St1 04 Stat Descr Indic Sint

8/12/2019 St1 04 Stat Descr Indic Sint

1/47

Statistica descriptivIndicatori sintetici ai

distribuiilor statistice

M. Popa


2/47

Statistica descriptiv - obiective

Cum se prezint valorile unei distribuii? Ct de apropiate sunt unele de altele? Ct de diferite sunt unele de altele?

Exist valori care reprezint ntreagadistribuie?


3/47

Categorii de indicatori

Indicatori ai tendinei centrale valori tipice, reprezentative, care descriu

distribuia n ntregul ei

Indicatori aimprtierii descriu caracteristica de mprtiere a

valorilor distribuiei

Indicatori ai formei distribuiei se refer la forma curbei de reprezentaregrafic a distribuiei


4/47

Indicatori ai tendinei centrale

modul mediana

media


5/47

Modul (Mo)

Definiie: valoarea clasa de interval

expresia ce mai direct a valorii tipice(reprezentative)

se afl prin alctuirea tabelei de frecvene (simplesau grupate) i este valoarea (clasa) creia icorespunde frecvena absolut cea mai ridicat.

distribuii unimodale (583254 Mo=5) distribuii bimodale (5832254 Mo=5; =2) distribuii multimodale (58832254 Mo=5; =2; =8)

cu frecvena cea mai mare


6/47

MEDIANA (Me)

valoarea din mijlocul unei distribuii are 50% dintre valori deasupra ei i 50% dintre valori dedesubtul ei

corespunde valorii de 50% pe coloana

frc%. percentila?... decila?.... quartila?

distribuie cu numr impar de valori Me este chiar valoarea respectiv.

distribuie par Me se calculeaz ca medie a valorilor din

mijlocul distribuiei

5,8,3,2,5,4, 2,3,4,5,5,8 Me=4,5G. Fechner


7/47

MEDIA ARITMETIC (m)

Notaii uzuale: (miu) media populaiei m media eantionului

Calcul pentru frecvene simple (583254)

Calcul pentru frecvene grupate (55833332244)

50,46

26

6

452385

N

Xm

90,311

43

22412

2*42*24*31*82*5)*(

f

fXm


8/47

Modul, Mediana i Media vizeazacelai lucru, tendina central

i totuiN=151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

60 45 22 20 16 16 16 15 14 14 14 12 12 12 12

media=20

X/N=300/15

X=300

mediana=15

(N+1)/2=8

modul=12

(valoarea cea mai frecvent)


9/47


10/47

Proprietile mediei aritmetice

Adugarea\scderea unei constante la fiecarevaloare a distribuiei, mrete\scade media cuacea valoare

nmulirea\mprirea fiecrei valori a distribuiei

cu o constant, multiplic\divide media cu aceaconstant Suma abaterii valorilor de la medie este

ntotdeauna egal cu zero

Suma ptratului abaterilor de la medie va fintotdeauna mai mic dect suma ptratelorabaterilor n raport cu oricare alt punct aldistribuiei


11/47

Proprietile mediei

variabila constant + * abateri

medie

5 2 7 10 0,50

8 2 10 16 3,503 2 5 6 -1,50

2 2 4 4 -2,50

5 2 7 10 0,50

4 2 6 8 -0,50

m=4.5 m=6.5 m=9 suma=0

media=?


12/47

Valori nedeterminate i clasedeschise

Valorile nedeterminate valori a cror mrime nu decurge din procesul de

msurare, n acelai mod n care rezult oricarevaloare a seriei

Exemplu: testul de asociere verbal (10 sec)

Clase (categorii) deschise categorii care au una dintre limite liber

Exemplu: te igri fumezi zil ic? (30 sau maimult).

n astfel de cazuri se utilizeaz mediana


13/47

MODUL

- Uor de calculat (nesemnificativ n prezent);- Poate fi utilizat pentru orice tip de scal;- Este singurul indicator pentru scale nominale;-

- Corespunde unui scor real al distribuiei;

MEDIANA

- Poate fi utilizat pe scale ordinale i deinterval\raport;

- Poate fi utilizat i pe distribuii de frecven cuclase deschise sau scoruri nedeterminate la

marginile distribuiei;

MEDIA

- Reflect valorile ntregii distribuii;-Are multe proprieti statistice dezirabile;-Adecvat pentru utilizare n statistici avansate;

Avantajele indicatorilor tendinei centrale


14/47

MODUL

-n general, nesigur, mai ales n cazul eantioanelor mici,cnd se poate modifica dramatic la o modificare minor a

unei valori;- Poate fi greit interpretat. Se identific total cu un scoranume, fr a spune nimic despre celelalte valori;- Nu poate fi utilizat n statistici infereniale;

MEDIANA

- Poate s nu corespund unei valori reale (N par);- Nu reflect valorile distribuiei (un scor extrem se poatemodifica, fr a afecta Me);- Este mai puin sigur n extrapolarea de la eantion lapopulaie;-

Greu de utilizat n statistici avansate

MEDIA

- De obicei nu corespunde unei valori reale;

- Nu este tocmai adecvat pentru scale ordinale;- Conduce la interpretri greite pe distribuii asimetrice- Poate fi puternic afectat de scorurile extreme;

Dezavantajele indicatorilor tendinei centrale


15/47


16/47

Valori extreme (excesive) ale

distribuiei valori excesive, neobinuit de mari sau de

mici fa de celelalte valori ale uneidistribuii

Identificare metoda grafic Box-and-Whisker-Plot(Box-

Plot)

autor Tukey

Limita de sus poate urca pn la 133,5


17/47

114

101

H=114-101=13

Percentila 75 (114)

Percentila 25 (101)

Mediana

(Q2)

142 valoare extrem

135 valoare extrem114+1.5x13=133.5

101-1.5x13=81.5

Limita de sus poate urca pn la 133,5Cea mai apropiat valoare este 125

Limita de jos este 81.5

Trasm la 86


18/47


19/47

grupa

10987654321

Raspco

recteexameniunie

30

25

20

15

10

5

0


20/47

Gender

mf

SUM

(it_

01toit_22)

125

100

75

50

25


21/47

Tratarea valorilor extreme Stabilirea naturii valorilor extreme:

erori de nregistrare (tastare); erori de msurare; rezultate influenate de anomalii ale condiiilor

experimentale.

eantionul a fost extras dintr-o populaie asimetric valorile respective fac parte din alt populaie de

valori

eantion prea mic Tratarea lor pe una din cile posibile:

eliminare (dac sunt erori necorectabile); corectare (dac este posibil); utilizarea mediei 5%tr im , transformare (extragerea radicalului din toate valorile

distribuiei, logaritmarea distribuiei, etc.)


22/47


23/47

Indicatori sintetici ai mprtierii

msoar gradul de diversificare a valorilor

m1=30 m2=40

nainte

dupa mprtierea

scorului la un testde rezisten lastres, nainte idup un programde psihoterapie


24/47

Tipuri de indicatori

1. Amplitudinea absolut2. Amplitudinea relativ3. Abaterea quartil (cvartil, intercvartil)4. Abaterea semi-interquartil5. Abaterea medie

6. Dispersia (variana)7. Abaterea standard

8. Coeficientul de variaie


25/47

Amplitudinea absolut (R)

diferena dintre valoarea maxim ivaloarea minim a unei distribuii

indic n mod absolut plaja de valori ntre

care se ntinde distribuia. poate fi influenat de o singur valoare

aflat la extremitatea distribuiei

R=Xmax-Xmin=7-1=61,2,3,4,5,6,7


26/47

Amplitudinea relativ (R%)

raportul procentual dintre amplitudine imedie

util cnd cunoatem plaja teoretic de

variaie a valorilor

100*%m

RR %150100*

46% R

1,2,3,4,5,6,7


27/47

Distribuia A are o amplitudinemai mare dar i o variabilitatemai mare dect distribuia B

Amplitudinile distribuiilor Ai B sunt identice, dardistribuia A are mai multvariabilitate.

Imprecizia amplitudinii

Abaterea quartil (cvartil


28/47

Abaterea quartil (cvartil,intercvartil) (RQ)

diferena dintre quartila 3 i quartila 1 este distana dintre limita superioar i cea

inferioar a casetei Box-Plot(valoarea H)

13 QQR

Q

Abaterea semi-interquartil


29/47

Abaterea semi-interquartil(RSQ)

distana unui un scor tipic fa de amplitudineantregii distribuii

este abaterea quartil mprit la 2

ntr -o distribuie perfect simetric RSQ=Q2=Me RSQ nu este afectat de valorile aberante indicator robust al mprtierii

2

13 QQRSQ


30/47

Abaterea medie (d)


31/47

Abaterea medie (d)

X Xim

5 (54.5) = .5

8 (84.5) = 3.5

3 (34.5) = -1.5

2 (2

4.5) = -2.5

5 (54.5) = .5

4 (44.5) = -.5

X = 27 (Xi-m) = 0

N = 6

m = 4.5

abatereavalorii

abatereamedie

ntotdeauna d=0

dar...

5.1||

N

mXd

i

Dispersia


32/47

Dispersia

(variana, abaterea medie ptratic)

Notaii uzuale: s2 (eantion)

2

(populaie) Se calculeaz ca sum a abaterilor de

la medie ridicate la ptrat


33/47

orecia i dicatorilor mprtierii


34/47

calculai pe tru ea tioa e

N

mXs

i

2

)(

1

)( 22

N

mXs

i

dispersia abaterea standard

1

)( 2

N

mXs

i

Abaterea standard nu este definit pentru (n-1), ci pentru n Dar... suma abaterilor de la medie este ntotdeauna 0 ... dac tim n-1 abateri, o cunoatem pe ultima ... doar primele n-1 abateri pot varia liber. ...(n-1) sunt definite ca grade de libertate

Proprietile abaterii standard


35/47


1. Dac se adaug/scade o constant lafiecare valoare a unei distribuii, abatereastandard nu este afectat


36/47



37/47

Proprietile abaterii standard3.Abaterea standard

fa de medie estemai mic dectabaterea standardfa de orice altvaloare a unei

distribuii

X (Xim) (X

i5)2

5 (54.5) = .5 (5-5)2=0

8 (84.5) = 3.5 (8-5)2=9

3 (34.5) = -1.5 (3-5)2=4

2 (2

4.5) = -2.5 (2-5)2=9

5 (54.5) = .5 (5-5)2=0

4 (44.5) = -.5 (4-5)2=1

X = 27 (Xi-m) = 0 (X-5)2 =23N = 6

m = 4.5


38/47

Coeficientul de variaie (cv)


39/47

Coeficientul de variaie (cv)

abaterea medie i abaterea standard se exprim nunitile de msur ale variabilei de referin ca urmare, nu pot fi comparate n mod direct, pentru

variabile diferite

100*m

scv

cv poate fi calculat numai pe scale deraport (origine n 0)

cv 30%, mprtierea este mare imedia are o reprezentativitate redus

Alegerea indicatorului mprtierii


40/47

Alegerea indicatorului mprtierii

Abaterea standard este cea mai utilizat pentruscale de msurare interval/raport. Realizeazcea mai bun combinaie ntre calitatea estimriii posibilitatea de a fundamenta inferene

statistice. Amplitudinea este un indicator nesigur i care

nici nu poate fi calculat n cazul scalelornominale

Pe distribuii cu valori nedeterminate sau cuintervale deschise, se alege abatereainterquartil (semi-interquartil).


41/47

Indicatori ai formei distribuiei


42/47


simetrie (skewness)simetric asimetric negativ asimetric pozitiv

Skewness 0 negativ pozitiv

Efectul asimetriei asupra mediei


43/47

Efectul asimetriei asupra mediei

3, 4, 5, 5, 6, 7 Modul: 5 Mediana: 5

Media: 5 3, 4, 5, 5, 6, 7, 17

Modul: 5 Mediana: 5 Media: 6.7


44/47

Medie

MedianaMod

MedianMedie

Mod Mod Medie

Median

Distribuie: simetric asimetric negativ asimetric pozitiv



45/47


boltire (kurtosis)

leptocurtica

mezocurtica

platicurtica

Kurtosis pozitiv

Kurtosis 0

Kurtosis negativ


46/47


47/47

Documents

St1 04 Stat Descr Indic Sint