Spektralne osobine kompleksnih mreza sa mezoskopskim ... · osobine matrice povezanosti Spektralne osobine Laplasijana Zakljucakˇ Spektralna analiza mreža Razliˇciti operatori

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža

Spektralneosobinematricepovezanosti

SpektralneosobineLaplasijana

Zakljucak

Spektralne osobine kompleksnih mreza samezoskopskim nehomogenostima

Seminar

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Sadržaj

1 Uvod

2 Modeli mreža

3 Spektralne osobine matrice povezanosti

4 Spektralne osobine Laplasijana

5 Zakljucak

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Kompleksni sistemi i mreže sa mezoskopskomstrukturom

Pajek

Dinamicki kompleksnisistemi-mreže.Kompleksne mreže −nehomogenosti na svimskalama.Mezoskopska skala -podgrafovi.Podgrafovi⇔ funkcijamreže.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Spektralna analiza mreža

Razliciti operatori povezni za strukturalnim i dinamickimosbinama na mreži.Laplasijan, L - difuziona dinamika (sinhronizacija,random walk dinamika) na mrežama.Matrica povezanosti, A - struktura mreže.Ekstremalne svojstvene vrednosti povezane samodularnom strukturom.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Model modularnih mreža

Parametri modela α, Po and M.B.Tadic, Physica A 293,(2001).

M. Mitrovic and B. Tadic, arXiv, (2008)

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Modularne mreže

Pajek Pajek

Pajek Pajek

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Modularne mreže

Pajek

M = 2, α = 0.9, Po = 0.006Pajek

M = 1, α = 1, Po = 0.006

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Struktura meže

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

1 10 100 1000

P(q

i)

qi

in

out

P(qκ) ∼ q−τκκ

τin = 2.616± 0.006τout = 8.6± 0.3

1

10

100

1 10 100 1000

qi

r(qi)

modular

tree of trees

P(q) ∼ q−τ

τ = 2 + α, τ = 1γ + 1

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Drvo sa “klikovima”

Pajek

kilk⇔ potpuno povezanigraf.klik je najjednostavnijioblik modula.Radnom drvo samodulima velicine n = 4i n = 6.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Metod

Operatori za neusmerene i neotežinjene mreže susimetricni sa realnim spektrom.Algoritmi: Numericki receptiVelicine posmatranih mreža su N = 1000 cvorova.Rezultati za spektralne gustine su dobijeniusrednjavanjem po ansamblima velicine i do 750mreža.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Spektralna gustina modularnih mreža

0

2

4

6

8

10

12

-10 -5 0 5 10

ρ(λΑ

)

λΑ

α=1α=0.9α=0.6

Scale free mreže nisurandom! Farkas et al.,PRE 64 (2008)λmax ∼

√qmax .

Broj modula odgovarabroju najvecih svojstvenihvrednosti.ρ(λ) ∼ λ2τ−1, λ >> 1.Dorogovtsev et al., PRE 68(2003)Rodgers et al., Journal ofPhysics A 38 (2005)

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Drvo sa klikovima

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

freq

uen

cy

eigenvalues

Klik velicine n: jednaλmax = n − 1 i n − 1 putdegenerisana λ = −1.Svojstvene vrednosti ubliskim okolinama λ = 3i λ = 5 su u vezi sapostojanjem klikovan = 4 i n = 6.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Randomizovane mreže

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

-4 -2 0 2 4 6

freq

uen

cy

eigenvalues

Ocuvana raspodelapovezanosti.

0

2000

4000

6000

8000

10000

-10 -5 0 5 10

freq

uen

cy

eigenvalues

Stepena raspodelapovezanosti.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Projekcije svojstvenih vektora

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Vκ(

λA)

κ

λ=4.998λ=3.006

Svojstveni vektori za λ = 4.998 iλ = 3.006

Pajek

Projekcija u realnom prostorusvojstvenog vektora zaλ = 4.998

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Random walk dinamika

Laplasijan sinhronizacije Lij = qiδij − Aij .Random walk dinamika Lij = δij − pij odgovara procesuPij = −

∑k PikLkj .

Obican random walk pij = 1qi

Aij .

Normalizovan Laplasijan pij = 1√qi qjAij .

Zašto normalizovan Laplasijan:Slican RW Laplasijan-u⇒ isti spektar. Operatorslicnosti Sij = δij

√qi

Simetrican⇒ realne svojstvene vrednosti, ortonormiranskup svojstvenih vektora.Ogranicen spektar u intervalu [0,2].

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Osobine laplasiana

Opšte osobine:Pozitivno definitan⇒ λ ≥ 0.Za povezanu mrežu postoji samo jedna λmin = 0 sasvojstvenim vektorom Vκ(λ = 0) =

√(qκ).

Broj svojstvenih vrednosti λ = 0 odgovara brojunepovezanih komponenti.

Osobine karakteristicne za modularne mreže:Teorija perturbacije!Broj svojstvenih vrednosti λ & 0 je povezan sa brojemmodula.Svojstveni velktori za λ & 0 su linearne kombinacijesvojstvenih vektora za λ = 0 diskonektovanih modula.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Osobine Laplasijana modularnih mreža

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

ρ(λL

)

λL

M = 5, α = 0.9 i G = 6

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

ρ(λL

)

λL

G=2

G=4

G=8

G=16

G=32

G=64

M = 5, α = 0.9 i N = 1024

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Drvo drevta

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000

λLi

r(λLi)

M = 1, α = 1 i G = 6λmax = 2

0

10

20

30

40

50

0 0.5 1 1.5 2

ρ(λL

)

λL

G=1G=6

Ne postoji razlika u gustinispektra izmedju drveta sagranama i obicnog scale freedrveta!

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Modularna mreža

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000

λLi

r(λLi)

M = 2, α = 0.9 i G = 6λmax < 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2

ρ(λL

)

λL

G=1G=6

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Svojstveni vektori

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Vκ(

λL)

κ

λ=0.029705

λ=0.038286

λ=0.047033

λ=0.058094

λ=0.065542

M = 2, α = 0.9 i G = 6

Svojstveni vektoriodražavaju scale freestrukturu modula.Mogu poslužiti zadefinisanje inicajlnepodele u razlicitimalgoritmima.

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Scatter plot

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

Vκ(

λ 1L)

Vκ(λ2L)

M = 2, α = 0.9 i G = 6λ1 = 0.047 i λ2 = 0.038

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

Vκ(

λ 1L)

Vκ(λ2L)

M = 1, α = 1 i G = 6λ1 = 0.00108 i λ2 = 0.00033

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Relani prostor-drvo

Pajek

λ1 = 0.004623Pajek

λmax = 2

Marija Mitrovic

Uvod

Modeli mreža



Zakljucak

Zakljucak

Modeli mreža sa mezoskopskim nehomogenostima.Spektralne osobine matrice povezanosti. Postojanjemodula je povezano sa najvecim svojstvenimvrednostima.Spektralne osobine Laplasijana mogu poslužiti kaometode detektovanja modularne strukture mreža.

Documents

Spektralne osobine kompleksnih mreza sa mezoskopskim ... · osobine matrice povezanosti Spektralne osobine Laplasijana Zakljucakˇ Spektralna analiza mreža Razliˇciti operatori