UNIVERSITAUNIVERSITA’’ DEGLI STUDI DEGLI STUDI DIDI FERRARAFERRARA

FacoltFacoltàà di Ingegneriadi Ingegneria

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria CivileCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile

Corso di COSTRUZIONI IN C.A. E C.A.P.Corso di COSTRUZIONI IN C.A. E C.A.P.

STATI LIMITE ULTIMI PER TORSIONE E STATI LIMITE ULTIMI PER TORSIONE E SOLLECITAZIONI COMPOSTESOLLECITAZIONI COMPOSTE

Anno Accademico 2008/2009Anno Accademico 2008/2009Prof. Prof. IngIng. Nerio Tullini. Nerio Tullini

SEZIONI COMPATTETORSIONE ALLA SAINT VENANT (1856)

tW

T=maxτtK

T

z=

d

dφ

dove

tW modulo resistente torsionale

tct JGK = rigidezza torsionale

SEZIONI COMPATTETORSIONE ALLA SAINT VENANT (1856)

tW

T=maxτtK

T

z=

d

dφ

dove

tW modulo resistente torsionale

tct JGK = rigidezza torsionale

Sezione circolare:2

3rWt

π=2

4rJt

π=

SEZIONI COMPATTETORSIONE ALLA SAINT VENANT (1856)

tW

T=maxτtK

T

z=φ

d

d

dove

tW modulo resistente torsionale

tct JGK = rigidezza torsionale

Sezione rettangolare:2

1bhkWt = 32bhkJt = con h ≤ b

dove

bhk

/8.13

11 +

≅ 2/32 )/(1.43

1

bhk

+≅

SEZIONI COMPATTETORSIONE ALLA SAINT VENANT (1856)

tW

T=maxτtK

T

z=

d

dφ

dove

tW modulo resistente torsionale

tct JGK = rigidezza torsionale

Sezione rettangolare sottile: (h/b = 0)

3

2bhWt =

3

3bhJt =

SEZIONI SOTTILI APERTE

Nelle sezioni monoconnesse che possono essere decomposte in parti rettangolari, come ad esempio le sezioni a forma di T, I e L, si può assumere che ogni rettangolo sia sollecitato da un quota parte del momento torcente totale proporzionale alla sua rigidezza. Pertanto in una sezione composta da n rettangoli il momento che sollecita la j-esima parte risulta:

e la tensione massima nell’elemento diventa:

32 iicti hbkGK =dove

∑ =

= n

i ti

tjj

K

KTT

1

tj

jj W

T=τ

h2

b2

h1

b1

h2

b2

h1

b1

b2

h2

21 jjtj hbkW =dove

SEZIONI SOTTILI APERTE

Il modo di decomporre una figura non è univoco. Il criterio da adottare nella scomposizione consiste nel rendere massima la rigidezza totale della sezione.

SEZIONI SOTTILI CHIUSE FORMULA DI BREDT (1896)

Ipotesi:l’intensitàτ è costante nello spessore h

∫=

hds

AJt

/

4 2

Per equilibrio alla traslazione lungo l’asse z si ha:

⇒τ=τ 2211 hh il flusso q = τ t è costante lungo tutto il perimetro u

Pertanto l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse z fornisce:

A

TqqArdsqqrdsT

22 =⇒=== ∫∫ dove A è l’area racchiusa

dalla linea media del tubo.

Momento d’inerzia torsionale:

MODELLO DELLA FLESSIONE OBLIQUA (HSU 1968)

MODELLO DELLA FLESSIONE OBLIQUA (HSU 1968)

φ= cosnpb TT6sin

2

,

hbfT flctb

φ=

Il minimo momento Tnp (np = nominal torsion strength of plainconcrete) si ottiene in corrispondenza di φ = 45° da cui discende:

⇒ ( ) φ= 2sin/3/2, bhfT flctnp

( )φ

=2sin

3/2

,

bhfT flctnp

h

bφφ Tt

Tnp

Tb

MOMENTO TORCENTE DI FESSURAZIONE

( )3/2, bhfT flctnp =

( )21bhkfT ctnp =

Le tensioni principali σI , σII hanno intensità pari a τ e si orientano secondo linee isostatiche ad elica con inclinazione di 45° rispetto all’asse della trave.

St. Venant:

HSU:

con 1/3 ≤ k1 ≤ 1/4.8

con fct,fl = (1.6 –a/100)fct > fct a in mm

MOMENTO TORCENTE DI FESSURAZIONELa teoria elastica di St Venant sottostima il momento dedotto sperimentalmente di circa il 50%, mentre la teoria di Hsu fornisce valori in buon accordo con i risultati sperimentali. Inoltre il momento di fessurazione Tcr dipende dalla percentuale geometrica totale di armatura ρt

nptcr TT )41( ρ+=

• se ρt = 0.03 si ha:

Tcr = 1.12 Tnp (trascurabile)

DIAGRAMMA MOMENTO – CURVATURA TORSIONALE

• Il tratto iniziale (0 ≤ T ≤ Tcr) presenta andamento lineare e si può descrivere mediante l’equazione:

T = (GJt)St.Venantdφ/dz.

• Il momento di fessurazione Tcr

conicide con quello ultimo se ρt ≤ (ρt)min; il tipo di rottura è duttile se ρt ≅ (ρt)min; viceversa si ha rottura fragile;

• Nelle travi provviste di un’adeguata gabbia d’armatura la trave si fessura attivando un diverso meccanismo resistente rispetto al modello di St. Venant;

DIAGRAMMA MOMENTO – CURVATURA TORSIONALE

• La diminuzione di rigidezza torsionale che si ha nel passaggio dalla fase non fessurata (fase I) a quella fessurata (faseII) risulta piùsensibile dell’analoga diminuzione di un elemento inflesso;

• Si può raggiungere il momento torcente ultimo TR per snervamento delle armature (rottura duttile) o rottura del cls (rottura fragile)

DIAGRAMMA MOMENTO – CURVATURA TORSIONALE

Rigidezza torsionale alla Saint Venant:

tcStVenant JEK 42.0=

poiché ccc

c EEE

G 42.0))2.01(2())1(2(

≅+

=+

=ν

Rigidezza torsionale in fase non fessurata:

VenantSttcI KJEK 72.03.0 ==

La riduzione da 0.42 a 0.3 tiene conto del comportamento non lineare del clsin fase non fessurata.

DIAGRAMMA MOMENTO – CURVATURA TORSIONALE

Rigidezza torsionale con fessurazione generata dal solo momento torcente:

VenantSttcI KJEK 24.01.0 ==

Rigidezza torsionale alla Saint Venant:

tcStVenant JEK 42.0=

poiché ccc

c EEE

G 42.0))2.01(2())1(2(

≅+

=ν+

=

DIAGRAMMA MOMENTO – CURVATURA TORSIONALE

Rigidezza torsionale con fessurazione generata dal momento torcente e taglio:

VenantSttcI KJEK 12.005.0 ==

Rigidezza torsionale alla Saint Venant:

tcStVenant JEK 42.0=

poiché ccc

c EEE

G 42.0))2.01(2())1(2(

≅+

=ν+

=

TORSIONE PRIMARIA E SECONDARIA

a) Torsione primaria o di equilibrio: si ha qualora l’equilibrio di una struttura dipende dalla resistenza torsionale degli elementi che la compongono. La torsione primaria richiede verifiche agli SLU e SLE.

TORSIONE PRIMARIA E SECONDARIA

b) Torsione secondaria o di congruenza:si ha qualora, in strutture iperstatiche, la torsione insorge solo per esigenze di compatibilità e la stabilità della struttura non dipende dalla resistenza torsionale. In tali casi non è richiesta la verifica allo SLU, ma occorre disporre comunque un’armatura minima per il controllo della fessurazione e per garantire un’adeguata duttilità.

Allo SLU il solaio può essere considerato appoggiato sulle travi di bordo, che quindi non sono sollecitate da momento torcente.

Torsione secondaria

Fessurazione dovuta alla torsione in una trave di bordo di un parcheggio (South Florida, 1964)

Torsione secondaria

Rotture indotte dalla torsione di una trave di bordo

MODELLO TUBOLARECon riferimento allo SLU una generica sezione compatta soggetta a solo momento torcente può essere considerata come una sezione cava avente spessore opportuno. Infatti, le tensioni all’interno della sezione sono molto più piccole di quelle presenti sul perimetro.

Nota: E4 ha rottura lato clsa causa dello spessore esiguo.

MODELLO TUBOLARE

SPESSORE EQUIVALENTE

tef

2c ≤ tef≤ A/u

c

u

A

Ak

zi

EC2 DM08

t = max{ Ac/u;2c}

lo spessore efficace della parete t

distanza tra il bordo ed il centro dell’armatura longitudinale c

sviluppo del perimetro esterno della sezione trasversale u

area totale della sezione trasversale Ac

area racchiusa dalla linea media delle pareti connesse, inclusa l’area della cavità

lunghezza della parete i-esima

A

zi

uk perimetro medio um

TRALICCIO PERIFERICO RESISTENTE

Il meccanismo resistente a torsione viene schematizzato con un traliccio tubolare tridimensionale costituito dai seguenti elementi:

• Elementi longitudinali tesi (armature longitudinali)

• Elementi di parete trasversali tesi (staffe chiuse)

• Elementi di parete diagonali compressi (puntoni di cls) separati dalle fessure

AZIONI NEL TRALICCIO RESISTENTE

Le azioni nelle singole aste possono essere determinate sia con il metodo dell’equilibrio di nodo sia con le sezioni di Ritter.

Risultante delle compressioni nei puntoni di cls nella parete i-esima:

θ⋅σ= cosicwci ztF

Componente verticale ed orizzontale di Fci:

θθ⋅σ=θ= sincossin icwciti ztFF

θ⋅σ=θ= 2coscos icwcili ztFF

AZIONI NEL TRALICCIO RESISTENTE

AZIONI NEL TRALICCIO RESISTENTE

L’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse longitudinale della trave:

)2(sincossincos11 kcwi

n

i icwi

n

i ti AtyztyFT θθσ=θθσ== ∑∑ ==

qA

Tt

kcw ==θθσ⇒

2sincos (flusso di tensioni

alla Bredt)

k

iti A

TzF

2=⇒ θ= cot

2 k

ili A

TzF

VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO

L’armatura trasversale Asw necessaria per equilibrare Fti risulta:

⇒=≥θ

k

iti

iywsw A

TzF

s

zfA

2

cotθ= cot2 yw

swkRsd f

s

AAT

dove Asw è l’area della sezione di un braccio di una staffa per le sezioni compatte o l’area della sezioni di due braccia per le sezioni cave, il termine zi cotθ/s è il numero di staffe contenuto in zi cotθ.

szi cotθ

zi Fli

Fti

φ

VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO

szi cotθ

zi Fli

Fti

φ

L’armatura longitudinale Asli necessaria per equilibrare Fli risulta:

⇒θ=≥ cot2 k

iliylsli A

TzFfA θ≥∑ = cot

21

kk

n

i sliyl

A

T

u

Af

∑ == n

i ik zu1dove è il perimetro dell’area Ak.

θ=⇒∑ = cot/2 1

ylk

n

i sli

kRld fu

AAT

La tensione di compressione σcw nei puntoni di cls deve soddisfare la seguente condizione:

⇒≤θθ

=σ 2sincos

1

2 ck

cw ftA

T

dove fc2 indica la resistenza ridotta dei puntoni di cls, che tiene conto delle sollecitazioni di natura flessionale presenti nei puntoni e delle sollecitazioni di trazione trasferite dalle staffe al cls.

VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO

θθ⋅⋅= sincos2 2ckRcd ftAT

=θ+θ

θθ⋅⋅=θθ⋅⋅=⇒22

2

22

2 cossin

cotsin2cotsin2 ckckRcd ftAftAT

θ+θ⋅⋅=

θθ+θ

θθθ

⋅⋅=22

2

22

2

2

2 cot1

cot2

sincossin

sincotsin

2 ckck ftAftA

fc2 =ν fcd EC2: ν = 0.6(1-fck/250) con fck in MPa

DM 08: ν = 0.5Classe C20/25 C30/37 C40/50 C50/60 C60/75 C70/85 C80/95ν EC2 0.55 0.53 0.50 0.48 0.46 0.43 0.41

Sollecitazioni flessionali

RESISTENZA RIDOTTA NEI PUNTONI DI CLS

RESISTENZA RIDOTTA NEI PUNTONI DI CLS

Trazioni trasversali trasferite dalle staffe al cls

fctk,0.05

fcd

fctd

fcd f/3fcd1

s

zi cotθ

zi Fli

Fti

φ

fctk,0.05

TRALICCIO DI RAUSCH (1929)Il traliccio di Rausch è l’estensione spaziale di quello di Mörsch.

Ipotesi:si assume un’inclinazione di 45° dei puntonidi cls

Sostituendo θ = 45° nelle relazioni precedenti si ottiene, in accordo con il DM96:

ydS

Rsd fs

AAT 2≤ staffe

ydm

lRld f

u

AAT ∑≤ 2 barre longitudinali

cdRcd ftAT ⋅⋅≤2

1 calcestruzzo (con fc2 = 0.5fcd)

ARMATURA BILANCIATA A TORSIONEL’inclinazione θ dei puntoni di cls non deve necessariamente coincidere con l’inclinazione delle fessure; infatti l’inclinazione θ èrappresentativa del campo di tensione effettivo all’interno dei puntoni di cls, la cui direzione viene alterata dall’ingranamento degli inerti lungo le fessure.Nel caso in cui le staffe e le armature longitudinali raggiungano contemporaneamente la condizione di snervamento, ed escludendo una rottura lato cls, si ottiene:

⇒θ==

s

zfA

A

zTF i

ywswk

iuti

cot

2θ= cot2 k

ywswu A

s

fAT

⇒=θ= ylslik

iuli fA

A

zTF cot

2θ= tan2 k

k

ylslu A

u

fAT

da cui si ottiene:

k

ylslywsw

u

fA

s

fA=θ2tan

s

fA

u

fAAT ywsw

k

ylslku 2=

ARMATURA BILANCIATA A TORSIONE

Per acciai con fyw = fyl , il quantitativo teorico minimo di armatura totale per resistere ad un assegnato momento torcente di ottiene per θ = 45°. In tale caso si ha:

ywk

usw fA

sTA

2=

Pertanto si ottiene un’inclinazione di 45° dei puntoni di cls solo per determinate proporzioni tra le armature trasversali e longitudinali.

s

uAA ksw

sl =

DEFORMAZIONE DELLE PARETI DEL TRALICCIO

γ dovuto a εl

γl = εl cotθγ dovuto a εw

γw = εw tanθγ dovuto a -εc

γc = -εc /(sinθ cosθ )= -εc (tanθ +cotθ )La deformazione tagliante totale risulta:

θε−ε+θε−ε=γ+γ+γ=γ tan)(cot)( cwclcwl

ed è minima se:

)/()(tan2cwcl ε−εε−ε=θ in tal caso si ha:

θε−ε=θε−ε=γ tan)(2cot)(2min cwcl da cui si ottengono:

DEFORMAZIONE DELLE PARETI DEL TRALICCIO

le seguenti deformazioni principali:

εε−ε+ε

=

γ+

ε−ε±ε+ε=

εε

c

cwlwlwl

2

min

2

2

1

222

aventi direzione rispettivamente ortogonale e parallela all’inclinazione θ delle bielle di compressione

INCLINAZIONE DEI PUNTONI DI CLS

Trascurando la deformazione εc del cls si ottiene:

wlcwl ε+ε≅ε−ε+ε=ε wl εε≅θ /tan2

e nella direzione dei puntoni di cls non si hanno scorrimenti se èattivo l’ingranamento degli inerti lungo le fessure. Tale circostanza risulta verificata se ε1 non è molto più grande della deformazione di snervamento dell’armatura, ossia se si soddisfa la seguente condizione:

syylwwl ECfC /)cot1()tan1( 221 =ε≤θ+ε=θ+ε=ε+ε≅ε

dove C dipende dall’ampiezza massima di apertura delle fessure che si intende avere allo SLU.

INCLINAZIONE DEI PUNTONI DI CLS

Nella condizione limite si può avere snervamento delle staffe:

Cywyw ≤θ+=εε⇒ε=ε )tan1(/ 2

Cylyl ≤θ+=εε⇒ε=ε )cot1(/ 2

oppure snervamento delle barre:

Per θ = 45° si ha lo snervamento simultaneo delle staffe e delle barre.

Per θ < 45° le staffe si snervano per prime, provocando una rapida crescita delle fessure finché non si snervano le barre.Per θ > 45° si snervano prima le barre longitudinali.

21.8 68.2

7.25

0

2

4

6

8

10

0 15 30 45 60 75 90

≅↑≅↑≅↑≅↑����y

≅↑≅↑≅↑≅↑≅≅≅≅

1+tan2θ1+cot2θ

INCLINAZIONE DEI PUNTONI DI CLS

Allo scopo di limitare la fessurazione e di prevenire allo snervamento sia delle staffe sia delle barre, l’inclinazione θdei puntoni di cls può assumere i seguenti valori:

EC2

1.0 ≤ cot θ ≤ 2.5 (21.8°≤ θ ≤ 45°)

DM 08

0.4 ≤ cot θ ≤ 2.5 (21.8°≤ θ ≤ 68.2°)21.8 68.2

7.25

0

2

4

6

8

10

0 15 30 45 60 75 90

≅↑≅↑≅↑≅↑����y

≅↑≅↑≅↑≅↑≅≅≅≅

1+tan2θ1+cot2θ

ESEMPIO 1

Calcestruzzo C25/30fck = 25 MPaAcciaio B450C fyk = 450 MPaLarghezza b = 400 mmAltezza h = 600 mmCopriferro c = 20 mmStaffe Φ8/100 Asw = 50 mm2

Barre 6Φ16 Asl = 924 mm2

DM08

Spessore della sezione cava2c’ ≤ t ≤ Ac/u → 56mm≤ t ≤ 120 mm

Tensione di calcolo cls fcd = fck·αcc/γc = 25·0.85/1.5 = 14.17 MPa

Tensione di calcolo acciaiofyd = fyk/γs = 450/1.15 = 391.30 MPa

ESEMPIO 1

TRsd=2·A·As/s·fyd·ctgθ = 2·134400·50/100·391.30·1.10 = 57.98kNm

TRld =2·A·ΣAl/um·fyd/ctgθ =2·134400·924/1520·391.30/1.10= 57.98 kNm

TRcd=2·A·t·f’ cd·ctgθ/(1+ctgθ)=2·134400·120·0.5·14.1·1.10/(1+1.102)=113.24 kNm

1) Inclinazione θ cot θ = (al/as)1/2 = 1.10 → θθθθ = 42.20°

con:al =ΣAl/um= 924/1520 = 0.608

as = As/s = 50 /100 = 0.5

Area racchiusadalla fibra media

Perimetro medio um = 2·(400-120+600-120) = 1520 mm2

Spessore della sezione cava

A=(400-120)·(600-120)=134400 mm2

t =Ac/u=400*600/(2*(400+600))=120 mm

Staffe

Barre

Cls

ESEMPIO 1

TRsd=2·A·As/s·fyd·ctgθ = 2·134400·50/100·391.30·1 = 52.59kNm

TRld =2·A·ΣAl/um·fyd/ctgθ = 2·134400·924/1520·391.30/1 = 63.94 kNm

TRcd=2·A·t·f’ cd·ctgθ/(1+ctgθ)=2·134400·120·0.5·14.1·1/(1+1) =113.78 kNm

2) Inclinazione θ cot θ = 1 → θθθθ = 45°

Staffe

Barre

Cls

STATI LIMITE ULTIMI PER SOLLECITAZIONI COMPOSTE

θ−−±= cot2

)(

k

sdsdsdi A

tbT

z

MNN

k

sdsdverticalisdi A

thTVV

2

)(

2)(

−±=

k

sdiorizzontalsdi A

tbTV

2

)()(

−±=

STATI LIMITE ULTIMI PER SOLLECITAZIONI COMPOSTE

yldslisdi fAN ≤

Verifiche

s

zfAV i

ywdswsdi

θ≤ cotθ⋅θ⋅⋅⋅ν≤ sincostfV cdsdi

Tali formule sono valide anche per la parete superiore se fessurata.

Viceversa si ha:

tb

Nsdi=σ ⇒−

=τ)( tbt

VsdictdI f<σ−τ+σ=σ

242

2

Le armature di torsione si sommano a quelle di flessione, nelle zone compresse possono essere diminuite proporzionalmente alla risultante delle compressioni.

STATI LIMITE ULTIMI PER TORSIONE – TAGLIO

12

2

2

1

≤

+

Rd

sd

Rd

sd

V

V

T

T

θ⋅θ⋅⋅⋅⋅ν= sincos21 tAfT kcdRd

Verifica delle bielle compresse:

EC2

dove

θ⋅θ⋅⋅⋅⋅ν= sincos2 zbfV wcdRd

STATI LIMITE ULTIMI PER TORSIONE – TAGLIO

1≤+Rcd

Ed

Rcd

Ed

V

V

T

T

)cot1(

cot2

2'

θ+θ⋅⋅⋅= cdRcd ftAT

)cot1(

)cot(cot9.0

2'

θ+θ+αα= cdwwRcd fdbV

Verifica delle bielle compresse:

DM08

dove