SADRAJ
Strana 1.
UVOD...........................................................................................................................................1
2. BINARNA
STABLA...................................................................................................................2
3. STABLA BINARNOG
PRETRAIVANJA...............................................................................5
4. PRETRAIVANJE, UMETANJE I BRISANJE IZ
B-STABLA.............................................10 4.1.
Pretraivanje B-Stabla
........................................................................................................10
4.2. Umetanje kljua u B-Stablo
...............................................................................................13
4.3. Brisanje iz B-Stabla
............................................................................................................20
5. VISINSKI BALANSIRANO STABLO
AVL........................................................................22
6.
ZAKLJUAK.............................................................................................................................26
LITERATURA...............................................................................................................................27
1. UVODVektori i povezane liste su jednodimenzionalne strukture
podataka koje odraavaju samo redosled elemenata. Ponekad je meutim
potrebno predstaviti i sloenije odnose izmeu II
Stabla binarnog pretraivanja elemenata. Stablo (drvo) je
hijerarhijska struktura, ali se moe koristiti i za izvoenje nekih
operacija nad linearnim strukturama. Na ovom mestu baviemo se samo
hijerarhijskim ili korenskim stablom. Korensko stablo ini skup
vorova i grana, koje povezuju vorove na specijalan nain.1 2 4 5 6 7
3 8
9
10 11 12 13
14
15
16
17
Jedan vor je izdvojen, predstavlja vrh hijerarhije i zove se
koren stabla. vorovi vezani sa korenom ine nivo 1 hijerarhije;
(novi) vorovi vezani sa vorovima nivoa 1 (sem korena) ine nivo 2
hijerarhije, itd. Svaka grana u stablu povezuje neki vor sa
njegovim (jedinstvenim) prethodnikom (ocem); jedino koren nema oca.
Osnovna karakteristika stabla je da nema ciklusa (zatvorenih
puteva), zbog ega izmeu svaka dva njegova vora postoji jedinstveni
put. vor u stablu vezan je sa ocem i nekoliko sinova. Za vor v koji
se nalazi na putu od vora u do korena kae se da je predak vora u; u
tom sluaju je vor u potomak vora v. Maksimalni broj sinova vora u
grafu zove se stepen stabla. Obino je za sinove svakog vora
definisan redosled, tako da se sinovi mogu identifikovati svojim
rednim brojem. Stablo stepena dva zove se binarno stablo. vor u
binarnom stablu moe da ima najvie dva sina, levog i desnog. vor bez
dece zove se list, a vor koji nije list zove se unutranji vor.
Visina stabla je najvei nivo hijerarhije u njemu, tj. maksimalno
rastojanje od korena do nekog vora. vor ima klju iz nekog potpuno
ureenog skupa (npr. celi ili realni broj). Svaki vor moe da ima
polje za podatak to zavisi od primene. U nastavku e biti rei o
binarnom stablu pretrage.
2. BINARNA STABLA1
1
www.studenti.math.hr/~filipo/Binarno_stablo.htm
2
Stabla binarnog pretraivanja Binarno stablo se rekurzivno
definie kao konaan skup elemenata koji je ili prazan ili se sastoji
od korena i dva binarna podstabla koja se ne preklapaju (tzv. levo
i desno podstablo).A
B
C
E
H
J
K
L
Striktno binarno stablo je binarno stablo kod koga svaki vor
nema nijedno podstablo ima tano dva. Kompletno binarno stablo je
striktno binarno stablo kod koga su svi listovi na istom nivou.
Broj vorova u kompletnom stablu je: n = 2h-1, gde je h visina
stabla.A B C
G
E
H N O P Q
J R
K
L
M
Skoro kompletno binarno stablo je binarno stablo za koga vai da
su svi nivoi u stablu popunjeni, osim eventualno zadnjeg, i to tako
da se popunjavanje vri s leva u desno. Tri su standardna naina kako
se mogu obii vorovi datog stabla a da se pri tome posete tano
jednom: Prefiks prolaz, Infiks prolaz, Postfiks (sufiks) prolaz.
Prefiks prolaz (K-L-D) Prvo se poseti koren, zatim prefiks prolazom
svi vorovi levog podstabla, a zatim svi vorovi desnog podstabla, A,
B, G, E, C, H, K, L, J. Infiks prolaz (L-K-D) Prvo se posete infiks
prolazom svi vorovi levog podstabla, zatim se poseti koren, a zatim
svi vorovi desnog podstabla, G, B, E, A, K, H, L, C, J. Postfiks
prolaz (L-D-K)
3
Stabla binarnog pretraivanja Prvo se posete postfiks prolazom
svi vorovi levog podstabla, zatim svi vorovi desnog podstabla, a
zatim se poseti koren, G, E, B, K, L, H, J, C, A Matematiki izrazi
sa binarnim operatorima se mogu predstaviti preko striktnog
binarnog stabla: Listovi su operandi, Unutranji vorovi su binarni
operatori (operacije). Definicija stabla kao ATP: Binarna stablo se
mogu implementirati na dva naina: Preko dinamiki spregnute
strukture, Preko niza. Dinamika implementacija je vrlo fleksibilna
implementacija, lako se vri dodavanje i izbacivanje; nema
ogranienja na broj vorova i broj nivoa stabla; mogua je primena za
sve sluajeve i oblike binarnih stabala Implementacija preko niza je
efikasna implementacija mogua samo za specijalni sluaj skoro
kompletno binarno stablo, i broj vorova i nivo stabla ogranieni su
dimenzijom niza. Efikasna implementacija preko niza mogua samo za
skoro kompletno binarno stablo (SKBS). Kod SKBS je mogue numerisati
vorove da odgovaraju indeksima u nizu i to tako da za svaki vor
vai: Indeks levog deteta = Indeks * 2 Indeks desnog deteta = Indeks
* 2 + 1 Indeks roditelja = Indeks / 2 Knutova transformacija
transformie umu stabala u jedno binarno stablo. Koraci koji se
primenjuju su sledei: 1. 2. 3. 4. Poveu se koreni svih stabala,
Prekinu se sve veze izmeu roditelja i dece izuzev krajnje leve
veze, Poveu se sva deca istog roditelja, Dobijena slika se rotira
za 45 stepeni udesno.
Rekonstrukcija stabla originalnog stabla: pokaziva nalevo je
pokaziva na prvo dete, pokaziva na desno je pokaziva na brata.
4
Stabla binarnog pretraivanja Transformie bilo koje stablo u
striktno binarno stablo tako to se prekinu sve veze izmeu roditelja
i dece izuzev krajnje leve veze, poveu se sva deca istih roditelja
i dobijena slika se zarotira za 45 stepeni udesno.
3. STABLA BINARNOG PRETRAIVANJA2Kod obinog binarnog stabla
pretraivanje se zasniva na nekom od prolaza i ima O(n) efikasnost.
BST se zasniva se na ideji da se binarno stablo organizuje tako da
omogui pretraivanje slino binarnom pretraivanju niza .BST je
binarno stablo kod koga za svaki vor vae sledea 2 uslova: 1. Svi
vorovi u levom podstablu imaju sadraj koji je manji ili jednak
sadaju datog vora, 2. Svi vorovi u desnom podstablu imaju sadraj
koji je vei ili jednak sadaju datog vora.50
20
90
30
60
95
55
80
Postupak pretraivanja BST: Ako je sadaj korena vei od traenog
kljua onda se pretrauje levo podstablo rekurzivno, Ako je sadaj
korena manji od traenog kljua onda se pretrauje desno podstablo
rekurzivno, Ako je jednak po sadraju onda je koren traeni
vor.8050
50
809020
50
50
20
90
20
90
20
90
8030 60 95
30
60
95
30
60
95
30
60
95
8055 80
552
80
55
80
55
80
www.fonforum.org/download/druga/.../Sredjena_predavanja-drugi_kol.do
5
Stabla binarnog pretraivanja
Nalaenje kljua je operacija po kojoj je struktura podataka
binarno stablo pretrage dobila ime. Potrebno je pronai u stablu
elemenat sa zadatim kljuem x. Broj x uporeuje se sa kljuem r korena
BSP. Ako je r = x onda je traenje zavreno. Ako je pak x < r
(odnosno x > r) onda se traenje rekurzivno nastavlja u levom
(odnosno desnom) podstablu. Algoritam Nai u BSP(Koren; x); Ulaz:
Koren (pokaziva na koren BSP), x (broj). Izlaz: vor (pokaziva na
vor koji sadri klju x, ili nil ako takvog vora nema). begin if
Koren = nil or Koren^.Klju = x then Cvor := Koren {Koren^ je slog
iju adresu sadri pokaziva Koren} else if x < Koren^.Klju then
Nadji_u_BSP(Koren^.Levi, x) else Nadji_u_BSP(Koren^.Desni, x) end
Postupak ubacivanja u BST: Prvo se pretrai BST, Ubaci se novi vor
na mesto nula pokazivaa gde se pretraivanje zavrilo.8550 50 20 20
90 20 90 30 30 60 95 30 60 95 60 95 30 60 95 90 20 90 50 50
8555 80 55 80
55
80
55
80 85
85
Algoritam Umetni_u_BSP(Koren, x); Ulaz: Koren (pokaziva na koren
BSP), x (broj). Izlaz: U BSP se umee vor sa kljuem x na koga
pokazuje pokaziva Sin; ako ve postoji vor sa kljuem x, onda Sin =
nil. begin
6
Stabla binarnog pretraivanja if Koren = nil then kreiraj novi
vor na koga pokazuje Sin; Koren: = Sin; Koren^.Klju = x;
Koren^.levi := nil; Koren^.Desni := nil; else vor := Koren; {tekui
vor u stablu} Sin := Koren; {postavlja se na vrednost razliitu od
nil} while vor nil and Sin nil do if vor^.Klju = x then Sin := nil
else {silazak niz stablo za jedan nivo} Otac := vor; if x <
Cvor^.Klju then vor := vor^.Levi else vor := vor^.Desni; if Sin nil
then {novi vor je sin vora} Otac kreiraj novi vor na koga pokazuje
Sin; Sin^.Klju := x; Sin^.Levi = nil; Sin^.Desni = nil; if x <
Otac^.Klju then Otac^.Levi := Sin else Otac^.Desni := Sin end
Postupak izbacivanja iz BST: Prvo se pretrai BST da bi se naao
traeni vor za izabacivanje zatim se naeni vor izbucuje na nai koji
zavisi od njegove pozicije. Mogue su tri situacije gde se nalazi
vor: vor je list, vor je polu-list (Ima samo jedno dete), vor je
unutranji (Ima oba deteta). Situacija 1: vor je list prosto se
izbaci vor iz stabla i aurira pokaziva njegovog roditelja da sadri
null vrednost. Primer: izbaciti 3050 20 90 20 50 50 20 90 60 60 95
55 55 80 55 80 80 95 90
3030 60 95 30
7
Stabla binarnog pretraivanja
Situacija 2: vor je polu-list izbaci vor iz stabla, a pokaziva
njegovog roditelja se aurira da sadri pokaziva na dete vora koji se
izbacuje. Primer: izbaciti 2050
2020 90 20
50
50
90
30
90
30
60
95
30
60
95
30
35
60
95
30
35
55
80
30
35
55
80
55
80
Situacija 3: vor je unutranji Pronae se njegov prvi sledbenik
(ili prethodnik) koji mora biti na krajnjoj levoj (tj. desnoj)
poziciji u desnom (tj. levom) podstablu. Sledbenik (tj. prethodnik)
mora biti ili list ili polu-list, Zameni se sadraj sledbenik (tj.
prethodnik) sa sadrajem traenog vora, Izbacuje se vor sa pozicije
sledbenika (tj. prethodnika). Ovo se svodi na sluajeve 1. i 2.
izbacivanja.
Primer: Izbaciti 9050 50
9090 20
9090 20
50
20
80
30
60
95
30
60
95prethodnik
30
60
95
55
80
55
80
55
90
8
Stabla binarnog pretraivanja
Algoritam Ukloni iz BSP(Koren; x); Ulaz: Koren (pokaziva na
koren BSP), x (broj). Izlaz: Iz BSP se uklanja vor sa kljuem x, ako
takav postoji. {Pretpostavka je da se koren nikad ne brie, i da su
svi kljuevi razliiti} begin {prva faza: traenje vora sa kljuem x}
vor := Koren; while vor nil and vor^.Klju x do Otac := vor; if x D
i G < H klju kojeg traimo se nalazi u srednjem detetu te
uporeivanjem slova G sa kljuevima srednjeg deteta nailazimo na klju
G. Tada pretreivanje staje.
Slika 5
11
Stabla binarnog pretraivanja
Iako smo prilikom pretraivanja imali 5 uporeivanja samo 2 vora
je trebalo prebaciti u memoriju. Slino binarnom stablu broj
prebacivanja je povezan sa visinom stabla. Meutim zbog toga to
B-Stablo moe imati vie od dva deteta visina stabla je manja te
samim time imamo manje prebacivanja u primarnu memoriju te manje
I/O operacija diska. Pretraivanje B-Stabla je slino pretraivanju
binarnog stabla dok je jedina razlika u tome to je vie dece pa
moramo odluiti gde se granati. Na svakom unutranjem voru u sluaju
da vor ima x dece imamo x + 1 odluka gde se granati. B-Tree metoda
pretraivanja kao parametar uzima pokaziva na vrni vor (root node)
podstabla i vrednost koja se trai. Ako se traena vrednost nalazi u
stablu tj. podstablu tada metoda vraa par (y,i) gde je y vor te i
je indeks na kojem se nalazi traena vrednost inae vraa se NULL.
Metoda za pretraivanje B-Stabla: B_tree_pretrazi(x, k) { i = 1;
while( i keyi[x] ) { i++; if( i 0; j--)
15
Stabla binarnog pretraivanja { Keyj+1[x] = keyj[x]; } Keyi[x] =
keyt[y]; n[x] = n[x] + 1; WRITE_DISK(y); WRITE_DISK(z);
WRITE_DISK(x); } } } Metoda uzima kao parametre X-roditelj koji ima
dete Y na indeksu i. Y sadri 2t-1 dece tj. kljueva te se podeli na
dva dela koja imaju po t-1 dece. Novo alociranom voru (node) Z se
dodeli t-1 dece koji su po vrednosti vei od dece Y-na. Z postaje
novo dete vora X i pozicionira se po vrednosti iza vora Y. Sredinje
dete vora Y postaje novi klju vora X i slui da bi se odvojili Y i
Z. Na kraju kad se izmene vorovi (nodes) X, Y i Z navedeni se zapiu
natrag na disk. Metoda za umetanje kljua u stablo kao argumente
uzima klju k i stablo u koje treba umetnuti klju. Zavisno od visine
stabla potrebno je O(h) puta itati s diska. Takoe metoda koristi
metodu B_tree_prepolovi_djete(x, i, y) da bi se garantovalo da se
rekurzija nikad ne spusti do punog vora. Pseudo kod metode
B_tree_prepolovi_dete(x, i, y): Alociraj prostor za novi cvor i
nazovi ga Z. Ako je Y list onda oznaci Z kao list inace oznaci Z
kao unutranji postavi broj kljuceva u cvoru Z na t-1 kopiraj
zadnjih t-1 kljuceva iz Y u Z cvor Ako Z nije list onda kopiraj
zadnjih t pokazivaca iz Y u Z. postavi broj kljuceva u Y na t - 1
umetni pokazivac na dete Z u cvor X. umetni orginalni sredisnji
kljuc iz cvora Y u cvor X u odgovarajucem redosledu uvecaj broj
kljuceva u cvoru X za jedan.
16
Stabla binarnog pretraivanja spremi promene X, Y i Z na disk.
B_tree_insert(T, k) { r = root[T]; if( n[r] == 2t -1) { s =
allocate_node(); root[T] = s; leaf[s] = false; n[s] = 0; C1[s] = r;
B_tree_prepolovi_djete (s, 1, r); B_tree_insert_nonfull (s, k); }
else { B_tree_insert_nonfull (r, k); } } U sluaju da je vor r pun
vrni vor se podeli na dva dela te novi vor s postaje vrni vor.
Visina stabla se poveava za jedan. Metoda zavrava kad se pozove
metoda za umetanje kljua k u dete iji vrni vor (root node) nije
pun. Upravo zbog toga to se prvo ispita da li vrni vor sadri
onoliko dece koliko je dozvoljeno osigurano je da se uvek novi klju
unese. Metoda B_tree_insert zapravo proverava da li je vrni vor pun
te ako je napravi mesto za novi klju dok metoda
B_tree_insert_nonfull zapravo umee novi klju te se pretpostavlja da
ako je dolo do poziva ove metode vrni vor nije pun.
B_tree_insert_nonfull(x, k) { i = n[x]; if ( leaf[x] ) {
17
Stabla binarnog pretraivanja While ( i >= 1 && k <
keyi[x] ) { keyi+1[x] = keyi[x]; i = i-1; } keyi+1[x] = k; n[x] =
n[x] + 1; WRITE_DISK(x); } else { While ( i >= 1 && k
< keyi[x] ) { i = i -1 ; } i = i + 1; READ_DISK(Ci[x]); if (
n[Ci[x] == 2t 1) { B_tree_prepolovi_djete(x, i, Ci[x]); if ( k >
keyi[x] ) i = i + 1; } B_tree_insert_nonfull( Ci[x], k); } } Prvi
deo metode u sluaju da je x list stabla (leaf node) umee klju k u
vor x, ako x nije list stabla tada se klju k umee u odgovarajui vor
u podstablu vora x. Rekurzivno se sputamo do vora gde bi trebalo
umetnuti klju. Ako je odgovarajui vor pun onda se poziva metoda
prepolovi_dete te se na odgovarajue mesto umee klju k.
18
Stabla binarnog pretraivanja Prilikom umetanja u B-Stablo
potrebno je disku pristupiti O(h) puta ako je visina stabla h. S
obzirom da je samo jedno itanje i pisanje po disku potrebno izmeu
poziva B_tree_insert_nonfull. Ukupno vreme procesora korieno je
O(t*logt n). Metoda B_tree_insert_nofull je u primeru napisana tako
da se odvija rekurzija meutim mogue ju je napisati tako da radi s
petljom to rezultira tim da je potrebno imati samo jednu stranicu
tj. sektor diska u u primarnoj memoriji tj. RAM-u. Pseudo kod
metode za umetanje kljua k u stablo T: B_tree_insert(T, k) r =
root[T] Ako vrsni cvor je pun onda Alociraj prostor za novi cvor i
nazovi ga s. root[T] = s //make s the root. r still points to
original root. postavi broj cvorova u s na 0. postavi jedini
pokazivac na dete od s da pokazuje na r. pozovi
B_tree_prepolovi_djete(s, 1, r) da prepolovis r i njegov sredisni
kljuc pomaknes u s. pozovi B_tree_insert_nonfull(s, k) da umetnes
kljuc k u stablo sa vrsnim cvorom s. else //vrsni cvor nije pun
pozovi B_tree_insert_nonfull(s, k) da umetnes kljuc k u stablo sa
vrsnim cvorom r. end if B_tree_insert_nonfull(x, k) i = broj
kljuceva u x Ako x je list onda Zbog toga sto x nije pun umetni
kljuc k na odgovarajuce mjesto u x Dodaj jedan na broj kljuceva u x
i spremi novu vrijednost x na disk. else //x nije list Pretrazi
unatrag od zadnjeg kljuca iz x dok ne nades pokazivac na dete koje
je vrsni cvor podstabla u koje kljuc k treba umetnuti Ako dete je
puno onda pozovi B_tree_prepolovi_dete(x, i, Ci[x]) postavi i =
indeks deteta od x koje je vrsni cvor podstabla u koje treba
umetnuti k. pozovi B_tree_insert_nonfull(ci[x], k) //rekurzivni
poziv end if 19
Stabla binarnog pretraivanja
4.3. Brisanje iz B-Stabla6Brisanje iz B-Stabla je komplikovanije
nego pretraivanje ili umetanje jer ukljuuje spajanje vorova. Uzmimo
primer stabla sa prethodne slike te u sluaju da izbriemo klju K iz
njega stablo bi izgledalo ovako:
Slika 10 Nakon brisanja kljua K iz stabla sa slike 8 Ovo stablo
vie nije valjano B-stablo jer nema srednjeg lana izmeu kljueva J i
L. Da bismo popravili strukturu stabla potrebno je redistribuirati
neke od kljueva. U ovom sluaju klju J se sputa u vor koji sadri
klju I tj. desno od kljua I jer se sortira po abecedi.
Slika 11 Nakon popravljanja stabla Ovo je bio jednostavan
primer, meutim ta se dogaa ako se izbriu kljuevi I i J? Tada bi
stablo izgledalo ovako:
6
www.developerszone.net/Dokumenti/B-Trees.pdf
20
Stabla binarnog pretraivanja
Slika 12 Nakon brisanja kljueva I i J iz stabla na prethodnoj
slici Ponovno je potrebno redistribuirati stablo. Vrni vor H e se
morati spustiti za razinu nie to rezultira smanjivanjem visine
stabla za jedan. Brisanje kljueva iz B-Stabla je malo
komplikovaanije nego umetanje jer klju moe biti izbrisan iz bilo
kog vora u stablu te se deca vora moraju reorganizovati. Takoe se
mora voditi rauna da nakon brisanja stablo ostane strukture kakva
treba biti, moramo osigurati proveru da vor nakon brisanja kljua ne
ostane premalen tj. da ima manje od minimuma zadanog broja kljueva
(t 1 klju). Metoda kao argumente prima klju kog treba izbrisati iz
podstabla iji vrni vor je x. Mora se osigurati reorganizacija
stabla u sluaju da vor x nakon brisanja ima manje od t kljueva.
Pseudo kod metode B_tree_delete: Ako je x list onda Ako je k u x
onda Izbrisi k u x i vrati true inace Vrati false inace Ako je k u
x onda Y = X dete koje prethodi k Ako Y ima bar t kljuceva onda K'
= k prethodnik Kopiraj K' preko k B_tree_brisi(y, k') Inace
21
Stabla binarnog pretraivanja Z = X dijete koje sledi k Ako Z ima
najmanje t kljuceva K' = k naslednik Kopiraj k' preko k
B_tree_brisi(z, k') Inace Spoji k i sve z na y // y sad ima 2t 1
kljuc // k i pokazivac na z ce se izbrisati iz x B_tree_brisi(y, k)
// rekurzivni poziv Inace //k nije unutarnji cvor od x Ci[x]
pokazuje na vrsni cvor c cije podstablo moze sadrzavati k Ako c ima
t -1 kljuc onda Ako c je levi / desni polubrat, Z, koji ima t ili
vise kljuceva Neka k1 bude kljuc u x koji prethodi /slijedi c
Pomakni k1 u C kao prvi/zadnji kljuc Neka k2 bude kljuc prvi
/zadnji kljuc u z Zameni k1 u x sa k2 iz z Pomakni zadnje/prvo dete
podstabla od z da bude prvo/zadnje diete od c Inace Spoji c sa
jednim od njegove blize polubrace i spoji odgovarajuci kljuc od x
da bude sredisnji kljuc cvora c B_tree_brisi (c, k)
5. VISINSKI BALANSIRANO STABLO AVL7BST stablo kod koga za svaki
vor vai da se visina njegovog levog i desnog podstabla ne razlikuje
za vie od 1 se naziva visinski balansirano stablo ili AVL stablo.
AVL stablo je dobilo ime po imenima naunika Addison, Velsky i
Landin koji su predloili ovakvo stablo. Ovo stablo reava problem
najgoreg sluaja kod BST, pretraivanje garantovano ima
efikasnost7
www.strukturepodataka.blogger.ba/arhiva/2009/07/06/2236076
22
Stabla binarnog pretraivanja O(log n). U odnosu na BST ima
modifikovane algoritme za ubacivanje i izbacivanje. Ovo stablo se
zasniva na rotacijama i rotacije mogu biti na levo i na desno.
Rotacije na desno:B A 50 D B 20 C 90 E D 15 E 30 F 60 G 95 30 F 60
90 G C 95 15 50 A 20
Rotacije na levo:
C A 50 A C 90 50 F 60
90 G 95
B
20
B
20
D
15
E
30
F
60
G 95
D
15
E
30
Balansiranje stabla: Rotacije menjaju visinski balans stabla
Rotacija na desno poveava debalans u korist desnog podstabla
Rotacija na levo poveava debalans u korist levog podstabla Ovo se
koristi kod algoritama za ubacivanje i izbacivanje Kada operacija
narui visinski balans, tj. stvori se debalans na jednoj strani,
primenjuje se odgovarajua rotacija da koriguje debalans Rotacije je
uvek suprotna debalansu kako bi izjednaila balans. Npr, ako je
debalans na desno, koristi se leva rotacija i obrnuto Ubacivanje u
AVL stablo
23
Stabla binarnog pretraivanja 1. Ubacuje se vor na isti nain kao
u sluaju BST, 2. Proveri se za svaki vor u stablu njegov debalans,
tj. razlika visina izmeu levog i desnog podstabla, 3. Ako postoji
debalns, onda se vri odgovarjua rotacija oko vora k koji je najblii
mestu ubacivanja, 4. Ako je oznaka debalansa deteta vora k
suprotna, onda se pre rotacije iz koraka 3, vri suprotna rotacija
oko tog deteta vora k. U ovom sluaju su potrebne dve rotacije.
Ubacuje se broj 40:Debalans = Visina Levo Visina Desno
50 20 30 20 -2 90 30
50
-2 0 90 50 20 0 0 30 0 -1 90 0
-1 0
40 40
40
Potrebna jedna rotacija u levo oko 20
Rezultat nakon rotacije
Ubacuje se broj 60:50 20 90 0 20 0 30 0 0 50 -1 90
30
40
60
40
60
0
Nema debalansa , nisu potrebne rotacije
Ubacuje se broj 70:0 0 20 0 30 0 50 -1 90
-1 0 20 0 30 0
50
2. rot
40
60
0
40
+2 90 1. rot -1
60
0
70
70Postoji debalans , suprotni znaci, potrebne 2 rotacije
24
Stabla binarnog pretraivanja Nakon 1. rotacije50 20 2. rot
90
Nakon 2. rotacije50 20
70 40 60
30
40 60
7030
90
Izbacivanje iz AVL stabla Izbacivanje iz AVL stabla se vri na
sledei nain: 1. Izbaci se vor na isti nain kao kod BST, Postoje tri
sluaja: vor list samo se izbaci vor polu-list prevee se dete na
roditelja vor unutranji vri se zamena sa prethodnikom (sledbenikom)
i svodi se na
prva dva sluaja 2. Proveri se debalans i vre potrebne (jedna ili
dve) rotacije kao i kod ubacivanja. Izbacuje se broj 5050 20 90
90 20 50
30
40
sledbenik
30
40
Izbacuje se kao list
Nakon izbacivanja 50+2 0 0 30 20 0 90
Nakon rotacije20 0 30 -1 +1
90
40
40 0
Postoji debalans , potrebna 1 rotacija
25
Stabla binarnog pretraivanja
6. ZAKLJUAKBinarno stablo traenja (BST) o kome je govoreno u
prethodnom delu rada se moe iskoristiti za implementaciju datoteke
sa vrlo efikasnim pretraivanjem. Kao to smo videli, najefikasnije
pretraivanje je onda kada je BST balansirano (svi listovi na istoj
visini) tj. jednako je visini stabla. Meutim problem nastaje zbog
ubacivanja novih vorova jer mogu pokvariti balansiranost stabla to
opet pogorava efikasnost pretraivanja. Problem je reen sa AVL
stablima koja odgovarajuim rotacijama balansiraju stablo. B-Trees
ili B-Stabla su algoritmi dizajnirani za manipulaciju podacima koji
se nalaze na diskovnim jedinicama, najee tvrdim diskovima. Jedina,
a ujedno i najvea, prednost im je to
26
Stabla binarnog pretraivanja roditelj moe imati vie dece. Broj
dece je ogranien samo karakteristikama diska tj. veliinom sektora
na disku. Ta zavisnost je proporcionalna tj. to je vei sektor
roditelj moe posedovati vie dece te je obrnuto proporcionalno
visini stabla. Naime to je vei broj dece koja se mogu dodeliti
odreenom roditelju manja je verovatnoa da e dolaziti do deljenja
deteta i poveanja visine stabla za jedan. B-Trees algoritmi se
najvie koriste kod baza podataka, prilikom kreiranja indeksa nad
tablicama. Pretraivanje je puno bre jer je potrebno u najgorem
sluaju h itanja s diska gde je veliina h zapravo visina stabla.
itanje i pisanje po disku su same po sebi skupe operacije pa time
B-Trees algoritmi postaju najoptimalniji za spremanje i
pretraivanje podataka. BST stablo kod koga za svaki vor vai da se
visina njegovog levog i desnog podstabla ne razlikuje za vie od 1
se naziva visinski balansirano stablo ili AVL stablo. AVL stablo je
dobilo ime po imenima naunika Addison, Velsky i Landin koji su
predloili ovakvo stablo. Ovo stablo reava problem najgoreg sluaja
kod BST, pretraivanje garantovano ima efikasnost O(log n). U odnosu
na BST ima modifikovane algoritme za ubacivanje i izbacivanje. Ovo
stablo se zasniva na rotacijama i rotacije mogu biti na levo i na
desno.
LITERATURA
1. 2. 3. 4. 5.
www.developerszone.net/Dokumenti/B-Trees.pdf
www.etfbl.net/dokument.php/12314/1/B-stabla.ppt
www.fonforum.org/download/druga/.../Sredjena_predavanja-drugi_kol.do
www.strukturepodataka.blogger.ba/arhiva/2009/07/06/2236076
www.studenti.math.hr/~filipo/Binarno_stablo.htm
27
