REFERAT: STAREA PLANĂ DE TENSIUNE

CUPRINS:

1. EXPRESIILE TENSIUNILOR PENTRU STAREA PLANĂ

1.1. Expresia tensiunii normale pe direcţia n .

1.2. Expresia tensiunii tangenţiale pe direcţia t .

1.3. Tensiuni normale principale. Tensiuni tangenţiale principale.

2. STAREA PLANĂ DE DEFORMAŢIE

3. LEGEA GENERALIZATĂ A LUI HOOKE

4. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMAŢIE

5. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMAŢIE ELEMENTARĂ

6. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMAŢIE SPECIFICĂ

7. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMAŢIE LA ÎNTINDERE

pag.1

STAREA PLANĂ DE TENSIUNE

1. Expresiile tensiunilor pentru starea plană

Starea plană de tensiuni se deduce din starea spaţială prin anularea parametrilor

caracteristici uneia din direcţii.

Se consideră un punct M în interiorul unui corp sub formă de placă de grosime

constantă, iar în jurul acestuia o prismă triunghiulară elementară cu înălţimea de mărimea

grosimii.

- Suprafaţa elementară -

1.1. Expresia tensiunii normale pe direcţia n

Din condiţia de echilibru după axa n, rezultă: = 0

Studiul funcţiei tensiunii se face mai uşor pentru cazul în care funcţia trigonometrică

se scrie în funcţie de argumentul 2α . Rezultă:

pag.2

1.2. Expresia tensiunii tangenţiale pe direcţia t

Din condiţia de echilibru după axa n, rezultă: = 0

Studiul funcţiei tensiunii se face mai uşor pentru cazul în care funcţia trigonometrică

se scrie în funcţie de argumentul 2α . Rezultă:

1.3. Tensiuni normale principale. Tensiuni tangenţiale principale

Rezultă:

Expresia tensiunilor normale principale:

Adunând tensiunile normale principale rezultă:

(invariantul stării de tensiune)

Rezultă că tensiunea tangenţială maximă are valoarea:

Tensiunea normală are valoarea:

pag.3

- Starea plană de tensiune -

În starea plană de tensiune, dacă asupra elementului studiat acţionează numai tensiuni

tangenţiale extreme, solicitarea se numeşte forfecare pură.

pag.4

2. Starea plană de deformaţie

Se consideră o placă aşezată între două bacuri rigide, solicitarea făcându-se în

planul median ( planul orizontal xy ).

Deformaţiile sunt împiedicate după axa z , , astfel că avem Se cosideră un punct M care, în urma solicitării ajunge în poziţia M’.

- Componentele deplasării punctului M -

- Proiecţia deplasărilor în planul xy -

pag.5

Se observă că mărimea iniţială a diagonalei are valoarea:

După deformare, diagonala capătă valoarea:

Mărimea deformaţiei ε sub un unghi α faţă de axa x este:

+

În plan există două direcţii principale în care lungirile au valori extreme şi ,

iar lunecările din planele ortogonale sunt nule.

Direcţiile lungirilor specifice principale se determină cu relaţia:

În cazul unei bare solicitate în planul vertical longitudinal zx , în care unghiul α se

defineşte în raport cu axa z avem relaţiile:

+

pag.6

3. Legea generalizată a lui Hooke

În solicitarea spaţială, respectiv plană, legătura dintre tensiuno şi deformaţii se exprimă

prin legea generalizată a lui Hooke.

Se consideră un cub unitate ce are laturile egale cu unitatea, solicitat pe direcţiile

principale de tensiunile σ1 , σ2 , σ3 .

- Cub unitate solicitat pe direcţiile principale -

, unde este coeficientul lui Poisson

Ţinând seama de invariantul I1 rezultă relaţia:

, unde n reprezintă versorul normalei la suprafaţă

Legea generalizată a lui Hooke în sistemul de axe oarecare x , y , z este dată de

următoarele relaţii:

pag.7

Legea lui Hooke pentru tensiuni tangenţiale în sistemul de axe oarecare x , y , z este

dată de următoarele relaţii:

Se observă că legătura dintre τ şi γ rămâne tot timpul sub formă simplă , adică tensiunile tangenţiale produc lunecări numai în direcţiile în care acţionează indiferent

de starea de solicitare liniară, plană sau spaţială.

Ecuaţia lui Poisson poate fi scrisă sub forma:

, unde este variaţia specifică a volumului

Tensiunea normală după fiecare axă se poate scrie:

În cazul stării plane de tensiune, pentru , rezultă:

Dacă , deformaţia volumică trebuie să fie pozitivă, fapt ce este

posibil doar dacă .

pag.8

4. Energia potenţială de deformaţie

Se consideră o bară solicitată axial, iar deplasarea u a capătului barei are mărimea

lungirii Δl . Lucrul mecanic efectuat, L , prin deplasarea punctului de aplicaţie al forţei

ca urmare a deformării barei are valoarea

.

- Lucrul mecanic al forţei din capătul tirantului -

Legea conservării energiei: Ep + Ec = L + Li , unde:

Ep - energie potenţială ; Ep = mgh = 0 , greutatea proprie a solidului este neglijabilă

Ec - energie cinetică ; Ec = 0 , sistemul este în repaus

L - lucrul mecanic exterior

Li - lucrul mecanic interior

Rezultă: L = - Li

Primul principiu al termodinamicii: U = ΔU = Q - ( ± Li ) ,

avem Q = 0 , rezultă: U = - Li , de unde: U = L exprimă teorema lui Clapeyron

U - energia potenţială de deformaţie

, unde:

δ - reprezintă deplasarea punctului de aplicaţie al forţei, pe direcţia forţei

φ - reprezintă rotirea punctului în care se manifestă momentul exterior

pag.9

5. Energia potenţială de deformaţie elementară

Se consideră un paralelipiped elementar din jurul unui punct M dintr-un solid solicitat,

neglijându-se influenţa variaţiei tensiunilor dintre două suprafeţe opuse considerând

volumul elementar solicitat omogen.

- Paralelipiped elementar solicitat -

, unde

dV = dxdydz , reprezintă volumul paralelipipedului elementar

Expresia energiei potenţiale de deformaţie elementare:

Folosind legea generalizată a lui Hooke, se obţine:

Pentru calculul pe direcţiile normale principale rezultă:

Energia potenţială de deformaţie înmagazinată în solid:

pag.10

6. Energia potenţială de deformaţie specifică

Energia potenţială de deformaţie specifică ( U1 ) se obţine din raportarea energiei la

volumul aferent:

sau pe direcţiile principale 1,2,3:

- energie potenţială de deformaţie specifică modificatoare de volum

- energie potenţială de deformaţie specifică modificatoare de formă

Se observă că numai modificarea volumului are loc în condiţiile unei solicitări omogene

de forma .

, , rezultă:

, sau:

Pentru un sistem de axe oarecare:

Dacă solicitarea pe direcţiile normale principale are o aceeaşi valoare σ , rezultă:

, iar

pag.11

În cazul solicitării de forfecare pură olană, evidenţiată prin tensiuni , se obţine:

- Starea de forfecare pură -

Rezultă:

Energia potenţială specific de deformaţie, pentru o aceeaşi solicitare, se poate

determina şi numai funcţie de τ , în care:

Rezultă:

Deoarece în starea de forfecare pură plană, tensiunile τ pe direcţiile 6 şi 6’, au

aceeaşi valoare cu tensiunea σ de pe direcţiile 1 şi 3, după simplificare rezultă:

pag.12

7. Energia potenţială de deformaţie la întindere

Se consideră o bară solicitată la întindere la care se cunoaşte curba caracteristică a

materialului, şi , atunci:

Energia potenţială de deformaţie specifică

sau

Energia potenţială de deformaţie specifică moderatoare de formă

Energia potenţială de deformaţie

Cunoscând

, rezultă:

În cazul unei bare cu modulul de rigiditate , având un singur interval în care

, rezultă:

- Bara de rigiditate constantă solicitată axial -

Pentru N = F avem:

pag.13