o e s que ambas m a t r i c e s ( 5 y ir) son i g u a l e s y di ag o na l es . E l

h e c h o d e s e r d i a g o n a l e s e s d e b i d o a es tar restringiend onos a campos c o n

simetra e s f r i c a , e n g ene r al n o es a s . P o r s e r d i a g o n a l e s l o s c l c u l o s d e

l a s t r a z a s c i n e a p a r e c e n e n l a d e f i n i c i n d e P . ( 3 . y Hs o n t r i v i a l e s , y p o r


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42 C a p t m o 3 . CLASIEI(ACIONA LCEBRA 1 0 .- A DECARMFLI

t a n t o , l a c a r a ( - t e r i z a . c i n d e l a . c l a s i f i c a c i n c e C a . r n e l i p o r e l nmero

deaimtoxalores distintos es f-hji de calcular. Dichos invariantes gauge

s o n :

P ( 2 + 2(62 + )

~ (4 + 2(b2 + cj2

o + 2 ( 6 2 + e2

( [2 (> 2 +

3

JI [2( / + c > )J 3< 1

E s t r i v i a l d e comprobar o 14. D , , a > = [(/, - ) ( b > + e > ) (3.14)

li)o JI/rl1; O ~ < + a > = (6> + e > ) (315)

ipo J ~ . I I , > . D0 . 1 1 1 ~ , I 1 .Oo * a > = 2(6> + e> ) (3.16)

En el resto < le tral>ajo aparecerarcon frecuencia expresiones

c o m o : c a m p o . s a l g e l ) r a i c a ] n e n t e e s p e c i a l e s o campos d e g e n e r a d o s

a l g e b r a i c a m e n t e - Cuando usemos d i c ha s e x p r e s i o n e s n o s es t am o s r e-

f i r i e n d o a aq u el l o s campos Yang-Mus t a l e s que a > e s ig ual que 62 + e >

salvo un factor unultiplicativo e xx e xx 2. En otras palabras, nos

estaremos refiriendo a campos del tipo X~ ff4, 1 V, O ~ (En ad elante

cuandoaparezca elsmbolo X~ n o s e s t a r e m o s refiriendo g e n e r i c a m e n t e

atodos los tipos algebraicos con su.mbndice O ) . Y e s p r e c i s a m e n t e s t a


47/157

3.2. Particularizacin a simetra esfrica 43

la ligadura adicional:

a > = e (b > + 2>, con e = 1 o -2 (3.17)

(algebraica e n l o s campos y d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r d e n e n l o s poten-

c a l e s ) que i r u p o n c r e i n o s a l i itentar resol ver l a s e c u a c i o n e s < l e ev o l u c io n,

1 a u t o e n e l c a s o p l a . i o COIi() Fi n s t . e i m Y a n g N L i l I s . > - < n c m o s e n n n

t i r a r e s o l t er c o i i i > l eta m e te el sis 1 e n a r e s uI t au t e . tm l o s c a p itL i los. . 5

y 6 n o l i m i t a r e m o s e l va l o r < l e e a 1 y 2 (impon c lr e m os n i c a m e n t e

. con lo ([nc Ci i pUimdiplO. t a m b i n e s t a r e m o s obte-

n i e n d o a l g u n a s s o l u c io ne s n o a l g e b r a i c a m e n t e e s p e c i a l e s . Todo l o de-

sarrollado hasta ahora lo la sido para u m espacio mikowskiano. pero

p o d e n i o s g ener al iza r l o s r e s L i l t a d l o s a u n es pa c io e u c l i ( i i a i i o m o d i f i c a n d o

l a m t r i c a e n l a s componentes d e l a . t t r a d a , c e formta. 0

/( p


48/157

44 Captulo3 . CLASIFICACIONALGEURAICI4 DE CARMELI

campos g a u g e p u r o , d e b e p e r t e n e c e r a uno d e l o s t i p o s al g eb ra ic o s I I I

J V ~ , o 0 ~ . S i n embargo ambas c o n < l i c i o n e s ( n e c e s a r i a , de s im et r a y c e

d e g e n e r a c i n al g ebr aic a) s e d e s a c o p l a n f u e r a d e espacio pl ano . E s t e h e -

cho impide que se puedan obtener en nuestro esquema soluciones tales

corno los wormloles que aarecen en j38] y - [39]. (Para obtenerlos se

usa explictameuteque poseen simetra hiperesfrica).


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Captulo 4

SOLUCIONES EXACTAS

EN ESPACIO PLANO

A n t es d e e n t r a r e n l a b s q u e < l a d e s o l u c io ne s e n espacio c u r v o , h e r r i o s

p r e f e r i d o p l a n t e a r n o s e l mismo p r o b l e m a ( b s q u e d a < le s o l u c io ne s c o n

s im et r a e s f r i c a y algebraicairente especiales> cii espacio p l a n o . Con

e l l o podremos c o n >p robar s i l a 1i g a c l u r a . al g ebr ai c a que iu >>0! ieiiios. es lo

s u f i c i e n t e f u e r t e como p a r a s i m u p l i f i c a r l a s e c u a c i o n e s a re s o l ve r hasta

p e r m i t i r n o s e n c o n t r a r s u s s o l u c io ne s . En e f e c t o , como v e r e m o s a l o

l arg o d e es te c ap tu l o , a l g u n a s < l e l a s s o l u c i o n e s . , e n espacio > l a i i o . que

a p a r e c e n e n l a l i t e r a t u r a son a l g e b r a i c a m e n t e es pe c ial es y d e b e n d e

p o d e r s er o b t e n i d a s e n nuestro e s < u e m a . .

Ademas a l g t i m a s < l e l a s ec a . c o u e s < l i m e 1 c u i d r e n i o s c j i e r e s o l v e r

e n es te c a p t u l o v o l v e r a . a . a p a r e c e r a l o l ar g o c e l o s s i g m e m t e s .

El realizar este estudio cii un caso en el que ya conocemosalgunasdesus soluciones, nos permitir identificar tcnicasy elecciones

de variables, que ms adelante nos sern de utilidad. En efecto, las

coordenadas en que el puoblemna es ms sencillo aparecern aqu y ya

45


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46 Captalo 4 SOLUCIONES EX.4CT45ENESPACIOPLANO

no nos a b a m i d o n a . - a n e n e l - e s t o ( l e t r a l > a j o .

Todo e l l o v i e n e ac o m p a. fl a( l o j i o r l a . o b t e n c i o n c e una g ene r a-

lizacin de las solmciones va conocidas en trminos de unaconstante de

inte g rac in. P a r a d e t e r i n i a d o s v a l o r e s d e e s t a . c o ns ta nt e, s e e n c u e n t r a n

n u e v a s s o l u c i o t e s (al menos e n t r e l a b i b l i o g r a f a manejada p o r e l a u t o r ) .

Por todo ello c u e e m > o . s (le queda jm istif icado el


51/157

4.1. Espacio Minkowski 47

En ungauge enque 2 = 0, n u e s t r o s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e

evolucin Yang-MilL en espacio plano se pueden escribir:

(r>Ftr)r = 2A,> (4.1)

= 2A,.y> (4.2)

( ~ ~ (,r).r A~ + (4.3)7.2

-(A,),, +(A,.),. ,A + ~ =0 (4.4)

Laligadura algebraica (ecuacin (3.17)) se escribe

(donde e xx 1 2) D e l s i s t e r m a . d e e c u a c io n e s ( 4 1- 4 . 6 ) s e puedenintegrar 4.1, 4.2 y 4.4 con:

1A , xx A , . = i - - ~ qfl,. =(---c26)Y r 7 .2

donde c es una constante de integracin. Las ecuaciones que quedan

p o r re s o l ve r s o n :

it y,,.,. 2 1 . + = (1 f>) (4.7)

2; ,.c,,. 2 (4.9)

(4.10)2 2 22 2>(o o, ,. + ;,)


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C a p i t u l o 1 SOLUCIONES EXACTAS ENESPACIOPLANO

En es te c a p t u l o s o l o vamos a int er es ar no s e n l o que nosotros

hemos l l a m a do A n s a t z d e B a i - t n i k - M c l K i n n o n .4, = A , . = 0. Las ~cua-

c l o ne s a m e s o l v e r s c > :

.0 V.rr =

2

(1 2)> = kr>(~

(1 >)(4.11)

(412)

E s c o n v e n i e n t e d e f i n i r e l s ig ui ent e cambio d e v a r i a b l e s :

it xx r+t q y = r t

c o n l o que e l s i s t e m a ( 4 1 1 / 1 2 ) queda

(1 ~>

(u +t>

1=

( m t + o ) > (1

(4.13)

(4.14)

El c o c i e n t e d e es tas d o s e x p r e s i o n e s s e p u e d e int e g r ar c o m p l e t a m e n t e ,

dis t un g uie nc l o s e < l o s c a s o s :

e xxj > s e m m ( t ( c ) + U ( o ) )

= 2 +--- - > [y m ) + V~)3

(4.15)

(4.16)

Y an nos quequeda por mesolver (4.14). A n a l i c e m o s e s t o s c a s o s p o r

separado

4.1.1 k=1, Tipos algebraicos Iff~, 1 V ] 1 ,0 p

En t r m i n o s d e l a s funciones U y U (4.14) s e e s c r i b e :

U0V , , ( u + e ) > = cos>(U + U)

48


53/157

4.1. Espacio Minkowski 49

Esta ecuacion se resuelve comupletamente en el apndice 1 . Presenta

b a s i c a m e n t e d o s tip o s ( l e s o l u c io ne s . E l p r i m e r o es t c l a . < l o p o r :

fi xx /nju~ + cte1

U xx cte22

Cuando e / e 1 + c t e 2 xx 7 SUj uo(m i ) 519 cdi) (un 1mar apndice) o en

o t r a s pala.~rasr >1 . e i t < > i i c e s c l c a i n p o n o es r e a l - 5 iii e m b a r g o , s i

de1 + de> xx jv t > m -. s ( m m c t i c u m e s e u l t i < l ( ) l a . s o l u i c i m o l > t e m u i c l a , y - e l

campo ; es

1 m m m

El s e g u n d o ti p o d e s o l u c io ne s e s :

(7 xx arctg(Jm +ti) + cte1 >

1 =arelq ( J m ti) cte1

E n t o n c e s e l campo Y a n g - M i l i s e s r e a l y v a l e :

1 x i ;

v ~ + .~> + (4.17)donde x = itt + ti. e y = 3 m m i (3 y m i son constantes < le integracuon.obsrvese c rm e esta. u tinia. se m e < le a .l > s < >rber recleH u ienclo e l o ri g en c e

t i e m p o s ) . La s o l u c i o n (le se conoce, en esteansatz, en l a b i l ) l i o g r a f i c a

c o n s u l t a d a ( ve as e r e f . [3j)e s l a De A l f a r o . F u b i m t i y F u r l a n S e obtiene

cuando laconstante 3 xx 1. E n t o n c e s l a funci n tiene s e n t i d o e n t o d o

espacio m i n k o w s k i . S i 3 ~ 1 y real. se obtiene bsicamente lamisma

s o l u c i n s al vo un cambio d e e s c al a d e l a s c o o r d e n a d a s e m p l e a da s . S i n


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e

50 (apmtuo-1.501.1TCIONESEXA ( 7 7 1 4 5 fiNESPACIO PANO

embargo, cuando es imaginaria, la solucin tiene sentido tan solo en

c l e t e r n i n a c l a s re a i o n e s d e l i m i t a d a s p o r

r e o m o n i n t e r i o r , itt + m i ! 1 .

F u e r a d e l a s c u al es e s imagunaria.

4.1.2 k=-2, Tipos algebraicos1o,11o ,D0,fo, IVL,00

D i v i d i e n d o l a s e c u a c i o n e s ( 4 . 1 3 ) y (4.14) s e l l e g a a :

x x [71 -

Al int e g r ar e s t a s e x ) r e s i o n e s s e o b t i e n e l a . l i g a d u r a ( 4 . 1 6 ) ( d o n d e U , ~ =

O y 1 / , . xx V). A difer enc ia d e e = 1, a h o r a n o p o d e r n o s d espejar p y

los clculos se complican. En cualquier caso, podemos entrar con los

re s u l t ad o s a n t e r i o r e s e n ( 4 . 1 4 ) o b t e n i e n d o

2 L T U ( u + e)> =(1 (4.18)

Calculando la derivada logartmica conrespecto a u yQy r e s t a n d o s e

llega a

5-

1>

9

( ( m m + 7)

1 ? , .2 + l(u+L)

quese integran completamente con:


55/157

42. EspacioFuclideo 51

(7=

1~=

1

m m , > + ~v+ ~a1

e>U + e 3

Entonces, podemos despejar UV

derivando respecto a m m y c l e s p e j a n d o e n = (1(1 ~2>I se llega ala

expresi~n siguiente:

2V ( m m . + m ) U l ( 2 A m m m + e > > = .i/ 2( m +


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52 Captulo 4.SOLt~CIONES EXACT4S ENESPACIOPL4NO

L a s p r i m e r a s c a ra c te r i z a d a s p o r s e r reg ul are s y t e n e r e l campo Y a n g -

M i l I s c o nc en tr a< l o e n una d eterninad a reg in d e l a v a r i e d a d e n c l i d e a .

de forma que la carga topolgica (es decir la integral en todo R4

de ladensidad F,,, F0) e s f i n i t a y cuantizada. Tras l a aparici n d e

l a s o l u c i n 1 - i n s l a n t n i c a . p o r l 3 e l a v i n y col. [17], han ido obtenien-

d o s e l a s s o l uc i ne s g en era l es n- ins ta t nic as p o r d i f e r e n t e s a u t o r e s . L a s

c o ns t -u c c io ne s ms f a i x i o s a s so n l a s d e b i d a s a W i t t e n [7].1 H o o f t y

A t i y a l [31 F m i t o < l o s l o s c a s o s es tas e c u a c i o n e s s e o b t i e n e n a l re s o l ve r l a

c o n d i c i i i c e a u t o ( l L i a l i < l a ( l . CoLud) dijiLuos en e l c a p t u l o 2 . . l a s o l uc i n

1-instautnica ala Wittcu posee siinetra SO(4). ycomo dijimos en el

tercero, lacondicin necesaria de simetra coincide con lacondicin de

degeneracinalgebraica con e = 1. Por tanto la solucin 1-instantnica

a laWittenpertenece al grupo de soluciones quenos hemos planteado

encontrar.

Las otras soluciones aquenos hemos referido anteriormente

son las mernicas. en este caso caracterizadas por poseer concentra-

ciones puntuales. (donde la solucin es singular) de carga topolgica

semcuantizada. Se conocen explcitamente las soluciones tipo mern,

meron-uteron t ineron-antineron. as como resu Itaclos que


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42. Espacio Fuclideo 53

vamos a obtener la solucin general al problema de simetra esferca

con degeneracin algebraica x en este mnmsmo ansatz. y por tanto ob-

tendremos un conjunto ce solimciones queincluyen alas soliuciones tipo

meron, meron-meron y nieron-a.ntmmeron, eneste Ansatz peculiar (ala

Actor).

En espacio enclicleo el sistema < le ecuaciones es:

x x 214,;> (4.i9)

(m >F ,, .), =2>1,.;> (4.20)

(;,.).,. + 4 + 4~ xx (1 A) (4.21)

(A,),, +(; 0 (4.22)

La ligadura algebraica se escribe

Fmr(1-;>) xx /4 A1;;,. A,.;;,) (4.23)

(rflj> +((1 ;>) + + + (4.24)_________ =e(( Af;> (it 1>))7

Al igual queen el caso minkowski, el sistema < le ecuaciones se puede

resolver parcialmente con:

2

A t=~~+i~; A , . xx ~> r(c

conlo queelsistema fim a i aresolver es

o > ,. &, (1 >2 rr + y +7 (4.25)~2;,.,- + 2;4,, ;

2(c 26 (4.26)

2) xxer>(;,, +;,.~,.) (4.27)

26)> + (1 ;>)>) = kr>(6>,. +~ +;>j +2;>~) (4.28)


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C a p t u l o 4 . SOLUCIONESEXACT-SEN ESPACIOPLANO

Yenel ansatz deB.M.

(1 ;>

(1 p h > xxkr>( +1,)( -4 .29)

(4.30)

Ahora las variables convenientes son:

- =r+it y f=rzt

en las cine el sistema se escribe;(1 >

(z + 5 ) >

1 .

(4.31)

(4.32)

El cociente de estas dos expresiones se puede integrar completamente.

(en estaocasin solo existe un caso, pues e xx 2 no es posible)

k=1;= sen(Z(z) +VV(S)) (4.33)

ms laligadura:

ZJU4:--s)>=cos>(Z-4-W) (4.34)

Esta ecuacin est resuelta en general en el apndice 1 . Podemos dis-

tinguir bsicamente


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5 . 542. Espacio Fuclideo

1U =luz+ cte1

~ 1 = -luz cte12 i

quedesarrollando laexpresin (4.33) nos daparala funcin ;

1(4.35)

Que es exactamente la expresomm < li m e a.l)arece en [3]para el nern en

el ansa.tz de 1 3 . Nl.

4.2.2 Mern-Mern, Mern-Antimern y nuevassolucjone5

La otra solucin general de la ecuacin (4.34), generadora del multi-mern en elapndice. es:

ir

Z=orcg(z+mi) + cte.> ->

I U = orcty(45 mi) cte>

Que desarrollando laexpresin (4.33). nos da

;xx 1 (3: + )(t ti) (4.36)1 +(4: + mi)2)( 1 +(35 mi)>

l)onde ~ y m i son comsta uit es i m m < lot erntmmiadas c m i pri m ici pio. Si 3 es real

y ~es imaginaria. entonces reobtenemnos las soluciones mneron-meron y

meron-antimern en el gauge deB. M. Concretando un poco mas

9

dxx -(ab)


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56 C a p t u l o 4 . SOLUCIONESEXA(T45 ENESPA(710 PLANO

.2(u $ 6ti = 1

(a 6)

representa el muern-memn que aparece en la notacin de Actor con

singularidades en r= O y a y 1 xx b . Y

t3=

( 1

Representa unmeron-aitimern, consingularidades en 1 =a y 1 xx

Sin euitba.rgo, cimamdo 3 es imaginario, y m i es tal que la ex-

presin para es meal (cuaido m i es real. y por lo tanto, puede ser

absorbido redelendo ciorigen (le tiempos) se trata de una solucin que

no pertenece a m m ig im m o to los 1 ipos uii(-rnicos -

Si 3 x x i. y redefimmiendo el omigen de tiempos deforma quem i =0. entonces lasolucin encontrada es

1 +

(1 z2)(i 5 > )

quepresenta unasingularidad en 1 = O y r = 1. No se haencontrado,

enla bibliografa consultada, icferencias aesta solucin.

4.3 Casoesttico. Fuclideo y Minkowski.

En el capitulo 2. vimos como el caso estatico se distingue del resto

de simetras espacio-temporales. En efecto, repasando las considera-

(4.37)


61/157

43. Caso esttico. Luclideo y Alinkowski. o

ciones quehicimosal planteariios la existencia de simetras adicionales

a la simetra esfrica, vimos que si la solucin es esttica, no debe

cumplirninguma condicion algebraica.sobrelas componentes del campo

Yang- MilIs. En este captulo, donde liemos resuelto explcitamente las

ecuaciones de evolucin en un ansatz determinado y con unaligadura

de degeneracin algebraica adicional, vamos aver que tambin el caso

estat ico se diferencia =

J.p > (4.39)S s - , .

Derivando en lasegundaecuacin. y haciendo usoc e laprimerase llega

aque;> = 1 e r > , entrando con este resultado en la segundase llega

fcilmente a que e = 0. y por tanto, solo persiste la solucin trivial

xx 1 , c~ue cia soluciones gatge pmras.


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58 Captulo 4 . SOLUCIONESEXACT4SENESE-MC10 PLANO


63/157

Captulo 5

SOLUCIONES EXACTAS

CON METRICA

LORENTZIANA

En 1.988 apareci un < (le los res L m l t a(los mas i nf liiy-entes en ci m a m ito a.soluciomesclasicas se mehere. Se trata del artculo (le B a .m t u m x \lcNin

[283cii el l)tiemi(-mi fuertes ex-idemcia.s Imumneulcas d- la exs

tenca < le miii conjunto dc sollmciomes est.ti(-as. co snv ti m a (steri


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60 Captulo 5.SOL UCIONESEXACi1145 (QN METIUC.4 LORENTZIANA

regiones de empalme. La regin interior est caracterizada por unos

intensos campos Yauig-Mills. la primera regin de empalme caracter-

izada por rpidas f lctuaciones del campo y de los coeficientes de

la mtrica. Estas f luctmaciones decaen rpidainente en la regin in-

termedia, doide el campo Yang-MilIs tiene un comportamiento senme-

ante al < le un mnonopo U ) magntico, con un a mtrica uy semejante

a la . < l e Reissier-Norclstuo. F m i la segun


65/157

5.1. Planteamiento de lp r o b l em a 61

hemos sido capaces, como comsecuenciade lasencillez que presenta la

clasificacin ce Carmel i c m i cam pos consimet ra esfrica, ce, almenos,

caracterizarlas algebraicamnente.

5.1 Planteamiento del problema

NUiestm c > objetivo sera , por ta m o. resolver las ((lac ouies < le evolucmon

ac(>pla(la.s I- i m s l .e m i T h u \lilIs. ( o m m sm m el ra esfrica - y ligadas a lg e ebraicamente por la rela x x (6 . > r~dm > +r> ( ( 1 0 > +.56>(ide) (51)

don de r yp son f m i cou es ce las coorclenaclas (1. ) - Las ecu aciones deevolucin Yang-MilIs. c m > el caso de campos consunetrma esfrica y en

elgauge en que> = 1 ) son:

(,>,r~)p1 ),,. = _ _

(,>6rPJ2,), xx ~ (~7)

(5.2)

(.5:3)(r#P; )., (< T~1,.),,. ~r-4~) x x k(At;r (56)


66/157

62 Captulo - 5 . SOL UCIONESEXACTASC ON METRICA LORENTZIANA

(re~F,.)> (6(1

+ Afj) (;t. +A~;>)) (5-7)

Finalmente, las ecuaciones de Einsteinen elcaso en que el tensor>ener-

ga-momento pm-oviene de un campo Yang-MilIsse pueden escribirtm

R~> xx2Ai(FV

7~,.p,. + T+>P(p

1, n> + nr. > (59>

7,. + + r,t -4.r~ =. 7 -

9 9

+ AS)) IYIt +4)) (5.10)2 Y

2 ~,./>,,. + p,. + e>r>(p~~ + pl + 9tT~) =

(1 e>

-) - 1 >

+~~2t+>P(;2 +41)+?j. +41)) (5.11)

Para los tensores de Rienxann. el temsor de Ricci r asignatura de mtrica hemos

adoptado e~ convenio


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5 . 2 . Simplificacin de las ecuaciones Y a n g - M i l i s y a l g e b r a i c a s 6 3

En este punto podemos observar v a . una < le las caractermsticas destaca-

biesce este sstema. (leecua 1 )tenc lmemos las sol ucmon

general EinsteinYang- MilIs c c m i s imiet ra esfrica yalgebraicamente e s

pecial

5.2 Simplificacindelasecuaciones Yang-

Mus y algebraicas

En este apartado vamos a resolver hasta donde podamos las ecuaciones

de evolucin Yang-MilIs. haciendo uso para ello < le la simplificacin

que aparece al haber selecciona


68/157

64 Cap talo 5 . SOLUCIONES EXACT4S (QNA JETRICA LORENTZL4NA

Yang-MilIs -

Laecuacin (.5.5) se resuelvecon

t

S s>

(512)

(No confundir la funcin con la coordenada angular de mismo norn-

bre). Con lo que las ecUmaciolles (15.2) y (5.3) se resuelven trivialmente

cong r> 6tPR,,. + 2 =c = constante (5.13)

Obsrvese. que se trata < le una ecuacin en derivadas parciales de se-

gundo orden.. S u est.rctma. es muy semejante a laectiacion (5.4), por

loquefinalmente tememos un sistema de dosecuacianes bastante seme-

jantes en s im forma.

2 r.ti 2(r-4-P ) , ~ (r--P) +

Y 3

Ss

p~rSs(1 Ss>e

(c~~q,.} ,. +

1 ~ >

9.4 rd re

(514)

S s

26)(515)

Quedando la condicin algebraica:

e(Ss.rC.r Ss.0,,) xx

r

26)(l ~

1k(Ss~,e2p+2T . ~ +~~e4~>> P2r>> =

Y~;2/i

gr> -----(1

g r >

(516)

(5.17)


69/157

3 . 55.3. Solucionesestticas

Definimos 2 < xx (e +26), 1 = (1 s > ). y Z = A 1 < - 1 - 1a -cendo un poco (le algebra coi lasecmaciones Y a. m m g N till s yalgebraicas

se ol>t enemi las sigu ietes ex>resiones (ex-olucin ~- algelra.ica) para la

funcin Z.

(ct+/)Z ,t) ., + xx 2 e~ (iZ>+e Z IV)

( ~A-t~2+ e~/> rJ I-> (1 5.1 9 )

5.3 Soluciones estticas

Este caso se obtiene Sim muas (pmo uiipoumer quela.s fumciomes (jileal)a.mecen

en el sistema (5.2/II) lo ( le )e m l( lem m < le la acla temporal. De las

ecuaciones ce evolucin Yang-Nlills se llega a que o bien A ,. = 0, o

=0. Analizamos pcr separado ambas sitiacioes.

(i) A ,. = O

Entonces el c d > m jun t (> (e ecu aciones Yamg-Nl ilis y (le ligad ura

algebraica se pueden escribir

()> +(e +26)>

e1

pr+7(1 ;2 ) ( c + 2 6 > )

(520)

(.5.18)

r (15.21)


70/157

e

e

66 Cap itulo5 . SOLUCIONESEXACT4SCONAlETRICA LORFNTZIANA

2_______________ 0,.+ 26)> (1 s s> )> + s i (5.22)

g r2 S s

< 2 / 3 (c+2)(1 Ss>) L ~ ~1~) (5.23)

Tratando el sistema de ecuaciones (5.22) y (5.23) como ecuaciones al-

gebraicas, las ~LIicas soluciones posil)les son:

A> 0 + 6>~(i ;>)> xx e>->

~(c+26) xxS s

O

< 7 ) >e < ti nit(i ;> =

S s >

~(c + 26) xx r eSs,r

Sustituyendo en ambos casos en las ecuaciones de evolucin (520) y

(5.21) se llega a que no exmsten soluciones distintas de las triviales

(gauge puros).

(u); xx O

Si exigimosdegeneracin algebraicano existensoluciones. Sin

embargo, en este caso el sistema es lo suficientemente sencillo como

para >oclerse resolver completamente sin condiciones adicionales. Las

unicas componemtes ) y E ; , , = (0.0. 1 )s < > 0 . Por tanto reobtenclremos los resul-

tados de Reissner-Nordstroni con carga elctrica q y cargamagntica

1 .

1 _ ~ 1

= 9,t 1 - ~ + 1 ~ 4 .g27?


71/157

5.4. Condicin d e c on m pa tm bi lid a d 67

5.4 Condicin de compatibilidad

Podemos plantearnos lacon


72/157

68 Captulo - 5 . SOL UCIONESEXACT4S(QNAlETRICA LORENTZL4NA

en lasegunda tenenos e7(r. + ). Si imponemos la condicin de

integrabiliclad entre ambas expresiones para. la funcin iji apareceran

trminos ce segmmdo grado en las derivadas ce las funciones r y p, y

trminos cuadrticos en las primeras derivadas, trminos queson exac-

tamente ce la misma forma (incluso en los signos relativos) queaque-

los queaparecen en las ecuaciones de Einstein (vease el sistema (5.8 y

5.11) y por tato, lal>r e m m os comisegu co un a expreso cue (meciante

un lgebra elemental entre las ecuaciones) nos pernmtra smmplificar el

problema inicial.

Por tanto, imponiendo la integrabilidad de4, yhaciendo uso

de las ecuaciones (5.2-5.7> se llega a una expresion compleja, cuyas

partes real e imaginaria se deben anular por separado. distinguiendose

dos casos, oX xx 0 o

e = 1 (5.26)


73/157

5.4. Condicinde coinpatibili

~2

Obsrvese comolacondicin < le comiipa.ti bil i (5.31)

Entonces el conjunto completo < le ecuaciones a mesolver (5.2/11) se es-

cribe

ecuaciones ce Ein stemi:

(1 c :g r >

(5.32)


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e

70 C a p f t u l o 5 . SOLUCIONES EXACTAS CONAJETRICA LORENTZIANA

J x [

=2r(1 - ~.> 6>2j~~2 + j~2~)

Alxx 2r(1 Y)

6>Ry~2 +I t>

> 1 ?

1 ~ >

ecuacmones Yang-MilIs:

- 6 1 >= 2V

xx 1 ? j

condicin algebm-amca:

1

U - >

I j~ R ,~ + ,011k = O

1 Y) = (U?,08,. +uv)

(5.38)

(5.39)

5.5 Resolucin de laecuaciones

Despejandode la ecuacin (5.38), y sustituyendo en (-5.33), (5.34)

y (5.39). y combinando estas tres, se llegaa:

ji> ,IP, . +p,R~ xx O

quehaciendo uso de la ligadura (5.35) entreR ji, se transformaen:4P.uP.u xx .1(1 >1))> o (5.40)

(5.41)1 1

R~ ~0

9

(5.33)

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)


75/157

5.5. Resolunnde la e cn a cm o m ie s 7 1

Se puede comprobar, tras U in clculo sencillo pero l)esaflo~ c{ue cr el

conjunto de ecuaciones (5.32)-(5.39) hay varias due s o m consecuencia

del cumpiimrieiito cte las otras -

De las eciiaciones (15.3:3), (5.31) y (5.39). un a< le ellas es con-

secuencac e las otras


76/157

72 Captulo 5 SOLUCIONES EXA(T45(QNMETRI< A LORENTZIANA

pendientes y para construir el sistema deecuaciones final optamos por

escoger (5.39) y el prodctc0 de (5.33) y (5.34), con lo queperdimos

parte de la informacin inicial. (lossignos de las derivadas de p), acam-

bio de disponer de un conjunto de ecuaciones massencillo. Por tanto,

pararesolver correctamente el problema planteado, alfinal del proceso

deresolucin deberemos quedarnos tan solo conaquellas soluciones que

tengan un ji crecente e n m t y o .

En el sistema deecuaciones anterior hay dosecuaciones (5.42)

y (5.43). donde la funcin j > est desacoplada del resto. Laprimera se

puede transformar fcilmente ala ecuacin de Liouvil]e,cuya solucin

general es conocida. Por tanto, la resolucin de estas dos ecuaciones

se puede l9lantear como la bsqecla ce L is soluciones de la ecuacion

ce LioUvile c im e ciiii> p le m (1 5 . [3) S u 1 embargo, por sencillez, hemos

preferido seguir otroproceso. Resolvemosinicialrnente la ecuacin que

se obtiene de dividir las dos exl)resiones anteriores

p.( 1 - 62(6) =

Cuya solucin general es

ji = / < > ( s e n(U+ Y)) (5.47)

donde U xx U(u) y y =l(m). Laecuacin quequeda por resolver es4(4,,S,(im. + i)> = sen>(2t~ + 2V) (5.48)

Obsrvese queesta ecuacin es la misma c1ue aparecio en captulo 4 .

Su solucin general se encrme>tra en el apndice 1 ; existen bsicamente

cJos soluciones, la primera (generadora del niultimern )

1(/ x x ~ +y(agrotg(3m +mi))


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- 5 . 5 . Resolucin de la ecua colm e.s 73

1Y = + 3(crco tq( .3m mi))

~ tanto, elcoeficiente < le la mtrica es:

L -,. x x x x -(1 1 (3m , + AA/ii mi)

1)

Donde e es un a constante quevale1.y queaparece por la multvaln-

acin de la c r c o t q (c lida um u ucotq existen dos posibi liclades para los

valores del seno y del o.scmo) -

Lasegurmca sol m ci m es:

1 xx -/J/( [mi

=h~M~

.3

(1+ < S u

:3 1 ) + 6 >ti

a =4i

(lomo se puede ver en e apndice este caso tiene dos posibilidades.

cuaiido < S 1 + 6 > = O se obtiene (7 o m (> coeli ceiite de la netrca:

6>p _1 ( (m + 4)1 I(t-

+4 y (u

Esta solucin lau i L Ies c e m os ) 1a.teanos c m i [Li

(5.49)

princil)io, ya hemos pocli


78/157

u

74 C a p t u l o S . SOLUCIONES EXACTAS CONMFTRIC.4 LORENTZIANA

delas componentes del tensor mtrico. En lo quesigue haremosuso de

este resultado j~ara., entrando con l en las ecuaciones (5.44) y (5.45),

resolver completamente el problema. La ecuacion (15.44) entonces es

(donde hemos (lefinido y xx 3u + m i e y xx ir mi):

f.m 1+x>+cJk~ 1+!/>=0

que nos fija la depemi(ienci aL uncional ce la funcin 1 en r y y

1 = 1 (/ n Q m + 1 +x>) -6 in(y+ 1 +yfl) =1W (5.50)

Si calculamos e valor de e>~ a partir de la ligadura (5.46) llegamos a:

62]? = (.r + ~/)>( )83>1< (c(i - xy)+ (1 + 03(1 +y>))

La ltima ecmacion aresolver es (5.45). El caso ms sencillo

que podemos analizar es cuando 1 + constante, existe una solucin

dada por

senl = KB

y para que tenga solucin real 3 debe ser imaginaria. Como vimos

anteriormente en el caso en qm e es constante no podemosdecir quela

ecuacin (5.37) sea consecuencia del resto. Si la desarrollamos en estecaso, laecuacin quehenios ce imponer por tanto es:

cos = O

Lo quenos fijadefinitivamente / i = ~ (imaginaria, por tanto). Estecaso se reduce por tanto aX 0. quevimosanteriormente que erasin-

guIar ennuestro tratamiento, sin embargo comoveremos en el apartado


79/157

/5 .5 . Resolu( jo? ) de la ceilaciones

o.6, los resUiltados expuestos amteriormente como caso lmite cuando

1 , constante son vlidos y concmden con los que obtendremos al

desarrollar c i icho casosi ngu lar cov i pletament e.

Cuando 1 # constan U la ecii U Iu 3 i naginario la prin~ra

conclusin cine podemos observar es f) xx 5 791? o( u) ( 1 > i


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7 6 Captulo 5 . SOLLT C IONES EXACTASCON METRICA LORENTZIANA

y adems c = 1 si imponemos que la mtrica sea minkowski

lejos del borde.

Al primer caso lo conoceremos como regin interioT, neutras

que el segundoserla regin exterior. Finalmente la ecuacin (5.52)es

unaecuacion autnoma de primer grado. Pu-esenta bsicamente unas

soluciones constantes dadas por s e r z ( I 2nw) = t~ Al)!. Cmando

~ constante: analizamos los casos a. y b. or separado.

En el caso a. (Regin interior) la variable 4 es imaginaria,

(los puntos (mt) (0, 1/l ~ ! ) ~ (1/[3[, 0) y (0, 1/! ~ [ ) que marcan losvrtices de la-egin del espaciotiempo donde tienesentido la solucin,

adquieren los valores hr. 0. y i i r en lavariable 4 respectivamente) y

la ecuacin autnoma se puede. en algunos casos concretos, integrar

explcitamenteen trminos de funciones conocidas. Laecuacin a re-

solveres

1 = 1 ase a > O podernos integrarla completamentedando

i+a 2a ir=2cLrcsen(sn(i4 2 1 +a 2

donde sn representa a la funcin seno elptica de .Jacobi. En el caso

borde en que a = 1 la expresin es:

/ xx 4actag(c~~~2)

.9

Si a >1 , nosabemos integrar la expresin, aunque squepodemosdecir

que la solucin general va estarlimitada por las soluciones constantes


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5.5. Resolucin de J a ecuaciones 77

de (5.52), cue son 1 = arc.s u(j~) + 2nw (as por ejemplo, si ( . 4 xx 2

entonces > 1 > - 01)serv-ese c j m e en el caso en c j m m e (1 > ci) no6existen soluciones comstamtes.

E m el caso b. (regin exterior) no liemos si < lo capaces < le

integrar la ecuacion aiLto1 1 0 1 1 lacorrespoLites (que. por los

razonamientos expresados atorornwte. son las quenos interesan en

este casogeimeral) A~4porcjemnpl() .s i o xx 2 entonces se cumplir,cine

>~ > > - lm em >los. p om tuto. aseUIiIa(la la existemm< a. < le 50111(iOrWs6 >3

(le uestmo sistema ee(imaciommes. s i bem. c u este caso. m o Lemnos sido

capaces ce l)onerlas cii trmiiin(>s ce funciones conocidas.


82/157

-

78 Captlo 5. SOLICIONES EXACTAS CONMETRICA LORENTZIANA

5.6 Ansatz de Bartnik-McKinnou

Cuando lafuncinX xx 0, estamos en un casosingularenelcualel pro-

cesoanterior no es vlido. Elobjetivo de este apartado es resolver este

caso )Oi separa do.aunquef i nalmuen teobservaremos.


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795 . 6 . Ansa~z de Bartnik-McKinnon

El sistema completo < le ecuaciones Einstein - Yang-MilIs se

escribe tras un lgebra trivial comno:

(7~~~ > ~ (CT~P;) = e 1 S s> ) (5.53)g r

P .t=~~Ss~Ssr (.5.54)g r9 9

27,. ~TJ>,. + ~7,. + P .r+

- U . 1

u + 7>

~ t p .< > +It + pf7~.t) (6

(7 1 _ _ 2(5.56)

j g r > ~ (1 9

ji,. xx ~J~~(&>>P;>~ + Ss) (5.57)g r

Finalmente, la condicin de degeneracin algebraicaes muy sencillade

e sc r i1 9 1 r:( 6 2 2r4-2 (5

Ss>)> =ky,. > 4 --58)g r

Distinguimos dos casos

(i)Caso esttico

La condicin < l e esta.tici


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80 Captulo 5 . SOL UCIONESEXACTAS CONMETRICA LORENTZIANA

es preciso un anlisis un poco mselaborado. La ecuacin (5.58) se

puedeescribir

6>

donde e representa unicamente 1.Despejando esta ltimaexpresin

en (5.53) se llega a:

xx ..1(1 + 66>Ss)

g r

Haciendo un poco de algebra entre las expresiones del sistema se llega

a

ji. ,. = (1 + > = 1

No es posible obtener soluciones estticas (y por tanto las

soluciones de B.N L . y Bizon) en nuestro esquemna. Pese a ello podernos,

almenos, caracterzar este tipo de soluciones dentro de laclasificacin

deCarmeli. Enefecto, en elcapitulo 3. vimoscue son solo posibles los

tipos D ~ y O, y 0o (este ltimo se corresponde alas soluciones gauge

puro) paracampos Yang-Milis con simetra esfrica, estticos y en el

Ansatz de BM. Puesto quelacondicinalgebraica no se puedecumplir

para las soluciones estticas, es evidente que todas ellas deben ser tipo

(ii)Caso no esttico

D ~ .

De la compatibilidad de laecuacin (5.58) con el resto se


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81a . 6 . A n s a t z d e B a r t n i k - M c K i n n o n

obtienen (procediendo deforma anloga al casogeneral) x x

1qi, xx

0(f,.

eji, 9

e IT- - i)(m

2 U

U,- l)~)

(11

g r

donde heu m os (lefin i( 1 < ) 7 xx 1 .s l m ( 4 ) y;,~ 6 p = (1 c - / m (~ 1 >). La cocl i cion< le integrabilidad [)ara.d i m os (la:

2T,.,. 1~,. Trji~r

1 > .~ 2-1 - ~ ~ji,tt +jij + PCi)

2> 1( e 2 ) u -(~

Comparando esta ecuacin con (1 5.1 51 5-57 ) se obtiene

1 )(5.6i)

1);>)

i~~+>> + ti

6 2 > : 3

g r

24< [ Y ( e 2)({ +( ~ 1);>)

(5.62)

(5.63)

Lacompatibilidad < le estas dos expresionescon elsistema deecuaciones

completo nos lleva a

2)2(1 ) +

/ v ( l3

1 ( e

/I-

1))) xx O+1A

Que es una identicla =6

(15.65)

(.5.66)ik(1 1)>

y enconsecuencia se ve fcilueite < m e :

(.5.59)

(15.60)

2A


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82 C a p t u l o 5 . SOLUCIONES EXACTASCONMETRICA LORENTZIANA

Es decir, reobtenemos exactamente los mismos resultados quese obtu-

vieron en el caso general. Procediendo (le forma semejante a como se

hizo entonces (parametrizando Y \6~ donde A = 1), se llega al

siguiente conjunto ce ecuaciones

= 1>9~.>

21 v 2ji > ~ = -Ss Ug r

2P A )=Ssv

g r -

1Pat x x 4 , 2 ( 1 e > > )

2 > 16 =

1

= kc > > (1

Este conjunto deecuaciones es equivalente aresolver elsistema:

2 > 1xx 1 >v ~ (5.68)

1PU> =(1 (5.69)41.2

1

Puji. > = gr2 e > > ) > (5.70)1 2 >

fi,,.It. = s e (1 Se9) (5.71)

ms las ligaduras p ,~ > 0, ji,,. > 0. Lasecuaciones (5.69-70) seresuelven

con:

1 [ 1 (itt + 3 < > + m i)> ) [1+ (/3v mi)>]


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8 35.7. Propiedadesde lasolucin

Finalmente solo queda por imponer (5.71) que se resULelve con 3 inla-

gnarla y1

A +1. 6xx +1, 3 = it (5.73)s i liu+[ 1 . La ligadura del signo de las derivadasce p tan solo nos rest r iLige este segundo caso. S ol < > ser >osil 9 1 e cuando

- ~ r n o( u) xx s-pm o < e)- Comcl ven < 1 < ) . el caso singular c U le planteamosen laseccii 5.4 S e > 1 1 o le tratar exa.cta.nemmte comno el caso unte < le la

solucin general obteiidL m l i i s im mas q~ m e hacer 1 xx

2

5.7 Propiedades de la solucin

51.1 Regiones permitidas

ID e la definicinde u y U observamosquese puede absorberla constante

m iredefiniendo el origende tiempos (en adelante prescindiremos deella).Por tanto, laexpresin ms sencilla (le la muetrica es (eligiendo 3 =

2 > 1 1+itt6 xxq,.,. xx/ = ~ +(

2 (1 mR) (1 o>)

Que solo tiene sentido (cs real) en las regiones delimitadas por

a [ < 1. ~< 1 (en adelante regin interior) y


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8 4 C a p t u l o 5 . SOLUCIONES EXACT4S CON METRICA LORENTZIANA

u [ >1 , v j > 1 y .siyno(u) = signo(v) (en adelante regin

exterior).

En el origen espacial (- = 0) la Ln.tricaes niinkowski. Elcom

porta.Inieilt(} as imttico para tieu1905 muy grandes (tanto en ei pasadocomo en el futuro) dentro de la reginpermitida es tambin piano, con

una singularidad (el coeficiente de lamtricase vuelve infinito) quese

contraehacia el origen radial desdeelpasado, a lo largo delcono deluz

r = t + 1, lo toca en t xx t y se alejadel origen situada en el cono

de luzdefinido por g r xx 1 , partiendo de t = 1. Entre los tiempos

=1,hemos tenidolasolucin interior.

Si hacemos xx O y O =


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8 6 Captulo ~5.SOLUCIONES LYACT4SCONAJETEICA LORLNTZIANA

larazn es son los nicos casos posibles en que la mtrica tiende a

minkowskial alejarse del borde.

5.7.2 Grupo de isornetra

Lacoiclicim < le isomnetra 1 . AY,~ xx o se escribe en componentes:

Xt, +Vjij + XTji,,- = O (5.7~5)

>> xx 0 (5.79)

X

Xjc>>sen>(O) =

0 (5.80)

X ~ > +Xke>scu>(O) -0 9.8-!-)y

X (5.82)

(O) + Nt = 0 (5.83)A>

0cas(O=0 (5.84)

sen(O)

Las ecuaciones (15.80-84) se m e su m e lv e n conla de)endencia en las coorde-

nada.s angulares dacIapor:

=30(3) +f>au(O) +f>cos(O)co.s(4) facos(9)sen(~)

V 90(3) + 1 [fusenW f2cos(&]sen ( O )

A 7 = ---f

1grcos(9) + f2grseii(O)cos(~) .f3rsen(O)sen(&


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57. Propiedades de lasolucin 87

xx ym rcos(O) + g>rsen(0)co.s() g3rsen(O)sen(~)

Donde j~ y y ~ son fLuliciones ce 1 y it Las ecuaciones por satisfacer

quedancomo condiciones dienciales sobreestas funciones:

fl,.r + fe > > =0 (5.85)

=0 (15.86)

fi-), (qj)~, . xx 0 (5 .87) (y1>), = 0 (5.88)

(qm-< + =1,~+fi-ji,. xx 0 (.5.89)

que se resuelven con

fr = 1 +(Ru + mi)> + 1 + (dv mi)>) (5.90)

yJ xx k,( 1 +(di, +mi)2 1 +(B u mi)>) (5.91)

En la regin interior las e , son reales y en laexterior son imaginarias.

Por tanto los generadores del gmupo < le smetria son:

A4. . A~. y son los de simetria csfegrica (15.92)

Y > ~Pi-senOcosc4+ 2k>Gr.suOco.s0,.+

2 km GcosOcoso ~L ten 65 (5.93)S6??0

2t:>Im-sum0.suod, 21>< m O 6)706 (co_O)

6fl1 )

9e FcosOO, 2L$mo 06 + >k>serO O o (5.95)

y donde las funciones E y Uson:

1E = (\ 1 + (Bu + mi)> + ~ I + (dv mi)>) (15.96)

U

Gxx--( 1+ (Ru + mi)> 1+(dv mi)>) (5.97)g r


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88 Captu lo 5 . SOLUCIONESEXACTAS CONMETRICA LORENTZIANA

Si calculamos XjX~ conoceremos elgenero deltipo devariedad de las

rbitas delosgeneradores (le simetra. Esta expresin vale (co~fi =

y m i = 0):

x U =J fl ( 1 u > + 1 zA)> + sP>]

en la -egin intermor. y

x i , y > = + u > 1 2 ~t2>

enla regin exterior. El smbolo itt representa alas coordenadas carte-

sianas. En ambos casos,esasexpresionessonsiempremayoresquecero,

por tanto las sUlperficies quese generanpor la actuacin del grupo de

isometra son siempre espaciales. Por tanto, nuestra solucin no es

estacionara.

El lgebra quedefinen estos generadores tiene las siguientes

reglas (le conrnU mtacuom

[>21, U] =

[y4yM] =

L ~ =

1x4,xi) =Ka

[XtXfl =

[Al4,Xfl = o

[X5.=3=

JA6,Xfl =o

rx 3 .Xl i4X1

[>0~,> 0 > 1[Ni. K~ ] = O

[Al6.>0] = > 0> [Al6,>0>]

~y5 \-?] Via-- r vi tr9~

1A%A]

donde e xx 1 en la regin interior, e = 1, en laregin exterior.

xxX

=c4A~


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8957. Propiedades d e lasolucin

Comparandoc om las reglas ceconrnutacion c e - 50(4) y 50(3. 1

(que se pueden encontrar por ejemplo en [42]), encontramos cue el

algebra de isometra es 50(4) en la regin interior, y 80(3. 1) en laregin exterior.

5.7.3 Tensor de Weyl. Tipo de BeI-Petrov

Las componentes distintas decero

1

3

(tomO xx Ch6 ,1 se20 xx gr> e27.2>(

62

7,.,. 7,. T,.ji7

r,. p,. +62> 1 1 xx ) gr< (p0

y r o2 ~2 6

rOrO xx_______ ,2 (r

7 j i > - 6 2 > 1 1~ + ) +V~~e>>2p~

g r g r p2 ,.2 6

4Y SEt/id7,.,.00606 xx ________ 72

r .7 P .7

~,. p,. < )> 1 .s 6 > ? 20 2g r g r ,2 ~-2 3

+It +ji7j)

+ (2,+ P,7m)


94/157

9 0 Captu lo 5 . SOLUCIONES EXACT4SCONAI IETRICA LORENTZL4NA

Como en nuestra solucin

7- = ji

=1 e 2 > (P,rr + g r2 + P.u)

C h0 ,0 =~ .56120

= ~7Or0- s i

12 gr (p

6

6 7

e > > 1+- +9,,)

>-~- g r >

62>

,.21

+ >tm)

(0606 xx ~en20 c2>( ji.r,. +

3 7. 2 ~2

Pero esas expresiones se anulan en virtud de una de las ecuaciones que

han aparecido en el procesoderesolucin (laecuacin deLionville). Por

tanto, nuestra solucin tiene un tensor deWeyl identicamente nulo, y

por tanto, es tipo O en laclasificacin ce Bel-Petrov. Es decir, existe

unasistema decoordenadas c m i que la mtricaes conforme plana.

5.7.4 Mtrica de forma conforme plana explcita-mente

En las coorclenclasmz y la mtrica tiene la forma

=>> t ltd + (u + )> df?>

cori

e> > 1(1+ 1 + it~i

2 1 9

dondehemos definido it = lU Bu y y = =Bu.

las dos regiones definidas anteriormente.

I Distingu irnos

(5.98)

(5.99)


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5.7. Propiedades de Ja solucin 9 1

(i) Region interior:

Si hacemos cl can>lvO < le x a . r able:

xx f > i> / i4 \ y xxta)?Ilq

entonces le mtrica [d4drm+ />( +

< d O > ] (15.100)

B>cosim.>4co.s/>q

Estamos buscando uncambio < le vaia.ble. tal que tenga formaconforme

explcitamente, es decir. )

Siendo f?> la mtricacorrespondiente a una esfera. Laecuacin que

se deber cumplir es por tanto:4 + ? f

4wa + 1< =4.senh( ) (15.101)donde4 =4(a) x y xx q(b) - Quese l)lme(le c o m vert r mediante ni> clculo

sencillo, en laecuacin < tU te se resuelve en el apendce 1 . Nuevamente

tenemos + 1 )>

Asintticarnente esta expresin degenera. Haciendo uso de lafuncion

generadorademultimerones llegamos a:

/] xx 4c>(i + &abf(1 +c>afl(1 + 2/)


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e

92 Captulo 5 . SOLUCIONESEXACT4S CONMETRIQ4 LORENTZIANA

donde c es una constante real arbitraria (para que las nuevas coor- e

denadas a y b sean reales). Este facto- conforme tambin degenera

asntticamente.

(u) Reginexterior:

Ahora:

=cola u Ii4 ~ y =c~ a ta > .h(y)

entonces le mtricaqueda

4.atj5ct.sh2((4 + ~ [d4dq

E2s (~ Jl 1 >>4s e m h + senh$4 + ~ df?>]

4coslz>(4 + q)/2)(5.102)

Y la ecuacin quedebera satisfacerse es exactamente lamisma queen

el caso interior. Los generadores demerones dan:

4(a II

1)>

que degenera. Sin embargo, haciendo uso del generador de multi-

merones

4 =2iarcotq(ca) +lib

y

y =2iarcoig(ch ) 46

dondec serimaginaria y = O+nw/4 (se compruebafcilmente queno

se anade nadanuevoponiendo v i ~ 0) para que las nuevas coordenadas

ay b sean reales - Entonces el factor conforme es:

(1 +ab)

ckz>b>


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5 . 7 . Propiedadesde lasolucin 93

que es asintticamente ninkowski, con dos singularidades quese mue-

ven alo largo de los coos de luz a = O y m 5 = 0. Si recordamos, en el

exterior solo tena sem it ulo la regiom si=jmo(u ) = signo( u),que en este

caso se transforma en .syno(4) xx sgno(y), signo(a) =si gn.o(b).

p~ tanto estecambio < le coorclem>a.clas es valido tan solo en la regin del

espacio-tiempo t > u ( e m i te).

5.7.5 Clasificacin segn el tensor de Ricci

Calculamos

R1= e>( ~ +

=~>>( ~T,,. +

1= 833 = j~

=

U9P7.,.7,r + 7 . , .ji,. tuL) +

g r2t(p + p,,~, + p,~r,)

2r,.fl ,. 7 , ,. + 7.,/Lr ~

7

e (ji,,, +ji,,ji., + ji.tr.,)3>

+ 6 + e.2 7

donde los ndices som < m m la tel rada dagoiial trivial. Laautovalores es:

(1122 A)2[( I ? o < j + )(R11 A) +R ~ ] xx O

ecuaclL de

(5.107)

Nuestra solucin presenta un autovalor triple A 1 = 8 = *(1

y uno simple A > =SR. El autovalor triple define U IH autoespacio de

dimensin tresde laforn>a

(.5.103)

(5.104)

(5.105)

(15.106)


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94 Captnlo 5 . SOL UCIONESEXACT4SCONMETRICA LORENTZL4NA

j i4 t +(u. ~ ( ~>~ + (e> > 1)/r> , ,~,>,

P,U ji.t

quees degnemo espacio. por tanto nuestra solucin pertenece altipo

[(1 1 1) . 1] ci> la. notacin (le Segr [243.

5.7.6 Comportamiento del campo Yang-Milis

En elproceso anterior bemnos resuelto elsistemade ecuaciones, pero en

ningn momento >os hemos preocupado dequelos campos Yang-Mus

tuvieran sentido. Porejemplo, en ecaso lmite tratado en laseccin St

(Ansatz< le BM.) parametrizan>os Y \e9. pero a suvez Y xx (1 Ss>)

con lo quees posible que en determinadas circunstancias no existan y

reales. Sinembargo este no es el caso. En la regin interior (repasando

(5.73))

2. xxl 9

pero es sencillo ce \-er c ~ U m e c m i la regin nterior 9


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5.7 Propiedades de lasolucin

, l)(o> l)+3+ m io)

tvk>

c{ue no presenta nmng m u >ro~lema..

En general la forma < le los campos y potenciales Yang-Mus

no se puede expresar explcitamente ptmes para ello deberamos haber

integrado la. ecuacion autoLlo[IIa (le 1. Sim cnhargo, siemprees posibledespejar el factor 1? damdo:

xx J f l ( 1 + O)>2(v&i k3>u>)(1 ~3 >)+ (1 + /iL2uv))

en el interior, y

.~ = : f l ( u + o)>

en el exterior

5.7.7 Clasificacin de Yang

Comovimos en el captulo 3.. la clasificacin de Yang est basada en el

rangodela matriz w definida en (3.6). Sol9re las solucionesencontradas

dicha matriz es diagonal. y por lo tanto su rango es ti-es (salvo en los

casos triviales gauge puros). y estamnos cii el caso no degenerado de esta

clasificacin -


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96 Captulo 5. SOL UCIONESEXACT4SCONMETRICA LORENTZL4NA

5.7.8 Cargas elctrica y magntica

Existe im na generalizacin del concepto (le carga magntica y elctrica

para el caso de un campo Yang-MilIs. En simetra esfrica la expresin

es sercilla de calcular (x-ease [34]):

Cargaelctrica xxQ = limr-< g r > F ~ ~

Carga magntica xxP = linw.~,)

Lmites c{ue no estn bien definidos en nuestrasolucin, pues

sta solo tienesenti+Q 2 = r4tax. Para el Ansatz

de B.M. los valores de (1 ;>)> en funcin cte rpara varios instantes

de tiempo tiene la forma

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1


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57. Propiedades de lasolucin 97

figura 3.

enel interior y

2

1.5

1

0.5

figura4 .

enlaregin exterior

5.7.9 Energa de la solucin

Segn se puede encontrar en [271. la condicin dbil de energa se ex-

presa como cjue cualquier obsemvador medir una cantidad positiva al

calcular lacomponente 00 del tensor energa-momento. Es decir, c~ue

para cualquier vector temporal (w< w~, < O). se cumple

0.5 1 1.5 2

T LL>W > O0V


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98 Captulo 5 . SOLUCTONESEXACT4S CONMETRICA LORENTZIANA

En nuestro caso el escalar 1 1 es nulo, por tanto, podemos calcular la

componente iv del tensor energa momento, sabiendo que R > > = T , > ,

lo quenos lleva a:

T , ~ >w~w

1 02 62 2 22 21 e > > )( iO ~ m t ) + (1 c>>)(w + m v .sen>(O) )+ ~p~1wU +~Pvw>

g r u o

quees s ie:m>pre positiva. co]no se con>prmeba coil solo recordar que p~ >

O , j i , > > 0. e > > > 1 y T > > no es espacial, para todovector

w temporal. En nuestra solucin el gnero de dicho vector se puede

calcular sencillamente dando:

1 4(1 C > > )> L U > U +> ~-(1 e2>)>(~ztt

2 + w2 )+7

(2>

1 >>)(jiUW>2 + 2 2 P.twt )) < og r g r

y por tanto se cumple tambin lacondicin fuerte de energa


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Captulo 6

SOLUCIONES EXACTAS

CON METRICA

EUCLIDIANA

Elproceso ce resolucin del sistema de ecuaciones Einstein-Yang-MilIsen el caso euel io es conceptualmente mmiv semejante alcue henmos

llevado a cabo en espacio lorentziano. por tanto, nos remitiremos con

cierta frecuencia a clculos del cal)tUilo anterior.

Quizs las soluciones cue ms fama han adquirido han sido

aquellasquese han podido interpretarcomoagujerosgusano (worm-

hole). Entendemos comno una soiucim ce este ti;)o aquella tal c{ue la

variedad que representa la mtrica pm-escnta dos regiones asinttica-

menteplanas. con imna regin que las conecta. Como se describe por

ejemplo en [36] [41] es condicin necesaria parala existenciade una

solucin de esta clase el que el tenso de Ricci asociado tenga auto-

valores negativos. Ejemplo de solucin de este tipo es el wormhole de

Tolman que, aunque se obtuvo originalmente e m i otro esquema (es la

version cUiclidlea del mmniverso dominado por radiacin (P =~p) ce lo1-

99


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e

2

10 0 Captulo6 . SOLUCIONES EXACTASCON METUICA EUCLIDIANA

man). se puede obtener tan>bin de L iri sistema Einstein - Yang-MilIs p

[38].La mtrica tiene simetra 80(4) y es de laforma:

2 R2 R2trica de lasuperficie bidimensional que queda es:

= ifi2 +R2dq~211>Hg

Si suponemos queesta superficieest sumerjidaen un espacioeuclideo

plano tridimensional donde la coordenada de lanueva dimensin. z, se

mueve sobre la smmperl icie (libUljandlola , entonces podernos representar

la forma de la superficie. qime. dealguna forma.

Documents

Solución Exactas de las Ecuaciones de Einstein.pdf