SOLUCIONARIO_GUÍA_1_ESTADISTICA_INFERENCIAL_1.pdf

7/24/2019 SOLUCIONARIO_GUA_1_ESTADISTICA_INFERENCIAL_1.pdf

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ESTADSTICA INFERENCIAL

Solucionario Gua 1 1

Actividad de aprendizaje 1.1.PROBLEMA 1

Los niveles de colesterol en el suero de hombres con edades entre 18 y 24 aos estn

distribuidos normalmente con una media de 178.1 y una desviacin estndar de 40.7. Todas las

cifras estn en mg/mL, y los datos se basan en una Encuesta Nacional de Salud de Estados

Unidos. Si se escoge aleatoriamente a un hombre dentro de 18 y 24 aos:

Cul es la probabilidad de que su nivel de colesterol se encuentre entre 165 y 190?

Cul es la probabilidad de que su nivel de colesterol se encuentre entre 200 y 250?

Determine el P15(percentil quince) del nivel de colesterol.

Determine el P85(percentil ochenta y cinco) del nivel de colesterol.

Datos:

Nivel de colesterol con distribucin normal: mLmgmLmg /7,40;/1,178

a) P (165


2/19



4616,077,17,40

1,1782502

22

AreaX

Z

P (200


3/19



Hallar la probabilidad P (30X40)

a) Utilizando distribucin Binomial.Calculo para X = 30

021324,0)38,01.(38,0)30( 301003030100 CXP

Tabla de clculo de probabilidades binomiales.

Existe la probabilidad del 66,06% que entre 30 y 40 de estos delincuentes juveniles cometan otroilcito.b) Utilizando la aproximacin a la distribucin normal.Media: 3838,0100. n

Desviacin estndar: 85,4)38,01)(38,0(100)1(. n

Probabilidad P (30X40)

4599,075,185,4

38)5,030()5,0(1

11

AreaX

Z

1985,052,085,4

38)5,040()5,0(2

22

AreaX

Z

P (30X40) = Area1+ Area2= 0,4599 + 0,1985 = 0,6584Existe la probabilidad aproximada del 65,84% que entre 30 y 40 de estos delincuentes juveniles

cometan otro ilcito.

X Prob P(X) Prob.acum.

30 0,02132 0,02132

31 0,02951 0,05084

32 0,03900 0,08984

33 0,04926 0,13909

34 0,05949 0,19859

35 0,06876 0,26735

36 0,07609 0,34344

37 0,08067 0,42410

38 0,08197 0,50607

39 0,07987 0,58594

40 0,07465 0,66059


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Diferencia = 0,6606-0,6584 = 0,0022La diferencia de probabilidad al usar la aproximacin normal es del 0,0022 que no es tansignificativo.

Actividad de aprendizaje 1.2.

PROBLEMA 1

Defina en su propio lenguaje los siguientes trminos. D ejemplos de cada uno. A) Distribucin

muestral B) Media de las medias C) Varianza y error estndar de la distribucin muestral D)

Tipos de muestreo.

PROBLEMA 2

En un bufete legal hay seis socios. A continuacin se indica el nmero de casos que cada

miembro realmente llev en la corte el mes pasado.

Socio Nmero de casos

Garca 3

Prez 6

Lpez 3Salgado 3

Izquierdo 0

Chvez 1

a) Cuntas muestras de tamao 3 son posibles?

b) Realice una tabla en la que se muestren todas las muestras de tamao 3 y las medias en cada

una.

c) Compare el valor medio de la distribucin de las medias de las muestras con el de la

poblacin.

d) En grficos, compare la dispersin probabilstica de la poblacin con la de las medias de las

muestras.

Poblacin de casos: 3, 6, 3, 3, 0 y 1; N = 6

a) Numero de muestras de tamao n = 3:

20)!36(!3

!636

CCknN

b) Distribucin muestral para muestras de tamao n = 3.

N

muestra

Muestras Media de

muestras

k Xi

1 3 6 3 4,00

2 3 6 3 4,003 3 6 0 3,00

4 3 6 1 3,33

5 3 3 3 3,00

6 3 3 0 2,00

7 3 3 1 2,33

8 3 3 0 2,00


5/19



9 3 3 1 2,33

10 3 0 1 1,33

11 6 3 3 4,00

12 6 3 0 3,00

13 6 3 1 3,33

14 6 3 0 3,00

15 6 3 1 3,33

16 6 0 1 2,33

17 3 3 0 2,00

18 3 3 1 2,33

19 3 0 1 1,33

20 3 0 1 1,33

Suma: 53,33

c) Comparacin entre valores promedios.

Media de poblacin: casosN

x67,2

6

16

Calculo de la gran media (media de la distribucin muestral).

casosk

XX 67,2

20

33,53

Como se esperaba, los 2 valores promedios numricamente son iguales.d) Grficos.

Distribucin de la poblacin.

X P(X)

0 0,171 0,17

3 0,50

6 0,17

Suma: 1,00


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Distribucin muestral para la media.

Xm P(Xm)

1,33 0,15

2,00 0,15

2,33 0,20

3,00 0,20

3,33 0,15

4,00 0,15

Suma: 1,00

Con los grficos se puede apreciar claramente que la poblacin presenta un mayor grado de

dispersin e irregularidad que la distribucin muestral, tal como determina el teorema de lmitecentral.

Actividad de aprendizaje 1.3.

PROBLEMA 1

Se obtiene una muestra de 35 crneos egipcios que vivieron alrededor de 1850 a. de C. Se mide

la anchura mxima de cada crneo y se determina una media de 134.5 mm y una desviacin


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estndar de 3.48 mm. Con estos resultados de muestra, construya intervalos de confianza del

92% y del 97% para la media poblacional.

Datos:

mmSmmXn 48,3;5,134;35

Intervalo de confianza para la media poblacional.Por ser el tamao de muestra n>30 se aplica la distribucin normal.

n

SZXIC .

a) Para el 92% de confianzarea = 0,92/2 = 0,46: Z = 1,75

03,15,13435

48,375,15,134 IC

47,13303,15,134 LI

53,13503,15,134 LS

Existe el 92% de confianza que la verdadera anchura media de la poblacin de crneosegipcios estar comprendida entre 133,47 y 135,53 milmetros.

b) Para el 97% de confianzarea = 0,97/2 = 0,485: Z = 2,17

28,15,13435

48,317,25,134 IC

22,13328,15,134 LI

78,13528,15,134 LS

Existe el 97% de confianza que la verdadera anchura media de la poblacin de crneos egipciosestar comprendida entre 133,22 y 135,78 milmetros.PROBLEMA 2En un estudio sobre el uso de hipnosis para aliviar el dolor, se midieron calificaciones sensoriales

en 16 sujetos que se dan a continuacin:

8.8 6.6 8.4 6.5 8.4 7.0 9.0 10.3


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8.7 8.1 5.2 6.3 8.7 6.2 7.9 11.3

Calcular el intervalo de confianza del 90% y del 95% para la calificacin sensorial media de la

poblacin que se extrajo la muestra. Se supone que los donativos siguen una distribucin

normal.

Tabla de clculos:

N X X1 8,8 77,44

2 6,6 43,56

3 8,4 70,56

4 6,5 42,25

5 8,4 70,56

6 7,0 49,00

7 9,0 81,00

8 10,3 106,09

9 8,7 75,69

10 8,1 65,6111 5,2 27,04

12 6,3 39,69

13 8,7 75,69

14 6,2 38,44

15 7,9 62,41

16 11,3 127,69

Sumas: 127,4 1052,72

Media: 9625,7

16

4,127

n

XX

Desviacin estndar: 1

/22

n

nXXS

60,1

116

16/4,12772,1052 2

Intervalo de confianza para la media.Por ser el tamao de muestra n


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Existe el 90% de confianza que el verdadero valor promedio de la calificacin media sensorial de lapoblacin estar comprendido entre 7,26 y 8,66 puntos.b) Para el 95% de confianzaPara gl = n-1 = 15 y 95% de confianza: t = 2,131

8524,09625,716

60,1131,29625,7 IC

11,78524,09625,7 LI

81,88524,09625,7 LS

Existe el 95% de confianza que el verdadero valor promedio de la calificacin media sensorial de lapoblacin estar comprendido entre 7,96 y 8,81 puntos.PROBLEMA 3

Una compaa de seguros desea estimar el porcentaje de conductores que cambia de estacinde radio o CD de audio mientras conduce. Una muestra aleatoria de 850 conductores incluye 544

cambia de estacin de radio o CD de audio mientras conduce.

a) Obtenga un estimado del intervalo de confianza del 90% para la proporcin de conductores

que cambia de estacin de radio o CD de audio mientras conduce.

b) Utilice los datos de muestra como estudio piloto y determine el tamao de la muestra

necesario para estimar la proporcin de todos los conductores que cambian de estacin de radio

o CD de audio mientras conducen. Suponga que desea una confianza del 99% en que el estimado

no tenga un error mayor al 0.02.Datos:

64,0850/544;850 pn

Intervalo de confianza para la proporcin.Ya que tanto np como n (1-p) son mayores a 5, la distribucin muestral para la proporcin seaproxima a la distribucin normal.

n

ppZpIC

)1(.

a) Para el 90% de confianzarea = 0,90/2 = 0,45: Z = 1,65


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027,064,0850

)64,01(64,0.65,164,0

IC

613,0027,064,0 LI

667,0027,064,0 LS

Existe el 90% de confianza que la verdadera proporcin de poblacin de conductores que cambiade estacin de radio o CD mientras conduce estar comprendido entre el 61,3% y el 66,7%.b) Tamao de muestra con p = 0,64; 99% de confianza y error no mayor a 0,02.rea = 0,99/2 = 0,495: Z = 2,58

Tamao de muestra para estimar la proporcin:

2

1

EZppn

383409,383402,0

58,264,0164,0

2

n

Para cumplir con las caractersticas de la investigacin para determinar la proporcin deseada, es

necesario un tamao mnimo de muestra de 3834 conductores.

PROBLEMA 4

Le acaban de contratar para realizar una encuesta con el fin de estimar la cantidad media de

dinero que los asistentes al cine en Quito gastan (por pelcula). Es razonable que las cantidades

tpicas varan entre $3 dlares y unos $15 dlares. Determine el tamao de la muestra quecorresponde a un nivel de confianza del 99% y a un margen de error de 25 centavos de dlar.

Datos:

%99;123156S;25,0E?; NCn

Para rea = 0,99/2 = 0,495: Z = 2,58Tamao de muestra para investigar la media de dinero gastado para ver pelculas.

42601,42625,0

258,2. 22

E

SZn

El tamao mnimo de muestra necesario es 426 personas para cumplir con los requerimientosde la investigacin.

Actividad de aprendizaje 1.4.PROBLEMA 1En un estudio de hbitos de consumidores, los investigadores disearon un cuestionario para

identificar a los compradores compulsivos. Para una muestra de consumidores que se

identificaron a s mismos como compradores impulsivos, los puntajes del cuestionario tienen

una media de 0.83 y una desviacin estndar de 0.24. Suponga que los sujetos se escogieron

aleatoriamente y que el tamao de la muestra fue de 32. En el nivel de significancia de 0.01,

prueba la declaracin de que la poblacin de consumidores compulsivos auto identificados tiene


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una media mayor que 0.21, que es la media para la poblacin en general. Cree usted que el

cuestionario sirva para identificar a los compradores compulsivos?

Datos:

01,0;24,0;83,0;32;21,0 SXn

Prueba de hiptesis para la media de una muestra de cola superior.1.- Planteo de hiptesis.

.21,0:0 H Puntaje promedio de compradores impulsivos es igual a 0,21.

.21,0:1 H Puntaje promedio de compradores impulsivos es mayor a 0,21.

2.- Nivel de significancia: 01,0

3.- Estadstica de prueba.Por ser el tamao de muestra n>30, la distribucin muestral para la media se aproxima a ladistribucin de probabilidad normal.

61,1432/24,0

21,083,0

/

nS

XZp

4.- Regla de decisin.Estadstica Z critica, para rea = 0,50 = 0,49: Zc = 2,33

Regla de decisin: si Zp


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.078,0:1 H Proporcin de poblacin de accidentes con bolsa de aire que requierehospitalizacin es menor a 0,078.2.- Nivel de significancia: 05,0

3.- Estadstica de prueba.Ya que n. y n (1-) es mayor a 5, la distribucin muestral para la proporcin se aproxima a la

distribucin de probabilidad normal.

35,2

821

)078,01(078,0

078,0056,0

)1(

n

pZp

4.- Regla de decisin.Estadstica Z critica, para rea = 0,50 = 0,45: Zc = -1,65

Regla de decisin: si Zp > -1,65 se acepta Ho.5.- Decisin.Al nivel de significancia del 5% se concluye que la tasa de hospitalizacin de la poblacin deaccidentes con bolsa de aire es menor en forma significativa al 7,8% para accidentes deautomviles medianos equipados con cinturones de seguridad automticos.PROBLEMA 3En un estudio de los factores que afectan el hipnotismo, se obtuvieron calificaciones sensoriales

en la escala de anlogo visual VAS de 16 sujetos. La media de estas calificaciones de muestra es

de 8.33 y la desviacin estndar 1.96. En el nivel de significancia del 0.01, pruebe la aseveracinde que esta muestra proviene de una poblacin con una calificacin media de menos de 10.

Datos:

01,0;96,1;33,8;16;10 SXn

Prueba de hiptesis para la media de una muestra de cola inferior1.- Planteo de hiptesis.

.10:0 H Calificacin media de la poblacin considerada es igual a 10.

.10:1 H Calificacin media de la poblacin considerada es menor a 10.


3.- Estadstica de prueba.

Por ser el tamao de muestra n


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Regla de decisin: si tp >-2,602 se acepta Ho.5.- Decisin.Al nivel de significancia del 1% se concluye que esta muestra proviene de una poblacin con unamedia menor a 10 en forma significativa.PROBLEMA 4A continuacin se enumeran las cantidades totales de consumo de energa elctrica (en kWh)

para la casa de una persona durante 7 aos distintos:

11,943 11,463 10,789 9,907 9,012 11,153

La compaa de electricidad asegura que el consumo medio anual es de 11,00 kWh y ofrece un

plan de pagos basado en esa cantidad. Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe la

afirmacin de la compaa de electricidad de que la media es igual a 11,000 kWh.

Datos:

05,0;6;00,11 nKwh

Tabla de clculos.

N X X

1 11,943 142,635249

2 11,463 131,4003693 10,789 116,402521

4 9,907 98,148649

5 9,012 81,216144

6 11,153 124,389409

Sumas: 64,267 694,192341

Media: Kwhn

XX 71,10

6

267,64

Desviacin estndar:

1

/22

n

nXX

S

Kwh079,116

6/267,64192341,694 2

Prueba de hiptesis para la media de una muestra de 2 colas1.- Planteo de hiptesis.

.000,11:0 H Consumo promedio anual de electricidad es igual a 11,000 Kwh.

.000,11:1 H Consumo promedio anual de electricidad es diferente a 11,000 Kwh.




14/19



Por ser el tamao de muestra n


15/19



801,6100

39

50

4,39 22

2

2

2

1

2

121

n

S

n

SSSp XX

Prueba de hiptesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola superior.1.- Planteo de hiptesis.

.: 210 H Presin arterial sistlica es igual en los 2 grupos.

.: 211 H Presin arterial sistlica es mayor en el grupo de tratamiento.


3.- Estadstica de prueba.Por ser los tamaos de muestras mayores a 30, la distribucin muestral para la diferencia demedias se aproxima a la distribucin de probabilidad normal.

06,2801,6

4,1894,20321

Sp

XXZp

4.- Regla de decisin.

Estadstica Z critica, para rea = 0,50 = 0,49: Zc = 2,33Regla de decisin: Si Zp < 2,33 se acepta Ho.

5.- Decisin.Al nivel de significancia del 1% se concluye que la presin arterial sistlica del grupo de

tratamiento no es mayor al del grupo de control en forma significativa; razn por la cual si serecomienda afirmar en la publicidad que el nuevo medicamento no afecta la presin arterial.PROBLEMA 2La familia Snchez es duea de una gran plantacin de mangos en la costa ecuatoriana. A

principios de la temporada de cultivo, es preciso rociar las plantas de mango para protegerlas

contra varios tipos de insectos y plagas. Hace poco se comenzaron a comercializar dos nuevos

insecticidas, A y B. Para probar su eficacia, se seleccionaron tres hileras largas que se rociaron

con A y otras tres fueron rociadas con B. Cuando maduraron los mangos, se verificaron 300 de

las plantas tratadas con A contra posibles infestaciones. Asimismo, se verific una muestra de

250 plantas rociadas con B. Los resultados fueron:

Insecticida N de plantas verificadas

(tamao de muestra)

N de plantas

con plagaA 300 40

B 250 25

Con un nivel de significancia de 0.05, es posible concluir que existe una diferencia en la

proporcin de plantas de mangos infestadas usando A en comparacin con B?

Datos:


16/19



Insecticida A Insecticida B

401 X 252 X

3001n 2502 n 31,0300/401 p 10,0250/252 p

05,0 Proporcin conjunta: 1182,0

250300

2540

21

21

nn

XXpc

Prueba de hiptesis para la diferencia de proporciones de 2 muestras independientes de 2 colas.1.- Planteo de hiptesis.

.: 210 H Proporcin de plantas infestadas es igual usando los 2 insecticidas.

.: 211 H Proporcin de plantas infestadas es diferente usando los 2 insecticidas.


3.- Estadstica de prueba.Por ser n.p y n (1-p) mayores a 5 para cada muestra se aplica la distribucin normal.

21,1

250

1

300

1).1182,01(1182,0

10,03

1,0

11.1

21

21

nnpp

ppZp

cc

4.- Regla de decisin.Estadstica Z critica, para rea = 0,50/2 = 0,475: Zc = 1,96Regla de decisin: Si -1,96 < Zp < +1,96 se acepta Ho.

5.- Decisin.Al nivel de significancia del 5% se concluye que no existe una diferencia significativa en laproporcin de plantas de mangos infestadas usando insecticida A o B.PROBLEMA 3Use el nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmacin de que la cantidad media de

nicotina que contienen los cigarrillos con filtro es menor que la cantidad media de nicotina que

contienen los cigarrillos sin filtro. (Todas las mediciones estn en miligramos y los datos vienen

de la Comisin Federal de los Estados Unidos).Nicotina (mg)

Estadstico de la muestra Cigarrillos con filtro Cigarrillos sin filtroTamao 21 8

Media 0,94 1,65

Desviacin estndar 0,31 0,16

Datos:


17/19



Con filtro Sin filtro

94,01 X 65,12 X

31,01S 16,02 S

211 n 82 n

05,0 Varianza conjunta.

0778,0

2821

16,0)18(31,0)121(

2

.1.1 22

21

2

22

2

112

nn

SnSnSp

Prueba de hiptesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola inferior.1.- Planteo de hiptesis.

.: 210 H Promedio de nicotina es igual en los 2 tipos de cigarrillos.

.: 211 H Promedio de nicotina es menor en cigarrillos con filtro.



Por ser los tamaos de muestras menores a 30 y se desconocen los valores de la desviacinestndar de cada poblacin, se aplica la distribucin de probabilidad t.

126,6

8

1

21

10778,0

65,194,0

11

21

2

21

nnS

XXtp

p

4.- Regla de decisin.Estadstica t critica, para n1+ n22 = 27gl de una cola y = 0,05: tc = -1,703Regla de decisin: Si tp > -1,703 se acepta Ho.

5.- Decisin.Al nivel de significancia del 5% se concluye que la cantidad media de nicotina que contienen loscigarrillos con filtro es menor que la cantidad media de nicotina que contienen los cigarrillos sinfiltro en forma significativa.PROBLEMA 4Utilizando un cronmetro, se prueban sujetos para determinar los tiempos de reaccin con sus

manos derecha e izquierda (solo se usaron sujetos diestros). Los resultados (en milsimas desegundos) se dan en la siguiente tabla:

Izquierda Derecha Sujeto

224 191 A

171 97 B191 116 C

207 165 D196 116 E


18/19



165 129 F

177 171 G165 155 H

140 112 I188 102 J

155 188 K219 158 L

177 121 M

174 133 N

Utilice el nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmacin de que hay diferencia entre la

media de los tiempos de reaccin con la mano derecha y con la mano izquierda. Si un ingeniero

est diseando la cabina de un avin a reaccin de combate y debe situar el activador del

asiento de eyeccin de modo que est accesible ya sea a la mano derecha o a la izquierda, es

importante cul mano escoja?

05,0;14 n Tabla de clculos para la diferencia media de 2 muestras dependientes.Sujeto Mano Mano Diferencia Dif media Cuadrado

Participante Izquierda Derecha D Dm (D-Dm)

A 224 191 33 42,5 90,25

B 171 97 74 42,5 992,25

C 191 116 75 42,5 1056,25

D 207 165 42 42,5 0,25

E 196 116 80 42,5 1406,25

F 165 129 36 42,5 42,25

G 177 171 6 42,5 1332,25

H 165 155 10 42,5 1056,25

I 140 112 28 42,5 210,25

J 188 102 86 42,5 1892,25

K 155 188 -33 42,5 5700,25

L 219 158 61 42,5 342,25

M 177 121 56 42,5 182,25

N 174 133 41 42,5 2,25

Sumas: 595 14305,5

Diferencia media: 5,4214595 n

DD

Desviacin estndar:

1726,33114

5,14305

1

2

n

DDSD

Prueba de hiptesis para la diferencia media de 2 muestras dependientes de 2 colas.1.- Planteo de hiptesis.

.0:0 DH Diferencia media en tiempos de reaccin entre las 2 manos es igual a cero.


19/19



.0:1 DH Diferencia media en tiempos de reaccin entre las 2 manos es diferente a cero.


3.- Estadstica de prueba.Por ser el tamao de muestra menor a 30, se aplica la distribucin de probabilidad t.

794,414/1726,33

5,42

/ nS

Dtp

D

4.- Regla de decisin.Estadstica t critica, para 13gl de 2 colas y = 0,05: tc = 2,16Regla de decisin: Si - 2,16 < tp < +2,16 se acepta Ho.

E.- Decisin.Al nivel de significancia del 5% se concluye que la diferencia media en el tiempo de reaccin entrelas dos manos es mayor que cero en forma significativa. Para el caso del ingeniero que estdiseando la cabina de un avin a reaccin de combate, para situar el activador del asiento deeyeccin, es importante que sea accesible a la mano derecha y as tener el mnimo tiempo dereaccin para su activacin.

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SOLUCIONARIO_GUÍA_1_ESTADISTICA_INFERENCIAL_1.pdf