Upload
jasmin-selimovic
View
286
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
9/30/20091
SPREZANJE BETON - BETON
Spregnute konstrukcije
9/30/20092
POGLAVLJE I - KRATAK PRIKAZ DOSADAŠNJIH RADOVA
NA PROBLEMU PUZANJA BETONA
1.1 Dischinger–ov izraz
n
S
Edd
E1
dd
ϕε
−σ
+ϕσ
⋅=ϕε
pri čemu oznake imaju slijedeće značenje: ε - ukupna veličina deformacije
ϕ - koeficijent tečenjaεs - koeficijent skupljanjaϕn - granična vrijednost koeficijenata tečenja u trenutku t = tn
Nedostatak ove teorije je što ne opisuje realno deformacije u periodu rasterećenja; naime ovim izrazom se ne registriraju reverzibilne (zaostale elastične) deformacije.
σ
σµM
HM EM
NM
9/30/20093
1.2 Poboljšani Dischinger–ov izraz
U smislu poboljšanja Dischinger-ovog izraza (teorija starenja betona) predloženo je korištenje Maxwell-Kelvin-ovog modela, gdje Kelvin-ovelement daje deformacije zaostalog puzanja i povratnog puzanja.
σ
σ
Eb0
µM
Poboljšana teorija starenja bolje opisuje ponašanje betona. Međutim u praksi se, eksperimentalno pokazalo da poboljšana teorija starenja nije u stanju opisati relaksaciju napona pod konstantnim deformacijama.
1.3 Nasljedna teorija starenja Maslov - Arutjunjan
Po ovoj teoriji funkcija specifičnog tečenja uzima se u obliku:
( ) ( ) ( )[ ]τ−γ−−⋅τϕ=τ te1,tC
gdje je funkcija koja uzima u obzir starenje betona( )τϕ
9/30/20094
σ
σ
EH
EK µK
Iako nasljedna teorija starenja znatno uspješnije opisuje vremenske deformacije betona od prethodnih teorija, ona nije našla širu primjenu u teoriji konstrukcija. Razlog je što se zadatak određivanja stanja napona i deformacija i za statički određene sisteme svodi na rješavanje integralnih, odnosno diferencijalnih jednačina sa promjenljivim koeficijentima.
1.4 Rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačine prema
autorima Rusch i Jungwirth
Rusch i Jungwirth su dali rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačineza lokalno sprezanje dva elementa: elastičnog i elementa sklonog puzanju (betonski luk sa čeličnom zategom ili prednaprezanje bez kontakta) i kontinuirano sprezanje (armirani beton, prednaprezanje sa kontaktom, spregnuti nosač).
9/30/20095
Z = 1S
ybz
( )α−⋅⋅ε⋅+σ⋅+σ=σ 1ECC at,ss0,addt,akt,a
Izraz (1-3) daje relativno jednostavno rješenje za naprezanje u elementima armiranog betona usljed uticaja vremenskih deformacija. Međutim, ovim postupkom nisu obuhvaćene promjene dugotrajnog opterećenja, različite starosti betona ili eventualne promjene na sistemu usljed puzanja i skupljanja. U tom slučaju rješenje je jedino moguće primjenom difereničnih postupaka.
1.5 Prijedlog Trost-a
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] t,s0tt0b
t11E1t ε+ϕ⋅ρ+⋅σ−σ+ϕ+⋅σ⋅=ε
Ovaj postupak ima prednost jer se preko koeficijenta ρ u proračun mogu unijeti teoretske postavke, te dobiti tačnije vrijednosti koje odgovaraju stvarnosti.
9/30/20096
1.6 Prijedlozi raznih autora- Prijedlog prof.ĐurićaProf. Đurić je uveo algebarsku vezu umjesto integralne veze između napona i deformacija.
s0
dE1
Eε+ϕ⋅σ⋅+
σ=ε ∫
ϕ
ϕ⋅σ+σ
=ϕ⋅σ∫ϕ
2d 0
0
s0 E221
E1
ε+⋅ϕ
⋅σ+σ⋅
ϕ
+⋅=ε
- Izraz po Ulickom
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )τε+
⋅τσ−σ
+τϕ+⋅⋅
σ−τσ=ε ,t
tE2t,t1
E2tt s
0
Nedostatak ovog prijedloga je isti kao i kod teorije starenja -ne opisuje reverzibilne (viskoelastične) deformacije.
9/30/20097
- Prijedlog prof.Ivkovićaσ
Eb0
σ
µ10
µ1i
E10
E1i
1
i
( ) ( ) ( )( )
τ⋅
⋅
µ⋅τσ+
σ=ε ∫ ∑
τ =
τ−∗µ
−
∗ dke1kEktkt
kt
1k
k
0i
kkti1
t1E
i10b
Dijagram koeficijenta tečenja urađen prema ovom prijedlogu je u saglasnosti sa dijagramom predloženim CEB preporukama.
- Trost – Bažant-ov modul
( )( ) ( )00
0TB ,t,t1
EE
τΦ⋅τχ+τ
=
Ovaj postupak se pokazao dosta tačan za istorije deformacija afine funkciji puzanja , dok u slučaju ostalih tipova deformacija može poslužiti samo za preliminarnu ocjenu.
9/30/20098
POGLAVLJE II – LINEARNE ALGEBARSKE VEZE TEORIJE
PUZANJA OČVRSLOG BETONA
Svojstva očvrslog betona su u opštem slučaju funkcija izvanredno velikog broja različitih uticajnih faktora:-karakteristika primjenjenih komponenata agregata, cementa, vode i aditiva, -kvantitativnih odnosa ovih materijala u masi svježeg betona,-tehnoloških faktora,-postupaka izrade konkretnog betonskog elementa,-uslova eksploatacije,-dimenzija konstruktivnog elementaNajveći broj svojstava betona zavisi od ostvarene strukture betona.
Reološka svojstva betona načelno bi uvijek trebalo posmatrati u funkciji svojstava strukture, vremena, termohigrometrijskih i drugih parametara vezanih kako za sam materijal, tako i za okolinu i sredinu.
Beton je po reološkim svojstvima viskozan elastičan materijal.
9/30/20099
Jednačine ravnoteže i jednačine kompatibilnosti su osnovni principi mehanike i vrijede za sve materijale.
Karakteristična svojstva pojedinih materijala su određena jednačinama konstitucije, koje predstavljaju odnos između napona i deformacije.
De( ) =ε t ( )
σ
=τ
τ=τt
t
0
Vrijednost deformacije u vremenu t zavisi od svih vrijednosti naprezanjaza , koje varira između 0 i t.
ε ( )τστ τ
Ako je materijal linearno elastičan, prethodni izraz se može pojednostaviti
( ) ( )tDt σ=ε
Međutim, viskoelastičan materijal karakterizira deformacioni proces koji ovisi o cijeloj istoriji naprezanja i njegova konstitutivna relacija mora imati oblik funkcionala.
9/30/200910
ε(t)
τ
τ
τ1τ0 t
τ0 τ1 t
σ(t)
ε0
σ0
Deformacija viskoelastičnog tijela pod konstantnim naprezanjem
Ponašanje materijala se definiše kao linearno ako za istoriju naprezanja:
( ) ( ) ( ) ( )t,;t 021 τ∈ττσ+τσ=σodgovara istorija deformacije:
( ) ( ) ( ) ( )t,;t 021 τ∈ττε+τε=ε
Ovo se ujedno naziva princip superpozicije i koristi se u svim pretpostavkama do sada datih linearnih teorija puzanja betona.
9/30/200911
Granica naprezanja do koje beton ima linearno ponašanje je:
CC f4,0 ⋅≤σ
Za linearno područje može se pisati:
( ) ( )τσ=ε ,tDt 0
gdje je specifična funkcija puzanja, definirana kao odgovor u trenutku t na jedinstven korak naprezanja primijenjen u trenutku t.
( )τ,tD
Starenje betona
Poređenje funkcija D(t,τ) materijala koji stari i materijala koji ne stari
9/30/200912
Reološki modeli
Riesz teorema (istorija deformacija viskoelastičnog tijela u linearnom području) :
( ) ( )( ) ( ) ( )∫
τ
ττστ+σ
=εt
0
d,tdtEtt
Da bi se objasnilo ponašanje betona, kao viskoelastičnog materijala, pod djelovanjem opterećenja, koriste se saznanja reologije, kao dijela fizike, koji se bavi izučavanjem deformacija tijela usljed definiranih sila.
η1E1
E2
En
η2
ηn
E1
η1
E2
η2
En
ηn
a) b)
Standardni model za čvrsto tijeloReološki modeli
9/30/200913
Primjena Kelvin – ovog modela za opis preraspodjele naprezanja između starog i novog betona - autorski rad
NOVI BETON
STARIBETON
)t()t()t( E
ε+ε⋅η
=η
σ&
diferencijalna jednačina prvog reda tipa: + p(t) y = r(t)y&
Uz početni uslov da je y(t0) = y0, rješenje jednačine je: y(t) =∫
+∫∫ −−
∫
t
t
t
t
t
t
pdtt
t
pdpd
eydree 0
0
000)( ττ
ττ
Iz uslova kompatibilnosti dobije se jednačina: ∫τ−
η−
τση
+σ
=τσ
⋅µ
−t
t
)t(E
b0
0b
bn
b
b 0
bn
dte)(1)t(E)t(
E)(1
Nakon provedenih matematičkih transformacija dobije se rješenje za određivanje naprezanja u novom betonu usljed vremenski ovisnih deformacija :
( ) ( )( )t0t
bnE
eb0bb et
−−τµ⋅µ−⋅σ=τσ
9/30/200914
POGLAVLJE III – DEFINICIJA PROBLEMA PRERASPODJELE
NAPREZANJA U BETONSKIM PRESJECIMAPrimjeri kompozitnih presjeka
OO
mont.prednapregnutinosac (MPN)
mont. oplata
beton "in situ"
beton "in situ"
beton "in situ" beton "in situ" beton "in situ"
mont.prednapregnutinosac (MPN)
mont.prednapregnutinosac (MPN)mont.prednapregnuti
nosac (MPN)
mont.prednapregnutinosac (MPN)
9/30/200915
Mehanizam peraspodjele naprezanja i presječnih sila unutar armiranobetonskih i prednapregnutih konstruktivnih elemenata
P P
-P
Pbe
ton
Pfe
der
max
.Pbe
ton
Radni dijagram betona i opruge
t
t
σ
σp
εa,εb
tt0
t0
BETON
CELIK∆εt
Dijagram deformacije betona i čelika pod konstantnim naprezanjem
9/30/200916
Ako se zanemari relaksacija čelika (armatura), može se smatrati da je čelik idealno elastičan materijal. Pod konstantnim dugotrajnim opterećenjem deformacija je konstantna.
dε = dσ/E ; σ = const. ⇒ dσ = 0 ⇒ dε = 0
U vremenskom intervalu dt dolazi do razlike u veličini deformacije u betonu i čeliku. Razlika je posljedica vremenski ovisnih deformacija betona (puzanje i skupljanje).
Iz uslova kompatibilnosti jasno je da će se naprezanje dσ, koje nastaje kao posljedica vremenski ovisnih deformacija betona, pojaviti u armaturi. Pošto moraju uvijek biti zadovoljeni uslovi ravnoteže, a ne dolazi do promjene vanjskog opterećenja, ovaj prirast naprezanja dσ u armaturi, ujedno je pad naprezanja u betonu – PRERASPODJELA NAPREZANJA.
dσp = 0 ⇒ dσa + dσb = 0
Na analogan način se može objasniti preraspodjela naprezanja između dva viskozno-elastična materijala različitih karakteristika.
9/30/200917
2
1 2
1ε
tt0 t1 tDijagram deformacije betona pod konstantnim naprezanjem
Zbog različitog prirasta deformacija dε dolazi do preraspodjele naprezanja dσ između betona 1 i betona 2.
1
2
ARMATURA
dio beton-betondio armatura-beton
εa,εb
∆ε
tt1 ttt0 *
9/30/200918
Metode rješavanja preraspodjele naprezanja u kompozitnim presjecima (teorija k – elemenata)
Ukupni moment i normalna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku:
∫∫ ⋅⋅σ=⋅σ=F
0F
0 dFyMdFN
Dijagram naprezanja pojedinih dijelova kompozitnog presjeka
E1
ε1
E2
E3
ε0
εu
ε2
σ10
σ1u
σ20
σ30
σ2u
σ1u
9/30/200919
Ako se promatra jedan dio poprečnog presjeka «k», onda su presječne sile:
∫
∫
⋅⋅σ=
⋅σ=
k
k
F0k
F0k
dFyM
dFNFK
σk0
σku
Prilikom proračuna presječnih sila pojedinih dijelova, mora se zadovoljitisljedeće:
1. Suma svih presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka jednaka je presječnoj sili ukupnog poprečnog presjeka,
2. Deformacije pojedinih dijlova usljed vanjskih presječnih sila su kompatibilne i odgovaraju deformaciji ukupnog presjeka
Moraju biti zadovoljeni uslovi ravnoteže i uslovi kompatibilnosti.
9/30/200920
Preraspodjela presječnih sila
Osnovni razlozi koji dovode do preraspodjele presječnih sila su vremenski ovisne deformacije betona (skupljanje i puzanje).
Matematička funkcija puzanja, koja dosta dobro aproksimira rezultate eksperimenata, može se uzeti:
( ) ( )ct
el
p ebat −⋅=ϕ=ε
ε
Iz rubnih uslova: za t = 0; ϕ(t) = 0za t = ∞ ; ϕ(t) = ϕ∞
ϕ(t) = ϕ∞ (1-ect)
Veličina «c» u eksponentu funkcije se dobijaeksperimentalno (test puzanja).
9/30/200921
Vremenski ovisne deformacije dovode u vremenu dt do promjene konstantnih vrijednosti presječnih sila Nbo + Nbt, Mbo + Mbt, Nao + Nat.
U pojedinim dijelovima poprečnog presjeka javljaju se sljedeće deformacije dt:
BETON (materijal koji puže)
CENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK
ϕ⋅ϕε
−ϕ⋅⋅+
+⋅
=ε∞
ddFENN
AEdN
d S
bb
bt0b
bbt
t,bb
EKSCENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK
ϕ⋅⋅
++
⋅+ϕ⋅
ϕε
−ϕ⋅⋅+
+⋅ ∞
dIEMM
IEdM
ddFENN
FEdN
bb
bt0b
bb
t,bS
bb
bt0b
bbt
t,b
ARMATURA, ČELIK ZA PREDNAPREZANJE, ČELIČNI NOSAČ (materijal koji ne puže)
deformacija armature
deformacija čeličnih nosača
aa
t,ael,a FE
dNd
⋅=ε
ČNČN
t,ČN
ČNČN
t,ČNČN IE
dMFE
dNd
⋅+
⋅=ε
9/30/200922
Proračun preraspodjele poprečnih sila se radi u sljedećim koracima:1. Određivanje presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka u
trenutku “t”,2. Ispisivanje promjene deformacije pojedinih dijelova poprečnog
presjeka za interval vremena dt3. Postavka uslova ravnoteže za presječne sile pojedinih dijelova u
trenutku t i t+dt,4. Postavka uslova kompatibilnosti deformacija u intervalu vremena dt,5. Zamjena presječnih sila Nbt, Mbt, Nat,… i uvođenje njihovih
diferencijala dNbt, dMbt, dNat iz uslova ravnoteže u uslove kompatibilnosti,
6. Uz pomoć funkcija puzanja dobijanje sistema diferencijalnih jednačina za proračun presječnih sila ovisnih o vremenu.
Rješenje problema preraspodjele presječnih sila, u matematičkom smislu, svodi se na rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina.
U nastavku su postavljeni sistemi lineranih diferencijalnih jednačina za primjere iz prakse: - sanirani armiranobetonski stub, - spregnuta prednapregnuta greda, - ojačana armiranobetonska greda, - polumontažna stropna konstrukcija, - spregnuti poprečni presjek beton+čelik.
9/30/200923
Rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina za sanirani armiranobetonski stub – autorski rad
bsbn
asan
Nas = X - sila u staroj armaturiNan = Y - sila u novoj armaturiNbs = Z - sila u starom betonuNbn = W - sila u novom betonu
Uslov ravnoteže: 0dWdZdYdX =+++
Uslovi kompatibilnosti:ananasas FE
dYFE
dX⋅
=⋅
sss
sbsbs
0
bsbsasas
ddFEZZ
FEdZ
FEdX
ϕ⋅ϕε
−ϕ⋅⋅+
+⋅
=⋅ ∞
nsn
nbnbn
0
bnbnasas
ddFEWW
FEdW
FEdX
ϕ⋅ϕε
−ϕ⋅⋅+
+⋅
=⋅ ∞
9/30/200924
Dobije se sistem diferencijalnih nehomogenih jednačina, koje imaju homogeno i partikularno rješenje. Detalji rješenja sistema dati su u magistarskom radu.
Rješenje sistema jednačina su funkcije promjene presječnih sila u starom i novom betonu, te staroj i novoj armaturi.
3pq
pH DqreXXX ++=+=
ϕ⋅−
( ) 23
spq
DDqre1qY +
++⋅−=
ϕ⋅−
))me(YXD(21W 1 +−−−= ϕ−
))me(YXD(21Z 1 +−−+= ϕ−
Konstante D1, D2 i D3 su integracione konstante. Odabir matematičkog oblika integracionih konstanti uslovljava ponašanje funkcija X, Y, Z i W.
9/30/200925
Osim tačnog rješenja sistema linearnih diferencijalnih jednačina, postoje približni postupci od kojih se izdvajaju: rješenje pomoću približne funkcije toka vremenski ovisnih presječnih sila i diferenična metoda.
Rješenje pomoću približne funkcije toka vremenski ovisnih presječnih sila
Pretpostavljena funkcija promjene presječne sile u betonu
9/30/200926
Diferenična metoda
Dijagram promjene presječne sile u betonu u ovisnosti od koeficijenta puzanja
Poboljšanje diferenične metode može se dobiti korekcijom λ .
9/30/200927
Iz prethodno izložene definicije problema može se konstatovati slijedeće:1. Tačno rješenje problema preraspodjele naprezanja u
kompozitnim presjecima, koji se nalaze u naponskom stanju I, je rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina, koje se dobijaju iz uslova ravnoteže i uslova kompatibilnosti,
2. Promjena presječnih sila u pojedinim dijelovima kompozitnog presjeka ovisi od promjene vremenski ovisnih deformacija (puzanje i skupljanje), prema tome funkcija promjene presječnih sila ovisi od funkcije promjene vremenskih deformacija,
3. Odabir funkcije puzanja i skupljanja vrši se na osnovu eksperimentalnih rezultata,
4. Kod kompozitnih presjeka koji se nalaze u naponskom stanju II sistem linearnih diferencijalnih jednačina nije dovoljan za rješenje, s obzirom da položaj neutralne osi zavisi od opterećenja. Dakle potrebno je rješavati iterativnim postupkom, za pojedine korake položaja neutralne osi.
9/30/200928
POGLAVLJE IV – PRIMJERI ZA ILUSTRACIJUPreraspodjela naprezanja u saniranom armiranobetonskom stubu
60
40 1010
60 4010
10
Razmatrimo primjer stuba centrično pritisnutog silom P = 2,0 MN, koji se sastoji od betona C16/20 armiranog sa 4φ25. Nakon 30 godina, stub je ojačan dodatnim slojem betona C30/37, debljine d = 10 cm armiranog sa 20φ20 i opterećenog dodatnim opterećenjem ∆P = 2,0 MN.
Odredit ćemo presječne sile u betonu postojećeg dijela stuba, dimenzija 40/40 cm, i armaturi za stubstarosti 28 dana (t1 = 0) i starosti t2 = 30 g, prije saniranja, a potom presječne sile u starom i novom betonu i staroj i novoj armaturi, od trenutka nanošenja dodatnog opterećenja t3 = 30 g + 28 dana do trenutka t4 = ∞.
Karakteristike presjeka su:- postojeći beton C16/20 Ebs = 27 500 MN/m2
b/h = 40/40 cm- stara armatura Fa = 19,6 cm2 (4φ25) Eas = 210 000 MN/m2
- novi beton C30/37 Ebn = 32 000 MN/m2
d = 10 cm- nova armatura Fa = 62,8 cm2 (20φ20) Ean = 210 000 MN/m2
9/30/200929
a) t1 = 0Nat1 = 0,173 MNNbt1 = 1,827 MN
b) t2 = 0
uslov ravnoteže: dNa + dNb = 0 ⇒ dNa = - dNb
uslov kompatibilnosti: = + dϕ - dϕaa
at
FEdN
bb
bt
FEdN
bb
bt
FEN
∞ϕε s
9/30/200930
Nbt = Nb0 - ⋅ sila u betonu u vremenu t
+
∞bb
sb FEN
ϕε
0
−+
− t
aa
bbFEFE
e
ϕ1
1
1
ϕt (30 g) = 3,33 εst = -21 ⋅ 10-5
Proračunati koeficijent puzanja i mjera skupljanja za beton starosti 30g:
Nat2 = 0,591 MNNbt2 = 1,409 MN
c) t3 = 30g + 28dana (ojačanje stuba i nanošenje dodatnog opterećenja ∆N = 2,0MN )
Iz uslova ravnoteže i kompatibilnosti mogu se direktno dobiti presječne sile u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka:
∑N = 0 Nas + Nan + Nbs + Nbn = ∆N
bsbs
bs
asas
as
FEN
FEN
=bnbn
bn
asas
as
FEN
FEN
=anan
an
asas
as
FEN
FEN
=
Nast3 = 0,066 MNNbst3 = 0,702 MNNant3 = 0,211 MNNbnt3 = 1,022 MN
9/30/200931
d) t4 = ∞ ϕs = 0,422 ϕn = 3,55 εss = -1,43 ⋅ 10-5 εsn = -21,23 ⋅ 10-5
Proračun preraspodjele presječnih sila od trenutka ojačanja stuba urađen je na slijedeći način :d1) Diferenična metoda,d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu,d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine,d4) Pomoću Kelvin-ovog modelad5) Postupak po Stangenberg-ud6) Proračun presječnih sila u funkciji od stare armature (većina autora).
d1) Diferenična metodauslov ravnoteže u trenutku tn: Xn + Yn + Zn + Wn = 0
uslov ravnoteže u trenutku tn+1: Xn+1 + Yn+1 + Zn+1 + Wn+1 = 0
uslov kompatibilnosti u intervalu vremena ∆t = tn+1 - tn
sss
sbsbs
nc
bsbs
nn
asas
nn
FEYY
FEYY
FEXX ϕ
ϕεϕ ∆−∆
++
−=
−
∞
++ 11
∆ϕn -bnbn
nc
bnbn
nn
asas
nn
FEZZ
FEZZ
FEXX +
+−
=− ++ 11
nsn ϕ
ϕε
∆∞
anan
nn
asas
nn
FEWW
FEXX −
=− ++ 11
gdje su: X = Nas ; Y = Nbs; Z = Nbn; W = Nan
9/30/200932
d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu u obliku parabole drugog reda
dNbs + dNbn + dNas + dNan = dN
anan
an
asas
as
FEdN
FEdN
=
( ) ++
−= ∞
∞
∞s
bsbs
bssss
sbsbs
bs
asas
as dFE
Nd
FEN
FEdN ϕϕϕϕ
ϕ0
2
2s
s
sss
ss
bsbs
bs ddFE
N ϕϕεϕ
ϕϕ
ϕϕ
∞∞∞
∞ −
−⋅+ 2
( ) ++
−= ∞
∞
∞n
bnbN
bnonnn
nbnbn
bn
asas
as dFE
NdFE
NFE
dN ϕϕϕϕϕ 2
2n
n
snn
n
n
n
n
bnbn
bn ddFE
N ϕϕεϕ
ϕϕ
ϕϕ
∞∞∞
∞ −
−⋅+ 2
d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine
Modifikovani izraz za preraspodjelu presječnih sila između dva betona različitih karakteristika:
−
+−=
+−
∞
ϕ
ϕε 1
1
00221 bb
bbFEFE
bbs
bbbt eFENNN
9/30/200933
d4) Pomoću Kelvin-ovog modelaIzraz je izveden u poglavlju II
( ) ( )( )t0t
bnE
eb0bb et
−−τµ⋅µ−⋅σ=τσ
d5) Postupak po Stangenberg-uStangenberg je koristio iste jednačine (uslov ravnoteže i uslov kompatibilnosti), s tim što je u uslovima kompatibilnosti uzeo da je:
Nbs0 + Nbst = dNbst odnosno Nbn0 + Nbnt = dNbnt
Stangenberg je dao vezu između puzanja i skupljanja starog i novog betona u obliku:
ϕ+
ϕ−
ϕ+ϕϕ
⋅ε−tn
tn
tnts
n,ts 1
1
d6) Proveden je isti postupak kao pod d5) samo su presječne sile određene u funkciji od stare armature, što je slučaj kod većine autora koji su se bavili ovim problemom. Stangenberg je odredio presječne sile u funkciji od starog betona.
9/30/200934
Tabela: Presječne sile u MN
Iz pregleda rezultata je vidljivo da se primjenom raznih postupaka dobiju ekstremne vrijednosti u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka. Međutim, sa sigurnošću se može tvrditi, da u vremenu od trenutka ojačanja armiranobetonskog stuba do t = ∞ dolazi do porasta naprezanja u novoj armaturi, staroj armaturi i starom betonu, a da dolazi do pada naprezanja u novom betonu.
9/30/200935
Utvrđivanje kapaciteta nosivosti ojačanog armiranobetonskog stuba
Maksimalna nosivost postojećeg stuba je:
Nsd =Fcd + Fsd = Ac ⋅ α ⋅ fcd+Asd ⋅ σsd =0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,85 ⋅ + 19,6⋅10-4 ⋅ 400 =2,235 MN5,116
Karakteristična nosivost je: 596,14,1235,2
4,1=== sd
kN
N
Ukupno opterećenje u konačnom stanju je: Nt = ∞ = 2,0 + ∆N
Početno opterećenje preuzima postojeći stub, a dodatno opterećenje preuzimaju postojeći i novi dio stuba.
Nstaro = 2,0 + Kstaro ⋅ ∆N
Nnovo = Knovo ⋅ ∆N
Kapacitet nosivosti proračunat je po Stangenberg-ovom postupku (d5) i postupku označenom sa (d6).
Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = 0 ∆N = 0,612 MN
Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = ∞ : d5) ∆N = 0,337 MNd6) ∆N = 0,405 MN
9/30/200936
Programski algoritam
9/30/200937
Preraspodjela naprezanja kod spregnute prednapregnute grede
Primjer urađen u knjizi, navedena u literaturi pod brojem 5, autora Alfreda Mehmela, urađen je i postupkom opisanim u poglavlju III.
75
15
6012
62
1
FZ
S2
Si
S1
Ib1 = 0,0027m4
y1z = 0,34 mEb1 = 40000 MN/m2
BETON 2 : Fb2 = 0,09 m2
Ib2 = 0,000108m4
y2z = 0,60 mEb2 = 30000 MN/m2
ARMATURA : FZ = 0,0012 m2
EZ = 200000 MN/m2
BETON 1 : Fb1 = 0,09 m2
Promatrat ćemo promjenu naprezanja u betonima 1 i 2, od trenutka očvršćavanja betona 2 (t1) do t2 = ∞.
4,89
2,783,70
2,88
3,117,81
12,8310,40
t1 t2
Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton po Mehmel-u:
X(t) = 0,0758 MN
y(t) = 0,00665 MN
9/30/200938
Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton – postupak opisan u poglavlju III
2
1
2
1a a2
1y2
y1 N1
N2
M1
M2
uslovi ravnoteže: 0NN 21 =∆+∆0MM 21 =∆+∆
uslovi kompatibilnosti:
22b2b
t220
2b2b
2
1b1b
1 dIEMM
IEdM
IEdM
ϕ⋅⋅
++
⋅=
⋅
ϕ⋅⋅⋅
++
⋅+
+ϕ⋅ϕε
−ϕ⋅⋅
+⋅
=⋅⋅
+⋅ ∞
dyIEMM
IEdM
ddFE
dNFE
dNyIE
dMFE
dN
a22b2b
t220
2b2b
2
2S
2b2b
2
2b2b
2a1
1b1b
1
1b1b
1
Rješenjem sistema jednačina kako je pokazano u primjeru stuba, dobiju se izrazi za sile preraspodjele:
9/30/200939
2
2bI2bE1
1bI1bE1
2bI2bE1
0 eMM
ϕ⋅
⋅+
⋅
⋅−
⋅=∆
( )αϕ
ϕε −
∞
−⋅
⋅⋅
⋅⋅∆
−⋅⋅+−=∆ eFEIEyMFENNN bbbb
abb
S 12222
22200
10,40 13,40
9,703,53
1,14
12,83
2,88
3,117,81
4,89
2,783,70
Mehmel postupak iz magistarskog rada
9/30/200940
Preraspodjela naprezanja kod armiranobetonske grede
Izrazi dobiveni za prednapregnutu gredu mogu se primijeniti i za armiranobetonsku gredu, što je pokazano na primjeru datom u knjizi [ 14 ] (str.464).
Rješenja primjera iz knjige data su u sljedećoj tablici:
Proračun se radi iterativnim postupkom. Prvo se za početni iznos presječnih sila odredi položaj neutralne osi, potom se za preraspodijeljene presječne sile odredi novi položaj neutralne osi, te za novi položaj neutralne osi preraspodjela presječnih sila.Proračun iterativnim postupkom sa 3 koraka i dobiveno je rješenje :
naprezanje u betonu: 2b mMN36,3=σ
naprezanje u pritisnutoj armaturi: 2Ia mMN130=σ
9/30/200941
Na osnovu prethodnih primjera spregnute prednapregnute grede i armiranobetonske grede, može se zaključiti da je primjenjeni postupak upotrebljiv i za slučaj ojačanja armiranobetonskih greda kao na narednoj slici.
1
2
Nb1
Nb2
Nb1
Na Na
∆x
x 0
Označimo sa X0 položaj neutralne ose prije nanošenja ojačanja grede. Usljedpovećanja statičke visine, doći će do pomjeranja neutralne ose prema gore. To pomjeranje nije proporcionalno povećanju visine, jer se sa povećanjem visine poprečnog presjeka povećava i opterećenje.Novi položaj neutralne ose je X0 - ∆X, i početni je korak provođenja postupka iz prethodnog primjera. Usljed većeg inteziteta skupljanja i puzanja novog betona od inteziteta skupljanja betona grede, sila Nb2 će se smanjivati, a sila Nb1povećavati (preraspodjela presječnih sila sa novog betona na stari beton).