SOLUCIONARIO MATEMATICA 5º

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SOLUCIONARIO DE LA PRUEBA DIAGNSTICA 5 AO DE EDUCACIN SECUNDARIA

1. Ruth deja su telfono celular siempre prendido. Si su celular est prendido pero ella no lo

est usando, la batera durar 24 horas. Si lo usa de manera constante, la batera

durar 3 horas.

Desde la ltima vez que recarg la batera, su telfono ha estado prendido 9 horas,

y en este lapso ella lo ha usado durante 60 minutos. Si no vuelve a usar el telfono,

pero lo deja prendido, cuntas horas ms le durar la batera?

(Realiza tus procedimientos en el espacio en blanco)

Cuando nos dan el tiempo que una persona o mquina o elemento demora en hacer un trabajo (o en consumirse) conviene trabajar con lo que puede hacer dicha persona o elemento en la UNIDAD DE TIEMPO, ya que esta capacidad se supone que permanece constante. Por ejemplo: Si queremos hacer una obra: en tres das,

trabajando cada da lo mismo, se deduce que cada da debemos trabajar: 1/3 de la obra. Igualmente si quisiramos hacer una obra en 5 horas, en cada hora tendramos que trabajar 1/5 de la obra. POR REDUCCIN A LA UNIDAD DE TIEMPO Si el celular est prendido y sin usar la batera dura 24 horas, es decir: en una hora prendido, pero sin usar, se gasta: 1/24 de la pila. Anlogamente: si el celular est prendido pero usndose, la pila dura 3 horas, es decir: en una hora prendida y usndose, se gasta: 1/3 de la bateria. Por dato: El celular ha estado prendido 9 horas, pero se ha usado solo 1 hora (60 minutos), luego el celular ha estado 8 horas prendido sin uso y 1 hora usndose.

Entonces se ha consumido: 8 (1

24) + 1 (

1

3) =

1

3+

1

3=

2

3 de la batera.

Y quedar por usar 1/3 de la pila. Ahora, por proporcionalidad directa: Si no se usa el celular:

- En 1 hora se consume: 1/24 batera. - En t horas se consumir: 1/3 batera.

2

Resolviendo, =1

1

31

24

=24

3= 8

Respuesta: Le durar 8 horas ms.

2. La tabla muestra cmo se distribuyeron las notas de una prueba en un curso de 30 estudiantes.

Notas Cantidad de estudiantes

3 5

4 8

5 12

6 5

De acuerdo con esta informacin, Cul o cules de las afirmaciones siguientes es (son) verdaderas?

I. La mayora de estudiantes del curso tuvo notas menores o iguales que 6 II. El 40% de los estudiantes del curso obtuvo nota 5. III. Los 2/3 del total de estudiantes del curso obtuvieron notas igual o superior a 4.


I. Obtuvieron una nota bajo 6, un total de 9 alumnos, que no es la mayora.

II. Obtuvieron nota 5 un total de 12 estudiantes, como 12/30 = 2/5 = 40/100,

entonces II es correcta.

III. Obtuvieron nota igual o superior a 4, un total de 25 estudiantes, como 25/30 =

5/6, entonces no son los 2/3 del total.

I y II

3. En un club de nutricin sirven un almuerzo formado por dos suplementos alimenticios, A y B. En cada unidad de A, se contempla 1 gramo de grasa, 1 gramo de carbohidratos y 4 gramos de protena. En cada unidad de B se considera 2 gramos de grasa, 1 gramo de carbohidratos y 6 gramos de protena. Si se quiere disear una dieta con estos suplementos, pero que no se proporcionen ms de 10 gramos de grasa ni ms de 7 gramos de carbohidratos, cuntas unidades de A y cuntas de B deben servirse para maximizar la cantidad de protenas consumidas?


Se deben servir 1 unidad de A (4 gramos de protenas) y 1 unidad de B (6 gramos de protenas). Otras posibilidades sobrepasan los 10 gramos de protenas.

Para que los/as estudiantes comprendan las dificultades involucradas en el planteamiento de un problema de este tipo es importante que anticipen respuestas apelando a su intuicin. Se podra sugerirles que inicien un anlisis basndose en una tabla como la siguiente:

3

Grasas Carbohidratos Protenas

Suplemento A 1 1 4

Suplemento B 2 1 6

Considerando ahora las condiciones impuestas, es decir, que los gramos totales de grasas no sean ms que 10 y los gramos totales de carbohidratos no sean ms que 7, se pueden listar distintas combinaciones de suplementos A y B, con tal de ir determinando cantidades diversas de protenas. Una primera opcin es considerar solo el suplemento B, ya que es el que ms protenas aporta, y dado que los gramos de grasa no pueden ser ms que 10, bastara considerar 5 unidades de B, lo que da 30 gramos de protenas y 5 gramos de carbohidratos, lo que cumple la segunda condicin. Por otra parte, si solo se considera el suplemento A y se utiliza la condicin de los carbohidratos, el mximo de protenas en este caso sera de 28 gramos, y si bien se sigue cumpliendo la condicin de las grasas, la cantidad de gramos de protenas no es mayor que en el caso anterior. En este caso, se debe considerar que las restricciones se formulan en funcin de las cantidades de unidades de los suplementos A y B, tanto para la cantidad de grasa como de carbohidratos. Es decir, la cantidad de grasas en A y en B, a la vez, no debe superar los 10 gramos, del mismo modo que la cantidad de carbohidratos en A y en B, a la vez, no debe superar los 7 gramos. Esto produce que detrs de estas condiciones se planteen combinaciones lineales entre las variables que representas las unidades de los suplementos A y B, y las cantidades de gramos de grasa o carbohidratos, segn corresponda. Si bien es un buen punto de partida considerar los casos extremos, se debe guiar a los/as estudiantes para que exploren combinaciones de ambos compuestos, pues como se vio en la actividad anterior, una mezcla de las variables es ms probable que satisfaga el requerimiento del problema, en este caso, de maximizar la cantidad de protenas cumpliendo las condiciones sobre las grasas y los carbohidratos (cantidades mximas de cada uno).

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4. Abajo se muestra el recibo de luz elctrica del Sr. Chvez, correspondiente al mes de Julio

del 2006. Como algunos valores de dicho recibo se han borrado, l recurre a ustedes para que determinen estos valores:

a) Cul fue el consumo, en kWh, del Sr. Chvez considerado en el presente recibo?

b) Cul fue el I.G.V. en soles que pag el Sr. Chvez en el recibo?


Luego el recibo completo del mes de Julio quedara as:

USUARIO: CHVEZ SALAS, AURELIO

CALLE LOS INCAS N 135, INTERIOR B. URB. BOLOGNESI.

DETALLE DEL CONSUMO

Lectura actual (08/07/2006) 134 096 kWh

Lectura anterior (08/06/2006) 132 578 kWh

Consumo en kWh kWh

Precio en soles por kWh 0,3203

(cargo por energa en soles por kWh)

Recuerda: Luz que apagas, luz que no pagas

DETALLE DE IMPORTES POR CONSUMO

Cargo por energa : S/. 486,22

I.G.V. : S/. .

TOTAL JULIO 2006: S/. 578,60

FECHA DE VENCIMIENTO: 15/07/2006

RECIBO DE LUZ

USUARIO: CHVEZ SALAS, AURELIO

CALLE LOS INCAS N 135, INTERIOR B. URB. BOLOGNESI.

DETALLE DEL CONSUMO

Lectura actual (08/07/2006) 134 096 kWh

Lectura anterior (08/06/2006) 132 578 kWh

Consumo en kWh kWh

Precio en soles por kWh 0,3203

(cargo por energa en soles por kWh)

Recuerda: Luz que apagas, luz que no pagas

DETALLE DE IMPORTES POR CONSUMO

Cargo por energa : S/. 486,22

I.G.V. : S/. .

TOTAL JULIO 2006: S/. 578,60

FECHA DE VENCIMIENTO: 15/07/2006

RECIBO DE LUZ

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Podemos hallar el consumo de Julio del 2006 en Kwh, restando: (lectura actual) (lectura anterior)

134096 132578

1518 kWh (kilowats hora)

(a) Consumo: 1518 Kwh (kilowats hora) Y multiplicando este consumo por el precio en soles de un kW - hora que es 0,3203, nos tendra que dar (como comprobacin) el cargo por energa. Veamos: 1518 0,3203 = 486,2154 y redondeando Cargo por energa = S/. 486,22 (que es precisamente lo que figura en el recibo). (b) La tasa actual del I.G.V. (Impuesto general a las ventas) es: 19% del valor de venta o sea: y 19% de 486,22 = 19/100 486,22 = 92,3818 Redondeando el I.G.V. al cntimo sera: S/. 92,38 Ahora como comprobacin, la suma del cargo por energa ms el I.G.V. nos tiene que dar el total por pagar.

( /. 486,22) + . . . (/. 92,38)

578,60 ( lo que es correscto)

Luego el recibo completo del mes de Julio quedara as:

Respuesta: a) El consumo, en kWh, en Julio 2006 fue: 1518 b) El I.G.V., en soles, que pag en Julio 2006 fue: 92,38

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5. Una jirafa est instalada en un terreno triangular cercado como se muestra en la figura. Las

medidas de los lados del terreno son 20m, 16m y 12m.

Gracias a su largo cuello la jirafa puede comer la deliciosa hierba que est fuera del terreno

cercado, exactamente hasta una distancia de 2 metros alrededor de todo el cerco.

Cul es el rea en m que la jirafa podra comer fuera del terreno cercado?


Familiarizacin y comprensin:

- Como nos dan las medidas de los tres lados del terreno triangular podemos determinar si el tringulo (del terreno) es rectngulo no.

Comprobando: 20 = 400

y: 16 + 12 = 256 + 144 = 400

Luego como la medida del cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos, segn el recproco del Teorema de Pitgoras, el terreno tiene la forma de un tringulo rectngulo.

- Tambin nos damos cuenta que el rea de hierba que podra comer la jirafa tiene un ancho constante de 2 metros alrededor del cerco triangular.

Bsqueda de estrategias: El rea de hierba que podra comer la jirafa se puede descomponer como la suma de las reas de tres rectngulos ms la suma de las reas de tres sectores circulares. Ejecucin: En el siguiente grfico, mostramos el rea total de hierba que puede comer la jirafa, descompuesta en 3 rectngulos y 3 sectores circulares.

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a) La suma de las reas de los tres rectngulos es; (aplicando la frmula) 20 2 + 16 2 + 12 2 = 96 m b) Ahora los tres sectores circulares tienen el mismo radio (2 metros) y se pueden entonces ensamblar dentro de un mismo crculo de radio 2m. Para esto tenemos que hallar la suma de los ngulos m; n y p y ver qu parte del crculo ocupan.

m = 360 ( 90 + 90 + ) = 180 - n = 360 ( 90 + 90 + ) = 180 -

p = 90 = 90 Luego sumando miembro a miembro: m + n + p = (180 + 180 + 90) ( + ) . (1) Pero como la suma de las medidas de los tres ngulos internos del tringulo debe ser 180, y como uno de los ngulos es 90, se tiene que: + = 90 . (2) Reemplazando (2) en (1): m + n + p = (180 + 180 + 90) (90) = 360 Luego, los tres sectores circulares juntos forman exactamente un crculo completo ya que la suma de sus ngulos de es 360 (una vuelta):

y la suma de las reas de los tres sectores circulares ser igual al rea de un crculo de radio 2m, sea:

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(2)2 = 4m Luego, el rea total de hierba que puede comer la jirafa es igual a: La suma de las reas de los 3 rectngulos + la suma de las reas de los 3 sectores. y reemplazando los valores hallados obtenemos: 96 + 4 y si asumimos: 3,14 96 + 4 (3,14) = 108,56 m (aproximadamente) Respuesta:

El rea en m que la jirafa podra comer es 108,56 m aproximadamente

6. Muchas veces un problema geomtrico es muy difcil si se enfoca de una manera

equivocada; en cambio si se observa de manera adecuada su solucin es sencilla.

Este problema es un caso tpico:

Dadas las dimensiones (en centmetros) que se muestra en la ilustracin: (OB = 6 y BC=4)

Calcular la longitud de la diagonal del rectngulo que va de la esquina A a la esquina B?


Llamaremos D al punto que indica el 4 vrtice del rectngulo.

A

B6 4o C

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Como sabemos las 2 diagonales de un rectngulo tiene la misma medida. Luego:

Luego: Medida de la diagonal AB = Medida de la diagonal OD, pero OD vendra a ser un radio del crculo y por lo tanto su medida ser igual a la medida de que es, segn dato en el grfico igual a: 6 + 4 = 10 unidades OC La medida de la diagonal AB sera 10 unidades

Respuesta: La medida de la diagonal del rectngulo que va de la esquina A a la esquina B

es 10 unidades.

7. Tres cuartos de circunferencia y un tres cuartos de

circunferencia todas de 10 centmetros de radio forman esta atractiva forma de jarra.

Cul es su rea en centmetros cuadrados?


Como segn dato la figura siguiente en forma de jarra:

10

Ha sido formada por tres cuartos de circunferencia y un tres cuartos de circunferencia, podemos completar las 4 circunferencias y obtenemos la siguiente figura.

Ahora, los cuarto de circunferencia a, b y c, que forman parte de la jarra los podemos trasladar a los cuartos de las circunferencias en blanco que estn dentro del cuadrado.

Luego, estaramos mostrando que el rea del cuadrado es equivalente al rea de la jarra y como el lado del cuadrado es el doble del radio mide: 10 + 10 = 20 cm. El rea de la jarra es: 20 20 = 400cm.

Respuesta: El rea de la figura en forma de jarra es 400cm.

8. En una muestra de personas seleccionadas al azar, se ha registrado el tiempo de espera del microbs en un da cualquiera. Este tiempo, en minutos, se distribuye de acuerdo al siguiente grfico.

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Cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I. El 10% de estas personas esperaron el microbs al menos 5 minutos. II. La mayora de las personas esperaron el microbs entre 10 y 20 minuto III. La cuarta parte de las personas espero el microbs a lo ms 10 minutos.


I: 5 personas esperaron el microbs al menos 5 minutos. Como 5/35 = 1/7 1/10 = 1/100 = 10%, entonces es falsa. II: Esperaron el microbs entre 10 y 20 minutos; un total 35 personas. Esta es la mayora de personas. Por lo tanto II es verdadera.

III: 20 Personas esperaron el mircoles a lo ms 10 minutos. Como 20/35 = 4/7 2/8 = , entonces III es Verdadera.

9. En una encuesta fueron entrevistados 100 alumnos de tercero y cuarto de secundaria de

la I.E. San Francisco de Ass. La pregunta principal fue: Qu prefieres hacer un sbado por la tarde, ver televisin o hacer deporte? Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Hombres Mujeres Total

Ver televisin 13 25 38

Hacer deporte 33 29 62

Total 46 54 100

Cul es la probabilidad de que al escoger un hombre, a este le guste ver televisin?.


Probabilidad buscada: 13/38

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10. El siguiente grfico muestra la cantidad de estudiantes matriculados en diferentes aos en

una institucin educativa.

En qu porcentaje vari el nmero de estudiantes matriculados de 1995 a 1996?


Familiarizacin y comprensin: Debemos recordar que cada punto P de un plano cartesiano, representa un par ordenado de la forma (a; b) donde a indica el valor del eje de abscisas (eje x) y b el valor del eje de ordenadas (eje y), que estn relacionadas entre s.

Para hallar los valores de a y b basta con trazar por el punto p, paralelas a los ejes y donde estas paralelas corten a dichos ejes, leeremos los valores de a y de b.

0

100

200

300

400

500

600

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Bsqueda de Estrategias: Tambin debemos recordar que cuando nos piden el porcentaje de variacin que sufri una cantidad, este porcentaje se calcula tomando como base el valor inicial de dicha cantidad que se considera como el 100%.

Ejecucin del plan: Para nuestro problema, cada punto indica un par ordenado, que tiene como abscisa el ao y como ordenada el nmero de matriculados en ese ao. P = (a; b) Ao nmero de matriculados

Del grfico, trazando las lneas paralelas (a los ejes) que pasan por los puntos que corresponden a los aos 1995 y 1996 obtenemos que: En 1995 los alumnos matriculados fueron 200. (valor inicial) En 1996 los alumnos matriculados fueron 400. (valor final) Luego, la variacin experimentada fue un aumento de 400 200 = 200 alumnos. Esta variacin en porcentaje se calcular as:

% variacin = (400200

200) 100%

De donde: % variacin = 100% de aumento Respuesta: El nmero de alumnos matriculados de 1995 a 1996 vari en un 100%.

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