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Soutenabilité, risques climatiques
etéquations de Reynolds moyennées
(RANS)Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006
par Julien Lederer
sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Introduction
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Première partie : motivation
Couplage finance – économie – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)- RANS (à 1 d° de fermeture), Finance- Economie (FE)- couplages :
+ FE - RANS+ Black & Scholes (BSC) - RANS
Soutenabilité et quelques problèmes mathématiques- critère d’optimisation et soutenabilité- maximisation du critère s.c. FE-RANS - FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence, unicité
Deuxième partie : RANS 3D stationnaire sans convection avec viscosités non bornées régularisées en 0
1- Cas scalaire (sans pression et sans convection) stationnaire- formulation variationnelle : espaces de Sobolev à poids dépendant des solutions- densité de fonctions régulières / Sobolev à poids- estimations à priori- passages à la limite
2 - Cas périodique stationnaire sans convection avec pression et viscosité concave- construction de solutions régulières ( )
- estimations à priori- passages à la limite
3H
Climat Finance - Economie
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
ETAT
FINANCE
ECONOMIECONSOMMATEURS
CLIMAT (RANS)
PRODUCTEURS
Réglementation, contrôle (taxation, dépenses)
Offre, demande, dommages
ProductionEpargne
Consommation
FinancementCapitalisation
Transfert de risquesPrix
Sensibilité
Externalités
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Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
ETAT
FINANCE
ECONOMIECONSOMMATEURS
CLIMAT (RANS)
PRODUCTEURS
Revenus
Gestion de l’environnement, agrégation de comportements, maximisation des profits et satisfactions
ProductionEpargne
Consommation
FinancementCapitalisation
Transfert de risquesPrix
Politique environnementale
Climat Finance - Economie
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Modèles FE - RANS et BSC - RANS
RANS symbolisant le climat :- océans et atmosphère centraux pour le climat => NS incompressible- équations chaotiques => probabilités => RANS- forces, domaines, sources et puits dépendant de l’économie
grande complexité => HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS difficultés dues aux- viscosités turbulentes- terme quadratique de production d’ECT- cascade inverse en ECT
Finance / Economie: - T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure du capital et renouvellement des matières premières- absence d’opportunité d’arbitrage - transfert de risques par les options
grande complexité mais PAS (trop) D’HYPOTHESES REDUCTRICES =>ouvertures - analyse fondamentale = Keynes, néo-classiques, théorie des jeux …- analyse technique = modélisation statistico-financière
23
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Décisions soutenables et problèmes mathématiques
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Soutenabilité et contrôle optimal
Soutenabilité :- dépend des sociétés et cultures qui la définissent => consensus international et hiérarchisation de situations insoutenables- soutenabilité vérification de contraintes sur les variables d’état=> critère d’optimisation = 1 dans le domaine et sinon
- critère défini à priori ( = celui des forces politiques en place )
Exemple : limitation de la température
Le problème à résoudre : maximiser
(f est intégrable et = 1 lorsque la limitation est vérifiée et sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec les contrôles des forces politiques en place)
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Décisions soutenables et problèmes mathématiques
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Première partie : motivation
Sous problème : existence de solutions du modèle RANS 3D + stationnaires + sans convection+ avec des conditions homogènes+ viscosités non bornées
( cas des viscosités bornées : Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97, Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02, Bernardi-Chacon-Lewandowski-Murat 03)
(ouvert borné et régulier 3D)
Cas physique :
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Décisions soutenables et problèmes mathématiques
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Première partie : motivation
Contexte :
- viscosités turbulentes + non bornées + dérivables en 0 et+ vérifiant
- terme de production quadratique- cas tri-dimensionnel stationnaire sans convection
Contributions :
- existence de solutions dans le cas scalaire (sans pression ni convection) sans terme de cascade inverse - existence dans le cas tri-dimensionnel périodique (avec pression) sans convection avec cascade inverse pour des viscosités concaves : estimation L infini sur l’ECT
1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Murat-Tartar, Nonlinear analysis TMA 03)
Définitions : (ouverts bornés Lipschitziens simplement connexes)
Généralisations : si le poids b et son inverse sont p-fois intégrables avecReprésentation du dual, réflexivité, Banach, injections continues.
Résultat :
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Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids
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Deuxième partie : analyse d’équations RANS
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Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Densité : résultat connu (Cattiaux-Fradon). Preuve originale et plus courte (avec T. Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L. Tartar)
3 étapes : densités respectives de
1. Par troncature et Lebesgue2.
et Lebesgue.
3. Convolution et convergence faible en utilisant la régularité de b puis Hahn-Banach
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Résultat principal
Solutions d’énergie :
et
Système approché : viscosités bornées (existence par R.L.) et troncature du membre de droite de l’équation de k.
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Cas scalaire en 3D : estimations à priori
Estimation standard :
Boccardo-Gallouët :
Principale estimation :
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Cas scalaire en 3D : passages à la limite
(en utilisant la densité …)
/
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Cas scalaire en 3D : passages à la limite
2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse et viscosité concave
(J.Lederer et R. Lewandowski, accepté pour publication dans Ann. IHP, analyse non linéaire)
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Dans l’article, cas plus général :
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse (avec R. Lewandowski)
NB : la condition ci-dessus est due au terme de cascade inverse
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
Preuve en quatre étapes :
1 – Transformation du système
2 – Construction d’un système approché par régularisation des viscosités et du terme de production d’ECT
3 – Estimations à priori
4 – Passages à la limite dans les équations
1- Transformation du système :
(Kirchoff)
en notant encore au lieu de le système devient
NB : Comme on a
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
2- Solutions approchées : - et deux fois dérivables et bornées
- avec
Par point fixe (Leray-Schauder), on résout
où est étendu par 0 dans le complémentaire de
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Deuxième partie : analyse des équations RANS
3 – Estimations à priori :
- pour les mêmes raisons que dans le cas scalaire,
- comme et
- on dérive formellement l’équation pour le champ de vitesse :
en multipliant par et en intégrant par parties (conditions périodiques),
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
En intégrant encore par parties,
D’après l’équation pour k,
donc
dans ce cas, comme la viscosité turbulente est minorée par une constante
Comme la viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE
donc
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
On conclut en utilisant la borne pour :
- une borne pour la vitesse (en particulier pour )
- une borne pour l’ECT (et en particulier L infini) car second membre de carré intégrable
4 – Passages à la limite : on peut remplacer par une troncature de niveau assez élevé et nous ramener au cas habituel des viscosités bornées
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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Deuxième partie : analyse des équations RANS
2L
2H
6,1W
3L
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Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006
Conclusion
Soutenabilité => contrôle optimal … (financements F.A.O., banque mondiale, … ? )
Problèmes posés restant ouverts :
+ Limitation de la température sc FE-RANS+ Coûts des risques climatiques sc FE-RANS+ Existence et unicité pour FE-RANS et BSC-RANS+ Existence et unicité pour RANS
° Cas stationnaire avec des viscosités non bornées dont l’inverse n’est pas bornée° Cas stationnaire non scalaire sans terme de transport dans des ouverts lipschitziens bornés simplement connexes° Prise en compte du terme de transport° Cas d’évolution pour des viscosités non bornées avec et sans terme de transport
+ De Rham pour Sobolev à poids avec des poids et inverses non bornés à l’infini+ Densité des espaces de fonctions vectorielles à divergence nulle très régulières dans les espaces de Sobolev à divergence nulle
Un domaine d’application nouveau : définition de politiques soutenables
Contribution : deux résultats d’existence pour RANS, un résultat de densité
Trois conjectures : + le résultat de densité sur les espaces de Sobolev à poids devrait se
généraliser au cas d’espaces de Banach en remplaçant la condition par+ le cas périodique devrait s’étendre au cas d’ouverts lipschitziens bornés et simplement connexes+ De Rham :
Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski
Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts
Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)
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Conclusion
)(H1 b)(W p1, b
FINEn remerciant les membres du jury et l’assistance
Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006
par Julien Lederer
sous la direction du Pr. Roger Lewandowski