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Examen UNI 2014 – IMatemática
SOLUCIONARIO
MATEMÁTICA PARTE IPregunta 01
Las notas obtenidas por tres postulantes hacen un promedio de 15. La relación entre las notas del primero y el segundo es 4/5 y la relación entre el segundo y tercero es 5/6. Calcule la diferencia entre la mayor y menor nota.
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Resolución 01
Promedios
Las notas están en relación de:
A= 4k
B= 5k
C= 6k
Como el promedio de las 3 notas es 15, entonces la suma de estas es 45:
4k+5k+6k= 45 → k= 3
∴ A= 4(3)= 12; B= 5(3)= 15; C= 6(3)= 18
Piden: C – A= 6
Rpta.: 6
Pregunta 02
Si se cumple que abc= ab+bc+ca, calcule el valor de a+b–c, sabiendo que a, b, c son positivos.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolución 02
Cuatro operaciones
abc= ab + bc + ca
a00= ab + ca
Por criptoaritmética ab +
ca
a00 abc
a b c198
2===
+ − =4⇒
Rpta.: 2
Pregunta 03
Una persona dispone de cierto capital, el cual es dividido en dos partes. La mayor parte la impone al 14% anual y la otra parte al 8% semestral. Si al cabo de un año los montos obtenidos son iguales, determine el capital inicial, sabiendo que las partes se diferencian en 1200. Todas las cantidades están en nuevos soles.
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A) 128 000
B) 132 000
C) 136 000
D) 138 000
E) 140 000
Resolución 03
Interés simpleC: Capital
C1 C2
14% anual 16% anual
Al cabo de un año se obtienen montos iguales.
M1 = M2
114% C1 = 116%C2
CC
5758
21 =
C kC k
5857
12
==
C1 – C2= 1200 → k= 1200
∴ C1+C2= 115k= 138 000
Rpta.: 138 000
Pregunta 04
Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal ordinario es 32 gramos se funde con un lingote de oro de 104 gramos con ley 0,65. De cuántos kilates es la aleación obtenida.
A) 0,651
B) 0,658
C) 15,600
D) 15,792
E) 34,442
Resolución 04
Mezcla
Primera aleación
32Ley w g de metal ordinario
w g2416
32
31
96
&= = =
=
Liga
Segunda aleación
Ley= 0,65 y w= 104 gr
La ley de la unión de estas aleaciones
La ley en kilates sería:
(0,658)24=15,792 kilates
( ) , ( ) ,
,
L
L96 104
96 0 65 104200
131 6
0 658
23
m
m
=+
+=
=
Rpta.: 15,792
Pregunta 05
Un comerciante tiene que formar paquetes diferentes de 8 unidades de frutas, para ello debe escoger entre plátanos y peras. Cada plátano cuesta S/. 0,20 y cada pera S/. 0,50. ¿Cuál es el promedio de la venta de los paquetes?
Asúmase que hay suficientes plátanos y peras.
A) 2,77
B) 2,79
C) 2,80
D) 3,00
E) 3,10
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Resolución 05
Promedios
Total de frutas: 8
N. Plátanos (x)
N. Peras (8–x)
Precio de c/u S/. 0,20 S/. 0,50
• Para
x= 0; 1; 2; ...; 8
⇒ x= 4
Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)
Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)
Pv= 0,20(4) + 0,50(8–4)
Pv= 2,80
Pv: precio de venta promedio
x: promedio de los x (x= 0, 1, 2, ..., 8)
Rpta.: 2,80
Pregunta 06
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado; donde P indica la probabilidad.
I. Si los conjuntos no vacíos A y B son disjuntos, entonces
P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A)P(B)
II. Sean
A= {(x,y)/x∈{1,2,3,4,5,6}; y∈{1,2,3,4,5,6}}
B= {(x,y)∈A / 4<x+y≤6}
entonces P(B)= 92
III. P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
A) VVV
B) VFV
C) FVF
D) FFV
E) FFF
Resolución 06
Probabilidades
I. Si A y B son disjuntos ⇒ A∩B= ∅
⇒ P(A∩B)= 0
Como: P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)
∴P(A∪B)= P(A)+P(B)
II. Como:
n(A)= 6×6= 36
B= {(1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,5); (5,1); (3,3); (2,4); (4,2)}
n(B)= 9
Además B⊂A
P(B/A)= 369 = 4
1
III. Recordar
• E∆D= (E∩Dc)∪(Ec∩D)
• (E∩Dc)∩(Ec∩D)= ∅
• P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)
Entonces
P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)–P( )
0
QS
P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
Luego:
I= F II= F III= V
Rpta.: F F V
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Pregunta 07
Dados abcd= 5°
+2, dabc= 9°
+2= 11°
+7,
donde dabc es el menor número con las
propiedades indicadas con d≠ 0 y a≠ 0.
Determine el valor de E= (a)(b)+(c)(d)
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
F)
Resolución 07
Teoría de números
abcd= 5° +2 ....(1)
dabc= 9° +2 ....(2)
dabc= 11° +7 ...(3)
de (1): d= 2 o 7 elegiremos d= 2
de (2) y (3): dabc= 99° +29 ⇒ da+bc= 29
como dabc es el menor posible:
2a+bc= 29 ⇒ b= 0 ⇒ b= 0 ∧ a+c=9
1 8↓ ↓
Recuerde que a≠ 0
pero b si puede ser cero
dabc= 2108
∴E= (a)(b)+(c)(d)= 161×0+8×2
Rpta.: 16
Pregunta 08
Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:
I. 2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 +...= 0
II. Cada número irracional se puede aproximar por un número racional.
III. Si A= ⟨0,1⟩∩Qc, entonces 21 ∈A,
donde Qc indica el complemento del
conjunto de los números racionales.
A) VVV
B) VVF
C) FVV
D) FVF
E) FFF
Resolución 08
Conjuntos numéricos
I. Sea fn = 2 – 2 2 – 2 ..." " minn t r osé
+ +1 2 344444 44444
Luego:
f1= 2 ; f2= 0; f3= 2 ; f4=0; ...
La sucesión de las sumas parciales es oscilante, por tanto, cuando “n” tiende a infinito
áLim
nfn No est definida
" 3=
II. Para todo “x” irracional, existe un “n” entero tal que
n<x<n+1
Dividiendo entre un m∈Q+
mn
mx
mn 1< < +
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Donde mx es un irracional y su aproximación
por defecto es el racional mn
III. Si 21 ∈A → 2
1 0;1 21 Q
V
c
F
F
/! !1 2 344 441 2 344444 44444
S
Rpta.: F V V
Pregunta 09
Si x0 es la solución de la ecuación
x3 8
17 2 722 128 7–
++ = +
Calcular el valor de x 340 +
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Resolución 09
Racionalización
x3 8
17 2 722 128 7
++ = + −
x3 8
9 82 128 7
++ = + −
x3 8
3 82 128 7
2
++ = + −
x3 8 2 128 7+ = + −
x3 2 2 7 2 128+ + = +
x8 2 2 128+ = +
x64 2 2 128+ = +
Se cumple que:
x= 64 + 2= 66
x 34 10` + =
Rpta.: 10
Pregunta 10 Determine la intersección de los conjuntos de las inecuaciones siguientes:
( ) ( )( ) ( )
x xx x
1 23 1
0– –7 4
5 8#
+ +,
.x x
x x5 62 1
0– –3 6
7 4#
+ +.
A) [–3,1⟩
B) [–1,6⟩
C) [–1,5⟩
D) [–1,1⟩
E) [–3,5⟩
Resolución 10
Inecuaciones
I. ( ) ( –2)
( ) ( 1)0
x x
x x
1
3
– 4
8
7
5#
+ +
–3≤x<1 ∧ {x≠2; x= –1}
CS(I)= [–3,1⟩
II. ..
0x x
x x5 62 1
– –3 6
7 4#
+ +
–1≤x<6 ∧ xx
52 0– #
+
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–1≤x<6 ∧ –2≤x<5
CS(II)= [–1,5⟩
∴ CS(I) ∩ CS(II)= [–1,1⟩
Rpta: [–1,1⟩
Pregunta 11
Sea f una función definida por f(x)= (1−x3)1/3+1, x∈R . Determine la inversa f * de f.
A) f*(x)=1−(x2−1)1/3, x∈RB) f*(x)=1−(x−1)3/2, x∈[0,+∞>
C) f*(x)=(1−x3)1/3, x∈RD) f*(x)=(1−(x−1)3)1/3, x∈RE) f*(x)=(1−(x−1)1/3)3, x∈[0,+∞>
Resolución 11
Funciones
I. f(x)= x1 133 − + ; x∈R
II. Nótese que f es inyectiva con dominio R y rango R.
Obtención de la inversa:
y x1 133= − +
y x1 1 33− = −
(y–1)3= 1–x3
x3= 1–(y–1)3
( )x y1 1 33= − −
Rpta.: f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, x Rd
Pregunta 12
Considere: Sn= i+i2+i3+... in, donde i2=−1,con n∈N . Dadas las siguientes proposiciones.
I. Sn+Sn+1= i, si n es impar.
II. Sn= Sn−1+Sn+1, si n es par.
III. Sn=−1,sintienelaforman=4k+3,con k entero no negativo.
Son correctas:
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I y III
Resolución 12
Números complejos
Sn = i + i2+i3+ ... + in
( )( )( )
Si
i ii i
i i i11
11
n
n n(
$=−−
=− −
− −
Snii
11n
=+−
I. S S in n 1+ =+S S
ii
ii i
11
11n n 1
+− +
+− =
+
in + in+1 - 2 = i(i+1)
in(1+i) = -1 + i + 2
in (1+i) = (1+i)
in = 1
n = 4k (F)
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II. S S Sn n n1 1= +− +SSS
ii
ii
ii
11
11
1
n n n1 1
+− =
+− +
+
− +
i i i1 2n n n1 1− = + −− +1 2 344 44
in - 1 = 0 - 2
in = -1
n k4 2( d + (F)
III. 1Sn =−S
ii
11 1
n
+− =−
in - 1 = -i - 1
in = -1 ⇒n∈4k + 3 (V)
Rpta.: Solo III
Pregunta 13
Sean las funciones:
f(x)= c(ax) y g(x)= d(bx)
cuyas gráficas se muestran a continuación.
g(x)
f(x)
0
y
x
Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones son correctas.
I. c= d
II. 0<a<b<1
III. a+b>1
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
Resolución 13
Funciones
f(x)=cax; g(x)=dbx ⇒Porteoría:a>0;b>0
∴ I) V
II) F
III) F
Observamos en la gráfica:
g(x)
f(x)
0
y
x
i)f(x)>0 x Rd6 ⇒c>0
g(x)>0 x Rd6 ⇒d>0
ii) f(0)=g(0) ⇒ c=d
iii)f(x)>g(x)6x>0cax>cbx; 6x>0
1; 0ba x> >x
6` j ⇒ba >1
⇒a>b⇒0<b<a<1
Rpta.: Solo I
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Pregunta 14
Sea la matriz A12
13
= e o . Si AX=AT; halle 32 XT.
A) / /
/4 32
2 32 3
--
e o
B) / /
/4 3
24 32 3- -
e o
C) / /4 31
2 31
--
e o
D) /
//
12 3
1 31 3-
e o
E) / /2 31
2 31
--
e o
Resolución 14
Matrices
A A12
13
32
11
1$= =
−−−e eo o
En la ecuación:
.
AX A
X A A
T
T1
=
= −
X32
11
11
23
=−
−e eo o
X21
31
= − −e o
X23
11
T =−−
e o
/ //
X32 4 3
22 32 3
T` =−−
e o
Rpta.: / /
/4 32
2 32 3
--
e o
Pregunta 15
Sea X una matriz de orden 2×2 que cumple con:
(AX A−1)t=3(A−I),dondeAac
bd
= = G
a, b, c, d Rd , I matriz identidad.
SilatrazadeXes−6.Calcule(a+d)(b+c).
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Resolución 15
Matrices
Se tiene: Ax A-1 = (3(A - I))T
traz ((Ax)A-1) = 3 traz (A - I)T
Propiedad: ( ) ( )traz AB traz BA=traz(A-1.(Ax))=traz(x) = 3traz(A - I)T
-6 = 3traz(AT - I)
-2 = a+d - 2 a+d=0
∴ (a+d) (b+c)=0
Rpta.: 0
Pregunta 16
Al resolver el sistema:
xyx y
xy+ =34 ...(1)
x−y=12...(2)
se puede obtener soluciones enteras para x y para y; luego y es igual a:
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A) 16
B) 8
C) 4
D) 2
E) 1
Resolución 16
Sistemas de Ecuaciones
34 ... (1)
12 ... (2)
xyx y
xy
x y
+ =
− =*
de (1)
x2+y2=34 xy ...(3)
de(2)
(x–y)2=122
x2+y2–2xy=144...(4)
Reemp (3) en (4)
34 xy –2xy=144
xy 2–17 xy +72=0
( xy –9)( xy –8)=0
→ xy =9 ∧ xy =8xy=81 xy=64
Se tiene:
12
81
x y
xy
− ==
) → no hay soluciones enteras
12
64
x y
xy
− ==
) → x=16 ∧ y=4
Rpta.: 4
Pregunta 17
Dada la región admisible R del problema de programación lineal.
−5 0
QR
R1
Determine la función objetivo del problema, de modo que, tanto el punto R como el punto Q sean soluciones mínimas.
A) x+4y
B) −x+7y
C) x+10y
D) −x−3y
E) x−5y
Resolución 17
Programación lineal
Se observa que la función objetivo pertenece a la familia de las rectas que pasa por los puntos (-5;0) y (0;1), cuya ecuación es:
xy
51 1=
−
x y5 5= −
x y5 5− =−
∴ f(x;y)=x–5y
Rpta.: x−5y
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Pregunta 18
Dada la sucesión (an) definida por:
an=sen ( ) ,n
n n4
1 8N
n!
r + −c m
Entonces podemos afirmar que:
A) (an) converge a 2 /2
B) (an) converge a 1
C) (an) converge a 0
D) (an) converge a p/4
E) (an) no converge
Resolución 18
Sucesiones
n→∞
n→∞
; " "
; " "
senn
nn par Lim sen
n
n
senn
nn impar Lim sen
n
na 4
8
4
8
2
2
4
8
4
8
2
2n
"
"
r r
r r=
+ + =
− + =
` `
` `
j j
j j
Z
[
\
]]
]]
Notamos que el límite de cada subsucesión es igual a /2 2
⇒Lim an=22
∴an Converge a 22
Rpta.: (an) converge a /22
Pregunta 19
Sea la función f(x)= , x3 1
3 1x
x$
+.
Determine el rango de f.
A) [0,∞>
B) [1/2,∞>
C) [1,∞>
D) [3/4,1>
E) [2,∞>
Resolución 19
Funciones
;f x x13 1
1 1x $= −+
^ h
Del dominio:
3 3x $
3 1 4x $+
3 11
41
x +0 < #
41
3 11
x +0<#− − → 4
3 13 1
1 1<x# −+
f <# x43
1^ h → ;Ranf 43 1= 8
Rpta.: [3/4,1>
Pregunta 20
En el siguiente proceso de construcción tenemos inicialmente un triángulo equilátero de área 1, del cual vamos retirando paulatinamente los triángulos equiláteros como se muestra en la figura. Determine el área total de los triángulos retirados.
(1) (2)
...
A) 4/8
B) 5/8
C) 6/8
D) 7/8
E) 1
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Resolución 20
Sumatorias
Sea: Sn el área de los triángulos retirados en la n-ésima figura.
⇒S0 = O
⇒S1 = 41
⇒S2 = 41 3 4
1 2+ ` j
⇒S3 = 41 3 4
1 9 412 3
+ +` `j j
⇒S4 = 3 9 2741
41
41
412 3 4
+ + +` ` `j j j
` Sn = ...41 3 4
1 9 41 27 4
12 3 3+ + + +` ` `j j j
⇒Sn = 41
43+ ...4
1 3 41 9 4
1
S
2 3
n
+ + +` `c j j m1 2 3444444 444444
Rpta: 1
MATEMÁTICA PARTE 2Pregunta 21
Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6,exterior a un plano P. Si las distancias de A, B y C al plano P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente, halle la distancia de D al plano P (en u).
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
Resolución 21
Geometría del espacio
Piden: distancia.
del punto D al plano
P
A
x
B C
D7
3
6
* Propiedad en las regiones paralelográmicas
3+7=6+x
x=4
Rpta.: 4
CENTRAL: 6198–100 12
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Pregunta 22
El gráfico muestra una pirámide regular.
B
P
A
M
C
D
E
Si ED = 6 u, PM // BC, PBAP = 2, m∠BAE = 60°
y la distancia de A al plano que contiene los
puntos P, M y D es 3 u, calcule el volumen en
u3 de la pirámide A-PMDE.
A) 2 27
B) 3 27
C) 4 27
D) 5 27
E) 6 27
Resolución 22
Geometría del espacio
A
C
D
E
B
P
M
4
2
66
60º
3
4
* En ∆ equilátero ABE:
2
1
3
60º
3 3
EA
B
P
PE 2 7=
* Trapecio isósceles EPMD:
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TA
P 4 M
DE6
1
2 7 2 7
27
∴ .V 31
24 6 27 3 5 27A PMDE
= + =− ` j8 BRpta.: 5 27
Pregunta 23
En la figura BC = 16, AB = 12, E y F puntos medios. Determine el área del cuadrilátero sombreado.
A
F
B CC
DE
A) 10
B) 15
C) 20
D) 21
E) 25
Resolución 23
Áreas
Piden: A MONL4
B
A L
M
FN
2n
10
O
D
C
3S
4S
3S
2S
n66
6
5
5
8 8
;OL AD L 6& = = “N” Baricentro ACD
En el AOL.S62
6 8=S = 4
∴ 5S = 20
Rpta.: 20
Pregunta 24
Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de
BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro
del rectángulo, si BC = 2AB = 8 y PM = AB,
entonces el área de la región triangular APO es
A) 2 6
B) 3 6
C) 4 6
D) 7 6
E) 8 6
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Resolución 24
Geometría del espacio
Piden : A APO
ABC= Notable
53 /2°
&CA=4 5
OA=2 5
Luego: TEOREMA 3
CM 'P : Notable 53 /2°
'MP 54 5
& =
OBS: MPP : PITÁGORAS
4 ' 'PP PP4 55
34 302
22&+ = =c ^m h
Finalmente
A APO= .54 30
22 5
4 6=
A 4 6APO` =T
P
DC
AB
O
4
M
4
4
4
2 5
'P
Rpta.: 4 6
Pregunta 25
En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja
una semicircunferencia con diámetro AD
tangente a BC en P. Se ubica el punto Q en
PC y se traza QE perpendicular a PC donde
el punto E está sobre la semicircunferencia.
Si PQ = 1 cm y el perímetro del rectángulo
ABCD es 48 cm, entonces la longitud de AE
(en cm) es:
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Resolución 25
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
• Piden: AE
• Dato: 2P = 48 = 6R
OA
B C
RR
7E
8
1
1 QP
R=8R=8
D
x
R=8
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Luego: Relaciones métricas
nm
x
x2 = m.n
⇒ x2 = 16.9
∴ x = 12
Rpta.: 12
Pregunta 26
En la figura mostrada, se tiene que el perímetro del cuadrado ABCD es igual al producto de las longitudes de las circunferencias de centro O y
O'. Calcule R r1 1+ .
O
D
CB
A
R
rO'
A) 3
2π
B) 2
2π
C) 32 2π
D) 43 2π
E) p2
Resolución 26
Circunferencia
r
R
2(R+r)
R
r
L2
L1
CB
A D
Piden: R r1 1+
Dato: 2pABCD = L1 . L2
8(R+r) = (2pR)(2pr)
r R1 1
2
2` r+ =
Rpta.: 2
2π
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Pregunta 27
Calcule el perímetro de un heptágono regular
ABCDEFG, si: AE AC1 1
51+ =
A) 34
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
Resolución 27
Polígonos regulares
x x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
EF
Gm
m
n
n
Piden: 2pheptágono
Dato: m n1 1
51+ =
T. Ptolomeo
* X ACDE: inscriptible
mn=nx+mx
x m n1 1 1= +
→ x1
51= →x=5
∴2pheptágono=35
Rpta.: 35
Pregunta 28
La generatriz de un cilindro oblicuo de base
circular mide igual que el diámetro del cilindro
disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros
de las bases y AB un diámetro de la base
inferior que contiene a N. Si AM = 19 dm y
MB = 13 dm entonces el volumen del cilindro
(en dm3) es:
A) 130 p 103
B) 131 p 104
C) 132 p 105
D) 133 p 106
E) 134 p 107
Resolución 28
Cilindro
A B
19 13 h2a-10
2a-10
O
a a
22
• Cálculo de la mediana:
192+132 = 2(2a-10)2+( )a
22 2
a=11
• T. Herón: ∆AOB.
. . .h 222 27 5 14 8=
h 1112 105=
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• Vcilindro = .11 1112 1052r
• Vcilindro = 132p 105
Rpta: 132p 105
Pregunta 29
Sea ABCD un cuadrilátero donde el ángulo exterior D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Si BC = 25 u y BD = 20 u, determine AB (en u).
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Resolución 29
Semejanza
Piden: AB=x
x
B
C
DAa
aa
25
20
∆ABD ∼∆DBC
x20 25
20=
∴x=16
Rpta.: 16
Pregunta 30
La altura de un cono circular recto mide 15 cm y el radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero cilíndrico de diámetro 4 cm en el cono, a lo largo de su eje, resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcule el volumen de ese sólido.
A) 240 p cm3 B) 254 p cm3
C) 260 p cm3 D) 264 p cm3
E) 270 p cm3
Resolución 30
Sólidos
Piden el volumen del sólido.
2
2
6
H
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Datos:
2 6
H
MO
A
V
B
15
Semejanza: ∆VOB∼∆AMB
⇒ H
H
1568
445
=
=
Luego:
Vx=Vtronco–Vcili
Vx= .4
453r (4+64+16)–p.4.
445
Vx=315p–45p
∴Vx=270p
Rpta.: 270pcm3
Pregunta 31
En la figura, O centro de la circunferencia. Si NH=11, AM×AE=900 y m∠ANM=45º, entonces la longitud del diámetro de la circunferencia es:
H
N
BE
MO
A
A) 5 2
B) 10 2
C) 15 2
D) 20 2
E) 25 2
Resolución 31
R. Métricas en la circunferencia
Piden el diámetro=2R
H
90º
11
N
BE
MO
A
RR45º
45º45º
R 2
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* 6NHME inscriptible
* Teorema de las secantes
( ) ( ) ( )R R AM AE2 11 2 900+ = =
R 2 25=
R2 25 2` =
Rpta.: 25 2
Pregunta 32
En la figura, BF=3u y ED=4u. Calcule el valor del segmento CF(en u).
qqA B
F
E
DC
A) 4,5
B) 5
C) 5,5
D) 6
E) 6,5
Resolución 32
Congruencia
qqA
B M F
F
4
43
x
E
DC
Piden: x
• Se prolonga CE → CE=EF
• CDE ≅ EMF
→ EM = 4
• x+3 = 8
∴ x = 5
Rpta.: 5
Pregunta 33
Calcule el valor aproximado de:
E = ctg(4º) – 7
A) 7,07
B) 8,07
C) 9,07
D) 10,1
E) 11,2
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Resolución 33
I.T. para el ángulo mitad
E = ctg4º – 7
Como: ctg 2α = csca + ctga
E = csc8° + ctg8°–7
E = 5 2 + 7 – 7
E = 7,07
Rpta.: 7,07
Pregunta 34
Si tan2a=2tan2x+1, halle el valor de y=cos2a + sen2x.
A) sen2a
B) cos2a
C) 1+sen2a
D) tan2a
E) 1+cos2a
Resolución 34
Identidades trigonométricas
tg2 a= 2 tg2 x+1
sec2 a – 1 = 2(sec2 x – 1)+1
sec2 a= 2 sec2x
cos2 x = 2 cos2 a
1 – sen2 x = 2 cos2a
1 – cos2 a= cos2 a+sen2x
∴ y = sen2a
Rpta.: sen2a
Pregunta 35
Un águila se encuentra a una altura H y ve a
una liebre de altura h. Se lanza sobre la presa
a lo largo del tramo de la trayectoria descrita
por la gráfica de la función ( )f x x 11–= , x>1,
llegando a su presa. Determina la tangente del
ángulo de depresión con el cual el águila vio al
inicio a su presa.
A) h1
B) h H
C) hH
D) hH h–
E) H hH h–
+
Resolución 35
Ángulos verticales
y
x
H
h
10 x2x1
q
q
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Piden:
tgx xH h2 1
i = −−
Ahora:
yx 1
1=−
x y1 1− =
x h1 12 − =
x x HhH h
x H1 1
2 1
1
− = −
− =
Luego:
tgq=hH
Rpta.: hH
Pregunta 36
En la función: y(t) = 2cos2t + 4 2 sen2t; la amplitud y el periodo son respectivamente:
A) 4 2 y p
B) 4 2 y 2p
C) 6 y p
D) 6 y 2p
E) 2 + 4 2 y p
Resolución 36
Funciones trigonométricas
y(t) = 2 cos2t+4 2 sen2t
( ) 6 ( 2 2 )cosy t t sen t62
64 2= +
Como:
4 2
26
f
y(t) = 6Sen(2t+f)
Amplitud = 6
Periodo = 22r
r=
Rpta.: 6 y π
Pregunta 37
Si x∈ ,0–3 , entonces el rango de la función
( )arctan cot
f xx arc x2
5π=+ , es:
A) ,0 1
B) ,1 2
C) ,0 2
D) ,2 5
E) ,5 3+
Resolución 37
Funciones trigonométricas inversas
( )f xarcTgx arcCtgx2
5r=+
Como–∞<x<0
– 2π <arcTg(x)<0
2π <arcCtg(x)<p
Entonces:
f(x)=arcTgx arcCtgx2
5–
r+
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f(x)= ( )f xarcTgx arcTgx2
2
5
– –rr=
+ ` j
f(x)= arcTgx35
–rr
Ahora:
0<–3arcTgx< 23π
p< p–3arcTgx< 25π
2<arcTgx35
–rr <5
2<f(x)<5
Ranf(x) = ;2 5
Rpta.: <2; 5>
Pregunta 38
Si i = 1– y ( )
( ) ( )
i
i iA1
1 1 1–40
20 20
+
+ += , entonces
(A + 500) es igual a:
A) –12
B) –10
C) –8
D) 10
E) 12
Resolución 38
Números complejos
En su forma exponencial:
2 .i e1 /i A+ = r ; 1 .i e2 /i 4− = r−
Reemplazando:
.. .
ee e
A22 2 1
i
i i
20 10
10 5 10 5+ =r
r r−
^
^ ^
h
h h
A22 2 1
20
10 10− − =
A=–29
Pide: A+500=–29+500
=–12
Rpta.: –12
Pregunta 39
De un disco de cartulina de radio 6 cm, se corta un sector circular de ángulo central q=120º. Con la parte restante, uniendo los bordes se forma un cono. Determine el coseno del ángulo en el vértice del cono construido.
A) 0
B) 22
C) 21
D) 51
E) 91
Resolución 39
Resolución de triángulos oblicuángulos
RRP Q
V
a6 cm 6 cm
RRAD34π
6cm
q=120°A B
l
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Perímetro de la base
l = RAD34πc m (6cm) = 8pcm
Además: La base es un círculo
8pcm = 2pR → R = 4cm
Enel∆VPQ
Por ley de cosenos
. .( )
cosR
2 6 66 6 2–2 2 2
α =+
∴cos 91α =
Rpta.: 91
Pregunta 40
Halle el valor de ( ) ,–3 840°–2tan
E sen 750 1 53
°= +
A) 21
B) 22
C) 23
D) 3
E) 2
Resolución 40
Reducción al primer cuadrante
• tan(840º) = tan(720º+120º) = tan120º
= –tan60º=– 3
• sen(750º) = sen(720º+30º) = sen(30)= 21
Reemplazando en E:
,
( )E
21 1 5
3 3 2 323=
+
− − −=
Rpta.: 23