Soluciones de problemas de topología

8/19/2019 Soluciones de problemas de topología

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TOPOLOGÍA

SOLUCIONES A LAS RELACIONES DE PROBLEMAS

Relación 2. Espacios topológicos. Operadores

Ejercicio 2.1.-

Sea X un conjunto y x0 ∈ X . Queremos probar que la familia T x0 ={X } ∪ {A ⊂ X ; x0 /∈ A} es una topología sobre X . Dado que x0 /∈ ∅ ⇒∅ ∈{A ⊂ X ; x0 /∈ A} ⇒ ∅ ∈ T x0. De otro lado, por la definición de T x0, X ∈ T x0.

Por tanto ∅, X ∈ T x0.para cualquier cantidad finita de conjuntos A1, . . . , An ∈ T x0. Hay dos

posibilidades:

Si x0 ∈ Ai, ∀i ≤ n ⇒ Ai = X, ∀i ≤ n ⇒n

i=1Ai = X ⇒

ni=1

Ai ∈ T x0.

Si ∃i0 : x0 /∈ Ai0 , ya quen

i=1Ai ⊆ Ai, ∀i ≤ n, entonces

ni=1

Ai ⊆ Ai0

⇒ x0 /∈n

i=1Ai ⇒

ni=1

Ai ∈ T x0.

Considerenos ahora una familia arbitraria {Aα}α∈Λ, con Aα ∈ T x0, ∀α ∈Λ. De nuevo consideramos dos casos

Supongamos ∃α0 ∈ Λ : x0 ∈ Aα0 ⇒ Aα0 = X ⇒ se cumple que α∈Λ

Aα =

X ∈ T x0.Supongamos que x0 /∈ Aα, ∀α ∈ Λ ⇒ x0 /∈

α∈Λ

Aα ⇒ α∈Λ

Aα ∈ T x0.

Por lo tanto queda probado que el par (X, T x0) es un espacio topológico.En lo que sigue vamos a obtener la familia de cerrados F x0 , que estará

compuesta por los conjuntos F : (X − F ) ∈ T x0. Sabemos que X y ∅ soncerrados en cualquier topología sobre X . Por otro lado, un conjunto F ⊆ X con F = ∅, X , será un cerrado en (X, T x0) si y sólo si X − F figura entre losconjuntos de T x0; es decir, x0 /∈ (X − F ), o, equivalentemente, x0 ∈ F .

De esta forma F x0 = { ∅ } ∪ {F ⊆ X : x0 ∈ F }

Ejercicio 2.2.-

Tenemos T = {IR, ∅ } ∪ {(a, +∞) : a ∈ IR} y queremos probar que es unatopología sobre IR. Obsérvese que IR, ∅ ∈ T por la propia definición.

Sean A1, . . . , An : Ai ∈ T . Existen dos posibilidades:1


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2 TOPOLOGÍA

Si la intersección ∩ni=1Ai = ∅, IR, es trivial se sigue quen

i=1Ai ∈ T , por

definición. Sin

i=1Ai = IR, ∅, sean i0, . . . , il, los índices con Aij = ∅, IR; en-

tonces Aij = (aij , +∞) yn

i=1Ai =

l

j=0Aij =

l

j=0(aij , +∞). Como se trata

de un número finito l de conjuntos,l

j=0(aij , +∞) = (aij0 , +∞) ∈ T , donde

aij0 = mín{aij}0≤ j≤l.Sea {Aα}α∈Λ : Aα ∈ T . Puede darse que

α∈Λ

Aα = ∅, IR sea un conjunto

trivial así y α∈Λ

Aα ∈ T , por definición.

En otro caso, α∈Λ

Aα = ∅, IR. Si es así, se tiene la igualdad A = α∈Λ

Aα =α∈Λ

Aα, donde Λ = {α ∈ Λ; Aα = ∅}. Como

α∈Λ

Aα = IR, entonces Aα =

IR, ∀α ∈ Λ ⇒ Aα = (aα, +∞), ∀α ∈ Λ ⇒ α∈Λ

Aα = α∈Λ

(aα, +∞) = IR

⇒ ∃a0 = ı́nf {aα : α ∈ Λ

} ⇒ A = (a0, +∞) ∈ T Con esto queda probado que (IR, T ) es espacio topológico. A continuación

vamos a obtener la familia de cerrados F de dicha topología. Recordemoisque siempre ∅, IR ∈ F . Además, los subconjuntos F = (−∞, a] son cerradosde (IR, T ), dado que IR − F = (a, +∞) ∈ T . Tenemos entonces que la familiade cerrados viene dada como

F = {∅, IR} ∪ {(−∞, a] : a ∈ IR}.

Ejercicio 2.3.-

Tenemos la familia T = {IR2, ∅ } ∪ {Gα}, donde Gα = {(x, y) ∈ IR2 : y <

x − α, ∀α ∈ IR} y queremos demostrar que es una topología en IR2, así queprocedamos a ello. Por la definición de T , IR2, ∅ ∈ T .

Sean A1, . . . , An : Ai ∈ T , ∀i = 1, . . . , n, y sea A =n

i=1Ai. Pueden darse

dos casos:

a) A = ∅, IR2 ⇒ A ∈ T b) A = ∅, IR2 ⇒ existe un número determinado de subconjuntos Ai que son

del tipo Gα. Si etiquetamos estos conjuntos con el subíndice j = 1, . . . , l

entonces Aij = Gαj para todo 1 ≤ j ≤ l ⇒ A =l

j=1Gαj , donde Gαj =

{(x, y) ∈ IR2 : y < x − α j}. Como hay un número l finito de conjuntos,

sea α jk = max{α j; 1 ≤ j ≤ l} ⇒l

j=1Gαj = Gαjk ⇒ A = Gαjk = {(x, y) ∈

IR2 : y < x − α jk} ⇒ A ∈ T .


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TOPOLOGÍA 3

Supongamos ahora {Aβ }β ∈Λ : Aβ ∈ T . Si A = β ∈Λ

Aβ = ∅, IR entonces

para todo β existe un αβ tal que Aβ = Gαβ y pueden ocurrir dos casos:

1. ∃α0 = ı́nf {αβ : β ∈ Λ} : Gαβ ⊆ Gα0 ⇒ A = β ∈Λ

Gαβ = Gα0 ∈ T .

Esta igualdad se demuestra por doble inclusión:

⊆ Sea (x, y) ∈ β ∈Λ

Gαβ ⇒ ∃β i ∈ Λ : (x, y) ∈ Gαβi ⇒ y < x − αβ i ≤

x − α0 ⇒ (x, y) ∈ Gα0 ⇒ β ∈Λ

Gαβ ⊆ Gα0.

⊇ Dado (x, y) ∈ Gα0 , como (x − α0) − y > 0 existe, por la definición

de ínfimo, un αβ 0 ∈ [α0, α0 + ε), esto es,

α0 ≤ αβ 0 < α0 + ε = α0 + x − α0 − y

2

con lo cual: 2αβ 0 < α0+x−α0−y ⇒ y < x+α−2αβ 0 < x+αβ 0−2αβ 0 =

x − αβ 0 , luego y < x − αβ 0 ⇒ (x, y) ∈ β ∈Λ Gα

β ⇒ Gα0 ⊆ β ∈Λ Gα

β .

2. α0 = ı́nf {αβ : β ∈ Λ} ⇒ A =β ∈Λ

Gαβ = IR2 ∈ T . Esta igualdad se

demuestra por doble inclusión:

⊆ Siempre.

⊇ Si (x, y) ∈ IR2 como los {αβ } no están acotados inferiormentecualquiera que sea (x, y) ∃αβ 0 tal que αβ 0 < x − y ⇒ y < x − αβ 0, conlo cual (x, y) ∈ Gαβ0 . De este modo (x, y) ∈

β ∈Λ

Gαβ .

Con esto queda demostrado que la familia T es topología en IR2. A con-

tinuación vamos a obtener la familia de cerrados F . Ya sabemos que IR2 y ∅siempre son cerrados.

Para el conjunto F α = {(x, y) ∈ IR2 : y ≥ x − α, ∀α ∈ IR}, tenemos que

IR2 − F α = {(x, y) ∈ IR2 : y < x − α, ∀α ∈ IR} = Gα ∈ T Así pues,

F = {IR2, ∅ } ∪ {F α : ∀α ∈ IR}.

Ejercicio 2.4.-

Veamos que la familia de subconjuntos de IR, T = {IR, ∅ } ∪ {[−x, x]; x >0}, no es una topología sobre IR. En efecto, si consideramos los conjuntos de

T , Gn = [−xn, xn], con xn = n−1

n

, siendo n ≥ 2, la unión∞

n=2

Gn = (−1, 1)

no está en T , así pues T no es una topología sobre IR.

Ejercicio 2.5.-


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4 TOPOLOGÍA

Es análogo al Ejercicio 2.4, pues si θ = (0, 0) es el origen, y Gn =

Bdl(θ, n−1n ), con n ≥ 2, entonces la unión

∞n=2

Gn = Bdl(θ, 1) es la bola

abierta de radio 1 y centro el origen, y este conjunto no aparece en T .

Ejercicio 2.6.-

Dado un espacio topológico (X, T ), consideramos la familia T

= {∅} ∪{{y0} ∪ G ; G ∈ T }. Queremos saber si es una topología sobre Y = X ∪ {y0}con {y0} /∈ X . Para ello T tiene que cumplir las tres propiedades que definena una topología, comprobémoslo:

Tenemos ∅ ∈ T por definición. Por otra parte, como X ∈ T dado que T es topología, se sigue que Y = {y0} ∪ X ∈ T por definición.

Sean A1, . . . , An con Ai ∈ T , ∀i = 1, . . . , n. Sin

i=1Ai = ∅, Y (en otro

caso es trivial) ⇒ ∃i0, . . . , il ; Aik = {y0} ∪ Gk con Gk ∈ T , ∀k = 0, . . . , l,

por tanto,n

i=1Ai =

l

k=0Aik =

l

k=0({y0} ∪ Gk) = {y0} ∪

l

k=0Gk. Dado que

(X, T ) es un espacio topológico, teniendo Gk ∈ T , ∀k ≤ l ⇒l

k=0Gk ∈ T . Si

llamamos G =l

k=0Gk tenemos que

ni=1

Ai = {y0} ∪ G, con G ∈ T ⇒n

i=1Ai ∈

T .Sea ahora {Aα}α∈Λ : Aα ∈ T , ∀α ∈ Λ. Supongamos que la unión A =

α∈Λ

Aα = ∅, Y no está en un caso trivial (en otro caso es obvio que A ∈ T ).

Sea Λ = {α ∈ Λ; Aα = ∅}. Tenemos A = ∪α∈Λ y además, Aα == ∅Y forall α ∈ Λ. Entonces Aα = {y0} ∪ Gα con Gα ∈ T y A =

α∈Λ

({y0} ∪ Gα) =

{y0}∪ α∈Λ Gα

. Por tanto, si G =

α∈Λ Gα, como (X, T ) es espacio topológi-

co, G ∈ T y A = {y0} ∪ G, con G ∈ T ⇒ A ∈ T .

Queda demostrado que T es una topología sobre Y . A continuaciónobtenemos la familia F de cerrados. Si F = ∅, Y es un cerrado, entoncesY − F = Y, ∅ ∈ T , luego Y − F = Gcup{y0} con G ∈ T . Entonces,F == (Y − (G ∪ {y0}) = X − G, y llegamos a que F es un cerrado de(X, T ).

Recíprocamente, si F es un cerrado de , entonces G = X − F ∈ T yG ∪ {y0} = (X − F ) ∪ {y0} = Y − F (pues y0 /∈ F ) nos dice que F es incerrado de (Y, T ). Hemos probado que los cerrados de (Y, T ) coinciden conlos cerrados de (X, T ).

Ejercicio 2.7.-

Como T e es la topología inducida por la distancia euclídea, para conocersi alguno de los intervalos, I , son entornos de 0 basta con comprobar que


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TOPOLOGÍA 5

∃ε > 0 tal que Bde(0; ε) = (−ε, ε) ⊆ I .

a) I = (−12 , 12). Si tomamos ε =

14 , Bde(0; ε) = (−

14 ,

14). Como

14 <

12 y

−12 < −14 ⇒ (−

14 ,

14 ) ⊆ (−

12 ,

12). Por lo tanto (−

12 ,

12) es entorno de 0.

b) I = (−1, 0). No es entorno pues 0 /∈ I (y todo punto de int I debe estaren I ).

c) I = [0, 12). En este caso, ε > 0 tal que Bde(0; ε) = (−ε, ε) ⊆ [0, 12). Por

lo tanto [0, 12) no es entorno de 0.

d) I = (0, 1]. No es entorno por la misma razón que b).

Ejercicio 2.8.-

Para que un conjunto H sea entorno de un punto (x, y) ∈ IR2 en (IR2, T e)tiene que existir ε > 0 tal que Bde((x, y); ε) ⊆ H . Dado que Bde((x, y); ε) =

{(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < ε2}, para que H sea un entorno de (0, 0) debecumplir en general que contenga valores positivos y negativos tanto para xcomo para y. Esto nos bastará para justificar en los siguientes conjuntos sison o no entornos de (0, 0).

a) (−12 , 12 ] × (−

14 ,

14 ]. Basta con tomar ε =

15 , podemos comprobar que

Bde((0, 0); 15) = {(x, y) ∈ IR

2 : de((0, 0), (x, y)) < 15} ⊆ (−

15 ,

15) × (−

15 ,

15).

Dado que 15 < 14 <

12 ⇒ Bde((0, 0);

15) ⊆ (−

12 ,

12 ] × (−

14 ,

14 ]. De este modo

es entorno de (0,0).

b) (−1

2, 0] × (−1, 0]. Este conjunto no es entorno, pues los valores de x e y

están restringidos al tercer cuadrante de los ejes cartesianos y cualquiercírculo centrado en el (0, 0) tiene puntos en los cuatro cuadrantes, demanera que resulta imposible introducir una bola de radio ε > 0 en dichoconjunto.

c) [0, 12) × [0, 14). De nuevo, no es entorno de (0, 0) ya que los valores de x

e y están restringidos al primer cuadrante, y por tanto(0,0) no está en elinterior del conjunto.

d) (0, 1] × (0, 12 ]. No es entorno, pues (0, 0) /∈ (0, 1] × (0, 12 ]

Ejercicio 2.9.-

En este problema obtendremos los derivados de los conjuntos propuestosen el plano euclídeo (IR2, T e).


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6 TOPOLOGÍA

a) A = {(x, y) ∈ IR2; x ∈ Q} = IR × Q. Para cualquier abierdo euclídeo G,∃ε > 0 tal que Bde((x, y); ε) ⊆ G. Como Q es denso en (IR, T e), el inter-valo abierto (x − ε, x + ε) tiene intersección (x − ε, x + ε) ∩Q no vacía conQ. Sea q ∈ (x − ε, x + ε) ∩ Q = ∅. Entonces (q, y) ∈ (x − ε, x + ε) × {y} ⊆Bd((x, y), ε) ⊆ G, así pues G ∩ (Q × IR) = ∅. Es decir, (x, y) (que es unpunto arbitrario de IR2) es un punto de acumulación de A, y de ese modo

A

= ((IR − Q) ∪ Q) × IR = IR × IR = IR2

.

b) B = {((−1)n 1n , (−1)n); n ∈ IN}. Como podemos comprobar, el conjunto

B es el de los puntos del primer y tercer cuadrante de los ejes cartesianoscon y = 1 ó y = −1 respectivamente y x = 1n si n es par o x = −

1n si n

es impar.Es claro que todo punto (x, y) ∈ B es aislado. En efecto, supongamos

x > 0 (se razona de forma análoga si x < 0), entonces y = 1 y x = 1ncon n par. Si tomamos ε = 1n(n+2) ⇒ Bde((x, y); ε

) es entorno de (x, y)

y sólo corta a B en el propio (x, y).También es fácil encontrar para todo (x, y) ∈ IR2 − B con x = 0

un ε > 0 de forma que (Bde((x, y); ε) ∩ B = ∅. Si 1

n0

+2

≤ x ≤ 1

n0

tomamos ε = mı́n{x−1/(n0+2)2 , 1/n0−x

2 }. En caso de que x > 1, bastatomar ε = 1 − x.

Finalmente, si (x, y) = (0, 1) dado cualquier ε, por la propiedad ar-quimediana de los números ∃n0 reales tal que

1n0

< ε ⇒ ∀ε > 0 tal

que Bde((0, 1); ε) es entorno de (0, 1) se tiene que Bde((0, 1); ε) ∩ B ={(x, y) ∈ IR2 : y = 1, x = 12n , n

≤ n0} = ∅, cortando a B en unnúmero infinito de puntos. Por tanto (0, 1) es punto de acumulación. Elmismo razonamiento se aplica a (0, −1) concluyendo lo mismo.

De esta forma B = {(0, 1), (0, −1)}

c) C = {(x, f (x)) ∈ IR2 ; x ∈ IR} con f (x) = x si x ∈ Q, f (x) = 1 − x si

x ∈ IR − Q. De este modo si llamamos C Q = {(x, x) ∈ IR2; x ∈ Q} yC IR−Q = {(x, 1 − x) ∈ IR

2; x ∈ (IR − Q)}, tenemos C = C Q ∪ C IR−Q.Sea (x, x) un punto de la diagonal ∆ ⊆ IR2 de ecuación y = x que con-

tiene a C Q. Para cualquier ε > 0, y como

x − ε2 , x + ε2

contiene infinitos

números racionales, la intersección C Q∩

x − ε2 , x + ε2

×

x − ε2 , x + ε2

⊆

C Q ∩ Bd((x, y), ε) también, luego ∆ ⊆ C .

Igualmente si Γ es la recta y = 1−x que contiene a C IR−Q, tenemos quepara todo (x, 1−x) ∈ Γ y ε > 0,

x − ε2 , x +

ε2

×

(1 − x) − ε2 , (1 − x) + ε2

⊆

Bde((x, 1 − x), ε), y como los irracionales son densos, podemos encontrarinfinitos irracionales (z, 1−z) ∈

x − ε2 , x +

ε2

×

(1 − x) − ε2 , (1 − x) + ε2

.

De esta forma, C IR−Q corta a Bde((x, y), ε) en infinitos puntos y Γ ⊆ C .

Por último si (x, y) /∈ ∆∪Γ, si ε1

= de

((x, y), ∆) y ε2

= de

((x, y), Γ),entonces basta tomar ε = mı́n{ε1, ε2} para tener que Bde((x

, y); ε) nocorta a C en ningún punto, es decir, Bde((x

, y); ε)∩C = ∅ ⇒ (x, y) /∈ C .De este modo, C = ∆ ∪ Γ.


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TOPOLOGÍA 7

Ejercicio 2.10.-

Recordemos que trabajamos con la distancia euclídea.

a) A = {1

n ; n ∈ IN}. Podemos ver que 0 ∈ A, ya que ∀ε > 0, Bde(0; ε) =

(−ε, ε) es entorno de 0 y Bde(0; ε)∩A = 0. Esto se debe a la propiedad ar-

quimediana de los números reales, es decir, para cualquier ε > 0, ∃n0 ∈ INtal que −ε < 1n0 < ε ⇒

1n0

∈ (−ε, ε) ⇒ (−ε, ε) ∩ A = { 1

m ; m ∈ IN, m ≥

n0} = ∅ por consiguiente {0} ∈ A. Además como Bde(0; ε) corta a A enun número infinito de puntos, por lo que Bde(0; ε)−{0} también, es decir,(Bde(0; ε) − {0}) ∩ A = ∅, por lo tanto {0} ∈ A

, es decir, es adherente yde acumulación.Veamos que si x ∈ IR : x /∈ ({0} ∪ A) ⇒ x /∈ A. Para ello vamos a distin-guir tres casos:

x < 0 ⇒ tomamos ε < de(x,0)2 = |x|2 ⇒ (x + ε) < 0 y (x − ε) < 0

⇒ Bde(x; ε) ∩ A = ∅ ⇒ x /∈ A.

x > 1 ⇒ tomamos ε < de(x,1)2 = |x−1|2 y nuevamente Bde(x; ε) ∩ A = ∅⇒ x /∈ A.x ∈ ( 1n+1 ,

1n) ⇒ tomemos ε = mı́n{|x−

1n+1 |, |x−

1n |}/2 ⇒ Bde(x; ε) es

entorno de x en (IR, T e) y de nuevo Bde(x; ε) ∩ A = ∅, ya que m ∈ INtal que 1n+1 <

1m <

1n .

De esta forma, la clausura de A viene dada por A = {0} ∪ A.

b) B = {0} ∪ (1, 2). Siempre B ⊆ B. También es adherente x = 1 ya que∀ε > 0, Bde(x; ε) ∩ B = ∅ por la propiedad arquimediana de los númerosreales.

El punto x = 2 también es adherente, las razones son análogas a las dex = 1.De otro lado, si x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) ⇒ x /∈ B. Para demostrarlo basta

escoger ε = |x−1|4 para tener Bde(x; ε) ∩ B = ∅ y concluir que x /∈ B.

Por último, si x ∈ (2, +∞) ⇒ x /∈ B ya que basta tomar α = |x−2|4 paratener Bde(x; ε) ∩ B = ∅ Hemos probado así que la clausura del conjuntoB es B = {0} ∪ [1, 2].

c) C = Q. Sean q, p ∈ Q, dado que todo intervalo contiene infinitos númerosracionales, tenemos (x − ε, x + ε) ∩ Q = ∅ para todo x ∈ IR y todo ε > 0.Así pues, todo abierto euclídeo que contenga a x debe contener a Q, ycomo consecuencia C = IR.

d) D = IN. Siempre IN ⊆ D. Ahora bien, si x /∈ IN, x ∈ (m, m + 1), para

un m ∈ IN, entonces si tomamos ε = mı́n{ |x−m|2 , |x−(m+1)|

2 } ⇒ Bde(x; ε) ∩

D = ∅ ⇒ x /∈ D.


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8 TOPOLOGÍA

De este modo la clausura del conjunto D será él mismo, D = D = IN.

e) E = IR+ = {x ∈ IR; x ≥ 0}. Supongamos x /∈ IR+, si tomamos ε = |x|2 se

tiene Bde(x; ε) ∩ E = ∅ ⇒ x /∈ E . Por consiguiente, E = E = IR+.

Ejercicio 2.11.-

Llamamos A al conjunto S ∩ IR − S . Si S = [a, b], entonces S es cerrado yS = S . Por tanto, A coincide con la frontera de S y así A = F r(S ) = {0, 1}.En el caso S = (a, b), S es abierto y por tanto IR − S es cerrado. Así queIR − S = IR − S y por tanto A = S ∩ (IR − S ) = ∅.

Si ahora S = IN, tenemos que S es cerrado y como en el primer casoA = F r(S ) = IN, ya todos los puntos de IN son puntos frontera.

Finalmente, si S = Q, entonces IR − Q = IR y así A = Q ∩ IR = Q.

Ejercicio 2.12.-

Como F r(S ) = S ∩ X − S , tenemos que F r(S ) ∩ (IR − S ) = S ∩ IR − S ∩(IR − S ) = S ∩ (IR − S ).

Recordemos que los cerrados de (IR, T cof ) son IR y todos los conjuntos conun número finitos de elementos (incluyendo el vacío ∅).

Así pues si A = F r(S ) ∩ (IR − S ) y S es abierto entonces o bien S = ∅ conlo que A = ∅ o bien IR − S es finito con lo cual S es infinito y como S ⊂ S ,S es un cerrado infinito y por tanto S = IR. Así pues, A = IR − S .

Si S es finito entonces es cerrado en (IR, T cof ) y por tanto S = S , de dondeS ∩ (IR − S ) = ∅.

Finalmente, si S = Q entonces S = IR por ser Q infinito (ver primer caso),

y así A = IR ∩ (IR − Q) = IR − Q es el conjunto de números irracionales.

Ejercicio 2.13.-

Dado que trabajaremos con la topología euclídea T e sobre IR2, para hal-

lar los puntos interiores que forman el interior de un conjunto buscaremosaquellos puntos que son centro de una bola abierta contenida en el conjunto.Análogamente, un punto formará parte de la clausura de A (punto adherentea A) si toda bola centrada en él corta a A.

1) A = {(x, y) : x = 1n , 0 ≤ y ≤ 1}. Para todo z = (1n , y) ∈ A, dado cualquier

ε > 0, Bde(z; ε) = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < ε2} ⇒ ∃(x, y) ∈ Bde(z; ε) tal

que (x, y) /∈ A ⇒ z no es punto interior de A ⇒ int(A) = ∅.Para hallar A lo que haremos será estudiar los z = (0, y) ∈ IR2 tales

que 0 ≤ y ≤ 1 ya que todo otro punto de IR2 − A es el centro de algunabola que no corta a A.


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Es inmediato que para todo (0, y) ∈ IR2, con 0 ≤ y ≤ 1 cualquier bolacentrada en (0, y) contiene puntos de la forma

1n , t

. Por ejemplo, si el

radio de la bola es ε entonces podemos elegir un n con 1n < ε y 1 > t >

y −

ε2 − 1n2

.

Así pues A es la unión de A y el segmento {(0, y); 0 ≤ y ≤ 1}.2) Si B = {(x, y) ∈ IR2 : x · y > 1}, tenemos int(B) = B .

Figura 1. pie de figura

3) En este caso, int(C ) = ∅ y C = C es cerrado.

Ejercicio 2.14.-

a) A = {(x, y) ∈ IR2; x · y = 0}.Nótese que A es la unión de los ejes de coordenadas pues xy = 0 si x = 0o y = 0. Como los ejes son cerrados del plano euclídeo entonces A esunión de los cerrados y por tanto cerrado. Además, int(A) = ∅. Así queA es cerrado y no abierto.

b) B = {(x, y) ∈ IR2; x ∈ Q}.En este caso int(B) = ∅ pues en toda bola de centro (x, y) con x ∈ Qpodemos encontrar (x, y) con x irracional.

Además B = IR2 pues en toda bola de centro (x, y) ∈ IR2 con (x, y)

arbitrario podemos encontrar un punto ( p, y) ∈ B.Por tanto, B no es cerrado ni abierto.

c) C = {(x, y) ∈ IR2; |x|


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En este caso int(C ) = C y C = C ∪ {(x, y); x = ±1}. El conjunto C esentonces abierto y no cerrado.

d) D = {(x, y) ∈ IR2; 0 < x


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D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}.

El conjunto D no es pues ni cerrado ni abierto.

e) E = {(x, y) ∈ IR2; x, y ∈ Q, x2 + y2 0}.En primer lugar int(A) = ∅ pues todo círculo del plano contiene puntoscuya primera coordenada es irracional. Por otro lado, A = {(x, y) ∈


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IR2; y > 0} pues todo círculo centrado en algún punto de este conjuntocontiene puntos cuya primera coordenada es racional y la segunda esestrictamente positiva.

Finalmente F r(A) = A − int(A) = A.

b) B = {(x, y) ∈ IR2; x ≥ 0, y = 0}.

En este caso int(B) = {(x, y) ∈ IR2; x > 0, y = 0} pues todo círculoalrededor de un (x, y) ∈ B con x = 0 contiene puntos cuya primeracoordenada es negativa. además B = {(x, y) ∈ IR2; x ≥ 0} pues todocírculo de centro (x, 0) contiene puntos con segunda coordenada no nula.Finalmente F r(B) = B − int(B) = OY ∪ OX + donde OX + es el semiejepositivo de abcisas.

Ejercicio 2.16.-

Tenemos un espacio topológico (X, T ) y queremos demostrar que A ⊆ X es abierto y cerrado ⇔ F r(A) = ∅. Procedemos a demostrarlo por doble im-plicación:

⇒ Sea A ⊆ X abierto y cerrado en (X, T ). F r(A) = A ∩ (X − A), como

A es abierto ⇒ X − A es cerrado y por ende X − A = X − A. De otro lado,


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TOPOLOGÍA 13

A es cerrado, por lo cual A = A, por consiguiente, F r(A) = A∩(X −A) = ∅.

⇐ Si F r(A) = ∅ ⇒ A = int(A) ∪ F r(A) = int(A). Dado que int(A) ⊆

A ⊆ A y A = int(A), A = int(A) = A ⇒ A es abierto y cerrado en T .

Ejercicio 2.17.-

Tenemos (X, d) espacio métrico y x ∈ X . Para demostrar que X − {x} esabierto comprobaremos que int(X − {x}) = X − {x}, por doble inclusión:

⊆ int(X − {x}) ⊆ X − {x} siempre, por definición de interior.

⊇ Sea y ∈ (X − {x}), entonces x = y y por la propiedad de Hausdorff

de los espacios métricos, ∃ε > 0, tal que Bde(x; ε) ∩ Bde(y; ε) = ∅, luegox /∈ Bde(y; ε) y por tanto Bde(y; ε) ⊆ (X − {x}) ⇒ y ∈ int(X − {x}),∀y ∈ (X − {x}) ⇒ (X − {x}) ⊆ int(X − {x}).

Nota : Obsérvese que sólo hemos usado la propiedad de Hausdorff de un es-pacio métrico. Por ello este ejercicio se puede extender a los espacios topológi-

cos que tengan la propiedad de Hausdorff. Como nuevo ejercicio adicional,comprobar los detalles.

Ejercicio 2.18.-

Queremos probar que A es denso en X ⇔ ∀G ⊆ X abierto no vacío,G ∩ A = ∅. Para ello usaremos la doble implicación:

⇒ Supongamos A ⊆ X denso ⇒ A = X . Escogemos z ∈ G ∀G ∈T ; G = ∅, como z ∈ X = A se cumple G ∩ A = ∅ por la definición declausura.

⇐ Sea A ⊆ X , si ∀G ⊆ X abierto no vacío, G ∩ A = ∅ sea x ∈ X y

G un abierto con x ∈ G. Entonces G = ∅ y entonces G ∩ A = ∅, luegox ∈ A. Por lo tanto ∀x ∈ X , x ∈ A ⇒ X ⊆ A. Como siempre A ⊆ X se tiene X = A.

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