7

BAB II

DASAR TEORI DAN PEMODELAN

PROGRAM SIMULASI

2.1 Analisis Kestabilan Lereng

Lereng merupakan permukaan tanah (material) terbuka yang membentuk sudut

tertentu dengan bidang datar (horizontal). Lereng dapat terjadi secara alamiah atau

buatan yang direkayasa oleh manusia. Lereng alamiah seperti bukit dan tebing

sungai. Lereng buatan seperti galian, timbunan untuk membuat jalan raya, urugan

bendungan, tanggul, dan lereng-lereng penambangan.

Longsoran merupakan keruntuhan dari massa tanah (material) yang berada di

bagian bawah lereng dan menunjukkan adanya ketidakstabilan dalam lereng.

Dalam peristiwa tersebut, terjadi pergerakan massa tanah dari arah bawah ke arah

luar. Longsoran dapat terjadi dengan berbagai cara, secara perlahan-lahan,

mendadak, dan dengan ataupun tanpa provokasi yang terlihat. Analisis dan

perhitungan kestabilan bukan merupakan hal mudah karena adanya

ketidaksamaan yang terdeteksi dalam tanah, rembesan dan pemilihan bentuk

bidang runtuh. (Terzaghi dan Peck, 1993).

Analisis kestabilan lereng melibatkan perbandingan gaya-gaya penahan dalam

lereng seperti gaya gesek material dan gaya-gaya penggerak massa material

longsoran yang tersedia seperti gaya hidrostatik dari permukaan phreatik air

dalam rekahan tarik. Metode kesetimbangan batas dapat menghitung satu atau

lebih kesetimbangan persamaan, antara lain kesetimbangan gaya pada arah

horizontal, kesetimbagan gaya pada arah vertikal, dan kesetimbangan momen.

Ketersediaan teknologi dan kecepatan komputer telah membuat penggunaan

metode-metode tersebut memudahkan perhitungan persamaan-persamaan

kesetimbangan yang terjadi dalam massa material longsoran, sehingga proses

rekayasa (engineering) geometri lereng dapat dikerjakan secara mudah dan cepat

dengan bantuan program komputer.

8

2.1.1 Tujuan Perhitungan Kestabilan Lereng

Dalam praktek, tujuan perhitungan kestabilan lereng sebagai berikut:

1. Merupakan dasar rancangan ulang lereng setelah mengalami longsoran.

2. Memperkirakan kestabilan lereng selama proses konstruksi geometri dan

untuk jangka waktu yang panjang.

3. Mencari rancangan yang aman dan murah sesuai dengan spesifikasi

persyaratan keamanan sebelum pelaksanaan pembangunan geometri

dilakukan.

4. Mempelajari kemungkinan terjadinya longsoran (baik pada lereng alamiah

atau lereng buatan).

5. Mempelajari pengaruh tekanan pori air berupa permukaan phreatik air tanah

dalam lereng.

(Abramson, 1996; Terzaghi dan Peck, 1993).

2.1.2 Faktor yang Mempengaruhi Kestabilan Lereng

Dalam analisis kestabilan lereng yang baik, dibutuhkan representasi konfigurasi

dari lereng, berupa faktor-faktor yang akan mempengaruhi kestabilan lereng,

faktor-faktor tersebut adalah:

1. Proses-proses yang menyebabkan naiknya tegangan geser, antara lain: erosi,

penggalian, pemindahan dinding penahan, penambahan beban akibat air

hujan, penambahan beban akibat adanya bangunan atau kendaraan di puncak

lereng, penambahan tekanan lateral akibat adanya air dalam rekahan tarik

atau akibat pengembangan lempung.

2. Kondisi-kondisi yang menyebabkan turunnya kekuatan geser, antara lain:

bidang perlapisan, pelapukan, kenaikan tekanan pori air, beban atau

guncangan berulang (gempa), hilangnya sementasi tanah (material), pengaruh

pembekuan dan pencairan.

(Abramson, 1996).

Dalam penelitian ini, hanya akan dibahas permukaan phreatik air tanah sebagai

9

salah satu faktor yang mempengaruhi kestabilan lereng.

2.1.3 Konsep Faktor Keamanan Lereng

Dalam analisis kestabilan dengan metode kesetimbangan batas, faktor keamanan

dihitung dengan satu atau lebih dari tiga kesetimbangan persamaan, yaitu,

kesetimbangan pada arah vertikal, kesetimbangan pada arah horizontal, dan

kesetimbangan momen. Faktor keamanan ( ) didefinisikan sebagai berikut:

....................................................................... (2.1)

Lereng diasumsikan berada pada kondisi kritis longsoran ketika sama dengan

satu atau gaya-gaya penahan yang tersedia seimbang dengan gaya-gaya penggerak

yang terjadi. Secara teori, lereng akan stabil jika , tidak stabil jika

, dan berada dalam kondisi kritis jika .

Secara umum, probabilitas longsoran kritis akan berkurang seiring dengan

meningkatnya nilai faktor keamanan. Bagaimanapun, hubungan unik antara

probabilitas longsoran dan faktor keamanan tidak dapat ditetapkan secara tepat

karena bermacam-macam ketidaktentuan kondisi lereng dari site ke site. Dalam

banyak kasus, ketidaktentuan kondisi lereng yang paling banyak digunakan adalah

kekuatan material (soil strength) dan kondisi air bawah tanah (groundwater).

2.1.4 Metode Kesetimbangan Batas

Kestabilan lereng biasanya dianalisis dengan membagi profil lereng menjadi

beberapa bagian irisan dan menghitung faktor keamanan rata-rata dari irisan

tersebut dengan metode kesetimbangan batas. Sebagai contoh, profil lereng yang

tersusun atas material tanah homogen, faktor keamanan terkadang dihitung

dengan menganalisis kestabilan lereng dengan asumsi yang lebih sederhana,

seperti dengan metode busur kritis Taylor. Analisis-analisis tersebut

membutuhkan pengetahuan terhadap geometri lereng dan perkiraan kekuatan

10

material.

Metode kesetimbangan batas mengasumsikan bahwa material bertindak sebagai

sebuah massa yang kaku atau keras dan tidak membutuhkan sifat regangan geser

material tersebut. Asumsi yang umum digunakan bahwa nilai faktor keamanan

adalah sama untuk semua irisan dan tegangan geser diterapkan secara simultan

pada keseluruhan bidang runtuh longsoran. Kebanyakan longsoran bergerak

secara progresif, oleh karena itu, memungkinkan tidak adanya asumsi yang tepat

bagi semua kestabilan lereng. Terlepas dari keterbatasan tersebut, penggunaan

metode ini tetap berkembang luas dan telah banyak dibuktikan bahwa lereng dapat

didesain secara aman, mudah, dan cepat dengan metode ini.

2.1.4.1 Metode Irisan Biasa

Dalam metode Irisan Biasa (Ordinary Method of Slices), gaya-gaya yang bekerja

seperti distribusi tegangan normal efektif pada bidang runtuh harus diketahui.

Kondisi ini pada umumnya dianalisis dengan mendiskretisasi massa bidang runtuh

lereng menjadi beberapa bagian irisan dan mengasumsikan setiap irisan tersebut

sebagai sebuah blok yang meluncur (sliding block). Metode irisan banyak

diaplikasikan pada program komputer kestabilan lereng, karena metode ini dapat

mengakomodasi persoalan geometri lereng yang kompleks, variabel kondisi

material, dan pengaruh beban eksternal.

11

Gambar 2.1 Diskretisasi Irisan Lereng 1)

Semua metode kesetimbangan batas dalam analisis kestabilan lereng membagi

bidang runtuh menjadi buah irisan, dimodelkan pada Gambar 2.1. Setiap irisan

dipengaruhi gaya-gaya yang bekerja secara umum, dimodelkan pada Gambar 2.2.

Dengan melihat Gambar 2.2, persamaan kesetimbangan gaya yang terjadi dapat

dimodelkan, namun juga ada beberapa persamaan kesetimbangan yang belum

diketahui. Oleh karena itu, persamaan kesetimbangan yang belum diketahui dapat

dikurangi dengan membuat beberapa asumsi sederhana. Asumsi yang umum

dibuat adalah tegangan normal pada dasar irisan bekerja pada titik tengah irisan.

Gambar 2.2 Gaya-gaya dalam Irisan 2)

1) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 370 2) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 354

12

Gambar 2.3 Perumusan Permukaan Bidang Runtuh

Penurunan rumus dalam metode irisan biasa banyak menggunakan prinsip

persamaan garis lurus dan persamaan lingkaran pada Gambar 2.3, dalam

penelitian ini menggunakan analisis dari kiri ke kanan (left to right analysis) pada

model lereng, selanjutnya dijabarkan sebagai berikut:

Pertama-tama, ordinat puncak pada lereng dan ordinat kaki pada lereng harus

ditentukan berdasarkan sistem persamaan garis lurus, didapat persamaan titik

ordinat pada puncak lereng :

............................................................................................... (2.2)

dan, persamaan titik ordinat pada kaki lereng ( ):

.................................................................... (2.3)

selanjutnya, sudut (Gambar 2.3) yang mengapit radius busur dengan titik

pusat ditentukan dengan persamaan:

.............................................................. (2.4)

13

Irisan vertikal lereng dibuat berdasarkan diskretisasi bagian-bagian dari sudut

sebanyak irisan yang ditentukan dengan persamaan:

....................................................................................................... (2.5)

kemudian sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:

..................................................................................... (2.6)

lalu sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:

..................................................................................... (2.7)

Jika nilai telah diketahui maka dapat ditentukan titik pusat busur

lingkaran tersebut melalui persamaan:

....................................................................... (2.8)

........................................................................ (2.9)

setelah titik pusat diketahui, dilanjutkan dengan mencari absis batas kanan

dan kiri tiap-tiap irisan dan (Gambar 2.3):

.................................................................. (2.10)

......................................................... (2.11)

dengan didapatnya absis batas kanan dan absis batas kiri , dapat dihitung

ordinat batas kanan dan ordinat batas kiri (Gambar 2.3), dengan

persamaan:

......................................................... (2.12)

.......................................................... (2.13)

14

kemudian absis titik tengah tiap-tiap irisan dan sudut dasar tiap-tiap irisan

(Gambar 2.3), dapat ditentukan dengan:

....................................................................................... (2.14)

............................................................................ (2.15)

Setelah absis titik tengah diketahui maka ordinat titik teratas dan ordinat

titik terbawah tiap-tiap irisan, dapat dihitung dengan persamaan:

Irisan sebelum kaki lereng (toe),

............................................................................................... (2.16)

Irisan antara kaki lereng dan puncak lereng,

.......................................................... (2.17)

Irisan sesudah puncak lereng (crest),

............................................................................................... (2.18)

persamaan sama untuk tiap-tiap irisan:

........................................................ (2.19)

Lalu panjang tali busur yang akan digunakan dalam fungsi faktor keamanan

metode Irisan Biasa dihitung dengan:

..................................................................................................... (2.20)

Sebagai langkah terakhir, tinggi irisan tiap-tiap irisan dan lebar tiap-tiap irisan

dapat ditentukan dengan persamaan:

................................................................................ (2.21)

Catatan:

15

Untuk kondisi adanya permukaan phreatik air tanah maka harus ditentukan

tinggi air dalam tiap-tiap irisan persamaan . Dalam penelitian ini,

persamaan permukaan phreatik air tanah tersebut didapat dari fungsi

interpolasi yang telah disediakan dalam MATLAB dan dapat dilihat pada

fungsi rutin fungsi_objektif.m terlampir.

.................................................................................. (2.22)

Akhirnya, semua variabel-variabel telah dirumuskan dan dibutuhkan dalam fungsi

persamaan faktor keamanan metode Irisan Biasa:

................................................................ (2.23)

2.1.4.2 Metode Bishop Sederhana

Metode Bishop Sederhana (Bishop Simplified Method) menggunakan prinsip-

prinsip irisan dalam penentuan faktor keamanan dari suatu massa tanah yang

berpotensi mengalami longsoran. Metode ini hanya memenuhi kesetimbangan

gaya pada arah vertikal dan kesetimbangan momen pada titik pusat lingkaran

bidang runtuh kritis. Akan tetapi, metode ini mengabaikan gaya geser antar irisan

( ).

Berikut ini merupakan rangkuman tabel persamaan yang dapat diketahui dan

besaran yang belum diketahui dalam metode Bishop Sederhana yang akan

digunakan dalam penelitian ini:

Tabel 2.1 Persamaan dan Besaran dalam Metode Bishop Sederhana 3)

3) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 355

16

Persamaan yang Diketahui Kondisi

n Kesetimbangan momen tiap irisan

n Kesetimbangan gaya pada arah vertikal

nHubungan Mohr-Coulomb antara tegangan

geser dan tegangan normal efektif

3n Total persamaan yang diketahui

Besaran yang Belum Diketahui Variabel

1 Faktor keamanan

n Tegangan normal pada dasar tiap irisan, N'

n Lokasi tegangan normal, N'

n Tegangan geser pada dasar tiap irisan, Sm

n-1 Asumsi tambahan yang dibuat

4n-1 Total persamaan yang belum diketahui

Persamaan yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan ( ) dengan

Metode Bishop Sederhana (Hoek dan Bray, 1981) sebagai berikut:

Gambar 2.4 Perumusan Metode Bishop Sederhana 4)

......................................................................................... (2.24)

Simbol:

4) Sumber: Buku Rock Slope Engineering Revised 3rd Edition Halaman 248

17

Keterangan:

= gaya kohesi material

= berat jenis material

= berat jenis air

= tinggi material dalam tiap-tiap irisan

= tinggi air dalam tiap-tiap irisan

= sudut gesek dalam material

= lebar tiap-tiap irisan

= sudut dasar tiap-tiap irisan

= kedalaman rekahan tarik

= elevasi dari titik pusat busur kritis sebesar sepertiga kedalaman rekahan

tarik

= radius busur lingkaran

2.1.4.3 Tegangan Normal Efektif

Metode kesetimbangan batas yang telah dikembangkan sejak dulu terkadang

menghasilkan kendala persoalan numerik yang disebabkan oleh tegangan normal

efektif negatif dalam proses perhitungan analisis menggunakan persamaan (Hoek

dan Bray):

........ (2.25)

dengan:

..................................................................... (2.26)

Tegangan normal efektif yang bernilai negatif biasanya terjadi pada kasus yang

18

melibatkan:

Besarnya nilai tekanan pori air ( ).

Kombinasi tipisnya lebar tiap-tiap irisan ( ) dengan nilai berat irisan material

( ) dan nilai kohesi irisan material ( ) yang besar.

Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ) yang tajam.

Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ),

Dari teori tekanan bumi (earth pressure), permukaan longsor atau bidang runtuh

dasar tiap-tiap irisan harus berada dalam sudut untuk zona pasif dan

sudut untuk zona aktif (SLOPE/W, 2007). Dalam analisis kestabilan

lereng, daerah dekat puncak lereng (crest) atau area masuk dianalogikan sebagai

zona aktif dan daerah dekat kaki lereng (toe) atau area keluar dianalogikan

sebagai zona pasif. Contoh, jika sudut gesek dalam material dalam irisan adalah

maka rentang sudut dasar tiap irisan harus berada antara sampai .

Gambar 2.5 Zona Aktif dan Pasif Tekanan Bumi 5)

Kondisi metode Bishop,

Jika terdapat sudut yang berada di luar rentang tersebut maka akan menimbulkan

kesulitan dalam proses konvergensi faktor keamanan metode Bishop Sederhana

yang merupakan persamaan non-linier. Sebagai konsekuensi, kita biasanya akan

melihat dari buku literatur representasi formula metode Bishop dengan diikuti

5) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007

19

grafik . Ide grafik adalah untuk menggambarkan bahwa kesulitan proses

konvergensi persamaan fungsi faktor keamanan dapat timbul secara perlahan

dalam analisis jika sudut dasar irisan dekat puncak lereng dan kaki lereng terlalu

tajam.

Gambar 2.6 Grafik 6)

Dilihat dari Gambar 2.6, variabel merupakan fungsi kemiringan sudut dasar

tiap irisan, , dan . Kesulitan perhitungan terjadi ketika nilai

mendekati nol. Situasi ini terjadi ketika nilai kecil dan nilai sangat

besar, atau ketika nilai besar dan nilai sangat kecil maka nilai

akan mendekati nol. Ketika nilai mendekati nol maka nilai tegangan normal

efektif, , akan menjadi sangat besar, sehingga menyebabkan nilai faktor

keamanan menjadi tidak proporsional.

Kebanyakan masalah tersebut berhubungan dengan analisis kesetimbangan batas

yang tidak menentu. Untuk menanggulangi masalah tersebut, dalam program

simulasi yang dirancang, input data yang berkaitan dengan masalah di atas seperti

penentuan input jumlah irisan lereng dibuat fleksibel dengan memberikan

6) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007

20

keleluasaan pengguna untuk mencoba-coba jumlah irisan yang diinginkan

sehingga diperoleh nilai faktor keamanan yang telah memenuhi kondisi dan

koreksi di atas.

2.1.4.4 Tahap Perhitungan Faktor Keamanan

Prosedur perhitungan faktor keamanan dengan Metode Bishop Sederhana, sebagai

berikut:

1. Geometri lereng dan bidang runtuh

Geometri lereng dinyatakan dengan membuat suatu profil berdasarkan

penampang vertikal lereng tersebut. Profil harus dibuat se-detail mungkin dan

sesuai dengan skala yang ada. Variabel-variabel yang membatasi busur

lingkaran (circular failure) berupa , , , dan jika ada harus ditentukan,

sebagai variabel yang dioptimasi dalam fungsi persamaan faktor keamanan.

2. Parameter irisan

Massa material bidang runtuh dibagi menjadi beberapa irisan berdasarkan

metode Irisan. Secara umum, paling sedikit digunakan lima buah irisan untuk

kasus yang sangat sederhana. Dalam profil lereng yang lebih kompleks atau

melibatkan banyak material dalam massa batuan atau tanah yang runtuh, maka

dibutuhkan jumlah irisan yang lebih banyak. Parameter yang harus

didefinisikan pada tiap irisan adalah sudut dasar pada tiap-tiap irisan,

tegangan vertikal pada dasar irisan yang diwakili oleh parameter tinggi

material dalam tiap-tiap irisan dan berat jenis material , tekanan air diwakili

oleh tinggi terhadap permukaan phreatik dan berat jenis air , serta lebar

tiap-tiap irisan .

3. Parameter tegangan geser

Tegangan geser yang bekerja pada dasar irisan diperhitungkan juga dalam

analisis kemantapan lereng. Pada kasus material yang homogen dan kriteria

failure-nya mengikuti kriteria Mohr-Coulomb, parameter gaya geser dan

akan sama di setiap dasar irisan. Jika lereng tersebut terdiri dari beberapa

material, parameter gaya geser tiap irisan harus dipilih sesuai dengan material

21

terbawah yang ada pada tiap irisan.

4. Iterasi faktor keamanan

Setelah parameter irisan dan parameter tegangan geser didefinisikan, maka

nilai dihitung untuk tiap irisan. Tekanan air ditambahkan pada

. merupakan penjumlahan komponen berat tiap irisan yang

bekerja sejajar dengan bidang runtuh. Faktor keamanan awal yang dimisalkan

pertama kali adalah faktor keamanan yang dihitung dengan metode Irisan

Biasa. Nilai faktor keamanan metode ini selalu lebih kecil dan mendekati nilai

faktor keamanan dari metode Bishop Sederhana. Jika faktor keamanan yang

dihitung dibandingkan dengan faktor keamaanan awal dari metode Irian Biasa.

Selanjutnya, nilai faktor keamanan yang dihitung ulang atau diiterasi sampai

diperoleh selisih nilai atau galat yang hampir mendekati nol. Pada kondisi

lereng yang sederhana, proses iterasi umumnya dibutuhkan sekitar lima sampai

sepuluh kali.

5. Kondisi dan koreksi

Ada dua hal kondisi yang harus dipenuhi oleh tiap-tiap irisan dalam analisis

kemantapan lereng ini, sebagai berikut:

- Kondisi pertama digunakan untuk memastikan tegangan normal efektif pada

dasar tiap irisan selalu positif (definit positif), ditentukan dengan

persamaan:

......................................................................... (2.27)

- Kondisi kedua digunakan untuk memastikan bahwa analisis tidak terganggu

oleh adanya suatu kondisi yang kadang terjadi di dekat kaki lereng (toe)

yang merupakan lokasi terdalam permukaan bidang runtuh tersebut

diasumsikan, dengan persamaan:

........................................................... (2.28)

2.2 Metode Optimasi

Pertama kali, metode optimasi diperkenalkan dalam liniear programming oleh

22

George Dantzig tahun 1940. Dalam bidang matematika, persoalan optimasi adalah

mencari nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi persamaan terhadap

variabel-variabel yang menentukan persamaan tersebut.

Sebuah persoalan optimasi dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Diberikan: fungsi , A merupakan bilangan real.

Diminta: elemen dalam yang memberikan untuk semua

nilai dalam yang memberikan hasil minimum; atau,

elemen dalam yang memberikan untuk semua

nilai dalam yang memberikan hasil maksimum.

Fungsi tersebut disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi harga, kemungkinan

solusi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari fungsi objektif

disebut sebagai solusi optimal. (Sumber Wikipedia, the free encyclopedia).

Berdasarkan deskripsi tersebut maka persoalan optimasi faktor keamanan ( )

minimum metode Bishop Sederhana dalam penelitian ini dapat dimodelkan:

Tentukan variabel permukaan bidang runtuh sehingga ,

mempunyai nilai minimum.

Dengan kendala dan

Catatan:

Persamaan fungsi di atas merupakan penjabaran dari persamaan 2.24,

sedangkan merupakan variabel dari fungsi dari

persamaan 2.15, 2.21, dan 2.22.

Banyak metode optimasi yang telah dikembangkan, diantaranya adalah Algoritma

Genetika dan Quasi-Newton yang digunakan dalam penelitian ini.

23

2.2.1 Algoritma Genetika

Algoritma Genetika (AG) pertama kali dikembangkan oleh John Holland dalam

bukunya Adaptation in Natural and Artificial System pada tahun 1975. AG dapat

dipandang sebagai suatu teknik pencarian (searching method) secara stokastik

yang idenya diperoleh dari proses evolusi di alam. Algoritma ini meniru

mekanisme kerja seleksi alam dan genetika kehidupan manusia dalam

menyelesaikan masalah. Dengan kata lain, AG merupakan suatu proses evolusi

buatan terhadap sekumpulan titik (individu) yang merupakan kandidat solusi dari

suatu masalah (fungsi persamaan) yang terjadi di dalam komputer dan

berlangsung secara iteratif beberapa generasi sampai ditemukan individu dengan

kriteria terbaik yang memberikan hasil optimum (maksimum atau minimum).

2.2.1.1 Mekanisme Algoritma Genetika

Berbeda dengan teknik pencarian konvensional, AG bekerja dalam sekumpulan

calon solusi yang disebut sebagai populasi. Sedangkan masing-masing calon

solusi disebut sebagai individu atau string. Individu terdiri dari sekumpulan gen

atau bit yang merepresentasikan sifat dan karakter dalam satu iterasi atau generasi.

Untuk setiap iterasi atau generasi, individu akan mengalami proses evolusi

(seleksi alam) dan proses genetika (persilangan dan mutasi) yang nantinya akan

menghasilkan generasi populasi baru.

Dalam AG dikenal adanya fungsi fitness. Nilai fungsi fitness merupakan ukuran

seberapa adaptif suatu individu terhadap lingkungannya. Fungsi ini berkaitan erat

dengan masalah (fungsi persamaan) yang akan diselesaikan. Tidak semua masalah

(fungsi persamaan) dapat secara langsung diselesaikan dengan AG, melainkan

harus dimodifikasi sedemikian rupa menjadi suatu fungsi fitness sehingga dapat

diselesaikan oleh AG. Individu dengan nilai fungsi fitness tinggi menunjukkan

bahwa individu tersebut merupakan kandidat solusi masalah (fungsi persamaan).

24

AG bertujuan untuk mencari individu yang memiliki nilai fungsi fitness yang

tinggi.

Ada empat perbedaan dasar mekanisme kerja antara Algoritma Genetika dengan

metode konvensional, yaitu:

1. Algoritma Genetika bekerja pada suatu kode dari sekumpulan atau himpunan

parameter, bukan himpunan parameter itu sendiri.

2. Algoritma Genetika bekerja pada sekumpulan titik, bukan hanya sebuah titik.

Dengan bekerja pada sekumpulan titik, peluang AG untuk terjebak dalam

optimum lokal dapat dikurangi.

3. Algoritma Genetika bekerja hanya menggunakan informasi fungsi fitness. Hal

ini berarti AG tidak memerlukan syarat keterdifferensialan maupun

kekontinuan dalam bekerja dan dapat bekerja baik pada fungsi diskret.

4. Algoritma Genetika menggunakan aturan probabilistik, bukan aturan

deterministik.

Secara umum, ada enam langkah dasar dalam Algoritma Genetika, yaitu:

1. Populasi

Pada tahap awal, algoritma secara acak akan membangun populasi dengan

jumlah individu . Setiap individu terdiri dari sekumpulan gen atau bit yang

pada umumnya merupakan string biner. Jumlah gen dalam tiap individu atau

panjang individu biasanya berhubungan dengan berapa ketelitian nilai yang

diinginkan.

Hubungan ini dirumuskan sebagai berikut:

dengan:

=

= banyak variabel

= ketelitian nilai

= interval

= panjang bit varibel ke-

25

2. Evaluasi

Setelah terbentuk populasi awal, selanjutnya AG akan mengevaluasi setiap

individu ke dalam populasi. Pertama, tiap individu akan dikonversi terlebih

dahulu dari kode biner ke nilai riil. Adapun rumus:

dengan:

= bilangan desimal tiap string biner variabel

Setelah semua individu dikonversi ke nilai riilnya, selanjutnya akan dihitung

fitness tiap individu berdasarkan fungsi fitness.

3. Seleksi

Setelah mengevaluasi tiap individu, pada tahap ini akan dilakukan seleksi

calon orang tua berdasarkan fitness yang dimiliki. Individu yang lebih baik,

yakni yang mempunyai fitness yang lebih tinggi, mempunyai peluang yang

lebih sering dan besar untuk terseleksi ke dalam himpunan calon orang tua.

Ada beberapa metode seleksi dalam AG salah satunya metode Roulette Wheel

Selection. Metode ini meniru mekanisme permainan roda rolet. Setiap

individu mendapat bagian dalam roda rolet proporsional dengan nilai fitness

mereka. Individu yang memiliki fitness tinggi akan mendapat porsi roda yang

lebih besar. Selanjutnya seleksi individu ke dalam himpunan calon orang tua

dilakukan dengan melakukan pemutaran roda rolet secara acak sebanyak

jumlah individu . Individu yang memiliki bagian roda rolet yang lebar,

yakni mewakili fitness yang tinggi, akan mempunyai peluang yang lebih

besar dan lebih sering untuk terseleksi.

Berikut ini adalah langkah-langkah dalam Roulette Wheel Selection:

Hitung fitness untuk tiap individu .

Hitung total fitness dari populasi.

Hitung peluang terseleksi untuk tiap individu .

26

Hitung peluang kumulatif untuk tiap individu .

Pilih bilangan acak r antara [ ].

Jika , maka pilih individu pertama , jika tidak maka pilih individu

ke- , sedemikian hingga

4. Persilangan

Operator genetika ini bekerja pada dua individu yang dipilih secara acak dari

himpunan calon orang tua. Untuk setiap dua individu yang terpilih akan

dilakukan rekombinasi untuk menghasilkan individu baru (keturunan).

Peluang persilangan atau biasanya tinggi. Ada beberapa jenis metode

persilangan, diantaranya adalah:

Persilangan 1 titik (one-point crossover)

Persilangan 2 titik (two-point crossover)

Persilangan bergantian (cycle crossover)

One-point crossover,

Proses kerjanya adalah dengan memilih sepasang individu dari himpunan

calon orang tua lalu menyilangkan mereka dengan titik persilangan acak.

Tujuan dari proses persilangan adalah mengeksplorasi daerah solusi sekitar

orang tua. Atau dengan kata lain, proses persilangan bertujuan menghasilkan

keturunan (individu baru) yang tidak jauh berbeda dari orang tua. Karena

orang tua berasal dari individu dengan fitness tinggi, maka diharapkan

keturunan yang dihasilkan juga mempunyai fitness yang tinggi.

Skema metode one-point crossover,

Orang tua 1 Orang tua 2 Keterangan 1 Keterangan 2

1 0 1 Ξ 1 1 0 1 1 1 Ξ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0

Prosedur persilangan sebagai berikut:

Semua individu dalam populasi dipasangkan dua-dua sehingga terbentuk

[ ] pasangan dengan [ ]: bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sama dengan .

Pilih bilangan acak rk antara [ ] dengan

27

Jika maka pasangan ke- mengalami persilangan, lakukan

persilangan one-point crossover. Jika tidak, pasangan ke- tidak

mengalami persilangan dan langsung terpilih ke populasi baru.

5. Mutasi

Selanjutnya, pada individu-individu ini akan dilakukan proses mutasi.

Operator genetika ini memodifikasi setiap gen/bit. Pada individu dengan

peluang , mutasi jarang terjadi sehingga . Pada individu dengan

string biner, jika bit mengalami mutasi maka nilai 0 akan berubah menjadi 1

dan nilai 1 berubah menjadi 0. Prosedur mutasi sebagai berikut:

Tentukan bilangan acak antara [ ] dengan .

merupakan jumlah keseluruhan bit dalam populasi.

Jika maka ubah nilai bit ke- dari 0 menjadi 1 atau sebaliknya

dari 1 menjadi 0.

Proses mutasi dalam AG mempunyai peranan penting dalam mengeksploitasi

daerah solusi global untuk mencari individu terbaik. Dengan mutasi

diharapkan solusi untuk terjebak di dalam optimum lokal dapat direduksi.

6. Terminasi

Setelah melewati proses evaluasi, persilangan dan mutasi, maka AG akan

menghasilkan populasi baru. Selanjutnya, populasi baru ini akan diuji apakah

sudah memenuhi kriteria penghentian.

Secara umum, ada dua kriteria penghentian, yaitu:

a. Uji kekonvergenan

Iterasi akan berhenti jika terjadi kestabilan populasi yang ditandai dengan

keseragaman hampir semua gen dalam populasi.

Misalkan: (Offermans, 1995)

: populasi dari individu dengan 1 gen.

kromosom pada individu ke dalam dengan . Jika gen

stabil maka ada lebih 90% individu dalam dengan

dan adalah posisi bit. stabil apabila semua gen

pada stabil.

b. Uji iterasi

28

Iterasi akan berhenti jika sudah mencapai iterasi atau generasi maksimum

yang ditetapkan.

Algoritma Genetika dengan enam langkah utama yang telah dijabarkan tersebut

untuk selanjutnya disebut sebagai Algoritma Genetika Sederhana.

(David E. Goldberg, 1989).

2.2.1.2 Diagram Algoritma Genetika

Berikut merupakan diagram alir Algoritma Genetika yang akan digunakan dalam

penyusunan kode script program:

START

INISIASI POPULASI

(XR, XL, R, Z)

EVALUASI

KONDISI GENERASI

REPRODUKSI

PERSILANGAN

MUTASI

GENERASI

I = I + 1

STOP

GENERASI AWAL

I = 1

ITERASI

|FSn+1 – FSn| < 10-7

FSn

FSn+1

FUNGSI

FITNESS

(FS Objektif)

GENERASI

AKHIR

(XR, XL, R, Z)

TIDAK

TIDAK

FAKTOR

KEAMANAN

(FS)

YA

YA

29

Gambar 2.7 Diagram Alir Algoritma Genetika

2.2.2 Quasi-Newton

Dalam penelitian tidak dibahas secara detail tentang Quasi-Newton karena

penggunaan metode dalam pemodelan program menggunakan optimization

toolbox yang telah ada dalam MATLAB. Oleh karena itu, hanya dijelaskan

gambaran umum dari Quasi-Newton tersebut.

Persoalan optimasi dengan Quasi-Newton cukup dikenal sebagai algoritma untuk

menemukan titik lokal maksimum atau lokal minimum dari sebuah fungsi

persamaan. Quasi-Newton berbasis pada metode Newton dalam menemukan titik

stasioner sebuah fungsi, dimana gradien fungsi tersebut adalah nol. Dalam metode

Newton, fungsi persamaan dapat secara lokal diaproksimasi sebagai persamaan

kuadrat di sekitar daerah optimum dan menggunakan turunan pertama (gradien)

dan turunan kedua (Hessian) untuk mencari nilai titik stasioner. (Wikipedia: The

Free Encycolpedia).

Dalam metode Newton, digunakan turunan kedua untuk mencari nilai minimum

fungsi . Deret Taylor dari fungsi :

dimana merupakan gradien dan merupakan matriks Hessian. Gradien dari

deret Taylor itu sendiri sebagai berikut:

juga disebut fungsi secant. Dengan menghitung nilai ,

memberikan langkah selanjutnya:

nilai tidak diketahui, sehingga untuk menghitung nilai ini digunakan formula

penunjang seperti formula Broyden. Jika nilai sudah diketahui dan nilai

diasumsikan maka nilai dapat dihitung, dan iterasi dilakukan sampai

30

diperoleh nilai dengan kondisi terminasi yang diinginkan. Nilai terakhir

digunakan dalam fungsi persamaan yang menghasilkan nilai minimum.

Beberapa perbedaan mekanisme kerja antara Quasi-Newton dengan metode

konvensional, yaitu:

1. Quasi-Newton berbasis metode Newton yang membutuhkan proses iterasi

dalam mencari solusi optimum sebuah persamaan fungsi.

2. Quasi-Newton memerlukan syarat keterdifferensialan maupun kekontinuan

dari persamaan fungsi fitness (fungsi objektif).

3. Quasi-Newton menggunakan aturan deterministik, bukan aturan probabilistik.

2.3 Pemodelan Program

Simulasi komputer untuk analisis kestabilan lereng menggunakan MATLAB

dibuat dengan memanfaatkan fasilitas formula matematika atau toolbox

matematika berupa fungsi matematika, logika, dan grafik yang telah tersedia

dalam MATLAB. Pemodelan matematis yang digunakan sebagai pembuatan kode

script pemrograman dalam MATLAB terutama didasarkan pada konsep-konsep

mengenai jarak antara dua titik, persamaan dan sifat garis lurus, persamaan dan

sifat lingkaran, perpotongan lingkaran dan garis lurus, fungsi trigonometri dan

koordinat titik polar. Program simulasi ini diberi nama DINI.

2.3.1 Program MATLAB

MATLAB merupakan program komputasi numerik dengan bahasa pemrograman

terintegrasi di dalamnya. MATLAB dirancang oleh MathWorks. MATLAB

memiliki banyak kemudahan dalam menghitung persoalan-persoalan rekayasa

(engineering), seperti: memanipulasi matriks, memplot fungsi persamaan,

mengimplementasikan sebuah algoritma, pembuatan objek interface. MATLAB

harus ter-install dalam komputer yang digunakan. MATLAB juga dilengkapi

dengan toolbox matematika lebih lanjut, seperti: genetic algorithm, optimization,

artificial neural network toolbox sehingga pemakai dapat langsung menggunakan

toolbox tersebut tanpa harus membuat fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files.

31

Dalam penelitian ini, penyelesaian optimasi dengan Algoritma Genetika tidak

menggunakan genetic algorithm toolbox yang telah tersedia dalam MATLAB,

namun fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files dibuat berdasarkan prinsip dan

proses Algoritma Genetika itu sendiri. Sedangkan penyelesaian optimasi dengan

Quasi-Newton, digunakan optimization toolbox yang telah tersedia dalam

MATLAB, penjelasan lebih lanjut pada sub-bab berikutnya.

2.3.2 Diagram Alir Pemodelan Program

Berikut merupakan diagram alir dalam membuat pemodelan program:

32

METODE KESETIMBANGAN BATAS

Irisan Biasa,

Bishop yang Disederhanakan

HASIL OPTIMASI

Geometri Bidang Runtuh,

Laporan Perhitungan,

Faktor Keamanan

ALGORITMA

GENETIKA

METODE

QUASI-NEWTON

METODE

OPTIMASI

PROSES

OPTIMASI

DATA MODEL LERENG

Koordinat, Profil,

Properti, Irisan Material

Permukaan Phreatik,

Rekahan Tarik

KONDISI BATAS

GEOMETRI BIDANG

RUNTUH

ANALISIS

HASIL OPTIMASI

(DINI)

VALIDASI

HASIL OPTIMASI

(GALENA)

KONDISI DAN KOREKSI

YA

TIDAK

START

STOP

HASIL OPTIMASI

AKHIR

Gambar 2.8 Diagram Alir Pemodelan Program

2.3.3 Proses Pemodelan Program

Setelah membuat diagram alir pemodelan program, proses dilanjutkan dengan

menuangkan alur pemodelan dalam perancangan kode-kode script program

dengan MATLAB berupa m-files. Perancangan program simulasi ini dibagi dalam

5 langkah penting, yaitu:

1. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pemasukan data

(input).

2. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses optimasi dengan

33

Algoritma Genetika dan Quasi-Newton.

3. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pengeluaran hasil

(output) berupa perhitungan dan grafik.

4. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses penyimpanan data

dan hasil.

5. Penggabungan semua fungsi rutin dari 4 langkah sebelumnya dalam tampilan

antarmuka atau graphical user interface (GUI) program simulasi.

Fungsi rutin m-files merupakan tempat kode-kode script pemrograman MATLAB

yang akan dituangkan. Fungsi rutin tersebut dibuat melalui Objek Editor

Pemrograman dalan MATLAB. Semua fungsi rutin m-files dapat dilihat dalam

lampiran A.

2.3.3.1 Fungsi Rutin M-Files Proses Pemasukan Data

Proses awal pemodelan program simulasi ini, diawali dengan perancangan fungsi-

fungsi rutin yang akan membaca atau mengeksekusi data yang akan digunakan

dalam proses simulasi.

Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:

1. fungsi_data.m, merupakan fungsi rutin untuk membaca data-data yang

digunakan dalam perhitungan kestabilan lereng yang ada dalam file berformat

text (*.txt) yang dapat diakses menggunakan Notepad, data-data tersebut

seperti geometri lereng, properti material, dan permukaan phreatik air tanah.

2. fungsi_proses_data.m, merupakan fungsi rutin lanjutan dari fungsi_data.m,

fungsi ini menjadi media penghantar antara data file berformat text dengan

MATLAB, format-format tulisan dalam file tersebut diproses menjadi input-

input variabel yang akan digunakan dalam persamaan fungsi faktor

keamanan, seperti nilai c (kohesi) dan variabel lainnya.

2.3.3.2 Fungsi Rutin M-Files Algoritma Genetika

34

Berdasarkan diagram alir Algoritma Genetika sebelumnya, fungsi-fungsi rutin

berupa m-files dibuat untuk mengimplementasikan Algoritma Genetika dalam

penyelesaian optimasi faktor keamanan minimum dengan menuangkan kode-kode

script pemodelan program simulasi.

Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:

1. fungsi_bit_angka_ga_satu.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi

bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara individu.

2. fungsi_bit_angka_ga_dua.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi

bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara jamak atau banyak

(array).

3. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi

persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana. Fungsi

rutin ini memuat perhitungan rumus yang telah dijabarkan dalam persamaan

2.1 sampai 2.28.

4. fungsi_evaluasi_populasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk mengevaluasi

populasi-populasi individu selama proses optimasi apakah telah sesuai

dengan kriteria fitness fungsi yang ditentukan.

5. fungsi_generasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk membuat generasi-

generasi individu dalam proses optimasi.

6. fungsi_optimasi_ga.m, merupakan fungsi rutin utama yang menghubungkan

semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi Algoritma

Genetika diinisiasi melalui fungsi rutin ini.

2.3.3.3 Fungsi Rutin M-Files Quasi-Newton

MATLAB telah menyediakan fasilitas optimization toolbox dengan berbagai

pilihan metode optimasi di dalamnya, salah satunya adalah Quasi-Newton.

Fasilitas toolbox ini dapat diakses dengan menggunakan perintah syntax fungsi

fmincon, syntax ini terdapat di dalam fungsi_optimasi_newton.m.

Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:

1. fungsi_batas_newton.m, merupakan fungsi rutin yang berisi kondisi-kondisi

35

batas (constraint) dari variabel-variabel yang menentukan fungsi faktor

keamanan.

2. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi

persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana, sama

seperti fungsi objektif yang digunakan dalam Algoritma Genetika.

3. fungsi_iterasi_newton.m, merupakan fungsi rutin untuk melakukan proses

iterasi terhadap nilai-nilai faktor keamanan minimum yang dihitung dalam

Quasi-Newton.

4. fungsi_optimasi_newton.m, merupakan fungsi rutin utama yang

menghubungkan semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi

Quasi-Newton diinisiasi melalui fungsi rutin ini.

2.3.3.4 Fungsi Rutin M-Files Proses Pengeluaran Hasil

Jika proses optimasi telah selesai, maka hasil-hasil perhitungan yang terjadi

dalam proses optimasi dapat ditampilkan, seperti laporan dan grafik hasil

perhitungan. Hal ini dapat dilakukan dengan membuat fungsi rutin yang akan

memproses hasil output tersebut.

Fungsi rutin tersebut antara lain fungsi_output.m, fungsi rutin ini akan memproses

hasil-hasil perhitungan berupa laporan dan grafik. Fungsi ini juga merupakan

bagian dalam fungsi_optimasi_ga.m dan fungsi optimasi_newton.m, karena kedua

fungsi ini akan mengeksekusi fungsi_output.m dalam setiap proses optimasinya.

2.3.3.5 Fungsi Rutin M-Files Proses Penyimpanan Data dan Hasil

Bagian penunjang atau tambahan dalam pemodelan program ini, adalah proses

penyimpanan data dan hasil dari program simulasi.

Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari:

1. fungsi_simpan_data.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses

penyimpanan data jika terdapat perubahan isi data dalam file berformat text

(*.txt).

36

2. fungsi_simpan_hasil.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses

penyimpanan laporan hasil perhitungan ke dalam file berformat text (*.txt).

2.3.3.6 GUI Program

Tahapan terakhir dari pemodelan program ini adalah perancangan tampilan

antarmuka atau yang lebih dikenal dengan graphical user interface (GUI)

program. Sebenarnya dalam pemrograman MATLAB, proses-proses simulasi

sudah dapat dilakukan tanpa harus membuat GUI program dengan hanya

mengeksekusi fungsi-fungsi rutin m-files yang sudah dibuat sebelumnya pada

jendela console atau command MATLAB, tentunya dengan melakukan setiap

proses secara manual atau dengan menuliskan syntax yang ada dalam setiap fungsi

rutin secara berurutan. Hal ini akan menjadi tidak efisien, sehingga dibutuhkan

sebuah fasilitas yang dapat menghimpun semua proses-proses perhitungan, yaitu

GUI program.

Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari:

1. BUSUR.fig, merupakan fungsi yang berisi objek-objek interface program

simulasi dalam MATLAB, seperti objek form, panel, button, edit text, static

text, dan axes. Bentuk tampilan (layout) dan isi dari objek-objek program

dapat didisain secara bebas dalam BUSUR.fig ini. Proses perancangan dapat

dilakukan dengan mengeksekusi perintah guide BUSUR pada jendela console

MATLAB.

2. BUSUR.m, merupakan fungsi yang berisi kode-kode script yang

memvisualisasikan objek-objek interface yang telah dirancang dalam

BUSUR.fig dan fungsi ini juga berisi kode-kode script tambahan untuk

menggabungkan semua fungsi rutin yang telah dibuat.

2.3.4 Penggunaan Program Simulasi

Setelah penggabungan fungsi-fungsi rutin m-files dalam GUI program, maka

program simulasi sudah dapat dijalankan. Langkah-langkah penggunaan program

37

simulasi DINI adalah sebagai berikut:

1. Jalankan program MATLAB, properti window MATLAB akan terlihat seperti

pada Gambar 2.9. Pilih lokasi direktori kerja dari fungsi-fungsi rutin m-files

(garis merah bagian kanan-atas pada Gambar 2.9), kemudian pilih file

START.m dan klik file tersebut (garis merah bagian kiri-bawah pada Gambar

2.9) atau ketik kata START dalam jendela console MATLAB yang ada di

bagian panel sebelah kanan.

Gambar 2.9 Tampilan Awal Window dalam MATLAB

Setelah file START.m diklik atau diketik pada jendela console, maka akan

muncul tampilan awal program simulasi DINI, sebagai berikut:

38

Gambar 2.10 Tampilan Awal Program Simulasi

2. Proses pemasukan input data diawali dengan membuka file data yang aka

dgunakan dalam program simulasi. Klik tombol browse pada tab Data Lereng

dan pilih file data yang akan digunakan, kemudian klik open.

Gambar 2.11 Proses Input File Data Simulasi

3. Parameter-parameter penunjang seperti metode optimasi, rekahan tarik, dan

kondisi batas variabel geometri dapat dipilih dan diisi pada tab Kondisi Batas.

39

Gambar 2.12 Proses Input Parameter Penunjang

4. Proses optimasi siap dilakukan dengan mengklik tombol. Selanjutnya, proses

optimasi ditunggu sampai selesai ditandai dengan tampilan tombol Stop

menjadi tidak aktif dan tampilan grafik optimasi faktor keamanan minimum.

Gambar 2.13 Tampilan Faktor Keamanan Minimum

5. Gambar permukaan bidang runtuh dan laporan hasil perhitungan dapat dilihat

dengan mengklik tombol Geometry dan tombol Report.

40

Output gambar permukaan bidang runtuh:

Gambar 2.14 Tampilan Permukaan Bidang Runtuh

Output laporan hasil perhitungan:

Gambar 2.15 Tampilan Laporan Hasil Perhitungan