Solucionario Razonamiento Matematico UNASAM 2009 - I

8/8/2019 Solucionario Razonamiento Matematico UNASAM 2009 - I

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ACADEMIASolucionario del Examen

de amisin UNASAM 2009 - I

Razonamiento Matemtico

PREGUNTA N 01

Si decimos:

1. Luis llora de emocin en su fiesta promocional.

2. X canta.

3. Y espera el tren.

4. Los ngulos conjugados internos son suplementa-

rios.

5. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Son proposiciones:

A) 1 y 3 B) 2 y 3 C) 4 y 5

D) 1, 4 y 5 E) Slo 2

Solucin

Analizando cada una de las expresiones:

1. Luis llora de emocin en su fiesta promocio-nal:

Si se da el caso de que Luis llora de emocin en sufiesta promocional, entonces la expresin sera ver-dadera, pero si no es el caso, entonces la expresinsera falsa. Por lo tanto, la expresin, bien puede serverdadera o falsa, de ah que s es una proposicin.

2. X canta.

Expresiones de este tipo, donde hay variables, nose pueden considerar ni como verdaderas ni comofalsas, ya que la variable podra representar a cu-alquier persona, por lo tanto la expresin no es unaproposicin.

3. Y espera el tren.

Esta expresin tampoco es una proposicin, ya quecontiene una variable en su enunciado al igual quela expresin anterior.

4. Los ngulos conjugados internos son suple-mentarios.

En geometra hay una propiedad que dice lo siguien-te:

los ngulos y son ngulos conjugados internos

s y solo s1 2l // l , ver figura, entonces: 108

1l

2l

Por lo tanto, la expresin es verdadera, y conse-cuentemente s es una proposicin.

5. Los ngulos opuestos por el vrtice soniguales.Segn la propiedad geomtrica que dice:

Si dos ngulos y son ngulos opuestos por el

vrtice, entonces se cumple que: , ver figura

La expresin es verdadera, en consecuencia, s esuna proposicin.

Por lo tanto, de las cinco expresiones dadas, solo sonproposiciones: 1, 4 y 5

PREGUNTA N 02

Los esquemas moleculares en los cuales la matriz de laverdad tiene todos sus valores verdaderos correspon-

den a la clase:

A) Contingente B) Consistente

C) Contradictorio D) Tautolgico

E) Verdadero

Solucin

En una proposicin compuesta donde su matriz con-tiene solo valores falsos corresponde a la clase con-tradictoria, si la matriz contiene una combinacin de

valores falsos y verdaderos corresponde a la clase con-tingente, y si la matriz de una proposicin compuestacontiene solo valores verdaderos, entonces correspon-de a la clase tautolgico.


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PREGUNTA N 03

De las siguientes expresiones, Cul ejemplifica unaproposicin?

A) Dios mo.

B) Hola!

C) Quin descubri Amrica?

D) La filosofa es una forma de pensamiento propia delhombre

E) Mi anhelo es ingresar a la UNP.

Solucin

Antes de averiguar en cul de las alternativas estrepresentada una proposicin, debemos tener en cuen-ta las siguientes definiciones:

Proposicin.- Es toda oracin o enunciado que puedeser calificado o bien como verdadero (V) o bien comofalso (F), pero no las dos a la vez, sin ambigedad.

Expresiones no proposicionales.- Son aquellasexpresiones del lenguaje comn que no pueden sercalificadas como verdaderas o falsas. Estas expresiones

pueden ser:

Interrogativas.- son aquellas que expresan preguntas.

Exclamativas o admirativas.- Son aquellas que ex-presan sorpresa, admiracin, jbilo o emocin.

Imperativas o exhortativas.- Son aquellas que orig-inan o impiden una accin (mandato o prohibicin)provocando cambios en el comportamiento de las per-sonas.

Desiderativas.- son aquellas que expresan deseos oanhelos.

Gracias a las definiciones dadas, la alternativa D, esla nica que cumple con las condiciones para ser unaproposicin, ya que la expresin o bien puede ser ver-dadera o falsa, el resto son expresiones no proposicio-nales.

PREGUNTA N 04

Simplificar el esquema siguiente:

A B B A A B

A) A B B) A B C) A

D) B E) B

Solucin

Para simplificar el esquema dado, haremos uso de lasleyes del lgebra proposicional.

A B B A A B

A B B A A B

A B B A A B

A B B A A B A B B A A B

A B B A A B

A B B A A B

A B A B A B

A B A B B

A B A F

A B A

A A B

A B

PREGUNTA N 05

Cuntos cuadrados perfectos que terminan en ceroexisten en la siguiente sucesin?

2 11 ; 2 12 ; 2 13 ; ... ; 2 801

A) 5 B) 4 C) 3

D) 6 E) 7

Solucin

A la sucesin:

2 11 ; 2 12 ; 2 13 ; ; 2 801

Podemos escribirlo de la siguiente manera:

22 ; 24 ; 26 ; ; 1602


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Ac podemos notar claramente que la sucesin, es unasucesin de nmeros pares que se inicia en el nmero22 y termina en el nmero 1602.

En el ejercicio nos piden calcular cuntos cuadradosperfectos que terminan en cero estn contenidos entoda la sucesin.

Los nmeros cuadrados prefectos tienen la forma 2k ,por lo tanto se tiene:

222 k 1602

22 k 1602

4,69... k 40, 02...

Luego:

k : 5 ; 6 ; 7 ; ... ; 40

Pero como la sucesin est compuesta slo por nmerospares, entonces k tomar los siguientes valores:

k : 6 ; 8 ; 10 ; ... ; 40

Si cada valor de k reemplazamos en 2k se tendrtodos los nmeros cuadrados perfectos contenidos en

la sucesin. As:

2k : 36 ; 64 ; 100 ; ... ; 1600

Por lo tanto, los cuadrados perfectos que terminen encero, sern:

100 ; 400 ; 900 ; 1600

PREGUNTA N 06

Yesenia cumpli aos en enero del presente ao (2009)

y comenta: Cuando cumpla aos en el ao 2012, miedad de hoy ser las tres cuartas partes de la edad deentonces. Cuntos aos cumplir en el ao 2015?

A) 12 aos B) 9 aos C) 10 aos

D) 13 aos E) 15 aos

Solucin

En el ejercicio nos piden hallar la edad de Yesenia enel ao 2015, pero esto ser posible solo cuando se

conozca la edad actual de Yesenia, y como an no loconocemos, le llamaremos x a la edad actual en el2009. Y segn los datos del problema, planteamos elsiguiente cuadro.

Presente

(2009)

Futuro

(2012)

Futuro

(2015)

Yesenia x x 3

36

Planteamos la siguiente ecuacin (condicin delproblema)

3

x x 34

4x 3x 9

x 9

Como x representa la edad actual (en el 2009), en-tonces en el 2015 tendr 15 aos.

PREGUNTA N 07

Hallar el valor de S, si:

1 1 1 1S ...

18 54 108 990

A)10

96B)

10

98C)

10

94

D)10

99E)

10

100

Solucin

A la suma:

1 1 1 1S

18 54 108 990

La multiplicamos por nueve ambos miembros, y setiene:

1 1 1 19S

2 6 12 110

1 1 1 19S

1 2 2 3 3 4 10 11

19S 1

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

10

1

11

1

9S 111

109S

11

10S

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PREGUNTA N 08

El servicio de inteligencia de cierto pas, desea enviarmensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar lassiguientes letras: V, A, M, P, I, R, O. Cuntas palabrasclaves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letrapuede repetirse?

A) 2 520 B) 1 550 C) 1 850

D) 1 100 E) 1 200

Solucin

En el ejercicio nos piden formar palabras claves quecontengan slo 5 letras de las siete que nos dan, pero

stas a su vez deben estar compuestas por letras norepetidas, o sea que estamos ante un ordenamientolineal sin repeticin. Y para ser ms exactos estamosante una permutacin lineal sin repeticin de nelementos tomados de k en k.

El nmero de permutaciones lineales sin repeticin den elementos tomados de k en k se calcula de lasiguiente manera:

nkn,k

n!P P ; 0 k n

(n k)!

Para dar respuesta a nuestro ejercicio, debemos hallarel nmero de permutaciones lineales sin repeticin de7 elementos tomados de 5 en 5.

7

5

7! 7! 7 6 5 4 3 2P

7 5 ! 2!

1

2 12520

Se pueden formar 2520 palabras de 5 letras.

PREGUNTA N 09

Si1

a 2 ,2

a 3 y la relacin general nn 1 n 1a 3a 2a

Hallar el valor de4 6

a a

A) 33 B) 40 C) 36

D) 42 E) 49

Solucin

Segn la regla de definicin, tenemos:

nn 1 n 1a 3a 2a

Adems:1

a 2 ,2

a 3

Si hacemos que:

n 2 3 2 1

a 3a 2a

3a 3 3 2 2

3

a 5

n 3 4 3 2

a 3a 2a

4a 3 5 2 3

4

a 9

n 4 5 4 3a 3a 2a 5a 3 9 2 5

5

a 17

n 5 6 5 4

a 3a 2a

6a 3 17 2 9

6a 33

4 6a a 9 33 42

PREGUNTA N 10

Le preguntan a un individuo por su edad y l contesta:Si sumamos mi edad, ms tres veces mi edad, mscinco veces mi edad, ms siete veces mi edad y as suce-

sivamente, se obtiene 4200. Halle la edad de dichoindividuo.

A) 10 aos B) 45 aos C) 36 aos

D) 34 aos E) 42 aos

Solucin

Sea x la edad del individuo, entonces:

x 3x 5x 7x 4200

Factorizando x

x 1 3 5 7 4200

Suma de nmeros

impares consecutivos

Sea n la cantidad de trminos de dicha suma, enton-ces


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2x n 4200

2x n 42 100

2 2x n 42 10

x 42

n 10

El individuo tiene 42 aos.

PREGUNTA N 11Elena reparti sus ahorros entre 15 mendigos. Cul esla mnima cantidad de dinero que pudo haber aumen-tado a lo que reparti para que cada mendigo hubieserecibido exactamente S/. 10 ms de lo que recibi?

A) S/. 120 B) S/. 140 C) S/. 160

D) S/. 130 E) S/. 150

Solucin

Hay que tener en cuenta que el reparto de una can-tidad de dinero entre un grupo de personas bien pu-ede ser exacto o generar algn sobrante, pero comoen nuestro ejercicio queremos que el reparto de dinerosea el menor posible, entonces no debe generar ningnsobrante.

Sea x la cantidad inicial del dinero

x 15 x 15p 1 p

Ahora, sea m la cantidad de dinero que se aumenta

x m 15 x m 15 p 10 2 p 10

Reemplazando (1) en (2)

15 p 10 x m

15p 150 15p m

m 150

tendra que haber aumentado S/.150

PREGUNTA N 12

Si 2 2a ? b 1 a b , calcular:

E 99999 ? 100000

A) 0 B) 200000 C) 199998

D) 199998 E) 1

Solucin

Simplificando la definicin se tiene:

2 2a ? b 1 a b

2 2a ? b b a 1

a ? b b a b a 1

Ahora hallamos:

E 99999 ? 100000

E 100000 99999 100000 99999 1

E 199999 1 1

E 199998

PREGUNTA N 13Se define la operacin matemtica representado por

, de la siguiente manera:

2 2 44a b a b a b a b b

Siendo a 0 , b 0

Afirmamos:

I. La operacin no posee elemento neutro.

II. a 0 , a a a

III. 3 3 0

Cules son ciertas?

A) I, II y III B) Slo I C) I y II

D) Slo II E) Slo III

Solucin

Antes de verificar las afirmaciones dadas, simplificare-mos un poco la definicin:


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2 2 44a b a b a b a b b

2 2 2 2 4

4a b a b a b b

4 4 44a b a b b

4a b a4

a b a

Ahora:

I. Verifiquemos si el operador posee o no elemen-to neutro.

Veamos:

Sea e el elemento neutro, entonces debe verifi-carse lo siguiente:

a e e a a

i) a e a

a a

Ntese que el elemento neutro se ha simplifi-cado, esto quiere decir que el operador noposee elemento neutro.

ii) e a a

e a

En este caso el elemento neutro no se ha sim-plificado, pero nos damos con la sorpresa deque no es nico, su valor depender de a,pues si:

Y as sucesivamente. Y como por unicidadsolamente puede haber un nico elemento

neutro, entonces el operador no tiene el-emento neutro nico.

As, de (i) y (ii) concluimos que el operador noposee elemento neutro

Por lo tanto la afirmacin (I) es verdadero.

II. Hay que verificar que: a 0 , a a a , enton-ces:

a a a

a a

Vemos que cumple la igualdad, entonces laproposicin (II) es verdadera.

III. Hay que verificar que: 3 3 0 , entonces:

3 3 0

3 0

Vemos que no cumple con la igualdad, entonces laproposicin (III) es falso

Las proposiciones I y II son verdaderas.

PREGUNTA N 14

En la siguiente tabla:

a b c d e

a c d e a b

b d e a b c

c e a b c d

d a b c d e

e b c d e a

Si afirmamos:

I. es cerrada

II. no es conmutativa

III. es asociativa

Entonces son ciertas:

A) Slo I B) Slo II C) Slo III

D) I, II y III E) I y III

Solucin

Verificando las afirmaciones:

I. La operacin cumplir con la propiedad declausura o cerradura, si y slo si se cumple que:

a,b A a b A

a 1 e 1

a 2 e 2

a 3 e 3


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O sea, los elementos del conjunto de llegada(cuerpo), pertenecen al conjunto de partida A. porlo tanto la proposicin (I) es verdadera.

II. La operacin cumplir con la propiedad con-mutativa si y slo si se cumple que:

a,b A a b b a

O sea, el orden de los elementos en la operacinbinaria, no altera el resultado.

Pero tambin es de vital importancia saber que hayuna forma prctica para determinar si una tabla dedoble entrada cumple con la propiedad conmuta-

tiva o no. Y sta es la siguiente:Se traza una diagonal, llammosle diagonal princi-pal (D.P.), sta diagonal parte desde el vrtice deloperador, y si los trminos equidistantes de stadiagonal son iguales (es decir si ambos lados dela diagonal y en forma simtrica son elementosiguales) entonces la operacin correspondiente esconmutativa.

Ntese que en la tabla los elementos equidistantesa la diagonal principal son iguales, por lo tanto eloperador cumple con la propiedad conmutativa.

En consecuencia la proposicin (II) es falsa.

III. La operacin cumplir con la propiedad asocia-tiva si y slo si se cumple que:

a,b,c A a b c b a c

O sea, si se asocian de dos en dos elementos dife-rentes, el resultado no vara.

En nuestro ejercicio planteamos:

a b c a b c

Y verificamos segn la tabla si se cumple la igual-dad.

a b c a b c

a a d c

c c

Ntese que cumple la igualdad, por lo tanto el op-

erador

cumple con la propiedad asociativa.En consecuencia la proposicin (III) es verdadera.

Las afirmaciones (I) y (III) son ciertas

PREGUNTA N 15

Yo tengo el doble de tu edad, pero l tiene el triple de lama; si dentro de 6 aos, l va a tener el cudruplo dela edad que t tengas, dentro de cuntos aos tendr30 aos?

A) 18 B) 11 C) 12

D) 14 E) 10

Solucin

Para una mejor identificacin de las variaciones deltiempo respecto a las edades de las tres personas, hare-mos uso del siguiente cuadro:

Presente Futuro

yo

t

el

2x

x

6x

2x 6

x 6

6x 6

6

Segn condiciones del problema, planteamos lasiguiente ecuacin:

6x 6 4 x 6 6x 6 4x 24

2x 18

x 9

Entonces en el presente tengo: 2x 2 9 18 aos.

Dentro de 12 aos tendr 30 aos.

PREGUNTA N 16

Si f x 1 f x 3x 2 y f 0 1 , hallar f 3

A) 1 B) 2 C) 4

D) 4 E) 1

Solucin

Segn las definiciones dadas se tiene:

si x 0

f 1 f 0 2

f 1 1 2

f 1 1

s x 1 s x 2

f 2 f 1 1

f 2 1 1

f 2 0

f 3 f 2 4

f 3 0 4

f 3 4


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f 3 4

PREGUNTA N 17

Si:a b

ad bcc d

. Halle el mayor nmero que

satisface la ecuacin:

A) 1 B) 6 C) 4

D) 3 E) 2

Solucin

Como:a b

ad bcc d

Entonces hacemos uso de sta definicin y tenemosque:

x 1

1 x 2 3 x 4 1 2 1 0 32 x

x 1

x 6 4x 22 x

2x 6 4x 2 x 2 25x 8 x 2

2x 5x 6 0 x 3 x 2 0

x 3 x 2

Hay que tener en cuenta que ambos valores satisfacenla ecuacin, por lo tanto x tiene dos valores, perocomo nos piden el mayor nmero, entonces:

x 3

PREGUNTA N 18

Calcular: 5 3

m 3 k 2

m k

A) 60 B) 16 C) 15

D) 30 E) 48

Solucin

Nos piden calcular:

5 3

m 3 k 2

mk

Y notamos claramente que en la sumatoria interiorla variable es k, permaneciendo m constante, demodo que si operamos la sumatoria interna, tendre-mos:

3 3

k 2 k 2

mk m k m 2 3 5m

Reemplazando en

5 5

m 3 m 3

5m 5 m 5 3 4 5 60

PREGUNTA N 19

3 conejos cuestan como 8 gallinas, 16 gallinas valen lomismo que 15 cuyes. Si se sabe que 5 cuyes cuestan 20soles. Cunto cuestan 10 conejos?

A) 100 soles B) 60 soles C) 70 soles

D) 40 soles E) 50 soles

Solucin

Sean:

Co = Conejos

Ga = Gallinas

Cu = Cuyes

Entonces distribuyendo los datos de la siguiente mane-ra:

3Co = 8Ga (1)

15Cu = 16Ga (2)

5Cu = S/. 20 (3)

Multiplicando la ecuacin (1) por dos, se tiene:

6Co = 16Ga (4)

x 101 2 x 1

2 x3 x 2 4

3 1

x 101 2 x 1

2 x3 x 2 4 3 1


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Igualamos las ecuaciones (2) y (4).

15Cu = 6Co (5)

A la ecuacin (5) la dividimos por 3

5Cu = 2Co (6)

Reemplazando la ecuacin (3) en (6)

20 = 2Co (7)

A la ecuacin (7) la multiplicamos por 5

100 = 10Co

Por lo tanto 10 conejos cuestan S/. 100

PREGUNTA N 20

Si 2K x 2K x x , x , K x 2 .

Calcular:

22008 K 2007 1

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

Solucin

Debemos tener en cuenta que el radicando de una razde ndice par, tiene que ser necesariamente positivopara pertenecer al campo de los nmeros reales

( ), entonces:

Restringiendo la raz cuadrada para este campo se tiene:

22K x x 0

22K x x

2x

K x2

Como podemos ver la funcin K x ser real para

cualquier valor de x, entonces K x estar biendefinido x .

De:

2K x 2K x x

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin:

2 2

K x 2K x x 2

2 2K x 2K x x

2 2K x 2K x x 0

A esta ecuacin de segundo grado la resolveremos me-diante el mtodo de completacin de cuadrados, as:

2 2K x 1 x 1 0

2 2K x 1 x 1

2K x 1 x 1

2K x 1 x 1

Descartamos la ecuacin con el signo menos ( )

2K x 1 x 1

Entonces calculamos:

22008 K 2007 1

22008 1 2007 1 2

1

22008 1 2007 1 1 22008 1 2007

2008 1 2007

2008 2008

0

PREGUNTA N 21

Cuntos tringulos se cuentan como mximo?


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1010

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

Solucin

En este ejercicio nos piden averiguar el nmero mx-imo de tringulos que hay en la figura, para hacerlotendremos que imaginar la figura principal como unrompecabezas de 5 piezas (ver figura), y a cada una deellas asignarle una letra o un nmero, as:

1

23 4

5

Hay que tener en cuenta que cada una de las parteso piezas, forman una figura simple. Ahora buscamostringulos combinando los nmeros de las piezas; perohacindolo en estricto orden:

Tringulos con una pieza

Tringulos con dos piezas

Tringulos con tres piezas

Tringulos con cuatro piezas

Tringulos con cinco piezas

: 1;2;3;4;5

: (2,3);(2,4);(3,5);(4,5)

: (1,2,3);(1,2,4)

: No hay

: (1,2,3,4,5)

N de figuras

5

4

2

0

1

12

Por lo tanto, en la figura mostrada hay 12 tringuloscomo mximo.

PREGUNTA N 22

Hallar el nmero de hexgonos.

A) 23 B) 40 C) 42

D) 33 E) 21

Solucin

Este ejercicio bien podramos haberlo resuelto como el

ejercicio anterior, pero a simple vista se ve que sera unalabor bastante extensa, la cual nos llevara a cometermuchos errores, es por ello que usaremos un mtodoque es muy importante en matemticas y es el m-todo inductivo. Este mtodo consiste en analizar loscasos particulares que hay en la figura dada (figurasanlogas), tratando de encontrar una ley de formacincoherente para luego poder generalizar (encontrar lafrmula). As:

FIGURA # DE HEXGONOSLEY DE

FORMACIN

1 2 3 n

1 2 3

1 2

1

1 hexgono

3 hexgonos

6 hexgonos

n hexgonos

1 un espacio

1 2 dos espacios

1 2 3 tres espacios

1 2 3 n n espacios

Por lo tanto:

n n 1# de hexgonos

2

En nuestro ejercicio vemos que la figura principal tieneseis espacios, por lo tanto:

n n 1 6 6 1# de exagonos 21

2 2

PREGUNTA N 23

En el siguiente cuadrado ABCD cuyo lado mide 4cm,determine el rea de la regin sombreada


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1111

A

B C

D

A) 22 cm B) 25 cm C) 24 cm

D) 23 cm E) 26 cm

Solucin

Trazamos las dos diagonales del cuadrado ABCD, conel propsito de encontrar reas de igual magnitud y lu-ego trasladarlas para que as se formen figuras conoci-das. As:

4 cm

Como podemos ver se ha formado una semicircunfer-encia de dimetro 4 cm.

Ahora hallamos el rea sombreada:

2

S

rAA

2 2

2

S

2 4A

2

2

2S

A 2 cm

PREGUNTA N 24

Hallar el rea de la regin sombreada, si el cuadrantetiene radio 4u

A) 22 2 u B) 22 u C) 22 u

D) 23 u E) 23 2 u

Solucin

r

r

B

A C

2

2

2 2

R

M

P

N

Al trazar las lneas punteadas MN , NP y AN , consegui-

mos formar un cuadrado de lado 2u.y dos cuadrantesMBN y PNC, ambos de igual tamao con radio 2u.

De lo anterior hallaremos el rea sombreada (S) de lasiguiente manera:

ABC AMNP MBN PNCS A A A A

ABC AMNP MBNS A A 2A

2 22R rS 2 24 4

24S

4

224 2

4

S 4 4 2

S 4 4 2

S 2 4

2S 2 2 u


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UNASAM2009-IE

Acad

emia

SIGMATH

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PREGUNTA N 25

El rea del cuadrado es 240m ; calcular la suma de las

areas de las regiones sombreadas.

Q

A) 212 m B) 28 m C) 210 m

D) 25 m E) 220 m

Solucin

Si trazamos la diagonal BD al cuadrado ABCD, con-seguimos regiones de igual tamao, y con esto traslada-mos una de las reas sombreadas para conseguir unafigura conocida y fcil de calcular. As:

Q Q

S

A

B C

D

A

B C

D

Como podemos observar el rea de la regin som-

breada (S) es el rea del tringulo AQD, y para hallarlonecesitamos la base y la altura, y esto ser posible solohaciendo uso del dato que nos dan.

Sea L el lado del cuadrado, entonces:

2ABCD

A 40 m

2 2L 40 m

2L 40 m

L 2 10 m

Ahora:

Q

S

A

B C

D2 10

10

10

AQDS A

1S

2 2 10 10

2S 10

S 10

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Solucionario Razonamiento Matematico UNASAM 2009 - I