SÈries de Fourier

Karim Boulabiar

Dauphine j Tunis

Avril 2020

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 1 / 49

I/ Les espaces intervenant

On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.

DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si

f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.

LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.

Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 2 / 49

I/ Les espaces intervenant

On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.

DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si

f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.

LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.

Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.

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I/ Les espaces intervenant

On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.

DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si

f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.

LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.

Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.

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I/ Les espaces intervenant

On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.

DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si

f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.

LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.

Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.

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I/ Les espaces intervenant

On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.

DeÖnitionSoit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est2p-pÈriodique si

f (x + 2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.

LemmaSoient f , g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles quef (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.

Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 3 / 49

Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!

Proof.

On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose

A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.

B = fx 2 R : f (x) 6= f (x + 2p)g

C = fx 2 R : f (x + 2p) 6= g (x + 2p)g.

D = fx 2 R : g (x) 6= g (x + 2p)g.

Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.

Donc, D ( A[ B [ C .

Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 3 / 49

On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 4 / 49

On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 4 / 49

On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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On peut donc, pour tout p 2 [1,•), considÈrer líensemble, notÈ Lp ,des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiquesvÈriÖant la condition

Z 2p

0jf (x)jp dx < •.

Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que

Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par

kf kpp =12p

Z 2p

0jf (x)jp dx .

De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! Cmesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0, 2p].

On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexepour la norme dÈÖnie par

kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0, 2p]g

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.

Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.

Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Cas des fonctions continues.

LemmaSoit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors

f (x + 2p) = f (x) pour tout x 2 R.

Proof.

Líensemble fx 2 R : f (x + 2p), f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulleet est donc vide.

On note C líensemble des fonctions de R dans C continues2p-pÈriodiques.Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre deBanach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par

kf k• = sup fjf (x)j : x 2 [0, 2p]g .

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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant

en (x) = einx pour tout x 2 R.

Il est bien clair que

en 2 C pour tout n 2 Z.

On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.

P = Vect fen : n 2 Zg .

DeÖnition

Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 6 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

Le lien entre tous ces espaces.

Lemma

Soient p, q 2 [1,•] tels que p < q. Alors

P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.

De plus,

kf kp + kf kq pour tout f 2 Lq .

Proof.Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 delíExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).

On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule deChasles suivie díun changement de variables,

Z a+2p

af (x) dx =

Z 2p

0f (x) dx pour tout a 2 R.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

La norme de L2 est issue du produit scalaire dÈÖni par

hf , gi =12p

Z 2p

0f (x) g (x)dx pour tout (f , g) 2 L2 1 L2.

En particulier, L2 est un espace de Hilbert.

Lemma

(en)n2Z est une famille orthonormale de L2.

Proof.

Si m, n 2 Z avec m 6= n alors

hen , eni =12p

Z 2p

0ei (n,n)x dx =

12p

Z 2p

0dx = 1

et

hem , eni =12p

Z 2p

0ei (m,n)x dx =

12p

"ei (m,n)x

m , n

#2p

0

= 0.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 8 / 49

Soient f , g 2 L1.

On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.

La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

Soient f , g 2 L1.On montre, par une preuve analogue ‡ celle donnÈe dans leparagraphe Produit de Convolution du Chapitre Espaces Lp , que lafonction f 2 g donnÈe par

(f 2 g) (x) =12p

Z 2p

0f (x , t) g (t) dt p.p. x 2 [0, 2p]

est bien-dÈÖnie et mesurable.

Díailleurs, on montre, toujours en síinspirant de ce qui a ÈtÈ fait dansle Chapitre Espaces Lp , que f 2 g 2 L1.La fonction f 2 g ainsi dÈÖnie est encore appelÈe produit deconvolution de f et g .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 9 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alors

cn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alors

cn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alors

cn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

II/ Coe¢cients de Fourier

Soit f 2 L1. Pour tout n 2 Z, on appelle nème coe¢cient deFourier de f le nombre complexe, notÈ cn (f ) ou bf (n), et dÈÖni parla formule (appelÈe parfois Formule de Fourier)

cn (f ) =12p

Z 2p

0f (x) e,inx dx .

Si f 2 L2 et n 2 Z alorscn (f ) = hf , eni .

En particulier, si m, n 2 Z alors

cm (en) = hen , emi = dmn .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 10 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

PropriÈtÈs ÈlÈmentaires des coe¢cients de Fourier.

Lemma

Soient f 2 L1 et n 2 Z.

(i) cn%ef'= c,n (f ), o˘ ef (x) = f (,x) p.p. x 2 [0, 2p].

(ii) cn(f)= c,n (f ).

(iii) cn (taf ) = e,inacn (f ), o˘ (taf ) (x) = f (x , a) p.p. x 2 [0, 2p].

(iv) cn (emf ) = cn,m (f ) pour tout m 2 Z.

(v) en 2 f = cn (f ) en.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 11 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

Pas si compliquÈ que Áa!

Proof.

(i) On a

cn%ef'=

12p

Z 2p

0f (,x) e,inx dx =

12p

Z p

,pf (,x) e,inx dx

=12p

Z p

,pf (x) einx dx = c,n (f ) .

(ii) On Ècrit

cn(f)=

12p

Z 2p

0f (x)e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x) einx dx

=12p

Z 2p

0f (x) einx dx = c,n (f ).

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 12 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

On nía pas terminÈ!

Proof.

(iii) On a

cn (taf ) =12p

Z 2p

0(taf ) (x) e,inx dx =

12p

Z 2p

0f (x , a) e,inx dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x , a) e,in(x,a)dx

=e,ina

2p

Z 2p

0f (x) e,inx dx = e,inacn (f ) .

(iv) Si m 2 Z alors

cn (emf ) =12p

Z 2p

0eimx f (x) e,inx dx

=12p

Z 2p

0f (x) e,i (n,m)x dx = cn,m (f ) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 13 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

Et la derniËre!

Proof.

(iv) Si x 2 [0, 2p] alors

(f 2 en) (x) =12p

Z 2p

0f (t) en (x , t) dt

=12p

Z 2p

0f (t) ein(x,t)dt

=einx

2p

Z 2p

0f (t) e,int dt

= cn (f ) en (x) .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 14 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2p

de [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

On rappelle quíune fonction f 2 C est dite de classe C1 parmorceaux sur [0, 2p] síil existe s 2 N2 et une subdivision

0 = a0 < a1 < 3 3 3 < as,1 < as = 2pde [0, 2p] telle que f 2 C1 ([aj , aj+1]) (et donc f 0 2 L1).

LemmaSoit f 2 C une fonction de classe C1 par morceaux. Alors

cn (f 0) = incn (f ) pour tout n 2 Z.

Proof.

On garde les notations ci-dessus. Une intÈgration par parties simple montreque, pour tout j 2 f0, 1, ..., s , 1g,

aj+1R

ajf 0 (x) e,inx dx =

+f (x) e,inx

,aj+1aj

+ inZ aj+1

ajf (x) e,inx dx .

Il su¢t alors de sommer.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 15 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

Dans toute la suite du chapitre, on note

SN (f ) =N

Ân=,N

cn (f ) en pour tout (f ,N) 2 L1 1N.

DeÖnition

La sÈrie de Fourier de f 2 L1 est la sÈrie dont la suite des sommespartielles est (SN (f ))N2N.

Theorem

Si (an)n2Z 2 CZ et

N

Ân=,N

anen

!

N2N

converge uniformÈment vers f 2 L1

sur R alors

f 2 C et an = cn (f ) pour tout n 2 Z.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 16 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

/////cn

N

Âk=,N

ak ek , f

!/////

+

00000

N

Âk=,N

ak ek , f

000001

+

00000

N

Âk=,N

ak ek , f

00000•

.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

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N

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ak ek , f

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N

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ak ek , f

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+

00000

N

Âk=,N

ak ek , f

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.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

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N

Âk=,N

ak ek , f

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+

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N

Âk=,N

ak ek , f

000001

+

00000

N

Âk=,N

ak ek , f

00000•

.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

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N

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N

Âk=,N

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+

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N

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ak ek , f

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.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

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N

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+

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N

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000001

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N

Âk=,N

ak ek , f

00000•

.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

La dÈmonstration est simple.

Proof.

La continuitÈ de f ne pose pas problËme (limite uniforme díune suite defonctions continues). On Öxe n 2 N et on se donne N > n. Alors,

jan , cn (f )j =

/////

N

Âk=,N

ak cn (ek ), cn (f )

/////=

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N

Âk=,N

ak ek , f

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N

Âk=,N

ak ek , f

000001

+

00000

N

Âk=,N

ak ek , f

00000•

.

Preuve analogue si n 2 Z,.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 17 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

III/ Noyaux

On commence par un premier noyau.

DeÖnition

Le noyau de Dirichlet díordre N 2 N2 est la fonction DN 2 P dÈÖnie par

DN =N

Ân=,N

en .

Lemma

Les assertions suivantes sont vÈriÖÈes pour N 2 N2.

(i) DN est paire et12p

Z 2p

0DN (x) dx = 1.

(ii) DN (x) =

8>>>><

>>>>:

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)si x 2 Rn2pZ

2N + 1 si x 2 2pZ

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 18 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

On dÈmontre.

Proof.

(i) La paritÈ est claire. Par ailleurs,

12p

Z 2p

0DN (x) dx = c0 (DN ) =

N

Ân=,N

c0 (en) =N

Ân=,N

d0,n = 1.

(ii) Le cas o˘ x 2 2pZ est trivial. On se donne alors x 2 R, 2pZ. Donceix 6= 1 et par suite

DN (x) =N

Ân=,N

einx =2N

Ân=0

ei (n,N )x = e,iNx2N

Ân=0

einx

= e,iNxei (2N+1)x , 1eix , 1

=ei (2N+1)x/2 , e,i (2N+1)x/2

eix/2 , e,ix/2

=

sin56

N +12

7x8

sin (x/2)

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 19 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Un deuxiËme noyau.

DeÖnition

On appelle noyau de FejÈr díordre N 2 N2 la moyenne de CÈsaro de DNdonnÈe par

KN =1N

N,1

Ân=0

Dn .

Il est clair que

DN 2 P et KN 2 P pour tout N 2 N2.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 20 / 49

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Quelques propriÈtÈs ÈlÈmentaires.

Lemma

Soit N 2 N2.

(i) KN =N

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

(ii) KN (x) =1N

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72pour tout x 2 Rn2pZ.

(iii) kKN k1 = 1.

(iv) Si 0 < a + p alors12p

Z

a

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

Allez, on dÈmontre tout!

Proof.

(i) On Ècrit

NKN =N,1

Âk=0

Dk =N,1

Âk=0

k

Ân=,k

en

= Âjnj+N,1

Âjnj+k+N,1

en = Âjnj+N,1

en Âjnj+k+N,1

1

= Âjnj+N,1

(N , jnj) en .

= NN

Ân=,N

61,

jnjN

7en .

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 22 / 49

La deuxiËme assertion.

Proof.

(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,

NKN (x) =N,1

Âk=0

sin56

k +12

7x8

sin (x/2)=

1sin (x/2)

N,1

Âk=0

sin56

k +12

7x8

=1

sin (x/2)Im

0

B@N,1

Âk=0

ei

k+12

!

x

1

CA =

1sin (x/2)

Im

eix/2N,1

Âk=0

eikx!

=1

sin (x/2)Im6eix/2

eiNx , 1eix , 1

7

=1

sin (x/2)Im

eix/2eiNx/2

eix/22i sin (Nx/2)2i sin (x/2)

!

=sin (Nx/2)sin2 (x/2)

Im%eiNx/2

'=

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 23 / 49

La deuxiËme assertion.

Proof.

(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,

NKN (x) =N,1

Âk=0

sin56

k +12

7x8

sin (x/2)=

1sin (x/2)

N,1

Âk=0

sin56

k +12

7x8

=1

sin (x/2)Im

0

B@N,1

Âk=0

ei

k+12

!

x

1

CA =

1sin (x/2)

Im

eix/2N,1

Âk=0

eikx!

=1

sin (x/2)Im6eix/2

eiNx , 1eix , 1

7

=1

sin (x/2)Im

eix/2eiNx/2

eix/22i sin (Nx/2)2i sin (x/2)

!

=sin (Nx/2)sin2 (x/2)

Im%eiNx/2

'=

6sin (Nx/2)sin (x/2)

72.

Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 23 / 49

La deuxiËme assertion.

Proof.

(ii) Soit x 2 Rn2pZ. DíaprËs les propriÈtÈs sur le noyau de Dirichlet,

NKN (x) =N,1

Âk=0

sin56

k +12

7x8