DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Spektrala Transformer

Filter med återkoppling

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Filter med återkoppling

)1()()( 1 nxbnxny

D

x(n) + y(n)

b1

x(n) y(n)

a1

D

+

Enkelt filter utan återkoppling Enkelt filter med återkoppling

)1()()( 1 nyanxny

111)( zbzH

111

1)(

zazH

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Filter med återkoppling - impulssvar

• Impulssvaret från ett återkopplat filter kan ha oändlig utsträckning

• Kallas även IIR-filter (IIR = Infinite Impulse Response)

• Kan vara instabilt

0,0

0,1)(

n

nn )(nh

H(z)

H(z)

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Poler

• Överföringsfunktionen för ett filter med återkoppling går mot oändligheten vid vissa z

• Dessa punkter kallas filtrets poler

• Poler plottas som kryss i z-planet

Exempel: Filtret

har en pol z = 0.5

15.01

1)(

zzH

ω=0ω=π

z-planet

pol

111

1)(

zazH

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Kaskad och parallellkoppling

H1(z)x(n) H2(z) y(n) H1(z) H2(z)x(n) y(n)=

H1(z)

x(n) +

H2(z)

y(n) H1(z) + H2(z)x(n) y(n)=

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Kaskadkoppling - exempel

D

x(n) +

b1

y(n)

a1

D

+

111 1)( zbzH 1

12 1

1)(

zazH

11

11

21 1

1)()()(

za

zbzHzHzH tot

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Allmänt filter

D

x(n) +

b1

y(n)

a1

+

MM

NN

zazaza

zbzbzbbzH

...1

...)(

22

11

22

110

D

b0

b2

DbN

D

D

D

a2

aM

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Poler och nollställen

• Ett filter kan beskrivas i termer av poler och nollställen (poles and zeros)

• Plottas i z-planet som kryss och ringar

• Om en pol och ett nollsälle sammanfaller, så tar de ut varandra

nollställez-planet

nollställe

pol

pol

Exempel: Filtret

har nollställen i z = ±1och poler i z = ±0.9j

)9.)(9.(

)1)(1()(

jzjz

zzzH

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Stabilitet

Ett återkopplat filter är stabilt omm alla poler pi ligger innanför

enhetscirkeln, dvs

|pi| < 1 för alla i

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Resonans och bandbredd

• En pol på radien R ger upphov till en topp i frekvensgången, en sk. resonans

• Resonansens bandbredd B är ett mått på dess spetsighet

• Bandbredden är avståndet mellan den höga och låga frekvens där amplituden sjunkit med 3 dB från resonanstoppen

• Om R ≈ 1 gäller att R ≈ 1 - B/2

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Tvåpolsresonatorn

€

H(z) =z2

(z − R⋅ e jθ )(z − R⋅ e− jθ )

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Tvåpolsresonatorn (forts)

ω=0ω=π

ω=0 ω=π ω=2π

))(()( jj eRzeRz

zzH

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

1- och 2-poler, exempelPoler

z-planetImpulssvartidsdomän

Frekvenssvarfrekvensdomän

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

1- och 2-poler, exempelPoler

z-planetImpulssvartidsdomän

Frekvenssvarfrekvensdomän

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

1- och 2-poler, exempelPoler

z-planetImpulssvartidsdomän

Frekvenssvarfrekvensdomän

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

• Man vill ofta styra resonatorn med en resonansfrekvens ψ och bandbredd B

• Resonansfrekvensen ψ sammanfaller inte exakt med polvinkeln θ

• De förhåller sig till varandra enligt

Tvåpolsresonatorn (forts)

cos1

2cos

2R

R

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Tvåpolsresonatorn (forts.)

• Tvåpolsresonatorn modellerar ett dämpat svängande system

• Förekommer överallt i naturen

• Exempel: resonanserna i ett rör, t.ex. talröret

Filtrering i praktiken

i matlab:% filtrera vektorn X med B=[b0 b1…]; A=[a0 a1…];Y = filter(B,A,X)

% plotta frekvenssvaretfreqz(B,A)

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

€

H(z) =b0 +b1z

−1 +b2z−2 + ...+bNz

−N

a0 + a1z−1 + a2z

−2 + ...+ aM z−M

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

X(z) och H(z)

• Värdet av X(z) på enhetscirkeln vid frekvensen ω ger energin i x(n) vid den frekvensen

• Värdet av H(z) på enhetscirkeln vid frekvensen ω anger vad filtret gör med signalen vid den frekvensen

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Sammanfattning

Återkopplade filter

• introducerar poler i överföringsfunktionen

• har ofta oändligt långt impulssvar

• är stabila omm alla poler ligger i enhetscirkeln

• kan användas för att invertera funktionen hos ett icke-återkopplat filter

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Sammanfattning

• Tvåpolsresonatorer kan simulera många i naturen förekommande system, t.ex. formanter i den mänskliga rösten