Stanisław Spodzieja - math.uni.lodz.plmath.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial1i2.pdf · Rozdział 1 Wiadomości wstępne W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Stanisław Spodzieja

Łódź 2004/2005

http://www.math.uni.lodz.pl/∼kfairr/analiza/

Wstęp

Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej 1i 2 jaki prowadziłem w latach 2002-2005 na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkie-go. Pomyślana jest ona jako podręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszegoroku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności.Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i

funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Wykład obejmuje podstawowe wiado-mości z zakresu analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych,funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczko-walności aż po całkę Riemanna. Zakładamy znajomość podstaw logiki i teorii mnogości– między innymi pojęcie funkcji oraz podstawowe jej własności (obrazu, przeciwobrazuitp.).W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich

będziemy powoływać się w dalszej części tekstu.W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących au-

torów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Krasińskiego, K. Ku-ratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mostowskiego i M. Starka,W. Rudina, W. Sierpińskiego, wymienionych spisie literatury. Czytelnika pragnącegopogłębić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografiiW. Rudina oraz G. M. Fichtenholza.Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyń-

skiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Pani Doktor Ludwice Kaczmarek orazPani Annie Bąkowskiej za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu.

Stanisław Spodzieja

Łódź, czerwiec 2005 roku

4

Rozdział 1

Wiadomości wstępne

W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw logiki matematycznej i teoriimnogości. Dla ustalenia terminologii zbierzemy tutaj pewne wiadomości z tych dziedzin.Przyjmujemy jako pojęcia pierwotne (1) pojęcie zbioru i relację przynależności elementudo zbioru, tj. relację x ∈ A. Piszemy x 6∈ A, gdy x nie jest elementem zbioru A.Piszemy x = y, gdy x i y oznaczają ten sam element. Jeśli x i y oznaczają różne

elementy, to piszemy x 6= yBędziemy stosować następujące oznaczenia logiczne:

∼ dla negacji, ∨ dla alternatywy, ∧ dla koniunkcji,⇒ dla implikacji, ⇔ dla równoważności,

∀ dla kwantyfikatora ogólnego, ∃ dla kwantyfikatora szczegółowego.Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów, opiera się na aksjomatach(2). Wychodząc od

aksjomatów można pokazać, że poniżej podane pojęcia są poprawnie określone.

NiechX będzie ustalonym zbiorem. Zbiór wszystkich elementów a ∈ X które spełniająformułę(3) ϕ(x) oznaczamy {x : ϕ(x)}.1to znaczy układ pojęć, których nie definiujemy.2Aksjomatem nazywamy zdanie, przyjmowane w określonym systemie dedukcyjnym bez przeprowa-

dzania dowodu prawdziwości, w którym sformułowane są niektóre własności pojęć pierwotnych. Układaksjomatów wraz z twierdzeniami stanowiącymi ich logiczną konsekwencję (tj. dającymi się z nich wywieśćna podstawie przyjętych reguł wnioskowania) tworzy system aksjomatyczny.Dla ilustracji przypomnijmy niektóre aksjomaty teorii mnogości.I. Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne.II. Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór oznaczany symbolem ∅ taki, że dla żadnego x nie jest

x ∈ ∅.III. Aksjomat sumy. Dla każdej rodziny zbiorów R istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elemen-tów, które należą do jakiegoś zbioru X należącego do R.IV. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, którego elementami sąwszystkie podzbiory zbioru A.V. Aksjomat wyboru. Dla każdej rodziny R zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje zbiór, któryz każdym ze zbiorów rodziny R ma jeden i tylko jeden wspólny element.VI. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów R o następujących własnościach: ∅ ∈ R;jeśli X ∈ R, to w R istnieje taki element Y , że elementami Y są wszystkie elementy zbioru X oraz samzbiór X.3Wyrażenie ϕ(x), które staje się zdaniem, gdy na miejsce zmiennej x podstawimy dowolną wartość

5

6 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Definicja inkluzji. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioruB, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Piszemy wówczas A ⊂ B lubB ⊃ A i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek ⊂ nazywamy stosunkieminkluzji.

Definicja różnicy zbiorów. Niech A,B ⊂ X. Różnicą zbiorów (4) A i B nazywamyzbiór

A \B = {x ∈ A : x 6∈ B}.Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A.

Definicja pary uporządkowanej. Niech a, b ∈ X. Zbiór złożony z elementu a (i tylkoelementu a) oznaczamy {a}. Zbiór złożony z elementów a, b oznaczamy {a, b}. Parą upo-rządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {a, {a, b}} i oznaczamy (a, b).

Niech a, b, c, d ∈ X. Wówczas (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.Definicja iloczynu kartezjańskiego. Niech A,B ⊂ X. Zbiór

{(a, b) : a ∈ A i b ∈ B}nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy A×B.Własność par uporządkowanych, nazywamy relacjami, dokładniej

Definicja relacji dwuczłonowej. Niech X, Y będą zbiorami. Relacją dwuczłonową na-zywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .Jeśli R ⊂ X × Y jest relacją, to dla każdego (x, y) ∈ R piszemy xRy i mówimy, że x

jest w relacji R z y.

Definicja relacji równoważności. Niech X będzie zbiorem. Relację R ⊂ X ×X nazy-wamy relacją równoważności, gdy R spełnia warunki:Zwrotność. Dla każdego x ∈ X, xRx,Symetria. Dla każdych x, y ∈ X, (xRy ⇒ yRx).Przechodniość. Dla każdych x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz ⇒ xRz).

Definicja funkcji. Niech A,B ⊂ X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającązbiór A w zbiór B nazywamy dowolny podzbiór F ⊂ A × B taki, że dla każdego a ∈ Aistnieje dokładnie jedno b ∈ B dla którego (a, b) ∈ F (5). Wtedy piszemy F : A → B.Funkcję nazywamy również lub przekształceniem lub przyporządkowaniem.Zbiór F nazywamy również wykresem funkcji F .Elementy a ∈ A nazywamy argumentami funkcji F , zbiór A zaś – dziedziną funkcji F .Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F .

ze zbioru X nazywamy formułą zdaniową. Mówimy, że element a ∈ X spełnia formułę ϕ(x), jeśli popodstawieniu elementu a w miejsce zmiennej x, wyrażenie ϕ(x) staje sie zdaniem prawdziwym.Twierdzenie A. Dla każdej formuły zdaniowej ϕ(x) i dla każdego zbioru A istnieje zbiór złożony ztych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają tę formułę zdaniową.4Twierdzenie B. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te

elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.5inaczej, dla każdego a ∈ A oraz każdych b, c ∈ B, jeśli (a, b) ∈ F i (a, c) ∈ F , to b = c.

7

Jeśli a ∈ A, to jedyny element b ∈ B taki, że (a, b) ∈ F nazywamy wartością funkcjiF w punkcie a i piszemy b = F (a).

Funkcje będziemy oznaczać literami F, f, ϕ.

Definicja obrazu. Niech F : A→ B. Jeśli C ⊂ A, to zbiór

{b ∈ B : ∃a∈C b = F (a)}

nazywamy obrazem zbioru C i oznaczamy F (C).

Definicja zbioru wartości funkcji. Niech F : A→ B. Zbiór F (A) nazywamy zbioremwartości funkcji F .

Definicja surjekcji.Niech F : A→ B. Jeśli zbiór wartości funkcji F jest równy przeciw-dziedzinie B, to mówimy, że funkcja F jest surjekcją lub jest funkcją ”na”.

Definicja przeciwobrazu. Niech F : A→ B. Przeciwobrazem zbioru D ⊂ B nazywamyzbiór

{a ∈ A : F (a) ∈ D}

i oznaczamy F−1(D).

Definicja rodziny zbiorów. Niech dane będą zbiory niepuste X, S i niech każdemuelementowi s ∈ S będzie przyporządkowany zbiór As ⊂ X. Zbiór

{As : s ∈ S}

(zawarty w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru X) nazywamy rodziną zbiorów lub rodzi-ną podzbiorów złożoną ze wszystkich zbiorów As, gdzie s ∈ S. Zbiór S nazywamy zbioremwskaźników.

Definicja sumy i iloczynu rodziny zbiorów. Niech R będzie rodziną podzbiorówustalonego zbioru X. Zbiór

{x ∈ X : ∃A∈R x ∈ A}

nazywamy sumą rodziny(6) R i oznaczamy ⋃A∈RA. Zbiór{x ∈ X : ∀A∈R x ∈ A}

nazywamy iloczynem (7) lub częścią wspólną rodziny R i oznaczamy ⋂A∈RA. Jeśli R ={As : s ∈ S}, to sumę tej rodziny zapisujemy

⋃s∈S As oraz iloczyn zapisujemy

⋂s∈S As.

Niech A, B ⊂ X będą zbiorami. Sumę zbiorów A, B (tzn. sumę rodziny {A,B})oznaczamy A ∪ B. Iloczyn zbiorów A, B oznaczamy A ∩ B. Jeśli A ∩ B = ∅, to zbioryA,B nazywamy rozłącznymi.

W teorii mnogości dowodzi się następujących własności obrazu i przeciwobrazu.

6Istnienie sumy wynika z Aksjomatu III.7Istnienie iloczynu wynika z twierdzenia B i Aksjomatu III.

8 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Twierdzenie 1. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów A, B, As, gdzie s ∈ S,zbioru X mamy:

(a) (A ⊂ B) ⇒ (f(A) ⊂ f(B)),(b) A ⊂ f−1(f(A)),(c) f(

⋃s∈S As) =

⋃s∈S f(As),

(d) f(⋂s∈S As) ⊂

⋂s∈S f(As).

Twierdzenie 2. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów C, D, Cs, gdzie s ∈ S,zbioru Y mamy:

(a) (C ⊂ D) ⇒ (f−1(C) ⊂ f−1(D)),(b) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D),(c) f(f−1(C)) ⊂ C oraz f(f−1(C)) = C, gdy C ⊂ f(X),(d) f−1(

⋃s∈S Cs) =

⋃s∈S f

−1(Cs),

(e) f−1(⋂s∈S Cs) =

⋂s∈S f

−1(Cs),

Definicja funkcji identyczność. Funkcję id A : A → A określoną wzorem id A(x) = xdla x ∈ A nazywamy identycznością na zbiorze A.

Definicja obcięcia funkcji. Jeśli f : X → Y jest funkcją i A ⊂ X – zbiorem niepustym,to funkcję g : A → Y określoną wzorem g(x) = f(x) dla x ∈ A nazywamy obcięciem lubzawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f |A.

Definicja złożenia funkcji. Jeśli f : X → Y oraz g : Z → W są funkcjami orazf(X) ⊂ Z, to funkcję h : X → W określoną wzorem h(x) = g(f(x)) dla x ∈ X nazywamyzłożeniem funkcji f i g i oznaczamy g◦f . Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcjęg zaś zewnętrzną złożenia g ◦ f .

Definicja funkcji różnowartościowej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różno-wartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych a, b ∈ X, a 6= b zachodzi f(a) 6= f(b).

Definicja bijekcji. Funkcję f nazywamy bijekcją, gdy jest injekcją i surjekcją (tzn. jestróżnowartościowa i ”na”).

Definicja funkcji odwrotnej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, gdyistnieje funkcja g : Y → X taka, że dla każdego (x, y) ∈ X × Y zachodzi

y = f(x) ⇔ x = g(y).

Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f−1.

Wprost z definicji funkcji odwracalnej mamy:

Twierdzenie 3. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

Twierdzenie 4. Funkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istniejefunkcja g : Y → X taka, że g ◦ f = idX oraz f ◦ g = id Y .

Rozdział 2

Liczby rzeczywiste

Podstawowymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywistei funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. W rozdziale tym określimy liczbyrzeczywiste drogą aksjomatyczną (1) następnie wyodrębnimy liczby całkowite, wymiernei niewymierne (por. na przykład [8]). Założymy, że istnieje pewien zbiów R, w którymokreślamy dwa działania i relację mniejszości które spełniają pewne własności (aksjoma-ty). Całą dalszą wiedzę o liczbach rzeczywistych będziemy opierać na tych wyróżnionychwłasnościach. W punkcie 2.3 podamy definicję zbioru liczb naturalnych. Nie wykażemyjednak istnienia tego zbioru. Zagadnienie to jest dość trudne, wymaga bowiem stosowaniazaawansowanych technik logicznych. Na koniec tego rozdziału podamy definicję rozsze-rzonego zbioru liczb rzeczywistych.

2.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych

Zakładamy, że istnieje zbiór, który będziemy oznaczać literą R i nazywać zbiorem liczbrzeczywistych, elementy tego zbioru zaś będziemy nazywać liczbami rzeczywistymi. Zakła-damy, że w zbiorze R określone są działania dodawania ”+” i mnożenia ”·”, czyli funkcje+ : R × R → R, · : R × R → R oraz relacja mniejszości <, które spełniają następującewłasności zwane aksjomatami:I. Aksjomaty ciała(2).

1 (Łączność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y, z ∈ R,

x+ (y + z) = (x+ y) + z, x · (y · z) = (x · y) · z.

2. (Przemienność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y ∈ R,

x+ y = y + x, x · y = y · x.

3. (Rozdzielność mnożenia względem dodawania). Dla każdych x, y, z ∈ R,

x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

1Liczby rzeczywiste można również określić, przyjmując za znane pojęcie liczb wymiernych i przy ichpomocy definiować liczby rzeczywiste (patrz na przykład [10], [17]).2Struktury algebraiczne spełniające ten układ aksjomatów nazywamy ciałami.

9

10 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE

4. (Istnienie elementów neutralnych działań). Istnieją różne elementy 0, 1 ∈ R takie,że dla każdego x ∈ R,

0 + x = x, 1 · x = x.5. (Istnienie różnicy i ilorazu). Dla każdych x, y ∈ R, istnieje z ∈ R taka, że

y = x+ z.

Dla każdych x, y ∈ R, x 6= 0, istnieje z ∈ R taka, żey = x · z.

II. Aksjomaty porządku.

1. (Spójność relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R takich, że x 6= y zachodzix < y lub y < x.

2. (Przechodzniość relacji mniejszości). Dla każdych x, y, z ∈ R,jeśli x < y i y < z, to x < z.

3. (Antysymetria relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R,jeśli x < y to nie zachodzi y < x.

III. Aksjomaty związku między działaniami i relacją mniejszości.

1. Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y, to x+ z < y + z.

2. Dla każdych x, y, z ∈ R, 0 < z, jeśli x < y, to x · z < y · z.IV. Aksjomat ciągłości (zasada ciągłości Dedekinda).

1. Zbioru R nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów A ∪B takich, że1) A 6= ∅, B 6= ∅,2) dla każdych a ∈ A, b ∈ B zachodzi a < b,3) dla każdego a ∈ A istnieje a ∈ A, że a < a,4) dla każdego b ∈ B istnieje b ∈ B, że b < b.

Uwaga 2.1.1. Z Aksjomatu I.4 wynika, że R jest zbiorem niepustym. Można udowodnić,że powyższe aksjomaty jednoznacznie charakteryzują zbiór liczb rzeczywistych oraz, że niesą nawzajem sprzeczne (również po dołączeniu aksjomatów teorii mnogości).

Definicja zera i jedynki. Liczbę 0 nazywamy zerem. Liczbę 1 nazywamy jedynką.

Własność 2.1.2. W R istnieje dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka.

Dowód. Istotnie, jeśli pewne 0′ i 1′ spełniają Aksjomat I.4, to

0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0 oraz 1′ = 1 · 1′ = 1′ · 1 = 1.

To kończy dowód. �

Definicja elementu przeciwnego. Niech x ∈ R. Element z ∈ R taki, że 0 = x + znazywamy elementem przeciwnym do x i oznaczamy −x.

Definicja elementu odwrotnego. Niech x ∈ R, x 6= 0. Element z ∈ R taki, że 1 = x · znazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy 1/x lub 1

x.

2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 11

Własność 2.1.3. (a) Każdy x ∈ R ma dokładnie jeden element przeciwny.

(b) Każdy x ∈ R, x 6= 0 ma dokładnie jeden element odwrotny.

Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x ∈ R. Z Ak-sjomatu I.5 wynika istnienie z ∈ R takiego, że 0 = x+ z. Jeśli z ∈ R również spełnia tenwarunek, to z aksjomatów mamy

z = z + 0 = z + (x+ z) = (z + x) + z = 0 + z = z,

co należało udowodnić. �

Definicja sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y ∈ R.

Wynik działania dodawania x + y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamyskładnikami tej sumy.

Wynik działania mnożenia x · y nazywany iloczynem x i y a liczby x, y nazywamyczynnikami tego iloczynu.

Liczbę z ∈ R taką, że y = x+ z nazywamy różnicą y i x.

Jeśli x 6= 0, to liczbę z ∈ R taką, że y = x · z nazywamy ilorazem y przez x.

Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie − : R×R→ R określonewzorem

x− y = x+ (−y) dla x, y ∈ R.

Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R × (R \ {0}) → R określonewzorem

x : y = x · (1/y) dla x, y ∈ R, y 6= 0.

Własność 2.1.4. (a) Dla dowolnych x, y ∈ R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równax− y.

(b) Dla dowolnych x, y ∈ R, y 6= 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równyx : y.

Dowód. Ad. (a) Niech x, y ∈ R oraz z, z ∈ R będą różnicami x i y, czyli x = y + z,x = y+z. Z własności 2.1.3(a) liczba −y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatówmamy

z = ((−y) + y) + z = (−y) + (y + z) = (−y) + x = (−y) + (y + z) = z,

czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x− y, gdyż

y + (x− y) = y + (x+ (−y)) = (y + (−y)) + x = x.

Część (b) dowodzimy analogicznie. �

Własność 2.1.5. Dla każdego x ∈ R mamy 0 · x = x · 0 = 0.


Dowód. Ponieważ0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x+ 0 · x,

więc 0 · x jest różnicą 0 · x i 0 · x, czyli 0 · x = 0 (własność 2.1.4(a)). �

Własność 2.1.6. W R nie ma dzielników zera, to znaczy jeśli dla x, y ∈ R zachodzix · y = 0, to x = 0 lub y = 0.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją x 6= 0, y 6= 0 takie, że x · y = 0. Wówczasz Aksjomatu I.5 istnieją z, w ∈ R takie, że 1 = xz, 1 = yw. Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2i własności 2.1.5 mamy

1 = 1 · 1 = (x · z) · (y · w) = (x · y) · (z · w) = 0 · (z · w) = 0,co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4. �

W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia ”·” będziemy opuszczać i pisać xy zamiastx · y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub x

y.

Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniamidodawania i odejmowania.

Często piszemy y > x zamiast x < y.

Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówimy x jestmniejsze od y lub y jest większe od x.

Własność 2.1.7. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warun-ków:

x = y, x < y, y < x.

Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków musi zachodzić.Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x.Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x.Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x.

Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x. Stąd i zAksjomatu II.3 mamy, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność daje tezę. �

Własność 2.1.8. 0 < 1.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że 1 < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1,

1 + (−1) < 0 + (−1)i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < (−1). Stosując teraz Aksjomat III.2 i wła-sność 2.1.5 dostajemy

−1 = (−1) · 1 < 0 · (−1) = 0, czyli −1 < 0.To wraz z poprzednim daje, że 0 < (−1) oraz −1 < 0, co w myśl własności 2.1.7 jestniemożliwe. �


Wniosek 2.1.9. Niech x ∈ R. Wówczas zachodzą następujące:

(a) x < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < −x.

(b) Jeśli x 6= 0, tox > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0.

(c) Jeśli x > 0, tox < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1.

Dowód. Ad. (a) ⇒. Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu II.1 mamy0 = x+ (−x) < 0 + (−x) = −x, więc 0 < −x.

⇐. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < −x, mamyx = 0 + x < (−x) + x = 0, więc x < 0.

Ad. (b) ⇒. Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, żenierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 2.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0.Jeśli 1/x = 0, to z własności 2.1.5 mamy

1 = (1/x) · x = 0 · x = 0,co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności 2.1.5 dostajemy

1 = (1/x) · x < 0 · x = 0,co jest sprzeczne z własnością 2.1.8 i 2.1.7.Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0.⇐. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0

(gdyż z założenia, x 6= 0) mamy1 = (1/x) · x < (1/x) · 0 = 0,

co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0.Ad. (c) ⇒. Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że

1/x = 1 lub 1/x < 1.Jeśli 1/x = 1, to

x = (1/x) · x = 1,co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1.Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy

1 = (1/x) · x < 1 · x = x < 1,co jest niemożliwe.Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1.⇐. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub

x > 1.Jeśli x = 1, to

1 = (1/x) · x = 1/x > 1,co jest niemożliwe.Jeśli x > 1, to

1 = x · (1/x) > 1 · (1/x) > 1,


co jest niemożliwe.Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić x < 1. �

Definicja . Przyjmujemy następujące oznaczenia

2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1,

7 = 6 + 1, 8 = 7 + 1, 9 = 8 + 1, 10 = 9 + 1.

Własność 2.1.10. Dla każdych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje z ∈ R, że x < z < y.

Dowód. Z własności 2.1.8 i Aksjomatów I.4., II.2. oraz III.1. mamy0 < 1 = 0 + 1 < 1 + 1 = 2, czyli 0 < 2.

Zatem, z własności 2.1.9(b) mamy 1/2 > 0.Wykażemy, że liczba z = (x+y)/2 spełnia tezę własności. Istotnie, z Aksjomatu III.1,

x+ x < x+ y, czyli 2x < x+ y.Ponieważ 1/2 > 0, więc z Aksjomatu III.2 mamy

(2.1) x < (x+ y)/2 = z.

Podobnie mamy x+ y < 2y i dalej z = (x+ y)/2 < y. Stąd i z (2.1) dostajemy tezę. �

Definicja relacji 6. W R określamy relację 6 w następujący sposób: dla dowolnychx, y ∈ R,

x 6 y wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x = y.

Piszemy również y > x zamiast x 6 y i mówimy x jest niewiększe od y lub y jest nie-mniejsze od x.

Definicja modułu liczby. Wartością bezwzględną lub modułem liczby x ∈ R nazywamyliczbę |x| ∈ R określoną następująco:

|x| =

x, gdy x > 0,−x, gdy x < 0.

Definicja . Liczbę x ∈ R nazywamy dodatnią, gdy x > 0. Zbiór R+ = {x ∈ R : x > 0}nazywamy zbiorem liczb dodatnich.

Liczbę x ∈ R nazywamy ujemną, gdy x < 0. Zbiór R− = {x ∈ R : x < 0} nazywamyzbiorem liczb ujemnych.

Liczbę x ∈ R nazywamy nieujemną, gdy x > 0. Zbiór R0+ = {x ∈ R : x > 0}nazywamy zbiorem liczb nieujemnych.

Liczbę x ∈ R nazywamy niedodatnią, gdy x 6 0. Zbiór R0− = {x ∈ R : x 6 0}nazywamy zbiorem liczb niedodatnich.Definicja przedziału. Jeśli a, b ∈ R oraz a < b, to zbiory

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b},


[a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}

nazywamy przedziałami o końcach a, b.

Przedziały typu (a, b) nazywamy otwartymi, typu zaś [a, b] domkniętymi.

Liczbę b − a > 0 nazywamy długością przedziału o końcach a i b. Długość przedziałuP oznaczamy |P |.

Uwaga 2.1.11. Przedział otwarty oznaczamy tak samo jak parę uporządkowaną. Nie po-winno to prowadzić do nieporozumień. Używając oznaczenia (a, b), z kontekstu, będziejasne, co przez to rozumiemy.

Definicja znaku liczby. Znakiem lub signum liczby x ∈ R nazywamy liczbę sgn (x) ∈ Rokreśloną następująco:

sgn (x) =

1, gdy x > 0,−1, gdy x < 0,0, gdy x = 0.

ZADANIA

Zadanie 2.1.1. Dla dowolnych x, y, z, w ∈ R mamy:

1. −(−x) = x, 11x

= x, gdy x 6= 0.

2. −x = (−1)x.

3. xy= wz⇐⇒ xz = yw, gdy y, z 6= 0.

4. xzyz= xy, gdy y, z 6= 0.

5. xy+ wz= xz+yw

yz; x

y− wz= xz−yw

yz, gdy y, z 6= 0.

6. xywz= xwyz, gdy y, z 6= 0; x

y: wz= xzyw, gdy y, z, w 6= 0.

Zadanie 2.1.2. Niech x, y, z, w ∈ R.

1. Jeśli x 6 y i y 6 x, to x = y.

2. Jeśli x > 0 i y > 0, to xy > 0.

3. Jeśli x < y i z 6 w, to x+ z < y + w.

4. Jeśli x 6 y i z 6 w, to x+ z 6 y + w.

5. Jeśli x > 0 i y < z, to y/x < z/x.

6. Jeśli x < 0, to 1/x < 0.

7. Jeśli x < 0 i y < z, to yx > zx oraz y/x > z/x.

8. Jeśli x 6= 0, to xx > 0.

9. Jeśli 0 < x < y, to 0 < 1/y < 1/x.


Zadanie 2.1.3. Niech x ∈ R. Dla dowolnego ε > 0,

1. |x| < ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε < x < ε,

2. |x| > ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε > x lub x > ε.

Zadanie 2.1.4. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy:

1. |x| > 0.

2. |xy| = |x||y|; |x||y| = |

xy|, gdy y 6= 0.

3. |x+ y| 6 |x|+ |y|, |x− y| > ||x| − |y||.

Zadanie 2.1.5. Dla dowolnego x 6= 0 zachodzi sgn (x) = |x|x.

2.2 Kresy

W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości.

Definicja zbioru ograniczonego. Niech E ⊂ R.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, że dlakażdego x ∈ E zachodzi x 6 M . Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnymzbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, że dlakażdego x ∈ E zachodzi x > m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnymzbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu.

Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciw-nym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym.

Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E ⊂ R.

Liczbę M ∈ R spełniającą warunki:1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E,

2) dla każdego M ′ < M istnieje x ∈ E, takie że x > M ′,

nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy supE.

Liczbę m ∈ R spełniającą warunki:1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E,

2) dla każdego m′ > m istnieje x ∈ E, takie że x < m′,

nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E.

Uwaga 2.2.1. W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z górynie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu niemają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w tensposób, że wszystkie zbiory będą miały kresy górny i dolny.

2.2. KRESY 17

Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R.

Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 x0 nazywamy elementemmaksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E ioznaczamy maxE.

Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > x0 nazywamy elementemminimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E ioznaczamy minE.

Uwaga 2.2.2. Z własności 2.1.7 dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E ⊂ R ma maksi-mum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum,kresu górnego i dolnego.

Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Własność 2.2.3. Jeśli x, y ∈ R, to

max{x, y} = x+ y2+|x− y|2

oraz min{x, y} = x+ y2− |x− y|

2.

W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczy-wistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu wprowadźmy pojęcie przekrojuDedekinda i udowodnimy jeden lemat.

Definicja przekroju Dedekinda. Niech A,B ⊂ R. Parę zbiorów (A,B) nazywamyprzekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki:1) A 6= ∅, B 6= ∅,2) A ∪B = R,3) dla każdego x ∈ A oraz każdego y ∈ B zachodzi x < y.

Lemat 2.2.4. Jeśli (A,B) jest przekrojem Dedekinda, to albo istnieje maxA albo istniejeminB.

Dowód. Pokażemy najpierw, że istnieje maxA lub istnieje minB. Przypuśćmy prze-ciwnie, że nie istnieje maxA i nie istnieje minB. Wówczas, z definicji maksimum i mini-mum, dla każdego a ∈ A istnieje a ∈ A, że a < a oraz dla każdego b ∈ B istnieje b ∈ B, żeb < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1(zasada ciągłości Dedekinda).Do zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że maxA i minB nie mogą istnieć

jednocześnie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje maxA i istnieje minB. Wówczas z defi-nicji maksimum i minimum oraz z warunku 3) definicji przekroju Dedekinda dostajemy,że maxA < minB. Stąd, na mocy własności 2.1.10 dostajemy, że istnieje z ∈ R takie,że maxA < z < minB. W szczególności z 6∈ A oraz z 6∈ B. To przeczy warunkowi 2)definicji przekroju Dedekinda. �

Twierdzenie 2.2.5. (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustymi ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.


Dowód. Niech A = {a ∈ R : istnieje x ∈ E, że a < x} oraz B = R \ A. Z określeniazbiorów A i B wynika, że każdy b ∈ B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Pokażemynajpierw, że (A,B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicjiprzekroju Dedekinda.Ad 1) Ponieważ E 6= ∅, więc istnieje x ∈ E. Ponieważ x − 1 < x, więc x − 1 ∈ A i

A 6= ∅. Ponieważ E jest ograniczony z góry, więc istnieje b ∈ R takie, że x 6 b dla każdegox ∈ E. Zatem b 6∈ A i w konsekwencji b ∈ B, czyli B 6= ∅.Ad 2) Z określenia zbiorów A i B mamy A ∪B = R.Ad 3) Niech a ∈ A, b ∈ B. Z określenia zbioru A dostajemy, że istnieje x ∈ E, że

a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x 6 b, zatem a < b.Reasumując, (A,B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu 2.2.4 albo

istnieje maxA albo istnieje minB. Pokażemy teraz, że nie istnieje maxA. Przypuśćmyprzeciwnie, że istnieje maxA. Wówczas maxA ∈ A i z określenia zbioru A mamy, żeistnieje x ∈ E, że maxA < x. Na mocy własności 2.1.10 istnieje c ∈ R takie, że maxA <c < x. Zatem c ∈ A. To jest niemożliwe, gdyż maxA < c. Pokazaliśmy więc, że nie istniejemaxA oraz istnieje minB.Pokażemy na koniec, że minB jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ minB ∈ B,

więc minB jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M ′ < minB. WówczasM ′ 6∈ B, więc M ′ ∈ A. Zatem z określenia zbioru A istnieje x ∈ E takie, że M ′ < x.Pokazaliśmy więc, że minB spełnia warunki 1) i 2) definicji kresu górnego, czyli supE =minB. �

Analogicznie jak twierdzenie 2.2.5 dowodzimy

Twierdzenie 2.2.6. (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustymi ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E.

Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast

Własność 2.2.7. Niech E ⊂ R.(i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i supE = maxE.(ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = minE.

Definicja . Niech E,F ⊂ R, E 6= ∅, F 6= ∅. Przyjmujemy następujące oznaczania:−E = {x ∈ R : −x ∈ E}.E + F = {x ∈ R : x = y + z, y ∈ E, z ∈ F}.E · F = {x ∈ R : x = yz, y ∈ E, z ∈ F}.

Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi.

Własność 2.2.8. Niech E,F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.

(a) Wówczas inf(−E) = − supE.

(b) Jeśli E ⊂ F , to supE 6 supF .

(c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F , że x 6 y, to supE 6 supF .

2.3. LICZBY NATURALNE 19

Własność 2.2.9. Jeśli E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to:

(a) inf E 6 supE.

(b) równość inf E = supE zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem jednoele-mentowym.

Własność 2.2.10. Niech E,F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.

(a) Wówczas sup(E + F ) = supE + supF .

(b) Jeśli E,F ⊂ R+, to sup(E · F ) = supE · supF .

(c) Jeśli a ∈ R+, to sup({a} · F ) = a supF .

Dowód. Z twierdzenia 2.2.5 mamy, że istnieją supE i supF .Ad. (a) Niech M = supE + supF . Weźmy dowolny x ∈ E + F . Wówczas x = y + z,

gdzie y ∈ E, z ∈ F . Ponieważ y 6 supE i z 6 supF , więc y + z 6 M . Zatem M jestograniczeniem górnym zbioru E + F . Weźmy dowolny M ′ < M . Wówczas M ′ − supE <supF , więc istnieje z ∈ F , że M ′ − supE < z, czyli M ′ − z < supE. Zatem istniejey ∈ E, że M ′ − z < y. W konsekwencji M ′ < y + z i x = y + z ∈ E + F . Reasumującsup(E + F ) =M .Ad. (b) Ponieważ E,F ⊂ R+, więc supE > 0 i supF > 0. Niech M = supE · supF .

Wtedy M > 0. Dla dowolnych y ∈ E, z ∈ F mamy 0 < y 6 supE, 0 < z 6 supF , więcyz 6 y · supF 6 M . Zatem M jest ograniczeniem górnym zbioru E · F . Niech M ′ < M .Ponieważ M ′/ supE < supF , więc istnieje z ∈ F , że M ′/ supE < z. Wtedy z > 0 orazM ′/z < supE, więc istnieje y ∈ E, że M ′/z < y, czyli M ′ < yz i yz ∈ E ·F . ReasumującM = supE · F .Ad. (c) Dla y ∈ F mamy y 6 supF , a ponieważ a > 0, więc ay 6 a supF . Stąd

dostajemy, że a supF jest ograniczeniem górnym zbioru {a} · F . Niech M ′ < a supF .Wtedy M ′/a < supF , więc istnieje y ∈ F , że M ′/a < y. Zatem ay ∈ {a} · F orazM ′ < ay. Reasumując a · supF = sup({a} · F ). �

2.3 Liczby naturalne

Definicja zbioru liczb naturalnych. Niech N będzie rodziną wszystkich podzbiorówN ⊂ R posiadających następujące dwie własaności:

(i) 1 ∈ N ,

(ii) jeśli x ∈ N , to x+ 1 ∈ N .

Niech N będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn.

N =⋂N∈N

N.

Zbiór N nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Elementy zbioru N nazywamy liczbaminaturalnymi.


Uwaga 2.3.1. Można wykazać istnienie rodziny N. Jest ona niepusta, gdyż oczywiścieR ∈ N. Zbiór N posiada własności (i), (ii), więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ∈ N.

Twierdzenie 2.3.2. (zasada Archimedesa). Dla każdego x ∈ R istnieje n ∈ N, takieże n > x.

Dowód. Niech x ∈ R. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje n ∈ N takie, że n > x.Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 x, czyli x jest ograniczeniem górnym zbioru N.Stąd, na mocy twierdzenia 2.2.5, istnieje kres górny zbioru N. Oznaczmy ten kres przezM . Ponieważ M − 1 < M , więc z definicji kresu górnego, istnieje liczba n0 ∈ N taka, żeM − 1 < n0. Zatem M < n0 + 1. Ponieważ n0 + 1 ∈ N, więc z definicji kresu górnegomamy n0 + 1 6 M . Otrzymana sprzeczność kończy dowód. �

Z twierdzenia 2.3.2 dostajemy natychmiast następujący wniosek.

Wniosek 2.3.3. Zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry.

Dowód poniższego wniosku pozostawiamy czytelnikowi.

Wniosek 2.3.4. Dla dowolnych x, y ∈ R, jeśli y > 0, to istnieje n0 ∈ N takie, że ny > xdla każdego n > n0.

Twierdzenie 2.3.5. (zasada indukcji). Jeśli N ⊂ N oraz N spełnia warunki:

(i) 1 ∈ N ,

(ii) jeśli x ∈ N , to x+ 1 ∈ N ,

to N = N.

Dowód. Z założenia o zbiorze N mamy, że N ⊂ N oraz N ∈ N. Zatem z definicji Ndostajemy, N ⊂ N . W konsekwencji N = N. �

Własność 2.3.6. Dla każdego n ∈ N zachodzi n > 1.

Dowód. Niech N = {n ∈ N : n > 1}. Pokażemy, że N spełnia warunki (i), (ii) wtwierdzeniu 2.3.5.(i) Ponieważ 1 > 1, więc z definicji zbioru N mamy 1 ∈ N .(ii) Niech n ∈ N . Wówczas n + 1 > 1 + 1 > 1, więc n + 1 > 1, zatem n + 1 ∈ N .

Pokazaliśmy, że N spełnia (i) oraz (ii). Zatem na mocy twierdzenia 2.3.5, N = N. �

Własność 2.3.7. (a) Dla dowolnych m,n ∈ N mamy m+ n ∈ N i mn ∈ N.

(b) Dla każdego n ∈ N mamy n = 1 albo n− 1 ∈ N.

(c) Dla każdego n ∈ N nie istnieje m ∈ N, że n < m < n+ 1.

(d) Dla dowolnych m,n ∈ N, jeśli m < n, to m+ 1 6 n.

(e) Dla dowolnych m,n ∈ N, jeśli m < n, to n−m ∈ N.

2.3. LICZBY NATURALNE 21

Dowód. Ad. (a) Dla dowolnego m ∈ N oznaczając N = {n ∈ N : m + n ∈ N} łatwostosując twierdzenie 2.3.5 dostajemy N = N. Podobnie dla m ∈ N biorąc N ′ = {n : mn ∈N} dostajemy N ′ = N. To daje (a).Ad. (b) Niech A = {n ∈ N : n − 1 ∈ N} oraz N ′′ = {1} ∪ A. Oczywiście N ′′ ⊂ N.

Pokażemy, że N ′′ spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia 2.3.5.(i) 1 ∈ N ′′ – oczywiste.(ii) Niech n ∈ N ′′. Pokażemy, że n + 1 ∈ N ′′. Istotnie, n ∈ N, więc n + 1 ∈ N oraz

(n+ 1)− 1 = n ∈ N. Zatem n+ 1 ∈ A i w konsekwencji n+ 1 ∈ N ′′.Reasumując N ′′ = N. Ponadto warunki n = 1, n− 1 ∈ N wykluczają się, więc mamy (b).Ad (c) Niech N ′′′ = {n ∈ N : nie istnieje m ∈ N, że n < m < n+ 1}.Zauważmy, że 1 ∈ N ′′′. Istotnie, gdyby dla pewnego m ∈ N zachodziło 1 < m < 1+ 1,

to wobec części (b) mielibyśmy m − 1 ∈ N oraz m − 1 < 1, co przeczy tezie własności2.3.6. W konsekwencji 1 ∈ N ′′′.Niech n ∈ N ′′′. Pokażemy, że n + 1 ∈ N ′′′. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m ∈ N

takie, że n + 1 < m < (n + 1) + 1. Wówczas m > 1 + 1 > 1, więc m 6= 1 i z części (b)mamy m − 1 ∈ N. Stąd mamy n < m − 1 < n + 1, co przeczy temu, że n ∈ N ′′′. Zatemn+ 1 ∈ N ′′′. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N ′′′ = N.Ad. (d) Część (d) wynika natychmiast z części (c).Ad (e) Niech N IV = {m ∈ N : dla każdego n ∈ N takiego, że n > m mamy n−m ∈ N}.

Z części (b) dostajemy 1 ∈ N IV . Załóżmy, że m ∈ N IV . Weźmy dowolny n ∈ N takie,że n > m + 1. Wówczas n 6= 1, zatem n − 1 ∈ N oraz n − 1 > m, więc n − (m + 1) =(n − 1) − m ∈ N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 ∈ N IV . Stosując terazzasadę indukcji dostajemy N IV = N. �

Udowodnimy, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Za-cznijmy od definicji i dwóch lematów.

Definicja . Dla dowolnego n ∈ N określamy

Fn = {k ∈ N : k 6 n}.

Piszemy również Fn = {1, ..., n} oraz k = 1, ..., n zamiast k ∈ Fn.

Lemat 2.3.8. Dla dowolnego n ∈ N,

Fn = {k ∈ N : k < n+ 1}.

Dowód. Oznaczmy F′n = {k ∈ N : k < n + 1}. Oczywiście Fn ⊂ F′n. Pokażemy, żeF′n ⊂ Fn. Weźmy dowolny k ∈ F′n. Wówczas k < n+ 1, więc z z własności 2.3.7(c) mamyk 6 n. To daje, że k ∈ Fn i w konsekwencji, że F′n ⊂ Fn. Reasumując Fn = F′n. �

Lemat 2.3.9. Dla dowolnego n ∈ N,

Fn+1 = Fn ∪ {n+ 1}.

Dowód. W myśl lematu 2.3.8, dla n ∈ N mamy Fn+1 = {k ∈ N : k 6 n + 1}= {k ∈ N : k < n+ 1} ∪ {n+ 1} = Fn ∪ {n+ 1}. �


Twierdzenie 2.3.10. (zasada minimum). Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych maelement najmniejszy.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N który nie ma ele-mentu najmniejszego. Połóżmy N = {n ∈ N : Fn ∩ A = ∅}. Pokażemy, że N = N.Istotnie:(i) 1 ∈ N , gdyż w przeciwnym razie {1} = F1 ∩ A i wobec własności 2.3.6 liczba 1

byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem.(ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n+1 ∈ N . Przypuśćmy, że n+1 6∈ N , czyli Fn+1∩A 6= ∅.

Ponieważ n ∈ N , więc Fn ∩A = ∅, zatem, wobec lematu 2.3.9 mamy n+ 1 ∈ A. Ponadtoz własności 2.3.7(d) dla każdego k ∈ A mamy k > n + 1. W konsekwencji n + 1 jestelementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując n+ 1 ∈ N .Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 2.3.5) dostajemy N = N. Oczywiście dlakażdego n ∈ N mamy n ∈ Fn, więc z określenia zbioru N dostajemy A = ∅. Otrzymanasprzeczność kończy dowód. �

Twierdzenie 2.3.11. (zasada indukcji o innym początku). Niech n0 ∈ N oraz

Nn0 = {n ∈ N : n > n0}.

Jeśli zbiór N ⊂ Nn0 spełnia warunki:(i) n0 ∈ N ,(ii) jeśli n ∈ N , to n+ 1 ∈ N ,

to N = Nn0.

Dowód. Niech N będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = Nn0 \ N . Pokaże-my, że A = ∅. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A 6= ∅. Wówczas z zasady minimum(twierdzenie 2.3.10) w zbiorze A istnieje element najmniejszy. Oznaczmy go przez m0.Wówczas, z określenia zbioru Nn0 mamy m0 > n0 oraz m0 ∈ A. Ponieważ z (i), n0 ∈ N ,więc n0 6∈ A, zatem m0 > n0 i m0 6= 1. Stąd mamy m0− 1 ∈ N (patrz własności 2.3.7 (b)i (d)). To jest jednak niemożliwe, gdyż wtedy z (ii) mamy m0 = (m0 − 1) + 1 ∈ N . �

Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 dowodzimy następujące

Twierdzenie 2.3.12. (zasada indukcji skończonej). Niech n0,m0 ∈ N, n0 6 m0 orazNn0,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0}. Jeśli zbiór N ⊂ Nn0,m0 spełnia warunki:(i) n0 ∈ N ,(ii) dla każdego n < m0, jeśli n ∈ N , to n+ 1 ∈ N ,

to N = Nn0,m0.

Z twierdzenia 2.3.10 dostajemy natychmiast

Twierdzenie 2.3.13. (zasada indukcji). Niech N ⊂ N. Jeśli N spełnia warunki:(i) 1 ∈ N ,(ii) jeśli Fn ⊂ N , to n+ 1 ∈ N ,

to N = N.

2.4. LICZBY CAŁKOWITE I LICZBY WYMIERNE 23

Definicja liczb parzystych i nieparzystych. Mówimy, że liczba naturalna n jest pa-rzysta, gdy istnieje k ∈ N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbąnieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy2N− 1.

ZADANIA

Zadanie 2.3.1. Wykazać, że 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N− 1 = {2n− 1 : n ∈ N}.

Zadanie 2.3.2. Jeśli n,m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N.

2.4 Liczby całkowite i liczby wymierne

Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczbnaturalnych nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z.

Dowody poniższych dwóch prostych własności pozostawiamy czytelnikowi.

Własność 2.4.1. N ⊂ Z.

Własność 2.4.2. (a) Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0.(b) Z ∩ R+ = N, Z ∩ R− = −N.(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a+ b ∈ Z, ab ∈ Z, a− b ∈ Z.(d) Dla dowolnego a ∈ Z mamy −a ∈ Z.(e) 1/2 6∈ Z.

Z własnoći 2.3.7 dostajemy

Własność 2.4.3. (a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, że a < b < a+ 1.(b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a+ 1 6 b.(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b− a ∈ N.

Twierdzenie 2.4.4. (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy niepusty iograniczony z dołu zbiór liczb całkowitych ma element najmniejszy.

Dowód. Niech A ⊂ Z, A 6= ∅ będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M ∈ Rbędzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archimedesa (twierdzenie2.3.2) istnieje liczba n0 ∈ N taka, że n0 > −M . Wówczas {n0} + A ⊂ N. Istotnie, dlaa ∈ A mamy n0 + a ∈ Z oraz n0 + a > −M + a > 0, więc z własności 2.4.2(a) mamyn0 + a ∈ N. W konsekwencji {n0} + A ⊂ N. Zatem z twierdzenia 2.3.10 zbiór {n0} + Ama element najmniejszy. Oznaczmy go x0.Pokażemy, że x0−n0 jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n0+(x0−n0) =

x0 ∈ {n0} + A, więc x0 − n0 ∈ A. Ponadto dla każdego a ∈ A mamy n0 + a > x0, więca > x0 − n0. �

Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 (stosując twierdzenie 2.4.4 zamiast 2.3.10), dosta-jemy następujące dwie wersje zasady indukcji.


Twierdzenie 2.4.5. (zasada indukcji). Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0}.Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełnia warunki:(i) a0 ∈ Z,(ii) jeśli a ∈ Z, to a+ 1 ∈ Z,

to Z = Za0.

Wniosek 2.4.6. Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0}. Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełniawarunki:(i) a0 ∈ Z,(ii) jeśli a ∈ Za0 i {k ∈ Z : a0 6 k 6 a} ⊂ Z, to a+ 1 ∈ Z,

to Z = Za0.

Z twierdzenia 2.4.4 dostajemy następujący

Wniosek 2.4.7. Każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb całkowitych ma elementnajwiększy.

Dowód. Niech A ⊂ Z będzie zbiorem ograniczonym z góry. Wówczas zbiór −A jestograniczony z dołu, więc z twierdzenia 2.4.4, istnieje min(−A). Oznaczając a = min(−A)i stosując definicją minimum i maksimum zbioru dostajemy, że −a = maxA. �

Definicja liczby wymiernej. Mówimy, że liczba x ∈ R jest wymierna, gdy istniejąa, b ∈ Z, b 6= 0, takie że x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę bmianownikiemliczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.Definicja liczby niewymiernej. Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.Liczbę x ∈ R \Q nazywamy niewymierną.

Zachodzą następujące własności:

Własność 2.4.8. (a) Z ⊂ Q.

(b) Dla dowolnego r ∈ Q zachodzi −r ∈ Q oraz 1/r ∈ Q, gdy r 6= 0.

(c) Jeśli r, w ∈ Q, to r + w ∈ Q, r − w ∈ Q, rw ∈ Q oraz r/w ∈ Q, gdy w 6= 0.

(d) Dla każdej liczby r ∈ Q istnieją a ∈ Z oraz b ∈ N, że r = a/b.

Definicja całości liczby. Niech x ∈ R. Całością lub entier z liczby x nazywamymax{a ∈ Z : a 6 x} i oznaczamy [x].

Uwaga 2.4.9. Całość [x] jest poprawnie określona. Istotnie, zbiór A = {a ∈ Z : a 6 x}jest ograniczony z góry i niepusty, bowiem dla liczby −x, z zasady Archimedesa istniejen0 ∈ N, że n0 > −x. Zatem −n0 < x, więc −n0 ∈ A. Stosując teraz wniosek2.4.7dostajemy istnienie i jedyność liczby [x].

Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

2.5. INFORMACJE O DEFINIOWANIU PRZEZ INDUKCJĘ 25

Własność 2.4.10. Dla każdego x ∈ R mamy

[x] ∈ Z, [x] 6 x < [x] + 1.

W szczególności 0 6 x− [x] < 1.

Udowodnimy teraz twierdzenie o ”gęstości” zbioru Q w R.

Twierdzenie 2.4.11. Dla każych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje r ∈ Q, że x < r < y.

Dowód. Na mocy zasady Archimedesa istnieje n ∈ N, że n > 1/(y − x). W szczegól-ności 1/n < y−x. Oznaczmy a = [nx] ∈ Z. Pokażemy, że liczba r = (a+1)/n spełnia tezętwierdzenia. Z własności 2.4.10 mamy nx < a+1, więc x < (a+1)/n, czyli x < r. Z drugiejstrony (a+1)/n = (a+1−nx)/n+x = (1−(nx−[nx]))/n+x 6 1/n+x < (y−x)+x = y,czyli r < y. Reasumując x < r < y. �

ZADANIA

Zadanie 2.4.1. Niech x ∈ R. Udowodnić, że jeśli dla każdego n ∈ N istnieją q, r ∈ Noraz p ∈ Z, że q, r > n oraz 0 < |x− p

q| < 1

qr, to x jest liczbą niewymierną.

Zadanie 2.4.2.* Udowodnić, że jeśli x ∈ R jest liczbą niewymierną, to dla każdego n ∈ Nistnieją p ∈ Z, q ∈ N takie, że q > n oraz |x− p

q| < 1

q·q .

2.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję

Niech n ∈ N oraz, zgodnie z poprzednim punktem, niech Fn = {k ∈ N : k 6 n}.Definicja określania funkcji przez indukcję skończoną. Niech X będzie niepustymzbiorem, n ∈ N, n > 1, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X. Funkcję ϕ : Fn → X spełniającąwarunki

(i) ϕ(1) = x,

(ii) ϕ(k + 1) = f(ϕ(k), k) dla każdego k ∈ Fn−1 ,

nazywamy określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończonej.

Twierdzenie 2.5.1. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X,gdzie n ∈ N, n > 1, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ : Fn → X określona przez x i fprzy pomocy indukcji skończonej. (3)

3Dowód twierdzenia 2.5.1. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istniejądwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (i), (ii), to zbiór A = {k ∈ Fn : ϕ(k) 6= ψ(k)} jest niepusty. Zatemistnieje s = minA. Wówczas s > 1, bo z (i) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy s − 1 ∈ Fn−1 orazϕ(s− 1) = ψ(s− 1). Zatem z (ii) otrzymujemy

ϕ(s) = f(ϕ(s− 1), s− 1) = f(ψ(s− 1), s− 1) = ψ(s),co, wraz z faktem s ∈ A, prowadzi do sprzeczności.Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Niech N będzie zbiorem tych m ∈ Fn, że istnieje funkcja ϕm : Fm → X


Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbiorem,x ∈ X oraz f : X × N→ X. Funkcję ϕ : N→ X spełniającą warunki

(j) ϕ(1) = x,

(jj) ϕ(n+ 1) = f(ϕ(n), n) dla każdego n ∈ N,nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f .

Twierdzenie 2.5.2. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N → X, toistnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f . (4)

Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję.Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N× N→ N będzie określona wzorem

f(a, n) = a · (n+ 1) dla n ∈ NWtedy funkcję ϕ : N→ N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dlan ∈ N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1.

Uwaga 2.5.3. W literaturze dla n ∈ N, liczbę n-silnia określa się również następująco:n! = 1, gdy n = 1 oraz (n+ 1)! = n!(n+ 1).

W świetle twierdzenia 2.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdegon ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! ∈ N.

Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby(m

n

)=

m!n!(m− n)!

gdzie n, m ∈ Z, 0 6 n 6 m.

ZADANIA

spełniająca warunki(i′) ϕm(1) = x,(ii′) ϕm(k + 1) = f(ϕm(k), k) dla każdego k ∈ Fm−1 (przyjmujemy tutaj F0 = ∅).Z (i′) oraz (ii′) mamy 1 ∈ N . Niech teraz m ∈ N , m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕm : Fm → Xspełniająca (i′), (ii′). Biorąc ϕm+1 : Fm+1 → X określona wzorami ϕm+1(n) = ϕm(n) dla n ∈ Fm orazϕm+1(m+1) = f(ϕm(m),m) dostajemy, że ϕm+1 spełnia (i′), (ii′) dla m+1. W konsekwencji m+1 ∈ N .Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = Fn. Przyjmując teraz ϕ = ϕn dostajemy tezę. �

4Dowód twierdzenia 2.5.2. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istniejądwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n ∈ N : ϕ(n) 6= ψ(n)} jest niepusty. Zatemistnieje k = minA. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k − 1 ∈ N orazϕ(k − 1) = ψ(k − 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k ∈ A.Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia 2.5.1 dla każdego n ∈ N, zbiór funkcji określonychindukcyjnie przez x i f |X×Fn jest niepusty. Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕn :Fn → X, n ∈ N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną.Ponadto dla każdego n ∈ N mamy ϕn+1|Fn = ϕn. Określmy funkcję ϕ : N → X wzorem ϕ(n) = ϕn(n),n ∈ N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ1(1) = x, czyli zachodzi (j). Weźmyn ∈ N. Wtedy ϕ(n) = ϕn+1(n), ϕ(n+ 1) = ϕn+1(n+ 1), zatem z (ii) mamy

ϕ(n+ 1) = ϕn+1(n+ 1) = f(ϕn+1(n), n) = f(ϕ(n), n).To daje, że ϕ spełnia (jj) i kończy dowód. �

2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE 27

Zadanie 2.5.1. Dla dowolnych n,m ∈ N, n 6 m zachodzi(mn

)∈ N.

2.6 Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne

Definicja równoliczności. Dwa zbiory X, Y nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bi-jekcja zbioru X na zbiór Y . Dodatkowo przyjmujemy, że zbiór pusty jest równolicznytylko ze zbiorem pustym.

Uwaga 2.6.1. Relacja równoliczności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (5).

Definicja zbioru skończonego, nieskończonego. Zbiór X nazywamy skończonym,gdy jest pusty lub równoliczny z pewnym zbiorem Fn = {k ∈ N : k 6 n}, gdzie n ∈ N.Jeśli X jest równoliczny z Fn, gdzie n ∈ N, to mówimy, że zbiór X jest n-elementowy.@n-elementowy Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy nie jest on skończony.

Definicja zbioru n-elementowego jest poprawna. Mamy bowiem następującą własność.

Własność 2.6.2. Jeśli zbiory Fn i Fm są równoliczne, to n = m.

Dowód. Zauważmy najpierw, że dla m ∈ N, m > 1 oraz k ∈ Fm zbiory Fm \ {k} iFm−1 są równoliczne. Istotnie, funkcja ϕ : Fm \ {k} → Fm−1 określona wzorem ϕ(j) = jdla j < k, ϕ(j) = j − 1 dla j > k jest bijekcją (6).Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór N = {n ∈ N : Fn nie jest równo-

liczny z Fm dla m ∈ N, m 6= n} jest równy N. Zastosujemy twierdzenie 2.3.5.(i) 1 ∈ N . Istotnie, F1 = {1} oraz dla m ∈ N, m 6= 1 mamy m > 1, więc 1, 2 ∈ Fm, a

więc zbiory F1 i Fm nie mogą być równoliczne.(ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n + 1 ∈ N . Przypuśćmy przeciwnie, że n + 1 6∈ N ,

czyli, że istnieje m 6= n+ 1 dla którego Fn+1 jest równoliczny z Fm. Ponieważ n+ 1 > 1,więc z części (i) dowodu mamy, że m > 1. Niech ψ : Fn+1 → Fm będzie bijekcją. Wtedy,Fn jest równoliczny z Fm \ {ψ(n + 1)} (patrz lemat 2.3.9). Z obserwacji poczynionej napoczątku dowodu mamy, że Fm \ {ψ(n+1)} jest równoliczny z Fm−1. W konsekwencji Fnjest równoliczny z Fm−1 oraz m− 1 6= n. To przeczy temu, że n ∈ N . Zatem n+ 1 ∈ N .Reasumując na mocy zasady indukcji matematycznej mamy, że N = N. �

Własność 2.6.3. Jeśli zbiory A, B są skończone i rozłączne, to ilość elementów zbioruA ∪B jest sumą ilości elementów zbioru A i zbioru B.5to znaczy:każdy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem X (zwrotność),jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y , to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X (symetria),jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y i zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem Z, to zbiór X jestrównoliczny ze zbiorem Z (przechodniość).6Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż jest różnowartościowa na A = {j ∈ Fm : j < k} oraz na

B = {j ∈ Fm : j > k} oraz, wobec własności 2.3.7(d), ϕ(A)∩ϕ(B) = ∅. Ponadto ϕ(Fm \{k}) ⊂ Fm−1, bodla 1 6 j < k mamy 1 6 ϕ(j) < k 6 m oraz dla k < j 6 m mamy k 6 ϕ(j) < m (własność 2.3.7). Mamyrównież Fm−1 ⊂ ϕ(Fm \ {k}), gdyż dla 1 6 j < k mamy j = ϕ(j) ∈ ϕ(Fm \ {k}) oraz dla k 6 j 6 m− 1mamy k < j + 1 6 m i wtedy j = ϕ(j + 1) ∈ ϕ(Fm \ {k}). W konsekwencji ϕ(Fm \ {k}) = Fm−1, cowobec różnowartościowości ϕ daje, że ϕ jest bijekcją.


Dowód. Niech n będzie ilością elementów zbioru A oraz m – ilością elementów zbioruB. Niech ϕ : Fn → A, ψ : Fm → B będą bijekcjami. Kładąc f : Fn+m → A ∪B, wzorami:f(j) = ϕ(j) dla 1 6 j 6 n oraz f(j) = ψ(j−n) dla n+1 6 j 6 n+m, łatwo sprawdzamy,że f jest bijekcją. To daje tezę. �

Twierdzenie 2.6.4. Każdy skończony i niepusty zbiór A ⊂ R ma minimum i maksimum.

Dowód. Wystarczy pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdypodzbiór n-elementowy zbioru R ma minimum i maksimum}. Mamy kolejno:(i) 1 ∈ N . Istotnie, niech A ⊂ R będzie równoliczny z F1. Wówczas istnieje bijekcja

ϕ : F1 → A. Zatem A = {ϕ(1)} i maxA = minA = ϕ(1). To daje, że 1 ∈ N .(ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny zbiór n+1-elementowy A ⊂ R i niech ϕ : Fn+1 → A

będzie bijekcją. Wówczas zbiór A \ {ϕ(n + 1)} jest n-elementowy. Ponieważ n ∈ N ,więc A \ {ϕ(n + 1)} ma maksimum i minimum. Niech x = min(A \ {ϕ(n + 1)}) orazy = max(A \ {ϕ(n + 1)}). W myśl własności 2.1.7 istnieje z = min{x, ϕ(n + 1)} orazt = max{y, ϕ(n+1)}. W konsekwencji minA = z oraz maxA = t. To daje, że n+1 ∈ N .Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. �

Definicja zbioru przeliczalnego, nieprzeliczalnego. Mówimy, że zbiór X jest prze-liczalny, gdy jest on równoliczny ze zbiorem N. Zbiór X nazywamy co najwyżej prze-liczalnym, gdy jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór, który nie jest skończony aniprzeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym.

Z twierdzenia 2.6.4 i własności 2.3.3 dostajemy natychmiast

Wniosek 2.6.5. Zbiór N jest nieskończony. W szczególności każdy zbiór przeliczalny jestnieskończony.

Twierdzenie 2.6.6. Niech A ⊂ N. Wówczas zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,gdy zbiór A jest skończony.

Dowód. (⇒) Pokażemy najpierw, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skoń-czony. Weźmy dowolny zbiór ograniczony A ⊂ N. Wówczas istnieje x ∈ R, że k 6 x dlawszystkich k ∈ A. Biorąc, w myśl zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2), n ∈ N takie,że n > x dostajemy, że A ⊂ Fn. Do zakończenia dowodu wystarczy więc pokazać, że Npokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdy podzbiór zbioru Fn jest skończony}. Mamykolejno:(i) 1 ∈ N , bo F1 = {1} i jedynymi podzbiorami F1 są ∅ i {1}.(ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny podzbiór A ⊂ Fn+1. Jeśli n + 1 6∈ A, to A ⊂ Fn, a

więc A jest skończony, bo n ∈ N . Jeśli n+ 1 ∈ A, to A \ {n+ 1} ⊂ Fn, więc A \ {n+ 1}jest skończony, powiedzmy równoliczny z Fm lub A \ {n + 1} = ∅ i wtedy A = {n + 1}.Jeśli A = {n + 1}, to A jest zbiorem skończonym. Załóżmy więc, że A \ {n + 1} 6= ∅.Zatem istnieje bijekcja ϕ : Fm → A \ {n + 1}. Kładąc ψ(j) = ϕ(j) dla j ∈ Fm orazψ(m + 1) = n + 1 dostajemy, że ψ jest bijekcją Fm+1 na A, czyli że A jest zbioremskończonym. Z dowolności wyboru zbioru A dostajemy, że n+ 1 ∈ N .Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. Pokazaliśmy więc, że każdy ograniczonypodzbiór zbioru N jest skończony.


(⇐) Z twierdzenia 2.6.4 dostajemy, że każdy skończony i niepusty podzbiór A ⊂ N maminimum i maksimum, w szczególności A jest ograniczony. Oczywiście zbiór pusty jestograniczony. �

Wniosek 2.6.7. Jeśli A ⊂ B i B jest zbiorem skończonym, to A jest zbiorem skończonym.

Dowód. Można założyć, że B 6= ∅. Wtedy istnieje n ∈ N oraz bijekcja ϕ : B → Fn.W szczególności ϕ(A) ⊂ Fn, więc ϕ(A) jest ograniczonym podzbiorem zbioru N. Zatem ztwierdzenia 2.6.6, zbiór ϕ(A) jest skończony. Ponieważ zbiór A jest równoliczny z ϕ(A),więc mamy tezę. �

Własność 2.6.8. Jeśli n ∈ N oraz ϕ : Fn → R, to ϕ(Fn) jest zbiorem skończonym.

Dowód. Niech N = {n ∈ N : dla każdej funkcji ϕ : Fn → R, zbiór ϕ(Fn) jestskończony}. Wówczas N ⊂ N. Ponadto(i) 1 ∈ N , gdyż dla każdej funkcji ϕ : F1 → R, zbiór ϕ(F1) = {ϕ(1)} jest jednoelemen-

towy.(ii) Załóżmy, że n ∈ N . Biorąc dowolną funkcją ϕ : Fn+1 → R, mamy ϕ(Fn+1) =

ϕ(Fn) ∪ {ϕ(n + 1)}. Z założenia, że n ∈ N wynika, że zbiór ϕ(Fn) jest skończony. Jeśliϕ(n + 1) ∈ ϕ(Fn), to ϕ(Fn+1) = ϕ(Fn), więc ϕ(Fn+1) jest zbiorem skończonym. Jeśliϕ(n+1) 6∈ ϕ(Fn), to zbiór ϕ(Fn+1) jest skończony, jako suma dwóch zbiorów skończonychi rozłącznych (patrz własność 2.6.3). Zatem n+ 1 ∈ N .Reasumując, z zasady indukcji, dostajemy że N = N. To daje tezę. �

Stosując zasadę indukcji (twierdzenie 2.3.5 i 2.3.11) dostajemy łatwo

Lemat 2.6.9. Niech ϕ : N → N będzie funkcją taką, że dla każdego n ∈ N zachodziϕ(n) < ϕ(n + 1). Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 ϕ(n). Ponadto dla każdychk, l ∈ N takich, że k < l mamy ϕ(k) < ϕ(l).

Twierdzenie 2.6.10. Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest albo skończony albo prze-liczalny.

Dowód. Niech A będzie podzbiorem zbioru przeliczalnego. Wówczas A jest równo-liczny z pewnym podzbiorem zbioru N. Można więc założyć, że A ⊂ N. Z wniosku 2.6.5wynika, że zbiór A nie może być jednocześnie skończony i przeliczalny. Załóżmy, że zbiór Ajest nieskończony. Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór A jest przeliczalny.Niech f : A×N→ A będzie funkcją określoną wzorem f(a, n) = min{x ∈ A : x > a}.

Funkcja f jest poprawnie określona, gdyż z założenia, że A jest zbiorem nieskończonymi twierdzenia 2.6.6 mamy, że dla każdego a ∈ A, zbiór {x ∈ A : x > a} jest niepusty,z zasady minimum (twierdzenie 2.3.10) zaś, że istnieje min{x ∈ A : x > a}. Niechϕ : N → A będzie funkcją określoną indukcyjnie przez x = minA i funkcję f (patrztwierdzenie 2.5.2). Funkcja ϕ jest poprawnie określona oraz

(2.2) ϕ(1) = minA, ϕ(n+ 1) = min{x ∈ A : x > ϕ(n)}.


Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż z (2.2) dla każdego n ∈ N mamy ϕ(n) <ϕ(n+ 1), więc stosując lemat 2.6.9 dostajemy, że dla k, l ∈ N, k < l mamy ϕ(k) < ϕ(l).Funkcja ϕ przekształca N na cały zbiór A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje a ∈ A,

który nie jest wartością funkcji ϕ. Niech, wobec zasady Archimedesa 2.3.2, l ∈ N będzietakie, że l > a. Z warunku ϕ(n) < ϕ(n + 1) dla n ∈ N i lematu 2.6.9 dostajemy, żel 6 ϕ(l). Oznaczmy przez N = {n ∈ N : ϕ(n) < a}. Pokażemy, że wówczas N = N.Istotnie(i) ϕ(1) = minA 6 a. Ponieważ z przypuszczenia a 6= ϕ(1), więc ϕ(1) < a, czyli

1 ∈ N .(ii) Załóżmy, że n ∈ N . Wtedy ϕ(n) < a. Zatem z (2.2) mamy ϕ(n+1) 6 a. Ponieważ

ϕ(n+ 1) 6= a, więc ϕ(n+ 1) < a. To daje, że n+ 1 ∈ N .Reasumując z zasady indukcji 2.3.5 mamy N = N. To jest jednak niemożliwe, gdyż zwyboru liczby l i określenia zbioru N mamy a < l 6 ϕ(l) < a. W konsekwencji A = ϕ(N).Reasumując ϕ jest funkcją różnowartościową i na cały zbiór A. To daje, że A jest

zbiorem przeliczalnym. �

Wniosek 2.6.11. Jeśli A jest zbiorem przeliczalnym i ϕ : A → R, to ϕ(A) jest zbioremco najwyżej przeliczalnym.

Dowód. Można założyć, że A = N. Niech B = {minϕ−1(b) : b ∈ ϕ(A)}. Wówczas B ⊂N. W myśl twierdzenia 2.6.10, B jest co najwyżej przeliczalny. Ponadto dla b1, b2 ∈ ϕ(A),b1 6= b2 mamy ϕ−1(b1) ∩ ϕ−1(b2) = ∅, więc minϕ−1(b1) 6= minϕ−1(b2). W konsekwencjif : ϕ(A) 3 b 7→ minϕ−1(b) ∈ B jest bijekcją, czyli ϕ(A) jest równoliczny z B. �

Z twierdzenia 2.6.6 i 2.6.10 dostajemy natychmiast

Wniosek 2.6.12. Zbiór liczb parzystych oraz zbiór liczb nieparzystych są przeliczalne.

Wniosek 2.6.13. Niech X i Y będą zbiorami co najwyżej przeliczalnymi. Wówczas X∪Yjest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Ponadto zbiór X∪Y jest przeliczalny wtedy i tylkowtedy, gdy przynajmniej jeden ze zbiorów X, Y jest przeliczalny.

Dowód. Jeśli X ⊂ Y lub Y ⊂ X, to teza jest oczywista. Załóżmy więc, że X 6= ∅ orazY \X 6= ∅. Wówczas Y \X jest co najwyżej przeliczalny (wniosek 2.6.7 i twierdzenie 2.6.10).Z wniosku 2.6.12 dostajemy łatwo, że istnieją funkcje różnowartościowe ϕ : X → 2N orazψ : Y \ X → 2N − 1. Zatem funkcja f : X ∪ Y → N określona wzorami f(x) = ϕ(x),gdy x ∈ X oraz f(x) = ψ(x), gdy x ∈ Y \X jest różnowartościowa. Stąd i z twierdzenia2.6.10 mamy, że f(X ∪ Y ), a więc i X ∪ Y , jest co najwyżej przeliczalny.Jeśli któryś ze zbiorów X, Y jest przeliczalny to, X lub Y \X jest przeliczalny, więc z

twierdzenia 2.6.6, ϕ(X) lub ψ(Y \X) nie jest ograniczony. W konsekwencji zbiór f(X∪Y )nie jest ograniczony, więc nie jest on skończony. Reasumując f(X ∪Y ) jako zbiór nieskoń-czony i co najwyżej przeliczalny jest zbiorem przeliczalnym. Stąd dostajemy przeliczalnośćzbioru X ∪ Y .Jeśli X ∪Y jest przeliczalny, to X ∪ (Y \X) jest przeliczalny. Zatem z własności 2.6.3

dostajemy, że X lub Y \ X jest nieskończony. Stąd wynika, że X lub Y jest zbioremnieskończonym, a więc przeliczalnym. �


Wniosek 2.6.14. Jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi, to zbiór A×B jest przeliczalny.

Dowód. Ponieważ A i B są równoliczne z N, więc A × B jest równoliczny z N × N.Wystarczy więc pokazać, że N×N jest zbiorem przeliczalnym. Z wniosku 2.6.7 dostajemyłatwo, że N × N jest nieskończony (istotnie, {1} × N ⊂ N × N i zbiór {1} × N jestnieskończony, jako równoliczny z N). Na mocy twierdzenia 2.6.10 wystarczy więc pokazać,że N×N jest zbiorem równolicznym z pewnym podzbiorem zbioru N. Inaczej, wystarczypokazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ : N× N→ N.Połóżmy ϕ(n,m) = (n + m)(n + m − 1) + n. Oczywiście ϕ przekształca N × N w

N. Pokażemy różnowartościowość ϕ. Weźmy dowolne (n,m), (n′,m′) ∈ N × N takie, że(n,m) 6= (n′,m′). Jeśli n+m = n′ +m′, to n 6= n′, więc

ϕ(n,m) = (n′ +m′)(n′ +m′ − 1) + n 6= (n′ +m′)(n′ +m′) + n′ = ϕ(n′,m′).

Jeśli n+m 6= n′ +m′, to można założyć, że n+m 6 n′ +m′ − 1, wówczas

ϕ(n,m) < ϕ(n,m) +m = (n+m)(n+m) 6 (n′ +m′)(n′ +m′ − 1) < ϕ(n′,m′).

To daje różnowartościowość ϕ i kończy dowód. �

Udowodnimy teraz zasadnicze twierdzenie tego punktu.

Twierdzenie 2.6.15. Zbiór Q jest przeliczalny.

Dowód. Ponieważ Q = (Q∩R+)∪{0}∪ (Q∩R−) i zbiory Q∩R+, Q∩R− są równo-liczne, więc wobec wniosku 2.6.13, wystarczy pokazać, że zbiór Q ∩ R+ jest przeliczalny.Odwzorowanie ϕ : N×N→ Q∩R+ określone wzorem ϕ(n,m) = n/m jest odwzorowaniemna cały zbiór Q ∩R+. Zatem, z wniosku 2.6.11 wynika, że Q ∩R+ jest co najwyżej prze-liczalny. Ponieważ N ⊂ Q ∩R+, więc Q ∩R+ jest zbiorem nieskończonym (patrz wniosek2.6.7 i 2.6.5), a więc jest zbiorem przeliczalnym. �

Wniosek 2.6.16. Każda rodzina przedziałów parami rozłącznych jest co najwyżej przeli-czalna.

Dowód. Biorąc dowolną rodzinę P przedziałów parami rozłącznych, z aksjomatu wy-boru dostajemy, że istnieje zbiór E ⊂ Q zawarty w sumie przedziałów rodziny P któryma po jednym punkcie wspólnym z każdym przedziałem rodziny P . W konsekwencji Pjest równoliczny z E. Ponieważ E ⊂ Q, więc z twierdzenia 2.6.15 zbiór E jest równolicznyz pewnym podzbiorem zbioru N, a więc z twierdzenia 2.6.10, E co najwyżej przeliczalny.�

Wykażemy teraz, że R jest zbiorem nieprzeliczalnym. Zacznijmy od lematu.

Lemat 2.6.17. Niech Pn, n ∈ N będzie rodziną przedziałów domkniętych taką, że Pn+1 ⊂Pn dla n ∈ N. Wówczas część wspólna ⋂n∈N Pn jest niepusta.


Dowód. Stosując zasadę indukcji o innym początku (twierdzenie 2.3.11), pokazujemyże dla każdych k, l ∈ N,

(2.3) Pk ⊂ Pl, jeśli l 6 k.

Niech Pn = [an, bn], n ∈ N. Zauważmy, że dla każdego n,m ∈ N zachodzi

(2.4) an 6 bm.

Istotnie, jeśli n 6 m, to z (2.3) mamy Pm ⊂ Pn, więc an 6 bm, jeśli zaś n > m, to z (2.3)mamy Pn ⊂ Pm, więc an 6 bm. Pokazaliśmy więc (2.4).Oznaczmy A = {an : n ∈ N}. Zbiór ten jest niepusty i ograniczony z góry na przykład

przez b1 (patrz wzór (2.4)). Zatem, na mocy twierdzenia 2.2.5 istnieje kres górny zbioru A.Oznaczmy ten kres przez c. Pokażemy, że c ∈ ⋂n∈N Pn. Istotnie, z określenia kresu górnegomamy an 6 c dla wszystkich n ∈ N. Z (2.4) mamy, że każdy bn jest ograniczeniem górnymzbioru A, zatem c 6 bn dla wszystkich n ∈ N. Reasumując c ∈ Pn dla wszystkich n ∈ N iw konsekwencji c ∈ ⋂n∈N Pn. �

Twierdzenie 2.6.18. Zbiór R jest nieprzeliczalny.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że R nie jest nieprzeliczalny. Stąd, ponieważ R jestnieskończony (co wynika z faktu, że N ⊂ R, wniosku 2.6.7 i 2.6.5) dostajemy, że R jestprzeliczalny. Niech więc ϕ : N→ R będzie bijekcją. Weźmy dowolny przedział domkniętyP1 taki, że ϕ(1) 6∈ P1. Stosując własność 2.1.10 dostajemy, że istnieje przedział P2 ⊂ P1taki, że ϕ(2) 6∈ P2. Postępując dalej indukcyjnie znajdziemy rodzinę przedziałów Pn,n ∈ N takich, że Pn+1 ⊂ Pn oraz ϕ(n) 6∈ Pn dla wszystkich n ∈ N (7). Z lematu 2.6.17istnieje x ∈ ⋂n∈N Pn, z wyboru Pn zaś, że x 6= ϕ(n) dla n ∈ N. To daje, że x 6∈ ϕ(N).Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że ϕ jest bijekcją N na R. �

Z twierdzeń 2.6.18, 2.6.15 i wniosku 2.6.13 dostajemy natychmiast

Wniosek 2.6.19. Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny.

Powtarzając dowód twierdzenia 2.6.18, przy zastosowaniu twierdzenia 2.6.15 dostaje-my natychmiast

Wniosek 2.6.20. Każdy przedział jest zbiorem nieprzeliczalnym. W szczególności w każ-dym przedziale istnieją liczby niewymierne.

Definicja zbioru mocy continuum. O zbiorze, który jest równoliczny z R mówimy, żejest mocy continuum.

7Dokładniej, ciąg przedziałów (Pn)n∈N można określić indukcyjnie przy pomocy przedziału P1, gdzieϕ(1) 6∈ P1, i funkcji f([a, b], n) = [a, a + b−a3 ], gdy ϕ(n) > a+b

2 oraz f([a, b], n) = [b −b−a3 , b], gdy

ϕ(n) < a+b2 .

2.7. CIĄGI SKOŃCZONE 33

ZADANIA

Zadanie 2.6.1. (a) Zbiór Z jest przeliczalny.(b) Zbiór wszystkich przedziałów o końcach wymiernych jest przeliczalny.(c) Zbiór wszystkich funkcji f : N→ {0, 1} jest nieprzeliczalny.

Zadanie 2.6.2. (Dirichleta). Niech A, B1, . . . , Bk będą zbiorami, przy czym niech Abędzie zbiorem n elementowym. Jeśli A ⊂ B1 ∪ . . .∪Bk oraz n > k, to istnieje Bj taki, żeA ∩Bj jest zbiorem co najmniej 2-elementowym.

Zadanie 2.6.3. Jeśli zbiory An, n ∈ N, są przeliczalne, to zbiór ⋃n∈NAn jest przeliczalny.

2.7 Ciągi skończone

Definicja ciągu skończonego. Niech X, Y będą zbiorami niepustymi oraz n ∈ N.Funkcję a : Fn → X nazywamy ciągiem skończonym,Parę uporządkowaną (k, a(k)), gdzie k ∈ Fn, nazywamy k–tym wyrazem ciągu, k –

wskaźnikiem tego wyrazu, a(k) – wartością tego wyrazu. Piszemy ak zamiast a(k).Ciąg a : Fn → X zapisujemy również (a1, ..., an) lub (ak)nk=1 lub ak, k = 1, ..., n.Pisząc a1, ..., an ∈ Y rozumiemy, że wszystkie wartości ciągu (a1, ..., an) należą do Y .Jeśli a1, ..., an ∈ R, to ciąg (a1, ..., an) nazywamy ciągiem liczbowym.Zbiór wszystkich ciągów liczbowych n-wyrazowych oznaczamy Rn. Inaczej

Rn = {(a1, ..., an) : a1, ..., an ∈ R}.

Definicja sumy ciągu skończonego. Niech (a1, ..., an), n > 1, będzie skończonym cią-giem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R × Fn−1 → R będzie funkcją określonąwzorem

f(a, k) = a+ ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończo-nej. Sumą ciągu (a1, ..., an) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 + · · · + an lub

n∑k=1

ak

lub∑nk=1 ak. Dodatkowo przyjmujemy

1∑k=1

ak = a1, gdy n = 1.

Definicja iloczynu ciągu skończonego. Niech (a1, ..., an), n > 1 będzie skończony,ciągiem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R×Fn−1 → R będzie funkcją określonawzorem

f(a, k) = a · ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1.

Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skoń-czonej. Iloczynem ciągu (a1, ..., an) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 · · · an lub

n∏k=1

ak

lub∏nk=1 ak. Dodatkowo przyjmujemy

1∏k=1

ak = a1, gdy n = 1.


Uwaga 2.7.1. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a1, ..., an). W literaturze podaje się również następujące(równoważne powyższym) definicje sumy i iloczynu ciągu skończonego. Sumą ciągu (a1, ..., an) nazywamy

liczbęn∑k=1

ak określoną następująco:

n∑k=1

ak = a1, gdy n = 1;n∑k=1

ak = an+n−1∑k=1

ak, gdy n > 1.

Iloczynem ciągu (a1, ..., an) nazywamy liczbęn∏k=1

ak określoną indukcyjnie:

n∏k=1

ak = a1, gdy n = 1;n∏k=1

ak = ann−1∏k=1

ak, gdy n > 1.

W szczególności dla każdego skończonego ciągu liczbowego istnieje dokładnie jedna suma i dokładnie jedeniloczyn tego ciągu.

Bezpośrednio z definicji dostajemy

Własność 2.7.2. Niech (a1, ..., an), (b1, ..., bn), n ∈ N będą ciągami liczbowymi orazα, β ∈ R. Wówczas

αn∑k=1

ak + βn∑k=1

bk =n∑k=1(αan + βbn),

∏nk=1 ak ·

∏nk=1 bk =

∏nk=1(akbk).

Dowód. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Załóżmy, że n > 1. Niech f : R × Fn−1 → R będziefunkcją określoną wzorem f(a, k) = a+ ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech ϕ : Fn → R będzie funkcjąokreśloną przez x = a1 i f przy pomocy indukcji skończonej. Niech g : R × Fn−1 → R będzie funkcjąokreśloną wzorem g(b, k) = b+ bk+1 dla b ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech ψ : Fn → R będzie funkcją określonąprzez x = b1 i g przy pomocy indukcji skończonej. Niech h : R × Fn−1 → R będzie funkcją określonąwzorem h(x, k) = x+αak+1+βbk+1 dla x ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech λ : Fn → R będzie funkcją określonąprzez x = αa1 + βb1 i h przy pomocy indukcji skończonej. Zauważmy, że dla każdego k ∈ Fn,

(2.5) αϕ(k) + βψ(k) = λ(k).

Istotnie dla k = 1 równość (2.5) jest oczywista. Zakładając, że (2.5) zachodzi dla k ∈ Fn takiego, żek < n, z określenia ϕ, ψ oraz λ mamy

αϕ(k + 1) + βψ(k + 1) = αf(ϕ(k), k) + βg(ψ(k), k) = αϕ(k) + αak+1 + βψ(k) + βbk+1

= λ(k) + αak+1 + βbk+1 = h(λ(k), k) = λ(k + 1).

Zatem (2.5) zachodzi dla k + 1. Stosując teraz zasadę indukcji skończonej dostajemy, że (2.5) zachodzidla wszystkich k ∈ Fn. W szczególności (2.5) dla k = n daje pierwszą część tezy.Drugą część tezy dowodzimy analogicznie. �

Definicja sumy i iloczynu wartości funkcji. Niech A 6= ∅ będzie zbiorem skończonymoraz ϕ : Fn → A będzie bijekcją. Niech a : A→ R będzie funkcją.Sumą wartości funkcji a nazywamy liczbę∑

x∈Aa(x) =

n∑j=1

a(ϕ(j)).

Iloczynem wartości funkcji a nazywamy liczbę∏x∈A

a(x) =n∏j=1

a(ϕ(j)).

2.7. CIĄGI SKOŃCZONE 35

Definicja . Niech n0,m0 ∈ Z, n0 6 m0 oraz niech A = {n ∈ Z : n0 6 n 6 m0} (8).Wówczas dla każdej funkcji a : A→ R przyjmujemy

m0∑n=n0

a(n) =∑n∈A

a(n),m0∏n=n0

a(n) =∏n∈A

a(n).

Własność 2.7.3. Jeśli a : A → R, gdzie A 6= ∅ jest zbiorem skończonym, to ∑x∈A

a(x) i∏x∈A

a(x) nie zależą od wyboru bijekcji ϕ : Fn → A. Ponadto jeśli A = B ∪ C, gdzie B, Csą niepustymi zbiorami rozłącznymi, to

(2.6)∑x∈A

a(x) =∑x∈B

a(x)+∑x∈C

a(x) oraz∏x∈A

a(x) =∏x∈B

a(x) · ∏x∈C

a(x).

Zanim przejdziemy do dowodu własności 2.7.3, wprowadzimy pojęcie transpozycji i udowodnimypewną własność.

Definicja transpozycji. Niech n ∈ N, n > 1 oraz k, l ∈ Fn, k 6= l. Transpozycją nazywamy bijekcjęσk,l : Fn → Fn określoną następująco:

σk,l(i) = i dla i ∈ Fn \ {k, l} oraz σk,l(k) = l i σk,l(l) = k.

Bezpośrednio z definicji widzimy, że σk,l = σ−1k,l .

Własność A. Każda bijekcja ϕ : Fn → Fn, gdzie n > 1, jest złożeniem skończonej ilości transpozycji.

Dowód. Jeśli n = 2, to każda bijekcja ϕ : Fn → Fn jest albo identycznością albo transpozycją, więcteza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla n − 1 > 2. Niech ϕ : Fn → Fn będzie bijekcją i niechn = ϕ(k).Jeśli k = n, to biorąc ϕ : Fn−1 → Fn−1 określoną wzorem ϕ(i) = ϕ(i) dla i ∈ Fn−1, z założenia

indukcyjnego dostajemy, że istnieją transpozycje σ1, ..., σs : Fn−1 → Fn−1 takie, że F = σ1 ◦ · · · ◦ σs.Kładąc σj(i) = σj(i) dla j ∈ Fn−1 oraz σj(n) = n dostajemy, że σ1, ..., σs : Fn → Fn są transpozycjamioraz F = σ1 ◦ · · · ◦ σs.Jeśli k 6= n, to biorąc transpozycję σk,n : Fn → Fn, gdzie σk,n(i) = i dla i ∈ Fn \ {k, l} oraz

σk,n(k) = n, σk,n(n) = k, dostajemy, że ϕ◦σk,n spełnia założenia poprzedniego przypadku. Zatem istniejątranspozycje σ1, ..., σs : Fn → Fn takie, że F ◦ σk,n = σ1 ◦ · · · ◦ σs. W konsekwencji F = σ1 ◦ · · · ◦ σs ◦ σk,n.Reasumując, zasada indukcji daje tezę. �

Dowód własności 2.7.3. Dowód przeprowadzimy dla sumy. Dla iloczynu rozumujemy analogicznie.Niech A będzie zbiorem n-elementowym, ϕ,ψ : Fn → A – bijekcjami oraz a : A→ R. Jeśli n = 1, to

teza jest oczywista. Załóżmy, że n > 1. Wówczas ϕ−1 ◦ ψ : Fn → Fn jest bijekcją. Z własności A, istniejątranspozycje σ1, ..., σs : Fn → Fn takie, że ϕ−1 ◦ψ = σ1 ◦ · · · ◦ σs. Zatem ψ = ϕ ◦ σ1 ◦ · · · ◦ σs. Wystarczywięc pokazać, że dla dowolnej transpozycji σ : Fn → Fn mamy

(2.7)n∑i=1

a(ϕ(i)) =n∑i=1

a(ϕ ◦ σ(i)).

Niech k, l ∈ Fn, k 6= l oraz niech σ : Fn → Fn będzie transpozycją taką, że σ(i) = i dla i ∈ Fn \ {k, l}oraz σ(k) = l, σ(l) = k. Wtedy stosując definicję sumy ciągu skończonego indukcyjnie sprawdzamy, żen∑i=1

a(ϕ(i))−n∑i=1

a(ϕ ◦ σ(i)) =n∑i=1(a(ϕ(i))− a(ϕ ◦ σ(i))) = a(ϕ(k))− a(ϕ(l)) + a(ϕ(l))− a(ϕ(k)) = 0.

To daje (2.7) i w konsekwencji niezależność sumy od wyboru bijekcji ϕ.

8zbiór A jest skończony, bowiem k = m0 − n0 + 1 jest liczbą naturalną oraz łatwo sprawdzamy, żefunkcja ϕ : Fk → A określona wzorem ϕ(n) = n+ n0 − 1 dla n ∈ Fk, jest bijekcją.


Udowodnimy teraz pierwszą część (2.6). Jeśli A jest zbiorem 2-elementowym, to teza jest oczywista.Załóżmy, że teza zachodzi dla n − 1 > 2 i niech A będzie zbiorem n-elementowym oraz a : A → R.Niech A = B ∪ C, gdzie B,C są zbiorami niepustymi i rozłącznymi. Wtedy jeden ze zbiorów B,C jestco najmniej 2-elementowy. Niech na przykład B bądzie zbiorem co najmniej 2-elementowym. Weźmydowolny x0 ∈ B. Biorąc bijekcję ϕ : Fn → A taką, że ϕ(n) = x0 (istnienie takiej bijekcji dostajemy zdowolnej bijekcji przez złożenie z transpozycją), dostajemy, że

∑x∈A

a(x) =∑

x∈A\{x0}a(x)+ a(x0). Zatem z

założenia indukcyjnego mamy∑x∈A

a(x) =∑

x∈A\{x0}a(x) + a(x0) =

∑x∈B\{x0}

a(x) + a(x0)+∑x∈C

a(x) =∑x∈B

a(x)+∑x∈C

a(x).

To daje pierwszą część (2.6) i kończy dowód. �

Indukcyjnie łatwo dowodzimy następującej własności:

Własność 2.7.4. Niech A 6= ∅ będzie zbiorem skończonym oraz a, b : A → R. Jeśli dlakażdego x ∈ A zachodzi a(x) 6 b(x), to

∑x∈A

a(x) 6∑x∈A

b(x). Ponadto równość zachodzi

dokładnie wtedy, gdy a(x) = b(x) dla wszystkich x ∈ A.

ZADANIA

Zadanie 2.7.1. Jeśli m,n ∈ N, 1 6 m < n oraz (a1, ..., an) jest ciągiem liczbowym, ton∑k=1

ak =m∑k=1

ak+n∑

k=m+1ak.

2.8 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

W punkcie 1.1, aksjomatycznie wprowadziliśmy zbiór liczb rzeczywistych. Teraz aksjoma-tycznie określimy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.Zakładamy, że istnieją elementy +∞ oraz −∞ zwane odpowiednio plus nieskończono-

ścią,V. Aksjomaty rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych.1. −(−∞) = +∞, −(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞.2. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.3. (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(+∞) = −∞, (+∞)(−∞) = −∞.4. Dla każdego x ∈ R,

x+ (+∞) = +∞, (+∞) + x = +∞, x+ (−∞) = −∞, (−∞) + x = −∞.5. Dla każdego x ∈ R, x/(+∞) = 0, x/(−∞) = 0.6. −∞ < +∞ i dla każdego x ∈ R, −∞ < x < +∞.7. Dla każdego x ∈ R takiego, że x > 0,

x(+∞) = +∞, (+∞)x = +∞, x(−∞) = −∞, (−∞)x = −∞.Definicja rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzonym zbiorem liczbrzeczywistych nazywamy zbiór R ∪ {+∞,−∞}, który oznaczamy R.

Uwaga 2.8.1. Wprost z aksjomatów widzimy, że nie wprowadziliśmy działań + i · w R. Na przykład nieokreślamy (+∞) + (−∞), czy 0(+∞). Takie symbole będziemy nazywać nieoznaczonymi. Często piszemy∞ zamiast +∞.

2.8. ROZSZERZONY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH 37

Uwaga 2.8.2. W R wprowadzamy relacje 6 i > w analogiczny sposób jak w R.

Definicja kresów w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych. Niech E ⊂ R.Mówimy, że M ∈ R jest kresem górnym zbioru E, gdy(i) dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 M ,(ii) dla każdego M ′ < M istnieje x ∈ E takie, że x > M ′.

Kres górny zbioru E oznaczamy supE.Mówimy, że m ∈ R jest kresem dolnym zbioru E, gdy(i) dla każdego x ∈ E zachodzi x > m,(ii) dla każdego m′ > m istnieje x ∈ E takie, że x < m′.

Kres dolny zbioru E oznaczamy inf E.

Uwaga 2.8.3. Wprost z definicji kresów zbiorów niepustych i ograniczonych mamy, że definicja powyższajest zgodna z wprowadzonymi wcześniej.

Bezpośrednio z definicji dostajemy następujące dwie własności:

Własność 2.8.4. Niech E ⊂ R.(a) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to supE = +∞.(b) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z dołu, to inf E = −∞.

Własność 2.8.5. Niech E ⊂ R.(a) Jeśli +∞ ∈ E, to supE = +∞.(b) Jeśli −∞ ∈ E, to inf E = −∞.

Z własności 2.8.4, 2.8.5 i twierdzeń 2.2.5, 2.2.6 dostajemy

Wniosek 2.8.6. Jeśli E ⊂ R i E 6= ∅, to istnieją inf E, supE oraz inf E 6 supE.

Definicja przedziału nieskończonego. Niech a ∈ R. Przedziałami nieskończonymi na-zywamy następujące zbiory:(a,+∞) = {x ∈ R : a < x}, [a,+∞) = {x ∈ R : a 6 x},(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R : x 6 a},(−∞,+∞) = R.

Dla odróżnienia, przedziały wcześniej określone nazywamy przedziałami skończonymi.ZADANIA

Zadanie 2.8.1. Udowodnić, że w R istnieją kresy sup ∅ i inf ∅ i że sup ∅ < inf ∅.

Documents

Stanisław Spodzieja - math.uni.lodz.plmath.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial1i2.pdf · Rozdział 1 Wiadomości wstępne W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw