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Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSEChemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Spektrale Analyse – Fourier Transformation
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE2Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
∆𝑈 =?
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE3Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
∆𝑈 =?
Signal nach Tiefpass
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE4Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE5Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 =1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 𝑒I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Inverse Fourier-Transformation, IDFT:
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE6Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
Abtastintervall 𝑇𝑎 Messzeit 𝑇 = 𝑁 𝑇𝑎 für 𝑁 Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: ∆𝑓 =1
𝑁 𝑇𝑎oder ∆𝜔 =
2 𝜋
𝑁 𝑇𝑎
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE7Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
=
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 cos 2𝜋 𝑘𝑛
𝑁−𝐼
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 sin 2𝜋 𝑘𝑛
𝑁
𝜑
𝐼𝑚
𝑅𝑒
𝑎𝑒𝑖𝜑
𝐼 𝑎 sin𝜑
𝑎 cos𝜑
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE8Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-AnalyseBerechnung der reellen Koeffizienten der Sinus- und Cosinus-Funktionen
oder
Berechnung der reellen Koeffizienten der Exponential-Funktionen mit imaginären Argumenten
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯
𝑎𝑖 𝜔𝑖 = ?
Mit Frequenzen 𝜔𝑖 = 0,±2𝜋
𝑇, ±2
2𝜋
𝑇, ±3
2𝜋
𝑇, … und Zeitfenster 𝑇
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE9Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus 𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE11Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE12Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = 0.496
= Koeffizient für Cos
𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE13Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Sinus 𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE14Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Sinus
Signal x Sinus
𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE15Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Sinus
Signal x Sinus
Mittelwert = 0.303
= Koeffizient für Sin
𝑓1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE16Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Spektrale Komponente der Frequenz 𝑓1 = 1.00 Hz
𝑎1 ⅇ−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1
∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡
0.496 cos𝜔1𝑡 + 0.303 sin𝜔1𝑡 mit 𝜔1 = 2𝜋 𝑓1 = 2 𝜋 × 1.00 Hz
Sinus- und Cosinus-Analyse mit reellen Koeffizienten:
Fourier-Analyse mit komplexen Koeffizienten:
mit 𝑎1 = 0.496 + 𝐼 0.303und 𝜔1 = 2𝜋 𝑓1 = 2 𝜋 × 1.00 Hz
𝜑
𝑎1
𝐼𝑚
𝑅𝑒
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE17Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus 𝑓1 = 0.23 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE18Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
𝑓1 = 0.32 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE19Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
𝑓1 = 0.32 Hz
Mittelwert = 0.023
= Koeffizient für Cos
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE20Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = -0.042
= Koeffizient für Cos
𝑓1 = 2.50 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE21Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = -0.007
= Koeffizient für Cos
𝑓1 = 7.50 Hz
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Fourier Koeffizienten Animated.nb
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE23Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-SyntheseAddition von Sinus- und Cosinus-Funktionen
oder
Addition von Exponential-Funktionen mit imaginären Argumenten und komplexen Koeffizienten
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡
𝜔1 = 1.003 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE24Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 + 𝑎2 ⅇ
−𝐼𝜔2𝑡+𝑎2∗ ⅇ𝐼𝜔2𝑡
𝜔1 = 1.00 Hz
𝜔2 = 1.10 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE25Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 + 𝑎2 ⅇ
−𝐼𝜔2𝑡+𝑎2∗ ⅇ𝐼𝜔2𝑡 + 𝑎3 ⅇ
−𝐼𝜔3𝑡+𝑎3∗ ⅇ𝐼𝜔3𝑡
𝜔1 = 1.00 Hz
𝜔2 = 1.10 Hz
𝜔3 = 1.20 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE26Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯
𝜔1 = 1.00 Hz
𝜔2 = 1.10 Hz
𝜔3 = 1.20 Hz
𝜔4 = 2.10 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE27Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
𝜔1 = 1.00 Hz
𝜔2 = 1.10 Hz
𝜔3 = 1.20 Hz
𝜔4 = 2.10 Hz
𝜔5 = 3.11 Hz
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE28Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
𝜔1 = 1.00 Hz
𝜔2 = 1.10 Hz
𝜔3 = 1.20 Hz
𝜔4 = 2.10 Hz
𝜔5 = 3.11 Hz
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE29Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ
−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯ 50 Frequenz-Terme bis 𝑓 = 50 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE30Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Synthese
FourierSeriesOfSimpleFunctions.cdf
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE31Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 =1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 𝑒I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Inverse Fourier-Transformation, IDFT:
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE32Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE33Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE34Chemnitz ∙ 28. November 2019 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Re, Im
Negative FrequenzenPositive Frequenzen
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Re, Im
Wenn die ursprüngliche Funktion reellwertig ist, sind die
Fourier-Koeffizienten bei positiven und negativen
Frequenzen zueinander komplex konjugiert.
Physik und Sensorik
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Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum
Leistung eines elektrischen Wechselspannungs- oder Wechselstrom-Signals:
𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 = 𝑈 ∙𝑈
𝑅=𝑈2
𝑅
𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 = 𝑅 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼 = 𝐼2 ∙ 𝑅
Intensität 𝐼 einer elektromagnetischen Welle mit Feldstärke 𝐸(𝑡):
𝐼 = 𝜀0 𝑐 𝐸2
Dielektrizitätskontante des Vakuums: 𝜀0Lichtgeschwindigkeit: 𝑐
Leistung ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude.
Physik und Sensorik
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginärteil der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔)
Physik und Sensorik
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginärteil der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔)
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗
𝑓 =𝜔
2𝜋≈ 1 Hz
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘
𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔
Abtastintervall 𝑇𝑎 Messzeit 𝑇 = 𝑁 𝑇𝑎 für 𝑁 Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: ∆𝑓 =1
𝑁 𝑇𝑎oder ∆𝜔 =
2 𝜋
𝑁 𝑇𝑎
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Daten
Zeitfenster
Frequenz
DFT
Zeit