Soustavy Lineárních Soustavy Lineárních rovnicrovnic

O více neznámýchO více neznámých

Soustavy rovnic s více neznámýmiSoustavy rovnic s více neznámými

ZZ pravidla neřešíme ( v daném číselném oboru M) pravidla neřešíme ( v daném číselném oboru M) jednotlivé rovnice s více neznámými, nýbrž několik jednotlivé rovnice s více neznámými, nýbrž několik takových rovnic, které mají být splněny zároveň. takových rovnic, které mají být splněny zároveň. Mluvíme pak o soustavě rovnic se dvěma, resp. více Mluvíme pak o soustavě rovnic se dvěma, resp. více neznámými. Mezi jednotlivé rovnice soustavy bychom neznámými. Mezi jednotlivé rovnice soustavy bychom měli psát znak měli psát znak ۸۸ (“ a zároveň”). Obvykle se však mezi (“ a zároveň”). Obvykle se však mezi nimi píše čárka, resp. se rovnice píší pod sebou.nimi píše čárka, resp. se rovnice píší pod sebou.

Řešením soustavy rovnic o n neznámých xŘešením soustavy rovnic o n neznámých x11, x, x22, ..., x, ..., xnn se rozumí každá uspořádaná n-tice [xse rozumí každá uspořádaná n-tice [x11, x, x22, ...., x, ...., xnn] čísel ] čísel z daného číselného oboru M, která splňují zároveň z daného číselného oboru M, která splňují zároveň všechny rovnice soustavy, tj. Po dosazení do každé z všechny rovnice soustavy, tj. Po dosazení do každé z rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). Množina všech řešení soustavy je průnikem množin Množina všech řešení soustavy je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.

Druhy soustav rovnic s více Druhy soustav rovnic s více neznámýmineznámými

Prakticky nejdůležitější jsou Prakticky nejdůležitější jsou soustavy lineárních soustavy lineárních algebraických rovnicalgebraických rovnic (stručně dále budeme mluvit (stručně dále budeme mluvit o o soustavách lineálních rovnicsoustavách lineálních rovnic), tj. algebraických rovnic ), tj. algebraických rovnic prvního stupně v neznámých xprvního stupně v neznámých x11, x, x22, …, x, …, xnn..

Obecněji se řeší Obecněji se řeší soustavy algebraických rovnicsoustavy algebraických rovnic vyšších stupňůvyšších stupňů, na střední škole se ovšem omezujeme , na střední škole se ovšem omezujeme na soustavy rovnic nejvýše 2. stupně (kvadratické na soustavy rovnic nejvýše 2. stupně (kvadratické rovnice) pro dvě neznámé.rovnice) pro dvě neznámé.

Lze vytvářet též Lze vytvářet též soustavy nealgebraických rovnicsoustavy nealgebraických rovnic, , jež obsahují např. exponenciální, logaritmické nebo jež obsahují např. exponenciální, logaritmické nebo goniometrické rovnice vzhledem k neznámým.goniometrické rovnice vzhledem k neznámým.

Početní řešení soustav rovnicPočetní řešení soustav rovnic

Metody početního řešení soustav rovnic užívají Metody početního řešení soustav rovnic užívají ekvivalentní úpravy soustavy rovnicekvivalentní úpravy soustavy rovnic, tj. takové , tj. takové úpravy, jimiž se nemění řešení soustavy. Nejdůležitější úpravy, jimiž se nemění řešení soustavy. Nejdůležitější jsou souhrnně uvedeny v jsou souhrnně uvedeny v následujících snímcíchnásledujících snímcích..

Při použití pouze ekvivalentních úprav soustavy není Při použití pouze ekvivalentních úprav soustavy není zkouška nutnou součástí postupu řešení, ale je vhodná zkouška nutnou součástí postupu řešení, ale je vhodná pro kontrolu.pro kontrolu.

Přehled ekvivalentních úprav Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnicsoustavy rovnic

(USR 1)(USR 1) - - Nahrazení libovolné rovnice soustavy Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj. má totéž řešení. rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj. má totéž řešení. Získává se zejména těmito dvěma ekvivalentními Získává se zejména těmito dvěma ekvivalentními úpravami:úpravami:

1.1. K oběma stranám rovnic přičteme totéž číslo nebo K oběma stranám rovnic přičteme totéž číslo nebo výraz s neznámými, který je definován v celém výraz s neznámými, který je definován v celém oboru, v němž se rovnice řeší.oboru, v němž se rovnice řeší.

2.2. Obě strany rovnice násobíme týmž číslem různým Obě strany rovnice násobíme týmž číslem různým od nuly nebo výrazem s neznámými, který je od nuly nebo výrazem s neznámými, který je definován a nenulový v celém oboru, v němž se definován a nenulový v celém oboru, v němž se rovnice řeší. (Stručně říkáme, že rovnici násobíme rovnice řeší. (Stručně říkáme, že rovnici násobíme číslem, resp. výrazem.)číslem, resp. výrazem.)

Přehled ekvivalentních úprav Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnicsoustavy rovnic

(USR 2)(USR 2) - - Nahrazení libovolné rovnice soustavy Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy.součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy.

(USR 3)(USR 3) - - Dosazení neznámé nebo výrazu s Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.

Soustavy lineárních rovnicSoustavy lineárních rovnic

Základním typem metod řešení soustav lineárních Základním typem metod řešení soustav lineárních algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž podstatou je postupná eliminace (vylučování) podstatou je postupná eliminace (vylučování) neznámých z rovnic soustavy.neznámých z rovnic soustavy.

Soustava dvou lineárních rovnic se Soustava dvou lineárních rovnic se dvěmi neznámýmidvěmi neznámými

Podle způsobu, jímž eliminujeme (vyloučíme) jednu Podle způsobu, jímž eliminujeme (vyloučíme) jednu neznámou z některé rovnice soustavy, rozlišujeme tyto neznámou z některé rovnice soustavy, rozlišujeme tyto tři metody řešení:tři metody řešení:

a)a) Metoda sčítacíMetoda sčítací - rovnice soustavy násobíme čísly - rovnice soustavy násobíme čísly zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila.jedna neznámá vyloučila.

b)b) Metoda dosazovací (substituční)Metoda dosazovací (substituční) - vyjádříme jednu - vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice vyloučí.vyloučí.

c)c) Metoda srovnávací (komparační)Metoda srovnávací (komparační) - z obou rovnic - z obou rovnic vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena.získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena.

Příklad řešení soustavy dvou Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic s neznámými x, y lineárních rovnic s neznámými x, y

Є R:Є R:

2x - y = 12x - y = 1

x + 3y = 11x + 3y = 11

a)a) Řešení metodou sčítacíŘešení metodou sčítací

První rovnici vynásobíme třemi, dostáváme rovniciPrvní rovnici vynásobíme třemi, dostáváme rovnici 6x - 3y = 3.6x - 3y = 3. Získanou rovnici sečteme s druhou rovnicí soustavy, tím Získanou rovnici sečteme s druhou rovnicí soustavy, tím

vyloučíme neznámou y a pro neznámou x dostáváme rovnicivyloučíme neznámou y a pro neznámou x dostáváme rovnici 7x = 14,7x = 14, odtud po dělení rovnice sedmiodtud po dělení rovnice sedmi x = 2.x = 2. Obdobně lze vyloučit neznámou x vynásobením druhé Obdobně lze vyloučit neznámou x vynásobením druhé

rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí; dostáváme rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí; dostáváme rovnicirovnici

-7y = -21,-7y = -21, odtud po dělení rovnice minus sedmiodtud po dělení rovnice minus sedmi y = 3.y = 3.

b)b) Řešení metodou dosazovacíŘešení metodou dosazovací

Z první rovnice vyjádříme Z první rovnice vyjádříme y = 2x - 1y = 2x - 1 a dosadíme do druhé rovnice; dostávámea dosadíme do druhé rovnice; dostáváme 7x - 3 = 11,7x - 3 = 11, odtudodtud 7x = 14 čili x = 2.7x = 14 čili x = 2. Obdobně, vyjádříme-li z druhé rovniceObdobně, vyjádříme-li z druhé rovnice x = 11 - 3yx = 11 - 3y a dosadíme do první rovnice, dostávámea dosadíme do první rovnice, dostáváme 22 - 7y = 1,22 - 7y = 1, odtudodtud -7y = -21 čili y = 3.-7y = -21 čili y = 3.

c)c) Řešení metodou srovnávacíŘešení metodou srovnávací

Z první i druhé rovnice vyjádříme např. neznámou y, Z první i druhé rovnice vyjádříme např. neznámou y, dostávámedostáváme

y = 2x - 1 a y = (1/3)(11 - x).y = 2x - 1 a y = (1/3)(11 - x). Porovnáním odtud plyne rovnicePorovnáním odtud plyne rovnice 2x - 1 = (1/3) (11 - x)2x - 1 = (1/3) (11 - x) čiličili 6x - 3 = 11 - x6x - 3 = 11 - x a odtuda odtud 7x = 14 čili x = 2.7x = 14 čili x = 2. Po dosazení do rovnice y = 2x - 1 vypočteme y = 3. Po dosazení do rovnice y = 2x - 1 vypočteme y = 3.

Výsledek: Daná soustava rovnic má v množině R2 právě Výsledek: Daná soustava rovnic má v množině R2 právě jedno řešení [x, y] = [2; 3].jedno řešení [x, y] = [2; 3].

Zkoušku provedeme dosazením do dané soustavy Zkoušku provedeme dosazením do dané soustavy rovnic:rovnic:

L1 = 2 . 2 - 3 = 4 - 3 = 1 = P1L1 = 2 . 2 - 3 = 4 - 3 = 1 = P1

L2 = 2 + 3 . 3 = 2 + 9 = 11 = P2L2 = 2 + 3 . 3 = 2 + 9 = 11 = P2

Grafické řešení soustav lineárních Grafické řešení soustav lineárních rovnic se dvěma neznámými v R2rovnic se dvěma neznámými v R2

Soustavy rovnic se dvěma neznámými x, y є R lze Soustavy rovnic se dvěma neznámými x, y є R lze rovněž řešit graficky. Vycházíme přitom z poznatku, že rovněž řešit graficky. Vycházíme přitom z poznatku, že množinou všech bodů, jejichž kartézské souřadnice množinou všech bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují lineární rovnici, je přímka. Jestliže sestrojíme splňují lineární rovnici, je přímka. Jestliže sestrojíme přímky, které graficky znázorňují v soustavě kartézských přímky, které graficky znázorňují v soustavě kartézských souřadnic souřadnic Oxy Oxy obě dané lineární rovnice, pak body jejich obě dané lineární rovnice, pak body jejich průniku mají souřadnice, jež představují řešení soustavy průniku mají souřadnice, jež představují řešení soustavy těchto lineárních rovnic. Přitom dvě přímky v rovině těchto lineárních rovnic. Přitom dvě přímky v rovině mohou být navzájem buď různoběžné, nebo rovnoběžné mohou být navzájem buď různoběžné, nebo rovnoběžné různé, anebo splývající, takže platí:různé, anebo splývající, takže platí:

Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámýmineznámými má má

a)a) právě jedno řešeníprávě jedno řešení, jestliže přímky graficky , jestliže přímky graficky znázorňující všechna řešení daných rovnic jsou znázorňující všechna řešení daných rovnic jsou různoběžné,různoběžné,

b)b) žádné řešenížádné řešení, jestliže tyto přímky jsou rovnoběžné , jestliže tyto přímky jsou rovnoběžné různé,různé,

c)c) nekonečně mnoho řešenínekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky , jestliže obě přímky splývají.splývají.

Příklady grafického řešení soustav Příklady grafického řešení soustav dvou lineárních rovnic s dvou lineárních rovnic s

neznámými x, y є R:neznámými x, y є R:a)a) 2x - y = 12x - y = 1

x + 3y = 1x + 3y = 111

b)b) 4x - 6y = 34x - 6y = 3

6x - 9y = 6x - 9y = 1212

c)c) x + 2y = 4x + 2y = 4

3x + 6y = 123x + 6y = 12

Řešení:Řešení:

a)a) Sestrojíme množinu bodů, jejichž kartézské souřadnice Sestrojíme množinu bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují první rovnici. Je to graf funkce y = 2x - 1, tj. splňují první rovnici. Je to graf funkce y = 2x - 1, tj. přímka procházející body A [0; -1], B[1; 1]. Obdobně přímka procházející body A [0; -1], B[1; 1]. Obdobně druhá rovnice vyjadřuje funkci y = Jejím grafem je druhá rovnice vyjadřuje funkci y = Jejím grafem je přímka procházející body C [-1; 4], D[5; 2]. Přímky AB, přímka procházející body C [-1; 4], D[5; 2]. Přímky AB, CD jsou různoběžné, jejich průsečíkem je bodCD jsou různoběžné, jejich průsečíkem je bod Q[2; 3]. Q[2; 3]. Daná soustava má tedy právě jedno řešení [2; 3].Daná soustava má tedy právě jedno řešení [2; 3].

a)a) 2x - y = 12x - y = 1

x + 3y = 11x + 3y = 11

b)b) První rovnici upravíme na tvar y = , který vyjadřuje První rovnici upravíme na tvar y = , který vyjadřuje funkci, jejímž grafem je přímka procházející body E [3; funkci, jejímž grafem je přímka procházející body E [3; 1,5], F [-3; -2,5]. Druhou rovnici upravíme na tvar1,5], F [-3; -2,5]. Druhou rovnici upravíme na tvar y = , y = , který je vyjádřením funkce, jejímž grafem je přímka který je vyjádřením funkce, jejímž grafem je přímka procházející body G = [-1; -2], H [5; 2]. Přímky EF, GH procházející body G = [-1; -2], H [5; 2]. Přímky EF, GH jsou dvě různé rovnoběžky. To odpovídá tomu, že jsou dvě různé rovnoběžky. To odpovídá tomu, že daná soustava nemá žádné řešení, neboť obě rovnice daná soustava nemá žádné řešení, neboť obě rovnice si zřejmě odporují (dělíme-li první rovnici dvěma, si zřejmě odporují (dělíme-li první rovnici dvěma, dostáváme 2x - 3y = 1,5, dělíme-li druhou rovnici třemi, dostáváme 2x - 3y = 1,5, dělíme-li druhou rovnici třemi, dostáváme 2x - 3y = 4).dostáváme 2x - 3y = 4).

b)b) 4x - 6y = 34x - 6y = 3

6x - 9y = 126x - 9y = 12

c)c) Rovnice představují analytická vyjádření dvou sobě Rovnice představují analytická vyjádření dvou sobě rovných funkcí, jejichž grafy jsou totožné přímky rovných funkcí, jejichž grafy jsou totožné přímky procházející body K [0; 2], L [4; 0]. To odpovídá tomu, procházející body K [0; 2], L [4; 0]. To odpovídá tomu, že každá uspořádaná dvojice [x; y], která splňuje první že každá uspořádaná dvojice [x; y], která splňuje první rovnici, vyhovuje též druhé rovnici, tj. daná soustava rovnici, vyhovuje též druhé rovnici, tj. daná soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.rovnic má nekonečně mnoho řešení.

c)c) x + 2y = 4x + 2y = 4

3x + 6y = 123x + 6y = 12

Příklad řešení soustavy dvou Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou lineárních rovnic o dvou

neznámých s reálnými parametry:neznámých s reálnými parametry: Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R:Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R:

p2x + py = p3 + 1p2x + py = p3 + 1p3x + y = p2 + pp3x + y = p2 + p

Řešení provedeme např. metodou dosazovací. Ze 2. rovnice Řešení provedeme např. metodou dosazovací. Ze 2. rovnice vyjádřímevyjádříme: :

y = p2 + p - p3yy = p2 + p - p3y a dosadíme do 1. rovnice:a dosadíme do 1. rovnice:

p2x + p3 + p2 - p4x = p3 + 1p2x + p3 + p2 - p4x = p3 + 1 Po úpravě dostávámePo úpravě dostáváme::

p2(1-p2)x = 1 - p2p2(1-p2)x = 1 - p2 ččiliili: :

p2(1 + p)(1 - p)x = (1 + p)(1 - p)p2(1 + p)(1 - p)x = (1 + p)(1 - p)

Diskuse řešení:Diskuse řešení:

a)a) Je-li p ≠ 0 Je-li p ≠ 0 ۸۸ p ≠ 1, plyne odtud, že x = 1/p2 , a tedy p ≠ 1, plyne odtud, že x = 1/p2 , a tedy y = p2, tj. daná soustava má pak právě jedno řešeníy = p2, tj. daná soustava má pak právě jedno řešení[[x, yx, y]] = = [[1/1/p2, p2].p2, p2].

b)b) Je-li p = 0, dané rovnice nabývají tvaru 0x + 0y = 1,Je-li p = 0, dané rovnice nabývají tvaru 0x + 0y = 1,0x + y = 0, první rovnici nelze však splnit pro žádná 0x + y = 0, první rovnici nelze však splnit pro žádná x, y є R, takže daná soustava v tomto případě nemá x, y є R, takže daná soustava v tomto případě nemá žádné řešení [x; y] є R2.žádné řešení [x; y] є R2.

c)c) Je-li p = 1, obě rovnice dané soustavy nabývají téhož Je-li p = 1, obě rovnice dané soustavy nabývají téhož tvaru x + y = 2, soustava má tedy nekonečně mnoho tvaru x + y = 2, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; 2 - x], kde x je libovolné reálné řešení tvaru [x; y] = [x; 2 - x], kde x je libovolné reálné číslo. Je-li p = -1, obě rovnice dané soustavy nabývají číslo. Je-li p = -1, obě rovnice dané soustavy nabývají tvaru x - y = 0, -x + y = 0, tj. Jsou obě ekvivalentní s tvaru x - y = 0, -x + y = 0, tj. Jsou obě ekvivalentní s rovnicí x = y, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení rovnicí x = y, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; x], kde x je libovolné reálné číslo.tvaru [x; y] = [x; x], kde x je libovolné reálné číslo.

Soustava dvou lineárních rovnic se Soustava dvou lineárních rovnic se třemi neznámýmitřemi neznámými

Jednu neznámou lze v této soustavě zvolit za parametr Jednu neznámou lze v této soustavě zvolit za parametr a získat tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, a získat tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou řešíme některou z uvedených metod.kterou řešíme některou z uvedených metod.

Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic se třemi Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic se třemi neznámými x, y, z є R:neznámými x, y, z є R:

6x + 2y + 3z = 26x + 2y + 3z = 22x - 3y + z = 82x - 3y + z = 8

Řešení:Řešení:

Danou soustavu upravíme na tvarDanou soustavu upravíme na tvar 6x + 2y = 2 - 3z,6x + 2y = 2 - 3z,2x - 3y = 8 - z.2x - 3y = 8 - z.

Neznámou z zvolíme za reálný parametr. Tuto soustavu Neznámou z zvolíme za reálný parametr. Tuto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých x, y řešíme např. dvou rovnic o dvou neznámých x, y řešíme např. metodou sčítací: Druhou rovnici vynásobíme minus třemi metodou sčítací: Druhou rovnici vynásobíme minus třemi a sečteme s první rovnicí, čímž se vyloučí neznámá x a sečteme s první rovnicí, čímž se vyloučí neznámá x (a též parametr z), dostáváme(a též parametr z), dostáváme::

2y + 9y = 2 - 24 čili 11y = -22, odkud y = -2.2y + 9y = 2 - 24 čili 11y = -22, odkud y = -2. Dosazením do druhé rovnice soustavy dále plyneDosazením do druhé rovnice soustavy dále plyne::

2x + 6 + z = 8 čili 2x = 2 - z, odkud x = 1 - 0,5z.2x + 6 + z = 8 čili 2x = 2 - z, odkud x = 1 - 0,5z.

Výsledek: Daná soustava má v R3 nekonečně mnoho Výsledek: Daná soustava má v R3 nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y; z] = [1 - 0,5z; -2; z], kde z je libovolné řešení tvaru [x; y; z] = [1 - 0,5z; -2; z], kde z je libovolné reálné číslo.reálné číslo.

Zkouška (dosazením do dané soustavy):Zkouška (dosazením do dané soustavy):

LL11 = 6 - 3z - 4 + 3z = 2 = P = 6 - 3z - 4 + 3z = 2 = P11

LL22 = 2 - z + 6 + z = 8 = P = 2 - z + 6 + z = 8 = P22

Bonus navícBonus navíc

Následujících šest snímků (až k testu) je rozšiřující Následujících šest snímků (až k testu) je rozšiřující učivo, které se probírá na dalším stupni, tedy na střední učivo, které se probírá na dalším stupni, tedy na střední škole, popřípadě na gymnáziu.škole, popřípadě na gymnáziu.

Soustava tří lineárních rovnic se Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámýmitřemi neznámými

Lze ji řešit obdobně jako soustavu dvou rovnic o dvou Lze ji řešit obdobně jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, tj. zobecněnou neznámých, tj. zobecněnou metodou sčítací, metodou sčítací, dosazovacídosazovací nebo nebo srovnávacísrovnávací..

Avšak výhodnější je použití Avšak výhodnější je použití Gaussovy eliminační Gaussovy eliminační metodymetody (GEM), která spočívá v postupném převedení (GEM), která spočívá v postupném převedení dané soustavy rovnic na tzv. dané soustavy rovnic na tzv. trojúhelníkový tvartrojúhelníkový tvar, kde , kde ve druhé rovnici je eliminována první neznámá a ve třetí ve druhé rovnici je eliminována první neznámá a ve třetí rovnici jsou eliminovány první a druhá neznámá. rovnici jsou eliminovány první a druhá neznámá. Převedení soustavy na trojúhelníhový tvar se provádí Převedení soustavy na trojúhelníhový tvar se provádí ekvivalentními úpravami tímto postupem (zvaným přímý ekvivalentními úpravami tímto postupem (zvaným přímý chod GEM):chod GEM):

1.1. Rovnice dané soustavy uspořádáme tak, aby Rovnice dané soustavy uspořádáme tak, aby koeficient 1. neznámé v 1. rovnici byl buď 1, anebo jiné koeficient 1. neznámé v 1. rovnici byl buď 1, anebo jiné číslo různé od nuly - v tomto případě 1. rovnici tímto číslo různé od nuly - v tomto případě 1. rovnici tímto číslem vydělíme, čímž dostaneme rovnici s číslem vydělíme, čímž dostaneme rovnici s koeficientem 1 u 1. neznámé.koeficientem 1 u 1. neznámé.

2.2. Od 2. a 3. rovnice odečteme takové násobky Od 2. a 3. rovnice odečteme takové násobky upravené 1. rovnice, aby se v nich po odečtení upravené 1. rovnice, aby se v nich po odečtení eliminovaly členy s 1. neznámou.eliminovaly členy s 1. neznámou.

3.3. Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3. Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3. rovnici.rovnici.

Ze získané soustavy lineárních rovnic v Ze získané soustavy lineárních rovnic v trojúhelníkovém tvaru určíme již snadno její řešení trojúhelníkovém tvaru určíme již snadno její řešení tímto postupem (zvaným zpětný chod GEM): Ze 3. tímto postupem (zvaným zpětný chod GEM): Ze 3. rovnice vypočteme kořen z, pak dosazením do 2. rovnice vypočteme kořen z, pak dosazením do 2. rovnice kořen y a nakonec po dosazení do 1. rovnice rovnice kořen y a nakonec po dosazení do 1. rovnice kořen x.kořen x.

Příklad řešení soustavy tří Příklad řešení soustavy tří lineárních rovnic s neznámými x, y, lineárních rovnic s neznámými x, y,

z є R:z є R:9x + 5y - 2z = 159x + 5y - 2z = 15 (1)(1)

8x + 6y + 3z = 158x + 6y + 3z = 15 (2)(2)

3x - 7y + 4z = 273x - 7y + 4z = 27 (3)(3)

Danou soustavu rovnic převedem na trojúhelníkový tvar Danou soustavu rovnic převedem na trojúhelníkový tvar takto (přímý chod GEM): Nejprve ji upravíme tak, aby v takto (přímý chod GEM): Nejprve ji upravíme tak, aby v 1. rovnici koeficient u 1. neznámé byl 1. Bylo by možné 1. rovnici koeficient u 1. neznámé byl 1. Bylo by možné dosáhnout toho dělením této rovnice číslem 9, tím dosáhnout toho dělením této rovnice číslem 9, tím bychom ovšem dostali v upravené rovnici desetinná bychom ovšem dostali v upravené rovnici desetinná čísla. Při ručním výpočtu můžeme použít takové čísla. Při ručním výpočtu můžeme použít takové ekvivalentní úpravy, aby koeficienty zůstaly čísla celá; od ekvivalentní úpravy, aby koeficienty zůstaly čísla celá; od 1. rovnice odečteme 2. rovnici, čímž dostaneme 1. rovnice odečteme 2. rovnici, čímž dostaneme soustavu rovnicsoustavu rovnic::

x - y - 5z = 0,x - y - 5z = 0, ( (11)11)

8x + 6y + 3z = 15,8x + 6y + 3z = 15, (21) = (2)(21) = (2)

3x - 7y + 4z = 27.3x - 7y + 4z = 27. (31) = (3)(31) = (3) Dále od rovnice (21) odečteme 8. (11) a od rovnice (31) Dále od rovnice (21) odečteme 8. (11) a od rovnice (31)

odečteme 3. (11), tím eliminujeme neznámou x v těchto odečteme 3. (11), tím eliminujeme neznámou x v těchto rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu rovnicrovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu rovnic

x - y - 5z = 0,x - y - 5z = 0, (1(133) = (1) = (122))

y + 43/14z = 15/14,y + 43/14z = 15/14, (2(233))

219z = 219. 219z = 219. (3(333))

Tato soustava rovnic má trojúhelníkový tvar a její řešení Tato soustava rovnic má trojúhelníkový tvar a její řešení určíme snadno takto (zpětný chod GEM): Z rovnice (33) určíme snadno takto (zpětný chod GEM): Z rovnice (33) po dělení číslem 219 dostáváme: z = 1. po dělení číslem 219 dostáváme: z = 1. Dosazením do Dosazením do

rovnice (23) vypočtemerovnice (23) vypočteme

y = 1/14(15 - 43) = -2y = 1/14(15 - 43) = -2 a po dosazení do rovnice (13) vychází x = -2 + 5 = 3.a po dosazení do rovnice (13) vychází x = -2 + 5 = 3. Výsledek: Daná soustava má v R3 právě jedno řešení Výsledek: Daná soustava má v R3 právě jedno řešení

[x; y; z] = [3; -2; 1].[x; y; z] = [3; -2; 1]. Zkouška (dosazením řešení do dané soustavy Zkouška (dosazením řešení do dané soustavy

rovnic):rovnic):L1 = 9 L1 = 9 .. 3 + 5(-2) - 2 . 1 = 27 - 10 - 2 = 15 = P1 3 + 5(-2) - 2 . 1 = 27 - 10 - 2 = 15 = P1L2 = 8 . 3 + 6(-2) + 3 . 1 = 24 - 12 + 3 = 15 = P2L2 = 8 . 3 + 6(-2) + 3 . 1 = 24 - 12 + 3 = 15 = P2L3 = 3 . 3 - 7(-2) + 4 . 1 = 9 + 14 + 4 = 27 = P3L3 = 3 . 3 - 7(-2) + 4 . 1 = 9 + 14 + 4 = 27 = P3

Krátký testík na závěrKrátký testík na závěr

Uveďte kolik řešení mají Uveďte kolik řešení mají následující soustavy následující soustavy rovnic.rovnic.

a)a) 5x - 3y = 85x - 3y = 8

2x - 5y = 262x - 5y = 26

b)b) 4x - 6y = 34x - 6y = 3

6x - 9y = 6x - 9y = 1212

c)c) x + 2y = 4x + 2y = 4

3x + 6y = 123x + 6y = 12

1. žádné řešení

2. dvě řešení

3. nekonečně mnoho řešení

3. nekonečně mnoho řešení

1. žádné řešení

2. dvě řešení

3. nekonečně mnoho řešení

a)*

b)*

c)*

Děkuji za pozornostDěkuji za pozornostToto jest konecToto jest konec