Solucionario Estadística y Muestreo Ciro Martínez Bencardino

Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Cap.1 Conceptos generales Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

1 Conceptos generales

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Solución: • Estadística • Estadísticas • Estadística descriptiva • Indiferencia estadística • Población • Muestra • Variable discreta • Variable continua • Investigación parcial • Investigación total • Elemento • Unidad • Parámetro • Estimador • Muestreo aleatorio • Muestreo no aleatorio • Estadísticas primarias • Estadísticas secundarias • Estadísticas externas • Estadísticas internas • Error de muestreo • Dominio de estudio • Marco muestral • Marco defectuoso • Sustitución de unidades o elementos • Finalidad de la estadística • Preguntas de control • Preguntas abiertas • Preguntas filtro


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• Muestreo aleatorio simple • Muestreo aleatorio estratificado • Muestreo doble • Muestreo por conglomerado • Error ajeno al muestreo • Características • Características cualitativas • Características cuantitativas 2. Solución: • Estadística: método aplicado en la recolección, organización, análisis y descripción

numérica de la información y en la realización de inferencias. • Estadísticas: se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en forma de

cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información. • Estadística descriptiva: parte de lo general a lo particular, describiendo mediante

cuadros, gráficas y medidas el comportamiento de un conjunto de datos. • Inferencia estadística: parte de lo particular a lo general. A través de una muestra se

obtiene información para toda una población. • Población: objeto de la investigación. Es un conjunto de medidas o el recuento de todos

los elementos que presentan una característica común. • Muestra: recuento de una parte de los elementos pertenecientes a una población. Los

elementos se seleccionan aleatoriamente. • Variable discreta: son aquellas que admiten únicamente valores enteros. • Variable continua: son aquellas que admiten valores fraccionarios. • Investigación mayor: Se selecciona una muestra de la población cuyo resultado es

generalizado a un grupo mayor. • Investigación total: es aquella, en la cual se selecciona la totalidad de elementos de una

población. • Elemento: puede ser una entidad simple o compleja. Es indivisible. • Unidad: conjunto de elementos. Es divisible, como por ejemplo la familia, una empresa

etc., se puede descomponer en personas, trabajadores…

Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) Cap.1 Conceptos generales Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

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• Parámetro: son medidas que describen numéricamente la característica de los

elementos de una población. • Estimador: la descripción de una característica correspondiente a los elementos de una

muestra, a través de la aplicación de medidas. • Muestreo aleatorio: cuando todos los elementos que constituyen una población, tienen

las mismas posibilidades de ser seleccionadas. Se realiza al azar. • Muestreo no aleatorio: cuando los elementos son elegidos por métodos no aleatorios, es

decir, a juicio o voluntad, generalmente a juicio del investigador o en forma caprichosa o por conveniencia.

• Estadísticas primarias: son aquellas que las personas o las empresas realizan

directamente a fin de obtener información. • Estadísticas secundarias: son informaciones que fueron producidas por otras personas o

entidades y que en un estudio o en algún momento son utilizadas. • Estadística externas: registros originados fuera de la empresa. Encuestas sobre la

opinión que tienen los consumidores sobre un producto. • Estadísticas internas: registros originados dentro de la empresa. El departamento de

producción; de Recursos Humanos, etc., producen información. • Error de muestreo: error que se puede cometer al realizar una investigación por

muestreo. Es la diferencia que hay entre parámetro y estimador. Generalmente lo establece el investigador.

• Dominio de estudio: manejo inadecuado de la estadística.

Cuando no se tiene la totalidad de los informantes y se trabaja con la información suministrada por un número de informantes, menores al tamaño de la muestra. Cuando está mal diseñada la muestra. Por ejemplo se establece un número óptimo de alumnos matriculados en la universidad y finalmente se analizan únicamente aquellas que trabajan. En cada caso la población y la muestra deben corresponder a alumnos matriculados que trabajan.

• Marco muestral: la lista o mapa completamente actualizada, que contenga las unidades

o los elementos perfectamente identificadas de la cual se selecciona la muestra.


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• Marco defectuoso: cuando contiene elementos que no corresponden a la población que se va a investigar.

• Sustitución de unidades o elementos que no informaron:

- Seleccionar un número de elementos superior al tamaño de la muestra. - Seleccionar del número total que informaron, un número igual a aquellos que no

informaron y duplicamos la información. - Sustituir el elemento que no informó por el siguiente que si informó, y que estaba en

la lista de los seleccionados. - De la población que no fue seleccionada, se extrae un número de elementos igual a

los que no informaron. • Finalidad de la estadística: suministrar información, y su utilidad dependerá en gran

parte del fin que se propongan y de la forma como se obtengan los datos. • Preguntas de control: determinan la veracidad de la información. • Preguntas cerradas: cuando se responde únicamente si o no. • Preguntas abiertas: cuando se pide una opinión. • Preguntas filtro: determinar si se debe dar por terminada la entrevista o si hay

necesidad de pasar a otras preguntas del formulario. • Muestreo aleatorio simple: cuando la población no es numerosa, las unidades se

concentran en un área pequeña, la característica investigada presenta muy poca variabilidad, además, es fácil la elaboración del marco de elementos.

• Muestreo aleatorio estratificado: implica una división de la población en grupos

denominados estratos, en tal forma que el elemento presente una característica tan definida que solo le permitirá pertenecer a un único estrato.

• Muestreo sistemático: se aplica, cuando la característica a investigar se encuentra

ordenada de mayor a menor o de menor a mayor de acuerdo al valor, tiempo o cantidad. La selección se hace a intervalos regulares

• Muestreo doble: es aplicado de preferencia, cuando no existe información auxiliar que

permita conocer los tamaños proporcionales de los estratos y hay dificultad para llegar al elemento o unidad que debe informar.

• Error ajeno al muestreo: errores o fallas que se cometen durante todo el proceso de

investigación.


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• Características: lo que se estudia en cada elemento o unidad. • Características cualitativas: se expresan mediante palabras. • Características cuantitativas: se expresan mediante números. 3. Solución: a. Población: supongamos que nos situamos en un departamento del país: Cundinamarca

y se desea hacer una investigación sobre el consumo de un determinado artículo, la población podría estar constituida por todas las amas de casa del departamento. También se podría hacer investigación sobre la totalidad de empresas; sobre los vehículos de transporte, particular o de servicio público o intermunicipal que operan en el departamento.

b. Población finita: cuando la población está constituida por un número limitado de

elementos, por ejemplo la totalidad de trabajadores del sector industrial textilero del país.

c. Muestra: se investiga una parte de la población, en este caso sería extraer una muestra

aleatorio, de los trabajadores del sector textilero del país. d. Características: tanto en la población como en la muestra, el ejemplo dado

correspondería al trabajador (como elemento) del sector textilero del país, donde las características a estudiar son múltiples, algunas de ellas podrían ser: sexo, edad, tiempo de servicio, estado civil, composición familiar, propietario de vivienda, salario, etc.

4. Solución: Estadística descriptiva: un ejemplo podría ser, la investigación sobre rendimiento académico de los estudiantes de una facultad, en una de las universidades de la capital del país. Para ello, recolectamos información sobre la totalidad de los alumnos de la facultad luego, la procesamos para la elaboración de cuadros y gráficas, con la aplicación de algunas medidas, que puede estar acompañada de comentarios y conclusiones. Estadística inductiva: solamente se obtiene información para una parte de los estudiantes, cuyos resultados son considerados como válidos para el total de alumnos matriculados en esa facultad, de esa universidad.


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5. Solución: Tener la información diaria, semanal o mensual, sobre la producción de un artículo en la empresa donde trabajó, además de otros factores que el proceso involucra. La lectura e interpretación de ese mundo de información, que constantemente se produce, a todo nivel, en cada área del saber, obliga el conocimiento y uso de la estadística. 6. Solución: Conocer la realidad de la producción de un artículo específico, en una empresa. Determinar los cambios que presentan la demanda, la producción, las ventas y los precios en una empresa ya que estos originan cambios constantemente. Determinar las causas que han llevado a la empresa a exportar un artículo; puede estar dado por un mejoramiento del precio en el mercado interno, por un volumen superior a la demanda interna, etc. 7. Solución: Hechos no repetitivos o aislados. La caída de un meteorito en una zona del país. Los hechos cualitativos que no se pueden cuantificar, como el amor a la patria; el grado de religiosidad, etc. Hechos individuales, aquellos que le ocurren a una sola persona, a una empresa, a una entidad, etc. 8. Solución: La estadística se preocupa únicamente por el estado de grupos de personas, cosas, animales, empresas, etc., de ahí que rechaza los estudios individuales, ya que no es propiamente su campo de acción. 9. Solución: 9.1 c (verdadero) 9.2 a (verdadero) 9.3 d (verdadero)


7

10. Solución: 10.1 Falso 10.2 Verdadero 10.3 Falso 10.4 Cierto 10.5 Falso 11. Solución: 11.1 d 11.2 a 11.3 b 11.4 c 12. Solución: 12.1 Falso 12.3 Verdadero 12.5 Falso 12.7 Falso 12.2 Falso 12.4 Verdadero 12.6 Falso 13. Solución: A Planeamiento B Recolección C Procesamiento, análisis y publicación A. Planeamiento

- Objetivo o finalidad - Definición del elemento o unidad - Formulación de hipótesis - Método de investigación (censo o muestra) - Método de recolección - Elaboración del presupuesto - Selección y preparación del personal - Actualización o preparación del marco - Examen de la documentación y metodología - Elaboración del cuestionario - Encuesta preliminar

B. Recolección

- Distribución de los formularios - Recolección propiamente dicha


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- Revisión de las informaciones - Control sobre el número de formularios recolectados

C. Procesamiento – análisis y publicación

- Proceso de crítica de la información recibida - Elaboración de cuadros de salida y cruce de información - Procesamiento - Revisión de los cuadros y gráficos - Análisis de la información - Publicación

14. Solución: Aspectos materiales

- Tamaño del papel utilizado - Color del mismo - Tipo de impresión - Calidad del papel

Aspectos técnicos:

- Incluir únicamente las preguntas necesarias - No incluir preguntas que no van a ser contestadas - Comenzar por las preguntas fáciles hasta llegar a las más difíciles - No hacer preguntas que conlleve engorrosos cálculos - Evitar preguntas de difícil recordatorio - Utilizar el lenguaje del informante - No usar abreviaturas

15. Solución: (d) Ocupación 16. Solución: (e) Que todas tengan la misma posibilidad de ser seleccionados 17. Solución: (d) Un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que tiene una

característica común.


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18. Solución: (a) Parámetro 19. Solución: (d) Los individuales 20. Solución: (e) Efectuar comparaciones sin sacar conclusiones 21. Solución: a. Verdadero b. Cualitativo c. Inferencial d. Igual e. Descriptiva 22. Solución: Objetivo o finalidad d) Grado de homogeneidad a) Costos e) Destrucción del elemento b) Tiempo f) Población infinita c) Recursos humanos g) Población demasiado grande b) Es un listado o puede ser un croquis, donde aparezcan todos los elementos o unidades que constituyen la población que va a ser objeto de la investigación, por lo tanto deben estar plenamente identificados y actualizados. a) Los colectivos f) Individuales b) Los que se registran g) No registrados c) Se repiten h) Aislados d) Distinta frecuencia i) Constantes e) Cualitativos cuantificables j) Los que no son cuantificables 23. Solución: a) Población: hogares de clase media de la ciudad Bellavista


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Muestra: 350 hogares de clase media de dicha ciudad Unidad: hogares de clase media de dicha ciudad Característica: tipo de aceite o grasa usada en la cocina Característica: cualitativa Característica: ninguna de las dos, dado que es un atributo b) Población: plantas infestadas de un jardín Muestra: 50 plantas infestadas de dicho jardín Elemento: planta infestada en dicho jardín Característica: tiempo Característica: cuantitativa Característica: variable continua c) Población: 800 alumnos de un plantel de ambos sexos de 5 a 12 años Muestra: 20 alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Elemento: alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Característica: escala de medición, de 0 a 10 puntos Característica: cuantitativa Característica: discreta 24. Solución: a) Parámetro: medidas aplicadas a las características de los elementos o unidades en una

población. Estimador: lo mismo, pero aplicado a la muestra. b) Población: conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que constituyen la

población que es objeto de investigación. Muestra: lo mismo, pero solo es una parte de los elementos de la población.

c) Atributo: la característica cualitativa, se expresa mediante palabras y se cuantifica

mediante el conteo. Variable: característica cuantitativa se expresa numéricamente, ya sea por conteo, como sucede con la variable discreta o mediante la medición, como ocurre con la variable continua.

d) Muestreo aleatorio: todos los elementos que constituyen la población a investigar,

todos los elementos o unidades que lo conforman, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. También todas las muestras posibles que se pueden obtener de una población, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. Muestreo no aleatorio: los elementos o unidades son seleccionados caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o a juicio del investigador.


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25. Solución: El alumno podrá contribuir en la solución de este punto, consultando otros autores, con lo cual va a tener una mejor visión sobre estos términos, aun en muchos casos, encontrar definiciones diferentes a las dadas en este libro.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

2 Elaboración

de cuadros de frecuencias


1. Solución: Tabla de frecuencias iy in ih iN iH

0 2 0,10 2 0,10 2 3 0,15 5 0,25 4 7 0,35 12 0,60 6 4 0,20 16 0,80 7 4 0,20 20 1,00

Σ 20 1,00 - -

iX if nf i iF

nFi

2. Solución: Cierto Falso a. ( ) ( X ) b. ( X ) ( ) c. ( ) ( X ) d. ( X ) ( ) e. ( ) ( X ) f. ( ) ( X )


2

3. Solución:

nn

h ii =

nn

h 11 =

10)20,0(50)( 22 === hnn

5012,06

1

1 ===hn

n

122 HHh −=

20,012,032,02 =−=h

10)20,0(5022 ==

=nf

nf

5012,0

6

1

1 ===

nff

n

nF

nF

nf 122 −= 20,012,032,02 =−=

nf

4. Solución: a. Hogares de clase media en la ciudad de Guayaquil b. 150 hogares de clase media en esta ciudad c. Atributo d. Tipo de aceite y grasas usados en la cocina e. 7 clases. f. Hábitos de consumo de aceites y grasas g. Manteca de cerdo h. Algunos hogares informaron que usaban más de un tipo de aceite o grasa.

iy in iN ih iH

10 6 6 0,12 0,12 20 10 16 0,20 0,32 30 18 34 0,36 0,68 40 10 44 0,20 0,88 50 6 50 0,12 1,00

Σ 50 - 1,00 -

iX if iF n

f i nFi

Tipo No. de hogares


3

5. Solución: a. Niños de 5 a 12 años de edad de ambos sexos, residentes en el barrio de San Eduardo de

la ciudad de Maracaibo; b. 15 niños y 15 niñas de 5 a 12 años; c. Es cuantitativa; d. Puntos de aceptación del nuevo sabor; e. Discreta; f. Numérica (puntuación de 0 a 10); g. Test de aceptación h. 8 clases

6. Solución: a. ( ) ( ) 9,14321321 =++++++ hhhhhhh 25,03 =h 1>∑ ih Falso ( ) ( ) 9,12,04,02,04,02,0 33 =++++++ hh

b. Verdadero 801620,02 ==h

c. Falso 6050 ≠=n 7. Solución:

Aceite de maíz Aceite de soya Aceite de ajonjolí Aceite sin especificar Manteca de cerdo Grasas de origen vegetal Aceite de oliva

14 65 21 17 21 6

13

Puntos No. de niños

2 3 4 5 6 7 8 10

3 1 2 3 7 9 4 1

Total 30

iy in ih iN iH

2 3 0,10 3 0,10 3 1 0,03 4 0,13 4 2 0,07 6 0,20 5 3 0,10 9 0,30 6 7 0,23 16 0,53 7 9 0,30 25 0,83 8 4 0,14 29 0,97

10 1 0,03 30 1,00

Σ 30 1,00 - -

iX if n

f i iF n

Fi


4

a. Cualitativo b. Cuantitativo – discreta c. Cualitativo d. Cualitativo e. Cuantitativo – continua f. Cualitativo g. Cuantitativo - continua 8. Solución: Se deja al alumno para que investigue en otros libros a fin de determinar una definición apropiada, diferente a la dada en este libro. 9. Solución:

10. Solución: se deja al estudiante 11. Solución: a. Falso, es atributo b. Falso c. Cierto 12. Solución:

,,1 ii yy −− iy in iN ih iH ii ny

5,1 – 15 10 8 8 0,04 0,04 80 15,1 – 25 20 20 28 0,10 0,14 400 25,1 – 35 30 42 70 0,21 0,35 1.260 35,1 – 45 40 60 130 0,30 0,65 2.400 45,1 – 55 50 42 172 0,21 0,86 2.100 55,1 – 65 60 20 192 0,10 0,96 1.200 65,1 – 75 70 8 200 0,04 1,00 560

Σ - 200 - 1,00 - 8.000 ''

1 ii XX −− iX if iF nf i / nFi / ii fX

iy Tabulación in iN ih iH

3 III 3 3 0,10 0,10 4 IIII 4 7 0,13 0,23 5 IIII II 7 14 0,23 0,46 7 II 2 16 0,07 0,53 8 IIII II 7 23 0,23 0,76

10 IIII 5 28 0,17 0,93 12 II 2 30 0,07 1,00

Σ - 30 - 1,00 -

iX - if iF n

f i nFi


5

Proceso a seguir:

a. n

nh i

i = 20004,0

8804,0 ==→=→ n

n

b. 04,096,000,196,000,1 77767 =−=→+=→+= hhhHH

c. 42)200(21,0333

3 =→=→= nnhnn

h

d. 204262624262 2252 =−=→=+→=+ nnnn

e. 3042

260.1260.1)42(260.1 3333 ==→=→= yyny

f. 21

,0

cyy −= ; 55102

1010,0 =−=−=y ;

22,1

cyy −= ; 15520

2

1020,

1 =−=−=y

13. Solución:

160max =x 122min =x minmax xxrango −= 12216038 −=

mc

38= 33,66

38 ==c 7=c

6427 = Se incrementó el rango en 4 unidades y el nuevo recorrido será: minmax42 xx −=

12016242 −=

''1 ii yy −− in iy iN ih iH

120,1 – 127 4 123,5 4 0,08 0,08 127,1 – 134 9 130,5 13 0,18 0,26 134,1 – 141 13 137,5 26 0,26 0,52 141,1 – 148 15 144,5 41 0,30 0,82 148,1 – 155 5 151,5 46 0,10 0,92 155,1 – 162 4 158,5 50 0,08 1,00

Σ 50 - - 1,00 - ''

1 ii XX −− if iX iF n

f i nFi


6

14. Solución:

''1 ii yy −− iy in iN ih iH

2,75 – 4,25 3,5 4 4 0,08 0,08

4,25 – 5,75 5,0 16 20 0,32 0,40

5,75 – 7,25 6,5 25 45 0,50 0,90

7,25 – 8,75 8,0 5 50 0,10 1,00

Σ - 50 - 1,00 - ''

1 ii XX −− iX if iF nf i / nFi /

1'

2

1ycyo =+ '

4' 4 ycyo =+ '

4' 4 XiXo =+

Reemplazando tenemos:

5,35,0' =+ cyo 75,84' =+ cyo 75,84' =+ iXo

75,84' =+ cyo

50,35,0' −=−− cyo

25,55,3 =c === 5,15,3

25,5c i

15. Solución: a. Amas de casa del barrio El recuerdo b. 50 amas de casa del barrio El Recuerdo c. Tiempo d. Cuantitativa e. Continua. iy : 3 4 5 6 7 8 in : 3 7 10 16 9 5 = 50 16. Solución: a. Personal de una empresa b. Tiempo c. Continua d. 7=m


7

e. 53 =y 72 =n 90,05 =H 32,04 =h 53 =X 72 =f 90,0/5 =nF 32,0/4 =nf 17. Solución: a. 84max =x b. 533184 =−=rango 31min =x

c. 629,640log3,31 ≅=+=m d. 9653 ≅=amplitud

='3y '

3X 57=

5X 5Y= 5,70=

nF4 50,04 == H

5F 325 == N

9== ci

''1 ii yy −− in iN ih iH iy

30,1 – 39 4 4 0,10 0,10 34,5

39,1 – 48 4 8 0,10 0,20 43,5

48,1 – 57 5 13 0,12 0,32 52,5

57,1 – 66 7 20 0,18 0,50 61,5

66,1 – 75 12 32 0,30 0,80 70,5

75,1 – 84 8 40 0,20 1,00 79,5

Σ 40 - 1,00 - - ''

1 ii XX −− if iF nf i / nFi / iX


8

18. Solución:

''1 ii yy −− iy in ih iN iH

10,1 – 18 14 20 0,13 20 0,13

18,1 – 26 22 25 0,17 45 0,30

26,1 – 34 30 30 0,20 75 0,50

34,1 – 42 38 30 0,20 105 0,70

42,1 – 50 46 25 0,17 130 0,87

50,1 – 58 54 20 0,13 150 1,00

Σ - 150 1,00 - - ''

1 ii XX −− iX if n

f i iF n

Fi

Primera parte:

150654321 =+++++ nnnnnn 150654321 =+++++ ffffff

150)5(3030)5( 1111 =+++++++ nnnn

150704 1 =+n 150704 1 =+f

204

701501 =−=n

Segunda parte: (1) 225,0'

2 =+ cy

(2) 504'2 =+ cy

(2) 504'

2 =+ cy

(1) 225,0'2 −=−− cy

285,3 =c 85,3

28 ==c Luego se le va sumando este valor a partir del

22. Siendo: 22 + 8 = 30; 30 + 8 = 38, etc.


9

Tercera parte:

428

2==c Ahora le restamos a iy y tenemos el límite inferior por ejemplo 10 y si le

sumamos formamos el límite superior que sería 18. Luego: 22-4 = 18 y 22 + 4 = 26, etc. 19. Solución: a. 7=m b. 9=m c. 11=m d. Si 20. Solución: a. No se debe utilizar este número de marcas de clase, pues la información quedaría muy concentrada en dos intervalos, cuando lo recomendado son 5 como mínimo. b. Tampoco es aconsejable un número mayor a 16, pues la amplitud se reduce y nos quedaría casi igual a una variable discreta, además, una distribución en su presentación es larga. c. Está dentro de las recomendaciones. 21. Solución: a. Falso b. Falso c. Falso d. Cierto 22. Solución:

a. ( ) ( ) 9,14321321 =++++++ hhhhhhh ( ) ( ) 9,1/////// 4321321 =++++++ nfnfnfnfnfnfnf 9,1)2,04,02,0()4,02,0( 33 =++++++ hh 25,05,029,124,1 333 =⇒=⇒=+ hhh 25,03 =h Cierto b. La frecuencia relativa no puede tener signo negativo (falso). c. Falso m = no puede ser 4, a lo sumo igual a 6.


10

23. Solución: a. El 30% de las observaciones b. El 50% c. El 74% 24. Solución: a. Verdadero b. Cierto c. Falso d. Falso 25. Solución:

Diagramas de frecuencias absolutas y acumuladas

Fre

cue

nci

as

Variable

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ni

Fre

cue

nci

as

Variable

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ni

26. Solución:

iy in iN

3 3 3 4 4 7 5 7 14 7 2 16 8 7 23

10 5 28 12 2 30

Σ 30 -

iX if iF


11

Histógrama y polígono Ojiva de frecuencias

Fre

cue

ncia

s

Estaturas (cm)

15

10

5

0 120 127 134 141 148 155 162

ni

ii yy '' 1 −−

Fre

cue

ncia

s

Estatura (cm)

Ni

50

0 120 127 134 141 148 155 162

40

30

20

10

ii yy '' 1 −−

27. Solución: Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

Fre

cue

ncia

s

Variable

16

14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ni

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

Fre

cue

ncia

s

Variable

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ni

28. Solución:

iy in iN

3 3 3 4 7 10 5 10 20 6 16 36 7 9 45 8 5 50 Σ 50 -

iX if iF


12

''1 ii yy −− in iN

10,1 – 18 20 20 18,1 – 26 25 45 26,1 – 34 30 75 34,1 – 42 30 105 42,1 – 50 25 130 50,1 – 58 20 150

Σ 150 - ''

1 ii XX −− if iF

Histógrama y polígono Ojiva de frecuencias

Fre

cue

ncia

s

Variable

30

25

20

15

10

5

0 10 18 26 34 42 50 58

ni

ii yy '' 1 −−

Fre

cue

ncia

s

Variable

150

100

50

0 10 18 26 34 42 50 58

Ni

ii yy '' 1 −−

29. Solución: Histógrama y polígono de frecuencias

Fre

cue

ncia

s

Variable

4

3

2

1

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

ci

ni

52

ii yy '' 1 −− 30. Solución: a. Es el promedio que se obtiene entre el límite inferior y el límite superior de cada intervalo.

''1 ii yy −− in iN ic ii cn

4,1 – 20 30 30 16 1,88 20,1 – 24 16 46 4 4,00 24,1 – 32 20 66 8 2,50 32,1 – 40 10 76 8 1,25 40,1 – 52 24 100 12 2,00

Σ 100 - - - ''

1 ii XX −− if iF i if i /


13

b. Variable que toma valores fraccionarios, se trabaja con decimales. c. La diferencia que hay entre el límite superior y el inferior en cada intervalo. d. Es una gráfica de áreas representado por medio de rectángulos cuando la amplitud es constante, en una variable continua. e. Es otra gráfica de línea poligonal, utilizando marcas de clase y las frecuencias. f. Es el mismo intervalo de clase. 31. Solución: a)

''1 ii yy −− ih iH in iN ic ii cn

8,1 – 18 0,30 0,30 240 240 10 24,00 18,1 – 48 0,25 0,55 200 440 30 6,67 48,1 – 98 0,18 0,73 144 584 50 2,88 98,1 – 148 0,14 0,87 112 696 50 2,24

148,1 – 198 0,13 1,00 104 800 50 2,08 Σ 1,00 - 800 - - -

''1 ii XX −− n

f i nFi if iF i n

f i

b. El 73% de las empresas venden menos de 98 millones de pesos.

Variable

Fre

cue

nci

as

25

20

15

10

5

ci

ni

0 8 18 28 38 48 58 68 78 8898 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198


14

32. Solución:

39151190 =−=Rango 6,650log3,31 =+=m (6 ó 7)

7639 ==Amplitud 42150192 =−=rangodelónRedefinici

''1 ii yy −− in ih iN iH iy

150,1 – 157 4 0,08 4 0,08 153,5

157,1 – 164 13 0,26 17 0,34 160,5

164,1 – 171 19 0,38 36 0,72 167,5

171,1 – 178 9 0,18 45 0,90 174,5

178,1 – 185 3 0,06 48 0,96 181,5

185,1 – 192 2 0,04 50 1,00 188,5

Σ 50 1,00 - - - ''

1 ii XX −− if n

f i iF n

Fi iX

Histógrama y polígono

Fre

cue

nci

as

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0150 164 171 178 185 192157


15

Ojiva ascendente

Estatura (cm)

Fre

cue

ncia

60

50

40

30

20

10

0150 157 164 171 178 185 192

ii yy '' 1 −−

33. Solución:

533184 =−=Rango 740log3,31 ≅+=m (no importa si trabajamos con 7 o 6)

8753 ==Amplitud 56308656 =−⇒=rangodelónRedefinici

''1 ii yy −− in ih iN iH iy

30,1 – 38 4 0,100 4 0,100 34

38,1 – 46 2 0,050 6 0,150 42

46,1 – 54 5 0,125 11 0,275 50

54,1 – 62 5 0,125 16 0,400 58

62,1 – 70 12 0,300 28 0,700 66

70,1 – 78 9 0,225 37 0,925 74

78,1 – 86 3 0,075 40 1,000 82

Σ 40 1,000 - - -

''1 ii XX −− if

nf i iF

nFi iX


16

Ojiva ascendente

Fre

cue

nci

as

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Ni

30

Rangos38 46 54 62 78 8670

ii yy '' 1 −−

34. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Cierto e) Falso f) Falso (Gráfica) (Cualitativo) (Cartagena) (Continua) (Muestra) 35. Solución:

Costo estimado (Cientos de $)

CONVENCIONES

depreciación

mantenimiento

gasolina

seguros

estacionamiento

impuesto

63,55%

2,22% 2,27%5,10%

12,71%

14,15%

36. Solución: Además de ser un complemento del cuadro, tiene la virtud de visualizar mejor la información.


17

37. Solución: Ventas Ventas (mill de $) (mill de $)

Mill

one

s $

Años

9.000

8.000

7.000

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

2001 2002 2003 2004 2005 2006

Mill

one

s $

Años

9.000

8.000

7.000

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

2001 2002 2003 2004 2005 2006

(Gráfica lineal) (Gráfica de barras) 38. Solución: Costos y ventas Costos y ventas (mill de $) (mill de $)

Años

250

200

150

100

50

2002 2003 2004 2005 2006

Mill

one

s $

ventascostos Años

250

200

150

100

50

2001 2002 2003 2004 2005

Mill

one

s $

ventas

costos

(Gráfica lineal) (Gráfica de barras dobles)


18

39. Solución:

Opinión porcentual de posibles votos (positivos y negativos) para congreso y presidente

Negativo77,76%

Positivo22,24%

Negativo51,68%

Positivo48,32%

voto negativo

voto positivo

CONVENCIONES

Congreso Presidente 40. Solución: Valor producción y ventas Valor producción y ventas (mill Tons) (mill Tons)

Años

800

700

600

500

400

300

200

100

2001 2002 2003 2004 2005

Mill

one

s de

ton

ela

das

producción

ventas Años

800

700

600

500

400

300

200

100

2001 2002 2003 2004 2005

Mill

one

s de

ton

ela

das

producciónventas


19

41. Solución:

Histógrama y polígono

Fre

cue

ncia

s

Variable

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0 4 8 12 16 20 24 28 32 3640 44 48

ci

ni

52

ii yy '' 1 −− 42. Solución:

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

%

Taxis

Computadores

Betamax

Teléfono celular

Automóvil particular

CONVENCIONES

''1 ii yy −− in ic ii cn iy

4,1 – 24 36 20 1,8 14 24,1 – 32 20 8 2,5 28 32,1 – 36 18 4 4,5 34 36,1 – 48 22 12 1,83 42 48,1 – 52 14 4 3,50 50

Σ 110 - - - ''

1 ii XX −− if i i

f i iX


20

43. Solución: Encuesta realizada para conocer la opinión sobre contratación de un supervisor RESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE LA CONTRATACIÓN DE UN SUPERVISOR a) b)

Voto

s

250

200

150

100

50

No No estáseguro

Norespondió

35,88%No

responde

25,64%No estáseguro

14,78%No

23,7%Si

CONVENCIONES

Si

No

No esta seguro

No responde c. Resultados: 35,88% no respondió; Respondió afirmativamente el 23,7%; No está

seguro, el 25,64%; 14,78% Respondió negativamente. TOTAL: 100% 44. Solución: a. Tiempo que se gasta en una transacción bancaria

481462 =−=Rango 630log3,31 =+=m

8648 ==Amplitud

''1 ii yy −− in ih iN iH

14,0 – 22 9 0,30 9 0,30 22,1 – 30 5 0,17 14 0,47 30,1 – 38 5 0,17 19 0,64 38,1 – 46 5 0,17 24 0,81 46,1 – 54 4 0,13 28 0,94 54,1 – 62 2 0,06 30 1,00

Σ 30 1,00 - -

iX if n

f i iF n

Fi


21

b. Histógrama y Polígono de frecuencias

Fre

cue

nci

as

Variable

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 14 22 30 38 46 54 62

ni

ii yy '' 1 −−

45. Solución: a.

Ventas y costos compañía x (mil mill $)

Años Ventas netas Costos ventas 2001 19.116 15.776 2002 15.586 12.895 2003 13.534 18.287 2004 21.344 18.476 2005 27.342 20.698 2006 30.620 25.382


22

b.

Ventas y costos compañía x Ventas y costos compañía x 2001 - 2006 2001 - 2006

Años

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

0

2002 2003 2004 2005 2006

Mile

s de

mill

ones

$

2001

ventascostos

Años

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

0

2002 2003 2004 2005 2006M

iles

de m

illon

es $

2001

ventas

costos 46. Solución:

iy in iN

2 7 7 4 15 22 6 8 30 8 10 40

10 16 56 12 4 60

Σ 60 -

iX if iF

Diagrama frecuencias Diagrama frecuencias absolutas absolutas acumuladas

Variable

20

15

10

5

0 2 4 6 8 10 12

ni

y i

Variable

60

50

40

30

20

10

0 2 4 6 8 10 12

Ni

ii yy '' 1 −−


23

47. Solución:

Artículos Porcentajes Camisas Corbatas Calcetines Pantalones Otros

42 8 5

34 11

Total 100 Ventas porcentuales Ventas Porcentuales Almacén x (agosto 2006) almacén x (agosto 2006)

Po

rcen

taje

s

50

40

30

20

10

0 Cam

isas

Corb

atas

Ca

lcetin

es

Pa

ntalo

nes

Artículos

42%

8% 5%

34%

Otros

11%

42%

CONVENCIONES

camisas

pantalones

corbatas

calcetines

otro

34%8%

5%

11%


24

48. Solución:

iy in iN ih iH

0 7 7 0,18 0,18 1 3 10 0,07 0,25 2 10 20 0,25 0,50 3 9 29 0,22 0,72 4 5 34 0,12 0,84 5 3 37 0,07 0,91 6 1 38 0,03 0,94 7 1 39 0,03 0,97 8 1 40 0,03 1,00

Σ 40 - 1,00 -

iX if iF n

f i nFi

Diagrama de frecuencias Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas absolutas

Variable

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ni

Variable

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ni

49. Solución:

553994: =−Rango 630log3,31 =+=m

606

55 ≅=Amplitud Se aproximó a 60, por lo tanto se incrementó el nuevo rango en 5;

)6610( =×


25

''1 ii yy −− in iN ih iH iy

36,1 – 46 5 5 0,17 0,17 41

46,1 – 56 4 9 0,13 0,30 51

56,1 – 66 7 16 0,23 0,53 61

66,1 – 76 6 22 0,20 0,73 71

76,1 – 86 5 27 0,17 0,90 81

86,1 – 96 3 30 0,10 1,00 91

Σ 30 - 1,00 - - ''

1 ii XX −− if iF nf i / nFi / iX

Histógrama y polígono Ojiva ascendente de frecuencias

Fre

cue

ncia

s

Variable

7

6

5

4

3

2

1

36 46 56 66 76 86

ni

96ii yy '' 1 −−

Fre

cue

nci

as

Variable

30

25

20

15

10

5

36 46 56 66 76 86

Ni

96ii yy '' 1 −−


26

50. Solución: a. Gráfica circular Ventas porcentuales por almacenes y jornadas

33,37%Carulla

31,45%Exito

15,29%Carrefour

19,89%Vivero

23,36%Exito

20,81%Vivero

27,03%Carulla

28,81%Carrefour

16,33%Carulla

21,99%Exito

33,67%Vivero

28,01%Carrefour

CONVENCIONES

Carrulla

ExitoCarrefour

Vivero

Jornada mañana Jornada tarde Jornada noche de 9 a 11 am de 1 a 5 pm de 5 a 10 pm Ventas porcentuales Ventas porcentuales Ventas porcentuales Jornada 9 a 11 am Jornada 1 a 5 pm Jornada 5 a 10 pm

% V

enta

s (v

alo

r)

50

40

30

20

10

Caru

lla

Carre

ofour

Exito

Vivero

Almacenes

22,5

38,6

30,3

46,4

50

40

30

20

10

Carulla

Carre

ofo

ur

Exito

Vivero

Almacenes

42,645,4

36,832,8

% V

enta

s (v

alo

r)

50

40

30

20

10

Carulla

Carre

ofour

Exito

Vivero

Almacenes

34,9

16,0

32,9

20,8

% V

enta

s (v

alo

r)

51. Solución:


27

a. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006

Valo

res

800

700

600

500

400

300

200

100

02002 2003 2004 2005 2006

producción

ventas b. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006

Años

800

700

600

500

400

300

200

100

2002 2003 2004 2005 2006

Mill

one

s d

e to

nela

das

ventasproducción

52. Solución:


28

La mayoría, equivocadamente realiza una gráfica circular, sin darse cuenta que un alumno puede practicar más de un deporte y el porcentaje se obtiene sobre el número de alumnos encuestados en este caso son 120.

etc.

%17,393917,0120

47

%83,101083,0120

13

==

==

Porcentaje de alumnos que practican un determinado deporte

Po

rcen

taje

s

60

50

40

30

20

10

0 Aje

dre

z

Balo

nce

sto

Balom

pie

Nata

ción

Deportes

10,83

39,17

51,67

28,33

Ciclism

o

Tenis

16,67

6,67

Gráfica mal elaborada Si la distribución de alumnos por práctica deportiva, se hace mediante una gráfica circular, queda mal elaborada, ya que la sumatoria de alumnos no es igual al tamaño de la muestra.

Deportes No. de alumnos % Ajedrez Baloncesto Balompie Natación Ciclismo Tenis

13 47 62 34 20 8

10,83 39,17 51,67 28,33 16,67 6,67


29

Distribución de alumnos por deporte

Ciclismo10,87%

Natación10,48%

Ajedrez7,07%

Balompié33,70

Baloncesto25,54%

Tenis4,35%

CONVENCIONES

ajedrez

baloncesto

balompié

ciclismo

natación

tenis

53. Solución: ( ) ( ) 95,04321321 =++++++ hhhhhhh

95,0)20,015,010,0()15,010,0( 33 =++++++ hh

125,025,0295,070,02 333 =⇒=⇒=+ hhh

15,010,025,0 222212 =⇒+=→=+= hhHhhH

( ) 20,010,026 ==h

⇒=n

410,0 40

10,0

4 ==n

( ) 64015,02 ==n 5)40(125,03 ==n ( ) 940225,05 ==n

Histograma y polígono

''1 ii yy −− iy ih in

35,1 – 45 40 0,100 4 45,1 – 55 50 0,150 6 55,1 – 65 60 0,125 5 65,1 – 75 70 0,200 8 75,1 – 85 80 0,225 9 85,5 – 95 90 0,200 8

Σ - 1,000 40 ''

1 ii XX −− iX n

fi if


30

Fre

cue

nci

as

Variable

10

8

6

4

2

0 35 45 55 65 75 85 95

ni

ii yy '' 1 −−

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007

3 Medidas de

posición o de tendencia central


MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:

iY in ''iZ ii nZ ''

10 6 -2 -12 20 10 -1 -10

→y 30 18 0 0

40 10 1 10 50 6 2 12

Σ 50 - 0

iX if 'id ii fd '

CZ

Z i''

''∑=

iAX

d ii

−='

n

nZCOy ii

t

''∑+= =tO A 30= 30)0(1030 =+=y

30'

=

+= ∑

n

fdiAX ii NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la

Media se localiza en el centro de la distribución


2

2. Solución:

2.1 26.14150063.7 ==

Σ=

nx

x i

2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); 717,66

123160 ≅=−=C

''

1 ii yy −− in iy ii ny ih ii hy iZ ii nZ

120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 -16,8 -67,2 127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18 23,49 -9,8 -88,2 134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 -2,8 -36,4 141,1 – 148 15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 4,2 63,0 148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 11,2 56,0 155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 18,2 72,8

Σ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 - 0

''1 ii XX −− if iX ii fX

nf i

i

ii n

fX id ii fd

Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3

(a) nny

y iiΣ=

nfX

X iiΣ= 3,140

50015.7 ==y

(b) ii hyy Σ= ( )nfXX ii /Σ= 3,140=y

(c) ( ) 0=−Σ=Σ iiii nyynZ 0=Σ ii fd (Ver última columna)

(d) nnZ

COy iit

''∑+=

nfd

AX ii∑+=

tii OyZ −=' AXd ii −=

150=tO 150=A

−+=

50485150y

'iZ in

ii nZ ' -26,5 4 -106,0 -19,5 9 -175,5 -12,5 13 -162,5 -5,5 15 -82,5 1,5 5 7,5 8,5 4 34,0 Σ 50 -485,0

AX i − if ii fd


3

3,1407,9150 =−=y 3,140=X Cuando: AOt == 134

+=

50315134y

3,1403,6134 =+=y 3,140=X 2.4

'iZ ''

iZ in ii nZ '' 3,5 0,5 4 2,0 10,5 1,5 9 13,5 17,5 2,5 13 32,5 24,5 3,5 15 52,5 31,5 4,5 5 22,5 38,5 5,5 4 22,0

Σ - 50 145,0

AX i − 'id if ii fd '

n

nZcOy ii

t

''∑+=

+= ∑

nfd

iAX ii'

cZ

Z ii

''' =

i

AXd i

i

−='

tii OyZ −=' AXd ii −= Cuando:

120=tO 120=A

+=

501457120y 3,140=X

ti oy − in iti noy )( −

-10,5 4 -42,0 -3,5 9 -31,5 3,5 13 45,5

10,5 15 157,5 17,5 5 87,5 24,5 4 98,0 Σ 50 315,0

AX i − if ii fd


4

( ) 3,1409,27120 =+=y Cuando 162=tO

n

nZcOy ii

t

''∑+=

−+=

501557162y

( )1,37162 −+=y 3,1407,21162 =−=y 162=A

+= ∑

nfd

iAX ii'

3,140=X 2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante 3. Solución: a) Primera submuestra b) Segunda submuestra

923,1321 =Σ

=n

nyy ii 291,148

22 =

Σ=

nny

y ii

923,13226456.3

1 ==y 29,14824

0,559.32 ==y

'iZ ''

iZ in ii nZ ''

-38,5 -5,5 4 -22,0 -31,0 -4,5 9 -40,5 -24,5 -3,5 13 -45,5 -17,5 -2,5 15 -37,5 -10,5 -1,5 5 -7,5 -3,5 -0,5 4 -2,0 Σ - 50 -155,0

AX i − 'id if ii fd '

iy in ii ny

123,5 4 494,0 130,5 9 1.174,5 137,5 13 1.787,5

Σ 26 3.456,0

iX if ii fX

iy in ii ny

144,5 15 2.167,5 151,5 5 757,5 158,5 4 634,0

Σ 24 3.559,0

iX if ii fX


5

923,1321 =Σ

=n

fXX ii

∑

+=

iwwXwX

X 211 291,1482 =Σ

=n

fXX ii

nfXfX

X 2211 += 21

2211

nn

nynyy

++= 3,140

2426

)24(291,148)26(923,132 =++=

b) [ ] xKM KX = [ ] 6,280)3,140(2 ==KXM

La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”.

iy Kyi in ii nKy

123,5 247 4 988 130,5 261 9 2.349 137,5 275 13 3.575 144,5 289 15 4.335 151,5 303 5 1.515 158,5 317 4 1.268 Σ - 50 14.030

iX iKX if ii fKX

[ ] [ ] ⇒= YKY KMM [ ] [ ]XKX KMM =

[ ] ⇒= yKM KY [ ] XKM KX =

[ ] ( ) 60,28030,1402 ==KYM

[ ] 60,28050030.14 ==KYM


6

4. Solución

∑=

7

1

'

iid = 7

7

1

' =∑=i

iZ 55=tO 10=C 11040

765

7

5=++=∑

=hhhh

ii

55=A 10=i 11040765

7

5=++=∑

= nf

nf

nf

i

11040

765

7

5=++=∑

=hhhh

ii

11040765

7

5=++=∑

= nn

nn

nn

i

110=n 40765 =++ nnn 401155 =++n 2416405 =−=n

Otra solución posible:

17

1=∑

=iih

=++

=++

11040

11040

765

321

hhh

hhh

11030

4 =h

44321 11070 Hhhhh ==+++

nN

H 44 = 110

6363,070

4

4 ===NH

n

Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.


7

''1 ii yy −− iy in iN ii ny ''

iZ 'iZ ii nZ ' ii nZ ''

30,1 – 40 35 1 1 35 -2 -20 -20 -2 40,1 – 50 45 15 16 675 -1 -10 -150 -15

50,1 – 60 55 24 40 1.320 0 0 270.1170−

12717−

60,1 – 70 65 30 70 1.950 1 10 300 30 70,1 – 80 75 24 94 1.800 2 20 480 48 80,1 – 90 85 15 109 1.275 3 30 450 45 90,1 – 100 95 1 110 95 4 40 40 4

Σ - 110 - 7.150 7 - 1.100 110 ''

1 ii XX −− iX if iN ii fX 'id id ii fd ii fd '

Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas

a) nny

y iiΣ= 65

110

150.7 == 65=Σ=n

fXX ii

b) nnZ

Oy iit

'∑+= 651055

110

100.155 =+=+= 65=+= ∑

n

fdAX ii

c) nnZ

cOy iit

''∑+= 651055

110

1101055 =+=

+= 65'

=

+= ∑

nfd

iAX ii

NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución:

''1 ii yy −− iN iy in ii ny ''

iZ ii nZ '' 'iZ ''

iZ ii nZ '' 6,1 – 12 8 9 8 72 -3 -24 -21 -3,5 -28,0

12,1 – 18 12 15 4 60 -2 -8 -15 -2,5 -10,0 18,1 – 24 40 21 28 588 -1 -28 -9 -1,5 -42,0

24,1 – 30 70 27 30 810 0 4060− -3 -0,5 -15,0

30,1 – 36 90 33 20 660 1 20 3 0,5 10,0 36,1 – 42 100 39 10 390 2 20 9 1,5 15,0 Σ - - 100 2.580 - -20 0 0 -70,0

''1 ii XX −− iN iX if ii fX 'id ii fd ' id 'id ii fd '


8

a) n

nyy iiΣ

= 80,25100

580.2 ==

nnZ

cOy iit

''∑+= 80,25

100

12027

100

20627 =

−=

−+=

80,25=Σ=n

fXX ii 80,25

'

=

+= ∑

nfd

iAX ii 27=A

b) 80,2510042030

10070630 =

−=

−+=y 80,25=y =tO A 30=

6. Solución:

751 =n 100=n 6,521 =x 252 =n 4,482 =x

( ) ( )galonesx 55,51

100254,48756,52 =+=

7. Solución:

500=n 1501 =n 3502 =n 57,1=x 52,11 =x

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )500

35015052,157,1 2x+

= ∑

+=

iwwxwx

X 2211

( ) 235022850057,1 x+=

mediaestaturadeMtsx 59,1350

2287852 ==−

8. Solución:

200=n ?1 =n ?2 =n 20021 =+ nn 21 200 nn −=


9

96,160=x 4,1631 =x 3,1572 =x

2003,1574,163

96,160 21 nn += ; ( ) 22 3,1572004,163192.32 nn +−=

22 3,1574,163680.32192.32 nn +−= 4881,6 2 =n

801,6

4882 ==n Estudiantes

120802001 =−=n Estudiantes 9. Solución:

?=n 271 =n ?2 =n 98,60=x 30,571 =x 30,652 =x

( )

2

2

273,65273,57

98,60n

n++=

22 3,651,547.198,6046,646.1 nn +=+ 232,436,99 n= 232 =n Estudiantes 10. Solución:

45=n 201 =n 252 =n 55=x 4,481 =x ?2 =x

( ) ( )

4525204,48

55 2x+=

225968475.2 x+= 28,602 =x Puntos


10

11. Solución:

100=n 401 =n 602 =n 3,186=x ?1 =x 1012 −= xx

( ) ( )

100106040

3,186 11 −+=

xx

( )

1006006040

3,186 11 −+=

xx

6006040630.18 11 −+= xx

30,192100

230.191 == x

30,1821030,1922 =−=x Libras 12. Solución:

91=n 21 nn = 513 −= nn 3,69=x 4,701 =x 2,642 =x ?3 =x

91321 =++ nnn

( ) 9152 11 =−+ nn

9153 1 =−n

963 1 =n 32396

1 ==n 322 =n 273 =n

( ) ( )

9127322,64324,70

3,69 3x++= ; 04,74

271,999.1

3 ==x Promedio de calificación

13. Solución:

000.920=x 000.9701 =x 000.8402 =x ?1 =h ?2 =h


11

nnxnx

x 2211 += 2211 hxhxx += 211 hh += 21 1 hh −=

( ) 2221 1 hxhxx +−= ( ) 22 000.8401000.970000.920 hh +−=

22 000.840000.970000.970000.920 hh +−= 000.50000.130 2 =h

%46,383846,0000.130000.50

2 ===h Hombres %54,616154,0000.130000.80

1 ===h Mujeres

14. Solución:

000.938=x 000.78=K [ ] xKM XK +=+

000.016.1000.938000.78 =+=+ xK Salario promedio

15. Solución:

0,70=x 4,681 =x 2,712 =x ?1 =n ?2 =n

21

21 2,714,6870

nnnn

++= → 2121 2,714,687070 nnnn +=+

2211 702,714,6870 nnnn −=− 21 2,16,1 nn =

75,06,12,1

2

1 ==nn

Es la relación

16. Solución:

351 =n 152 =n 50=n ?=x


12

5,171 =x 85,3100225,17 =× 112 %22 xxx −= ; 65,1385,35,172 =−=x

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )

345,1650

75,2045,61250

1565,13355,17 =+=+=x Edad media del curso

17. Solución:

100=n ?1 =n ?2 =n 10021 =+ nn 21 100 nn −=

750.18=x 580.171 =x 780.192 =x

100780.19580.17

750.18 21 nn +=

( ) ( ) 22 780.19100580.17100750.18 nn +−=

22 780.19580.17000.758.1000.875.1 nn +−=

53200.2000.117

2 ==n Artículos 471 =n Artículos

18. Solución:

ii hyy Σ= 15,18=

( )nfxx ii /Σ= 15,18= Promedio de empleados por sucursal

iy ih ii hy

17 0,10 1,70 18 0,65 11,70 19 0,25 4,75 Σ 1,00 18,15

iX nf i / ( )nfX ii


13

19. Solución:

nx

x iΣ= b) 000.83=x a)

51810180.5 ==x

800.51$

800.314$000.180000.83800.51 =++=x

Costo total promedio mensual

c) 18010

800.1 ==y

000.180$ 20. Solución:

ix

560 640 380 600 420 280 550 700 420 630

5.180

''1 ii yy −− in iy ii ny

80,1 – 120 1 100 100 120,1 – 160 3 140 420 160,1 – 200 2 180 360 200,1 – 240 3 220 660 240,1 – 280 1 260 260

Σ 10 - 1.800 ''

1 ii XX −− if iX ii fX

iy in ii ny

500 10 5.000 600 16 9.600 700 35 24.500 800 26 20.800 900 13 11.700 Σ 100 71.600

iX if ii fX

iy + 7% iy +49

535

642

749 →← igual

856 favorable

963

549 favorable

649

749

849


14

21. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Falso (no puede ser mayor a 1) Se le deja al alumno investigar el por qué 22. Solución:

a) ( )

2

2

254,68,325

8,5n

n++=

( ) ( ) 22 4,68,3258,5258,5 nn +=+ 22 4,6958,5145 nn +=+ 22 8,54,695145 nn −=− 26,050 n=

836,0

502 ==n (Redondeamos)

108258312 =+=+ nn Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.

949

iy in iH – – – – – – – – –

4y – _3,0

=


15

b) 7,06 =H 3,04 =H %40/ciertoR 4,03,07,046 =−=− HH

c) Siendo: 321 nnn == 321 fff == es falso

000.7513

000.864000.754000.635 =++=x

000.754000.751 ≠ Siendo: 321 nnn ≠≠ puede ser posible. Cuando 321 nnn == no es posible.

000.254000.864000.754000.635 321 =

++=

n

nnnx

(Procedimiento válido cuando 321 nnn ≠≠ 321 fff ≠≠ ) d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 81% Hombres sector privado

%100%25 Mujeres empleados públicos

%100%19 Mujeres sector privado

%22244

21925 ==+=x Mujeres en ambos sectores (Cierto)

– –

6y – – – – – – –

iX iX


16

f) Cierto. Si normalmente %100o1∑ =ih , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos queda: ∑ = 22 ih ; ∑ == %20000,2ih por lo tanto la media se duplica. 23. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e)

nny

y iiΣ= 1,6

50305 ==y Horas

n

fXX iiΣ= 1,6= Horas

f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica. 25. Solución: 000.655=x Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 400.707$)08,1(000.655%8 ==⇒ x También se puede resolver: [ ] 400.707$000.655400.52 =+=+ XKM

iy in ii ny

3 3 9 4 7 28 5 10 50 6 16 96 8 9 72

10 5 50 Σ 50 305

iX if ii fX


17

400.52$08,0000.655 =× correspondiente al aumento del 8% b) Un aumento del 750.687$)05,1(000.655%5 ==⇒ x [ ] 750.687$000.655750.32 =+=+=+ xKM XK

Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento. 26. Solución: 000.752$000.90000.662)000.330(000.662 =+=×+=x Será el nuevo promedio de salario mensual. 27. Solución:

a) nx

x iΣ= %075,8

46,43,98,56,12 =+++=x Es el margen de utilidad

b)

nny

y iiΣ= 0937,0

000.562653.52 ==⇒ y

0937,0=Σ=n

fXX ii

El margen de utilidad es del 9,37%

c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto. 28. Solución:

a) nx

x iΣ= %475,1

49,5

44,16,21,18,0 ==+++=⇒ x

iy in ii ny

0,126 214.000 26.964 0,058 90.000 5.220 0,093 183.000 17.019 0,046 75.000 3.450 Σ 562.000 52.653

iX if ii fX


18

Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada b)

n

nyy iiΣ

=

n

fXX iiΣ=

%73,10173,0000.61

058.1 ===y

Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción. 29. Solución:

801 =n 1202 =n 000.620=x 500.5821 += xx

801 =f 1202 =f

( ) ( )200

12080500.58000.620 22 xx ++

=

( ) ( ) 22 12080500.5880000.620200 xx +×+=

2200000.680.4000.000.124 x=−

2200000.320.119 x=

600.596200

000.320.1192 ==x Promedio salarial mensual

500.58600.5961 +=x

100.6551 =x Promedio mensual de salario

iy in ii ny

0,008 8.300 66,4 0,011 12.600 138,6 0,026 24.300 631,8 0,014 15.800 221,2

Σ 61.000 1.058,0

iX if ii fX


19

30. Solución:

400=n 600.980=x 730.7251 =x 500.076.12 =x

=1n 1f ?= =2n 2f ?=

( )400

500.076.1400730.725600.980 22 nn +−=

( ) ( ) 22 500.076.1730.725400730.725400600.980 nn +−=

22 500.076.1730.725000.292.290000.240.392 nn +−=

22 730.725500.076.1000.292.290000.240.392 nn −=−

⇒= 2770.350000.948.101 n 291770.350

000.948.1012 ==n Operarios

1092914001 =−=n Técnicos 31. Solución:

80=n 000.9251 =x 000.8702 =x ?3 =x

80321 =++ nnn ⇒ 8010111 =−++ nnn

80321 =++ fff

301 =f 80103 1 =−n

302 =f 1390 n=

203 =f 301 =n 302 =n 203 =n empleados

( ) ( ) ( )80

2030000.87030000.925000.890 3x++

=


20

( ) 320000.100.26000.750.2780000.890 x++=

500.867$20

000.100.26000.750.27000.200.713 =−−=x promedio salarial mensual

32. Solución:

11,111.6419770.5 ==⇒

Σ= x

nx

x i (miles)

a) ( ) 78,277.737$15,111,111.641 ==x b) ( ) 22,222.725$000.2022.222.705$10,111,111.641 =+==x Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa. 33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de

abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada. 34. Solución:

a) Inversión total ii nyΣ 000.210.16$= ii fXX Σ= 000.210.16=

b) 083,377.3$800.4

000.210.16 ==y

El valor promedio por acción.

iy in ii ny

2.500 500 1.250.000 5.800 1.200 6.960.000

10.000 600 6.000.000 800 2.500 2.000.000

Σ 4.800 16.210.000

iX if ii fX


21

35. Solución:

a) 86,35

6,48,32,31,46,3 =++++=x Es la calificación promedio de los 5 cursos o

grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos. b)

nny

y iiΣ=

n

fXX iiΣ

=

=y X 81,3147

6,560 == calificación ponderada

36. Solución:

iy in ii ny

3,2 26 83,2 3,6 32 115,2 3,8 34 129,2 4,1 40 164,0 4,6 15 69,0

Σ 147 560,6

iX if ii fX

''iZ ii nZ '' in iy ''

1 ii yy −− iN

1 2 2 20 15,1 – 25 2 2 20 10 30 25,1 – 35 12

3 75 25 1−→ jn 40 35,1 – 45 37 1−→ jN

4 100 25 jn→ 50 45,1 – 55 62 jN→


22

NOTA: Para ''iZ = 0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le

agregamos el valor de c, siendo 201 =y .

−+=

−

−j

j

j n

Nn

cyMediana1

'1

2 40280

2==n

20,4620,145253045

2531045

2537401045 =+=+=

+=

−+=eM

11

1'1

−+

+− +

+=JJ

JJ nn

ncyModo

75,4840

150452515

151045 =+

++=dM

37. Solución:

5 75 15 1+→ jn 60 55,1 – 65 77

6 18 3 70 65,1 – 75 80 Σ 290 80 − - -

'id ii fd ' if iX ''1 ii XX −− iF

iy in ii ny iN

0 2 0 2

2 3 6 5 1−→ jN

4 7 28 12 jN→

6 4 24 16 7 4 28 20 Σ 20 86 -


23

a) Media aritmética: 3,42086 ==y

3,4=X

b) La mediana: 21nN j <− 4== je yM

c) El modo: 4== jd yM

38. Solución:

a) Media aritmética

93,550

50,296 ==y

b) La mediana: 21nN j <−

5,6== je yM

c) El modo: 5,6== jd yM

b)

−+=

−

−j

j

je n

Nn

cyM1

'1

2 05,630,075,525

20255,175,5 =+=

−+=eM

(Trabajando con intervalos iguales)

39. Solución:

a) La media aritmética: 8.675 675.810750.86 ==x

b) La mediana: 3.625 625.32

000.4250.3 =+=eM

iX if ii fX iF

''1 ii yy −− iy in ii ny iN

2,75 – 4,25 3,5 4 14,00 4

4,25 – 5,75 5,0 16 80,00 20 1−→ jN

5,75 – 7,25 6,5 25 162,50 45 jN→

7,25 – 8,75 8,0 5 40,00 50 Σ − 50 296,50 -

''1 ii XX −− iX if ii fX iF


24

c) La moda: 3.000 000.3=dM , ya que se repite dos veces el valor de 3.000 d) El valor de 50.000 e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución:

a) 43,971.80370

000.278.56 ==Media

Salario promedio mensual

b) 352 =⇒ nMediana

000.801== Je yM Salario promedio mensual c) 000.801=→ dMModo

Salario promedio mensual 41. Solución:

40,84,293322 −=+ hyhy 213525 32 =+ hh ( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh

40,010

43 ==h

32,0132 −=+ hh 68,032 =+ hh 32 68,0 hh −= 28,02 =h

iy in ii ny iN

642.000 2 1.284.000 2 751.000 12 9.012.000 14 758.000 8 6.064.000 22

794.000 10 7.940.000 32 1−→ jN

801.000 24 19.224.000 56 jN→

911.000 14 12.754.000 70 Σ 70 56.278.000 -

iX if ii fX iF

''1 ii yy −− ih iy ii hy iH

10,1 – 20 0,20 15 3,00 0,20

20,1 – 30 0,28 25 7,00 0,48 1−→ jH

30,1 – 40 0,40 35 14,00 0,88 jH→

40,1 – 50 0,12 45 5,40 1,00 Σ 1,00 - 29,40 -

''1 ii XX −− n

f i iX

nfX i

i n

Fi


25

Mediana: 5,021

2==∑ ih

5,01 <−jH

a) 35== je yM Kgrs/mm

2

b)

−+=

−

−j

j

Je h

hcyM

1'

121

c) 35== jd yM Kgrs/mm2

5,3040,002,0

10304,0

48,02/11030 =

+=

−+=eM Kgrs/mm2

42. Solución:

1002

2002

==n

21nN j <−

−+=

−

−j

j

Je n

Nn

cyM1

'1

2

44,84445

90100200800 =−+=eM =

$844.444 Salario mensual

Moda = 700=jy . Se toma la marca de clase o sea 000.700$7002

800600⇒=+

Salario mensual Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.


Menos de 600 30 30

600,1 – 800 60 90 1−→ jN

800,1 – 1.000 45 135 jN→

1.000,1 – 1.200 15 150 1.200,1 y más 50 200

Σ 200 -

iX if iF


26

En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:

n

fXX iiΣ= 825=

120

ii nyy

Σ= 825

120

000.99 ==

$825.000 Salario mensual

43. Solución:

a) 000.658== Jd yM

b) 000.668380

38000.20000.648 =

++=dM

0

38 120

1

1

===

−

+

J

J

J

n

n

n

c) ( ) ( ) 18,118.656381200120

38120000.20000.648 =

−+−−+=dM

d) ( ) 15,634.6523801202

038000.20000.648 =

−−−+=dM

e) 19,951.647380120

380000.20000.648 =

++−+=dM


600,1 – 800 60 700 42.000 800,1 – 1.000 45 900 40.500

1.000,1 – 1.200 15 1.100 16.500 Σ 120 - 99.000

''1 ii XX −− if iX ii fX

''1 ii yy −− in iN iy

648.000,1 – 668.000 120 120 658.000 668.000,1 – 688.000 38 158 678.000 688.000,1 – 708.000 22 180 698.000 708.000,1 – 728.000 10 190 718.000 728.000,1 – 748.000 6 196 738.000 748.000,1 – 768.000 4 200 758.000

Σ 200 - - ''

1 ii XX −− if iF iX


27

(b) 000.668=dM (c) 18,118.656=dM (d) 15,634.652=dM (e) 19,951.647 * Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido. 44. Solución: a) 807468 << Asimetría negativa; b) 687480 >> Asimetría positiva c) 747474 == Simétrica d) 607474 >= Ligeramente asimétrica positiva 45. Solución: a) 67,61=x 5,62=eM 65=dM b) 67,60=x 62=eM hayNoM d = c) 49=x 38=eM 35=dM d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana 46. Solución:

a) 4 4 6 6 6 6 7 10 15 11,79

64 ==x ; 6=eM ; 6=dM

6=eM

8 10 1210 18 20 0,13678 ==x ; 11=eM ; 10=dM

11=eM

b) ( ) ( )

47,915

786415

13691111,7 =+=+=x

47. Solución:


28

37274

2==⇒ nMediana 301 =−JN 46=JN

5,195,31616

3037816 =+=

−+=eM

⇒Modo Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no

calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de if

cn i

i

i = y al frente en iy

se obtendrá el valor del Modo. 31=dM dado que 0,5=cni el valor más alto.

11,1974414.1 =⇒Media

48. Solución: 720 720 720 720 750 810 810 840 840 900 1.680 1.800

5,94212310.11 ==Media ; 720=dM ; 810

2810810 =+=eM

El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500 Modo = $720.000 Mediana = $810.000

''1 ii yy −− in iy iN ic ii cn ii ny

3,1 – 8 8 5,5 8 5 1,60 44 8,1 – 10 8 9,0 16 2 4,00 72

10,1 – 16 14 13,0 30 6 2,33 182 16,1 – 24 16 20,0 46 8 2,00 320 24,1 – 30 18 27,0 64 6 3,00 486 30,1 – 32 10 31,0 74 2 5,00 310

Σ 74 - - - - 1.414 ''

1 ii XX −− if iX iF i if i / ii fX


29

49. Solución: a) 41=y 37=eM 28=dM b) 432=y 384=eM 276=dM a) 41536 =+=x 37532 =+=eM 28523 =+=dM b) ( ) 4321236 ==x ( ) 3841232 ==eM 276)12(23 ==dM meses 50. Solución:

%66,79

9,689

0,86,72,86,84,78,61,63,89,7 ==++++++++=Media

Mediana: 6,1 6,8 7,4 7,6 9,7 8,0 8,2 8,3 8,6 eM

9,7=Mediana %

⇒Modo No hay, ningún valor se repite 51. Solución:

minutos875,18

15 −=−=Media (1 minuto y 52 segundos)

⇒Mediana -18 -12 -8 -8 -6 10 12 15; minutos7214 −=−=eM

7−=eM

8−=Moda (8 minutos de anticipación)

52. Solución:

''1 ii yy −− in iy ii ny iN ic ii cn

2,1 – 5 120 3,5 420,0 120 3 40,0


30

48,6160037.1 ==Media

5,3=Modo

01 == −JNMediana

120=JN

802

=n

422120

08032 =+=

−+=eM

53. Solución:

nnnnnnn =+++++ 654321 → nffffff =+++++ 654321

( ) ( ) 150530305 1111 =+++++++ nnnn

150704 1 =+n

20480804 11 ==→= nn 201 =n 252 =n 303 =n

304 =n 255 =n 206 =n

Sabiendo que:

+= ∑

nnZ

cOy iit

''

⇒

+= ∑

nfd

iAX ii'

5,1 – 9 15 7,0 105,0 135 4 3,75 9,1 – 16 8 12,5 100,0 143 7 1,14

16,1 – 20 6 18,0 108,0 149 4 1,50 20,1 – 28 6 24,0 144,0 155 8 0,75 28,1 – 36 5 32,0 160,0 160 8 0,63

Σ 160 - 1.037,0 - - - ''

1 ii XX −− if iX ii fX iF i if i /

iy in ''iZ ii nZ ''

20 20 -4 -80


31

(1) Se toma como =tO A 60= (2) De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de tO se coloca cero, cuando =c i es

constante para =''iZ '

id (3) Luego hacia arriba se colocará 1− ; 2− etc., y hacia abajo 1, 2, etc.

(4) Reemplazamos en la fórmula inicial

−+=

1502256045 c

(5) Despejamos el valor de la amplitud =c i , siendo 105,1

15156045 =

−−=⇒−=− c

(6) Ahora completamos la columna de iX iy=

1−= MM H (Media armónica)

56,3889,3

150 ==HM

MoGM g == (M. Geométrica)

622234933,1150

33524,243log ==gM

( )622234933,1antilog=gM

,9014M g =

30 25 -3 -75 40 30 -2 -60 50 30 -1 -30 60 25 0 0 70 20 1 20

Σ 150 -225

iX if 'id ii fd '

iy in i

iy

n iylog ii yn log

20 20 1,00 1,30103 26,02060 30 25 0,83 1,47712 36,92803 40 30 0,75 1,60206 48,06180 50 30 0,60 1,69897 50,96910 60 25 0,42 1,77815 44,45375 70 20 0,29 1,84510 36,90196

Σ 150 3,89 - 243,33524

iX if i

iX

f iXlog ii Xf logΣ


32

54. Solución:

83,29=Media 5,172

2213 =+=Mediana hayNoM d =

62,1689462213636 =×××××=geométricaMedia

La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones. 55. Solución:

a) 4,9547 ==Media

19,720128525 =××××=geométricaMedia

22,5958333,0

5

201

121

81

51

21

5 ==++++

=armónicaMedia

22,519,74,9 >> Se cumple la relación 11 −>>⇒ MMM o b) 4,9=Media 8=Mediana hay No=Modo hay No84,9 >> Se cumple la relación de MMM >>⇒ 1 56. Solución:

(1) Se observa que m = 4 número de intervalos (2) Sombreado aparecen los datos del problema (3) Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las

frecuencias y marcas de clases.

m ''1 ii yy −− iy in iN

(1) 3,75 – 4,25 3,5 4 4 (2) 4,25 – 5,75 5,0 16 20 (3) 5,75 – 7,25 6,5 25 45 (4) 7,25 – 8,75 8,0 5 50 − Σ − 50 -

- ''1 ii XX −− iX if iF


33

=+

=+

75,84)

5,32

)

'

'

cyb

cya

o

o Eliminamos a 'oy

b) 50,35,0

75,84'

'

−=−−=+

cy

cy

o

o

25,55,3 =c =⇒ c i 5,15,3

25,5 == Completamos la columna =iy iX

(4) Dividimos a la amplitud entre 75,025,1

2 =⇒ , restándolo a la marca de clase formamos

el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.

93,550

5,296 ==Media

7639614,05019807,38

log ==geométricaMedia

( )7639614,0loganti=geométricaMedia

81,5=geométricaMedia 57. Solución:

∑

∑=

i

i

im

VSS

V

4

6080

100100120

60120

40070

V+++

=

...457,474 hpkV = 58. Solución:

706,264

300

300

250

300

250

300900 =

++=mV

...706,264 hpkVm =

ii ny iylog ii yn log

14,0 0,54407 2,17627 80,0 0,69897 11,18352

162,5 0,81291 20,32283 40,0 0,90309 4,51545

296,5 - 38,19807

ii fX iXlog ii Xf log


34

59. Solución:

44,53

50200

60200

55200

50200

800 =+++

=mV

...44,53 hpkVm =

60. Solución:

48

601

401

2 =+

=mV

...48 mpkVm =

61. Solución:

A

B C

...30,38078,03

501

401

301

3 hpkVm ==

+

+

=

62. Solución:

A 10== tO i 6== c

∑

=−

i

i

yn

nM 1 ∑

=

i

iH

Xf

nM

194,4237,2

100 ==HM

''iZ ii NZ '' iN in iy

i

iy

n

3 15 5 5 28 0,18 4 80 20 15 34 0,44 5 225 45 25 40 0,63 6 450 75 30 46 0,65 7 665 95 20 52 0,38 8 800 100 5 58 0,09 Σ - - 100 - 2,37

'id ii fd ' iF if iX ii fX


35

63. Solución: xi: 4,824 10,184 20,502 32,830 65,660

8,26=x 502,20=eM 501,121 =−M 507,18=oM 64. Solución:

44,44

401

501

2 =+

=HM Minutos

65. Solución:

67,11

101

141

2 =+

=HM Papeleras diarias 122

1014 =+=x Papeleras diarias

66. Solución:

a) 550.2$3

570.2830.2250.2 =++=Media Promedio por paquete

b) 58,527.2$

570.21

830.21

250.21

3. =++

=armónicaM Valor promedio por paquete

67. Solución:

m iy in iN ''iZ ii nZ '' ii yn /

(1) 30 4 4 -1 -4 0,1333 (2) 50 16 20 0 0 0,3200 (3) 70 25 45 1 25 0,3571 (4) 90 5 50 2 10 0,0555 − Σ 50 - - 31 0,8659

- iX if iF 'id ii fd ' -


36

Σ+=

nnZ

cOy iit

''

+==⇒5031504,62 cy

Σ+=n

fdiAX ii

'

c62,04,12 =

2062,04,12 ==c

4520252

50

2 1 ==⇒==⇒ − JJ NyNn

Mediana (No aparece 2n )

== JyMediana JX 70=

74,578659,050 ==armónicaMedia

68. Solución:

83,144

1401

1501

2 =+

=armónicaMedia

69. Solución:

800.1$

600.31

800.11

200.11

3 =++

=armónicaMedia

Precio promedio pagado por el fabricante


37

70. Solución:

50 25 30260

1 ===⇒ − JJ NNMediana

2612525

2530525.).( =+=

−+=CVMediana

5,27)( =VDMediana

77,23524,2

60 ==armónicaMedia

71. Solución: Media, mediana y moda

a) 3,1410

143 ==→ xMedia minutos de retardo

134 −−−→Mediana 2 4 4 6 10 124

32

6 ==eM minutos de retardo

4==→ Jd xMModa minutos

La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se

muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.

''1 ii yy −− in iy

i

iy

n iN

10,1 – 15 3 12,5 0,240 3 15,1 – 20 7 17,5 0,400 10 20,1 – 25 15 22,5 0,667 25 25,1 – 30 25 27,5 0,909 50 30,1 – 35 10 32,5 0,308 60

Σ 60 - 2,524 - ''

1 ii XX −− if iX ii Xf / iF


38

72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. de MMx ==

Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución:

a) Media: 67,2650

5,333.1 ==y

b) Mediana: 14,2914,1287

2425828 =+=

−+=eM

252

50

2==N

31

241

==−

J

J

N

N

c) Moda: 5,13== Jd yM ( ) 67,4/ =ii cn Es el de mayor valor

d) Tercer decil: ( )

1510

503

10

3 ==n 1621 ==− JJ NN

79,1479,21214

2153123 =+=

−+=D

e) Segundo cuartil: ( )

14,29254502

42

2 ==⇒== eMQn

31y 241 ==− JJ NN

ii yy '' 1 −− in JN ii cn / iy ii ny

6,1 - 12 2 2 0,33 9,0 18,0 12,1 - 15 14 16 4,67 13,5 189,0 15,1 - 20 5 21 1,00 17,5 87,5 20,1 - 28 3 1−JN 24 0,38 24,0 72,0

28,1 - 36 7 JN 31 0,88 32,0 224,0 36,1 - 40 16 47 4,00 38,0 608,0 40,1 - 50 3 50 0,30 45,0 135,0

Σ 50 - - - 1.333,5


39

f) Percentil sesenta:

( )

30100

5060

100

60 ==n 31241 ==− JJ NN

86,3486,6287

243082860 =+=

−+=P

74. Solución:

( )

400856.320.1400300.857

960.260.1 22 nn +−=

( ) 22 856.320.1300.857400300.857000.384.504 nn +−= 22 300.857856.320.1000.920.342000.384.504 nn −=− 2556.463000.464.161 n=

348556.463

000.464.1612 ==n Operarios 523484001 =−=n Técnicos

75. Solución: Lo debe investigar el estudiante. 76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.


40

92,2074388.32 ==cuadráticaMedia

28,2274

125.8183 ==cúbicaMedia

( )

8,5110747

7 =⇒= DdecilSéptimo 461 =−JN 64=JN

93,2593,12418

468,516247 =+=

−+=D

77. Solución:

67,66

40 ==x 4=dM ⇒eM 4 4 4 6 10 12

5=eM

39,767,546

12446104 222222

2 ==+++++=⇒ MCuadráticaMedia

06,867,5226

12446104 33333333

3 ==+++++=⇒ MCúbicaMedia

45,51,1

6

12/14/14/16/110/14/1

61 ==

+++++=⇒ −MArmónicaMedia

''1 ii yy −− iy in ii ny2 ii ny3 iN

3,1 – 8 5,5 8 242 1.331 8 8,1 – 10 9,0 8 648 5.832 16 10,1 – 16 13,0 14 2.366 30.758 30 16,1 – 24 20,0 16 6.400 128.000 46 24,1 – 30 27,0 18 13.122 354.294 64 30,1 – 32 31,0 10 9.610 297.910 74

Σ − 74 32.388 818.125 - ''

1 ii XX −− iX if ii fX 2 ii fX 3 iF


41

99,5080.4612.4.4.6.10.4 66 ===⇒ oMGeométricaMedia

a)

06,839,767,699,545,5

3211

<<<<<<<<− MMMMM o

Se cumple la propiedad b)

1

1

67,654

5467,6

MMM

MMM

ed

ed

<<<<

===

Asimétrica positiva 78. Solución:

a) 53,210.692$152

000.216.105 ==Media

000.590$=Modo

762

1522

==⇒ nMediana

421 =−JN 152=JN

JyMediana 000.590$ == b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger

una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última. 79. Solución:

180

120

2

1

==

n

n

216

240

2 ==

x

x

?

7,226

3 ==

n

díasx

2303 =x

( ) ( ) ( )

3

3

300

2302161802401207,226

n

n

+++

=

( )

33

33

7,226230880.38800.28010.68230880.38800.287,2263007,226nn

nn

−=−−++=+

1003,3330 33 =⇒= nn (sección c)

iy in ii ny iN

1.930.000 2 3.860.000 2 1.510.000 4 6.040.000 6 1.370.000 6 8.220.000 12 1.350.000 4 5.400.000 16

646.000 26 16.796.000 42 590.000 110 64.900.000 152 Σ 152 105.216.000 -

iX if ii fX iF


42

80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días. 81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución. 82. Solución:

003.973)998.083.1(374.873 ==oM

816.278)776.240(867.322 ==oM

057.234)358.267(903.204 ==oM

118.446)864.575(604.345 ==oM

83. Solución:


iy ii ny

800,1 - 1.000 5 5 900 4.500 1.000,1 - 1.200 13 18 1.100 14.300 1.200,1 - 1.400 17 35 1.300 22.100 1.400,1 - 1.600 8 43 1.500 12.000 1.600,1 - 1.800 7 50 1.700 11.900

Σ 50 - - 64.800


43

a) Media: 296.150

800.64 ==⇒ y

Moda: 300.1=⇒ dM

Mediana: 252

50

2==⇒

n

35181 ==− JJ NN

35,282.135,82200.117

1825200200.1 =+=

−+=eM

b) Media cuadrática: 2M⇒ 12,317.150

000.740.862 ==M

Media cúbica: 3M⇒ 70,337.1000.760.393.250

000.000.688.119 333 ===M

i

iy

n iylog ii yn log

0,005556 2,95424 14,77121 0,011818 3,04139 39,53810 0,013077 3,11394 52,93704 0,005333 3,17609 25,40873 0,004118 3,17609 22,61314 0,039902 - 155,26822

ii ny 2 ii ny 3

4.050.000 3.645.000.000

15.730.000 17.303.000.000

28.730.000 37.349.000.000

18.000.000 27.000.000.000

20.230.000 34.391.000.000

86.740.000 119.688.000.000


44

Media Armónica: 07,250.1039902,0

501 ==−M

Media Geométrica:

1053644,350

26822,155log ==oM

57,274.11053644,3log == antiM o

84. Solución: a) La mediana b) La media geométrica c) Verdadero d) Verdadero e) Población 85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución:

xxx ==+

52

21

1021 =+ xx oMxx == 421

1621 =xx

2

116

xx =

Reemplazamos en 521 =+ xx

01016

22

=−+ xx

01016 2

22 =−+ xx

01610 2

22

=+− xx


45

82 21 == xx

38,62

82333

3 =+=M

87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución:

21

21

1

1

1

4,3

hh

hh

x

−=+=

=

2,42 =x

%5,62;%5,37;375,08,0

3,08,03,0

2,44,34,37,3

7,32,4)1(4,3

1222

22

22

====⇒=

+−==+−=

hhhh

hh

hhx

90. Solución:

508281778

50654321

=+++++

=+++++= nnnnnnn

17

102258

25

3

6

3

31

==+=+=+

n

n

n

nn

86 =n

''1 ii yy −− iy in

ii ny3 ii yn /

10,1 - 18 14 8 21.952 0,5714 18,1 - 26 22 7 74.536 0,3182 26,1 - 34 30 17 459.000 0,5667 34,1 - 42 38 8 438.976 0,2105 42,1 - 50 46 2 194.672 0,0435 50,1 - 58 54 8 1.259.712 0,1481

Σ − 50 2.448.848 1,8584


46

157

15

4

42

=+

=+

n

nn

84 =n

504225,0

2

2

=+=+

Cy

Cy

285,3

225,0504

2

2

=−=−−

=+

C

Cy

Cy

85,3

28 ==C

Media cúbica 59,3688,976.4850

844.448.2 333 ≅==⇒ M

Media armónica 90,268584,1

501 ==⇒ −M

91. Solución: a) Falso ya que: de MMx >> y se da 68 como dM , que debe ser menor o igual a 62 ?6268 >> b) 123 −>>>> MMxMM o 76,8 > 72,50 > 70 > 65 > 63 Se cumple la relación. 92. Solución:

24,13=gM 14=x 30,153 =M 70,142 =M

a) Media armónica = 47,123208,0

4

20

1

16

1

12

1

8

14 ==

+++


47

93. Solución: a) Verdadero b) Sólo una c) Geométrica d) Media aritmética e) Verdadero f) Mediana g) Verdadero 94. Solución:

( )500

400.86300200328.026.1 11 −+

=xx

( )400.86300300200000.164.513 11 −+= xx

000.920.25500000.164.513 1 −= x

168.078.1500

000.084.5391 ==x y 768.9912 =x

95. Solución: a) Media aritmética == 50tO A

''1 ii yy −− in ih iy ii ny '

iZ ii nZ '

15,1 – 25 8 0,04 20 160 -30 -240 25,1 – 35 20 0,10 30 600 -20 -400 35,1 – 45 42 0,21 40 1.680 -10 -420

45,1 – 55 60 0,30 50 3.000 0 10601060−

55,1 – 65 42 0,21 60 2.520 10 420 65,1 – 75 20 0,10 70 1.400 20 400 75,1 – 85 8 0,04 80 640 30 240 Σ 200 1,00 - 10.000 - 0

''1 ii XX −− if nf i / iX ii fX id ii fd


48

(Primer método abreviado)

nny

y iiΣ= 50

200

000.10 == 50=Σ=n

fXX ii

nnZ

Oy iit

'Σ+= 50050 =+= 50

'

=Σ

+=n

fdAX ii

== 50tO A

(Segundo método abreviado)

Σ+=

nnZ

cOy iit

'

50'

=

Σ+=

nfd

iAX ii

( ) 5001050 =+=y

B)

''1 ii yy −− in iN iy ii ny '

iZ ii nZ '

15,1 – 25 6 6 20 120 -30 -180 25,1 – 35 17 23 30 510 -20 -340 35,1 – 45 34 57 40 1.360 -10 -340 45,1 – 55 53 110 50 2.650 0 0 55,1 – 65 42 152 60 2.520 10 420 65,1 – 75 38 190 70 2.660 20 760 75,1 – 85 10 200 80 800 30 300

Σ 200 - - 10.620 0 620 ''

1 ii XX −− if iF iX ii fX id ii fd

A 50== tO

''iZ ii nZ ''

-3 -24 -2 -40 -1 -42 0 0 1 42 2 40 3 24

Σ 0

'id ii fd '


49

n

fXX iiΣ= 1,53= 1,5310,350

20062050 =+=

+=y

Σ+=n

fdiAX ii

'

1,53=

50=tO

n

nyy iiΣ

= 1,53200

620.10 ==

Σ+=

nnZ

cOy iit

''

1,53200

621050 =

+=y

b) Mediana A)

21nN j <− 10070 <

−+=

−

−j

j

je n

Nn

CyM1

'1

2

−+=

−

j

j

ie f

Fn

iLM12

−+=60

701001045eM

6030045 +=eM

''iZ ii nZ ''

-3 -18 -2 -34 -1 -34 0 0 1 42 2 76 3 30 Σ 62

'id ii fd '


15,1 – 25 8 8 25,1 – 35 20 28

35,1 – 45 42 70 1−→ jN

45,1 – 55 60 130 jN→

55,1 – 65 42 172 65,1 – 75 20 192 75,1 – 85 8 200

Σ 200 - ''



50

50545 =+=eM B)

53

571001045 −+=eM

53431045 +=eM

5343045 +=eM

11,5311,845 =+=eM

A)

21nN j <−

10070 < jje XyM ==

50=eM

B)


15,1 – 25 6 6 25,1 – 35 17 23 35,1 – 45 34 57 1−→ JN

45,1 – 55 53 Jn→ 110 JN→

55,1 – 65 42 152 65,1 – 75 38 190 75,1 – 85 18 200

Σ 200 - ''


jy jn jN

20 8 8 30 20 28

40 42 70 1−→ jN

50 jy→ 60 130 jN→

60 42 172 70 20 192 80 8 200

Σ 200 -

JX Jf JF

jy jn jN

20 6 6 30 17 23

40 34 57 1−→ jN

50 jy→ 53 110 jN→

60 42 152 70 38 190 80 10 200

Σ 200 -


51

21nN j <− 10057 <

je yM =

50=eM 50== je yM (En ambos casos)

A)

''1 ii yy −− jn

15,1 – 25 8 25,1 – 35 20 35,1 – 45 42 1−→ jn

45,1 – 55 60 jn→

55,1 – 65 42 1+→ jn

65,1 – 75 20 75,1 – 85 8

Σ 200 ''

1 ii XX −− jf

c) Modo:

++=

−+

−−

11

1'1

jj

jje nn

ncyM

A) 508442045

4242421045 =+=

+

+=eM

B) 53,507642045

4234421045 =+=

++=dM

( )

( ) ( )

−+−−

+=+−

−−

11

1'1

jjjj

jjjd nnnn

nncyM

JX Jf JF


52

A) ( ) ( ) 5036

1804542604260

42601045 =+=

−+−

−+=dM

++=

−+

−

11

1

JJ

Jid ff

fiLM

B) ( ) ( ) 33,5130

1904542533453

34531045 =+=

−+−

−+=dM

( )

( ) ( )

−+−

−+=+−

−

11

1

JJJJ

JJid ffff

ffiLM

B)

d) Media geométrica: 70329835,120065967,340log ==gM

5,5070329835,1antilog ==gM

n

ynM ii

g

loglog

Σ=

Σ=n

XfM ii

o

logantilog

e) A) 123 MMM ed −= B) 123 MMM ed −= ( ) ( )502503 −=dM ( ) ( )1,5321,533 −=dM 50=dM 1,53=dM f) A)

iy in iylog ii yn log

20 6 1,20103 7,20618 30 17 1,47712 25,11104 40 34 1,60206 54,47004 50 53 1,69897 90,04541 60 42 1,77815 74,68230 70 38 1,84510 70,11380 80 10 1,90309 19,03090 Σ 200 - 340,65967

iX if iXlog ii Xf log

iy in ii yn /

20 8 0,40 30 20 0,67 40 42 1,05


53

Media armónica

∑

=

i

iH

yn

nM 35,4541,4

200 ==HM

35,45=HM

35,45==∑

i

iH

Xf

nM

B)

∑

=

i

iH

yn

nM 426,4813,4

200 ==HM

426,48=HM

B)

Media cuadrática y cúbica

n

nyM ii

2

2Σ= 04,55

200

000.6062 ==M

33

3 nny

M iiΣ= 3

3 200

000.534.36=M

74,56670.1823

3 ==M

04,552

2 =Σ

=n

fxM ii 74,563

3

3 =Σ=n

fXM ii

50 60 1,20 60 42 0,70 70 20 0,29 80 8 0,10

Σ 200 4,41

iX if ii Xf /

iy in ii yn /

20 6 0,30 30 17 0,56 40 34 0,85 50 53 1,06 60 42 0,70 70 38 0,54 80 10 0,12

Σ 200 4,13

iX if ii Xf /

in ii ny2 ii ny3 6 2.400 48.000

17 15.300 459.000 34 54.400 2.176.000 53 132.500 6.625.000 42 151.200 9.072.000 38 186.200 13.034.000 10 64.000 5.120.000

200 606.000 36.534.000

if ii fX 2 ii fX 3


54

97. Solución: Siendo: 71 =M 6=eM 3

3 657=M

37 321 xxx ++

= 31 621 xx ++= 3115 xx += 31 15 xx −=

333

3313

3 36

657xx

M++

==

( ) 3

331 2166573 xx ++=

33

31216971.1 xx +=−

33

31755.1 xx +=

( ) 3

33

315755.1 xx +−=

33

33

233 45675375.3755.1 xxxx +−+−=

233 45675375.3755.1 xx +−=

045675620.1 2

33 =+− xx

( ) 0153645 233 =+− xx

Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. Siendo: 31 =x 62 =x 123 =x 98. Solución:

25 21 xx +

= → 2110 xx += → 21 10 xx −=

21 . xxM o = → 214 xx= → 2116 xx= → 2

116x

x =


55

21 10 xx −= → 22

1016 xx

−= → 2221016 xx −=

01610 2

22 =+− xx 21 =x 82 =x

2,3625,02

81

21

211

1 ==

+

==∑

−

x

nM

99. Solución:

44836410064364100364642 =+++++++++=∑ ix

69,68,4410448

2

2 ==== ∑nx

M i

100. Solución:

00,1307,16930072.5

2 ===M

101. Solución: Variable discreta

iy in ii ny2 4 3 48 8 7 448

12 10 1.440 16 6 1.536 20 4 1.600

Σ 30 5.072

iX if ii fX 2

'iy in jN


56

Primer cuartil = 1Q

5,12450

4==n Como no aparece 1−JN será 9 y

24=JN 61 == JyQ

Tercer cuartil →⇒ 3Q ( )

5,374

150

4

503

4

3 ===n (Posición)

Como no aparece 37,5 se toma como 341 =−JN y 40=JN

123 == JyQ

Sexto decil ⇒⇒ 6D ( )

3010300

10506

106 ===n No aparece, por lo tanto 86 == JyD

Percentil 80 ( ) ( )40

100000.4

1005080

10080

80 ===⇒⇒n

P

Como aparece, se tendrá que: 401 =−jN y 50=jN

132

14122

180 =+=

+= − jJ yy

P

b) Variable continua

2 3 3 4 6 9 6 15 24 8 8 32

10 2 34 12 6 40 14 10 50

Σ 50 -

iX if iF

''1 ii yy −− in jN

3,1 – 8 14 14 8,1 – 13 15 29 13,1 – 18 8 37 18,1 – 23 6 43 23,1 - 28 7 50 28,1 - 33 10 60

Σ 60 -


57

Primer cuartil

15460 = no está ; siendo: 141 =−JN 29=JN

33,815

1415581 =

−+=Q

Tercer cuartil ⇒3Q ( )

454

1804603 == no está ; siendo: 431 =−JN y 50=JN

43,247

43455233 =

−+=Q

Sexto decil ⇒6D ( )

3610606

106 ==n no está, por lo tanto 291 =−JN y 37=JN

38,178

29365136 =

−+=D

Percentil 80( )

48100

6080

100

80 ==⇒n

no está, por lo tanto 431 =−JN y 50=JN

57,267

434852360 =

−+=P

Veamos algunos modelos, cuando 2/1 nNJ <− 2/1 nFJ <− El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.

−+=

−

−j

j

j n

Nn

cyQ1

'12

42

Cuando 42

1nN j <−

''1 ii XX −− if iF


58

El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua

−+=

−−

j

j

j n

Nn

cyQ1'

1343

Cuando 43

1nN j <−

El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana.

(Quinto decil)

−+=

−

−j

j

j n

Nn

cyD1

'15

105

(50 percentil)

−+==

−

−j

j

j n

Nn

cyPC1

'15050

10050

El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

−+=

−

−j

j

j n

Nn

cyD1

'14

104

variable continua, cuando 104

1nN j <−

El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones

−+=

−

−j

j

j n

Nn

cyP1

'160

10060

variable continua, cuando 10060

1nN j <−

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007

4 Medidas de dispersión,

de deformación y apuntamiento

Varianza y desviación típica o estándar


1. Solución:

xM == 04,31 26,42 =M (Media cuadrática)

nx

M i∑=2

2 ⇒ 1476,1826,42

2 == ∑nxi

22

2 xn

xiS −= ∑ ⇒ 22 04,31476,18 −=S

906,82 =S 906,82416,91476,182 =−=S

984,2906,82 ==+= SS


2

2. Solución:

nfX

X iiΣ= n

nyy ii∑=

400120 ii nyΣ

=

ii nyΣ=000.48 ii fXΣ=000.48

233245.44000.48 y+= 33367400 =−=n

233245.44000.48 y=−

78,11333755.3

2 == y 78,113=X

a)

245.44 ii nyΣ=245.44

367=n

140135105

78,113

120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.

b)

iy in

105 - 110 37 115 90 120 95 125 85 130 60 135 - 140 - Σ 400

iX if

iy in ii ny

105 - - 110 37 4.070 115 90 10.350 120 95 11.400 125 85 10.625 130 60 7.800 135 - - 140 - -

− 400 48.000

iX if ii fX


3

nnZ iiS

22 Σ

= n

fdS ii

22 Σ

=

ii nZnS 22 Σ= ii fdnS 22 Σ=

( ) 000.1025400 ==

075.14000.10 < (No puede ser posible)

3. Solución:

[ ] [ ] [ ] [ ]88/188/1 VVVV XXy −⇒= −

[ ] [ ] ( ) 164648

641

641 2 ==== xy VV

12 =yS

4. Solución:

( ) ( )284/1 −= xy 424

5,0242

48

2 ==

=−=−=

x

x

S

S

xSiendoxxy

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5,02;5,75,085,02 VVVyMM xyxy −===−=−=

[ ] [ ] ( ) ⇒=→= 16444 Xy VV ⇒= 162yS 4=yS

5. Solución:

( ) ( )5,121

10030125701202211 =+=

+=

nnxnx

x

( ) ( )n

nxxnxxn

nn SSS 2

221

212

221

212 −+−

++

=

iy in iZ ii nZ ii nZ 2 105 - -15 - - 110 37 -10 -370 3.700 115 90 -5 -450 2.250 120 95 0 0 0 125 85 5 425 2.125 130 60 10 600 6.000 135 - 15 - - 140 - 20 - -

Σ 400 - - 14.075

iX if id ii fd ii fd 2


4

( ) ( ) ( ) ( )

100305,121125705,121120

10030257036 22

2 −+−+

+=S

( ) ( )

95,3725,570,32100

3025,127025,2100270.32 =+=

++=S 16,695,37 ==S

6. Solución: Siendo: 400.142 =AS 120=AS 600.32 =BS 60=BS AB SS < 12060< Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A. 7. Solución:

221 xx

x+

= ( ) ( )

2

22

212 xxxx

S−+−

=

212 xxx += ( ) ( )2

2

2

122 xxxxS −+−=

( ) 2182 xx += ( ) ( ) ( )2

22

1 8812 −+−= xx

2116 xx += 641664162 2221

21 +−++−= xxxx

21 16 xx −= 01261616 2221

21 =+−+− xxxx

Reemplazamos 21 16 xx −= en 1x : ( ) ( ) 012616161616 2

222

22 =+−+−−− xxxx

0126161625632256 2

222

222 =+−++−+− xxxxx

0126322 2

22 =+− xx

( ) 063162 2

22 =+− xx ⇒ 92 =x y 71 =x


5

8. Solución:

22

2 xnxiS −= ∑

2

1026025

−=

nn

−=2

10026025n

nn

nn 10026025 −=

10026025 2 −= nn

20525 2 −= nn

044,102 =+− nn ⇒ n será igual a 10, siendo:

aacbb

n2

42 −±−=

21616,1084,10 −±

=n 102

6,94,10 =±=n

9. Solución:

3=x 10=n 1002 =∑ ix

1910310100 22

22 =−=−=−= ∑

xn

xiS 12 =S 11 ==S


6

10. Solución:

6,4523

1 ==Σ

=n

xx i

( )

6,8543

54

2 ==+Σ

= ixx

21 xx ≠ 6,86,4 ≠

( )24,86,8

54114 22

2

222 =−=−

+Σ= x

n

xiS 24,86,45

147 221

212

1 =−=−Σ

= xnx

S

22

21 SS = 24,824,8 =

11. Solución:

?=S 2=n 9=x 2,7=gM

221 xx

x+

= → 1821 =+ xx

21 xxM g = → 212,7 xx= → 2184,51 xx= → 2

184,51

xx =

1884,51

22

=+ xx

→ 222 1884,51 xx =+ → 084,5118 2

22 =+− xx

4,141 =x y 6,32 =x

16,298116,110812

32,2209

26,34,14 2

222 ⇒−⇒−⇒−

+=S 4,5=S

ix 4+ix 2ix ( )24+ix

2 6 4 36 6 10 36 100 5 9 25 81 9 13 81 169 1 5 1 25

23 43 147 411


7

12. Solución:

( ) ( ) ( )70

158925783071 ++=x

35,7770415.5

70335.1950.1130.2

==++

=x

( ) ( ) ( )

321

32

322

212

1

321

3232

221

212

nnnnxxnxxnxx

nnnnnn SSS

S++

−+−+−+

++++

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )70

1535,77892535,77783035,777170

154925643081 2222 −+−+−+++=S

58,11451,4607,6870

96,255.370765.42 =+=+=S

58,1142 =S

70,10=S

Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían:

33,793

897871 =++=x

( ) ( ) ( )3

33,798933,797833,79713

496481222

2 −+−+−+++=S

( ) ( ) ( )

+++=+−+−

+=3

50,9376,138,6966,64

367,933,133,8

3194

2222S

54,11988,5466,643

64,16466,642 =+=+=S

93,10=S


8

13. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny ''

iZ ii nZ '' ii nZ 2'' 0 – 10 5 640 3.200 -4 -2.560 10.240 10,1 – 20 15 684 10.260 -3 -2.052 6.156 20,1 – 30 25 863 21.575 -2 -1.726 3.452 30,1 – 40 35 876 30.660 -1 -876 876 40,1 – 50 45 753 33.885 0 0 0 50,1 – 60 55 663 36.465 1 663 663 60,1 – 70 65 414 26.910 2 828 1.656 70,1 – 80 75 154 11.550 3 462 1.386 80,1 – 90 85 13 1.105 4 52 208

Σ - 5.060 175.610 - -5.209 24.637 ''

1 ii XX −− iX if ii fX 'id ii fd ' ii fd 2'

a) 70,34060.5610.175 ==y 70,34=X 3752 =S

{ } 37506,181,4100060.5209.5

060.5637.24100

22 =−=

−−=S 36,19=S

%79,555579,070,3436,19 ===CV

b) [ ] 70,491570,3415 =+=+=+ xM kx

[ ] [ ] [ ] 375037515 =+=+=+ VVV xkx

36,19=S

%95,383895,070,4936,19 ===CV

Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.


9

c) SZY ± SZX ± c1) ( )36,195,170,34 ± c2) ( )36,195,270,34 ±

===±

i

S

LL

66,574,63

04,2970,34

=−==±

i

s

LL

70,1310,83

40,4870,34

14. Solución:

360.12 =Σ ix 222 xnxnS i −Σ=

40=Σ ix 2

40360.1280.1

−=

nn

280.12 =Sn n600.1360.1280.1 −=

22

2 xnxiS −

Σ= 600.1360.1280.1 −= nn

n80600.1 =

2080600.1 ==n

15. Solución:

170=x 4,72 =S cms2

[ ] 1619170 =−=−=− KxM KX cms [ ] [ ]24,7 cmsVV XKX ==−


10

16. Solución:

1,8,2,3:x nx

x iΣ= 5,3

4

14 ==x

22

2 xnxiS −

Σ= 25,725,125,195,3

478 22 =−=−=xS 25,72 =xS

52 += xy [ ] [ ] 52 += XY MM [ ] ( ) 1255,32 =+=YM 12=y

[ ] 4=YV [ ] 0+XV [ ] ( ) 2925,74 ==YV

( ) 2925,744 22 === XY SS 17. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros. 19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o sus desviaciones típicas. En este caso ( )162522 >⇒> AB SS . 20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso,

el coeficiente de variación = 100xS


11

21. Solución:

[ ] ( ) ( ) 400.144600.3460222 ==⇒= XKX SKV minutos2

400.142 =S

22. Solución:

( ) ( )n

nxxnxxn

nn iSSS 2

22

212

221

212 −+−

++

=

( ) ( ) ( ) ( )50

302,109202,101250

306,14202,28 222 −+−++=S

( ) ( )

2,1050

30920122211 =+

=+

=n

nxnxx

2,2216,204,2050

10804,202 =+=+=S

71,42,22 ==S

23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo. 24. Solución:

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )40

23050

4020302050

=+

=+

=x

10=S %2525,04010 ===CV


12

25. Solución:

iy in iH ih ''iZ ii nZ '' ii nZ 2''

10 6 0,12 0,12 -2 -12 24 20 10 0,32 0,20 -1 -10 10 30 18 0,68 0,36 0 0 0 40 10 0,88 0,20 1 10 10 50 6 1,00 0,12 2 12 24 Σ 50 - 1,00 - 0 68

iX if n

Fi nf i 'id ii fd '

ii fd 2'

==nn

h ii n

f i ==nn

h 11 n

f1 5012,06

1

1 ===hn

n

( ) ( ) 1020,05022 === hnn

nnZ

cOy iit

''Σ+=

Σ+=

nfd

iAX ii'

( ) 3001030 =+=y 30=Y

iy in iH

10 6 0,12 20 - 0,32 30 - - 40 - - 50 - - Σ - -

iX if n

Fi

iy in yyi −

2)( yyi −

ii nyy 2)( −

10 6 -20 400 2.400 20 10 -10 100 1.000 30 18 0 0 0 40 10 10 100 1.000 50 6 20 400 2.400 Σ 50 - - 6.800


13

Σ−

Σ=

2'2''22

nnZ

nnZ

c iiiiS

Σ−Σ=2'2'

22

nfd

nfd

iS iiii

( ) ( ) 13636,1100050

681002 ==

−=S

nnyy

S ii∑ −=2

2 )(136

50800.6 2 === S

66,11136 ==S

66,11=S

3886,03066,11 ===

yCV S %86,38=CV

26. Solución:

1021 =+ xx 52

21 =+

=xx

x 421 == xxM g

21 10 xx −= → 214 xx= → 2116 xx= →

21

16x

x = → 22

1016 xx

−= → 2221016 xx −= →

01610 2

22 =+− xx 81 =x 22 =x

92526825

2464

52

28 222

2 =−=−+

=−+

=S 92 =S 3=S

%606,053 ===CV

27. Solución:

( ) ( )5,121

1003012570120

=+

=x


14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100

305,121125705,121120100

3097036 222 −+−

++

=S

15,3325,590,27100525

100790.22 =+=+=S

15,332 =S

76,5=S

%74,40474,05,121

76,5 ===CV

28. Solución: Siendo: 10=x 3=XS 92 =XS

[ ] [ ] [ ]24 MMM XY += → [ ] ( )42

2104

=−+=YM

[ ] yM Y == 42

[ ] [ ] [ ]216 VVV XY += → [ ] ( ) 144916 ==YV 1442 =Ys 12=Ys

%57,282857,04212 ==== XX dCV

yCV YS

=

29. Solución:

iy in iN ''iZ ii nZ '' ii nZ 2'' iy in 2

iy in

30 4 4 -1 -4 4 120 3.600 50 16 20 0 0 0 800 40.000 70 25 45 1 25 25 1.750 122.500 90 5 50 2 10 20 450 40.500 Σ 50 - - 31 49 3.120 206.600

iX if iF 'id ii fd ' ii fd 2' iX if 2

iX if

Σ+=

nnZ

COy iit

''

n

fdiAX ii

'Σ+= 4,6250120.3 ==y


15

5031504,62 C+= n

ynnY iiS∑ −=

222

C62,0504,62 =− n

S2

2 )4,62(50600.206 −=

C62,04,12 = 24,2382 =S

44,15=S

2062,04,12 ==C 20=i

Σ−

Σ=

2''2''22

nnZ

nnZ

C iiiiS

Σ−Σ=2'2'

22

nfd

nfd

iS iiii

( ){ } 24,23862,098,04005031

504920 2

222 =−=

−=S

44,1524,238 ==S

%74,242474,04,62

44,15 ===CV CV = 24,74%

30. Solución: a) 000.96=AS 000.97=BS AB SS > 97.000 > 96.000

b) %32,101032,0000.930000.96 ====

A

AA x

CVS

%51,90951,000.020.1

000.97 ====B

BB x

CVS

%51,9%32,10 > BA CVCV > 31. Solución:

[ ] $753.1740.113 demillonesxKM xk =+=+=+ [ ] [ ]2$ de millones 100.8==+ xxk VV


16

90100.8 ==S %13,50513,0753.190 ====

xCV S

32. Solución:

[ ] [ ] 2,11444 === xMM Xx [ ]22

2 xMX

S −=

8,242,11 ==x 22 8,205,15 −=S

[ ] [ ] [ ] [ ] 25,304422 44

22 =++== +++ XXXXX MMMM 84,705,152 −=S

[ ] ( ) 25,3048,2405,1522 =++=+XM 21,72 =S

[ ] 05,152,11425,302 =−−=X

M 69,221,7 ==S

9607,080,269,2 ==CV

%07,96=CV

33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación.

xCV S=

%60,545460,040,3533,19 ===ACV %90,70790,0

750.945708.74 ===BCV

BA CVCV > 34. Solución:

a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta. 22BA SS > 400.5800.7 >


17

En cuanto a la variabilidad tenemos que:

%04,111104,0800

31,88 ====A

AA x

CVS

%30,111130,0650

48,73 ====B

BB x

CVS

AB CVCV > %04,11%30,11 >

b) 27,048,73

650630

13,131,88

800700

2

1

−=−=

−=−=

Z

Z

12 ZZ > -1,130,27- >

c) 21

2211

ww

wxwxx

++=

horasx 7252

650800 =+=

Suponiendo las mismas cantidades 1n y 2n

2

)725650()725800(

2

5400800.7 222 −+−++=s

57,110

225.12625.5600.62

==+=

s

s ; %25,15100

725

57,110 ==CV

35. Solución:

280.2333

1321

321 ==××=

ini

i

nnn yyyy π 6011

3

1332211 =Σ=++

=nynynyny

i

Como la distribución es Simétrica 1n = 3n


18

1315321 ++==++ nnn 5321 =++ fff

Además siendo: 12560 ==

Σ=

nny

y ii n

fXX iiΣ=

6036 31 =++ yy 6036 31 =++ XX 24366031 =−=+ yy 280.233321 =yyy ( ) 280.233728.1 31 =yy

135728.1280.233

31 ==yy 13531 =yy

iy in ii ny iniy

1 12 3 36 1.728 1

Σ 5 60 233.280

iX if ii fX ifiX

Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas

13531 =yy 2431 =+ yy

31

135y

y = 3

1135X

X =

241353

3

=+ yy

323 24135 yy =+

013524 3

23 =+− yy

iy in ii ny ii ny2

9 1 9 81 12 3 36 432 15 1 15 225 Σ 5 60 738

iX if ii fX ii fX 2


19

== 91y 1X

== 153y 3X

22

2 Xn

fXS ii −Σ=

6,3125

738 222

2 =−=−Σ

= yn

ny iiS

9,16,3 ==S

%83,151583,012

9,1 ====y

CV S

36. Solución: a) ( ) 000.30010,0000.000.3 = y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)

[ ] ==−22XKX SS no cambia, por lo tanto 2000.302 =S (Cientos de $)g

b) Utilidad = ingresos – gastos 000.550$000.450.2000.000.3 =−= (Cientos de pesos) [ ] ==−

22XKX SS no cambia, por lo tanto $000.30 decientosS =

%45,5000.550000.30100 ===

xCV S

37. Solución:

iy in ii ny ii ny2 JN ei My − iei nMy −

2 6 12 24 6 4 24 4 18 72 288 24 2 36 6 16 96 576 40 0 0 8 12 96 768 52 2 24

10 8 80 800 60 4 32 Σ 60 356 2.456 - 116


20

iX if ii fX ii fX 2 JF ei MX − iei fMX −

nny

y iiΣ=

nfX

X iiΣ=

93,560

356==y cuartos por habitación

nynny ii

S

222 −Σ

= n

XnfXS ii

222 −Σ=

( )7328,5

6093,560456.2 2

2 =−=S

3943,27328,5 ==S

302

60

2==n

241 =−JN 40=JN

241 =−JF 40=JF 6== Je yM

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ= 93,1

60

116 ==⇒ eD

La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica

17,293,1 <⇒< SeD queda comprobado

%30,4010093,539,2100 ==⇒= CV

XSCV

38. Solución: [ ] [ ] [ ] [ ]750.1013,1750,1013,1 MMMM XXY i

+== +

a) [ ] ( ) 750.10000.12013,1750.1013,1 +=⇒+== yxyM Y


21

350.146$750.10600.135 =+=y Semanal

b) ( ) 600.45$38,0000.120000.120

38,0 ==⇒= SS

[ ] [ ] [ ] ( ) ==⇒=+

22

13,1750.1013,1600.4513,122 XXY VVV

( ) ( ) semanalespesosSY 528.51600.4513,1600.4513,1 22 ===

%21,35100350.146

528.51 ==CV

39. Solución:

15100500.1 ==y

( )175

10015100000.40 2

2 =−

=S a) 23,13175 ==S

b) %2,8810015

23,13 ==CV

c) 68,023,13

1524 =−=−=S

xXZ

40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo

[ ] kxM kx +=+ 41x 41536 ==+=x

[ ] [ ]Xkx VV =+ 642 =xs 8=xs

100xsVC =

)%(22%51,19 %51,19100418 cambia≠=


22

40B. Solución:

11,7964

1 ==x 13678

2 ==x

( )56,10

911,79550 2

21 =−=S

( )67,19

6136132.1 2

22 =

−=S

25,31 =S 44,42 =S

b) 27,025,3

11,781 =−=Z 45,0

44,4

13152 =

−=Z

12 ZZ > 27,045,0 >

c) ( ) ( )

47,915

786415

136911,7=

+=

+=x

( ) ( ) ( ) ( )

15647,913947,911,7

15667,19956,10 22

2 −+−++=S

53,223261,8204,142 =+=S 75,4=S

%16,5010047,975,4 ==CV

41. Solución:


ii ny2 8,1 – 16 3 12 36 432

16,1 – 24 6 20 120 2.400 24,1 – 32 10 28 280 7.840 32,1 – 40 15 36 540 19.440 40,1 – 48 4 44 176 7.744 48,1 – 56 2 52 104 5.408

Σ 40 - 1.256 43.264 ''

1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2


23

b) 375,298

2352 ==x (Datos sin agrupar)

( )

48,4238

375,298291.10 222 =−=S 58,202 =S

a) 40,3140256.1

1 ==x (Datos agrupados)

( )

64,9540

4,3140264.43 221 =−=S 78,964,95 1

21 =⇒= SS

1) 22

21 SS < 2) %15,31100

40,3178,9

1 ==CV 3) 16,078,9

40,31331 =−=Z

48,42364,95 <

%06,70100375,2958,20

2 ==CV 18,058,20

38,29332 =−=Z

Hay una mayor

Variabilidad 21 CVCV < 12 ZZ > en la segunda %06,70%15,31 < 16,018,0 > 42. Solución:

a) ( ) ( )

14,857.29$70

000.3240000.2730 =+=x Salario diario promedio para los 70 primeros

b) 14,857.29

35,0 S= ⇒ ( ) 00,450.10$999,449.1014,857.2935,0 ===S

500.202.1092 =S 43. Solución:

22

2 xnxiS −

Σ=

51,167,510490 22 =−=S

06,4=S


24

%23,711007,506,4 ==CV es el coeficiente de variación.

EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIA CIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA 44. Solución:

''1 ii yy −− iy in iN ii ny ii ny2

2,75 – 4,25 3,5 4 4 14,00 49,00 4,25 – 5,75 5,0 16 20 80,00 400,00 5,75 – 7,25 6,5 25 45 162,50 1.056,25 7,25 – 8,75 8,0 5 50 40,00 320,00

Σ - 50 - 296,50 1.825,25 ''

1 ii XX −− iX if iF ii fX ii fX 2

1'

21 yCyo =+ '

4' 4 yCyo =+

Reemplazando tenemos: 5,35,0' =+ Cyo 5,84' =+ Cyo Si eliminamos a '

oy se obtendrá el valor de C 75,84' =+ Cyo

50,321' −=−− Cyo 50,1

50,3

25,5 ==C

25,55,3 =C a) Coeficiente de variación

93,550

50,296 ==Σ

=n

nyy ii

nfX

X iiΣ=

22

2 yn

ny iiS −Σ

= 22

2 Xn

fXS ii −Σ=

35,116,3551,3693,550

25,825.1 22 =−=−=S 35,116,1 ==S


25

y

CV S= %56,191956,093,5

16,1 ===CV

b) Desviación media

iy ( )yyi − yyi − ii nyy − in

3,5 -2,43 2,43 9,72 4 5,0 -0,93 0,93 14,88 16 6,5 0,57 0,57 14,25 25 8,0 2,07 2,07 10,35 5

Σ - - 49,20 50

iX id id ii fd if

98,050

20,49 ==−Σ

=n

nyyD ii

a n

fdD ii

a

Σ=

c) Desviación mediana

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

87,050

5,43 ==eD

5,6== Je yM

21nN j <− 25

250

2==n

iy in iN ei My − iei nMy −

3,5 4 4 3,0 12,0 5,0 16 20 1−→ JN 1,5 24,0

6,5 25 45 jN→ 0 -

8,0 5 50 1,5 7,5 − 50 - - 43,5

iX if iF ei MX − iei fMX −


26

45. Solución:

6,2850

430.1 ==y

a) 32,7696,81728,89450430.1

50714.44

22 =−=

−=S ; 736,8=S

b) Desviación media

6,28=y

44,750372 ==

Σ=

n

nZD ii

a

n

fdD ii

a

Σ=

c) Desviación mediana

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

44,750372 ==eD

35;25;25250

2 1 ==== − JJ NNn

''1 ii yy −− iy iN in ii ny ii ny2

10,1 – 16 13 4 4 52 676 16,1 – 22 19 12 8 152 2.888 22,1 – 28 25 25 13 325 8.125 28,1 – 34 31 35 10 310 9.610 34,1 – 40 37 44 9 333 12.321 40,1 – 46 43 50 6 258 11.094

Σ - - 50 1.430 44.714 ''

1 ii XX −− iX iF if ii fX ii fX 2

iZ iZ in ii nZ iN

-15,6 15,6 4 62,4 4 -9,6 9,6 8 76,8 12 -3,6 3,6 13 46,8 25 2,4 2,4 10 24,0 35 8,4 8,4 9 75,6 44

14,4 14,4 6 86,4 50 Σ - 50 372,0 -

id id if ii fd iF

in ei My − ei My − iei nMy −

4 -15 15 60 8 -9 9 72

13 -3 3 39 10 3 3 30 9 9 9 81 6 15 15 90

50 - - 372

if ei MX − ei MX − iei fMX −


27

21 jj

e

yyM

+= −

28256

23125 ==+=eM 28'

1 == −je yM

(marcas de clase) (variable continua)

d) %5,30305,06,28

736,8 ====x

CV S

46. Solución:

ii hyy Σ== 4,29

Σ==nf

XX ii4,29

214,84,293322 =−=+ hyhy 4,84,5 0,3 ; 4,29

====∑

sumahy

hyhy

ii

iiii

68,032,0132 =−=+ hh 32 68,0 hh −= 213322 =+ hyhy

( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh

410 3 =h 4,03 =h 28,02 =hnf2=

''1 ii yy −− ih iy ii hy

10 – 20 0,20 15 3,0 20 – 30 0,28 25 7,0 30 – 40 0,40 35 14,0 40 – 50 0,12 45 5,4

Σ 1,00 - 29,4

''1 ii XX −−

nf i / iX

nf

X ii


28

21nH j <−

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

35== Je yM

nfMX i

ei −Σ=eD ⇒ 8De =−Σ= iei hMy

47. Solución:

iy in iN ei My − iei nMy − iy ii ny ii ny2 130 3 3 90 270 260 780 202.800 148 6 9 72 432 296 1.776 525.696 160 5 14 60 300 320 1.600 512.000 220 3 17 0 0 440 1.320 580.800 280 2 19 60 120 560 1.120 627.200 320 4 23 100 400 640 2.560 1.638.400 400 7 70 180 1.260 800 5.600 4.480.000 Σ 30 - - 2.782 - 14.756 8.566.896


iX ii fX ii fX 2

a) 15230

2==n

141 =−JN ; 17=JN 220== Je yM

iy ih iH ei My − ei My − iei hMy −

15 0,20 0,20 -20 20 4,0 25 0,28 0,48 -10 10 2,8 35 0,40 0,88 0 0 0 45 0,12 1,00 10 10 1,2 Σ 1,00 - - - 8,0

iX nf i / n

Fi ei MX − ei MX −

−nf

MX iei


29

73,9230782.2 ==eD

b) %15,42100220

73,92100 ===

e

ee M

DCD

c) 87,49130756.14 ==y

( )

10,627.4330

87,49130896.566.8 22 =−=S

La nueva varianza es de 10,627.43 y la 87,208=S

El coeficiente de variación es: %46,4210087,49187,208 ==CV

48. Solución:

''1 ii yy −− in iy yyi − ii nyy −

8,1 – 16 3 12 19,4 58,2 16,1 – 24 6 20 11,4 68,4 24,1 – 32 10 28 3,4 34,0 32,1 – 40 15 36 4,6 69,0 40,1 – 48 4 44 12,6 50,4 48,1 – 56 2 52 20,6 41,2

Σ 40 321,2 ''

1 ii XX −− if iX XX i − ii fXX −

Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo:

=y 1X 40,31= 64,9521 =S 78,91 =S

2x 38,29= 48,42322 =S 58,202 =S

401 =n 82 =n

a) ( ) ( )

06,3148

838,294040,31 =+=x


30

( ) ( ) ( ) ( )

48806,3138,294006,314,31

48848,4234064,95 22

2 −+−+

+=S

85,15057,028,1502 =+=S 28,12=S

%54,3910006,3128,12 ==CV

b) 03,840

2,321 ==−Σ

=n

nyyD ii

a

iy in iN ei My − iei nMy −

12 3 3 24 72 20 6 9 16 96 28 10 19 8 80 36 15 34 0 0 44 4 38 8 32 52 2 40 16 32 Σ 40 - - 312


e) 20240

2==n 191 =−JN 34=JN 36== Je yM

n

fMXD iei

e

−Σ= 8,7

40312 ==

−Σ=

n

nMyD iei

e

d) 78,9=S 03,8=aD 8,7=eD 78,903,88,7 << Se cumple la relación: Sae DD <<


31

49. Solución:

4,9547 ==x

8=eM

28,55

4,26 ==−Σ

=n

xxD i

a

0,5525 ==

−Σ=

n

MxD ei

e

04,394,95

637 222

2 =−⇒−Σ

= xnxiS

25,604,39 ==S

6,25 > 5,28 > 5,0 ea DDS >> Se cumple la relación 50. Coeficiente de desviación media:

100x

DCD a

X=

Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.

93,24530378.7)47( ==y

ix xxi − ei Mx −

2ix

2 7,4 6 4 5 4,4 3 25 8 1,4 0 64

12 2,6 4 144 20 10,6 12 400

47 26,4 25 637

iy in ii ny yyi − ii nyy −

130 3 390 115,93 347,79 148 6 888 97,93 587,59 160 5 800 85,93 429,65 220 3 660 25,93 77,79 280 2 560 34,07 68,14 320 4 1.280 74,07 296,28 400 7 2.800 154,07 1.078,49

Σ 30 7.378 - 2.885,73

iX if ii fX XX i − ii fXX −


32

191,9630

73,885.2 ==Da

%11,3910093,245

191,96 ==CDa

%57,2510040,3103,8

)48( ==CD

17,5610040,928,5)49( ==CD

51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.

%15,42100220

73,92)47( ==eCD

%67,2110036

8,7)48( ==eCD

%50,621000,80,5

)49( ==eCD

52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: [ ]

2222 8 XXKX SSKV ==

e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.


33

53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida 54. Solución:

( ) ( )13,0

50,217.1672.9725.933

=−

=−

=S

MxA e

S Ligeramente asimétrica positiva

55. Solución: a)

iy in ii ny iN yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3−

5 3 15 3 -3,6 38,88 -139,968 7 39 273 42 -1,6 99,84 -159,744 9 10 90 52 0,4 1,60 0,640

11 8 88 60 2,4 46,08 110,592 13 7 91 67 4,4 135,52 596,288 15 3 45 70 6,4 122,88 786,432 Σ 70 602 - - 444,80 1.194,24

iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3

=y X 6,870

602 ==


34

nnyy

m ii3

3

)( −Σ=

nfd

m ii3

3

Σ= (momento de orden tres)

06,1770

24,194.13 ==m

35,670

8,4442 ==S → 52,2=S

35270

2==n 31 =−JN 42=JN 7=dM 7=eM

(1) 07,152,2

06,1733

3 ===S

mAS

(2) 63,052,2

76,8 =−=SA

(3) ( )

90,152,2

76,83 =−=SA

Hay una asimetría positiva b)

iy in ii ny iN yyi − ( ) inyy 2− ( ) ii nyy 3−

5 3 15 3 -6,17 114,2067 -704,6553 7 7 49 10 -4,17 121,7223 -507,5820 9 8 72 18 -2,17 37,6712 -81,7465

11 9 99 27 -0,17 0,2601 -0,0442 13 30 390 57 1,83 100,4670 183,8546 15 3 45 60 3,83 44,0067 168,5457 Σ 60 670 - - 418,3340 -941,6277


=y X 17,1160

670 ==


35

69,1560

6277,9413 −=−=m (momento de orden tres)

97,660

334,4182 ==S → 64,2=S

13=dM 13=eM 30260

2==n 271 =−JN 57=JN

(1) 85,064,2

69,153

−=−=SA

(2) 69,064,2

1317,11 −=−=SA 13=dM

(3) ( )

07,264,2

1317,113 −=−=SA 13=eM

Asimetría negativa c)

=y X 1070

700 ==

03 =m

iy in ii ny iN yyi −

( ) ii nyy 2−

( ) ii nyy 3−

5 5 25 5 -5 125 -625 7 10 70 15 -3 90 -270 9 20 180 35 -1 20 -20

11 20 220 55 1 20 20 13 10 130 65 3 90 270 15 5 75 70 5 125 625 Σ 70 700 0 470 0



36

71,6704702 ==S

(1) 0=SA (simétrico) 11=dM 9=dM 102119 =+=eM

Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted.

35270

2==n 351 =−JN 55=JN

(2) 0=SA (3) 0=SA Es simétrica 56. Solución:

a) 20=n 9,4720958 ==x

( )

09,23720

9,4720630.50 22 =

−=S → 40,15=S

• Desviación típica → S = 15,40

• Coeficiente de variación → 15,3210090,4740,15

100 ===x

CV S

• Mediana:

25 28 28 32 34 36 38 40 40 4642 51 56 58 62 64 64 68 70 76

442

4642 =+=eM

• Desviación mediana: +++++++++=−Σ 44681012161619ei Mx


37

2723226242020181412722 =++++++++++

6,1320272 ==

−Σ=

n

MxDM ei

e

b) 512576 =−=Rango 9651 ≅==

mRango

C

=y X 3,4720

946 ==

( )20

3,4720379.49 22 −

=S

66,2312 =S

22,15=S

%18,3210030,4722,15 ==CV

57. Solución: a) 362

1 =S ; 66,23122 =S ⇒ 2

122 SS >

3666,231 > Mayor variabilidad en el segundo caso

b) %58,151005,38

61 ==CV

%18,322 =CV 12 CVCV >


ii ny2 23,1 – 32 4 27,5 110,0 3.025,00 32,1 – 41 5 36,5 182,5 6.661,25 41,1 – 50 2 45,5 91,0 4.140,50 50,1 – 59 3 54,5 163,5 8.910,75 59,1 – 68 4 63,5 254,0 16.129,00 68,1 – 77 2 72,5 145,0 10.512,50

Σ 20 - 946,0 49.379,00 ''

1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2


38

%58,15%18,32 > Mayor variabilidad relativa en la

segunda distribución

c) 58,16

5,38481 =−=Z

18,022,15

3,47502 =−=Z 21 ZZ > ⇒ 18,058,1 >

58. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−

23,1 – 32 27,5 4 110,0 -19,8 1.568,16 -31.049,568 614.781,4464 32,1 – 41 36,5 5 182,5 -10,8 583,20 -6.298,560 68.024,4480 41,1 – 50 45,5 2 91,0 -1,8 6,48 -11,664 20,9952 50,1 – 59 54,5 3 163,5 7,2 155,52 1.119,744 8.062,1568 59,1 – 68 63,5 4 254,0 16,2 1.049,76 17.006,112 275.499,1440 68,1 – 77 72,5 2 145,0 25,2 1.270,08 32.006,016 806.551,6032

Σ - 20 946,0 4.633,20 12.772,08 1.772.939,7936 ''

1 ii XX −− iX if ii fX XXi − ( ) ii fXX 2− ( ) ii fXX 3− ( ) ii fXX 4−

=y X 3,4720

946 ==

66,23120

20,633.42 ==S → 22,15=S

604,63820

08,772.123 ==m (momento de orden tres)

99,646.8820

7936,939.772.14 ==m (momento de orden cuatro)

a) Se trata de una distribución asimétrica positiva 18,022,15

604,6383

3

3===

S

mAS

Ligeramente asimétrica, casi normal.

b) 65,122,15

99,646.884

4

4===

S

mAp ⇒ 0,365,1 < Es achatada


39

59. Solución:

654321 nnnnnnn +++++=

( ) 1111 530305150 nnnn +++++++= 704150 1 +=⇒ n

84 1 =n ⇒ 201 =n ; 252 =n ; 303 =n ; 304 =n ; 255 =n ; 206 =n

Σ+=

nnZ

COy iit

''

Σ+=n

fdiAX ii

'

4115022550 =

−+= Cy

C5,15041 −=−

65,1

9 =−−=C

yyi −

( ) ii nyy 2−

( ) ii nyy 3−

( ) ii nyy 4−

ii nyy −

iei nMy −

iN

-15 4.500 -67.500 1.012.500 300 300 20 -9 2.025 -18.225 164.025 225 225 45 -3 270 -810 2.430 90 90 75 3 270 810 2.430 90 90 105 9 2.025 18.225 164.025 225 225 130

15 4.500 67.500 1.012.500 300 300 150 0 13.590 0 2.357.910 1.230 1.230 -

id ii fd2 ii fd3 ii fd4 ii fd iei fMX −

iF

iy in ''iZ ii nZ ''

26 20 -4 -80 32 25 -3 -75 38 30 -2 -60 44 30 -1 -30 50 25 0 0 56 20 1 20 Σ 150 -9 -225

iX if 'id ii fd '


40

a) =y x 41=

6,90150

590.132 ==S 52,9=S

6,902 =S S=52,9 %22,231004152,9 ==CV

b) 033 ==

S

mAS 41=eM

( )0

52,941413 =−=SA

052,9

4141 =−=−

=S

diS

MMA La distribución es simétrica

c) 4,719.15150

910.357.24 ==m 392,1

6,904,719.15

2<==pA Achatada

60. Solución: a)

24,2750362.1 ==y

a) varianza 0824,13050

12,504.6S 2 ==⇒

b) 41,110824,130 ==S

iy ii ny yyi − ii nyy − ei My − iei nMy − ii nyy 2−

9,0 27 18,24 54,72 19,75 59,25 998,0928 13,5 135 13,74 137,40 15,25 152,50 1.887,8760 17,5 105 9,74 58,44 11,25 67,50 569,2056 24,0 96 3,24 12,96 4,75 19,00 41,9904 32,0 256 4,76 38,08 3,25 26,00 181,2608 38,0 608 10,76 172,16 9,25 148,00 1.852,4416 45,0 135 17,76 53,28 16,25 48,75 946,2528

1.362 Σ 527,04 - 520,50 6.504,1200


41

c) %89,4110024,2741,11 ==CV

d) Desviación media 54,1050

04,527 ==aD

e) Desviación mediana 41,1050

5,520 ==eD

Mediana 25250

2==⇒ nM e 231 =−IN ; 31=IN

75,2875,0288

2325628 =+=

−+=eM

Sae DD <≤ 54,1041,10 ≤⇔ < 11,41 61. Solución: a) Asimetría

17,062,474.148,244

33 −=−==

S

mAs (Ligera asimetría negativa)

( )

48,24450

22,224.123

3 −=−=−= ∑n

nyym ii (Momento de orden tres)

( )

99,115.2650

88,799.305.14

4 ==−= ∑n

nyym ii (Momento de orden cuatro)

b) Apuntamiento

55,161,780.1699,115.26

)( 224

44 ====

SS

mmAp

Achatada (platicúrtica) 355,1 <⇒ 62. Solución: 1)

''1 ii yy −− in iy


42

6,9=Ay 1210120==x

64,322 =AS 99,442 =BS 71,5=AS 71,6=BS

a) AB SS > 22

AB SS > 71,571,6 > 62,3299,44 >

b) %48,591006,9

71,5 ==ACV ; %92,5510012

71,6 ==BCV AB CVCV <

%48,59%92,55 <

c) Puntaje típico: 47,171,7

6,918 =−=AZ 89,071,6

1218 =−=BZ BA ZZ >

2) 1210120 ==Bx

( )

99,4410

1210890.1 22 =−=BS

71,6=BS 63. Solución:

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )

94,970

1012606,9 =+=x

( ) ( ) ( ) ( )=+=−+−++= 7,040,34

701094,9126094,96,9

701099,446064,32 22

2S

92,510,352 =⇒= SS

2,1 – 6 22 4 6,1 – 10 14 8 10,1 – 14 10 12 14,1 – 18 8 16 18,1 – 22 4 20 22,1 – 26 2 24

Σ 60 - ''

1 ii XX −− if iX


43

%59,5910094,992,5

100 ===x

CV S

a) ( ) 486,95 ==x ( ) 81664,32522 ==S 57,28816 ==S

%52,5910048

57,28 ==CV

Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) 6,196,910 =+=x [ ]XKVS +=2

64,322 =S 71,5=S

%13,2910060,19

71,5 ==CV Cambia el resultado

64. Solución:

Asimetría:

98,071,5

46,91 =−=−

=S

dS

MMA

( ) ( )

69,071,5

29,86,933 1 =−=−

=S

eS

MMA

302

60 =

''1 ii yy −− iy in iN

2,1 – 6 4 22 22 6,1 – 10 8 14 36 10,1 – 14 12 10 46 14,1 – 18 16 8 54 18,1 – 22 20 4 58 22,1 – 26 24 2 60

Σ 60 - ''

1 ii XX −− iX if iF


44

29,829,2614

22304646,9 =+=

−+=== ed MMy

Hay una ligera asimetría positiva

34,14860

61,900.83 ==m

80,017,186

34,148

71,5

34,1483 ===sA

Asimétrico positivo

53,804.260

87,271.1684 ==m

63,237,065.1

53,084.2

64,32

53,804.22 ===pA

Como 00,363,2 < se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 600.962600.851 < ⇒ Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II

b) %094,000094,0100000.97882,922

100100000.978600.851

1

1 =====x

CVS

I

%082,000082,0100500.203.112,981

100100500.203.1600.962

2

2 =====x

CVS

II

21 CVCV > Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.

( ) ii nyy3

− ( ) ii nyy4

− -3.863,55 21.635,89

57,34 91,75 138,24 331,78

2.097,15 13.421,77 4.499,46 46.794,34 5.971,97 85.996,34 8.900,61 168.271,87

3)( XX i − if 4)( XX i − if


45

c) 000.000.1$000.22000.9781 =+=+ Kx %092,0100000.000.1

82,9221 ==CV

745.287.1$245.84500.203.12 =+=+ Kx %076,0100745.287.112,981

2 ==CV

21 CVCV > %076,0%092,0 > 66. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( )2yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−

2,1 – 6 4 3 12 -8,87 78,6769 236,0307 -2.093,5923 18.570,1638 6,1 – 10 8 12 96 -4,87 23,7169 284,6028 -1386,0156 6.749,8961 10,1 – 14 12 25 300 -0,87 0,7569 18,9225 -16,4626 14,3224 14,1 – 18 16 11 176 3,13 9,7969 107,7669 337,3073 1.055,7717 18,1 – 22 20 7 140 7,13 50,8369 355,8583 2.537,2697 18.090,7328 22,1 – 26 24 2 48 11,13 123,8769 247,7538 2.757,4998 30.690,9727

Σ - 60 772 - - 1.250,9350 2.136,0063 75.171,8595 ''

1 ii XX −− iX if ii fX id 2

id ii fd 2 ii fd 3 ii fd 4

87,1260

772 ==y 85,2060

935,250.12 ==S 57,485,20 ==S

Asimetría: 37,057,4

60,3533

3 ===S

mAS 60,35

600063,136.23

3 === ∑n

nZm ii

Hay poca asimetría y es positiva

Apuntamiento: ( ) ( )88,2

85,20

86,252.1222

4 ===S

mAp 86,252.1

6086,171.754

4 === ∑n

nZm ii

388,2 < Luego se concluye que es ligeramente achatada

a) %51,3510087,1257,4

100 ===y

CV S

b) 12,057,4

87,1212 −=−=−

=S

yyZ i

c)


46

56,360

40,213 ==−

=∑

n

nyyD ii

a (Desviación media)

4,1225

1530410 =−+=Mediana

302

=n 151 =−JN 40=JN

Variable continua: 41,360

0,204 ==−

= ∑n

nMyD iei

e

67. Solución:

( ) 020.852000.8042,0000.810000.810)( =+×+=+ kxx aritméticamedianueva020.852$000.8020.34000.810 =++=x

( ) 2,727.306$36,0020.852020.852

36,0100 ==⇒=⇒= SSS

xCV

a) 22 2,727.306=S y su desviación será pesos2,727.306$ b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:

iy in yyi − ii nyy − iN

4 3 8,87 26,61 3 8 12 4,87 58,44 15 1−← JN

12 25 0,87 21,75 40 JN←

16 11 3,13 34,43 51 20 7 7,13 49,91 58 24 2 11,13 22,26 60 Σ 60 - 213,40 -

iX if id ii fd iF

ei My − iei nMy −

8,4 25,20 4,4 52,80 0,4 10,00 3,6 39,60 7,6 53,20

11,6 23,20 - 204,00

- iei fMX −


47

[ ] [ ] [ ]

2XKXKX SVVV =+=+

68. Solución:

Mediana: 2 4 6 8 10 eM

a) 4,25

12 ==aD n

xxD i

a

∑ −=

b) 4,25

12 ==eD n

xD ei

e

∑ −=

M

c) 85402 ==S 83,28 ==S

d) SaDDe <≤ 83,24,24,2 <=

e) %17,471006

83,2 ==CV 6530==x

100xSCV =

69. Solución:

ix xxi − ( )2xxi − xxi − ei Mx −

6 0 0 0 0 4 -2 4 2 2 8 2 4 2 2 2 -4 16 4 4 10 4 16 4 4 Σ 0 40 12 12


48

[ ]

+

=896

896 YX MM ⇒ [ ] [ ]1212 += YX MM

1212 += yx

( ) 7212512 =+=x 72=x

[ ] 40,0==y

CV YY

S ⇒ ( ) 2540,0 == YS

[ ] [ ] [ ] ( ) 5764144144 2121212 ===== + YYYX SVVV

245765762 ==⇒= Xx SS

%33,331007224 ==XCV 100

xS

CV x=

70. Solución:

xy 106 −=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]XXXY VVVVV 1000 10106 =+=−=

( ) 80081002 ==yS

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 80012816 2244 ==−=−=− y

Sx

SYXYXYX VVVVV

( ) 800128800816 −=−

[ ] [ ] 800128≠< YX VV

Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672. 71. Solución: Debido a que de MMM ==1 ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.


49

72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si 02 =S b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio. 73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía > Inglés > Matemáticas 3,36,30,42,4 >>> Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos

5,06,0

3,44 −=−=EcoZ 67,075,0

8,23,3 =−=MatZ

4,08,0

2,36,3 =−=IngZ 67,06,0

6,42,4 −=−=DerZ

Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho 67,05,04,067,0 −>−>>⇒Z La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.


50

74. Solución:

a) =y X 57,160

94 ==

Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años.

b) ( )

47,360

57,160356 22 =−=S

86,147,3 ==S

c) %47,11810057,186,1

100 ===x

CV S

Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.

iy in ii ny ii ny2 0 26 0 0 1 10 10 10 2 8 16 32 3 6 18 54 4 4 16 64 5 3 15 75 6 2 12 72 7 1 7 49 Σ 60 94 356

iX if ii fX ii fX 2

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007

5

Nociones elementales de probabilidad


ESPACIO MUESTRAL – ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES – ESPERANZA MATEMÁTICA 1. Solución:

a) Los pares son: [2, 4, 6] 50,021

63 ===P

b) Mayor que 2: [3, 4, 5, 6] 66,032

64 ===P

2. Solución:

a) Que sea 3: (1, 2) (2, 1) 055,0181

362 ===P

b) Que sea 4: (2, 2) (3, 1) (1, 3) 083,0121

363 ===P

3. Solución:

a) Que todas sean caras: (ccc) 125,081 ==P


2

b) Que dos sean caras: (ccs) (csc) (scc) 375,083 ==P

c) Que dos sean sellos: (ssc) (scs) (css) 375,083 ==P

4. Solución:

Todos varones: VVV; 125,081 ==P 823 = casos posibles

5. Solución: a) 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

b) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (3, 4) (2, 4) (1, 4) 1667,06

1

36

6 ===P

c) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 1667,06

1

36

6 ===P

d) Que sea 6: (5, 1) (1, 5) (2, 4) (4, 2) (3, 3) 1389,036

5 ==P

Que sea 8: (5, 3) (3, 5) (2, 6) (6, 2) (4, 4) 1389,036

5 ==P

Que sea 7: (5, 2) (2, 5) (4, 3) (3, 4) (6, 1) (1, 6) 1667,06

1

36

6 ===P

Más de 9: (5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6) (4, 6) (6, 4) 1667,06

1

36

6 ===P


3

6. Solución: a) 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44

b) (1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4) 25,041

164 ===P

c) (1, 3) (3, 1) (2, 2) 1875,0163 ==P

d) (1, 1) (3, 1) (1, 3) (2, 2) (2,4) (3, 3) (4, 2) (4, 4) 5,021

168 ===P

7. Solución: 111 211 311 411 112 212 312 412 121 221 321 421 122 222 322 422 131 231 331 431 132 232 332 432 141 241 341 441 142 242 342 442 113 213 313 413 114 214 314 414 123 223 323 423 124 224 324 424 133 233 333 433 134 234 334 434 143 243 343 443 144 244 344 444 a) (121) (211) (231) (241) (321) (421) (412) (112) (132) (142) (312) (332) (342) (432) (123) (213) (233) (243) (323) (423) (442) (124) (214) (234) (244) (324) (424)

%18,424218,06427 ===P

b) (221) (232) (422) (122) (212) (322) (224) (242) (223)


4

%06,141406,0649 ===P

c) (222)

%56,10156,0641 ===P

8. Solución: a) [ ]CBAU = c) B C

b) 10060

10030

10010 40,0

10040

10010

10030 ==+=P

9. Solución:

[ ]

=

100

5

100

15

100

20

100

25

100

35

65demayores,65a51,50a36,35a21,20demenoresU

40,010040

1005

10015

10020 ==++=P

10. Solución: a) [ ]AzVRAB 100300300500800

b)

000.2100

000.2300

000.2300

000.2500

000.2800

R B Az

c) 60,0000.2200.1

000.2100

000.2800

000.2300 ==++=P


5

11. Solución:

121

31

21

21 =⋅⋅=P

121=VHC

121=CHC

121=VHN

121=CHN

121=VHF

121=CHF

121=VSC

121=CSC

121=VSN

121=CSN

121=VSF

121=CSF %33,80833,0

121 ===P

V

C

S

H

S

H

C

N

FC

N

FC

N

FC

N

F

½

½

½

½

½

½

1/3

1/3

1/3

1/3


6

12. Solución: a) Espacio muestral: [ ]RRBBBB

b) Probabilidades: 61

61

61

61

61

61

c) Probabilidad de sacar una bola roja: 33,031

62

61

61 ===+=P

13. Solución:

a) (4, 4, 4) %46,00046,02161 ===P 21663 =

b) (1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 3, 3) (4, 4, 4) (5, 5, 5) (6, 6, 6); 361

2166 ==P

c)

644544344244144464454434424414446445443442441

%94,60694,0725

21615 ====P

d) 4167,012

5

216

90 ===P

14. Solución: Posibilidades: 165623 =+++

Probabilidad favorable: 3125,0165

162

163 ==+=P

Probabilidad adversa: 6875,01611

165

166 ==+=Q

Probabilidad total: 11611

165 =+=+ QP

15. Solución:


7

a) Si b) No c) Si d) Si e) No f) Si 16. Solución: a) ABC ACE BCD BEF ABD ACF BCE CDE ABE ADE BCF CDF ABF ADF BDE CEF ACD AEF BDF DEF

206

456!3!3

!663 =××==C La probabilidad de cada suceso es 05,0

201 == p

b) ABC – ABD – ABE – ABF – ACD

ACE – ACF – ADE – ADF – AEF 5,02010 ==p

c) ABC – ABD – ABE – ABF 20,051

204 ===p

d) ACD AEF BDE ADE BCE BEF

ACE BCD BDF ADF BCF ACF 60,053

2012 ===p

e) 5,02010 ==p

f) 20,051

204 ===p

17. Solución:

33,031

124 ===p o 33%


8

18. Solución:

HM - MH - HH - MM La probabilidad de cada suceso es 41

19. Solución: a) HHH HHM HMM MMM HMH MHM MHH MMH b) Tendrá 8 puntos c) HHM - HMH - MHH = 3 puntos d) MHH - MHM - MMH - MMM = 4 puntos 20. Solución:

a) MMH 125,081 ==p

b) MMH – MHM – HMM 375,083 ==p

21. Solución: (50; 100) (50; 200) (50; 500) (100; 200) (100; 500) (200; 500) (100; 50) (200; 50) (500; 50) (200; 100) (500, 100) (500; 200) 22. Solución: Sabemos que hay 36 casos posibles 3662 =⇒ Que la suma sea 4 sólo se tiene: (3; 1) (1; 3) y (2; 2) = 3/36

Por lo tanto que no sea 4, será igual a 9167,03633

363

3636 ==−


9

23. Solución: a) OROS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY BASTOS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY COPAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY ESPADAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY b) CCCCCC CCCCCS CCCCSS CCCSSS CC……. ………. CCCCSC CCCSCS CCSCSS ……….. CCCSCC CCCSSC CCSSCS ……….. CCSCCC CCSCSC CCSSSC CSCCCC CCSSCC CSCSSC SCCCCC CSCSCC CSSCSC CSSCCC CSSSCC SCSCCC SCSSCC SSCCCC SSCSCC ………... SSSCCC ………... ………… ………... ………… ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1/64 6/64 15/64 28/64 15/64 1/64 Son 64 sucesos, los cuales se distribuyen así: 6 caras, un caso 3 caras, 28 casos 0 caras, un caso 5 caras, 6 casos 2 caras, 15 casos 4 caras, 15 casos 1 cara, 6 casos c) (100; 200) (100; 1.000) (100; 10.000) (200; 100) (200; 1.000) (200; 10.000) (1.000; 100) (1.000; 200) (1.000; 10.000) (10.000; 100) (10.000; 200) (10.000; 1.000) d) ABC ACD ADF BDE DEF ABD ACE BCD BDF ABE ACF BCE CDE


10

ABF ADE BCF CDF 24. Solución: a) 111 121 131 141 112 122 132 142 211 221 231 241 212 222 232 242 311 321 331 341 312 322 332 342 411 421 431 441 412 422 432 442 113 123 133 143 114 124 134 144 213 223 233 243 214 224 234 244 313 323 333 343 314 324 334 344 413 423 433 443 414 424 434 444 b) 6443 = casos posibles, tal como se puede observar en la pregunta (a) c) Exactamente un dos: 121 211 231 241 321 421 123 213 233 243 323 423 112 132 142 312 332 342 412 432 442 124 214 234 244 324 424

6427=p

Exactamente dos dos: 221 122 212 232 242 322 422 223 224

649=p

Exactamente tres dos: 222

641=p

25. Solución:

%2020,0 ==P que llueva; %8080,0 ==P que no llueva


11

26. Solución:

a) { }3613,3 =⇒ P

b) {1,1} {1,3} {1,5} {3,1} {3,3} {3,5} {5,1} {5,3} {5,5}

369=P

c) {1,2} {1,4} {1,6} {2,1} {2,3} {2,5} {3,2} {3,4} {3,6} {4,1} {4,3} {4,5} {5,2} {5,4} {5,6} {6,1} {6,3} {6,5}

3618=P

d) {3,6} {6,3} 181

362 ==P

e) {3,6} 361=P

27. Solución:

Par: 2, 4, 6 21

63 ==P

Impar: 1, 3, 5 21

63 ==P

Mayor que 0: 1, 2, 3, 4, 5, 6 166 ==P


12

Menor que 5: 4, 3, 2, 1, 32

64 ==P

28. Solución: (a) CSS SCS SSC p = 3/8 (b) CCS CSC SCC CCC p = 4/8 = ½ (c) CCS CSC SCC p = 3/8 (d) CSS CCS CCC SCS CSC SSS SSC SCC p = 8/8 = 1 29. Solución: a) Evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales b) El conjunto de las 52 cartas de la baraja sacar una K Diamantes: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Trébol: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Corazón: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Picas: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

c) 13

3

52

12

52

4

52

4

52

4 ==++=P

30. Solución: a) { }BBBBBABABBAAABBABAAABAAA=υ b) BBB c) Exactamente 2 trabajan 31. Solución:


13

a) Se determina la probabilidad sin necesidad de realizar el experimento. b) Se requiere la realización del experimento para determinar la probabilidad de un suceso c) La lista de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio

muestral. d) Posibilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables

por el número de resultados no favorables. Probabilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados

favorables por el total de casos posibles. e) Probabilidad subjetiva, se considera cuando la elección de las probabilidades es

fundamentalmente intuitiva. f) Experimento: es un conjunto definido de resultados posibles g) Prueba es la realización de un acto. h) Frecuencias relativas: cuando la elección de las probabilidades se basa en las

experiencias previas. 32. Solución: Considerar que el equipo profesional queda dentro de los 4 primeros puestos, con una probabilidad del 56%. Me baso en los jugadores y entrenador, además, de sus últimas actuaciones. Lo anterior es una probabilidad subjetiva. 33. Solución: Un aficionado bogotano ha visto jugar dos de los tres equipos capitalinos contra los restantes 16 equipos del campeonato, aunque nunca el uno contra el otro. Tiene la impresión que uno de ellos es mejor que el otro y que tiene mayores posibilidades de ganar, por lo tanto asigna las siguientes probabilidades de la siguiente manera: El equipo A gana 0,7 = 70% El equipo B gana 0,3 = 30% Lo anterior corresponde a una probabilidad subjetiva.


14

Se tiene una baraja de 40 cartas y se va a extraer una sola carta, la probabilidad de obtener un AS o un rey de copas es:

40

5

40

1

40

4 =+=P Lo anterior es una probabilidad objetiva

34. Solución: a) Cierto b) Cierto 35. Solución:

Esperanza de ganar, si sale el uno ( ) 33,8336

50005000

6

1 === pesos

Esperanza de perder, si sale 2, 3, 4, 5 y 6 ( ) 33,8336

50001000

6

5 === pesos

Sí debo aceptar, es equitativo no gano ni pierdo ya que: 833,33 – 833,33 = 0 36. Solución:

5010

1 =p ( ) 000.1000.550

1011 === npE

5010

2 =p ( ) 200000.15010

22 === npE

5030

3 =p 005030

33 =×== npE

200.10200000.1321 =++=++= EEEE 37. Solución:

321 pppP ⋅⋅= 2416

1 =p 2315

2 =p 2214

3 =p


15

277,0144.12360.3

2214

2315

2416 ==××=p

( )pE 000.5=

( ) 385.1277,0000.5 ==E

38. Solución:

a) 35!4!3

!737 ==

b) 157335 =

== npE

NOTA: se trata de combinaciones (forma parte de los ejercicios del 70 al 86) 39. Solución: a) Esperanza (número de accidentes) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,001,0402,0303,0204,0190,00 =++++= b) Durante 200 períodos → ( ) 402,0200 ==E accidentes esperados 40. Solución:

( ) 000.32$04,0000.250 ==E Nota: el libro debería decir $18.500.000, por lo tanto la prima debe ser $740.000 41. Solución:

!npn = 12012345!55 =⋅⋅⋅⋅==P 42. Solución:

040.51234567!77 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P 43. Solución:

320.4012345678!88 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P


16

44. Solución:

241234!44 =×××==P 45. Solución:

880.362123456789!99 =××××××××==P 46. Solución:

241234!44 =×××==P 47. Solución:

12012345!55 =××××==P 48. Solución:

6123!33 =××==P (ABC) (ACB) (BAC) (BCA) (CBA) (CAB) 49. Solución:

( ) 650.34!4!4!2

!114,4,2:11 ==rP

50. Solución:

a) ( ) 400.302!2!3

!102,3:10 ==rP b) ( ) 160.20

2320.40

!2!8

2:8 ===rP

51. Solución:

( ) 602

12345!2!5

2:5 =××××==rP


17

52. Solución:

( ) 102

45

!32

!345

!3!2

!53,2:5 =×=

×××==rP

53. Solución: Es un caso especial de permutaciones:

241234!45 =×××==P 212!213 =×==P Número de permutaciones con los dos grupos 2!22 ==P El número total de permutaciones ( ) ( ) 962224 == 54. Solución:

( )!!rn

nV n

r −= ( ) 120.15!4

!456789!4!9

!59!99

559 =×××××==−== VP

55. Solución:

( ) 466

4 3603456!2!6

!46!6

PV ==×××==−=

56. Solución:

( ) 52727

5 600.687.92324252627!22!27

!527!27

PV ==××××==−=

57. Solución:


18

6060345!2!5

355

3 ===××== PV

58. Solución:

200.187!4!10

!5!10

!6!10

!7!1010

6105

104

103 =+++=+++ VVVV

59. Solución:

355

3 60345!2!5

PV ==××==

60. Solución:

( ) 400.302!3!2

!103,2:10 ==rP

61. Solución: a) 720!6 = b) 800.628.3!10 = c) 6!3 = d) 1!0 = 62. Solución:

a) 33638 =P b) 680.1!4!8

48 ==P c) 720.658 =P

63. Solución:

( ) 800.916.3912

600.001.479

!2!3

!122,3:12 ===rP

64. Solución:

a) 600.15!23!26

326 ==P b) 576.17263 =


19

65. Solución: a) ABCD BACD CBAD DABC ABDC BADC CBDA DACB ACBA BCAD CABD DBAC ACAB BCDA CADB DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA b) 24!44 ==P 66. Solución: a) 898.989.278.092.2!910111213141516!1616 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P Formas de clasificación

b) 680.43!4

!16416 ==P Formas de clasificación

67. Solución: 3! = libros de matemáticas; 2! = Libros de estadística; 2! = Con los dos grupos

24!2!2!3 =⋅⋅ Maneras 68. Solución:

720!66 ==P Maneras de sentarse 69. Solución:

a) 30!4

!626 ==P b) 4

!3

!414 ==P c) 040.95512 =P

d) 720!66 ==P e) 320.40!88 ==P


20

70. Solución:

a) 28!6!2

!86

8==

b) 10

!3!2!5

3

5==

c) 10

!2!3!5

2

5==

d) 28!2!6

!82

8==

e) 210

!4!6

!104

10==

f) 210

!4!6

!106

10==

71. Solución:

300.627.54!11!19

!301130 ==C Maneras

72. Solución: MMVVV MVMVV MVVMV MVVVM VMVVM VVMVM VVVMM VMVMV VVMMV VMMVV 10 posibilidades 73. Solución:

Comisiones210!61234

!678910

!6!4

!106

10=

××××××××==

74. Solución:

a) 10!312

!345

!3!2

!5

3

5=

××××==

Comités

b) 7 comités 75. Solución:


21

a) 210 = 210 b) 56 = 56 c) 21 = 21

=

4

10

6

10

=

5

8

3

8

=

5

7

2

7

76. Solución:

495!4!8

!12

4

12==

Maneras

77. Solución:

a) ( ) 224564!5!3

!8

!! !3

!4

3

8

1

4==×=

Comités

b) Se deja al estudiante, su solución. 78. Solución:

560.643.18!7!33

!407

40==

Grupos de 7 cartas

79. Solución:

( ) !!!

rrnn

rn

−=

a) ( ) 210635!2!2

!4!3!4

!724

37 ==⋅=

Comités

( ) 37121140210214352105

7

1

4

4

7

2

4

3

7=++=++=

+

+

80. Solución:

( ) ( ) 400.8105615!3!2

!5

!3!5

!8

!4!2

!6

3

5

3

8

4

6==⋅⋅=

Comités

81. Solución:


22

( ) 5605610!5!3

!8

!3!2

!5

5

8

3

5==

⋅

=

Comités

82. Solución:

a) ( ) 1206

720

123!7

8910

!7!3

!10103 ==

×××××

==C Comisiones

b) 1206

7206

8910!3!7

!10107 ==××==C Comisiones

Se puede notar que 10

7103 CC =

83. Solución:

960.598.2!47!5

!52525 ==C Grupos de 5 cartas

84. Solución:

28!6!2

!882 ==C Maneras

85. Solución:

a) 35!4!3

!737 ==

b) 12034

06

24

16

14

26

04

36 =

+

+

+

86. Solución:

4!1!3

!443 ==C (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 4) (2, 3, 4)


23

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 87. Solución:

( ) ( ) ( )BABoA PPP +=

( ) 4012=AP ( ) 40

4=BP ( ) 40,05

2

40

16

40

4

40

12 ===+=BoAP

88. Solución:

( ) 41=AP ( ) 4

1=BP ( ) 41=CP

( ) 75,043

41

41

41 ==++=CoBoAP

89. Solución:

( ) 524=AP obtener una J ( ) 52

13=BP obtener un corazón

( ) 3077,052

16

52

1

52

13

52

4 ==−+=BoAP ( ) 521=ByAP = obtener J y corazón

(Sucesos compatibles)

( ) ( ) ( ) ( )ByABABoA PPPP −+=

90. Solución:

( ) 5213=AP sea diamante ( ) 52

13=BP sea trébol


24

( ) 5,026

13

52

26

52

13

52

13 ===+=BoAP

91. Solución:

( ) 60,0=AP ( ) 30,0=BP ( ) 25,0=ByAP


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 65,025,030,060,0; =−+=−+= BóAByABABoA PPPPP

92. Solución:

a) ( ) %67,161667,06

1

30

5 ====AP

b) ( ) 305=AP ( ) 30

10=BP

( ) 5,02

1

30

15

30

10

30

5 ===+=BóAP

c) ( ) 3015=AP ( ) 30

10=BP

( ) %33,838333,030

25

30

10

30

15 ===+=BoAP

93. Solución:

( ) 4012=AP ( ) 40

10=BP ( ) 404=ByAP


( ) %4545,020

9

40

18

40

4

40

10

40

12 ====−+=BoAP


25

94. Solución:

( ) 2,0=AP ( ) 5,0=BP ( ) 05,0=ByAP


( ) 65,005,05,02,0 =−+=BoAP

95. Solución:

a) ( ) 20,05

1

40

8

40

4

40

4 ===+=BoAP

b) ( ) 125,08

1

40

5

40

4

40

1 ===+=BoAP

c) ( ) 4019

403

4010

4012 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)

d) ( ) 4013

401

404

4010 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)

e) ( ) 325,040

13

40

12

40

1 ==+=BoAP

f) ( ) 40,05

2

40

16

40

12

40

4 ===+=BoAP

96. Solución:

a) ( ) 4,05

2

20

8 ===NP b) ( ) 75,04

3

20

15 ===BP

c) ( ) 35,020

7 ==RP ( ) 65,020

13

20

8

20

5 ==+=NoAP


26

97. Solución: a) No, son sucesos compatibles b) ( ) 80,010,070,020,0 =−+=BoAP

c) No 98. Solución:

( ) 3077,013

4

52

16

52

1

52

4

52

13 ===−+=BoAP

99. Solución:

a) Los sucesos impares son { } 50,06

35,3,1 =⇒

Divisibles por dos son { }636,4,2 = ; Por lo tanto ( ) 1

66

63

63 ==+=BoAP

b) Par { }636,4,2 ⇒ , divisible por 3 = { } 33,0

6

26;3 =⇒

( ) 61=ByAP Siendo ( ) 6667,0

3

2

6

4

6

1

6

2

6

3 ===−+=BoAP

100. Solución:

( ) 8,030,040,070,0 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)

101. Solución:


27

( ) 77,003,020,060,0 =−+=BoAP

102. Solución: Que en un 80% es la posibilidad de que ello ocurra, pero no necesariamente debe ocurrir. 103. Solución:

a) ( ) 40,05

2

10

4

30

12 ====AP

b) ( ) 6667,03

2

30

20

30

8

30

12 ===+=BoAP

c) ( ) 60,05

3

30

18

30

10

30

8 ===+=BoAP

104. Solución:

( ) 166=EP ; ( ) 16

4=AP ( ) 625,08

5

16

10

16

4

16

6 ===+=BoAP

SUCESOS INDEPENDIENTES 105. Solución:

( ) ( ) ( )BAByA PPP =

( ) 101

404 ==AP ( ) 10

1404 ==BP ( ) 100

1101

101 =×=ByAP

Consideremos barajas de 40 cartas 106. Solución:


28

( ) ( ) ( )BAByA PPP = ( ) 0278,036

1

6

1

6

1 ==×=ByAP

107. Solución: a) ( ) 8,0=AP ( ) 9,0=BP ( ) ( ) 72,09,08,0 ==ByAP

b) ( ) 2,0=JP ( ) 90,0=GP ( ) ( ) 18,09,02,0 ==GyJP

c) ( ) ( ) 20,010,02,0 ==GyJP

108. Solución:

( ) 404=AP ( ) 40

4=BP ( ) 401=CP

Rey As 6 de copas

( ) ( ) ( ) ( ) 00025,0000.4

1

000.64

16

40

1

40

4

40

4 ===××== CBACyByA PPPP

109. Solución:

( ) 0004,003,0015,0 =×=ByAP (Hay 4 posibilidades en 10.000)

110. Solución:

( ) 21=AP ; ( ) 2

1=BP ; ( ) 21=CP ; ( ) 2

1=DP ; ( ) 21=EP

( ) 03125,032

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 ==××××=EyDyCyByAP

111. Solución:


29

( ) 21=CP ( ) 2

1=CP ( ) 21=CP

( ) 125,08

1

2

1

2

1

2

1 ==⋅⋅=CyCyCP

112. Solución: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 459,09,075,085,08,0 ==DyCyByAP = 45,9% que ninguno sufra dificultades

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 00075,010,025,015,02,0 ==DyCyByAP = 0,075% que los cuatro sufran accidentes

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 02025,090,075,015,02,0 ==DyCyByAP los dos primeros sufran accidentes

113. Solución:

( ) ( ) ( )BAByA PPP =

a) ( ) 5213=AP ( ) 52

13=BP ( ) 0625,02704169

5213

5213 ==×=ByAP

b) ( ) 0059,02704

16

52

4

52

4 ==×=ByAP = 0,59%

c) ( ) 0625,02704

169

52

13

52

13 ==×=ByAP = 6,25%

114. Solución:

Serían sucesos dependientes ( ) 0060,0652.2

16

51

4

52

4 ==×=ByAP = 0,60%

115. Solución: a) ( ) ( ) 0112,014,008,0 ==ByAP = 1,12%

b) ( ) ( ) 7912,086,092,0 ==ByAP = 79,12%


30

116. Solución:

( ) 0064,0156

1

624

4

6

1

52

4

2

1 ===

=CyByAP = 0,64%

117. Solución:

( ) 404=AP ( ) 40

4=BP ( ) 401=CP

( ) 00025,0000.4

1

000.64

16

40

1

40

4

40

4 ===××=CyByAP

118. Solución: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 7490,099,098,093,088,0'''' ==DyCyByAP = 74,90%

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00000168,001,002,007,012,0 ==DyCyByAP

119. Solución: a) ( ) ( ) ( ) 0009,003,003,0 ==ByAP

b) ( ) ( ) 9409,097,097,0'' ==ByAP = 94,09%

c) ( ) ( ) %91,20291,097,003,0'' ===ByAP

d) ( ) ( ) ( ) %27,919127,097,097,097,0''' ===CyByAP

120. Solución:

( ) %5,12125,08

1

2

1

2

1

2

1 ===××=CyByAP

121. Solución:


31

( ) %2020,05

1

300

60

20

12

15

5 ====

=ByAP

122. Solución:

a) ( ) %2,4042,0296.1

54

6

2

6

3

6

3

6

3 ===×××=DyCyByAP

b) ( ) %5,2025,0296.1

32

6

4

6

2

6

2

6

2 ===×××=CyByAP

c) ( ) %6,4046,0216

1

6

1

6

1

6

1 ===××=CyByAP

SUCESOS DEPENDIENTES 123. Solución:

02588,0200.265

864.621

5011

5112

5252 ==⋅⋅⋅=P

124. Solución:

0000041,0360.193.2

9373

383

391

401 ==⋅⋅⋅=P

125. Solución: B A B A B A B A B A B

800.916.39400.86

11

21

32

42

53

63

74

84

95

105

116 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=P


32

%216,000216,04621 ===P

126. Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0652,0600.132

648.85046

5147

524

// ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA pppP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 06805,0600.132

024.9504

5147

5248

// ==××=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA ppPP

127. Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) 0004,0280.59

24382

393

404

// ==××=⋅⋅=∩ ByACABABA pppP

128. Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0409,0840.6

280187

198

205

// ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA PPPP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 035,0000.8

280207

208

205 ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ CBACBA PPPP

129. Solución:

a) ( ) 0004,0280.59

24

38

2

39

3

40

4 ==××=CyByAP

b) ( ) 0121,0280.59

720

38

8

39

9

40

10 ==××=CyByAP

130. Solución:


33

00038,0960.960.78

240.30366

377

388

399

4010 ==××××=P

131. Solución:

( ) ( ) ( ) 2381,0462110

2110

2211 ==×=×=∩ BAVAV PPP

132. Solución:

( ) ( ) ( ) 0222,0451

902

91

102 ===×=×=∩ BAABA PPP

Nota:

( )BAP La raya vertical significa “dado que”. La probabilidad de que ocurra A dado

que ha ocurrido B.

( )BAP También se llama probabilidad condicional de A dado B

( )BAP ∩ Probabilidad de que ocurran tanto A como B en un experimento

( )BAP ∩ Probabilidad de intersección de A y B o la probabilidad conjunta de A y B

( )BAP ∪ Probabilidad de que ocurra A, o bien B, o ambos, en un experimento.

( )BAP ∪ Se llama probabilidad de la unión de A y B

( )AP Probabilidad de que ocurra el evento A

( ) ( )AA PP =' Probabilidad de que no ocurra el evento, se llama también la probabilidad

del complemento de A 133. Solución:


34

( ) 40,01

=AP ( ) 18,02

=AP ( ) 42,03

=AP

( ) 40,01

=ABP ( ) 30,02

=ABP ( ) 10,03

=ABP

( )( )

( ) ( ) ( ) %5,62625,010,042,030,018,040,040,0

40,040,01

==++

=BAP

Es la probabilidad de que el primer grupo crezca por encima del promedio 134. Solución:

( )( )

( ) ( ) ( ) %61,383861,06,035,04,05,072,015,0

40,050,0=

++=DBP

135. Solución:

( ) 50,01

=AP ( ) 30,02

=AP ( ) 10,03

=AP

( ) 62,01

=ABP ( ) 80,02

=ABP ( ) 54,03

=ABP

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )%94,80894,054,010,08,030,062,050,0

54,010,03

=++

=BAP

136. Solución:

( ) 6,01

=AP ( ) 25,02

=AP ( ) 15,03

=AP

( ) 09,01

=ABP ( ) 12,02

=ABP ( ) 18,03

=ABP

( )( )

( ) ( ) ( ) %03,272703,018,015,012,025,009,06,0

12,025,02

==++

=BAP

137. Solución:


35

( ) 75,01

=AP ( ) 30,02

=AP

( ) 92,01

=ABP ( ) 40,02

=ABP

( )( )

( ) ( ) %19,858519,04,03,092,057,0

92,075,01

==+

=BAP

138. Solución:

( ) 18,01

=AP ( ) 46,02

=AP ( ) 36,03

=AP

( ) 21,01

=ABP ( ) 08,02

=ABP ( ) 14,03

=ABP

( )( )

( ) ( ) ( ) %32,404032,0125,0

0504,0

14,036,008,046,021,018,0

14,036,03

===++

=BAP

139. Solución:

( ) ( ) ( ) 3077,052

16

26

16

2

1111

==

== ABABA PPP

( ) ( ) ( ) 3846,052

20

26

20

2

1222

==

== ABABA PPP

( ) ( ) ( ) 6923,052

36

52

20

52

1621

===+=+ BBABA PPP

140. Solución:

( )( )

( ) 36

164444,0

52

3652

161

2⇒===

B

BA

BA P

PP

141. Solución:


36

( )( )

( ) 36

205556,0

52

3652

202

2⇒===

B

BA

BA P

PP

La suma será: ( ) ( ) %10000,15556,04444,0

21==+=+ BABA PP

142. Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,66,55,65,56,44,65,44,56,33,6 3610=p

143. Solución:

( ) 404=AP (Rey) ( ) 40

10=BP (Copas) ( ) 401=ByAP (Rey de copas)

( ) ( ) ( ) ( )ByABABoA PPPP −+=

( ) 4013

401

4010

404 =−+=BoAP

144. Solución:

725.270!48!4

!52

4

52==

Combinaciones

145. Solución: a) La apuesta corresponde a una permutación cuando corresponde a un orden de llagada 1°, 2° y 3° en esa forma se listarían los nombres de los caballos. b) En este caso se seleccionaran 3 caballos que lleguen a la meta en los primeros lugares, sin importar el orden de llegada. 146. Solución:


37

a) (5,6) 361=p

b) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1) 91

364 ==p

c) (3,4) (2,5) (1,6) 121

363 ==p

147. Solución:

a) ZotaZotaAsAsAs

P

↓↓↓↓↓

==××××= 0000036,0960.960.78

288363

374

382

393

404

b) ==××××=960.960.78

96364

371

382

393

404P 0,0000012 = 0,00012%

148. Solución:

a) 81=P Solo se tiene (SSC)

b) 41

82 ==P Se tiene (CSC) (SCC)

149. Solución:

126!4!5

!959 ==

Comités conformados por 5 personas

150. Solución:

120!55 ==P números 151. Solución:


38

( ) 720!7

!78910!7!10

310!10

310 =×××==−=P números

152. solución: Son 27 letras de las cuales se toman dos 683.19273 = Se tiene 10 dígitos, del 0 al 9 y se van a formar cifras de 3 dígitos 000.1103 = Por lo tanto el total de placas será: 00.683.19000.1683.19 =× 153. Solución:

a) ( ) 602

120!2!5

2:5 ===rP palabras

b) 6!33 ==P (LBS) (LSB) (BLS) (SBL) (SLB) 154. Solución:

28!6!2

!828 ==

maneras

28 maneras suponiendo que cada manzana está identificada y la selección se haga sin importar el orden de selección. 155. Solución: a) No lo es. El primero implica orden en la colocación de los elementos, en cambio, en el

segundo no importa. b) Si, es un caso de combinación, ya queda lo mismo, cualquiera de los resultados

c) Falso: primero está mal enunciado la variación. Debería escribirse 12!2!4

V 2442 === P

d) Cierto. 10!2!3

!525

85 ==

=

e) Cierto.


39

f) Cierto 156. Solución:

440.55!6!11

511 ==P Marcadores

157. Solución: a) ( ) ( ) %5,52525,030,0225,040,075,075,030,0)( ==+=+=aprobarP

b) ( )( ) ( ) %86,424286,0

525,0225,0

40,075,075,030,075,030,0

)( ===+=aprobestP

158. Solución:

840.6!17!20

320 ==P

159. Solución:

Jornada Juego Cantidad

Porcentajes

Ganado Perdido

Día 0,60 0,40 0,60 Noche 0,40 0,80 0,20

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2211

11

1ABAABA

ABA

BA PPPP

PPP +=

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) %81,818181,044,036,0

08,036,036,0

2,04,06,06,06,06,0

1===

+=

+=BAP


40

160. Solución: Primera inspección = 5%; segunda inspección y tercera = 2% De 100 unidades inspeccionadas por primera vez, pasaron 95 unidades En la segunda inspección se tiene: 15,9297,095 =× En la tercera y última inspección: %31,9098,015,92 =× La probabilidad de que una unidad pase por las tres inspecciones es del 90,31% 161. Solución:

%2424,05,06,08,0 ==××=P 162. Solución:

Ciudades Probabilidad

de ser escogida Favorabilidad No favorable

Pereira 0,42 0,55 0,45 Armenia 0,34 0,60 0,40 Manizales 0,24 0,62 0,38

( )( )

( ) ( ) ( ) %57,395838,0231,0

62,024,060,034,055,042,055,042,0

1==++=BAP

( )( )

( ) ( ) ( ) %94,345838,0204,0

62,024,060,034,055,042,060,034,0

2==++=BAP

( )( )

( ) ( ) ( ) %49,255838,01488,0

62,024,060,034,055,042,062,024,0

3==++=BAP

La ciudad con mayor favorabilidad de ser escogida es Pereira


41

163. Solución:

( ) 60,0400240MartaSantaaVisitan ===AP =60%

( ) %2525,0400

100CartagenaaVisitan ====BP

( ) 175,040070 ==BYAP

( ) ( ) ( ) ( )BYABABoA PPPP −+=

( ) %5,67675,0175,025,060,0 ==−+=BoAP

164. Solución:

===

%65%35

NocturnaDiurna

Jornada

===

%70%15

NocturnoDiurno

Trabajando

a) La probabilidad de que el alumno seleccionado este trabajando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %75,5070,065,015,035,0

2211=+=+

BAABAA PPPP

b) Dado que el estudiante elegido esté trabajando y la probabilidad que sea del diurno, es:

( )( )

%34,101034,05075,00525,0

5075,015,035,0

1====BAP

165. Solución:

( )( )

( ) ( ) ( ) %5050,0050,0

025,0

08,02,003,03,005,05,0

05,05,01

===++

=BAP

( )( )

%1818,0050,0009,0

050,003,03,0

1====BAP

( )( )

%3232,0050,0016,0

050,008,02,0

1====BAP


42

166. Solución: a) Probabilidades previas – son probabilidades a priori, es decir, se han determinado

anteriormente, corresponde también a probabilidades iniciales del evento. b) Probabilidades posteriores, es obtenida de información adicional a las probabilidades

iniciales. c) Diagrama de árbol, es una forma gráfica con ramificaciones que nos permiten

establecer los puntos de un experimento ocurrido en varias etapas. d) Teorema de Bayes es un método o procedimiento para el cálculo de probabilidades

posteriores, teniendo como base probabilidades a priori.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

6 Distribuciones de probabilidad

Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal


Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo 1. Solución:

( ) %5,37375,0166

21

21

242422 ===

=

−

= CPx

22121

4

====

X

qpn

( ) %5,372 ==xP

(exactamente dos caras) 2. Solución:

( )13

433 2

121

== CPx

( ) %2525,016

4

16

14

2

1

2

1

!1!3

!43 ===

=

==xP

3

21

21

4

====

X

q

p

n

( ) %0,253 ==xP

(exactamente 3 caras)


2

3. Solución:

( )

=

== 36

25361

!2!2!4

65

61

22422 CPx

( ) %57,111157,0296.1

150

296.1

256

296.1

25

2

342 ===

=

⋅==xP

2

65

61

4

====

X

q

p

n

( ) %57,112 ==xP

(exactamente dos cincos) 4. Solución: a) 8=n ( )ganarP 8,0= 2,0=q 2=X ( ) ?2 ==xP

( ) ( ) ( ) ( ) %1146,0001146,02,08,0 62822 ====xP ( ) %1146,02 ==xP

b) 8=n ( )perderP 2,0= 8,0=q 2=X ( ) ?2 ==xP

( ) ( ) ( ) ( ) %36,292936,08,02,0 628

22 ====xP ( ) %36,292 ==xP

c) 8=n ( )perderP 2,0= 8,0=q 8,7,6,5,4,3,2)2( ydosmínimox == ( ) ?2 =≥xP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181

80802

1087654322

8,02,08,02,01

1

+−=

+−=++++++=

≥

≥

x

x

P

PPPPPPPPPP

( ) [ ] %67,494967,05033,013355,01678,012 ==−=+−=≥xP ( ) %67,492 =≥xP


3

d) 8=n ( )ganarP 8,0= 2,0=q 6,5,4,3,2,1,0 yX = ( ) ?6 =≤xP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0888

17876

8765432106

2,08,02,08,01

1

++−=

+−=++++++=

≤

≤

x

x

P

PPPPPPPPPP

( ) [ ] %67,494967,05033,011678,03355,016 ==−=+−=≤xP ( ) %67,496 =≤xP

e) 8=n ( )perderp 2,0= 8,0=q 6=X ( )6=xP

( ) ( ) ( ) ( ) %1147,0001147,08,02,0 268

66 ====xP

Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen 8=n ( )ganarp 8,0= 2,0=q 2=X ( )2=xP

( ) ( ) ( ) ( ) %1147,0001147,02,08,0 628

22 ====xP ( ) %1147,02 ==xP

5. Solución:

xnxnx qpCP −= 5,0

21 ==p 5,0

21 ==q 6=n

a) ( )

=

== 4

1161

!4!2!6

21

21

24644 CPx

( ) %44,232344,064

15

64

115

64

1

2

564 ===

=

×==xP ( ) %44,234 ==xP

(exactamente 4 caras)


4

b) Como máximo 4 caras

( )24

64

3363

4262

5161

60604 2

121

21

21

21

21

21

21

21

21

+

+

+

+

=≤ CCCCCPx

( ) ( )

+

+

+

+

=≤ 4

116115

81

8120

161

4115

321

216

641114xP

( ) %06,898906,064

57

64

15

64

20

64

15

64

6

64

14 ===++++=≤xP ( ) %06,894 =≤xP

También se puede resolver de la siguiente forma:

( )

+

−=≤

0666

15654 2

121

21

211 CCPx

( ) %06,898906,064

57

64

7

64

64

64

6

64

114 ===−=

+−=≤xP ( ) %06,894 =≤xP

(máximo 4 caras) 6. Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6

31

62

61

61 ==+=p

32

31

331 =−=−= pq

a) ( ) %80,121280,0187.2

280187.2835

278

811

!3!4!7

32

31 34

474 ===

=

=

==xP

(cuatro éxitos) ( ) %80,124 ==xP

b) ( )34

74

6171

70704 3

231..............

32

31

32

31

+

+

=≤ CCCPx

( ) ( )

+

+

+

+

=≤ 27

881135

8116

27135

24332

9121

72964

317

187.2128114xP

( ) ==++++=≤ 187.2088.2

187.2280

187.2560

187.2672

187.2448

187.2128

4xP

%47,959547,0 == (máximo 4 éxitos) ( ) %47,954 =≤xP


5

También puede resolverse así:

( )

+

+

−=≤

071625

4 3

2

3

1773

2

3

1763

2

3

175

1xP

( ) ( )

+

+

−=≤ 1

187.211

32

72917

94

24312114xP

( ) 0453,01187.2991

187.21

187.214

187.28414 −=−=

++−=≤xP

%47,959547,0 == ( ) %47,954 =≤xP

7. Solución:

4=n 10,0=p 90,0=q a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %61,656561,06561,0119,01,0 404

00 ===== CPx ( ) %61,650 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %16,292916,0729,01,049,01,0 314

11 ===== CPx ( ) %16,291 ==xP

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %86,40486,081,001,069,01,0 224

22 ===== CPx ( ) %86,42 ==xP

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )224

2314

1404

02 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx ++=≤

( ) %63,999963,00486,02916,06561,02 ==++=≤xP ( ) %36,992 =≤xP (no más de dos defectuosos) 8. Solución: a) 40,0=p 60,0=q 5=n 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %56,343456,0216,016,0106,04,0 325

22 ===== CPx ( ) %56,342 ==xP


6

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )415

1505

01 6,04,06,04,0 CCPx +=≤

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1296,04,0!4!1

!507776,01

!5!0!5

1 +=≤xP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2592,007776,01296,04,0507776,0111 +=+=≤xP

%69,333369,0 == (menos de 2 golpes) ( ) %69,331 =≤xP

9. Solución:

8=n 5,0=p 5,0=q ,5,4,3,2,1,0=X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5383

6282

7181

80805 5,05,05,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≤

( ) ( ) ( ) ( ) %54,8585543,05,05,05,05,0 358

5448

4 ==++ CC ( ) %54,855 =≤xP

Es posible resolverlos de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0888

1787

26865 5,05,05,05,05,05,01 CCCPx ++−=≤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]100396,015,000781,0825,0015625,02815 ++−=≤xP

( ) [ ] %54,8585543,014457,0100396,003124,010937,015 ==−=++−=≤xP ( ) %54,855 =≤xP (menos de 6 caras) 10. Solución:

05,0=p 95,0=q 6=n ,2,1,0=X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4262

5161

60602 95,005,095,005,095,005,0 CCCPx ++=≤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )814506,00025,015773780,005,06735091,0112 ++=≤xP

( ) %78,99997768,0030543,0232134,0735091,02 ==++=≤xP ( ) %78,992 =≤xP


7

11. Solución:

10,0=p 90,0=q 5=n 0=X a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %05,595905,05905,0111,09,09,01,0 055

5505

00 ====== CCPx ( ) %05,590 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )055

5145

4235

33 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx ++=≥

00856,000001,000045,000810,0 =++= ( ) %856,03 =≥xP

c) ( ) ( ) ( ) %81,000810,09,01,0 235

33 ==== CPx ( ) %81,03 ==xP (exactamente 3 mueran) 12. Solución:

2,0=p 8,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,0512,02,048,02,0 314

11 ===== CPx ( ) %96,401 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,04096,0118,02,0 404

00 ===== CPx ( ) %96,400 ==xP

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )224

2314

1404

02 8,02,08,02,08,02,0 CCCPx ++=≤

( ) %28,979728,01536,04096,04096,02 ==++=≤xP ( ) %28,972 =≤xP (no más de dos cerrojos sean defectuosos) 13. Solución:

4,0=p 6,0=q 5=n a) Que ninguno se gradué: ( ) ( ) ( ) %78,70778,06,04,0 505

00 ==== CPx ( ) %78,70 ==xP

b) Que se gradué uno:


8

( ) ( ) ( ) %92,252592,06,04,0 41511 ==== CPx ( ) %92,251 ==xP

c) Que se gradúe al menos uno: ( ) ( ) ( ) %22,929222,00778,016,04,01 505

01 ==−=−=≥ CPx ( ) %22,991 =≥xP

14. Solución:

61=p 65=q 5=n

a) ( ) %19,404019,0776.7

125.3

296.1

625

6

15

6

5

6

141

511 ===

=

== CPx ( ) %19,401 ==xP

b) ( ) %08,161608,0776.7250.1

216125

36110

65

61

32522 ===

=

== CPx ( ) %08,162 ==xP

c) ( ) %21,30321,0776.7

2503625

216110

65

61

23533 ===

=

== CPx ( ) %21,33 ==xP

d) ( ) %32,00032,0776.725

65

296.115

65

61

14544 ===

=

== CPx ( ) %32,04 ==xP

e) ( ) ( ) %19,404019,0776.7125.311

65

61

50500 ==

=

== CPx (ninguna vez) ( ) %19,400 ==xP

15. Solución:

10,0=p 90,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) %61,656561,09,01,0 404

00 ==== CPx ( ) %61,650 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) %39,343439,09,01,01 404

01 ==−=≥ CPx ( ) %39,341 =≥xP

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )314

1404

01 9,01,09,01,0 CCPx +=≤

%77,949477,02916,06561,0 ==+= ( ) %77,941 =≤xP

16. Solución:


9

2,0=p 8,0=q 10=n a) ( ) ( ) ( ) %2,303020,08,02,0 8210

22 ==== CPx ( ) %2,302 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]8210

29110

110010

03 8,02,08,02,08,02,01 CCCPx ++−=≥

( ) [ ] %22,323222,06778,013020,02684,01074,013 ==−=++−=≥xP ( ) %22,323 =≥xP

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01010

101910

92810

83710

74610

66 8,02,08,02,08,02,08,02,08,02,0 CCCCCPx ++++=≥

0063,00000,00000,00008,00055,0 =+++= ( ) %63,06 =≥xP (Se usó la tabla para el cálculo) d) ( ) ( ) ( ) %74,101074,08,02,0 10010

00 ==== CPx ( ) %74,100 ==xP

17. Solución:

5,0=p 5,0=q 10=n 0,1,2,3=X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100100

91101

82102

731033 5,05,05,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≤

%19,171719,00010,00098,00439,01172,0 ==+++= ( ) %19,173 =≤xP

npE = ( ) 100181719,0100 depersonasE ≅= 18. Solución:

5,0=p 5,0=q 10=n 10 9 ,8 ,7 yX =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0101010

19109

28108

371077 )5,0()5,0(5,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≥

( ) %19,171719,100010,00098,00439,01172,07 ==+++=≥xP ( ) %19,177 =≥xP

19. Solución:


10

15=n 10,0=p 90,0=q a) ( ) ( ) ( ) %05,10105,09,01,0 10515

55 ==== CPx ( ) %05,15 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++=≥

3121512

4111511

510151010 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000,09,01,09,01,09,01,0 01515

1511415

1421315

13 =++ CCC ( ) 010 =≥xP

(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ +++−=≥13215

2

141151

1501505 9,01,09,01,09,01,01 CCCPx

( ) ( ) ( ) ( ) ]11415

412315

3 9,01,09,01,0 CC + Utilizando la tabla se tiene: ( ) [ ]9873,00428,01285,02669.03432,02059,015 =++++−=≥xP ( ) %27,15 =≥xP

( ) %27,10127,09873,015 ==−=≥xP

20. Solución:

20=n 25,0=p 75,0=q a) ( ) ( ) ( ) 0...............0000,075,025,0 51520

1515 ==== CPx (ver tabla) ( ) 015 ==xP

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16420

419120

120020

04 75,025,0...........75,025,075,025,0 CCCPx ++=≤

%48,414148,01897,01339,00669,00211,00032,0 ==++++= ( ) %48,414 =≤xP

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02020

2011920

912820

88 75,025,0...........75,025,075,025,0 CCCPx ++=≥

Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:


11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]13720

719120

120020

08 75,025,0............75,025,075,025,01 CCCPx ++−=≥

[ ] =+++++++−= 1124,01686,02023,01897,01339,00669,00211,00032,01 %19,108981,01 =−= (por lo menos 8 defectuosas) ( ) %19,108 =≥xP

21. Solución:

5,0=p 5,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) 9375,00625,015,05,01 404

01 =−=−=≥ CPx ( ) %75,931 =≥xP

( ) 875.19375,0000.2 ==E familias b) ( ) ( ) ( ) 3750,05,05,0 224

22 === CPx ( ) %50,372 ==xP

( ) familiasE 7503750,0000.2 == c) ( ) ( ) ( ) 0625,05,05,0 404

00 === CPx ( ) %25,60 ==xP

( ) familiasE 1250625,0000.2 == (Se utilizaron las tablas) 22. Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132152

141151

1501502 95,005,095,005,095,005,0 CCCPx ++=≤

9639,01348,03658,04633,0 =++= = 96,39% ( ) %39,962 =≤xP

(Se utilizó la tabla) 23. Solución:


12

40,0=p 20=n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0202020

8122012

911201111 6,04,0........6,040,06,04,0 CCCPx +++=≥

Utilizando la tabla se tendrá que:

( ) =+++++++++=≥ 00000003,00013,00049,00146,00355,00710,011xP

%76,121276,0 == (mitad más uno) ( ) %76,1211 =≤xP

(Se utilizó la tabla para el cálculo) 24. Solución:

20,0=p 80,0=q 18=n 8=X

( ) ( ) ( ) %20,10120,080,020,0 1081888 ==== CPx ( ) %20,18 ==xP

25. Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37107

46106

5510575 5,05,05,05,05,05,0 CCCP x ++=≤≤

( ) %84,565684,01172,02051,02461,075 ==++=≤≤ xP ( ) %84,5675 =≤≤ xP

26. Solución:

5=n ( )3≥xP 5,4,3=X 5,0=p 5,0=q


13

( ) ( ) ( ) ( )5433 ===≥ ++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )055

5145

4235

3 5,05,05,05,05,05,0 ++= %505000,003125,015625,03125,0 ==++= ( ) %503 =≥xP

27. Solución:

cariescon 90,0109 = %1010,0cariessin == 5=n

a) Cuatro tengan caries 5=n 90,0=p 4=X ( ) ( ) ( ) ( ) %81,3232805,01,09,0 145

44 ====xP ( ) %81,324 ==xP

b) Por lo menos dos tengan caries 90,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151

5050

10

1,09,01,09,01

1

+−=

+−= == xx PP

[ ] %95,999995,000045,000001,01 ≅=+−= ( ) %95,992 =≥xP

c) Por lo menos 2 no tengan caries: 10,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151

5050

10

9,01,09,01,01

1

+−=

+−= == xx PP

[ ] %15,89185,0132805,059049,01 =−=+−= ( ) %15,82 =≥xP


14

d) Por lo menos una tenga caries 90,0=p 5,4,3,2,1=X ( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP

( ) ( ) ( ) %10099999,000001,011,09,01 505

0 ==−=−= ( ) %1001 =≥xP

28. Solución: 20% pierden el 1ª año pierden lo no 80% 6=n a) :aprueben 2 Máximo 210 , , X = 800,p = ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )426

2516

1606

02 2,08,02,08,02,08,0 ++=≤xP

%70,101696,001536,0001536,0000064,0 ==++= ( ) %70,12 =≤xP

b) Todos aprueben: 800, p = 6=X ( ) ( ) ( ) ( ) %21,262621,02,08,0 066

66 ====xP ( ) %21,266 ==xP

c) Ninguno apruebe 800, p = 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %0064,0000064,02,08,0 606

00 ====xP ( ) %0064,00 ==xP

29. Solución:

0,7000068004 =.. Transporte público 30% 0,30 = otro servicio

a) No más de 2 utilicen transporte público 70,p = 2,1,0=X 8=n


15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )628

2718

1808

02 3,07,03,07,03,07,0 ++=≤xP

%13,101129,001000,00012247,00000656,0 ==+== ( ) %13,12 =≤xP

b) Por lo menos 3 no lo utilicen 30,0=p 8,7,6,5,4=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8765433 ======≥ +++++= xxxxxxx PPPPPPP

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6282

7181

8080

210

7,03,07,03,07,03,01

1

++−=

++−= === xxx PPP

[ ] %82,,444482,02965,01977,00576,01 ==++−= ( ) %82,443 =≥xP

c) Exactamente 2 no lo utilicen 30,0=p 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %65,292965,07,03,0 628

22 ====xP ( ) %65,292 ==xP

d) Exactamente 2 lo utilicen 70,0=p 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %10100,03,07,0 628

22 ====xP ( ) %12 ==xP

30. Solución: 60% = 0,60 asisten 0,40 = 40% no asisten n = 8 a) asistan 7 menos loPor 6,0=p 8,7=X


16

( ) ( ) ( )877 ==≥ += xxx PPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )088

8178

7 4,06,04,06,0 += %64,101064,00168,00896,0 ==+= ( ) %64,107 =≥xP

b) Por lo menos 2 no asistan 8=n 40,0=p 8,7,6,5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( )8322 .................... ===≥ +++= xxxx PPPP

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181

8080

10

6,04,06,04,01

1

+−=

+−= == xx PP

[ ] %36,898936,01064,010896,00168,01 ==−=+−= ( ) %36,892 =≥xP

31. Solución:

gafasusan 4,02000800 = gafasusan no0,6 = 5n =

a) gafasusan 2 menos loPor 40,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151

5050

10

6,04,06,04,01

1

+−=

+−= == xx PP

[ ] %3,666630,03370,012592,00778,01 ==−=+−= ( ) %30,662 =≥xP

b) gafasusan no 2 menos loPor 60,0=p 5,4,3,2=X


17

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %30,9191296,008704,010768,001024,01

4,06,04,06,01

1

4151

5050

102

==−=+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %30,912 =≥xP

c) ( ) gafasusen no espera se alumnos,200.160,02000 ==⇒= EnpE 32. Solución:

repitentesson 33,031 = repitentes no0,67= 4n = a) repitentessean dos de mas No 33,0=p 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

%18,898918,02933,03970,02015,0

67,033,067,033,067,033,0 2242

3141

4040

==++=

++=

( ) %18,882 =≤xP

32y31con trabajamosSí:Nota ( ) %89,882 =≤xP

b) repitente sea no 1 menos Al 67,0=p 4,3,2,1=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43211 ====≥ +++= xxxxx PPPPP

32y31con os trabajamSí :Nota ( ) %77,981 =≥xP

( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP

( ) ( ) ( ) %81,989881,00119,0133,067,01 404

0 ==−=−= ( ) %81,981 =≥xP

33. Solución:


18

16=n 6,0=p 16,15,14,13,12,11,10=X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3131613

4121612

5111611

610161010 4,06,04,06,004,06,04,06,0 +++=≥xP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ 01616

16

1151615

2141614 4,06,04,06,04,06,0

0150,00468,01014,01623,01983,0 ++++= %71,520003,00030,0 =++ ( ) %71,5210 =≥xP (diez o más acontecimientos desfavorables) 34. Solución:

accidentan se 25% accidentan se no 75%

accidentan se 3 menos loPor 7=n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )765433 =====≥ ++++= xxxxxx PPPPPP

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]5272

6171

7070

210

75,025,075,025,075,025,01

1

++−=

++−= === xxx PPP

[ ] %35,242435,07565,013115,03115,01335,01 ==−=++−= ( ) %35,243 =≥xP

35. Solución: 3% son defectuosos 97% Buenos n = 7 a) Por lo menos 3 sean buenos ( ) ( ) ( ) ( )7433 ....... ===≥ +++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]5272

6171

7070

210

03,097,003,097,003,097,01

1

++−=

++−= === xxx PPP


19

[ ] %1001 a aproxima se0001 ==++−= ( ) %1003 =≥xP

b) Por lo menos 3 sean defectuosos

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %09,0%0009,09991,010162,01749,08080,01

97,003,097,003,097,003,01

1

5272

6171

7070

2103

==−=++−=

++−=

++−= ===≥ xxxx PPPP

( ) %09,03 =≥xP

36. Solución:

enferman01,0 ==p 5=n enferman no99,0 ==q a) enfermos2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %097,000097,099,001,0 325

22 ====xP ( ) %097,02 ==xP

b) enfermo uno menos loPor 5432,1 , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %9,4049,09510,0199,001,011 505

001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %9,41 =≥xP

c) Por lo menos 2 no enfermen 5432 , , , X =

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %1001 a aproxima se001

01,099,001,099,01

1

4151

5050

102

==+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %1002 =≥xP

37. Solución:


20

20% de mortalidad 80% de sobrevivir 5=n a) Ninguno sobreviva 0=X ( )mueran todos,5aequivale =x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %032,000032,08,02,02,08,0 055

5505

00 =====xP ( ) %032,00 ==xP

b) Todos sobrevivan ( ) ( ) ( ) ( ) %77,323277,02,08,0 055

55 ====xP ( ) %77,325 ==xP

c) Al menos 1 sobrevivan 54321 , , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %97,99%968,9900032,012,08,011 505

001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %97,991 =≥xP

d) Al menos 1 no sobrevivan 54321 , , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %23,6767232,032768,018,02,011 505

001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %23,671 =≥xP

38. Solución:

scientífico 20%0,20255 == científico no 80%

2520 = 4=n

a) Por lo menos 1 sea científica 4,3,2,1=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %04,595904,04096,018,02,011 404

001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %04,591 =≥xP


21

b) Por lo menos 2 no sean científicos 4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %28,979728,00272,010256,00016,01

2,08,02,08,01

1

3141

4040

102

==−=+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %28,972 =≥xP

c) Una sea científica 1=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,08,02,0 314

11 ====xP ( ) %96,401 ==xP

39. Solución:

clientes posibles 30% clientessean no 70% 8=n a) Tres o menos sean clientes 0,1,2,3=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )538

3628

2718

1808

03 7,03,07,03,07,03,07,03,0 +++=≤xP

%59,808059,02541,02965,01977,00576,0 ==+++= ( ) %59,803 =≤xP

b) Tres o más no sean clientes 8,7,6,5,4,3=X

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] 0113,0101000,000122,000006,01

3,07,03,07,03,07,01

1

6282

7181

8080

2103

−=++−=

++−=


%87,989887,0 == ( ) %87,983 =≥xP


22

40. Solución:

AaApoyan 40%0,40 52 == Aaapoyan No 60%60,0 =

a) Exactamente 5 apoyen a A 5=x ( ) ( ) ( ) ( ) %74,70774,06,04,0 257

55 ====xP ( ) %74,75 ==xP

b) Por lo menos 2 apoyen a A 7,6,5,4,3,2=x

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6171

7070

102

6,04,06,04,01

1

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

[ ] %14,848414,01586,011306,00280,01 ==−=+−= ( ) %14,842 =≥xP

c) Por lo menos dos no apoyen a A

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6171

7070

102

4,06,04,06,01

1

+−=

+−= ==≥ xxx PPP 7,6,5,4,3,2=x

[ ] %12,989812,001884,010172,000164,01 ==−=+−= ( ) %12,982 =≥xP

41. Solución:

Verdadero0,5021 = falso50,0 = 16=n

a) A lo más dos preguntas correctas 210 , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14216

2

151161

1601602 5,05,05,05,05,05,0 ++=≤xP

%21,0%0021,000183,000024,0000015,0 ==++= ( ) %21,02 =≤xP


23

b) Por lo menos 2 sean verdaderas 16......,4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]151161

160160

102

5,05,05,05,01

1

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

[ ] %97,999997,0000255,0100024,0000015,01 ==−=+−= ( ) %97,992 =≥xP

c) Por lo menos 2 no sean verdaderas

( ) ( ) ( )[ ]102 1 ==≥ +−= xxx PPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] %97,995,05,05,05,01 15116

116016

0 =+−= ( ) %97,992 =≥xP

42. Solución:

0,15203 = Defectuosos buenos85,0 = 8=n

a) Por lo menos dos defectuosos 8,7,6,5,432 , , X =

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181

80802

102

85,015,085,015,01

1

+−=

+−=

≥

==≥

x

xxx

P

PPP

[ ] %28,343428,06572,013847,02725,01 ==−=+−= ( ) %28,342 =≥xP

b) Por lo menos 2 no sean defectuosos 8,7,6,5,4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181

8080

102

15,085,015,085,01

1

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

[ ] %10099,9999999,000001,001 ≅==+−= ( ) %1002 =≥xP


24

c) ( ) ( ) ( ) ( ) %76,232376,085,015,0 62822 ====xP 2=x

( ) Artículos4752376,0000.2 ==E npE =

43. Solución:

fumadores%70 fumadoresno%30 = 16=x 18=n

( ) ( ) ( ) ( ) %58,404576,03,07,0 216181616 ====xP ( ) %58,416 ==xP

44. Solución:

responden%20 responden no%80 10=n a) La mayoría responden 10,9,8,7,6=X (mitad más uno) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1098766 =====≥ ++++= xxxxxx PPPPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++= 1910

92810

83710

74610

6 8,02,08,02,08,02,08,02,0 ( ) ( ) ( ) =++++= 00000074,000079,00055,08,02,0 01010

10 %64,000636,0 == ( ) %64,06 =≥xP

b) Menos del 30% no respondan ( ) 3100,30 = 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8210

29110

110010

0 2,08,02,08,02,08,0 ++= 000078,00000737,00000041,00000001,0 =++= %0078,0= ( ) %0078,02 =≤xP

c) Nadie responde 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %00001,00000001,08,02,0 10010

00 ====xP ( ) %010 ≅=xP


25

45. Solución:

10=n defectuoso%17 buenos%83 a) Ninguno defectuoso 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %52,151552,083,017,0 10010

00 ====xP ( ) %52,150 ==xP

b) Por lo menos 2 no sean defectuosos 10.......4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %1001 a aproxima se001

17,083,017,083,01

1

91101

100100

102

==+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %1002 =≤xP

c) Como máximo dos defectuosos 21,0,=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8210

29110

110010

0 83,017,083,017,083,017,0 ++= %59,767659,02929,03178,01552,0 ==++= ( ) %59,762 =≤xP

46. Solución: 80% adecuadamente 20% no adecuado 4=n a) Todos adecuadamente 4=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,02,08,0 044

44 ====xP ( ) %96,404 ==xP

b) Falla uno (no adecuado) 1=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,08,02,0 314

11 ====xP ( ) %96,401 ==xP


26

c) Uno o más fallan 4,3,2,1=X ( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP

( ) ( ) ( ) %04,595904,04096,018,02,01 404

0 ==−=−= ( ) %04,591 =≥xP

47. Solución:

%6060,0106 == Detectados 40% no detectados 8=n

a) Por lo menos 5 veces sea detectado 8,7,6,5=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )87655 ====≥ +++= xxxxx PPPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )088

8178

7268

6358

55 4,06,04,06,04,06,040,060,0 +++=≥xP

%41,595941,00168,00896,02090,02787,0 ==+++= ( ) %41,595 =≥xP

b) Exactamente 2 no sea detectado ( ) ( ) ( ) ( ) %90,202090,06,04,0 628

22 ====xP ( ) %90,202 ==xP

48. Solución:

naranja de jugotoman %9,9 90,1% tomanlo no 0,901;0,099 ==

a) Por lo menos 2 toman jugo 5,4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %80800,09200,013262,05938,01

901,0099,0901,0099,01

1

4151

50502

102

==−=+−=

+−=

+−=

≥

==≥

x

xxx

P

PPP

( ) %82 =≥xP


27

b) Como máximo 3 no lo toman 3,2,1,0=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %80800,09200,015938,03262,01

099,0901,0099,0901,01

1

0555

1454

5143

==−=+−=

+−=

+−= ==≤ xxx PPP

( ) %83 =≤xP

49. Solución:

vende25,041 = vendeno 0,75= 5=n

Por lo menos 3 compren 5,4,3=X

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

%35,101035,000098,00146,00879,0

75,025,075,025,075,025,0 0555

1454

2353

5433

==++=

++=

++= ===≥ xxxx PPPP

( ) %35,103 =≥xP

50. Solución:

pierden lo16,0 pierden lo no 0,84= 10=n No mayor a 5 ni menor a tres no lo pierdan 5,4,3=X

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

%30,10130,00110,00018,000019,0

16,084,016,084,016,084,0 55105

64104

73103

54353

==++=

++=

++= ===≤≤ xxxx PPPP

( ) %30,153 =≤≤xP


28

51. Solución:

tardanse%20 tardanse no 80%= 5=n a) Dos veces se retardan 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %48,202048,08,02,0 325

22 ====xP ( ) %84,202 ==xP

b) Por lo menos 2 no se retardan 5,4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %33,9900672,010064,000032,01

2,08,02,08,01

1

4151

5050

102

=−=+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %33,992 =≥xP

52. Solución:

años 65 de mas%36 65 de menores 64% = Quince o más tengan más de 65 años

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=≥01818

1811718

1721618

1631518

1515 64,036,064,036,064,036,064,036,0xP

0000519,0000000049,0000047,0 =+++= %00519,0= ( ) %00519,015 =≥xP

53. Solución: 30% se retiran n = 12 70% siguen a) Por lo menos 9 sigan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01212

1211112

1121012

103912

99 3,07,03,07,03,07,03,07,0 +++=≥xP

%25,494925,00138,00712,01678,02397,0 ==+++= ( ) %25,499 =≥xP


29

b) Como mínimo tres se retiren 1243 ...., ........, X =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %72,742528,011678,00712,00138,01

7,03,07,03,07,03,01 102122

111121

1201203

=−=++−=

++−=≥xP

( ) %72,743 =≥xP

54. Solución:

éxitos 0,10101 = éxitos de nada 0,90 6=n

Por lo menos 2 sean éxitos financieros 6,5,4,3,2=x

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %43,118857,013543,05314,01

9,01,09,01,01

1

5161

6060

102

=−=+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %43,112 =≥xP

55. Solución:

0,20255 = Técnicos 0,80 No técnicos 4=n

a) Por lo menos 1 sea técnico 432 ,1 , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %04,594096,018,02,011 404

001 =−=−=−= =≥ xx PP ( ) %04,591 =≥xP

b) Por lo menos 2 no sean técnicos 432 , , X =


30

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %28,970272,010256,00016,01

2,08,02,08,01

1

3141

4040

102

=−=+−=

+−=

+−= ==≥ xxx PPP

( ) %28,972 =≥xP

DISTRIBUCIÓN DE POISSON 56. Solución:

10,0=p 90,0=q 10=n 2=X a) Distribución binomial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %37,191937,04305,001,0459,01,0 8210

22 ===== CP x ( ) %37,192 ==xP

b) Distribución Poisson

!X

ep

x λλ −

= 2=X ( ) 11,010 === pnλ

( )( ) ( )

%39,1818394,0236788,01

!21 12

2 ====−

=e

P x ( ) %39,182 ==xP

57. Solución:

001,0=p np=λ 999,0=q ( ) 2001,0000.2 ==λ 000.2=n

a) ( )( )

%04,1818045,06

13534,08!3

2!

23

3 =====−−

=e

xe

Px

x

λλ ( ) %04,183 ==xP

b) ( ) 000.2................................,5,4,3?;2 ==> XxP

( )( ) ( ) ( )

++−=> !2

13534,02!1

13534,02!0

13534,021

210

2xP


31

( ) ( ) =++−=≥ 27068,027068,013534,013xP

%33,323233,067670,01 ==−= ( ) %33,323 =≥xP

58. Solución:

03,0=p 97,0=q ( ) 310003,0 ==λ 100=n pn=λ

a) ( )( )

%98,404979,01

04979,01!0

3 30

0 ====−

=e

P x ( ) %98,40 ==xP

b) ( )( )

%94,1414937,0! 1

04979,031

1 ====xP ( ) %94,141 ==xP

c) ( )( )

%40,2222404,0!2

04979,032

2 ====xP ( ) %40,222 ==xP

d) ( )( )

%40,2222404,0!3

04979,033

3 ====xP ( ) %40,223 ==xP

e) ( )( )

%80,1616803,0!4

04979,034

4 ====xP ( ) %80,164 ==xP

f) ( )( )

%08,1010082,0!5

04979,035

5 ====xP ( ) %08,105 ==xP

59. Solución:

00003,0=p ( ) 6000.20000003,0 ==λ 000.200=n

a) ( )( )

%25,0002479,0 1

002479,01

!0

6 60

0 ====−

=

eP x ( ) %25,00 ==xP

b) ( )( )

%46,4044622,0!2

002479,062

2 ====xP ( ) %46,42 ==xP


32

c) ( )( ) ( ) ==== 720

002479,0656.46!6

002479,066

6xP

%06,161606,0720

66,115 === ( ) %06,166 ==xP

d) ( )( ) ( ) ==== 320.40

002479,0616.679.1!8

002479,068

8xP

%33,1010326,0320.40

76,163.4 === ( ) %33,108 ==xP

e) 8,7,6,5,4=X

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!8002479,06

!7002479,06

!6002479,06

!5002479,06

!4002479,06 87654

84 ++++=≤≤ xP

( )( ) ( ) ( ) +++=≤≤ 720

002479,0656.46120

002479,0776.724002479,0296.1

84 xP

( ) ( ) =++320.40

002479,0616.679.1040.5

002479,0936.29

( ) =++++=≤≤ 320.4079,163.4

040.596,693

72066,115

12028,19

2421,3

84 xP

( ) =++++=≤≤ 1033,01377,01606,01606,01338,084 xP

( )84 ≤≤ xP %60,696960,0 == ( ) %60,6984 =≤≤ xP

f) ( )( ) ( ) ( ) =++=≤ !2

002479,06!1

002479,06!0

002479,06 210

2xP

( ) =++=≤ 044622,0014874,0002479,02xP

( )2≤xP %20,6061975,0 == ( ) %20,62 =≤xP

60. Solución:


33

0066,01501 ==p ( ) ( ) 9,9500.10066,0 ==λ 500.1=n

a) 3=X

( )( )

%81,0008085,06

04851,06

00005,029,970!3

9,9 9,93

3 =====−

=e

P x ( ) %81,03 ==xP

Con calculadora programable el resultado es = 0,0081141 = 0,81% b) 500.1..............7,6,5,4=X

( )

+++−=

−−−−

≥ !39,9

!29,9

!19,9

!09,9

19,939,929,919,90

4eeee

P x

( )( ) ( ) ( )

+++−=≥ 008085,0200005,00,98

100005,09,9

100005,01

14xP

( ) [ ]00808,000245,000049,000005,014 +++−=≥xP

( ) [ ] %89,9898893,001107,014 ==−=≥xP ( ) %89,984 =≥xP

NOTA: ¿Menos de 5 vuelos se retrazaran más de una hora?

c) ( ) !49,9

!39,9

!29,9

!19,9

!09,9 9,949,939,929,919,90

4

−−−−−

≤ ++++= eeeeeP x

( ) 24480298,000808,000245,000049,000005,04 ++++=≤xP

( ) =++++=≤ 02001,000808,000245,000049,000005,04xP

( )4≤xP %11,303108,0 == ( ) %11,34 =≤xP

61. Solución:

0001,0=p 000.10=n ( ) 1000.100001,0 ==λ 5=X


34

( )( )

%31,0003065,0120

36788,01

!5

1 15

5 ====−

=e

P x ( ) %31,05 ==xP

62. Solución:

001,0=p 999,0=q ( ) 2000.2001,0 ==λ 000.2=n

a) ( ) ?3 ==xP !X

xx eP

−

= λ

( )( )

%04,1818045,06

0872,16

13534,08!3

2 23

3 =====−

=e

P x ( ) %04,183 ==xP

b) ( ) ?3 =≥xP 000.2.............,6,5,4,3=X También se puede plantear así:

( )

++−=

−−−

≥ !22

!12

!02

1222120

3eee

P x

( )( ) ( ) ( )

++−=≥ 213534,04

113534,02

113534,01

13xP

( ) [ ] =++−=≥ 27067,027067,013534,013xP

( ) =≥3xP %33,323233,06767,01 ==− ( ) %33,323 =≥xP

63. Solución:

a) ( )( )

%68,484868,0!04868,072,0 0

0 ====xP ( ) %68,480 ==xP

b) ( )( )

%05,3535049,0!14868,072,0 1

1 ====xP ( ) %05,351 ==xP

c) ( )( ) ( ) ==== 2

4868,05184,0

!2

4868,072,0 2

2xP

( ) ==2xP ( ) %62,12126178,04868,02592,0 == ( ) ==2xP %62,12


35

d) ( )( ) ( ) ==== 6

4868,03732,0

!3

4868,072,0 3

3xP

( ) ==3xP %03,3030278,06

181673,0 == ( ) %03,33 ==xP

64. Solución:

5,2== npλ !X

eP

x λλ −

=

a) ( )( )

%21,808208,01

08208,01!0

5,2 5,20

0 ====−

=e

P x ( ) %21,80 ==xP

b) ( )( )

%52,202052,0108208,05,2

!15,2 5,21

1 ====−

=e

P x ( ) %52,201 ==xP

c) ( )( )

%65,252565,0208208,05,2

!25,2 25,22

2 ====−

=e

P x ( ) %65,252 ==xP

d) ( )( )

%37,212137,0608208,05,2

!35,2 35,23

3 ====−

=e

P x ( ) %37,213 ==xP

65. Solución:

0004,0000.52 ==p ( ) 4,00004,0000.1 === npλ

Por lo menos 2 tengan problemas .........., ........,X 32 = 1.000


36

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %16,60616,09384,012681,06703,01

!14,0

!04,0

1

1

4,014,00

102

==−=+−=

+−=

+−=

−−

==≥

ee

PPP xxx

( ) %16,62 =≥xP

66. Solución:

0005,0000.21 ==p ( ) 30005,0000.6 ==λ

a) Más de 3 se incendien ..............,7,654 ,,X =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

%28,353528,06472,01

2240,02240,01494,00498,01

!33

!23

!13

!03

1

1

33323130

32104

==−=

+++−=

+++−=

+++−=

−−−−

====≥

eeee

PPPPP xxxxx

( ) %28,354 =≥xP

b) ( ) %40,222240,0!2

3 32

2 ===−

=e

P x ( ) %40,222 ==xP

67. Solución:

2=λ a) No más de 3 atracos


37

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

%71,858571,01804,02707,02707,01353,0

!32

!22

!12

!02 23222120

32103

==+++=

+++=

+++=

−−−−

====≤

eeee

PPPPP xxxxx

( ) %71,853 =≤xP

b) A lo más 2 atracos

( ) ( ) ( ) ( )

!2

2

!1

2

!0

2 222120

2102

−−−

===≤

++=

++=

eee

PPPP xxxx

%67,676767,02707,02707,01353,0 ==++= ( ) %67,672 =≤xP

68. Solución:

0001,0%01,0 ==p ( ) 10001,0000.10 ==λ Máximo 3 se accidentan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1 13121110

32103

−−−−

====≤

+++=

+++=

eeee

PPPPP xxxxx

%10,989810,00613,01839,03679,03679,0 ==+++= ( ) %10,983 =≤xP

69. Solución:

0024,0%24,0 ==p ( ) 6,30024,0500.1 ==λ


38

a) Dos o menos defectuosos

( ) ( ) ( ) ( )

!2

6,3

!1

6,3

!0

6,3 6,326,316,30

2102

−−−

===≤

++=

++=

eee

PPPP xxxx

%28,303028,01771,00984,00273,0 ==++= ( ) %28,302 =≤xP

b) Más de 2 defectuosos

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

++−=

++−=

−−−

===≥

!2

6,3

!1

6,3

!0

6,31

1

6,326,316,30

2103

eee

PPPP xxxx

[ ] %72,696972,03028,011771,00984,00273,01 ==−=++−= ( ) %72,693 =≥xP

70. Solución:

5semestreun en 10 =⇒= λλ en un trimestre

( ) ( ) ( ) ( )

%46,121246,00842,00337,00067,0

!25

!15

!05 525150

2102

==++=

++=

++=

−−−

===≤

eee

PPPP xxxx

( ) %46,122 =≤xP

71. Solución:


39

3=λ

a) Ninguna demanda 0=X

( ) %98,40498,0!0

3 30

0 ===−

=ePx ( ) %98,40 ==xP

b) Por lo menos 2 demandas ..........,5,4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %08,808008,01992,011494,00498,01

!13

!03

1

1

3130

102

==−=+−=

+−=

+−=

−−

==≥

ee

PPP xxx

( ) %08,802 =≥xP

72. Solución:

0005,0=p ( ) 4,00005,0800 ==λ a) Mínimo 3 equivocaciones ..........6,5,4,3=X

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %80,00080,09920,010536,02681,06703,01

1 2103

==−=++−=


( ) %80,02 =>xP

b) Máximo 2 equivocaciones 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %20,992102 =++= ===≤ xxxx PPPP ( ) %20,992 =≤xP

(Ver ejercicio anterior)


40

73. Solución:

003,0000.13 = ( ) 5,1003,0500 ==λ

a) Más de 2 mueran ...,5,4,3=X

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %12,198088,012510,03347,02231,01

!25,1

!15,1

!05,1

1

1

5,125,115,10

2103

=−=++−=

++−=

++−=

−−−

===≥

eee

PPPP xxxx

( ) %12,193 =≥xP

b) Como máximo dos mueran 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %88,808088,02102 ==++= ===≤ xxxx PPPP ( ) %88,802 =≤xP

74. Solución:

horapor 12=λ minutos diezen 2=λ a) Por lo menos 2 se acerquen ....4,3,2=X


41

( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

%40,595940,0

4060,012707,01353,01!1

2

!0

21

1

2120

102

==

=−=+−=

+−=

+−=

−−

==≥

ee

PPP xxx

( ) %40,592 =≥xP

b) No más de dos se acerquen al especialista

( ) ( ) ( ) ( )

%67,676767,02707,02707,01353,0

!22

!12

!02 222120

2102

==++=

++=

++=

−−−

===≤

eee

PPPP xxxx

( ) %67,672 =≤xP

75. Solución:

0001,0000.101 = 3)0001,0(000.30 ==λ

a) Por lo menos uno sufra reacción ,....4,3,2,1=X

( ) ( ) %02,959502,00498,01!0

311

30

01 ==−=

−=−=

−

=≥e

PP xx ( ) %02,951 =≥xP

b) Más de una sufra reacción ,....4,3,2=X


42

( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

%08,808008,0

1992,011494,00498,01

!13

!03

1

1

3130

102

==

−=+−=

+−=

+−=

−−

==≥

ee

PPP xxx

( ) %08,802 =≥xP

76. Solución:

minutos 2 cada llamadas20=λ a) Exactamente 4 llamadas en 30 segundos 5=λ

( ) %55,171755,0!4

5 54

4 ===−

=e

P x ( ) %55,174 ==xP

b) Como máximo dos en 15 segundos 5,2=λ 2,1,0=X

( ) ( ) ( ) ( )

%38,545438,02565,02052,00821,0

!25,2

!15,2

!05,2 5,225,215,20

2102

==++=

++=

++=

−−−

===≤

eee

PPPP xxxx

( ) %38,542 =≤xP

77. Solución:

horapor clientes8,6=λ a) Por lo menos uno en la primera media hora ....4,3,2,1=X


43

( ) ( )

%67,969667,00334,01

!0

4,31

1

4,30

01

==−=

−=

−=

−

=≥

e

PP xx

( ) %67,961 =≥xP

b) Ninguno en el primer cuarto de hora 71,λ = 0=X

( ) %27,181827,0!0

7,1 7,10

0 ===−

=e

P x

( ) %27,180 ==xP

c) Más de uno, en cualquier hora 8,6=λ ....4,3,2=X

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] %13,999913,00087,010076,00011,01

!18,6

!08,6

1

1

8,618,60

102

==−=+−=

+−=

+−=

−−

==≥

ee

PPP xxx

( ) %13,992 =≥xP

78. Solución:

minutos 30en 9=λ a) Por lo menos 4 en la primera media hora ....6,5,4=X


44

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

%88,979788,00212,01

0150,00050,00011,00001,01

!39

!29

!19

!09

1

1

93929190

32104

==−=

+++−=

+++−=

+++−=

−−−−

====≥

eeee

PPPPP xxxxx

( ) %88,974 =≥xP

b) Ninguno en los 10 primeros minutos 0=X 3=λ

( ) 98,40498,0!0

3 30

0 ===−

=e

P x % ( ) %98,40 ==xP

79. Solución:

año7,5=λ a) Ninguno en los 4 meses 037,5 == Xλ

( ) %96,141496,0!0

9,1 9,10

0 ===−

=e

P x ( ) %96,140 ==xP

b) Por lo menos 1 en el semestre 85,2=λ ...,4,3,2,1=X

( ) ( ) %22,940578,01!0

85,211

85,20

01 =−=−=−=−

=≥e

PP xx ( ) %22,941 =≥xP


45

HIPERGEOMETRICA 80. Solución: a) 15=N 6=A 5=n 2=X

( )( )( )

( ) %96,414196,0155

61525

62

2 ===−−

=xP ( ) %96,412 ==xP

b) 15=N 9=A 5=n 2=X

( )( )( )

( ) %98,232398,0155

91525

92

2 ===−−

=xP ( ) %98,232 ==xP

81. Solución:

12=N 4=A 3=n 0=X

( )( )( )

( ) %45,252545,0123

41203

40

0 ===−−

=xP ( ) %45,250 ==xP

82. Solución:

15=N 10=A 5=n a) A dos les guste 2=X

( )( )( )

( ) %99,141499,0155

101525

102

2 ===−−

=xP ( ) %99,142 ==xP

b) A dos no les guste 15=N 5=A 5=n 2=X

( )( )( )

( ) %96,393996,0155

51525

52

2 ===−−

=xP ( ) %96,392 ==xP


46

83. Solución:

25=N 6=A 4=n 2=X

( )( )( )

( ) %28,202028,0254

62524

62

2 ===−−

=xP ( ) %88,202 ==xP

(dos que no requieren ser ajustadas) 84. Solución:

40=N 35=A 5=n ....,4,3,2,1=X

( ) ( )( )( )

( )

%100199999,0

0000015,0111405

354005

350

01

=≅=

−=

−=−=

−−

=≥ xx PP

(por lo menos uno es economista) ( ) %1001 =≥xP

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Capítulo 7

Distribuciones muestrales


DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES

1. Solución:

( ) ?901,31,72 7,71 ==== <xPnσµ

( )22,1

1,349,94,0

901,3

1,727,71 −=−=−=−=n

xZ σ

µ

( )3888,022,1 AZ →−=

%12,111112,03888,05000,0 ==−=P

( ) %12,117,71 =<xP


2. Solución

( ) ?400000.18320.659 000.660 ==== >xPnσµ

( )76,0

000.1820680

400000.18

320.659000.660 ==−=Z

( )2764,076,0 AZ →=

2236,02764,05000,0 =−=P

( ) %36,22000.660 =>xP

3. Solución:

( ) ?25000.15500.864 500.857 ==== <xPnσµ

( )33,2

000.15

000.35

000.15

5000.7

25

000.15500.864500.857 −=−=−=−=Z

( )4901,033.2 AZ →−=

0099,04901,05000,0 =−=P

( ) %99,0500.857 =<xP

2


4. Solución:

( ) ?2558,242,167 168 ==== ≥xPnσµ

( )12,1

58,290,2

58,2558,0

2558,2

42,167168 ===−=Z

( )3686,012,1 AZ →=

1314,03686,05000,0 =−=P

( ) %14,13168 =≥xP

5. Solución:

361 =n

nnσσ =

132

n

σσ =

63

2

nσσ =

9 9=n

81=n

6. Solución:

21 nnK σσ =

21 nnK = 122 nnK =

7. Solución:

( ) ?2509,0000.23 500.22 ==== < σµ nP x

( ) 34,14100,0 −=→ ZA

( ) 25000.23500.2234,1 −=− σ

( ) ( )67,865.1

34,1

5500 =−

−=σ

3


67,865.1=σ

8. Solución:

( ) ( )250.125

2501500

21500

1

==+=∑=

nnx

ii

5,250500

250.125 ==Σ

=Nxiµ

(Ver propiedades de la sumatoria)

( ) ( ) ( ) ( )750.791.41

61000.1501500

6121500

1

2 =+

=++

=∑=

nnnX

ii

25,833.205,250500

750.791.41 222

2 =−=−Σ

= µσNX i

34,14425,833.20 ==σ

50,18716000.3 ==Σ=

nx

x i

( ) ?50,187 =>xP

( )75,1

34,14440,63

16

34,1445,2505,187 −=−=−=−=

n

xZ σ

µ

( )4599,075,1 AZ →−=

9599,04599,05000,0 =+=P ( ) %99,5950,187 =≥xP

OJO HACER CORRECCION EN LA GRÁFICA EN VEZ DE 251 ESCRIBIR 250,5

4


9. Solución:

37.7081

700.5 ==x

( )09,6

5,333,21

5,3937,2

815,3

6837,70 ===−=Z

( )5000,009,6 AZ →=

(Muy pequeña la probabilidad, ya que tiende a cero )

( ) 037,70 =>xP

10. Solución:

( ) ?8118170 175 ==== >xPnσµ

( )5,2

1845

1895

8118

170175 ===−=Z

( )4938,05,2 AZ →=

0062,04938,05000,0 =−=P ( ) %62,0175 =>xP

11. Solución:

( ) ?10030,002,5 10,5 ==== >xPnσµ

67,2

100

30,002,510,5 =−=−=

n

xZ σ

µ

( )4962,067,2 AZ →=

0038,04962,05000,0 =−=P

( ) %38,010,5 =>xP

5


12. Solución:

6=µ 75,043 ==σ 9=n

Si 5,55,6 << x Se suspende el procesoSi 5,65,5 << x Se deja tal y como está

a) Siendo µ = 6 ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

( )2

75,05,1

75,035,0

375,0

65,6 ===−=Z

( )2

75,05,1

75,035,0

375,0

65,5 −=−=−=−=Z

( )4772,02 AZ →= ; ( )4772,02 AZ →−=

( )4773,0 ;9544,04772,04772,0 Aó=+

%56,40456,09544,01 ==−=P ( ) %56,45,55,6 =≤≤ xP

b) Siendo 18,6=µ ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

( )28,1

75,096,0

75,0332,0

375,0

18,65,6 ===−=Z

( )72,2

75,004,2

75,0368,0

375,0

18,65,5 −=−=−=−=Z

( )3997,028,1 AZ →= ; ( )4967,072,2 AZ →−=

8964,04967,03997,0 =+=P

6


%36,101036,08964,01 ==−=P ( ) %36,105,55,6 =≤≤ xP

c) Siendo 4,6=µ ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

( )40,0

75,03,0

75,031,0

375,0

4,65,6 ===−=Z

( )60,3

75,07,2

75,039,0

375,0

4,65,5 −=−=−=−=Z

( )1554,040,0 AZ →= ; ( )4998,060,3 AZ →−=

%52,656552,04998,01554,0 ==+=P ( ) %52,655,65,5 =≤≤ xP

d) Siendo 8,5=µ ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

( )80,2

75,01,2

75,037,0

375,0

8,55,6 ===−=Z

( )20,1

75,09,0

75,033,0

375,0

8,55,5 −=−=−=−=Z

( )4974,080,2 AZ →= ; ( )3849,020,1 AZ →−=

%23,888823,03849,04974,0 ==+=P ( ) %23,885,65,5 =≤≤ xP

7


13. Solución:

( ) ?401,05,0 51,049,0 ==== << xPnσµ

( )2

01,0201,0

401,0

50,049,0 −=−=−=Z

( )2

01,0201,0

401,0

50,051,0 ==−=Z

( )4772,02 AZ →= ; ( ) ( )4773,0 4772,02 AóAZ →−=

9544,04772,04772,0 =+=P ( ) %44,9551,049,0 =<< xP

14. Solución:

( ) ?2511510120 115 ===== ≤xPnxσµ

( )5,2

1055

2510

120115 −=−=−=−=

n

xZ σ

µ

( )4938,05,2 AZ →−=

0062,04938,05000,0 =−=P

( ) %62,0115 =≤xP

15. Solución:

( ) 02,010?44 4 ===−=−=− >−µσµµ xPnxx

( ) 33,24900,0 =→ ZA

8


⇒=

10

433,2 σ ( )16,3433,2 =σ

( )42,5

33,216,34 ==σ 42,5=σ

16. Solución:

( ) ?3670900 925870 ==== << xPnσµ

( )57,2

70630

6370

900870 −=−=−=Z

( )14,2

70625

3670

900925 ==−=Z

( )4949,057,2 AZ →−= ; ( )4838,014,2 AZ →=

9787,04838,04949,0 =+=P ( ) %87,97925870 =<< xP

17. Solución:

( ) ?100500.1900.32 3,259.33 ==== >xPnσµ

( )40,2

500.1

593.3

500.1

103,359

100

500.1900.323,259.33 ===−=−=

n

xZ σ

µ

9


( )4918,040,2 AZ →=

0082,04918,05000,0 =−=P ( ) %82,03,259.33 =>xP

( ) 10082,050 ===npE Aproximadamente un restaurante 1=E

18. Solución:

( )82,2

80724,32

4980

58024,612 ==−=Z

( )4976,082,2 AZ →=

0024,04976,05000,0 =−=P ( ) %24,024,612 =>xP

19. Solución:

( ) ?3615,3 7,3 ==== >xPnσµ

( )20,1

162,0

361

5,37,3 ==−=−=

n

xZ σ

µ

( )3849,020,1 AZ →=

1151,03849,05000,0 =−=P ( ) %51,117,3 =>xP

20. Solución:

( ) ?2001800900.25 100.26 ==== >xPnσµ

( )57,1

18002828

180014,14200

2001800

900.25100.26 ===−=−=

n

xZ σ

µ

10


( )4418,057,1 AZ →=

0582,04418,05000,0 =−=P

( ) %82,5100.26 =≥xP

21. Solución:

( ) ?7536700.2361568 75 ====== >xPxnσµ

( )8,2

1576

3615

6875 ==−=Z

( )4974,08,2 AZ →=

0026,04974,05000,0 =−=P

( ) %26,075 =⟩xP

22. Solución:

36=n 60=x ó más se acepta 60<x se rechaza

a) ( ) ?359 60 === >xPσµ

2

363

5960 =−=Z

( )4773,02 AZ →=

0227,04773,05000,0 =−=P ( ) %27,260 =≥xP

11


b) ( ) ?35,60 60 === <xPσµ

1

363

5,6060 −=−=Z

( )3413,01 AZ →−=

1587,03413,05000,0 =−=P

( ) %87,1560 =<xP

23. Solución:

( ) 222.960 ?36000.520 000.630 ==== > σµ xPn

96,2

36960.222

000.520000.630 =−=Z

( )4985,096,2 AZ →=

0015,04985,05000,0 =−=P ( ) %15,0000.630 =≥xP

24. Solución:

( ) ?362144168 602 ===⇒== <xPnσσµ

22 441 puntaje=σ

29,2

3621

6860 −=−=Z

( )4890,029,2 AZ →−=

0110,04890,05000,0 =−=P

( ) %1,160 =<xP

12


25. Solución:

( ) ?25600.78000.400 000.440 ==== >xPnσµ

54,2

25600.78

000.400000.440 =−=Z

( )4945,054,2 AZ ⇒=

0055,04945,05000,0 =−=P

( ) %55,0000.440 =≥xP

26. Solución:

( ) ?161658 7050 ==== << xPnσµ

( )4987,000,3

1616

5870AZ ⇒=−=

( )4773,02

1616

5850AZ ⇒−=−=

9760,04773,04987,0 =+=P

( ) %60,977050 =≤≤ xP

27. Solución:

( ) ?25200.8000.240 000.237 ==== <xPnσµ

( )4664,083,1

25200.8

000.240000.237AZ ⇒−=−=

0336,04664,05000,0 =−=P

( ) %36,3000.237 =≤xP

13


28. Solución:

( ) ?2805,003,1 02,1 ==== >xPnlibras σµ

( )3554,006,1

28

05,003,102,1

AZ ⇒−=−=

8554,03554,0 5000,0 =+=P

( ) %54,8502,1 =>xP

29. Solución:

( ) ?49800.93000.226 000.206 ==== <xPnσµ

( )4319,049,1

49800.93

000.226000.206AZ ⇒−=−=

0681,04319,05000,0 =−=P

( ) %81,6000.206 =<xP

30. Solución:

( ) ( ) ?4050008,0000.17500.417 000.420 ===== >xPnσµ

( )3238,093,0

40000.17

500.417000.420AZ ⇒=−=

1762,03238,05000,0 =−=P

( ) %62,17000.420 =≥xP

14


31. Solución:

36500.5000.112 === nσµ

a) ( ) ?500.113 =>xP

( )4495,064,1

36500.5

000.112500.113AZ ⇒=−=

0505,04495,05000,0 =−=P ( ) %05,5500.113 =>xP

b) ( ) ?200.113500.111 =>> xP

( )2088,055,0

36500.5

000.112500.111AZ ⇒−=−=

( )4049,031,1

36500.5

000.112200.113AZ ⇒=−=

[ ] 3863,04049,02088,01 =+−= ( ) %63,38700.113500.111 =≥≥ xP

32. Solución:

( ) ?365,316 3,15 ==== <xPnσµ

15


( )3849,02,1

36

5,3163,15

AZ ⇒−=−=

1151,03849,05000,0 =−=P

( ) %51,113,15 =≤xP

33. Solución:

( ) ?362070 75 ==== >xPnσµ

( )4332,05,1

3620

7075AZ ⇒=−=

0668,04332,05000,0 =−=P

( ) %68,675 =≥xP

34. Solución:

( ) ?32825

200.82550500.2300 328

2 ======= >xPxnσσµ

( )4974,08,2

2550

300328AZ ⇒=−=

0026,04974,05000,0 =−=P

( ) %26,0328 =≥xP

35. Solución:

( ) ?1005 1 === >− µσ xPn

16


22

10051 −== yZ

( )4773,02 AZ ⇒=

0227,04773,05000,0 =−=P

( ) %54,40454,020227,0 == ( ) %54,41 =>− µxP

36. Solución:

( ) ?208 4 === >− µσ xPn

24,224,2

2084 −== yZ

( )4875,024,2 AZ ⇒=

[ ] %50,20250,04875,04875,01 ==+−= ( ) %50,24 =>− µxP

37. Solución:

( ) ?144120400.14700 6802 ===⇒== ≤xPnσσµ

( )4773,02

144120

700680AZ ⇒−=−=

%27,20227,04773,05000,0 ==−=P

( ) %27,2680 =≤xP

38. Solución:

( ) ?3617,25210,8 5,7 ===== <xPnmesesdíasymeses σσµ

17


díasymesesx 157= mesesx 5,7=

( )4515,066,1

36

17,210,85,7

AZ ⇒−=−=

%85,40485,04515,05000,0 ==−=P

( ) %85,45,7 =<xP

DISTRIBUCIONES DE MEDIAS PROPORCIONALES

39. Solución:

100%65 == np

a) ( ) ?%68 =<pP

( ) ( )63,0

002275,0

03,0

1002275,0

03,0

10035,065,0

65,068,0 ===−=−=

nPQ

PpZ

( )2357,063,0 AZ →=

7357,02357,05000,0 =+=P

18


( ) %57,73%68 =<pP

b) ( ) ?%5,66%5,65 =<< pP ( )( )066 ==pPqueya

31,00477,0015,0

002275,0

65,0665,0 ==−=−=

nPQ

PpZ

11,00477,0005,0

002275,0

65,0655,0 ==−=−=

nPQ

PpZ

( )1217,031,0 AZ →= ; ( )0438,011,0 AZ →=

0779,00438,01217,0 =−=P

( ) %79,7%5,66%5,65 =<< pP

40. Solución:

( ) ?40001,0 02,0 === >pPnP

( )01,2

40099,001,0

01,002,0 =−=−=

nPQ

PpZ

( )4778,001,2 AZ →=

0222,04778,05000,0 =−=P ( ) %22,202,0 =>pP

41. Solución:

Nota: En variables discretas se puede aplicar el factor de corrección

n2

1 para una mejor

aproximación a la normal.

19


( ) ?40004,0 05,0 === ≥pPnP

Fórmula general: Fórmula corregida:

nPQ

PpZ

−=

nPQ

Pn

pZ

−

−= 2

1

( ) 00125,0800

140021 ==

( )( ) ( )

90,00097,000875,0

000096,0

00875,0

40096,004,0

04,000125,005,0 ===−−=Z

( )3159,090,0 AZ →=

1841,03159,05000,0 =−=P ( ) %41,1805,0 =≥pP

42. Solución:

( ) ?40046,0 50,0 === >pPnP

a) Sin corregir:

( ) ( )14,1

0352,0040,0

20054,046,0

46,050,0 ==−=−=

nPQ

PpZ

( )3729,014,1 AZ →=

20


1271,03729,05000,0 =−=P ( ) %71,1250,0 =>pP

b) Corregido:

( )( ) ( )

06,1

20054,046,0

46,00025,050,021

=−−=−

−

=

nPQ

Pn

pZ

( )3554,006,1 AZ →=

%46,141446,03554,05000,0 ==−=P ( ) %46,1450,0 =≥pP

43. Solución:

( ) ?20017,0 20,0 === ≥pPnP

( ) ( )13,1

000705,003,0

20083,017,0

17,020,0 ==−=Z

( )3708,013,1 AZ →=

1292,03708,05000,0 =−=P ( ) %92,1220,0 =≥pP

44. Solución:

21


a) Planteamiento mediante la Distribución binomial

( ) 50,050,0200?12080 ====≤≤ qpnP x

( ) ( ) ( ) ( )80120200120

1208020080 5,05,0..............5,05,0 CCP +=

b) Distribución normal

( ) ( ) 1005,0200?5,1205,79 ====<< npP x µ

( ) ( ) 07,7505,05,0200 ==== npqσ

9,207,7

5,2007,7

1005,79 −=−=−=−= σµX

Z

9,207,7

5,20

07,7

1005,120

07,7==−=−= µX

Z

( )4981,09,2 AZ →−= ; ( )4981,09,2 AZ →=

( ) %62,999962,04981,04981,05,1205,79 ==+=<< xP

( ) %62,995,1205,79 =≤≤ xP

c) Distribución de proporciones (corregido)

( ) 200?50,0 6,04,0 === << nPP p

( )( ) ( )

90,203535,0

1025,0

2005,05,0

50,00025,04,021

−=−=−−=−

−

=

nPQ

Pn

pZ

( )( ) ( )

90,203535,01025,0

2005,05,0

5,00025,06,021

==−+=−

−

=

nPQ

Pn

pZ

22


( )4981,090,2 AZ →−=

( )4981,090,2 AZ →=

9962,04981,04981,0 =+=P

( ) %62,9960,040,0 =<< pP

d) Sin corrección:

( ) ( )83,2

00125,0

10,0

2005,05,0

5,04,0 −=−=−=−=

nPQ

PpZ

( ) ( )83,2

00125,010,0

2005,05,0

5,06,0 ==−=−=

nPQ

PpZ

( )4977,083,2 AZ →=

9954,04977,04977,0 =+=P

( ) %54,996,04,0 =≤≤ pP

45. Solución:

( ) ?22,036

875,025,0 22,0 ===== <pPpQP

( )( )1664,043,0

36

78,022,0

25,022,0AZ ⇒−=

−=

3336,01664,05000,0 =−=P

( ) %36,3322,0 =<pP

23


46. Solución:

( ) ?4010,09,0 08,0 ==== >− PpPnQP

( )69,169,1

401,09,0

90,098,0 −=−= yZ

( )69,169,1

401,09,0

08,0 −== yZ

( )4545,069,1 AZ ⇒−=

[ ] %1,9091,04545,04545,01 ==+−=

( ) %1,908,0 =>− PpP

47. Solución:

( ) ?6490,0 95,0 === >pPnP

( )( )4082,033,1

6410,09,0

9,095,0AZ ⇒=−=

0918,04082,05000,0 =−=P ( ) %18,995,0 =≥pP

48. Solución:

24


( ) ?10020,0 25,0 === <pPnP

( )( )3944,025,1

1008,02,0

20,025,0AZ ⇒=−=

8944,03944,05000,0 =+=P

( ) %44,8925,0 =≤pP

49. Solución:

( ) ?3670,0 %50 === >pPnP

( )( )4956,062,2

363,07,0

7,05,0AZ ⇒−=−=

9956,04956,05000,0 =+=P

( ) %56,9950,0 =≥pP

50. Solución:

( ) ?15,04064007,0 15,0 ===== >pPpnP

( )( )4762,098,1

4093,007,0

07,015,0AZ ⇒=−=

25


0238,04762,05000,0 =−=P

( ) %38,215,0 =≥pP

51. Solución:

( ) ?28,01504215025,0 28,0 ===== >pPpnP

( )( )3023,085,0

15075,025,0

25,028,0AZ ⇒=−=

1977,03023,05000,0 =−=P

( ) %77,1928,0 =≥pP

52. Solución:

( ) ?27,015040150

31

27,0 ===== <pPpnP

( )( )4406,056,1

15067,033,0

33,027,0AZ ⇒−=−=

0594,04406,05000,0 =−=P

( ) %94,527,0 =≤pP

26


53. Solución:

( ) ?08,02001620010,0 08,0 ===== <pPpnP

( )( )3264,094,0

20090,010,0

10,008,0AZ ⇒−=−=

1736,03264,05000,0 =−=P

( ) %36,1708,0 =≤pP

54. Solución:

NOTA: Por equivocación se resolvió pensando que la pregunta era del 56% que usen menos la corbata. Sin embargo, de acuerdo con el enunciado se puede resolver de dos (2) formas diferentes:

(1) P = 0,70 ; n = 64 y P(p≤0,44). La otra forma sería: (2) P = 0,30 ; n = 64 y P(p≤0,56). Por lo tanto las gráficas son diferentes y los resultados deben ser iguales.

Si se quiere modificar todo el desarrollo quedaría así:

( )56,06430,0 <== pPnP

( )( )5000,0.543,4

647,06,0

30,056,0AaproxZ ⇒−=−=

( ) menteaproximadaP p %10056,0 =≤

27


( ) ?6470,0 56,0 === <pPnP

( )( )4927,044,2

643,07,0

70,056,0AZ ⇒−=−=

0073,04927,05000,0 =−=P

( ) %73,056,0 =≤pP

55. Solución:

( ) ?36%74 %82 === >pPnP

( )( )3621,009,1

3626,074,0

74,082,0AZ ⇒=−=

1379,03621,05000,0 =−=P

( ) %79,1382,0 =≥pP

56. Solución:

( ) ( ) 76,02750,0%5,223610,0 ? =⇒=== < ZAPnP p

( )10,0

369,01,0

76,0 −= p

( )36

9,01,076,010,0 +=p

138,0038,010,0 =+=p

%8,13=p

57. Solución:

28


( ) ?10065,0 68,0 === >pPnP

( )( )2357,063,0

10035,065,0

65,068,0AZ ⇒=−=

2643,02357,05000,0 =−=P

( ) %43,2668,0 =≥pP

58. Solución:

( ) ?40015,0 20,0 === >pPnP

( )( )4974,080,2

40085,015,0

15,020,0AZ ⇒=−=

0026,04974,05000,0 =−=P

( ) %26,020,0 =≥pP

59. Solución:

( ) ?8015,0 20,0 === >pPnP

( )( )3944,025,1

8085,015,0

15,020,0AZ ⇒=−=

1056,03944,05000,0 =−=P

( ) %56,1020,0 =>pP

60. Solución:

29


( ) ?10055,0 %49 === <pPnP

( )( )3849,020,1

100

45,055,0

55,049,0AZ ⇒−=−=

1151,03849,05000,0 =−=P

( ) %51,1149,0 =≤pP

Nota: Podría haberse tomado a 5000,04999,0 <=p

61. Solución:

( ) ?5040,0 25,0 === >pPnP

( )( )4846,017,2

506,04,0

40,025,0AZ ⇒−=−=

9846,04846,05000,0 =+=P

( ) %46,9825,0 =≥pP

62. Solución:

( ) ?73,0000.1

73068,0000.1

680000.170,0 73,068,0 ======= << pPppnP

( )( )4808,007,2

000.130,070,0

70,073,0AZ ⇒=−=

30


( )( )4162,038,1

000.13,07,0

70,068,0AZ ⇒−=−=

8970,04808,04162,0 =+=P ( ) %70,8973,068,0 =≤≤ pP

63. Solución:

( ) ?12,01001210014,0

507

12,0 ====== <pPpnP

( )( )2190,058,0

10086,014,0

14,012,0AZ ⇒−=−=

2810,02190,05000,0 =−=P

( ) %10,2812,0 =≤pP

64. Solución:

( ) ( ) 31,01200,0%623610,0 ? =→=== < ZAPnP p

( )( )

10,036

9,01,031,0

369,01,0

10,031,0 −=⇒−= p

p

( )1155,00155,010,0

369,01,0

31,010,0 =+=+=p

%12%55,11 ≅=p %1212,0 ==p

31


65. Solución:

( ) ?05,03001530003,0 05,0 ===== >pPpnP

( )( )4788,003,2

30097,003,0

03,005,0AZ ⇒=−=

0212,04788,05000,0 =−=P

( ) %12,205,0 =≥pP

66. Solución:

( ) ?08,02001620010,0 08,0 ===== >pPpnP

( )( )3264,094,0

2009,010,0

10,008,0AZ ⇒−=−=

8264,05000,03264,0 =+=P

( ) %64,8208,0 =≥pP

67. Solución:

32


( ) ?49%80 90,07,0 === >> pPnP

( )75,175,1

4920,08,0

80,090,0 −=−= yZ

( )4599,075,1 AZ ⇒=

[ ] =+−= 4599,04599,010802,09198,01 =−

( ) %02,890,07,0 =>> pP

( ) %02,8101,0 =>− ppP

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

68. Solución:

( ) ?64642,74,60 6,021 ======−= >− yxyxyxyx Pnnσσµµµµ

50,0204,1

6,0

45,1

6,0

6484,51

6496,40

06,0 ===+

−=Z

50,045,1

6,0

6484,51

6496,40

06,0 −=−=+

−−=Z

( )1915,050,0 AZ →= ; 3830,01915,01915,0 =+=P

( )1915,050,0 AZ →−= ; 6170,03830,01 =−=P

ó 6170,03085,03085,0 =+=P ( ) %70,616,0 =>− yxP

69. Solución:

33


( ) ?9105,562520 021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ

( )90,1

96,65

36,36,35

925,30

1036

25200 ==+

=+

−−=Z

( )4713,090,1 AZ →=

0287,04713,05000,0 =−=P

( ) %87,20 =>− yxP

70. Solución:

( ) ?202518156050 021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ

( )99,1

2,2510

2,16910

20324

25225

60500 ==+

=+

−−=Z

( )4767,099,1 AZ →=

0233,04767,05000,0 =−=P

( ) %33,20 =>− yxP

34


71. Solución:

( ) ?4070850980300.4000.4 30021 ======= ≥− yxyxyx Pnnσσµµ

( )37,3

28,178600

40500.722

70400.960

300300 ==+

−−=Z

( )4996,037,3 AZ →=

( ) %04,0300 =>− yxP (Se aproxima a cero)

72. Solución:

( ) ?100100500.52500.31000.925000.920 510.1221 ======= −>− yxyxyx Pnnσσµµ

( )22,1

000.485.37

510.7

100

000.250.756.2

100

000.250.992

000.925000.920510.12−=−=

+

−−−=Z

( )3888,022,1 AZ →−=

1112,03888,05000,0 =−=P

( ) %12,11510.12 =−>− yxP

73. Solución:

35


( ) ?10010010090450.1500.1 4021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ

( )74,0

45,13

10

100

100

100

90

450.1500.14022

−=−=+

−−=Z

( )2704,074,0 AZ ⇒−=

7704,02704,05000,0 =+=P

( ) %04,7740 =≥− yxP

74. Solución:

000.10000.40200.1400.1 22 ==== yxyx σσµµ

125125100200 21 ==== nnxx σσ

a) ( ) ?160 =>− yxP

22040

125000.10

125000.40

200160 −=−=+

−=Z

( )4773,02 AZ ⇒−=

9773,04773,05000,0 =+=P ( ) %73,97160 =≥− yxP

b) ( ) ?250 =>− yxP

5,22050

125000.10

125000.40

200250 ==+

−=Z

( )4938,05,2 AZ ⇒=

36


0062,04938,05000,0 =−=P ( ) %62,0250 =≥− yxP

75. Solución:

horas2=xµ minutos40conhora1=yµ hora67,1=yµ

minutos40=xσ hora67,0=xσ minutos32=yσhoras53,0=yσ

281 =n 302 =n ( ) ?0 =>− yxP

( )08,2

159,033,0

3053,0

2867,0

67,12022

−=−=+

−−=Z

( )4812,008,2 AZ ⇒−=

9812,04812,05000,0 =+=P

( ) %12,980 =≥− yxP

76. Solución:

100100685051 21 ====== nnyxyx σσµµ

a) ( ) ?6,0 =>− yxP

( ) ( )1554,04,00,14,0

1006

1008

50516,022

AZ ⇒−=−=+

−−=

37


6554,01554,05000,0 =+=P

( ) %54,656,0 =≥− yxP

b) ( ) ?6,0 =−>− yxP

( )4452,06,10,16,1

0,116,0

AZ ⇒−=−=−−=

0548,04452,05000,0 =−=P

( ) %48,56,0 =−≥− yxP

77. Solución:

( ) ?18181,148,135,356,38 221 ======= −>− yxyxyx Pnnσσµµ

( )10,1

65,4

10,5

18

1,14

18

8,13

5,356,38222

−=−=

+

−−−=Z

( )3643,010,1 AZ ⇒−=

1357,03643,05000,0 =−=P

( ) %57,132 =−≥− yxP

78. Solución:

horas75,1minutos45conhora1horas2 =⇒== yyx µµµ

( ) ?30horas33,06020horas5,0

6030

021 ======= <− yxyx Pnnσσ

( )29,2

109,025,0

3033,0

3050,0

75,12022

−=−=+

−−=Z

38


( )4890,029,2 AZ ⇒−=

011,04890,05000,0 =−=P

( ) %1,10 =<− yxP

79. Solución:

( ) ?2020463034 021 ======= <− yxyxyx Pnnσσµµ

( ) ( )4934,048,261,14

2016

2036

30340AZ ⇒−=−=

+

−−=

0066,04934,05000,0 =−=P

( ) %66,00 =<− yxP

80. Solución:

( ) ?100125180200400.2600.2 15021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ

39


( )4756,097,138,25

50

100

180

125

200

20015022

AZ ⇒−=−=

+

−=

( )5000,079,1338,25

200150AZ ⇒−=−−=

9796,004796,05000,0 =++=P ( ) %96,97150 =>− yxP

81. Solución:

( ) ?100100gramos502525gramos25 221 ======−=−= >− yxyxyxx Pnnσσµµµ

( )82,282,2

71,02

10025

10025

02 −==+

−= yZ

( )4976,082,2 AZ ⇒=

[ ] 0048,04976,04976,01 =+−

( ) %48,02 =>− yxP

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES

82. Solución:

( ) ?10015033,025,0 02121 21===== ≥− ppPnnPP

40


( )( ) ( )

( )4131,036,1

100

67,033,0

150

75,025,0

33,025,00AZ ⇒=

+

−−=

0869,04131,05000,0 =−=P

( ) %69,8021=≥− ppP

83. Solución:

( ) ?20020015,017,0 03,02121 21===== >− ppPnnPP

( )( ) ( )

27,0037,001,0

20085,015,0

20083,017,0

15,017,003,0 ==+

−−=Z

( )1064,027,0 AZ ⇒=

35,1037,0

05,0037,0

02,003,0 −=−=−−=Z

( )4115,035,1 AZ ⇒−=

4821,03936,00885,0 =+=P

( ) %21,4803,021=>− ppP

84. Solución:

41


( ) ?20020065,065,0 10,02121 21===== >− ppPnnPP

( ) ( )10,210,2

20035,065,0

20035,065,0

010,0 −=+

−= yZ

( )4821,010,2 AZ ⇒=

[ ] 0358,04821,04821,01 =+−=

( ) %58,310,021=>− ppP

85. Solución:

( ) ( ) ?100150%38%28 02121 2121====== >−> pppp PPnnPP

( )( ) ( )

64,1

10062,038,0

15072,028,0

38,028,00 =+

−−=Z

( )4495,064,1 AZ ⇒=

0505,04495,05000,0 =−=P

( ) %05,5021=≥− ppP

86. Solución:

15015072,072,0 2121 ==== nnPP

42


a) ( ) ?06,021=>− ppP

( ) ( )16,116,1

15028,072,0

15028,072,0

006,0 −=+

−= yZ

( )3770,016,1 AZ ⇒=

[ ] 2460,03770,03770,01 =+−=

( ) %60,2406,021=≥− ppP

b) ( ) ( ) ?05,0 05,02121=== −≥−< pppp PP

97,00518,0

005,0 −=−−=Z

( )3340,097,0 AZ ⇒−=

1660,03340,05000,0 =−=P

( ) %60,1605,021=−>− ppP

87. Solución:

1008015,012,0 2121 ==== nnPP

a) ( ) ?03,021=>− ppP

43


( )( ) ( )

18,10509,0

06,0

10085,015,0

8088,012,0

15,012,003,0 ==+

−−=Z

( ) ( )5000,000509,0

03,003,0AZ ⇒=−−−=

( )3810,018,1 AZ ⇒=

( ) ( ) 1190,03810,05000,0 =− AA

6190,01190,05000,0 =+=P

( ) %90,6103,021=>− ppP

b) ( ) ( ) ?02121== >−> pppp PP

59,00509,0

03,00 =+=Z

( )2224,059,0 AZ ⇒=

2776,02224,05000,0 =−=P ( ) %76,27021=>− ppP

88. Solución:

10010020,025,0 2121 ==== nnPP

a) ( ) ( ) ( ) ?03,02121=== −>−<> ppppAB PPP

( )( ) ( )

36,10589,0

08,0

1008,02,0

10075,025,0

20,025,003,0 −=−=+

−−−=Z

( )4131,036,1 AZ ⇒−=

0869,04131,05000,0 =−=P ( ) %69,803,021=−≥− ppP

44


b) ( ) ( ) ?03,021== >−> ppBA PP

( )34,0

0589,002,0

0589,020,025,003,0 −=−=−−=Z

( )1331,034,0 AZ ⇒−=

6331,01331,05000,0 =+=P

( ) %31,6303,021=≥− ppP

89. Solución:

( ) ?363650,050,010050

22,02121 21====== >− ppPnnPP

( ) ( )87,187,1

1179,022,0

365,05,0

365,05,0

022,0 −==+

−= yZ

( )4693,087,1 AZ ⇒= ; ( )4693,087,1 AZ ⇒−=

[ ] 0614,09386,014693,04693,01 =−=−−=

( ) %14,622,021=≥− ppP

90. Solución:

45


( ) ?40040012,008,0 03,02121 21===== ⟨− ppPnnPP

( )( ) ( )

33,3021,0070,0

40088,012,0

4005,008,0

12,008,003,0 ==+

−−=Z

( )48,0

021,0010,0

021,012,008,003,0 ==−−−=Z

( )4996,033,3 AZ ⇒= ; ( )1844,048,0 AZ ⇒=

3152,01844,04996,0 =−=P

( ) %52,3103,021=≤− ppP

TAMAÑO DE MUESTRA M.A.S.

91. Solución:

?000.30%95000.5000.10 ===== nPEN σ

222

22

)1( σσ

ZEN

ZNn

+−=

46


( ) ( )( ) ( )

personas13742,136000.3096,1000.51000.10

000.3096,1000.10222

22

≅=+−

=n

personas137=n

92. Solución:

000.896,1300?36,0 ===== NZnEP

1−−=

NnN

nQP

ZE

( )1000.8

300000.8300

64,036,096,1 −

−=E

0532,0=E (Error) %32,5=E

93. Solución:

96,1000.5%3 === ZNE ; Como no se conoce P, se tiene que 50,0=P

( ) PQZEN

QPZNn 22

2

1 +−=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 880

5,05,096,103,01000.5

50,050,096,1000.522

2

=+−

=n mujeres casadas 880=n

mujeres casadas

94. Solución:

000.18=σ

a) 57,2000.3? === ZEn

47


2

2

22

==

EZ

E

Zn

σσ

23878,237000.3

000.1857,22

≅=

×=n estudiantes universitarios

b) Siendo 000.12=N ¿cuál es el valor de n?

78,2371

2

22

00

0 ==⇒+

=E

Zn

Nn

nn

σ

23416,233

000.1278,2371

78,237 ≅=+

=n estudiantes universitarios

c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios.

95. Solución:

estrabajador600.370preliminar == Nn

a) 22 4,267,060

40minutos40 horashorasxx?n ===→== σ

( ) 0335,067,005,0%596,1 ==→== ExdeEZ

( ) ( )( ) ( ) 35,503.2

4,296,10335,01600.3

4,296,1600.322

2

=+−

=n

504.2=n trabajadores

b) %10600.396,163,07044 ===== ENZP

48


( ) PQZEN

PQZNn 22

2

1 +−=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 40,87

37,063,096,110,01600.3

37,063,096,1600.322

2

=+−

=n

estrabajadorn 8840,87 ==

c)

( ) 600.396,114,4286,84205,086,84270000.59 ====== NZEx

325=S

( ) ( )( ) ( ) 92,214

32596,114,421600.3

32596,1600.3222

22

=+−

=n

estrabajadorn 215=

Se toma el mayor valor de los n calculados, es este caso el tamaño muestral para la investigación es de 215 trabajadores.

96. Solución:

2%5,9503,060,0 ===== ZPEP

a) 2

2

E

PQZn =

( ) ( )067.167,066.1

03,04,06,02

2

2

≅==n familias con vehículo propio

b) R/ aumenta el tamaño de la muestra (es el valor máximo de n)

49


( ) ( ) ( ) ( )112.111,111.1

350502

03,05,05,02

2

2

2

2

====n familias con carro propio

Si P = 90 el valor de n se reduce

( ) ( ) ( ) ( )400

3

10902

03,0

1,09,022

2

2

2

===n familias con carro propio

c)96486,963

000.1067,066.11

67,066.1

1 0

0 ≅=+

=+

=

Nn

nn

familias con carro propio

97. Solución:

%85000.2024,2%5,9703,0 ===⇒== PNZPE

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 68746,686

15,085,024,203,01000.20

15,085,024,2000.2022

2

==+−

=n artículos

98. Solución:

57,2%7?20,0 ==== ZEnP

( ) ( ) ( ) ( )21667,215

7

802057,2

07,0

8,02,057,22

2

2

2

≅===n personas adultas

99. Solución:

65,164,12?12365 óZEnN ===== σ

( ) ( )( ) ( ) 7769,76

1264,121365

1236564,1222

22

==+−

=n días

50


100. Solución:

2%5,95955,0045,01045,0000.5 =⇒==−⇒= ZderiesgoE

?000.28 == nσ

( )12644,125

000.5

000.2822

22

≅==n familias de clase media de un barrio

101. Solución:

200.3?2%5,95%4 ===⇒== NnZPE

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 52401,523

5,05,0204,01200.3

50,050,02200.322

2

≅=+−

=n estudiantes de cierta

universidad privada

102. Solución:

50,0000.10%257,2 ==== PNEZ (dado que no se conoce P)

( ) ( ) ( ) ( )06,128.4

2

505057,2

02,0

5,05,057,22

2

2

2

0 ===n

922.289,921.2

000.1006,128.41

06,128.4

1 0

0 ≅=+

=+

=

Nn

nn

elementos

103. Solución:

90,096,1 10,0 2 === σZlitrosE consumo de oxígeno, litros por minuto2

( )34674,345

10,0

90,096,12

2

≅==n estudiantes entre 17 y 21 años

51


104. Solución:

1057,2500.1 === EZN minutos ( ) 700.1125,36022 ==σ minutos2

( ) ( )( ) ( ) 51124,510

700.1157,2101500.1

700.1157,2500.122

2

≅=+−

=n empleados

105. Solución:

2000.3?000.30500.12 ===== ZEnsN

( ) ( )( ) ( ) 38863,387

000.302000.31500.12

000.302500.12222

22

==+−

=n hogares en una ciudad

106. Solución:

96,112,072,0? ==== ZEPn

( ) ( ) ( ) ( )5478,53

12

287296,1

12,0

28,072,096,12

2

2

2

≅===n ciudadanos

107. Solución:

a) 50,096,105,0? ==== PZEn

( ) ( ) ( ) ( )385

5

505096,1

05,0

5,05,096,12

2

2

2

===n reses

b)( ) ( ) ( ) ( )

31079,3095

722896,1

05,0

72,028,096,12

2

2

2

≅===n reses

52


c) 02,0000.2 == EN P = 0,50

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 092.136,091.15,05,096,102,01000.2

5,05,096,1000.222

2

≅=+−

=n reses

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 98503,984

5,05,096,102,01000.2

72,028,096,1000.222

2

==+−

=n reses

108. Solución:

30,064,190,004,0? ==⇒=== PZPEn

( ) ( ) ( ) ( )35401,353

4

703064,1

04,0

7,03,064,12

2

2

2

≅===n hogares

109. Solución:

a) 20,096,103,0? ==== PZEn

( ) ( ) ( ) ( )68395,682

3

802096,1

03,0

8,02,096,12

2

2

2

≅===n alumnos

b)61416,613

000.695,6821

95,682

1 0

0 ≅=+

=+

=

Nn

nn

alumnos

110. Solución:

2002096,13 ==== NhorassZhorasE

( ) ( )( ) ( ) 9336,92

2096,131200

2020096,1222

22

==+−

=n supervisores

essupervisor93=n

53


111. Solución:

a) 000.13$ 96,1400.2$? ==== sZEn

( )11371,112

400.2

000.1396,12

22

===n familias de un barrio de la ciudad

b)10403,103

200.171,1121

71,112

1 0

0 ≅=+

=+

=

Nn

nn

familias de un barrio de la ciudad

familiasn 113=

112. Solución:

( ) 57,2980.290003,0000.30000.2 ===== ZEN σ

( ) ( )( ) ( )

7092,69980.257,29001000.2

980.257,2000.2222

22

==+−

=n

riosuniversitaprofesores70=n

113. Solución:

000.88?2000.22 ==== σnZE

( )64

000.22

000.8822

22

==n

familiasn 64=

114. Solución:

54


35,340

134 ==∑=n

nyy ii

( )44,2

140

35,340544 22 =

−−=s

( ) 17,035,305,0%596,1000.4 ===== EEZN

( ) ( )( ) ( ) 301

44,296,117,01000.4

44,296,1000.422

2

=+−

=n

nesexplotacio301=n

115. Solución:

53,13046 ==∑=

nny

y ii

( )22,3

13053,130164 2

2 =−−=s piezas con caries2

%52800.7 === EZN

a) Estimación del promedio ( ) 08,053,105,0 ==E

iy in iiny ii ny2

1 1 1 12 17 34 683 5 15 454 7 28 1125 5 25 1256 4 24 1447 1 7 49Σ 40 134 544

iy in iiny ii ny2

0 10 0 01 9 9 92 5 10 203 2 6 184 2 8 325 0 0 06 1 6 367 1 7 49Σ 30 46 164

55


( ) ( )( ) ( ) ( ) 600.1

22,3208,01800.7

22,32800.722

2

=+−

=n estudiantes matriculados

b) Proporción → son 20 estudiantes con caries

67,03020 ==p

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 33945,338

33,067,0205,01800.7

33,067,02800.722

2

==+−

=n

estudiantes

Nota: se toma como n el mayor valor, en este caso 600.1=n estudiantes matriculados

116. Solución:

a) Promedio de personas por familia 76,31764 ==Σ=

nx

x i

( )23,2

11776,317276 2

2 =−

−=s

%596,1200.1 === EZN ( ) ( ) 188,076,305,005,0 === xE

( ) ( )( ) ( ) ( ) 20279,201

23,296,1188,01200.1

23,296,1200.122

2

==+−

=n familias

b) Proporción de familias con suscripción: son 35,01766 ==⇒ p %5=E

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 27189,270

65,035,096,105,01200.1

65,035,096,1200.122

2

==+−

=n familias

56


117. Solución:

cuentasnnEZP piloto 30?%596,1%95 ====→=

a) Proporción de cuentas que indican gastos de trabajo 40,03012 ==p

( ) ( ) ( ) ( )36979,368

5

604096,1

05,0

6,04,096,12

2

2

2

====n cuentas

b) ( ) 22 000.20000.905,0000.180000.18030

000.400.5 ===== sEx

pesos2

( ) ( )19

000.9000.2096,1

000.9000.2096,1 2

2

22

=

==n Cuentas

Nota: se selecciona, el primer resultado (n = 369) por ser el más alto. En este ejercicio no se conoce el tamaño poblacional.

118. Solución:

a) Promedio de alumnos por colegio 88,499100

988.44 ==Σ=nx

x i

03,600.11288,499100

004.248.36 22 =−=s

96,1%95680.4 =→== ZPN ( ) 99,3988,49908,0 ==E

( ) ( )( ) ( ) ( ) 25676,255

03,600.11296,199,391680.4

03,600.11296,1680.422

2

≅=+−

=n planteles

b) Proporción de colegios privados 46,010046 ==p

57


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 14553,144

54,046,096,108,01680.4

54,046,096,1680.422

2

≅=+−

=n planteles

119. Solución:

a) ?000.20$96,1000.44$ ==== nEZs

( ) ( )( )

19000.20

000.4496,12

22

==n cuentas cuentasn 19=

b) ?000.30$96,1000.44$ ==== nEZs

( ) ( )( ) 9

000.30

000.4496,12

22

==n cuentas

cuentasn 9=

120. Solución:

)5,0(50,057,202,0000.30 conocesenoqueyatomasePZEN ====

?=n

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 629.3

50,050,057,202,0000.30

50,050,057,2000.3022

2

=+

=n

casadeamasn 629.3=

121. Solución:

? 1443365 22 ==== ndiariosaccidentesEN σ

58


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 39

14464,13365

14436564,122

2

=+

=n días díasn 39=

122. Solución:

( ) ?80pesos500.20 222 === nn pσ

a) ?96,1400.2 === nZE

( ) ( )( ) 288

80

21

400.2

500.2096,12

22

=

+

=n familias

familiasn 288=

b) ?000.2 == nN

252

000.2

2881

288 =+

=n familias

familiasn 252=

123. Solución:

iónsignificacdenivelRiesgoE :000.80000.20 == σ

9550,0045,01 =−=P 2%5,95 =⇒= ZP

( ) ( )( ) 64

000.20

000.8022

22

==n

mediaclasedefamiliasn 64=

59


124. Solución:

?)(50,02045,005,0 ===⇒== nconocesenoPZRiesgoE

( ) ( ) ( )( ) 400

05,0

50,050,022

2

==n sestudianten 400=

125. Solución:

?96,1ventas000.2580628 22 ===== nZEN σ

( ) ( ) ( )( ) ( ) 15

000.2596,180628

000.2562896,122

2

=+

=n

esrepartidorcaminones15=n

126. Solución:

64,1000.4 == ZN

a)45,05,0%65%4502,0 =⇒== PcasoesteenacercanomáseltomaseoPE

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) viviendasn 176.1

55,045,064,102,04000

55,045,064,1400022

2

=+

=

b)10,050,0%10%501,0 =⇒== PcasoesteenacercanomáseltomaseoPE

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) viviendasn 509.1

90,010,064,101,04000

90,010,064,1400022

2

=+

=

Se toma n = 1.509 viviendas por ser el mayor valor obtenido para n.

127. Solución:

a) ?96,1horas;100horas; 25 ==== nZE σ

60


( ) ( )( ) bombillasn 6225

10096,12

22

==

b) 000.1=N

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) bombillasn 58

96,110025000.1

100000.196,1222

22

=+

=

128. Solución:

( )conocesenoPNEZn 50,0000.505,064,1? =====

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) títulosn 256

50,050,064,105,0000.5

50,050,064,1000.522

2

=+

=

129. Solución:

a)minutos60hora1306,36006,096,110 ====×=== xnEZ pσ

( ) ( )( ) clientesn 32

3021

6,3

1096,12

22

=

+

=

b) 06,096,125,075,0 ==== EZQP

( ) ( ) ( )( ) clientesn 201

06,0

25,075,096,12

2

==

valormayoreltomaseclientesn ,201=

130. Solución:

50,0000.508,096,1? ===== PNEZn

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) unidadesn 146

50,050,096,108,05000

50,050,096,1500022

2

=+

=

61


131. Solución:

10,02002057,2200 ==== PZn

NPQ

ZE = ( ) ( )0545,0

20090,010,0

57,2 ==E %45,5=E

132. Solución:

25,04196,102,0? ===== PZEn

( ) ( ) ( )( ) 801.1

02,0

75,025,096,12

2

==n Conductores con experiencia de un año o menos

133. Solución:

000.95000.796,1500.12? ===== σNZEn pesos ($)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

créditodecuentasn 216000.9596,1500.12000.7

000.95000.796,1222

22

=+

=

134. Solución:

a) ( )PconocesenoPNZEn 50,0000.396,103,0? =====

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) perforadastarjetasn 788

50,050,096,103,0000.3

50,050,096,1000.322

2

=+

=

b) ( )5,072,0000.396,103,0? acercanomáselPNZEn =====

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) perforadastarjetasn 669

28,072,096,103,0000.3

28,072,096,1000.322

2

=+

=

62


135. Solución:

10,0000.5096,1005,0? ===== PNZEn

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 834.10

90,010,096,1005,0000.50

90,010,096,1000.5022

2

=+

=n suscriptores

136. Solución:

a) 71000.533,201,0? ===== PNZEn

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 854.2

7/67/133,201,0000.50

7/67/133,2000.5022

2

=+

=n vehículos

b) Los 5.000 vehículos que se van a producir.

137. solución:

a) Falso. Teóricamente no debe haber sustitución.b) Verdadero.c) Falso. Debe ser en un orden determinado.d) Falso. Pro el contrario disminuye el tamaño.e) Falso. Deben tener igual posibilidad de selección.

138. Solución:

565,05628600.596,1%303,0? ======== pnPNZEn

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 897

50,050,096,103,0600.5

50,050,096,1600.522

2

=+

=n egresados (se cálculo sin corregir)

139. Solución:

500? == Nn supervisores

63


a) 400396,1 2 === σEZ horas2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 128

40096,13500

40050096,122

2

=+

=n supervisores

b) 6,005,096,1 === PEZ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 213

4,06,096,105,0500

4,06,096,150022

2

=+

=n supervisores

Se tiene el mayor valor de n, en este caso, n = 213 supervisores

140. Solución:

67,61564,12? 2 ===== σNZEn valores2

( )67,6

15615640 222

2 =−=−Σ

=N

XNX iσ

61590 ==Σ=

NX

X i

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) unidadesn 4

67,664,1215

67,61564,122

2

=+

= o valores

141. Solución:

000.20500.164,1000.10? ===== σNZEn pesos ($)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

cuentasn 11000.2064,1000.10500.1

000.20500.164,1222

22

=+

=

142. Solución:

85,010085000.2024,203,0? ====== PNZEn

64


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) artículosn 687

15,085,024,203,0000.20

15,085,024,2000.2022

2

=+

=

143. Solución:

35,0401470064,105,0? ====== PNZEn

( ) ( )99,256

4021

05,065,035,064,1

2

2

=

+

=on

188

70099,2561

99,256 =+

=on hogares (se realizó con corrección)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 182

65,035,064,105,0700

65,035,064,170022

2

=+

=n hogares (se realizó sin corrección)

144. Solución:

225904,0000.696,1?225 ====== PNZEn

( ) ( )0628,0

000.6225000.6

2256,04,0

96,1 =−=E

%28,6=E

145. Solución:

000.7040096,1000.12 ==== RangoNZE

000.70000.80000.150minmax =−=−= XXRango

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) clientesn 99

000.7096,1000.12400

000.7096,1400222

22

=+

=

65


NOTA: Se toma como varianza el rango, recorrido u oscilación.

146. Solución:

22 2505,095,005,01000.596,15 ==⇒=−==== σRiesgoPNZE

kgs2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 95

2596,15000.5

2596,1000.5222

22

=+

=n varillas de acero

147. Solución:

9,196,15,0 === σZE kpg.( ) ( )

viajesn 565,0

9,196,12

2

==

148. Solución:

a) 4,030123096,106,0? ====== PnZEn p

( ) ( ) ( )cuentasn 274

3021

06,0

4,06,096,12

2

=

+

=

b) ( ) 96,1800.10000.18006,0000.18030

000.400.5 ===== ZEx

( ) ( )cuentasn 15

3021

800.10

000.2096,12

22

=

+

=

Se debe tomar como n = 274 cuentas por ser el mayor resultado.

149. Solución:

( )PconocesenoPNZEn 5,0360209,0? =====

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 92

5,05,0409,0360

5,05,043602

=+

=n fábricas de helados

66


150. Solución:

a) ( ) 22 000.40$000.1096,1000.15000.75002,0? ====== σNZEn

( ) ( )( ) ( ) ( )

28000.408416,3000.15000.10

000.408416,3000.1022

2

=+

=n obreros

8416,396,1 2 ==Z

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1436,0 4,0 96,108,0000.10

6,0 4,096,1000.1022

2

=+

=n obreros

151. Solución:

a) 21,096,103,0? ==== PZEn

( ) ( ) ( )709

03,0

79,021,096,12

2

==n ejecutivos subalternos

b) ( )Pconoceseno5,052096,103,0? ===== PNZEn

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 350

5,05,08416,303,0520

5,05,08416,35202

=+

=n ejecutivos subalternos

152. Solución:

a)( ) ( ) 34,2156015,0142564,1156302,5 ======= EdíassnZdíasx p

620=N

( ) ( )( ) ( ) ( ) 84

1464,134,2620

1464,1620222

22

=+

=n vendedores

b) 2562,062064,112,0? ====== pnPNZEn

67


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 42

38,062,064,112,0620

38,062,064,162022

2

=+

=n vendedores

Se toma n = 84 vendedores por ser el mayor valor de n.

153. Solución:

60,0000.5000.336000.3000.5 2 ===== promedioTOTAL EEN σ gramos

( ) ( )( ) ( ) ( )

3573696,16,0000.5

3696,1000.522

2

=+

=n pollitos

154. Solución:

( ) ( ) 8096,112,06,0000.4 ===⇒== pnZpropEpromEN

( ) ( ) ( )( ) ( )proporciónEb

Easy

%1212,0

12,095,106,015,980

95,180036.195,1

80156

22

==

===−===

a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 516.1

15,996,112,0000.4

15,9000.496,122

2

=+

=n

516.1=n cajas

iy in iiny ii ny2

0 37 0 01 16 16 162 8 16 324 8 32 1285 4 20 1008 2 16 128

10 2 20 20012 3 36 432

Σ 80 156 1.036

68


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 66

46,054,096,112,0000.4

46,054,096,1000.422

2

=+

=n

66=n cajas

54,08043 ==p

Se toma el mayor valor: cajas516.1

155. Solución:

a) 10,0000.596,1005,0? ===== PNZEn

( )pcomoacercanomáseltomaSe 5,0%

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 673.3

90,010,096,1005,0000.5

90,010,096,1000.522

2

=+

=n clientes

b) ( ) 500.1$000.596,1115000.23005,0? ====== σNZEn

( ) ( )( ) ( ) ( ) 579

500.196,1115000.5

500.196,1000.5222

22

=+

=n clientes

673.3=n (se toma el valor mayor como n)

156. Solución:

10,020020?96,11,0200 ====== pEZPn

( ) ( )0415,0

2009,01,0

96,1 ==E

%15,4=E

157. Solución:

04,0000.296,1%6? ===== PNZEn

69


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 41

96,004,096,106,0000.2

96,004,096,1000.222

2

=+

=n cuentas

158. Solución:

a. Los estimadores son medidas, aplicadas a las características de los elementos o unidades en una muestra, en cambio, los parámetros se aplican en la población.

b. Población: es un conjunto de elementos o unidades y la Muestra corresponde a un conjunto de elementos o unidades de una parte de la población.

c. Como su nombre lo indica, describe el comportamiento de las características de los elementos, a través de cuadros gráficas y medidas que le son aplicadas. La inferencia consiste en extraer una muestra, con la cual se obtienen unos resultados que son considerados como correspondiente al comportamiento de toda una población.

d. Cuando todos los elementos de una población tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. El no aleatorio, es una muestra resgada es decir, no tienen ninguna confiabilidad, dado que los elementos son seleccionados en forma caprichosa, por conveniencia, en forma voluntaria o en forma intencional.

159. Solución:

a. Cuando la población no es normal, si se extrae muestras pequeñas (n < 30), la distribución que se obtienen con todas ellas, conforman una distribución no normal, por el contrario, si las muestras son grandes (n > 30), se establece con ellas una distribución normal, aunque la población de origen de esas muestras no lo sea.

b. Son 4 condiciones de gran importancia: insesgado, consistente, eficiente y suficiente.

c. Es aquella, en que todas las muestras pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestras especificado, es decir, que implique selección al azar, correspondiente a un número fijo de variables aleatorios independientes

EJERCICIOS MISCELÁNEOS

160. Solución:

1501 =n 000.775=x 000.20=xσ yx µµ =

1202 =n 000.780=y 000.20=yσ

70


( ) ( )04,2

49,449.2000.5

120000.20

150000.20

0000.780000.77522

−=−=+

−−=Z

( )4793,004,2 AZ →−=

%07,20207,04793,05000,0 ==−

( ) %07,2000.5 =−>− yxP

161. Solución:

100$5,1$.8,4 === nmillmill σµ ( ) ?1,5 =>xP

$.1,53,08,4$.3,0 millmillenexceda =+⇒

( )4773,025,11003,0

1005,1

8,41,5AZ ⇒==−=

%27,20227,04773,05000,0 ==−=A

( ) %27,21.5 =>xP

162. Solución:

64=n (a) Se detiene si es superior al punto crítico, pues se rebosa

71


5,2=σ (b) Se continua, en caso contrario, funcionamiento normal

( ) 65,1o64,14500,00500,05000,0 =⇒=−= ZA

5,40764

5,265,1

64

5,25,407

65,1 −=

→−= xx

56,407064,05,407 =+=x 56,407=x gramos

163. Solución:

( ) ?03,0400 =>−= PpPn

( ) ( )4332,05,102,003,0

4008,02,0

20,023,0AZ ⇒==−=

72


( )4332,05,102,003,0

02,020,017,0

AZ ⇒−=−=−=

( ) %36,131336,04332,04332,01 ==+−=P

( ) %36,1303,0 =>−PpP

( ) %36,1323,017 =>> pP

164. Solución:

96,1%95380000.3000.10 =⇒==== ZPEN σ

( ) ( )( ) ( ) ≅

+= 222

22

000.396,1380000.10

000.396,1000.10n 234 Familias de clase media de la ciudad

165. Solución:

( ) 78,0362836600.301,0600.3 preliminar ===== pnN

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 609

22,078,096,103,0600.3

22,078,096,1600.322

2

=+

=n egresados

166. Solución:

a. Consiste en recolectar la mayor información en el menor costo posible

b. Es correcta la afirmación.

c. Prácticamente se puede decir, que es la diferencia que puede haber entre el valor del parámetro y el del estimador.

d. Se dice que es mejor, cuando la característica investigada en la muestra, tiene un alto grado de homogeneidad.

167. Solución:

73


( ) ?13,0120

1610.0

120

1203,021 21

===== >− ppPpp

( ) ( ) ( ) ( ) 0

12087,013,0

1209,01,0

03,003,0 =+

−=Z

( )4332,05,104,006,0

04,003,003,0

AZ ⇒−=−=−−=

%68,565668,00668,05000,0 ==+=P

( ) %68,5603,021=>− ppP

168. Solución:

?2582,010 ==== xnσµ

( ) 28,14000,0 =⇒ZA

25

82,028,110

25

82,010

28,1 +=−= xx

21,1021,010 =+=x

21,10=x onzas

169. Solución:

2028 === nhorashoras σµ

a) 45,020

2 ==⇒= xmedialadeestándarerrorn

σσ

b) ( ) ?5,87 =≤≤ xP

74


( )4868,022,245,01

45,087

AZ ⇒−=−=−=

( )3665,011,145,0

85,8AZ ⇒=−=

%33,858533,03665,04868,0 ==+=P

%33,85)5,87( =⟨⟨ xPc) ( ) ?9 =>xP

( )4868,022,245,01

45,089

AZ ⇒==−=

%32,10132,04868,05000,0 ==−=P

%32,1)9( =⟩xP

170. Solución:

( ) ?3010,0 27,0 === >pPnP

( ) ( )4990,010,3

309,01,0

10,027,0AZ ⇒=−=

%10,00010,04990,05000,0 ==−=P

( ) %10,027,0 =>pP

75


171. Solución:

907015,012,0 2121 ==== nnPP

a) ( ) ?03,021=>− ppP

03,015,012,021 −=−=−PP

( )( ) ( ) 09,1

055,006,0

9085,015,0

7008,012,0

03,003,0 ==+

−−=Z

)5000,0(0

0055,00

055,0)03,0(03,0

AZ

Z

⇒⟨

==−−−=

( )3621,009,1 AZ ⇒=

( ) %79,636379,05000,01379,03621,05000,0 ==+=−A

( ) %79,6303,021=>− ppP

b) ( ) ( ) ?2121 0 == >>− pppp PP

( ) ( )2088,055,0055,003,0

055,003,00

AZ ⇒==−−=

%12,292912,02088,05000,0 ==−=A

76


( ) %12,29021=>− ppP

77

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007

8 Prueba de hipótesis

y límites de confianza


DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES (muestras grandes) 1. Solución:

82=x 15=σ 25=n 1) 86:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 15=σ 86: ≠µaH

4) ( )33,1

1520

1554

2515

8682 −=−=−=−=Z

Aceptamos que 86=µ ya que 33,1− se ubica en la zona de aceptación.


2

2. Solución:

82=x 15=s 100=n 1) 86:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 15=s 86: ≠µaH

4) ( )67,2

1540

15104

10015

8682 −=−=−=−=Z

Rechazamos la hipótesis de que 86=µ ; por lo tanto aceptamos que 86≠µ ; al nivel del 5%. 3. Solución:

64=µ 8=σ 64=n 68=x 1) 64:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 8=σ 64: >µaH

4) ( )4

884

6486468 ==−=Z

Z = 4 Se ubica en la zona de rechazo (4 > 1,64) por lo tanto puede tenerse la certeza, con un nivel de significación del 5%, que los estudiantes de esta ciudad son superiores en inglés. 4. Solución:

100=n 3,27=x 1,6=s 05,0∝= 25=µ 1) 25:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 1,2=s 25: ≠µaH

4) 77,31,6

231001,6

253,27 ==−=Z

La distancia media requerida es diferente a 25 metros, al nivel del 5%.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007

3

5. Solución:

80=µ 86=x 16=s 100=n 05,0∝= 1) 80:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 16=s 80: ≠µaH

4) 75,31660

100168086 ==−=Z

Se rechaza la hipótesis de que 80=µ y se acepta la alternativa de que 80≠µ . 6. Solución:

76=x 16=s 400=n 1) 74:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 16=s 74: ≠µaH

4) ( )5,2

16202

400167476 ==−=Z

Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que

74=µ , al nivel del 1% 7. Solución:

5,23=x 2,3=σ 25=n 1) 22:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 2,3=σ 22: ≠µaH

4) 34,22,35,7

252,3225,23 ==−=Z


4

Rechazamos la hipótesis de que 22=µ y aceptamos de que 22≠µ , al nivel del 5%. 8. Solución:

100=n 500.12=x 400.2=s 1) 000.12:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 400.2=s 000.12: >µaH

4) 083,2100400.2

000.12500.12 =−=Z

Rechazamos la hipótesis de que 000.12=µ , luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%. 9. Solución:

40=n 28,1=µ 08,1=x 5,0=s 1) 28,1:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,0=s 28,1: <µaH

4) ( )528,2

5,020,032,6

5,04020,0

405,028,108,1 −=−=−=−=Z

Rechazamos que 28,1=µ : Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe al uso en el desierto, al nivel 5%. 10. Solución:

9,15=µ 3,2=σ 64=n 15=x 2,2=s 1) 9,15:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 3,2=σ 9,15: <µaH

4) ( )13,3

3,289,0

643,2

9,1515 −=−=−=Z (Se trabaja con σ en vez de s)


5

Se ubica en la región de rechazo; por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del 5%. 11. Solución:

5,5=µ 35=n 65,5=x 35,0=s %1∝= 1) 5,5:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 35,0=s 5,5: ≠µaH

4) ( )54,2

35,092,515,0

3535,05,565,5 ==−=Z

No debe dudarse de lo sustentado por la compañía, al nivel de significación del 1%. 12. Solución:

200.23=µ 500.2=σ 40=n 200.22=x 1) 200.23:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 500.2=σ 200.23: <µaH

4) ( )53,2

500.2330.6

500.233,6000.1

40500.2200.23200.22 −=−=−=−=Z

Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede acusar a la compañía de pagar salarios inferiores, al nivel del 1%. 13. Solución:

000.81=µ 100=n 600.80=x 100.1=s 1) 000.81:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 100.1=s 000.81: ≠µaH

4) ( )64,3

100.110400

100100.1000.81600.80 −=−=−=Z


6

Se rechaza la hipótesis de que 000.81=µ , es decir, que no podemos aceptar lo que dice el investigador, al nivel del 5%. 14. Solución:

8=µ 5,1=σ 36=n 33,8=x 1) 8:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,1=σ 8: ≠µaH

4) ( )32,1

50,198,1

5,1633,0

365,1833,8 ===−=Z

Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%. 15. Solución:

14=µ 25=n 83,13=x 5,0=σ 05,0∝= 1) 14:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,0=σ 14: ≠µaH

4) ( )

7,15,0

517,0

25

5,01483,13 −=−=−=−=

n

xZ σ

µ

Al nivel del 5%, se puede aceptar lo ofrecido por la empresa de que el envase contiene 14 onzas de camarón. 16. Solución:

000.1=µ 100=σ 05,0∝= 100=n 985=x 1) 000.1:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 100=σ 000.1: <µaH

4) 5,1

100100

000.1985 −=−=−=

n

xZ σ

µ


7

Se puede adquirir la bombilla de la nueva marca, ya que al nivel de 5% no se demuestra que su duración sea inferior a la marca anterior. 17. Solución:

40=µ 36=n 46=x 9=σ 1) 40:0 =µH 2) 05,0∝= 39 9=σ 40: >µaH

4) ( )0,4

966

369

4046 ==−=−=

n

xZ σ

µ

Sí es posible que se compren las lámparas, pues al nivel del 5%, se acepta que tiene una duración superior a las 40 horas. 18. Solución:

12=µ 60=n 15=x 5=s 1) 12:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 5=s 12: >µaH

4) ( )65,4

575,73

605

1215 ==−=−=

ns

xZ

µ

Se puede concluir que la solución aumenta la productividad, al nivel del 1%. 19. Solución:

20=µ 8,20=x 5,1=s 36=n %1∝= 1) 20:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 5,1=s 20: ≠µaH


8

4) 2,35,18,4

365,1

208,20 ==−=−=

ns

xZ

µ

Se ubica en la región crítica y se rechaza la hipótesis nula de que 20=µ , es decir, que el fusible no cumple con las especificaciones. Al nivel del 1%. 20. Solución:

400=µ 395=x 20=s 64=n 05,0∝= 1) 400:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 20=s 400: ≠µaH

4) 220

40

64

20400395 −=−=−=−=

n

sx

Zµ

El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas, al nivel del 5%. 21. Solución:

78=µ 6=σ 16=n 74=x 01,0∝= 1) 78:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 6=σ 78: <µaH

4) 67,2616

166

7874 −=−=−=−=

n

xZ σ

µ

Sí se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%. 22. Solución:

200=n 6,3=µ 62,3=x 1) 6,3:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 21,0=s 6,3: ≠µaH


9

4) 35,120021,0

6,362,3 =−=−=ns

xZ

µ

Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción, al nivel del 5%. 23. Solución:

onzaslibra 161 ==µ 36=n onzasx 13= onzass 8= 05,0∝= a) 1) 16:0 =µH 2) 05.0∝= 3) 8=s 16: <µaH

4) 25,23681613 −=−=−=

ns

xZ

µ

( ) 65,164,14500,0 óZA =⇒

25,2−=Z Cae en la región crítica, por lo tanto, al nivel del 5% se puede afirmar que se está vendiendo un producto por debajo del peso, ya que aceptamos aH . b) Se está rechazando algo verdadero, por lo tanto se comete un error de tipo I y no de tipo II (aceptar algo falso). 24. Solución:

Minutos53=µ MinutosHorasHoras 706,016,135,135,1 22 =×==⇒= σσ

Artículosn 128= Minutosx 56= a) 1) 53:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 70,0=σ 53: >µaH

4) 48,0128705356 =−=Z

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el producto requiere de un tiempo mayor de fabricación. Observar que Z = 0,48 cae en la ZA, con lo cual aceptamos0H . Unilateral derecha.


10

b) Si el trabajo real es de 50 minutos, estamos cometiendo un error de tipo II, ya que estamos aceptando a 53=µ 25. Solución:

Kilos6,4=µ 34=n 1,4=x Kiloss 8,1= 1) 6,4:0 =µH 2) %1∝= 3) 8,1=s 6,4: <µaH

4) 62,1348,1

6,41,4 −=−=Z

62,1− cae en la región de aceptación. Al nivel del 1%,

no se debe creer lo anunciado por el gimnasio. Unilateral izquierda. 26. Solución:

.50Kmts=µ 35=n 8,43=x 15=s 1) 50:0 =µH 2) 02,0∝= 3) 15=s 50: <µaH

4) 4,23515508,43 −=−=Z

4,2− cae en la RC, por lo tanto aceptamos aH , es decir se puede afirmar que el

concesionario ha exagerado, al nivel del 2%. Unilateral izquierda. 27. Solución:

60=n añosx 24= 22=µ años8=σ 1) 22:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 8=σ 22: >µaH

4) 94,16082224 =−=Z


11

Como 1,94 cae en la RC, al nivel del 5%, se puede aceptar aH , es decir, se acepta la afirmación del ejecutivo. Unilateral derecha. 28. Solución:

horas8=µ 20=n horasmediayhorasx 5,88 == horasutosyhora 75,1min451 ==σ

1) 8:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 75,1=σ 8: >µaH

( ) 65,1o64,14500,0 =⇒ ZA

28,12075,10,85,8 =−=Z

Cae (1,28) en la zona de aceptación. Se acepta 0H , es decir, que al nivel del 5%, no se acepta la aseveración. Unilateral derecha. 29. Solución:

libras650=µ 40=n librasx 700= 84,113960.122 =⇒= ss

= 2960.122 librasS

1) 650:0 =µH 01,0∝= 3) 84,113=s 650: >µaH

4) 78,24084,113

650700 =−=Z

Observemos que 2,78 cae en la RC, por lo tanto, al nivel del 1%, estamos aceptando aH , es decir, que la solución aumenta la producción de nitrato. Unilateral derecha.


12

30. Solución:

100=n 40100000.4 ==x 95,999

100900.92 =⇒== ss

= 22

99 añosS

a) 1) 43:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 95,9=s 43: ≠µaH

4) 02,310095,94340 −=−=Z

El valor de 02,3− cae en la RC; por lo tanto al nivel del 5% se puede afirmar que la edad promedio de los profesores es diferente a 43 años. Prueba unilateral.

b) Si el promedio verdadero, se conoce (39 años), no se comete ERROR, pues estamos rechazando que sea de 43 años, (rechazamos algo falso). 31. Solución:

78=µ 35=n 82=x 21=s 1) 78:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 21=s 78: >µaH 4) ( ) 33,24900,0 =⇒ ZA

13,135217882 =−=Z

Observamos que 13,1 cae en la región de aceptación, es decir, aceptamos 78:0 =µH , con lo cual al nivel del 1% no podemos concluir que sea un curso superior. Unilateral derecha.


13

DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 32. Solución:

14,0=P 13,036048 ==p 87,013,01 =−=q

( )( )

0177,000031,03601131,0

36087,013,0 ====ps

1) 14,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) 0177,0=ps

14,0: <PHa

4) 56,00177,0

01,00177,0

14,013,0 −=−=−=Z

Se acepta 14,0=P , el proveedor no tiene razón, es decir, que el nuevo producto no reduce la fracción de defectuosos, al nivel del 5%. 33. Solución:

50,0== pP µ 400=n 45,0400180 ==p 05,0∝=

1) ( )50,050,0:0 == póPH µ 2) 05,0∝= 3) npq

sp =

( )50,050,0: ≠≠ pa óPH µ

4) ( )( ) 00,2025,0

05,0

40055,045,050,045,0 −=−=−=−=

npq

PpZ

No es correcta la estimación hecha por el fabricante, al nivel del 5%.


14

34. Solución:

80,0== Ppµ 400=n 75,0400300 ==p 01,0∝=

1) 80,0:0 =PH 2) 01,0∝= 80,0: <PHa

4) ( )( ) 27,2022,0

05,0

40025,075,080,075,0 −=−=−=−=

npq

Ppz

Este resultado sí puede ser considerado como evidencia de que la prueba estuvo bien elaborada, al nivel del 1%. 35. Solución:

10,0== Ppµ 075,0403 ==p 05,0∝= 40=n

1) 10,0:0 =pH µ 2) 05,0∝= 3) npq

sp =

10,0: <paH µ

4) ( )( ) 60,004164,0

025,0

40925,0075,010,0075,0 −=−=−=−=

npq

Ppz

Se puede comprar la máquina, ya que aceptamos la hipótesis nula ( 10,0=P ), al nivel del 5%.


15

36. Solución:

20,0== Ppµ 18,0509 ==p 50=n 05,0∝=

1) 20,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) ( )054,0

5082,018,0 ==

ps

20,0: <PHa

4) 37,0054,0

02,0054,0

20,018,0 −=−=−=−=psPp

z

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la nueva técnica es mejor y que disminuye la mortalidad post-operatoria. 37. Solución:

80,0=P 400=n 75,0400300 ==p

1) 80,0: =PHO 2) 01,0∝= 3) pqsp =

80,0: <PHa

4) ( ) 31,2

40025,075,080,075,0 −=−=z

El 31,2− cae en la ZA, al nivel del 1%, se puede afirmar que el tratamiento si estuvo bien administrado. Unilateral izquierda.


16

38. Solución:

50=n 10,0505 ==p %12=P

1) 12,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =

12,0: <PHa

4) ( ) 47,0

509,01,012,010,0 −=−=z

Vemos que 47,0− cae en la ZA. Aceptamos 0H al nivel del 5%. El gerente no exagera el porcentaje. Unilateral izquierda. 39. Solución:

14,0507 ==P 100=n %10

10010 ==p

1) 14,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =

14,0: <PHa

4) ( ) 33,1

1009,01,014,010,0 −=−=Z

Como 33,1− cae en la ZA, al nivel del 5% aceptamos 0H , por lo tanto el número de compradores al medio día no es inferior al anotado por el gerente. Unilateral izquierda.


17

40. Solución:

225=n 11,022525 ==p 15,0=P 05,0∝=

1) 15,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =

15,0: <PHa

4) ( ) 92,1

22589,011,015,011,0 −=−=Z

( ) 65,1ó64,14500,00500,05000,0 ⇒=−=A

Como 92,1− cae en la Región Crítica aH , es decir, que al nivel del 5% se puede concluir, que menos del 15% de las familias tenían perro. 41. Solución:

02,0=P 400=n 04,040015 ≅=p

1) 02,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =

02,0: ⟩PHa

4) ( ) 04,2

40096,004,002,004,0 =−=Z

Se tiene que 2,04 cae en la Región Crítica, estamos aceptando aH , y rechazamos la afirmación del proveedor, al nivel del 5%. Prueba unilateral derecha.


18

42. Solución:

25,0=P 36=n 22,0368 ==p 05,0=∝

1) 25,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = ( ) 65,164,14500,0 ózA =⇒

25,0: <PHa

4) ( ) 43,0

3678,022,025,022,0 −=−=Z

Se observa que 43,0− cae en la Región de Aceptación. Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el porcentaje es inferior. Unilateral izquierdo. 43. Solución:

90,0=P 650=n 88,0650570==p %1%99 =∝⇒=P

1) 90,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp =

90,0: <PHa

4) ( )

57,1

65012,088,090,088,0 −=−=Z

Al nivel del 1%, no se puede concluir que la popularidad del proyecto ha sido exagerada. Unilateral izquierda.


19

44. Solución:

%52=P 100=n 48,010048 ==p 10,0=∝

1) 52,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsp =

52,0: <PHa

4) ( )

80,0

10052,048,052,048,0 −=−=Z

Observemos que .28,1−=Z Al nivel del 10%, es válida la afirmación. Unilateral izquierda. 45. Solución:

15,0=P 300=n 18,030054 ==p

1) 15,0:0 =PH 2) %1=∝ 3) pqsp =

15,0: ≠PHa

4) ( )

35,1

30082,018,015,018,0 =−=Z

Al nivel del 1%, es válida la afirmación. Prueba bilateral.


20

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRA LES 46. Solución:

1001 =n 902 =n 107=x 103=y 17=xs 16=ys

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 3947,284,289,290256

100289 =+=+=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 67,13947,2

103107 =−=Z

Al nivel del 5%, no existe diferencia significativa entre las medias de los dos productos. 47. Solución:

461 =n 070.1=x 52,45646000.212 ==xs horas2

642 =n 041.1=y 5,36264200.232 ==ys horas2

1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝

yxaH µµ ≠:

3) 9482,358,1564

5,36246

52,456 ==+=− yxs

4) 34,795,3

299482,3

041.1070.1 ==−=Z

Rechazamos la hipótesis de que yx µµ = ; se acepta que la diferencia es significativa, al

nivel del 1%.


21

48. Solución:

1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝ 3) 2

2

1

2

n

s

ns

s yxyx

+=−

yxaH µµ <:

4) 38,3

60000.41

46000.32

000.842000.81822

−=+

−=Z

Sí existe una diferencia significativa, que permite concluir que los salarios en B son superiores a los de A, al nivel del 1%. 49. Solución:

441 =n 6,15=x 80,344

52,1672 ==xs cms2

362 =n 1,14=y 44,436

89,1592 ==ys cms2

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠:

3) 4579,03644,4

448,3 =+=− yxs

4) 28,34579,0

5,14579,0

1,146,15 ==−=Z

Rechazamos la hipótesis de que yx µµ = ; aceptamos que existe diferencia entre ambas

medias, al nivel del 5%.


22

50. Solución:

000.51 =x 900.4100

000.4902 ==x (cientos de $)

000.2000.000.25000.002.25000.5100

000.200.500.2 221 =−=−=s

000.1000.010.24000.011.24900.4000.011.24 22

2 =−=−=s

020.1$000.120)000.5(2,020 =+=+=iy (cientos de $)

( ) 010.1490520900.41,05202 =+=+=y (cientos de $)

( ) ( ) 80000.204,004,0 21

21

=== ssy (cientos de pesos2)

( ) 10000.101.02

2==ys (cientos de pesos2)

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ >:

3) 9487,010010

10080 =+=− yxs

4) 54,109487,010

9487,0010.1020.1 ==−=Z

Se rechaza que yx µµ = ; por lo tanto, se puede aceptar, con un nivel de significación del

5%, que el ahorro promedio de la Cía. A es mayor que el de la Cía. B.


23

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 51. Solución:

70,0=xσ 86,0=yσ 32,3=x %5=∝ 86,0 ; 50,370,0 ; 32,3

22

11

====

σσ

x

x

201 =n 282 =n 50,3=y 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 86,0=yσ

yxaH µµ <: 70,0=xσ

( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA

4) 80,0

2886,0

207,0

50,332,322

−=+

−=Z

Al nivel del 5%, no se debe aceptar lo que generalmente se dice, que el rendimiento de A es inferior a B. Unilateral izquierdo. * Se trabaja con ,302y1 ≤nn dado que se dan las desviaciones típicas poblacionales.

52. Solución:

361 =n $95 milx = $15 milsx = %5=∝ 402 =n $110mily = $18 milsy =

1) 0:0 =− yxH µµ 2) 05,0=∝ 3) 15=xs 18 ; 11015 ; 95

22

11

====

Sx

Sx

0: ≠− yxaH µµ 18=ys

4) 96,3

4018

3615

1109522

−=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede afirmar que existen diferencias en el comportamiento de estos planes. Prueba bilateral.


24

* Se trabaja con las desviaciones típicas muestrales, dado que 302y1 >nn

53. Solución:

801 =n 3,94=x 14=xs 05,0=∝ 211

210

µµµµ

⟩===

H

H

602 =n 7,89=y 17=ys

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 14=xs

yxaH µµ >: 17=ys

( ) 65,1ó64,14500,0 ⇒A

4) 71,1

6017

8014

7,893,9422

=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede afirmar un mayor rendimiento en el turno diurno. Unilateral derecha. 54. Solución:

401 =n 310=x 20=xs 10,0=∝ 342 =n 292=y 26=ys

1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝ 3) 20=xs

yxaH µµ >: 26=ys

4) 29,3

3426

4020

29231022

=+

−=Z

Al nivel del 10%, se puede aceptar el aumento en las ventas. Unilateral derecha.


25

55. Solución:

361 =n 000.86=x 200.6=xs %1=∝ 322 =n 000.80=y 800.4=ys

1) yxH µµ =:0 2) %1=∝ 3) 200.6=xs

yxaH µµ >: 800.4=ys

4) 49,4

32800.4

36200.6

000.80000.8622

=+

−=Z

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del mayor precio al que se vende el producto conocido con respecto a la nueva marca. Unilateral derecha. 56. Solución:

461 =n 10=x 4,2=xs 05,0=∝ 352 =n 12=y 0,3=ys

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 4,2=xs

yxaH µµ ≠: 0,3=ys

4) 23,3

350,3

464,2

121022

−=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede decir que si hay una diferencia significativa, en los resultados. Prueba bilateral. 57. Solución:


26

821 =n 5082100.4 ==x 59,94150

82210.282 22 =−=xs

412 =n 27,5441225.2 ==y 82,256.227,54

41

284.213 22 =−=ys

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 59,9412 =xs

yxaH µµ <: 82,256.22 =ys

( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒ ZA

4) 52,0

41

82,256.2

82

59,941

27,5450 −=+

−=Z

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la segunda variable, sea superior a la primera. Unilateral izquierda. DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES M UESTRALES 58. Solución:

75,04030

1 ==p 55,04022

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >

4) ( ) ( )

92,1

4045,055,0

4025,075,0

55,075,0

2

22

1

11

21 =+

−=+

−=

nqp

nqp

ppZ

Z = 1,92 se ubica en la región crítica, luego rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Se dirá que, al nivel del 5%, se puede aceptar la información de que el equipo debe ganar más partidos cuando juega de local y no como visitante.


27

59. Solución:

2001 =n 64,0200128

1 ==p 05,0=∝

1502 =n 71,0150106

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =

21: PPHa ≠ 222qpsp =

4) ( ) ( )

39,1

15029,071,0

20036,064,0

71,064,0 −=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede concluir que no hay diferencia en cuanto a los hábitos de tomar café. Prueba bilateral. 60. Solución:

601 =n 20,06012

1 ==p 05,0=∝

602 =n 17,06010

2 ==p

1) 21:

0PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

42,0

6083,017,0

608,02,0

17,020,0 =+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede concluir que el estado civil no influye en el rendimiento. Prueba bilateral.

2

22

1

11

21

nqp

nqp

ppZ

+

−=


28

61. Solución:

401 =n 18,0407

1 ==p %10=∝

502 =n 24,05012

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 10,0=∝ 3) 111

qpsp =

21: PPHa < 222qpsp =

4) ( ) ( )

70,0

5076,024,0

4082,018,0

24,018,0 −=+

−=Z

Los anteriores resultados no le dan la razón al jefe de personal, al nivel del 10%. Unilateral izquierda. 62. Solución:

501 =n 76,05038

1 ==p 05,0=∝

702 =n 71,07050

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =

21: PPHa > 222qpsp =

4) ( ) ( )

62,0

7029,071,0

5024,076,0

71,076,0 =+

−=Z

Estos resultados, al nivel del 5%, no confirman la afirmación del distribuidor. Unilateral derecha.


29

63. Solución:

401 =n 65,04026

1 ==p 05,0=∝

402 =n 75,04030

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

98.0

4025,075,0

4035,065,0

75,065.0 −=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede concluir que la proporción de aceptación es igual sin importar el sexo. Prueba bilateral. 64. Solución:

5001 =n 75,0500375

1 ==p 05,0=∝

5002 =n 65,0500325

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA

4) ( ) ( )

47,3

50035,065,0

50025,075,0

65,075,0 =+

−=Z

Al nivel del 5%, si puede concluir que la aplicación de la droga A es mejor que la B. Unilateral derecha.


30

65. Solución:

1001 =n %641 =p %1=∝ 1002 =n %702 =p

1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

90,0

1003,07,0

10036,064,0

70,064,0 −=+

−=Z

No hay efectividad en las reformas introducidas al nivel del 1%. Unilateral izquierda. 66. Solución:

1001 =n %81008

1 ==p 05,0=∝

1002 =n %61006

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

55,0

10094,006,0

10092,008,0

06,008,0 =+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede decir que no hay ninguna diferencia. Prueba bilateral.


31

67. Solución:

1301 =n 62,013080

1 ==p 05,0=∝

1002 =n 96,010096

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3)

11 1qpsp =


( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA

4) ( ) ( ) 25,7

10004,096,0

13038,062,0

96,062,0 −=+

−=Z

Si se puede dar apoyo a la tesis del sociólogo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 68. Solución:

1001 =n %4210042

1 ==p 01,0=∝

1002 =n %6110061

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

88,2

100

39,061,0

100

58,042,0

61,042,0 −=+

−=Z

Al nivel del 1%, si se puede aceptar la afirmación hecha por el líder sindical. Unilateral izquierda.


32

69. Solución:

501 =n 74,05037

1 ==p 05,0=∝

502 =n 46,05023

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


( ) 65,1ó64,14500,0 ⇒=A

4) ( ) ( )

98,2

5054,046,0

5026,074,0

46,074,0 =+

−=Z

Sí influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha. 70. Solución:

1201 =n 10,012012

1 ==p 05,0=∝

1202 =n 13,012016

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

73,0

12087,013,0

1209,010,0

13,010,0 −=+

−=Z

Al nivel del 5%, no hay razón para hacer dicha afirmación, no es mayor. Unilateral izquierda.


33

71. Solución:

1201 =n 25,01 =p 05,0=∝ 1502 =n 15,02 =p

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111

qpsp =


4) ( ) ( )

04,2

15085,015,0

12075,025,0

15,025,0 =+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmación. Si es diferente. DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeñas) 72. Solución:

29=n 000.808=x 000.16ˆ =s 1) 000.800:0 =µH 2) %5=∝ 3) 000.16ˆ =s 000.800: ≠µaH

4) 64,2000.16

28000.828000.16

000.800000.808 ==−=t

Se rechaza la hipótesis de que 000.500=µ , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%. NOTA: Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.


34

73. Solución:

10=µ 16=n 4,10=x 5,0ˆ =s 05,0=∝

15116 =−=v 15=υ 7530,1=t 1) 10:0 =µH 2) %5=∝ 3) 5,0ˆ =s 10: >µaH

4) ( ) 10,35,087,34,0

5,0154,0

155,0

104,10 ===−=t

Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha. NOTA: Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significación en la RC. 74. Solución:

1=µ 05,0=∝ 5=n 2,21 =∑=nx

x ( )64,1

1

21 =−−∑=

nxx

s

1318,2=t 4=υ

1) 1:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 64,1=s 1: >µaH (corregida)

4) 64,1

564,1

12,2 =−=t

Se acepta la hipótesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la región crítica, se toma el doble del nivel de significación.


35

75. Solución:

5,0=µ 12=n 05,0=∝ 11112 =−=υ 2010,2=t

1=∑=nxx ( )

95,01

2

=−−∑=

nxx

s

1) 5,0:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 95,0=s 5,0: ≠µaH

4) 82,1

1295,0

5,01 =−=−=

n

sx

tµ

Se acepta la hipótesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%. 76. Solución:

5=n 05,0=∝ 2=µ 4=υ 1318,2−=t

2,156 ==∑=

nx

x i ( )84,0

1

2

=−−∑=

nxx

s i

1) 2:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 84,0=s 2: <µaH

4) 13,284,079,1

584,0

22,1 −=−=−=−=

n

sx

tµ

Se ubica 13,2− en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico ( 1318,2− ) se podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.


36

77. Solución:

7=µ 16=n 8,5=x 6,1ˆ =s 05,0=∝ 1) 7:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 6,1ˆ =s 7: ≠µaH 4) 151=−= nυ

5) 1ˆ −

−=ns

xt

µ 90,21166,1

78,5 −=−

−=t

Al nivel del 5%, se puede concluir que la máquina no funciona correctamente. Prueba bilateral. 78. Solución:

82=µ 20=n 75=x 9ˆ =s 05,0=∝ 1) 82:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 9ˆ =s 4) 191=−= nυ 82: ≠µaH

5) 39,31209

8275 =−

−=t

La diferencia es significativa, el nivel del 5%. Prueba bilateral. 79. Solución:

78=µ 25=n 82=x 21ˆ =s 01,0=∝ 1) 78:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 21ˆ =s 4) 241=−= nυ 78: >µaH


37

5) 93,024217882 =−=t

No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha. 80. Solución:

380=µ 25=n 360=x 40ˆ =s %1=∝ 1) 380:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 40ˆ =s 4) 241=−= nυ 380: <µaH

5) 45,22440380360 −=−=t

No se puede admitir la afirmación de que el porcentaje es inferior al solicitado, al nivel del 1%. Unilateral izquierda. 81. Solución:

250.18=µ 30=n 500.19=x 000.3ˆ =s %5=∝ 1) 250.18:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 000.3ˆ =s 4) 291=−= nυ 000.18: >µaH

5) 24,229000.3250.18500.19 =−=t

Se observa que 2,24 cae en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmación de la asociación, ya que el sindicato subestima el salario medio por día. Unilateral derecha.


38

82. Solución:

meses10,8=µ 25=n mesesx 5,7= 54,3ˆ5,12ˆ2 =⇒= ss 1) 10,8:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 54,3ˆ =s 4) 241=−= nυ 10,8: <µaH

5) 83,02454,310,85,7 −=−=Z

La duración de las botas, no es inferior al señalado por el gerente de la empresa, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 83. Solución:

200=µ 15=n 210=x 11ˆ =s %1=∝ 1) 200:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 11ˆ =s 200: >µaH 4) 141=−= nυ

5) 40,31411200210 =−=t

Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.


39

84. Solución:

12=n 160=µ 92,16112943.1 ==x 75,28

11212943.112699.323

2

=−

−

=s

1) 160:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) ( )corregidas 75,28= 4) 11=υ 160: >µaH

5) 23,01275,2816092,161 =−=t

Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 85. Solución:

12=µ 9=n 39,399

5,354 ==x 23,419

95,354925,106.14

2

=−

−

=s

1) 42:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) ( )corregidos 23,4= 4) 81=−= nυ 42: <µaH

5) 85,1923,4

4239,39 −=−=t

No se puede rechazar la afirmación del fabricante, pues no esta exagerando, al nivel 1%. Unilateral izquierda.


40

86. Solución:

48=µ 6=n 416

246==x 85,2016

62466260.12

2

=−

−

=s

1) 48:0 =µH 2) 05.0=∝ 3) ( )corregidos 85,20= 5=υ 48: ≠µaH

5) 82,0685,20

4841 −=−=t

No se debe rechazar la afirmación del fabricante, al nivel del 5%. Prueba bilateral. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 87. Solución:

%30=P 20=n 05,0=∝ 40,0208 ==p

1) 30,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 30,0: >PHa

19120 =−=υ

1−

−=

npq

Ppt

( )89,0

1206,04,030,040,0 =

−

−=t

Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al señalado por el gerente. Unilateral derecha.


41

88. Solución:

%3=P 28=n 07,0282 ==p 05,0=∝

1) 03,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 4) 27128 =−=υ

03,0: ≠PHa

5) ( )

81,0

12893,007,003,007,0 =

−

−=t

Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral. 89. Solución:

70,0=P 30=n 63,03019 ==p 05,0=∝

1) 70,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 4) 29130 =−=υ

70,0: <PHa

5) ( )

78,0

13037,063,070,063,0 −=

−

−=t

El encargado del negocio no exagera el porcentaje, al nivel del 5%. Prueba unilateral izquierda.


42

90. Solución:

86,0=P 18=n 89,01816 ==p %1=∝

1) 86,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp = 17118 =−=υ

86,0: >PH a

( )40,0

11811,089,086,089,0 =

−

−=t

El equipo no es mucho más efectivo que el señalado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 91. Solución:

30,0=P 25=n 28,0257 ==p 05,0=∝

1) 30,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsP = 4) 24125 =−=υ

30,0: ≠PHa

5) ( )

22,0

12572,028,030,028,0 −=

−

−=t

Se puede justificar ésta crítica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.


43

92. Solución:

%70=P 30=n 60,03018 ==p 05,0=∝

1) 70,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsP = 29130 =−=υ

70,0: <PHa

( )10,1

1304,06,07,06,0 −=

−

−=t

No se puede asegurar que el porcentaje de efectividad sea inferior, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 93. Solución:

30,0=P 20=n 45,0209 ==p %10=∝

1) 30,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsP = 19120 =−=υ

30,0: >PHa

( )31,1

12055,045,030,045,0 =

−

−=t

El porcentaje no es superior al señalado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.


44

94. Solución:

%25=P 25=n 32,0258 ==p %1=∝

1) 25,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsP = 24125 =−=υ

25,0: >PHa

( )74,0

12568,032,025,032,0 =

−

−=t

La nueva técnica no constituye un progreso en la reducción de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha. DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRA LES 95. Solución:

581 =x 521 =s 151 =n 05,0=∝

211

210

::

µµµµ

≠=

H

H

632 =x 822 =s 152 =n

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 2821515 =−+=υ 0484,2=t

yxaH µµ ≠:

3) ( ) ( )93,0

151

151

2151581155115 =+

−+−+−=− yxs

4) 38,593,05

93,06358 −=−=−=t

Se ubica en la región de rechazo, por tanto aceptamos que yx µµ ≠ , o sea que existe

diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.


45

96. Solución:

5,24

10 ==x 0,36

18 ==y 6 4 21 == nn

( ) ( )

221

222

−+−Σ+−Σ=

nn

yyxxs ii 56,0

26450,222 =−+

+=s

2

2

1

2

ns

nss yx +=− 48,0

656,0

456,0 =+=− yxs

1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝ 3) 48,0=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 04,148,0

0,35,2 −=−=t

Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral

ix iy xxi − ( )2xxi − yyi − ( )2yyi − 1,5 2,5 -1,0 1 -0,5 0,25 2,5 3,0 0 0 0 0 3,5 3,0 1,0 1 0 0 2,5 4,0 0 0 1,0 1,00

3,5 0,5 0,25 2,0 -1,0 1,00

10,0 18,0 0 2 0 2,50


46

97. Solución:

1435

715==x

1385

690==y

1018

808255

5342742 ==−+

+=s

36,64,405

2025

1015

101 ===+=− yxs

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 36,6=− yxs

yxaH µµ >:

4) 79,036,65

36,6138143 ==−=t

Se puede concluir que el nuevo método no ha aumentado la resistencia a la comprensión, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha. 98. Solución:

121 =n 72 =n 120=x 101=y 45,457112

032.52 =−

=xs 33,42517

552.22 =−

=ys

( ) ( )

48,127

1

12

1

2712

33,4251745,457112 =+−+

−+−=− yxs 17=υ 1098,2=t

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 48,12=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 52,148,12

1948,12101120 ==−=t

ix iy xxi − ( )2xxi − yyi − ( )2yyi − 154 144 11 121 6 36 143 131 0 0 -7 49 132 155 -11 121 17 289 147 126 4 16 -12 144 139 134 -4 16 -4 16 715 690 0 274 0 534


47

Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral 99. Solución: iy : $ 338 393 416 363 375 420 447 412 510 436 476 380 miles

( )milesny

y i 833,41312966.4 ==∑= ( )milesx 428=

( ) ( )2

2

2

222 25,382.2

112

83,41312268.081.2

1pesosdemiles

n

ynys i

y =−

−=−−∑

= ( )milessx 80=

( ) ( )90,23

121

171

212178011225,382.2117 2

=+−+

−+−=− yxs

27=υ 052,2=t 05,0=∝

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 90,23=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 59,090,23

833,413428 =−=t

Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.


48

100. Solución:

74,125

7,63 ==x

02,137

2,91 ==y

22,010

2268,2

10

9948,02320,12 ==+=s

27,0722,0

522,0 =+=− yxs 10=υ 2281,2=t

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 27,0=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 04,127,028,0

27,002,1374,12 −=−=−=t

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 101. Solución:

151 =n 152 =n 131=x 136=y 25,6=xs 65,4=ys

2821515 =−+=υ 10,0=∝ 7011,1−=t 211

210

::

µµµµ

⟨=

H

H

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ <:

3) ( ) ( ) ( ) 01,2365,051,5

15

1

15

1

21515

62,2111506,39115==+

−+−+−

=− yxs

ix iy ( )2xxi − ( )2yyi − 12,6 13,1 0,0196 0,0064 13,4 13,4 0,4356 0,1444 11,9 12,8 0,7056 0,0484 12,8 13,5 0,0036 0,2304 13,0 13,3 0,0676 0,0784

12,7 0,1024 12,4 0,3844

63,7 91,2 1,2320 0,9948


49

4) 49,201,25

01,2136131 −=−=−=t

Los anteriores resultados sí indican que la segunda calidad de tela es superior, al nivel del 5%. 102. Solución:

2510250==x ( )

28,27110

2510500.6 22 =

−−=xs

8022

2

=∑

n

yi ( ) 000.18801522 ==∑ iy 2

15000.1835 y−= 165.12 =y 13,34=y

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠:

3) ( ) ( )32,2

151

101

2253511578,27110 =+

−−+−=− yxs

4) 94,332,213,9

32,213,3425 −=−=−=t

221 −+= nnυ 05,0=∝

2321510 =−+=υ 0687,2=t

Se ubica en la región crítica, por lo tanto, se acepta que no le es indiferente comprar la maquinaria, ya que las diferencias presentadas son significativas, al nivel del 5%. 103. Solución:

800.2200.41616000.25000.26 21 ====== yx ssnnyx

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) ( ) ( )94,261.1

161

161

21616000.840.715000.640.1715 =+

−++=− yxs

yxaH µµ >:

4) 79,094,261.1

000.25000.26 =−=−=− yxs

yxt


50

3021616 =−+=υ 6973,1=t No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha. 104. Solución:

05,030,024,04,75,71220 21 =∝====== yx ssyxnn

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠: 30=υ

3) ( ) ( )

2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsns yx

yx +−+

−+−=−

4) ( ) ( )

04,1

121

201

2122009,0110576,019

4,75,7 =+

−++

−=−=− yxs

yxt

Se acepta la hipótesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral 105. Solución:

613367.3473,5511

638286.375805,0112

2

21

=∑=∑==

=∑=∑==∝=

ii

ii

yyyn

xxxn

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ >:

( ) ( )

21

22

2

nnyyxx

s i

+−∑+−∑

=

3) ( )[ ] ( )[ ]24,24

2111173,5511367.345811286.37 22

2 =−+−+−=s

4) 20221 =−+= nnυ


51

2

2

1

2

ns

ns

yxt

+

−= 08,1

1124,24

1124,24

73,5558 =+

−=t

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la proteína de maní tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 106. Solución:

1001010714

05,064112162

2

21

====

=∝===

yy

x

ssyn

sxn

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠:

28221 =−+= nnυ

4) ( ) ( )

52,1

141

161

2141610011464116

107112 =+

−+−+−

−=t

No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia según la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 107. Solución:

000.784825025

500.44%540252

212

21

=∑=−+===

=∑=∝==

i

i

ynnyn

xxn

υ

[ ] [ ]

221

22

221

22

−+−∑+−∑

=nn

ynyxnxs ii

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ <:

3) ( )[ ] ( )[ ]67,416

2505025000.784025500.44 22

2 =−

−+−=s

3) ( ) ( )

2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsns yx

yx +−+

−+−=−


52

4) 73,1

2567,416

2567,416

5040 −=+

−=t

Al nivel del 5%, si se puede concluir con base en estos datos que los empleados de la compañía B se presentan a una edad mayor que los de la compañía A, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 108. Solución:

12230,47073,84,526

05,058,5341,88,648

212

2

21

=−+==∑==∑=

=∝=∑==∑=

nnyyyn

xxxn

ii

ii

υ

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ <:

3) [ ] [ ]

221

22

221

22

−+−∑+−∑=

nnynyxnx

s ii

( )[ ] ( )[ ]89,1

28673,8630,4701,8858,534 22

2 =−+

−+−=s

4) 85,0

6

89,1

8

89,1

73,81,8 −=+

−=t

Al nivel del 5%, el resultado no sugiere que el valor de B produce mayor utilidad que el valor de A. Unilateral izquierda. 109. Solución:

2024,07,312

05,05,05,310

212

1

=−+=====∝===

nnsyn

sxn

y

x

υ

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ <:


53

3) ( ) ( )

2121

22

21 1111

nnnn

snsns yx

yx ++

−+−=− ( ) ( ) 1917,0

121

101

212104,01125,0110 22

=+−+

−+−=− yxs

4) 04,11917,0

7,35,3 −=−=t

No se puede afirmar, al nivel del 5%, que el método B es más efectivo que el método A. Unilateral izquierda. 110. Solución: a) 10=n 7,117=x ( )corregidos 24,14= %5=∝ 1) 110:0 =xH µ 2) 05,0=∝ 110: >xaH µ

3) ( )

1

2

1

−−

= ∑n

xxs 4) 91=−= nυ

5) ns

xt

µ−= 71,11024,14

1107,117 =−=t

Los anteriores resultados no son una buena base para afirmar, al nivel del 5%, que el programa sea más efectivo. Unilateral derecha. b) Siendo el valor de $112.000 semanal, se esta cometiendo un error de Tipo II (aceptando algo falso) aceptar a $110.000 cuando es $112.000. c) 05,024,147,117101 =∝=== xsxn 22209,2271,10514 212 =−+==== nnsyn y υ

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ >:

3) ( ) ( )

2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsns yx

yx +−+

−+−=−


54

( ) ( )98,7

141

101

2141009,2211424,14110 22

=+−+

−+−=− yxs

4) 50,198,7

71,1057,117 =−=t

El programa no produce los efectos que sostiene el gerente, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 111. Solución:

182018.684,8282410

05,0459.561,7575110

212

2

21

=−+==∑==∑=

=∝=∑==∑=

nnyyyn

xxxn

ii

ii

υ

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ <:

3) [ ] [ ]

221

22222

−+−∑+−∑=

nnynyxnx

s ii

( )[ ] ( )[ ]96,9

210104,8210018.681,7510459.56 22

2 =−+

−+−=s

4) 17,5

1096,9

1096,9

4,821,75 −=+

−=t

Si se puede afirmar que el plan de incentivos fue efectivo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 112. Solución:

3323592520

10,02590515

212

1

=−+=====∝===

nnsyn

sxn

y

x

υ

3) ( ) ( )

2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsns yx

yx +−+

−+−=−


55

1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝

yxaH µµ <:

( ) ( )6404,10

201

151

220153512025115 22

=+−+

−+−=− yxs

4) 88,16404,10

925905 −=−=t

Si hay suficiente evidencia que la resistencia al esfuerzo de los cables B sea superior a los de A, al nivel del 10%. Unilateral izquierda. 113. Solución:

1629,20317

05,00,104011

212

2

21

=−+====

=∝===

nnsyn

sxn

y

x

υ

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ >:

3) ( ) ( )

2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsns yx

yx +−+

−+−=−

r

( ) ( )8147,1

71

111

27119,201710111 =+

−+−+−=− yxs

4) 96,48147,1

3140 =−=t

Si se puede concluir que en promedio, la iniciación de los síntomas operó más pronto cuando la toxina se administró por el conducto B, al nivel del 5%. Unilateral derecha.


56

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES M UESTRALES 114. Solución:

201 =n 70,02014

1 ==p 01,0=∝

162 =n 63,01610

2 ==p 34221 =−+= nnυ

1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 21: PPHa >

4)

11 2

22

1

11

21

−+

−

−=

nqp

nqp

ppt

( ) ( )

43,0

11637,063,0

1203,07,0

63,070,0 =

−+

−

−=t

Se puede concluir que el jefe de cartera tiene razón para hacer tal afirmación, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 115. Solución:

201 =n 70,02014

1 ==p 05,0=∝

242 =n 42,02410

2 ==p 42221 =−+= nnυ

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >

3) 11 2

22

1

1121 −

+−

=− nqp

nqp

s pp

3) 11 2

22

1

1121 −

+−

=− nqp

nqp

s pp


57

4) ( ) ( )

90,1

12458,042,0

1203,07,0

42,070,0 =

−+

−

−=t

Al nivel del 5% es valida la afirmación. Unilateral derecha. 116. Solución:

251 =n 8,02520

1 ==p 63,01610

2 ==p 162 =n

05,0=∝ 39221 =−+= nnυ 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠

3) 2

22

1

11

21 n

qp

nqp

s pp +=−

4) ( ) ( )

14,1

11637,063,0

1252,08,0

63,080,0 =

−+

−

−=t

Hay igualdad en las preferencias, conclusión que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significación del 5%. Prueba bilateral. 117. Solución:

161 =n 38,0166

1 ==p 05,0=∝

102 =n 30,0103

2 ==p 24221 =−+= nnυ

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠

3) 11 2

2

1

11 2

21 −+

−=− n

qp

nqp

s pp


58

4) ( ) ( )

40,0

1107,03,0

11662,038,0

30,038,0 =

−+

−

−=t

La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral. L IMITES DE CONFIANZA PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES 118. Solución:

25=n 20=µ 4=σ ( ) 65,14500,0 =→ ZA

nzx σµ ±=

±=25465,120x

=±=

68,18

32,21

560,620x

119. Solución:

48,2=σ 100=n 52,168=x %99=P

57,24950,02

9900,0 =→= Z

( )=±=±=

88,167

16,169248,057,252,168

10048,257,252,168

isµ

120. Solución:

60=n 35=x 2,4=s %95=P 4750,02

9500,0 =


59

602,496,135 ±=µ

( ) 96,14750,0 =→ ZA

=±=

±=

938,33

062,36062,135

75,723,835

ISµ

121. Solución:

36=n 40=x 1,2=s %95=P

±=361,296,140

ISµ

=±=

±=

31,39

69,4069,040

612,440

ISµ

122. Solución:

80=n 82,4=x 1,0=s %90=P

( ) 65,14500,0 =→ ZA

=±=±=

802,4

838,4018,082,4

801,065,182,4

ISµ

123. Solución:

110

10 ==∑=n

xx i

( )

0008,09

1100074,101

2222 =−=

−−∑=

n

xnxs i

x

028,00008,0 ==xs 10

028,08331,11±=

ISµ


60

=±=±=

984,0

016,1016,01

16,3051,01

I

Sµ

91101 =−=−= nυ

124. Solución:

20,301.115

518.19 ==∑=n

xx i

( )

17,610.34314

20,301.115364.207.30

1

2222 =−=

−−∑=

n

xnxs i

x 18,58617,610.343 ==xs

14115 =−=υ

n

stx

IS ±=µ

15

18,58614,220,301.1 ±=

ISµ

=±=

31,977

09,625.189,32320,301.1

ISµ

125. Solución:

2,38=x % 15=n 2,5ˆ =s % %99=P 14115 =−=υ

1−±=

n

stx

ISµ

14

2,52,38 t

IS ±=µ

=±=

±=%06,34

%34,4214,42,38

74,3

2,59768,22,38

ISµ


61

126. Solución:

14=n 86,34=x 23,4ˆ =s %95=P 131=−= nυ 05,0=∝

±=

±=60,3

23,41604,286,34

13

23,486,34 t

ISµ

=±=

32,32

40,3754,286,34

ISµ

127. Solución:

23=n 3,26=x 9,1ˆ =s %99=P

±=

±=69,49,1

8188,23,2622

9,18188,23,26

ISµ

=±=

16,25

44,2714,13,26

ISµ

128. Solución:

a)

±=6

83,3zx

I

Sµ

=±=

±=

31,14

48,1958,29,16

45,283,365,19,16

I

Sµ

Nota: cuando se conoce σ se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.


62

b)

9,166

4,101 ==x

93,95

65,492 ==s 15,393,9 ==s

±=

6

15,39,16 t

Isµ

=±=

±=

31,14

49,1959,29,16

6

15,30150,29,16

Isµ

Nota: si se da σ deberá trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con s 129. Solución:

5=n %95=P ?ˆ =s 11,17=sx 39,12=ix

1

ˆ

−

−=

n

sx

tµ

µ−=−

xn

st1

ˆ

µ−= 11,174

ˆ7764,2

s 5,292 =µ

⇒−=

−=−

µ

µ

25,290

39,124

ˆ7764,2

s

75,142

5,29 ==µ

75,1411,172

ˆ7764,2 −=s

( )36,22ˆ7764,2 =s

7,1ˆ

75,14

==

s

µ 7,1

7764,2

72,4ˆ ==s

ix xxi − ( )2xxi − 18,5 1,6 2,65 20,6 3,7 13,69 12,9 -4,0 16,00 14,6 -2,3 5,29 19,8 2,9 8,41 15,0 -1,9 3,61

101,4 0 49,65


63

130. Solución:

15,128

2,97 ==x 04,07

28,02 ==xs 2,0=xs

a) ( )=±=±=±=

90,11

40,1225,015,12

83,22,04995,3

15,1282,015,12 t

I

sµ

b) 35,12:0 =µH 35,12: ≠µaH 131. Solución:

=±=

160.366

840.381

400000.8096,1000.374

I

sµ

320.10400000.8058,2 =±== xZsE E = 10.320

ix xxi − ( )2xxi − 12,1 -0,05 0,0025 11,9 -0,25 0,0625 12,4 0,25 0,0625 12,3 0,15 0,0225 11,9 -0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 12,4 0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 97,2 0 0,2800

Sí se mantiene la producción de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que µ = 12,35 se encuentra dentro de los límites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.


64

132. Solución:

2,5±x n

zx σ± 9900,0%99: ==psiendo

2,5=n

z σ 2,510

57,2 =σ 57,24950,02

9900,0 =→= z

( ) ⇒= 2,516,357,2 σ ( )39,6

57,216,32,5 ==σ 39,6=σ

133. Solución: a) 100=n 26=x 8=σ %99=P 57,2=Z

n

zxIs

σµ ±= 100857,226±=

Isµ

=±=±=94,23

06,2806,226

10

55,2026

Isµ

b) 1) 30:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 8=σ 30: ≠µaH Como µ = 30 no se ubica dentro de los límites de confianza (28,06 y 23,94) hay razón para rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el término medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%. 134. Solución:

30=n 000.612=x 000.9352 =s 95,966=s 05,0=∝

1−±=

n

stxµ =±=

−

±=8,632.611

2,367.61220,367000.612

13095,966045,2000.612µ

045,2291 =⇒=−= tnυ 05,0=∝ 8,632.611ˆ2,367.612ˆ

==

I

S

µµ


65

135. Solución:

8=n 63,20=x ( )corregidos 50,3= 01,0=∝ 718 =−=υ

a) =±=

±=30,16

96,2433,463,20

850,3499,363,20µ

b) 1) 22:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 53,3=s 22: ≠µaH Observamos que 22:0 =µH cae dentro de los límites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al señalado por la empresa. 136. Solución:

18=n semanalx 000.15018

000.700.2 ==

51,470.79118000.351.12 =

−=s 91,28151,470.79 ==s

a) =±=±=

80,859.149

20,140.15020,140000.150

1891,281110,2000.150µ

05,0

171

=∝=−= nυ

110,2=t

b) 1) 000.152:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 20,140.150ˆ =Sµ 000.152: ≠µaH 80,859.149ˆ =Iµ Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los límites de confianza al nivel del 5%. c) El error cometido es de tipo II 137. Solución:

9=n 22,2819531.2 ==x ( )

94,894,7919

22,2819413.712 22 =⇒=

−−= ss


66

a) =±=

±=⇒±=

35,274

09,28887,622,281

994,8306,222,281x

nstxµ

306,205,0

81=

∝==−=

tnv

b) 1) 280:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 09,288=Sµ 280: ≠µaH 35,274=Iµ Observemos que 280 cae dentro de los límites de confianza, al nivel del 5%, por tal razón se puede aceptar la afirmación. 138. Solución:

100=n 120=x 25=s %2=∝ 33,2=Z %98=P a) 120ˆˆ =⇒= µµ x

b) =±=±=⇒±=

18,11482,12582,5120

1002533,2120ˆˆ µµ

nsZx

c) 1) 100:0 =µH 2) 02,0=∝ 3) 82,125ˆ =Sµ 100: ≠µaH 18,114ˆ =Iµ Como 100=µ cae por fuera de los límites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilómetros por hora. DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIÓN 139. Solución:

0376,0000.5

188 ==p 9624,00376,01 =−=q


67

( )( )002683,00000072,0

000.50362,0

000.50376,09624,0 ====ps

a) ( )

=±=±=0332,0

0420,00044,00376,0002683,065,10376,0

ISP

b) ( )=±=±=

0323,00429,00053,00376,0002683,096,10376,0

ISP

c) ( )

=±=±=0307,0

0445,00069,00376,0002683,057,20376,0

ISP

140. Solución:

11,082695 ==q 89,0=p %90=P

nqp

zpPIS ±=

( )0108,00001185,0

8260979,0

82611,089,0 ====ps

( )

=±=±=872,0

908,0018,089,00108,065,189,0

IS

P

141. Solución:

100=n 60,0=p %1=∝ 57,2=Z %99=P

a) npq

zpP ±=ˆ

( )=±=±=

47,0

73,013,06,0

1004,06,057,260,0P


68

b) 1) 62,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp =

62,0: ≠PHa Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los límites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los límites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta 0H . El fabricante tiene razón, al nivel del 1%. c) Se está cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65. 142. Solución:

8,0800640==p 800=n %1=∝ 57,2=Z %99=P

a) npq

zpP ±=ˆ ( )=±=±=

76,0

84,004,080,0

8002,08,057,280,0P

b) 1) 85,0:0 =PH 2) %1=∝ 3) pqsP = 85,0: ≠PHa Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los límites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hipótesis alternativa 85,0: ≠PHa , de ahí que al nivel del 1% no aceptamos la aseveración.

c) ( )800

2,08,003,0

83,077,080,0ˆ ZEEP ==

→±=

( )

( ) 60,9624830,012,2

8002,08,0

03,0 =×⇒== AZ

%60,96=P


69

143. Solución:

100=n 85,010085 ==p %90=P 65,164,1 óZ =

a) npq

zpP ±=ˆ ( )

=±=±=

79,091,006,085,0

10085,015,0

64,185,0P

b) 1) 80,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsp =

80,0: ≠PH a Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los límites, aceptamos

80,0:0 =PH , es decir, que el gerente tiene razón al afirmar que el 80% incluyen leche en la compra, al nivel del 10%. 144. Solución:

80=n 65,08052 ==p 96,1%95 =⇒= ZP

a) npq

zpP ±=ˆ ( )=±±=

55,0

75,010,065,0

8035,065,0

96,165,0P

b) 1) 56,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 56,0: ≠PH a 0,56 cae por dentro de los límites, si hay razón para aceptar la afirmación hecha por la Cámara de Comercio, al nivel del 5%. DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUEST RALES 145. Solución:

32,5110

1,449211010211092

1

2

1

222 =

−−=

−

−

=−−∑=

nxnx

s ix


70

80,411664136

116163216136

1

2

2

222 =

−−=

−

−

=−−∑=

nyny

s iy

1,21021

1

==∑=nx

x i 21632

2

==∑=n

yy i

⇒=−=−+= 24226221 nnυ 0639,2=t

( ) ( ) ( )161

101

216108,411632,5110 +

−+−+−±−=− tyx

I

syxµ

( ) ( ) ( )403,02349,20639,210,01625,024

88,1190639,221,2 ±=±−=−I

syxµ

=±=− 76,1

96,186,110,0Isyxµ

El valor de yxs − se podrá calcular así:

( )[ ] ( )[ ]

59958,421610

2161361,21092 222 ≅=

−+−+−=s ; siendo: 9,0

165

105 =+=− yxs

( ) ( )9,00639,221,2 ±+=− yxµ

=±=− 76,1

96,186,11,0yxµ

146. Solución:

16,4136482.12 ==xs 59,28

64830.12 ==ys

26,159,164

59,283616,41 ==+=− yxs

( ) ( )yxyx sZyx

IS −− ±−=µ


71

( ) ( )=±=±−=− 06,12

94,1794,21526,133,26075

I

Syxµ

147. Solución: Primera parte:

( ) ( ) ( )2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsntyx yx

yx +−+

−+−±−=−µ

( ) ( ) ( )−

=±−=+−+

+±−=− 07,0

07,557,25,2

91

91

29915,5801,8812,25,75yxµ

( )1199,205,0162: 21 ==∝=−+= tquetieneseynnSiendo υ Segunda parte: 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 21,1=− yxs

yxaH µµ ≠:

4) 07,221,1

5,75 −=−=−=− yxs

yxt

16=υ 05,0=∝ 1199,2=t

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. También se pueden utilizar los límites de confianza (de la primera parte), como 0=− yx µµ

Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa. 148. Solución:

91 =n 409

360==x 6=xs %99=P 01,0=∝

202 =n 4820960==y 101002 =⇒= yy ss 27229 =−=υ 771,2=t


72

a) ( ) ( ) ( )2121

22

21 11

2

11

nnnn

snsntyx yx

yx +−+

−+−±−=−µ

( ) ( ) ( )201

91

22091001203619

771,24840 +−+

−+−±−=− yxµ

( )( )

−=±−=±−=− 01,18

01,201,10840,000,9771,28yxµ

b) 1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝ 3) 01,2=sL

yxaH µµ ≠: 01,18−=iL

Sabiendo 0=− yx µµ , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se

acepta la hipótesis nula 0H , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%. 149. Solución:

71 =n 4,177=∑ ix 34,25=x 2,573.42 =∑ ix 10212 =−=υ

52 =n 7,125=∑ iy 14,25=y 15,181.32 =∑ iy 05,0=∝ 228,2=t

[ ] [ ] =−+

−∑+−∑=221

22

221

22

nnynyxnx

S ii ( )[ ] ( )[ ] =−+

−+−257

14,25515,181.334,2572,573.4 22

94,92 =s

a) ( )2

2

1

2

ˆns

nstyxyx +±−=−µ

( )

−=±=+±−=− 91,3

31,411,420,0

594,9

794,9228,214,2534,25yxµ

b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝


73

yxaH µµ ≠:

3)

=∝=

=05,0

10228,2

υparat

Como 0=− yx µµ , observamos que se ubica dentro de los límites -3,91 y 4,31, estaremos

aceptando 0H . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos. 150. Solución:

a) ( ) ( ) ( )101

101

21010892.1110636.1110

101,2335272 +−+

−+−±−=− yxµ

−−=±−=− 46,102

54,23 46,3963yxµ

b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠:

3)

=∝=

=05,0

1801,2

υparat

Siendo 0=− yx µµ , no cae dentro de los límites -102,46 y -23,54 de ahí que no aceptamos

0H . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras. 151. Solución:

a) ±=

±=42,745

58,85458,54800

4115033,2800s

Iµ Saldo promedio en cuentas corrientes

b) 1) 000.1: =µoH 2) %1=α 000.1: >µaH


74

3) 92,5

35200

000.1200.1 =−=Z

Al nivel del 1%, se puede concluir que sí es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro. d) 1) yxoH µµ =: 2) %05.0=α

yxaH µµ ≠:

3) 73,9

35200

41150

200.180022

−=+

−=Z

Se observa que -9,73 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos. e) 1) yxoH µµ =: 2) %05.0=α

yxaH µµ <:

3) 73,9

35200

41150

200.180022

−=+

−=Z

Al nivel del 5%, se puede concluir que promedio en las cuentas corrientes es menor que el de los ahorros. 152. Solución:

101 =n 4=x 4,0=xs 122 =n 6,3=y 03,0=ys

±=− 14,0

66,026,04,0yxµ

( )1203,0

104,0086,26,34

22

+±−=− yxµ


75

DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES 153. Solución:

33,012040

1 ==p 37,015055

2 ==p

a) ( ) ( ) ( )

−=±−=+±−=− 19,0

11,015,004,0

15063,037,0

12067,033,057,237,033,0

21 ppµ

b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠ Se observa que 021 =− PP y se ubica dentro de los límites, por lo tanto se puede concluir que la diferencia entre éstas dos proporciones de preferencia no es significativa al nivel del 1%. 154. Solución:

63,01610

1 ==p 55,02212

2 ==p 36=υ 028,2=t

a) ( ) ( ) ( )

−=±=

−+

−±−=− 26,0

42,034,008,0

12245,055,0

11637,063,0

028,255,063,021 PPµ

Nota: es muy común, en el caso de muestras pequeñas, donde debe utilizarse la “t” de Student, se obtenga la varianza pq dividiendo por n-1, tal como se hizo en el ejercicio anterior. b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠ Siendo 21 PP = , la diferencia de 021 =− PP ubicándose dentro de los límites que permiten la aceptación de la hipótesis nula (0H ), es decir, que los anteriores resultados no permiten concluir, una diferencia significativa de opción respecto a los nuevos incentivos.


76

155. Solución:

2001 =n 6,0200120

1 ==p %95=P 96,1=Z

3002 =n 50,0300150

2 ==p 05,0=∝

a) ( ) ( ) ( )=±=+±−=− 01,0

19,009,010,0

3005,05,0

2004,06,0

96,15,06,021 ppµ

( )2

22

1

112121 n

qpnqp

Zpppp +±−=−µ

b) 1) 60,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 60,0: <PHa

3) 2

22

1

11

21 nqp

nqp

s PP +=−

4)

2

22

1

11

21

nqp

nqp

ppZ

+

−=

( ) ( )

22,2

3005,05,0

2004,06,0

5,06,0 =+

−=Z

Como es una prueba unilateral seguimos este proceso. Observemos que 2,22 cae en la región crítica, por lo tanto podemos decir que en la segunda encuesta disminuyó su popularidad. NOTA: Se entiende mejor el problema si se invierten las proporciones, es decir, 50,01 =p y 60,02 =p y la prueba es unilateral izquierda. 156. Solución:

101 =n 60,0106

1 ==p 90,0=P 2621810 =−+=υ

182 =n 50,01810

2 ==p 10,0=∝ 706,1=t


77

( )11 2

22

1

112121 −

+−

±−=− nqp

nqp

tppppµ

( ) ( ) ( )

−=±=

−+

−±−=− 31,0

39,035,004,0

11844,056,0

1104,06,0

706,156,06,021 ppµ

157. Solución:

%181 =p 161 =n %95=P ⇒=−+= 3422016υ 032,2=t

%102 =p 202 =n 05,0=∝ (se toma el doble 10,0=∝ )

( )21 2

22

1

112121 −

+−

±−=− npp

nqp

tppppµ

( ) ( ) ( )120

9,01,0

116

82,018,0032,210,018,0

21 −+

−±−=− ppµ

−=±=− 16,0

32,024,008,0

21 ppµ

Los límites están entre -16% y el 32%


78

158. Solución:

( )

( ) ( ) ( )

−=±−=

−+

−±−=

−+

−±−=

=∝====

=−+=====

−

−

−

42,0

12,027,015,0

12015,085,0

1203,07,0

024,285,070,0

11

024,205,085,0201720

3822020%9570,0201420

11

21

212

22

1

1121

22

11

pp

pp

pp nqp

nqp

tpp

tpn

Ppn

µ

µ

µ

υ

Se podría decir que los límites están entre -0,42 y el 12%. 159. Solución:

3,6ˆ1,1520cafédelibra1onzas16 ==== sxn a) 1) 16:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 3,6ˆ =s 16: <µaH

62,01203,6

161,15 −=−

−=t

093,205,0191

=

=∝=−=

tnυ

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que se está vendiendo el producto por debajo del peso establecido de una libra. b) Si el valor verdadero es 15,5 onzas, se comete un error de Tipo II, ya que se está

aceptando a 16 onzas, valor que es falso. 160. Solución:


79

9325,868%1 21 =====∝ yxnn

( ) 215,82 =−=Σ xxi ( ) 48,132 =−=Σ yyi

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa <

3) 81,1268

48,13215,82 =−+

−=s 81,12 =s

93,0

681,1

881,1

9325,8 −=+

−=t

681,202,01221 =

=∝=−=

tnnυ

Cae (-0,93) en la ZA, por lo tanto al nivel del 1%, no se puede concluir que el valor de B produce una mayor utilidad que el valor A. 161. Solución:

87,012010490,0

120108120120 2121 ====== ppnn

1) 210 : PPH = 2) 02,0=∝ 21: PPH a >

( ) 05,24800,002,0 =⇒⇒=∝ ZA

( ) ( ) 73,0041,003,0

12087,013,0

12090,010,0

87,090,0 ===

−=Z

0,73 cae en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 2%, no se podrá afirmar que la asistencia en la primera fábrica sea superior a la segunda. 162. Solución:


80

63828171 === xsxn

67,5275,80882 === ysyn

1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝

yxaH µµ ≠:

807,201,023221 =

=∝=−+=

tnnυ

( ) ( ) ( )8

1

17

1

225

67,5276316807,275,808828

22

+−

+±−=− yxµ

−=±=− 01,53

51,9126,7225,19yxµ

Se acepta 0H al nivel del 1%, por lo tanto no existe diferencia salarial 163. Solución:

50,004,310/07,3 ==== sxnccmgµ 1) 07,3:0 =xH µ 2) 01,0=∝ 07,3: ≠xaH µ

25,301,091

=

=∝=−=

tnυ

19,0

105,0

07,304,3 −=−=t

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del distribuidor, sobre el contenido medio de grasa. Prueba bilateral. 164. Solución:


81

( )∑ =−== 95,4391,337 2xxxn i

( )∑ =−== 85,3114,335 2yyyn i

228,205,0

10=

=∝=

tυ

58,7257

85,3195,432 =−+

+=s

a) ( )558,7

758,7228,214,3391,33 +±−=− yxµ

−=±=− 82,236,4

59,377,0yxµ

b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ ≠:

Como 0=− yx µµ si el cero cae dentro de los límites, estamos aceptando 0H , es decir, no

hay diferencias o no están en desacuerdo, al nivel del 5%. 165. Solución:

10,0=P 09,0500.2

218 ≅=p

1) 10,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 10,0: ≠PHa

( ) 75,1

500.291,009,0

10,009,0 −=−=Z

-1,75 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% se puede afirmar que el porcentaje es correcto. 166. Solución:

%120,87,95501 =∝=== xsxn


82

33,264,68,87502 ==== Zsyn y

1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝

yxaH µµ >:

3) 29,5

5064,6

502,8

8,877,9522

=+

−=Z

5,29 cae en la región crítica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmación del fabricante, que el promedio a la tensión de los tornillos A excede a los de B. 167. Solución:

32,0100 11 == pn 24,080 22 == pn 1) 210 : PPH = 2) 02,0=∝ 21: PPHa >

3) ( ) ( )

26,1

100

76,024,0

100

68,032,0

24,032,0 =+

−=Z

1,26 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminación, al estar alimentadas con combustibles diferentes. 168. Solución:

40,0=P 35,0600210==p


83

1) 40,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 40,0: ≠PHa

3) ( ) 57,2

60065,035,0

40,035,0 −=−=Z

Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporción de fumadores es diferente al 40%. 169. Solución:

37,014,12812 ==== sxnµ 1) 12:0 =µH 2) 05,0=∝ 12: ≠µaH

365,205,0

7=

=∝=

tυ

3) 07,1

837,0

1214,12 =−=t

t = 1,07 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos. 170. Solución:


84

Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este último. El primer método produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaños muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer método presenta un mayor incremento. 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >

3) ( ) ( ) 29,0

509,010,0

3688,012,0

10,012,0 =+

−=Z

Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptación, al nivel el 5%, se podrá concluir que el primer método no produce mayor incremento con respecto al segundo método. 171. Solución:

05,005,02501307,0

25018250250 2121 =∝====== ppnn

1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >

3) ( ) ( )

94,0

25095,005,0

25093,007,0

05,007,0 =+

−=Z

Z = 0,94 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera. 172. Solución: a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al

comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una población supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmación con respecto a un valor estadístico de la población.


85

b) La distribución “t” de Student se utiliza en muestras pequeñas, generalmente 30≤n , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra.

c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hipótesis verdadera, cuando ella es

falsa. d) La inferencia corresponde a la realización de investigaciones utilizando una parte de los

elementos de la población (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerándolos representativos de los valores estadísticos de la población (parámetros).

173. Solución:

3ˆ261024 ==== sxnµ 1) 24:0 =µH 2) 01,0=∝ 24: >µaH

821,202,0

9=

=∝=

tυ

2

1103

2426 =

−

−=t

t = 2 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos. 174. Solución: Se deja al alumno la contestación de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendió en clase y en la lectura de éste u otros textos.


86

175. Solución:

07,01911419105,0 ==== pnP

1) 05,0: 10 =PH 2) 05,0=∝ 05,0: 1 >PHa

3) ( ) 08,1

19193,007,0

05,007,0 =−=Z

Z = 1,08 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se está cumpliendo. Unilateral derecha.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007

9

Otras pruebas de hipótesis PARAMETRICAS Y NO PARAMETRICAS


PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA 1. Solución: a) 1911001020 2 =−==== nssn υ

Valores críticos

=

=

73,1

469,0

19;975,0

219;025,0

2

υχ

υχ

73,1469,02

<<υχ → 73,1

ˆ469,0 2

2

<<σs →

73,11

ˆ46901

2

2

>>s,

σ →

73,1

100

4690

100 2 >> σ,

→ 469,0

100

73,1

100 2 << σ → 47,0

10

73,1

10 << σ →

59,1460,7 << σ


2

b) 1001051 2 === ssn

Valores críticos 43,1

647,0

50;975,0

250;025,0

2

=

=

υχ

υχ

43,1647,02

<<υχ → 43,1

100647,0 2 <<

σ →

43,11

10064701 2

>> σ,

647,0

100

431

100 2 << σ,

→ 647,0

10

43,1

10 << σ → 43,1236,8 << σ

2. Solución: a) 100;1070 2 === ssn

36,1

697,0

19;975,0

270;025,0

2

=

=

υχ

υχ

36,1697,02

<<υχ → 36,1

ˆ697,0 2

2

<<σs →

697,01

ˆ3611

2

2

<<s,

σ

697,0

100

361

100 2 << σ,

→ 697,0

10

36,1

10 << σ → 8348,0

10

1662,1

10 << σ

98,1157,8 << σ


3

b) 120=n

27,1

763,0

120;975,0

2120;025,0

2

=

=

υχ

υχ

27,1763,02

<<υχ → 27,1763,0

2

2

<<σs

→ 27,1100

763,0 2 <<σ

27,11

10076301 2

>> σ,

→ 27,1

100

7630

100 2 >> σ,

→ 763,0

100

271

100 2 << σ,

763,0

10

27,1

10 << σ → 8735,0

10

1269,1

10 << σ → 45,1187,8 << σ

3. Solución: 1557ˆ === ns σ

1)

≠

==

125

:

125

:

2

2

20

2

σ

σσσ

a

o

H

H

2) 975,02

025,02

05,0 =∝=∝=∝ 3) 25

ˆ22 S=υχ

4) 402,014;025,0

2

=

υχ

5) 87,1402,02

>>υχ 6) 96,1

2549ˆ

2

2

==σS

87,114;975,0

2

=

υχ

7) 125

aceptaryRechazar2

: ≠σao HH


4

4. Solución: a) confianzade%95 b) 99% de confianza

63,0

7

37,1

7

402,0

7

87,1

7

402,0

49

871

49

402,0

1

49871

1

87,1

1

494020

1

87,149

402,0

87,1402,0

2

2

2

2

2

2

<<

<<

<<

<<

>>

<<

<<

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

,

,

,

S

11,1111,5 << σ 96,1267,4 << σ

54,07

50,17

291,07

24,27

291,049

24249

24,21

4929101

24,249291,0

24,2291,0

2

2

2

2

2

<<

<<

<<

>>

<<

<<

σ

σ

σ

σ

σ

σ

,

,

S


5

5. Solución:

251020 === nsσ

1)

≠

==

120

:

120

:

2

2

2

2

20

2

σ

σσσ

a

o

H

H

2) 05,0=∝ 3) 400

2

2

22ss ==

συχ

4) 517,024;025,0

2

=

υχ

; 64,124;975,0

2

=

υχ

5) 64,12

>

υχ

; 517,02

<

υχ

125

aceptaryRechazar2

:0 ≠σaHH 6) 25,0

400100

202

2

==s

6. Solución:

5,02205,0 ===∝ σn

Continuación

x x2 12,7 161,29 13,1 171,61 12,3 151,29 12,6 158,76 13,2 174,24 12,9 166,41 12,8 163,84 13,0 169,00 13,6 184,96 12,4 153,76 13,1 171,61 14,6 213,16

x x2 12,6 158,76 13,8 190,44 12,4 153,76 13,4 179,56 14,1 198,81 12,7 161,29 13,3 176,89 13,5 182,25 13,4 179,56 12,5 156,25

288,0 3.777,50


6

09,1322

288 === ∑n

xx i

( )36,0

22

09,132250,777.3 2222 =−=

−= ∑

n

xnxs i

a) 1) 15,0

: 2

2

0 =σH 2) 05,0=∝

15,0

:2

2

≠σaH

3) 2

2

2

22

5,0

ss ==

συχ

4) 480,021;025,0

2

=

υχ

5) 71,1;480,022

≥

≤

υχ

υχ

71,124;975,0

2

=

υχ

6) 44,125,0

36,02

2

==σs

hipótesis la Aceptamos1:)7 20

2

0 =σσ

H

b) 71,1ˆ

480,0 2

2

<<σs ⇒ 71,1

36,0480,0

2<<

σ ⇒

71,1

1

36,0480,0

1 2

>> σ

71,1

36,0

480,0

36,0 >> σ ⇒ 71,1

60,0

480,0

60,0 >> σ ⇒ 31,1

60,0

69,0

60,0 >> σ

69,0

60,0

31,1

60,0 << σ ⇒ 87,046,0 << σ

7. Solución:

( )000.1

2

=∑n

xi ( ) ( ) 000.100100000.12 ==∑ ix 23,316000.100 ==∑ ix

16,3100

23,316 === ∑n

xx 01,1099,92016,3

100

000.2 222

2 =−=−=−= ∑ xn

xs i


7

a) 1) 18

:2

0 =σH 2) 05,0=∝

18

:2

≠σaH

3) 742,0100;025,0

2

=

υχ 30,1

2

>

υχ

4) 30,1100;975,0

2

=

υχ

74,02

<

υχ

5) 25,1801,10

2

2

==σs

6) 18

que Aceptamos2

=σ , por lo tanto se puede admitir que la varianza anterior era 8, al

nivel de significación del 5%.

Nota: del ejercicio 8 hasta el 15 se le deja al estudiante para que sean resueltos.


8

PRUEBAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON 16. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 0: >ρaH 7341,110,0 =t

3) 18220 =−=υ ncorrelacióHay :

ncorrelacióhay No :

0

0

H

H

4) 21

2

r

nrt

−−=

( ) 69,157,437,037,01

1837,0

2==

−=t

1,69 < 1,7341. Se acepta la hipótesis nula. No se puede deducir al nivel del 5%, que el coeficiente de correlación de la población difiere de 0. No hay correlación 17. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RH a 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 16218 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

( ) 39,992,01

1692,0

2−=

−−−=t

-9,39 < -2,1192. Se ubica en la zona de rechazo. Se puede concluir al nivel del 5% que el coeficiente de correlación es extremadamente significativo.


9

18. Solución:

6011

660 === ∑n

xix 80

11

880 === ∑n

yy 593.52=∑ ii yx

210.412 =∑ ix ∑ = 864.702

iy

( )[ ] ( )[ ]∑∑

∑

−−

−=

2222 ynyxnx

yxnyxr

ii

ii ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]239,0

8011864.706011210.41

8060593.52

22−=

−−

−r

1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RHa 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 9211 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

74,0057,01

9239,0 −=

−−=t

Se acepta 0H . Al nivel de significación del 5%, se puede concluir que no existe correlación entre las calificaciones de matemáticas II y estadística II. 19. Solución:

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

−−

−=2222

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

2604814310228 22 ===== ∑∑∑∑∑ iiiiii yyyxxx

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]33,0

48260102810210

284814310

22=

−−

−=r


10

1) 0:0 =RH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 3) 8210 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

99,011,01

833,0 =

−=t

0,99 < 1,86. Se acepta 0H , es decir, que no existe correlación entre las actitudes obtenidas con la muestra, ante los dos tipos de salsa. 20. Solución:

z

zzz

σµ−= 18,0

66,51

335

1

3

1 ==−

=−

=n

zσ

+=r-1r1

In21

zµ

+=r-1r1

log1513,1 10zµ

( ) 4721,12787,11513,110,0

9,1log1513,1

9,0-1

9,01log1513,1 1010 ==

=⇒

+= zz µµ

Ahora determinamos el valor de la variable Z

+=r-1r1

log1513,1 10z ( ) 0986,19542,01513,18,0-18,01

log1513,1 10 ==

+=z

Los valores de zµ y Z se pueden obtener utilizando la tabla de transformación de r en Z. Buscamos en la columna de r el valor de 0,9 y nos da 1,472, luego el de 0,8 y Z será igual a 1,099.


11

Con los anteriores valores, reemplazamos en la variante estadística. 1) 90,0:0 =RH 90,0:0 =ρH 90,0: ≠RHa 90,0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 18,0=zσ

4) 075,218,0

4721,10986,1 −=−=−=z

zzz

σµ

Al nivel del 5% se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es de 0,90, es decir que el coeficiente de correlación de 0,8 no proviene de una población con un coeficiente de 0,9. Nota: se hubiera podido hacer una prueba unilateral hacia la izquierda. a) 9,0:0 =RH 05,0=∝ 9,0: <RHa La conclusión será la misma que la dada en la dócima bilateral. 21. Solución:

2182,021

1

3

1 ==−

=n

zσ 6932,06,0-16,01

log1513,1 10 =

+=zµ

(Usando la tabla se obtiene 0,973) 9730,075,0-175,01

log1513,1 10 =

+=z

1) 60,0:0 =RH 2) 05,0=∝ 60,0: >RHa 3) 2182,0=zσ


12

4) 28,12182,0

6932,0973,0 =−=−=z

zzz

σµ

Se acepta la hipótesis de que R = 0,60; no se puede rechazar que el coeficiente de correlación r = 0,75, en una muestra, no pertenezca a una población con coeficiente de correlación 0,60. 22. Solución:

143,0352

1 =−

=zσ

2σµ zzis

z ±=

( )

=±=31,0

87,0143,096,1590,0

iszµ

23. Solución: 1) 60,0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 60,0: >ρaH

3) 10,0101

3103

1 ==−

=zσ

4) z

zzz

σµ−= 79,7

10,0

693,0472,1 =−=z

Usando la tabla: z para r = 0,90 es igual a 1,472; zµ para r = 0,60 es igual a 0,693 Se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es 0,60, al nivel del 5% 24. Solución:

1428,0352

1 =−

=zσ ( ) ?40,0 =≤rP


13

678,0=zµ (Utilizamos la tabla, cuando r = 0,59); 424,0=z (En la tabla cuando r = 0,40)

78,11428,0

678,0424,0 −=−=−

=z

zzz

σµ

( )4625,078,1 Az →−=

( ) ( ) 0375,04625,05000,0 =− AA

( ) %75,340,0 =<rP

25. Solución:

775,0,65,0 == ztablalaenr µ 973,075,0 aigualseráZrparay =⇒= Si la ( ) 15,0%1575,0 ==≥rP

( ) ( ) 04,13500,01500,05000,0 =⇒=− zAA

z

zzz

σµ−=

19,004,1

775,0973,0 =−=zσ ⇒ 3

119,0

3

1

−=⇒

−=

nnzσ ⇒ 26,5

19,0

13 ==−n

3132828326,5326,53 2 =+=⇒=−⇒=−⇒=− nnnn n = 31

26. Solución:

−+=

1

11 1

1log1513,1

r

rz 549,0

5,015,01

log1513,11 =

−+=z (ver tabla)


14

310,030,0130,01

log1513,12 =

−+=z (ver tabla) 2669,0

32

1

25

1

3

1

3

1

2121

=+=−

+−

=− nnzzσ

1)

21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝ 3) 2669,0

21=− zzσ

21

: zzaH µµ ≠

4) ( ) ( )

21

2121

zz

zzzzz

−

−−−=

σµµ

( )

8955,02669,0

0310,0549,0 =−−=z

Z = 0,8955 se sitúa en la zona de aceptación, es decir, no existe una diferencia significativa entre los coeficientes de correlación obtenidos en las muestras. 27. Solución:

−+=

1

11 1

1log1513,1

r

rz

099,18,018,01

log1513,11 =

−+=z 693,0

6,016,01

log1513,12 =

−+=z

354,0241

121

31

31

2121

=+=−

+−

=− nnzzσ

1)

21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝

21

: zzaH µµ ≠

3) 354,0

21=− zzσ

4) ( )

15,1354,0

693,0099,10

21

21 =−=−−=− zz

zzz

σ

15,1=z La diferencia no es significativa, al nivel del 5%.


15

28. Solución:

ix iy ii yx 2ix 2

iy 5 3 15 25 9 8 2 16 64 4

10 5 50 100 25 12 6 72 144 36 20 14 280 400 196 55 30 433 733 270

115

55 ==x 65

30 ==y 18365

27022

2 =−=−= ∑ yn

ys i

y

6,251215

73322

2 =−=−= ∑ xn

xs i

x 6,20666,86 =−=−= ∑ yxn

yxm ii

yx

81,06,25

6,202

===x

yxxy

s

mb

( ) 91,21181,06 −=−=−= xyxy bxyC 81,0=xyb 91,2−=xyC

xybY =ˆyxCx + 91,281,0ˆ −= xY

( ) ( )31,1

5

43381,03091,22702

2 =−−−=−−

=∑ ∑ ∑

n

yxbyCys iixyixyi

xy

14,131,1 ==xys

06,56,25 ==xs

( )83,0

23,0

73,111,025

06,5

14,170,081,0

2´

==−−=−−

= n

s

s

bbt

x

xy

YXxy


16

Siendo 325 =−=υ ; 3554,205,0 =t . Se acepta la hipótesis de que el coeficiente de

regresión puede ser tan bajo como 0,70.

29. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 49 47 2 0,1 0,01 2 58 57 1 -0,9 0,81 3 53 49 4 2,1 4,41 4 60 57 3 1,1 1,21 5 45 44 1 -0,9 0,81 6 49 44 5 3,1 9,61 7 66 67 -1 -2,9 8,41 8 55 52 3 1,1 1,21 9 44 42 2 0,1 0,01 10 52 53 -1 -2,9 8,41 Σ - - 19 0 34,90

9,110

19 === ∑n

dd i

( )97,1

990,34

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 62,010

97,1 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝

0: ≠da aH

3) 62,0=ds

4) 06,362,0

09,1 =−=−

=d

d

s

adt

91101 =−=−= nυ Los resultados señalan una diferencia significativa entre ambas semillas; 06,3=t se sitúa en la región crítica, por tal razón, se rechaza la hipótesis nula 0: =do aH y se acepta la

alternativa.

t


17

30. Solución:

Pareja ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 25 19 6 3 9 2 30 32 -2 -5 25 3 28 21 7 4 16 4 34 34 0 -3 9 5 23 19 4 1 1

Σ - - 15 0 60

( )

87,3460

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d

35

15 === ∑n

dd i

73,15

87,3 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 415 =−=υ 0: ≠da aH

3) 73,1=ds

4) 73,173,1

03 =−=−

=d

d

s

adt

t = 1,73 se sitúa en la región de aceptación y se acepta la hipótesis nula, es decir, no puede considerarse que alguna dieta sea superior a la otra.


18

31. Solución:

48,656 === dsdn

n

stda d

dis

±= 516 =−=υ

−=±=±=

80,1

80,1180,65

6

48,65706,25

isda

32. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 13 12 1 0 0 2 14 16 -2 -3 9 3 19 17 2 1 1 4 10 9 1 0 0 5 15 16 -1 -2 4 6 14 12 2 1 1 7 12 10 2 1 1 8 11 8 3 2 4

Σ - - 8 0 20

( )69,1

7

20

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 18

8 ==d 60,08

69,1 ===n

ss d

d

1) 0:

0:0

>=

da

d

aH

aH 8946,1

10,0

7=

=∝=

tυ

2) 05,0=∝ 3) 60,0=ds

4) 67,160,01 ==

−=

d

d

s

adt


19

Al nivel del 5%, estos resultados no señalan una mayor producción para la nueva manzana. 33. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 23 28 -5 -3,5 12,25 2 35 38 -3 -1,5 2,25 3 29 29 0 1,5 2,25 4 33 37 -4 -2,5 6,25 5 43 42 1 2,5 6,25 6 32 30 2 3,5 12,25

Σ - - -9 0 41,50

5,16

9 −=−== ∑n

dd i

( )88,2

550,41

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 18,16

88,2 ===n

ss d

d

1) 0:

0:0

<=

da

d

aH

aH 015,2

5

10,0=

==∝

tυ

2) 05,0=∝ 3) 18,1=ds

4) 27,118,1

05,1 −=−−=−

=d

d

s

adt

Como -1,27 se ubica en la zona de aceptación, se considera que estos resultados no indican que la pausa para el café aumenta la productividad. 34. Solución:

Finca ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −

1 86 80 6 0,5 0,25 2 87 79 8 2,5 6,25 3 56 58 -2 -7,5 56,25 4 93 91 2 -3,5 12,25 5 84 77 7 1,5 2,25


20

6 93 82 11 5,5 30,25 7 73 74 -1 -6,5 42,25 8 79 66 13 7,5 56,25

Σ - - 44 0 206,00

5,58

44 === ∑n

dd i

( )42,5

7206

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 92,18

42,5 ===n

ss d

d

7=υ 05,0=∝

n

stda d

dis

±=

( )

=±=96,0

04,1092,13646,25,5

isda

35. Solución:

Atleta ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 127 135 -8 -4,1 16,81 2 195 200 -5 -1,1 1,21 3 162 160 2 5,9 34,81 4 170 182 -12 -8,1 65,61 5 143 147 -4 -0,1 0,01 6 205 200 5 8,9 79,21 7 168 172 - 4 -0,1 0,01 8 175 186 -11 -7,1 50,41 9 197 194 3 6,9 47,61

10 136 141 -5 -1,1 1,21

Σ - - -39 0 296,90

9,310

39 −=−== ∑n

dd i

( )74,5

99,296

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 91 =−= nυ 05,0=∝

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 74,5=ds

0: ≠da aH


21

4) ( )

15,274,5

16,39,3 −=−=−

=

n

sad

td

d

Se acepta la hipótesis nula. Al nivel del 5%, el programa de entrenamiento no afecta el peso medio de los atletas. 36. Solución:

6,96,52405,025 ====∝= dsdn υ 1) 0:0 =daH 241 =−=nυ 0: >

da aH 10,0=∝

2) 05,0=∝ 3) 6,9=ds

4) 92,2

25

6,906,5 =−=

−=

n

sad

td

d

Se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. El primer método es superior, al nivel del 5%. 37. Solución:

Amas de casa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −

1 3 2 1 3 9 2 1 4 -3 -1 1 3 5 4 1 3 9 4 2 7 -5 -3 9 5 0 3 -3 -1 1 6 4 4 0 2 4 7 3 6 -3 -1 1 8 3 5 -2 0 0 9 2 5 -3 -1 1

10 5 8 -3 -1 1 Σ - - -20 0 36


22

210

20 −=−== ∑n

dd i

( )2

936

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: <da aH 9=υ

3) 2=ds

4) 16,32

102 −=−=−

=

n

sad

td

d

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa 0<da . Al nivel de

significación del 5%, el tipo de salsa picante menos espesa alcanzó una mayor preferencia en la muestra. 38. Solución:

No. ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 2 3 -1 0 0 2 3 5 -2 -1 1 3 4 7 -3 -2 4 4 5 4 1 2 4 5 1 3 -2 -1 1 6 4 2 2 3 9 7 5 5 0 1 1 8 7 4 3 4 16 9 4 6 -2 -1 1

10 5 7 -2 -1 1 11 3 6 -3 -2 4 12 3 6 -3 -2 4

Σ - - -12 0 46

112

12 −=−== ∑n

dd i

( )04,218,4

11

46

1

2

===−−

= ∑n

dds i

d

1) 0:

0:0

<=

da

d

aH

aH 7959,1

10,0

111−=

=∝=−=

tnυ


23

2) 05,0=∝ 3) 04,2=ds

4) ( )

70,104,2

46,31 −=−=−=−

=dd

d

s

nd

n

sad

t

Se ubica en la zona de aceptación; la diferencia no es significativa al nivel del 5%. Podrá afirmarse que el anuncio B no suscita más atención que el anuncio A. 39. Solución:

No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 20 19 1 0,6 0,36 2 17 18 -1 -1,4 1,96 3 18 20 -2 -2,4 5,76 4 20 17 3 2,6 6,76 5 19 18 1 0,6 0,36 6 18 17 1 0,6 0,36 7 19 19 0 -0,4 0,16 8 20 19 1 0,6 0,36 9 19 20 -1 -1,4 1,96

10 20 19 1 0,6 0,36 - Σ 4 0 18,40

4,010

4 === ∑n

dd i

( )43,1

1

2

=−−= ∑

n

dds i

d 452,010

43,1 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: ≠da aH 3) 43,1=ds

4) 885,0452,04,0 ==−=

d

d

s

adt

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que exista una diferencia significativa. 40. Solución:


24

No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 21 17 4 0 0 2 20 18 2 -2 4 3 20 18 2 -2 4 4 22 16 6 2 4 5 16 14 2 -2 4 6 21 13 8 4 16 - Σ 24 0 32

46

24 === ∑n

dd i

( )53,2

532

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 033,145,2

53,2

6

53,2 ====n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 01,0=∝ 0: ≠da aH

3) 872,3033,14 ===

ds

dt

Al nivel del 1%, no permite afirmar que exista una diferencia significativa. 41. Solución:

No. Prueba 1º. Estudio 2º Estudio iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 7 8 -1 -4 16 2 8 8 0 -3 9 3 10 7 3 0 0 4 11 6 5 2 4 5 18 10 8 5 25 6 16 9 7 4 16 7 12 9 3 0 0 8 12 8 4 1 1 9 6 7 -1 -4 16

10 12 10 2 -1 1

Σ - - 30 0 88


25

310

30 === ∑n

dd i %99=P 9=υ 2498,3=t

( )13,3

988

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 99,010

13,3 ===n

ss d

d

dd tsda ±=

( )

−=±=

22,0

22,699,02498,33

isda

1) 0:0 =daH 9=υ 02,0=∝ 0: >da aH 821,2=t

2) 01,0=∝ 3) 03,399,0

3 ==t

Se concluye que este programa si reduce el tiempo medio de ensamble, al nivel del 1%. 42. Solución:

Mecanógrafa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 75 79 -4 -22,88 523,49 2 89 62 27 8,12 65,93 3 79 54 25 6,12 37,45 4 85 67 18 -0,88 0,77 5 102 81 21 2,12 4,49 6 115 78 37 18,12 328,33 7 97 66 31 12,12 146,89 8 69 73 -4 -22,88 524,49 Σ - - 151 0 1.631,84

88,188

151=== ∑n

dd i

( )27,15

784,631.1

1

2

==−−= ∑

ndd

s id 40,5

8

27,15 ===n

ss d

d


26

1) 0:0 =daH 71 =−= nυ 0: ≠da aH 3646,205,0 =t

2) 05,0=∝ 3) 40,5=

ds

4) d

d

s

adt

−= 50,3

40,5

088,18 =−=t

El valor de 50,3=t se ubica en la región crítica. Se rechaza la hipótesis nula 0:0 =daH por lo tanto la diferencia es significativa, al nivel del 5%. CHI – CUADRADO O JI-CUADRADO 43. Solución:

in *in *

ii nn − ( )2*ii nn −

( )*

2*

i

ii

n

nn −

12 16,666 -4,666 21,77 1,306 17 16,666 0,334 0,11 0,007 20 16,666 3,334 11,12 0,667 22 16,666 5,334 28,45 1,707 13 16,666 -3,666 13,44 0,806 16 16,666 -0,666 0,44 0,026

100 99,999 0,004 - 4,519

6

1=p ( ) 666,161006

1* === pnni 51 =−= nSiendoυ 09,15201,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:

3) ( )

519,4*

2*2 =

−= ∑

i

ii

n

nnχ

Como 519,42 =χ se sitúa en la zona de aceptación, se puede considerar al dado como perfecto, es decir, no está cargado, al nivel del 1%.


27

44. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

20 25 -5 25 1,00 55 50 5 25 0,50 25 25 0 0 0

100 100 0 - 1,50

25,04

11 ==p 50,0

4

22 ==p 25,0

4

13 ==p

( ) 2525,01001

* === pnni ( ) 5050,01002*2 === pnn ( ) 2525,01003

*3 === pnn

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝


3) ( )

50,1*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Siendo 213 =−=υ 99,52

05,0 =χ

Se puede concluir que la segregación se ha presentado de acuerdo a la relación mendeliana de 1: 2: 1. 45. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

120 122,06 -2,06 4,24 0,0347 49 40,69 8,31 69,06 1,6972 36 40,69 -4,69 21,99 0,5404 12 13,56 -1,56 2,43 0,1792

217 217,00 0 - 2,4515


28

5625,016

91 ==p ( ) 06,1225625,02171

*1 === npn

1875,016

32 ==p ( ) 69,401875,02172

*2 === npn

1875,016

33 ==p ( ) 69,401875,02173

*3 === npn

0625,016

14 ==p ( ) 56,130625,02174

*4 === npn

1) *

0 : ii nnH = 314 =−=υSiendo

*: iia nnH ≠ 82,7205,0 =χ

2) 05,0=∝

3) ( )

4515,2*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

( )∑

−=e

eo

F

FF 22χ

Se puede concluir, que los resultados son consistentes con la proporción esperada, al nivel del 5%. 46. Solución:

1)

( )∑ =−= 4

*

2*2

i

ii

n

nnχ

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

440 400 40 1.600 4

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

220 200 20 400 2


29

2)

( )∑ =−= 2*

2*2

i

ii

n

nnχ

Exactamente es la mitad del valor del punto (a)

3) 2002

1400 =

== pnµ 1021

21

400 =

== qpnσ

95,110

2005,219 =−=−=σ

µXz

95,110

2005,180 −=−=−=σ

µXz

( ) 9488,04744,04744,04744,095,1 =+→= Az

( ) %12,50512,09488,015,2195,180 ==−=>> xP

47. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

34 36 -2 4 0,11 10 12 -2 4 0,33 20 16 4 16 1,00 64 64 0 - 1,44

5625,016

91 ==p ( ) 365625,0641

* === pnni

1875,016

32 ==p ( ) 121875,0642

*2 === pnn

oF eF eo FF − ( )2eo FF −

( )e

eo

F

FF 2−


30

25,016

43 ==p ( ) 1625,0643

*3 === pnn

2131 =−=−=nυ 99,52

05,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠

3) ( )

44,1*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Los datos son consistentes con el modelo, al nivel del 5% 48. Solución:

Tratamiento Enfermos No Enfermos Total Vacunados

No Vacunados 192 113

4 34

196 147

Total 305 38 343

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

192 173,85 18,15 329,42 1,90 113 131,15 -18,15 329,42 2,51

4 21,66 -17,66 311,87 14,40 34 16,34 17,66 311,87 19,09

343 343,00 0 - 37,90

57,0343196

1 ==p ( ) 85,17357,0305*1 ==n

43,0343147

2 ==p ( ) 15,13143,0305*2 ==n

( ) 66,2157,038*

3 ==n


31

( ) 34,1643,038*

4 ==n 1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 ( )( ) 11212 =−−=υ

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 64,6201,0 =χ

2) 01,0=∝

3) ( )

90,37*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Estos datos no nos indican la efectividad de la vacunación al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates.

5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

17,65 311,52 1,79 17,65 311,52 2,38 17,16 294,47 13,60 17,16 294,47 18,02

_ _ 35,79

( )79,35

5,0*

2*

2 =−−

= ∑i

ii

n

nnχ ; 22

01,0 χχ < ⇒ 79,3564,6 <

Otra fórmula de cálculo para 2χ sin corregir: ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

[ ]

80,35080.931.333

5,904.5343 22 ===χ

La fórmula con la cual se obtiene el valor 2χ corregida se da a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

92,37080.931.333

076.6343

14719638305

11343421923435,0 22

4321

2

2 ==−−−=

mmmm

nBCADnχ


32

49. Solución:

Color Pelo Claro Pelo Oscuro Total

Ojos Azules Ojos Castaños

23 4

7 16

30 20

Total 27 23 50

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

23 16,2 6,8 46,24 2,85 4 10,8 -6,8 46,24 4,28 7 13,8 -6,8 46,24 3,35

16 9,2 6,8 46,24 5,03 50 50,0 0 - 15,51

60,050

301 ==p 40,0

50

202 ==p

( ) 2,1660,027*

1 ==n ; ( ) 8,1040,027*2 ==n ; ( ) 8,1360,023*

3 ==n ; ( ) 2,940,023*4 ==n

( )( ) 11212 =−−=υ ; 84,32

01,0 =χ

1) relaciónhay No:0H 2) 05,0=∝ relación Existe:aH

3) ( )

51,15*

2*2 =

−= ∑

i

ii

n

nnχ

Puede concluirse que existe relación entre ambas propiedades, al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn −

−− 5,0*

ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

16,2 6,8 6,3 39,69 2,45 10,8 -6,8 6,3 39,69 3,68 13,8 -6,8 6,3 39,69 2,88


33

9,2 6,8 6,3 39,69 4,31 50,0 0 - - 13,32

∑ =

−−

= 32,135,0

*

*

2

i

ii

n

nnχ 22

05,0 χχ < 32,1384,3 <

Otra forma de cálculo sin corregir: ( )

4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

51,15600.372

000.780.5

600.372

34050

20302327

47162350 222 ===−=χ (Se llega a la misma conclusión)

La fórmula con la cual se obtiene2χ corregida:

( ) [ ]32,13

600.372

315505,0 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

nBCADnχ

50. Solución:

Sexo Escuchan No escuchan Total

Hombres Mujeres

35 20

65 80

100 100

Total 55 145 200

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

35 27,50 7,50 56,25 2,045 20 27,50 -7,50 56,25 2,045 65 72,50 -7,50 56,25 0,776 80 72,50 7,50 56,25 0,776 200 200,00 0 _ 5,642


34

50,0200

1001 ==p 50,0

200

1002 ==p

( ) 50,27555,0*

1 ==n ; ( ) 50,27555,0*2 ==n ; ( ) 50,721455,0*

3 ==n ; ( ) 50,721455,0*4 ==n

( )( ) 11212 =−−=υ ; 64,62

01,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝


3) ( )

∑ =−= 64,5*

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

No existe una diferencia significativa entre los hábitos de este grupo de hombres y mujeres respecto al programa radial. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

27,5 -7,5 7 49 1,78 27,5 7,5 7 49 1,78 72,5 7,5 7 49 0,68 72,5 -7,5 7 49 0,68 200,0 0 - - 4,92

∑ >>=

−−

= 92,464,6;92,45,0

2201,0*

2*

2 conclusiónmismalaallegasen

nnn

i

ii

χχχ

Otra forma de calcular 2χ sin corregir:

( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

64,5000.750.79

500.1200

10010014555

20658035200 222 ==−=χ

La fórmula con la cual 2χ se obtiene corregida es:


35

( ) ( )91,4

000.750.79

400.12005,0 2

4321

22 ==

−−=

mmmm

nBCADnχ

51. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

8 6 2 4 0,66 2 4 -2 4 1,00 16 18 -2 4 0,22 14 12 2 4 0,33 40 40 0 - 2,21

6,040

241 ==p 4,0

40

162 ==p

( ) 6106,0*1 ==n ( ) 4104,0*

2 ==n ( ) 18306,0*3 ==n ( ) 12304,0*

4 ==n 1) *

0 : ii nnH = 2) 02,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) ( )( ) 11212 =−−=υ

( )

21,2*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−

=e

eo

F

FF 22χ

La cantidad de fruta deteriorada no depende de su fumigación, al nivel del 2% Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

6 2 1,5 2,25 0,38 4 -2 1,5 2,25 0,56 18 -2 1,5 2,25 0,12 12 2 1,5 2,25 0,19


36

40 0 _ _ 1,25

( )∑ >⇒>=

−−= conclusiónmismalaallegaSe

n

nn

i

ii25,141,5;25,1

5,022

02,0*

2*

2 χχχ

corregirsinχcalculardeformaOtra 2 : ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

22,2200.115

000.256

200.115

8040

16243010

21614840 222 ===−=χ

.2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ :

( ) ( )25,1

200.115

60405,0 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

nBCADnχ

52. Solución:

( ) 59,41727,0*1 ==n ; ( ) 41,121773,0*

2 ==n ; ( ) 11,259327,0*3 ==n ; ( ) 89,679373,0*

4 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

9 4,59 4,41 19,45 4,24 8 12,41 -4,41 19,45 1,57 21 25,11 -4,11 16,89 0,67 72 67,89 4,11 16,89 0,25

110 110,00 0 _ 6,73

27,0110

301 ==p 73,0

110

802 ==p

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ ( )( ) 11212 =−−=υ 84,32

05,0 =χ


37

3) ( )

∑ =−

= 73,6*

2*2

i

ii

n

nnχ

La diferencia es significativa, al nivel del 5%. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

4,59 4,41 3,91 15,29 3,33 12,41 -4,41 3,91 15,29 1,23 25,11 -4,41 3,61 13,03 0,52 67,89 4,11 3,61 13,03 0,19 110,00 0 - - 5,27

∑ <⇒>=

−−

= 27,584,327,55,0

2201,0*

2*

2 χχχ conclusiónmismalaallegasen

nnn

i

ii

corregirsinχcálculodeformaOtra 2 ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

68,6400.794.300.344.25

400.794.3480110

80309317821729110 22

2 ===−=χ

:2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ

( ) [ ]

24,5400.794.3

42511050 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

n,BCADnχ

53. Solución:

20,0110

201 ==p 30,0

110

302 ==p 50,0

100

503 ==p


38

( ) 42020,0*1 ==n ( ) 62030,0*

2 ==n ( ) 102050,0*3 ==n ( ) 63020,0*

4 ==n

( ) 93030,0*5 ==n ( ) 153050,0*

6 ==n ( ) 105020,0*7 ==n ( ) 155030,0*

8 ==n

( ) 255050,0*9 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

2 4 -2 4 1,00 3 6 -3 9 1,50

15 10 5 25 2,50 9 6 3 9 1,50 6 9 -3 9 1,00

15 15 0 0 0 9 10 -1 1 0,10

21 15 6 36 2,40 20 25 -5 25 1,00

100 100 0 - 11,00

1) *

0 : ii nnH = 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠

( )( ) 41313 =−−=υ 28,13201,0 =χ

3) ( )

0,11*

2*2 ∑ =−=

i

ii

n

nnχ

El color del pelo no depende de la región geográfica, al nivel del 1%. 54. Solución:

Vendedor in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

A 35 35 0 0 0 B 20 35 -15 225 6,43 C 47 35 12 144 4,11 D 32 35 -3 9 0,26


39

E 51 35 16 256 7,31 F 25 35 -10 100 2,86

Σ 210 210 0 - 20,97

356

1210*

1 =

=n 07,1105,05 205,0 ==∝= χυ ySiendo

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠

3) ( )∑ =−= 97,20

*

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Se rechaza la hipótesis ya que 97,202 =χ se sitúa en la zona de rechazo es decir, que el número de visitas no está distribuido en forma uniforme, al nivel del 5%. 55. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

59 51 8 64 1,25 43 51 -8 64 1,25 102 102 0 - 2,50

5,0=p ( ) 515,01021

*1 === pnn

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: Siendo 1=υ y 05,0=∝ Se tiene 84,32

05,0 =χ

3) 50,22 =χ


40

Dado que 2,50 es menor que 3,84, podemos admitir al nivel del 5%, que la hipótesis (nula) es correcta; no hay razón para suponer que se produzcan más accidentes en la fábrica A que en la fábrica B. 56. Solución:

Región in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

1 61 54 7 49 0,907 2 83 90 -7 49 0,544 3 54 63 -9 81 1,286 4 46 51 -5 25 0,490 5 56 42 14 196 4,666

Σ 300 300 0 - 7,893

( ) 5418,0300*

1 ==n ( ) 9030,0300*2 ==n

( ) 6321,0300*

3 ==n ( ) 5117,0300*4 ==n 42*

5 =n 1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) Siendo 41 =−= nυ 28,132

01,0 =χ > 893,72 =χ

Como 893,72 =χ es menor que 13,28 se sitúa en la zona de aceptación, en consecuencia

podemos admitir que las frecuencias de venta no son, en conjunto, significativamente diferente a las frecuencias dadas por las cuales, aunque acusen diferencias muy grandes para la región cinco, al nivel del 1%. 57. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

77 70,54 6,46 41,73 0,59


41

54 60,46 -6,46 41,73 0,69 63 69,46 -6,46 41,73 0,60 66 59,54 6,46 41,73 0,70

260 260,00 0 - 2,58

54,70140260

131*1 =×=n 46,60120

260

131*2 =×=n

46,69140260

129*3 =×=n 54,59120

260

129*4 =×=n

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝


3) ( )

∑ =−= 58,2*

2*2

i

ii

n

nnχ

No se puede concluir que un procedimiento es mejor que el otro. Aceptamos la hipótesis nula 0H

Ahora procederemos aplicando la corrección de Yates ∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

77 70,54 6,46 5,962 0,504 54 60,46 -6,46 5,962 0,588 63 69,46 -6,46 5,962 0,511 66 59,54 6,46 5,962 0,597 260 260,00 0 - 2,200

( ) ( ) 84,311212 205,0 =→=−−= χυ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠


42

3) 20,25,0

*

2*

2 =

−−

=∑i

ii

n

nnχ

( )∑

−=e

eo

F

FF 22χ

20,22 =χ se sitúa en la zona de aceptación. La diferencia entre las dos muestras no es

significativa y no se puede tomar ninguna conclusión de que uno de ellos sea mejor, al nivel del 5%. 58. Solución:

37,245550513.1

675*1 =×=n 18,164368

513.1

675*2 =×=n 98,111251

513.1

675*3 =×=n

47,153344513.1

675*4 =×=n 39,201550

513.1

554*5 =×=n 75,134368

513.1

554*6 =×=n

91,91251513.1

554*7 =×=n 96,125344

513.1

554*8 =×=n 23,103550

513.1

284*9 =×=n

08,69368513.1

284*10 =×=n 11,47251

513.1

284*11 =×=n 57,64344

513.1

284*12 =×=n

in *in

( )*

2*

i

ii

n

nn −

229 245,37 1,092 186 164,18 2,900 110 111,98 0,035 150 153,47 0,078 216 201,39 1,060 119 134,75 1,841 92 91,91 0,000

127 125,96 0,009 105 103,23 0,030 63 69,08 0,535 49 47,11 0,076 67 64,57 0,091

1.513 1.513,00 7,747

1) *

0 : ii nnH = 2) 02,0=∝

*: iia nnH ≠


43

( )747,7

*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

3) ( ) ( ) 03,1561314 2

02,0 =→=−−= χυ

747,72 =χ se ubica en la región de aceptación, por ser inferior a 15,03, podemos concluir

que la distribución de las piezas producidas por las cuatro máquinas, no acusan diferencias significativas en lo concerniente a la calidad, al nivel del 2%. 59. Solución:

( ) 91,90500100.1

200*1 ==n ( ) 82,181500

100.1

400*2 ==n ( ) 36,136500

100.1

300*3 ==n

( ) 91,90500100.1

200*4 ==n ( ) 18,18100

100.1

200*5 ==n ( ) 36,36100

100.1

400*6 ==n

( ) 27,27100100.1

300*7 ==n ( ) 18,18100

100.1

200*8 ==n ( ) 55,54300

100.1

200*9 ==n

( ) 09,109300100.1

400*10 ==n ( ) 82,81300

100.1

300*11 ==n ( ) 55,54300

100.1

200*12 ==n

( ) 36,36200100.1

200*13 ==n ( ) 73,72200

100.1

400*14 ==n ( ) 55,54200

100.1

300*15 ==n

( ) 36,36200100.1

200*16 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

85 90,91 -5,91 34,93 0,3842 153 181,82 -28,82 830,59 4,5682 128 136,36 -8,36 69,89 0,5137 134 90,91 43,09 1,856,75 20,4240 23 18,18 4,82 23,23 1,2778 44 36,36 7,64 58,37 1,6053 26 27,27 -1,27 1,61 0,0590


44

7 18,18 -11,18 124,99 6,8751 56 54,55 1,45 2,10 0,0385

128 109,09 18,91 357,59 3,2779 101 81,82 19,18 367,87 4,4961 15 54,55 -39,55 1.564,20 28,6746 36 36,36 -0,36 0,13 0,0708 75 72,73 2,27 5,15 0,0715 45 54,55 -9,55 91,20 1,6719 44 36,36 7,64 58,37 1,6053

1.100 1.100,00 0 - 75,6139

bebery fumar de hábitos los entrerelación hay No:0H bebery fumar de hábitos los entrerelación hay S: iH a

2) ( ) ( ) 91414 =−−=υ 92,162

05,0 =χ

3) ( )61,75

*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Se contrasta la hipótesis de independencia. Como 75,61 es mayor que 16,92 se rechaza la hipótesis de independencia, por lo tanto se infiere que existe una relación entre los hábitos de fumar y beber, al nivel del 5%.


60. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

51 60 -9 81 1,35 74 60 14 196 3,27 25 60 -35 1.225 20,42 90 60 30 900 15,00

110 100 10 100 1,00 106 100 6 36 0,36 124 100 24 576 5,76 60 100 -40 1.600 16,00 39 40 -1 1 0,02 20 40 -20 400 10,00 51 40 11 121 3,02 50 40 10 100 2,50

800 800 0 - 78,70

Siendo: ( ) ( ) 61314 =−−=υ 05,0=∝ 1) :0H Hay homogeneidad :aH No hay homogeneidad

2) ( )

7,78*

2*2 =

−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Se rechaza la hipótesis de homogeneidad, los 4 grupos no tienen la misma preferencia, al nivel del 5%. 61. Solución: (a) Falso (b) Falso (c) Cierto (d) Cierto (e) Cierto (f) Cierto

59,12205,0 =χ


45

62. Solución:

Sexo Eslogan

Totales Recuerdan No recuerdan

Varones 209 67 276 Mujeres 65 33 98 Totales 274 100 374

1. a igual y 22 de tablauna de tratase que dado Yates, de corrección laefectuar necesario Será υ ×

in *in *

ii nn − Corrección Yates

2* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

209 202 7 6,5 42,25 0,209 65 74 -7 6,5 42,25 0,571 67 72 -7 6,5 42,25 0,587 33 26 7 6,5 42,25 1,625 374 374 0 - - 2,992

1) adhomogeneidhay :0H adhomogeneidhay no:aH

2) 992,25,0

*

2*

2 =

−−

= ∑i

ii

n

nnχ

( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ

71,2210,0 =χ

10%. del nivel al rechaza, se adhomogeneid de hipótesis la;71,299,2 >


46

63. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

62 61,2 0,8 0,64 0,01 84 79,9 4,1 16,81 0,21 24 28,9 -4,9 24,01 0,83 36 36,0 0,0 0,00 0,00 42 47,0 -5,0 25,00 0,53 22 17,0 5,0 25,00 1,47

270 270,0 0 - 3,05

1) *

0 ii nn:H = 2) ( ) ( ) 21213 =−−=υ 99,5205,0 =χ

*iia nn:H ≠

3) ( )

05,3*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Se acepta que tienen la misma opinión, al nivel del 5%. 64. Solución:

Sexo Margarina Mantequilla Total Hombres 86 74 160 Mujeres 144 96 240

Total 230 170 400

in *in *

ii nn − *ii nn −

2* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

86 92 -6 6 30,25 0,33 144 138 6 6 30,25 0,22 74 68 6 6 30,25 0,44 96 102 -6 6 30,25 0,30


47

400 400 0 - - 1,29

==×==×

→==*3

*1

168170

9223040,0

400160

n

np

==×==×→==

*4

*2

2102170

13823060,0

400240

n

np

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ

29,12 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias en las

preferencias. 65. Solución:

Resultados A B Total Defectuoso 40 60 100

No Defectuoso 300 500 800 Total 340 560 900

in *in *


2* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

40 37,4 2,6 2,6 4,41 0,12 300 302,6 -2,6 2,6 4,41 0,01 60 61,6 -1,6 1,60 1,21 0,02

500 498,4 1,6 1,60 1,21 0,00

900 900,0 0 - - 0,15

oF eF eo FF − eo FF − ( )25,0−− eo FF

( )e

eo

F

FF2

5,0−−

11,0900

1001 ==p 89,02 =p


48

=*

1n ( ) 4,3734011,0 = =*3n ( ) 6,6156011,0 =

=*

2n ( ) 6,30234089,0 = =*4n ( ) 4,49856089,0 =

1) *

0 : ii nnH = 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) 1=υ 4) 15,02 =χ

15,02 =χ cae en la ZA, al nivel del 1%, por lo tanto no se puede afirmar diferencias entre la proporción de defectuosas para las dos operadoras. 66. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

85 85 0 0 0 11 10 1 1 0,10 3 4 -1 1 0,25 1 1 0 0 0

100 100 0 - 0,35


( )e

eo

F

FF 2−

( )∑

−=*

2*2

i

ii

n

nnχ 35,02 =χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 10,0=∝

*: iia nnH ≠


49

3) 31 =−= nυ 25,6210,0 =χ

Al nivel del 10%, se puede concluir que los porcentajes de opinión son los mismos. 67. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

8 9,29 -1,29 1,6641 0,18 7 9,29 -2,29 5,2441 0,56 9 9,29 -0,29 0,0841 0,00 6 9,29 -3,29 10,8241 1,17 13 9,28 3,72 13,8384 1,49 12 9,28 2,72 7,3984 0,80 10 9,28 0,72 0,5184 0,06

65 65,00 - - 4,26


( )e

eo

F

FF 2−

( )

∑−= *

2*2

i

ii

n

nnχ

29,9651429,07

1 =×==p 59,12205,0 =χ 6171 =−=−= nυ

05,0=∝ 26,42 =χ

Como 26,42 =χ cae en la zona de aceptación, podemos concluir al nivel del 5%, que los incendios están homogéneamente distribuidos por semana.


50

68. Solución:

Calificaciones Hombres Mujeres Total

Aprueban 110 80 190 No Aprueban 20 10 30

Total 130 90 220

=×=×

→==40,7790

80,11113086,0

220

1901p

=×=×

→==60,1290

20,1813014,0

22030

2p

in *in *


2* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

110 111,80 -1,8 1,8 1,69 0,015 20 18,20 1,8 1,8 1,69 0,093 80 77,40 2,6 2,6 4,41 0,057 10 12,60 -2,6 2,6 4,41 0,350

220 220,00 0 - - 0,515


51

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ 515,02 =χ

1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiHa : 3) 84,32

05,0 =χ

4) ( ) ( ) 111 21 =−−= nnυ Al nivel del 5%, se concluye que no hay relación entre el sexo y la aprobación de curso. 69. Solución:

Habito Fumar Bebedores Abstemios Total

Fumadores en exceso 40 20 60 Fumadores promedio 60 40 100

Poco Fumadores 80 40 120 No Fumadores 10 60 70

Totales 190 160 350

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

40 32,3 7,7 59,29 1,84 60 55,1 4,9 24,01 0,44 80 64,6 15,4 237,16 3,67 10 38,0 -28,0 784,00 20,63 20 27,2 -7,2 51,84 1,91 40 46,4 -6,4 40,96 0,88 40 54,4 -14,4 207,36 3,81 60 32,0 28,0 784,00 24,50

350 350,0 - - 57,68


52


( )e

eo

F

FF 2−

=×=×

→==2,27160

3,3219017,0

350

601p

=×=×

→==4,46160

1,5519029,0

350

1002p

=×=×

→==4,54160

6,6419034,0

350

1203p

=×=×

→==0,32160

0,3819020,0

350

704p

( )

∑−= *

2*2

i

ii

n

nnχ 68,572 =χ

1) )(: *

0 diferenciahayNonnH ii = 2) 05,0=∝

)(: * haylaSinnH iia ≠ 3) 82,72

05,0 =χ

4) ( ) ( ) 31214 =−−=υ Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay diferencia en los fumadores, entre bebedores y abstemios. 70. Solución:

Tipo Poder Bogotá Medellín Cali Total

Novelas 70 40 40 150 Música 100 80 60 240

Ciencia ficción 40 50 30 120 Comedia 30 30 30 90

Total 240 200 160 600

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

70 60 10 100 1,67 100 96 4 16 0,17


53

40 48 -8 64 1,33 30 36 -6 36 1,00 40 50 -10 100 2,00 80 80 0 0 0 50 40 10 100 2,50 30 30 0 0 0 40 40 0 0 0 60 64 -4 16 0,25 30 32 -2 4 0,13 30 24 6 36 1,50 600 600 0 - 10,55

=×=×=×

→==40160

50200

60240

25,0600

1501p

=×=×=×

→==64160

80200

96240

40,0600

2402p

=×=×=×

→==32160

40200

48240

20,0600120

3p

=×=×=×

→==24160

30200

36240

15,060090

4p

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) ( ) ( ) 61314 =−−=υ 4) 59,122

05,0 =χ

55,102 =χ Al nivel del 5%, se puede concluir que las preferencias por los programas son las mismas en las tres ciudades, al nivel del 5%. 71. Solución:


54

Pacientes Curados No curados Total

Tratados 140 30 170 No tratados 20 40 60

Total 160 70 230

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

140 118,4 21,6 445,21 3,76 20 51,8 31,8 979,69 18,91 30 41,6 11,6 123,21 2,96 40 18,2 21,8 453,69 24,93

230 230,0 - 50,56

=×=×

→==8,5170

4,11816074,0

230

1701p

=×=×

→==2,1870

6,4116026,0

230

602p

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) relaciónhayNoH :0 2) 01,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 111 =−−= nnυ 4) 64,62

01,0 =χ ; 56,502 =χ

Se puede concluir que si hay relación entre el tratamiento y la curación, al nivel del 1%. 72. Solución:


55

a) ( ) ( ) ( ) 56231314 ≠==−−=υ Falso b) =2χ No puede tomar valor negativo c) Es lo más recomendable d) No puede ser, siempre la suma de esas dos columnas deben ser iguales. 73. Solución:

Características Padres Hijos Total

No Fumadores 8 30 38 Ocasión 10 24 34

Habituales 40 56 96 Ex fumadores 20 12 32

Total 78 122 200

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

8 14,82 -6,82 46,5124 3,14 10 13,26 -3,26 10,6276 0,80 40 37,44 2,56 6,5536 0,18 20 12,48 7,52 56,5504 4,53 30 23,18 6,82 46,5124 2,01 24 20,74 3,26 10,6276 0,51 56 58,56 -2,56 6,5536 0,11 12 19,52 7,52 56,5504 2,90

200 200,00 0 14,18


56

=×=×

→==18,23122

82,147819,0

20038

1p

=×=×

→==74,20122

26,137817,0

20034

2p

=×=×

→==56,58122

44,377848,0

200

963p

=×=×

→==52,19122

48,127816,0

200

324p

( )

∑−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 31214 =−−=υ 4) 82,72

05,0 =χ 18,142 =χ

Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay relación entre las diferentes clases de fumadores y la posición familiar. 74. Solución:

Vacunados No enfermos Si enfermos Total Si 70 30 100 No 24 36 60

Total 94 66 160

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

70 58,75 11,25 115,5625 1,97 24 35,25 11,25 115,5625 3,28


57

30 41,25 11,25 115,5625 2,80 36 24,75 11,25 115,5625 4,67

160 160,00 - - 12,72

=×=×

→==25,4166

75,5894625,0

160

1001p

=×=×

→==75,2466

25,3594375,0

160

602p

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 10,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 71,22

10,0 =χ 72,122 =χ

Al nivel del 10%, se puede concluir que la vacuna es efectiva. 75. Solución:

Resultados Vía de Aplicación

Total Intradérmica Escarificación

Positivo 30 20 50 Negativo 70 80 150

Total 100 100 200


58

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

30 25 5 20,25 0,81 70 75 5 20,25 0,27 20 25 5 20,25 0,81 80 75 5 20,25 0,27

200 200 - - 2,16

=×=×

→==25100

2510025,0

200

501p

=×=×

→==75100

7510075,0

200150

2p ( )

∑−−

=e

eo

F

FF2

2 5,0χ

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

1) 0: *

0 =− ii nnH 2) 05,0=∝

0: * ≠− iia nnH 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ 16,22 =χ

No existe ninguna diferencia significativa, al nivel del 5%. 76. Solución:

Resultados Pro Contra Total

Gobierno 600 375 975 Oposición 225 300 525

Total 825 675 1.500


59

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

600 536,25 63,75 4.000,5625 7,46 225 288,75 63,75 4.000,5625 13,85 375 438,75 63,75 4.000,5625 9,12 300 236,25 63,75 4.000,5625 16,93

1.500 1.500,00 - - 47,36

=×=×

→==75,438675

25,53682565,0

500.1975

1p

=×=×

→==25,236675

75,28882535,0

500.1

5252p

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ 36,472 =χ

La afirmación no tiene que ver con la preferencia del voto, al nivel del 5%. 77. Solución:

Artículos Masculinos Femeninos Total Neveras 380 400 780 Radios 260 300 560

Televisores 270 350 620 Total 910 1.050 1.960


60

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

380 364,0 16,0 240,25 0,66 260 263,9 -3,9 11,56 0,04 270 282,1 -12,1 134,56 0,48 400 420,0 -20,0 380,35 0,91 300 304,5 -4,5 16,00 0,05 350 325,5 24,5 576,00 1,77

1.960 1.960,0 - - 3,91

oF eF eo FF − ( )25,0−− eo FF ( )

e

eo

F

FF2

5,0−−

=×=×

→==420050.1

36491040,0

960.1

7801p

=×=×

→==5,304050.1

9,26391029,0

960.1560

2p

=×=×

→==5,325050.1

1,28291031,0

960.1

6203p

( )

∑−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 21213 =−−=υ 4) 99,52

05,0 =χ 91,32 =χ

No hay relación entre el sexo y la preferencia, al nivel del 5%. 78. Solución:


61

Nivel ingreso Frecuente Ocasional Nunca Total

Alto 220 70 30 320 Medio 131 100 80 311 Bajo 30 80 120 230

Total 381 250 230 861

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

220 140,97 79,03 6.166,9609 43,75 70 92,50 -22,50 484,0000 5,23 30 85,10 -55,10 2.981,1600 35,03

131 137,16 -6,16 32,0356 0,23 100 90,00 10,00 90,2500 1,00 80 82,80 -2,80 5,2900 0,06 30 102,87 -72,87 5.237,4169 50,91 80 67,50 12,50 144,0000 2,13

120 62,10 57,90 3.294,7600 53,06 861 861,00 0 - 191,40

=×=×=×

→==10,85230

50,92250

97,140381

37,0861

3201p

=×=×=×

→==80,82230

00,90250

16,137381

36,0861

3112p

=×=×=×

→==10,62230

50,67250

87,102381

27,0861

2303p

( )

∑−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) relaciónexisteNoH :0 2) 01,0=∝ relaciónhaySiH a :


62

3) ( ) ( ) 41313 =−−=υ 4) 28,132

01,0 =χ 40,1912 =χ

Al nivel del 1%, se puede aceptar que si hay alguna relación entre los niveles de ingreso y la teleaudiencia en los noticieros. 79. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

18 21 -3 9 0,43 22 20 2 4 0,20 40 44 -4 16 0,36 20 15 5 25 1,67 100 100 0 2,66

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ

1) *

0 : ii nnH = eoo FFH =: 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) 31 =−= nυ 4) 82,72

05,0 =χ 66,22 =χ

Se puede afirmar, que las preferencias por las pantallas es el mismo, al nivel del 5%. 80. Solución:


63

Sexo Acabado Precio Total Masculino 950 550 1.500 Femenino 850 1.650 2.500

Total 1.800 2.200 4.000

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

950 675 275 75.350,25 111,63 550 825 275 75.350,25 91,33 850 1.125 275 75.350,25 66,98 1.650 1.375 275 75.350,25 54,80 4.000 4.000 - - 324,74

=×=×

→==825200.2

675800.1375,0

000.41500

1p

=×=×

→==375.1200.2

125.1800.1625,0

000.4

500.22p

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

( )∑

−−=

e

eo

F

FF2

2 5,0χ

1) nteIndependieH :0 2) 05,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ 74,3242 =χ

Se puede aceptar que el sexo es dependiente de la respuesta dada, al nivel del 5%.


64

81. Solución:

Desempeño Nivel

Total Elemento Sección Universidad

Bueno 82 427 191 700 Regular 10 110 60 180 Malo 8 63 49 120 Total 100 600 300 1.000

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

82 70 12 144 2,06 427 420 7 49 0,12 191 210 -19 361 1,72 10 18 -8 64 3,56

110 108 2 4 0,04 60 54 6 36 0,67 8 12 -4 16 1,33

63 72 -9 81 1,13 49 36 13 169 4,69

1.000 1.000 0 - 15,32

=×=×=×

→==210300

420600

70100

70,0000.1

7001p

=×=×=×

→==54300

108600

18100

18,0000.1

1802p

=×=×=×

→==36300

72600

12100

12,0000.1

1203p

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ


65

1) nteIndependieH :0 2) 05,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 41313 =−−=υ 4) 49,92

05,0 =χ 32,152 =χ

Al nivel del 5%, se puede concluir que la calificación de su desempeño es independiente del nivel educacional. 82. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

74 55,2 18,8 353,44 6,40 56 55,2 0,8 0,64 0,01 50 55,2 -5,2 27,04 0,49 54 55,2 -1,2 1,44 0,03 42 55,2 -13,2 174,24 3,16

276 276,0 0 - 10,09

2,5527620,05

11 =×==p

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) 415 =−=υ 4) 49,92

05,0 =χ 09,102 =χ


66

Se concluye que cada grupo de edad, teme de manera diferente a los exámenes, al nivel del 5%. 83. Solución:

Tiempo Libre Delincuentes No Delincuentes Total Alto 10 29 39 Bajo 20 41 61 Total 30 70 100

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

10 11,7 1,7 1,44 0,12 29 27,3 1,7 1,44 0,05 20 18,3 1,7 1,44 0,08 41 42,7 1,7 1,44 0,03 100 100,0 - - 0,28

=×=×

→==3,2770

7,113039,0

100

391p

=×=×

→==7,4270

3,183061,0

100

612p

∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ 28,02 =χ

Al nivel del 5%, se puede afirmar que no hay relación en cuanto a los criterios de clasificación.


67

84. Solución:

Maquina Rosa Lila Amar Anar Verde Blanco Total

A 11 77 6 5 3 3 105 B 6 7 10 7 6 6 42

Total 17 84 16 12 9 9 147

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

11 12,07 -1,07 1,1449 0,09 77 59,64 17,36 301,3696 5,05 6 11,36 -5,36 28,7296 2,53 5 8,52 -3,52 12,3904 1,45 3 6,39 -3,39 11,4921 1,80 3 6,39 -3,39 11,4921 1,80 6 4,93 1,07 1,1449 0,23 7 24,36 -17,36 301,3696 12,37

10 4,64 5,36 28,7296 6,19 7 3,48 3,52 12,3904 3,56 6 2,61 3,39 11,4921 4,40 6 2,61 3,39 11,4921 4,40

147 147,00 0 - 43,87

======

×→==

39,69

39,69

52,812

36,1116

64,5984

07,1217

71,0147

1051p

=×=×=×=×=×=×

→==

61,29

61,29

48,312

64,416

36,2484

93,417

29,0147

422p

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) nteIndependieH :0 2) 01,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 51612 =−−=υ


68

4) 09,152

05,0 =χ 87,432 =χ

Se puede considerar que hay dependencia entre la mezcla de los colores con la máquina que los envuelve, al nivel del 1%. 85. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

63 60 3 9 0,15 78 60 18 324 5,40 54 60 -6 36 0,60 49 60 -11 121 2,02 56 60 -4 16 0,27 300 300 0 - 8,44

*1 6030020,0

5

1inp ==×==

( )

∑−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) 41 =−= nυ 4) 49,92

05,0 =χ 44,82 =χ

Es aproximadamente igual al número de reclamaciones que recibe cada almacén, al nivel del 5%.


69

86. Solución:

( )4321

2

2 5,0

mmmm

nBCADn

×××−−

=χ ( )( )

25,116243010

405,032112402

2 =×××

−−=χ

1) adependencihayNoH :0 2) 05,0=∝ adependencihaySiHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32

05,0 =χ 25,12 =χ

No hay dependencia entre la cantidad de fruta deteriorada y su fumigación, al nivel del 5%. 87. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

18 17 1 1 0,06 12 17 -5 25 1,47 25 17 8 64 3,76 23 17 6 36 2,12 8 17 -9 81 4,76

19 17 2 4 0,24 14 17 -3 9 0,53

119 119 0 - 12,94

171191428,07

1 *1 ≅=×== inp

( )∑

−= *

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠


70

3) 61 =−= nυ 4) 59,122

05,0 =χ 94,122 =χ

Los alumnos no muestran las mismas preferencias según las secciones en las cuales están distribuidos, al nivel del 5% Observaciones Apareadas (pruebas del Signo) 88. Solución:

1417 == Positivosn Negativos = 3 Ceros = 3 Se eliminan los 0

5,82

117 =

== npµ

06,225,42

1

2

117 ==

== npqσ

1) 2

1:0 =PH 2) 05,0=∝

2

1: >PHa 3) 06,2=σ

iii yxD −= + + - - + + - + + 0 + + 0 + + + + + + 0


71

4) 43,206,2

5,85,13 =−=−=σ

µXz

Se rechaza la hipótesis nula, al nivel del 5%, se puede concluir que el primer sistema es superior. Otro procedimiento, válido únicamente para pruebas bilaterales:

198,02

1 +−−= nn

k 1898,02

16 −=k 085,33 Hrechazamos<

89. Solución:

Nota: se puede trabajar con diferencias positivas y la curva resultaría al lado contrario. 3positivosSignos = 15 negativos Signos = Ceros = 2 (se eliminan los ceros)

92

118 =

== pnµ

12,25,421

21

18 ==

== qpnσ

X = 3, el cual quedara así: X = 3,5

1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: <PH a 3) 12,2=σ

Signo de la Diferencia

- - - 0 - + - - - - 0 - - + - + - - - -


72

4) 59,212,2

95,3 −=−=−=σ

µXz

Se ubica en la región crítica, de ahí que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa; afirmamos que la dieta es efectiva, al nivel del 5%. Se hubiera podido realizar la prueba en forma unilateral derecha, con el mismo resultado. Sólo se aplica cuando la prueba es bilateral:

23,41998,02

17 =−=k ; 0HrechazaseKS <

90. Solución:

Parejas 1x 1y iii yxD −= 1 56 49 + 2 90 88 + 3 38 51 - 4 47 50 - 5 85 83 + 6 49 41 + 7 55 52 + 8 58 69 - 9 68 83 - 10 74 89 - 11 83 77 + 12 87 62 + 13 60 65 - 14 31 44 - 15 89 92 -

Signos positivos = 7 Signos negativos = 8 n = 15

5,72

115 =

== pnµ 94,175,321

21

15 ==

== qpnσ

1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝


73

5,0: ≠PH a 3) 94,1=σ

4) 094,1

5,75,7 =−=−=σ

µXz

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%: Otro procedimiento, en el caso de que se trate de una dócima bilateral, al nivel del 5%.

( ) ( ) 198,02

1 +−−= nn

k 08,392,3711598,02

115 =−=+−−=k

S = 7, ya que el número de signos negativos es menor que el número de signos positivos. Como 7 > 3,08, es decir que S > K, aceptamos la hipótesis nula; la diferencia no es significativa. 91. Solución:

Signo de la Diferencia

iD -

+

- - -

0

- -

-

- -

-

- - 0

+


74

Signos positivos = 3 Ceros = 4 (se eliminan los ceros) Signos negativos = 23 n = 26

132

126 =

== pnµ

55,25,621

21

26 ==

== qpnσ

1) 5,0:0 =PH 5,0: ≠PH a 2) 05,0=∝ 3) 55,2=σ

4) 73,355,2

135,3 −=−=−=σ

µXz

La diferencia es significativa, ya que rechazamos la hipótesis nula 5,0:0 =PH . Otro procedimiento en la dócima del signo es como sigue; siempre y cuando sea bilateral y

05,0=∝

( ) ( ) 198,02

1 +−−= nn

k 4,710,55,1212698,02

126 =−=+−−=k

- 0

- - - - - - - - 0 - + -


75

Siendo S = 3 y S < K, se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa, es decir, que la diferencia es significativa; cuando la prueba es bilateral y 05,0=∝ 92. Solución:

.No ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD

1 46 40 6 4,69 21,9961 + 2 42 42 0 -1,31 1,7161 0 3 38 36 2 0,69 0,4761 + 4 36 38 -2 -3,31 10,9561 - 5 30 32 -2 -3,31 10,9561 - 6 28 25 3 1,69 2,8561 + 7 25 25 0 -1,31 1,7161 0 8 20 22 -2 -3,31 10,9561 - 9 20 17 3 1,69 2,8561 +

10 17 15 2 0,69 0,4761 + 11 14 10 4 2,69 7,2361 + 12 9 6 3 1,69 2,8561 + 13 8 9 -1 -2,31 5,3361 - 14 7 5 2 0,69 0,4761 + 15 5 3 2 0,69 0,4761 + 16 4 3 1 -0,31 0,0961 +

21 0 81,4376 -

a) Observaciones apareadas

31,116

21 ≅=== ∑n

dd i

( ) 0=−∑ ddi Si no da cero, se debe a la aproximación que hacemos 3125,1=d

( )

33,2116

4376,81

1

2

=−

=−−= ∑

n

ddS i

d


76

1) 0:

0:0

≠=

da

d

aH

aH 2) 131,2

15116

05,0==

=−==∝

tυ

3) 25,21633,2

31,1 ===ns

dt

d

De acuerdo al resultado de t = 2,25, se puede concluir que hay diferencias, la nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 10 ; negativo = 4 ; cero = 2 14410 =+=n ( ) 75,014 === pnµ ( ) ( ) 87,15,05,014 === qpnσ

1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) 14=n 5,0: ≠PHa 4) %95=P 96,1=Z

5) σ

µ−= XZ 34,1

87,1

75,9 =−=Z

Se concluye que no existen diferencias significativas al nivel del 5%. 93 Solución:

.No ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD

1 27 20 7 4,22 17,8084 + 2 28 25 3 0,22 0,0484 + 3 10 10 0 -2,78 7,7284 0 4 20 21 -1 -3,78 14,2884 - 5 11 11 0 -2,78 7,7284 0 6 11 13 -2 -4,78 22,8484 - 7 15 18 -3 -5,78 33,4084 - 8 27 20 7 4,22 17,8084 + 9 21 16 5 2,22 4,9284 +

10 20 20 0 -2,78 7,7284 0 11 28 23 5 2,22 4,9284 + 12 32 29 3 0,22 0,0484 + 13 30 26 4 1,22 1,4884 + 14 26 28 -2 -4,78 22,8484 - 15 38 29 9 6,22 38,6884 +


77

16 27 23 4 1,22 1,4884 + 17 34 26 8 5,22 27,2484 + 18 36 33 3 0,22 0,0484 +

- Σ - 50 0 231,1112 ∑


n

dd i∑= 78,2

18

50 ≅=d ( ) 0=−∑ ddi

( )

69,3118

1112,231

1

2

=−

=−−= ∑

n

ddS i

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝

0: ≠da aH

3) ns

dt

d

= 20,31869,3

78,2 ==t

110,205,0

118 =

=∝−=

tυ

Se concluye que las diferencias son significativas al, nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 11; ceros = 3; negativos = 4 n = 15 pn=µ ( ) 5,75,015 ==µ qpn=σ ( )( ) 94,15,05,015 ==σ

1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: ≠PHa 3) %95=P 96,1=Z

4) σ

µ−= XZ 55,1

94,1

5,75,10 =−=Z


78

Podemos concluir, que las diferencias que se observan no son significativas, al nivel del 5%. 94. Solución:

Par I II iD id ( )2ddi − 1 440 410 + 30 298,9441 2 400 440 - -40 2.778,3441 3 400 290 + 110 9.465,3441 4 310 270 + 40 744,7441 5 300 300 0 0 161,5441 6 410 360 + 50 1.390,5441 7 260 250 + 10 7,3441 8 260 300 - -40 2.778,3441 9 320 340 - -20 1.069,9441

10 380 350 + 30 298,9441 11 360 360 0 0 161,5441 12 370 350 + 20 53,1441 13 290 250 + 40 744,7441 14 290 290 0 0 161,5441 15 286 290 - -4 279,2241 16 310 320 - -10 515,7441 17 252 252 0 0 161,7441

Σ 216 21.071,7297 a) Prueba del signo: positivo = 8 ; ceros = 4 ; negativos = 5 n = 13 pn=µ ( ) 5,65,013 ==µ qpn=σ ( )( ) 80,15,05,013 ==σ

1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: ≠PHa 3) %95=P 96,1=Z

4) σ

µ−= XZ 56,0

80,1

5,65,7 ===Z


79

Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. b) Observaciones apareadas:

n

dd i∑= 71,12

17

216 ==d

( )

1

2

−−

= ∑n

dds i

d 29,36117

7297,071.21 =−

=ds

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 161 =−= nυ

0: ≠da aH

4) 120,2=t

ns

dt

d

= 44,11729,36

71,12 ==t

No se puede concluir que las diferencias presentadas sean significativas, al nivel del 5%. NOTA: Los puntos c y d, se deja al estudiante su solución. 95. Solución:

Par ix iy iD 1 10 10 0 2 8 15 - 3 12 10 + 4 16 18 - 5 5 13 - 6 9 14 - 7 7 9 - 8 11 16 - 9 8 6 +

10 16 16 0 11 8 6 + 12 5 5 0 13 8 5 +


80

14 6 4 + 15 12 11 + 16 14 12 + 17 8 8 0 18 4 2 + 19 9 8 +

( )

( ) ( )

15

4

94,12121156

5,721159

=

=

====

====

n

Ceros

qpnNegativos

npPositivos

σσ

µµ

1) 50,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) 96,1=Z 50,0: ≠PHa %95=P

4) σ

µ−= XZ 52,0

94,1

5,75,8 =−=Z Las

diferencias obtenidas no son significativas al nivel del 5%. 96. Solución:

Par ix iy iD id ddi − ( )2ddi − 1 45 45 0 0 1,56 2,4336 2 44 48 - -4 -2,44 5,9536 3 29 36 - -7 -5,44 29,5936 4 27 27 0 0 1,56 2,4336 5 30 28 + 2 3,56 12,6736 6 36 32 + 4 5,56 30,9136 7 35 31 + 4 5,56 30,9136 8 30 42 - -12 -10,44 108,9936 9 34 36 - -2 -0,44 0,1936

10 40 42 - -2 -0,44 0,1936 11 43 44 - -1 0,56 0,3136 12 29 29 0 0 1,56 2,4336 13 32 30 + 2 3,56 12,6736 14 38 42 - -4 -2,44 5,9536


81

15 34 40 - -6 -4,44 19,7136 16 28 28 0 0 1,56 2,4336 17 32 30 + 2 3,56 12,6736 18 36 40 - -4 -2,44 5,9536

Σ − - - -28 0 286,4448

a) Prueba soluciones apareadas:

n

dd i∑= 56,1

18

28 −=−=d

( )1

2

−−

= ∑n

dds i

d 10,4118

4448,286 =−

=ds

1) 0 :

0:0

pda

d

aH

aH = 740,1

17118

05,0=

=−==∝

tυ

ns

dt

d

= 61,11810,4

56,1 −=−=t

Se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivos = 5 negativos = 9 ceros = 4 n = 14 pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 =

1) 50,0:

50,0:0

<=

PH

PH

a

64,1%95

05,0=

==∝

ZP

σ

µ−= XZ 80,0

87,1

75,5 −=−=Z

Como en el caso anterior, también se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%.


82

97. Solución:

Indi- viduos ix iy id ddi − ( )2ddi − iD

1 65 72 -7 -4,71 22,1841 - 2 65 70 -5 -2,71 7,3441 - 3 76 78 -2 0,29 0,0841 - 4 84 84 0 2,29 5,2441 0 5 68 74 -6 -3,71 13,7641 - 6 70 76 -6 -3.71 13,7641 - 7 66 72 -6 -3,71 13,7641 - 8 82 79 3 5,29 27,9841 + 9 64 65 -1 1,29 1,6641 -

10 65 70 -5 -2,71 7,3441 - 11 88 88 0 2,29 5,2441 0 12 82 80 2 4,29 18,4041 + 13 70 76 -6 -3,71 13,7641 - 14 70 76 -6 -3,71 13,7641 - 15 75 75 0 2,29 5,2441 0 16 80 86 -6 -3,71 13,7641 - 17 92 80 12 14,29 204,2041 +

Σ − - -39 0 387,5297 ∑

a) Observaciones apareadas (poblaciones dependientes)

n

dd i∑= 29,2

17

39 −=−=d

( )

1

2

−−

= ∑n

dds i

d 92,4117

5297,387 =−

=ds

1) 0:

0:0

≠=

da

d

aH

aH

120,216117)3

05,0)2=

=−==∝

tυ


83

ns

dt

d

= 92,11792,4

29,2 −=−=t

Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: negativos = 11 positivos = 3 ceros = 3 n = 14 pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 ==σ

1) 50,0:

50,0:0

≠=

PH

PH

a

96,195,0)305,0)2

=

==∝

ZP

σ

µ−= XZ 87,1

87,1

75,3 −=−=Z

Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. 98. Solución:

Sujeto ix iy iD id ddi − ( )2ddi −

*1 98 82 + 16 9,33 87,0489 2 81 71 + 10 3,33 11,0889 3 72 63 + 9 2,33 5,4289 4 63 63 0 0 -6,67 44,4889 5 92 90 + 2 -4,67 21,8089 6 63 72 - -9 -15,67 245,5489 7 81 66 + 15 8,33 69,3889 8 73 54 + 19 12,33 152,0289 9 63 63 0 0 -6,67 44,4889

10 82 88 - -6 -12,67 160,5289 11 54 50 + 4 -2,67 7,1289 12 88 88 0 0 -6,67 44,4889 13 93 82 + 11 4,33 18,7489 14 68 52 + 16 9,33 87,0489


84

15 97 82 + 15 8,33 69,3889 16 81 81 0 0 -6,67 44,4889 17 72 63 + 9 2,33 5,4289 18 63 54 + 9 2,33 5,4289

Σ − - - 120 0 1.124,0002

a) Prueba del signo: 144212 ==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 ==σ

1) 50,0:

50,0:0

≠=

PH

PH

a

96,195,0)305,0)2

=

==∝

ZP

σ

µ−= XZ 41,2

87,1

75,11 =−=Z

Se concluye que el alcohol sí tiene efecto sobre la ansiedad al nivel del 5% b) Observaciones apareadas

n

dd i∑= 67,6

18

120 ==d

( )

1

2

−−

= ∑n

dds i

d 13,8118

0002,124.1 =−

=ds

1) 0:

0:0

>=

da

d

aH

aH 740,1

171)3

05,0)2=

=−==∝

Tnυ

ns

dt

d

= 48,31813,8

67,6 ==t

Se concluye que el alcohol reduce la ansiedad, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel de significación del 5%.


85

99. Solución:

Per- sonas ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD

1 29 30 -1 3,53 12,4609 - 2 22 26 -4 0,53 0,2809 - 3 25 25 0 4,53 20,5209 0 4 29 35 -6 -1,47 2,1609 - 5 26 33 -7 -2,47 6,1009 - 6 24 36 -12 -7,47 55,8009 - 7 21 32 -11 -6,47 41,8609 - 8 20 20 0 4,53 20,5209 0 9 46 54 -8 -3,47 12,0409 -

10 38 58 -20 -15,47 239,3209 - 11 28 43 -15 -10,47 109,6209 - 12 30 30 0 4,53 20,5209 0 13 29 30 -1 3,53 12,4609 - 14 25 20 5 9,53 90,8209 + 15 21 20 1 5,53 30,5809 + 16 22 20 2 6,53 42,6409 + 17 23 23 0 4,53 20,5209 0

Σ − - -77 0 738,2353


n

dd i∑= 53,4

17

77 −=−=d

( )

1

2

−−

= ∑n

dds i

d 79,6117

2353,738 =−

=ds

1) 0:

0:0

<=

da

d

aH

aH

746,116117)3

05,0)2=

=−==∝

tυ


86

ns

dt

d

= 75,21779,6

53,4 −=−=t

Se concluye al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. b) Prueba del signo: 131034103 =+==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 5,65,013 ==µ qpn=σ ( )( ) 80,15,05,013 ==σ

1) 50,0:50,0:0

<=

PH

PH

a

1,64 65,1%95)3

05,0)2oZ

P=

==∝

σ

µ−= XZ 67,1

8,15,65,3 −=−=Z

Se concluye, al igual que en la prueba anterior y al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. 100. Solución:

Auto- móvil ix iy id ddi − ( )2ddi − iD

1 40,6 51,2 -10,6 -8,46 71,5716 - 2 63,3 62,1 1,2 3,34 11,1556 + 3 48,2 52,3 -4,1 -1,96 3,8416 - 4 38,4 42,0 -3,6 -1,46 2,1316 - 5 39,2 43,5 -4,3 2,16 4,6656 - 6 42,6 40,5 2,1 4,24 17,9776 + 7 42,0 42,0 0 2,14 4,5796 0 8 46,1 50,2 -4,1 -1,96 3,8416 - 9 51,0 51,0 0 2,14 4,5796 0

10 39,1 42,6 -3,5 -1,36 1,8496 - 11 38,6 40,4 -1,8 0,34 0,1156 - 12 42,0 42,4 -0,4 1,74 3,0276 - 13 38,6 37,5 1,1 3,24 10,4976 + 14 38,4 39,6 -1,2 0,94 0,8836 - 15 37,3 40,2 -2,9 -0,76 0,5776 - 16 38,6 41,2 -2,6 -0,46 0,2116 -


87

17 39,3 38,4 0,9 3,04 9,2416 + 18 37,6 40,2 -2,6 -0,46 0,2116 -

Σ − - -36,4 0 150,9608 ––


n

dd i∑= 14,2

118

4,36 −=−

−=d

( )

1

2

−−

= ∑n

dds i

d 98,2118

9608,150 =−

=ds

n

Stda d

d ±= 11,205,0

171==

=∝=−=

tnυ

−−

=±−=62,3

66,0

18

98,211,214,2da

66,048,114,2 −==+− SL 62,348,114,2 −==−− IL 1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: ≠da aH La diferencia es significativa, al nivel del 5%, ya que 0=da , no cae dentro de los límites. b) Prueba del signo: 161242124 =+==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 85,016 ==µ qpn=σ ( )( ) 25,05,016 ==σ

1) 5,0:

5,0:0

≠=

PH

PH

a

96,1%95)3

05,0)2=

==∝

ZP


88

σ

µ−= XZ 25,2

2

85,3 −=−=Z

Al nivel del 5%, la diferencia que se presenta se puede considerar significativa. 101. Solución:

Sujeto ix iy iD id ddi − ( )2ddi −

1 30,4 30,4 0 0 0,5 0,25 2 28,6 29,4 - -0,8 -0,3 0,09 3 27,6 30,0 - -2,4 -1,9 3,61 4 34,2 34,4 - -0,2 0,3 0,09 5 32,8 33,8 - -1,0 -0,5 0,25 6 30,2 30,4 - -0,2 0,3 0,09 7 30,1 32,4 - -2,3 -1,8 3,24 8 32,4 34,5 - -2,1 -1,6 2,56 9 33,3 33,3 0 0 0,5 0,25

10 28,4 30,6 - -2,2 -1,7 2,89 11 33,6 31,4 + 2,2 2,7 7,29 12 36,4 34,2 + 2,2 2,7 7,29 13 36,6 36,6 0 0 0,5 0,25 14 35,4 34,5 + 0,9 1,4 1,96 15 30,6 33,5 - -2,9 -2,4 5,76 16 37,6 36,6 + 1,0 -1,5 2,25 17 37,6 39,4 - -1,8 -1,3 1,69 18 38,6 38,6 0 0 0,5 0,25 19 34,5 37,3 - -2,8 -2,3 5,29 20 33,8 31,4 + 2,4 2,9 8,41


89

Σ − - - -10 - 53,76

a) Observación apareada:

n

dd i∑= 5,0

20

10 −=−=d

68,1120

76,53 =−

=ds

30,068,1

5,0 −=−=t

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 093,2 =t 0: ≠da aH Las diferencias, se pueden considerar que no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: 161154115 =+==== ncerosnegativopositivo pn=µ ( ) 85,016 ==µ qpn=σ ( )( ) 25,05,016 ==σ

1) 5,0:

5,0:0

≠=

PH

PH

a

96,1%95)3

05,0)2=

==∝

ZP

σ

µ−= XZ 25,1

2

85,5 −=−=Z

Al igual que en la prueba anterior, al mismo nivel del 5%, se puede concluir que las diferencias no son significativas. 102. Solución:


90

Prueba del signo: 173143314 =+==== ncerosnegativospositivos

pn=µ ( ) 5,85,017 ==µ

qpn=σ ( )( ) 06,25,05,017 ==σ

1) 5,0:

5,0:0

≠=

PH

PH

a

96,195,0)3

05,0)2=

==∝

ZP

σµ−= X

Z 43,206,2

5,85,13 =−=Z

Las diferencias son significativas, al nivel del 5%, de acuerdo a los resultados obtenidos. 103 – 108. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 109. Solución: a) positivos = 8 negativos = 3 ceros = 3 11=n

No. iD id ( )2ddi − 1 + 2 0,5041 2 + 4 1,6641 3 - -2 22,1841 4 0 0 7,3441 5 + 6 10,8241 6 0 0 7,3441 7 0 0 7,3441 8 + 4 1,6641 9 + 7 18,4041 10 - -4 45,0241 11 + 5 5,2441 12 + 6 10,8241 13 + 12 86,3041 14 - -2 22,1841 38 246,8574


91

( ) 5,55,011 ==µ ( ) ( ) 66,15,05,011 ==σ

1) 0:0:0

>=

PH

PH

a

(Equivale a reducir)

2) 05,0=∝

2,166,1

5,55,7 =−=Z

Al nivel del 5%, no se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo.

b) 71,214

38 ==d 36,4114

8574,246 =−

=ds

1) 0:0:0

>=

da

d

H

H

aa

2) 05,0=∝

33,2

1436,4

71,2 ==t 771,110,0

13=

=∝=

tυ

Al nivel del 5%, se puede concluir que se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo. 110. Solución:

No. id ( )2ddi − 1 -0,67 0,9168 2 -0,35 0,4064 3 4,89 21,1830 4 2,05 1,7625 5 -0,20 0,2377 6 0,25 0,0014 7 -1,36 2,7143 8 -0,19 0,2280 9 -0,30 0,3452 10 -1,12 1,9810 11 0,45 0,0264


92

2875,012

45,3 ==d 65,1112

8027,29 =−

=ds

1) 0:0:0

>=

da

d

aH

aH (Equivale a reducir)

2) 05,0=∝

60,0

1265,12875,0 ==t

796,110,0

11=

=∝=

tµ

Al nivel del 5%, no se ha presentado ningún cambio positivo en los dos períodos. 111. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

250 221,76 28,24 797,4976 3,60 186 184,80 1,20 1,4400 0,00 124 123,20 0,80 0,6400 0,00 50 73,92 -23,92 572,1664 7,74 6 12,32 -6,32 39,9424 3,24

616 616,00 - - 14,58

58,142 =χ 49,9205,0 =χ 49,9

05,041 2 =

=∝=−= χυ n

1) *

*0

:

:

iia

ii

nnH

nnH

≠=

2) 05,0=∝

14,58 cae en la zona de rechazo, al nivel del 5% por lo tanto se puede concluir que ha habido cambios en las

12 0 0 ∑ 3,45 29,8027


93

preferencias de compra según la marca del auto. 112 y 113. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 114. Solución:

992818.11345517511 22 =∑=∑=∑=∑=∑= iiiiii yxyyxxn

a) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]91,0

134818.1117555111

1347599211

22=

−−

−=r

b) 1) 0:0:0

≠=

ρρ

aH

H 2) 05,0=∝

28,791,01

21191,0 2 =

−−=t

262,1205,0

92=

=∝=−=

tnυ

Al nivel del 5%, si hay correlación lineal entre esas dos variables. 115. Solución:

PAR ( )ii yx − ( )2ddi − 1 -2 1,9044 2 5 70,2244 3 8 129,5044 4 0 11,4244 5 -6 6,8644 6 -20 276,2244 7 -5 2,6244 8 4 54,4644 9 4 54,4644


94

10 -12 74,3044 11 -10 43,8244 12 -6 6,8644 13 -4 0,3844 ∑ -44 733,0772

a) 38,313

44 −=−=d 82,712

0772,733 ==ds

1) 0:0:0

<=

da

d

aH

aH 2) 01,0=∝

56,1

1382,7

38,3 −=−=t

681,202,0

121−=

=∝=−=

tnυ

Como t = -1,56 cae en la zona de aceptación, se puede concluir que los hombres no obtienen un mayor puntaje que las mujeres, al nivel del 1%.

b)

−=±−=±−=

30,8

54,192,438,3

12

82,7179,238,3da

179,205,0

1205,0 =

=∝=

tυ

116. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

1 5,04 -4,04 16,3216 3,24 9 8,40 0,60 0,3600 0,04 11 7,56 3,44 11,8336 1,57 11 6,96 4,04 16,3216 2,35 11 11,60 -0,60 0,3600 0,03


95

7 10,44 -3,44 11,8336 1,13

50 50 0 - 8,36

( )( )( )( )( )( ) 44,102936,0

60,112940,0

96,62924,0

56,72136,0

40,82140,0

04,52124,0

*6

*5

*4

*3

*2

*1

============

n

n

n

n

n

n

40,050

2036,0

50

1824,0

50

12 ===

1) :0H son idénticas :aH son diferentes

36,82 =χ

49,9205,0 =χ

( )( )

05,041313

=∝=−−=υ

36,82 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, pudiéndose concluir que las

diferencias son idénticas. 117. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva. 118. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva 119. Solución:

in *in

−− 5,0*

ii nn *

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

144 137,55 5,95 0,26 128 134,45 5,95 0,26 34 40,45 5,95 0,88 46 39,55 5,95 0,90

352 352,00 - 2,30


96

55,3980352

174

45,4080352

178

45,134272352

174

55,137272352

174

*4

*3

*2

*1

=

=

=

=

=

=

=

=

n

n

n

n

( )( )

30,2 )3

84,305,0

11212 )2

:

: )1

2

205,0

*

*

=

=

=∝=−−=

≠=

χ

χυiia

iio

nnH

nnH

30,22 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias significativas en cuanto a la aprobación de la materia. 120. Solución:

46,0=r 22=n 32,246,01

22246,0

2=

−−=t

086,205,0

20=

=∝=

tυ

0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación)

Al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. 121. Solución:

78,0=r 52=n


97

53,578,01

25278,0

2=

−−=Z

0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación)

Como Z = 5,53, cae en la zona crítica, se concluye que hay correlación al nivel del 1%. 122. Solución:

56,0=r 26=n 31,356,01

22656,0

2=

−−=t

1) 0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación) 2) %1=∝

797,201,0

24=

=∝=

tυ

El valor de 3,31 cae en la Región crítica, por lo tanto al nivel del 1%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. 123. Solución: se deja al estudiante su respuesta. 124. Solución:

in *in ( )2*

ii nn − ( )

*

2*

i

ii

n

nn −

10 6,8 10,24 1,51 3 6,8 14,44 2,12 2 6,8 23,4 3,39 5 6,8 3,24 0,48 14 6,8 51,84 7,62


98

34 34 - 15,12

20,05

1 = ( ) 8,6342,0* ==in 49,905,0

41 205,0 =

=∝=−= χυ n

1) *

*0

:

:

iia

ii

nnH

nnH

≠=

2) 05,0=∝ Como 12,152 =χ cae en la RC se está concluyendo, al nivel del 5% de que si hay diferencia de ocurrencia de accidentes en los días de la semana. NOTA: los ejercicios 125, 126, 127 y 128 se dejan, para que sean resueltos por el estudiante.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007

10

Regresión y correlación simple, ponderada y múltiple


REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución:

( ) ( ) 60,10912225

868.1;60,8312

5

138.1

20,147225

156.312

5

6022

5

110

22

22

=−==−=

=−=====

xyy

x

ms

syx

a) 0,29956,120,147

16,012.126,832 ≅=−=yxs 4142,12 =+=yxs

2

222

x

xyyyx

s

mss −=

b) 222

ayyxy sss =− ⇒=−=⇒ 60,8126,832ays 60,812 =ays

776,205,041 =

=∝=−=

tnυ

c) ( ) yxxbY yx +−=ˆ 74,07446,02,147

6,109 ≅==yxb


2

( ) 92,5412228074,0ˆ =+−=Y 92,54ˆ =Y

( ) ( )( )

=±=−

−+±=

37,46

47,6355,892,54

5

110156.3

2280

5

141,1776,292,54ˆ

2

2

Y

2. Solución:

8

1

8

2

8

8 =+ yx 1

9

9

9

16 =+ yx

8

1

4

1 =+ yx 9

1

9

16 =+ yx

8

1

4

1 +−= yx 9

1

9

16 +−= xy

4

1−=xyb 9

16−=yxb

( ) ( ) 44,036

16916412 ==−−== yxxy bbR 44,02 =R 66,0=r

3. Solución:

4,164 −== yxyx bC

a) ( ) 57,135714,134,1

194,14564 ≅==⇒−−=⇒−= xxxbyC yxyx

b) 2x

xyyx

s

mb = ⇒ 2

xyxxy sbm = ( ) ( ) 576,7284,514,1 −=−=xym

( ) ( ) 96,05,102,7

576,72 −=−==yx

xy

ss

mr 84,512,7 22 ==xs


3

c) xyxy cybX +=ˆ ó ( ) xyybX xy +−=ˆ 25,1105,10 22 ==ys

6582,025,110

576,72 −=−=xyb

xyxy byxC −= ( ) 18,43658,04557,13 =−−=xyC

( ) 57,1345658,0ˆ +−−= yX ó 18,43658,0ˆ +−= yX 4. Solución:

yx

xy

ss

mr = ( ) ( ) ( ) 000.100.5000.3000.285,0 === xyyx mssr

[ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2−+=− 000.000.4000.2 22 ==xs 000.000.9000.3 22 ==ys

[ ] ( ) 000.800.2000.100.52000.000.9000.000.4 =−+=− yxV 32,673.1=s

5. Solución:

64,08,0 2 =→= Rr 4=yxb 7=yxc 22 636 ==yxs

2

22 1

y

yx

s

sR −= →

2

36164,0

ys−= 100

36,0

363636,0 2

2=

−−=⇒

−=−⇒ yy

ss

xyyx bbR =2 → ( )xyb464,0 = ⇒ 16,04

64,0 ==xyb

( ) ( ) 1610016,02 === yxyxy sbm

2x

xyyx

s

mb = ⇒ 4

4

162 ===yx

xyx b

ms 42 =xs 2=xs


4

6. Solución:

186

108 ==x

50,326

195 ==y

( ) ( )

04,658,3639,433,1982,033,19

83,15

83,15185,326

605.3;33,1918

6

060.2;58,365,32

6

557.6 2222

======

=−==−==−=

yxyx

xyxy

ssb

mss

a) ( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 86,3050,32181682,0ˆ =+−=Y 86,30ˆ =Y

b) ( ) ( ) 59,004,639,4

83,15 ===yx

xy

ss

mr 59,0=r

c) 2

222

x

xyyyx

s

mss −= 61,23

33,19

59,25058,362 =−=yxs 86,461,23 =+=yxs

d) ( )

( )∑

∑−

−+±

n

xx

xx

nstY

ii

yx 22

21ˆ

( ) ( )( )

=±=−

−+±26,25

46,3660,586,30

6

108060.2

1816

6

186,4571,286,30 2

2

ix iy ii yx 2ix 2

iy 9 23 207 81 529

17 35 595 289 1.225 20 29 580 400 841 19 33 627 361 1.089 20 43 860 400 1.849 23 32 736 529 1.024

108 195 3.605 2.060 6.557


5

7. Solución:

94286,073 22 ====−== yxxyxyx sssxbC

yxyx bxyC −= ⇒ ( ) 20,6880,47380,4736,0873 =−=→+=→−−= yyy

2x

xyyx

S

mb = 2

xyxxy sbm = ( ) ( ) 40,246,0 −=−=yxm

( ) ( ) 4,032

4,2 −=−==yx

xy

ss

mr 4,0−=r 20,68=y

8. Solución:

87,35875,358

287 ≅=== ∑nx

x i 12,34125,348

273 ≅=== ∑ny

y i

( ) ( ) 24,55412,3487,358

225.14 =−=−= ∑ yxn

yxm ii

xy

70,5357006,53512,348

599.13 222

2 ≅=−=−= ∑ yn

ys i

y

22,5772181,57787,358

911.14 222

2 ≅=−=−= ∑ xn

xs i

x

96,09602,022,577

24,5542

≅===x

xyyx

s

mb

035,103461,170,535

24,5542

≅===y

xyxy

s

mb

( ) ( ) 32,087,35960,013,34 −=−=−= xbyC yxyx

( ) ( ) 56,012,34035,187,35 =−=−= ybxC xyxy


6

a) Error estándar de estimación: 2yxyx ss +=

525,322,577

24,55470,535

2

2

222 =−=−=

x

xyyyx

s

mss 88,1525,3 =+=yxs

b) ( )

nyY

s iay

∑ −=

2

2ˆ

222yxyay sss −= ⇒ 18,532525,370,5352 =−=ays

c) xyyxyx

xy bbss

mR == 22

22 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 9934,0035,1959,0

22,57770,53524,554 2

2 ===R

9967,09934,02 ==== Rss

mr

yx

xy

d) yxyx CxbY +=ˆ ó ( ) yxxbY yx +−=ˆ

32,0960,0ˆ −= xY ó ( ) 12,3487,35960,0ˆ +−= xY 9. Solución:

6,6=y ó 600.6 20=x ó 000.20 302 =xs ó 000.30

602 =ys ó 000.60 4,8=xym ó 400.8

28,030

4,82

===x

xyyx

s

mb ( ) ( ) 128,0206,6 =−=−= yxyx bxyC

yxyx CxbY +=ˆ 28,0000.30

400.8 ==yxb

( ) 12828,0ˆ +=Y ( ) 000.1000.2028,0600.6 =−=yxC

84,8184,7ˆ =+=Y diarioY 840.8$ˆ =

( ) 000.1000.2828,0ˆ +=Y diarioY 840.8000.1840.7ˆ =+=


7

10. Solución:

[ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2++=+

yxxy bbR =2 ⇒ ( ) ( )yxb2,09,0 −= ⇒ 5,42,0

9,0 −=−

=yxb

2x

xyyx

s

mb = ⇒

85,4 xym

=− ⇒ ( ) ( ) 3685,4 −=−=xym

2y

xyxy

s

mb = ⇒ 180

2,0

362 =−−==

xy

xyy b

ms

[ ] xyyxyx mssV 222 ++=+ [ ] ( ) 1163621808 =−++=+ yxV [ ] 116=+ yxV

11. Solución:

3=yxs → 92 =yxs VT

VRR −= 12 64,0

25

912 =−=R

5=ys → 252 =ys 2Rr = 8,064,0 ==r

8,0=r

12. Solución:

a) ( ) 25,040

10

85

10 ====yx

xy

ss

mr 0625,025,0 22 ==R

0625,064

42

22 ===

y

ay

s

sR Cierto

b) 1≤yxxy bb ( ) 178,195,024,1 = 1178,1 > Falso

c) 7,0−=xyb 9,0=yxb


8

angularesescoeficientlossignomismoeltenerdebenFalso ,, o de regresión d) 10−=xym 8,0=r

covarianzaladesignomismoeltenerdeberáncorrelaciódeeCoeficientElFalso. e) [ ] 14−=y-xV [ ] 8=xV [ ] 12=yV cov = 17

negativasserpuedennuncavarianzaslasFalso, 13. Solución:

a) 2

22 1

y

yx

s

sR −= ⇒

100

19181,02 −==R ⇒ 19,0181,0 −= 81,081,0 =

Cierto b) 7=yxb 4=yxC ⇒ yxyx bxyC −= ⇒ ( )710644 −≠

70644 −≠ ⇒ 64 −≠ Falso c) 3,0=yxb 3−=xyb signomismoeltenerdebenFalso,

d) 60=xym 502 =xs 502 =ys 2,1=yxb

2,150

602 ===x

xyyx

S

mb Cierto 2,1=yxb

14. Solución:

[ ] [ ] [ ] 7=+=+=+ yxMMM yxyx

yxn

yxm ii

xy −= ∑ ⇒ yx−=20240.1

50 ⇒ yx−=− 6250

12=yx ⇒ 34712 ysonmediaslasdevaloresLosyxenosreemplazamy

x =+=


9

712 =+ yy

⇒ yy 712 2 =+ ⇒ 01272 =+− yy

[ ] yxquetieneseMComo yx >>− 0 ⇒ 4=x y 3=y

[ ] 651681222 =−=−= xMs

xx 22

2 xn

xsx −= ∑

[ ] 40949222 =−=−= yMs

yy 22

2 yn

ys i

y −= ∑

2

222

x

xyyyx

s

mss −= ⇒ 54,146,3840

65

500.2402 =−=−=yxS 24,154,1 ==yxs

15. Solución:

[ ] [ ] [ ] 2,92)1( =++=+ xyyxyx mVVV [ ] [ ] [ ] 8,142)2( =−+=− xyyxyx mVVV

Multiplicamos a la segunda ecuación por -1 y le restamos a la primera:

[ ] [ ][ ] [ ]

xy

xyyx

xyyx

mmVVmVV

4006,528,1422,9

=−+−−=−++=

4,14

6,5 −=−=xym 4,1−=xym

16. Solución:

a) 2

222

x

xyyyx

s

mss −= 8=ys ⇒ 642 =ys 10=xs → 1002 =xs

yx

xy

ss

mr = ; ( )( ) ( ) ( ) xyyx mssr === 481086,0 ; 96,4004,2364

100

304.2642 =−=−=yxs

b) 48,0100

482

===x

xy

yx s

mb ( ) 131648,0ˆ +−= xY


10

17. Solución: a) Falso b) Cierto c) Falso d) Falso e) Falso 18. Solución:

7,820

174 === ∑n

xx i 17

20

340 === ∑n

yy i

( ) ( ) 2,5177,820

062.3 =−=−= ∑ yxn

yxm ii

xy

61,57,820

626.1 222

2 =−=−= ∑ xn

xs i

x 927,061,5

2,52

===x

xyyx

s

mb

( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 75,36177,830927,0ˆ =+−=Y 75,36ˆ =Y

381,161,5

2,52,6

2

2

222 =−=−=

x

xyyyx

s

mss 2,617

20

904.5 222

2 =−=−= ∑ yn

ys i

y

175,1381,12 ==+= yxyx ss

( ) ( )( )

=±=−

−+±=77,31

73,4198,475,36

20

174626.1

7,830201

175,1093,275,36ˆ2

2

Y

19. Solución:

20400 ==xym → ( ) 333,115

20

53

20 ====yx

xy

ss

mr 333,1=r

El coeficiente de correlación no puede ser mayor de 1. Por lo general: 11 ≤≤− r


11

20. Solución:

a) =1002

2

y

yx

s

s porcentaje de la varianza total que queda sin explicar.

2

22 1

y

yx

s

sR −= ⇒

2

2

18836,0y

yx

s

s−= ⇒ 1164,08836,01

2

2

=−=y

yx

s

s

%64,111002

2

=y

yx

s

s %64,11100 =

VT

VR

El porcentaje de la varianza total que queda sin explicar es del 11,64%.

b) [ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2++=+ 2x

xyyx

s

mb = ⇒ ( ) ( ) 2,71840,02 === xyxyx msb

xyyx bbR =2 ⇒ 209,240,0

8836,02

===yx

xy bRb

2y

xyxy

s

mb = 259,3

209,2

2,72 ===xy

xyy b

ms ; [ ] ( ) 659,352,72259,318 =++=+ yxV

21. Solución:

7,820

174 === ∑n

xx i 17

20

340 === ∑n

yy i

61,57,820

626.1 222

2 =−=−= ∑ xn

xs i

x 2,61720

904.5 222

2 =−=−= ∑ yn

ys i

y

a) 9269,061,5

2,52

===x

xyyx

s

mb ( ) ( ) 2,5177,8

20

062.3 =−=−= ∑ yxn

yxm ii

xy

( ) 936,89269,07,817 =−=−= yxyx bxyc ( ) 205,18936,8109269,0ˆ =+=Y

b) ( )( ) 88,090,5

2,5

49,237,2

2,5 ====yx

xy

ss

mr


12

22. Solución:

2x

xyyx

s

mb = →

yx

xy

ss

mr = → ( )x

xyy sr

ms = → ( ) yxxyxyx mmsb ==⇒= 4202,02

( )9937,0

025,4

4

209,0

4 ===ys ⇒ 9875,02 =ys

[ ] [ ] [ ] ( ) 9875,28429875,0202 =++=++=+ xyyxyx mVVV [ ] 9875,28=+ yxV

23. Solución:

09,562 =xs ⇒ [ ]22

2 xMsxx −= ⇒ 225,812.2709,56 x−=

16,756.2709,5625,812.272 =−=x ⇒ 60,16616,756.27 ==x

60,166=x

8,642 =ys ⇒ [ ]

222 yMs

yy −= ⇒ 221,567.48,64 y−= ⇒ 1,6741,502.4 ==y

[ ] ( ) ( ) 64,441,6760,1665,223.11 =−=⇒−= xyxyxy myxMm

68,08,64

64,442

===y

xyxy

s

mb

( ) xyybX xy +−=ˆ ⇒ ( ) 17,13420,1661,672068,0ˆ =+−=X 17,134ˆ =X

24. Solución:

24,418Sy 42,042,0)24,4(2

6,3)

8,139,0ˆˆ

8,13)8(90,02190,04

6,3)

2

======

+=⇒+=

=−=−====

rm

rb

xYCxbY

xbyCm

ba

yx

xy

yxyx

yxyx

x

xy

yx

ss

S

25. Solución:


13

4282,128 22 ===== Covssyx yx

( ) ( ) 645,2215,1;38,12,115,1%15 22 ====⇒ ysydelincrementoCon

( ) 6,4415,1 ==Cov

a) ( ) 128

162222

222 ===⇒== Rr

ss

CovrRincrementodelAntes

yx

( ) 11645,286,4

:2

2 aigualsiendosigueRincrementoelCon →== 12 =R

b) ( ) ( ) 6,31282,132ˆ22

42

=+−=+−=→=== xyybXs

Covb xy

yxy

6,31ˆ =X ( )$millincrementodelantes

( ) 817,302838,13739,1ˆ739,1645,26,4

: =+−=→== XbDespués xy

817,30ˆ =X ( )$millincrementodeldespués 26. Solución:

( )76,5

20

2,115ˆ 2

2 ==−

= ∑n

yYs i

ay 162 =xs 4=xs 8=ys

a) EVRVVT += → 222222

ayyyxyxayy ssssss −=⇒+=

24,5876,5642 =−=yxs

regresiónderectalaporlicadoexpquedanoquePorcentajeVTVR %9191,0

6424,58 ===

b) ( ) yxxbYCxbY yxyxyx +−=⇒+= ˆˆ

VT

VER =2

yxy

ay

ss

CovR

s

sR =⇒===⇒ 09,0

64

76,52

22


14

( ) ( ) 60,93230,084

30,0 ==⇒= CovCov

30,009,0 ==R

60,016

6,92

===x

yxs

Covb ( ) 2,7075706260,0ˆ =+−=Y 2,70ˆ =Y

finalexamenelendeóncalificaciunaesperaSe 2,70 c) [ ] CovssV yxyx 222 ++=+

[ ] ( ) 20,996,926416 =++=+ yxV [ ] 20,99=+ yxV

27. Solución:

( )27

30

810ˆ 2

2 ==−

= ∑n

yYs i

ay ( )

67,9666,930

290ˆ 2

2 ≅==−

= ∑n

Yys i

yx

a) 222

yxayy sss += 67,3667,9272 =+=⇒ ys

86,07363,07363,067,36

27 222

222 ≅==⇒==⇒=== RrR

s

s

VT

VERr

y

ay

86,0=r

b) 699,12

05,004,11996,12096,0120

30

11,3699,1120ˆ =

−==∝

=±=

±= t

nY υ

28. Solución:

serviciodepromedioañosYCovssx yx 4ˆ300500.2500.2820.3 22 =====

( ) ( ) 12,00144,00144,0500.2500.2

300:

22

22

22 ==⇒==⇒= rR

ss

CovRaumentoSin

yx

360)300(20,1cov : cov ==siendocambiaarianzalaaumentoCon


15

cambio) ( 14,0020,0020,0)500.2(

30622 huborR ==⇒=

29. Solución:

10=n 34=∑ ix 36=∑ iy 130=∑ ii yx

1382 =∑ ix 1542 =∑ iy

a) ( ) 6,34,3ˆˆ ==+−=⇒+= yxyxxbYCxbY yxyxyx

( ) ( ) 76,06,34,310

130 =−=Cov 24,22 =xs 44,22 =ys

34,03393,024,2

76,02

≅===x

yxs

Covb

( ) sucursalesconempresaunaparatocoselesdemillY 10$84,58394,56,34,3103393,0ˆ ≅=+−=

30. Solución: a) VRVEVTsss yxayy +=⇒+= 222

4,06,282,28222 −=−=−= ayyyx sss 4,02 −=yxs

Las varianzas de x, de y, las explicadas y las residuales, no pueden ser negativas Falso⇒ b) xY 8,45ˆ += 5=x 29=y solucionesdostienenSe b1) xbyC yxyx −= ( ) 558,429 =−=⇒ yxC cierto

b2) [ ] [ ] [ ] ( ) 2958,458,458,45 =+=+=⇒+= xyMMM xy Ciertoy 29=

c) 2,1505080 22 ==== yxyx bssCov

6,150

802

==⇒= yxx

yx bs

Covb Falso 2,16,1 ≠


16

e) Los dos coeficientes deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). 31. Solución:

100=∑ ix 50=n 250

100 ==x 1050

500 ==y

308,0;5005,390.52 ==== ∑∑ ∑ n

yxryy ii

ii

a)

−=

−== ∑∑∑50

500

50

10030

n

y

n

x

n

yxCovm iiii

xy

( ) 1010230 =−=Cov 2

2

50

500

50

5,390.5

−=ys

↓

28,12804,181,7

10 ≅==xyb 81,710081,1072 =−=ys

8,108,12250

50028,1

50

100 −=−=

−

=xyC ; 7946,281,7 ==ys

8,1028,1ˆ −= yX

b) 21,781,7

1001,20

22 =−=xys ; ( )7946,2

108,0

xyx sss

Covr =⇒=

( ) 4729,47946,28,0

10 ==xs ( ) 01,204729,4 22 ==xs 01,202 =xs

c) ( ) 8,142102028,1ˆ =+−=X $ 8,14ˆ demillonesX =


17

32. Solución: Nota: se elaboró un cuadro de doble entrada, a fin de reducir operaciones y trabajos en una regresión lineal ponderada (frecuencias absolutas).

ix

,,1 ii xx −− 1 2 3 4 ∑

2,5 1,1 - 4 - 2 2 - 4 5,5 4,1 - 7 3 4 6 2 15 8,5 7,1 -10 1 - 6 4 11 - - 4 6 14 6 30

ix iy in ii nx ii ny

ii nx2 ii ny2 iii nyx

2,5 2 2 5,0 4 12,50 8 10,00 2,5 3 2 5,0 6 12,50 18 15,00 5,5 1 3 16,5 3 90,75 3 16,50 5,5 2 4 22,0 8 121,00 16 44,00 5,5 3 6 33,0 18 181,50 54 99,00 5,5 4 2 11,0 8 60,50 32 44,00 8,5 1 1 8,5 1 72,25 1 8,50 8,5 3 6 51,0 18 433,50 54 153,00 8,5 4 4 34,0 16 289,00 64 136,00

- - 30 186,0 82 1.273,50 250 526,00

20,630

186 === ∑n

nxx ii 73,27333,2

3082 ≅=== ∑

nny

y ii

01,420,645,4220,630

5,273.1 2222

2 =−=−=−= ∑ xn

nxs ii

x

88,073,230

250 222

2 =−=−= ∑ yn

nys ii

y

( ) 61,073,220,630

00,526 =−== Covmxy 15,001,4

61,0 ==yxb

(a) ( ) 70,273,220,6615,0ˆ =+−=Y 70,2ˆ =Y

iy


18

79,001,461,0

88,02

2

222 =−=−=

xyyx

sCovss ⇒ 89,079,0 ==yxs

(b) ( )( )

=+=

−

−++

±=

36,204,3

34,07,2

30186

5,273.1

2,663011

30

89,0048,27,2ˆ

2

2

Y

c) ( ) ( ) 33,011,011,088,001,4

61,0 222 ==→=== rRr 33,0=r

(Hay muy poca correlación) 33. Solución:

209,02,0 2 === xyx srb

2x

yx sCovb = ( ) 4202,0 ==⇒ Cov

( ) ( ) ( )99,09876,0

209,0

42

2

22

22

22

222 ≅===⇒==

xy

yx sR

Covs

ss

CovRr

[ ] ( ) 99,284299,020 =++=+ yxV [ ] 99,28=+ yxV

34. Solución:

595

453

5

15 ===== nyx

235

55 22 =−=xs 1895

495 22 =−=ys

( ) 6935

165 =−=Cov

a) ( ) ( ) 1182

62

22

22 ===

yx ss

CovR 12 =R

b) 32

6 ==yxb ( ) 189363ˆ =+−=Y 18ˆ =Y


19

Cuando 12 =R la varianza residual ( )2

yxs es igual a 0 y el error es igual a 0, donde 60ˆ =Y

(límites de confianza).

c) 0=VT

VR Todos los puntos quedaron explicados por la recta de regresión.

35. Solución: a) Se deja al estudiante hacer la gráfica.

81,83840,473.1720.7610.810 ===== yx ssyxn

600.7032 =ys 900.170.22 =xs 800.139.1=Cov

6199,1600.703

800,139.1 ==xyb ( ) 63,895.3720.76199,1610.8 −=−=xyC

b) 63,895.36199,1ˆ −= yX c) ( ) 13,191.1663,895.3400.126199,1ˆ =−=X (cientos de $) Nota: el (a) se le deja al estudiante para que lo realice, lo mismo que la segunda parte del (c). 36. Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 312,11828,2580,0 ===→= yx ssrCovCovrx

Sy

S

414,18

312,112

===y

xys

Covb ( ) 962,5304528414,1ˆ =+−=X 962,5ˆ =X

b) 2

222

y

xxys

Covss −= 01,98312,11

252

2 =−=⇒ xyS 01,92 =xys


20

37. Solución: a) xbyC yxyx −= ( ) 072,8104932,0105 =−=⇒ yxC

Falso84,6072,8 ≠

b) 1852,35

168,4

5

24 222 ====== yayyx snss

222

ayyxy sss += 82,38,42 =+=⇒ ys Falso188 ≠

c) 44,09

42

==⇒= yxx

yx bs

Covb Falso444,0 ≠

d) xbyC yxyx −= ( ) ⇒=−=⇒−=−⇒ 246302,04 yy 2=y

( ) ( ) ⇒==⇒= 502,022 xyxx

yx SbCovs

Covb 10=Cov

( ) ( ) ⇒−=−⇒−= ∑ 1023050yxn

yxCov ii Falso1010 ≠−

e) [ ] [ ] ( ) [ ] ⇒+=⇒=→= + 52

252

2 ? VVsVVs xyxyy22 4 xy SS =

( ) 641642 ==ys 4375,064

3611 2

2

22 =−=⇒−= R

s

sR

y

yx

⇒== 66,04375,0r Falso3,066,0 ≠ 38. Solución:

76210620.7 ==x 85,2

10

5,28 ==y

a) 786.12976210

300.104.7 22 =−=xs 8525,185,210

75,99 22 =−=ys


21

( ) ( ) 3,46585,276210370.26 =−=Cov

xyxy CybX +=ˆ ( )85,217,25176217,2518525,1

3,465 −=⇒==⇒ xyxy Cb

1655,46=xyC

cxbY yx +=ˆ 003585,0786.1293,465 ==yxb ( ) =−= 762003585,085,2yxC

( ) díasY 49,511823,0500.1003585,0ˆ =+= 11823,0=yxC

acuerdodeEstoydíasdías 349,5 >

b) 2

222

xyyx

s

Covss −= ⇒ 1843,0

786.129

3,4658525,1

22 =−=yxs

222

yxyay sss −= ⇒ 6682,11843,08525,12 =−=ays

%05,901008525,16682,1100 ==

VTVE %05,90100 =

VTVE

39. Solución:

( ) ( ) 241=−−∑ yyxx ii

( ) ( )82,4

50241 =

−−== ∑

nyyxx

Cov ii ( )2,6

50310

22 ==

−= ∑

nxx

s ix

( )363,4

50

15,21822 ==−= ∑

n

yys i

y 9268,350

34,1962 ==ays

777,020,682,4 ==yxb ( ) 77,37302030777,0ˆ =+−=Y

62,02,6

82,4363,4

22 =−=yxs ⇒ 79,062,0 ==yxs


22

a) =±=

±=57,37

97,3720,077,37

5079,0800,177,37Y

b) %21,14100363,4

62,0100

2

2

==y

yx

s

s %21,14100 =

VTVR

40. Solución:

8=n ∑ = 68ix ∑ = 6,66iy ∑ = 3,544ii yx

4682∑ =ix ∑ = 94,5582iy 5,8=x 325,8=y

2057,0−=yxb 073,10=yxC 073,102057,0ˆ +−= xY

a) ( ) originalgrosorelfuémmY 073,10073,1002057,0ˆ =+−= mm 073,10ˆ =Y

b) 85,45618,0

725,22 −=−==y

xyxy S

mb

( ) horasX 88,485,8325,8085,4ˆ =+−−= horas 88,48ˆ =X c) A partir de las 48,88 horas ya no hay lámina, por lo tanto no tiene sentido pronosticar el

grosor después de 70 horas de fricción. 41. Solución:

6=n ∑ = 18ix ∑ = 45iy ∑ = 122ii yx

∑ = 642ix ∑ = 3552

iy 3=x 5,7=y

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,09827,0

45355618646

45181226

22−≅−=

−−

−=r 98,0−=r

b) 30,1299,167,117,2 −≅−=−=yxb 17,2−=xym

92,2

67,12

2

==

y

x

s

s

( ) 4,115,7303,1ˆ =+−−=Y segundos es la rapidez de acción en ausencia del agente químico


23

c) 743,092,217,2 −=−=xyb

( ) gramosX 57,835,70743,0ˆ =+−−= es la proporción que deberá contener el producto para que

la solución sea instantánea. 42. Solución:

8=n ∑ = 4,179ix ∑ = 3,166iy ∑ = 62,919.3ii yx

∑ = 68,937.42ix ∑ = 37,505.32

iy

43,22425,22 ≅=x 79,207875,20 ==y 33,1142 =xs 05,62 =ys

a) Se deja al estudiante la realización de la gráfica de dispersión y de regresión.

b) 2

222

xyyx

s

Covss −= ⇒ 10,1099,1

33,114

79,2305,6

22 ≅=−=yxs

222

yxyay sss −= 95,410,105,62 =−=⇒ ays

%82,818182,005,6

95,42

2

====y

ay

s

s

VT

VE Es el porcentaje que queda explicado por la recta de regresión

c) 93,305,679,23 ==xyb

( ) 98,3843,2279,202593,3ˆ =+−=X 98,38ˆ =X

05,0

62

04,35

92,4294,398,38

856,4447,298,38ˆ

=∝=−=

=±=

±=n

Xυ

78,2005,6

79,2333,114

2

2

222 =−⇒−=

yxxy

s

Covss 56,478,20 ==xys

43. Solución:

4,145,7602580,0 ===== yx ssyxr


24

( ) ( ) ( ) ( ) 4,864,145,780,0 ==⇒= CovssrCov yx 4,86=Cov

536,125,564,86 ==yxb 25,562 =xs 36,2072 =ys

a) ( ) 04,83602540536,1ˆ =+−=Y valor de la cuenta (miles de $)

b) 65,7425,56

4,8636,207

22

2

222 =−=⇒−= yx

xyyx s

S

Covss

%3636,036,207

65,742

2

====y

yx

s

s

VT

VR es el porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta de regresión.

44. Solución:

30=x 5=xs 252 =xs 45=y 642 =ys 8=ys 90,0=r

Se requiere de las dos ecuaciones xyxy CybX +=ˆ y YXyx CxbY +=ˆ

( ) ( ) 368590,0 ==⇒= CovssrCov yx

44,12536 ==yxb 5625,0

6436 ==xyb

( )( ) 6875,4455625,030

8,1 3044,145

=−=

=−=

xy

yx

c

c

( ) 453044,1ˆ +−= xY ( ) 30455625,0ˆ +−= yX

8,144,1ˆ −= xY 6875,45625,0ˆ += yX

Se le dan dos valores a ix para obtener dos valores de Y ; lo mismo, en la segunda

ecuación, dos valores de iy para obtener dos valores de X , con los anteriores resultados se puede elaborar la gráfica. 45. Solución:


25

65,0=r 6=xs 362 =xs 100=y 1002 =ys 50=x

a) ( ) ( ) 3910665,0 ==Cov ( ) ( )yx ssrCov =

0833,136

392

===x

yxs

Covb ( )

predichaón calificaci

167,8910050400833,1ˆ =+−=Y

b) 2

222

xyyx

s

Covss −= ⇒ 75,5736

39100

22 =−=yxs

Porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta

5775,0100

75,572

2

===y

yx

s

s

VT

VR ⇒ %75,57100 =

VE

VR

46. Solución: a) Diagrama de dispersión b) Coeficiente de correlación c) Igual a uno d) Verdadero VEVT = e) Falso 11 <≤−⇒ r f) Verdadero 47. Solución:

2,170,030 22 === aySRn

71,17,02,1 2

2

22

2

22 ==⇒=⇒= y

ayy

y

ay sR

ss

S

SR

⇒=−=⇒−= 51,02,171,12222

yxayyyx ssss 51,02 =yxs

48. Solución:

1685,0150 2 === yxsrn

222

2

22 162775,016185,01

yyy

yx

sSs

sR −=−⇒−=⇒−=


26

66,572775,0

162 ==ys 66,572 =ys

a) 222

yxyay sss −= 66,411666,572 =−=⇒ ays 66,412 =ays

b) %75,272775,066,57

16 ===VTVR %75,27100=

VE

VR

49. Solución:

20=n 2,56=VE 3,66=VT

2,562 =ays 3,662 =ys

222ayyyx sss −= ⇒ 1,102,563,662 =−=yxs 178,31,10 ==yxs

50. Solución:

258,05,21

=== nSb byx

a) ( )8,0064,25,2111 1

±=⇒±= ββ bStb

=±=

84,016,46512,15,21β

b) 125,38,0

05,2

1

11 =−=−=bS

bt

β

1) ( )( )relaciónhaySiH

relaciónhayNoH

0:

0:

11

10

≠

=

ββ

3)

2) 05,0=∝ 064,205,0

24105,0 ==

=∝===

tnυ

Algunos trabajan con 069,205,0

23205,0 =

=∝=−=

tnυ


27

Observemos que 127,3=t cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos 0:0 =iH β y aceptamos 0: ≠iaH β , es decir, que si hay relación. 51. Solución:

( )∑ =− 2202yyi ( )∑ =− 4,38ˆ 2yY 30=n

33,730

2202 ==ys 28,130

4,382 ==ays

a) 17,01746,033,7

28,122

22 ≅==⇒= R

s

sR

y

ay 42,01746,0 ==r

b) %46,17leporexplicadaQueda

c) 45,2

2301746,01

42,0

21 2

=

−−

=

−−

=

nr

rt (Resultado obtenido trabajando con la calculadora)

1) ( )( )ncorrelacióhaySiH

ncorrelacióhayNoH

a 0:0:0

≠=

ρρ

2) 05,0=∝ 3) 45,2=t

048,205,0282

05,0 ==

=∝=−=

tnυ

Observamos que 45,2=t cae en la región crítica, rechazando 0H y aceptando 0: ≠ρaH , por lo tanto si hay correlación. 52. Solución:

11=n ∑ = 220ix ∑ = 840.42ix 20=x 64,727.1=∑ ii yx

∑ = 15,77iy ∑ = 3679,6202iy 013,7=y 402 =xs

3244,6=xs 685,2=ys 21,72 =ys


28

a) ( ) xyybX xy +−=ˆ

33,221,781,16

2 ===y

xy sCovb

( ) ( ) ( ) 81,1698,1699,0685,23244,6

99,0cov ==⇒=⇒= CovCovss

ryx

( ) xyybX xy +−=ˆ

( ) 62,4520013,71833,2ˆ =+−=X

62,45ˆ =X % es el porcentaje de descuento que debe dar, que no queda explicado

b) explicado queda no que varianzala de porcentaje el es %08,2100

21,715,0100

15,01455,04081,1621,7 ;cov

2

2

22

2

222

===

==−=−=

Y

yx

yxx

yyx

S

sVTVR

ss

ss

( ) 07,721,798,021,7

98,0 22

2

22 ==⇒=⇒= ay

ay

y

ay ss

s

sr 07,72 =ays

c)

21 2

−−

=

nr

rt 63,20048,099,0

002222,0

99,0

902,0

99,0

21198,01

99,0 ====

−−

=⇒ t

1) ( )ncorrelacióhayNoH 0:0 =ρ ( )ncorrelacióhaySiH a 0: ≠ρ 2) 05,0=∝

3) 262,205,0

92112 =

=∝=−=−=

tnυ

Se le acepta, debido a que se ubica en la región crítica (t = 20,63), es decir, si hay correlación.

d)

±

n

stX xyˆ 60,45ˆ =X


29

=±⇒

± 61,060,451190,0262,260,45

%99,44%21,42

90,081,0

81,021,781,1640

2222

==

=−⇒−=

xy

yxxy

s

sCovss

53. Solución:

xY 85,0000.18ˆ +−= a) ( ) mensualesgastosY 000.577000.70085,0000.18ˆ =+−= b) No se debe estimar, pues la ecuación corresponde a familias de 4 miembros, y aquí nos

piden para familias de 5 miembros. c) Tampoco se puede utilizar la ecuación, dado que se emplea para familias de 4

miembros, con ingresos entre $688.000 y $820.000. En este caso, nos piden para familias de 5 miembros y con ingresos inferiores al anterior rango.

d) Tampoco se debe utilizar la ecuación, dado que $450.000 no está dentro del rango de

ingresos 54. Solución: a) Por cada unidad que toma X (Variable independiente), la variable Y (dependiente),

crece en 0,3. b) ( ) 62403,050ˆ =+=Y para un gasto semanal de $40.000, se estima, que el alumno

obtiene una nota promedio de 62 puntos sobre 100. Se nota en este ejercicio, a pesar del resultado, no hay relación entre las dos variables, podemos decir que fue una relación “CASUAL”

55. Solución:

8,064,064,02 ==⇒= rR

a) 1) ( )( )ncorrelacióhaySiH

ncorrelacióhayNoH

a 0:

0:0

≠=

ρρ


30

2) 05,0=∝

3) 66,5

22064,01

8,0

21 2

=

−−

=⇒

−−

= t

nr

rt

(Resultado calculadora)

101,205,0

1822005,0 =

=∝=−=

tυ

Se concluye al nivel del 5%, que la muestra realizada permite admitir que proviene de poblaciones con cierto grado de correlación.

b) VTVR−= 1R2 %3636,064,01 ==−=⇒

VTVR %00,36100 =

VT

VR

36% es la proporción de la variación que queda sin explicar por la recta de regresión. 56. Solución:

16=n ∑ = 192ix ∑ = 748iy ∑ = 391.10ii yx

∑ = 988.22ix ∑ = 026.382

iy 75,422 =xs

12=x 75,46=y 0625,1912 =ys

a) ( ) yxxbY yx +−=ˆ

( ) 069,275,42

4375,884375,8875,4612

16

391.10 ===−= yxbCov

( ) díasY 58,7175,461224069,2ˆ =+−=

b) 85,211,811,875,42

4375,880625,191

22 ==⇒=−= yxyx ss

=±=±=

44,5148,5452,196,52

16

85,2145,296,52Y días

( ) 96,5275,461215069,2ˆ =+−=Y días


31

=±=⇒

±=

4,51

43,5447,196,52ˆ

16

74,2145,296,52ˆ YY días

c) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,09785,0

748026.3816192988.216

748192391.1016

22≅=

−−

−=r

1) ( )( )ncorrelacióhaySiH

ncorrelacióhayNoH

a 0:0:0

≠=

ρρ

2) 05,0=∝

3) 33,1805345,0

98,0

21696,01

98,0

21 2

==

−−

=

−−

=

nr

rt

18,33 cae en la RC, luego aceptamos la alternativa, es decir, que hay correlación al nivel del 5%.

d) 1) ( )( )relaciónhaySiH

relaciónhayNoH

a 0:

0:

1

10

≠=

ββ

2) 05,0=∝

( )1089,0

684

185,2

121

=⇒−

=∑ xx

sSi

yxb

999,181089,0

0069,2 =−=−

=byx

yxyx

S

bt

β

Observemos que 18,999 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos a 0H y aceptamos

0: ≠yxaH β , luego se puede aceptar al nivel del 5% que si hay relación.

57. Solución:

25618929405435 22 ====== ∑∑ ∑∑∑ iiiiii yxyyxxn


32

( ) ( ) ( )

( ) ( )317,0

10433

291895

294325652 ==

−−=xyb 7614,6

5)29(317,043 =−=xyC

( ) 93,9761,610317,0ˆ =+=X millones de pesos semanales es el costo de mano de obra.

58. Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( )

=−

−= 215555

45151655yxb 3 ( )

05

15345 =−=yxC

a) 03ˆ += xY

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1

150

150

45495515555

45151655

22==

−−

−=r

c) perfecta. esn correlació La regresión. de recta lapor explicado queda%10012 === RVTVE

59. Solución:

a) ( ) ( ) ( )( ) ( )

44,1234796.135

831234890.5352 =

−−=yxb 686,6

35

234 ;74,23

35

831 ==== xy

( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 74,23686,644,1ˆ +−=⇒ xY

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

61,071,251.19

696.11

831037.2135234796.135

831234890.53522

==−−

−=r

60. Solución:

10=n ∑ = 243ix ∑ = 125iy ∑ = 236.3ii yx

∑ = 405.62ix ∑ = 739.12

iy

a) 3969,0=yxb 8548,2=yxC


33

( ) 8083,88548,2153969,0ˆ =+=Y 81,8ˆ =Y b) 4463,06681,0 2 =⇒= Rr 61. Solución:

∑∑ === 6215830 iiii nynxn 07,20660,2 ≅=y 27,526667,5 ≅=x 148956348 22 === ∑ ∑∑ iiiiiii nynxnyx

( ) ( ) ( )71555,06911,027,507,230348 =−=Cov *

( ) ( )128788,409,430

27,530956 22 =

−=xS *

* resultados, usando programa RL en la calculadora

( ) ( )66222,065,0

3007.230148 2

2 =−=ys *

a) ( ) xyybXb xyxy +−=== ˆ*)0805,1( 06,165,0

6911,0

( ) 32,727,507,2406,1ˆ =+−=X

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]19,0*)432739,0(43,0

621483015895630

6215834830 2

22=⇒=

−−

−= Rr

c) 36,365,0

6911,009,4

2

2

222 =−=−=

y

xxy sCovss (3,355)* Varianza residual

83,136,3 ==xys

222

xyxax sss −= 73,036,309,42 =−=⇒ axs Varianza explicada

d) =±=

±=

64,600,868,032,7

30

83,1048,232,7X 32.7ˆ =X

ix iy in

2 1 3 2 2 2 4 1 5 4 3 3 6 2 5 6 3 5 8 1 1 8 2 3 8 3 3

∑ 30


34

62. Solución:

30=n ∑ = 550.1ii nx ∑ = 150.862ii nx

940.2=∑ ii ny 400.3002 =∑ ii ny

800.157=∑ iii nyx

( )6666,5167,5130550.1 ==x *

9830940.2 ==y

* resultados con la calculadora

( ) ( )3333,40933,40930

9830400.300 22 =−=ys *

( ) ( )2222,20288,201

30

67,5130150.86 22 =−=xs *

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]47,068,0

940.2400.30030550.1150.8630

940.2550.1800.15730 2

22=⇒=

−−

−= Rr

b) 67,19630

940.2

30

550.1

30

800.157 =

−=xym

( )97252,0979,088,201

67,197 ==yxb *

( ) 37,969867,5150979,0ˆ =+−=Y miles de $ $96.370

c) ( )019,21874,21788,201

67,19633,409

22 =−=yxs *

76,1474,217 ==yxs

=±=

±=

85,90

89,10152,537,96

30

76,14048,237,96Y miles de $

ix iy in 35 80 2 35 60 4 40 120 1 40 100 6 40 80 2 60 120 4 60 100 2 60 80 1 70 120 5 70 100 3

∑ 30


35

d) 59,19174,21733,409;222 =−=−== VEssVEs yxyay

regresiónderectalaporexplicadoquedaVT

VE

s

s

y

ay %81,464681,033,409

59,1912

2

====

63. Solución:

30=n 813∑ =ii nx

∑ = 984ii ny 7322 =∑ ii nx

472.332 −∑ ii ny 672.4=∑ iii nyx

6,4=x 8,32=y 24,32 =xs ( )89333,3989,392 =ys *

( ) ( ) ( )85333,485,48,326,430

672.4 =−=Cov *

* Resultados con calculadora

a) ( )497942,14969,124,3

85,4 ==yxb *

( ) 40,338,326,454969,1ˆ =+−=Y años de edad

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]43,04269,0

984472.333013873230

984138672.430

22≅=

−−

−=r 181822,02 ≅=R

ix iy in 2 24 3 2 32 2 2 40 1 4 24 4 4 32 5 4 40 3 6 24 1 6 32 3 6 40 5 8 32 1 8 40 2

∑ 30


36

64. Solución:

30=n 127=∑ ii nx 152=∑ ii ny

6692 =∑ ii nx 9842 =∑ ii ny

513=∑ iii nyx 23,4=x 07,5=y

4071,423,430

669 22 =−=xs 095,707,530

984 22 =−=ys

a) ( ) 3461,407,523,430

513 −=−=Cov

986,04071,4

3461,4 −=−=yxb

( ) dincapacidadedíasY 32,307,523,46986,0ˆ =+−−=

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]61,078,0

1529843012766930

15212751330 2

22=⇒−=

−−

−= Rr

65. Solución:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )7034,0

50374045,2800

045,2374410.450

800374282.950222

=−=−

=

=−

−=−

−=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑∑

yx

iiyxii

yx

yx

iiii

iiiiiiiyx

Cn

nxbnyC

bnxnxn

nynxnyxnb

( ) 05,627034,030045,2ˆ =+=Y 05,62ˆ =Y

ix iy in 7 2 2 8 1 3 2 5 6 3 6 5 5 4 4 3 9 7 7 2 3

∑ 30


37

( ) ( )

=±=±===

=−−=−−

=∑ ∑ ∑

51,61

59,6254,005,62

50

96,196,105,62ˆ;96,183,3

83,350

282.9045,28007034,0736.192

2

Ys

n

nxybnyCnys

yx

iiiyxiiyxiiyx

66. Solución: Coeficiente de correlación Pearson:

72,13850

5080050736.19

1

2

2222 =

−

=−==−= ∑n

ynnyTVs

VTVRR ii

y

99,0986,09723,072,138

83,312 ≅=⇒=−= rR 99,0=r

67. Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

67,930

3014530991

9838,067,9

1565,01

1565,030

127.25087,014566,0991)

46,6ˆ4618,666,0145087,0ˆ66,030

3245087,0145

5087,0324602.430

145324127.230)

127.2991145

602.432430

2

22

2

2

22

=

−

==−=

=−+=

==−=⇒−=−=

=−

−=

===

=== ∑

∑∑

∑∑

y

yx

yx

yx

iii

ii

ii

ii

ii

sR

sb

YYC

ba

nyxnyny

nxnxn


38

68. Solución:

cxbaxY ++= 2ˆ

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

++=++=++=

2342

23

2

iiiii

iiiii

iii

xcxbxayx

xcxbxayx

ncxbxay

a) Le damos valores a las ecuaciones anteriores Los valores de los parámetros son:

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

cba

cba

cba

626.1110.16130.167418.29

174626.1110.16062.3

20174626.1340

++=++=++=

74,2

*455,245,2*087,009,0

===

−=−=

yx

yx

yx

cba

* resultado calculadora

La regresión parabólica de “2 en 1” será:

( ) 74,245,209,0ˆ 2 ++−= xxY ( ) ( ) 24,1874,21045,210009,0ˆ =++−=Y

b) n

xyaxybycys

iiyxiiyxiyxiyx

∑ ∑ ∑ ∑−−−=

222 24,18ˆ =Y

( ) ( ) ( )

73,020

418.29087,0062.3455,234074,2094.52 =+−−=yxs

89,011,012,673,0

112

2

2 =−=−=−=y

yx

s

sr 94,0=r

2,61720

904.5 222

2 =−=−= ∑ yn

ys i

y

El ajuste parece mejor que el de la recta, ya que r = 0,94 acercándose más a 1.


39

69. Solución:

ix iy 5 28 8 32 4 46 7 24

10 28 4 36 3 42 4 37 3 51 4 42

52 366

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

=====

078.14

137.10

767.1

366

308.18

290.2

320

5210

2

2

4

3

2

i

ii

ii

i

i

i

i

i

y

yx

yx

y

x

x

x

xn

( )( )

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Cba

Cba

Cbaa

320290.2308.18137.10)3

152320290.2767.1)2

2,51052320366)1)

++=−++=

++=

( )( )( )

desealoasísiíasimboestautilizarpodráse

cba

cba

cba

log

320290.2308.18137.103

52320290.2767.12

10523203661

++=++=++=

( )( )( ) yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

cba

cba

cba

320290.2308.18137.103

52320290.2767.12

10523203661

++=++=++=

Multiplicamos la (1) por 5,2 y le restamos la (2) ( )( )( ) 06,496262,1364

52320290.2767.12

524,270664.12,903.11

yxyx

yxyxyx

yxyxyx

ba

cba

cba

−−=−−−=−++=

2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx2 2

iy 25 125 625 140 700 784 64 512 4.096 256 2.048 1.024 16 64 256 184 736 2.116 49 343 2.401 168 1.176 576

100 1.000 10.000 280 2.800 784 16 64 256 144 576 1.296 9 27 81 126 378 1.764

16 64 256 148 592 1.369 9 27 81 153 459 2.601

16 64 256 168 672 1.764 320 2.290 18.308 1.767 10.137 14.078


40

Multiplicamos la ecuación (1) por -32 y se le resta a la (3) ( )( )( ) 0626068.8575.15

320664.1240.10712.111

320290.2308.18137.103

yxyx

yxyxyx

yxyxyx

ba

cba

cba

+=−−−−=−++=

Multiplicamos la (4) por 626 y la (5) por – 49,6

( )( )

8607,08,296.8

2,141.78,296.82,141.7

6,049.318,172.4000,120.785

6,049.310,876.3912,261.854

==⇒=+=−−−=

yxxy

yxxy

yxxy

aa

ca

ca

Reemplazamos en la ecuación (4)

( ) yxb6,498607,06262,136)4 −−=

( )

6088,136,49

8607,06262,136 −=−

+=yxb Reemplazamos en la ecuación (1)

( ) ( ) yxc106088,13528607,0320366)1 +−+=

( ) ( )

8234,7910

6088,13528607,0320366=

+−=yxc

( ) ( ) 16,291558,298234,7966088,13368607,0ˆ ≅=+−=Y 16,29ˆ =Y

16,29ˆ =Y debe ser la edad estimada para un trabajador que solicita 6 permisos.

( ) ( ) ( )

4469,1810

137.108607,0767.16088,133668234,79078.14) 2 =−+−=yxsb

29,44469,18 ==yxs

24,6810

366

10

078.142

2 =

−=ys

73,07297,024,68

4469,1811 2

2

2

2 ≅=−=⇒−= Rs

sR

y

yx 73,02 =R


41

=±=

±=

03,26

29,3213,316,29

10

29,4306,216,29ˆ) Yc años (edad)

70. Solución: Por comodidad, cambiamos por yi = Capacidad y xi = el número de pasajeros, con el fin de estimar Y en vez de estimarX , tal como se hace frecuentemente, obteniéndose los mismos resultados.

ix iy 8 12

12 20 5 12

10 20 14 40 8 12

11 20 16 40 6 12 5 20

95 208 a) cxbxaY ++= 2ˆ ⇒ yxyxyx cxbxaY ++= 2ˆ

cbacba

cba

031.1389.12067.160148.28)395031.1389.12284.2)2

1095031.1208)1

++=++=

++=

( )

05,1285,594.2308)4(

955,9025,794.9976.1)1(

95031.1389.12284.2)2(

25,9

ba

cba

cba

dosecuaciónladerestamoslayporecuaciónprimeralamosMultiplica

+=−−+−=−++=

−

2ix 3

ix 4ix ii yx

ii yx2 2iy

64 512 4.096 96 768 144 144 1.728 20.736 240 2.880 400 25 125 625 60 300 184

100 1.000 10.000 200 2.000 400 196 2.744 38.416 560 7.840 1.600 64 512 4.096 96 768 144

121 1.331 14.641 220 2.420 400 256 4.096 65.536 640 10.240 1.600 36 216 1.296 72 432 144 25 125 625 100 500 400

1.031 12.389 160.067 2.284 28.148 5.376


42

( )

05,594.29,770.532,703.6)5(

031.15,794.91,296.1068,444.21)1(

031.1389.12067.160148.28)3(

1,1031

ba

cba

cba

porlandomultiplicáecuacióntercerayprimeralacontrabajamosAhora

+=−−−=++=

Nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5) y despejamos a, multiplicando por 2.594,5 la ecuación (4) y por 128,5 la ecuación (5), luego restamos

04,130.1782,255.62

25.393.33325,430.731.60.106.799)4(

25,393.33365,560.909.62,361.861)5(

a

ba

ba

=−−=−+=

( ) bdespejamosyecuaciónlaenosReemplazama 43495,04,130.1782,255.62 ==

( )=−=−=⇒+=

yxbb

bb 6598,45,128

78,9063085,128)3495,0(5,594.23084

Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para calcular el valor de c

( ) ( ) c106598,4953495,0031.1208 +−+=

( ) ( )==+−=

yxcc

c 0347,2910

6598,4953495,0031.1208

0347,296598,43495,0ˆ 2 +−= xxY Siendo x = 13 se tiene:

( ) ( ) 5228,270347,29136598,4133495,0ˆ 2 =+−=Y 52,27ˆ =Y pasajeros

pasajerosdementeaproximadaserpuedevehículodelcapacidadLa 30,

b) ( ) ( ) ( )

20,1410

148.283495,0284.26598,42080347,29376.52 =−+−=yxs

35,44710

95

10

376.52

2 =

−=ys

⇒=−=⇒−= 9683,035,447

20,1411 2

2

2

2 Rs

sR

y

yx 98,0≅r


43

CORRELACIÓN MÚLTIPLE 71. Solución: *Presentamos dos maneras de simbolizar las columnas de las variables, el proceso es el mismo

*

Presentamos dos de las ecuaciones que podemos utilizar, en cuanto se refiere a la SIMBOLOGIA utilizada:

( )( )( )

++=++=++=

++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

231.23313.21313.232

131.23213.21113.212

31.2313.2113.22

31.2313.2113.22

321

ˆ

xbxxbxbxxxxbxbxbxx

xbxbbnxxbxbbX

ó

( )

++=++=++=

++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2221122

12221111

2211

2211

2

1ˆ

xxxxxyxxxxxy

xxnyxxY

oi

oi

oi

o

βββββββββ

βββ

( )( )( ) 21

21

21

800.949380.48060.3360.503380.48708.2152536.22060.3152101641

βββββββββ

++=++=++=

o

o

o

1.2323.21113.2 ββββ === bbo ( ) ( ) 2,1521 porprimeralamosmultiplicayyecuacioneslasosConsideram

ix 2x 3x

1x iy 2x 5 20 270 9 18 250 12 16 280 8 10 260 16 14 310 18 16 330 19 16 350 20 17 320 18 17 360 27 20 330 152 164 3.060

21x 2

2x 23x 21 xx 31 xx 32 xx

21x 2

iy 22x 1xyi 21 xx 2xyi

25 400 72.900 100 1.350 5.400 81 324 62.500 162 2.250 4.500 144 256 78.400 192 3.360 4.480 64 100 67.600 80 2.080 2.600 256 196 96.100 224 4.960 4.340 324 256 108.900 288 5.940 5.280 361 256 122.500 304 6.650 5.600 400 289 102.400 340 6.400 5.440 324 289 129.600 306 6.480 6.120 729 400 108.900 540 8.910 6.600

2.708 2.766 949.800 2.536 48.380 50.360


44

21

21

21

800.9496,39702,43)4(

512.464,23101528,492.2)1(

380.48708.2152536.2)2(

ββββββββ

+−=−−−=−++=

o

o

( ) 3061 porecuaciónlamosmultiplicaAhora

2

2

2

340.13868.10176)5(

360.936512.46060.3184.50)1(

800.949380.48060.3360.50)3(

ββββββββ

++=−−−=++=

i

io

io

( ) ( ) 6,3975868.141 porlayporlandomultiplicaEliminamosβ

2

21

21

560.814.100,720.10

984.303.58,716.7426,977.69

424.489.38,716.7426,697.80)4(

βββββ

−=−−=−+=

( )0059,0868.16,3972,4340059,0560.814.1

720.1012 +=== ββ yecuaciónlaenosReemplazam

( )

0809,06,397

0059,0868.12,431 =−=β

( )1ecuaciónlaenosReemplazam

( ) ( )060.30059,01520809,010164 ++= oβ

( )

3649,1310

)060.3(0059,01520809,0164 =−−=oβ

3649,1313.2 == boβ 0809,03.211 == bβ 0059,01.232 == ββ

2211ˆ xxY o βββ ++=

21 0059,00809,03649,13ˆ xxY ++=

( ) ( ) 34,16338,16240059,0350809,03649,13ˆ ≅=++=Y 34,16ˆ =Y

%34,16delutilidadunaesperaríaSe


45

72. Solución:

22111 xxY o βββ ++=

32,1323,1223,11ˆ xbxbbX ++=

( )( )( ) 2.133.1223.1

2.133.1223.1

2.133.1223.1

145.1994.4308264.43994.4157.22363555.1828136363081

bbbbbb

bbb

++=++=

++=

cba

321

321

321

145.1994.4308

994.4157.22363

813636

XXX

XXX

XXX

++++++

264.4

555.18

308

11

11

1

308

3636

acc

abb

aa

−=−=

=

32

32

321

013.3640.130

5,935,1950

5,135,60

XX

XX

XXX

−−−+++

6564,546.11

9879,78

3333,51

−−

212

12

212

640.13

5,195

5,60

bcc

bb

baa

+==−=

3

32

31

012,511.3004783,0 04371,15 0

XXXXX

++−

22,057.17

4040,0

7753,75

−−

012,511.34783,04371,15

23

322

323

cccbbcaa

=−=

+=

0 0 0 0 0 0

3

2

1

X

X

X

1.232

3.121

23.1

8582,49196,17788,0

bbbo

==−====

βββ

a) ( ) ( ) 4122,23238582,4709196,17788,0ˆ =−+=Y 41,23ˆ =Y b) Se deja planteada las ecuaciones: 31.2313.2113.22

ˆ xbxbbX ++=

( )( )( ) 1,233,2113,2

1,233,2113,2

1,233,2113,2

145.1264.481994.43

264.4152.16308555.182

8130863631

bbb

bbb

bbb

++=++=++=

o 2211

ˆ xxY o βββ ++=


46

( )( )( )

sCalcularloo

o

o

o

???

145,1264.4 81 994.43264.4152.16308 555.182

81308 6 3631

2

1

21

21

21

===

++=++=++=

βββ

ββββββ

βββ

cba

321

321

321

145.1264.481

264.4152.16308

813086

xxx

xxx

xxx

++++++

994.4

555.18

363

11

11

1

81 308

6

acc

abb

aa

−=−=

=

32

32

321

5,510027,1060

1063436,3410

5,133333,51

xx

xx

xxx

++++++

5,93

0,79

5,60

−

212

12

212

0027,1063436,341

3333,51

bcc

bb

baa

−=

=

−=

3

32

31

5862,1800

3105,00

4390,20

x

xx

xx

++−

0290,118

2314,0

3785,72

−

5862,183105,04390,2

23

323

323

cccbbcaa

=−=

+=

3

2

1

00

00

00

x

x

x

3504,6

2032,2

8671,87

−

3504,62032,28671,87 21 =−== βββo 21 3504,62032,28671,87ˆ xxY +−=

c) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )7963,0

173.1048.2

474

363157.226308152.166

363308555.186

2212 −=−=

−−

−=r

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]7994,0

)309(048.2

636

81145.16308152.166

81308264.4622

13 ==−−

−=r

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0930,0

)173.1( 309

56

363157.22681145.16

81363994.4622

23 ==−−

−=r

7963,02112 −== rr 7994,03113 == rr 0930,03223 == rr


47

73. Solución:

32,1323,1223,11ˆ xbxbbX ++=

232.13323.12323.131

232.13223.12223.121

32.1323.1223.11

xbxxbxbxx

xxbxbxbxx

xbxbnbx

∑+∑+∑=∑

∑+∑+∑=∑

∑+∑+=∑

( )( )( ) 2.133.1223.1

2.133.1223.1

2.133.1223,1

1881,1439,12923,798,2013

39,129279.179996.12

23,77961291

bbb

bbb

bbb

++=++=++=

cba

321

321

321

1881,1439,12923,7

39,129279.179

23,7796

xxx

xxx

xxx

++++++

98,201

996.1

129

11

11

1

23,7

796

acc

abb

aa

−=−=

=

32

32

321

4760,51948,340

195,348307,2380

205,11667,13

xx

xx

xxx

+++

535,46

5,297

5,21

212

12

212

1948,34

8307,238

1667,13

bcc

bb

baa

−==

−=

3

32

31

5793,000

1432,00

6805,00

x

xx

xx

++−

9420,3

2456,1

0995,5

5793,01432,06805,0

23

323

323

cccbbcaa

=−=

+=

3

2

1

00

00

0 0

x

x

x

8048,6

2712,0

730,9

321 8048,62712,0730,9ˆ xxX ++=

( ) ( ) 0164,7588048,6402712,0730,9ˆ1 =++=X 02,75ˆ

1 =X


48

74. Solución:

31,2313,2113,22ˆ xbxbbX ++=

231.23313.21313.232

131.23213.21113.212

31.2313.2113.22

xbxxbxbxx

xxbxbxbxx

xbxbnbx

∑+∑+∑=∑

∑+∑+∑=∑

∑+∑+=∑

( )( )( ) 1.233.2113.2

1.233.2113.2

1.233.2113,2

725 057.18 95 833.33

057.1868,175.9394,247.3 1,060.982

95 4,247.3 15 6041

bbb

bbb

bbb

++=++=++=

cba

321

321

321

725057.1895

057.1868,175.9394,247.3

954,247.315

xxx

xxx

xxx

++++++

833.3

1,060.98

604

11

11

1

95

4,247.315

acc

abb

aa

−=−=

=

32

32

321

3365.1238635.509.207584,509.23376,135.23603333,64933,216

xxxxxxx

+−−+++

6635,79816,701.322667,40

−

212

12

112

8635,509.23376,135.236

4933,216

bccbb

baa

−==

−=

3

32

31

65665,960001063,001625,50

xxxxx

+−−

9275,3391385,02510,70

−−

7319,96

01060,0

6281,8

23

323

323

−=+=

+=

cc

cbb

caa

3

2

1

00

00

00

x

x

x

51686,31012,0

88211,39−

( ) 312 51686,31012,088211,39ˆ xxXa +−= ( ) ( ) ( ) 2144,36551686,32101012,088211,39ˆ

2 =+−=Xb 21,36ˆ2 =X


49

75. Solución:

iy 1x 2x 2iy 2

1x 22x 1xyi 2xyi 21 xx

0,5 43 14 0,25 1.849 196 21,5 7,0 602 0,5 36 16 0,25 1.296 256 18,0 8,0 576 0,9 39 10 0,81 1.521 100 35,1 9,0 390 1,6 41 12 2,56 1.681 144 65,6 19,2 492 2,5 34 8 6,25 1.156 64 85,0 20,0 272 2,8 46 12 7,84 2.116 144 128,8 33,6 552 3,0 35 6 9,00 1.225 36 105,0 18,0 210 3,2 32 6 10,24 1.024 36 102,4 19,2 192 3,3 49 4 10,89 2.401 16 161,7 13,2 196 3,7 38 12 13,69 1.444 144 140,6 44,4 456 22,0 393 100 61,78 15.713 1.136 863,7 191,6 3.938


( )( )( )

( )( )23,39

1

136.1938.31006,1913938.3713.153937,8632

10039310221

21

21

21

ecuaciónlaarestamosloyporecuaciónlamosmultiplica

o

o

o

−++=++=++=

βββββββββ

( )( )( ) 21

21

21

81,26809,04

930.39,444.153936,8641

938.3713.153937,8632

ββββββββ

++=−−−−=−++=

o

o

( ) ( ) 10)1(31 −porecuaciónlandomultiplicayecuacioneslascontrabajamos

( )( )( ) 21

21

21

36804,285

000.1930.31002201

136.1938.31006,1913

ββββββββ

++=−−−−=−++=

o

o

( ) ( )55,44 ecuaciónlarestaleseyporecuaciónlamosmultiplica

( )( )

0203,045,198.1

35,24045,198.135,24

3600,840,285

3645,206.105,44

11

21

21

==⇒=−−=++=−

ββββββ


50


( ) ( ) ( )7934,0

36

0203,084,28360203,084,285 22 −=−−=⇒+=− ββ


( ) ( ) 3362,910

34,799779,7227934,01000203,03931022 =+−=⇒−+= oo ββ

( ) ( ) ..4208,1117934,0400203,03362,9ˆ VTdehorasY =−+= 42,1ˆ =Y

76. Solución:

∑ ∑∑

∑∑∑

====

==

====

50750

532618

313

35

439

914

605

22

22

21

1

21

2 xxy

yxx

x

x

xx

y

yn

i

ii

i

i

( )( )( ) ( ) ( ) 721

eliminamos

618439507503

439313355322

50355601

21

21

21

−++=++=++=

últimaestandomultiplicayecuacioneslascon

trabajandoa o

o

o

o β

βββββββββ

( )( )( ) 21

21

21

896801124

350245354201

439313355322

ββββββββ

++=

−−−=−++=

o

o

( ) ( ) 10)1(tan31 −domultiplicaecuaciónladoresyecuacioneslascontrabajamosAhora

( )( )( ) 21

21

21

1188901505

500350506001

618439507503

ββββββββ

+=−−−=−++=

o

o

( ) ( ) 8951184 porlayporecuaciónlamosmultiplica


51

( )( ) 301,1

103

134

0103134

502.10024.8216.134

502.101921.7350.135

1

1

21

2

−=−=−=

−−=−+=

ββ

ββββ


( ) ( ) ( )2524,2

89301,168112

89301,1681124 22 =+=⇒+−= ββ


( ) ( ) 417,15

62,112535,45602524,250301,135560 −=−+=⇒+−= oo ββ

( ) ( ) 14,23162524,211301,1417,1ˆ =+−−=Y 14,23ˆ =Y

2112 975,01

rrryx === 3113 991,02

rrryx === 3223 9936,032

rrr xx ===

( ) ( ) ( )99,09947,0

9936,01

9936,0991,0975,02991,0975,0)

2

22

. 21≅=

−−+=xxyRb

77. Solución:

Vendedor ix Rango ix iy Rango iy

1 70 1,0 29 1,0 2 71 2,0 32 3,0 3 72 3,5 32 3,0 4 72 3,5 32 3,0 5 82 5,0 34 5,0 6 85 6,0 37 6,0 7 86 7,0 39 7,0 8 87 8,0 41 8,0 9 88 9,5 42 9,0 10 88 9,5 43 10,0 11 89 11,0 44 11,0 12 93 12,5 46 12,0 13 93 12,5 50 13,0 14 96 14,0 51 14,0 15 98 15,0 53 15,0


52

Vendedor ix Rango

ix iy Rango

iy id 2id

1 72 3,5 34 5,0 -1,5 2,25 2 88 9,5 42 9,0 0,5 0,25 3 70 1,0 32 3,0 -2,0 4,00 4 72 3,5 44 11,0 -7,5 56,25 5 87 8,0 29 1,0 7,0 49,00 6 71 2,0 32 3,0 -1,0 1,00 7 85 9,5 41 8,0 1,5 2,25 8 89 11,0 46 12,0 -1,0 1,00 9 93 12,5 50 13,0 -0,5 0,25 10 98 15,0 51 14,0 1,0 1,00 11 93 12,5 53 15,0 -2,5 6,25 12 96 14,0 32 3,0 11,0 121,00 13 86 7,0 39 7,0 0,0 0,00 14 82 5,0 43 10,0 -5,0 25,00 15 88 9,5 37 6,0 3,5 12,25

∑

0 281,75

nn

dr is −

−= ∑3

261

( )

4965,05031,01

1515

75,28161

3

=−=

−−=

s

s

r

r

50,04965,0 ≅=sr

El resultado de 0,50 nos muestra que hay muy poca correlación entre esas dos variables * Ver más ejercicios capítulo 9 78. Solución:

No. ix Rango

ix iy Rango

iy 1 6 2,0 8 1,0 2 6 2,0 9 2,0 3 6 2,0 10 3,5 4 10 4,5 10 3,5


53

5 10 4,5 12 5,5 6 11 6,5 12 5,5 7 11 6,5 13 7,0 8 13 8,0 17 8,0 9 14 9,5 18 10,0 10 14 9,5 18 10,0 11 17 11,5 18 10,0 12 17 11,5 20 12,0

No. ix Rango

ix iy Rango

iy id 2id

1 6 2,0 10 3,5 -1,5 2,25 2 10 5,5 13 7,0 -1,5 2,25 3 14 9,5 18 10,0 -0,5 0,25 4 17 11,5 12 5,5 6,0 36,00 5 6 2,0 9 2,0 0,0 0,00 6 6 2,0 8 1,0 1,0 1,00 7 11 6,5 12 5,5 1,0 1,00 8 14 9,5 18 10,0 -0,5 0,25 9 10 5,5 17 8,0 -2,5 6,25 10 17 11,5 10 3,5 8,0 64,00 11 11 6,5 18 10,0 -3,5 12,25 12 13 8,0 20 7,0 1,0 1,00

∑

0 126,50

( )

variablesdosesasentrencorrelaciópocamuyindicanosrs 57,05577,04423,011212

5,12661

3≅=−=

−−=

57,0=sr

79. Solución:

No. ix Rango

ix iy Rango

iy 1 12 1 16 1 2 13 2 17 2 3 14 3 18 3 4 15 4,5 20 4 5 15 4,5 21 5


54

6 16 6 22 6 7 17 7 24 7,5 8 18 8 24 7,5 9 20 9 25 9,5 10 21 10 25 9,5 11 22 11,5 31 11,5 12 22 11,5 31 11,5 13 23 13 34 13 14 24 14 35 14

No. ix Rango

ix iy Rango

iy id 2id

1 13 2 21 5 -3,0 9,00 2 12 1 17 2 -1,0 1,00 3 16 6 22 6 0 0,00 4 15 4,5 16 1 3,5 12,25 5 14 3 18 3 0 0,00 6 22 11,5 35 14 -2,5 6,25 7 23 13 34 13 0 0,00 8 17 7 20 4 3,0 9,00 9 24 14 31 11,5 2,5 6,25 10 20 9 24 7,5 1,5 2,25 11 21 10 25 9,5 0,5 0,25 12 18 8 25 9,5 -1,5 2,25 13 15 4,5 24 7,5 -3,0 9,00 14 22 11,5 31 11,5 0 0,00

∑

0 57,50

a) ( )

8736,01264,011414

5,5761 3 =−=

−−=sr 87,0=sr

Hay una buena correlación entre esas variables, según el coeficiente de Spearman b) Pearsondencorrelaciódeecoeficientr =

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]8764,0

343899.814252742.414

343252454.614

22=

−−

−=r

SpearmandencorrelaciódeecoeficientaligualCasi


55

80. Solución:

No. iy Rango

iy 1 20 1,0 2 45 2,5 3 45 2,5 4 52 5,0 5 52 5,0 6 52 5,0 7 53 7,0 8 60 9,0 9 60 9,0 10 60 9,0 11 68 11,5 12 68 11,5 13 70 13,5 14 70 13,5

( )2538,07462,01

1414

50,33961 3 =−=

−−=sr 25,0=sr

variablesdoslasentrencorrelacióhaynoquedecirpuedeSe

81. Solución:

No. ix Rango

ix iy Rango

iy 1 65 2,0 25 2,0 2 65 2,0 25 2,0 3 65 2,0 25 2,0 4 75 4,0 30 4,0 5 76 6,0 35 6,0 6 76 6,0 35 6,0 7 76 6,0 35 6,0 8 78 8,0 38 8,5 9 80 9,5 38 8,5 10 80 9,5 40 10,0 11 83 12,0 42 11,5 12 83 12,0 42 11,5

No. Rango

ix Rango

iy id 2id

1 11,0 2,5 8,5 72,25 2 1,0 9,0 -8,0 64,00 3 2,0 7,0 -5,0 25,00 4 5,0 5,0 0,0 0,00 5 3,5 9,0 -5,5 30,25 6 3,5 9,0 -5,5 30,25 7 6,0 1,0 5,0 25,00 8 9,0 5,0 4,0 16,00 9 12,0 13,5 -1,5 2,25 10 13,5 11,5 2,0 4,00 11 9,0 13,5 -4,5 20,25 12 7,0 5,0 2,0 4,00 13 13,5 11,5 2,0 4,00 14 9,0 2,5 6,5 42,25

∑ 339,50


56

13 83 12,0 45 13,0 14 84 14,0 48 14,0 15 85 15,0 50 15,0 16 90 16,0 55 16,0

No. ix Rango

ix iy Rango

iy id 2id

1 65 2,0 30 4,0 -2,0 4,00 2 80 9,5 25 2,0 7,5 56,25 3 76 6,0 35 6,0 0,0 0,00 4 75 4,0 40 10,0 -6,0 36,00 5 80 9,5 38 8,5 1,0 1,00 6 78 8,0 42 11,5 -3,5 12,25 7 83 12,0 48 14,0 -2,0 4,00 8 84 14,0 50 15,0 -1,0 1,00 9 85 15,0 55 16,0 -1,0 1,00 10 90 16,0 45 13,0 3,0 9,00 11 65 2,0 25 2,0 0,0 0,00 12 83 12,0 35 6,0 6,0 36,00 13 76 6,0 38 8,5 -2,5 6,25 14 76 6,0 35 6,0 0,0 0,00 15 83 12,0 25 2,0 10,0 100,00 16 65 2,0 42 11,5 -9,5 90,25

∑ 357,00

( )4750,05250,01

1616

35761

3=−=

−−=sr 48,0=sr

ncorrelaciópocaMuy

EJERCICIOS MISCELÁNEOS 82. Solución:

14,1033882771

71,747140282

2

==∑=∑=∑

====∑=∑

yxyyy

Covxnxx

iiii

ii

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]99,0987,0

718277281407

71283387

22≅=

−−

−=r


57

b) 505,027,15

71,72

===y

xyS

Covb ( ) 12,114,10505,04 −=−=xyC

( ) →=−= 99,912,122505,0X (Con todos los decimales, usando la calculadora 15,10ˆ =X )

( ) →=−= 32,15

7

14,107827 22yS (Con calculadora 27,152 =yS )

( )( ) →=== 725,714,1047

338Cov (Con calculadora 7,71)

Queda fuera de servicio a los 9,99 años aproximadamente )15,10ˆ( =X 83. Solución: La solución se le deja al estudiante 84. Solución:

11=n 75=∑ ix 134=∑ iy 992=∑ ii yx

83,02 =r 5512 =∑ ix 818.12 =∑ iy 12,7=Cov

60,32 =xS 88,162 =yS 82,6818,6 ==x 18,12=y

a) ( ) 50,16298,19977,1ˆ =−=Y (Resultado con calculadora) b) ( ) 79,291,0181,16 22 =−=yxS (Resultado con calculadora)

671792 ,,yxS ==

622,205,0

92=

=∝=−=

tnυ

=±=

±=18158217

321501611

67162225016ˆ

,,

,,,

,,Y

c) r = 0,91 es un buen coeficiente de correlación (muy cercano a 1), esto quiere decir, que

el ajuste rectilíneo es una buena línea de estimación; b = 1,98 es el coeficiente de regresión, que indica el aumento en Y por cada unidad de x.


58

85. Solución: 1. a) salariox = 5,996.235=∑ ii yx 991.3=∑ ix serviciodetiempoy = 15=n 487.3=∑ iy

0196,0=xyb 52,527.672 =∑ ix 695.108.12 =∑ iy

16,996.1903,13742,3922,23207,66 22 ===== yx SSCovyx

( ) 82,5407,662,2322000196,0ˆ =+−=X (calculadora) $54.820 es el salario semanal b) 15=n 991=∑ ix 52,527.672 =∑ ix 151.42=∑ ii yx

346,0=xyb 632=∑ iy 776.272 =∑ iy

52,7603,13746,2613,4207,66 22 ===== yx SSCovyx

( ) 66,4407,6613,4238346,0ˆ =+−=X (calculadora) 66,44ˆ =X $44.660 salario semanal c) En ambos casos son positivos, por lo tanto indican el crecimiento en la variable x

(variable dependiente) de acuerdo al valor de y (variable independiente). 2. a) Salariox = 991=∑ ix 483.32 =∑ x 6323 =∑ x

servicioTx .2 = 52,527.6721 =∑ x 695.108.12

2 =∑ x

776.2723 =∑ x

Edadx =3 15=n 5,996.23521 =∑ xx 151.4231 =∑ xx 678.16332 =∑ xx

32.1323.1223.1

ˆ XbXbbX ++=

232.13323.12323.131

232.13223.12223.121

32.1323.1223.11

)3(

)2(

)1(

xbxxbxbxx

xxbxbxbxx

xbxbbnx

∑+∑+∑=∑

∑+∑+∑=∑

∑+∑+=∑

Reemplazando se tiene que:


59

2.133.1223.1

2.133.1223.1

2.133.1223.1

776.27678.163632151.42)3(

678.163695.108.1483.35,996.235)2(

632483.315991)1(

bbb

bbb

bbb

++=++=++=

Multiplicamos a la ecuación (1) por -232.2

2.133.12

2.133.1223.1

2.133.1223.1

6,927.164,942.29903,886,5)4(

4,750.1464,520.808 483.32,110.230)1(

678.163695,108.1486.35,996.235)2(

bb

bbb

bbb

++=−−−=−++=

Ahora proseguimos con las ecuaciones (1) y (3), con el fin de eliminar a 23.1b , para ello multiplicamos a la (1) por 632 y la (3) por 15 y luego restamos al mayor valor, el menor de ellos así:

2.133.12

2.133.1223.1

2.133.1223.1

216.17914.2530953,5)5(

424.399256.201.2480.9312.6261

640.416170.455.2480.9265.6323

bb

bbbb

bbb

++=−−−=−++=

Nos queda dos ecuaciones (4 y 5) con dos incógnitas cada una, para ello eliminamos

2.13b multiplicando a la ecuación (4) por 17.216 y por 16.927,6 la ecuación (5), luego restamos, para hallar el valor de 23.1b

0 040.294.8550,538.568)5(

6,561.425.291318.514.308.48,002.770.1005

6,561.425.291358.808.163.58,540.338.1014

3.12

2.133.12

2.133.12

+=−−=−+=

b

bb

bb

00066,0596.291.859

8,538.5683.12 ==b Reemplazamos en la ecuación (4) o (5).

Consideremos esta última:

( ) 2.13216.1700066,0914.253953.5 b+=

( )336,0

216.17

00066,0914.253953.52.13 =

−=b Reemplazando en la ecuación (1)

( ) ( )336,063200066,0483.315991 23.1 ++= b

( ) ( )

77,5115

336,06320006,0483.399123.1 ≅

−−=b


60

321 336,000066,077,51ˆ xxX ++= ( ) ( ) 75,6953336,026000066,077,51ˆ

1 ≅++=X 75,69ˆ =X b) El coeficiente de regresión 1β o 3.12b nos da el crecimiento o decrecimiento en X ,

manteniendo constante los demás coeficientes de regresión, algo similar sucede con 2β o 2.13b . El primero corresponde al coeficiente angular de la segunda variable y el segundo, es el coeficiente angular de la tercera variable.

c) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]237,0

483.3695.108.11599152,527.67 15

483.39915,996.23515

2212 =

−−

−=r 237,02112 == rr

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]258,0

632776.271599152,527.6715

632991151.4215

2213 =

−−

−=r 258,03113 == rr

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]91,0

632776.2715483.3695.108.115

632483.3678.16315

2223 =

−−

−=r 91,03223 == rr

( )( ) ( )

81,066,083,01

91,0258,0237,02067,0056,023.1 ==

−−+=R

66,081,0 22

23.1 ≅≅R (Se trabajó con los decimales que da la calculadora)

d) 23

2313122

232

132

1223.1 1

211 r

rrrrrrSS

−+−−−

=

( ) ( ) ( )

131,8083,01

91,0258,0237,0283,0067,0056,0103,13723.1 =

−+−−−=S

e) ( ) ( ) 63,6747336,012000066,076,51ˆ

1 =++=X 63,67ˆ1 =X


61

EJERCICIOS MISCELÁNEOS 86. Solución: A) (a) B) (d) 87. Solución: La solución se le deja al alumno 88. Solución: La solución se le deja al alumno 89. Solución:

8,2=yxb 3,0=xyb ( ) 92,09165,03,08,2 ≅==r 92,0=r

90. Solución:

a) ( )

75,34

1275,024 =−=yxC

( ) ( )( )

( ) ( ) 75,032

24

12444

24127842

==−

−=yxb

b) 75,375,0ˆ += xY c) ( ) 25,875,3675,0ˆ =+=Y 25,8ˆ =Y 91. Solución:

a) 7,920

194 ==y ; 360.9 ;91,065.1620

)7,9(20200.323 22 ==−= xSy

( ) ( ) 20n ; 694.7 ;25,006.1091,065.16694.79,0 2 ===== xyx SrCov SS


62

30,1694.7

25,006.102x

yxyx S

Covbb ===

( ) yxxY +−= 3,1ˆ b) ( ) 7,617,9360.9400.93,1ˆ ≅+−=Y 7,61ˆ =Y 92. Solución: 1. (a) 2. (b) 93. Solución: a) 0 b) 1=r c) 33,0=r 94. Solución:

( )

2202

2 =−∑

=n

yyiyS

( )4,38

ˆ 2

2 =−∑=n

yYSay

a) 17,0220

4,382

22 ===

y

ay

S

SR 41,017,0 === rR 41,0=r

b) Ha sido explicada en un 17% = 100100 2

2

y

ay

S

SVTVE =

c) 1) 0:0:0

≠=

ρρ

aH

H 2) 05,0=∝

38,217,01

23041,0 =

−−=t

048,205,0

282=

=∝=−=

tnυ

t = 2,38 cae en la Región Crítica, por lo tanto al nivel del 5%, podemos concluir que hay correlación entre las variables. La correlación es muy baja.


63

95. Solución:

20=n 36,02 =R 6,0=r

a) 1) 0:0:0

≠=

ρρ

aH

H 2) 05,0=∝

18,336,01

2206,0 =

−−=t

101,205,0

18220=

=∝=−=

tυ

t = 3,18 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. Es baja la correlación.

b) 64,036,011 22

2

=−=−= Ry

yx

S

S %64100 =

VT

VR

El porcentaje de la varianza que queda sin explicar por la recta de regresión es del 64% 96. Solución:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )6735,0

50

374049,2800

049,2374410.450

800374288.950222

=−=−

=

=−

−=−

−=

∑∑

∑ ∑∑ ∑∑

n

nxbnyC

nxnxn

nynxnyxnb

iiyxiiyx

iiii

iiiiiiiyx

( ) 14,626735,030049,2ˆ ≅+=Y 14,62ˆ =Y


64

( ) ( )

=±=

±=

==

=−−=−−

= ∑ ∑ ∑

64,61

64,6250,014,62

50

82,196,114,62ˆ

82,132,3

32,350

288.9049,28006735,0736.192

2

Y

S

n

nyxbnyCnyS

yx

iiiyxiiyxiiyx

97. Solución:

No. ix Rango

ix iy Rango

iy 1 7 1 3,6 1 2 8 2 3,7 2 3 9 3 3,8 4 4 10 5 3,8 4 5 10 5 3,8 4 6 10 5 3,9 6,5 7 11 7,5 3,9 6,5 8 11 7,5 4,2 8,5 9 12 9,5 4,2 8,5 10 12 9,5 4,3 10,5 11 13 11,5 4,3 10,5 12 13 11,5 4,4 12,5 13 14 13,5 4,4 12,5 14 14 13,5 4,5 14,0

No. ix Rango

ix iy Rango

iy id 2id

1 12 9,5 3,9 6,5 3,0 9,00 2 10 5,0 4,2 8,5 -3,5 12,25 3 13 11,5 4,2 8,5 3,0 9,00 4 8 2,0 3,8 4,0 -2,0 4,00 5 7 1,0 3,8 4,0 -3,0 9,00 6 11 7,5 3,8 4,0 3,5 12,25 7 11 7,5 4,3 10,5 -3,0 9,00 8 14 13,5 4,4 12,5 1,0 1,00 9 12 9,5 4,5 14,0 -4,5 20,25 10 14 13,5 4,4 12,5 1,0 1,00


65

11 9 3,0 3,9 6,5 -3,5 12,25 12 10 5,0 3,7 2,0 3,0 9,00 13 10 5,0 4,3 10,5 -5,5 30,25 14 13 11,5 3,6 1,0 10,5 110,25 - - - - - 0 248,50

( )variablesdoslasentrencorrelaciópocamuyrs 45,0546,01

1414

50,24861

3=−=

−−=

98. Solución:

31.233.2113.2ˆ xbbbX2 ++=

( )( )( ) ∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

++=++=++=

231.23313.21313.232

131.23213.21113.212

31.2313.2113.22

3

2

1

xbxxbxbxx

xxbxbxbxx

xbxbbnx

( )( )( ) 1.233.2113.2

1.233.2113.2

1.233.2113,2

507.6761.49303406.223

761.49778.401446.2293.1792

303446.215096.11

bbb

bbb

bbb

++=++=++=

manerasiguienteladepresentadohubieraseTambien


( )( )( )

( )ecuaciónsegundalaarestamoslose

yporecuaciónlamosmultiplica

o

o

o 066667,1631

507.6761.49303406.223

761.49778.401446.2293.1792

303446.215096.11

21

21

21 −

++=++=

++=

ββββββ

βββ

( )( )( ) 21

21

21

8,35193,916.2093,5714

2,409.4907,861.398446.207,721.1781

0,761.4900,778.401446.200,293.1792

ββββββββ

++=−−−=−++=

o

o

( ) ( )32,201 ecuaciónlaarestamoslaseyporecuaciónlamosMultiplica −


66

( )( )( ) 21

21

21

4,3868,35108,2665

6,120.62,409.493032,139.221

5070.60,761.493030,406.223

ββββββββ

+=−−−=−++=

o

o

( ) ( )

4,386)4(8,351)5(54 1

porecuaciónlaypor

ecuaciónlamosmultiplicadespejarparayecuacioneslasconTrabajamos

−β

( )( ) 1267,0

51,338.003.1

51,133.127

051,338.003.151,133.127

52,935.13524,763.12324,860.935

52,935.13575,101.127.175,993.2204

1

1

21

21

===

−−=−+=

ββ

ββββ


( ) ( ) ( )4716,0

4,386

1267,08,3518,2264,3861267,08,3518,2265 22 =−=⇒+= ββ

( ) oobtenerparaecuaciónlaenosreemplazamAhora β1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )8798,42

15

3034716,0446.21267,0096.13034716,0446.21267,015096.11 =

−−=⇒++= oo ββ

21 4716,01267,08798,42ˆ) xxYa ++=

( ) ( ) 248,77254716,01801267,08798,42ˆ mtsY =++= 248,77ˆ mtsY =

37,033,059,0) 231312 === rrrb

( ) ( ) ( )

60,037,01

37,033,059,0233,059,02

22

23,1 =−

−+=r

36,02

23,1223,1 == Rr


67

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.11 Series de tiempo, tendencia Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones rectilínea - Parabólica y logarítmica Actualizado en diciembre de 2007

11

Series de Tiempo, Tendencia Rectilínea

Parabólica y Logarítmica


REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución:

ix 2ix ii yx

0 0 0 1 1 383 2 4 674 3 9 1.170 4 16 1.624 5 25 2.295 6 36 2.880 21 91 9.026

Años Producción( iy )

2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480

Σ 2.815


2

a) cbxY +=ˆ

( )( ) iiii

ii

xcxbyx

ncxby

∑+∑=∑

+∑=∑2

2

1

Reemplazamos:

( )( ) cb

cb

2191026.9

721815.2

2

1

+=+=

Multiplicamos a la primera ecuación por −3 ( )( )

⇒=

−−=−+=

b

cb

cb

28581

2163445.8

2191026.9

1

2

75,2028

581==b

Ahora reemplazamos en la primera ecuación: ( ) ( ) c775,2021815.21 +=

89,3397

75,435815.2 =−=c

cbxY +=ˆ 1920002019 =−=x ( ) 14,73489,3391975,2019 =+=Y (Miles Tons)

b) 75,2028581==

∑

∑=i

ii

xxy

b 14,4027815.2 ==∑=

ny

c i

1120032014 =−=x ( ) 39,63014,4021175,20ˆ14,40275,20ˆ

1414 =+=⇒+= YxY (Miles Tons)

ix 2ix ii yx

−3 9 −1.080 −2 4 −766 −1 1 −337 0 0 0 1 1 406 2 4 918 3 9 1.440 0 28 581


3

c)

16,15168

547.22 ==

∑

∑=i

ii

x

yxb

88,4268

415.3 ==∑

=n

yc i

NOTA: Para que 0=∑ ix Se debe trabajar con semestres.

cbxY +=ˆ 88,42616,15ˆ += xY semestresx 2112021020042014 =+=×=−= ( ) 24,72588,4262116,1514 =+=Y (Miles tons) 2. Solución:

( )

nYy ii

yxSˆ

2 −∑= 93,5407

48,786.32 ==yxS 25,2393,540 ==yxS

Años iy

2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480 2007 600

Σ 3.415

ix 2ix ii yx

−7 49 −2.520 −5 25 −1.915 −3 9 −1.011 −1 1 − 390 1 1 406 3 9 1.377 5 25 2.400 7 49 4.200 0 168 2.547

Años iy

2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480 Totales 2.815

ix iY)

ii Yy)

− ( )2ii Yy)

−

0 339,89 20,11 404,41 1 360,64 22,36 499,97 2 381,39 −44,39 1.970,47 3 402,14 −12,14 147,38 4 422,89 −16,89 285,27 5 443,64 15,36 235,93 6 464,41 15,59 243,05 21 2.815,00 0 3.786,48


4

=±i

syx

Y

Y

ntY

S

ˆ

ˆˆ cbxY +=ˆ ( ) 39,63089,3391475,2014 =+=Y

89,33975,20026.921

7875.147.191815.2 22

===Σ=Σ==Σ=Σ=Σ

cbyxx

nyxy

iii

iii

( )

=±=87,608

99,651

7

25,2345,239,630Y 1420002014 =−=x

La varianza residual se hubiese podido calcular en forma más rápida, así:

nxybycy iii

yxS∑−∑−∑=

212 ( ) ( )

16,5427

026.975,20815.289,339875.147.12 =−−=yxS

28,2316,542 ==yxS (hay una pequeña diferencia)

Nota: por calculadora el valor de la varianza residual es 541,02 en cada uno de los cálculos de 2

yxS , se empleó el valor de n, sin embargo, muchos lo obtienen con n – 2 que, en este

caso sería sobre 5. b) Coeficiente de correlación

( )( )

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]87,0

815.2875.147.1721917

815.221547.27

222222

=−−

−=∑−∑∑−∑

∑∑−∑=

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr


5

3. Solución:

a) cbxY +=ˆ 1) ncxby ii +∑=∑ 2) iiii xcxbyx ∑+∑=∑ 2

ny

c i∑= 2i

ii

x

yxb

∑

∑=

28,1477

031.1 ==c 64,528

158==b

añosx 520032008 =−=

cbxY +=ˆ ⇒+= 28,14764,5ˆ xY ( ) 48,17528,147564,508 =+=Y

b)

( )n

Yy iiyxS

22

ˆ−∑=

11,9781,632 ==yxS

019,3=yxS

Aplicando la siguiente fórmula n

xybycy iiiiyxS

∑−∑−∑=2

2 nos daría:

Años iy 2000 128 2001 135 2002 148 2003 145 2004 152 2005 161 2006 162

Σ 1.031

ix 2ix ii yx

-3 9 -384 -2 4 -270 -1 1 -148 0 0 0 1 1 152 2 4 322 3 9 486 0 28 158

iY ( )ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy

130,37 -2,37 5,61 16.384 136,00 -1,00 1,00 18.225 141,65 6,35 40,32 21.904 147,28 -2,28 5,19 21.025 152,93 -0,93 0,86 23.104 158,56 2,44 5,95 25.921 164,21 -2,21 4,88 26.244

1.031,00 0 63,81 152.807


6

( ) ( );03,10

715864,5031.128,147807.1522 =−−=yxS ( )residualtípicaDesvyxS .16,3=

O mediante el uso de la calculadora ( ) 03,101 222 =−= rYyx SS

Nota: no olvidar que muchos calculan la varianza residual dividiendo por n – 2

ntY yxS

±ˆ=±⇒

±⇒81,171

15,17967,348,175

7019,3571,248,175

c) 28,1477

031.1 ==y 39,691.212 =y

22

2 yn

yiYS −

∑= ;18,13839,691.21

7807.1522 =−=YS 75,1118,1382 === yy SS

966,0935,0065,0118,138

11,911 2

2

==−=−=−=y

yx

S

Sr 97,0=r

También se puede calcular el coeficiente de correlación aplicando la fórmula siguiente:

( )( )

( )[ ] ( )[ ]2222iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

∑−∑∑−∑

∑∑−∑= ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]96,0

031.1807.15270287

031.101587

22

=−−

−=r

96,0=r


7

4. Solución:

a) 580ˆ == Yc ;900.25

580 =∑=∑= ii y

y 551

580635

20042005

ˆˆ=−=

−−= ot YY

b

( ) 185.15801155ˆ58055ˆ

15 =+=⇒+= YxY añosx 112004015.2 =−=

b) 000.1900.1900.2 2121 =+⇒++= yyyy 55010

55 =∑⇒∑= ii

ii yxyx

550.12100.22550 2121 −=−−⇒+−−= yyyy Eliminando 2y se tiene que 5501 −=− y ⇒ donde 5501 =y y 4502 =y 5. Solución:

ny

c iΣ= 4505

90 =Σ⇒Σ

=⇒ ii y

y

Años iy iY 2002 1y 2003 2y 2004 550 580 2005 600 635 2006 750 Σ 2.900

ix 2ix ii yx

-2 4 -2( 1y ) -1 1 -1( 2y ) 0 0 0 1 1 600 2 4 1.500 0 10 550

Años iy iY 2002 50 2003 2y 2004 100 90 2005 4y 2006 140 148 Σ 450 450

ix 2ix ii yx

-2 4 -100 -1 1 -1 )( 2y 0 0 0 1 1 1 )( 4y 2 4 280 0 10 290


8

292

90148

20042006

ˆˆ01 =−=

−−

=YY

b

a) 45029ˆ += xY ( ) 798450122916 =+=Y 122004016.2 =−=x

b) 2i

ii

x

yxb

ΣΣ= ( ) 2901029 =Σ=⇒ ii yx

( )14242 110180290 yyyy +−=⇒++−= ( )24242 160290450 yyyy +=⇒++= Eliminado 2y

301302

2602260 244 ===⇒= yyyy

6. Solución:

a) 280=Σ=n

xy i ( ) 400.15280 ==Σ iy

700200400.1 32 +++= yy ( )132 500900400.1 =+=− yy

( )( )

220y280

5007802480.22260.3

23

132

23232

==−=−−

=+⇒++=

yy

yy

yyyy

b) cbxY +=ˆ

ix 2ix

0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 10 30

Años iy ii yx 2002 200 0 2003 2y 1 )( 2y 2004 3y 2 )( 3y

2005 320 960 2006 380 1.520 Σ 1.400 3.260


9

iiii

ii

xcxbxy

ncxby

Σ+Σ=Σ+Σ=Σ2

)2

)1 ( )cb

cb

1030260.3

2510400.1

)2

)1

+=−+=

⇒

461046010460

1020800.2

1030260.3

)1

)2

==→=

−−=−+=

bb

cb

cb

( )

c

c

5460400.1

54610400.1)1

+=+=

1885

460400.1 =−=→ c

( ) 6941881146ˆ18846ˆ

13 =+=⇒+= YxY añosx 1120022013 =−= 7. Solución: Se considera ix== 0985.1 (a) (b)

(a) 84=Σ ix 260.12 =Σ ix 8=n 650=Σ iy 636.582 =Σ iy 094.8=Σ ii yx

( ) ( )( )

( ) ( ) 36,384260.18

65084094.882 =

−−=b

( )

97,458

8436,3650 =−=c Con la calculadora el resultado de c = 46

ix -21 -15 -9 -3 3 9 15 21

Años iy 1985 42 1988 64 1991 48 1994 82 1997 110 2000 96 2003 84 2006 124

ix 0 3 6 9 12 15 18 21


10

( ) 09,10397,451736,302 =+=Y 09,10302 =Y 1719852002 =−=x

( ) 25,12397,452336,308 =+=Y 25,12308 =Y 2319852008 =−=x Con calculadora 09,10302 =Y y 21,12308 =Y Ahora trabajando con cambio de origen, de tal manera que 0=Σ ix , se tiene 22 períodos. El 1º de enero/96 ⇒ x = 0 y el 1º de julio ⇒ x =1 0=Σ ix 512.12 =Σ ix 650=Σ iy 636.582 =Σ iy 538.2=Σ ii yx 8=n

semestralb 678,1512.1

538.2 == ; 25,818

650==c

( ) 06,10325,8113678,102 =+⇒+= cbxY 06,10302 =Y x = 2002 – 1996 = años × 2 = 12 meses + 1 ⇒ x = 13 semestres.

07Y = 1,678 (25) + 81,25 = 123,20 20,12307 =Y

x = 2.008 – 1996 = 12 años × 2 = 24 semestres + 1 = 25 semestres

b) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

85,08553,0

650636.5880512.18

6500538.28

2

≅=−−

−=r 85,0=r

En (a) y (b) el valor de r es el mismo


11

8. Solución:

Como 0=Σ ix calculamos b y c aplicando las siguientes fórmulas.

ny

c iΣ= 976

582==c 2i

ii

x

yxb

ΣΣ= 27,9

280596.2 ==b

cbxY +=ˆ 97)(27,9ˆ += xY

TonsY 84,229716,7497)8(27,988 =+−=+−= 8996.1988.1 −=−=x

TonsY 05,2369705,13997)15(27,911 =+=+= añosx 1519962011 =−=

9. Solución:

27,452,175,252,1)25(11,013 =+=+=Y 2512421220012013 =+=×=−=x (semestres)

93,452,141,352,1)31(11,016 =+=+=Y 3113021520012016 =+=×=−=x El coeficiente 87,02 =R , nos indica que hay una buena correlación, para la realización de los anteriores cálculos. 10. Solución:

27356235)31(216 −=+−=+−=Y 2716 −=Y

Años iy 1986 12 1990 30 1994 86 1998 114 2002 140 2006 200

Σ 582

ix 2ix ii yx

-10 100 -120 -6 36 -180 -2 4 -172 2 4 228 6 36 840 10 100 2.000 0 280 2.596


12

Siendo 99,02 =R la recta explica perfectamente el comportamiento de la variable, en el período (1997 – 2006), pero el estimado para 2016, es absurdo, ya que arroja una producción de –27 y no puede haber una producción menor a cero. 11. Solución:

3,210

232

==Σ

Σ=

i

ii

x

yxb

2,3 = Incremento promedio por período de tiempo (x).

12. Solución:

cbxY +=ˆ

xcxbyx

ncxby

iii

ii

Σ+Σ=Σ

+Σ=Σ2)2

)1

Se le dan valores a las ecuaciones anteriores: cb

cb

33255662

633102

)2

)1

+=+=

cb

cb

335,1815611

33255662

)

)2

−−=−+=

(Multiplicamos a la ecuación (1) por -5,5)

⇒+= 05,73101 b 37,15,73

101 ==b

Reemplazamos la ecuación (1) ( ) c637,133102 +=

465,96

21,45102 =−=c

46,937,1ˆ += xY

97Y = 1,37 (1) + 9,46 = 10,83 83,1097 =Y

98Y = 1,37 (2) + 9,46 = 12,20

iy ix 2ix ii yx

10 -2 4 -20 12 -1 1 -12 13 0 0 -32 / 55 15 1 1 15 20 2 4 40 70 0 10 23

Años iy 1996 8 1999 16 2000 14 2003 20 2005 22 2006 22

Σ 102

ix ii yx 2ix

0 0 0 3 48 9 4 56 16 7 140 49 9 198 81 10 220 100 33 662 255


13

01Y = 1,37 (5) + 9,46 = 16,31

02Y = 1,37 (6) + 9,46 = 17,68

04Y = 1,37 (8) + 9,46 = 20,42 42,2004 =Y 13. Solución:

a) 13,1960

148.1 ==b 1809

620.1 ==c

( ) 3,3711801013,19ˆ =+=Y 13,37ˆ =Y

( ) ( )22,1052,104

9148.113,19620.1180502.3142 =⇒=−−= yxyx SS

∝===−=

=±=05,0306,245,363

8115,379

922,10306,23,371ˆ

t

nY

υ

Nota: algunos trabajan con 2−= nυ donde t = 2,365 y cambian los valores estimados

b) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

969,098,0620.1502.31490609

620.10148.19 2

2=→=

−−

−= Rr

14. Solución:

a) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]98,0

032.2992.5099609

723.19

2=

−=r 98,0=r

b) 02003 =→ x ( ) 82,42678,225772,2810 =+=Y 82,42610 =Y

72,2860

723.1 ==b 78,2259

032.2 ==c

x = 2010 – 2003 = 7 años


14

15. Solución:

5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 510.1=Σ iy 450.4652 =Σ iy 300=Σ ii xy

3010

300==b 3025

510.1 ==c

30230ˆ += xY 1020042014 =−=x

( ) 602302103014 =+=Y En el 2014 se tendrá 602ˆ =Y miles de millones de $ 16. Solución:

5=n 0=Σ ix 102=Σ ix a) 900=Σ iy 000.1752 =Σ iy 350=Σ ii yx

3510

3502 ==

ΣΣ=

i

ii

x

yxb 180

5900==c

( ) 320180435ˆ =+=Y 420042008 =−=x

b) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

⇒=−

= 97,0

900000.1755105

3505

2

r 94,02 =R

17. Solución: Y = 900 + 40 (13) = 1.420 x = 2008 – 2002 = 6 × 2 = 12 + 1 = 13 semestres

usadoscarrosY 420.1ˆ =

Años iy ix 2002 230 -2 2003 285 -1 2004 310 0 2005 325 1 2006 360 2

Años iy ix 2002 100 -2 2003 150 -1 2004 200 0 2005 200 1 2006 250 2


15

18. Solución:

200.15920012006

000.896000.692.1 =−−=b

⇒= 000.896c ( ) 400.010.2$000.8967200.159ˆ =+=Y

añosx 720012008 =−= También puede estimarse: ( ) 400.010.2000.692.12200.159ˆ =+=Y 400.010.2ˆ =Y añosx 220062008 =−= 19. Solución:

a) 88,360

233==b 11,279

244==c

( ) 91,6511,271088,3ˆ =+=Y 91,65ˆ =Y 1020002010 =−=x

( ) ( )

⇒=−−= 57,669

23388,324411,27118.82yxS 16,8=yxS

=±=±=64,59

18,7227,691,65

9

16,8306,291,65Y

( )2;81 −==−= nvnv 05,0∝=

b) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]78,0

244118.89609

2339

2

=−

=r 78,0=r

Años iY

2001 896.000 2006 1.692.000


16

20. Solución:

a) ( ) ( )( )

( ) ( ) 92,9825

180.8

4528510

54445266.3102

==−

−=b

( )

76,910

4592,9544 =−=c

76,992,9ˆ += xY Se toman dos puntos, por ejemplo: 2000 ⇒ x = 3 años 2002 ⇒ x = 5 años

( ) 52,3976,9392,900 =+=Y 52,3900 =Y ( ) 36,5976,9592,902 =+=Y 36,5902 =Y

Se establecen dos puntos en el plano cartesiano, uniéndose y prolongándose para 1997 – 2006. El estudiante debe terminar el ejercicio.

b) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,0

544040.38104528510

54445266.310

22

=−−

−=r 98,0=r

21. Solución:

a) 6=n 0=Σ ix 702 =Σ ix 93,014.8=Σ ii yx 67,919.7=Σ iy 9,826.373.112 =Σ iy

499,11470

93,014.8 ==b

945,319.16

67,919.7 ==c

1511427004.2011.2 =+=×=−=x semestres

Años ix 1997 0 1998 1 1999 2 2000 3 2001 4 2002 5 2003 6 2004 7 2005 8 2006 9

Σ 45

Años iy (miles)

ix

2001 723,00 -5 2002 982,50 -3 2003 1.236,42 -1 2004 1.450,60 1 2005 1.636,25 3 2006 1.890,90 5


17

semestresx 15=

( ) 43,037.3945,319.115499,11411 =+=Y pasajeros 037.3 (miles)

( ) 42,182.4945,319.125499,11416 =+=Y pasajeros 182.4 (miles)

semestresx 251242122004016.2 =+=×=−=

Deberíamos haber hecho un ajuste exponencial, pero nos fue solicitado hacerlo mediante un ajuste rectilíneo.

b) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]⇒=

−= 9985,0

67,919.79,826.373.116706

93,014.86

2

r Casi = 1 1≅r

c) ( ) ( ) =−−=6

93,014.8499,11467,919.7945,319.19,826.373.112yxS 77,4322 =yxS

8,20=yxS

=±=±=60,015.3

26,059.383.2143,037.3

6

8,20571,243,037.3Y (miles de pasajeros)

22. Solución:

Se trabaja en miles, a fin de simplificar las operaciones. Además se va a realizar un ajuste rectilíneo, cuando lo recomendado en este caso, es el ajuste exponencial.

a) 5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 71,012.3=Σ iy 20,225.869.12 =Σ iy 06,697=Σ ii xy

706,6910

06,697 ==b 542,6025

71,012.3 ==c

( ) 19,160.1542,6028706,69542,602706,6912 =+=+= xY (miles de pasajeros)

Años iy ix 2002 417,50 -2 2003 572,80 -1 2004 620,35 0 2005 679,26 1 2006 712,80 2


18

Es decir, se estiman en, 1.160.190 pasajeros para el año 2.012 añosx 8004.2012.2 =−= b) y = miles de pasajeros

5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 08,237.1=Σ iy 8114,234.3162 =Σ iy 82,287=Σ ii xy 882,27=b 416,247=c

añosx 8004.2012.2 =−=

( ) pasajerosY 472.470472,470416,2478882,2712 ==+= 23. Solución:

6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 410.17=Σ iy 100.979.502 =Σ iy 350.46=Σ ii xy

( ) ( )( )

( ) ( ) 43,16115556

410.1715350.4662 =

−−=b

( )

09,498.26

1543,161410.17 =−=c

añosx 7001.2008.2 =−= ( ) 10,628.309,498.2743,16108 =+=Y (mill de $) 10,628.308 =Y

Años iy ix 2002 167,00 -2 2003 229,12 -1 2004 248,14 0 2005 271,70 1 2006 285,12 2

Años Gastos (Mill. de $) ix

2001 2.460 0 2002 2.700 1 2003 2.850 2 2004 2.950 3 2005 3.150 4 2006 3.300 5


19

b) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]9945,0

410.17100.979.50615556

410.1715350.466

22

=−−

−=r

99,0≅r 24. Solución:

7=n 84=Σ ix 456.12 =Σ ix 740.1=Σ iy 400.5352 =Σ iy 600.26=Σ ii xy

( ) ( )( )( ) ( ) 77,12

84456.16

740.184600.2662 =

−−=b

( )

33,957

8477,12740.1 =−=c

añosx 28982.1010.2 =−=

( ) 89,45233,952877,1210 =+=Y 89,45210 =Y 25. Solución:

7=n 0=Σ ix 4482 =Σ ix 740.1=Σ iy 400.5352 =Σ iy 720.5=Σ ii xy

77,12448720.5 ==b 57,248

7740.1 ==c

añosx 16994.1010.2 =−=

( ) 89,45257,2481677,1210 =+=Y 89,45210 =Y Los resultados son exactamente iguales

Años iy ix 1982 120 0 1986 180 4 1990 100 8 1994 260 12 1998 370 16 2002 250 20 2006 460 24

Años iy ix 1982 120 -12 1986 180 -8 1990 100 -4 1994 260 0 1998 370 4 2002 250 8 2006 460 12


20

26. Solución:

( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

8425,0

740.1400.53574487

720.57

2

=−

=r 84,0=r

Coeficiente de correlación de Pearson, Los resultados son iguales, si utilizamos los datos del ejercicio 25. ESTIMACIONES MENSUALES 27. Solución: Consideremos a la variable iY como si fuera producción (miles tons)

Tomando como origen el año 2000 se tiene: 12

89,339144

75,20ˆ += xY

32,2814,0ˆ += xY )00/º1( julio 39,2814,0ˆ += xY )00/15( juliode

39,2807,032,28 =+=c mes 07,0 delmitad= Los estimativos para los diferentes meses, son: Y Mayo/01 = 0,14(10) + 28,39 = 29,79 (miles tons) Y Sep./03 = 0,14(38) + 28,39 = 33,71 Y Oct./05 = 0,14(63) + 28,39 = 37,21 Y Dic./09 = 0,14(113)+28,39 = 44,21


21

28. Solución:

28,14764,5ˆ += xY 28,1471264,5ˆ += xY

28,14747,0ˆ += xY (1º julio/03) 51,14747,0ˆ += xY (15 julio/03)

mesmedio

c

c

235,0

515,147

235,028,147

=

=+=

92,15212

98,834.104 ==Y

Observe que el resultado del ejercicio 3 donde 92,15204 =Y , exactamente se obtiene el resultado, al igual cuando sumamos los estimativos mensuales y luego este total se divide por los 12 meses, con lo cual obtendremos el precio promedio para el 2004. 29. Solución:

1297

14427,9ˆ += xY Y = 0,064 (– 64) + 8,112 (Marzo/91)

Y = 0,064 x + 8,08 (1º Julio/96) 91Y = – 4,096 + 8,112 = 4,016

Y = 0,064 x + 8,112 (15 Julio/96) Y = 0,064 (45) + 8,112 (Abril de 2000) 00Y = 2,88 + 8,112 = 10,992

2004 Estimativos Enero Y = 0,47 (6) + 147,51 = 150,33 Febrero Y = 0,47 (7) + 147,51 = 150,80 Marzo Y = 0,47 (8) + 147,51 = 151,27 Abril Y = 0,47 (9) + 147,51 = 151,74 Mayo Y = 0,47 (10) + 147,51 = 152,21 Junio Y = 0,47 (11) + 147,51 = 152,68 Julio Y = 0,47 (12) + 147,51 = 153,15 Agosto Y = 0,47 (13) + 147,51 = 153,62 Septiembre Y = 0,47 (14) + 147,51 = 154,09

Octubre Y = 0,47 (15) + 147,51 = 154,56 Noviembre Y = 0,47 (16) + 147,51 = 155,03 Diciembre Y = 0,47 (17) + 147,51 = 155,50

Σ Total 1.834,98


22

30. Solución: Estimar los meses de Mayo/2001 y Octubre/07 (Variable Producción)

julio/03) de 15 (al 815,181994,0ˆ

julio/03) de 1 (al 815,18ˆ12

78,225

144

72,28ˆ

+=

=⇒+=

xY

xYxY

7303,139147,18)26(1994,0ˆ9147,181994,0ˆ

2001/ =+−=⇒+= MayoYxY

( ) 0841,299147,18511994,0ˆ

07/. =+=OctY 31. Solución: Estimar el mes de Agosto del 2008, a fin de conocer los gastos en ese mes.

julio/04) de (15 1215,152430,0ˆ

)julio/2004 (1 152430,0ˆ12

180

144

35ˆ

+=

+=⇒+=

xY

xYxY

152430,0ˆ += xY ( ) 0285,271215,15492430,0ˆ

08/. =+=⇒ AgY

32. Solución: Y = 9,292x + 9,76 Estimar los meses de Sep./2004, Octubre 2006 y Octubre 2008.

( )

( )

( ) 14793,1084778,013506889,0ˆ

49446,884778,011106889,0ˆ

7723,684778,08606889,0ˆ84778,006889,0ˆ

84778,006889,0ˆ

81333,1006889,0ˆ12

76,9

144

92,9ˆ

08/.

06/.

04/.

97/ 15

97/ 1

=+=

=+=

=+=→+=

→+=

→+=⇒+=

Oct

Oct

Sep

Y

Y

YxY

XY

XYxY

Julio

Julio


23

AJUSTE POR EL METODO DE LOS SEMI-PROMEDIOS 33. Solución:

Años iy Semi-suma Semi-promedio ix iY

2000 200

1.050

2.310

3503050.1 =

7703310.2 =

0 2001 366 1 350 2002 490 2 2003 500 3 2004 620 4 2005 780 5 770 2006 910 6

El valor de x dependerá del origen que se tome, el cual puede ser localizado en cualquier período. Siendo Y = bx + c se tendrá dos ecuaciones:

cb

cb

+=+=

5770

350

)2(

)1(

1por(1)ecuación

laamosMultiplica

−

cb

cb

−−=−+=

350

5770

)1(

)2(

1054

420==b Reemplazamos la ecuación (1): 350 = 105+c ⇒ c = 350 – 105 = 245

La ecuación quedará Y = 105 x + 245 Si estimamos a Y para el 2013 se tendrá:

13Y = 105 (l 3) + 245 = 1.365 + 245 = 1.610 610.113 =Y

Un procedimiento similar, que podríamos llamar empírico, consiste en determinar la diferencia entre los dos semi-promedios; el resultado es dividido por el valor correspondiente al período transcurrido entre los dos semi-promedios. Con este proceso se obtendrá el valor de b:

1054

420

19951999

350770ˆˆ

1

12 ==−−=

−−

=ott

yyb y el valor de c podrá ser el valor de cualquiera

de los semi-promedios. El semi-promedio que se ha tomado como C, en ese punto o período, se tendrá x igual a cero, así: Y = 105x+350 ⇒ siendo: 13Y = 105(12) + 350 = 1.610 Y = 105x+770 ⇒ siendo: 13Y = 105 (8) + 770 = 1.610


24

34. Solución:

a) 81.996-2004 x5,878

700700200900 ====⇒=− b

2005,87ˆ += xY ( ) 0,72520065,8702 =+=Y 996.1 0 enX = 9005,87ˆ += xY ( ) 0,72590025,8702 =+−=Y 2004 0 enX =

2008900 += b 2009008 −=b 5,878

700==b

b) Considerando que la variable “Y” corresponde a precios tenemos:

cxbY +=12

ˆ 1996) de Julio de (1º20029,72001275,8ˆ +=+= xY

1996) de Julio de (15 64,20329,7ˆ += xY 14)( 1995 de Mayo Para −=x 58,10164,203)14(29,7Mayo/95 =+−=Y

83)( 2003 de Junio Para =x ( ) 71,80864,20383 29,7Junio/03 =+=Y

Años iy Semi-suma Semi-promedio ix ix iY

1994 60

600

2.700

=3

600200

9003700.2 =

-2 -10 25 1996 140 0 -8 200 1998 400 2 -6 375 2000 600 4 -4 550 2002 800 6 -2 725 2004 900 8 0 900 2006 1000 10 2 1.075


25

35. Solución:

ix

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

42.001-2.005 x 325,534

370.133,583.1 ===−=b

370.1325,53ˆ += xY o 33,583.1325,53ˆ += xY

( ) ;0012 0 ; 575,956.1370.111325,5312 . en XY ==+=

( ) Y 605,956.133,583.17325,5312 =+= ; 0052 0 . en X =

También se pueden obtener los parámetros b y c en la siguiente forma:

CbxY +=ˆ

( )( ) cb

cb

+=+=

433,583.1

0370.1

)2(

)1(

ecuación primera la a 1-por mosMultiplica

b433,213

c -01.370,00-

c4b1.583,33

=

=+=

325,534

33,213 ==b

Reemplazamos el valor de b en la ecuación (1), para obtener el valor de c:

( )370.1

053,3251.370(1)

=+=

c

c

Años iy Semi-suma Semi-promedio ix

2000 1.280 110.4

750.4

370.13110.4 =

33,583.13

750.4 =

-1 2001 1.350 0 2002 1.480 1 2003 1.450 2 2004 1.520 3 2005 1.610 4 2006 1.620 5


26

001.2 0 ; 370.1325,53ˆ enXxY =+= ; ( ) 11001.2012.2 ; 575,956.1370.111325,5312 =−==+= XY

36. Solución:

Años Trimestre Ventas (mill. $) Semi-suma Semi-promedio ix

2004

I 810

050.8

090.1

610.1

-2

II 1.200 -1 III 860 0 IV 1.680 1

2005

I 900 2 II 1.300 3 III 850 4 IV 1.600 5

2006

I 860 6 II 1.100 7 III 940 8 IV 1.400 9

610.167,86ˆ090.167,86ˆ

)2(

)1(

+=+=

xY

xY

67,866

090.1610.1 =−=b ( )( ) 03,390.2610.19 67,86ˆ

05,390.2090.11567,86ˆ

)2(

)1(

=+==+=

Y

Y

Los gráficos pedidos en (a) y (b) se dejan al alumno para que los realice 37. Solución: a) La solución se le deja al estudiante

409

340700 =−=b


1991 200

-3 1994 360 0 1997 460 3 2000 580 6 2003 720 9 2006 800 12

5.450

(2° semestre/08)

340

700

1.020

2.100


27

b)

70040ˆ34040ˆ

)2(

)1(

+=+=

xY

xY

( )( ) 980700740ˆ

9803401640ˆ

10

10

)2(

)1(

=+==+=

Y

Y

añosxañosx

7003.2010.216994.1010.2

=−==−=

38. Solución:

40,54

19992004468740 =

−−=b

7404,54ˆ4684,54ˆ

)2(

)1(

+=+=

xY

xY

( )( ) 4,066.17406 4,54ˆ

4,066.146811 4,54ˆ

10

10

)2(

)1(

=+==+=

Y

Y

añosxañosx

6004.2010.211999.1010.2

=−==−=

AJUSTE PARABÓLICO 39. Solución:


1997 200

2.340

3.700

468

740

-2 1998 380 -1 1999 520 0 2000 600 1 2001 640 2 2002 720 3 2003 580 4 2004 660 5 2005 940 6 2006 800 7

Años iy 2000 234 2001 171 2002 147 2003 124 2004 140 2005 144 2006 206 Σ 1.166

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx2

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 171 171 2 4 8 16 294 588 3 9 27 81 372 1.116 4 16 64 256 560 2.240 5 25 125 625 720 3.600 6 36 216 1.296 1.236 7.416

21 91 441 2.275 3.353 15.131


28

( ) 2342

23

2

3

)2(

)1(

iiiii

iiiii

iii

xcxbxayx

xcxbxayx

ncxbxay

Σ+Σ+Σ=Σ

Σ+Σ+Σ=Σ

+Σ+Σ=Σ

Le damos valores a las ecuaciones anteriores:

cba

cba

cba

91441275.2131.15

2191441353.3

72191166.1

)3(

)2(

)1(

++=++=++=

Procedemos con las ecuaciones (1) y (2) Multiplicamos a la ecuación (1) por -3

ba

cba

cba

28168145

2191441353.3

2163273498.3

)4(

)2(

)1(

+=−++=−−−=−

Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 13

0 168092.127

91441275.2131.15

91273183.1158.15

)5(

)3(

)1(

ba

cba

cba

+=−++=−−−=−

Se despeja a trabajando con las ecuaciones (4) y (5) multiplicando la ecuación (4) por – 6

a

ba

ba

84843

168092.1 27

168008.1870

)5(

)4(

=+=−−−=

03,1084

843==a

Se reemplaza en la ecuación (4)

b

b

b

2804,830.1

2804,685.1145

28)03,10(168145

=−+=−

+=−


29

36,6528

04,830.1 −=−=b

Se reemplaza en la ecuación (1)

c

c

c

783,625.1

756,372.173,912166.1

7)36,65(21)03,10(91166.1

=+−=

+−+= 26,232

7

83,625.1 ==c

cbxaxY ++= 2ˆ ( ) ( ) 66,58126,2321036,6510003,1010 =+−=Y ; 10000.2010.2 =−=x

b)

Como la 0=Σ ix trabajamos con las siguientes ecuaciones: Le damos valores a las ecuaciones:

( ) 242

2

2

3

)2(

)1(

iiii

iii

ii

xcxayx

xbyx

ncxay

Σ+Σ=Σ

Σ=Σ

+Σ=Σ

( )( )( ) ca

b

ca

28196507.5

28145

728166.1

3

2

1

+==−

+=

Se tiene que: ( ) 18,528

1452

2 −=−=Σ

Σ=

i

ii

x

yxb

Se procede con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 7

Años iy 2000 234 2001 171 2002 147 2003 124 2004 140 2005 144 2006 206

Σ 1.166

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx2

−3 9 −27 81 −702 2.106 −2 4 −8 16 −342 684 −1 1 −1 1 −147 147 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 140 140 2 4 8 16 288 576 3 9 27 81 618 1.854 0 28 0 196 −145 5.507


30

( )( )

c

ca

ca

210655.2

28196507.5

49196162.8

3

1

−=−

+=−−=−

43,12621655.2 ==⇒ c


( )

99,28028

01,88528166.1

43,126728166.1

=+=+=

a

a

a

03,1028

99,280 ==⇒ a

cbxaxY ++= 2ˆ ( ) ( )( ) 59,508.143,1261218,51203,10ˆ 2

15 =+−+=Y ; 12003.2015.2 =−=x 40. Solución:

57,1667

166.1 ==y

( )222

2 57,1667

754.203 −=−Σ

= yn

yiyS

15,362.1564,745.27714,107.292 =−=yS ⇒ 90,36=yS

( )84,45

7883,320ˆ 2

2 ==−Σ=n

YyiyxS ⇒ 84,452 =

yxS

a) VT

VRR −=12 ⇒=−= 966,0

15,362.184,4512R 982,0=r

b) 2yxyx SS = 77,684,45 ==yxS ⇒ 77,6=

yxS

iY ( )ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy

232,26 1,74 3,027 54.756 176,94 -5,94 35,283 29.241 141,66 5,34 28,515 21.609 126,43 -2,43 5,904 15.376 131,30 8,70 75,690 19.600 156,22 -12,22 149,328 20.736 201,19 4,81 23,136 42.436

1.166,00 0 320,883 203.754


31

c) ±

I

Syx

L

L

ntY

S15ˆ

447,205,01%95

=∝=−==

tnvP

=

±=33,502.1

85,514.1

7

77,6447,259,508.115Y

41. Solución:

Observemos que ,0≠Σ ix por lo tanto debemos trabajar con un sistema de ecuaciones normales

( ) 2342

23

2

3

)2(

)1(

iiiii

iiiii

iii

xcxbxayx

xcxbxayx

ncxbxay

Σ+Σ+Σ=Σ

Σ+Σ+Σ=Σ

+Σ+Σ=Σ

Reemplazando se tiene que: (1) 300 = 1.258a + 66b + 5c (2) 4.550 = 26.334a + 1.258b + 66c (3) 99.110 = 583.282a + 26.334b + 1.258c Eliminamos a c multiplicando a la ecuación (1) por -13,2 y se lo restamos a la ecuación (2)

( )0 8,3864,728.9590

662,8716,605.16960.3

66258.1334.26550.4

)4(

1

)2(

ba

cba

cba

+=

−−−=−++=

Ahora se procede a multiplicar la ecuación (1) por -251,6 y se lo restamos a la ecuación (3) para eliminar a c.

Años iy

1981 70 1989 36 1994 24 2001 60 2006 110

Σ 300

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx2

0 0 0 0 0 0 8 64 512 4.096 288 2.304 13 169 2.197 28.561 312 4.056 20 400 8.000 160.000 1.200 24.000 25 625 15.625 390.625 2.750 68.750 66 1.258 26.334 583.282 4.550 99.110


32

( )( )( ) 04,728.92,769.266630.23

258.16,605.168,512.316480.75

258.1334.26282.583110.99

5

1

3

++=

−−−=−++=

ba

cba

cba

Procedemos a eliminar b multiplicando a la ecuación (4) por -9.728,4 y a la ecuación (5) por 386,8 ( )( )

3979,004,560.544.8

328.400.3004,560.544.8328.400.3

12,945.762.356,766.641.94756.739.5

12,945.762.360,326.186.103084.140.9

4

5

==⇒+=

−−=+=

aSiendoa

ba

ba

Conociendo a = 0,40 (aproximadamente), reemplazamos en la ecuación (4) para despejar b

(4) 590 = 9.728,4 (0,3979) + 386,8b⇒ Siendo: ( )

4822,88,386

3979,04,728.9590 −≅=−= cb

y reemplazamos en la ecuación (1) para despejar c ( ) ( ) ( ) c54822,8663979,0258.13001 +−+=

Siendo c igual a: ( ) ( )

8534,715

4822,8663979,0258.1300 =+−=c

La ecuación queda así: 8534,714822,80,3979xY 2 +−= x Si fuéramos a estimar el valor de Y para el año 2011 se tendrá que: x = 2.011 – 1.981 = 30 Reemplazando se tendrá que:

11Y = 0,3979 (900) – 8,4822(30) + 71,8534 = 175,50 aproximadamente.


33

42. Solución:

2i

ii

x

yxb

ΣΣ= 82,2

168474==⇒ b

( )( )( )224

22

ii

iiii

xxn

yxyxna

Σ−ΣΣΣ−Σ=

( ) ( )( )( ) ( ) 1756,0

168216.68

548168980.1182

=−

−=⇒ a

nxay

c ii2Σ−Σ= ( )

81,648

1681756,0548 =−=⇒ c

81,6482,218,0ˆ 2 ++= xxY semestresx 111102520032008 =+=×=−=

( ) ( ) 61,11781,641182,21118,0Y 2

08 =++= 61,11708 =Y La varianza residual, el error estándar y el coeficiente de correlación parabólico serán iguales a:

nyxayxbycy iiiiii

yxS22

2 Σ−Σ−Σ−Σ=

( ) ( ) ( ) 13,290

8980.1118,047482,254881,64330.412 =−−−=yxS

( )

4748

5,688330.41 22 =−=yS 5,68

8

548 ==y

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx

ii yx2 iY

−7 49 −343 2.401 −392 2.744 53,89 −5 25 −125 625 −210 1.050 55,21 −3 9 −27 81 −210 630 57,97 −1 1 −1 1 −82 82 62,17 1 1 1 1 41 41 67,81 3 9 27 81 189 567 74,89 5 25 125 625 550 2.750 83,41 7 4 9 343 2.401 588 4.116 93,37

0 168 0 6.216 474 11.980 −

Años iy

1999 56 2000 42 2001 70 2002 82 2003 41 2004 63 2005 110 2006 84 Σ 548


34

03,1713,290 ==yxS

⇒=−= 38,0474

13,29012R 0,62=r

No se recomienda la aplicación del ajuste parabólico para esta serie. 43. Solución: a)

Trabajamos con 0=Σ ix , al 1º de Enero del 99 con el fin de simplificar operaciones, pero Usted puede trabajar con 0=ix ; 3; 6; 9; 15 y los resultados finales son exactamente iguales.

2i

ii

x

yxb

ΣΣ= 067,2

630302.1 ==b

( ) ( )( )( ) ( ) 0327,0

630534.1146

318630806.3162 −=

−−=a

( )

43,566

6300327,0318 =+=c añosx 9999.1008.2 =−=

semestresx 19118)2(9 =+==

43,56067,20327,0ˆ 2 ++−= xxY

( ) ( ) 90,8343,5619067,2190327,0ˆ 208 ≅++−=Y (aproximadamente)

Años iy

1991 20 1994 36 1997 42 2000 62 2003 84 2006 74 Σ 318

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx2

−15 225 −3.375 50.625 −300 4.500 −9 81 −729 6.561 −324 2.916 −3 9 −27 81 −126 378 3 9 27 81 186 558 9 81 729 6.561 756 6.804 15 225 3.375 50.625 1.110 16.650

0 630 0 114.534 1.302 31.806


35

b)

518,419942003

67,3233,73 =−−=b

( )( ) 33,73518,4ˆ

67,32518,4ˆ

2

1

+=

+=

xY

xY

( ) ( )( ) ( ) 92,9533,735518,4ˆ

92,9567,3214518,4ˆ

08

08

2

1

=+=

=+=

Y

Y

añosxóañosx 5003.2008.214994.1008.2 =−==−=

44. Solución:

1,351188,13311,0ˆ 211 ++= xxY

( ) ( ) 20,7651,35121188,1321311,0ˆ 2

11 =++=Y

( ) semestresx 21121020012011 =+=−= 45. Solución:

0=b ( ) ( ) ( )( ) ( ) 56,0

10345

20104852 =

−−=a

( )88,2

5

1056,020 =−=c

( ) ( ) 88,22688,22002056,0ˆ 2 =++=Y

=±=

±=53,222

23,23135,488,226

5

51,3776,288,226Y


1991 20

1994 36 1997 42 2000 62 2003 84 2006 74

32,67

73,33

98

220

32,67

73,33


36

b) ( ) ( ) ( )

51,3;304,125

4856,0002088,21462 ==−−−== yxyx SVRS

2,135

5205146

2

2 =

−

=yS

068,02,13

30,1212 =−=R 26,0068,0 ==r

c) 0=b

( )4

50020 =−=c ( ) diferente) totalmente(44200ˆ =+=Y

46. Solución:

a) 18,060

11 ==b ( ) ( )( )( ) ( )

14,3607089

37960559.192 −=

−−=a

( )04,63

9

6014,3379 =+=c

( ) ( ) 48,13604,63818,06414,3ˆ −=++−=Y añosx 8002.2010.2 =−=

b) ( ) ( ) ( )12,57

9559.114,31118,037904,63513.192 =+−−==VRyxS

56,712,57 ==yxS

Años iy 1998 20 1999 26 2000 42 2001 58 2002 78 2003 63 2004 42 2005 36 2006 14 Σ 379

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx

ii yx2 2iy

−4 16 −64 256 −80 320 400 −3 9 −27 81 −78 234 676 −2 4 −8 16 −84 168 1.764 −1 1 −1 1 −58 58 3.364 0 0 0 0 0 0 6.084 1 1 1 1 63 63 3.969 2 4 8 16 84 168 1.764 3 9 27 81 108 324 1.296 4 16 64 256 56 224 196

0 60 0 708 11 1.559 19.513


37

−−

=±−=

±−=44,142

52,13096,548,136

956,7365,248,136Y

c) 80,076,394

12,57122 =−== Rr 80,02 =r

76,3949

93799513.19

2

2 =

−

=yS (varianza)

Se deja la gráfica para que el estudiante la elabore 47. Solución:

Años iy 1997 36 1998 48 1999 72 2000 84 2001 63 2002 52 2003 48 2004 36 2005 56 2006 72

Σ 567

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx

ii yx2 2iy

−9 81 −729 6.561 −324 2.916 1.296 −7 49 −343 2.401 −336 2.352 2.304 −5 25 −125 625 −360 1.800 5.184 −3 9 −27 9 −252 756 7.056 −1 1 −1 1 −63 63 3.969 1 1 1 1 52 52 2.704 3 9 27 9 144 432 2.304 5 25 125 625 180 900 1.296 7 49 343 2.401 392 2.744 3.136 9 81 729 6.561 648 5.832 5.184

0 330 0 19.194 81 17.847 34.433


38

a) 245,0330

81 ==b ; ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 104,0330194.1910

567330847.17102

−=−

−=a ; ( )

132,5810

330104,0547=

+=c

( ) ( ) 24,25132,5819245,019104,0ˆ 2

11 =++−=Y añosx 9002.2011.2 =−= semestresx 1911829 =+=×=

=±=

±=

98,11

5,38132624,25

10

19,18306,224,2511Y

b) ( ) ( ) ( )

84.33010

847.17104,081245,0567132,58433.342 =+−−==VRyxS

84,3302 =xyS

19,1884,330 ==yxS

41,22810

10

56710433.34

2

2 =

−=yS

45,041,228

84,33012 =−=R

No hay correlación, por lo tanto no es bueno hacer este ajuste parabólico, se deberá utilizar otra línea.


39

48. Solución:

Meses iy Enero 13 Febrero 17 Marzo 38 Abril 50 Mayo 40 Junio 20 Julio 10

Σ 188

ix 2ix 3

ix 4ix ii yx

ii yx2 2iy

−3 9 −27 81 −39 117 169 −2 4 −8 16 −34 68 289 −1 1 −1 1 −38 38 1.444 0 0 0 0 0 0 2.500 1 1 1 1 40 40 1.600 2 4 8 16 40 80 400 3 9 27 81 30 90 100 0 28 0 196 −1 433 6.502

a) 036,028

1 −=−=b ; ( ) ( )( )( ) ( ) 7976,3

281967

1882843372 −=

−−=a ;

( )05,42

7

287976,3188 =+=c

( ) ( ) 28,20105,428036,0647976,3ˆ

. −=+−−=DicY

b) ( ) ( ) ( )

87,542,347

4337976,31036,018805,42502.62 =⇒=+−+−= yxyx SS

−−

=±−=±−=98,206

58,19570,528,201

787,5571,228,201ˆ

.DicY

c) 55,20783,055,207

42,341 22 ==−= ySR

91,083,0 ==r 91,0=r


40

AJUSTE LOGARÍTMICO 49. Solución:

a) La ecuación general es xbcY = o bxcY logloglog += . Para determinar los parámetros b y c procedemos utilizando el método de los mínimos Cuadrados, cuyas ecuaciones son:

( )( )2

1 ( )( ) ( ) bxcxyx

bxcny

iiii

ii

logloglog

logloglog2Σ+Σ=Σ

Σ+=Σ

Se le dan valores a las ecuaciones

b log 5.572 c log 134 496,62393

b log 134 c log 5 18,18442

(2)

(1)

+=+=

Determinar el valor de b multiplicando la ecuación (1) por 134 y la ecuación (2) por -5

bc

bc

log860.27log6701196,483.2

log956.17log6707122,436.2

)2(

)1(

−−=−+=

⇒−=− blog904.904074,46 00468,0904.94074,46

log ==b


62712,0log518442,18

)00468,0(134log518442,18

+=+=

c

c 51146,3

55573,17log ==⇒ c

bxcY loglogˆlog += ( ) ⇒=+= 78758,300468,05951146,3ˆlog 2010Y 69,131.62010 =Y

añosx 59951.1010.2 =−= 78758,3deantilog10 =Y

Años iy 1951 3.221 1964 3.715 1974 4.287 1994 5.024 2006 5.933

Σ 22.180

ix iylog ii yx log 2ix

0 3,50799 0 0 13 3,56996 46,40948 169 23 3,63215 83,53945 529 43 3,70105 159,14515 1.849 55 3,77327 207,52985 3.025

134 18,18442 496,62393 5.572


41

b) La tasa de crecimiento se simboliza por r. rb +=1 →= 00468,0logb →=+= 0108,11 rb →= %08,1r %8,10 o=r 1,0108 0,00468 log == deantib c)

436.4=y ( )6,988.7

5943.39ˆ 2

2 ==−Σ=n

YyiyxS 38,89 =xyS

d) 004.921096.678.195

500.995.10222

2 =−=−Σ

= yn

yiyS

Nota: lo normal es calcular la varianza residual con fórmulas donde se emplean logaritmos, pero se hizo de la anterior manera, a sabiendas de haber una ligera diferencia, con el único fin de agilizar operaciones.

VT

VRR −=12

004.921

6,988.712 −=R ( )cuadradoalncorrelaciódeecoeficient9913,0=

e) ( ) 79688,328548,05114,3ˆlog00468,0615114,3ˆlog 20122012 =+=⇒+= YY 41,264.62012 =Y 41,264.679688,3deantilog12 ==Y 378,896,988.7 ==yxS

95%adProbabilid 0,05=∝ 415 =−=υ 2,776=t

( )

±=±=±45,153.6

37,375.696,11041,264.6

5

378,89776,241,264.62012

ntY yxS

Años iY ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy iYlog

1951 3.248 -27 729 10.373.841 3,51146 1964 3.736 -21 441 13.801.225 3,57230 1974 4.160 127 16.129 18.378.369 3,61910 1994 5.162 -138 19.044 25.240.576 3,71270 2006 5.873 60 3.600 35.200.489 3,76886

Σ 22.179 1 39.943 102.995.500 18,1842


42

Nota: el procedimiento que se debe seguir, siendo un poco más complejo, para calcular la varianza residual y el coeficiente angular, es el siguiente:

El coeficiente de correlación se debe calcular así:

2log

2log2 1

y

yx

S

SR −= Donde:

( )n

ynyi

222logy

loglogS

−Σ= n

yy ilog

logΣ

=

(Varianza) (Media) 50. Solución:

1296 =P millones)en (2106 =P a) ?r = b) ?P12 = a) ( )10

9606 1 rPP += b) ( )20612 1 rPP +=

( )rPP ++= 1log10loglog 9606 ( )rPP ++= 1log6loglog 0612 ( )r++= 1log1012log21log ( )rP ++= 1log621loglog 12 ( )r++= 1log1007918,132222,1 ( )024304,0632222,1log 12 +=P

( )r+=−1log

10

07918,132222,1 145824,032222,1log 12 +=P

( ) 024304,010

24304,01log ==+ r 468044,1log 12 =P

( ) 024304,0.log1 antir =+ 38,2912 =P millones de habitantes ( ) 057,11 =+ r 1057,1 −=r 057,0=r %7,5=r o %57 o=r (Tasa de crecimiento)

( )n

yxbycy iiiiyxS

logloglogloglog 22log

Σ−Σ−Σ= ( )n

Yy iiyxS

22log

ˆloglog −Σ=


43

51. Solución:

( ) MrM 21 4 =+

( ) MrM 2log1log4log =++

( ) 301030,01log4 =+ r

( ) 075258,04

301030,01log ==+ r

189,11 =+ r 189,0=r %9,18=r %189 o=r (Tasa de crecimiento) 52. Solución:

( ) ( )

( )

( ) años24,10029384,0

301030,0301030,0029384,0

301030,01log

2log1loglog21

==⇒=

=+

=++→=+

nn

rn

crnccrc n

díasymesesañosn 26 2 , 10=


44

53. Solución:

xcbY =ˆ bxci loglogy log +=

a) Como ,0=Σ ix nos queda:

03841,27

26888,14loglog === Σ

n

yc i 24,109=⇒ c

01386,028

38813,0loglog

2

===

ΣΣ

i

ii

x

yb

x 0324,1=⇒ b

La función será: ( )xY 0324,124,109ˆ = ; también ( )01386,003841,2ˆlog xY += b) La tasa de crecimiento será: rb += 1 0324,010324,11 =−=−= br %24,3=r %4,32 o=r (Tasa de crecimiento) 54. Solución: Si en el 2.000 el valor de Y es 120 y en el 2.006 el valor es de 460, se pide con esos dos períodos, determinar la tasa de crecimiento geométrico, además estimar el valor de Y para el 2.010.

ix 2ix iylog ii yx log

−3 9 2,00000 −6,00000 −2 4 2,00860 −4,01720 −1 1 2,02160 −2,02160 0 0 2,03862 −−−− 1 1 2,05346 2,05346 2 4 2,06633 4,13266 3 9 2,08027 6,24081

0 28 14,26888 0,38813


45

( ) 0972628,0000.2006.2

120log460log1log =

−−=+ r

76,126.1051829832,3deantilog10 ==Y 76,126.110 =Y

251015,011 +=+ r

%10,25=r o %251 o=r

(Tasa de crecimiento) 55. Solución: a)

( )

07486,00748556,011

031350108,0log1

031350108,0log

=+=+

=+=

=

rr

antirb

b

%49,7=r (Tasa de crecimiento)

b) Trabajando con el índice 2.000 – 2.006

( ) 157388,29log

4032138,0log

28498,14log

2807

2

2

=Σ

=Σ

=Σ

=Σ=Σ=

i

ii

i

ii

y

yx

y

xxn

0144005,028

4032138,0log ==b ; 040711,2

7

28498,14log ==c

Años Crecimiento %

x

2000 ---- 0 2001 2,0 1 2002 3,6 2 2003 4,2 3 2004 3,8 4 2005 3,4 5 2006 3,5 6

Años iy ix

2000 100,00 -3 2001 102,00 -2 2002 105,60 -1 2003 110,10 0 2004 114,30 1 2005 118,20 2 2006 122,30 3

( ) 051829832,3460log40972628,0ˆlog 2010 =+=Y


46

( ) 1127135,2040711,250144005,0ˆlog 08 =+=Y

63,1291127135,2deantilog08 ==Y 63,12908 =Y 56. Solución: a) ( )n0175,1000.50000.150 =

( ) meses33,630175,1log

000.50log000.150log =−=n

días 11 meses, 3 años,528,512

63,33 ===n

b) ( ) ( )0175,1log72000.50loglog0175,01000.50 72 +=⇒+= ff CC

meses 7212 años 6 =× ; 241448093,5Clog f = ( ) 49,360.174241448093,5log == antiC f 49,360.174$=fC

57. Solución:

a) ( ) ( )( )

( ) ( ) 0755046,0105015.115

33100,8010545830,58315log 2 =

−−=b

( ) ⇒== 18988,10755046,0logantib 18988,0=r %99,18=r %99,189 o=r (Tasa de crecimiento)

b) 35540,515

33100,80log ==c ; 1719912008 =−=x

( ) 6389782,635540,5170755046,0ˆlog 08 =+=Y 13,900.354.408 =Y ( ) 13,900.354.46389782,6log08 == antiY


47

58. Solución:

6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 77845168,13log =Σ iy 76243818,31)(log 2 =Σ iy 69787348,35log =Σ ii yx

( ) 8328704,2117588002,210071528244,0ˆlog 11 =+=Y añosx 10001.2011.2 =−=

56,6808328704,2deantilog11 ==Y 56,68011 =Y

1790,0=r (Tasa de crecimiento anual) %90,17=r 0,179=r %o

b) 6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 260.1=Σ iy 820.3=Σ ii xy 400.3032 =Σ iy

( ) ( )( )

( ) ( ) 285,3815556

260.115820.362 =

−−=b ; 14,49711 =Y

( )29,114

6

15285,38260.1 =−=c

( ) 14,49729,11410285,3811 =+=Y

( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

41,0

260.1400.303615556

260.115820.36

22

=−−

−=r (Coeficiente de correlación)

59. Solución:

a) 06776,1028474,060

708451,1log =→== bb

%78,606776,006776,011 ==⇒+=+ rr (Tasa de crecimiento)

%78,6=r o %8,67=r

Años iy ix

2001 150 0 2002 140 1 2003 180 2 2004 220 3 2005 190 4 2006 380 5


48

b) 1937859,39

744073,28log ==c

( ) 4215779,31937859,38028474,0ˆlog 10 =+=Y ( ) ⇒= 4215779,3log10 antiY 84,639.210 =Y 60. Solución:

( )4248,1000.580.2 iC=

( )248,1log4log000.580.2log += iC

3848583,0log4116197,6 += iC

0267614,63848583,04116197,6log =−=iC

⇒= 0267614,6log iC 54,558.063.1$=iC 61. Solución: a) ( )81000.150000.450 r+=

( ) 059640156,01log8

000.150log000.450log =+=−r

( ) 1472,01472,1059640156,0log1 =⇒==+ rantir anual %72,14=r (Tasa de crecimiento) b) ( )61472,1000.150=fC

( )1472,1log6000.150loglog +=fC

⇒= 533926089,5log fC 25,921.341$final Capital =

c) ( )961000.150000.450 r+=


49

( ) 0049700,01log96

000.150log000.450log =+=−r

( ) 0115,10049700,0log1 ==+ antir mensual %15,1=r (Tasa de crecimiento) 62. Solución:

( ) ( )( )( ) ( ) 0426295,0

9181914

43915,189155270,12914log 2 =

−−=b

( )

039990,114

910426295,043915,18log =−=c

a) ( ) 722062,1039990,1160426295,0ˆlog 08 =+=Y añosx 1619922008 =−= ( ) 73,52722062,1log08 == antiY 73,5208 =Y

b) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1826,0

43915,1867826,36149181914

43915,189155270,12914

22

=−−

−=r (No hay correlación)

EJERCICIOS MISCELÁNEOS 63. Solución: La respuesta es la (e); 155,8 56,95 (10) 9,885 Y =+= x = 2.011 – 2.001 = 10

885,9)15()55(6

(15)(490) - 6(1.398) b

2=

−= 95,56

6

9,885(15) - 490 c ==

64. Solución:

1220012006

15-75 b =

−= La respuesta corresponde a la pregunta (a)


50

65. Solución:

Años Meses iy

(a)

ix (b)

ix 21x 3

1x 41x i1 yx i

21 yx

2004 Oct. 75 0 -12 144 -1.728 20.736 -900 10.800 2005 Ene. 92 3 -9 81 -729 6.561 -828 7.452

Abr. 63 6 -6 36 -216 1.296 -378 2.268 Jul. 107 9 -3 9 -27 81 -321 963 Oct. 94 12 0 0 0 0 0 0

2006 Ene. 130 15 3 9 27 81 390 1.170 Abr. 68 18 6 36 216 1.296 408 2.448 Jul. 162 21 9 81 729 6.561 1.458 13.122 Oct. 134 24 12 144 1.728 20.736 1.608 19.296

a) n = 9 ∑ =108x i ∑ = 836.1x2

i ∑ = 925yi ∑ = 067.104y2

i ∑ = 537.12yx ii

66,2(108) - 9(1.836)

(108)(925)-9(12.537)b

2== 84,70

9

2,66(108)-925c ==

63,17484,70)39(66,2Yenero/08 =+= 63,174ˆ08/ =eneroY

b) 0x i =∑ 0x3

i =∑ 437.1yx ii =∑ 925yi =∑ 540x2

i =∑ 348.57x4i =∑ 519.57yx i

2i =∑ n = 9

66,2540

1.437b == 081,0

)540()348.57(9

)925)(540()519.57(9 a

2=

−−=

92,979

0,081(540)-925c ==

92,976620810ˆ 2 ++= x ,x,Y ; 34,9592,971)(662)1(0810ˆ 205 =+−+−= ,,Ysep/

0415192,97(14)662)(140810ˆ 206 ,,,Ydic/ =++=

66. Solución: se deja al estudiante el desarrollo de este ejercicio


51

67. Solución:

Años Meses iy semisuma semipromedio iY ix

2004 Oct. 75

-6 2005 Ene. 92 -3

Abr. 63 2,865

431= 86,2 0

Jul. 107 3 Oct. 94 6 2006 Ene. 130 9 Abr. 68 12 Jul. 162 33,121

3364= 121,33 15

Oct. 134 18

34,215

86,2 - 121,33b == c = 86,2

997286)5(342ˆ05 ,,,Ysep/ =+= 04,1332,86)20(34,2ˆ

06 =+=dic/Y

9,97ˆ05/ =sepY 04,133ˆ

06/ =dicY

68. Solución: a) n)02,01(300600 +=

)duplicarse para (tiempo meses 35 n )02,1log(

300log600log ==−

b) n)32,01(300600 +=

)duplicarse para (tiempo años 2,4966 n )32,1log(

300log600log ==− n = 2 años, 5meses, 29 días

431

364


52

69. Solución: a) Tasa de crecimiento aritmético

anual ocrecimient67,672.000 - 2.006110 - 516 b ==

b) log 480 = log 120 + 6 log (1 + r)

0,10034 r)log(16

120log480log =+=−

1 + r = antilog 0,10034 = 1,25991 r = 0,25991 = 25,991% = 259,91%o (Tasa de crecimiento geométrico) r = 25,99% 70. Solución:

082599,3)25991,1log(4480logYlog)25991,1(480Y 104

10 =+=⇒= x = 2.010 – 2.006 = 4

48,209.1082599,3logantiY10 ==

48,209.1Y10 = 71. Solución: Se deja que el alumno lo investigue. 72. Solución: r = 1 ⇒ correlación perfecta, es una recta ascendente r = 0,90 ⇒ buena correlación, recta ascendente r = 0,20 ⇒ no hay correlación r = -1 ⇒ correlación perfecta, recta descendente


53

73. Solución: Es un resultado mal calculado, ya que 1r1 ≤≤− , por lo tanto no puede ser mayor a 1 74. Solución: Años iy

ix 2ix ii yx

3ix 4

ix i2i yx

2iy

2000 11,3 0 0 0 0 0 0 127,69 2001 2,5 1 1 2,5 1 1 2,5 6,25 2002 8,3 2 4 16,6 8 16 33,2 68,89 2003 7,6 3 9 22,8 27 81 68,4 57,76 2004 18,9 4 16 75,6 64 256 302,4 357,21 2005 12,6 5 25 63,0 125 625 315,0 158,76 2006 18,3 6 36 109,8 216 1.296 658,8 334,89

∑ 79,5 21 91 290,3 441 2.275 1.380,3 1.111,45

a) La gráfica con los datos originales, así con la rectilínea y parabólica (estimadas) que se

pide en (b) y (c) se deja al estudiante su representación.

b) b 85,1)21()91(7

)5,79)(21()30,290(7b

)x(xn

)y)(x( -yxn

22i

2i

iiii =−−=⇒

∑−∑

∑∑∑=

c) n

xb -y c ii ∑∑= ⇒ 81,5

7

)21(85,15,79 c =−=

c bx Y +=ˆ ⇒ 815851ˆ , x , Y +=

Se toman dos valores de ix , podrían ser: 2 y 5 y con ellos se traza una recta tal como se solicita. c)

2342

23

2

3

2

1

iiiii

iiiii

iii

xcxbxaxy)

xcxbxaxy)

ncxbxay)

∑+∑+∑=∑

∑+∑+∑=∑

+∑+∑=∑

cbx axY ++= 2ˆ

reemplazando en las tres ecuaciones, se tendrá que:

1) 79,50 = 91a + 21b + 7c trabajamos con las ecuaciones (1) y (2); 2) 290,30 = 441a + 91b + 21c multiplicamos la (1) por -3 y se la restamos 3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c a la (2).


54

(2) 290,30 = 441a + 91b + 21c Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3); (1) -238,50 = –273a – 63b – 21c multiplicando a la (1) por -13 (4) 51,8 = 168a + 28b (3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c Se trabaja con las ecuaciones (4) y (5); (1) -1.033,50 = –1.183a – 273b – 91c multiplicamos la ecuación (4) por -6 (5) 346,80 = 1.092a + 168b

(5) 346,80 = 1.092a + 168b (4)-310,80 = –1.008a – 168b

36,00 = 84a ⇒ 4286,084

00,36 ==a

Reemplazamos en la ecuación (4) (4) 51,80 = 168 (0,4286) + 28b

7216,028

)4286,0(16880,51 −=−=b

Reemplazamos en la ecuación (1) 79,50 = 0,4286 (91) – 0,7216(21) + 7c

cc ⇒=+−= ;9501,77

)21(7216,0)91(4286,050,79= 7,9501

4280,0=a 7216,0−=b 9501,7=c La ecuación de la parábola será:

950177216,042860ˆ 2 ,xx, Y +−= se le da a x varios valores (ojalá desde 0 hasta 6) para estimar Y y dibujar la gráfica respectiva. 75. Solución:

Recta n

xybycys iiii

yx

∑−∑−∑=2

2 (Utilizamos los datos del ejercicio 74)

01,407,167

)3,290(85,1)5,79(81,545,111.12 =⇒=−−= yxyx ss


55

61,2081,5)8(85,1ˆ =+=Y 61,20ˆ =Y

x = 2.008 – 2.000 = 8 ;52 =−= nυ 05,0=α

=±=±=71,16

51,2490,361,20

7

4,012,57120,61Y

Parabólico 90,137

)3,380.1(4286,0)3,290(7216,0)5,79(9501,745,111.12yx =−+−=S

93,390,13yx ==s 71,29ˆ =Y

Y 61,29,95017(8)1,7216-(64)0,4286 =+=

d) Recta

[ ] [ ]2i

2i

2i

2i

iiii

)y(yn)x(xn

)y)(x(yxnr

∑−∑∑−∑

∑∑−∑=

[ ][ ]68,0

92,534

6,362

)5,79(7(1.111,45)21(7(91)

)79,5)(21(7(290,30)r

22==

−−

−= 68,0=r

Parabólico

2y

2yx2 1R

s

s−=

( )n

nynys ii

y

222 /∑−∑

=

79,297

)7/5,79(745,111.1 22y =−=s

⇒=−= 5334,079,29

90,131R 2 0,73r =

Según la teoría, se acepta como mejor ajuste, aquel que tenga un coeficiente de correlación más cercano a 1. En este caso sería el parabólico, donde r = 0,73, para el rectilíneo es de 0,68.

=±=±=99,25

23,3362,361,29

7

3,732,57161,29Y


56

76. Solución:

n = 7 32182,7)(log 2 =∑ iy 5,79=∑ iy 08537,0blog = 21=∑ ix 728206,0clog = 912 =∑ ix

89019,6log =∑ iy 06094,23log =∑ ii yx a) xcbY = ⇒ b logx logcYlog += 1,4111668(0,08537)0,728206Ylog =+= 25,77 1,411166 antilogY == 1,21770,08537 antilogb0,08537blog ==⇒= r = 0,2177 ⇒ 21,77% ⇒ 217,7%o (tasa de crecimiento)

b) [ ] [ ])ylog()y(logn)x(xn

)ylog)(x(logyxnRr

i2

i2

i2i

iiii

∑−∑∑−∑

∑∑−∑== 6148,0=r

De acuerdo con la teoría, es el menos indicado es el logarítmico, ya que es el menor de los tres coeficientes de correlación. r = 0,74 → parabólico r = 0,66 → rectilíneo r = 0,61 → logarítmico 77. Solución: se deja al estudiante su desarrollo. 78. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.

Años iy 2000 11,3 2001 2,5 2002 8,3 2003 7,6 2004 18,9 2005 12,6 2006 18,3

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.12 Índices simples, ponderados Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones encadenamiento y aplicaciones Actualizado en diciembre de 2007

12 Índices simples, ponderados

encadenamiento y aplicaciones


1. Solución:

Meses

Producción

a) Índice

Enero = 100

b) Índice

Mayo = 100

c) Base

Variable Enero 185 100,00 92,96 100,00 Febrero 178 96,22 89,45 96,22 Marzo 220 118,92 110,55 123,60 Abril 179 96,76 89,95 81,36 Mayo 199 107,57 100,00 111,17 Junio 175 94,59 87,94 87,94 Julio 216 116,76 108,54 123,43 Agosto 207 111,89 104,02 95,83 Septiembre 199 107,57 100,00 96,14 Octubre 208 112,43 104,52 104,52 Noviembre 218 117,84 109,55 104,81 Diciembre 213 115,14 107,04 97,71

a) 100100185

185100 =×=×=

E

EEE

X

XI

22,96100185

178100 =×=×=

E

FFE

X

XI etc.92,118100

185

220 =×=MEI


2

b) 96,92100199

185100 =×=×=

M

EEM X

XI

45,89100199

178100 =×=×=

M

FFM X

XI etc.55,110100

199

220 =×=MMI

c) 22,96100185

178 =×=FEI 60,123100

178

220 =×=MFI

36,81100220

179 =×=AMI etc.17,111100

179

199 =×=MAI

2. Solución:

Productos

Cosecha (cientos de Toneladas) Relativos Índices

2000 2006 A 11.158 13.044 1,1690 116,90 B 1.196 1.357 1,1346 113,46 C 1.111 1.326 1,1935 119,35 D 1.460 1.840 1,2602 126,02 E 859 997 1,1606 116,06 F 1.106 870 0,7866 78,66 G 41 659 16,0731 1.607,31 H 6.686 7.978 1,1932 119,32 I 204 202 0,9901 99,01

Totales 23.821 28.273 24,9609 2.496,09

a) 69,118100821.23273.28100

00

060600 =×=×=

XX

I b) 34,2771009

9609,24060006

00 =×=Σ

=n

RI

34,2779

09,496.2

9

060006

00 ==Σ

=I

I


3

3. Solución:

a)

10010012012096

96 =×=I

67,11610012014097

96 =×=I

00,15010012018098

96 =×=I

etc00,15010012018099

96 =×=I

b) 67,6610018012096

99 =×=I etc.78,7710018014097

99 =×=I

4. Solución:

JJJ PLF ×= ( ) JJ PF 160=

JP×= 160200 JP×=160000.40 250

160

000.40 ==JP

5. Solución:

1200504 =I 17406

0 =I 0504

040

050 III ×=

11806

05 =I 0605

050

060 III ×= 20,145,147 04

0 ×= I

?040 =I 18,1174 05

0 ×= I 87,12220,145,14704

0 ==I

?050 =I 45,147

18,1174 05

0 == I 87,12204 =oI

45,14705 =oI

Años Ventas

(Miles Mill. $) Índice

1996 = 100 Índice

1999 = 100

1996 120 100,00 66,67 1997 140 116,67 77,78 1998 180 150,00 100,00 1999 180 150,00 100,00 2000 190 158,33 105,56 2001 150 125,00 83,33 2002 120 100,00 66,67 2003 160 133,33 88,89 2004 200 166,67 111,11 2005 240 200,00 133,33 2006 350 291,67 194,44


4

6. Solución:

Años 2003 2004 2005 2006

Índice (base variable)

100,00 107,83 108,12 104,26

0605

0504

0403

0303

0603 IIIII ×××=

55,1210426,10812,10783,110006

03 =×××=I (Se trabaja con los relativos en vez

de los índices) Falso11955,121 ≠

7. Solución:

3105→ ( )

2000 el para86,2105

1003 ==X

X→100

02857,000,105

3 ==K

( ) 300,10502857,0)00,105( ==K

8. Solución:

710605 =I 15006

03 =I 71,0150 0503 ×= I

?0503 =I 06

050503

0603 III ×= 26,211

71,0

1500503 ==I

Años l q

2000 100,00 2,86 2001 112,14 3,20 2002 115,26 3,29 2003 110,04 3,14 2004 105,00 3,00 2005 110,82 3,17 2006 120,55 3,44


5

9. Solución:

( ) 66,861303

2

3

2 ==⇒= LPL

( )( ) ( ) ( ) 14,1061001265,11008666,030,1 ===×= PLF 14,106=F

10. Solución: (1) e) Superiores o igual a un 20%

120100125

150 =×

%20100120 =−

(2) d) %1010,025025 ==

(3) c) Desarrollo 175 Vivienda 25 Préstamos Autorizados 200

e) %79,545479,0100365

200 ≅=×

11. Solución: El costo de construcción de casas de habitación en el 2006 asciende a $69.791.165,62

6'200.000108,44→ ( )

62,165.791.69108,44

1.220,676'200.000x ==

x1.220,67→


6

12. Solución:

1500692 =I 7506

00 =I ?0092 =I

0600

0092

0692 III ×= 75,0150 00

92 ×= I 20075,0

1500092 ==I

20000

92 =I 13. Solución:

Artículos 03p 03q 06p 06q 0303 qp 0606 qp 0306 qp 0603 qp

A 2.600 10 3.800 8 26.000 30.400 38.000 20.800

B 6.000 5 10.000 7 30.000 70.000 50.000 42.000

C 1.000 2 4.000 5 2.000 20.000 8.000 5.000

D 6.000 1 15.000 2 6.000 30.000 15.000 12.000

E 3.600 2 2.000 1 7.200 2.000 4.000 3.600

Σ --- 71.200 152.400 115.000 83.400

0603 pp 06q por el mínimo( )0603 ; pp

03q por el mínimo( )0603 ; pp 0603 pp 060306 ppq 060303 ppq

9.880.000 20.800 26.000 3.143,25 25.146,00 31.432,50

60.000.000 42.000 30.000 7.745,97 54.221,79 38.729,85

4.000.000 5.000 2.000 2.000 10.000 4.000

90.000.000 12.000 6.000 9.486,83 18.973,66 9.486,83

7.200.000 2.000 4.000 2.683,28 2.683,28 5.366,56

− 81.800 68.000 − 111.024,73 89.015,74


7

a) 52,161100200.71000.115100

0303

03060603 =×=×

ΣΣ

=qpqp

LI 52,1610603 =IL

73,182100400.83400.152100

0603

06060603 =×=×

ΣΣ

=qpqp

P I 73,1820603 =IP

( )( ) 80,1711008273,16152,10603

0603

0603 ==×= PLF I 80,171

0603 =IF

b) ( )( ) 29,120100

000.68

800.81100

;

;

0306minimo03

0306minimo060603 =×=×

ΣΣ

=ppq

ppqK J

( )( ) 64,126100

200.186800.235100

060303

0603060603 =×=+Σ

+Σ=ppqppq

M J

83,1242

52,13213,1170603

060306

03 =+=+=JJ

PLSJ

71,12474,015.89

77,024.111100

060303

0603060603 ==×

Σ

Σ=

ppq

ppqW J

Los índices de Laspeyres y Paasche de Cantidad son:

13,117100200.71400.83100

0303

06030603 =×=×

ΣΣ

=qpqp

LJ ; 52,132100000.115400.152100

0306

06060603 =×=×

ΣΣ

=qpqp

PJ

0603 pp + )( 060306 ppq + )( 060303 ppq +

6.400 51.200 64.000

16.000 112.000 80.000

5.000 25.000 10.000

21.000 42.000 21.000

5.600 5.600 11.200

Σ 235.800 186.200


8

14. Solución:

Años Índice Base Variable

Relativos Índice Encadenado

% Variación

1 103,15 1,0315 100,00 0

2 108,36 1,0836 108,36 +8,36

3 94,86 0,9486 102,79 +2,79

4 117,28 1,1728 120,55 +20,55

5 104,84 1,0484 126,39 +26,39 15. Solución:

000.000.1352,161 →

X→82,495 ( )

48,265.906.39$52,161

82,495000.000.113 ==X

El costo de la construcción para vivienda de dos pisos, etc., es de $39.906.265,48 16. Solución:

a) 87,1381005,230.795,030.110

1000404

04060604 =×=×

ΣΣ

=qpqp

LI (precios)

87,1311005,929.865,637.114

1000604

06060604 =×=×

ΣΣ

=qpqp

P I

( ) 32,13587,13187,1380604

0604

0604 ==×= III PLF

0404qp 0606 qp 0604qp 0406qp

14.700,0 20.840,0 19.600,0 15.630,0

852,0 2.250,0 1.278,0 1.500,0

37.760,0 48.100,0 30.680,0. 59.200,0

4.462,5 6.457,5 3.187,5 9.040,5

21.456,0 36.990,0 32.184,0 24.660,0

79.230,5 114.637,5 86.929,5 110.030,5


9

b) 72,1091005,230.795,929.86

1000404

06040604 =×=×

ΣΣ

=qpqp

LJ (cantidad)

19,1041005,030.1105,637.114

1000406

06060604 =×=×

ΣΣ

=qpqp

PJ

( ) 92,10619,10472,1090604

0604

0604 ==×= JJJ PLF

17. Solución:

Años Ventas (Mill. $)

Relativos Índice

2000 = 100 Índice

2002 = 100

2000 12.320 1,0000 100,00 --- 2001 14.563 1,1821 118,21 --- 2002 18.624 1,2789 151,18 100,00 2003 27.632 1,4836 224,29 148,36 2004 24.830 0,8986 201,55 133,32 2005 29.316 1,1807 237,97 157,41

2006 32.514 1,1090 263,90 174,56

a) 000,1320.12

320.12 = 1821,1320.12

563.14 = 2789,1563.14

624.18 = , etc…

b) 10000

00 =I ; 118,211,1821100 0100 =×=I

etc...,18, 1511,27891,1821100 0200 =××=I

c) 10002

02 =I 36,1484836,11000302 =×=I

etc...,32,1338986,04836,11000402 =××=I

18. Solución:

06,13600,107 ×=⇒×=tO

tO

tO

tO IIII LPLF ( ) t

Oto II LL ==⇒= 15,84

06,136449.1106,1361072


10

( ) 72,11671,1388415,0 ==×=tO

tO

O

JIt PLVI (es el índice de valor) 19. Solución:

85,11110063,18228,204 =

17,11510063,18234,210 =

...,37,11710063,18236,214 etc=

20. Solución:

a) El índice de precios de Laspeyres, como su nombre lo indica, nos determina las variaciones en los precios entre dos períodos, manteniendo constante las cantidades del período base como ponderaciones.

b) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, manteniendo constante,

como ponderaciones los precios del período base.

c) Indica las variaciones en los precios entre dos períodos, tomando como ponderaciones, las cantidades del período que se investiga.

d) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, tomando como

ponderaciones los precios del período que se investiga. 21. Solución:

1300403 =I 9005

04 =I 1150605 =I

0605

0504

0403

0303

0603 IIIII ×××= 55,13415,190,030,110006

03 =×××=I 55,13406

03 =I

Años Índice 1995 = 100

Índice 2001 = 100

% Variación

2001 182,63 100,00 ---

2002 204,28 111,85 11,85

2003 210,34 115,17 15,17

2004 214,36 117,37 17,37

2005 286,49 156,87 56,87

2006 322,24 176,44 76,44


11

22. Solución:

o%82,943000.1400.3209.3 Tasa =×=

23. Solución: a) Índices simples de precios

a) 08,123100300.1

600.10604 === AI 92,76100

600.2

000.20604 === BI

;00,600100600

600.30604 === CI 00,100100

800.4

800.40604 === DI

b) Índice agregativo simple

Se presenta dos maneras de calcular: b) 03,129100300.9000.12100

04

060604 ==

ΣΣ

=pp

I

00,2254

00,10000,60092,7608,123Simples Indices )( 06

042 =+++=Σ=n

Ib 00,2250604 =I

Este último cálculo es el más indicado, dado que el artículo C pasa de $600 a $3.600 y se detecta esta variación; en cambio, en el primer cálculo no se determina. c) Índices de Fischer de precios y cantidad

Agudeza Visual Nº %o

Normales 3.209 943,82

Con diferencia leve 161 47,35

Con diferencia moderada 22 6,47

Con diferencia severa 8 2,36

Σ 3.400 1.000,00


12

ARTÍCULOS 0404qp 0606 qp 0406qp 0604qp

A 13.000 25.600 16.000 20.800

B 36.400 40.000 28.000 52.000

C 4.800 21.600 28.800 3.600

D 57.600 67.200 57.600 67.200

Σ 111.800 154.400 130.400 143.600 Índices de precios

%)64,16(64,116100800.111400.130100

0404

04060604 +==

ΣΣ

=qpqp

LI

%)52,7(52,107100600.143

400.154100

0604

06060604 +==

ΣΣ=

qp

qpPI

( ) %)70,11(70,11152,10764,1160604

0604

0604 +==×= III PLF

Índices de cantidad

%)28,44( 44,128100800.111600.143100

0404

06040604 +==

ΣΣ

=qpqp

LJ

%)40,18(40,118100400.130

400.154100

0406

06060604 +==

ΣΣ=

qp

qpPJ

32.123,40)128,44(1180604 ==JF %)32,23(+

24. Solución:

=tOIP Conocido =V"" Conocido

oo

tt

ot

tt

oo

otJI

qp

qp

qp

qp

qp

qpPLV

tO

tO

Σ=

ΣΣ

×ΣΣ

=×=t0

oo

tt

to

tt

oo

toIJt

qp

qp

qp

qp

qp

qpPLV

tO

tO

ΣΣ

=ΣΣ

×ΣΣ

=×=0 0

0 qpqp

Vo

ttt

ΣΣ

=


13

1000

0 0t

t

J

tI

p

IVL = 100

0

0 0t

t

I

tJ

p

IVL =

Prácticamente son relativos de valores, si estos se multiplican por 100 se convierten en índices de valores. 25. Solución:

Se cambia la base para el índice de valor. La nueva base es 2002.

08,11910000,210

06,25003 =×=IV etc.,48,133100

00,210

31,28004 =×=IV

Los índices de cantidad, se obtienen dividiendo al índice de valor por el índice de precios.

100×=IPIVI q 13,99100

12,12008,119

03=×=qI 49,102100

24,13048,133

04=×=qI etc.

26. Solución:

a) Índice de empleo 00,125100120150 ==

La cantidad relativa es igual a 1,2500

b) Número índice del costo de mano de obra: 00,125100000.000.90

000.500.112 =×=I

El Valor relativo será igual a 1,25

c) PR= Precio relativo

QR= Cantidad relativa %100,001,0000 125,00

125,00

QR

VRPR ====

Años I. Precios 2002= 100

I. Valor 2002=100

I. Cantidad 2002=100

2002 100,00 100,00 100,00

2003 120,12 119,08 99,13

2004 130,24 133,48 102,49

2005 160,86 152,51 94,81

2006 180,08 166,83 92,64


14

VR = Valor relativo

Puede interpretarse como el índice del costo medio por empleado, es decir, que en julio de 2006 fue de 100,00% del costo medio por empleado en relación al mes de enero. No hubo ni aumento ni disminución durante ese período. 27. Solución:

1600603 =I I de Producción = 60

Precio × Producción = Valor I Precio × I Produc. =160×0,60=96 96 – 100 = – 4 Disminuyó el índice de valor en un 4% en dicho período. 28. Solución:

Ingreso total = Cantidad vendida × Precios

250 = 150 × I.Precios

67,166100150250I.Precios =×=

Deberá incrementar los precios en un 66,67 %

29. Solución:

tO

tO

tO

tO

tO JJJJJ PPPLF 23,11532,12523,11532,125 2 ==⇒×=

( ) 06,1783629,165,13029,13623,115

32,125 2

==⇒== to

J IVPtO

30. Solución: Ingreso Total = Precio × Cantidad Vendida


15

300,00 = IP × 134,00

%88,12310088,223;88,22310000,13400,300 =−==IP

Se deberá incrementar el precio en un 23,88 % 31. Solución:

Lo Compró 07,035.32$100118,62

38.000 ==

Comprobación: ( ) 00000.381,186232.035,07 = 32. Solución:

Años Meses Índice 1984=100

Índice Mayo 05=100

1996 Diciembre 2.382,68 44,64

1998 Mayo 2.763,21 51,77

2003 Junio 4.326,42 81,06

2005 Enero 5.128,23 96,08

2006

Abril 5.312,61 99,54 Septiembre 5.824,25 109,12 Diciembre 6.010,34 112,61 Enero 6.112,28 114,52 Febrero 6.331,65 118,63 Marzo 6.410,64 120,11

a)x52,114

34,010.661,11206Enero/ =

( )28,112.6

61,112

34,010.652,114 ==X

También se puede calcular, obteniendo una constante (k)

373057,53112,61

6.010,34K == ;

( )( )

Marzo

Febrero

Enero

64,410.6)11,120( 373057,53

65,331.663,118372057,53

28,112.652,114373057,53

===


16

b) x2.382,68112,616.010,3496Diciembre/ =

( )

64,4434,010.6

68,382.2112,61X ==

018736,06.010,34

61,112 ==K ( ) 96/64,4468,382.2018736,0 Dic=

33. Solución:

Cálculo:

X→→

61,105

63,37000,100

( )42,391

100

61,10563,370 ==X (2004)

X→→

89,108

63,37000,100

( ),58,403

100

89,10863,370 ==X etc. (2005)

X352,46100,00370,63

→→

( )

etc.,10,95370,63

352,46100X == (2002)

Años Índice

1994 = 100 Índice

2003 = 100

Índice 1994= 100

Índice 2003 = 100

2001 328,32 328,32 88,58 2002 352,46 352,46 95,10

2003 370,63 100,00 370,63 100,00

2004 105,61 391,42 105,61 2005 108,89 403,58 108,89

2006 111,23 412,25 111,23


17

34. Solución:

Años Índice

A Índice

B

Índice A

Índice B

1 100,00 100,00 73,87

2 98,36 98,36 72,67

3 110,14 110,14 81,37

4 135,36 100,00 135,36 100,00

5 108,12 146,35 108,12

6 96,84 131,08 96,84 Empalme hacia abajo

X→→

12,108

36,13500,100

( )35,146

100

12,10836,135 ==X (5)

X→→

84,96

36,13500,100

( )08,131

100

84,9636,135 ==X (6)

Empalme hacia arriba

X14,101

10036,351

→→

( )

37,81135,36

110,14100X == (3)

X→→

36,98

10036,135

( ),67,72

36,13536,98100 ==X etc. (2)

35. Solución:


18

;10010012,64312,643

02/ ==IPC

78,11010012,64345,712

03/ ==IPC

etc.

Precios constantes del 511.318100100

318.51102 =⇒ (2002)

...77,942.47210078,110

926.52303 etc=⇒ (2003)

36. Solución:

a) ciertoesno⇒≠=

−= %63,9%28,7

2.8712.6621100ndevaluació %

b) 5,320.2

10982,05,320.2

1100%83,9 oo TT−=⇒

−=

( ) ⇒==⇒=−⇒ 39,092.2$5,320.29017,05,320.2

0983,01 oO T

T 39,092.2$defue

c) %26,70726,09274,019274,083,107

100100107,83

1PA ==−⇒=== %23,5%26,7 ≠

37. Solución:

Años Costos (mill. $)

Índice 1996 = 100

Índice

2001= 100

Costos a Precios del

2002

2001 124,6 142,28 100,00 124,60

2002 136,2 186,16 130,84 104,10

2003 148,5 195,34 137,29 108,17

Años

Siniestros (Miles Mill.$)

I. PC 2002=100

Siniestros (Miles Mill. $)

2002 318.511 100,00 318.511,00

2003 523.926 110,78 472.942,77

2004 670.718 125,60 534.011,15

2005 905.661 134,76 672.054,76

2006 1.036.129 136,36 759.848,20


19

2004 210,6 234,15 164,57 127,97

2005 217,4 260,16 182,85 118,89

2006 252,6 275,28 193,48 130,56 Cambiamos la base del índice base 1996 a la base 2001

00,100100142,28142,28

2001 =→ ,84,13010028,14216,186

2002 =→ etc…

Luego deflactamos, transformando precios corrientes de mercado a precios constantes de 2001

6,124100100

124,62001 =→ ,10,104100

84,1302,136

2002 =→ etc…

38. Solución:

Años IPP

2003=100 IPC

2003=100 IP

2003=100

2003 100,00 100,00 100,00

2004 120,82 124,16 113,28

2005 140,56 162,40 122,41

2006 170,15 186,69 126,93

Segundo, deflactamos cada sector, por su respectivo índice deflactor. a) Producto Bruto Real

Años Agricultura Serv. y Otros Industria

2003 2.000,00 4.000,00 2.600,00

2004 2.565,80 4.671,39 3.354,52

2005 4.268,64 5.541,87 4.493,10

2006 4.760,51 5.624,30 5.751,20 b) Índices del Producto Bruto Real


20

Índices

Agricultura Serv. Otros Industria

100,00 100,00 100,00

128,29 116,78 129,02

213,43 138,55 172,81

238,03 140,61 221,20

39. Solución: (a) (b) (c)

Años Índice

2002=100 Salarios Reales

Índice P.

Adquisitivo Poder

Adq. =1996

2002 100,00 232.000,00 100,00 0,3117

2003 101,34 232.386,03 98,68 0,3077

2004 102,37 279.378,72 97,69 0,3045

2005 109,29 309.268,92 91,50 0,2852

2006 112,38 391.528,74 88,99 0,2774

Primero: Cambiamos la base del índice al 2002

Segundo: deflactamos, dividiendo los salarios por el índice con la nueva base 40. Solución:

Años IPC 2000=100

Salario Real

(miles mill $)

Obreros (miles)

2000 100,00 1.800,0 120

2001 105,62 1.950,4 180

2002 108,84 2.113,2 200

2003 114,25 3.326,0 300

2004 118,43 4.306,3 420

2005 119,99 4.833,7 450

2006 121,46 4.939,9 510


21

Salario Nominal por

obrero (mill $)

Índice Salario

Real

Índice Salario

Nominal

Salario Real

por obrero (mill $)

Índice Sal. Real

por obrero

15,0 100,00 100,00 15,0 100,00

11,4 108,36 76,00 10,8 72,00

11,5 117,40 76,67 10,6 70,67 12,7 184,78 84,67 11,1 74,00

12,1 239,24 80,67 10,3 68,67

12,9 268,54 86,00 10,7 71,33

11,8 273,44 78,67 9,7 64,67

Primero: cambiamos la base al 2002.

Segundo: dividimos los salarios nominales por el respectivo IPC, con base en el 2002.

Tercero: dividimos los salarios nominales por el número de obreros obteniendo el salario nominal por obrero.

Cuarto: seleccionamos la columna del salario real y cada uno se divide por el primero, es decir, por 1.800.

Quinto: seleccionamos la columna del salario nominal por obrero, y cada uno de ellos lo dividimos por el primero, en este caso por 15,0.

Sexto: dividimos cada uno de los salarios reales por el número de obreros.

Séptimo: cada uno de los salarios real por obrero lo dividimos por el primero.

41. Solución:

Años IPC

1996=100 IPC

2001=100

Salario Real

(miles de $)

Índice Salario Real

2001 142,39 100,00 400,0 100,00

2002 160,51 112,73 443,5 110,88

2003 280,32 196,87 558,7 139,68 2004 420,16 295,08 440,6 110,15 2005 458,98 322,34 465,4 116,35

2006 536,01 376,44 504,7 126,18


22

Primero: Realizamos el empalme hacia abajo.

X→→

36,120

16,42018,110

( )98,458

18,110

36,12016,420 ==X (2005)

X⇒

⇒

56,140

16,42018,110

( )01,536

18,110

56,14016,420 ==X (2006)

y completamos la primera columna con base al año 1996.

Segundo: Pasamos o cambiamos la base al año 2001, dividiendo cada índice por el primero, en este caso 142,39.

Tercero: Dividimos los salarios nominales por IPC/2001.

Cuarto: Con la columna del salario Real, cada uno de ellos es dividido por el primero

(2001), para obtener el I. salario Real con base al año 2001.

Quinto: El salario Real para el 2006 aumentó en un 26,18 % con respecto al año 2002, por lo tanto mejoró su situación económica.

42. Solución: Primero Segundo Tercero

Años

IPC Base

variable

IPC 2002=100

IPC 1996=100

IPC 1999=100

Salario Real a Precios 1999

1999

130,86 100,00 $ 400.000 2000 146,32 111,81 2001 150,14 114,73 2002 100,00 100,00 170,7 8 130,51 2003 110,18 110,18 188,17 143,79 2004 90,36 99,56 170,03 129,93 2005 115,14 114,63 195,76 149,59 2006 112,26 128,69 219,78 167,95 $ 1.488.538,25

Primero: Encadenamos el índice de base variable.

Segundo: Empalmamos la serie.


23

X→→

18,110

78,1700,100

( )17,188

0,100

18,11078,170 ==X (2003)

X→→

56,99

78,1700,100

( )03,170

0,100

56,9978,170 ==X etc… (2004)

Tercero: El salario nominal para el 2006 es $2.500.000 y su salario real es de $1.488.538,25; pero su salario real mejoró con respecto al año 1999 en un 272,13%, por lo tanto se encuentra en mejores condiciones. Su salario nominal creció, en los dos períodos, en un 525%; 43. Solución:

1100100

1 =

8715,010074,114

1 =

7649,010074,130

1 =

etc.

Primero: Se cambia la base a 1996.

Segundo: Dividimos a 100 por cada IPC con base 1996, para obtener el poder adquisitivo con base en el año 1996. Se puede decir, que $1.000 en el 2006, equivale a $184,6 , con respecto a 1996.

44. Solución:

80125

100100100 =

=

=

t

o

I

IIPA

% de variación = 80 – 100 = -20 %; Cierto, bajó en un 20 %

Años IPC 1986=100

IPC 1996=100

Poder Adquisitivo

1996 464,53 100,00 1,0000 1997 532,98 114,74 0,8715 1998 607,31 130,74 0,7649 1999 759,42 163,48 0,6117 2000 963,53 207,42 0,4821 2001 1.136,04 244,56 0,4089 2002 1.430,41 307,93 0,3247 2003 1.849,32 398,11 0,2512 2004 2.179,28 469,14 0,2132 2005 2.376,42 511,58 0,1955 2006 2.516,82 541,80 0,1846


24

45. Solución: Primero cambiamos la base de cada índice al año 2002.

Años IPC

2002=100 IPP

2002=100 IPV

2002=100

2002 100,00 100,00 100,00

2003 155,28 176,33 167,87

2004 258,18 289,10 200,64

2005 332,19 411,71 231,98

2006 407,99 516,42 241,69

Segundo: Dividimos cada rubro por su deflactor: ...,07,21010028,1552,326

etc=

Años Salarios Arriendos Int. y Utili. TOTAL

2002 298,1 50,6 87,7 436,4

2003 210,1 44,9 103,1 358,1

2004 211,6 39,4 110,9 361,9

2005 204,8 33,9 107,9 346,6

2006 201,0 34,9 117,0 352,9

Tercero: Dividimos cada total por la población en millones. (YNR per cápita)

Cuarto: Los resultados obtenidos, los dividimos por 55,95.

IYNR per cápita = 00,8010095,5576,44 = para el 2003

Tercer paso Cuarto paso

Años Ingreso Nal. Real per cápita

IYNR per cápita 2002 = 100

YNR 2002=100

2002 55,95 100,00 100,00

2003 44,76 80,00 82,05

2004 44,13 78,87 82,93

2005 44,26 73,74 79,42

2006 40,56 72,49 80,87


25

Quinto: Dividimos (una columna TOTAL) por 436,4 y obtenemos IYNR con base 2002 46. Solución:

100×=IPC

SNSR 00,137100

82,323.17382,323.173100

80,560000.972

0406

=×⇒=×=SR

SR

13710004

06 =SR

SR =×= 100

000.63274,513.126

04IPC

74,513.1261000,137

82,323.17304

=×=RS 55,49910074,513.126

000.63204 =×=IPC

47. Solución:

=2.829,8

T-110037 :n devaluació % o ;

8,829.263,0

8,829.2137,0 oo TT

=⇒−=

( ) 77,782.1$8,829.263,0 ==oT 77,782.1$=oT

48. Solución:

Valores Corregidos

82,181.8100110

000.9 =

,36,917.9100121

000.12 = etc…

* Se desvaloriza en un 10 % constante, cada año, a partir de 2002. Es decir el índice se incrementa anualmente en un 10 %.

Años Valores (Miles $)

Índice *

Valores Corregidos

2000 3.000 100,00 3.000,00 2001 9.000 110,00 8.181,82

2002 12.000 121,00 9.917,36 2003 20.000 133,10 15.026,30 2004 25.000 146,41 17.075,34

2005 26.000 161,05 16.144,05 2006 30.000 177,15 16.934,80


26

49. Solución: Primer paso Segundo Paso Tercer paso

Años IRPI

Variable IRPI

2001 = 100

IQX 2004 = 100

IQX 2001 = 100

Índice Capacidad

para Importar 2001 100,00 100,00 90,36 100,00 100,00 2002 110,18 110,18 120,12 132,93 146,46 2003 80,36 88,54 90,34 99,98 88,52 2004 120,14 106,37 100,00 110,67 117,72 2005 115,20 122,54 110,21 121,97 149,46 2006 116,18 142,37 80,36 88,93 126,61

Primero: Transformamos el índice base variable, en base fija: 2001 = 100.

1000101 =I ( ) 18,1101018,110002

01 ==I ( )( ) ,54,888036,01018,110003

02 ==I etc…

Segundo: Se cambia la base del índice QX al 2001 = 100.

Tercero: Se multiplica el IRPI de cada año, por el relativo QX

110,18 (1,3293) = 146,46; 88,54 (0,9998) = 88,52, etc. 50. Solución: Primer paso Segundo paso

Años IQX Variable

IQX 2001 = 100

IVUX 1997 = 100

IVUX 2001 = 100

2001 100,00 100,00 124,35 100,00

2002 110,12 110,12 112,16 90,20

2003 80,36 88,49 118,14 95,01

2004 120,14 106,31 129,63 104,25

2005 115,16 122,43 132,35 106,43

2006 126,84 155,29 124,28 99,94


27

Tercer paso Cuarto paso

IVUM 2001 = 100

IRPI 2001 = 100

ICM 2001 = 100

100,00 100,00 100,00

104,36 86,43 95,17

103,16 92,10 81,50

106,81 97,60 101,75

105,32 101,05 107,55

108,14 92,42 92,36

Primero: Se encadena el IQX a base fija 2001 = 100,00.

Segundo: Cambiamos la base del IVUX del 1997 al 2001 = 100,00.

Tercero: Calculamos el IRPI dividiendo el IVUX por el IVUM y el resultado se debe multiplicar por 100.

Cuarto: El ICM se obtiene multiplicando el IVUX por el relativo de RPI en cada uno de los períodos. 51. Solución: Primer paso Segundo paso Tercero paso

Años

IVUX 2000 = 100

IVUM 2000 = 100

IQX 2000 = 100

IRPI 2000=100

ICM 2000=100

2000 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2001 78,22 105,43 103,92 74,19 77,10

2002 69,11 107,16 102,05 64,49 65,81

2003 80,90 103,15 118,62 78,43 93,03

2004 75,08 96,26 106,51 78,04 83,12

2005 75,99 105,45 114,48 72,06 82,49

2006 87,66 109,28 117,03 80,22 93,88

Primero: Se cambia la base a los tres índices, siendo 2000 = 100.

Segundo: Se calcula la relación precios de intercambio, dividiendo IVUX por el IVUM y el resultado se multiplica por 100.


28

Tercero: Se multiplica el IQX por el relativo de la relación de precios de intercambio de cada período y se obtiene ICM con base en 2000.

52. Solución:

X→

→00,100

30036,105

( )

73,28436,105

100300 ==X

8473804,236,105

300 ==K

K es una constante, que debemos multiplicar por cada uno de los índices, de los diferentes períodos. 53. Solución:

Primero Primero Segundo

Años

Producción Miles Tons.

Índice Producción 2000 = 100

Índice

Obreros 2000 = 100

Índice Productividad

2000 = 100

% Variación

2000 1.420 100,00 100,00 100,00 0

2001 1.630 114,79 110,02 104,34 4,34

2002 1.580 111,27 100,16 111,09 11,09

2003 1.710 120,42 109,05 110,43 10,43

2004 1.812 127,61 98,55 129,49 29,49

2005 1.750 123,24 97,74 123,09 26,09

2006 1.800 126,76 96,93 130,77 30,77

Primero: Calculamos el índice de producción y el índice de obreros.

Segundo: Dividimos el índice de producción por el índice de obreros, multiplicando por 100 el valor resultante y obtenemos el índice de productividad.

Años Índice

Cantidades Producidas

2000 100,00 284,73

2001 112,83 321,27

2002 115,24 328,13 2003 110,12 313,55 2004 105,36 300,00

2005 110,92 315,83

2006 120,55 343,25


29

54. Solución:

Primero Segundo

X→→

72,164

000.504,83

( )

11,918.904,83

72,164000.5 ==X

....,0,100000.504,83

etcX→→

*IPI: Índice Producción Industrial

Primero: Cambiamos la base del índice de Producción Industrial al 2004.

Segundo: Hacemos una relación de “si 83,04 es a 5.000, los índices siguientes serán igual a…

55. Solución: Años iy (a)

Índice (b)

Índice Índice Activos Reales

Índice A.Reales

% Variación

2001 850.000 100,00 575,1 100,00 850.000,00 100,00 0 2002 1.000.700 117,73 732,6 127,39 785.540,47 92,42 -7,58 2003 1.370.000 161,18 954,3 165,94 825.599,61 97,13 -2,87 2004 1.720.600 202,42 1.250,3 217,41 791.407,94 93,11 -6,89 2005 2.120.300 249,45 1.380,4 240,02 883.384.72 103,93 +3,93 2006 2.850.320 335,33 1.706,2 296,68 960.738,84 113,03 +13,03 Muy poco han crecido los activos reales, sólo se produjo un ligero crecimiento en los dos últimos años, ya que los anteriores decrecieron. 56. Solución: Y = P.Q. IP = 125 IY = 220 220 = 125(IQ) IY = IP (IQ)

176100125220VENTASIQ ===

Se deberá aumentar las ventas en un 76%.

Años IPI

2000 = 100 IPI

2004 = 100 Producción Industrial

2002 100,00 83,04 5.000

2003 198,36 164,72 9.918

2004 120,42 100,00 6,021

2005 135,86 112,82 6.793

2006 150,14 128,68 7.748


30

57. Solución:

Años Índice

1993=100

Índice 2003=100

Índice Empalmado 2003=100

Índice 2001=100

Salario Nominal

Salarios Reales

A precios/01 2001 428,6 63,74 100,00 746.400 746.400,00 2002 594,2 88,37 138,64 2003 672,4 100,0 100,00 156,89 2004 135,6 135,60 212,74 2005 162,8 162,80 255,41 2006 201,4 201,40 315,97 1.110.100 351.330,82

(a) La situación en términos reales empeoró, ya que se redujo su salario real en un 47,07% (b) El salario en el 2006 = 3,1592 (746.400) = $2.358.400,08, éste debe ser su salario nominal

en vez de los $1.110.100,oo que le están pagando en 2006. 58. Solución: Se le deja al lector o usuario del libro su consulta. 59. Solución:

Cuarto Quinto Quinto b Primero Segundo

Años IPC

1983=100 IPC

1994=100

Inversión (Miles mill

$)

(a) Serie Deflactada (Miles Mill

$)

IPC 2003=100

IPC 2001=100

IPC 1996=100

IPC 2003=100

IPC

1988 285,36 39,60 25 63,13 185,36 1990 336,40 46,68 37 79,26 336,40 1992 520,60 72,25 42 58,13 520,60 1994 720,60 100,00 58 58,00 720,60 1996 810,40 112,46 65 57,80 100,00 810,40 1998 960,32 133,27 80 60,03 118,50 960,32 2000 1.030,42 142,99 105 73,43 127,15 1.030,42 2001 880,01 122,12 115 94,17 100,00 108,59 1.005,79 2003 1.005,78 139,58 130 93,14 100,00 124,11 1.186,41 2004 1.186,41 164,64 142 86,25 1.342,81 2005 1.342,81 186,35 160 85,86 1.527,73 2006 1.527,73 212,01 180 84,90 151,89 173,61

(a) Primero: se convierte el IPC, base variable en base fija, así:

1996 = 100,00 1998 = 100(1,185) = 118,5 2000 = 118,5 (1,073) = 127,15 2001 = 127,15(0,854) = 108,59 2003 = 108,59(1,143) = 124,11 (acumulados en la calculadora)


31

Segundo: se hace el empalme hacia abajo, con los índices ya encadenados Constante = 810,4÷100 = 8,104 y lo multiplicamos por cada uno de ellos así: 8,104(118,5) = 960,32 8,104(127,15) = 1.030,42, etc. Tercero: se hace el empalme con el IPC de 2002 = 100, así:

641,8116,4

1.005,78K == y se tiene que: 2004 = 8,641(137,3) = 1.186,41;

2005 = 8,641(155,40) = 1.342,81, etc. Cuarto: se cambia la base a 1994 ⇒ (285,36÷720,60)(100) = 39,60 Quinto: se deflacta la serie, dividiendo a cada uno de los valores de inversión por el IPC con base 1994.

(b) Se cambia la base a 2003 siendo 100,00 para ese año y (212,01 – 139,58)100 = 151,89

luego mediante una regla de tres simple (procedimiento más fácil) calculamos la inversión real para el 2006, así:

100,00 93,14 151,89 X

47,141100

89)93,14(151,X == (miles de mill de $) en vez de los $84,90 (miles millones de $)

(c) Cambiamos la base del IPC a 2001 = 100,0 por lo tanto el IPC para el 2006 es igual a

(212,01÷122,12)100 = 173,61, la inversión nominal para el 2006, que sea igual a la de 2001, se obtiene nuevamente mediante una regla de tres, así:

100,00 880,01 79,527.1100

,61)880,01(173X == (miles mill de $)

173,61 X 60. Solución: Se deja al lector o usuario su consulta. 61. Solución: 2004 ⇒ $450.000 Actual $1.068.000 y el IPC = 350,62

?IPC/04 =


32

27,603.30410062,350000.068.1100

IPCSN

SRactual

actualActual ===

87,315.227SR10000,134

27,603.30400,134100

SRSR

04/04

actual ==⇒=

96,19710087,315.227

000.450IPCIPCSN

100SR 0404

0404 ==⇒=

62. Solución:

(a) diferente) (es 4,25%3,81%)

2.871,82.762,5

-(1 100 n devaluació % ≠==

(b) diferente) (es %66,237634,0134,76100131100 IPA =−⇒=×= 24,6%23,6% ≠

(c) 1008,876.2

?5,362.876,8

?-1 100136,5 =⇒

=

También: 8,876.2

?365,118,876.2

?1365,1 =−⇒−=⇒

0,365(2.876,8) = $1.050,03 = To 03,050.1=oT fue el tipo de cambio 63. Solución: YT = P.Q ⇒ 300 = IP x 134,0 ⇒ IP = (300÷134)100 = 223,88 223,88 – 100 = 123,88% deberá ser el incremento en los precios 64. Solución:

(a) IPC = (386,82 ÷ 307,13) 100 = 125,95 Presupuesto mensual, sería: 95.000(1,2595) = $119.652,50 (b) Períodos Salario nominal Salario real IPC Comienzo 720.000,00 720.000,00 100,00 Final 800.000,00 635.172,69 125,95

69,172.63510099,125

800.000 SR ==


33

65, 66 y 67 Solución: Se deja al lector su solución (Leer una nota que aparece al final de este capítulo en el CD) 68. Solución:

(a) %7575,025,01n disminució 5%225,060

15 ==−===

(b) aumento el fue este %3001004004001001560 =−⇒=

69. Solución:

aumento el fue %33,2110033,121100000.15200.18 =−=

70. Solución:

rebaja de Porcentaje %50100000.8000.4 =

71. Solución:

compra de precio el fue 800.2$100125500.3 =

72. Solución: 1.200 (1,30) = 1.560 deberá vender 73, 74, 75 y 76 Solución: Se deja al lector su solución. 77. Solución: a. Razón b. Proporción c. Proporción d. Razón e. Proporción f. Proporción g. Razón h. Proporción i. Proporción j. Proporción

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

13

En este capítulo del CD, el estudiante encontrará además de algunos ejercicios resueltos, tablas que contienen datos (supuestamente) poblacionales,

no incluidos en el libro, con la finalidad de reducir su tamaño.

TABLAS CON INFORMACIÓN DE UNA

POBLACIÓN TEÓRICA UTILIZADAS EN EL LIBRO PARA EL DESARROLLO Y

EXPLICACIÓN DE LA TEORÍA DEL MUESTREO (págs. 1 hasta la 19)

Tabla 13.1 CD Algunos datos correspondientes a 355 familias que residen en el barrio El Futuro

(Datos poblacionales)

Número Familias

Ingresos (miles $)

Vivienda Propia

Número de personas Consumo Diario de

carne (grs)

Total Masculino Femenino Trabajando

001 1.860 si 5 3 2 2 789

002 3.840 no 6 2 4 3 807

003 920 no 3 1 2 1 802

004 1.060 si 3 1 2 1 765

005 1.080 no 3 2 1 1 735

006 1.700 no 2 1 1 2 895

007 1.650 no 3 1 2 1 799

008 1.930 si 5 2 3 2 749

009 2.820 no 4 2 2 3 742

010 800 no 3 1 2 1 892

011 1.790 no 2 1 1 2 864

012 780 si 5 3 2 1 772

013 3.060 si 5 4 1 3 804

014 2.350 si 3 2 1 2 732


2

015 3.420 no 4 1 3 3 743

016 2.060 si 3 1 2 1 824

017 2.000 si 3 1 2 1 804

018 1.790 no 4 2 2 1 767

019 2.060 no 5 1 4 2 760

020 2.250 no 3 1 2 2 842

021 830 no 2 1 1 1 813

022 1.630 si 1 1 0 1 753

023 1.790 no 2 1 1 2 723

024 790 si 2 0 2 1 680

025 790 si 3 1 2 1 620

026 1.820 no 6 3 3 2 816

027 3.130 no 5 2 3 3 868

028 1.140 si 4 1 3 1 832

029 2.600 si 4 2 2 2 757

030 2.100 no 4 2 2 3 714

031 2.250 si 3 1 2 2 852

032 960 si 2 1 1 1 782

033 790 no 7 3 4 2 620

034 1.260 no 2 0 2 1 630

035 1.040 no 1 1 0 1 580

036 1.450 no 2 1 1 2 580

037 830 si 3 1 2 1 520

038 1.620 si 2 1 1 2 570

039 860 no 1 0 1 1 510

040 950 si 3 1 2 1 520

041 950 no 3 1 2 1 620

042 1.060 no 3 1 2 1 730

043 1.840 no 5 2 3 2 780

044 760 no 4 2 2 1 520

045 1.920 si 2 1 1 2 630

046 2.130 si 2 1 1 2 850

047 840 si 3 1 2 1 610

048 840 si 4 2 2 1 610

049 1.350 no 1 1 0 1 590

050 1.760 si 3 1 2 2 630

051 1.250 si 2 1 1 1 750

052 3.860 no 5 2 8 3 750

053 1.880 no 3 1 2 2 880

054 1.050 si 3 2 1 1 780

055 1.730 si 4 1 3 2 560


3

056 2.620 si 5 2 3 2 620

057 950 si 3 1 2 1 870

058 1.870 no 2 2 0 2 520

059 840 si 3 1 2 1 630

060 860 no 1 0 1 1 520

061 1.020 si 3 1 2 2 540

062 1.340 no 2 1 1 1 600

063 3.950 no 5 2 3 3 680

064 1.860 no 6 1 5 2 720

065 790 si 3 2 1 1 600

066 2.140 si 5 2 3 3 540

067 1.830 si 4 1 3 2 810

068 1.350 no 3 2 1 1 770

069 760 no 2 1 1 1 530

070 790 no 1 0 1 1 550

071 1.260 no 3 1 2 1 580

072 950 si 2 1 1 1 520

073 980 no 3 2 1 1 560

074 2.360 si 4 2 2 2 716

075 1.350 si 6 2 4 1 600

076 1.840 no 5 1 4 2 620

077 780 no 3 2 1 1 570

078 820 no 2 2 0 1 520

079 2.860 si 3 1 2 3 510

080 2.890 no 4 2 2 2 770

081 2.870 no 4 1 3 2 810

082 960 no 2 1 1 1 834

083 2.050 si 3 2 1 2 630

084 2.130 si 5 2 3 2 610

085 1.620 si 3 1 2 1 716

086 2.420 si 3 1 2 1 760

087 2.060 si 5 1 4 2 780

088 2.850 no 4 3 1 3 801

089 1.560 si 3 2 1 1 812

090 1.320 no 6 2 4 2 714

091 3.140 no 3 1 2 3 612

092 960 no 4 1 3 1 775

093 1.860 si 5 2 3 2 757

094 890 si 2 1 1 1 720

095 1.010 no 2 1 1 1 630

096 1.000 no 2 0 2 2 650


4

097 1.120 si 3 1 2 1 610

098 2.140 si 4 2 2 2 660

099 1.560 no 4 3 1 1 720

100 2.020 si 3 1 2 2 680

101 960 no 2 1 1 1 520

102 840 no 3 1 2 1 560

103 1.930 si 4 2 2 2 520

104 1.020 no 1 1 0 1 530

105 1.960 si 2 1 1 2 650

106 2.140 si 6 2 4 2 520

107 1.860 no 3 1 2 2 570

108 950 si 2 1 1 1 578

109 1.720 si 4 2 2 2 580

110 2.310 no 5 2 3 2 590

111 1.110 si 3 1 2 1 620

112 2.620 si 2 1 1 2 616

113 860 no 3 2 1 1 518

114 840 si 4 2 2 2 514

115 3.960 no 6 2 4 3 520

116 980 si 2 1 1 1 516

117 2.020 no 3 2 1 2 570

118 1.130 si 4 1 3 1 620

119 2.450 si 5 2 3 2 636

120 3.630 no 3 3 0 3 636

121 3.230 si 7 2 5 3 744

122 4.960 si 6 2 4 4 700

123 1.870 si 3 1 2 2 786

124 840 no 2 1 1 1 785

125 2.020 no 4 1 3 2 516

126 2.260 no 4 2 2 2 634

127 1.350 no 2 2 0 1 638

128 2.320 no 3 1 2 2 520

129 1.300 si 2 1 1 1 527

130 1.860 no 3 1 2 2 586

131 780 no 2 1 1 1 516

132 1.260 si 3 2 1 1 520

133 1.940 si 4 3 1 1 536

134 2.060 si 5 2 3 2 636

135 3.870 no 4 1 3 2 735

136 1.020 si 2 1 1 1 816

137 1.340 si 3 1 2 1 515


5

138 1.160 si 2 1 1 1 516

139 1.840 no 3 2 1 2 520

140 870 no 3 1 2 2 532

141 1.880 si 4 1 3 2 630

142 1.040 si 2 1 1 1 635

143 1.060 no 2 0 2 1 520

144 1.880 no 3 1 2 2 560

145 1.650 si 4 2 2 2 580

146 3.420 si 5 2 3 3 626

147 3.320 si 3 1 2 3 635

148 1.860 si 4 1 3 2 640

149 890 si 3 2 1 1 520

150 1.950 no 4 2 2 2 636

151 1.060 no 2 1 1 1 522

152 2.080 no 3 1 2 2 636

153 860 si 2 1 1 1 516

154 1.840 no 3 1 2 2 732

155 2.060 si 1 1 0 1 806

156 2.730 si 3 1 2 2 816

157 1.860 no 4 2 2 2 735

158 1.896 si 2 1 1 2 738

159 1.260 no 3 1 2 1 516

160 880 si 2 1 1 1 508

161 1.860 no 4 1 3 2 630

162 1.140 si 2 1 1 1 600

163 960 no 3 2 1 1 520

164 1.870 no 5 2 3 2 580

165 1.860 no 2 1 1 2 586

166 2.880 si 3 2 1 3 635

167 2.060 si 4 1 3 2 712

168 1.640 no 5 2 3 2 720

169 2.680 si 2 1 1 2 760

170 2.700 si 3 1 2 2 812

171 1.130 no 4 2 2 1 716

172 1.950 si 2 0 2 2 718

173 860 no 2 1 1 1 510

174 880 no 3 1 2 2 512

175 1.860 si 3 1 2 2 512

176 880 no 4 0 4 1 520

177 1.010 no 2 1 1 1 606

178 2.060 no 3 2 1 2 803


6

179 1.630 si 3 2 1 1 605

180 1.840 no 2 1 1 1 596

181 3.960 si 4 1 3 2 520

182 1.030 si 2 1 1 1 563

183 2.960 no 5 2 3 3 548

184 2.870 si 3 1 2 2 555

185 2.840 no 2 1 1 2 730

186 880 no 3 1 2 1 510

187 1.160 si 2 1 1 1 580

188 1.150 si 1 0 1 1 584

189 1.980 no 3 0 3 2 636

190 2.360 no 4 2 2 2 814

191 1.340 si 2 1 1 1 620

192 2.450 si 3 1 2 2 712

193 3.210 no 4 2 2 2 806

194 3.240 si 2 1 1 2 794

195 3.860 no 5 2 3 3 812

196 950 no 3 2 1 1 515

197 970 no 2 1 1 1 508

198 990 si 3 1 2 1 506

199 2.260 si 4 1 3 2 514

200 1.830 no 2 1 1 1 630

201 1.850 si 3 1 2 2 650

202 1.960 si 2 1 1 1 642

203 3.620 si 3 2 1 3 684

204 2.140 si 4 2 2 2 716

205 3.320 si 6 3 3 3 750

206 2.140 no 5 3 2 2 752

207 1.750 si 2 0 2 1 684

208 3.890 no 3 1 2 3 802

209 2.970 no 3 1 2 2 794

210 2.990 no 4 2 2 2 755

211 2.060 no 5 1 4 2 744

212 1.626 no 2 2 0 1 536

213 1.860 no 3 2 1 1 716

214 2.620 si 4 3 1 2 777

215 1.130 si 6 2 4 1 700

216 1.140 si 2 1 1 1 520

217 860 si 5 2 3 1 506

218 930 no 2 1 1 1 516

219 2.150 no 3 1 2 2 613


7

220 2.620 no 3 2 1 2 624

221 1.860 si 4 2 2 2 636

222 2.120 si 2 1 1 2 680

223 1.630 no 5 4 1 2 650

224 1.520 no 6 2 4 2 666

225 1.410 si 3 1 2 1 672

226 1.360 si 1 1 0 1 712

227 990 si 2 2 0 1 520

228 1.040 no 3 1 2 1 542

229 950 si 4 1 3 1 548

230 980 si 2 1 1 1 560

231 960 no 3 1 2 1 558

232 1.020 si 4 2 2 1 562

233 2.130 no 2 1 1 2 616

234 2.150 no 3 1 2 2 630

235 3.790 si 6 2 4 3 642

236 1.720 no 5 3 2 2 584

237 1.830 no 2 1 1 2 586

238 1.960 no 3 1 2 2 584

239 850 no 4 1 3 1 520

240 2.140 si 2 1 1 2 601

241 2.460 no 3 1 2 2 608

242 1.450 si 2 1 1 1 632

243 1.830 si 3 0 3 2 636

244 2.260 si 4 2 2 2 650

245 1.620 no 4 1 3 2 600

246 1.130 no 4 3 1 1 586

247 1.050 si 2 1 1 1 584

248 1.980 si 3 1 2 2 586

249 1.990 no 4 2 2 2 532

250 1.060 no 2 1 1 2 616

251 1.120 si 3 2 1 1 512

252 1.080 si 4 1 3 2 716

253 1.930 si 2 0 2 2 650

254 860 no 3 1 2 1 520

255 1.950 no 2 0 2 2 616

256 2.960 no 3 1 2 2 684

257 1.950 no 5 2 3 2 705

258 2.140 no 2 0 2 2 624

259 980 si 3 1 2 1 601

260 2.260 si 2 1 1 2 712


8

261 3.280 no 5 2 3 2 802

262 1.140 no 2 1 1 1 613

263 1.930 no 3 0 3 2 626

264 1.850 si 5 2 3 2 650

265 3.860 si 3 1 2 3 830

266 1.820 no 3 1 2 1 760

267 1.880 si 3 2 1 2 731

268 1.050 no 2 1 1 1 516

269 1.130 no 3 2 1 1 510

270 1.260 no 4 2 2 1 520

271 2.500 si 5 1 4 2 636

272 2.610 si 2 1 1 2 651

273 2.930 si 3 1 2 2 686

274 2.960 si 4 2 2 2 680

275 1.050 no 4 1 3 1 512

276 1.010 no 4 1 3 1 520

277 1.010 si 3 0 3 1 506

278 2.080 no 2 2 0 2 603

279 3.260 si 3 1 2 2 799

280 1.280 no 1 1 0 1 516

281 960 si 3 1 2 1 508

282 1.840 no 5 2 3 2 700

283 1.880 no 4 2 2 2 705

284 1.620 no 5 2 3 2 684

285 2.120 si 6 1 5 2 703

286 1.950 si 5 1 4 2 710

287 1.630 si 5 2 3 2 656

288 1.420 si 4 1 3 2 678

289 2.860 no 3 1 2 2 592

290 2.980 no 3 2 1 2 600

291 2.050 si 4 2 2 2 734

292 790 no 3 2 1 1 509

293 1.860 si 3 1 2 2 638

294 2.880 si 2 1 1 2 724

295 1.360 no 3 0 3 1 805

296 1.850 no 3 2 1 2 781

297 1.760 si 4 2 2 2 629

298 1.920 si 5 3 2 2 732

299 3.350 si 4 1 3 3 814

300 990 si 3 1 2 1 512

301 1.080 no 4 2 2 1 523


9

302 1.730 no 3 1 2 2 612

303 3.460 si 4 1 3 3 718

304 2.790 si 6 4 2 2 687

305 2.960 no 2 1 1 2 555

306 1.110 si 3 2 1 1 564

307 1.460 si 3 2 1 1 508

308 1.900 no 2 0 2 2 666

309 1.660 si 2 1 1 2 578

310 2.390 si 6 2 4 3 598

311 1.290 no 3 2 1 1 543

312 1.890 no 4 3 1 2 576

313 1.280 no 5 2 3 3 687

314 3.290 si 6 3 3 3 768

315 2.860 si 5 2 3 3 756

316 1.110 no 2 2 0 1 500

317 1.690 no 2 0 2 2 515

318 1.760 si 2 1 1 1 543

319 1.090 no 3 1 2 1 576

320 1.260 no 3 1 2 1 580

321 950 si 2 1 1 1 520

322 980 no 3 2 1 1 560

323 2.360 si 4 2 2 2 716

324 1.350 si 6 2 4 1 600

325 1.840 no 5 1 4 2 620

326 780 no 3 2 1 1 570

327 820 no 2 2 0 1 520

328 2.860 si 3 1 2 3 510

329 2.890 no 4 2 2 2 770

330 2.870 no 4 1 3 2 810

331 960 no 2 1 1 1 834

332 2.050 si 3 2 1 2 630

333 2.130 si 5 2 3 2 610

334 1.620 si 3 1 2 1 716

335 2.420 si 3 1 2 1 760

336 2.060 si 5 1 4 2 780

337 2.850 no 4 2 2 1 801

338 980 si 2 1 1 1 516

339 1.550 si 3 2 1 1 812

340 1.320 no 6 2 4 1 714

341 1.230 no 3 2 1 1 605

342 1.150 si 4 1 3 1 580


10

343 980 no 2 1 1 1 520

344 1.650 no 2 0 2 1 530

345 1.320 no 3 1 2 1 510

346 1.840 si 3 2 1 2 520

347 960 no 2 1 1 1 516

348 1.020 si 3 2 1 1 605

349 1.110 no 2 0 2 1 520

350 850 no 4 2 2 1 532

351 960 no 2 1 1 1 526

352 1.240 no 2 2 0 1 580

353 1.750 si 3 2 1 2 515

354 930 no 1 1 0 1 524

355 1.450 si 2 1 1 1 530

Tabla 13.2 CD

Población (Familias del Barrio El Futuro), estratificadas por niveles de ingreso

Estrato I. Familias con ingresos menores a $1.650 (miles de $)

No. Orden

Número Familias

Ingresos miles $

Vivienda propia

Número de personas

Trabajando

Consumo diario de

carne (grs.)

Total M F

001 003 920 no 3 1 2 1 802

002 004 1.060 si 3 1 2 1 765

003 005 1.080 no 3 2 1 1 735

004 010 800 no 3 1 2 1 892

005 012 780 si 5 3 2 1 772

006 021 830 no 2 1 1 1 813

007 022 1.630 si 1 1 0 1 753

008 024 790 si 2 0 2 1 680

009 025 790 si 3 1 2 1 620

010 028 1.140 si 4 1 3 1 832

011 032 960 si 2 1 1 1 782

012 033 790 no 7 3 4 2 620

013 034 1.260 no 2 0 2 1 630

014 035 1.040 no 1 1 0 1 580

015 036 1.450 no 2 1 1 2 580

016 037 830 si 3 1 2 1 520

017 038 1.620 si 2 1 1 2 570

018 039 860 no 1 0 1 1 510


11

019 040 950 si 3 1 2 1 520

020 041 950 no 3 1 2 1 620

021 042 1.060 no 3 1 2 1 730

022 044 760 no 4 2 2 1 520

023 047 840 si 3 1 2 1 610

024 048 840 si 4 2 2 1 610

025 049 1.350 no 1 1 0 1 590

026 051 1.250 si 2 1 1 1 750

027 054 1.050 si 3 2 1 1 780

028 057 950 si 3 1 2 1 870

029 059 840 si 3 1 2 1 630

030 060 860 no 1 0 1 1 520

031 061 1.020 si 3 1 2 2 540

032 062 1.340 no 2 1 1 1 600

033 065 790 si 3 2 1 1 600

034 068 1.350 no 3 2 1 1 770

035 069 760 no 2 1 1 1 530

036 070 790 no 1 0 1 1 550

037 071 1.260 no 3 1 2 1 580

038 072 950 si 2 1 1 1 520

039 073 980 no 3 2 1 1 560

040 075 1.350 si 6 2 4 1 600

041 077 780 no 3 2 1 1 570

042 078 820 no 2 2 0 1 520

043 082 960 no 2 1 1 1 834

044 085 1.120 si 3 1 2 1 716

045 089 1.560 si 3 2 1 1 812

046 090 1.320 no 6 2 4 2 714

047 092 960 no 4 1 3 1 775

048 094 890 si 2 1 1 1 720

049 095 1.010 no 2 1 1 1 630

050 096 1.000 no 2 0 2 2 650

051 097 1.120 si 3 1 2 1 610

052 099 1.560 no 4 3 1 1 720

053 101 960 no 2 1 1 1 520

054 102 840 no 3 1 2 1 560

055 104 1.020 no 1 1 0 1 530

056 108 950 si 2 1 1 1 578

057 111 1.110 si 3 1 2 1 620

058 113 860 no 3 2 1 1 518

059 114 840 si 4 2 2 2 514


12

060 116 980 si 2 1 1 1 516

061 118 1.130 si 4 1 3 1 620

062 124 840 no 2 1 1 1 785

063 127 1.350 no 2 2 0 1 638

064 129 1.300 si 2 1 1 1 527

065 131 780 no 2 1 1 1 516

066 132 1.260 si 3 2 1 1 520

067 136 1.020 si 2 1 1 1 816

068 137 1.340 si 3 1 2 1 515

069 138 1.160 si 2 1 1 1 516

070 140 870 no 3 1 2 2 532

071 142 1.040 si 2 1 1 1 635

072 143 1.060 no 2 0 2 1 520

073 149 890 si 3 2 1 1 520

074 151 1.060 no 2 1 1 1 522

075 153 860 si 2 1 1 1 516

076 159 1.260 no 3 1 2 1 516

077 160 880 si 2 1 1 1 508

078 162 1.140 si 2 1 1 1 600

079 163 960 no 3 2 1 1 520

080 168 1.640 no 5 2 3 2 720

081 171 1.130 no 4 2 2 1 716

082 173 860 no 2 1 1 1 510

083 174 880 no 3 1 2 2 512

084 176 880 no 4 0 4 1 520

085 177 1.010 no 2 1 1 1 606

086 179 1.630 si 3 2 1 1 605

087 182 1.030 si 2 1 1 1 563

088 186 880 no 3 1 2 1 510

089 187 1.160 si 2 1 1 1 580

090 188 1.150 si 1 0 1 1 584

091 191 1.340 si 2 1 1 1 620

092 196 950 no 3 1 2 1 515

093 197 970 no 2 1 1 1 508

094 198 990 si 3 1 2 1 506

095 212 1.620 no 2 2 0 1 536

096 215 1.130 si 6 2 4 1 700

097 216 1.140 si 2 1 1 1 520

098 217 960 si 5 2 3 1 506

099 218 930 no 2 1 1 1 516

100 223 1.630 no 5 4 1 2 650


13

101 224 1.520 no 6 2 4 2 666

102 225 1.410 si 3 1 2 1 672

103 226 1.360 si 1 1 0 1 712

104 227 990 si 2 2 0 1 520

105 228 1.040 no 3 1 2 1 542

106 229 950 si 4 1 3 1 548

107 230 980 si 2 1 1 1 560

108 231 960 no 3 1 2 1 558

109 232 1.020 si 4 2 2 1 562

110 239 850 no 4 1 3 1 520

111 242 1.450 si 2 1 1 1 632

112 245 1.620 no 4 1 3 2 600

113 246 1.130 no 4 3 1 1 586

114 247 1.050 si 2 1 1 1 584

115 251 1.120 si 3 2 1 1 521

116 252 1.080 si 4 1 3 2 716

117 254 860 no 3 1 2 1 520

118 259 980 si 3 1 2 1 601

119 262 1.140 no 2 1 1 1 613

120 268 1.050 no 2 1 1 1 516

121 269 1.130 no 3 2 1 1 510

122 270 1.260 no 4 2 2 1 520

123 275 1.050 no 4 1 3 1 512

124 276 1.010 no 4 1 3 1 520

125 277 1.010 si 3 0 3 1 506

126 280 1.280 no 1 1 0 1 516

127 281 960 si 3 1 2 1 508

128 284 1.620 no 5 2 3 2 684

129 287 1.630 si 5 2 3 2 656

130 288 1.420 si 4 1 3 2 678

131 292 790 no 3 2 1 1 509

132 295 1.360 no 3 0 3 1 805

133 300 990 si 3 1 2 1 512

134 301 1.080 no 4 2 2 1 523

135 306 1.110 si 3 2 1 1 564

136 307 1.460 si 3 2 1 1 508

137 311 1.290 no 3 2 1 1 543

138 316 1.110 no 2 2 0 1 500

139 319 1.090 no 3 1 2 1 576

140 320 1.260 no 3 1 2 1 580

141 321 950 si 2 1 1 1 520


14

142 322 980 no 3 2 1 1 560

143 324 1.350 si 6 2 4 1 600

144 326 780 no 3 2 1 1 570

145 327 820 no 2 2 0 1 520

146 331 960 no 2 1 1 1 834

147 334 1.620 si 3 1 2 1 716

148 338 980 si 2 1 1 1 516

149 339 1.550 si 3 2 1 1 582

150 340 1.320 no 6 2 4 1 714

151 341 1.230 no 3 2 1 1 605

152 342 1.150 si 4 1 3 1 580

153 343 980 no 2 1 1 1 520

154 345 1.320 no 3 1 2 1 510

155 347 960 no 2 1 1 1 516

156 348 1.020 si 3 2 1 1 605

157 349 1.110 no 2 0 2 1 520

158 350 850 no 4 2 2 1 532

159 351 960 no 2 1 1 1 526

160 352 1.240 no 2 2 0 1 580

161 354 930 no 1 1 0 1 524

162 355 1.450 si 2 1 1 1 530

Estrato II. Ingresos entre 1.650 y 2.500 (miles de $)

001 001 1.860 si 5 3 2 2 789

002 006 1.700 no 2 1 1 2 895

003 007 1.650 no 3 1 2 1 799

004 008 1.930 si 5 2 3 2 749

005 011 1.790 no 2 1 1 2 864

006 014 2.350 si 3 2 1 2 732

007 016 2.060 si 3 1 2 1 824

008 017 2.000 si 3 1 2 1 804

009 018 1.790 no 4 2 2 1 767

010 019 2.060 no 5 1 4 2 760

011 020 2.250 no 3 1 2 2 842

012 023 1.790 no 2 1 1 2 723

013 026 1.820 no 6 3 3 2 816

014 030 2.100 no 4 2 2 3 714

015 031 2.250 si 3 1 2 2 852

016 043 1.840 no 5 2 3 2 780


15

017 045 1.920 si 2 1 1 2 630

018 046 2.130 si 2 1 1 2 850

019 050 1.760 si 3 1 2 2 630

020 053 1.880 no 3 1 2 2 880

021 055 1.730 si 4 1 3 2 560

022 058 1.870 no 2 2 0 2 520

023 064 1.860 no 6 1 5 2 720

024 066 2.140 si 5 2 3 3 540

025 067 1.830 si 4 1 3 2 810

026 074 2.360 si 4 2 2 2 716

027 076 1.840 no 5 1 4 2 620

028 083 2.050 si 3 2 1 2 630

029 084 2.130 si 5 2 3 2 610

030 086 2.420 si 3 1 2 1 760

031 087 2.060 si 5 1 4 2 780

032 093 1.860 si 5 2 3 2 757

033 098 2.140 si 4 2 2 2 660

034 100 2.020 si 3 1 2 2 680

035 103 1.930 si 4 2 2 2 520

036 105 1.960 si 2 1 1 2 650

037 106 2.140 si 6 2 4 2 520

038 107 1.860 no 3 1 2 2 570

039 109 1.720 si 4 2 2 2 580

040 110 2.310 no 5 2 3 2 590

041 117 2.020 no 3 2 1 2 570

042 119 2.450 si 5 2 3 2 636

043 123 1.870 si 3 1 2 2 786

044 125 2.020 no 4 1 3 2 516

045 126 2.260 no 4 2 2 2 634

046 128 2.320 no 3 1 2 2 520

047 130 1.860 no 3 1 2 2 586

048 133 1.940 si 4 3 1 1 536

049 134 2.060 si 5 2 3 2 636

050 139 1.840 no 3 2 1 2 520

051 141 1.880 si 4 1 3 2 630

052 144 1.880 no 3 1 2 2 560

053 145 1.650 si 4 2 2 2 580

054 148 1.860 si 4 1 3 2 640

055 150 1.950 no 4 2 2 2 636

056 152 2.080 no 3 1 2 2 636

057 154 1.840 no 3 1 2 2 732


16

058 155 2.060 si 1 1 0 1 806

059 157 1.860 no 4 2 2 2 735

060 158 1.890 si 2 1 1 2 738

061 161 1.860 no 4 1 3 2 630

062 164 1.870 no 5 2 3 2 580

063 165 1.860 no 2 1 1 2 586

064 167 2.060 si 4 1 3 2 712

065 172 1.950 si 2 0 2 2 718

066 175 1.860 si 3 1 2 2 512

067 178 2060 no 3 2 1 2 803

068 180 1.840 no 2 1 1 1 596

069 189 1.980 no 3 0 3 2 636

070 190 2.360 no 4 2 2 2 814

071 192 2.450 si 3 1 2 2 712

072 199 2.260 si 4 1 3 2 514

073 200 1.830 no 2 1 1 1 630

074 201 1.850 si 3 1 2 2 650

075 202 1.960 si 2 1 1 1 642

076 204 2.140 si 4 2 2 2 716

077 206 2.140 no 5 3 2 2 752

078 207 1.750 si 2 0 2 1 684

079 211 2.060 no 5 1 4 2 744

080 213 1.860 no 3 2 1 1 716

081 219 2.150 no 3 1 2 2 613

082 221 1.860 si 4 2 2 2 636

083 222 2.120 si 2 1 1 2 680

084 233 2.130 no 2 1 1 2 616

085 234 2.150 no 3 1 2 2 630

086 236 1.720 no 5 3 2 2 684

087 237 1.830 no 2 1 1 2 586

088 238 1.960 no 3 1 2 3 584

089 240 2.140 si 2 1 1 2 601

090 241 2.460 no 3 1 2 2 608

091 243 1.830 si 3 0 3 2 636

092 244 2.260 si 4 2 2 2 650

093 248 1.980 si 3 1 2 2 586

094 249 1.990 no 4 2 2 2 532

095 250 2.060 no 2 1 1 2 616

096 253 1.930 si 2 0 2 2 650

097 255 1.950 no 2 0 2 2 616

098 256 2.140 no 2 0 2 2 684


17

099 258 1.950 no 5 2 3 2 624

100 260 2.260 si 5 2 3 2 712

101 263 1.930 no 3 0 3 2 626

102 264 1.850 si 5 2 3 2 650

103 266 1.820 no 3 1 2 1 760

104 267 1.880 si 3 2 1 2 731

105 271 2.500 si 5 1 4 2 636

106 278 2.080 no 2 2 0 2 603

107 282 1.840 no 5 2 3 2 700

108 283 1.880 no 4 2 2 2 705

109 285 2.120 si 6 1 5 2 703

110 286 1.950 si 5 1 4 2 710

111 291 2.050 si 4 2 2 2 734

112 293 1.860 si 3 1 2 2 638

113 296 1.850 no 3 2 1 2 781

114 297 1.760 si 4 2 2 2 629

115 298 1.920 si 5 3 2 2 732

116 302 1.730 no 3 1 2 2 612

117 308 1.900 no 2 0 2 2 666

118 309 1.660 si 2 1 1 2 578

119 310 2.390 si 6 2 4 3 598

120 312 1.890 no 4 3 1 2 576

121 313 2.180 no 5 2 3 3 687

122 317 1.690 no 2 0 2 2 515

123 318 1.760 si 2 1 1 1 543

124 323 2.360 si 4 2 2 2 716

125 325 1.840 no 5 1 4 2 620

126 332 2.050 si 3 2 1 2 630

127 333 2.130 si 5 2 3 2 610

128 335 2.420 si 3 1 2 2 760

129 336 2.060 si 5 1 4 2 780

130 344 1.650 no 2 0 2 1 530

131 346 1.840 si 3 2 1 2 520

132 353 1.750 si 3 2 1 2 515

Estrato III. Ingresos superiores a $2500 (miles de $)

01 002 3.840 no 6 2 4 3 807

02 009 2.820 no 4 2 2 3 742

03 013 3.060 si 5 4 1 3 804


18

04 015 3.420 no 4 1 3 3 743

05 027 3.130 no 5 2 3 3 868

06 029 2.600 si 4 2 2 2 752

07 052 3.860 no 5 2 3 3 750

08 056 2.620 si 5 2 3 2 620

09 063 3.950 no 5 2 3 3 680

10 079 2.860 si 3 1 2 3 510

11 080 2.890 no 4 2 2 2 770

12 081 2.870 no 4 1 3 2 810

13 088 2.850 no 4 3 1 3 801

14 091 3.140 no 3 1 2 3 612

15 112 2.620 si 2 1 1 2 616

16 115 3.960 no 6 2 4 3 520

17 120 3.630 no 3 3 0 3 636

18 121 3.230 si 7 2 0 3 744

19 122 4.960 si 6 2 4 4 700

20 135 3.870 no 4 1 3 2 735

21 146 3.420 si 5 2 3 3 626

22 147 3.320 si 3 1 2 3 635

23 156 2.730 si 3 1 2 2 816

24 166 2.880 si 3 2 1 3 635

25 169 2.680 si 2 1 1 2 760

26 170 2.700 si 3 1 2 2 812

27 181 3.960 si 4 1 3 2 520

28 183 2.960 no 5 2 3 3 548

29 184 2.870 si 3 1 2 2 555

30 185 2.840 no 2 1 1 2 730

31 193 3.210 no 4 2 2 2 806

32 194 3.240 si 2 1 1 2 794

33 195 3.860 no 5 2 3 3 812

34 203 3.620 si 3 2 1 3 684

35 205 3.320 si 6 3 3 3 750

36 208 3.890 no 3 1 2 3 802

37 209 2.970 no 3 1 2 2 794

38 210 2.990 no 4 2 2 2 755

39 214 2.620 si 4 3 1 2 777

40 220 2.620 no 3 2 1 2 624

41 235 3.790 si 6 2 4 3 642

42 257 2.960 no 3 1 2 2 684

43 261 3.280 no 5 2 3 2 802

44 265 3.860 si 3 1 2 3 830


19

45 272 2.610 si 2 1 1 2 651

46 273 2.930 si 3 1 2 2 686

47 274 2.960 si 4 2 2 2 680

48 279 3.260 si 3 1 2 2 799

49 289 2.860 no 3 1 2 2 592

50 290 2.980 no 3 2 1 2 600

51 294 2.880 si 2 1 1 2 724

52 299 3.350 si 4 1 3 3 814

53 303 3.460 si 4 1 3 3 718

54 304 2.790 si 6 4 2 2 687

55 305 2.960 no 2 1 1 2 555

56 314 3.290 si 6 3 3 3 768

57 315 2.860 si 5 2 3 3 756

58 328 2.860 si 3 1 2 3 510

59 329 2.890 no 4 2 2 2 770

60 330 2.870 no 4 1 3 2 810

61 337 2.850 no 4 2 2 1 801

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Falso d) Falso e) Cierto f) Cierto g) Falso 2. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Falso d) Falso e) Cierto f) Cierto g) Falso 3. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Cierto d) Cierto e) Falso f) Cierto g) Cierto 4. Solución:


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a) Sistemático b) Sistemático c) No aleatorio (intencional) d) Aleatorio simple e) Estratificado (asignación igual) 5. Solución: a) Sistemático b) Estratificado c) Voluntaria 6. Solución: a) No aleatorio b) No aleatorio c) No aleatorio d) No aleatorio e) Aleatorio 7. Solución: Si ordenamos las compras almacenadas por días o semanas de menor a mayor, haríamos una selección sistemática. De esta manera, en la muestra quedarían representados cada uno de las variaciones en la cantidad almacenada, por día o semana, al no ser así, es decir, cuando la variabilidad es muy poca deberíamos usar el muestreo aleatorio simple. 8. Solución: a) En el M.A.S. tendríamos la totalidad de los alumnos matriculados sin ordenarlos por

cursos o por jornadas, conformando una población; luego hacemos un listado de los estudiantes siendo enumerados desde 001 hasta N. De esta población seleccionamos un determinado número de alumnos, de acuerdo con el tamaño muestral establecido. La selección es al azar.

b) Primero seleccionamos una muestra de facultades, pues nuestra población esta

constituida por el total de ellas que tenga la universidad. La segunda etapa, es una selección de cursos por cada facultad seleccionada; la tercera etapa, consiste en una selección de un determinado número de alumnos por curso.

c) Fijamos carteles en lugares donde el alumno se entere y deposite el formulario que

ha sido previamente diligenciado. En este caso el alumno en forma voluntaria colabora en la investigación.

d) Cada facultad se constituye en población de la cual, se extrae una muestra cuyo

tamaño será proporcional al tamaño poblacional. También podremos tener la


21

población de alumnos por facultad distribuidos por cursos y haríamos una selección al azar, proporcional al número de alumnos por cursos.

Nota: lo hubiéramos podido hacer como lo pide el ejercicio partiendo de 240 semestres, nos faltaría suponer el número de alumnos por cursos, por ejemplo, un promedio de 30 alumnos por curso, dando como resultado un total de 7.200 alumnos matriculados en la universidad. 9. Solución: Muestreo aleatorio estratificado – debemos clasificar las cuentas según su valor, en dos, tres o más grupos sub-poblaciones y luego seleccionamos muestras aleatorias de cada grupo de cuentas según su valor. Muestreo por conglomerados. Distribuimos las cuentas en varios grupos o conglomerados, de tal manera que cada uno de ellos tenga un número de cuentas con diferentes valores, de tal manera que cada grupo sea una réplica de la población. Enumeramos los conglomerados constituidos y seleccionamos uno de ellos al azar como la muestra que será estudiada. Muestreo sistemático. Ordenamos las cuentas según valor, de menor a mayor y luego seleccionamos, el número de cuentas que conformarán la muestra, a intervalos regulares por ejemplo: de cuatro en cuatro cuentas. Muestreo por conglomerados en dos etapas. Nuestra primera población son los departamentos en que está dividida la empresa comercial, seleccionando como muestra algunos de los departamentos, constituyéndose en la primera etapa; luego, en cada departamento hacemos un listado de cuentas; luego se procede a una segunda selección o segunda etapa. 10. Solución:

• Primero: Es posible que los nombres de los que habitan (jefe de hogar o propietarios) se encuentren desactualizados. Segundo: puede ser que el directorio esté incompleto, es decir, no incluye todas las viviendas o direcciones.

• La actualización y correcciones deben hacerse en la etapa de preparación de la

investigación y no cuando se está realizando la encuesta.

• Es preferible considerar la lista de direcciones como marco, ya que la actualización es mucho más rápida. La selección de uno de ellos, se dará de acuerdo al tipo de investigación que se va a realizar, dependiendo del objetivo establecido.


22

11. Solución: a) En algunos casos se utiliza el teléfono, hoy en día hay sistemas más sofisticados,

mejorando el procedimiento de recolección de información. b) El Fax, Internet o celular, hoy en día, sustituyen el método de correo, sistema que

frecuentemente era utilizado. c) El más indicado es la entrevista, donde se puede utilizar un cuestionario y de esta

forma, recoger más opiniones o reacciones sobre el programa. d) Se puede hacer la investigación puerta a puerta o diseñar una muestra que nos

permita comprobar la información. 12. Solución: Hay varios procedimientos, uno de ellos sería la selección de hogares y realizar la recolección mediante entrevistas. Para ello iniciamos con selección de zonas, luego barrios, manzanas y finalmente hogares. Sin embargo la aplicación del método de observación directa, entrevistando a los compradores en los supermercados y administradores o dueños de los negocios que venden el nuevo producto. 13. Solución: Sería un ejemplo de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en el caso que se tenga un listado de establecimientos donde se vende el producto, sin estar organizado por ciudades o volumen de ventas. En nuestro caso no lo es. Un muestreo aleatorio estaría dado, si clasificamos los establecimientos por volumen de ventas; por número de empleados; por área etc. En este caso no se cumple. Nos quedamos con el método de muestreo por conglomerados en dos etapas, ya que tenemos dos poblaciones y por lo tanto dos selecciones. Primero ciudades y luego establecimientos. 14. Solución: Es difícil realizar un marco de unidades, pues en este caso es casi imposible la elaboración de un listado de vehículos. Se debe establecer si son automóviles particulares y/o de servicio público. Luego debería seleccionar los puntos de observación en la ciudad, para aplicar un muestreo sistemático, es decir, parar de cada 5 vehículos, que transiten uno de ellos, para examinar el estado de sus llantas.


23

15. Solución:

a)

( )

==

=±=

±=

%5656,0

%7474,0

100

35,065,096,165,0ˆ

ˆ

P

n

pqZpP

b) Mujeres que llegan a un puesto de ventas en un centro comercial, durante un cierto

período de tiempo. c) No. Es una muestra con selección sistemática. d) Es el método de muestreo más conveniente en este caso. 16. Solución: Se está relacionando dos variables: el volumen de venta y el costo de publicidad del cual se espera genere más ventas. Se puede estimar el volumen de ventas en relación a un determinado costo de publicidad, por lo tanto necesitamos información tanto de ventas como los costos en publicidad. 17. Solución: a1) La diferencia principal consiste, en que, primero la variable a investigar debe estar

ordenada de menor a mayor en el caso de ventas por ejemplo, y segundo deben estar totalmente desordenados y con poca variabilidad.

a2) El muestreo de criterio. El investigador fija cuales son los elementos que deben ser

considerados en la muestra, es un muestreo intencional u opinático. El de cuotas, a cada encuestador se le da un determinado número de unidades o elementos, que pueden estar divididas, por ejemplo, la mitad ser hombres y la otra mitad mujeres. El de conveniencia es el mismo voluntario, la persona suministra los datos sin hacerle seguimiento.

b) Cuando la población es infinita o muy grande; cuando la característica tiende a ser

homogénea; costo; tiempo; recursos de personal; destrucción del elemento y la finalidad de la investigación.

c) El objetivo principal del muestreo es el de obtener la mayor cantidad de información

con el menor costo posible.


24

d) Aumentar el tamaño de la muestra; sustituir el elemento que no se entrevistó por el siguiente que informó, y que debería encontrarse seleccionado; seleccionar dentro de los que informaron un número igual a aquellos que no lo hicieron y se duplican los datos; seleccionar un número igual a aquellos que no informaron, dentro de la población que no quedó incluida en la muestra.

18. Solución: a) Las poblaciones son: barrios; manzanas; viviendas y personas que las habitan. b) Se tendrán varios marcos, primero elabora un listado de barrios, luego de manzanas

que fueron seleccionadas y finalmente de las viviendas seleccionadas y se entrevista a las personas de esa vivienda.

c) Barrios, manzanas, viviendas, personas dentro de la vivienda d) Muestreo por etapas; (c) afiliación al servicio médico; edades; sexo; enfermedades

comunes en el grupo, etc. f) Total de afiliados; promedio de edad; proporción de hombres y mujeres; proporción

de las enfermedades más comunes al grupo. 19. Solución: a) Mi población a seleccionar en la primera etapa son manzanas, de éstas se

seleccionaron 10; luego en la segunda etapa se tendrá una población de 100 casas, de las cuales se seleccionarán 20.

b) En el muestreo aleatorio simple, la población estará constituida por 400 casas y la

muestra será de 20 casas. 20. Solución: Siendo la clasificación del menor hasta el de mayor ingreso se debe utilizar el muestreo sistemático. Si formamos grupos cada uno con diferentes niveles de ingresos, se aplicará el método estratificado. En el irrestricto o muestreo aleatorio simple, se debe tener la población de ingresos en forma desordenada y por otra parte existir poca variabilidad en los niveles de ingresos. 21. Solución: a) Utilizaríamos el muestreo sistemático


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b) En este caso, lo más indicado es el muestreo aleatorio simple c) Debe haber un sistemático y la idea que nos da, es ser de un muestreo de dos etapas (bietápico).

TAMAÑO DE LA MUESTRA (Muestreo aleatorio simple)

22. Solución: a) ( ) 68,34608,0 ==E 600.12 =s %95=p 2=Z 40=s 200.2=N

+=

12

22 21

nE

sZno

( )22,496

40

21

68,3

600.122

2

=

+

=on

N

nn

no

o

+=

1 hatosnn 405

200.2

22,4961

22,496 ≅=+

=

b) ( ) 6,2734508,0 ==E 700.92 =s 2=Z 200.2=N

( )

48,5340

21

6,27

700.922

2

=

+

=on hatosn 53

200.2

48,531

48,53 ≅+

=

c) %808,0 ==E 2=Z ( )4,06,02 == PQsp 200.2=N %606,0 ==P

+=

12

2 21

nE

PQZno

( ) ( )5,157

402

108,0

4,06,022

2

=

+

=on

hatosn 147

200.2

5,1571

5,157 ≅+

=

d) El tamaño de la muestra óptima deberá ser el resultado del aparte (a), donde n = 405

hatos, puesto que es el mayor valor calculado. 23. Solución 096.8=E 2=Z 200.2=N 600.12 =s


26

+

=

12

222 21

nE

sNZno

( ) ( ) [ ] 22,49605,1096.8

600.1200.222

22

=

=on

hatosn 405

200.2

22,4961

22,496 ≅+

=

Nota: el resultado es exactamente igual al obtenido en el problema No. 22 aparte a. 24. Solución: a) 250=s 500.622 =s 24=E 96,1=Z

+

=

12

22 21

nE

SZn

( )familiasn 428

80

21

24

500.6296,12

2

≅

+

=

b) 200.1=N

N

nn

no

o

+=

1

26,427=on familiasn 315

200.1

26,4271

26,427 ≅+

=

25. Solución:

a) 7,0903 =6=p 30,0=q 96,1=Z 02,0=E

+=

12

2 21

nE

PQZno

( )( )21,061.2

90

21

02,0

3,07,096,12

2

=

+

=⇒ on

N

nn

no

o

+=

1 tarjetasoafiliadosn 711.1

050.10

21,061.21

21,061.2 ≅+

=⇒

b) 55,555.2690

000.390.2 ==x gasto promedio mensual

000.000.16000.4 2 =⇒= ss ( ) 11,53155,555.2602,0 ==E


27

( ) [ ] 69,222022,111,531

000.496,12

22

=

=on

218

050.10

69,2221

69,222 ≅+

=n tarjetas o afiliados

c) [ ] ( ) [ ] 64,222022,15,655.537.5

000.4050.1096,1022,1

222

2

222

=

×=

=

E

SNZno

tarjetasn 218

050.10

64,2221

64,222 =+

= ( ) 5,655.537.511,531050.10 ==E

Este es el procedimiento cuando trabajamos con totales d) El tamaño óptimo debería ser 1.711 tarjetas, por ser el mayor de todos 26. Solución: a) Falso b) Cierto c) Falso d) Falso e) Falso 27. Solución:

8,8ˆ =R 8=n 2,387=∑ iy 36,973.182 =∑ iy

∑ = 44ix ∑ = 2542

ix

6,164.2=∑ ii yx 5,5=x

8,844

2,387ˆ ==R

( )( ) ( ) ( )

+−

±=

72548,86,164.28,8236,973.18

5,58

1365,28,8ˆ

2

lSR

Nº Nº personas Ventas 1 4 37,8 2 5 49,6 3 8 51,4 4 6 51,4 5 6 48,6 6 4 41,4 7 6 53,6 8 5 53,4


28

( )

=±=45.7

15,1057,0365,28,8ˆ

lSR

( ) 992720.330

8 =

=N Establecimientos considerados como almacenes

( ) 456.55,59921 ==N Personas que trabajan en los establecimientos considerados como

almacenes

( ) ( ) ( )

=±=03,693.40

57,332.5512,3992365,28,8456.5ˆ

iSRY (miles de $)

5,5844 === ∑

n

yy i

[ ]

−+−

= ∑ ∑ ∑1

ˆˆ21ˆ222

n

xRxyRy

nV iiii

yR

[ ] [ ] 7529,90236,788

1ˆ =

=RyV

error de estimación

28. Solución:

20,0306 ==p

( ) ( )

=−−

±=%5

%35

720.330

11308,02,0

04,22,0ÎSP

( ) ( ) ( )

=±=182

305.1074,0720.304,22,0720.3ˆ

ISA establecimientos

Otro método que se podría aplicar es:

50,012

6 ==p

[ ] 12,3ˆ =RyV


29

( ) ( )

==

=−±=%1717,0

%8383,0

720.330

111

5,05,0201,250,0ˆ

ISP

29. Solución:

Estimación

a) 37,059

22 ===∑∑

i

i

m

ap

53,030

161 ==p

69,3=m TotalmN = ( ) ( ) 6,971.153,0720.3 = (Establecimientos)

( ) 2,275.769,36,971.1 = (Total trabajadores) 22=∑ ia 402 =∑ ia

59=∑ im 2492 =∑ im

93=∑ ii ma

( )( ) ( )

=

−+−

±=

284,0

456,0

116

24937,09337,0240

)69.3(16

11315,237,0ˆ

2

ISP

%4,28

%6,45

==

I

S

P

P (Proporción de hombres que trabajan)

( ) ( )

=±=066.2

318.3086,0275.7275.737,0ˆ

ISA (Total de hombres que trabajan)

Totales (otro método)

( )

=±=−

−

±

=472.1

984.3256.1728.2720.3

720.330

13029

30

223040

045,23022

720.3ˆ

2

ISX

No. Total Hombres Mujeres 1 4 2 2 2 3 1 2 3 3 0 3 4 6 2 4 5 5 3 2 6 4 2 2 7 6 2 4 8 2 1 1 9 3 1 2

10 4 1 3 11 6 2 4 12 2 1 1 13 3 2 1 14 2 0 2 15 4 1 3 16 2 1 1

Total hombres que trabajan


30

30. Solución: Estime el promedio y total de ventas por empleado.

==∑ 039.1ia ∑ iy ==∑ 770.392ia ∑ 2

iy

==∑ 108im ∑ ix ==∑ 4662im ∑ 2

ix

==∑ 198.4ii ma ii yx∑ 6,3=m 8,3=X 6,3=x

empleadopersonal

ventas

x

yR

i

i $ˆ ==∑∑ 62,9

108

8,039.1ˆ ≅=R (Mill.$ de pesos por empleado)

( )( ) ( ) ( )

=±=

+−

−

±

=73,8

66,1089,062,9

2946662.9198.462,92770.39

6,330720.330

1045,2

3022

62,9ˆ2

ISR

(Millones de pesos por empleado)

Nota: se trabajó con la calculadora en el programa de estadística

( ) ( ) ( ) ( )

=±=78,120.124

86,855.147045,256,1720.38,3720.362,9ˆ

ISRY (Total)

Nota: los cuadros con líneas punteadas, índica el equivalente en la calculadora. 31. Solución:

55,010859 ≅==

∑∑

i

i

m

ap 6,3

30

108 === ∑n

mm i 6,3=m

59=∑ ia 108=∑ im 2072 =∑ ia 4662 =∑ im 282=∑ ii ma

1

21ˆ222

−+−−

±= ∑ ∑∑n

mpmapa

mn

ftpP iiii

IS

( ) ( ) ( )

=±=

−+−±=

%43

%6712,055,0

13046655,028255,02207

6,330

1045,255,0ˆ

2

ISP

[ ]pIS VtNpNA ˆˆ

11 ±= ( ) 392.1360,3720.31 === mNN


31

( ) ( )( )

≅≅=±=

722.54,722.5009.98,008.9

392.1306,0045,255,0392.13ÎSA Personas afiliadas

32. Solución:

empleadopersonalNo

mujeresNop

..= 6,0

10865 ≅==

∑∑

i

i

m

ap 6,3

30108 ==m

65=∑ ia 1932 =∑ ia 108=∑ im 4662 =∑ im 289=∑ ii ma

( ) ( ) ( )%53%67

53,067,007,06,0

294666,02896,02193

6,3301045,26,0ˆ

2

==

=±=

+−±=ISP

empleadasmujeres

( ) ( )( )

≅≅

=±=077.762,076.7

994.873,993.8392.13035,0045,26,0392.13ˆ

ISA Mujeres empleadas

33. Solución: Mediante la regresión lineal, estimar el promedio y total de ventas semanales por empleado, sabiendo que el promedio de empleados por establecimiento es de 3.8.

108=∑ x 4662 =∑ x 8,039.1=∑ y 770.392 =∑ y

6,3=x 66,34=y ∑ = 198.4xy 30=n

57,22 =xs 66,22 =xs (Corregida)

35,1242 =ys 63,1282 =ys (Corregida)

6,1=xs 63,1=xs (Corregida)

15,11=ys 34,11=ys (Corregida)

y = ventas (miles de $ semanales) ; x = personal empleado Nota: se trabajó en la calculadora con el programa de estadística

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 89,5

10846630

8,039.1108198.430222

=−

−=

−−

=∑∑

∑ ∑∑

xxn

yxxynb


32

( )( )

( )89,5

6,330466

66,346,330198.4222

=−

−=−−=

∑∑

xnx

yxnxyb

( )

456,1330

10889,58,039.1 =−=−= ∑ ∑n

xbyc

cXbYRL +=ˆ ( ) 838,35456,138,389,5ˆ =+=RLY

( ) yxXbYRL +−=ˆ ( ) 838,3566,346,38,389,5ˆ =+−=RLY (promedio)

cbXYRL +=ˆ ( ) 136.148,3720.3ˆ === XNX (total) ( ) 392.136,3720.3ˆ === xNX Total de empleados ( ) 32,056.50456,13720.3 ==c ( ) 36,317.13332,056.50136.1489,5ˆ =+=RLY

( ) yxXbYRL +−=ˆ ( ) 2,935.12866,34720.3ˆ === yNY (miles de $) (total) ( ) 36,317.1332,935.128392.13136.1489,5ˆ =+−=RLY (mill de $)

[ ]222

ˆ 21ˆ

xxyyy sbbmsn

fV

RL+−

−=

( ) 16,1566,346,330

198.4 =−=−= ∑ yxn

xymxy

[ ] ( ) ( ) ( ) 08,157,289,516,1589,5235,12430

720.3

301

ˆ 2 =+−−

=RLyV Error estándar de

estimación. Si trabajamos con las varianzas sin corregir.

( ) ( ) 67,063,12866,2

16,15 2

22

22 ===

yx

xy

ss

mr (Calculado con varianzas corregidas)

( ) ( ) 72,035,12457,2

16,15 2

22

2

2 ===yx

xy

ss

mr (Con varianzas sin corregir)


33

[ ] ( )[ ] 20,172,0163,128301ˆ =−

=

RLyV

[ ] 09,120,1ˆ ==RLyV (Error estándar de estimación)

34. Solución: Estimar el total de ventas semanales (miles $) para los establecimientos que aparecen con actividad comercial “tienda”.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ

Ventas semanales

28,4 19,6 27,4 23,6 42,5 30,6 31,4 38,4 19,3 42,5 32,8 32,5 369,0

∑ =369ix ∑ = 4,012.122ix

( ) 008,0130

13030369304,012.12

720.3045,230369720.3ˆ

2

−−

−

±

=

ISX

( )

=±=±=50,550.23

15,961.675,205.22756.459959,0296.22756.45ˆ

ISX (Mill de $)

35. Solución: a) Proporción de mujeres:

∑

∑∑∑ ==

personasdeNo

mujeres

m

ap

i

i

. 34,3

35117 ==m 52,0

11761 ===

∑∑

i

i

m

ap

1

21

ˆ222

−+−−

±= ∑∑ ∑n

mpmapa

mnN

n

ZpP iiii

( )( ) ( ) ( )

135

44305228,252,02137

34,335000.15

351

96,152,0ˆ2

−+−−

±=P


34

==

±=%2525,0

%7979,027,052,0P Mujeres

b) Promedio de personas: 34,335

117 === ∑n

xx i

( )

55,1135

34,335443

1

2222 =

−−

=−−

= ∑n

xnxs i 24,155,1 ==s

( )

±=

±=−±=

93,2

75,341,034,31

35

24,196,134,31ˆ

N

n

n

sZxX Personas por familia

c) Total de propietarios de vivienda: 46,03516 === ∑

n

ap i

N

n

n

pqZNNp −±= 1A

( ) ( ) ( ) ( )

±=±=423.4

377.9477.2900.61

35

54,046,0000.1596,146,0000.15A

Total propietarios de vivienda

d) Número de personas que visitan al odontólogo: 29,011734 ===

∑∑

i

i

m

ap

1

21

A222

−+−−

±= ∑∑ ∑n

mpmapa

n

N

n

ZNMp iiii

( ) 100.5034,3000.15 === mNM

( ) ( ) ( ) ( ) ( )135

44329,012629,0262

35

1000.1596,129,0100.50A

2

−+−

±=

±=169.10

889.18360.4529.14A Personas que visitaron al odontólogo


35

36. Solución:

dentistaalvisitaronquepersonas

médicoalvisitaronquepersonasRazón=

x

y

x

yR

i

i ==∑∑ˆ 44,1

3449ˆ ===

∑∑

i

i

x

yR

1

ˆˆ21

ˆ222

−+−−

±

= ∑∑ ∑n

xRxyRy

xnN

n

Zx

yR iiii

( )( ) ( ) ( )

135

6244,15944,12147

97,035

196,144,1ˆ

2

−+−±=R

±=84,0

04,26,044,1R Relación de personas

b) 42,04188,0117

49 ≅===∑∑

i

i

m

ap ; El 42% visitaron al médico

1

21

ˆ222

−+−−

±= ∑∑ ∑n

mpmapa

mnN

n

ZpP iiii 34,335

117 ==m

== m34,3 promedio de personas por familia (vivienda)

( )( )( ) ( )

135

44342,019542,02147

34,335

196,142,0ˆ

2

−+−±=P

==

±=%2929,0

%5555,013,042,0P Porcentaje de personas que visitaron al médico durante el período

c) Se deja al estudiante la solución de este punto 37. Solución:

10=n 202=∑ ix ∑ = 190.42ix 2,20=x

18,122 =s 49,3=s

a) El estimador puntual es 2,20=x punto medio de ruptura.


36

b) n

stxX ±=ˆ

±=

±=

7,17

7,225,22,20

10

49,3262,22,20X punto medio de ruptura

%95=P 91 =−= nυ 05,0=α

c) 1) 22

220

<===

µµ

aH

H

n

sx

tµ−=

2) 01,0=α 3) 49,3=s

63,1

10

49,3222,20 −=−=t

Como 63,1−=t cae en la zona de aceptación, se puede afirmar al nivel del 1% que estos resultados no son inferiores a los señalados por la empresa. d) Hay error de tipo II, ya que estamos aceptando que 22=µ , cuando en realidad 22≠µ amperios, por lo tanto estamos aceptando algo falso. 38. Solución:

a) 5,340

140 ===∑n

xx i Número de personas por familia

(datos sin agrupar)

5,340

140 === ∑n

nyy ii (Estimador puntual)

(datos agrupados)

Falta por resolver b) y c), se deja al estudiante hacerlos.

iy in ii ny ii ny2

1 2 2 2 2 6 12 24 3 14 42 126 4 11 44 176 5 3 15 75 6 3 18 108 7 1 7 49 Σ 40 140 560

iX if ii fX ii fX 2


37

39. Solución:

36=N 53,1342 =σ 96,1=Z 2±=E

( ) ( )( ) ( ) 1229

81,66018,605.18

53,13496,1236

53,13496,13622

2

≠==+

=n estantes

Se necesitan 29 estantes y no 12 como sostiene el asesor. 40. Solución:

000.7=N 700=n 480=∑ ia 6857,0700

480 ==p ⇒ 69,0=p

N

n

n

pqtpP −±= 1ˆ

( )

±=−±=65,0

73,004,069,0

000.7

7001

700

31,069,057,269,0P

El estimador puntual es: %57,68ˆ == pP 41. Solución:

2

2

222 89,7

20

20

13520069.1

σ=≅

−=

−= ∑

N

YNYS i

a) ( ) ( )

( ) ( ) valoresn 631,11020,606

89,796,1220

89,796,12022

2

≅=+

=

b)

6=n 52=∑ ix 4722 =∑ ix

07,2=s 67,8=x

±=

±=50,6

84,1017,267,8

6

07,2571,267,8X

( ) ( )

±=

±=0,130

8,216434,173

6

07,220571,267,820X

No. aleatorio ix 13 8 02 8 08 8 16 12 05 10 12 6


38

42. Solución: a) Colegios públicos:

253468100

5448,37

54

024.246,15

024.2

281.31ˆ =

===≅==∑∑ Nx

x

yR

i

i Colegios públicos

( ) ( )( ) ( ) ( )

±=−

+−−±=

97,13

95,1649,146,15

154

090.11146.15349.729.146,152219.881.29

48,3754253

541

96,146,15ˆ2

R

Entre 14 y 17 alumnos por profesor, es la relación en los colegios públicos. b) Colegios privados:

215468100

4637,23

46

075.175,12

075.1

707.13ˆ =

===≅==∑∑ Nx

x

yR

i

i Colegios privados

( ) ( )( ) ( ) ( )

±=−

+−−±=

33,11

17,1442,175,12

154

119.3375,12041.43175,122785.366.6

37,2346215

461

96,175,12ˆ2

R

Entre 11 y 14 alumnos por profesor, es la relación en los colegios privados. 43. Solución:

6,0300180

180120300300000.10 ====−=== ∑∑n

apanN i

i

a) N

n

n

pqZpP −±= 1ˆ

( ) ( )000.10

3001

300

4,06,064,16,0ˆ −±=P

==

±=%5555,0

%6565,005,06,0P % empleados que tienen aptitudes

b) ( ) ( )

±=±=500.5

500.6500000.605,0000.106,0000.10A Empleados que tienen aptitudes


39

44. Solución:

65,240

106 === ∑n

nyy ii ( )

67,7140

65,240580 22 ≅−

−=s 77,267,7 ==s

Aproximadamente 3 caries por alumno

a) ( ) ( )300

401

40

77,230096,165,23001ˆ −±=−±=

N

n

n

sZNyNY

±=555

035.1240795Y Total caries de los 300 estudiantes

b) ( )

300

401

40

9,010,096,110,0ˆ −±=P

±=01,0

19,009,010,0P Proporción de mujeres sin caries

c) 10,040

4 === ∑n

ap i

38,040

15 === ∑n

ap i

iy in ii ny ii ny2

0 12 0 0 1 6 6 6 2 8 16 32 3 2 6 18 4 2 8 32 5 3 15 45 6 2 12 72 7 1 7 49 8 1 8 64 9 2 18 162

10 1 10 100 Σ 40 106 580

iX if ii fX ii fX 2


40

c) ( ) ( ) ( )

±=−±=72

15642114

300

401

40

62,038,030096,138,0300A Total de varones con caries

Nota: podríamos considerar en la pregunta del punto (b), se hace referencia a la proporción de niñas (dentro del total de 17 niñas) que no tienen caries; algo similar sucede con el punto (c), sobre el total de niños (dentro del total de 23 varones con caries). En ambos casos, el tratamiento sería de “dominio de estudio”.

24,0174 === ∑

n

ap i

N

n

n

qptpP −

−±= 1

1ˆ

( ) ( )

±=−−

±=03,0

45,021,024,0

30040

111776,024,0

120,224,0P

65,02315 === ∑

n

ap i

N

n

n

qptNNpA −

−±= 1

1ˆ

( ) 11430038,038,04015 ==⇒== Np varones en la población

45. Solución: a) Número de varones sin caries:

( ) ( ) ( )( )

±=−−

±=52

962274

11423

112335,065,0

114074,265,0114A

b) 222

22

sZNE

sNZn

+=

( ) ( )( ) ( )

niñosn 746,229.1

52,839.8

67,796,12300

67,796,130022

2

==+

=

PQZNE

PQNZn

22

2

+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

niñosn 8973,2

02,242

7,003,096,108,0300

7,03,096,130022

2

==+

=


41

46. Solución:

55,050096924020 22 ====== ∑∑∑∑ Covyyxxn iiii

96,16,097,292,08,42203 22 =======∑ yxii sscbyxyx

Las varianzas no fueron corregidas, ya que los cálculos se hicieron con calculadora. a) ( ) ( ) 58,48,42292,0 ≅=+−=+−= yxXbyRL familias por vehículo. 2222 2 xyyx sbCovbss +−= ( ) ( ) ( ) 46,16,092,055,092,0296,1 22 =+−=yxs

21,146,1 ==yxs

Familias por auto o vehículo:

( ) ( ) ( )

≅≅

±=+−−

±=423,4

537,557,08,46,092,055,092,0296,1

20

200

201

093,28,4ˆ 2Y

b) Si establecemos que 2=X , es decir, que será el promedio de personas por familia, se tendrá que el total de personas en las 2.000 familias, es de 4.000 personas, diferente a 3.500. c) El promedio estimado de personas por familia es de 2. Nota: se trabajó con calculadora, utilizando el programa de regresión lineal (LR) 47. Solución:

1

ˆˆ21

ˆ222

−+−−

±

= ∑∑ ∑n

xRxyRy

XnN

n

tx

yR iiii 45,0

405183ˆ ===

∑∑

i

i

x

yR (Aprox.)

( )( ) ( ) ( )

±=−

+−−

±=38,0

52,07,045,0

125

687.2245,0612.945,02157.4

2,1625

300

251

797,245,0ˆ2

R

48. Solución:

8,458,24275.829512 2 ===== ∑∑ yxxxn ii


42

99,92112

12

29512275.8

2

2 =−

−=s 64,9=s

a)n

stxX ±=ˆ

±=±=

±=

45,18

71,3013,658,2413,658,24

12

64,9201,258,24X

b) 1) 30:0 =µH 30: ≠µaH 2) 05,0=α

3) Como 30=µ cae dentro de los límites de confianza, se acepta0H , al nivel del

5%, por lo tanto la media es de 330cm c) Si la verdadera media de llenado es de 328cm , al aceptar 0H , se estará cometiendo un error de tipo II. 49. Solución:

576=x miligramos ; →== 75,836

3152s 96,275,8 ==s 36=n cigarrillos

Contenido medio de nicotina en miligramos:

n

sZxX ±=ˆ

±=

±=

73,574

27,57727,1576

36

96.257,2576X (miligramos)

50. Solución: a) 000.396,155,045,002,0%2 ====== NZQPE

PQZNE

PQNZn

22

2

+=

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 327.1

150.239,852.2

55,045,096,102,0000.3

55,045,096,1000.322

2

==+

=n Viviendas

Se toma P = 0,45 , por ser el valor más cercano a 0,50; también se hubiese podido

calcular el promedio: 55,02

65,045,0 =+=P

b) 000.396,190,010,001,0%1 ====== NZQPE

PQZNE

PQNZn

22

2

+=


43

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )Viviendasn 596.1

65,0

23,037.1

9,010,096,101,0000.3

9,010,096,1000.322

2

==+

=

Se toma el mayor valor de n, es decir, se requieren 1.596 viviendas en la muestra. 51. Solución: a)

9671,0983,01569,1575,461,3 22 ====== ∑∑ ssnxxx ii

N

n

n

stxX −±= 1ˆ

±=−±= $58,2

62,352,01,3

150

151

15

983,0145,21,3ˆ

millX

El ingreso promedio mensual es de $3.100.000 y el valor verdadero debe estar entre $3.620.000 y $2.580.000 con una seguridad o confianza del 95%.

b) N

n

n

stNxNX −±= 1ˆ

( ) ( )

±=−±= $387

54378465

150

151

15

983,0150145,21,3150ˆ millX

El ingreso total de las 150 familias es estimado en $465.000.000 mensual. c)

531,010,1128,277 2 ==== ∑∑ sxxn ii

97,37

8,27 === ∑n

xx i

1

222

−−

= ∑n

xnxs i 28,0

17

7

8,27710,112

2

2 =−

−=s

N

n

n

stxX −±= 1ˆ

±=−±= 51,3

43,446,097,3150151

753,0447,297,3X mill $

53,028,0 28,02 ==⇒= ss

No. de orden Ingreso 1 5,0 2 3,5 3 4,0 4 3,5 5 4,0 6 4,2 7 3,6


44

Ingreso promedio mensual de $3.971.428,57 de las familias propietarias de vivienda. 52. Solución:

a) N

n

n

StNxNX −±= 1ˆ

( ) ( )

±=−±= $962.1

5,221235,198

50

71

7

53,050447,297,350ˆ demilesX

El ingreso total mensual para las 50 familias propietarias de vivienda es de $198.500.000 (aprox.)

b) N

n

n

n

n

xnx

tNn

xNX

ii

i −−

−

±

=

∑∑

∑ 11ˆ

22

( )

±=−−

−

±

= $24,104

76,45176,173278

150

151

15

115

15

8,271510,112

150145,215

8,27150ˆ

2

millX

También, una manera mucho más fácil sería trabajar con el porcentaje de propietarios en la muestra, para realizar los cálculos.

%4747,015

7% ===

( ) 7015047,0 ==N Propietarios en la población:

( ) ( )

±=−±= $35,245

45,31055,329,277

707

17

53,070447,297,370ˆ millX (aprox.)

Corresponde al ingreso total, de las familias no propietarias, cuando no se conoce el número de propietarios en la población. d) Porcentaje de arrendatarios


45

53,0158 === ∑

n

ap i El 53% son arrendatarios

N

n

n

pqtpP −

−±= 1

1ˆ

( ) ( )

==

±=−−

±=%2222,0

%8484,031,053,0

15015

111547,053,0

447,253,0P

53. Solución: a) Número de arrendatarios

N

n

n

pqtNNp −

−±= 1

1A

( )

±=−−

±

=34

1264680

150

151

115

15

7

15

8

150447,215

8150A Total de arrendatarios

De las 150 familias, se estima que 80 de ellos son arrendatarios.

ix : 2,5 2,0 2,5 1,5 2,8 1,8 2,6 3.0 (millones de $) b) Hay dentro de los arrendatarios tres (3) que tiene ingresos semanales superiores a $2.500.000 siendo: 2,8 2,6 3,0 (millones de $)

%38375,08

3 ==== ∑n

ap i

( )

±=−−

±=0

79,041,038,0

150

151

18

62,038,0365,238,0P

El resultado anterior aparentemente extraño, se debe a que la muestra (8) es demasiado pequeña, por lo tanto el error de estimación (0,41 = 41%), es relativamente grande.

c) N

n

n

pqtNNpA −

−±= 1

1ˆ

( )

±=−−

±

=0

633330

150

151

11515

12

15

3

150145,215

3150A


46

El número de arrendatarios con ingresos superiores a $2.500.000, se estima en 30 familias.

d) %2727,015

4 ===p

( )

==

±=−−

±=%303,0

%5151,024,027,0

150

151

115

73,027,0145,227,0P

(Porcentaje de familias con ingresos superiores a $3,7 mill $) 54. Solución:

a) ∑∑=

i

i

x

yR 7=n 700.4=∑ ix ∑ = 000.310.32

ix 500.16=∑ iy

∑ = 000.030.402

iy 000.070.11=∑ ii yx 43,671=x 14,357.2=y

;51,3700.4500.16ˆ ==R

−+−

−±

= ∑∑ ∑∑∑

1

ˆˆ21ˆ

222

2 n

xRxyRy

XnN

n

tx

yR iiii

i

i

( )( ) ( ) ( )

±=

−+−

−

±=26,2

76,425,151,3

17

000.310.351,3000.070.1151,32000.030.40

5257

400

71

447,251,3ˆ2

R

b) 525400

000.210 ==X 1

ˆˆ21

ˆ222

−+−−

±

= ∑∑ ∑∑∑

n

xRxyRy

nN

n

tXx

yY iiii

i

iR

( ) ( ) ( )

±=−

+−−±

=95,183.1

55,501.28,65875,842.1

17

000.310.351,3000.070.1151,32000.030.40

7400

71

447,2525700.4

500.16ˆ2

RY

miles de $

c) 1

ˆˆ21

ˆ222

−+−−

±

= ∑∑ ∑

∑

∑n

xRxyRy

n

N

n

tNNXx

yY iiii

i

iR


47

( ) ( )

±=±=568.473

608.000.1520.263088.7378,65840075,842.1400ˆ

RY miles de $

55. Solución: a) 48,127676,36417 2 ===== ∑∑ sxxxn ii

N

n

n

stxX −±= 1ˆ

200.117

117

48,112,276,3ˆ −

±=X

±=00,3

52,476,076,3X En promedio 4 personas por familia

b) 36,16541,969400.413.16480.1617 2 ===== ∑∑ sxxxn ii

N

n

n

stxX −±= 1ˆ

200.117

117

36,16512,241,969ˆ −

±=X

±=99,884

83,053.142,8441,969X El gasto promedio en el mes es de $969.410

c) %3535,0176 ==== ∑

n

ap i Con suscripción al periódico

N

n

n

qppP −±= 1ˆ

( ) ( )

==

±=−−

±=%1010,0

%6060,025,035,01

117

65,035,012,235,0ˆ

N

nP Familias con

suscripción 56. Solución: a) 10=n 188=∑ ix ∑ = 768.32

ix 319=∑ iy

∑ = 353.102

iy 181.6=∑ ii yx 8,18=x 9,31=y

79,0=b 11,17=c 90,0=r 81,02 =R Nota: las operaciones se hicieron en la calculadora con el programa LR.


48

( ) 85,329,318,182079,0 =+−=RLy Promedio de productividad

( )22 11ˆ Rs

n

ftyY YRL −

−±=

( )

±=−±=5,31

2,3435,185,3281,0166,19

10

1262,285,32Y

b) ( )22 11ˆ Rs

n

ftNyNY YRLRL −

−±=

±=765.15

085.17660425.16ˆ

RLY Total de productividad

c) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

−−

−==

2222iiii

iiii

yynxxn

yxyxnrR = 0,90

81,0

90,02 ==

R

r

57. Solución:

( )56,253,6

120

1720904.5177,8

22 ==

−−

=== yy ssyx

( ) ( ) ( ) 2,5177,8

20062.3

43,291,5120

7,820626.1 22 =−===

−−= Covss xx

a) 88,091,5

2,5 ==yxb

( ) 90,19177,81288,0ˆ =+−=RLY

95,191,5

2,553,6

22 =−=yxs

( )

±=±=25,19

55,2065,090,1995,1

20

1093,290,19Y

b) ( ) ( )

±=±=774.5

166.6196970.5

20

95,1300093,290,19300ˆ

RLY


49

58. Solución:

ix iy in ii nx ii ny iii nyx ii nx2 ii ny2

2 1 2 4 2 4 8 2 2 2 8 16 16 32 32 32 4 3 5 20 15 60 80 45 6 1 4 24 4 24 144 4 6 2 3 18 6 36 108 12 6 3 2 12 6 36 72 18 7 2 4 28 8 56 196 16 7 4 2 14 8 56 98 32 - - 30 136 65 304 738 161

53,430

136 ==x 17,23065 ==y

( )

68,029

17,230161 22 =

−=ys 82,0=→ ys

( )

22,4130

53,430738 22 =

−−

=xs 05,2=→ xs

( ) ( ) 30,053,417,230304 =−=Cov 071,0

22,4

30,0 ==b

a) ( ) ;26,217,253,48,5071,0 =+−=RLY →=−= 66,022,4

30,068,0

22yxs 82,0=yxs

±=

±=

95,1

57,231,026,2

30

82,0045,226,2ˆ

RLY

b) ( ) ( )

±=±=975

285.1155130.150031,050026,2ˆ

RLY

59. Solución:

a) 70,1188319ˆ ==R


50

( )( ) ( ) ( )

±=−

+−−

±=51,1

89,119,070,1

110

768.370,1181.670,12353.10

8,1810

500

101

262,270,1ˆ2

R

b) ( ) ( )

±=±=2,30

8,378,33419,020207,1ˆ

RY

c) ( ) ( )

±=±=100.15

900.18900.1000.175002019,0500207,1ˆ

RY

60. Solución:

Con los datos del ejercicio 57 se hacen los cálculos de: R , RLY , RY

a) 95,1174340ˆ ==R

( )( ) ( ) ( )

±=−

+−−±=

85,105,210,095,1

120626.195,1062.395,12904.5

1220300201

093,295,1ˆ2

R

b) ( ) ( )±=±=

2,226,242,14,231210,01295,1ˆ

RY

c) ( ) ( )

±=±=660.6

380.7360020.72,13003001295,1ˆ

RY

Con los datos del ejercicio 58 se hacen los cálculos de: R , RY , RY

a) 48,013665ˆ ==R

( )

( ) ( ) ( )

±=−

+−−

±=45,0

51,003,048,0

130

73848,030448,02161

8,530

500

301

045,248,0ˆ2

R

b) ( ) ( )

±=±=±=61,2

95,217,078,28,503,08,548,003,048,0ˆ XXYR

c) ( ) ( )

±=±=±=308.1

475.185390.150017,050078,217,078,2ˆ NNYR


51

61. Solución:

67,423.230710.72 ==x 45,262.2=s

( ) ( )30

45,262.2000.2045,267,423.2000.2ˆ ±=X

=±=

62,897.157.304,768.536.671,435.689.133,333.847.4X

El error generado es alto, dado la gran dispersión que se observa en los datos, con costos de $260 miles y de $7.200 miles. 62. Solución:

∑ = 710.72ix ∑ = 500.786.3292ix ∑ = 140.54iy ∑ = 200.374.1862

iy

30=n 200.171.224=∑ ii yx

cxbYRL +=ˆ 57,3376053,0ˆ += xY

( ) )(19,989.1$57,3376,728.26053,0ˆ promediomilesYRL =+=

=±=⇒±= 59,600.1

79,377.260,38819,989.1ˆ30

27,039.1048,219,989.1ˆRLRL YY

( ) ( )

30

200.171.2246053,0140.5457,337200.374.1862 −−=yxs

27,039.1;43,244.080.12 == yxyx ss

El coeficiente de correlación: 80,07965,0 ≅=r


52

63. Solución:

a) 30,3420

686 ==x aproximadamente 34 visitantes por hora y por almacén

El total de visitantes por hora en los 20 almacenes será: ( ) 68630,3420ˆ === xnX visitantes por hora. Para los 2.000 almacenes, se estima en: ( ) 000.6830,34000.2ˆ ==X visitantes por hora.

b) ( ) 5234,520448,06,373934,1ˆˆ ≅=−=⇒+= YcxbY Visitantes por hora, es el promedio para cada almacén. ( ) 680.10434,522000ˆ ==Y Visitantes, es el total de visitantes por hora para los 2.000 almacenes. 64. Solución: a) Los almacenes con un número de visitantes, superior a las 50 personas son los

almacenes: 4; 6; 9; 12; 15; 16; 17; 18; 19 y 20 ⇒ Total 10 almacenes

%5050,02010 ⇒=== ∑

na

p i de los almacenes investigados, tienen más de 50

personas que los visitan cada hora.

b) Podríamos estimar en los 2.000 almacenes, que 1.000 de ellos son visitados por más de 50 personas en una hora.

almacenesNpA 000.1)50,0(000.2ˆ === NOTA: Se deja al alumno terminar el desarrollo de estos ejercicios. 65. Solución: a) La población está conformada por un número indeterminado de establecimientos

que funcionan arrendados. Se forman dos subgrupos: C = establecimientos que funcionan en locales arrendados con baño y C` los que no tienen baño.

C C` C C`


53

jjj NAA =+ jn=+ 111409

7865,0520409ˆ ====

J

JJj n

apP El error del muestreo para el estimado:

J

J

JJ fn

qpS

JP −= 1ˆ

Como la fracción de muestreo (jf ) no se puede determinar por desconocer el valor de

jN , se aplica como fracción de muestreo.

087,0200.9

800 ===Nnf (Siendo mayor a 0,05 para su aplicación)

%72,10172,0087,01520

520

111

520

409

ˆ oSJP =−

=

Los límites de confianza del 95% serán: jis f

n

qpzpP

J

JJ −±= 1ˆ

( )

===±=±=

%28,757528,0%02,828202,0

0337,07865,00172,096,17865,0îsP

b) Para estimar el total de establecimientos en local y sin baño propio, cuando no se

conoce el número de ellos en local arrendado, se procede de la siguiente manera:

ientosestablecimn

aN i

IS 277.15,276.1

800

111200.9A ≅=

=

= ∑

Nn

nn

anna

ZNna

NA

JJ

J

IS −

−

±

=

∑∑∑ 1ˆ

La confianza será del 95%

( )

=±=−

±

=066.1

487.158,2105,276.1

200.9

8001

800

800

689

800

111

200.996,1800

111200.9ˆ

ISA

Establecimientos c) Se sabe que el total de establecimientos en locales arrendados es de 6.400 y con

local propio, de 2.800.


54

410.2280241800.2ˆ =

=

= ∑na

NA i

IS

Los límites de confianza del 95%

Nn

nn

anna

ZNna

NA

ii

i

IS −

−

±

=

∑∑∑ 1ˆ

( )

≅≅

=±=−

±

=302.227,302.2

518.273,517.273,107410.2

800.2

2801

280

280

39

280

241

800.296,1280

241800.2ˆ

ISA

Establecimientos Los ejercicios 66 y 67, no se desarrollaron, por lo tanto tendrá que resolverlos el interesado. 68. Solución: Artículos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Cantidad exagerada

350 100 230 80 120 90 220 80 230 280 120 200 200 200

57,17814

500.2 ==x 45,82=s

( ) ( )1000.1

14000.1

14

45,79000.1160,257,178000.1ˆ

−−

±=X

=±=62,283.131

38,856.23435,286.47570.178

69. Solución:

( ) 18,673.1363,164500.10058,1ˆ =+=Y (Se trabajo con calculadora) Total : ( ) 6,177.673.118,673.1000.1ˆ ==Y

( )=±=±= 4,795.624.1

8,559.721.12,382.486,177.673.11481,83000.1160.26,177.673.1Y


55

70. Solución:

a) →===∑∑ 21,1

7,031.16,250.1ˆ

i

i

xy

R Promedio ( ) 28,12721,1105ˆˆ === RXYR

Total: ( ) 640.6328,127500ˆˆ

ˆ === RXNYR

b) Directo: 12510250.1 ==y (Promedio)

Total: ( ) 500.62125500ˆ ==Y Se deja a usted el cálculo de los límites de confianza. 71. Solución: Desarrollaremos este ejercicio para demostrar cómo se aplican estas fórmulas, en la obtención de estimativos para promedios y totales. En primer lugar suponemos que se tiene información para las 28 familias sobre sus niveles de ingreso quincenal obtenidos a través de un censo realizado con anterioridad a la encuesta por muestreo.

500.639.60100.506.42210.32 2 === ∑∑∑ iiii yxxx

muestralmediaxyy ii ∑∑ === 36,150.1300.416.87250.46 2 Se conoce la media poblacional 238.1=X

∑

∑=i

i

x

yR 44,14359,1

210.32

250.46ˆ ≡==⇒ R

1

ˆˆ21ˆˆ222

−+−

−±= ∑ ∑∑n

xRyxRyn

ftXRY iiii

RIS

( ) ( ) ( ) ( )

−+−

−±=

128

100.506.4244,1500.639.6044,12300.416.87

28355

281

045,2238.144,1ˆ2

ISRY

=±= 43,714.1

01,851.129,6872,782.1ÎSRY

El estimativo del total de ingresos en miles de $ en las 355 familias sería:

105=X


56

RIS YR StNXRNY ˆˆˆ ±=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+−

−±=

128

100.506.4244,1500.639.6044,12300.416.87

28355

281

355045,2238.144,1355ˆ2

ISRY

( ) ( )

=±=±=65,622.608

55,108.65795,242.246,865.63229,6835572,782.1355ˆ

ISRY |

NOTA: no fueron resueltos los ejercicios desde el 72 hasta el 86. 87. Solución:

( )92,25

11

2822

22

21

21

21

01===

E

sZn 24

285

92,251

92,25

11

0

0

1

1

1 ≅+

=+

=

N

n

nn

( )76,8

5,12371

2

22

22

22

22

02===

E

sZn ; 9

415

76,81

76,82 ≅

+=n

Elementosnnn 3392421 =+=+=

88. Solución: Tamaño de la muestra

Asignación igual: 172

33

2==n

Elementosnnn 341717 21 ===

Asignación proporcional:

41,04071,0700

28511 ≅===

N

NW 59,05929,0

700

41522 ≅===

N

NW

( ) ( ) 1453,133341,011 ≅=== nWn ( ) ( ) 2047,193359,022 ≅=== nWn ; 34=n Elementos

Asignación óptima:

=∑ hh

hhh SW

SWnn ( )

( ) ( ) 123759,02841,0

2841,033

2211

111 ≅

+=

+=

SWSWSW

nn


57

( )

( ) ( ) 223759,02841,0

3759,033

2211

222 ≅

+=

+=

SWSW

SWnn

Elementosnnn 342212 21 === 89. Solución: a) Asignación proporcional e igual

( )2

2

0/ ZE

sWn hh∑= ( ) ( ) ( )

( ) 21,11596,1/87,0

362,0253,0165,020 =++=n

( ) ( ) ( ) 4,17322,0203,0105,0 =++=stx ; ( ) ( ) 87,04,1705,005,0 === stxE

90

400

21,1151

21,115 =+

=n elementos o unidades

Asignación óptima: ( )

∑

∑∑

+

=2

21

hh

n

hhnhh

SWNZ

E

C

SWCSW

n

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

10705675,01970,015,36,8

362,0253,0165,04001

96,187,0

9

62,0

4

53,0

1

45,0962,0453,0145,0

2 =+=+++

++++=n

b) Elementos

Asignación óptima:

( )

∑

∑

−

=nhh

n

hho

CSN

C

SNCC

n

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

Elementosn 184440.3

260.1500

96804512014200

9

680

4

5120

1

4200500.9000.10

==++

++−

=

NOTA: sobre la información de n = 148 90. Solución: Asignación proporcional (Promedio)


58

( ) ( ) ( ) 4,17322,0203,0105,0 =++=stx [ ] ( )h

hhhhx n

snNN

NV

st

2

21ˆ −= ∑

Consideramos las varianzas como las obtenidas a través de una muestra, para luego calcular el error de estimación.

[ ] ( ) ( ) ( ) 12,03036308080

452545120

741674200200

3551ˆ

2 =

−+−+−=

stxV

Siendo n = 148 se tiene que

( ) 741485,01 ==n ( ) 451483,02 ==n ( ) 301482,03 ==n

[ ]stis xst VZxX ˆˆ +=

=±= )(72,16

08,1812,095,14,17ˆ promedioX

isst

( ) ( )

=±= )(42,688.6

58,231.712,040096,14,17400ˆ totalX

Isst

NOTA: en el libro aparece n = 177 en vez de n = 148.

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.14 Algunos elementos básicos de las Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones matemáticas aplicados en la Actualizado en diciembre de 2007 estadística

14 Algunos elementos básicos de las

matemáticas aplicados en la estadística

El hombre instruido lleva en si mismo sus riquezas

Fedro CONTENIDO � Sumatoria, productoria, propiedades � Símbolos y operaciones aritméticas, razones y porcentajes � Sistemas de ecuaciones, con dos y tres incógnitas � 75 ejercicios resueltos COMPETENCIAS � Desarrollar o resolver cualquier ejercicio que aplique la sumatoria o la productoria � Manejar correctamente las propiedades de las sumatorias � Comprender y manejar símbolos y operaciones aritméticas � Resolver ecuaciones con dos y tres incógnitas, aplicadas a algunos temas estadísticos. � Capacidad para distinguir y utilizar relativos, proporciones, porcentajes, etc. ASPECTOS GENERALES Se ha considerado de gran importancia la inclusión de algunos temas, no importa lo resumido de su presentación, ya que el alumno de acuerdo al interés que muestre lo podrá emplear o consultar en libros de matemáticas donde el tema es desarrollado con mayor profundidad.


2

SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS SUMATORIA SIMPLE Si el alumno desarrolla los ejercicios que se presentan en este tema, será una valiosa ayuda en el aprendizaje de la estadística, en especial para la aplicación y desarrollo de las fórmulas, así como en el uso de las propiedades, que luego serán utilizadas en muchas de las unidades que contiene el libro. Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Supongamos que se tienen seis números y deseamos sumarlos. S = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65 Lo anterior lo podemos generalizar y anotar, empleando para ello un simbolismo algebráico. S = a + b + c + d + e + f Donde a, b, c,…., toman los respectivos valores de: 7, 10, 12…., hasta completar los sumandos, que en este caso corresponde a seis. Cuando el número de sumandos se hace bastante grande, nos encontramos en dificultad al usar las letras del alfabeto, de ahí que se prefiera la notación n para reunir en una sola cantidad la totalidad de los sumandos.

Así, esta suma: 654321 XXXXXX +++++ La podríamos escribir ∑=

6

1iiX

Por convención se ha adoptado la letra S del alfabeto griego, es decir, sigma (ΣΣΣΣ), que se lee sumatoria, para indicar la suma de n términos.

Entonces: 654321

6

1XXXXXXX

ii +++++=∑

=

En algunos casos se podrá utilizar la letra i en vez de iX . Si generalizamos, tenemos la

siguiente expresión: ∑=

n

ii

1 donde:

n: límite superior de la sumatoria i: elemento genérico de la sumatoria


3

Σ: sumatoria i = 1: límite inferior de la sumatoria Lo anterior, en conjunto, se lee “sumatoria de i = 1 hasta n de i”. En el caso de utilizar a iX observamos que i es la que toma valores desde el límite inferior hasta el límite superior. Como en este caso el límite superior es 6, resultará:

654321 ,,,,, XXXXXX y la sumatoria sería:

654321

6

1XYXXXXX

ii +++++=∑

=

Esta es la solución que le daríamos a esa sumatoria de iX . Sin embargo, cada iX , toma un valor, de acuerdo con las observaciones hechas, (en nuestro caso, los numerales 7, 10, 12, 18, 13, 5, respectivamente). Entonces, reemplazando cada iX por su valor correspondiente, la solución a dicha sumatoria sería:

6551318121076

1=+++++=∑

=iiX

Cuando la sumatoria tiene el término i como elementos genérico, se está indicando que i toma todos los valores, en forma continua, desde el límite inferior hasta el superior.

nin

i+++++=∑

=......4321

1

Así, por ejemplo, siendo el límite superior 6 y el inferior 1, se tendrá:

216543216

1=+++++=∑

=i

i

Sin embargo, se puede operar con un límite inferior diferente a uno:

25765437

3=++++=∑

=ii 3598765

9

5=++++=∑

=ii

También se pueden cambiar los símbolos empleados como elementos genéricos de la suma:

4321

4

1AAAAA

ii +++=∑

= 4321

4

1YYYYY

ii +++=∑

=


4

En vez de i se podrá emplear otro símbolo, por ejemplo j:

1043214

1=+++=∑

=jj 5432

5

2AAAAA

jj +++=∑

= 8765

8

5YYYYY

jj +++=∑

=

Veamos otras operaciones sobre sumatorias simples:

a. 28825627414321 43214

1=+++=+++=∑

=i

ii

b. 301684222222 43214

1=+++=+++=∑

=i

i

c. 30169414321 22224

1

2 =+++=+++=∑=i

i

d. [ ] ( ) 100104321 222

4

1==+++=

∑=i

i

Es necesario observar que 2

3

1

3

1

2

≠ ∑∑== ii

ii ; si desarrollamos la primera expresión el

resultado será: ( ) 14321 222 =++ y en el segundo caso será ( ) 366321 22 ==++ ; el alumno fácilmente puede confundir las dos expresiones. Propiedades de la sumatoria Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las operaciones de estadística, las propiedades de la sumatoria tienen su importancia al ser casi las mismas propiedades que presenta la media aritmética y, como tal, se volverá a ver en las medidas de posición. La sumatoria de una constante k, desde uno hasta n, es igual a n veces la constante:

nKKKKKKn

i=++++=∑

=.....

1 Ejemplo: 8)2(422222

4

1==+++=∑

=i


5

Se debe tener en cuidado al generalizar que nKKn

i=∑

=1 ya que sólo se cumple cuando el

límite inferior es uno. Si es diferente a uno se procederá en la siguiente forma:

6543

6

3AAAAA

ii +++=∑

= Si KA =3 ; KA =4 ; KA =5 ; KA =6

Entonces, al reemplazar iA por K , será igual a: KKKKKKi

46

3=+++=∑

=

Ahora siendo 2=K , se tendrá: ( ) 824222226

3==+++=∑

=i

Que equivale a: ( )[ ] 8)2(4)2(13626

3==+−=∑

=i

Otro ejemplo: ( )[ ] 48)8(6)8(1510810

1==+−=∑

=i

La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.

).....321()(.....)3()2()1(1

nKnKKKKKin

i++++=++++=∑

= ∑∑

===

n

i

n

iiKKi

11

( ) ( ) ( ) ( ) 301086425232221225

1=++++=+++=∑

=ii

Siendo igual a la expresión de: 30)15(2)54321(225

1==++++=∑

=ii

Otro ejemplo: 264)33(8)876543(8888

3

8

3==+++++== ∑∑

== iiii

La sumatoria de dos o más variables, es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables (ley distributiva):


6

( ) ( ) ( ) ....2221113

++++++=++∑=

ZYXZYXZYXn

iiii

Siendo: ( ) ∑∑∑∑====

++=++n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii ZYXZYX

1111

∑∑∑∑====

+−=+−=−4

1

4

1

24

1

24

1

2 )36(4244)36244()62(i

iiii

Ziiii

144)4321(24)4321(4 2322 ++++−+++= 24144240120144)10(24)30(4 =+−=+−= Fórmulas especiales sobre sumatorias Existen algunas fórmulas “especiales” que proporcionan el valor de la suma de n números, comprendidos entre 1 y n, inclusive.

2)1(

1

+=∑=

nni

n

i

Ejemplo 1.

551098765432110

1=+++++++++=∑

=ii

552

1102

)11(102

)110(1010

1===+=∑

=ii

6)12()1(

1

2 ++=∑

=

nnni

n

i

Ejemplo 2.


7

38510987654321 222222222210

1

2 =+++++++++=∑=i

i

3856

)21(1106

)120()110(1010

1

2 ==++=∑=i

i

( )

+=∑= 2

1 2

1

3 nni

n

i

Ejemplo 3.

22554321 333335

1

3 =++++=∑=i

i

( ) 22515230

2)15(5 2

225

1

3 ==

=

+=∑=i

i

EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollo de algunos ejercicios de sumatoria.

1) 1043214

1=+++=∑

=ii 2) ∑

==++=

3

1

2222 14321i

i

3) 2276547

4=+++=∑

=ii 4) ∑

==++=

4

2

2222 29432i

i

5) 12)6(2)321(2223

1

3

1==++== ∑∑

== iiii 6) 30)3(5)2(5)1(55

3

1=++=∑

=ii

7) ∑=

=++=3

1

321 32321i

ii 8) ∑=

=+++=4

1

4321 3022222i

i

9) ∑=

+++++=6

1654321

ii XXXXXXX 10) ∑

=+++=

5

25432

jj XXXXX


8

11) ∑=

=×==+++=4

18)42(822222

i

12) ∑=

=+++++=+3

112)23()22()21()2(

ii

13) [ ] 366321 222

3

1==++=

∑=i

i ∑ ∑ ∑= = =

=+++=+=+3

1

3

1

3

1126)321(2)2(

i i iii

Escriba en forma explícita las sumas representadas por cada una de las siguientes expresiones:

14) ∑=

6

2iiX 15) 2

3

1)2( −∑

=iiX 16) ∑

=+

5

2)7(

jjY

17) ∑=

9

7

2

jjX 18) i

ii XX )3(

4

1+∑

= 19)

27

1

∑=i

iX

Solución: 14) 65432

6

2XXXXXX

ii ++++=∑

=

15) ( ) ( ) ∑∑∑∑====

+−=+−=−3

1

3

1

23

1

23

1124442

ii

ii

iii

ii XXXXX

( ) ( ) 124 321

23

22

21 +++−++= XXXXXX

16) ( ) ( ) 28287 5432

5

2

5

2++++=+=+ ∑∑

==YYYYYY

ji

jj

17) 29

28

27

9

7

2 XXXXj

j ++=∑=

18) ( ) ( ) ∑∑∑∑====

=+=+=+4

1

4

1

24

1

24

1333

ii

ii

iiii

ii XXXXXX


9

( ) ( )432124

23

22

21 3 XXXXXXXX +++++++=

19) ( )27654321

27

1XXXXXXXX

ii ++++++=

∑=

Escriba cada una de las siguientes expresiones, utilizando un signo de sumatoria, con los límites de sumación y límites adecuados: 20) 4321 XXXX +++ 22) 2

423

22 XXX ++

21) ( ) ( ) ( )[ ]2543 444 −+−+− XXX 23) 2

132

122

112

102

9 YYYYY ++++

Solución: 20) ∑=

=+++4

14321

iiXXXXX

21) ∑=

=++4

2

224

23

22

iiXXXX

22) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2

5

3

2

543 4444

−=−+−+− ∑=i

iXXXX

23) ∑=

=++++13

9

2213

212

211

210

29

iiYYYYYY

Si 31 =X , 92 =X , 73 −=X , 34 −=X , calcule el valor numérico de las siguientes expresiones:

24) ( )24

21∑

=+

iiX 25) ( )∑

=+

3

17

iii XX

Solución: siendo 31 =X 92 =X 73 −=X 34 −=X


10

24) ( ) ( ) 3)(2)(32121 43224

23

22

4

2

4

2

224

2

224

2++++++=++=++=+ ∑∑∑∑

====XXXXXXXXXXX

ii

ii

iii

ii

[ ] ( ) ( ) 140321393)1(29498133792)3()7(9 222 =+−=+−+++=+−−+−+−+=

25) ( ) ( ) ( ) ( )32123

22

21

3

1

23

1

3

1

23

17777 XXXXXXXXXXXX i

ii

iiii

iii ++−++=−=−=− ∑∑∑∑

====

[ ] 10435139)5(7)49819()793(7)7(93 222 =−=−++=−+−−++= Si 81 =X 42 =X 43 =X 04 =X Calcule:

26) 24

2)3(∑

=+

iiX 27) 2

4

2)(∑

=−

ii aX , donde

4

4

1i

iX

a∑==

Solución:

26) ( ) ∑ ∑∑∑= ===

++=++=+4

2

4

2

24

2

224

227696)3(

i iii

iii

ii XXXXX

27)(6)( 432

24

23

22 ++++++= XXXXXX

10727483227)044(6)01616( =++=++++++=

27) ( ) ∑ ∑∑∑= ===

+−=+−=−4

1

4

1

224

1

2224

1422)(

i iii

iii

ii aXaXaaXXaX

2

432124

23

22

21 4)(2)( aXXXXaXXXX ++++−+++=

24)0448(2)0161664( aa ++++−+++=


11

44

164

044844

4321

4

1 ==+++=+++==∑= XXXX

X

ai

i

Reemplazamos a por su valor de 4. Igual a

321281606412896)4(4)16)(4(296 2 =−=+−=+− En los ejercicios siguientes, supóngase que se da un conjunto de números:

nXXXX .,,.........,, 321 y que

n

X

ai

n

i∑== 1 Demuestre las relaciones siguientes:

28) [ ]n

X

XaXaXi

n

in

ii

n

iii

2

1

1

2

1

2 2)3(

+=−−∑

∑∑=

==

29) ( ) ( )[ ] naXaXaXi ii −=−++− ∑∑ 22 1

30) ( )[ ] ∑∑==

=+−n

jj

n

jjj XaaXX

1

2

1

2

31) ( ) 11 222 +−=

+− ∑∑ naX

naX ii

Solución: nX

a i∑= ; ∑= iXan


12

28) [ ]n

X

XaXaXi

n

in

ii

n

iii

2

1

1

2

1

2 2)3(

+=−−∑

∑∑=

==

( )∑=

−+−n

iiii aXaaXX

1

22 296 ( )∑=

+−=n

iii aaXX

1

22 98 ∑ ∑= =

+−=n

i

n

iii anXaX

1 1

22 98

∑=

+−=n

ii ananaX

1

22 9)(8 ∑=

+−=n

ii naaX

1

222 98 ∑=

+=n

ii naX

1

22

Reemplazando a: ∑= iXan , se tiene que: 2

2

1

1

2

n

X

Xi

n

in

ii

+∑

∑=

=

n

X

Xni

n

in

ii

2

1

1

2

+=∑

∑=

=

29) ( ) ( )[ ] naXaXaX iii −=−+−∑ 22 1 [ ]∑ −++− iiii XaXaaXX 22 2 ∑∑∑ ∑ −++−= iiii XXanaXaX 22 2 ∑ −++−= anananaanaX i )()(2 22 ∑ −++−= annananaX i

2222 2 ∑ −= anX i

2

30) ( )[ ] ∑∑==

=+−n

jj

n

jjj XaaXX

1

2

1

2

[ ] ∑ ∑ ∑∑ ∑∑= = == ==

=+−=+−=+−=+−n

j

n

j

n

jjjj

n

j

n

jjj

n

jjj XnanaXnaanaXnaXaXaaXX

1 1 1

2222222

1 1

2

1

22 )(

31) ( ) 11 222 +−=

+− ∑∑ naX

naX ii

nnnaXaX

naaXX iiii ++−=

++− ∑∑∑ 2222 212


13

1)(2 22 ++−=∑ naanaX i 112 22222 +−=++−= ∑∑ naXnanaX ii EJERCICIOS MISCELÁNEOS

32) ( )∑=

+5

11

ii 33) ( )∑

=++

4

182

iii 34) ∑

=+

6

1

2)85(i

i

35) 2

3

13

+

∑=i

iX 36) ∑=

+4

18

iiX 37)

26

1

∑=i

iX

38) ∑=

+6

1

2)3(i

iX 39) ∑=

5

1ii 40) ∑

=

6

32

ii

41) ∑=

−5

1)23(

ii 42) ∑

=−

4

1

2)23(i

i 43) ∑=

−5

1)22(

i

ii

44) ∑=

−10

1)2(

ii 45) ∑

=+−

4

1)52(

iii 46) ∑

=−+

5

1)11()1(

ii

47) 2

6

1

6

1

2

− ∑∑== i

ii

i XX 48)

− ∑∑∑

===

6

1

6

1

6

1 ii

ii

iii YXYX

Nota: considere los valores de iX y iY para los ejercicios: 4, 5, 6, 7, 16 y 17.

81 =X 02 =X 53 =X 24 =X 35 =X 46 =X

21 =Y 32 =Y 63 =Y 24 =Y 75 =Y 56 =Y Solución:

32) 20515)1(5)54321(15

1

5

1=+=+++++=+∑ ∑

= =i ii


14

33) 623210)10(2)8(4)4321()4321(2824

1

4

1

4

1=++=++++++++=++ ∑∑∑

=== iiiii

34) ∑∑∑∑====

++=++6

1

6

1

6

1

26

1

2 648025)648025(iiii

iiii

)64(6)654321(80)654321(25 222222 ++++++++++++= 339.4384)21(80)91(25 =++= 35) ( )[ ] [ ] 2561635083 222

321 ==+++=+++ XXX 36) ( ) ( ) 238250884321 =++++=++++ XXXX 37) ( ) ( ) 48422432508 222

654321 ==+++++=+++++ XXXXXX 38) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

62

52

42

32

22

1 333333 +++++++++++ XXXXXX ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 343332353038 +++++++++++ 3044936256491217658311 222222 =+++++=+++++ 39) 1554321 =++++ 40) 36121086)6(2)5(2)4(2)3(2 =+++=+++

41) 35104510)15(3)2(5)54321(3235

1

5

1=−=−=−++++=−∑∑

== iii

42) ∑∑∑∑====

+−=+−4

1

4

1

4

1

24

1

2 29)4129(iiii

iiii µ

16)10(2)70(9)4(4)4321(2)4321(9 2222 +−=++++−+++= 6261620630 =+−= 43) 54321 )22()22()22()22()22( −+−+−+−+− iiiii


15

( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 2)5(22)4(22)3(22)2(22)1(2 −+−+−+−+−= 54321 )8()6()4()2()0( ++++= 132.34768.32296.16440 =++++=

44) )210()29()28()27()26()25()24()23()22()21( −+−+−+−+−+−+−+−+−+− 353618765432101 =+−=+++++++++−

45) 3020)4321()4321(2524

1

4

1

4

1=++++−+++=+− ∑∑∑

=== iiiii

(Se hubiera podido eliminar la segunda sumatoria)

46) 60555)1(5)54321()1( 222225

1

5

1

25

1

2 =+=+++++=−=− ∑∑∑=== iii

iii

47) )()( 654321

26

25

24

23

22

21 XXXXXXXXXXXX +++++−+++++

)432508()432508( 222222 +++++−+++++= 962211822)16942564( =−=−++++= 48) )()()()()()()()( 654321654321665544332211 YYYYYYXXXXXXYXYXYXYXYXYX ++++++++++−+++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]572632432508)5(4)7(3)2(2()6(5)3(0)2(8 ++++++++++−+++++= [ ] [ ] 45955091)25(222021430016 =−=−+++++=

PRODUCTORIA Se utiliza la letra griega pi mayúscula (π ), que se lee “producto de”, para designar al elemento genérico del producto, que puede ser i, escribiéndose debajo y encima de pi los valores extremos (límites inferior y superior) que toma dicho elemento i. Así:

nin

i........4.3.2.1

1=Π

= ⇔ 1205.4.3.2.1

5

1==Π

=i

i

369.4.13.2.1 22223

1===Π

=i

i ⇔ 363.2.1 2222

3

==Π=

jji


16

4321

4

1... XXXXX i

i=Π

= ⇔ ni

n

iXXXXX ............. 321

1=Π

=

La productoria es utilizada para calcular la media geométrica. PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA Como en el caso de la sumatoria, también se deben tener en cuenta algunas propiedades de la productoria.

El producto de una constante es igual a una potencia, en donde la base es la constante y el exponente es el límite del producto.

nn

iKKKKKK ==Π

=.................

1 n

n

iKK =Π

=1 Ejemplo: 822.2.22 3

3

1===Π

=i

El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable:

Π=Π== i

n

i

ni

n

iXKKX

11

i

n

i

nnni

n

iXKXXXXKKKKXKXKXKXKX

1321321

1)........(.....)..()).....()(((

==Π===Π

[ ] 48)6(83.2.18223

1

33

1===Π=Π

==ii

ii

Π

Π

Π=Π==== i

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iZYXZYX

1111

ΠΠ=

ΠΠ==== i

n

j

n

ii

n

i

n

jXX

1111


17


49) 6444 33

1==Π

=i 50) 384)321(6444

3

1

33

1=××=

Π=Π==

iiii

51) [ ] [ ]43214321

4

1

4

1

4

1

4

1...... YYYYXXXXYXYXYX ii

ii

ii

iii

i=Π=

Π

Π=Π====

SÍMBOLOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS No se puede entender la estadística sin conocer la manera en que se llevan a cabo las distintas operaciones aritméticas y los símbolos que se utilizan en su estudio. En numerosas ocasiones se presentan serias dudas en cuanto a la manera de hacer ciertas operaciones, para ello se mencionan algunas reglas que se deben tener en cuenta. Regla para las operaciones aritméticas Para evitar confusión se han adoptado ciertas reglas sobre el orden en que se han de realizar las distintas operaciones. Entre otras tenemos:

El orden en que se suman los números no afecta el resultado de la suma. Es lo mismo sumar 6 + 4 + 2 que 4 + 2 + 6, que 2 + 6 + 4, etc. El resultado será siempre 12. En símbolos será: a + b + c = a + c + b = c + b + a = c + a + b = b + a + c = b + c + a

El orden en que multiplican los números no afecta el resultado. Es lo mismo multiplicar 256 ×× ; 265 ×× que 562 ×× , etc. El resultado será siempre 60.

Si se van a realizar tanto operaciones de multiplicación como de suma o de resta, la multiplicación debe realizarse primero, a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes o algún símbolo de agrupación. Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos:


18

52) 1032010173545217 =+−+=+×−×+ 53) 1528119)35()45()217( =××=+×−×+ 54) 192841212043726)815( =+−=××+×−× 55) 760.2)423()215(4)372()68(15 =××=××+×−× Si van a realizarse tanto operaciones de división como de suma o resta, la división debe realizarse primero a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes u otro símbolo de agrupación. 56) 3526835221243235 =++−=+÷+÷− 57) 8,3322,33521032352)2124(3235 =+−=+÷−=+÷+÷− Cuando van a realizarse operaciones de multiplicación y división debe clasificarse la expresión por medio de paréntesis o algún otro símbolo de agrupación para evitar ambigüedad en la expresión. 58) 8648)212(48 =÷=÷÷ 2242)1248( =÷=÷÷ 59) 81296)43(96 =÷=×÷ 1284324)396( =×=×÷ Las expresiones 21248 ÷÷ y 4396 ×÷ son ambiguas. Los distintos signos de agrupación como paréntesis ( ), corchetes [ ], y llaves { }, deben usarse para indicar que lo incluido dentro de ellos debe tratarse como si fueran un solo número. Es conveniente, calcular primero el valor de la expresión que está dentro del paréntesis. 60) 625)25(25)227(25 ==−

61) 1385540

840

51

8140 =+=+=

+

Simbólicamente:


19

a (b + c + d) = ab + ac + ad. Se llama a esta relación la ley distributiva y significa que la relación que a tiene con la expresión en paréntesis se distribuye entre todos los términos del paréntesis.

La barra de una fracción tiene el mismo efecto que un paréntesis: en este caso, tanto el numerador como el denominador se considera como un solo número.

62) 11515

123105 ==+

+ 63) 421

43

424

4324 =−=−

Debe tenerse en cuidado especial con las cancelaciones. Sería incorrecto calcular la expresión anterior en la siguiente forma:

364

3426

−=/−/

Un signo de radical tiene el mismo efecto de un paréntesis. Esto es, la expresión del radical se considera como un solo número. Las operaciones dentro del radical deben realizarse antes de extraer la raíz. EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS 64) Identifique los siguientes símbolos: a. ≠ b. = c. > d. < e. ≥ f. ≤ g. ≅ h. ( ) i. [ ] j. { } k. ⇔ l. ⇒ Respuesta: a. Diferente b. Igual c. Mayor que d. Menor que e. Mayor igual f. Menor igual g. Aproximado h. Paréntesis i. Corchete j. Llave k. Equivale l. Implica


20

65) Operaciones con números naturales Resta: a. 856.6905.7 −

b. 292.1002.2 − c. 698.1303.7 − d. 253.6335.8 −

Producto: a. 315228.1 ×

b. 003.2672.245.3 × c. 003.1567.234.1 ×

Cocientes: a. 14824÷

b. 26245.7 ÷ c. 756.8654.987.1 ÷

Potenciación: a. 36 b. 63 c. 53 23 ÷ d. 96 39 −

e. 23 47 − f. 22 34 + g. 37 36 − ; Raíz cuadrada de: a. 841 b. 201.10 c. 016.254 Respuesta: Resta: a. 049.1 b. 710 c. 605.2 d. 082.2 Producto: a. 820.386 b. 016.081.501.6 c. 701.270.238.1 Cociente: a. 857,58 b. 65,287 c. 0,277 Potenciación: a. 216 b. 729 c. 84375,0 d. 758.511 e. 327 f. 25 g. 909.279 Raíz cuadrada: a. 29 b. 101 c. 504 66) Operaciones con racionales (fracciones)

Simplificar: a. 3628 b.

9654 c.

833539


21

Amplificar: a. 4?

21 = b.

12?

32 = c.

39?

131 =

Suma: a. 6411

85 + b.

492

21

213 ++ c.

9713

6512 +

Resta: a. 101

53 − b.

401

81

21 −− c.

327

619 −

Multiplicación: a. 9

1054 × b.

107

65 × c.

922

415 ×

División: a. 32

65 ÷ b.

136

9172 ÷ c.

413

736 ÷

Respuesta:

Simplificar: a. 97 b.

169 c.

1711

Amplificar: a. 42 b.

128 c.

393

Suma: a. 6451 b.

058.2407.1 c.

54437.1

Resta: a. 105 b.

4014 c.

69

Multiplicación: a. 4540 b.

6035 c.

36420

División: a. 1215 b.

546936 c.

172630

67) Operaciones con números irracionales

Suma: a. 575856 ++ b. 8416

318268

81 ++++

Resta: a. 3437 − b. 552511 −−


22

Multiplicación : a. 6.3 b. 7.5.2

División: a. 68 ÷ b. 560 ÷ c. 2023500

53 ÷

Respuesta:

Suma: a. 521 b. 6348

819 +

Resta: a. 33 b. 58 Multiplicación : a. 18 b. 170

División: a. 68

6

8 = b. 12 c. 25126

68) Regla de los signos: a. )()( ++ b. )()( −− c. )()( −+ d. )()( +− Respuesta: a. + b. + c. – d. – 69) Productos notables Resolver los siguientes productos: a. 2)( ba + b. 2)( ba − c. 3)( ba + d. 3)( ba − e. 3)43( +y f. )12()12( −+ xx Efectuar los siguientes productos: a. )3)(2( ++ aa b. )710)(69( −+ xy Descomponer en un producto de dos factores: a. 862 ++ xx b. 652 +− aa c. 8452 −− xx Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. ...102 ++ xx b. 22 36... nm +− c. 4942... ++ x d. ...204 2 ++ aa


23

Respuestas: Resolver los siguientes productos: a. 22 2 baba ++ b. 22 2 baba +− c. 3223 33 babbaa +++ d. 3223 33 babbaa −+− e. 6414410827 23 −+− yyy f. 14 2 −x Efectuar los siguientes productos: a. 652 ++ aa b. 42636090 +−+ yxxy Descomponer en un producto de dos factores: a. ( ) ( )24 ++ xx b. ( ) ( )23 −− aa c. )7)(12( +− xx Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. 25102 ++ xx b. 22 3672 nmnm +− c. 49429 ++ xx d. 25204 2 ++ aa 70) Eliminar paréntesis: a. )13(4 −+ b. 11)2114( +−+ c. )2()3( xx −−+ d. )22(3)5( yxxy −−++ Respuesta: a. 6 b. 24 c. 12 +x d. 333 ++ xy 71) Redondear hasta la décima cada uno de los números siguientes: a. 76,425 b. 009,006.3 c. 67,25 d. 76,0 e. 076,0 f. 009,0 g. 43,8 h. 05,0 i. 835,374.4


24

Respuesta: a. 8,425 b. 0,006.3 c. 7,25 d. 8,0 e. 1,0 f. 0,0 g. 4,8 h. 1,0 i. 8,374.4

72. Escribir el signo apropiado (>, <) a. 6,1...4 b. 6...3 − c. 23...57 + d. 32...5,1

Respuesta: a. > b. > c. > d. > RAZONES Y PORCIENTOS Para facilitar el análisis y la interpretación de datos estadísticos se utilizan con frecuencia razones y porcentajes. Una razón es una comparación de una magnitud con otra, como múltiplo o como fracción. Supongamos que la empresa A tiene 789 trabajadores, de los cuales 526 son mujeres y 263 varones. La relación existente entre los trabajadores mujeres y trabajadores varones podría expresarse por medio de la fracción 526/263. Esta fracción no aclararía gran cosa. Podría decirse también que es una razón de 526 a 263. Esto tampoco aclararía mucho. Si se dice, sin embargo, que el número de mujeres que trabajan en la empresa A llevan ventaja a los hombres en una proporción de dos a uno, tenemos realmente una cifra que nos ayuda en la interpretación de los datos. Con frecuencia se expresan las razones usando una base de 100, o múltiplo de 10. Se prefiere decir 200/100 o 200 a 100, en vez de 400/200 o 400 a 200. Los cuatro conceptos indican lo mismo, pero se hace más fácil entender las razones cuya base es 100. Una forma especial de este tipo de razón es el porciento. En el ejemplo anterior podríamos decir que el número de empleados mujeres es 200% del número de empleados varones. Cuando las razones se expresan en forma de porcentajes se facilita la comparación. En el ejemplo anterior podríamos comparar el porcentaje de varones en esta empresa con el porcentaje de varones en otras empresas. USO DE PORCENTAJES Los porcentajes pueden usarse en diferente forma al establecer comparaciones. Algunas formas son las siguientes:


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Comparación de una parte con el total. En este caso se comparan los diferentes componentes de un total. Así podría indicarse que en un almacén las ventas del departamento de ropa para mujeres representaron el 42% del total, mientras que las ventas del departamento de muebles representaron el 23% de dicho total. La suma de los porcentajes que representaron las ventas en cada departamento es de 100%. Comparación de dos partes de un total. Consiste en establecer la comparación entre dos componentes de un total, Podría así decirse que las ventas en el departamento de ropa para mujer fueron el 183% de las ventas del departamento de muebles. Podría también decirse que las ventas del departamento de ropa para mujer fueron 83% mayores que las ventas del departamento de muebles, o que las ventas del departamento de muebles representaron únicamente el 55% de las ventas del departamento de ropa para mujer. La forma en que se hace la comparación depende del análisis que quiere dársele a las distintas partidas. Comparación de un total con otro total. Pueden establecerse comparaciones entre las ventas de una empresa y las ventas de otra empresa. Podría indicarse, por ejemplo que las ventas de la empresa A son el 75% de las ventas de empresa B. CORRECTO USO DE LOS PORCENTAJES Aunque el uso de los porcentajes está muy generalizado, muchas veces se establecen comparaciones que no se justifican y que dan impresiones erróneas. Esto sucede a pesar de la corrección del cálculo aritmético. En el uso de los porcentajes deben evitarse los siguientes errores: Comparación entre dos cifras cuando la base y la magnitud a comparar son pequeñas. El ejemplo clásico de esto es el de la universidad que admitió señoritas por primera vez a sus planteles. Poco tiempo después se indicaba que el 33,3% de las estudiantes admitidas se casaban con profesores de la facultad. Al examinar la declaración con más detalle se encontró que solamente, se habían admitido tres estudiantes y que una de ellas se había casado con uno de los profesores. No hay duda de que el cálculo de porcentajes en esta forma tiende a producir una impresión completamente errónea debido al número tan pequeño de estudiantes consideradas. Generalmente no se deben calcular porcentajes cuando la base a usarse es menor de 100. Comparación de cifras usando base demasiado pequeñas. En otras palabras, no deben establecerse comparaciones cuando la base es muy pequeña, ya que el porcentaje resultará tan grande que dificultará la comparación en vez de facilitarla.


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Si una persona indica que el capital de una empresa aumentó en 1.355% durante los últimos 15 años, no está realmente simplificando y aclarando. Esto más bien sirve para oscurecer la realidad. Comparación de cifras usando bases demasiado grandes. Esta es la situación contraria de la mencionada anteriormente. Si se quiere indicar la posición de un grupo profesional u ocupacional dentro de la población total y se dice que este grupo representa una décima parte del 1% de la población en un país y que en otro país este grupo ocupacional representa 3/10 del 1% de la población total, no se está haciendo una comparación que puede captarse con facilidad. En este caso sería mejor usar las cifras absolutas de ambos países. Comparación de los cambios en porcentajes olvidando referirse a las bases de los mismos. No se pueden comparar los cambios en porcentajes sin referirse a la base sobre la cual éstos están calculados. Si las ventas en el departamento de ropa para hombres en una tienda aumenta en 40% sobre una base de $20.000.000,oo y las ventas del departamento de muebles de la misma tienda bajan un 40% sobre una base de $100.000.000,oo, no se puede suponer que estos dos porcentajes se cancelan uno a otro y que no ha habido disminución en las ventas totales. Al considerar los dos departamentos unidos, se notará que las ventas disminuyeron en $32.000.000,oo, resultado de un aumento de $8.000.000,oo en el departamento de ropa para hombres y una disminución de $40.000.000,oo en el departamento de muebles. Uso de porcentajes olvidando los cambios en las magnitudes. Deben observarse los cambios en las magnitudes, ya que en ocasiones los porcentajes pueden aclarar, mientras que en otros casos pueden confundir. Si el precio de un artículo aumenta de $360.000 a $480.000 en un mes, la declaración de que este aumento de sólo $120.000 no es sustancial, es contraria al hecho de que el aumento es de 33,33%, relativamente grande, si se considera la importancia de este artículo en la canasta familiar o artículos de primera necesidad. Por otro lado, una firma comercial que ha operado por dos años, indica que sus beneficios aumentaron en 100% entre estos dos años. Dicho porcentaje puede ocultar el hecho de que las utilidades del primer año fueron mínimas y que el aumento entre ambos años es ínfimo en términos absolutos. ALGUNAS RAZONES QUE SE USAN COMÚNMENTE Razones per-cápita. Muchas cifras adquieren mayor significación cuando se expresan en términos de per-cápita, esto es, por cabeza o persona. Por ejemplo, un país A importó de Estados Unidos mercancía


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por valor de $802,4 millones. En ese mismo año las importaciones de un país B provenientes de los Estados Unidos ascendieron a $547,6 millones. La población del país A en esa fecha era de 34,3 millones mientras que la del país B ascendía a 6,4 millones. Dividiendo las importaciones entre la población de los países, encontramos que, en términos per-cápita del país A ascendieron a US$23.39 (US$802,4 millones ÷ 34,3 millones) mientras que las del país B ascendieron a US$81,73 (US$547,6 millones ÷ 6.7 millones) Densidad de población. En ocasiones resulta más interesante comparar la densidad poblacional de dos países en lugar de su población total. El estimado de la población a mediados de año de un país A ascendió a 94.050.000 personas. La misma cifra para un país B fue de 3.500.000. La densidad poblacional de A en ese año era de 254 personas por kilómetro cuadrado, ya que su superficie es de 369.661 kilómetros cuadrados. Con una superficie de 1.096.581 kilómetros cuadrados, la densidad poblacional de B fue en ese año de 3 personas por kilómetro cuadrado. Tasas de natalidad y mortalidad. La tasa de natalidad se obtiene dividiendo el número de nacimientos en un año, por la población de mitad de año del país. A julio de 2007, la población en un país cualquiera, supongamos, ascendía a 20 millones de personas. Durante ese año considerado hubo un total de 662.884 nacimientos. La tasa de natalidad fue de 33,14 nacimientos anuales por cada 1.000 habitantes (662.884 ÷ 20.000.000 = 0,03314 × 1.000 = 33,14). En ese mismo año hubo un total de 169.000 muertes. La tasa de mortalidad se calcula en la misma forma que la tasa de nacimientos, esto es, dividiendo las muertes ocurridas en el año por la población a mediados de año. La tasa de mortalidad fue de 8,4 personas por cada 1.000 habitantes (169.000 ÷ 20.000.000 × 1.000). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, representa el crecimiento natural biológico o vegetativo de la población. En se mismo año este crecimiento fue de 23,0 personas por cada 1.000 habitantes. Las tasas de desempleo representan el número de desempleados por cada 100 personas, del grupo económicamente activo. El grupo trabajador es la suma de los empleados y desempleados. Supongamos que en abril de 2007 el grupo trabajador en un país A ascendía a 6.000.000 de personas. De este total había 5.100.000 empleados y 900.000 desempleados. La tasa de desempleo fue de 15,0%.


28

SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Cuando tenemos dos o más ecuaciones con el mismo número de incógnitas, lo denominamos sistema de ecuaciones. Los valores o raíces de las ecuaciones deben ser los mismos para todo el sistema. Para resolver sistemas de ecuaciones se puede emplear cualquiera de los tres métodos siguientes:

a. Igualación b. Sustitución c. Eliminación

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS a. Método de igualación. La forma general será: (1) 0=++ cbyax (2) 0''' =++ cybxa Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones:

(1) a

bycX

−−=

(2) '

''a

ybcX

−−= “Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si”

'

''a

ybcabyc −−=−

)''()(' ybcabyca −−=−−

Quitamos denominadores, agrupamos términos semejantes, sacamos factor común, despejamos y yabacbyaca '''' −−=−− '''' accabyayab −=− '')''( accabaaby −=−


29

baab

accay

''''

−−=

Para averiguar el valor de x reemplazamos el valor que hemos encontrado para y en cualquiera de las ecuaciones, (1) o (2).

(1) a

baabacca

bc

abyc

X

−−−−

=−−=''

''

( )

)''(''''''

''

baabaabcbcabcacab

abaabaccab

cX

−+−+−=−

−−−=

( )( ) baab

cbbcX

baabacbbca

X''''

''''

−−=∴

−−=

Anular valores sirve, igualmente para las dos ecuaciones, convirtiéndolas en una identidad al reemplazarlas por las incógnitas. Ejemplo numérico: (1) 12 =− YX (2) 113 =+ YX

(1) 2

1 YX += (2) YX 311−=

YY 3112

1 −=+ )311(21 YY −=+ 126 −=+ YY

→ YY 6221 −=+ 217 =Y 3=Y Reemplazando el valor del Y en la ecuación (2)

311−=X (3) 2911 =−=X

==

32

XX

Raíces

b. Método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, se despeja una de las incógnitas en una ecuación y se reemplaza su valor en otra ecuación. (1) 0=++ cbyax


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(2) 0''' =++ cybxa

(1) a

bycX

−−= Reemplazar este valor de X en (2)

0''' =++

−−cyb

abyc

a

0''' =++

−−cyb

abyc

a Quitamos denominadores

( ) 0''' =++−− acyabbyca 0'''' =++−− acyabbyaca Agrupamos términos semejantes y sacamos factor común: '')''( accabaaby ==− Despejamos y

baab

accay

''''

−−=

Para encontrar el valor de la segunda incógnita, se sigue el mismo procedimiento que para el método de igualación, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones el valor de Y. Ejemplo: (1) 42 =+ YX (2) 226 =− YX (1) XY 24−= Reemplazamos en (2) 2)24(26 =−− XX ; 2486 =+− XX ; 8246 +=+ XX ; 1010 =X ; 1=X Reemplazamos en 224)1(24 =−=−=Y c. Método de eliminación. Consiste este método en eliminar una de las incógnitas sumando ambas miembro a miembro. Para ello es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar sean iguales y de signo contrario. (1) 0=++ cbyax


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(2) 0''' =++ cybxa Vamos a hacer los coeficientes de X en (1) y (2) iguales, multiplicando a a’ por un número tal que: a = k a’; a continuación multiplicamos por (-1) a la ecuación (2) y seguidamente sumamos miembro a miembro.

0=++ cbyax 0''' =−−− kckybkxa

0''' =−+−+− kcckybbykxaax 0)'()'()'( =−+−+− kcckbbykaax

kaa '− Sabemos que es igual a 0; quedará la ecuación:

0)'()'( =−+− kcckbby ckckbby −=− ')'( kbbckcy

''−

−=

Para averiguar el valor de la otra incógnita bastará reemplazar el valor obtenido para Y en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2). Ejemplo: (1) 3=+ YX (2) 125 =− YX Vamos a eliminar X. (1) )3(5)(5 =+ yx En la (1) multiplicamos por 5: 1555 =+ yx Multiplicamos por (-1) 1555 −=−− yx Y la sumamos a la (2) (1) 1555 −=−− yx 125 =− yx

(2) 1470 −=− y 27

14 =−−=y

Para el valor de X reemplazamos en la (1) 32 =+x ; 123 =−=x Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Solución de ecuaciones completas, es decir, cuando constan de un término en segundo grado, otro en primer grado y el término independiente.


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Ecuación de la forma: 02 =++ cbxax

aacbb

x2

42 −±−=

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES El frecuente uso de sistemas de ecuaciones con varias incógnitas y la dificultad en su solución recomienda emplear, hasta donde sea posible, un método uniforme para encontrar soluciones. El álgebra matricial nos permite el desarrollo de un método que tiene como característica principal, la de constituirse en un proceso que no se altera, cualquiera que sea el número de incógnitas o de ecuaciones, el mismo tiempo que proporciona información apropiada para decidir sobre la consistencia o compatibilidad del sistema y sus soluciones. En la solución de sistemas lineales (n ecuaciones con n incógnitas) existen dos métodos desarrollados por Gauss y Jordan, respectivamente, en los cuales se sistematiza el método de eliminación de incógnita, mediante continuaciones lineales de las ecuaciones del sistema final en el que cada ecuación contenga una sola incógnita, diferente en cada una de ellas. 64 321 =−+ XXX Ejemplo: 9752 321 −=−+ XXX 223 321 =+− XXX Desarrollo:

a b c

321 4 XXX −+

321 752 XXX −+

321 23 XXX +−

6 -9 2

aa =1 abb 21 −= acc 31 −=

321 4 XXX −+

32 530 XX −−

32 4140 XX −−

6 -21 -16

Primera etapa

)3/1(12 bb −=

321 4 XXX −+

32 350 XX ++

32 4140 XX −−

6 7

-16


33

212 4baa −=

2b

212 14bcc +=

33230 XX −+

32 350 XX ++

338200 X++

-22 7

82

Segunda etapa

323 )3/23( caa +=

323 )3/5( cbb +=

3c

001 ++X 00 2 ++ X

300 X++

1 2 3

Tercera etapa

Las soluciones son: 11 =X 22 =X 33 =X Del anterior ejercicio podemos observar:

• El desarrollo consta de tantas etapas como incógnitas o ecuaciones se tengan. • El objetivo final de estas etapas consiste en transformar la matriz de los coeficientes

en la matriz unitaria. • Cada etapa tiene como objetivo la eliminación de una incógnita en todas las

ecuaciones salvo una, y será en esa ecuación donde se hallará el valor de esa incógnita.

El proceso de eliminación es el de reducción, simplificando. Para ellos se efectúan divisiones de modo que el coeficiente de la incógnita por eliminar sea el valor “1” en la ecuación que tiene dicha incógnita. Luego por simple multiplicación y adición o sustracción se elimina la incógnita deseada en las demás ecuaciones. EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS Resolver los sistemas de ecuaciones de primer grado 73) Por sustitución: a. 32 =− yx b. 2538 =+ yx 4534 =+ yx 135 =+ yx 74) Por igualación: a. 263611 =− yx b. 913521 =+ yx 34127 =+ yx 1773 =+ yx


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75) Por reducción: a. 117156 =+ yx b. 301213 =− yx 100135 =+ yx 7049 =+ yx Respuestas: 73) a. 6,6−=y b. 2=x 2,16=x 3=y 75) a. 1,95=x b. 1=x 9,3=y 2=y 74) a. 7=x b. 6=x 5=y 4=y SÍNTESIS DEL CAPÍTULO Tener una buena formación matemática es una gran ayuda y ventaja para entender la teoría estadística; sin embargo en el desarrollo de los diferentes capítulos que contiene este libro, su uso ha sido bastante restringido, sólo aplicado en aquellos casos en que son estrictamente necesarios, buscando que los temas sean más comprensibles para aquellas personas que tiene cierto grado de dificultad en esta disciplina. Es esa a razón por la cual se ha considerado necesario incluir un capítulo que contenga algunos aspectos, tales como: sumatorias y productorias; uso de símbolos y operaciones elementales; razones y porcientos; finalmente solución a ecuaciones de primer y segundo grado. Con ello el estudiante estará en condiciones de utilizar el presente contenido. Es recomendable al usar porcientos, tasas, proporciones, razones, ratios, un mayor conocimiento sobre sus aplicaciones y las diferencias que hay entre sí, ya que


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frecuentemente son mal utilizados, y desorientan al lector al hacer comparaciones en forma indebida. En algunos capítulos venideros, el estudiante va a tener necesidad de su uso, como por ejemplo en números índices; distribuciones de proporciones; pruebas de hipótesis con proporciones, como en el capítulo de probabilidades se dan resultados algunas veces en ralitivos y en otros porcentajes.

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Solucionario Estadística y Muestreo Ciro Martínez Bencardino