Soluciones periódicas en sistemas autónomos planos

Sistemas Hamiltonianos en el planoEl Teorema del flujo tubular

El Teorema de Poincare-BendixonEjercicios

Soluciones periodicas en sistemas autonomosplanos

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

Universidad de Extremadura, Badajoz

10 de diciembre de 2010

M. Fernandez Soluciones periodicas en sistemas autonomos planos



Sistemas Hamiltonianos en el plano I

Sea el sistema diferencialx ′ = g(y)y ′ = −h(x),

(1)

donde g : (−s, s)→ R y h : (−r , r)→ R, (0 < r , s ≤ ∞), sonfunciones localmente lipschitzianas. Sean

G (y) =

∫ y

0g(η) dη, H(x) =

∫ x

0h(ξ) dξ

y F (x , y) = G (y) + H(x). Entonces F es un Hamiltoniano de (1).En lo que sigue suponemos

yg(y) > 0, 0 < |y | < s, xh(x) > 0, 0 < |x | < r .




Sistemas Hamiltonianos en el plano II

De donde sigue que (0, 0) es el unico punto de equilibrio de (1).Ademas

F (0, 0) = 0,

F (x , y) > 0, si (x , y) 6= (0, 0),

F (x , y) = 0, para todo (x , y).

Por tanto (0, 0) es estable.Sean

G (±s) = lımy→±s

G (y), H(±r) = lımx→±r

H(x),

cm = mınG (±s),H(±r).




Sistemas Hamiltonianos en el plano

Proposicion

Dado ε > 0, existen 0 < R < r y 0 < S < s tales queG (y) > cm − ε, si |y | > S y H(x) > cm − ε, si |x | > R.





DEMOSTRACIONSe verifica que G (s) = supy∈(0,s) G (y) yG (−s) = supy∈(−s,0) G (y), de modo que existe y ∈ (0, s) tal queG (y) > G (s)− ε. Puesto que G es estrictamente creciente en(0, s), si y > y , se cumple que G (y) > G (y) > G (s)− ε.Analogamente se obtiene la existencia de ¯y ∈ (−s, 0) tal queG (¯y) > G (−s)− ε. Puesto que G es estrictamente decreciente en(−s, 0), si y < ¯y , G (y) > G (¯y) > G (−s)− ε. S = maxy ,−¯ycumple la tesis.Un razonamiento analogo para H completa la demostracion. 2





TeoremaSean U = (−r , r)× (−s, s) y V = (x , y) ∈ U : F (x , y) < cm.Las soluciones del sistema diferencial hamiltoniano con condicioninicial en V , son periodicas.





DEMOSTRACIONSean (x0, y0) ∈ V y (x , y) : I → U la solucion de (1) tal que(x(0), y(0)) = (x0, y0) 6= (0, 0). Entonces 0 < c = F (x0, y0) < cm.El conjunto F−1(c) es compacto, ya que es cerrado (F escontinua) y es acotado, ya que si ε = cm − c , de la Proposicionanterior se deduce la existencia de0 < R < r y 0 < S < s tales que

G (y) > c , si |y | > S , H(x) > c, si |x | > R.

Por tanto, si G (y) + H(x) = c , G (y),H(x) ≤ c , ya queG (y),H(x) ≥ 0. Entonces |x | ≤ R, |y | ≤ S . De modo que

F−1(c) ⊂ [−R,R]× [−S , S ].





Puesto que F (x , y) = 0, F−1(c) es invariante por el sistemahamiltoniano. Ası que

(x(t), y(t)) ∈ F−1(c), para todo t ∈ I

y, como una consecuencia, I = R.





AFIRMACION 1.Para cada t0 ∈ R, existe t1 > t0 tal que x(t1) > 0. En efecto,supongase que x(t) ≤ 0 para todo t0 ≤ t <∞. Entoncesy ′(t) = −h(x(t)) ≥ 0. De modo que y(t) es creciente en [t0,∞).Sea y∗ = lımt→∞ y(t). Entonces

g(y∗) = lımt→∞

g(y(t)) = lımt→∞

x ′(t).

Si g(y∗) 6= 0, entonces por el Teorema del valor medio para cada tsuficientemente grande, existe t < st < 2t tal que

|x(2t)− x(t)| = |x ′(st)t| → ∞, cuando t →∞,

que esta en contradiccion con ser x acotada.





Como |y∗| ≤ S y g(y∗) = 0, y∗ = 0. Por tanto lımt→∞ y(t) = 0 yal ser y creciente en [t0,∞), se obtiene que y(t) ≤ 0 en [t0,∞).Entonces x ′(t) = g(y(t)) ≤ 0 y, por tanto, x es decreciente en[t0,∞). Al ser acotada, existe x∗ = lımt→∞ x(t). Entonces

lımt→∞

y ′(t) = − lımt→∞

h(x(t)) = −h(x∗).

Como y es acotada en [t0,∞), lımt→∞ y ′(t) = 0 = −h(x∗), dedonde se deduce que x∗ = 0. Ası que

c = lımt→∞

F (x(t), y(t)) = F (0, 0) = 0.

Esta contradiccion termina la prueba.





De manera analoga se pruebaAFIRMACION 2.Dado τ0 ∈ R, existe τ1 > τ0 tal que x(τ1) < 0.Aplicando repetidamente las Afirmaciones 1 y 2 se obtiene laexistencia de

τ1 < t1 < τ2 < t2 < τ3,

tales que x(τi ) < 0 y x(tj) > 0.





Sea σi ∈ (τi , τi+1), i = 1, 2 tal que la restriccion de x(t) a [τi , τi+1]alcanza el maximo en σi . Puesto que x(ti ) > 0, tambienx(σi ) > 0. Por otra parte 0 = x ′(σi ) = g(y(σi )) implica quey(σi ) = 0. En consecuencia

c = F (x(σi ), y(σi )) = H(x(σi )) + G (0) = H(x(σi )).

Ası H(x(σ1)) = H(x(σ2)). Como la restriccion de H a (0, s) esestrictamente creciente, x(σ1) = x(σ2). Hemos probado que(x(σ1), y(σ1)) = (x(σ2), y(σ2)) y, entonces, (x , y) es periodica. 2




Secciones transversalesTeorema del flujo tubular

El teorema del flujo tubular I

Sean f ∈ Liploc(U) y g ∈ Liploc(V ), siendo U,V abiertos de Rn.Se dice que el sistema diferencial x ′ = f (x) es conjugado ax ′ = g(x), si existe una aplicacion biyectiva h : U → V tal que

h(u(t, x)) = v(t, h(x)), (x ∈ U, t ∈ Ix).

El Teorema del flujo tubular dice que en cada entorno de un puntoregular, el sistema diferencial x ′ = f (x) es conjugado a x ′ = e1,donde e1 es el vector que tiene todas sus coordenadas nulas, salvola que ocupa el primer lugar, que es 1.





Secciones transversales I

Sea el sistema diferencial x ′ = f (x) donde f ∈ C1(U) y U es unabierto de Rn. Una seccion transversal a f es una funcionS : D → U definida y de clase 1 en un subconjunto abierto yconexo de Rn−1 tal que

DS(q)p1, . . . ,DS(q)pn−1, f (S(q))

es una base de Rn para toda base de Rn−1, p1, . . . , pn−1. Six0 ∈ S(D), diremos que S es transversal a f en x0.






Proposicion

Sea S : D → U una funcion de clase 1 definida en el abiertoconexo D ⊂ Rn−1. Son equivalentes

1. S es una seccion transversal a f .

2. Para cada q ∈ D, la aplicacion lineal Lq : R× Rn−1 → Rn

definida por

Lq(t,w) = tf (S(q)) + DS(q)w

es un isomorfismo.

3. Para cada q ∈ D, la aplicacion DS(q) : Rn−1 → Rn esinyectiva y f (S(q)) 6∈ DS(q)(Rn−1).






DEMOSTRACION(i) implica (ii). El conjunto DS(q)p1, . . .DS(q)pn−1, f (S(q)) esuna base de Rn. Entonces

Lq(t,w) = tf (S(q)) + DS(q)w

= tf (S(q)) + DS(q)(n−1∑i=1

yipi )

= tf (S(q)) +n−1∑i=1

yiDS(q)pi = 0,

implica que t = y1 = · · · = yn−1 = 0. Ası que Lq es inyectiva y, portanto, biyectiva.





Secciones transversales II

(ii) implica (iii). Lq(0,w) = DS(q)w . Ası que Lq(0, ·) = DS(q).Como Lq(0, ·) es inyectiva, tambien lo es DS(q).Si f (S(q)) ∈ DS(q)Rn−1, que es un subespacio n − 1 dimensionalde Rn, Lq(t,w) no es sobre.(iii) implica (i). Sea q ∈ D y p1, . . . , pn−1 una base de Rn−1.Entonces DS(q)p1, . . . ,DS(q)pn−1, f (S(q)) es una base de Rn. Enefecto

DS(q)

(n−1∑i=1

ciDS(q)pi

)= −cnf (S(q)),

implica cn = 0, porque f (S(q)) 6∈ DS(q)Rn−1. Al ser DS(q)inyectiva, c1 = · · · = cn−1 = 0.






DefinicionUna seccion tranversal S : D → U se dice afın si existe x0 ∈ U yuna aplicacion lineal (necesariamente inyectiva) L : Rn−1 → Rn talque S(q) = x0 + Lq para todo q ∈ D.






Si n = 2, toda seccion afın es de la forma S(q) = x0 + qp paraalgun vector no trivial p ∈ R2. En este caso D es un intervaloabierto de R que contiene a 0. Desde luego f (S(q)), p sonlinealmente independientes para todo q ∈ D ⊂ R.






Proposicion

Si x0 ∈ U y f (x0) 6= 0, entonces f posee una seccion transversal enx0 que es afın.






DEMOSTRACION Sea 〈·, ·〉 el producto escalar ordinario en Rn.Sea H el hiperplano de Rn ortogonal a f (x0). Es decir

H = x ∈ Rn : 〈x , f (x0)〉 = 0.

Entonces Rn = 〈f (x0)〉 ⊕ H. Notese que

x =〈f (x0), x〉〈f (x0), f (x0)〉

f (x0) + y , y ∈ H.

Puesto que H es un subespacio vectorial (n − 1)-dimensional,existe L : Rn−1 → Rn lineal, inyectiva y tal que L(Rn−1) = H. SeaS(q) = x0 + Lq para todo q ∈ Rn−1.





Secciones transversales

Considerese la aplicacion continua

q ∈ Rn−1 → 〈f (S(q)), f (x0)〉 ∈ R.

Como 〈f (S(0)), f (x0)〉 = 〈f (x0), f (x0)〉 > 0, existe un abiertoconexo D ⊂ Rn−1 con 0 ∈ D tal que 〈f (S(q)), f (x0)〉 > 0 y, portanto, f (S(q)) 6∈ H para todo q ∈ D. En definitiva, S es unaseccion transversal afın a f en x0. 2





Teorema del flujo tubular I

TeoremaSea S : D → U una seccion transversal a f y sea q0 ∈ D. Entoncesexiste η > 0 tal que la aplicacion h : (−η, η)× B(q0, η)→ Rn

definida porh(t, q) = u(t,S(q))

es un difeomorfismo de (−η, η)× B(q0, η) en el abierto Im(h).La aplicacion h es una C 1 conjugacion entre x ′ = e1 restringido a(−η, η)× B(q0, η) y x ′ = f (x) restringido a Im(h).






DEMOSTRACION(0, S(q0)) ∈W = (t, x) : x ∈ U, t ∈ Ix. Por ser W abierto,existe r > 0 tal que

(0, S(q0)) ∈ (−r , r)× N ⊂W ,

donde N es un abierto de Rn. Puesto que S−1(N) es un abierto deD ⊂ Rn−1, eligiendo r > 0 tan pequeno como sea necesario,

B(q0, r) ⊂ S−1(N),

S(B(q0, r)) ⊂ S(S−1(N)) ⊂ N.





Teorema del flujo tubular II

Entonces

(0,S(q0)) ∈ (−r , r)× S(B(q0, r)) ⊂W .

En particular la aplicacion

h : (−r , r)× B(q0, r)→ Rn,

h(t, q) = u(t,S(q))

esta bien definida y es de clase 1. Ademas

∂h

∂q(t, q) =

∂u

∂x(t, S(q))DS(q),

∂h

∂t(t, q) = f (u(t,S(q))),





Teorema del flujo tubular III

de modo que

∂h

∂q(0, q0) = DS(q0),

∂h

∂t(0, q0) = f (S(q0)).

En otras palabras, Dh(0, q0) es la aplicacion lineal Lq0 y, enconsecuencia, es un isomorfismo. Por el teorema de la funcioninversa h es un difeomorfismo alrededor de (0, q0).Si t0, t + t0 ∈ (−η, η), q ∈ B(q0, η), entonces

h(t + t0, q) = u(t + t0,S(q)) = u(t, u(t0,S(q)))

= u(t, h(t0, q)).

Sea sistema diferencial x ′ = e1 cuya solucion esv(t, x) = v(t, t0, q) = (t + t0, q). Ası que





Teorema del flujo tubular IV

h(v(t, t0, q)) = u(t, h(t0, q)), dondet0, t + t0 ∈ (−η, η), q ∈ B(q0, η). Es decir, h es una conjugacionentre los sistemas x ′ = e1 y x ′ = f (x) restringidos a(−η, η)× B(q0, η) y h((−η, η)× B(q0, η)), respectivamente. 2






CorolarioEn las condiciones del Teorema 2 si p ∈ Im(h), existe t ∈ (−η, η)tal que u(t, p) ∈ S(D).






Demostracion.Sea p = h(t, q), donde t ∈ (−η, η) y q ∈ B(q0, η).

u(−t, p) = u(−t, u(t, S(q)))

= u(−t + t,S(q)) = u(0,S(q)) = S(q).





Teorema del flujo tubular

Proposicion

Sean S : D → U una seccion transversal a f y x : I → U unasolucion no singular de x ′ = f (x). Entonces el conjuntoA = t ∈ I : x(t) ∈ S(D) es de puntos aislados.






DEMOSTRACIONSupongase para llegar a una contradiccion que t0 ∈ A es un puntode acumulacion de A. Sean x(t0) = S(q0) yh : (−η, η)× B(q0, η)→ Im(h) el difeomorfismo dado por elTeorema del Flujo Tubular. Puesto que x es continua en t0, existeun entorno de t0 tal que si t pertenece a dicho entorno,x(t) ∈ Im(h). Al ser t0 punto de acumulacion de A, existe t1 ∈ A,t1 6= t0, tal que

|t1 − t0| < η, x(t1) ∈ Im(h).






Si x(t1) = S(q1) = h(0, q1) con q1 ∈ B(q0, η), entoncesx(t + t1) = u(t,S(q1)), por la unicidad de soluciones del problemade valor inicial. De aquı se deduce

h(0, q0) = S(q0) = x(t0) = u(t0 − t1,S(q1)) = h(t0 − t1, q1).

Puesto que h es inyectiva, t0 = t1, q0 = q1. 2





Teorema del flujo tubular

Proposicion

Si S : D → U es una seccion transversal a f y p ∈ Ω(x0) ∩ S(D),entonces existe una sucesion tk →∞, cuando k →∞, tal queu(tk , x0)→ p, k →∞, y u(tk , x0) ∈ S(D) para todo k ∈ N.






DEMOSTRACIONSean p = S(q) y h : (−η, η)× B(q, η)→ Im(h) el homeomorfismodado por el Teorema del flujo tubular. Por la continuidad de h en(0, q) y teniendo en cuenta que p = h(0, q), para cada k ∈ Nexiste rk ∈ (−η, η) tal que

h((−rk , rk)× B(q, rk)

)⊂ B

(p,

1

k

).

Como p ∈ Ω(x0), existe una sucesion τj →∞ tal queu(τj , x0)→ p, j →∞. Puesto que h es un homeomorfismo,h((−rk , rk)× B(q, rk)

)es un entorno de p, ası que para cada k ,

existe τjk > k tal que

u(τjk , x0) ∈ h((−rk , rk)× B(q, rk)

).






Sea (sjk , qjk ) tal que u(τjk , x0) = h(sjk , qjk ). Entonces

u(−sjk + τjk , x0) = u(−sjk , u(τjk , x0)) = u(−sjk , h(sjk , qjk ))

= u(−sjk , u(sjk , S(qjk ))) = S(qjk ) = h(0, qjk )

∈ h((−rk , rk)× B(q, rk)

)⊂ B

(p,

1

k

).

Ademas −sjk + τjk →∞, k →∞, u(−sjk + τjk , x0) ∈ S(D) yu(−sjk + τjk , x0)→ p, k →∞. 2




El Teorema de Poincare-Bendixon I

En todo este apartado f : U → R2 es de clase 1 en el abiertoU ⊂ R2.En lo que sigue fijaremos x0 ∈ U, se supondra que u(t, x0)esta definida al menos en [0,∞) y que el cierre de

u(t, x0) : t ∈ [0,∞)

es un subconjunto compacto de U. Entonces Ω(x0), el ω-lımite dex0, es un conjunto no vacıo, compacto, conexo e invariante porx ′ = f (x). El objetivo es probar el siguiente resultado:




el Teorema de Poincare-Bendixon I

TeoremaSi Ω(x0) no contiene puntos de equilibrio, es una orbita periodica.Es decir, Ω(x0) = u(t, x0) : t ∈ R, donde u(t, x0) es una solucionperiodica.





La prueba de este teorema necesita varios resultados previos. Enprimer lugar se notara que si u(t, x0) es periodica, entoncesΩ(x0) = orb(u(t, x0)) y el teorema se verifica. Ası quesupondremos que u(t, x0) no es periodica.Se usara el Teorema de separacion de Jordan. Sea S1 el conjuntode numeros complejos unitarios, es decir, la circunferencia de R2

de centro el origen y radio 1. Sea γ : S1 → R2, continua einyectiva. Diremos que C = γ(S1) es una curva de Jordan. Ası queγ : S1 → C es un homeomorfismo, ya que S1 es compacto.





Teorema (De separacion de Jordan)

Si C es una curva de Jordan en R2, entonces R2 \ C es la union dedos abiertos no vacıos, disjuntos y conexos, V y W tales queFrV = FrW = C .





Aunque la prueba del Teorema de Poincare-Bendixon no lonecesita, el Teorema 4 tambien dice que uno de los abiertos esacotado (llamado region interior), mientras que el otro no lo es(region exterior a C ). Tambien dice que la region interior eshomeomorfa a R2.





Supondremos de aquı en adelante que S : D → U es una secciontransversal afın a f . El orden en R define un orden total en S(D)de la siguiente forma: Dados p0 = S(q0), p1 = S(q1), se definep0 <S p1, si q0 < q1.Llamaremos x(t) a u(t, x0).





LemaSean 0 ≤ t0 < t1 tales que x(ti ) ∈ S(D), i = 0, 1. Six(t0) <S x(t1) y x(t) 6∈ S(D) siempre que t ∈ (t0, t1), entoncesx(t1) <S x(t) si t > t1 y x(t) ∈ S(D).





ComentarioSi en el Lema anterior se reemplaza x(t0) <

Sx(t1) por

x(t1) <S

x(t0), entonces x(t) <S

x(t1) si t > t1 y x(t) ∈ S(D).





LemaΩ(x0) ∩ S(D) tiene a lo sumo un punto.





DEMOSTRACIONSupongase que hay dos puntos p0 = S(q0) <

Sp1 = S(q1) en

Ω(x0) ∩ S(D).Caso 1. x(t) 6∈ [p0, p1] para todo t ∈ Ix . Por definicion de Ω(x0)existen t0 < t1 tales que

x(t0) <S

p0 <Sp1 < x(t1).

El t ∈ (t0, t1) : x(t) ∈ S(D) tiene un numero finito de puntos,ya que si fueran infinitos tendrıa un punto de acumulacion, encontra de la Proposicion 4. Ası se puede suponer que x(t) 6∈ S(D)para todo t ∈ (t0, t1). Entonces por el Lema 1

x(t1) <S

x(t), si t > t1, x(t) ∈ S(D).




el Teorema de Poincare-Bendixon II

En consecuencia p0 6∈ Ω(x0).Caso 2. x(t0) ∈ [p0, p1] para algun t0 ∈ Ix . Entonces existet1 > t0 tal que x(t1) ∈ S(D) y x(t) 6∈ S(D) siempre quet ∈ (t0, t1). Si x(t0) <

Sx(t1) (respectivamente x(t1) <

Sx(t0)),

entonces x(t1) <S

x(t) (respectivamente x(t) <S

x(t1)), siempreque t > t1 y x(t) ∈ S(D). De aquı resulta que p0 6∈ Ω(x0)(respectivamente p1 6∈ Ω(x0)). Esta contradiccion termina laprueba. 2





LemaSi γ : R→ U es una solucion periodica no trivial conγ(R) ⊂ Ω(x0), entonces γ(R) = Ω(x0).





DEMOSTRACIONSupongase que γ(R) 6= Ω(x0). Puesto que Ω(x0) es conexo y γ(R)no vacıo y cerrado, Ω(x0) \ γ(R) no es cerrado. Ası que tiene unpunto de acumulacion y0 perteneciente a γ(R). Puesto que y0 espunto regular, sea S : D → U una seccion transversal a f en y0afın y sea h : (−η, η)× B(0, η)→ Im(h) el homeomorfismo dadopor el Teorema del Flujo Tubular. Puesto que Im(h) es un entornode y0, existe z0 ∈ (Ω(x0) \ γ(R)) ∩ Im(h) y tambien existe t0 ∈ Rtal que u(t0, z0) ∈ S(D). Como Ω(x0) es invariante, se verifica queu(t0, z0) ∈ Ω(x0). Puesto que Ω(x0) ∩ S(D) tiene a lo sumo unpunto, y0 = u(t0, z0), ya que y0 ∈ γ(R) ⊂ Ω(x0), y0 ∈ S(D).Finalmente z0 = u(−t0, u(t0, z0)) = u(−t0, y0) ∈ γ(R). Estacontradiccion termina la prueba. 2





Ahora estamos en condiciones de probar el teorema principal.DEMOSTRACION (Teorema de Poincare-Bendixon)Sea p ∈ Ω(x0). Puesto que este conjunto es compacto e invariante,Ip = R y u(t, p) ∈ Ω(x0) para todo t ∈ R. Luego Ω(p) ⊂ Ω(x0).Fijemos y0 ∈ Ω(p), que es regular. Sea S : D → U una secciontransversal afın a f en y0. Existe una sucesion tk →∞ tal queu(tk , p)→ y0 y u(tk , p) ∈ S(D) para cada k ∈ N. Puesto queu(tk , p) ∈ Ω(x0) y Ω(x0) ∩ S(D) tiene a lo sumo un punto,u(tk , p) = y0 para todo k ∈ N. En consecuencia, γ(t) := u(t, p) esperiodica. Ademas es una solucion no trivial, porque y0 es regular.El resultado sigue del Lema anterior. 2





ComentarioEn la prueba anterior se ha probado que si Ω(x0) contiene a unpunto p tal que Ω(p) contiene a un punto regular y0, entoncesΩ(x0) es periodica.





ComentarioSea x0 ∈ U tal que u(t, x0) esta definida en (−∞, 0] y el cierre deu(t, x0) : t ∈ (−∞, 0] es un compacto incluido en U. Se verificaque si el α-lımite, α(x0), no contiene puntos de equilibrio, entoncesα(x0) es una orbita periodica. En efecto, haciendo el cambio devariables y(t) = x(−t), observamos que y es solucion dex ′ = −f (x) si y solo si x es solucion de x ′ = f (x). Ademasy([0,∞)) tiene cierre compacto incluido en U y Ω−f (x0) = αf (x0).





CorolarioSi Ω(x0) ∩ f −1(0) es finito y no vacıo, entonces para cadap ∈ Ω(x0), u(t, p) tiene lımite cuando t → ±∞.





DEMOSTRACIONSi p ∈ Ω(x0) es singular, entonces obviamente existe el lımite. Seap ∈ Ω(x0) regular. Si Ω(p) contiene a un punto regular, entoncesdel comentario anterior sigue que Ω(x0) es periodica y, entoncesΩ(x0) ∩ f −1(0) = ∅, en contra de la hipotesis.Ası que Ω(p) esta formado por un numero finito de puntossingulares y al ser conexo, es unitario. En consecuencia existelımt→∞ u(t, p).Para probar la existencia del lımite cuando t → −∞, notese queα(x0)∩ S(D) tiene a lo sumo un punto y que si γ(R) es una orbitaperiodica incluida en α(x0), entonces γ(R) = α(x0). Ahora seap ∈ Ω(x0). Entonces α(p) ⊂ Ω(x0). Si existe y0 ∈ α(p) regular,entonces igual que en la prueba del Teorema de





Poincare-Bendixon, se concluye que Ω(x0) es una orbita periodica.Por tanto, Ω(x0) ∩ f −1(0) = ∅, en contra de la hipotesis.Ası que α(p) esta formado por un numero finito de puntossingulares y al ser conexo, es unitario. En consecuencia existelımt→−∞ u(t, p). 2





Mediante el cambio de variables y(t) = x(−t) se prueba el

CorolarioSi α(x0) ∩ f −1(0) es finito y no vacıo, entonces para cadap ∈ α(x0), u(t, p) tiene lımite cuando t → ±∞.





El Teorema de Poincare-Bendixon nos permite probar que en lacomponente acotada de una orbita periodica hay un punto deequilibrio. Por tanto si un sistema diferencial no tiene puntos deequilibrio, no tiene soluciones periodicas.





TeoremaSi C = γ(R) es una orbita periodica, entonces existe un punto deequilibrio en V , donde V es la componente conexa acotada dadapor el Teorema de Separacion de Jordan.





DEMOSTRACIONSea R2 \ C = V ∪W la descomposicion dada por el Teorema deSeparacion de Jordan. Supongase que V no tiene puntos deequilibrio.En el conjunto de orbitas periodicas incluidas en V , se considera elorden parcial definido por

γ1(R) ≤ γ2(R), si V1 ⊃ V2.

Probaremos que toda familia totalmente acotada tiene una cotasuperior. En efecto, sea γα(R)α∈A totalmente ordenada. Elconjunto ∩α∈AVα es no vacıo, por ser la interseccion de unafamilia de compactos con la propiedad de la interseccion finita. Seap ∈ ∩α∈AVα. Entonces Ω(p) ⊂ ∩α∈AVα, porque este conjunto es





invariante al ser interseccion de conjuntos invariantes. Por elTeorema de Poincare-Bendixon, Ω(p) es una orbita periodica cotasuperior de la familia totalmente ordenada. El Lema de Zornasegura que existe una orbita periodica maximal que llamaremosγM(R). Sea p perteneciente a la componente acotada respecto deγM(R). Entonces por el Teorema de Poincare-Bendixon

α(p) = Ω(p) = γM(R).

Sean y0 ∈ γM(R) y S : D → U una seccion transversal por y0.Existe una sucesion tk → ∞, k →∞ tal que u(tk , p) ∈ S(D)para todo k ∈ N y lımk→∞ u(tk , p)→ y0. Si, por ejemplo




el Teorema de Poincare-Bendixon III

u(t1, p) <S

y0, entonces para todo t < t1 tal que u(t, p) ∈ S(D)se verifica

u(t, p) <S

u(t1, p),

de modo que y0 6∈ α(p). 2




Ejercicios I

1. Sea el SD

x ′ = x(a− by)

y ′ = y(−c + dx),

en el primer cuadrante del plano, siendo a, b, c , d constantesestrictamente positivas. Mediante el cambio de variablesp = ln x + ln

(dc

), q = ln y + ln

(ba

), transformelo en uno de

tipo Halmitoniano. Demuestre que toda solucion maximalpositiva es periodica.

2. Estudie las soluciones de la ecuacion diferencial escalar desegundo orden x ′′ + a sen5 x = 0, donde a > 0.




Ejercicios II

3. Sea la ecuacion diferencial escalar de segundo ordenx ′′ + g(x , x ′)x ′ + x = 0, donde g : R2 → R es una funcion declase 1, g(0, 0) < 0 y g(x , y) > 0, si x2 + y2 ≥ R > 0. Pruebeque la ED tiene una solucion periodica.

4. Demuestre que el sistema diferencial

x ′ = x − y − x

(x2 +

3

2y2

)y ′ = x + y − y

(x2 +

1

2y2

),

no tiene soluciones periodicas.


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Soluciones periódicas en sistemas autónomos planos