Sraga - prijemni

Tehnički-fakulteti 1997./1998.

10 36- mala kazaljka za 10 sati i 36 minuta prođe minus dio do puno

12 12 60skica:

M-1 Kut koji u 10 sati i 36 minuta zatvaraju mala i velika kazaljka na satu iznosiA . 90 B . 100 C . 102 D . 105

+⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

g kruga

- mala kazaljka sati prođe tj.napravi kut od

36- velika kazaljka napravi kut (tj. prođe put) od 360

60

Kut koji zatvaraju mala i velika kazaljka je

10 36 53360 360 31812 12 60 60

216

α

⋅

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

= =

=

dnak je 318 -21 106 2 =

1210

α

36

www.mim-sraga.com M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

www.mim-sraga.com


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 2

4 2

2 2

2

2

1,2

1

Riješimo bikvadratnu jednadžbu :

uvedemo novu nepoznanicu:

Koji od danih izraza nije faktor od 5 4 ?A : 1 B : 2 C : 3 D : 1 E : 2

5 4 0

5 4 0

5 5 4 1 4 5 92 1 2

5 3

M-2 x xx x x x x

x xx t t x

t t

t

t

− +

− − − + +

− +

=

− +

− − ± − − ⋅ ⋅ ±⋅

+

=

=

=

= =

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

1 2

2

2 2

1,2 3,4

1 2 3 4

4 21 2 3 4

Rastavimo na faktore:

5 34 12 2

4 1

4 1

4 1

2 , 2 1 , 1

5 4

1 2 2 1 1

Nakon rastavljanja očito je da izraz nije od faktora na koje 3

t

t t

x t

x x

x x

x x x x

x x a x x x x x x x x

x x x x

x

−

= =

= ± ±

− −

− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

−

= = =

=

= =

= = = =

= =

=

2 2se 5 4 može rastaviti.x x− +


) ( )( )

) ( )

2 2

2 2

2

Realno od

2 2Realni dio kompleksnog broja iznosi:2 2

4 4A . 2 B . C . D . 1 E . 05 5

2 2 ?2 2

1. 2.

22 2 2 4 4 4 4 1 3 41.2 2 2 4 1 4 1 52

22 2 22.2 2 2

M-3 i ii i

i ii i

ii i i i i i ii i i i

ii i ii i i

− +−

+ −

−

− +−

+ −↓ ↓

−− − − − + − − −⋅

+ + − − − +−

++ + +⋅

− − +

=

= = = = =

= =( )

2

2 2

Uvrstimo to u zadatak:

8Imaginarni dio je ,

5

4 4 4 4 1 3 44 1 5 52

2 2 3 4 3 4 3 3 4 4 8 802

realni je

2 5 5 5 5 5

8Re 0 , Im

0

5

a (E rješenje) .

i i i ii

i i i i i i i ii i

−

+ + + − +− −−

− + − + − − −− − − = −

+ −↓

= = −

= = =

= = =



( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) 2 2 2

2 3Ako je 1 , , R , onda vrijednost izraza 5 iznosi:3 2 3 2

16 16A . 5 B . 6 C . D . E . 63 3

2 3 1 3 2 3 23 2 3 2

2 3 2 3 3 2 3 2 3 2

3 2 6 4 3 2 9 6 3 2

3 2 6 4

M-4 x y x y x yi i

x y i ii i

x i y i i i

x xi i y yi i i

x xi i

+ +− ∈ −

+ −

− − −

+ +− ⋅ + −

+ −

+ − − + + + −

− + − − + + + −

− + − −

=

=

=

=

( )

( )

( )

Riješimo taj sustav

3 2 9 6 9 4 1

3 3 3 2 4 2 6 9 4

3 3 3 2 2 10 13 0

3 3 3 13 2 2 10 0

3 3 16 2 3 3 16312 2 10 3 3 3 166

6 6 32 313 166 6 30 2

12 6 2 1

y yi i

x y x y i

x y x y i i

x y x y

x y x y

x y x

x yx

x y

y

↓↓

− − − − ⋅ −

− − + − − − − +

− − + − − − +

− − − − −

− ⋅ −

⎛ ⎞− − ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎫⎪ + +⎬− − ⎪⎭

− −

=

=

=

= =

= =

= =

==

=

= : ( )

( )

312 3 162

31 13 36 2

16

1 31 5 31 365 5 rješenje pod E 6 6 6 6 6

6

x

y x

x

x y

− +

−

⎛ ⎞− ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= = :

=

= = = =



1 2

1 2

1 2 1

25

Rješenje jednadžbe 4 4 16 5 0 nalazi se u intervalu

A . 1, 2 B . 2,0 C . 2, 4 D . 4,8 E . 3, 2

4 4 16 5 0

4 4 4 16 5 5

1 164 1 54 25

5 164 5 :54 25

4 5 16 45 4 25 5

45

M-5 x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x

x

x

− −

− −

− −→

+ − ⋅

− −

+ − ⋅

⋅ + ⋅ ⋅

⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

=

=

=

=

3

64125

4 45 5

3

Jedino sadrži naše rješenje i 3

Dakle odgovor

nterv

je C . 2, 4

al 2,4

x

x

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

=

=

=

− −


www.mim-sraga.com


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

- posao (A) je donio dobit od 40% to pišemo

s ćemo označiti ukupnu količinu uloženog novca

700 kn B . 11 800 kn C . 11 900 kn D . 12 100 kn E . 12 200 kn

A 30% od 0,3 A+ A 40% 1A +

x

x x ⋅= = =

Marko je 30% svog novca uložio u posao A, a 70% u posao B.Posao A donio mu je dobit

od 40%, a posao B dobit od 60%.Ako je Marko nakon toga imao 18 018 kn, koliko je novaca imao

prije ulaganja?

A . 11

M-7

- posao (B) je donio dobit od 60% to pišemo

Marko nakon toga ima

0,4 A 1,4A

B 70% od 0,7 B + B 60% 1B + 0,6 B 1,6B

18 018 kn.

18 018 1,4A 1,6B 1,4 0,3 1,6 0,7 0,42 1,12 1,54 1,

11 7

54

11 70

0

0

x x

x x x x x

x

x

⋅

+ ⋅ + ⋅ +

=

= = = =

= =

=

= = :

=

( ) ( )posao (A) donosi 40% dobiti posao (B) donosi 60% dobiti

to je količina uloženog novca

Zadatak smo mogli postaviti i riješiti i ovako:

0,3 1,4 0,7 1,6 18 018

0,42 1,12 18 018

1,54 18 018 /:1

0

1

,54

1 7

x x

x x

x

x

⇒

⋅ + ⋅↓↓↓ ↓

+

=

=

=

=

00

www.mim-sraga.com


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

Brojevi moraju biti djeljivi is 5 i s 3. U biti to znači da moraju biti djeljivi s 15.

Pr

Zbroj svih troznamenkastih brojeva djeljivih s 5 i 3 iznosiA . 26 505 B . 32 745 C . 26 655 D . 32 850 E . 32 955

M-8

) ( )( )

1

2

1

vi takav troznamenkasti broj je 105, drugi je 120, a posljednji troznamenkasti broj djeljiv i s 3 i s 5 je 90

Dakle, imamo analitički niz:

.

10515

120990

I. 1

990 105 1 15 / :156

n

n

ad

aa

a a n d

n

⎫⇒⎬

⎭

+ − ⋅

+ − ⋅

==

=

=

=

=

)

( )

( )

1

takvih (traženih brojeva )u nizu ima 60

suma tog niza je

6 7 166 666 6

60

II.

260 105 9902

30 1095

32 850

n h

n

n

n

nnn

n

nS a a

S

S

S

→

+ −+

−

+

⋅ +

⋅

=

=

=

=

=

=

=

=


Dijelovi se odnose

najmanji dio

Dužina duljine 60 cm podijeljena je na tri dijela u omjeru 2 : 3 : 5.Najmanji dio ima duljinuA . 6 cm B . 8 cm C . 12 cm D . 15 cm E . 16 cm

: : 2 : 3 : 5

235

60

M-9

a b c

a kb kc k

→

⇓

=

=

=

=

Najmanji dio je jednak:

60 2 3 560 10 / :10

6 2 2 6 12 cm

a b ck k kk

k a k

+ += + +

⋅

=

=

= = = =


POTPUNO RIJEŠENI ZADACI

PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA

NA

TEHNIČKE FAKULTETE

2000/2001.

Zadatke riješili i grafički obradili * IVANA i MLADEN SRAGA *

2


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

Zadaci su uzeti iz matematičko fizičkog lista . Zadatke riješili: IVANA SRAGA

MLADEN SRAGA Grafička obrada: MLADEN SRAGA Matematički slog: MLADEN SRAGA Tisak za vlastite potrebe M.I.M.-Sraga d.o.o. Svi ovi zadatci su sastavni dio naše zbirke zadataka pod rednim brojem 440. na http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm postoji dvije varijante te zbirke duža sa kompletno riješeni svim zadatcima od 1992.g. pa do 2005. I kraća varijanta sa kompletno riješeni svim zadatcima od 2000.g. pa do 2005. Cijena tih zbirki je kao cijena 2ili 4 sata instrukcija … Štampanu varijantu zbirki možete naručiti mailom ili telefonom 01-4578-431

Potpunu garanciju na kompletnu skriptu daje: centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA -dakle sve što vam se čini nejasno krivo ili sumnjivo - zovite 01-4578-431 ili 01-4579-130 i tražite dodatne upute i objašnjenja ...

Ako vam treba još zadataka javite nam se – [email protected] ili www.mim-sraga.com Sva prava na prodaju ove skriptu potpuno riješenih zadataka zadržava centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA isključivo u okviru svog programa poduke i dopisne poduke.

http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm

mailto:[email protected]

http://www.mim-sraga.com/

3


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

2000./2001.g. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

6 4 3

4 2 5 3

6 4 3

4 2 5 3

4 2

3 3 1 1 Izraz jednak je

2 2 3 3

33 3A. B. C. D. E. 1 1 2 2 2

3 3 1 1

2 2 3 3

3 3 1

1. a a a a

a a a a

a aa a a aa a a a a

a a a a

a a a a

a a

a

+ − + + − +⋅

+ − + + − +

++ ++ + + + +

+ − + + − +⋅ =

+ − + + − +

⎡ ⎤+ ⋅ + −⎣ ⎦=( ) ( )

M-

ALGEBARSKI IZRAZI

a b a b a b a ab b

a b b a

a b a b a b a ab b

a b b a

a b a b

a b a b a b

a b a a b ab b

a b a a b ab b

a b a b a ab b

a b

+ = + ⋅ + = + +

+ = +

− = − ⋅ − = − +

− = −

− − = +

− ⋅ + = −

+ = + + +

− = − + −

− = − ⋅ + +

+

b g b g b gb g b g

b g b g b gb g b gb g b gb g b g

b gb g

b g d i

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3

2

2

3 3

3 3

3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

= + ⋅ − +

+ + = + + + + +

RSTUVW

RSTUVW

+ + =+ =

⋅ == + ⋅ +

+ =

⋅ = ⋅+ + = = + + + =

a b a ab b

a b c a b c ab ac bc

x px qm n p

m n qx m x n

m n b

m n a cax bx c ax mx nx c

b g d ib g

a f a f

. . .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 3 2

4 2

3 2 2

2

2

Kratimo kockaste zagrade

1 1 1

2 2 1 3 3 1

3 1 1 1

3 2 2 1

3 1 1 1 1 1

2 2 1 2 1

3 1 2

2 1 3

2

a a

a a a

a a a

a a a

a a a a

a a a

a a a a

a a a

aa

⎡ ⎤+ ⋅ + −⎣ ⎦⋅ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ + − + ⋅ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⋅ + + −⎣ ⎦= =⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ + −⎣ ⎦

+ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + += =

+ ⋅ + − ⋅ + +

+ ⋅ + ⋅ ⋅ += =

+ ⋅ + ⋅ +

=+

4


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 Za kvadratnu funkciju poznato je da vrijedi 2 3, 0 1 i

2 3. Tada 1 iznosi :1 3 3. B. C. 2 D. 4 4 4

2. f x ax bx c f f

f f

= + + − = =

= −

− −

M-

A

( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

3 E. 2

2 3 3

3 2 2

f x ax bx c

f f x f x ax bx c

a b c

= + +

− = → = = + +

= ⋅ − + ⋅ − +

( ) ( ) 2

2

3 4 2 0 1 1

1 0 0

a b cf f x f x ax bx c

a b c

= − +

= → = = + +

= ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) 2

2

1 0 01

2 3 3

3 2 2

cc

f f x f x ax bx c

a b c

= + +=

= − → − = + +

− = ⋅ + ⋅ +

( )

( ) za

( ) za

3 4 2

ada riješimo sustav4 2 34 2 3

1

4 2 14 2 1

8 2 0

8 2 :8

2814

a b c

a b ca b c

c

a ba b

a

a

a

a

− = + +

− + =+ + = −

=

− ++ +

+ =

= −

= −

= −

S

33

= ⎫+⎬= − ⎭

2x↓= −

0x↓=

2x↓=

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

14 2 1 3 ,4

14 2 3 14

1 2 22 2 1

2 3 : 2

32

1 3 14 2

1 3 1 3Pa je: 1 1 1 1 14 2 4 21 6 4 31

4 4

a b a

b

bb

b

b

f x ax bx c

f x x x

f

f

− + = = −

⎛ ⎞⋅ − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

− − =− = +

− = −

= −

= + +

= − = +

= − ⋅ − ⋅ + = − − +

− − += = −

http://www.mim-sraga.com/poduka.htm

5


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

[ ]

( )

3 2

3 2

2

Za koje realne brojeve je 3 2 realan broj?2 2 2A. 1,0 , B. 1 . 0, D. E. 1,3 3 3

Zbog korjena mora biti: 3 2 0

3 2 0

( , ) ( ,

23

3. x x x x

x x C x x x

x x x

x x x

I II

↓

+ −

⎡ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ − ∪ ∞ ≥ − ∈ ≤ ∈ −⎟⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − ≥

+ − ≥

+ + −

( )

M-

[ ]

2 2

2

1,2 1

1,2 2

1,2

1

)0, 3 2 0 0, 3 2 0

1 1 4 3 2 22 3 3

1 1 24 16

1 256

1 5 4 26 6 3

1 5 6 21 0 1,

20 , 1 ,3

x x x x

x x

x x

x

x

x x x

−

≥ + − ≥ ≤ + − ≤

− ± − ⋅ −= =

⋅− ± +

= = −

− ±=

− += = =

− − − ⎡ ⎤= = = − ≤ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡≥ ∈ −∞ − ∪ ∞⎢⎣

⋅

x x

2 6 6 3

23

231−

1−↓

∩

1− 2

30x x

[ ]1,0x∈ −

↓

∩ 1− 0 2

3 2 ,3

x ⎡∈ ∞⎢⎣

↓

∪

[ ] 21,0 ,3

x ⎡∈ − ∪ ∞⎢⎣

6


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

23 3

3

313 3 22

32

-4. Ako je 3 1, i , onda vrijednost funkcije u točki 3 iznosi:A. 1 B. 2 C. 1 D. 0 E. 2

3 1 , ,

?

Uvedemo

Pa je sada:

3 1

f x x g x x h x x f g h

f x x g x x h x x

f g h

w g h x x x

f g h f w x

f g

−= − = =

− −

= − = =

=

= = = =

= = ⋅ −

( )2 2 3

13 3 2 1za 3 3 3 1 3 3 1 3 1 1 1 03

h− − −⎛ ⎞

= − = ⋅ − = ⋅ − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠⋅

M

www.mim-sraga.com


7


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( )

2

212

21

3 2

32 2

1M-5. Ako je 3 i 3 3, onda je izraz 2 jednak27

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2

1 3 3327

3 313 13 2

3 3322

sustav:

322

1 22

322

2

x y x y

x yx y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

+ − +

− ++

− +

+

−+

= = +

− −

==

==

− + =

=

+ = −

+ = −

− + = ⋅

+ = −

− 2 1

33 12

2 3321 132 316

y

y

y

y

y

⎫⎪+⎬⎪+ = ⎭

= −

−=

= − ⋅

= −

Traženi izraz:

3 12 ,2 6

1 326 21 326 21 92

68264 123 2

23

2 1 2 1 32 23 6 3 3 3

1

x y y

x

x

x

x

x

x

x y

+ = − = −

− = −

= −

−=

= −

= − ⋅

= −

⎛ ⎞+ = − + ⋅ − = − − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

−

8


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

}

Po pravilu za antil

-6. Ako je log 3log 2 i log log 1, onda je izraz jednakA. 10 B. 10 C. 10 10 D. 100 E. 100 10

log 3log 23

log 3log 2

4log 5 : 45log4

a b a b a b

a ba b

a b

a

a

+ = − = ⋅

+ =− = ⋅

+ = +

=

=

M

log log 1

3log 3log 3a b− =

( )

54

14

5 1 6 3 13 3 2 14 4 4 2 2

ogaritmiranje:

Po pravilu za antilogaritmiranje:

log

10

5log log 1 , log4

5 log 145 1 log4

1log4

log

10

Pa je: 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

C

A

CA

B C B A

a

a b a

b

b

b

B C B A

b

a b

= ⇒ =

=

− = =

− =

− =

=

= ⇒ =

=

⋅ = ⋅ = = = = = ⋅ =

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1

12

1

ili

log log 9log 1

loglog 10log loglog log log 2 log log1log loglog log log 3

log log 4

1log log log 5

1log log log 5A2

log 1 6 log 6A

log 1 0 7

1log 8log

n

n

c aa

ca a

c

aa

x

n

xa a

a

ab

ab bb c b a

bbb ba b a b a a

a ba b nb

a x a

a a an

a a a

a a x

ba

⇒= −

= =

= =⋅ = +

== −

= ⋅

= =

= =

= =

=

=

( )

( )( )

( )

( )

log

ako je ako je

tada je tada je

ako je ako je

tada je tada je

Logaritamske nejednadžbe

11

12log log 13

log log 14I II 1 0 1

log log 15I II 1 0 1

a b

c c

c c

b

a bx yx y

a b

c ca b a b

a b

c ca b a b

=

==

>

> < <> <

<

> < << >

9


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( )

12 1 2

12 1 2

12 1 2

2

7. Zbroj rješenja jednadžbe 5 4 7 10 iznosi:5 7 3 A. 1 B. 0 C. D. E. 2 2 2

15 4 7 1010

5 5 4 4 710 10

5 5 4 4 710 10

25 5 4 2 710 10

25 45 210 10

xx x

xx xx

x x

x x

xx

x x

x x

x x

x x

++

++

+ = ⋅

−

+ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅+ =

⋅ ⋅+ =

⋅ ⋅+ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M-

( ) ( )

1

1

2

2

2

1,2

1,2

1 2

7 0

5 25. 2 7 02 5

5 55 2 7 02 2

5uvedemo:2

5 2 7 025 7 0

5 2 7 05 7 2 0

7 7 4 5 2 7 49 402 5 10

7 9 7 310 10

7 3 10 110 10

x x

x x

x

t

t t

t tt

t tt t

t

t

t t

−

−

− =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ + ⋅ − =

⋅ + − = ⋅

⋅ + − ⋅ =

⋅ − ⋅ + =

− − ± − − ⋅ ⋅ ± −= =

⋅

± ±= =

+= = =

( )

0 1

1 2

1 2

7 3 4 210 10 5

52

5 5 212 2 5

5 5 5 52 2 2 2

0 10 1

Zbroj rješenja je: 0 1 1

x

x x

x x

t

x xx x

x x

−

−= = =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −= = −

+ = + − = −


10


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M A

Ovdje se radi o Aritmetičkom nizu, jer je 2 -razlika dvaju susjednih parnih

-8. Zbroj 30 uzastopnih parnih prirodnih brojeva iznosi 1230. Najveći od njih je. 62 B. 64 C. 66 D. 68 E. 70

d =

( )

1

2 2 12 1

3 3 1

30

1

brojeva...Prvi parni broj označimo sa 2 - taj broj je paran bez obzira na jer se množi sa dva ...

22 2

2 2 2 22 4 21230 , 30 , 2

2 12

1230

n

x x

a xa x a a d

d a a x xa x a a dS n d

nS a n d

=

= + → = + ⎫= − = + − =⎬= + → = + ⋅ ⎭

= = =

= ⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= ( )

( )

1

1

30 1

30

30 Rješenje pod: E

30 2 2 30 1 22

11230 15 4 29 215

82 4 5882 58 44 24 :4

6 2 2 612

Traženi najveći broj je: 2912 29.2 12 5870

x

x

xx

xx a x

a

a a daa →

⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⋅ + ⋅ ⋅

= +− === = = ⋅

=

= + ⋅= + = +=

( ) ( )

( )1

12 1 3 21 3

21

11 1

1

Opći član Diferencija Zbroj prvih članova Interpolacija

Opći član Kvocijent Zbroj prv

Aritmetički niz2

2 12 12

2

1

n

n n

n nn

n nn

n

n

a a dn

d

nS a ad a a a aa a b aad a a n rS a n da aa

a a n dδ

−

− +

− +=

= ⋅ += − = −+ −= =

= − += ⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦+

=

= + − ⋅

321

1 22 1 12 1 3 1

121 1

1

ih članova Interpolacija

1Geometrijski niz1

1

n

nn r

nn n

nn n nn

n

aa qq S aa a q ba a a a a q qa aa q aq Sa a a a q

− +

− +−

−= = = ⋅− ′= ⋅ = ⋅ =

⋅ −= == ⋅ −

11


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M- 9. Prilikom rješavanja jednog zadatka iz matematike, 12% učenika nije riješilo

zadatak, 32% učenika je djelomično riješilo zadatak, a ostatak od 14 učenika

e zadatak točno riješ

Postotak učenika koji je riješio zadatak je:

ilo. Koliko je učenika bilo u razredu?. 21 B. 22 C. 23 D. 24 E. 25

12% nije riješilo zadatak32% je rješilo dio14 učenika je riješilo zadatak

100%

−−

−

( )

j A

Rješenje pod:

Sada znamo da je od ukupnog broja učenika u razredu.Pišemo: ukupan broj učenika

ili

12% 32% 100% 44% 56% 14 učenika 56%

56% od 14 učenika, 56% 1456 10014

100 561001456

25

x xx

x

x

x →

− + = − =

== =

⋅ =

⋅ = ⋅

= ⋅

= E

www.mim-sraga.com


12


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

-10. Površina trokuta, kojemu je duljina jedne stranice 4, a kutovi uz tu stranicu 45 i 60 , jednaka je

. 4 3 3 E. 6 6 2 C. 2 5 1 D. 8 3 1 E. 9 2 1

44560

?180

18

a

P

β

γ

α β γ

α

− − − − −

=

=

=

=

= − +

= ( )

A

( )

( )

( )

( )

2

2

po gornjoj formuli

0 45 60

180 10575

sin sin sin sin cos cos sinsin

4 sin 45 sin 60 sin 75 sin 30 45sin 75

sin 30 cos 45 cos30 sin 45

1 2 3 2 2 1 32 2 2 2 2 2

2 3 14

2 3162 2

aP

P

P

α

α

β γ α β α β α βα

− +

= −

=

⋅ ⋅= + = ⋅ + ⋅

⋅ ⋅= → = + =

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ +⋅

= ⋅ +

⋅ ⋅=

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2

Rješenje pod: A

22 3 14

4 2 34 2 3 2 4 2 3 8 312 3 12 3 1 2 3 13 1

2 2

8 3 8 3 8 33 13 1 3 1 3 1

8 3 38 3 8 33 1 2

2 4 3 3

2

4 3 3

P

P

P

P

P →

⋅ ⋅ +

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =+⋅ + ⋅ +⋅ +

⋅ ⋅ −−= ⋅ =

+ − −

⋅ −⋅ −= =

−

⋅ ⋅ −=

= ⋅ −

4

β 60=45= γβ γ

( )( )( )( )

( )

( )

( )

( )

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sintg tgtg

1 tg tgtg tgtg

1 tg tgctg ctg 1ctgctg ctg

ctg

Adicijske formuleα β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α βα βα βα β

α βα βα β

α βα ββ α

α β

+ = ⋅ + ⋅

− = ⋅ − ⋅

+ = ⋅ − ⋅

− = ⋅ + ⋅

++ =

− ⋅−

− =+ ⋅

⋅ −+ =

+

− =ctg ctg 1α β⋅ +ctg ctgβ α−

13


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M-11. Pravokutnik čije stranice imaju duljine 6 i 8, podijeljen je dijagonalom na trokute i . Udaljenost između središta kružnica upisanih u te trokute iznosi:

A.

ABCDABC CDA

13 5 3 9 B. 2 5 C. D. 3 2 E. 3 2

Nacrtajmo sliku:

2

( )1 2

1 2

2 2 2

2

Treba uočiti pravokutan trokut - čija je hipotenuza jednaka ,

1. Izračunamo površinu trokuta 8 62

4 624

2. 8 62

8 6 101002

10 12

3. Površina trokuta jednaka je i:

S ESd S S

ABC

P

PP

a b dd s

d s

d s

P

⋅=

= ⋅=

+ += + =

+ += =

= =

uvrstimo sve poznato:

24 1212 24

2

sρρ

ρρ

= ⋅= ⋅⋅ ==

ρ

ρρ

ρ

ρ

ρ8 2ρ−A B

CD

d

8

6

ρ

8 2ρ−

( )1 2,d S S

E

1S

2S

2SE

1S

))

( ) (( ) (( )( )( )( )( )( )

2 221 2

2 221 2

2 21 2

21 2

21 2

1 2

21 2

21 2

4. , 8

, 2 8 2

, 4 4

, 4 16

, 20

, 20

, 4 5

, 2 5

d S S

d S S

d S S

d S S

d S S

d S S

d S S

d S S

2

2

ρ ρ= + −

= + − ⋅

= +

= +

=

=

= ⋅

=

14


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

2 2

-12. Volumen uspravne četverostrane piramide kojoj je baza kvadrat stranice duljine , a bočnerane nagnute pod kutem od 45 u odnosu na bazu iznosi:

2. B. C. D. 2 2 2

a

a a a

M st

A

( )

33

1

2 E. 6

Nacrtajmo skicu te piramide, pa izdvojimo pravokutni trokut ESV ... Kut što ga zatvara bočna stranica piramide s bazom je ustvari kut koji zatvara visina bočne stranice s bazom...

aa

v

VV

B

CD

S

v1v

2a

aE S

1vv

2a

45

45

Izdvojimo pravokutan trokut

kateta nasuprot kutatgkateta uz kut

tg 45

2

11

221

2 :2

2

ESV

va

v

a

v aa

a v

av

=

=

=

⋅= ⋅

= ⋅

=

2

2

2

3

3

,3

3

.2

3

231

6

B vV B

a vV

aaV

a

V

aV

⋅= =

⋅=

=

=

=

a

45E

A

15


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

-13. Volumen kugle upisane u stožac polumjera baze 3 i visine 4 iznosi:

3 2 5 9. 4 B. C. D. 2 5 E. 2 2 2

Nacrtajmo skicu: Treba uočiti slične trokute i

r vM

BDV SEV

π π π π π

= =

↓

A

( )v ρ−

E S

V

ρA D B

V

E

S

( )v ρ−

ρ

s

s

V

ρ ρ

D B

s

rr r

v

( )( )

( )

( )

3

3

3

3

Kako su trokuti i slični stranice im se odnose:

: :

5: 4 3:5 3 4

45 3 45 12 35 3 128 12

12832

Volumen kugle je:434 33 24 33 2

3 943 4 292

BDV SEV

s v r

V

V

V

V

V

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ ρρ

ρ

ρ

ρ π

π

π

π

π

− =

− =

= ⋅ − ⋅−

⋅ = ⋅ −

= −+ ==

=

=

= ⋅ ⋅

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅

=

2 2

2 2

2

2

3 49 1625

5

2

2

s r vssss

= +

= +

= +

==

16


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M-14. Toranj visok 20 vidi se pod kutem od 30 , iz točke koja leži u ravnini podnožja tornja. Dvostruko viši toranj vidio bi se iz iste točke pod kutem od

. 48 3' B. 46 8' C.

m A 49 6 ' D. 50 4 ' E. 51 2 '

1. Sa označimo udaljenost točke od tornja...20tg 30

tg3020

tg3020

20 60 60 3 60 3133 3 3 3 3

3 3x 20 3

Nacrtamo sada dvostruko viši toranj i sa označim

x Tx

x

x

x

ϕ

= ⋅

=

= = = = ⋅ =

=

Nacrtajmo skicu:

20

20

20

40

30

30 ϕ ϕx

x T

T x T

1

o traženi kut...kateta nasuprot kuta tg

kateta uz kut40tg

40 40 40tg20 1,732 34,64120 3

tg 1,1547 tg

49 06 2449 6

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

=

= = =⋅

=

′ ′′=

′=


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

17

-15. U trapezu su poznate duljine osnovica 6 cm i 4 cm, te duljine krakova3 cm i 4 cm. Duljina kraće dijagonale trapeza iznosi:

. 17 cm B. 21 cm C. 2 5 cm D. 19 cm E.

a cb d

M

A

= == =

( ) ( )22 2

2 2 2

Prema kosinusovom teoremu:

3 2

Nacr o skicu:

1. Translatiramo stranicu u vrh -pa dobijemo trokut iz eg izračunamo i

2 cos

3 4 2 2 4 2 cos9 16 4 16 cos

16cos 11 : 1

d C EBC

b d a c d a c a

tajm

koj α β

αα

α

= + − − ⋅ ⋅ − ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅− − = − ⋅

− = − −( )1

1

6

cos 0,6875 cos46 34 03

2.

sinsin sin

sin sinsin

sinsin

4 sin 46 34 03sin3

4 0,726185sin3

sin 0,968246 sin75 21

b d

b db

db

α

α

βα ββ αα

αβ

β

β

β

β

−

−

=

′ ′′=

= ⋅

⋅= ⋅

⋅=

′ ′′⋅=

⋅=

=

′ ′′=

3. Pravilo kaže: Nasuprot manjem kutu u trokutu nalazi se manja stranica. Mi imamo dva trokuta i koji naszanimaju tj. zanimaju nas njihove str. i kako smo izračunali da je tada je i e

ABD ABCe f

fα β<

< ( )

B

C

Eα β

d b

( )a c−

E B

bd

CDD

A B

C

bd

a

c

α β α βαA

d

c

( )a c−c

ef

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2 2 2

prema gornjem pravilu

Za provjeru možete izračunati:

.

2 cos4 6 2 4 6 cos 46 34 216 36 48 0,68750352 33,000146

19

19

2 cos

e d a d aeee

e

e

f a b a b

α

β

= + − ⋅ ⋅ ⋅′ ′′= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅= −

=

=

= + − ⋅ ⋅ ⋅

31

α

d

a

e

A B

D

18


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

-16. Kut pri vrhu karakterističnog presjeka kosog kružnog stošca iznosi 60 , duljinaje izvodnice iznosi 30, a najkraće 14. Volumen stošca iznosi:

. 676 B. 105 3 C. π π⋅ ⋅

M najdul

A 455 3 D. 315 3 E. 525 2

Nacrtajmo skicu:

π π π⋅ ⋅ ⋅

1s

2s

2 r

v

1ϕ

60

ϕ

( )

( )

( )( )

( ) ( )

2 2 21 2 1 2

2 2 2

2

2

1

22 21 2 2 1

2

1. Primjenimo kosinusov teorem i odredimo :

2 2 cos6012 30 14 2 30 142

2 900 196 420

2 6762 26

13

2. Još jednom kosinusovim teoremom odredimo :

2 2 2 cos

30

r

r s s s s

r

r

rr

r

s r s r s

ϕ

ϕ

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + −

=

==

= + − ⋅ ⋅ ⋅2 2

1

1

1

1

11

1

1

26 14 2 26 14 cos900 676 196 728 cos900 676 196 728 cos28 728 cos728 cos 28 :728

cos 0,0384615 cos

92 12 15

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

−

= + − ⋅ ⋅ ⋅= + − ⋅− − − ⋅= − ⋅⋅ = −

= −

′ ′′=

212

221

2

4. sin 5.1803

sin180314 sin87 47 45180 92 12 15

13 13,9896414 0,9992687 47 45313,98964

788,083 455 3

v B vs Vs

r vv s Vvv Vv

V

ϕϕ ϕ

πϕϕ ϕ

ϕπ

ϕ

π π

⋅= ⋅ =+ =

⋅ ⋅= ⋅= − =′ ′′= ⋅′ ′′= −

⋅ ⋅= ⋅ =′ ′′==

= ⋅ = ⋅ ⋅

3.

19


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

2

2

Uvjet: nazivnik mora biti različit od nule, dakle:

2sin 1-17. Zbroj rješenja jednadžbe 3 u intervalu (0, 2 ) iznosi:sin

5 3 4. B. C. D. E. 2 6 2 3

2sin 1 3 sin

sin 0sin sin

xx

xx

xx k

x

π

π π π ππ

π

+=

+= →

≠≠

M A

( ) ( )

2

2

2

2

1,2

1 2

1 2

Uvedemo:

Vratimo:

2sin 1 3 sinsin

2sin 1 3sin2sin 3sin 1 0

sin

3 3 4 2 1 3 9 8 3 12 2 4 4

3 1 4 3 1 2 114 4 4 4 2

112

t sin1sin 1 sin2

sin sin 2 sin sin 22 6

kx xxx xx x

x t

t

t t

t t

x

x x

x k x k

π

π ππ π

≠

+= ⋅

+ =

− + ==

− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±= = =

⋅+ −

= = = = = =

= =

=

= =

⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Zadano je:

, takve -ove dobijemo jedino za za 1, 2, ... ovi su izvan

5sin sin 26

52 2 22 6 6

0 , 2 0 , 0 ,2 Za 0

52 6 6

Zbroj rješenja je: 2 6

x k x

x k

x k x k x k

x kk

x x x

x x x

π π

π π ππ π π

π π

π π π

π π

= −

⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = + = +

∈ =

=

= = =

+ + = +5 3 5 9 36 6 6 6π π π π π π+ +

+ = = =

20


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

Za koju vrijednost broja 1 površina trokuta što ga omeđuju pravci , i 6 iznosi 3 ?3 4 5 6 7 A. B. C. D. E. 2 3 4 5 6

Nacrtajmo skicu:

Odredimo točke u kojima se sjeku pra

18. k y x y kx y

k k k k k

≥ = = =

= = = = =

( )

M-

( )

( )

( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3

vci:y 6 6 supstitucijom 6 6dobijemo: 6 6 :x 6,6,6

061 0 : 1 ,6

0

00,0

60,0 ,6,6 ,6

60 , 0 6 , 6 , 6

Zadana je površina tro

x i y kx y x i y y kx i yy x x kx

x kx kkx B x

kx kxx k k C

kxy xy

A

A B Ck

x y x y x yk

= = = = = == = =

= == = =− =

⎛ ⎞⋅ − = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠=

==

=

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = = = =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 2 3 1 3 1 2

Površina trokuta zadanog sa tri točke

kuta kojeg zatvaraju ta tri pravca: 3Formula kaže:

1 uvrstimo sve poznato:2

1 63 0 6 6 6 6 0 0 6 22

66 0 6 6 6

366 36

36 366 36 6 36

P

P x y y x y y x y y

k

k

k

k

=

= − + − + −

= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅

= + ⋅ + ⋅ −

= −

= − = − −

2

2

36 3636 6 6 36

36 3630 6 36

3636 30 :30 42

36 42 3630

36 3630 426 65 7

6 6Kako je zadano 1 to otpada, jedino rješenje je k7 5

k

k k

kk k

k kk

k k

k k

k k

k k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = − +

= ⋅ + =

= = ⋅

= =

= =

= =

≥ = =

A

BC

x

y

6y =

y x=y kx=

21


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) ( )2 2M-19. Na kružnicu 1 1 2 povučene su tangente u točkama u kojima kružnice sijeku os . Kut među tangentama iznosi: A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 E. 100

1. Odredimo točke u kojima

x yx

+ + − =

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

2

2

2

kružnica sjeće os Sve točke na osi imaju koordinatu nulta tj. 0

1 1 2 , 0

1 0 1 2

1 1 2

1 2 1

1 1

1 1 1 11 1 1 10 2

00,0 2,0

2. Sada u tim točkama odredim

xx y y

x y y

x

x

x

x

x xx xx x

yA B

−− − =

+ + − = =

+ + − =

+ + =

+ = −

+ =

±

+ = + = −= − = − −= = −

=

= = −

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2

1 1

21 1

1 1 1 12 2

1 1 1 1

o jednadžbe tangenti na kružnicu:

1 1 2

1 1 2

Jednadžba tangente u točki ,

0,0 2,00 0 2 0

0 1 1 0 1 1

x y

p q r

T x y

x p x p y q y q r

A Bx y x y

x p x p y q y q r x p x p y q y q r

x y

+ + − =

↓ ↓ ↓

= − = =

− ⋅ − + − ⋅ − =

= = −

= = = − =

− ⋅ − + − ⋅ − = − ⋅ − + − ⋅ − =

− − ⋅ − − + − ⋅ − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1x + =

( )( )

1 2

2 1

1 2

2 2 1 1 0 1 1 2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2

1 1 2 1 1 1 22 1 1 1 1 20 2 1

1 2

1 1

3. Kut tih tangenti odredimo preko formule:

1 1tg1 1 1

x y

x y x y

x y x yx y x yx y y x

y x y x

y xk k

k kk k

ϕ

− − − ⋅ − − + − ⋅ − =

⋅ + + − ⋅ − = − + ⋅ + + − ⋅ − =

+ − + = − ⋅ + − + =

− = − − − − − + =

− = − = + −

− = − − = − −

= ↓= = −

− − −= =

+ ⋅ + ⋅ −( )2

1 0

tg 90ϕ ϕ

−= = ∞

= ∞ ⇒ =

y

y x=

S

ABr

2y x= − −

x

ϕ


22


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

Odredimo koordi

M-20. Koordinate vrhova trokuta su 1, 2 , 6,3 , 1,8 . Udaljenost težišta trokuta od stranice iznosi:

. 2 2 B. 2 C. 6 2 D. 2 E. 51, 2 , 6 , 3 , 1, 8

1.

x y x y x y

A B CAB

A B C

− −

= − = = −

A

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2

2 11 1

2 1

nate težišta:

Odredimo jednadžbu pravca

3 31 6 1 6 2 3 8 9

3 3 3 32 3

2,3

2. 1, 2 6,3

3 22 1

6 152 15

2 12 1 03 0 1

T T

T T

T T

x x x y y yx y

x y

x y

T

ABA B

x y x y

y yy y x xx x

y x

y x

y xx yx y

x y

+ + + += =

+ − − + += = = =

= =

=

= − =

−− = ⋅ −

−

− −− − = ⋅ −

−

+ = ⋅ −

+ = −− + + + =

− + + = −

−

( )

( )( )

1 1

1 1

2 2

22

2

3.Udaljenost težišta trokuta od str. je:

3 0

1, 1, 3 , 2,3 2 , 3

1 2 1 3 3

1 1

2 3 3 4

1 1 24 4 2 4 2 4 2

22 2 2 22 2

AB

A B C T x y

A x B y Cd

A B

d

d

d

d

− =

↓ ↓ ↓

= =− = − = ⇒ = =

⋅ + ⋅ +=

+⋅ + − ⋅ −

=+ −

− − −= =

+

= = ⋅ = =

=

23


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

2 21 2M-21. Pravac tangira lijevu, a njemu paralelni pravac desnu granu hiperbole 1.

Ako ti pravci sijeku os pod kutom od 60 , onda je njihova međusobna udaljenost jedna

t t x y

x

− =

2 2

2 2

je koeficjent smjera tangente (pravca)

ka3 A. B. 2 C. 2 D. 3 E. 32

2.Pravci s x-osi zatvaraju kut od 60 60 kako znamo da je: tgtg 60

3

1O

11 1

kk

k k

x yx y

α α⇒ = =

=

− =

⎫− =⎪⎬

− = ⎪⎭

1.Nacrtajmo sliku:

α

1t 2t 2 2

2 2

2 2 2 21 1 2 2

2 2

2

2

1 2

dredimo i

1 , 1

3.Uvjet dodira pravca i hiperbole: 4.Tražene tangente imaju jednadžbe:t ... ...a

3 2 3 21 3 13 2 0 3 2 03 1

23 , 1 , 22

a b

a b

y kx l t y kx lk b ly x y xl

x y x yl

lA B C Cl

= =

= + = +− =

= ⋅ + = ⋅ +⋅ − =⋅ − + = ⋅ − + =− =

↓ ↓ ↓ ↓== =− = == ±

( )

2 1

2 2

2 2

2

5.Udaljenost paralelnih pravaca je:

d

2 2 2 2 2 2 2 2 2 223 1 43 1

C C

A B

d d

−=

+

− − −= = = = = ⇒ =

++ −

24


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

M- 2 2

2 2

22. Koordinate točaka jednako udaljenih od središta kružnica 2 2 0 i 2 2 0 zadovoljavaju jednadžbu: A. 1 B. 0 C. 1 D. 0 E. 1

1. Odredimo koor

x y x yx y x y

x y x y x y x y y x

+ − + =

+ + − =− = − = + = + = − =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

dinate središta tih kružnica nadopunjavanjem na potpuni kvadrat:

2 2 0 2 2 02 1 1 2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 2 1 1 2

1 1

x y x y x y x yx x y x x x y y

x y x y

x y x y

p q p

+ − + = + + − =

− + − + + + − = + + − + − + − =

− − + + − = + − + − − =

− + + = + + − =

↓ ↓ ↓ ↓− = − − = − =

( ) ( )

1 1

2.Nacrtajmo sliku:

x y 2 2

1 2

1 2

1 11 1 1 1

1, 1 1,1

3.Tražimo točke koje su jednako udaljeneod središta ovih kružnica...

Polovište dužine je sigurno jednako udaljeno od obadva središta,a

x y

qp q p qS S

S S

− = −= = − = − =

= − = −

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

i sve točke koje se nalaze na pravcukoji je okomit na pravac kroz S

i koji prolazi kroz polovište dužine ...

4.Odredim polovište dužine 1 1 0

2 2 0,01 1 0

2 2

p

p

S S

i S

S S

S Sx xx

Py yy

yk

+ − ⎫= = = ⎪⎪ =⎬+ − + ⎪= = =⎪⎭

=

↓

( )

( )( )

( ) ( )

1 2

1

2 1

1 1

1 1 2 11 1 2

1

1 11

5. 0,0 , 1 6.Jednadžba traženog pravca je

...

0 1 0 0 10

pS S

p

p

p

yx x

kk

k

P k

p y y k x x y x

y x x yy x x y

− −−= = = −

− − − −

= −

= − =−

= =

− = ⋅ − =

− = ⋅ − − + = ⋅ −

= − =

1S

2S

2S

1S

P

... 0p x y− =

y x=

y

x

y

x

25


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) 2 2M-23. Pod kojim se kutom iz točke 5, 4 vidi kružnica 6 8 0?

. 77 22 ' B. 80 C. 60 D. 75 E. 82 38'

1. Odredimo koordinate središta i polum

T x y x y+ + − =

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

6 8 06 9 9 8 16 16 0

3 9 4 16 0

3 4 25

3 4 253 4 5

3, 4

2. Zadana je točka iz koje se gleda kružnica, kordinate te točke moraju zadovoljavatijedn

x y x yx x y y

x y

x y

p q rp q r

S

T

+ + − =

+ + − + − + − =

+ − + − − =

+ + − =

↓ ↓

− = − = − == − = =

= −

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

A

jer kružnice...nadopunjavanjem na potpuni kvadrat...

( )5, 4T =ϕS

r

2t

1t

y

x

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

adžbu tangente: 5,4

4 5 5 44 5

4 5

3. Uvjet dodira pravca i kružnice glasi:

1 , 3 4 5 4 5

3 4 4 5 5 1

3 4 4 5 25 1

8 25 25

64 25 2539 25 :39

T

y kx lk l x yk l

l k

k p q l r k p q r l k

k k k

k k k

k k

k kk

=

= += ⋅ + ← = =− == −

− ⋅ + − = ⋅ + = − = = = −

− ⋅ − + − − = ⋅ +

+ − + = ⋅ +

= +

− =

=

21 2

2 1

1 2

25 5 5 539 39 39 39

4. Imamo koeficjente smjera obadvije tangente pa sada samo izračunamo kut koji zatvaraju te dvije tangente- to je traženi kut...

tg1

5 539 39tg

5139

k k k k

k kk k

ϕ

ϕ

= ⇒ = ± ⇒ = − =

−=

+ ⋅

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞+ −⎜⎝

2

2

1

5 5 10 10 1039039 39 39 39 39

25 39 25 1455 14 3911 39 39 3939 39390tg 4,4607128 tg

14 3977 21 52 77 22

ϕ

ϕ

−

+= = = = =

−−−⋅⎟

⎠

= =

= =′ ′′ ′

26


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©

( ) }{

( )( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

-24. Skup , R : 4 2 16 17 0 je

. elipsa B. hiperbola C. par pravaca D. parabola E. točka

x 4 2 16 17 02 4 16 17 0

2 1 1 4 4 17 0

1 1 4 4 4 4 17

A x y x y x y

y x yx x y y

x x y y

x y y

= ∈ + − − + =

+ − − + =

− + − + =

− + − + ⋅ − + =

− − + ⋅ − + − + =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

0

1 1 4 2 4 17 0

1 1 4 2 16 17 0

1 4 2 17 1 16 0

1 4 2 0

x y

x y

x y

x y

⎡ ⎤− − + ⋅ − − + =⎣ ⎦

− − + ⋅ − − + =

− + ⋅ − + − − =

− + ⋅ − =

M A I to je to… ili tako to izgleda… prijemni ispiti na Teh-fakultete su uvijek na isti kalup… ali najteži dakle traži se sve Ako vam treba još zadataka javite nam se – [email protected] ili ih potražite na www.mim-sraga.com Svi ovi zadatci su sastavni dio naše zbirke zadataka pod rednim brojem 440. na http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm postoji dvije varijante te zbirke duža sa kompletno riješeni svim zadatcima od 1992.g. pa do 2005. I kraća varijanta sa kompletno riješeni svim zadatcima od 2000.g. pa do 2005. Cijena tih zbirki je kao cijena 2ili 4 sata instrukcija … Pod rednim brojem 1201. Metodička zbirka potpuno riješenih zadataka Matematika za prijemne ispite … sa slijedećih fakulteta: -Arhitektura, Kemija, FSB, Farmacija, Tehnologija, -FOI, RNG, PMF, Ekonomija, Promet i Građevina Moj savjet: riješite što je više moguće zadataka i lakše će te položiti prijemni ispit….


http://www.mim-sraga.com/PDF/Mat-1-2006-realni-brojevi--web-1.pdf

mailto:[email protected]


http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm

http://www.mim-sraga.com/zbirka-topic-prijemni.htm

http://www.mim-sraga.com/zbirka-topic-prijemni.htm


( ) ( ) ( )

Uzimamo da je:

2-4. Ako za kompleksni broj vrijedi 5 , onda je jednak1 2 1 2

5 5 6 6 10 10 3 3A. B. C. D. E. 2 23 7 7 2

2 5 ,1 2 1 2

2 5 ,1 2 1 2

25 / 1 2 1 2

1 2 1 2

z zz i zi i

z z i z x yi z x yii i

z z i z x yi z x yii i

x yix yi i i ii i

− =− +

− = = + = −− +

− = = + = −− +

−+− = ⋅ − ⋅ +

− +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 5 1 2 1 2

2 2 2 2 2 5 1 2 1

2 2 1 2 2 2 1 5 1 4 1

2 2 2 4 2 2 2 5 1 42 2 4 2 4 2 25

2 6 3 252

x yi i x yi i i i i

x xi yi yi x xi yi yi i i i

x xi yi y x xi yi y i

x xi yi y x xi yi y ix x y y xi xi yi yi i

x y xi yi i

+ ⋅ + − − ⋅ − = ⋅ − ⋅ +

+ + + − − − + = ⋅ − = −

+ + + ⋅ − − ⋅ − − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

+ + − − + + − ⋅ − = ⋅ +

− − + + + + + =− + + + =

( ) ( ) 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

Ako je:

Tada je

6 3 0 25 Re Im Re Im: Re Re Im Im

Re Re Im Im2 0 6 3 252 6 2 3 25

12 3 2515 25

25155 52 23 3

103

25 510 5 100 25 125 125 53 3 9 9 9 39

y x x y i ii

iy x x yy x y y

y yy

y

y x y

x

z x y

z

− + + = + + = +

= == =

− = + == → ⋅ + =

+ ==

=

= = = ⋅

=

= +

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

53

5 53

z =

M



M-12. Nad promjerom kruga polumjera 6 konstruiran je jednakostranični trokut sa

stranicom duljine 2 6. Površina dijela trokuta izvan kruga je

A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 2 3- E. 3

Nacrtajmo prvo tu sliku:

π π π π π− − − +

SA B

D E

C

rr

0

Spojimo sada točke D i S te S i EDobili smo dva istostranična trokuta

kojima je duljina stranice i jedan kružni isječak s 60

Površinu djela trokuta izvan kruga dobijemo tako da od površine

trok

D

r

Pα

=

=

( )( )( )

uta ABC odbijemo površine trokuta ASD, SBE i

površinu kružnog isječka ESD

ABC ASD SBED

P

P P P P Pα

α= + +−

C

DP

rr r

r

r

r

ED

A Sα α

αα

B

( )

( )

2

2

2 2

stranica 2

2 34

2 6 3

42 6 3

46 3

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC r

rP

P

P

P

=

=

=

=

=

2

2

stranica

346 3

46 3

43 3

2

ASD SBE

ASD SBE

ASD SBE

ASD SBE

ASD r

rP P

P P

P P

P P

=

= =

= =

= =

= =

( )

( )

( )( )

2

0

2 00

0

0

površina kružnog isječka ESD

3606 60 660

360 660

PrP

P

P

απ αα

π π π

π

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅= = =

=

( )( )3 3 3 36 3

2 26 36 3

2

6 3 3 3

3 3

ASD SBE

D

D

D

D ABC

D

P P P P P

P

P

P

P

α

π

π

π

π

= + +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − −

= − −

= −

−


Teh fax 2004-05

M-14. Baza četverostrane uspravne piramide je kvadrat stranice , dok je duljina bočnog

34brida . Polumjer kugle upisane u piramidu je6

A. B. C. 34 D. 6 E4 6 3

a

a

a a aa a

Na al

crtajmo jednu sliku što bliže originalu ... to je dosta teško izvesti da odgovara stvarnosti i to bi trebalo izgledati nekako ovako:

Zadano je:

346

ab

a a

=

=

C

E F

V

v1v

b

b

D

V

E F

r

polur −

1v1v

v

a

mjer kugle

Sada treba napraviti presjek ta dva tijela po ravnini kroz točke EFV i dobijemo jedan

jednakokračni trokut u koji je upisana kružnica...

↑A B

r je polumjer kugle koja je upisana toj piramidi ...

ali i taj r je polumjer kružnice upisane u trokut EFV...dakle izračunajmo koliki je r kružnice upisane u trokut EFV i dobili smo i r kugle !!

Iz pri

−

22 2

2 22

22 2

12 2 2

2 2 22

12 2

22 2 2

12 2

2 22

1

2 2

loženih formula za pravilnu četverostranu piramidu imamo:

22334

6 22

34236 23 417

4 118 29 417 9 8

18 184 /9

23

ab vv a

a av av va av av aa a v

v a aa av a

v

v a

v a

= +=

= + = +

= + = +

− =

= +−

= =

=

=

1 1

5 56 6

83

21

223

21

2

22

1

22

2 232

43

13 1 425 // 3 336

546

4

v v asa vP a a a

sa a

aP s

aP s a

P r sP aa r aa aa rv a

ar

+ +=

⋅= + +

=⋅

= =

= =

= ⋅=

= ⋅ ⋅=

==

=

34

M-

3 3 3

16 Kocka duljine brida 3 cm i uspravna četverostrana piramida imaju zajedničku osnovku i jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

A. 6 cm B. 27 cm C. 8 cm D. 64 3 3

Nacrtajmo skicu:

cm E. 125 cm

1B

a

1v

Tako to izgleda sada izbrišemo suvišne bridove pa će ostati vidljiv dio piramide koji se nalazi izvan kocke.

↓

a3

3

1.3

327

kocke

k

k

aV aVV

=

=

==

1BaB

a

a

v

1B

1v

B

a2

2

piramida

visina cijele piramide

2.

327

3

273

3273

27 3 / : 39

9

P k

P

aV V

B vV

a v

v

vv

vv

== =

⋅=

⋅=

⋅=

= ⋅==−

1vv

1B

a

1

1

1

1 visina djela piramidekoji se nalazi izvan kocke

3.

9 36

v v avvv

= −= −=−

1B

2 21 1

2 21

11

1

1

Preko krnje piramide imamo:

4.

: :

9: 9 :69 81 36/

36 8136981

4

B B v vB

BB

B

B

=

=

= ⋅ ⋅

⋅ =

=

1 11

1

volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke5.4 6

3 38

B vV

V

⋅ ⋅= =

=

Teh fax 2004-05

M-

Pravilni tetraedar je uspravna trostrana piramida kojoj

17 Polovište visine pravilnog tetraedra spojeno je s dva vrha osnovke. Kut između tih spojnica iznosi

3 2A. B. C. D. E. 4 3 2 3 4

Nacrtajmo skicu:

π π π π π

su svi bridovi jednaki.

ve što je zadana

P

a

S

A B

V

a a

33ar =

x

r

sada ucrtamo s

A B

V

S

a a

aa

a

v

x

1. izdvojimo pravokutan trokut ASV

ojimo2. izdv pravokutan trokut ASP 3. i

33ar =

r

P

ϕ

aA BS

A

x

a v

2v

ArS

P

x x

zdvojimo trokut APBV

( )22 2

22 62 3

22 22

2

2 222

2

2 22

2 2 2 22

22

2

33 2

3 663

639 6

63 36

2 33 6 6 6

2

a

vx r

ax

a ax

aax

a ax

a a a a ax

ax

= +

= +

⋅= +

⋅= +

= +

+= + = =

=

2 2 2

2 2 2

2 22

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1

po kosinusovom teoremu:

2 cos2 2 cos

2 2 cos2 2

coscos

0 coscos 0 / :

cos 0 / cos90

2

a x x x xa x x

a aa

a a aa a a

aa a

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕπϕ

−

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ ⋅

= − ⋅

− = − ⋅

= − ⋅

⋅ =

=

=

=

2

2 2 2

2

2 2

2 22 2

22 2

2 22

22

33

39

39

9 39

6 /96

3

v a r

av a

av a

av a

a av

av

av

= −

= −

= −

⋅= −

−=

=

=

www.mim-sraga.com


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

2 2

2 2

2 2

2 2

Nadopunimo na potpuni kvadrat...

-21. Površina jednakostraničnog trokuta upisanog u kružnicu 12 14 69 0iznosi:

A. 12 3 B. 13 2 C. 15 5 D. 6 6 E. 5 15

12 14 69 012 14 69 012 36 36 14 49

x y x y

x y x yx x y yx x y y

+ − + + =

+ − + + =

− + + + =

− + − + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

Ako je trokut upisan u kružnicu onda je kružnica opisana trokutupa preko -kružnice dođemo do stranice trokuta :

49 69 0

6 36 7 49 69 0

6 7 36 49 69

6 7 16

164

3 , 43

3 4 / 333

r a

x y

x y

x y

rr

ar r

a

a

− + =

− − + + − + =

− + + = + −

− + + =

==

= =

= ⋅

( )

2

222

12 / : 3

12 3 12 333 3

4 3

34

4 3 3 4 3 3 4 4 3 34 4 4

12 3

a

a

aP

P

P

=

= ⋅ =

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

=

M

www.mim-sraga.com


M.I.M.-SRAGA 1991./ 2006.©

23. Ako je udaljenost točke elipse 9 4 1 do jednog njenog fokusa jednaka 0,75onda je udaljenost te točke do drugog fokusa A. 0,75 B. 0,50 C. 0,40 D. 0,25 E.0,20

9 4 1 Jed. elipse prevedemo u oblik:

T x y

x y

+ =

+ =

M- 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2

2

2

2

2

Radijus vektori

Udaljenost je:

1

11 19 4

1 19 4

1 1 Dobili smo da je radi se o:3 2

iz priloženih formula imamo:

210,75 22

0,75 1

1 0,750,25

0,25

x ya b

x y

a b

a b b a

r r b

r

r

rr

+ =

+ =

↓

= =

= = >

+ =

+ = ⋅

+ =

= −=

( )( )

1 2

1

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

i

velika poluosmala poluos

Fokusi nalaze se na y-osi

Jednadžba elipse:

ili

Linearni ekscentricitet

Radijus vekt

ELIPSIkojoj su fokusi na y-osi

0,

0,

x 1

b a

ba

F FF e

F e

ya b

b x a y a b

e b a

>

− =− =

= −

=

+ =

+ =

= −

1 2

ori

2r r b+ =

2F

1F

1r

2r

x

y

T

1 0,75r =

( ) ( ) ( ) (Tjemena

,0 , , 0 , 0, , 0, )A a B a C b D b= − = = = −


M-12. U šiljasti kut upisana je kružnica. Dirališta dijele kružnicu na lukove kojima se duljineodnose kao 3:5. Koliko stupnjeva ima taj kut?

A. 15 B. 25 C. 30 D. 45 E. 60

?ϕ =

0180rl π α⋅

= ⋅ 2l

1l ϕ α ( )0360 α−

( )

( )

( )

( )

( )

1 2

00 0

0

0

0

0

0 0

00

0

0

0

0

0

: 3 : 5

: 360 3 : 5180 180

31805360

180

180 35360 180

3 5 3605360

5 3 360

5 1080 3

5 3 1080

8 1080 /:8

135

l l

r r

r

r

rr

π πα α

π α

π α

π απ α

α αα

α α

α α

α α

α

α

=

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ ⋅

=⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ −−

⋅ = ⋅ −

= −

+ =

=

=

izdvojimo četverokut:

090

α α

0 0

0 0 0

0

0 0

0

90 90 360360 90 90180180 13545

ϕ α 0

ϕ α

ϕ α

ϕ

ϕ

+ + + =

= − − −

= −

= −

=

Pogledaj M-13-iz 2003/04 isti zadatak malo drugaćije rješen...



M-14. Dijagonale romba imaju duljine 30 cm i 40 cm. Dirališna točka rombu upisane kružnicedijeli stranicu romba na dva odsječka. Duljina većeg od njih iznosi

A. 15 B. 16 C. 17.25 D. 17.75 E. 16.75

Nacrtajmo skicu:

A

B

C

D

S

r

a

a a

a

2 2

Izdvojimo trokut i primjenimo Euklidov teorem

2 2

CSD

a q p

e fq a p a

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠a

⋅

p

q

r

D

CS

a q p= + 2 2

2

2 22

2 2 2

2

2 240 302 2

20 15

625

25

e fa

a

a

a

a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +

=

=

2 2

2 2

2 2

2 230 4025 252 2

15 25 20 25

225 25 / : 25 400 25 / : 25

225 40025 25

9 9

e fq a p a

q p

q p

q p

q p

q p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅

= =

= =

= =

to je duljina većeg odsječka⇓



2 2-22. Polumjer kružnice kojoj su asimptote hiperbole 4 9 = 12 tangente, a središtejoj je u žarištu te hiperbole, iznosi

3 2 3A. B. C. D. 3 E. 22 3 2

x y−M

23

y x=

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2

4 9 12 / :12

4 9 112 12

3 13 4

1433

433233

433

13 /3

133

13 , 03

x y

x y

x y

x y

a b

a b

e a b

− =

− =

− =

− =

⇓ ⇓

= =

= =

= +

= +

=

= ±

⎛ ⎞= ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1F 2F

213 , 03

F⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠1

13 , 03

F⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

23

y x= ±

2

jednadžba asimptota glasi:

y

2 22 1 2 23 3

33 3 3 3 31

23

b xa

y x x x x

y x

= ±

⋅= ± = ± = ± = ± = ±

⋅

= ±

x

e

e

e

F

2

Imamo dva fokusa i dvije asimptote svejedno je koju uzmemo za dalji račun

Ja ću uzeti2 3

F i y x=



2

2

FS F=

23

y x=

213 , 03

F⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( ) ( )

2

2 2 2

2

2

2 1k , 0 , ,3 3

2 13Ako je pravac tangenta kružnice sa središtem u , 03 3

Tada mora biti zadovoljen uvjet dodira tangente i kružnice:

1

2 13 20 0 13 3 3

l S p q p

y x F

kp q l r k

r

3 0q= = = ⇒ =

↑ ⇑⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − = +

⎛ ⎞ ⎛− ⋅ + − = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠

2

2

2

2 22

2

2

2

2 13 413 3 9

2 13 9 43 3 9

4 13 13 9/9 3 9 13

4 13 99 3 13

43

43

23

r

r

r

r

r

r

r

⎛ ⎞⎞⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

=

=

=

=


Teh fax 2005.

( ) ( )

( )

2 2

2 2

To su ustvari dvije jednadžbe:

M-6 Modul kompleksnog broja 0 koji zadovoljava uvjete 1 1 iznosi

1 1A. 1 B. C. D. 2 E. 32 3

1 1

1 1 11 1 1

1 1 1 1 Re Im

1

z z z i

z x yiz z i

z i z ix yi x yi i

x yi x y i z

x y

≠ + = + =

= ++ = + =

+ = + =

+ + = + + =

+ + = + + = = +

+ + = ( )( ) ( )

( )

22 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

sada rješimo sustav ove dvije jednadžbe:

1 / 1 1 /

1 1 1 1

2 1 1 0 2 1 1 02 0 2 0

2 0 / 1

2 0

2 02 0

2 2 02 2

2 0

x y

x y x y

x x y x y yx x y x y y

x x y

x y y

x x yx y y

y xy xy x x x y

x

+ + =

+ + = + + =

+ + + − = + + + − =

+ + = + + =

+ + = ⋅ −

+ + =

− − − = ++ + = − ==

= → + + =

+

( )

( ) ( )

2

2

2 2

2 2

varijanta sa: otpada

zbog zadanog: su rješ.

Traži se modul kompleksnog broja z,

2 02 2 02 1 02 0 1 0

0 1

0 10, 0

0 1 , 1

1 1

www.mim-

z ?

1 1

sraga.

1 1

2

x xx xx xx xx x

y xy y

x yz x y

z x yiz i

z x y

z

z

+ =

+ =⋅ + =

= + == = −

== = −

= =≠ = − = −

= += − −

=

= +

= − + − = +

=

com

Documents

Sraga - prijemni