3

Spis treści

Liczby wymierne. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych .............................................................................................. 5• Rozszerzanie i skracanie ułamków (5–7) • Porównywanie ułamków zwykłych i dziesiętnych (8–11)• Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych (12–16)• Mnożenie ułamków zwykłych i dziesiętnych przez liczby naturalne (17–19)• Dzielenie ułamków zwykłych i dziesiętnych przez liczby naturalne (20–21)• Ułamek jako iloraz. Równania (22–23)

Procenty i ich zastosowanie ....................................................................... 24• Pojęcie procentu. Obliczanie procentu danej wielkości, danej liczby (24–28)• Obliczanie liczby z danego jej procentu. Zadania tekstowe (29–33)• Zestawienia danych statystycznych. Diagramy (34–36) • Zadania powtórzeniowe i kontrolne (37)

Figury płaskie i przestrzenne – własności miarowe. Stosowanie wzorów na pole i objętość ....................................................................................... 38• Pola kwadratów i objętości sześcianów. Kwadraty i sześciany liczb.

Obwody i pola kwadratu, prostokąta, trójkąta prostokątnego, równoległoboku (38–42)

• Pole trójkąta, trapezu, dowolnego wielokąta (43–45) • Obwód i pole koła, wielokątów foremnych wpisanych w koło. Trójkąty przystające

i podobne (46–48)• Bryły – podobieństwa i różnice. Własności ostrosłupów. Przekroje kuli, ostrosłupa,

stożka. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa (49–53) • Pole powierzchni i objętość walca, stożka, kuli (54–56)

Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. Działania na liczbach całkowitych 57• Temperatury dodatnie i ujemne. Liczby dodatnie i ujemne na osi liczbowej –

porównywanie. Oś czasu (57–60)• Liczby przeciwne. Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych (61–65) • Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych (66–67)

I

II

III

IV

Wielkości wprost proporcjonalne i odwrotnie proporcjonalne. Wyrażenia algebraiczne. Równania ............................................................................. 68• Opisywanie wielkości proporcjonalnych i nieproporcjonalnych za pomocą

wyrażeń algebraicznych. Porównywanie różnicowe i ilorazowe. Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych (68–70)

• Proporcjonalność prosta – przykłady, wzory funkcji, tabelki (71–74)• Obwód i pole koła oraz kwadratu jako wielkości proporcjonalnych

i nieproporcjonalnych. Skala w sytuacjach realnych (75–76) • Wielkości wprost proporcjonalne – wzór, współczynnik proporcjonalności,

graf strzałkowy, tabelka. Stosowanie instrukcji (77–79) • Wyrażenia algebaraiczne. Proporcje i ich własności (80–84) • Równania w postaci proporcji. Zadania tekstowe (85–88) • Odcinki proporcjonalne, zastosowanie – twierdzenie Talesa. Zadania na

porównywanie różnicowe i ilorazowe (89–92)• Proporcjonalność odwrotna – wzór, współczynnik proporcjonalności, graf

strzałkowy, tabelka (93)

Układ współrzędnych na płaszczyźnie. Wykresy funkcji. Układy równań .... 94• Położenie punktów na sieci kwadratowej i na płaszczyźnie z układem

współrzędnych. Odcięte i rzędne punktów (94–96) • Wykresy funkcji przedstawionych za pomocą wzoru i tabelki. Położenie figur

geometrycznych w układzie współrzędnych. Wykres proporcjonalności prostej i proporcjonalności odwrotnej (97–100)

• Układy równań (101–102)

Powtórzenie i utrwalenie wiadomości ........................................................ 103• Zadania powtórzeniowe i sprawdzające (103–108)

Wyprawki:

I (do str. 40, 44 – pole równoległoboku, trójkąta, trapezu) II (do str. 45, 48 – pole wielokąta, deltoidu, figury podobne) III (do str. 46 – pole koła; do str. 49 – własności graniastosłupa i walca) IV (do str. 49 – własności ostrosłupa i stożka)

V

VI

VII

5

Liczby wymierne. Działaniana ułamkach zwykłych i dziesiętnych

ROZSZERZANIE U�AMKÓW

Na każdym rysunku zacieniowano 23 koła. Następnie podzielono trzecie części koła

na kilka równych, mniejszych części. Zapisz ułamek 2 3

w postaci rozszerzonej według wzoru.

2 3

= 2 · 4 3 · 4

= 8 2 3

= ·

· =

2 3

= ·

· =

2 3

= ·

· =

Uzupełnij według wzoru.

Z ułamka 2 3 powstał ułamek 8

12 przez pomnożenie licznika i mianownika przez 4.

Z ułamka 2 3 powstał ułamek 4 6 przez ...................................................................................

Z ułamka 2 3 powstał ułamek 1015 przez .................................................................................

Z ułamka 2 3 powstał ułamek ..................................................................................................

Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik tego ułamka przez tę samą liczbę naturalną większą od 1.

Przez jaką liczbę pomnożono licznik lub mianownik? Rozszerz ułamki.

1 2

= 10

2 7

= 4 4 5

= 12 3 8

= 16

5 6

= 25

Połącz pary ułamków równych. Np. 1 3 = 412 , bo

1 · 43 · 4 =

412 .

1

2

3

4

6

SKRACANIE U�AMKÓW

a) Zapisz w okienkach w postaci ułamka, jaka część koła jest zacieniowana.b) Zapisz pod rysunkami każdy ułamek w postaci skróconej, według wzoru.

4 16

4 16

= 4 : 4 16 : 4

= 1 4

9

12 =

· ·

= = .................

= .................

Uzupełnij według wzoru.

Z ułamka 4 16

powstał ułamek 1 4 przez podzielenie licznika i mianownika przez 4.

Z ułamka 9 12

powstał ułamek ...............................................................................................

Z ułamka ….. powstał ułamek ..............................................................................................

Z ułamka ….. powstał ułamek ..............................................................................................

Aby skrócić ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez tę samą liczbę naturalną większą od 1.

Przez jaką liczbę podzielono licznik lub mianownik? Skróć ułamki.

8 16

= 1 10 15

= 36 8

= 3 9 15

= 3 8 20

= 5

6 9

= 3

10 18

= 5 7 21

= 3

15 25

= 3 14 24

= 12

Połącz pary ułamków równych, podobnie jak w przykładzie.

• Uzasadnij równość ułamków według wzoru: 6 21

= 2 7 , bo 6 : 3

21 : 3 = 2

7 . Zapisz działania

w zeszycie.

1

2

3

4

7

SKRACANIE I ROZSZERZANIE U�AMKÓW. �WICZENIA

Rozszerz ułamki, mnożąc licznik i mianownik przez 5.

2 3

= 10 15

3 5

= 7 8

= 8 11

= 12 20

=

Rozszerz ułamki tak, żeby mianownik był równy 24.

1 2

= 24

2 3

= 3 4

= 5 8 = 7

12 =

Zaznacz ułamki z zadania 2. na osi liczbowej. Pokoloruj największy z nich.

Skróć ułamki, dzieląc licznik i mianownik przez 3.

12 15 =

4 5

9 12 =

3 6 =

18 21 =

24 33 =

Skracaj ułamki, dopóki jest to możliwe.

8 12 =

8 : 2 12 : 2

= 4 : 2 6 : 2

= 2 3

9 45 = ..................................

55 80 = ..................................

36 20 = .....................................

75 45 = ..................................

18 36 = ..................................

Przez jaką liczbę należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka 3 7

, aby otrzymać rów-

ny mu ułamek 15 35

? ...................................................................................................................

Przez jaką liczbę należy podzielić licznik i mianownik ułamka 12 15

, aby otrzymać rów-

ny mu ułamek 4 5

? .....................................................................................................................

Znajdź największy wspólny dzielnik licznika i mianownika. Podziel przez niego licznik i mianownik, a otrzymasz ułamek nieskracalny. Zapisuj według wzoru.

18 : 9 27 : 9

6 12

25 15

12 8

12 16

18 24

50 100

2 3

36 30

16 24

27 36

32 48

45 30

40 56

1

2

3

4

5

6

7

8

8

U�AMKI RÓWNE I ICH W�ASNO�CI. PORÓWNYWANIE U�AMKÓW

Oblicz w pamięci iloczyny „na krzyż” i wpisz w miejsce kropek znak = lub �.

2 5 = 2 · 7

5 · 7, czyli 2

5 = 14

353 11

= 3 · 5 11 · 5

, czyli 3 11

= 15 55

2 · 5 · 7 = 5 · 2 · 7

2 · 35 = 5 · 14

3 · 11 · 5 ... 11 · 3 · 5

3 · 55 ... 11 · 15

Iloczyn zawsze wynosi 70. Iloczyn zawsze wynosi .

Jeżeli ułamki są równe, to ich iloczyny „na krzyż” też są równe.

Oblicz w pamięci licznik lub mianownik i wpisz w okienku.

12 15

= 5

18 30

= 5

3 35

= 70

32 80

= 4

14 28

= 1 18 24

= 4

5 7 =

283 16

= 32

Oblicz iloczyny „na krzyż” i w miejsce kropek wpisz znak < lub >.

3 4 > 1

2

3 · 2 > 4 · 1

5 8 > 2

7

5 · 7 ..... 8 · 2

6 7 > 1

3

6 · 3 ..... 7 · 1

8 9 > 2

9

8 · 9 ..... 9 · 2

1 4 < 2

4

1 · 4 < 4 · 2

1 10

< 1 2

1 · 2 ..... 10 · 1

2 7 < 3

5

2 · 5 ..... 7 · 3

1 3 < 9

10

1 · 10 ..... 3 · 9

Podaj różne sposoby porównywania ułamków zwykłych.

Wstaw znak < lub > między ułamki.

1 12

..... 1 6

1 3 ..... 1

43 7 ..... 3

105 9 ..... 5

12

7 3 ..... 2

35 2 ..... 3

210 8

..... 13 8

14 10

..... 17 10

3 4 ..... 4

32 7 ..... 1

81 2 ..... 7

58 5 ..... 5

8

1

2

3

4

57

Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. Działania na liczbach całkowitych

PORÓWNYWANIE TEMPERATUR DODATNICH I UJEMNYCH

Na mapach podano temperatury zmierzone w następujących po sobie dniach w kil-ku miastach Polski. Zaznacz na odpowiednich termometrach różnicę temperatury w dzień i w nocy dla wszystkich miast. Zapisz, podobnie jak w pierwszym przykła-dzie, jak zmieniała się temperatura.

Podaj prognozę pogody na 5 III. Zapisz, w których miastach temperatura w nocy podniesie się, w których spadnie, w których się nie zmieni. Opisz, jaki będzie kieru-nek wiatru. O ile podniesie się ciśnienie 5 III w porównaniu z ciśnieniem z 4 III?

Porównaj temperatury i w miejsce kropek wstaw odpowiedni znak.

– 11°C < + 3°C 17°C ......... – 17°C 2°C ......... – 1°C

1

2

3

58

LICZBY CA�KOWITE NA OSI LICZBOWEJ

Połącz z odpowiednimi punktami na osi liczbowej:

a) liczby całkowite

b) ułamki

Filozofia powstała na przełomie VII/VI w. p.n.e. Za datę końcową filozofii starożytnej przyjmuje się 529 r. n.e. (który to wiek?) – zamknięcie Akademii Platońskiej. Zaznacz ten okres w przybliżeniu na osi liczbowej. Wskazówka: Ponumeruj na osi kolejne wieki naszej ery i wieki przed narodzeniem Chrystusa.

Zaznacz w przybliżeniu daty z poniższego tekstu na osi liczbowej.

Wiadomo, że już kilkadziesiąt tysięcy lat przed naszą erą na terenach Polski istniała twór czość artystyczna. Na przykład w Jerzmanowicach znaleziono narzędzia krze-mienne sprzed 35 tysięcy lat p.n.e., a wyroby z kości odkryte w Jaskini Maszyckiej koło Krakowa pochodzą z trzynastego–dziesiątego tysiąclecia. Ceramika zawiera-jąca motywy geometryczne pojawiła się w połowie piątego tysiąclecia. Wtedy też wytwarzano ozdoby z miedzi. W czwartym tysiącleciu wyt warzano puchary lejko-wate. W latach 2600–1800 p.n.e. doskonaliła się ceramika, powstawały różnorodne amfory kuliste. W tym okresie też rozwijało się zdobnictwo z bursztynu. W Złotej koło Sandomierza znaleziono najpiękniejsze wyroby ceramiczne z tego okresu.

1

2

3

59

LICZBY CA�KOWITE NA OSI LICZBOWEJ. PORÓWNYWANIE LICZB

Wpisz w pustej kratce tabelki odpowiednią liczbę.

Piętnaście stopni powyżej zera

Dwa i cztery dziesiąte stopnia poniżej zera

Jedenaście i czternaście setnych stopnia powyżej zera

Siedemdziesiąt dwa i trzy setne stopnia poniżej zera

Dwadzieścia trzy stopnie poniżej zera

Na podstawie tabelki wypisz kolejne pary liczb i wstaw między nimi znak < lub >, np.:

15° > – 2,4°; – 2,4° < .............................................................................................................

Zapisz liczby całkowite na przemian nad i pod punktami osi liczbowej.

Zaznacz na osi liczbowej punkty odpowiadające następującym liczbom całkowitym.

Wpisz w kółka odpowiednie liczby całkowite według wzoru.

Liczby całkowite ujemne to liczby –1, –2, –3, ..., –10, –11, ..., –19, –20, –21, ...

Na osi liczbowej leżą one po lewej stronie od zera. Kolejne liczby znajdują się w jed-nakowych od siebie odległościach równych jednostce.

1

2

3

4

60

O� CZASU. LATA PRZED NASZ� ER�

Starożytny Egipt istniał od 4000 roku p.n.e. do 641 roku n.e. Zaznacz ten okres na osi i oblicz za jej pomocą, ile to w przybliżeniu lat i wieków.

Odp. ...........................................................................................................................................

Za najstarszą piramidę uznaje się grobowiec króla Dżesera w Sakkarze (XXVII w. p.n.e.). Najsłyn-niejsze i największe piramidy w Gizie powstały w okresie 2613–2494 r. p.n.e. Zaznacz na osi, w których wiekach powstawały te piramidy. Ile lat w przybliżeniu upły nęło od zbudowania pierwszej piramidy do ukończenia robót nad ostatnią?

Odp. ...........................................................................................................................................

Zaznacz na osi liczbowej różnymi kolorami okresy rozwoju języka starożytnych Egip-cjan:

a) staroegipski (XXX–XX w. p.n.e.) – znany z tekstów w piramidach i napisów na grobowcach,

b) średnioegipski, klasyczny (XXI–XVII w. p.n.e.) – mówiony, język literatury do cza-sów grecko-rzymskich,

c) nowoegipski (XVI–VIII w. p.n.e.) – mówiony, od XIV w. p.n.e. – literacki,d) demotyczny (VIII w. p.n.e.–V w. n.e.) – język ludowy znany np. z papirusów,e) koptyjski (III–XVII w.) – wyparty przez język arabski, przetrwał jako język liturgicz-

ny kościoła koptyjskiego.

Pismo staroegipskie odczytał po raz pierwszy w roku 1822 francuski egiptolog J.F. Champollion na podstawie kamienia z Rosetty. Uzupełnij poniższe zdanie.

Od powstania pisma w starożytności do odczytania go w czasach nowożytnych

minęło około ........... lat.

1

2

3

4