1 redingerova jednaina
Uovomdeluemouoptenorazmatratiredingerovujednainu.Ovajednainatrebadabude
linearnaihomogenadabibiozadovoljenprincipsuperpozicije.Dakle,akosu
1 i 2 reenjatalasne jednaine datog sistema bili koja linearna
kombinacija 2 2 1 1 C C +(1C i 2Csu konstante) mora takoe
bitireenjeistejednaine.Rezultatidobijenikorienjemredingerovejednainetrebadaseslausa
rezultatimaklasinemehanikenamakroskopskomnivou,tj.morapostojatisaglasnostsaprincipom
korespodencije.Dabibilazadovoljenahipotezadajeevolucijasistemapotpunoodreenajedinoakoje
talasnafunkcijapoznataupojedinomtrenutku,jednainamoradabudeprvogredapovremenskim
izvodima t .Akojejednainadrugogredapovremenskomizvodu 22t
tadabibiloneophodno poznavati i i t za dobijanje jedinstvanog
reenja a to je u kontradikciji sa hipotezom da se zahteva
samopoznavanjetalasnefunkcije.Talasnajednainatrebadabudeprvogredapo
t izboggustine verovatnoe, to e kasnije biti blie objanjeno.
Vremenski zavisna redingerova jednaina.
Razmatranjepoinjemosajednodimenzionalnimnerelativistikimkretanjemslobodneestice
masemkoja imadobrodefinisan impulsx px
( x
je jedininivektorxose)aenergija estice jeE. Ve smo nauili da
ovakva kretanja du x-ose u pozitivnom smeru opisuje monohromatski
ravni talas / ) ( ) () , (Et x p i t kx ixAe Ae t x = = (67) gdeje
/xp k= , / E =
,aAjekonstanta.Ugaonafrekvencijajesatalasnimbrojempovezana
relacijom mk22= to je ekvivalentno klasinoj relaciji mpEx22= .(68)
Ako (67) diferenciramo po vremenu dobijamo 2 = iEt.(69) Ako pak
(67) diferenciramo po x dobijamo = 2222xpx. (70) Korienjem (68)
vidimo da ravan talas (67) zadovoljavan parcijalnu diferencijalnu
jednainu ) , (2) , (22 2t xx mt xti = .(71)
Posmatrajuiuopteno,potojejednaina(71)linearnaihomogenaonaebitizadovoljenailinearnom
superpozicijom ravnih talasa, na primer ako posmatramo talasni
paket + = x xt p E x p idp p e t xx x) ( ) 2 ( ) , (/ ] ) ( [ 2 / 1
(72) koji opisuje lokalizovanost slobodne estice koja se kree u
jednoj dimenziji, pa je ). , (2) (2) 2 () ( ) ( ) 2 ( ) , (22 2/ ]
) ( [22 / 1/ ] ) ( [ 2 / 1t xx mdp p empdp p e p E t xtix xt p E x
p i xx xt p E x p ixx xx x = == = + + (73)
Jednaina(71)poznatajekaovremenskizavisnaredingerovajednainazaslobodnokretanjeslobodne
estuce u jednoj dimenziji. Ova jednaina zadovoljava sve potrebne
uslove koje smo diskutovali napred. Ve smo ranije uveli operatore
energije i impulsa ti Eop= ,xi pop x = ) ( 3 pa njihovom primenom
jednainu (71) moemo da napiemo u obliku [ ] ) , ( ) (21) , (2t x
pmt x Eop x op = (74)
aovajednainajekvantnomehanikiprevodklasinerelacije mpEx22=
.Ovaanalogijasaklasinom
mehanikomjeusaglasnostisaprincipomkorespodencije.Ovajednainajeprvogredapovremenskom
izvodu t paakojetalasnafunkcija) , ( t x dataunekomtrenutku 0t
onajeovomjednainom odreena u svakom drugom trenutku.U
trodimenzionalnom sluaju imamo
/ ) ( ) () , (t r p i t r k iAe Ae t r = = (75) pa je prema
pk= , E= i mk22= klasina jednaina energije mpE22
= .(76) Odgovarajua redingerova jednaina je ) , (2) , (22t rmt
rti = (77) gdeje 2222222z y x ++
Laplasovoperator.Ovajednainajedirektnageneralizacija jednaine za
slobodno kretanje slobodne estice u jednoj dimenziji. Ako se opet
vratimo na operatore tada je iz 4 ti Eop= , =
i pop(78) ) , ( ) (21) , (2t r pmt r Eop op
= .(79) Klasino mp22
je kinetika energija klasine estice pa prema tome kinetika
energija moe da predstavlja operator na sledei nain 2222) (21 =
=mpmTop .(80)
Sadaemoredingerovujednainuzaslobodnuesticudauoptimonakretanjeesticeupoljusile.
Pretpostaviemo da je sila koja deluje na esticu izvod potencijala )
, ( ) , ( t r V t r F
=(81) a to je uslov da je ukupna energija klasine estice data
kao suma ukupne kinetike i potencijalne energije ) , (22t r
VmpE
+ = ,(82) Za slobodnu esticu pod dejstvom polja sile mogue je
pisati ) , ( ) , ( ) (21) , (2t r t r V pmt r Eop op
+ = .(83) Prema tome, redingerova jednaina za kretanje estice
mase m u polju) , ( t r V
je ) , ( ) , (2) , (22t r t r Vmt rti
+ = . (84) 5 Ovajednainaigraglavnu
uloguukvantnojmehanici.Nainnakojismodoli donjenijeizvoenje i
jedininaindajeproverimotojeprimenanaodreivanjeproblemaiproverarezultata.Zasve
nerelativistikesluajevegdejemoguanjenaprimenarezultatipokazujuopravdanostteprimene.
Operatorusrednjimzagradamajednaine(84)jedanjeodnajvanijihoperatoraukvantnojmehanicii
poznat je pod imenom Hamiltonov operator i oznaava se sa H ) , ( )
(21) , (2 2 22t r V pmt r VmV T Hop + = + = + = .(85) Prema tome,
redingerovu jednainu moemo kratko da napiemo kao ) , () , ( t r H t
rti = .(86) Prema tome, moe se rei da je reavanje redingerove
jednaine ustvari reavanje svojstvenog problema Hamiltonovog
operatora.I u trodimenzionalnom sluaju, mora da ako su) , (1t r
i) , (2t r
reenja, to je onda i linearna kombinacija reenje iste jednaine )
, ( ) , ( ) , (2 2 1 1t r C t r C t r
+ = . (87) Kadajepotencijal) , ( t r V
neprekidnafunkcijasvihkoordinatatadasui) , ( t r
, t i takoe neprekidnefunkcijekoordinata.Kada) , ( t r V
imakonaandiskontinuitetponekojkoordinati,tadaima takvo
skokovitoponaanje i 2 po istoj koordinati. Odranje verovatnoe.
Talasna funkcija pridruena estici u kvantnoj mehanici ima
statistiku interpretaciju, kako je ve poznato. Ve smo ranije uveli
i definisali relaciju r d t r r d t r P2) , ( ) , ( = , = V Vr d t
r P r d t r ) , ( ) , (2(88) 6 gde je ) , ( ) , ( ) , (*2t r t r t
r
= (89) gustina verovatnoe poloaja. Interpretacijaveliine 2) , (
t r
kaogustineverovatnoepoloajazahtevadaverovatnoa
nalaenjaesticebilogdemoraostatijedinicaionaseveomakoristi,paseprematomeverovatnoa
odrava.Drugimreima,kadje) , ( t r
normiranaudatomvremenskomtrenutkuonaeostati
normiranausvakomnarednomIprolomtrenutku.Diferencirajuipovremenuposlednjujednainu
dobijamo =Vr d t r Pt0 ) , ( .(90) Da bi proverili ovu relaciju i
videli da je ona zadololjena u redingerovojteoriji, razmotriemo
odranje verovatnoe estice u vremenu t u konanoj zapremini V. Naime,
r d t r r d t r PV V =2) , ( ) , ((91) diferencirajui po vremenu
daje r dt tr d t r PtV V
|||
\| + ||
\| =**) , ( . (92) Koristei jednainu ) , ( ) , (2) , (22t r t r
Vmt rti
+ = (93) 7 i njoj kompleksno konjugovani jednainu ) , ( ) , (2)
, (* 22*t r t r Vmt rti
+ = (94) sa pretpostavkom da je) , ( t r V
realna funkcija poloaja i vremena, dobijamo ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [
] = + == + =V VV Vr d j r dmir dmir d t r Pt
* ** 2 2 *22) , ((95) pri emu smo u poslednjem izrazu uveli
vektor ( ) ( ) [ ] + =* *2) , (mit r j
.(96) Izraz (95) moemo prema Gausovoj teoremi da napiemo u
obliku S d j r d t r PtS V =) , ( . (97)
Uslov(90)izraavaodranjeuvremenunormiranetalasnefunkcijeiovajuslovmoedaseizrazii
Hamiltonovim operatorom H. Ako iskoristimo jednainu (86) ) , () , (
t r H t rti = (98) i njoj konjugovanu jednainu * *)] , ([ ) , ( t r
H t rti = (99) 8 levu stranu relacije =Vr d t r Pt0 ) , ( moemo
napisati na sledei nain [ ] . ) ( ) ( ) () , ( ) , (* * 1**2 ==
|||
\| + ||
\| = =r d H H ir dt tr d t rtr d t r PtV
(100) Jasno je da sada uslov =Vr d t r Pt0 ) , ( moemo napisati
na sledei nain = r d H r d H * *) ( ) ( . (101)
OvajuslovvaizakvadratnointegrabilnufunkcijuaonjeiogranienjeoperatoraH.Operatorikoji
zadovoljavajuovajuslovzovuseHermitskioperatori.Oovimoperatorimasmovegovoriliu
matematikoj fizici. Pri izvoenju ovog uslova smo pretpostavili da
je) , ( t r V
realna funkcija koordinata i vremena.Vratimo se ponovo jednaini
S d j r d t r PtS V =) , ( .(102) Poto je promena verovatnoe
nalaenja estice jednaka fluksu verovatnoe kroz povrinu S koja
obuhvata zapreminu V vektorj
moe da se tretira kao gustina struje verovatnoe. Jednaina 0 ) ,
( ) , ( = +t r j t r Pt
(103) koja sledi iz 9 r d j r d t r PtV V
=) , ((104)
ekvivalentnajejednainikontinuitetakojaizraavazakonodranjanaelektrisanjauelektrodinamiciili
materije u hidrodinamici. Gustina struje verovatnoe moe da se
izrazi i na sledei nain (to sledi iz (96)) )` =imt r j
*Re ) , ( . (105) Potooperatorimpredstavlja mp
,asamimtimbrzinuestice,vidimodaj
odgovaraproizvodu brzine i gustine verovatnoe, te je moguej
interpretirati kao gustinu struje verovatnoe. Lako se vidi da
kadje) , ( t r
realnafunkcijatadaje0 = j
.Potosu) , ( t r
i) , ( t r
neprekidnefunkcije koordinata, to je i) , ( t r j
neprekidna funkcija koordinata. Oekivane vrednosti operatora
Nekaje) , ( t r
talasnafunkcijaesticenormirananajedinicu.Potoje r d t r t r r d
t r P
) , ( ) , ( ) , (* =verovatnoa nalaenja estice u elementu
zapreminer d
oko taker
u vremenu t, oekivana vrednost (ili srednja vrednost) je data sa
= = r d t r r t r r d t r P r r ) , ( ) , ( ) , (*. (106)
Poojerezultatintegracijeizrazar d t r P ) , (
gustinaverovatnoepoloaja,tumaenjeveliine r
jesledee:tojesrednjavrednostrezultatavelikogbrojamerenjanaekvivalentnimidentino
prepariranim nezavisnim sistemima predstavljenim talasnom
funkcijom) , ( t r
. Jednaina (106) moe da se izrazi po komponentama na sledei nain
. ) , ( ) , () , ( ) , () , ( ) , (*** = = =r d t r z t r zr d t r
y t r yr d t r x t r x
(107) 10 Oekivane vrednosti su samo funkcije vremena, to se vidi
iz izraza (106) i
(107).Posmatrajuiuoptenooekivanevrednostiproizvoljnefunkcije) , , ,
( ) , ( t z y x f t r f =
,kojaje funkcija koordinata i vremena, je = = r d t r t r f t r
r d t r P t r f t r f ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (*(108) i
ona postoji ako postoji integral na desnoj strani. ) , ( t r f
razmotrimo kao operator koji deluje na talasnu funkciju) , ( t
r
i da je ermitski poto je ) , ( t r f
realna funkcija. Kao primer moemo da napiemo oekivanu vrednost
potencijalne energije = r d t r t r V t r t r V
) , ( ) , ( ) , ( ) , (*. (109)
Dabiizraunalioekivanuvrednostimpulsap
posmatrajmotalasnufunkciju) , ( t p
,atojetalasna
funkcijauimpulsnomprostorunormirananajedinicu,iuovomsluajuje p d t
p t p p d t p
) , ( ) , ( ) , (* = verovatnoa u vremenu t nalaenja estice sa
impulsomp
u elementu z y xdp dp dp p d =
okotake) , , (z y xp p p p =
uimpulsnomprostoru.Oekivanavrednostimpulasap
je, dakle = = p d t p p t p p d t p p p ) , ( ) , ( ) , (*.(110)
Tako moe da se napiu i tri ekvivalentne jednaine po koordinatama .
) , ( ) , () , ( ) , () , ( ) , (*** = = =p d t p p t p pp d t p p
t p pp d t p p t p pz zy yx x
(111)
Iuimpulsnomprostoru,uopteno,moedasenapieoekivanavrednostproizvoljnefunkcije
) , , , ( ) , ( t p p p g t p gz y x=
11 = = p d t p t p g t p p d t p t p g t p g ) , ( ) , ( ) , ( )
, ( ) , ( ) , (*. (112) Kao primer oekivana vrednost kinetike
energijeje = = p d t pmpt pmpT
) , (2) , (22*2.(113) Ovde smo nali oekivanu vrednost impulsa
preko talasnih funkcija u impulsnom prostotu. Poto najee
radimosakoordinatnomreprezentacijombilibiinteresantnonaioekivanevrednostiimpulsapreko
talasnihfunkcijakoordinatnereprezentacije.Dabiuradilitakonetotrebatalasnufunkciju)
, ( t p
da izrazimo preko talasne funkcije) , ( t r
. Tu vezu dajemo Furierovom transformacijom = r d t r e t pr p
i
) , ( ) 2 ( ) , (/ 2 / 3 (114) odnosno ' ) , ' ( ) 2 ( ) , (* /
' 2 / 3 * = r d t r e t pr p i
. (115) Korienjem poslednjih izraza dobijamo = ) , ( ) , ' ( ' )
2 (/ * / ' 3t r e p t r e r d r d p d pr p ixr p ix
.(116) Ve ranije smo imali da je // ) (/ r p iz p y p x p ixr p
ixexi e p e pz y x + + = =(117) tako da (116) moemo da napiemo u
obliku 12 ||
\| = ) , ( ) , ' ( ' ) 2 (/ * / ' 3t r exi t r e r d r d p d pr
p i r p ix
. (118)
Sadaparcijalnointegralimopox.Deopodintegralnefunkcijekojijeproporcionalanvrednostitalasne
funkcije) , ( t r
u = x iezavapotoje) , ( t r
normalizobilnafunkcijaionajejednakanulina granicama intervala =
x . Prema tome imamo ||
\| = ) , ( ) , ' ( ' ) 2 (/ ) ' ( * 3t rxi e t r r d r d p d pr
r p ix
.(119) Na osnovu = p d e r rr r p i
/ ) ' ( 3) 2 ( ) ' ( (120) (osobina Dirakove -funkcije) imamo
||
\| = ) , ( ) ' ( ) , ' ( '*t rxi r r t r r d r d px
,(121) a takoe na osnovu osobine -funkcije) ( ' ) ' ( ) ' ( r f
r d r r r f
= moemo odmah da napiemo rezultat integracije po' r
, pa dobijamo ||
\| = r d t rxi t r px
) , ( ) , (*. (122) Na isti nain moemo da napiemo ypi zp , pa
umesto tri jednaina moemo da napiemo jednu koja im je ekvivalentna
( ) = r d t r i t r p ) , ( ) , (*.(123) 13 Poslednji rezultat
(123) moe da se uopti na komplikovanije funkcije. Na primer, ako je
n pozitivan ceo broj, moemo da (123) napiemo ||
\| = r d t rxi t r pnnx
) , ( ) , (* (124) smatrajui da integral na desnoj strani
konvergira. Vrlouopteno,akoje) , , , ( ) , ( t p p p g t p gz y
x=
polinom,iliapsolutnokonvergentanredpo z y xp p p , , , tada je
|||
\| = r d t r tziyixi g t r t p p p gz y x
) , ( , , , ) , ( ) , , , (* (125) ili ako iskoristimo
kompaktniju notaciju ( ) = r d t r t i g t r p g ) , ( , ) , ( )
(*.(126) Napominjemo da je( ) t i g , Hermitski operator ako je
funkcija g realna.
Naosnovudosadanjihrazmatranjamoemodazakljuimodaoekivanuvrednost
opeartoraAukonfiguracionomprostorusakoordinatnomtalasnomfunkcijom)
, ( t r
moemo izraziti na sledei nain = r d t r A t r A
) , ( ) , (*.(127)
U kvantnoj mehanici emo najee raditi sa linearnim operatorima )
( ) ( ) (2 2 1 1 2 2 1 1 + = + A C A C C C A gde su 1Ci
2Cproizvoljni kompleksni brojevi. Sve druge operatore emo
specijalno oznaavati.
Dosadasmorazmatralifunkcijefigkojezavisesamoodr
ilisamoodp
.Neke dinamikevarijablemogubitiistovremenofunkcijeodr
,p
it;daklemoguistovremeno 14 zavisiti i odr
ip
. Takva je, na primer, ukupna energija sistema) , (22t r
VmpE
+ =i Hamiltonov operator) , (222t r VmH + = . Prema principu
korespodencije moemo da napiemo ) , (22t r VmpE
+ = . (128)
Ako klasine veliine zamenimo operatorima, tada moemo da napiemo
) , (222t r Vm ti + =.(129)
Prema relaciji (127) imamo .) , ( ) , (2) , ( ) , ( ) , () , ( )
, (22* **Hr d t r t r Vmt r r d t r H t rr d t rti t r E==
+ = == ||
\| =
(130) Uoptavajui prethodni rezultat mi smo postulirali da ako je
dinamiko stanje sistema opisano u
konfiguracionomprostorutalasnomfunkcijom) , ( t r
normiranomnajedinicu,oekivane vrednosti dinamike varijable
moraju biti raunate, kao to sledi: 1.DinamikojvarijabliA ( , , ) A
r p t kojapredstavljafizikuveliinu,pridruujemo linearni operator )
, , ( t i r A
(131) 2. Oekivana vrednost operatora je sada = r d t r t i r A t
r A ) , ( ) , , ( ) , (*. (132) Ukoliko talasna funkcija) , ( t
r
nije normirana na jedinicu, tada prethodni izraz treba zameniti
izrazom =r d t r t rr d t r t i r A t rA
) , ( ) , () , ( ) , , ( ) , (**.(133)
MerenjemfizikeveliinekojojjepridruenoperatorAdobijamonaravnorealne
rezultate. Prema tome, i oekivana vrednost mora da bude realna. Kao
posledica ovoga, sledi da za bilo koju funkciju uslov = r d A r d A
* *) ( (134) je zadovoljen, a ovaj uslov znai da dinamike varijable
opisujemo Hermitskim operatorima. 15 Fizika veliinaoperator
koordinata poloajax vektor poloajar
x komponenta impulsa xpxiimpulsp
ikinetika energija mpT22=222 m potencijalna energija) , ( t r
V
) , ( t r V
ukupna energija ) , (222t r VmH + = Prelaz od kvantne na klasinu
mehaniku. Ehrenfestova teorema. Prema principu korespodencije
oekujemo da kretanje talasnog paketa bude u saglasnosti sa
kretanjem odgovarajueestice i da su rastojanja i impulsi tako
velikida neodreenost moe
dasezanemari.DabitoprouiliprvoemodokazatiteoremukojujedaoP.Ehrenfest1927.
godine. Njutnova osnovna jednaina dinamike moe da se napie u obliku
mpdtr d = Vdtdp =(144)
aoekivane(srednje)vrednostiodgovarajuihoperatoraukvantnojmehanicitakoe
zadovoljavajuovejednaine.Ovdetrebareidadobrodefinisanatrajektorijanepostojiu
kvantnojmehanici,panemasmislaodreivati dtr d
i dtdp.Naravno,moguejeprouavati promenuoekivanihvrednostir
ip
savremenom.Posmatrajmonajprekakosemenjasa vremenomx + == =. ) ,
() , ( ) , () , () , ( ) , (***r d t r xtt rr dtt rx t rr d t r x t
rdtdxdtd
(145)
Poslednjajednainamoedasetransformiekadseiskoristiredingerovajednainainjena
kompleksno konjugovana jednaina, i dobija se [ ].2 2) () ( ) (* *
2222* 1* * 1
|||
\| + |||
\| + == = r d x Vmr d Vmx ir d x H r d xH i xdtd (146) lanovi
jednaine (146) koji sadre potencijal otpadaju zbog suprotnog znaka
tako da se dobija 16 ( ) ( ) [ ] .2* 2 2 *r d x xmixdtd = (147)
Razmotrimonajpredrugilanpodintegralomu(147).Dabigatransformisalikoristimoprvi
Gausov identitet = + S VS d v u r d u v v u
) ( )] )( ( ) ( [2 gde su u i v skalari, pa ako stavimo = x ui *
= vdobijamo = r d S d x r d xS
) ( ) ( ) ( ) (* * * 2.(148) Prvi integral na desnoj strani
jednaine je nula jer je S ograniena povr a talasna funkcija je na
beskonanosti nula, tako da imamo = Vr d r d x ) ( ) ( ) (* *
2.(149) Ako ponovo iskoristimo prvi Gausov identitet na isti nain
dobijamo, * = ui = x v + = V S Vr d x S d x r d
) ( ) ( ) ( ) (2 * * *.(150) Povrinski integral je opet nula, pa
je tako = r d x r d x ) ( ) (2 * * 2. (151) Ako ovaj rezultat
zamenimo u (147) dobijamo ( ) [ ] = = r dx mir d x xmixdtd* 2 2
*2.(152) sa druge strane, oekivana vrednost x komponente impulsa
data je relacijom ||
\| = r d t rxi t r px
) , ( ) , (*(*) tako da je 17 mpxdtdx= (153) i ovo je kvantni
analog x-komponente klasine jednaine mpdtr d = . Izraunajmo sada
vremensku promenu xp . Na osnovu (*) imamo .***
+ == = r dx tr dt xir dx dtdidtp dx
(154) Zamenom t i t * na osnovu redingerove jednaine i njene
konjugovane jednaine dobijamo ( ) . ) (22 2* * 2 2 *2* * 2222*
+
||
\| == |||
\| + +|||
\| + =r dxV Vxr dx x mr dxVmr d Vm x dtp dx (155)
Uzimajuiuobzirda x
kaoisunuleubeskonanosti,prviintegralnadesnojstranijenulana osnovu
drugog Gausovog identiteta u kome stavimo * = ui xv = = + S VS d u
v v u r d u v v u
] ) ( [ )] ( ) ( [2 2. Drugi integral na desnoj strani (155) je
xVr dxVr dxV Vx = =
* *) ( .(156) 18 Prema tome je xVdtp dx = .(157) Ovo je kvantni
analog x komponente klasine jednaineVdtdp = . Moemo da zakljuimo:
Matematika teorija Ehrenfestove teoreme je .zVdtp dyVdtp dxVdtp
dmpzdtdmpydtdmpxdtdzyxzyx = = == = =,,,, (158) Vremenski nezavisna
redingerova jednaina. Stacionarna stanja
PosmatrajmokretanjeesticeupotencijaluVkojinezavisiodvremena.Utomsluajuje
hamiltonijan) (222r VmH + =
,iontakoenezavisiodvremena,pajeredingerovajednaina jednostavnija za
reavanje. Potraiemo partikularno reenje vremenski zavisne
redingerove jednaine u obliku ) ( ) ( ) , ( t f r t r = . (159) Ako
sada (159) zamenimo u jednainu ) , ( ) , (2) , (22t r t r Vmt
rti
+ = dobijamo 19 ) ( ) ( ) ( ) (2) () (22t f r r V rm dtt dfr
i
+ = .(160) Ako podelimo obe strane ove jednaine sa) ( ) ( ) , (
t f r t r = dobijamo
+ = ) ( ) ( ) (2 ) (1 ) () (122r r V rm r dtt dft fi
.(161) Iz poslednje jednaine je jasno da su promenljive
razdvojene; leva strana zavisi od t, a desna samo odr
. Ovde moemo da obe strane izjednaimo sa nekom konstantom
razdvajanja, koja mora da ima dimenzije energije (to je jasno iz
poslednje jednaine), pa imamo ). ( ) ( ) ( ) (2) () (22r E r r V
rmt Efdtt dfi =
+ =(162) Jednainu (162) moemo odmah da integralimo i reenje je
||
\| = EtiC t fexp ) ( (162) Poto je) ( ) ( ) , ( t f r t r = ,
nita se od optosti ne gubi ako stavimo da je C=1, pa posmatrano
reenje vremenski zavisne jednaine moemo da napiemo u obliku ||
\| = Etir t r exp ) ( ) , ( .(163) Jednainu(163)ijereenjeje)
(r
jestevremenskinezavisnaredingerovajednaina.Ovajednaina moe da se
napie u operatorskom obliku 20 ) ( ) ( r E r H =(164) gdeje) (222r
VmH + = Hamiltonovoperator,) (r
svojstvenafunkcija,aEsvojstvenavrednost (koja moe da bude i
degenerisana). I vremenski zavisnu redingerovu jednainu moemo da
napiemo u operatorskom obliku ) , ( ) , ( t r E t rti = . (165)
Ovde je tioperator energije , E je svojstvena vrednost tog
operatora, a) , ( t r
je svojstvena funkcija operatora energije. Prethodna diskusija
zahteva da talasna funkcija( ) / exp ) ( ) , ( iEt r t r = odgovara
stanju u
komeukupnaenergijaimapreciznu(numeriku)vrednostE.DabiovopokazalipokaimoprvodajeE
realno. Stvarno, za bilo koju talasnu funkciju (165) gustina
verovatnoe poloaja data je izrazom ||
\| = = t E Eir r t r t r t r P ) ( exp ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,
(* * *
.(166)
Uzuslovdajekvadratnointegrabilnafunkcija,tadaizizrazazaodranjeverovatnoe
0 ) , ( =r d t r Pt i (166) dobijamo 0 ) , ( ) , ( ) (* *= r d t r
t r E Ei . (167) Integracija se vri po celom prostoru pa kako
vrednost integrala ne moe da bude nula zbog normiranosti, toje0 )
(*= E E*E E =
,odnosno,Ejerealanbroj.Naravno,mimoemotvrditidajeErealan broj jer
je hamiltonijan H Hermitski
operator.Akopotraimooekivanuvrednostenergijepostanjima(165)uzpretpostavkudasuova
normirana, dobijamo 21 E r d t r H t r r d t rti t r E = = ||
\| =
) , ( ) , ( ) , ( ) , (* * (168) i ovde smo iskoristili relacije
(165) i = E H . Moemo da napiemo takoe da je V T H E + = = (169) na
osnovu (129) i (130).
Dakle,brojEjeoekivanavrednostukupneenergijeustanju(165).Uoptenije,zastanje(165)
normirano na jedinicu imamo n n nE r d t r H t r E = =
) , ( ) , (*.(170) Ako je f(E) funkcija energije koja moe da se
razvije u apsolutno konvergentan red =nnnE a E f ) ( (171) tada je
njena oekivana vrednost u normiranom stanju( ) / exp ) ( ) , ( iEt
r t r = data izrazom ) ( ) ( E f E a E a E fnnnnnn= = = (172)
takodamoemoreidaposmatranafunkcijaopisujestanjeukometotalnaenergijaimaidefinisanu
numerikuvrednostE.Drugimreima,merenjeenergijenabilokomodlanovaansamblaidentino
prepariranih sistema opisanih talasnom funkcijom (165) daje istu
numeriku vrednost E. Po ovom rezonu svojstvena vrednost E koja se
javlja u jednaini) ( ) ( r E r H =je svojstvena
vrednostenergije.Odgovarajuasvojstvenafunkcija) ( ) ( r rE
HamiltonovogoperatoraHje svojstvena funkcija energije. Poto se)
(r
i( ) / exp ) ( ) , ( iEt r t r = razlikuju samo za vremenski
zavisni fazni faktor( ) / exp iEt funkcija) (r
se naziva vremenski nezavisna talasna funkcija. 22 Stacionarna
stanja. Stanje( ) / exp ) ( ) , ( iEt r t r =
odgovarapreciznojvrednostiukupneenergijeEiima interesantne osobine.
Prva je, poto je E realna veliina vidimo iz (165) da je gustina
verovatnoe poloaja koja odgovara ovom stanju data sa 2*) ( ) ( ) (
) ( r r r r P = = (173) i nezavisna je od vremena.
Premaovomrezonustanja(165)( ) / exp ) ( ) , ( iEt r t r =
sustacionarnastanja.Struja gustine verovatnoe koja odgovara ovim
stanjima { } ) ( )] ( [ )] ( )[ (2) (* *r r r rmir j =(174) takoe
je konstantna u vremenu. Jednaina kontinuiteta se svodi na 0 ) ( =
r j
.(175) Iz uslova normiranja 1 ) , ( ) , (*= r d t r t r
i oblika separabilne funkcije stacionarnog stanja ||
\| = Etir t r exp ) ( ) , ( sledi da su vremenski nezavisne
talasne funkcije takoe normirane na jedinicu 23 1 ) ( ) (*=r d r
r
.(177) To znai da su energijske svojstvene funkcije normirane na
jedinicu. Kvantovanje energije
Vesmovidelidajevremenskinezavisnaredingerovajednaina) ( ) ( r E r H
=
jednainasvojstvenihvrednosti.Uovomdeluemopokazatidafizikiprihvatljivareenjaovejednainepostoje
samozaodreenevrednostiukupneenergije.Jednostavnostiradi,posmatrajmokretanjeesticeu
jednodimenzionalnom potencijalu V(x). Za ovaj sluaj stacionarna
stanja su ||
\| = Etix t xexp ) ( ) , ( (178) a energetska svojstvena
funkcija je reenje vremenski nezavisne redingerove jednaine ) ( ) (
) () (2) (22 2x E x x Vdxx dmx H = + = (179) koju moemo da napiemo
u obliku [ ] ) ( ) (2 ) (2 22x E x Vmdxx d =. (180)
Potojejednaina(180)linearnadiferencijalnajednainadrugogredaonauvekimadvalinearno
nezavisnareenjazasvakoE.AkojeV(x)svudakonanoizjednaine(180)vidisedasudrugiizvodi
22) (dxx d takoe konani, a zbog toga su) (x i dxx d ) ( neprekidni
za svako x prema optim zahtevima koje smo ranije definisali za
talasnu funkciju i redingerovu jednainu. Zbog fizikih zahteva i
statistike interpretacijereenje jednaine (180)) (x moradabude
konano jedinsvenoucelomintervalu.Prema tome,traimoreenje) (x
takvodauintervalu) , ( + i) (x i dxx d ) ( budeneprekidna.
NapomenimodakadasuEiV(x)realnetada,akoje) (x
reenjejednaine(180)tadajereenjeiste 24 jednainei) (*x
.Naosnovuovogirealnideo 2) ( ) (*x x +iimaginarnideo ix x2) ( ) (*
funkcije) (x takoe su reenja vremenski nezavisne redingerove
jednaine i realne su funkcije. Prema tome, dovoljno je da imamo
realnu talasnu funkciju kao reenje jednaine (180) i da moemo da
napiemo
svesvojstvenefunkcijekojeodgovarajudatojsvojstvenojvrednosti.Dovoljnojeurazmatranjima
prikazivati samo realni deo bez umanjenja optosti. Kao primer
razmotrimo potencijal V(x) koji ima oblik prikazan na slici. Ovaj
potencijal je jednak vrednosti V za x
,kadxrasteV(x)opada,dostieminimum) (0 minx V V = za 0x x = .Za
vrednosti 0x x >
saporastomxrasteipotencijaliasimptotskisepribliavavrednosti +V kad+
x . Razmotriemo posebne sluajeve odnosa energije E i potencijala
V(x). 1. Sluaj minV E < Uovomsluajuveliina0 ) ( > E x V
jeuvekpozitivnapajeprema jednaini (180) drugi izvod talasne
funkcije 22) (dxx duvek istog znaka kao i funkcija) (x . Ponaanje
funkcije) (x ublizinitakex x = gdesu) (x i 22) (dxx
distogznakalakojepredvideti.Akoje 0 ) ( > x tada e) (x biti
konkavna nagore u blizinix x =(slika *.a). Ako je0 ) ( < x tada
je) (x 25 konkavnanadoleublizinitakex x = (slika*.b).Akoje0 ) ( = x
tada) (x odlazisaosenaobe strane od takex x =(slika *.c). Poto je0
) ( > E x Vza svako x jasno je da reenje) (x koje mora da bude
konano ne moe da se nae. Zaista,) (x raste neogranieno kad+ xi xili
kad + xili x . Opti zahtev (fiziki) je da kad+ xi xtalasna
funkcija) (x mora da bude konana ili da tei nuli (vidi donje
slike). Prematome,zasluajE x tada je) (x 26 konkavno nadole u
blizinix x =(slika 7.a). Ako je0 ) ( < x tada je funkcija) (x
konkavna nagore u blizinix x =(slika 7.b). I ako je0 ) ( = x tada
funkcija) (x u blizinix x =menja znak (slika 7.c). Potouintervalu 2
1x x x < <
talasnafunkcijamoedabudekonkavnanagore,nadoleidamenjaznak
ondazakljuujemodautomintervalutalasnafunkcija(reenjejednaine(180))imaoscilatornikarakter
(moedaima).Trebanapomenutida) (x unutar 2 1x x x < <
moedaimanekolikonula.Uopte, reenje jednaine (180) je linearna
kombinacija dva nezavisna reenja i oba imaju oscilatorni karakter.
Uspoljanjojoblasti 1x x < drugiizvod 22) (dxx dimaistiznakkao)
(x (predhodnisluaj)i
opetpostojedvanezavisnareenjajednaine(180).Jednoodnjihteinulikad x
azadrugo ) (x neogranieno raste kad x . U oblasti 2x x >takoe
imamo dva nezavisna reenja od kojih jedno tei nuli za+ xa za drugo
neogranieno raste) (x za+ x . Fiziki uslovi zahtevaju da za 2x x
>i 1x x V E . U ovom sluaju kinetika energija je svuda pozitivna
E-V(x)>0. Klasino dozvoljeno je slobodno kretanje estice na obe
strane. Poto su 22) (dxx d i) (x suprotnog znaka u celom regionu po
x mogua su dva linearno nezavisna reenja i oba imaju oscilatorni
karakter i odgovaraju za sve vrednosti energije. Osobine
energetskih svojstvenih funkcija Koristiemooznaku) (rE
dabioznailisvojstvenufunkcijukojaodgovarasvojstvenoj
vrednostiE.Razmotrimonajprepitanjenormiranjafunkcije) (rE
.Potosmouprocesudobijanja
svojstvenefunkcijeobezbedilidazadovoljavasvepotrebneuslovepotrebnojedabudenormiranana
jedinicu 1 ) ( ) (*=VE Er d r r
(185.a) 29
gdeVoznaavaoblastdefinisanostipotencijala.Energetsketalasnefunkcije
E i *E kojeodgovaraju nejednakim vrednostima energije E i E
meusobno su ortogonalne ' 0 ) ( ) (*'E E r d r rE E =
. (185.b) Umatematikoj fizici smo dokazali ovakav stavza
Hermitske operatore i dokaz je jednostavan. Poto je E EE H = , ako
obe strane pomnoimo sa *' E , dobijamo ( )E E E EE H *'*'= .(186)
Sa druge strane, poto je ' ''E EE H =moemo pisati ( )*'*''E EE H =
.(187) Mnoenjem obe strane poslednje jednaine sa Edobijamo ( )E E E
EE H *'*'' = .(188) Oduzimanjem (186) i (188) i integracijom po V
dobijamo ( ) ( ) ( ) 0 ] [ '*'*'*'= = r d H H r d E EE E E E E E
.(189) U poslednjoj jednaini smo iskoristili injenicu da je H
Hermitski operator. Kombinujui poslednji izraz sa uslovom
normiranja vidimo da je set energetskih funkcija) (rE
ortonormiran '*') ( ) (EE E Er d r r =
. (190) 30
Razmotrimosadasluajkadajeenergijskasvojstvenavrednostdegenerisanaodnosnokadjednoj
vrednosti energije odgovaraju vie od jedne svojstvene funkcije koje
su linearno nezavisne. Pretpostavimo
dajeEdegenerisanoredaioznaimosa 1E , 2E ,...,
Eskuplinearnonezavisnihsvojstvenih
funkcijakojeodgovarajuvrednostiE.Navedenefunkcijesunormiraneuslovom(185.a).Uslov
ortogonalnosti (189) ovde je oigledno neprimenljiv jer vai za' E E
. I stvarno, funkcije (1E , 2E ,...,
E)kojepripadajudegenerisanojvrednostiEnisuortogonalne.Potosu( )
,..., 2 , 1 = rrElinearno nezavisne funkcije primenom mitovog
postupka ortogonalizacije moemo da formiramo set ortogonalnih
funkcija .2 13 2 1 32 1 21 12 132 3121 E E E EE E E EE E EE Ea aa
aa+ + + =+ + =+ == (191) ijasu koeficijenti koje treba odrediti da
bi iEbile ortogonalne funkcije. Prvi uslov je 02 1*=r dE E
. (192) Primenom (191) dobijamo 02 1 1 1* *21= + r d r d aE E E
E . (193) Poto je) (1 1E E =normirana na jedinicu dobijamo da je =
r d aE E
2 1*21 . (194) 31 Na osnovu prve relacije iz (191) moemo da
napiemo = r d aE E
2 1*21 .(194.a) Iz druge relacije (191) sada moemo da piemo 2 1
2 1 2] [*E E E E Er d + =
. (195) Iovafunkcijajeortogonalnana 1E jersmoiztoguslovaodredili
21a .Potosufunkcije 1E i
2Elinearnonezavisneizvarcovenejednakostisledidaje121< a
.Naosnovurelacija(191.b)i(194.a)i injenice da su funkcije 1Ei
2Eortogonalne, pa normilizacioni integral za 2Enikad nije nula,
tako da je funkcija 2Enormalizabilna.U sledeem koraku traimo da
budu ispunjeni uslovi 03 1*=r dE E
i03 2*=r dE E
(196) iz kojih dobijamo 03 1*31= +r d aE E
(197) 03 2 2 2* *32= + r d r d aE E E E . (198) Iz ovih uslova
odreujemo konstante 31ai 32a , pa na osnovu (191.c) dobijamo
funkciju [ ] 03 22 23 21 3 1 3 ***= +
+ =E EE EE EE E E Er dr dr d
(199) koja je ortogonalna na 1Ei 2Ei normalizobilna poto su 1E ,
2Ei 3Elinearno nezavisne. 32 Ovaj proces moe da se nastavi dok se
ne doe do funkcije 011**= + = = E EiE EE EEii iir dr d
(200) kojajeortogonalnanafunkcije 1E , 2E ,..., 1
Einormalizobilna.Nainnakojismodolidoseta ortogonalnih funkcija
(200) nije jedinstven i to je mogue uraditi na mnogo naina. Od seta
ortogonalnih funkcija rEmoemo da konstruiemo set ortonormiranih
funkcija [ ]) ,..., 2 , 1 (2 / 1* = =rr dr rrrE EEE
(201) koje zadovoljavaju uslov ortonormiranosti ) ,..., 2 , 1 ,
( ) ( ) (* = =s r r d r rrs E Er s
.(202) Moemo da zakljuimo, poto sufunkcije za' E E ortogonalne a
mogu se ortogonalizovati I one koje
odgovarajudegenerisanojvrednostiE(202)svesvojstvenefunkcijeenergijemogudaseobuhvate
relacijom ortonormiranosti rs EE E Er d r rr s '*') ( ) ( =
.(203)
Akopostuliramodaenergetskispektarkojisedobijareavanjemvremenskizavisneredingerove
jednaine predstavlja sva fiziki dozvoljena energetska stanja
sistema onda je set funkcija kompletan.Na osnovu navedenog iskaza
sledi da bilo koja funkcija, koja predstavlja fiziki dozvoljeno
stanje
sistema,moedasepredstavikaosuperpozicijasvojstvenihfunkcija.Generalno,reenjevremenski
zavisne redingerove jednaine moe da se razvije po svojstvenim
stanjima E = EE Er t C t r ) ( ) ( ) , ( (204) 33
gdekoeficijentiurazvojuzaviseodvremena.Ovojeanalognorazvojubilokogvektorastanjapo
bazisnimvektorima.Koeficijenterazvoja(204)umalombrojujednostavnihsluajevamoemoda
prepoznamo u redu koji se dobija. U optem sluaju, koeficijente
odreujemo tako to (204) pomnoimo s leva sa) (*'rE
i integralimo po celoj zapremini ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ('
'*'*'t C t C r d r r t C r d t r rEEEE EEE E E E= = = . (205) Na
kraju emo dati jednu interesantnu osobinu energetskih svojstvenih
funkcija koje odgovaraju vezanim
stanjimaujednodimenzionalnimsistemima.Potoseovdebavimovezanimstanjimanijeneophodno
zatvarati sistem u konane boksove. Pretpostavimo da je potencijalna
energija V(x) svudakonana. Tada svojstvena funkcija postaje nula na
beskonanosti (za x ). Ako postoje vezana stanja i ako njihove
energijemoemodaporeamoporastuimveliinama) (2 1 < < E E
tadaeodgovarajuesvojstvene funkcije moi da se poreaju po rastuem
broju njihovih nula tako da) (xnsvojstvenih funkcija ima n-1
nulazakonanuvrednostx.tavie,izmeudvesusednenulefunkcije) (xn
sledeasvojstvena funkcija e imati barem jednu nulu. Ovo je poznato
kao oscilatorna teorema. Ako je estica zatvorena u
jednodimenzionalnojkutijisaneprobojnimzidovima,takodaje+ = = ) ( )
(2 1x V x V ,tadajenjeno kretanje ogranieno u intervalu 2 1x x x
<
