Lessentiel sur la mcanique

1. Mcanique newtonienne

1.1. Le rfrentiel

1.1.1. Le rfrentiel galilen

Dfinition :

Un rfrentiel est dit galilen si, dans ce rfrentiel, tout corps isol ou pseudo-isol persvre dans son tat de repos (sil tait initialement immobile) ou de mouvement rectiligne et uniforme (1re loi de Newton).

Pour dcrire le mouvement dun objet, il faut connaitre deux informations:

sa trajectoire: elle nous informe sur la position de lobjet au cours du temps;

sa vitesse: elle nous informe sur la rapidit avec laquelle lobjet se dplace (sur la trajectoire parcourue).

1.1.2. Les rfrentiels usuels

Il existe des rfrentiels particuliers et pratiques :

Le rfrentiel terrestre : c'est le rfrentiel constitu par la Terre (ou par tout ce qui est fixe par rapport la Terre). Il est considr comme galilen si ltude du systme ne dpasse pas quelques minutes (pour ngliger le mouvement de rotation propre de la Terre).

On choisira ce rfrentiel pour tudier le mouvement dun objet sur la Terre ou au voisinage de celle-ci.

Le rfrentiel du laboratoire: c'est un rfrentiel li la Terre. Il est considr comme galilen dans les mmes conditions que le rfrentiel terrestre.

Le rfrentiel gocentrique : c'est le rfrentiel constitu par un corps solide fictif, de mme dimensions et de mme centre que la Terre mais ne tournant pas sur lui-mme comme la Terre. Il est considr comme galilen si ltude du systme ne dpasse pas quelques heures (pour ngliger le mouvement de rvolution de la Terre autour du Soleil).

On prfre ce rfrentiel (mieux adapt que le rfrentiel terrestre) pour tudier le mouvement de la Lune ou des satellites.

Le rfrentiel hliocentrique: cest un rfrentiel constitu par le centre du Soleil et des toiles fixes. Il est considr comme galilen.

On utilise ce rfrentiel pour tudier le mouvement des plantes.

1.2. Les forces usuelles

Rappel: Un solide qui nest soumis aucune force est dit isol , un solide soumis un ensemble de forces qui se compensent est dit pseudo-isol .

La force de gravitation

(d)Linteraction gravitationnelle entre deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives mA et mB, spars dune distance d, est modlise par des forces dattraction gravitationnelles, et , dont les caractristiques sont :

(AmABmB)

mA et mB= masses respectives de A et B (en kg)

G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (constante de gravitation)

d = distance entre A et B (en m)

FA/B et FB/A (en N)

et ont donc mme direction, mme valeur mais sont de sens oppos.

Le poids

On identifiera le poids dun corps la force dattraction gravitationnelle exerce par la Terre sur ce corps:

Lintensit de la pesanteur terrestre dpend de la masse de lastre et de la distance, h (altitude), entre le lieu considr et le centre de lastre:

(h = 0 la surface de la Terre)

La valeur du poids dun corps varie selon laltitude du lieu o il se trouve.

Force de Coulomb

Loi de Coulomb: Deux charges lectriques, qA et qB, exercent lune sur lautre des forces dinteraction lectrostatique dont la valeur est proportionnelle chacune des charges et inversement proportionnelle au carr de la distance d qui les spare.

Caractristiques:

Signe des charges qA et qB

Forces

(qAABqBd)

Mme signe

Rpulsives

Mme direction

Sens contraires

Mme valeur (FA/B = FB/A)

(qAABqBd)

Signe contraire

Attractives

Mme direction

Sens contraires

Mme valeur (FA/B = FB/A)

Forces de contact entre solides

Lorsquun corps est pos sur un support, il subit une une force appele raction du support, note , qui se dcompose en une somme de deux forces:

La raction normale traduisant le fait que le corps ne senfonce pas dans le support;

La raction tangentielle, aussi appele force de frottement solide, traduisant la rsistance du support au mouvement du corps.

Forces exerces par les fluides (liquide ou gaz)

La pousse dArchimde, note , verticale et oriente vers le haut, dont la valeur (intensit) est:

La force de frottement fluide, note , traduisant la rsistance du fluide au mouvement du corps: cest une forces de contact qui sopposent au dplacement de lobjet.

Tension dun fil

Il sagit dune force exerce par un fil inextensible, on la note , sa direction est celle du fil et elle est oriente de lextrmit en contact avec le systme vers lextrmit oppose du fil.

1.3. Les diffrents types de mouvements

1.3.1. Le mouvement rectiligne

Un mouvement est rectiligne si la trajectoire du solide est une droite.

1.3.2. Le mouvement circulaire

Un mouvement est circulaire si la trajectoire du solide est un cercle.

Remarques :

Le mouvement circulaire non uniforme :

Dans le cas dun mouvement circulaire, chaque instant, lacclration peut se dcomposer en deux vecteurs:

: acclration normale, centripte;

: acclration tangentielle, tangente la trajectoire et oriente dans le sens du mouvement.

Dans le repre local (A; , ), est appel repre de Frenet, on montre que les coordonnes des vecteurs vitesse et acclration sont:

(r = rayon de la trajectoire, en m)

Le mouvement circulaire uniforme(MCU) :

Dans le cas dun mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc :

1.4. Les lois de Newton

(1re loi de Newton)

nonc : dans un rfrentiel galilen , lorsqu'un solide est isol ou pseudo-isol, son centre d'inertie G est :

soit au repos, si G est initialement immobile;

soit anim d'un mouvement rectiligne uniforme.

Si alors et rciproquement

Autre formulation:

Tout corps persvre dans son tat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme sil nest soumis aucune action mcanique (systme isol) ou si les actions mcaniques qui sexercent sur lui se compensent (systme pseudo-isol) et rciproquement.

(2me loi de Newton)

nonc: dans un rfrentiel galilen , la somme des forces extrieures (ou rsultante) qui sexercent sur un systme de masse m est gale la drive par rapport au temps de son vecteur quantit de mouvement :

(Si la massese conserve)

Remarque: cette loi est aussi connue sous la dnomination thorme du centre d'inertie ou relation fondamentale de la dynamique.

(3me loi de Newton)

nonc : lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mcanique reprsente par une force , le corps B exerce sur A une action mcanique reprsente par une force . Ces deux forces ont mme direction, mme norme mais sont de sens contraire.

Remarque: cette loi est aussi connue sous la dnomination principe de l'action et de la raction.

2. Dynamique newtonienne

(Ce rituel nest pas systmatiquement ncessaire ou demand dans un exercice de Bac)Pour tudier un problme de mcanique, il faut effectuer un rituel avant de commencer sa rsolution:

Dfinir le systme tudi;

Dfinir dans quel rfrentiel le mouvement du systme est tudi;

Faire le bilan des forces extrieures qui agissent sur le systme.

On ramne alors ltude du mouvement systme celle de son centre dinertie, not, en gnral, G.

Remarque:

Pour tudier le mouvement du centre dinertie G dun solide dans un rfrentiel, il faut dfinir deux choses:

un repre despace orthonorm (ou repre cartsien) (ci-contre), qui a pour origine O et pour vecteurs unitaires : la position du solide est donne par son vecteur position un instant t.

un repre de temps: le temps est compt partir dune origine laquelle t = t0 = 0 s.

(Dans la suite de ce rsum de cours, ce rfrentiel (repre despace + repre de temps) servira de rfrence pour les diffrentes tudes.)

Lensemble (repre despace + repre de temps) constitue un rfrentiel.

2.1. nergie cintique

Dfinition

On appelle nergie cintique dun mobile, l'nergie qu'il possde du fait de son mouvement. Pour un solide en translation(tous les points ont le mme vecteur vitesse). Elle se note Ec et sexprime en Joule (symbol: J) :

(Ec = nergie cintique (en J)m = masse du solide (en kg)VG = vitesse du centre dinertie du solide (en m.s-1))

Thorme de lnergie cintique:

Dfinition

Dans un rfrentiel galilen, la variation de lnergie cintique dun solide, entre les instants tinitial et tfinal, est gale la somme des travaux des forces extrieures appliques au solide entre ces deux instants:

=

2.2. nergie potentielle de psesanteur

Dfinition

Lnergie potentielle de pesanteur est lnergie que possde un solide lorsquil est en mouvement. Elle se note EPP (ou EP) et sexprime, dans le systme internationale dunit, en joule (symbole: J). Pour un solide en mouvement de translation, son expression est donne par:

Cte est une constante (Cte ) prise par convention gale 0 lorsque z = 0 m EP = 0 pour z = 0 m.

Remarque: La variation de lnergie potentielle de pesanteur Epp est toujours donne par la relation:

Epp = EppB EppA = mg (zB zA) = WAB() ( 2.12.2)

2.3. nergie potentielle lastique

Dfinition

Lnergie potentielle lastique est lnergie que possde un ressort du fait de sa dformation. Elle se note EPE et sexprime, dans le systme internationale dunit, en joule (symbole: J):

2.4. nergie mcanique

Dfinition

On appelle nergie mcanique dun solide en interaction avec la Terre, la somme de son nergie cintique et de son nergie potentielle, elle se note Em et sexprime en Joule (symbole: J):

EM = EC + EP = mv + mg z

2.5. Le vecteur position

Lorsque ltude du mouvement dun solide est rduite celle de son centre dinertie G, le vecteur position a pour coordonnes, dans le repre dfinie prcdemment:

ou

Que lon peut aussi crire: et

Les quations donnant x(t), y(t) et z(t) sont appeles quations horaires du centre dinertie G du systme.

2.6. Le vecteur vitesse

2.6.1. Vitesse moyenne

Le vecteur vitesse moyenne un instant ti est dfini par:

Le vecteur vitesse dun point mobile un instant t est caractrise par:

Sa direction: la tangente la trajectoire au point considr;

Son sens: celui du mouvement linstant ti;

Sa valeur: , qui sexprime en mtre par seconde (m.s1).

2.6.2. Vitesse instantane

Lorsque t tend vers zro (dure infinitsimale) dans lexpression ci-dessus, la vitesse moyenne tend vers une vitesse limite appele vitesse instantanequi est la vitesse moyenne entre deux positions infiniment proches.

On montre que cest la drive du vecteur position par rapport au temps, linstant t:

Les coordonnes du vecteur vitesse instantane dans le repre sont:

Que lon peut aussi crire: et

2.7. Le vecteur acclration

2.8. Acclration moyenne

Le vecteur acclration moyenne un instant ti est dfini par:

Le vecteur acclration dun point mobile un instant t est caractrise par:

Sa direction: identique celle du vecteur au point considr;

Son sens: identique celle du vecteur linstant ti;

Sa norme (valeur): qui sexprime en m.s2.

2.9. Acclration instantane

Lorsque t tend vers zro (dure infinitsimale) dans lexpression prcdente, lacclration moyenne tend vers une acclration limite appele acclration instantanequi est lacclration moyenne entre deux positions infiniment proches.

On montre que cest la drive du vecteur vitesse par rapport au temps, linstant t:

Les coordonnes du vecteur acclration instantane dans le repre sont:

Que lon peut aussi crire: ou

ou

et

2.10. Les quations horaires dun mouvement

2.10.1. Le mouvement de chute libre

(GO xyz)

(GO xyz)

Chute sans vitesse initiale

Chute avec vitesse initiale

Systme: la balle

Rfrentiel: rfrentiel terrestre, suppos galilen, auquel on associe un repre orthonorm

(En considrant que seule agit laction mcanique exerce par la Terre sur la balle (on nglige laction mcanique de lair ou force de frottements).)Bilan des forces extrieures:

La 2me loi de Newton permet dcrire:

Les quations horaires du mouvement sont:

Vitesse initiale nulle

(Intgration) (Intgration)

Vitesse initiale non nulle

(Intgration) (Intgration)

Le mouvement est rectiligne uniformment acclr.

Dmonstration:

En projetant cette relation dans le repre , on a:

(Intgration) (Intgration)

Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont dtermines partir des conditions initiales ( t = 0 s) qui sont:

Chute sans vitesse initiale

Chute libre avec vitesse initiale

2.10.2. Le mouvement parabolique

Systme: la balle

Rfrentiel: rfrentiel terrestre, suppos galilen, auquel on associe un repre orthonorm .

(En considrant que seule agit laction mcanique exerce par la Terre sur la balle (on nglige laction mcanique de lair ou force de frottements).)Bilan des forces extrieures:

La 2me loi de Newton permet dcrire:

Les quations horaires du mouvement sont:

(Intgration) (Intgration) avec

Dmonstration:

En projetant cette relation dans le repre , on a:

(Intgration) (Intgration)

Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont dtermines partir des conditions initiales ( t = 0 s) qui sont:

; ; ; ; ;

quation de la trajectoire

Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S.

Porte du projectile: OP

La porte est dfinie par z = 0

(Rappel: )Flche (altitude maximale atteinte): S

S est tel que:

Porte maximale

est maximale si est maximal

et ( )

2.10.3. Particule charge dans un champ lectrostatique

Rfrentiel: rfrentiel du laboratoire, suppos galilen, auquel on associe un repre orthonorm

Systme: particule ponctuelle de charge q et de masse m

Bilan des forces:

On se place dans le repre d'espace orthonorm (O ; , , ) associ une repre de temps

La 2me loi de Newton permet dcrire:

quations horaires du mouvement:

(Intgration) (Intgration)

Dmonstration: ltude est similaire celle du mouvement parabolique

quation de la trajectoire

2.11. Mouvements dans lespace

2.11.1. Quantit de mouvement

Dfinition

un solide, de masse m, anime dune vitesse v (trs infrieure la clrit de la lumire) on associe une grandeur appele quantit de mouvement. Elle se note p et sexprime en kilogramme mtre par seconde (symbole: kg.m.s1):

Conservation de la quantit de mouvement

Dans un rfrentiel galilen, la quantit de mouvement dun systme isol ou pseudo-isol est une quantit qui se conserve (constante en fonction du temps) :

2.11.2. Mouvement des plantes et des satellites

Pour tudier le mouvement dune plante (ou dun satellite), de masse m, autour du Soleil (par exemple), de masse MS, on se place dans le rfrentiel hliocentrique considr comme galilen.

Systme: particule ponctuelle de charge q et de masse m

Rfrentiel: rfrentiel hliocentrique (ici)

Bilan des forces:

La plante nest soumise qu une seule force, la force dattraction du Soleil .

On prend un repre de Frenet ( O, , ), associ une repre de temps.

On suppose que la trajectoire de la plante est un cercle de centre O et de rayon d (ci-contre).

La 2me loi de Newton permet dcrire:

Comme la force de gravitation est dirige vers le centre du Soleil, lacclration est normale et donc lacclration tangentielle est nulle:

(le mouvement de la plante ou du satellite est un mouvement circulaire uniforme)

Vitesse de la plante ou du satellite

Daprs ce qui prcde, on en dduit :

Priode de rvolution dune plante ou dun satellite

(T = priode de rvolution de la plante autour du Soleil)

Cas des satellites gostationnaires:

Pour tre gostationnaire, un satellite doit, dans le rfrentiel gocentrique, satisfaire plusieurs conditions:

il doit dcrire un cercle dans un plan perpendiculaire laxe des ples qui contient lquateur terrestre ;

le sens du mouvement doit tre le mme que celui de la rotation de la Terre autour de laxe des ples ;

la priode de rvolution doit tre gale la priode de rotation propre de la Terre (1 jour sidral) :

T = 1 jour sidral = 23 h 56 min = 86160 s

Altitude dun satellite gostationnaire:

A.N.: h = 3,58 104 km 36000 km

Vitesse dun satellite gostationnaire:

A.N.: = 3,08 103 m.s1 = 11088 km.h1

2.11.3. Les lois de Kepler

((ou loi des orbites)) (1re loi de Kpler)

nonc : Dans un rfrentiel hliocentrique, la trajectoire dune plante est une ellipse (ci-contre) et le centre du Soleil occupe un des foyers. Lorbite de la plante est elliptique.

((ou loi des aires)) (2me loi de Kpler)

nonc : Le segment reliant le Soleil la plante balaye des aires gales pendant des dures gales.

((ou loi des aires)) (2me loi de Kpler)

nonc :

Remarques:

Daprs la deuxime loi de Kepler, la vitesse dune plante nest pas constante: elle augmente lorsquelle se rapproche du Soleil et diminue lorsquelle sen loigne;

La constante de la troisime loi de Kepler ne dpend que de lastre attracteur:

2.12. Travail dune force

2.12.1. Dfinitions

Dfinition

Le travail WAB() dune force , lors dun dplacement rectiligne de son point dapplication du point A vers le point B, est gal au produit scalaire de la force par le vecteur dplacement :

( = angle entre les vecteurs et WAB ()= travail (en J)F = intensit de la force (en N)AB = dplacement (en m))

WAB() = =

=

Travail moteur - Travail rsistant

Le travail est une grandeur algbrique ( qui a un signe):

F = intensit de la force > 0

WAB() = AB = distance parcourue > 0

cos est tel que: 1 < cos < 1

Si < 90 (angle aigu) alors la force favorise le dplacement:

WAB() > 0, le travail est dit moteur

Si = 90 (angle droit) alors la force soppose au dplacement:

WAB() = 0, le travail est dit nul

Si 90 < 180 (angle obtus) alors la force soppose au dplacement:

WAB() < 0, le travail est dit rsistif ou rsistant

Forces conservatives ou non conservatives

( est une force constante sur toute la dure du parcours) (MiAB(1)(2)M1Mi+1Mn)

Lorsquune force est constante, son travail entre deux points A et B ne dpend pas du chemin suivi. On dit que la force est conservative.

Remarques:

Pour un solide en translation rectiligne, la somme des travaux des forces appliques au solide est gale au travail de leur rsultante:

Si le solide est en translation rectiligne uniforme alors la rsultante des forces est nulle (1re loi de newton) donc la somme des travaux des forces est nulle.

2.12.2. Travail du poids

(zAzB )

Rfrentiel: rfrentiel du laboratoire

Systme: balle de masse m

(En considrant que seule agit laction mcanique exerce par la Terre sur la balle (on nglige laction mcanique de lair ou force de frottements).)Bilan des forces:

On se place dans un repre d'espace orthonorm (O ; , , ) associ une repre de temps

WAB() =

Dans le repre orthonorm (O, x, y)on a :

et WAB() = mg (zA zB)

Si zA > zB, le mobile descend et WAB() > 0 : le poids effectue un travail moteur.

Si zA < zB, le mobile s'lve et WAB() < 0 : le poids effectue un travail rsistant.

2.12.3. Cas dune force lectrique

Une particule de charge lectrique q se dplace dans un champ lectrostatique uniforme :

Systme: charge de valeur q

Rfrentiel: rfrentiel du laboratoire

(Force lectrique constante donc conservative)Bilan des forces:

Avec:

q = charge lectrique (en C)

E = intensit du champ lectrostatique (en V.m1)

Le travail de la force lectrique est donn par:

WAB() = = = q E AC

WAB () = q UAB

2.12.4. Cas dune force de frottements

Une force de frottements est une force non conservative.

Le travail de la force de frottements, dintensit constante f, sur une trajectoire rectiligne est donn par:

WAB() = = f AB cos = f AB (car = 180)

Frottements fluides

Frottements solides

soppose au dplacement du solide.

soppose au dplacement du solide.

Seule la raction tangentielle exerce un travail rsistant.

2.12.5. Puissance dune force

Dfinition

Soit une force qui effectue un travail WAB() pendant une dure t. La puissance Pmoyenne de cette force est le quotient du travail par la dure mise pour leffectuer:

(Pmoyenne = puissance moyenne de la force (en W)WAB() = travail de la force sur le trajet AB (en J)t = dure du parcourt de la force sur le trajet AB (en s))

Cas dun solide en translation rectiligne uniforme:

Si pendant un intervalle de temps dt = tB - tA trs court une force effectue, au cours dun dplacement trs court , un travail dW = trs petit alors la puissance avec laquelle le travail de cette force est effectu sappelle la puissance instantane :

2.13. Les oscillateurs mcaniques

Dfinitions

Un oscillateur mcanique est un systme anim dun mouvement priodique de part et dautre dune position dquilibre;

Si le systme oscillant est abandonne lui-mme, les oscillations sont dites libres;

La dure dune oscillation (un aller-retour) est appele priode propre de loscillation et souvent note T0;

Pour dcrire le mouvement dun oscillateur autour de sa position dquilibre, on tudie lvolution temporelle de son longationet lamplitude est la valeur maximale de llongation.

2.13.1. Le pendule simple

Un pendule pesant est un objet en oscillation dans un plan vertical sous leffet de la pesanteur. On le modlise par un pendule simple (ci-contre) qui est un systme ponctuel G, de masse m, accroch un fil de longueur .

lquilibre, le fil est vertical et la position du pendule est repre par lcart (ou llongation) angulaire.

Systme: la masse m qui oscille

Rfrentiel: rfrentiel du laboratoire

Bilan des forces:

(La pousse dArchimde est nglige)poids ;

tension du fil

frottements de lair

Pour de petites oscillations (amplitude des oscillations infrieure 20), la priode propre T0 dun pendule simple de longueur est:

Remarques:

Le tension du fil est perpendiculaire la direction du mouvement, son travail est donc nul (W() = 0);

Pour des petites oscillations ( < 20), la priode propre T0 dun pendule simple est indpendante de lamplitude (on parle disochronisme des petites oscillations) et ne dpend pas de sa masse m;

Lamplitude correspond llongation maximale.

2.13.2. Le pendule lastique

Un pendule lastique est compos dun objet de masse m accroch lextrmit dun ressort de constante de raideur k.

lquilibre, le ressort nest ni allong, ni tir. La position de lobjet est repre par llongation x du ressort.

Lorsque le ressort subit une dformation (ci-dessus), il exerce une force, appele force de rappel, qui tend le ramener dans sa position dquilibre:

La priode propre T0 dun pendule lastique (ressort) de constante de raideur k et auquel est accroche, son extrmit, une masse m est:

2.13.3. Transferts dnergie

2.13.3.1. Oscillations non amorties

volution des nergies potentielle, cintique et mcanique au cours du temps:

En labsence de frottement, lnergie mcanique garde une valeur constante, elle se conserve. Lnergie potentielle (de pesanteur ou lastique) est intgralement transfre en nergie cintique et inversement.

Em = EC + EP = cste

Loscillateur est dit non amorti.

Remarque : pour un pendule lastique vertical, il faut tenir compte de la contribution de pesanteur lnergie potentielle.

EP = EPE + EPP

2.13.3.2. Oscillations amorties

volution des nergies au cours du temps:

En prsence de frottements, lnergie mcanique diminue chaque oscillation. Il y a transfert partiel de lnergie potentielle en nergie cintique ; une partie de lnergie est dissipe, du fait des frottements, sous forme dnergie thermique au milieu extrieur (dont la temprature slve).

Loscillateur est dit amorti.

Lorsquun oscillateur mcanique subit un faible amortissement, son mouvement est toujours oscillatoire mais lamplitude des ses oscillations diminue au cours du temps:

Aucun amortissement

Faible amortissement

Trs fort amortissement

Rgime priodique

Rgime pseudo-priodique

(T = pseudo-priode)

Rgime apriodique

Le travail des forces de frottement tant rsistant, (WAB() < 0) alors, daprs le thorme de lnergie cintique, Em(A B) = WAB() < 0 donc lnergie mcanique diminue.

2.13.4. La mesure du temps

La seconde est dfinie comme la dure de 9192631770 priodes de la radiation correspondant la transition entre les deux niveaux de ltat fondamental de latome de csium 133.

Le temps atomique international (TAI) est tabli en effectuant la moyenne des informations provenant de plusieurs centaines dhorloges atomiques rparties en diffrents endroits du globe. Cest lchelle de temps la plus prcise jamais ralise.

Lhorloge atomique de rfrence est celle au csium:

Schma de principe dune horloge atomique au csium

Horloge atomique embarque dans un GPS

1

g

-

=+

=

=

=

=

P

PP

P

mmasse du solide en mouvement (en kg)

gintensit de pesanteur (9,81 N.kg p

E

our la Terre)

zaltitude du solide (en m)

Energie potentielle de pesanteur du so

lide (e J)

z

n

mCte

P

r

1

1

2

2

x

-

=

=

=

=

PE

PE

E

kconstante de raideur du ressort (en N.

m)

x (en m)

Energie potentielle lastique du resso

rt (en J)

longation

k

r

B/A

F

1

2

()

OG ()

()

G

G

G

xt

yt

zt

uuur

()

OG ()

()

xt

yt

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uuur

OG() () ()

xtiytjztk

=++

uuurrrr

OGOG()()()

xtytzt

==++

uuur

()

i

vt

r

1111

1111

OG()OG()G()G()

()

iiii

i

iiii

tttt

vt

tttt

+--+

+-+-

-

==

--

uuuruuuruuuuuuuuuuuuur

r

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()

i

i

t

vt

t

D

=

D

uuur

r

()

i

vt

r

11

11

G()G()

ii

ii

tt

tt

-+

+-

-

r

A/B

F

()

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OG()

()

dt

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=

uuur

r

()

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(O ; , , )

ijk

rrr

()

()

()

() ()

()

()

x

y

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dxt

vt

dt

dyt

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=

=

r

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()

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vtijk

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)

(

)

(

)

()()()()()

xyz

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==++

r

()

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r

11

11

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()

ii

i

ii

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at

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+-

+-

-

=

-

rr

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()

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i

i

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D

=

D

r

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AB

A/BB/A

mm

F=F=G

d

()

i

at

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i

vt

D

r

11

11

()()

ii

ii

vtvt

tt

+-

+-

-

-

()

at

r

()OG()

()

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at

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==

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r

()

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ijk

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()

()

() ()

()

()

x

x

y

y

z

z

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at

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dvt

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dt

dvt

at

dt

=

=

=

r

()

()

()

()

y

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dvt

dvt

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=++

rrrr

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A/B

F

()()()

()

dxtdytdzt

atijk

dtdtdt

=++

rrrr

......

()() () ()

atxtiytjztk

=++

rrrr

(

)

(

)

(

)

()()()()()

xyz

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==++

r

0

g

ur

j

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k

r

i

r

0

v

r

r

B/A

F

(,,,)

Oijk

r

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0

Pg

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=

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0

g

G

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=

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0

g

G

a

=

rr

0

()0

()0

()g

x

Gy

z

at

aat

at

=

=

=

r

0

()0

()0

()g

x

Gy

z

vt

vvt

vtt

=

=

=

r

0

()0

OG()0

1

()g

2

xt

yt

ztt

=

=

=

uuur

00

()0

()0

()g

x

Gy

z

vt

vvt

vttv

=

=

=+

r

00

()0

OG()0

1

()gv

2

xt

yt

zttt

=

=

=+

uuur

r

P

0

00

00

0

0

g

x

y

z

g

gg

g

=

=

=

uur

0

0

0

g

x

Gy

z

a

aa

a

=

=

=

r

1

2

03

()

()

()g

x

Gy

z

vtC

vvtC

vttC

=

=

=+

r

14

25

036

()

OG()

1

()g

2

xtCtC

ytCtC

zttCtC

=+

=+

=++

uuur

1

0

C

=

2

0

C

=

3

0

C

=

4

0

C

=

5

0

C

=

6

0

C

=

r

Terre/corps

F

30

Cv

=

0

g

G

a

=

rr

0

()0

()0

()g

x

Gy

z

at

aat

at

=

=

=-

r

0

00

()cos

()0

()gsin

x

Gy

z

vtv

vvt

vttv

a

a

=

=

=-+

r

0

00

()(cos)

OG()0

1

()g(sin)

2

xtvt

yt

zttvt

a

a

=

=

=-+

uuur

=

r

rr

;

Terre/corps

FP

mg

(

)

0

;

vi

a

=

r

r

0

00

00

0

0

g

x

y

z

g

gg

g

=

=

=-

uur

0

0

0

g

x

Gy

z

a

aa

a

=

=

=-

r

1

2

03

()

()

()g

x

Gy

z

vtC

vvtC

vttC

=

=

=-+

r

14

25

036

()

OG()

1

()g

2

xtCtC

ytCtC

zttCtC

=+

=+

=-++

uuur

10

cos

Cv

a

=

30

sin

Cv

a

=

0

cos

x

t

v

a

=

(

)

h

+

2

T

T

T

M

g=G

R

0

2

0

g

1

()(tan)

2cos

zxxx

v

a

a

=-+

0

2

0

g

1

0(OP)tan(OP)

2cos

v

a

a

=-+

0

a

2

0

v

OP=sin 2

g

sin22sincos

aaa

=

2

0

0

OP

sin2

22g

v

x

a

==

0

a

2

0

S

v sin

z=

2g

2

0

0

OPsin2

g

v

a

=

sin2

a

sin21

a

=

:

-

=

AB

922

AB

A/BB/A

AB

A/BB/A

qet q:charges (en C)

qq

k=910 N.m.C

F = F = k

ddistance entre q et q (en m)

d

F et Fintensits (en N)

2

2

p

a

=

45

4

p

a

==

0

2

0

max

v

OP=

g

max

2

0

S

0

v

z=

4g

2

sin45

2

=

FE

q

=

rur

i

r

j

r

k

r

B/A

F

r

E ()

qmat

=

urr

() E

q

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m

=

rur

()0

()0

E

()

x

Gy

z

at

aat

q

at

m

=

=

=-

r

0

0

()cos

()0

E

()sin

x

Gy

z

vtv

vvt

q

vttv

m

a

a

=

=

=-+

r

0

0

()(cos)

OG()0

1E

()(sin)

2

xtvt

yt

q

zttvt

m

a

a

=

=

=-+

uuur

0

cos

x

t

v

a

=

2

0

1E

()(tan)

2cos

q

zxxx

mv

a

a

=-+

1

1

masse du systme (en kg)

vitesse de dplacement du systme (

en m.s)

pquantit de mouvement du systme (en kg

.ms)

p

.

m

v

mv

-

-

=

=

=

=

rr

F0

=

rr

p

0

d

dt

=

r

r

A/B

F

r

pconstante

=

ruuuuuuuuuur

F

r

u

r

2

mM

Nm

d

S

Ga

=

urr

2

M

N

d

S

aG

=

rur

2

0

n

v

a

d

a

dv

a

dt

t

=

==

r

2

2

M

dd

S

v

G

=

M

d

S

vG

=

2

d

T

v

=

3

d

T2

M

S

G

=

3

T

T

(R

T2

M

h)

G

=

+

2

T

3

T

2

T

4

M

hR

G

=

-

T

2

T

M

(R

h)

vG

=

+

1124

67

6,67105,9810

6,3710

3,5810

v

-

=

+

2

3

Tpriode de rvolution de la plante (en

s)

demi-grand axe de son orbite ellip

T

c

tique(en m)

onstante

a

a

=

=

=

11312

22

3

astre

astre

6,6710m.kg.s

T4

M

Mmasse de l'astre attracteur (en kg)

G

aG

---

=

=

=

F

r

F

r

F

r

AB

uuur

F

r

AB

uuur

R

ur

F

r

FAB

uuur

r

FABcos

a

uuur

r

FABcos

a

F

r

FABcos

a

F

r

AB

uuur

n

R

ur

F

r

F

r

F

r

(1)(2)

ABAB

W(F)W(F)FAB

==

uuur

rrr

AB

11

W(F)FABFAB

iiext

nn

ii

==

uuuruuur

rrr

g

r

T

R

ur

P

r

PAB

uuur

r

0

P 0

mg

-

r

BA

BA

BA

AB

xx

yy

zz

-

-

-

uuur

P

r

P

r

E

r

FqE

e

=

rr

P

uur

F

e

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FABFACFCB

eee

=+

ruuurruuurruuur

FACqEAC

e

=

ruuururuuur

F

e

r

f

ur

AB

f

uruuur

F

r

F

r

1

2

masse volumique du fluide (en g.L)

Vg Vvolume occup

par le corps imme

rg (en L)

gintensit de la pesanteur (g9,81 m.s)

-

-

=

P==

==

F

r

AB

moyenne

W(F)

P

t

=

D

r

dl

uur

F

dl

uur

r

instantane

dW(F)

F

PFF

dl

dldl

v

dtdtdt

====

uuruur

r

r

rr

r

P

r

T

r

f

r

f

ur

1

0

0

valeur du champ de pesanteur (9,81 N.kg)

longueur du fil (en m)

Tpriode propre du pendule

T2

(en s)

g

g

-

==

=

=

=

l

l

0

1

allongement ou raccourcissement du resso

rt (en m)

F kconstante de raideur du ressort (en

N.m)

Fforce de rappel (en N)

x

k

-

D=-==

=-D=

=

lll

ruur

l

1

0

0

masse accroche au ressort (en kg)

constante de raideur du ressort (en

N.m)

Tpriode propre du pendule

T

(

s)

2

en

m

m

k

k

-

=

=

=

=

f

ur

T

ur

n

aaa

t

=+

rrr

n

a

r

T

a

r

n

u

r

u

r

0

n

v

v

vv

t

=

=

r

2

n

v

a

r

a

dv

a

dt

t

=

=

r

r

A/B

F

2

R

n

v

aa

==

0

G

v

D=

r

r

0

ext

F

=

r

r

dp()

F

d

t

t

=

r

r

F()

mat

=

r

r

A/B

F

r

B/A

F

r

A/BB/A

FF

=-

rr

(O ; , , )

ijk

rrr

(, , )

ijk

rrr

r

B/A

F

OG

uuur

2

cG

1

EV

2

m

=

22

initial

11

VV

22

final

mm

-

ext

W(F)

r