SOLUCIONARIO U1 S3 Integracion Por Partes

8/17/2019 SOLUCIONARIO U1 S3 Integracion Por Partes

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Cálculo II

Semana 3

Tema : Integración por Partes – Integral Indefinida

SOLUCIONARIO

Usando el método de integración por partes calcula las siguientes integrales

a) x xe dx

Solución:

Según ILATE, identificamos a x como Algebraica y x

e como Exponencial.

Sea u x , su diferencial es .du dx Además, sea x

dv e , integrando sería . x

v e

Ahora aplicando udv uv duv , se obtiene x

xe dx x x

xe e dx x x

xe e c

( 1) xe x c

b) ln( ) x x dt

Solución:

Según ILATE, identificamos a x como Algebraica y ln x como Logarítmica.

Sea lnu x , su diferencial es1

.du dx x

Además, sea dv x , integrando sería2

.2

x

v

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene2 2 2 2 2

1 ln lnln ln

2 2 2 2 2 4

x x x x x x x x x x dx x c c

x

c) 2 ( ) x sen x dx

Solución:

Según ILATE, identificamos a2

x como Algebraica y ( ) sen x como Trigonométrica.

Sea2

u x , su diferencial es 2du xdx , Además, sea dv senx , integrando sería cos( ).v x

Ahora aplicando udv uv duv , se obtiene2

( ) x sen x dx 2 ( cos( )) cos( )(2 ) x x x x c

2 cos( ) 2 cos( ) x x x x c

2 cos( ) 2( ) x x A ….. (I)

Se considera (cos( ))( ) A x x dx


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Cálculo II

Sea u x , su diferencial es .du dx Además, sea cos( )dv x dx , integrando sería ( ).v sen x

Ahora aplicando udv uv duv , se obtienecos( ) x x dx ( ) ( ) xsen x sen x dx c

( ) ( cos( ) xsen x x c ( ) cos( ) xsen x x c ….. (II)

(II) en (I):2 cos( ) 2( ( ) cos( )) x x sen x x c

2cos( ) 2 ( ) 2cos( ) x x sen x x

2cos(2 ) 2 x xsenx

d) ln( ) x dx

Solución:

La integral se puede escribir 1. ln( ) , x dx según ILATE, identificamos a0

1 x como Algebraica y

ln x como Logarítmica.


.du dx x

Además, sea 0dv x dx , integrando sería .v x

Ahora aplicando udv uv duv , se obtiene

ln x xdx 1

ln x x x x

ln( ) 1 x x c

ln( ) x x x c

e) 2l n ( ) x dx

Solución:

Según ILATE, identificamos a0

x como Algebraica y2

ln x como Logarítmica.

Sea2

lnu x , su diferencial es2ln

. x

du dx x

Además, sea0

dv x dx , integrando sería .v x


ln x xdx 2 2ln( )

ln x

x x x

x

2ln ( ) 2ln( ) x x x c 2ln ( ) 2( ln( ) ) x x x x x c

2ln ( ) 2 ln( ) 2 x x x x x c

f) 2( 1) x x e dx


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Cálculo II

Solución:

Según ILATE, identificamos a 1 x como Algebraica y2 x

e

como Logarítmica.

Sea 1u x , su diferencial es .du dx Además, sea2 x

dv e

, integrando sería2.

x

v e

Ahora aplicando udv uv duv , se obtieneln x xdx

2 2( 1) x x x e e 2 2( 1) x x x e e c 2 2

( 1) x x x e e c

2

( 1 1) x x e

= 2 x

xe

g) sin( ) xe x dx

Solución:

Según ILATE, identificamos a x

e como Exponencial y ( ) sen x como Trigonométrica. I

Sea ( )u sen x , su diferencial es cos( ) .du x dx Además, sea x

dv e , integrando sería . x

v e

Ahora aplicando udv uv duv , se obtiene( ) xe sen x dx ( ) cos( )

x x

e sen x e x ( ) xe sen x A ….. (I)

Aplicando nuevamente integración por partes

Se considera cos( ) x A e x

Sea cos( )u x , su diferencial es ( ) .du sen x dx Además, sea xdv e dx , integrando sería . xv e

Ahora aplicando udv uv duv , se obtienecos( )

xe x cos( ) ( )

x xe x e sen x dx

cos( ) ( ) x xe x e sen x dx …..(II)

Sustituyendo (II) en (I):

( ) x

e sen x dx ( ) ( cos( ) ( ) ) x x x

e sen x e x e sen x dx

( ) x

e sen x dx ( ) cos( ) ( ) x x x

e sen x e x e sen x dx

Despejando la expresión ( ) x

e sen x dx de la igualdad anterior, tenemos

2 ( ) ( ( ) cos( )) x x

e sen x dx e sen x x ( ) cos( )

( ) ( )2 2

x x sen x xe sen x dx e


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Cálculo II

h) dxbxeax

)cos(

Solución:

Según ILATE, identificamos aax

e como Exponencial y cos( )bx como Trigonométrica.

Sea cos( )u bx , su diferencial es ( ) .du bsen bx dx Además, seaax

dv e , integrando sería

.

ax

e

v

a


cos( )ax

e bx dx cos( )

( ( ))ax ax

e bx ebsen bx

a a

cos( )

( )

ax

axe bx b

e sen bxa a cos( )

( )ax

e bx b A

a a ….. (I)

Aplicando nuevamente integración por partes

Se considera ( )ax A e sen bx

Sea ( )u sen bx , su diferencial es cos( ) .du x dx Además, seaax

dv e dx , integrando sería .ax

ev

a

Ahora aplicando la definición udv uv duv

, se obtiene

( )ax

e sen bx ( ) cos( )ax axe sen bx e bx bdx

a a

( )cos( )

ax

axe sen bx be bx dx

a a …..(II)

Sustituyendo (II) en (I):

cos( )ax

e bx dx cos( )

( )ax

e bx b A

a a

cos( )ax

e bx dx cos( ) ( )

cos( )ax ax

axe bx b e sen bx be bx dx

a a a a

cos( )axe bx dx 2

2 2

cos( ) ( )cos( )

ax axaxe bx be sen bx b e bx dx

a a a

Despejando la expresión cos( )ax

e bx dx de la igualdad anterior, tenemos

2

2

( )cos( ) cos( ) cos( )

axax axb e bsen bx

e bx dx e bx dx bxa aa

2

2

( )cos( ) 1 cos( )

ax

ax b e bsen bxe bx dx bx

a aa


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Cálculo II

2 2

2

( )cos( ) cos( )

axax a b e bsen bx

e bx dx bxa aa

2 2

( )cos( ) cos( )

axax ae b sen bx

e bx dx bx

aa b

2 2

cos( ) cos ( ) ( )ax

ax ee bx dx a bx bsen bx

a b

2 2

cos( ) ( )cos( )ax ax

a bx bsen bxe bx dx e

a b

i) 2( 3 1) sin( ) x x x dx

Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a2

( 1) x x como Algebraica y senxcomo Logarítmica. ILATE

23 1u x x , su diferencial es (2 3) .du x dx Además, sea dv senxdx , integrando sería

cos .v x

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene2

( 3 1) sin( ) x x x dx 2( 3 1)( cos ) cos (2 3) x x x x x

2( 3 1)( cos ) cos (2 3) x x x x x 2

( 3 1)( cos ) x x x A ….. (I)

Se considera cos (2 3) A x x dx Sea 2 3u x , su diferencial es 2 .du dx Además, sea cos( )dv x dx , integrando sería

( ).v sen x

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtienecos( ) x x dx (2 3) ( ) 2 ( ) x sen x sen x dx

(2 3) ( ) 2( cos ) x sen x x c

(2 3) ( ) 2cos x sen x x c ….. (II)

(II) en (I):2

( 3 1)( cos ) (2 3) ( ) 2cos x x x x sen x x c 2

(2 3) ( ) ( 3 3)cos x sen x x x x c

j) 2(2 5 2) x x x e dx Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a2(2 5 2) x x como Algebraica y xe

como Exponencial.

Sea2

2 5 2u x x , su diferencial es (4 5) .du x dx Además, sea xdv e dx , integrando sería

.

x

v e

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene2(2 5 2) x x x e dx 2(2 5 2) (4 5) x x x x e e x


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Cálculo II

2(2 5 2)

x x x e A

Se considera (4 5) x A e x

Sea 4 5u x , su diferencial es 4 .du dx Además, sea x

dv e dx , integrando sería . x

v e

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene(4 5) xe x (4 5) 4

x x x e e dx

(4 5) 4 x x

x e e c …..(II)

(II) en (I):2(2 5 2) x x x e A 2

(2 5 2) ((4 5) 4 ) x x x

x x e x e e c 2(2 1) x x x e c

k) 2(2 1) ln( ) x x dx Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a 2(2 1) x como Algebraica y ln xcomo Logarítmica.


.du dx x

Además, sea2

2 1dv x , integrando sería 4 1.v x

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene

2(2 1) ln( ) x x dx3 3

2 2 1ln

3 3

x x x

x x

x

3 22 2

ln 13 3

x x

x x

3 32 2ln

3 3(3)

x x

x x x

3 32 2ln

3 9

x x

x x x

(3 1)cos( ) x x dx Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a 3 1 x como Algebraica y cos x comoTrigonométrica.Sea 3 1u x , su diferencial es 3 .du dx Además, sea cosdv xdx , integrando sería .v senx

Luego, aplicando la definición udv uv duv , se obtiene(3 1)cos( ) x x dx (3 1)( ) 3 x senx senx

(3 1)( ) 3( cos ) x senx x c

(3 1)( ) 3(cos ) x senx x c

1) La intensidad de amortiguación de los resortes de una moto lineal es estimado por:

)sin(15)(' 015.0 t et A t ¿Cómo determinaría la ecuación que describe la amortiguación de losresortes?Solución:

Recuerde que la ecuación de amortiguación de un resorte es la derivada de la función A(t). Entonces,


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Cálculo II

0.01515 sin( )t dA

e t dt

Y por tanto, ( ) A t debe ser antiderivada dedA

dt , así

( ) A t =dA

dt = 0.01515 sin( )

t

e t Resolviendo en ( ), A t

Según el método de ILATE, identificamos a0.015t

e

como Exponencial y ( ) sen t como

Trigonométrica.

Sea ( )u sen t , su diferencial es cos( ) .du t dt Además, sea3 /200t

dv e dt

, integrando sería

3 /200200

.3

t e

v

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene0.015

15 sin( )

15

t

e t

3 /200 3 /200(200) ( ) 200

(cos( ))3 3

t t e sen t et

3 /200 3 /200(200) ( ) 200(cos( ))

3 3

t t e sen t e

t

3 /200

3 /200(200) ( ) 200cos( )

3 3

t

t e sen t e t

….. (I)

Se considera 3 /200 cos( )t A e t

Sea cos( )u t , su diferencial es ( ) .du sen t dt Además, sea3 /200t

dv e dt

, integrando sería

3 /200200

3

t e

v


3 /200 cos( )t e t 3 /200 3 /200

200 cos( ) 200 ( ( ))

3 3

t t e t e sen t dt

3 /2003 /200200 cos( ) 200 ( )

3 3

t

t e t e sen t dt

…..(II)

(II) en (I)0.015 3 /200 3 /200

3 /20015 ( ) (200) ( ) 200 200 cos( ) 200

( )

15 3 3 3 3

t t t

t e sen t e sen t e t

e sen t dt

0.015 3 /200 3 /2003 /200

15 ( ) (200) ( ) 200 200 cos( ) 200 200( )

15 3 3 3 3 3

t t t

t e sen t e sen t e t

e sen t dt

Considerando: 0.015 ( )t e sen t y 3 /200 3 /200(200) ( ) 200 200 cos( ) 200 200

15 3 3 3 3 3 ( 15)

t t y e sen t e t y

3 /200

3 /200(200) ( ) 40000 40000cos( )

15 3 9 9 15

t t y e sen t ye t

3 /200

3 /20040000 1 (200) ( ) 40000cos( )

9 15 3 9

t t e sen t

y y e t


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Cálculo II

3 /200

3 /20040009 1 (200) ( ) 40000cos( )

9 15 3 9

t t e sen t

y e t

3 /200 3 /20040009 1 40000(200) ( ) cos( )9 3 3

t t y e sen t e t

3 /200 3 /2003(15) 40000(200) ( ) cos( )40009 3t t y e sen t e t

3 /200 3 / 200(9000) ( ) 600000 cos( )

40009 40009

t t e sen t e t

y

3 /200 (9000) ( ) 600000cos( )

40009 40009

t sen t t y e

Reemplazando en y:

0.015 ( )t e sen t 3 /200 (9000) ( ) 600000cos( )

40009 40009

t sen t t e

2) Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por2

5000ln(x 20)C'(x)

(x 20)

, en

donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $ 2000, determine la función decosto.

Solución:

a) El costo ( )C x se determina integrando '( )C x con respecto a x . Así

2

5000ln( 20)( ) '( )

( 20)

xC x C x dx dx

x

2

ln( 20)5000

( 20)

x

x

Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando la técnica de ILATE:

-Identificamos a ln( 20) x como Logarítmica y 20 x como Algebraica.

Sea ln( 20)u x , su diferencial es1

.20

du x

Además, sea1

20dv

x

, integrando sería

1.

20v

x


2

ln( 20)5000

( 20)

x

x

1 1 15000 ln( 20)

20 20 20 x

x x x

21

5000 ln( 20) 2020

x x x

11 ( 20)

5000 ln( 20)20 1

x x c

x

1ln( 20)5000 ( 20)20

x x c

x

ln( 20) 15000

20

xc

x


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Cálculo II

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0C . Así,

0 (0) R

ln(0 20) 10 5000

0 20C

0 250ln(20) 250 C

250ln(20) 250C

Por tanto

ln( 20) 1( ) 5000 250ln(20) 250

20

xC x

x

b) El costo total está definido por el costo variable más el costo fijo

ln( 20) 1( ) 5000 250ln(20) 250 2000

20

ln( 20) 1

5000 250ln(20) 225020

xCT x

x

x

x

3) El ingreso marginal de una empresa por su producto es x/20I'(x) 10(20 x)e : determine la función

de ingreso.Solución:

a) El ingreso ( ) I x se determina integrando '( ) I x con respecto a x . Así/20( ) '( ) 10(20 ) x I x I x dx x e dx

Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE,

identificamos a 20

x

e

como Exponencial y (20 ) x como Algebraica. (ILATE)

Sea 20u x , su diferencial es 1.du Además, sea/20 x

dv e dx

, integrando sería/20

20 . x

v e


x/20 x/20 x/20(20 x)e (20 x)20e 20e ( 1) C

x/20 x/20(20 x)20e 20e (1) C

x/20 x/20(20 x)20e 20( 20)e C

x/20e (20x 400 400) C

x/20e (20x 400 400) C

x/2010(20)e C

x/20

200e C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0 I . Así,

0 (0) I

0/ 200 200e C

0 200 C

200C

Por tanto/20( ) 200 200 x I x e


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Cálculo II

4) Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de0,2xI'(x) 4000xe juegos por semana, en donde x es el número por semanas desde el lanzamiento del

juego. Exprese las ventas totales, s, como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?Solución:

a) Las ventas ( ) I x se determina integrando '( ) I x con respecto a x . Así0,2

( ) '( ) 4000 x

I x I x dx xe


identificamos a0.2 x

e

como Exponencial y x como Algebraica.

Sea u x , su diferencial es 1.du Además, sea0.2 x

dv e dx

, integrando sería0.2

5 . x

v e


0,2x 0.2x 0.2x4000xe 4000 x( 5e ) 5e C

0.2x 0.2x4000 x( 5e ) 5e C

0.2x 0.2x4000 x( 5e ) 5e C 0.2x 0.2x4000 5xe 5( 5)e C

0.2x 0.2x4000 5xe 25e C

0.2x4000( 5e ) x 5 C

0.2x20000(e ) x 5 C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0 I . Así,

0 (0) I 0.2(0)0 20000 (0 5)e C

0 100000 C

100000C

Por tanto

0.2( ) 20000( ) 5 100000 x I x e x b) El número de ventas totales durante las 4 primeras semanas es

0.2(4)(4) 20000( ) 4 5 100000

80879.2135 100000

80879.21 80879

I e

5) Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital es igual a0,1'( ) 5 t C t te , donde t está medido en días, t = 0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha

tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10?

Solución:

a) Los casos atendidos ( )C t se determina integrando '( )C x con respecto a x . Así0,1( ) '( ) 5 t C x C x dx te


identificamos a0.1t

e

como Exponencial y t como Algebraica.


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Cálculo II

Sea u t , su diferencial es .du dt Además, sea 0.1t dv e dx , integrando sería 0.110 .t v e

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene-0,1t -0.1t -0.1t5te = 5(t(-10e ) - -10e ) + C

0.1t 0.1t5( 10te 10 e ) C

0.1t 0.1t5( 10te 10( 10e )) C

0.1t 0.1t5( 10te 100e )

0.1t50e (t 10) C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0C . Así,

0 (0) I 0.1(0)0 50 (0 10)e C

0 50(10) C

500C

Por tanto

0.1( ) 50 ( 10) 500t C x e t

b) El número de casos atendidos en el hospital durante los 5 primeros días0.1(5)( ) 50 (5 10) 500C x e

( ) 454.8979948 500C x

( ) 45.1 45C x

6) Función de Demanda: Una importante emisora de radio, lanza al aire un nuevo programa de las oncehasta la una de la mañana, éste espacio musical, tendrá como principal característica la música de los80s, y para ello adquiere varios lotes de discos compactos originales y se estima que el precio p , en

soles de cada lote de CD original, cambia a una tasa de:

2ln

dp x x

dx

Donde x , es la cantidad demandada por la emisora. Suponga que se demandan 40 lotes, cuando el

precio es de 100000 soles. El fabricante, como parte de la cultura de fidelización del cliente (en estecaso de la radio), llevará a cabo un estudio para:

a) Determinar el modelo matemático, es decir la función de la demanda ( ) p x .

b) ¿A qué precio se demandará 20 lotes, sabiendo que son CDs importados y autografiados?Solución:

La cantidad demandada ( ) P x se determina integrando '( ) P x con respecto a x . Así2( ) '( ) ln P x P x dx x x


identificamos a2

x como Algebraica y ln x como Logarítmica.

Sea ln( )u x , su diferencial es1

.du dt x

Además, sea 2dv x dx , integrando sería3

3

x

v

Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene3 3

2 1ln ln

3 3

x x x x x dx C

x

3 2

ln 3 3

x x

x dx C


12/12

Cálculo II

3 3

ln3 9

x x x C

31

ln3 3

x x C

El valor de C se determina por el hecho de que (40) 100000 P . Así,

100000 (40) P 340 1

100000 ln 403 3

C

100000 71584.98391 C

28415.02C

a) Por tanto, el modelo matemático para la función demanda p(x) es:3

1( ) ln 28415.02

3 3

xC x x

b) El precio de 20 lotes de CDs es:320 1

(20) ln 20 28415.023 3

C

(20) 7099.7 28415.02C

( ) 35514.72 35515C x

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