Sommersemester 2002 Martin Kraus Lehrstuhl für Anwendungen des Operation Research Universität Karlsruhe (TH) Briefträgerproblem in gemischten Graphen Prof

Sommersemester 2002Martin Kraus

Lehrstuhl für Anwendungen des Operation ResearchUniversität Karlsruhe (TH)

Briefträgerproblem in gemischten Graphen

Prof. Dr. G. HammerDipl.-math. P. Giemsch

Seminar Tourenplanung


Gliederung

1. Einführung

2. Vorüberlegung und Definitionen

3. Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen

a) Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G

b) Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit

c) Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G

d) Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

e) Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus

4. Aussagekraft der Heuristik

5. Zeitkomplexität und Rechenaufwand


Einführung

Das Briefträgerproblem wird in der englischen Literatur nach dem Chinesen Mei-Ko Kwan „The Chinese Postman Problem“genannt.

Grundvoraussetzung zur Lösung von Briefträgerproblemen schuf Leonhard Euler im Jahre 1736 mit dem Königsberger Brückenproblem.

Pregel


Einführung

Anwendungsmöglichkeiten:

• Ausliefern von Post

• Durchführung der Müllabfuhr

• Straßenreinigung

• Winterdienst


Einführung

Skizzierung am Beispiel des Winterdienstes.

Ziel:

Jede Straße muss von den anfallenden Schneemassen befreit werden. Dabei muss dass Einsatzfahrzeug jede Straße mindestens einmal bei mehrspurigen Straßen mehrmals durchfahren. Es kann erforderlich werden Straßen erneut - ohne das eine Aufgabe erledigt wird – zu durchfahren, um ein anderes Gebiet zu erreichen. Gesucht ist ein minimaler Weg, der jede zu räumende Straße enthält und in dem die Länge der unproduktiven Strecken so gering wie möglich ist .


Einführung

Auftretende Nebenbedingungen:

• Verschiedene Einsatzfahrzeuge (Schneefräsen, Schneepflüge, Schneetransporter, Salzstreuer, etc.)

• Verschiedene Straßenarten (Ein-, Mehrspurig, Einbahnstraßen, Autobahnen, etc.)

• Verschiedene Witterungsbedingungen (Schnee, Matsch, überfrierende Nässe, Schneefallstärke, etc.)

• Kapazitätsrestriktionen (Ladekapazität)

• Zeitrestriktionen (Einsatzzeit, Räumintervalle, etc.)

• Prioritäten (Hauptstraße, Nebenstraße, etc.)


Einführung

Lösungssoftware:

CASPAR (Computer Aided System for Planning Efficient Routs):

Ersparnisse im Staat Indiana durch den Einsatz von CASPAR:

• Anzahl der Routen: -7,9%

• Anzahl der unproduktiven Strecken: -4,3%

• Anzahl der hinzugenommenen Strecken: +79,3%

• Kostenersparnis im ersten Jahr: $ 10 Millionen


Vorüberlegung und Definitionen

Gegeben sei ein bewerteter gemischter Multigraph G=[V,E,P,c].

V sei die Menge der Knoten mit V≠Ø

E die Menge der Kanten zwischen den Knoten [i,j]

P die Menge der Pfeile <i,j>

c die Kosten mit c(e)≥0 für alle e Element E und P

i j

cij

cij


Ein Graph G heißt stark zusammenhängend, wenn gilt, dass für alle i,j Element V eine Kanten-Pfeil-Folge (KP-Folge) von i nach j und eine KP-Folge von j nach i existiert .

i

Ein Graph G heißt schwach zusammenhängend, wenn für alle i,j Element V eine Semi-Kanten-Pfeilfolge (SKP-Folge) mit den Endpunkten i und j existiert.

j

i j




Die Entfernung zwischen zwei Knoten i und j wird als dij

bezeichnet und drückt die Länge einer kürzesten SKP-Folge aus. Zusätzlich soll gelten:

•dij=∞, falls i und j nicht verbunden sind



Definition 1: Eine Briefträgertour in einem Graphen G, ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil mindestens einmal enthält.

Definition 2: Ein geschlossener (gemischter) Eulerscher Zyklus in einem Graphen G ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil genau einmal enthält.

Definition 3: Ein Graph G heißt Eulersch, falls G einen geschlossenen Eulerschen Zyklus enthält.



Definition 4: Der Gesamtgrad eines Knoten i in einem gemischten Graphen G sei wie folgt definiert:

δx=δ(i)+ δ+(i)+δ-(i)

Mit:

δ(i) der Grad aller in einem Knoten i endenden Kanten

δ+(i) den Eingangsgrad eines Knoten i

δ-(i) den Ausgangsgrad eines Knoten i



Definition 5: Ein gemischter Multigraph Ĝ ist eine Vergrößerung von G, wenn Ĝ aus G durch

• Umwandlung von Kanten in Pfeile, • Ersetzung von Kanten durch Paare entgegengesetzt gerichteter Pfeile,•und Vervielfachung von Kanten bzw. Pfeilen

entstanden ist.

Definition 6: Ĝ ist eine Eulersche Vergrößerung, wenn Ĝ Eulersch ist und eine Vergrößerung von G.



Definition 7: Eine optimale Eulersche Vergrößerung Ĝ von G ist eine Vergrößerung von G und hat unter allen möglichen Vergrößerungen von G die kleinste Summe der Bewertungen der hinzugefügten Kanten und Pfeile.


Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen

Generelles Vorgehen:

Schritt 1: Untersuche ob der Graph G stark zusammenhängend ist.Falls der Graph G stark zusammenhängend ist, fahre fort mit Schritt 2. Falls nicht terminiere.

Schritt 2: Untersuche ob der Graph G von sich aus Eulersch ist. Falls der Graph G Eulersch ist fahre fort mit Schritt 4. Ansonsten weiter mit Schritt 3.


Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen

Schritt 3: Bestimme eine optimalen Eulerschen Vergrößerung Ĝ von G indem man die Verfahren

• Gerade-Gesamtgrad-Vergrößerung(GG-Vergrößerung) und

• Ausgangsgrad-Gleich-Eingangsgrad-Vergrößerung (AGE-Vergrößerung)

auf den Graphen G anwendet.

Schritt 4: Bestimme einen geschlossenen Eulerschen Zyklus in einem Eulerschen Graphen.


Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G

Der Graph ist nicht stark zusammenhängen wenn er,

a) isolierte Knoten, Knotenpaare oder

b) Sackgassen besitzt.

Algorithmus zur Identifikation von Sackgassen:

Schritt 1: Starte mit dem Knoten i:=1und j:=2.

Schritt 2: Untersuche ob für i eine KP-Folge nach j und von j eine

KP-Folge nach i existiert. Falls nicht, terminiere.

Schritt 3: Falls j≠n. Setze j:=j+1 und gehe zu Schritt 2. Sonst

terminiere.



Gesucht ist eine Briefträgertour im Graphen A.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 1

1

1,5

1

1

1

2,5

1,5

Der Graph A ist stark zusammenhängend, da

• es keine isolierten Knoten oder Knotenpaare gibt und

• er keine Sackgassen besitzt.

1

2

Beispiel:



2

4 5

8

1

Durch die Untersuchung erkennt man weiterhin, dass der Graph A in einen Graphen G transformiert werden kann.

2

6

1

2,5

2

Beispiel:


Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit

Satz 1: Sei G ein gemischter zusammenhängender Multigraph, dann ist G Eulersch, wenn gilt:

a) δx(i) ist geradzahlig für alle i Element V

b) Für jede Zerlegung (V1,V2) von V gilt:

|#< V1,V2> - #< V2,V1>| ≤ #[ V1,V2]

c) δ+(i)=δ-(i) für alle i Element V

Die Bedingungen a) und c) sind notwendige Voraussetzungen dafür, dass der Graph G Eulersch ist.


Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit

2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Da der Graph zum Beispiel im Knoten 2 sowohl gegen a) δx(i) geradzahlig als auch gegen c) δ+(i)=δ-(i) des Satzes 1 verstößt, muß er erst noch durch eine geeignete Umwandlung Eulersch gemacht werden.

Beispiel:


Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G

Schritt 1: Finde eine Teilmenge V’ V mit δx(i) ungerade für alle iV’. Schritt 2: Berechne die Entfernungen dij für alle ij V’ (mit i<j) und die dazugehörigen SKP-Folgen Fij. Schritt 3: Bestimme im vollständig bewerteten Graphen G’ mit Knotenmenge V’ und der Kantenbewertung dij ein minimales Summen-Matching X*. Schritt 4: Füge die den Kantenfolgen [i,j] X* entsprechenden SKP-Folgen Fij dem ursprünglichem Graphen G hinzu.



2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

i 2 4 5 8

δx(i) 3 3 3 3

Schritt 1:

Beispiel:



2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Schritt 2:

i j Fij dij

2 4 [2,4] [2,5,4] 2

2 5 [2,5] 1

2 8 [2,5,8] 3

4 5 [4,5] 1

4 8 [4,8] 2,5

5 8 [5,8] 2

Beispiel:



2 4

5 8

1

2

32,5

1

2

Schritt 3:

Resultierender Graph G‘

2 4

5 8

1

2

32,5

1

2

Minimales Summen-Matching

X*={[2,5][4,8]}

Beispiel:


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Schritt 4:

Resultierender Graph Ĝ 1

2,5


Beispiel:


Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

Schritt 1: Jeder Kante e E wird eine der beiden möglichen Richtungen zugewiesen. Der Pfeil wird mit

e gekennzeichnet. Wir erhalten den resultierenden Graphen Ğ=[V,P,c]. Schritt 2: Bestimme für alle Knoten i in Ğ ai= δ

-(i)-δ+(i) mit i V.

Schritt 3: Für jedes eE führe zwei Pfeile e und '

e ein, die zu

e entgegengesetzte Richtung haben.

G sei der resultierende

Multigraph



Schritt 4: Lege die Kosten γ(e) und die Kapazität κ(e) in G fest.

Für die „alten“ Pfeile e P sei

γ(e):=c(e) κ(e):=

Für die “neuen” Pfeile eund

egilt

γ(e)=γ(

e):=c(e)

κ(e)= κ(

e):=

Für den “neuen Pfeil '

e gilt

γ( 'e):=0

κ( 'e):=2



Schritt 5: Bestimme die optimale Lösung {x*(e)|e P} des Umladeproblems

Pe 0

Ζx(e) κ(e)x(e)

ia

Pe Pex(e)x(e) u.d.N.

Eeγ(e)x(e) Min



Die optimale AGE-Vergrößerung von G ergibt sich dann mit

a) Für e P füge zu e x*(e) parallele Pfeile hinzu.

b) Für e GP :

i) x*( 'e)=0: e wird durch

e ersetzt . Zu

e werden

x*(e) parallele Pfeile hinzugefügt.

ii) x*( 'e)=2: e wird durch

e ersetzt. Zu

e werden

x*(e) parallele Pfeile hinzugefügt.

iii) x*( 'e)=1: e bleibt unverändert.


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Schritt 1:

Orientiere [4,5] von 4 nach 5.

Man erhält den Graphen Ğ

1

2,5


Beispiel:


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Schritt 2:

1

2,5


Beispiel:

i 2 4 5 8

ai 2 0 0 -2

2

-2


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Schritt 3:

1

2,5


Beispiel:

e

'e

Resultierender Multigraph G

-2

2


2

4 5

8

1;

2;

6;

1;

2,5;

2;

Schritt 4:

Festlegung der Kosten und Kapazitäten in der Form:

γ(e);κ(e)

1;

2,5;


Beispiel:

-2

2

0;2

1;


2

4 5

8

1;

2;

6;

1;

2,5;

2;

Schritt 5:

Lösung des Umladeproblems:

X*(<2,8>), X(*)=0

1;

2,5;


Beispiel:

-2

2

0;2

1;


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Zu <2,8> zwei parallele Pfeile einfügen. Die Kante [4,5] wird durch den Pfeil <4,5> ersetzt.

Man erhält den Resultierenden Graphen Ĝ‘

1

2,5


Beispiel:

6 6


Schritt 1: Starte mit einem beliebigen Knoten i0 von G. Suche

ausgehend von i0, eine schlichte geschlossene Folge L=[ i0, i1,

i2,.... i0].

Schritt 2: Eliminiere die Kanten/Pfeile von L aus G. Daraus ergibt sich der Graph G’. Wähle einen Knoten i0 auf L, für den in G’

δ(i0)≥2 gilt. Gibt es keinen solchen Knoten, so terminiere.

Anderenfalls suche in G’ ausgehend von i0 eine schlichte

geschlossenen Kantenfolge L’. Schritt 3: Füge die Kantenfolge L’ in L ein. Die resultierende Kantenfolge sei wieder L. Setze G:=G’ und gehe zu Schritt 2.

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus


2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

2

Start mit i0:=2

L1=<2,8,5,2>1

2,5

Beispiel:

6 6



2

4 5

8

1

2

6

1

2,5

Start mit i0:=2

L1=<2,8,5,2>

L2=<2,8,4,2>

2,5

Beispiel:

6



2

4 5

8

1 6

1

2,5

Start mit i0:=2

L1=<2,8,5,2>

L2=<2,8,4,2>

L3=<2,8,4,5,2>

Resultierende Folge L:

L=<2,8,5,2,8,4,2,8,4,5,2>

Beispiel:



Rücktransformation in den Graphen A:

L=<2,3,6,9,8,5,2,3,6,9,8,7,4,1,2,3,6,9,8,7,4,5,2>

Länge der Briefträgertour:

C(L)= 30

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 1

1

1,5

1

1

1

2,5

1,5

1

2

Beispiel:



Es existieren zwei Möglichkeiten:

Möglichkeit 1: Der Graph G wird durch den GG-Algorithmus auf Ĝ gebracht und danach der AGE-Algorithmus auf Ĝ angewandt. Man erhält einen Eulerschen Graphen Ĝ’. Daraus ergibt sich dann die Briefträgertour LA.

Möglichkeit 2: Der Graph G wird über die AGE-Vergrößerung in Ĝ überführt und dann mit der GG-Vergrößerung der Eulerschen Graphen Ĝ’ konstruiert. Hieraus ergibt sich die Briefträgertour LB.

Aussagekraft der Heuristik


2

4 5

8

1

Untersuchung des Graphen G nach Möglichkeit 2

Erster Schritt:

AGE- Vergrößerung

Zweiter Schritt:

GG- Vergrößerung

2

6

1

2,5

2

Beispiel:



2

4 5

8

1

Resultierender Graph nach der AGE-Vergrößerung durch

• [4,5] orientiert zu <4,5>

• ai Bestimmung

• Lösung des Umladeproblems mit dem Ergebnis X*(<2,8>)=1; X*(<5,4>‘)=1 und X(*)=0

=> Verdopplung von <2,8> und beibehalten von [4,5]

2

6

1

2,5

2

Beispiel:

6



2

4 5

8

1

Resultierender Graph nach der GG-Vergrößerung durch

• Bestimmung von δx(i)

• Berechnen der dij

•Lösen des minimalen Summen-Matching X*

=> Hinzufügen der Kante [4,5]

2

6

1

2,5

2

Beispiel:

61



2

4 5

8

1


L=<2,8,5,2,8,4,5,4,2>

Mit den Gesamtkosten

C(L)=21,5

2

6

1

2,5

2

Beispiel:

61




Annahme:L+ ist die kürzeste der beiden gefunden Briefträgertouren LA und

LB und L* die nicht bekannte optimale Briefträgertour.

Fredrickson bewies 1979 mit der worst-case Analyse

und das gilt:

2C(L*)

)A

C(L2

C(L*)

)B

C(L

35

C(L*)

)C(L


Zeitkomplexität und Rechenaufwand

Maßgeblich abhängig vom minimalen Summen-Matching der GG-Vergrößerung und dem Umladeproblem der AGE-Vergrößerung.Es seien |V|=n und |E|+|P|=m .

Zeitkomplexität der GG-Vergrößerung:O(n3+m) im MultigraphenO(n3) sonst

Zeitkomplexität der AGE-Vergrößerung:O(mn2)

Zeitkomplexität zu Bestimmung eines Eulerschen Zyklus:O(m)


Literaturverzeichnis

[1] P. Bruckner. The Chinese Postman Problem for Mixed Graphs.H. Noltemeier. Graphtheoretic Concepts in Computer Science. S.355–366. Springer Verlag. 1981

[2] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part I: The Chinise Postman Problem. S. 213-242. Operation Research, Vol.43, No. 2. 1995 [3] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part II: The Rural Postman Problem. S. 399-413. Operation Research, Vol.43, No. 2. 1995 [5] Domschke. Logistik: Rundreisen und Touren. 2.Auflage. Briefträgerprobleme. S. 108-129, R. Oldenburg Verlag. 1985 [6] M. Dror. Arc Routing: Theory, Solutions and Applications. Kluwer Academic Publisher. 2000

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