Exercice 1

On demande de vrifier la rsistance et la stabilit de la poutre-colonne de la figure suivante qui est soumise un effort axial de compression et un moment de flexion primaire (autour de laxe fort ) constant sur sa longueur. Cette vrification sera effectue dans deux cas suivants:

a/ on suppose que toute instabilit dans le plan perpendiculaire au plan de sollicitation est empche par un systme adquat de contreventement;

b/on suppose que le dversement de la poutre-colonne ainsi que son flambement autour de laxe faible sont permis.

Donnes : - L = 12 m

- acier Fe 360;

- profil HE 280A

- M* = 100 kNm et N* = 500 kN (charges pondres).

Remarque:

On considre que les conditions relles dextrmits de la poutre-colonne permettant de considrer la prsence dappuis fourches en A et B

Calcul de la force portante dune poutre-colonne

Moment non-linaire

Pour ces exercices :

Il faut chaque fois dterminer le cas de sollicitation et dterminer le moment quivalent.

Solution

1- voilement

HE280 A: - me : minceur

Classe I

On suppose que toute lme est comprime (compression partout cas le plus dfavorable) 33

- semelle:

Classe II

Profil classe II moment ultime = moment plastique

Pas de voilement

Une fois quon vrifie le voilement il faut vrifier

Plastification locale:

N* , M*

Pas de problme de plastification

Instabilit

Suivant quon rpond au a) ou b) les formules seront diffrentes. Pour a)

Pas de diversement Pas de flambement daxe faible (plan perpendiculaire au plan de sollicitation)

Pas de problme dinstabilit

b) Ici on aura une instabilit spatiale o apparatront tous les phnomnes en mme temps

flambement

dversement

!

Le dversement apparat toujours par flexion autour de laxe fort

Formule pg 7-15 qui marche partout lourde utiliser.

Pour rappeler qu on est dans le cas de la flexion pure

En effet ces formules ne sont applicables que si le moment est constant

Si on remplaait dans la grande formule les diffrents termes par leurs valeurs

Ne tient pas

Obligation de contreventer (hors du plan)

Exercice 2

Dterminer la valeur maximum que peut prendre une charge transversal Q* agissant mi-porte dune colonne HEA 200 de 10 m de haut (flexion de la colonne autour de laxe fort) dj soumise un effort axial de compression de 150 kN (charge pondre).

On considre la prsence dappuis fourche au deux extrmits de la colonne.

Donnes : acier Fe 360

Solution

Il faut toujours commencer par dterminer la classe du profil

HEA 200 : e = 1

me :

Classe I

Classe I

Section plastique,

Plastification locale:

La plastification se vrifie dans la section o leffort normal et le moment flchissant sont les plus importants .

Ici le moment non linaire sera de toute faon + grand que le moment linaire.

La section critique pour la plastification est gale au moment critique pour linstabilit

Instabilit prpondrante pas besoin de vrifier la plastification locale.

On vrifie la plastification toujours aux extrimits (car le moment est le plus important)

Cas gnral

Ici ce quil faut vrifier cest :

Instabilit:

Spatiale

Cas de flexion pure:

Ici on est pas en flexion pure moment non constant cest pour a qon introduit le coeff dquivalence.

Pg 8-16 dautres faons de calculer le coff dquivalence

Rem 2 pg16:

Rem 3 pg17:

Dans ce cas on est plus en flexion pure on doit utiliser la formule pg 7-15

C1 et C2 sont lis au type de sollicitation

C1 = 1 (en cas de flexion pure, et non 1,36. En effet on prendrait 1,36 si calcul de dversement alors quici verif. De poutre colonne

En fait le C1 dj t pris en compte cest pourquoi = 1

C2 = 0,55 cas

y* = distance du point dapplication de la charge au C.G. de la section compte positivement dans le sens stabilisant

Sinon modifier

Exercice 4

Soit le hall contrevent de la figure suivante, soumis une charge de toiture q uniformment rpartie.

Considrons une colonne de coin de ce hall. Le profil utilis est un HE 100A flchi dans le plan ABCD autour de son axe fort.

On demande:

1/ de dterminer en fonction de q les valeurs des efforts sollicitant la colonne ( effort tels quon les dterminerait dans un prdimensionnement);

2/ de calculer la valeur de la charge q maximum que peut supporter la toiture si lon veut sassurer de la stabilit des colonnes.

Donne : - acier Fe 360.

- appui fourche aux extrmits des colonnes.

Solution

On divise le rectangle (toit) en 4 chaque partie de portique reprend donc la charge suivante

On fait un cross

Il faut ajouter la sollicitation deffort normal.

Il faut dterminer les diffrentes sollicitations on pose les conditions de rsistance et de stabilit des colonnes.

( Le moment rduit est gal ce moment max trouv )

Maintenant il faut effectuer un calcul de flambement :

Pour calculer le moment ultime de dversement, il faut llancement de dversement.

Classe de flexion A

Condition de stabilit (en flexion biaxiale)

Rsistance

La diffrence avec la vrification de la stabilit cest la faon dont on va dduire le moment plastique.

Conclusion: Ce qui gouverne la ruine ici ce nest donc pas la stabilit mais la plastification

Exercice 5

Le portique contrevent suivant est constitu de deux colonnes identiques et dune poutre sur laquelle agit une charge pondre p* uniformment rpartie de 25 kN/m. dans le plan du portique, les colonnes sont flchies autour de leur axe faible et la poutre autour de son axe fort.

La colonne AB est articule ses extrmits, tandis que la colonne CD est encastre en base.

On demande, compte tenu des diagramme des moments M:

1/ de dterminer conomiquement la colonne AB ( se limiter aux profils type HEA ), si lon suppose a priori que le profil de la poutre BC est une IPE 270.

2/ de justifier le choix dune IPE 270 pour raliser la poutre BC, connaissant, suite au 1/ , les profils AB et CD, et de juger de la ncessit ( ou non ) de se prmunir contre le dversement de la poutre BC.

3) De vrifier si le profil dtermin en 1/ est effectivement en mesure de supporter les efforts auxquels est soumise la colonne CD.

Remarques

On supposera, pour la vrification de la stabilit des colonnes, que toute instabilit dans le plan perpendiculaire au portique est empche. On supposera que les assemblages en B et C peuvent tre assimils des appuis fourche dans le calcul du dversement de la poutre.

Donnes

L=5 m; h= 8 m

Acier utilis : Fe 360, E =210000 N/mm2 et gM =1,1;

Flche maximale fmax sous charges de service (g=1,5) dans la poutre : fmax /L = 1/250

Diagramme des moment

Solution

Colonne AB

1re chose (tjs) : dtermination des efforts auxquels la colonne est soumise .

On devrait sarrter ici si on ne rflchissait pas: noublions pas quil y a le diagramme des moments ( hyperstatique en effet sarrter calculer NAB seulement suppose une structure isostatique , effort se rpartissant moiti moiti

On part de la charge dEuler pour faire une estimation.

HE140A

Poutre BC IPE270

Vrification

1) Instabilit locale:

2) Rsistance : Ok ! ( car effort normal nglig vrification immdiate)

3) Dformation

Voir le bouquin de sescotto

4) Dversement

Risque de dversement il faut contreventer

Colonne CD

Idem AB sauf quici on a un surcrot deffort normal d au moment hyperstatique

Daprs les hypothses de lexo formule utiliser sera celle relative au flambement daxe faible.

Vrification rsistance

Faible ce quon peut faire cest vrifier en lasticit

Ceci est une interrogation ?

!

N*

M*

N*

M*

L

B

A

N*

M*

N*

M*

L

B

A

N*

N*

10 m

Q*

N*

N*

10 m

Q*

q

v

N

M

N

q

e

+

+

1

235

=

=

y

f

e

33

5

,

24

8

196