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SOLUCIONESUnidad 1
, 101 a) -b) 2500
99a) 9
a) Falso
2286,75 €
227390150001
1980
b) 8
b) Falso
, 27 68 11 14a) — < — < — < —10 25 4 5
b) 1,23 <1.23 <1,23
9.
10.
11.
12.
c) 74 = 72 <73
d) 2.9 = 3 < 3.01
1 1b 1. 1o < 6 -. !> — => — < — ; o<0 ,6 > 0 : — < —- a b a a b
\2 „2 , ..2x -y ) = x ? + y 2 - 2 x y > 0 = >
• x2 + y 2 > 2xy => — + — > 2 y x
Mayor 10: 3< a < b
Mayor 2o+l: 4,5<o<9
M| l + - £ - Y l — ~ |> j l f o p > l0 —100 A 100 J p 100-q
20. a) 2x-3+l2x-3| =
o VT V il
0 si x < - 3
4x-6 si x > -
Si X = —1: 0; SÍ X = 0: 0; SÍX = 2: 2
0b) 2—3x—|2—3x| =
Si X = —1: 0; SÍ X = 0: 0; SÍX=2
2si X < —
- 6 x + 4 si x > -
2 1 . a) , . , i - 2x + l si x < - 2 |x + 2|+lx-3l = ] 5
24
25.
si - 2 < x < 3 2x-15 si x>3
Si x = -2: -1; Si X = 0: 5; SÍ X = 3: 14 b)
í - x - 5 si x <-3x+lx + 2l+lx + 3l = j x + i sí -3 < x< -2
[ 3x + 5 si x > - 2
Si X = —2: —1; SÍ X = 0: 5;SÍX = 3: 14
a) [-3, +°°) c) [—3. +°°)b) (2. 4) d) (-2.6]
í 3 7 \ ' 3 7"\ - r 7 J E
~ 2 ’ 2 .
26. a) (0, 4)
30.
0 4
32.
Eo es mayor en la aproximación con 1 cifra.
35. a) 5,39 • lO' 4b) -6,85 • 108c) 1,375- 101d) 5 • 10~2
e) 1,32 ■ 109f) 2 • 1 0 '3g) 1,728 • 103h) 1,3995 • 10"
36. a) 1,205 • 10'Eátomosb) 0,419 kgc) 1,34539- 1023 moléculas
37. a) Mr = 463Mpb) dr = 5,5 g/cmJ; dp = 1,97 g/cm3
39. a) 13s¡2
b) | 7 Íá
40. a) 146672
41. a) 2a
« . a) £
b) £ -
c) 26
d) 5
b) 7 7
2a
e) a
f ) a }
b)
d)
2o-1
\¡3+2\Í6
c) W 5 - 5
e) -V 3-V 2
5^6-619 f)
49. a) 4
« i3
c) -2
d ) i
19
e ) l2
o - l
50. a) 1,893
51. lo g = x2 log x
c. . . 10 0x252. a) A = -------
b) 1,778
g) - l
h) -1
c) -0,9605
b) B = 105
c) C = 1
d) D = -
53.a)2.771 b)-0,540 c) 5,360
57. a) 543 058 b) 3,17 d. El mismo c) 5,47 d
58. 13.14 g
59. a) 5356 € b) 5362 €
c) 5362,50 €d) No hay gran diferencia.
b) (—°°, — 4]u[—2, +°o)' -4 «---!---H-*-2 0 3. a) 6 ,
c) [-3, 1] -3H---t—•—
0 1 b) -Unid. Centés. Diezmilés. c) 8 ,
Por defecto: 1 1.41 1,4142Por exceso: 2 1.42 1,4143 4. a) oRedondeo: 1 1,41 1,4142
1 1E,.=— E
0 70 _ 120 5. a) C:
1 cifra 2 cifras 3 cifras b) C:75 : Defecto: 2,2 2,23 2,236
Exceso: 2,3 2,24 2,237 C) C:it: Defecto: 3,1 3,14 3,141
Exceso: 3,2 3,15 3,142\ Í 5 + k : Defecto: 5,3 5,37 5,377 6 . a) C:
Exceso: 5,4 5,38 3,378 ht r-
Unidad 2
4. a) o = 2. b = - 3 b) o = 5, 6 = 9
, r 1 2 9 23C) C: - X 2-----X + —2 4 8
R:-X-—3
R: 10x + 14
R: -3 x2 +
R: -23
R:46
R:
d) C: -4x3 - 20x2 - 97x-485 R: 2430
e) C: 2x4 + 6x3 + 6 x2 + 12x + 36 R:-9
7. a) o = 3
M 9!b) o = —2‘
m 3210. 07 = --3
1 1 . a) k = - 8
c) k = - 6
c) o = 22912
d) o = - 6 ,6 = 10
b U = ̂63
d) k = 6
12. a) (x - l) (x + 2)(2x + 3) ; 1,-2
b) (3x + 2)' ; no tiene raíces enteras.
c) (x —2)(x + 2)(x2 + 4); 2 ,-2
d) x (x - l) 2(x2 + x + l ) ; O, 1
e) (x + l)(2x + l)(3x + l ) ;-1f) No tiene raíces enteras.g) No tiene raíces enteras.h) x*(x-3)(x + 3) ; O, 3,-3
18. 1044
19. a) 873-504\/3 . No tiene 6 .° término., , 5 320 3 1280 2560b) 32x5 + ---- x3+ ------ x + ------ +
3 9 27x2560 1024 _ 1024
+ — T- + TTCTX: L81x3 ' 243x5’ 6 243x5
c) 552976>/2 -45158473; 76 = -145152^3
d)6561o16 + 34992o156 + 81648o:i62 + 108864o1363 +
+ 90720aub“ + 48384o“65 + 16128o!066 ++ 3072o967 +256o868; 76 = 48384on65
20. T9 = 495 ■ 3‘ • 58
21. _Z £ ^
372
NJ | V
O
23. a) m.c.d. = x - l . m.c.m. = x4 + 2x:-3 x2-4 x + 4
b) m.c.d. = Q(x), m.c.m. = P(x)
c) m.c.d. = P(x), m.c.m. = R (x )
d) m.c.d. = 6x-’ -5x + l ,m.c.m. = 24x" - 20x3 - 2x2 + 5x -1
e) m.c.d. = x - 2. m.c.m. = 2x“ - 8x3 - 8x2 + 32x
24. a) x — 1
a b + a - a b 1
b) x + 3 x -2
c) X — 1x -2
25. a)
b)
c)
b1
10x + 12 x2- 4
x 2 + 3x -10
1x + o
3x + 22x + l
x + 1
d) x 'y -x y
g) -
h) 3x2 + 3x + 2 x2 + l
29. a) x = —32
b) x = 0, x = -5
, Í5 ¡JV 6 V 6
,, 11d) x = — , x = -24
v - 1 3e) x = 1, x = —. x = — . x = -23 2
f) x = 2, x = —- 2
30. Respuesta libre. x; +2x2-3x-10 = 0
31. a) x = 1, x = -1. x = 4, x = -4b) x = 1 . x = - 1c) No tiene solución real.d) x= l,x = —1, X - 3, x = -3
35. a) x = 2b) -1 + ^2 ; - 1 - V 2
c) x=0 , (x = - 2 falsa)
36. a) IR-{0 ,-1 ) b) x = 3
39. a) x = 1— ; x = 42
b) x = 5, 2^399 264
25 25
d) No tiene solución.e) x = - 2
40. a) x = 0,x = 1,x = 3 b)x=3
41. 15
3945. a) x = —34
b) x = 3
46. a) x = e:
c) No tiene solución.
d) x = 0
b) x = 4
47. x = 5
48. x = 6
52. a) x = 0. x = —2
b) x = 1
53. a) x = 2b) x = 1, x = -1
__ . , 3f + 458. a) [ x = —-— , y =
c ) x = - l
d) x = 3, x = - —2
c) x = 2d) x = - l
7 í-4z = t
5 5b) No tiene solución., f /( 41c) , = - T . y = (. , - T
1 13 25 141 22 y 22 11
59. a) (x = -2, y = 3, z = \). SCD
b) í x = — , y = — , z = - l . SCDl 36 36 2 )
c) (x = 4, y = 1. z = - 2 ) . SCD
d) (x = 2, y = -3. z = 0). SCD
í x = 5, y = -2 63. a) 17 _ 7
lX_ 6 ' y ~ 3c) Sin solución real
b)
64. a)
íx = 1. y = - 2
25 17x = -----, y = —l 2 5
[ x = 3, y = 8
[x = 4, y = 7
d)
x = -372, y = - y
b) • x = 3 s Í2 ,y = - ~ d)
x = - l , y = 3 x = l, y = -3
x = 2y = 1
x = 4, y = 0 x = -4, y = 0
(x = 11, y = 7 [x = - l l , y = -7
6 8 . a ) x = 2 , y = l c)x = 2 , y = 1
í x = 2, y = 3b) x = 10, y = 3 d)
x = log,—. y = 5 - log, —
69. a) x = 103VÍ0. y = V¡Ób) x = 81, y = 27c) x= 2 0 ,y= 2
d) x = 10 0 , y =
70. a) Sí
10
b) No c) Sí
71. a) [-10. +°°) b) Sin solución
c) ( -« . 2 )d) |0. 4]
7 3 ) „ ( rI a 2 ) 7 .
b) (-o o .-3 ]u
c) ( - 2.0 M 2.+d) 1)
u [ l, + <
—,+ ° ° | f ) {-1} v j[0. +00)g) (-oo.-l)u(l.-H »)
h) (-2.-1)
73. a) l-o o ,-A ,u
b) ( - ° ° . - 2) u [ - l , l ) u [ 2. + °o)
C) (_oo,-l)
d) (-3,0]u(3. + oo)
e) [-5 ,-l)u (0 . + oo)-{i}
f) u (- l , + oo)
77. a) [-1.1) c) [l. + oo)
b) Sin solución d) (-«>,-2)u(l. + <
Unidad 3
3. a) —rad6
b) —rad 3
v 10k ,c) — rad
d) — rad6
4. a) 420° b) 270° c) 229° 11' d) 720°
5. sen/t = — 5
- 4sentí = — 5
cos/4 = — 5
eos fl = — 5
, , a 5\Í61 i 6\Í616 . a) sentí = —- — eos8 = -
senC =
61
6^6T61
eos S =
61
5\/6161
b) sen/4 = — 5
senC = — 5
c) sen/4 = — 5
sentí = — 5
cos/4 = — 5
cos C = — 5
cos A - — 5
- 4eos fi = — 5
1 3 M = 7 4
tgtí = -
tgfí = -
tgá=!
- 3 4
tgc=f
tg¿ = -
- 3 tgfi = 7 4
7. coseca- \ ¡ 5 seca = -^- cotga = 2
9. a) sen30° = — cos30° = ^ - 2 2
b) senrc^Oc) sen0 ° = 0
COSTt = —1
cosO° = 1
k \¡2 n \¡2 d) sen—= — eos—= — ' 4 2 4 2
s¡3tg30° = ^ -
tgre = O tg0 ° = 0
71 a
,g4 =1
10. Unidad 4sena/coseca cosa/seca. tga/cotga
1 2 0° + - -
1 O o - + -
256° - - +800° + + +315° - + --460° - - +
11.3jiT
11713
4 71T
7n~~6
9714~
5?t~ T
sen a -f- - - + - +eos a - + - - + +tg a - - + - - +cosec a + - - + - +sec a - + - - + +cotg a - - + - - +
i¿*• a) i c) -y- e) 77 g) -y- i) -77
b) d) f) 0 h) - —2 3 3
15. sen330° = -/j
, , . 7216. a) —2
. 73 0
d>f20. a) tga = 77 cosa = -
2 seca = 2
73 273sena = — coseca = -----2 3
b) cosa = — sena = -̂ -7_t tga = -7745 5
5724 4 724coseca = ------- cotga = -------24 6 24
, 1 73c) sena = — cosa = ------2 2
273 „ 73seca = ------- tga = — /-3 3 cotga = V3
2 1 . a) 37l010 » - i c) -5726
26
[7 _ [725. 15° = 60°-45° senl5° = — ——
4
cosl5° = - ^ +— ■ tgl5° = -77 + 2
5n _ n n ~Í2~ 4’ + ? sen 5tc 7ó+ 77
12
57c 7ó - 7 7 5jt /-eos— = ---- ----- t g y = v3 +212
sen(45 + 30) 7(3 + 77 26. tg75° = -------------- = -----------cos(45 + 30) 7(3-77
27. sen| a + y l = -cosa
30. senl20° = — sen— = - —2 3 2
cosl2 0° = - ~ eos—~ = -™2 3 2
tgl20° = -7 7 t g y = 73
.. cos3a = 4cos3a-3cosa tg3a = - ^ ^ —311 - 3tg'a
- - a 3V1U a TÍO a 32. sen— = — _ eos—= - ^ - tg—= 3_ 37lQ’7 ” 10 ^ J 2 _ 10 l5T
33. sen 32° = 0.5299
36. a) 2sen35°cos20°b) 2cos55°sen20°c) 2cosl05°cos20°d) - 2senl2 0°senl0 0 °
37. a) y(cosl20°-cos40°)
b) i(cos35°+cosl5°)
38. cos75°+cos45° = cosl5°
__ 3x 39. C O tg y
40. 0
47.a) x = 90°+360°/c ox = — + 2nk, con k e Z
b) x = 120° + 360°Á ox = — + 2nk, con k e Z 3
x = 240° + 360°/c ox = y + 2 nk, con k eZ
c) x = 30°+180°£ ox = —+ 7i/c, con/teZ 6
48. a) 135° y 315°b) 0o, 60°, 180°, 300° y 360°
49. a) 0o, 45°, 90°, 180° y 360°b) 60°. 120°, 240°, 300 y 360°
r- »v \ Tí Tí50. a) x = — ,y = —6 6
,. n k 2n nb) x = — ,y = — ;x = — ,y = —3 6 3 6
_ k _5n _2n _5n
55. c = 8,11 cm
56. c = 8,61 cm. Área = 51,6 cm2
57. a) C = 60°,6 = 5,22dm,c = 7,04m,S=18,ldm2b) 8 = 29° 29', C = 70° 31', c = 9,57m,
S = 23,57m2c) Á = 28°57', B = 46° 34', C = 104°28',
5 = 72,6cm2d) a - 12,58 mm, 5 = 37° 54', C = 67° 6 ',
S = 46.36mm2
2. a) Equipolentes:EF y GI CD y HÍ
b)
GH y JK
3. AB = 2u + - v CD = — ü + u2 2
5.a) S=[ —f.a ]: * = |: c = (0 .2)
1 4 2
- l y - 1
6 .a ) ü yv son l. independientes.
b) - ( f . i
11. M(20,l)
12. a) Alineadosb) Triánguloc) Alineados
13. o = l . 6 = 1
14. k = -4
15. D(—2.4)
17. luí = 5 , M = 77 , ¿7• v7 = —11
18. \v\ = ks¡2 , \w\ = \¡2k2 + 2 , v-w = 2k
19. k = l,k = - l
3. Los puntos A y C pertenecen a la recta. El punto B no pertenece a la recta.
4. x = -3, y = 55. ü = (-1.8 )
6 . a) 2x + y + l = 0 b) 2x-5y-16 = 0
7. k = 2
8 . Se cumple para todo k.
12. u = (2,3) . ñ = (-3,2)
13. ü = ( - 6 ,1), ñ = (l, 6 )
14. 2x-3y+ 8 = 0
15. x + 2y + 5 = 0
16. 2x + y + 4 = 0
17. x + 6y-3 = 0
18. x -5 = 0
19. 41° 52'48"
374 Soluciones
22.
23.
24.
25.
26.
31.
32.
33.
36.
37.
38.
39.
¿»0.
42.
43.
44.
47.
48.
49.
50.
51.
53.
21. x - 2y + 10 = 0
a) «7 = (1,2), m = 2 c) ¿7 = (l. 5). m = 5
b) £7 = (3.- l) , m = ~ — d) ¿7 = (1,2), m = 2
y = 2x
y - 5 = -73(x + 2)
» 7 8a) m = — , n = —3 3
b) m = —3. n = 5
c) m = l, n = - 5
d) m = 0, n = -4
5 c _ 5 y = — x + 5; y -5 = — x
a) Son paralelas.
2x + y + 4 = 0
y -4 = m(x + 5)
k = l l y k = —41
a) Escaleno
4 ul
b) Se cortan en P(0,l).
/ - l l I h -L hnsc ~ j ' n *c ~ " ab ~ 2 9
b) Equilátero
7s¡29
d = 0. Están alineados.
a) a = 81° 52' b) a = 18° 26'
a = 26° 33' 54"
x - y + 6 = 0
P'(4,-ll)
y= i
A'(-4,0), S '( l , - 6 ), C '(l,l)
A'(0,3), 6(3,0), C'(—2, — 2)
6(4.5)
x - y - 2 = 0
2 1954. —
55. 6 ,:(75-l)x + (75 + 3)y-4 = 0
ó2:(75+ l)x + (7 Í-3 )y + 4 = 0 Intersección: P(-l,l). 75. =(75-1. 77 +3); ñ2 =(75+1,75-3) y n1-ñ2 = 0
56. (4.2) y (1,5)
, ( 7 1 125 57‘ a) 38'38
b) (2.06:3,81) c) [ 2,y
Unidad 62. Es circunferencia. C (l,-2) r - J —
3. a) Pertenecienteb) Interiorc) Exterior
4. La recta es secante a la circunferencia.
5. a) Son interiores, b) Son secantes.
8 . a) Interior b) Perteneciente
c) Perteneciented) Exterior
9. a) Perteneciente si m = 3 o m = - 4 Interior si me(-4,3)Exterior si m e(-»,-4)u(3,+«)
b) Perteneciente si m = 2 o m = - 1 Interior si me(-l,2)Exterior si m e(-°o-l)u(2,+°°)
±7l4-2c) Perteneciente si m - -
Interior si m e
Exterior si
-7l4 -2 717-2
m er -717-2)j 717-2 )l ’ 2 J 2 J
d) Exterior para cualquier valor de m
11. a) 2 x -y -5 = 0b) -72x + 72y-195 = 0c) 4x + 4y-41 = 0
12. Puntos de corte: P(4,0), 0(6,6)Pertenecen al eje radical y = 3x-12.
13. a) C, y C2 : 8x-19 = 0 , C, y C3 : x + 2 = 0C2 y C3: 2x-3 = 0
b) No hay centro radical.
75
17. a) Centro: (2,-3)¿(5 ,-3 U (-l,-3 ) 6(2,—1), 6(2,-5)
6(2 — 75.-3)
p (2 + 75.-3) e =
b) Centro: (0,1) /K0,-lU'(0,3) fl(l.l).6 (- l.l)
p (o,1-73)
6 (0.1 + 73) e = -y
18. ■+>1 = 1169 25
19. f e ^ + 1 ^ - 1100 75
22. a) Centro: (-2,2) e = ~ J~
A (-k .2 ) ,A ’ { 0,2)
f { - 2-76.2)
F ’ { - 2 + 76,2)
y - 2 = ±— (x + 2 )2
b) Centro: (0,0)>1(0.4), 6 (0 -4 )P(0,-5), 6(0,5)
5 4 4e = — y = —x y = — x 4 3 3
x' y 2 y2
O f|0 ,--
0(0-3) Eje: x = 0
Directriz: y = — 2
d) F\ 2 , ~
0(2,4) Eje: x = 2. 5Directriz: y = —
, , x2 x 9 26. y = ------- + —8 2 2
Unidad 7
2- kl=W=l-*il=2>/2Arg z, = 225°, Arg z l = 135°, Arg (-z .) = 45°
k b k b K h 2Argz2 = 90°, Arg z2 = Arg (-z2) = 270°
Arg z3 = Arg z3 = 180°, Arg (-z3) = 0o
- í x
3- kl=kl=KI=2Arg Zj = 120°, Arg z, = 240°, Arg (-z ,) = 300°
kl=kl=l-^l=2Arg z2 = 30°. Arg z2 = 330°, Arg (-z2) = 210°
*
5. a) |zr Zj| = 4, Arg (z, -z2) = 150c
b) |z(| = 4, Arg z.2 = 240°
c) = 1, Arg — =90c z-, J
d) |z7|=y Arg z21 = 330°
6 . o = -3 , Módulo: 572 , Argumento: 2 2 5C
7. Poner z = a + b i , z = a - b i y operar.
375
8 . a) 5 + / c) 1 -/ , 1 5 . 6) - 2 ‘ 2 '
* 7 4 . 1 32. a) x = r T ,.y = -
b) - 8 + 6/ i, 1 4.d ) --------/10 5
f) — /25 25 X II t—̂ ii
n 249. a = -----5
10. 1
14. 2 =- 7‘l A,
15. a) 2/ = 2„n, = 2(cos90° + /sen90°)b) -/ = 1270 = I(cos270° + /sen270°)c) 0
d) 1 + / = \Í2W = \/2(cos450 + /sen450)
16. a) 4>/2 *
b) n/2*750
c) 16u
d) i/
17. 2,
_ . 3 _ 3418. a) 2 = - - . 2 = 590, d) 2 = .| —2 V J 23753=
b) 2 = 7,
C) 2 =
e) 2 = 2>/2 „-
« 4 J 333.43°
19. (x, y) = (0, 0)
1 V T(*./)= 2 2
(x, y) = (l, 0 )
‘ 1 V T2 ' 2
(x.y)=
22 l 1 l l l22. i¡2o> -L84°. •‘■156o1 *l228°= -l300‘>
23. 2/ y -2/
24. 2, = 72+ 72/ z 1= - \ Í 2 - \ Í 2 i
z2 = -72 + 72/ 24 = 72 - 72/
25. 7̂ ,030.7̂ ,50.7̂ 2250.̂ 2330.773,50
4 7 7 177726. B2 2
1777 -777
27. Si c = 1, 2. ... los ángulos /°y f° + 360°c tienen las mismas razones trigonométricas.
„ 5 7 5 -1 . 75+1.31. a) x, = -------/. x, = ----------11 2 2 2
b) x: = x2 = -/
, 1 77. 1 77.c) X, = —+ ---1, X, = -------------/1 2 2 2 2 2
1 77. 1 77.*3 2+ 2 '' 2 2 1
j\ . 1 77. 1 77.dj x, = 2, x, = — + — /, x ,= ---------- ;1 2 2 2 3 2 2
b)7óx = 1 ------ y = —2 ' 2
1 77.—+— ;2 41 77.
33. a) P(x) = (x-2)(x2 + 9) en RP(x) = (x-2)(x + 3/)(x-3/) en C
b) Q(x) = ( x - 2 ) (x - 2 )(x2 + x+ l)en i Q(x) = ( x - 2)(x+2)-
77 V1x + -------- /2 2
1 77.x + - + — /2 2
en C
34. 6 = -53, c = 143
Unidad 83. 7500;
6000; 4500; 3000E 1500E
o'1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
4. c)
X (h) (0 ,1] (1.2] (2.3] (3,4] (4,5] (5,6]y (€) 3 5 7 9 11 13
/(*) =
3 si 0 < x < l 5 si l< x < 2 7 si 2<x<3 9 si 3<x<4 11 si 4<x<5 13si 5<x<6
6 . Respuesta abierta
O-*
O-*
Z 5/
Z x-kT X->0*
8 . a) D (f) = ( - «>,2)u(2,3) R ( f ) = -°°.3) 18. a) — oo c) -° ° e) -oob) 0(7)=R R ( f ) = l.°°) b) + OO d) +«> 0 +°°
c) D(7) = R - { 6 } R ( f ) = R -{0 }2 0 . a) 3
d) D(7) = R-(0.2) fl(7)= 0 ,+ o«) 0 d) 2
e) D(7) = [0,l]u[l,5; 2,5] R ( f ) = [ -U ] b)5•D e) - oo
f) 0(7)= R R ( f ) =r 4 iLt +~J c)
J0 0 0
g) D(7 )=(0 ,+ oo) R ( f ) = (O.+ co) 2 1 . a) 2 c) 0 e) 0h) 0(7)={-1,1} R ( f ) = {0 } b) 0 d) +oo 0 +°°
9. a) Í A x ) = ̂ f . D Í f l = [-3,+oo)-{-2.2} [ h x -4
b) (/°g)(x) = 77+3x + 2
D(/°g) = [-3,+o°)-{-2}
c) (g°7 )(x) =
0(9o/)= -oo.
3x2 + x - 3 x2- l-1-777 u (- l . l) u
-1+777
d) ( f ° g ° h ) ( x ) =7771
x2-2
D ( f ° g ° h ) = ( - oo,-l]u[l,+ o«)—{-77.77}
10. D { f - l ) = R - { 0}
11. /‘1(x) = ̂ y i
Al representarlas se obtienen rectas simétricas.
1 2 . xe [l,6 ; 1.61 ]
15. a) /(0,9) = 0,526;/(0.99) = 0.5037(1,001) = 0,5;7(l.0l) = 0,498
b) 7(6.9) = 1,99; 7(6.99) = 1,999 7(7.001) = 2;7(7.0l) = 2.001
c) /(3.9) = 3,975;/(3,99) = 3,997 7(4,001) = 4;7(4,0l) = 4,002
d) 7(—0 ,l)= 3; 7(-0.0l) = 3,001 7(0,001) = 3;7(0.01) = 3,001
e) 7(1,9) = 1,263; 7(1.99) = 1.400 7(2,001) = 1.416:7(2,01) = 1,428
f) 7(7,9) = 11,95; 7(7.99)= 11,995 7(8.001) = 12:7(8.01) = 12.005
16. f ( a ) = 2 , f ( b ) = 0 , f ( c ) no existe, lim 7 (x)= Iim7 (x) = lim7 (x) = 2x—>o~ x—*a' x—»o
Iim7(x) = 3; tim7(x) = 0; Iim7(x) No existex-*b~ x-»6* x—>b
lim 7(x) = 5; lim 7(x) y lim7(x) No existex-*c' x—>c~ x—»c
1 7 . a) lim 7(x) = + °o. lim 7(x) = + oox-+o x—yo*
b) lim7(x) = + °°; lim f ( x ) No existex—ta~ x—>a*
c) Iim7(x) No existe; lim(x) = + .
376
Unidad 922 . a) O 0 0
d) No existe.
23. lim(/-g)(x) = 0*-*a
lim(/5)(x) = 1
lim — (x) Depende de o•~Kg)
)(x) = 0
24. a) - j b) O
27. a) R e) R - Zb) R - { l } f) R -{3.4}c) R - { - l . l } g) Rd) R -{0 } h) R - { l }
28. a) /(1) = 2 b) /(2 ) = -4
29. k32
33. a) A.V. x = 3 y x = -3 ; A.H. y = 0b) A.V. x = -2 y x = -1; A.O. y = 3x - 7
C) A.V. x = 0; A.H. y = —7 3
d) A.V. x = 0 ; A.O. y = 4x
34. a) A.H. y = 3b) A.H. y = 0 A.V. x = lc) A.O. en - y = -x yen +oo y = x
d) A.V. x = -3 ; A.O. en - » y = — x + — y en3+ oo y = x----
7 2
35. a) | 0 0
b) 1 d) - «
36. a) Es convergente a 0.b) Es convergente a 0.c) No es convergente.d) Es convergente a 0.
37. a) o. = — c) o„ = (-l)"n
b) on- n d) o„ = ( - l) n
e) O
0 0
38. a) Se comprueba que o„ - on+1 < O . b) limo. = 2
40. a) 0 f) +°°b) 0 g) 2
‘> §h) 0
d) - 2 i) 0
e ) _ i j) 0
41. a) e2 d) e2
b) e e) 1
c) e-* f) Je
3. TVMf[0;l] = 0.236068 TVMf[0;0.0l] = 0.2498 TVMf[0;0,1 ] = 0,24845 La TVI en x = 0 es 0,25.
d) y = — x + 1 7 4
5. No, la tangente tiene por ecuación y = -5x + 13.
6 . a) /'(2) = 3
b) No. si calculamos para valo-h
res pequeños de h obtenemos valores muy diferentes.
7. a) /(10) = 49,93m
b) /'(10) = — ms“1 225
8. r (- l )= j ; r ( l ) = 0;/'(2) = -2;
r(3) = 0;/'(5) = - 2
1 0 . No tiene tangente en el origen y no es derivable en x = 0 .
13. a) La función es continua en x = 1.b) No existe la derivada en x= 1 porque sus lí
mites laterales no coinciden.c) No existe la recta tangente en P(l./(l)).
14. a) v b) y / ■> \ y /0 - í— x \ 1 /
i > \fí ' \ x0
h 7 / I
16. a) /'(x) = 0b) r(x ) = 4x3-3c) f ' ( x ) = 4x’ + 4xd) T(x) = 20x; +6x'+14x
e) f ' (x ) = 2x2-3x + -4
f) /'(x) = 54x5-60x4-8 x3+30x2-6 x -2
17. a) s'(0 ) = 7
b) p'(0) = 42
18. /' (x) = 5QA0 r '( x ) = 0
20. a) /'(x) = -l2 x + 31
b) / '(x ) = 24x 7 -4 2 x5 + 20x3- 2 x
c) /'(x ) = -6 x 5 - 30x4 - 4x3 - 54x2 + 12x
d) /'(x) = 25xi + 56x3 - 9x2
e) H x ) = - bx -2 x + 5 __2n/2x3- x7 + 5x - 3
f) 17x8 - 16x7 + 144x¿* - 128x3 + 64
2\ÍJ-1
21- a) / ' ( * ) = --- d ____x2-6 x + 9
b) /'(x)= ~x + 5x4 + 10x2 + 25
c) /'(x) = - ------ I2-------x3- 9 x7 + 27x -27
d) H x)= d ± d h lx4 + 2x2 + 1
e) *" + 4x3-2 x 2- 6 x - 5 x4 +4x3 + 2x2- 4 x + 1
f) /'(x) = ---- i~.~7 + 2(2x‘ -4 x + 2)\/x
22. r (x )= ___x4+ 2xi + l
/"(x) -12x2 + 4 x6 +3x4 + 3x2 + l
(r-s ) 4 2 -1 1
(r-g )’ 0 4 -3 4
26. (/°g), (x) = 8 x + 30=>(/og), (- l) = 22
(g°/)(x) = 4x + 2=>(go/), ( - l) = -2
27. a) /"'(x) = 5(x —
b) /'(x) = 12(3x + 2)3
c) /'(x) = 6(x3-2 x 2+x-3)5(3x2-4x + l)
d) H x ) a 3r2x/x3 - 2
\/ 2x3 + x2
f ) H x ) = J í l d _2 J x i - x
28. a) /'(x) = 28x13 + 372X11 -176x10 + 1760x9 -- 1656x8 + 3712x7 - 4704x6 + 3696x5 -- 3520x4 + 1280x3 + 864x2 - 704x +128
b) ,.(x)= 2 5 x ^ 1 6 ^2v/5x-¡i
c) /■(>), M x- 32X
d) r(x)= 3 ,(-2x- 1)2n/7(2x -1 ) a
. . 15(3/-5)'29. a) f ' ( x ) =
2n/(3/-5)S-1
b) /'(/) = j ( V / J - x ) ( 2/ - 1)
c) / '(zM 3 / 2 + 2)+^ ' -+2)(x3 + 2z)
r/í . (6/+ 2)\ lx2 + x + (-6z2- l l x - l )
(54x3 - 54/ 2 +18/ - 2 N x 2 + x
30. a) /j(-3) = 2, /?(2) = 2b) /,(-3) = -1.5;/'(2) = l.g '(-3 )= 1. g'(2) = 0c) h '(-3) > 0d) / = 2
34. Derivando (>//) =/ y despejando:
2\lx
35. a) —13
b,f
36.
37. Derivando (V3/-2) =3/-2 y despejando
(n/3/-2 ) = ----- I -----.2V3/-2
T 3 99Tangente: 7 = +
39. a) /'(x ) = - L - 6 n/x2V7
b) /'(z)= ^ 7 T + T r3^x2 ^
c) /'(/) = -7
4/j V 7
d) /'(/) = -■ - i - + l . ^ _ 2 / - 25 C 7 4 V7
e) / ' ( / ) = — L + i
o r(/)=4^/7 ^
2 5
40. En el punto/ = -0.033875516
a) / ' ( i ) ~ L ¡ r ' = ^ : ( r ' ) '= 4v9 6 2
b) ( r ’ )'(/(l)) = ̂ y.
c) /-'<2)=-6
44. a) /'(/) =
b) /'(/) =
O /'(/) =
3/ -2 x3 -2x‘ + 1
6/Í3/ 2 — l)ln2
ln(7z2) 2 + —2 f x
d) /'(/)
e) /'(/):
0 /'(/) =
45. a) f ( z ) =
b) /'(/):
= 5logs/'‘ +
= ln/ + l
12x\f[ñx
/'(ln/ + l)
2 ln // ln'
20In5
c) /'(/) = \íx -ln \fx \fx + -
d) /'(x) = 2x2” 1lnx +
e) /'(/)
0 /'(/)
2\[x 2\[x(2x + l)x2'fl
2/z' lnx + xx' (ln/ + 2 )/''
48. a) /'(*) =
b) /'(/) =
c) /'(/) =
d) /'(/) =
49. a) / = 3
b) x = ~
2 \íx
:e3'’-w (9/2-5)
:e'(/2-5/-10)
e' (3xJ- l)+ 2 x 3
z2
e'(l + 2x)2VJ
c) / ,= + ^ - :/ ?
d) z = 0
53- a) /'(/) = (cos(z2 + e2, ))(2/ + 2e2'!
b) /'(/) =
c) /'(x) = (cos(5x: -2x + l))(10x-2)
d) /'(/) = 4tg(2z)eos2 (2/)
a) /'(x) = cos(3x-2)-3xsen(3x-2)
f)(l+cosx)cos(4x) + 4(x + senx)sen(4x)/'(/) = •
54. y = x
55. En ningún punto
cu 71 5ji 4 2 4
57. a) /'(*)= e
b) /'(/) =
cos2(4z )
V l-e 2'2/
l+ ( l + z2)J
c) /'(/) = -
d) /'(/) = •
1
2Vl-z2 ^a
1 í ^ 1------- COS/ +senx + arcsenx I n/T^
58. No existe ningún punto con esa condición.
59. /•'(/) = 0
11 + z2
60. (arccotgz) = -
63. a) Falsab) Verdaderac) Verdadera
64. La función tiene un máximo en P(0,1)
50. a) /'(x) = 2ln7-72'
b) /■ '(/) = — • 2^ 2\[x
0 r ( x u ™ 9—3 V 7
d) m )= -e" ff +1).
e) /'(z) = ln3-(3z2- l ) 3 ' "
0 /'(/) = l + ln8-4z38-''
g) /'(/)= 7e:'\[x +-^— 2vz
h) -0,40547-2'+(l.0986x-l)
i) / '( / )= % /2 -ln(\/2 )e'
j) /'(x) = e'lnx + —z
k) /'(z) = i2
0 W = g'(1+*)lfy - £ l(Inz)2
65. Z = —1; / = 0; Z= 1
6 6 . a) Creciente en (-°°,2)Decreciente en (2,+ °°)Máximo en P(2,8)
b) Creciente en (-°°,l)u(3,+ °°)Decreciente en (1.3).Máximo en P ( l, l) . Mínimo en 0(3,-2)
c) Creciente en ( - °o,-l)u(l.+ °°) Decreciente en (-1.1)Máximo en P (-l,2 ). Mínimo en 0(1.-2)
d) Creciente en (-l.O )u(l,-+«*>)Decreciente en (-°°.-l)u (0 ,l)Máximo en P(0,4)Mínimo en Q(-1,3),P(1.3)
e) Creciente en (-«>,- l ) u ( 6 ,+ °°), Decreciente en (-1,6)Máximo en P (-l,21). Mínimo en 0(6.-322)
f) Creciente en (-2, + °°)
Decreciente en (-<»,-2)Mínimo en 0(-2,-39)
378
67. 4. a) Parb) Parc) impard) No tiene.
11. a) Grado 3. Positivob) Grado 4. Positivoc) Grado 5. Positivo
12. Función polinómica cuya derivada no tenga raíces reales o tenga una raíz doble.
70. a) Máximo: /(0) = 7l0 ¡Mínimo: /(3) = 1b) Máximo: f ( 5) = 10 ¡Mínimo: /(2) = —2c) Máximo: f ( k ) = 16
Mínimo: / (- l) = /(2) = -4d) Máximo: f ( k ) = 126
-4 + 7 l3 AMínimo: / = -6,07
e) Máximo: /(l) = 38 Mínimo: /(—5) = —6550
f) Máximo: /(-2) = /(2) = 13
Mínimo: f\ - J - j | = /
71. 4 y 16
72. 50 m, 50 m y 100 m
73. 2500 camisetas diarias
75. En todos los casos se refiere a concavidad:a) Hacia abajo en todo Rb) Hacia abajo: (-«.2)
Hacia arriba: (2,+°°)
c) Hacia arriba: -1’TaJ l7s
1r , + 00
Hacia abajo: I —L _L_s ’s
d) Hacia arriba: [ — —,0 |uV2 >/2
,+ ■»
Hacia abajo: -<»,— — u 0,72 J l '7^
76. Cóncava hacia arriba: (-o o ,- l)u (7 ,<») Cóncava hacia abajo: (-1.7)Puntos de inflexión: zl(-l./(-l)).6(7,/’(7))
„ 1 3 7377. y = - - x + —— 8 8
78. No tiene ningún punto de inflexión.
Unidad 10
2. a) * 0 .-5):B( f . o ) p : ( f . . ) : N : ( - ~ . f )
5. a) Por ejemplo: f ( x ) = x L + 3x' + 5b) Por ejemplo: f ( x ) = - x ' + 4xJ + 9x
c) Par: cada imagen tiene su pareja equivalente. Impar, por contraste con la anterior.
13. Función polinómica cuya derivada tenga dos raíces reales distintas.
14. No. la segunda derivada cambia de signo.
Y
20'\ ;-\ Ó f x
17. La función debe cortar exactamente dos veces al eje x, luego la función se anula dos veces.
b) /4(0,-6)¡8(-2.0);C(3.0).P: (-2,-l)u(3,<») ¡ N: el resto f)
2 0 . a) ^ Y
'••l-C) ¿(0.-4);8(-4.0);C(l.0).
P: (-oo.-4M l.oo) ; N: (-4,1) d) /4(0,-3);6(-2,0);C(l,0);D(3.0),
P: (-2.l)u(3.oo); N: ( - ° ° -2 )u ( l,3 )
V J ,.0 ■ [ X
0 T \ / x2 1 . a) ^ Y\;;
J A3 . /(x) = - (x - l) (x -3 ) 1 0 . f [ x ) = —x +3x
379
2 2 . a)
23. a) y
25.a) R —(-1.1)
b) R - { 2 } e) ( - 1.1)
c) R f) ( -° ° .0 )u (0 ,l)
29. a) En -9, -7, -4, -2, 1. 3. 6 . 8 . 11 y 13b) Positiva: (-4 ,-2 )u (l, 3)u(6,8);
Negativa: [ - 6 , - 4 ) u ( - 2. l )u ( 3 ,6 )c) Máx.: >4(10.3). B(15.3). C(20.3)
Mín.: 0(l2.-2).f(l7 ,-2)
Y
T= 11 / / / / / / /ü i A
d)r=i
,y / / / / / /------x
Y
i-
ú 1 XNo es periódica
31. Cualquiera periódica con f(x) = f( -x )
32. Cualquiera periódica con /(x) = -/ (-x )
33. /(x + 37) = /((x + 27) + 7) = /'(x + 27) == /((x + 7)+7) = /(x + 7) = /(x)
Unidad 112. a) 4 u2 b) 2 u2
3. In3 u2
4. 16 u2
., x cos5x14. a ) -------- + C5
b) - ^ - + C sen x
17. a) O
b) sen(l)
18. -u 2
32 221. — u3
2 2 . 1 u2
23. ( ^ - l ) u 2
1/ 37 2 24. — u12
c) -yln|cos(3x + 2)| + C
d) ln|sen(x)| + C
c) 2^3
x6 3x49. a ) -----------rx2- x + C3 4
, . 3 x2 xb) x + ------- + C3 2
c ) -----x + 3lnx + —+ C8 x
d) -3e* + C
e) -^— ■ 3 * -8 'Jx +C ln3f) -5cosx + arccosx + C
g) — x/x^-senx + C 4. x , 3senx _h) 4arctgx--------- + C
2 x 510. a) —— x3 + x + C
b) - x “ + - + - J 7 + C 4 x 3
c) x2 + 2 ln|x| + C\fx 2
132' x3e) senx------+ — + Cln2 3
f) 3arcsenx-ye' +C
11. F(x) = tgx + 2senx + 4x + C
25. a) 1 m
3.a) x = 71m3/s, M = 68,67nr/s ;Clases modales: [62,74), [74,86)
b) s2 = 495, s = 22,249 m3/s
4. a) x = 1,873, M0 = 2 , M = 2
b) O, = 1, Q2 = W= 2, 03 = 3c) s2 = 1,3132; s = 1,145
6 . a) x = 0,602y = 6,14
s2 = 6,0496 s2 = 4.1724
b) sv = 2,7902
7. a) Marg x = 276; 260; 237. Marg y = 80; 182;449;62;
b) x = 34,50; s2 = 66,11; y = 20,69; s2 = 14,96c) sv =-3,44
13. a) \]t2 + 2t + 3 + C
b) yln(l + e2s)+C
c) — (x2 + l)"+C 42d) sen(lnf) + Ce) arctges+C
f) arcsenx2+C
9. a) Marg x: 626; 637. Marg y: 217; 319; 305; 322. hm = 0,1789; hm = 0,1955;/?,,, = 0.2843; h2 2 = 0,2626; hy, = 0.2620; /?3|2 = 0,2626; hm = 0,2748; hv2 = 0,2793.
b) x, =35,7569; s2. = 118,3921c) Son independientes ya que f = ft ■ f
11. a) 48,32 días, entre 48 y 49 días.b) La relación entre las variables es muy débil.
3.12 . a) r2400-
r* ./
y r 33Semanas
b) 182.211x-A040.952
c) R! = 0.9911 ECM = 3390.349
d) 1607.589 gl4. a) R1 = 0.899, r = 0,948
b) y = 3,7x + 2,86c) El ajuste lineal a los datos es muy bueno por
que el coeficiente de correlación está próximo a 1.
15. La relación lineal es débil.
17. a) y = -l,0538x + 2.5598 b) 1.084
18. a) 94.83 % b) 23,84 kg
2 1 . a)
b)c)d)
23. a) No se ajusta bien a una regresión lineal.Y% •
l l 20' •
i 70 •
¿ 2q0 5 10 X
Tiempo (min)
b) y = -13.02x + 138.40; ECM = 326c) 2 = —0.1884x + 3.4226 ; ECM = 2.74
V
-ófrio 130 l40 XPeso(kg)
y = 0,7952x + 73,2034 y = l,6898xNo tiene sentido ajustar la recta.
Unidad 132.a) £ = {(1.1)..(1.6),(2.1).......(2.6).
(3.1) ................(3.6),(4,1).(4.6).(5.1) ................(5,6).(6.1).(6 .6 )}
b) À = £ - {(1,5), (2,4), (3.3).(4,2),(5.l)}AuC = {(1.5).(3.3),(5,l).(1.2),(2.2).(3.2),(4.2).
(5.2) .(6.2).(1.4).(2.4).(3.4).(4.4).(5.4). (6.4),(1.6).(2.6).(3.6),(4.6).(5.6).(6,6)}
A n B = {(l.l).(2,2).(4.4).(5.5).(6.6)} (fiuC)nA = {(3,3),(4.2),(2,4)}(Ar\8 )-C = {(3.3)}
4. A u B : Cursar estudios de grado o un ciclo formativo de grado superior o ambos.An(firjC): Cursar un ciclo formativo degrado superior o entrar en el mercado laboral o ambas cosas, pero no cursar estudios de grado.AnC : Ni entrar en el mercado laboral ni cursar estudios de grado (cursar un ciclo formativo de grado superior).Au(BnC): Cursar estudios de grado o hacer un ciclo formativo de grado superior y entrar en el mercado laboral o ambas cosas.
7. £(20 = 0.5
nf ( A ) h (A )
103
0.300
2511
0,440
5026
0.520
10055
0.550n 250 500 750 1000
f ( A ) 128 252 373 502h(A) 0,512 0,504 0.497 0.502
8. P(ganeA) = y
P(empate o pierda A) = -
9. P(w,) = 0,l
13. a) id ) i
w f e ) i
c ) f f ) !
14. a) 0.7 d) 0.5 g) 0.7b) 0 e) 0.3 h) 0.2c) 0 .6 0 0.5 i) 0.1
15. a) 0.2 d) 0.8b) 0.7 e) 0.8c) 0.2 f) 0.3
16. a) 0,6 c) 0.9b) 0,1 d) 0.1
2 0 . a) -3 c ) !
21. P(cara) = — ,P(cruz) = — 3 3
a) Í « i C) \
a) 4b) 2
b)¿ d> f
_1 3 1 2
33. a) y
34. 2 494 800 palabras; 30 240 palabras empiezan por CAS.
38. P(An8 ) = 0.21; P(A) = 0,45;P(A4lAufi) = ^ -
39. a)
b)
40. a)
b)
42. a)
b)
43. P(no defectuoso) = 0.90307
44. a) No, P(An8 ) = 0 pero P ( A ) P ( B ) > 0
b) No, P ( A n B ) = P ( A ) P ( B ) > 0
45. a) 0.7 b) 0.3 c) 0.5
49. P (el ordenador funcione) = 0,925
50. 42.78 % = 0.4278
51. P (tenga más de 60 años) = 0,4
52. 0.626
55. a) 0.9820b) 0,5041c) el operario A
56. a) 0,956 b) 0.20455
57. 0.81513
1368091
1496
2725
_5_361736
27. a) y w i
28. a) 60 palabras
b ) . . ?
II.20
29. a)
b)
16125
1296
381
El libro Matemáticas I para 1.° de Bachillerato forma parte del Proyecto Editorial de Educación Secundaria de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo:
AutoríaFernando Alcaide, Joaquín Hernández, María Moreno, Esteban Serrano, Luis Sanz, Fernando Barbero (entradas), Manuel de León (comienzos de bloque)
EdiciónRafaela Arévalo, Arturo García, Natividad Juarros, Juan Alberto Torresano
Asesoría pedagógicaJosé Ramón Vizmanos, Vicente Rivière
Corrector científicoJuan Jesús Donaire
CorrecciónJavier López
IlustraciónBartolomé Seguí, Juan Antonio Rocafort
FotografíaSonsoles Prada, Javier Calbet, Fidel Puerta, Almudena Esteban, María Pía Hidalgo / ARCHIVO SM; Olimpia Torres; Don Farrall, Arthur S. Aubry / PHOTODISC; Sebastian Kaulitzki / GETTY IMAGES; M. Ahmetvaleev / NASA; ESO (Observatorio Europeo Austral); Agencia Estatal de Meteorología (AE- MET), NASA AP - ASSOCIATED PRESS (G TRES ON LINE) / G TRES ON LINE; CONTACTO; EFE; PR IS MA; LATINSTOCK; DIGITAL VISION; CORBIS; ALAMY IMAGES; PHOVOIR; INGIMAGE; THINKSTOCK; CORDON PRESS; 123RF; SHUTTERSTOCK; ¡Stock; AGE FOTOSTOCK; ALBUM.
Edición gráficaFidel Puerta
Diseño de cubierta e interioresEstudio SM
Responsable del proyectoArturo García
Coordinación de contenidos digitalesMara Mañas
Coordinación editorial de MatemáticasJosefina Arévalo
Dirección de Arte del proyectoMario Dequel
Dirección editorialAída Moya
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■© S MISBN : 978-84-675-7656-6 Depósito legal: M -05.082-2015 Im preso en la U E / Prin ted in E U
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