ŢEPEŞ ONEA FLORIN

STATICA CONSTRUCŢIILOR partea I

“Ovidius University Press” Constanţa 2004

Referenţi ştiinţifici: Prof.dr.ing. Valeriu Bănuţ Conf.dr.ing. Mircea Eugen Teodorescu Mulţumesc pe această cale Prof.dr.ing. Valeriu Bănuţ pentru sprijinul acordat la realizarea acestei cărţi.

“Ovidius Univesity Press” Constanţa ,2004

ISBN 973-614-214-0

3

CUPRINS partea I CAP.1 Introducere în Statica Construcţiilor. 5

1.1 Obiectul cursului. 5 1.2 Clasificarea elementelor de construcţii. 5 1.3 Echilibrul static. 6 1.4 Ipoteze simplificatoare. 6 1.5 Tipuri de acţiuni în construcţii. Schematizarea forţelor. 7 1.6 Legarea invariabilă a elementelor structurale în plan. 8

1.7 Condiţia de determinare statică 9 1.8 Tipuri de structuri utilizate în construcţii 10 1.9 Exprimarea analitică a condiţiei de echilibru static. 12

1.10 Calculul reacţiunilor 13 1.11 Eforturi şi convenţii de semne 14 1.12 Relaţii diferenţiale între acţiuni şi eforturi 15 CAP.2 Grinzi drepte static determinate 17

2.1 Încărcări pe grinzi drepte static determinate 17 2.2 Relaţiile de recurenţă 21 2.3 Grinzi cu console şi articulaţii (grinzi Gerber) 31

CAP.3 Cadre static determinate. 41 3.1 Bare cotite 42 3.2 Calculul eforturilor pentru cadre static determinate 44 3.3 Utilizarea simetriei şi antisimetriei 51

CAP.4 Arce static determinate 59 4.1 Generalităţi 59 4.2 Relaţii diferenţiale între acţiuni şi eforturi. 61 4.3 Arcul cu trei articulaţii. Calculul reacţiunilor şi al eforturilor. 62 4.4 Arcul cu tirant. 63 4.5 Arcul de coincidenţă. 64

CAP.5 Structuri plane alcătuite din bare articulate în noduri. 75 5.1 Generalităţi. 75 5.2 Condiţii de determinare statică şi invariabilitate geometrică. 77 5.3 Clasificarea structurilor plane cu zăbrele. 79 5.4 Metoda izolării nodurilor. 81 5.5 Metoda secţiunilor. 82

CAP.6 Utilizarea principiului lucrului mecanic virtual. 87 6.1 Cente absolute. Centre relative 89

6.2 Determinarea reacţiunilor şi eforturilor pentru structuri static determinate 91

4

CAP.7 Linii de influenţă 101 7.1 Semnificaţia liniilor de influenţă 101 7.2 Metoda analitică 102 7.2.1 Grinda simplu rezemată 102 7.2.2 Grinda cu consolă 104 7.3 Metoda cinematică 106

CAP.8 Deformarea elastică a structurilor. 109

8.1 Vectorul forţă. Vectorul deplasare. 109 8.2 Comportarea structurilor. 110 8.3 Lucrul mecanic al forţelor exterioare. 110 8.4 Lucrul mecanic al forţelor interioare. Lucrul mecanic al eforturilor. 112 8.5 Lucrul mecanic total. 114 8.6 Teorema lui Clapeyron. 114 8.7 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor deformabile. 115 8.8 Teoremele lui Castigliano 118 8.9 Teorema generală a reciprocităţii şi formele sale particulare 117

8.9.1 Teorema reciprocităţii lucrurilor mecanice (teorema Betti) 117 8.9.2 Reciprocitatea deplasărilor unitare 118

8.9.3 Reciprocitatea reacţiunilor unitare 119 8.9.4 Calculul deplasărilor punctuale ale structurilor elastice Relaţia Maxwell-Mohr 119

8.10 Regula de integrare Vereşceaghin. 122 8.11. Deplasări elastice 123

CAP.9 Metoda eforturilor. 139

9.1 Gradul de nedeterminare statică. 137 9.2 Sistem de bază. 142 9.3 Condiţia de echilibru static. 143 9.4 Ecuaţii de compatibilitate. 144 9.4.1 Calculul elementelor din matricea

flexibilităţii structurii de bază 145 9.4.2 Calculul elementelor din matricea termenului liber. 145 9.4.3 Eforturile finale în structura static nedeterminată. 146 9.4.4 Calculul deplasărilor pe structura static nedeterminată. 146 9.5 Posibilităţi de simplificare a ecuaţiilor de condiţie. 159 9.5.1 Alegerea judicioasă a sistemului de bază 159 9.5.2 Structuri simetrice 161 9.5.3 Procedeul semistructurii 161 9.5.3 Procedeul grupării necunoscutelor 162 9.5.5 Transferarea necunoscutelor 163

5

CAP.1 INTRODUCERE ÎN STATICA CONSTRUCŢIILOR 1.1 Obiectul cursului

Statica construcţiilor se ocupă cu studiul metodelor de calcul pentru determinarea eforturilor şi deplasărilor structurilor de rezistenţă ale construcţiilor alcătuite din bare, supuse la acţiuni statice. Constituie materia de bază în domeniul numit calcul structural.

Chiar dacă în ziua de astăzi în general în activitatea de proiectare se folosesc programe de calcul automat, metodele folosite în statica construcţiilor, metoda eforturilor şi metoda deplasărilor, se pretează mai bine în calculul unor elemente structurale de mici dimensiuni, decît un program de calcul automat . Pe de altă parte aceste metode pot fi folosite în paralel cu programele de calcul automat pentru compararea rezultatelor.

1.2 Clasificarea elementelor de construcţii

Corpurile solide din care este alcătuită structura sînt legate între ele pentru a obţine forma

dorită. Orice element de construcţie se caracterizează prin trei dimensiuni: lungime, lăţime si grosime. După raportul între aceste dimensiuni elementele de construcţie se împart în trei categorii: -Barele sînt elementele la care una din dimensiuni este mare în raport cu celelalte două (fig.1.1).

Fig.1.1 Bare

Elementele geometrice caracteristice unei bare sînt: axa barei, forma si dimensiunile secţiunii transversale.

Dupa forma axei barele pot să fie bare drepte, bare curbe plane si bare curbe în spaţiu. Dacă raportul între suprafaţa secţiunii transversale si lungimea barei este neglijabil se consideră că barele nu au rigiditate transversală şi aceste elemente de construcţii poartă numele de fire sau cabluri. -Plăcile sînt elementele la care două dimensiuni sînt mari in raport cu a treia (fig.1.2)

Fig.1.2 Plăci

Dupa forma suprafeţei mediane plăcile pot să fie: placi plane sau dale, plăci curbe cu simplă curbură şi plăci curbe cu dublă curbură. -Blocurile (fig.1.3) sau masivele sînt acele corpuri la care cele trei dimensiuni sînt aproximativ de acelaşi ordin de mărime. Ele se întîlnesc în practică ca fundaţii pentru stîlpi, baraje de greutate, ziduri de sprijin.

Fig.1.3

6

1.3 Echilibrul static

Construcţiile în ansamblu şi orice porţiune izolată din acestea, trebuie să fie în echilibru cînd asupra lor se aplică forţele exterioare(acţiunile directe) şi forţele de legătură. Starea de echilibru a construcţiei are loc în poziţia deformată deoarece materialele de construcţii se deformează la aplicarea acţiunilor directe şi indirecte.

Diferenţa între modul de rezolvare a problemelor în Mecanica teoretică (care consideră corpurile perfect rigide) şi Mecanica construcţiilor (care consideră corpurile deformabile) constă în tratarea diferită a echilibrului corpurilor reale. Condiţiile de echilibru ale corpurilor rigide, cunoscute din Mecanica teoretică exprimă aspectul static al problemei şi conduc la noţiunea de echilibru static.

Definirea echilibrului unei structuri necesită analiza tuturor aspectelor de care depinde starea deformată a construcţiei: static, geometric şi fizic -aspectul static: satisfacerea ecuaţiilor de echilibru de către totalitatea forţelor exterioare şi interioare ce solicită structura respectivă; -aspectul geometric: deformaţia structurii trebuie să respecte condiţiile de compatibilitate din reazeme şi condiţiile de continuitate pe toată structura (ecuaţiile de compatibilitate) -satisfacerea relaţiilor între forţele care acţionează structura şi deformaţiile care se produc (ecuaţiile constitutive), relaţii stabilite pe cale experimentală şi care introduc în calcul datele fizice ale structurii (natura materialului, dimensiunile elementelor).

1.4 Ipoteze simplificatoare

La proiectarea construcţiilor se admit o serie de simplificări referitoare la alcătuirea structurii de

rezistenţă, la schematizarea acţiunilor pe care le suportă şi la modul de comportare a materialului. Poziţia deformată a structurii se menţine în domeniul micilor deplasări de aceea ecuaţiile de

echilibru static se scriu pe structura iniţială nedeformată. Ipotezele simplificatoare pentru calculul structurilor în domeniul elastic sînt: -forţele se aplică static; -este valabilă ipoteza lui Bernoulli, potrivit căreia o secţiune plană şi normală înainte de deformare rămîne plană şi normală şi după deformare; -relaţia forţă-deplasare este liniară; -materialul este continuu, omogen si izotrop -materialele se comportă elastic si satisfac legea proportionalităţii între eforturile unitare şi deformaţiile specifice. -proprietăţile materialelor sînt invariabile în timp

Fig.1.4 a)Relaţia efort unitar-deformaţie specifică; b)relaţia forţă-deplasare

7

1.5 Schematizarea forţelor. Schematizarea legăturilor

După suprafaţa pe care se repartizează, acţiunile pot fi:

-forţe sau momente concentrate, forţe la care se consideră că întreaga intensitate se aplică într-un singur punct. -forţe sau momente uniform distribuite care se repartizează pe suprafaţă sau pe lungime (fig.1.5)

Dupa poziţia acţiunii faţă de construcţii, acţiunile se împart în: -acţiuni cu poziţie fixă, care nu-şi modifică punctul de aplicaţie pe toată durata de exploatare a construcţiei. -acţiuni mobile, care îşi schimbă punctele de aplicaţie pe elementul de construcţie , putînd acţiona în orice punct al caii de rulare.

Dupa modul de variaţie a intensităţii acţiunilor în timp acestea pot fi: -acţiuni statice a caror intensitate creşte încet de la valoarea zero la valoarea finală, care rămîne constantă -acţiuni dinamice , caz în care forţele care acţionează pe structură au variaţie funcţie de timp (PI=fi(t)).

Fig.1.5 Forţe uniform distribuite

Schematizarea legăturilor; rezemări în plan (fig.1.6): Legăturile exterioare ale unei construcţii se numesc rezemări şi se caracterizează prin faptul că

împiedică anumite tendinţe de deplasare ale construcţiei în punctele respective. -Reazemul simplu împiedică numai translaţia pe normala la suprafaţa de contact, dar translaţia

cuprinsă în planul tangent şi rotirea în jurul muchiei de contact fiind posibile. Echivalentul mecanic al unei asemenea legături îl reprezintă o forţă cu punct de aplicaţie cunoscut şi direcţie cunoscută.

-Articulaţia împiedică translaţia pe orice directie în plan, rotirea în jurul normalei în punctul de contact fiind liberă. Echivalentul mecanic al unei asemenea legături îl reprezintă o forţă cu punct de aplicaţie cunoscut şi direcţie necunoscută.

-Încastrarea împiedică translaţia pe orice direcţie în plan precum şi rotirea. Unei încastrări îi corespunde o reacţiune forţă la care nu se cunosc punctul de aplicaţie, mărimea şi direcţia, deci trei necunoscute corespunzatoare celor trei deplasări împiedicate după: orizontală, verticală si rotirea.

8

Fig.1.6 Tipuri de rezemări

1.6 Legarea invariabilă a elementelor structurale în plan

Construcţiile au nevoie de un număr minim de legături cu terenul sau cu alte elemente pentru a-

şi păstra indeformabilitatea geometrică si fixarea în plan. Problema care trebuie rezolvată constă în stabilirea numărului de legături şi a modului de distribuţie al acestora.

Pentru a studia legarea invariabilă în plan a unui element structural (fig.1.7) de o baza de rezemare se consideră un element fixat prin legăturile 1 si 2. Dacă ar exista numai aceste legături (fig.1.7a) corpul s-ar putea rotii în jurul punctului A. Fixarea completă se obţine împiedicînd această posibilitate de rotire prin introducerea pendulului 3.

Fig.1.7 Legarea unui corp faţă de teren a,b-legări corecte ; c,d-legări incorecte

Legarea invariabilă a unui element structural în plan nu depinde numai de numărul legăturilor ci şi de modul de dispunere a acestora. Astfel cînd legăturile sînt paralele (fig.1.7c) există posibilitatea deplasării laterale a elementului, iar cînd legăturile sînt concurente în acelaşi punct elementul structural se poate roti în jurul punctului A (fig.1.7d).

Această rotire încetează să se mai producă în momentul în care cele trei legături nu mai sînt concurente. Apare aici situaţia de formă critică, inacceptabilă în alcătuirea unei structuri.

Fixarea în plan a unui corp se poate face prin:

9

-trei legături simple plasate în acelaşi punct; -trei legături simple plasate în două puncte (articulaţie şi reazem simplu), cu condiţia ca cele trei

legături să nu fie concurente; -trei legături simple plasate în trei puncte , cu condiţia ca ele să nu fie paralele sau concurente; Aceste concluzii sînt valabile şi în cazul legării a doua sau mai multe elemente structurale în

plan pentru a obţine o structură cu invariabilitatea geometrică asigurată.

1.7 Condiţia de determinare statică Se consideră o structură alătuită din c corpuri, legate între ele şi faţă de teren prin li+r legături

simple, reprezentînd numărul minim de legături necesar asigurării invariabilităţii geometrice şi fixării faţă de teren.

li=număr legături interioare r=legături cu baza de susţinere Prin suprimarea celor li+r legături se pun în evidenţă li+r forţe de legătură care trebuie determinate,

pentru a putea trece la calculul eforturilor. Echilibrul unui corp poate fi exprimat prin scrierea a trei ecuaţii de echilibru static deci 3c ecuaţii pentru întregul ansamblu. Satisfacerea unei relaţii de forma

c3rli =+ permite determinarea tuturor forţelor de legătură. c=numărul de corpuri care alcătuiesc ansamblul

Comparînd numărul forţelor de legătură din rezemări şi legăturile interioare cu numărul total al ecuaţiilor de echilibru static, se stabileşte condiţia de determinare statică. Condiţia de determinare statică cere ca numărul ecuaţiilor de echilibru static sa fie egal cu numărul necunoscutelor, adică:

c3rl)1.1( =+L Relaţia (1.1) poate fi scrisă şi sub forma :

c3rln)2.1( −+=K unde: n=gradul de nedeterminare statică

Relaţia (1.1) stabileşte condiţiile de invariabilitate geometrică , de fixare în plan şi de determinare statică.

Structurile static determinate au deci numărul minim de legături necesar pentru asigurarea invariabilităţii geometrice şi a fixării în plan.

Structurile static nedeterminate au un număr mai mare de legături decît cel minim necesar pentru asigurarea invariabilităţii geometrice şi fixării cu baza de susţinere.

Fig.1.8 Prezentare număr contururi ,legături interioare,grad de nedeterminare

10

În afară de valoarea n=0 care corespunde structurilor static determinate relaţia (1.2) mai poate

lua şi alte valori. Cînd n<0, adica crli 3<+ înseamnă că numărul de legături nu este suficient pentru a asigura o legare invariabilă a structurii; rezultă un mecanism care are posibilitaţi de deplasare cinematică. Pentru fiecare legatură lipsă, faţă de numărul minim necesar , în structură apare o posibilitate distinctă de deplasare numită grad de libertate cinematică. În figura 1.9 se dau exemple de mecanisme, indicînd punctat posibilităţile de deplasare cinematică.

Fig.1.9 Exemple de mecanisme Cînd n>0 deci crli 3>+ , structura are mai multe legături decît numarul minim, şi se numesc structuri static nedeterminate. Surplusul de legături este egal cu valoarea lui n. Numărul de necunoscute

rli + este mai mare decît numarul de ecuaţii (3c) şi condiţiile de echilibru static nu mai sînt suficiente pentru calculul forţelor de legatură. Legăturile suplimentare ale structurilor static nedeterminate pot fi legături exterioare, interioare, sau ambele categorii de legături. 1.8 Tipuri de structuri utilizate în construcţii

Construcţiile au alcătuire spaţială, deci calculul riguros al acestora necesită rezolvarea unor structuri spaţiale. Dacă se neglijează o serie de efecte de importanţă secundară, se poate descompune structura spaţială într-o serie de structuri plane.

Tipuri de structuri: -grinzi drepte, bare cu axa rectilinie, solicitate dominant la încovoiere. Funcţie de distribuţia şi

numărul legăturilor se pot distinge: grinda pe două reazeme (fig.1.10a), consola (1.10b), grinda cu consolă (1.10c), grinda cu console si articulaţii (1.10d) grinda continuă(1.10c)

-cadrele sînt structuri alcatuite din bare la care în toate nodurile sau numai la o parte din ele, legatura dintre bare este rigidă. La aceste structuri pe lînga solicitarea dominantă de încovoiere în unele cazuri devine importantă şi solicitarea axială din bare. Cadrele apar frecvent în construcţii ca structuri de rezistenţă pentru hale industriale, clădiri etajate etc.

-arcele (fig.1.10 j,k,l,m) sînt bare cu axa curbă plană supuse unor acţiuni cuprinse în planul curbei. În urma solicitării arcelor, în reazeme iau naştere împingeri laterale. Împingerile fac ca arcele sa lucreze mai bine la încovoiere decît grinzile drepte, ceea ce permite acoperirea unor deschideri mai mari cu acelaşi consum de materiale.

11

Fig.1.10 Tipuri de structuri

12

1.9 Exprimarea analitică a condiţiei de echilibru static

În mecanica teoretică exprimarea echilibrului corpului rigid se bazează pe axioma legăturilor în conformitate cu care legăturile se pot suprima cu condiţia introducerii efectelor mecanice ale acestora, şi anume a forţelor de legătură.

Numărul ecuaţiilor scalare de echilibru pentru un corp rigid este egal cu cel al gradelor de libertate pe care le prezintă corpul liber în spaţiu.

În Statica construcţiilor ecuaţiile de echilibru static se scriu pe forma iniţială şi nu pe cea deformată. În concluzie corpul sau corpurile din care este alcătuită structura pot fi considerate “corpuri rigide ca în Mecanica teoretică.

Pentru exprimarea analitică a condiţiei de echilibru static a unei structuri, pe lîngă acţiunile la care este supusă structura, trebuie cunoscute si reacţiunile care iau naştere în rezemări. Pentru calculul reacţiunilor se consideră suprimate rezemările şi se înlocuiesc cu forţe de legătură corespunzătoare (fig.1.11).

Fig.1.11 Prezentarea echivalentului mecanic al legăturilor suprimate

Calculul reacţiunilor se face folosind condiţia de echilibru static pentru structura în ansamblu

sau pentru anumite substructuri. Problemele de echilibru static se rezolvă prin două modalităţi: -utilizarea ecuaţiilor de echilibru static; -utilizarea principiului lucrului mecanic virtual; Ecuaţiile de echilibru static pentru o structură plană, solicitată în planul său se scriu sub forma:

∑ ∑ ∑ === 0M;0Y;0X)3.1( iiiL adică suma proiecţiilor tuturor forţelor pe două direcţii diferite din plan şi suma momentelor acestor forţe în raport cu un punct oarecare din plan trebuie sa fie nule. În calculele practice nu este necesar totdeauna să se foloseasca cele trei ecuaţii sub forma a doua ecuaţii de proiecţii şi una de momente. Ecuaţiile de mai sus se pot scrie şi în alte moduri, cu condiţia ca cele trei ecuaţii sa fie liniar independente. Din Mecanica corpurilor rigide se cunosc următoarele posibilitaţi:

-două ecuaţii de proiecţie după două axe oarecare din plan şi o ecuaţie de momente în raport cu o axă perpendiculară într-un punct oarecare din plan

-o ecuaţie de proiecţie după o axa oarecare din plan şi două ecuaţii de momente în raport cu două axe perpendiculare pe două puncte din plan, alese în aşa fel ca dreapta care uneşte punctele să nu fie perpendiculară pe axa de proiecţii.

-trei ecuaţii de momente în raport cu trei axe perpendiculare pe plan în trei puncte necoliniare din plan .

13

În general pentru fiecare porţiune rigidă a structurii se pot scrie cîte trei ecuaţii de echilibru static; dacă structura este alcătuită din c porţiuni, numărul total de ecuaţii este 3c. În aceste ecuaţii intervin toate forţele de legătură exterioare şi interioare, astfel că ele cuprind şi ecuaţiile de echilibru corespunzătoare ansamblului structurii. Acestea din urmă se regăsesc sumînd ecuaţiile respective referitoare la porţiunile rigide, termenii provenind de la acţiunile reciproce din legăturile interioare anulîndu-se doi cîte doi.

Dacă structura este astfel alcătuită încît conţine numărul minim de legături necesar pentru asigurarea invariabilităţii geometrice şi fixarea în plan, deci dacă satisface condiţia care are forma:

c3rli =+ rezultă că ecuaţiile de echilibru static sînt suficiente pentru aflarea tuturor forţelor de legătură.

Aplicarea ecuaţiilor trebuie făcută cu discernămînt. Nu înseamnă că pentru orice structură este utilă izolarea porţiunilor rigide componente şi scrierea tuturor celor 3c ecuaţii de echilibru static. Deseori cunoaşterea acţiunilor reciproce din legăturile interioare nu este necesară pentru determinarea eforturilor. Ceea ce interesează în primul rînd sînt reacţiunile din rezemări. Cît timp aceste reacţiuni sînt în număr de trei, ecuaţiile de echilibru referitoare la ansamblul structurii sînt suficiente.

O situaţie interesantă apare atunci cînd, deşi condiţia l+r=3c este îndeplinită numărul reacţiunilor din rezemări este mai mare decît trei; înseamnă că structura nu are invariabilitate geometrică proprie.

Ecuaţiile de echilibru static referitoare la ansamblul structurii pot fi numite ecuaţii principale, iar cele referitoare la echilibrul porţiunilor izolate, ecuaţii secundare. Este recomandabil ca acestea din urmă să fie utilizate numai în măsura efectiv necesară, conducînd rezolvarea pe calea cea mai simplă.

Aplicarea ecuaţiilor de echilibru static trebuie făcută în mod judicios, spre a se obţine relaţii cît mai simple şi cu cît mai puţine necunoscute în fiecare din ele. Trebuie urmărit pe cît posibil ca necunoscutele să fie determinate succesiv, de fiecare dată folosind cîte o ecuaţie conţinînd o singură necunoscută. Se poate ajunge la aceasta prin:

(1) o alegere potrivită a ordinii în care se folosesc ecuaţiile, începînd de preferinţă cu ecuaţii de momente, care prezintă mai multă supleţe în aplicare.

(2) o alegere potrivită a punctelor în raport cu care se scriu ecuaţiile de momente, astfel ca să se elimine din relaţii cît mai multe necunoscute.

(3) o alegere potrivită a axelor în raport cu care se aplică ecuaţiile de proiecţii, ţinînd seama de particularităţiile direcţiilor forţelor considerate. O atentă respectare a acestor criterii poate elimina deseori numeroase calcule inutile care complică rezolvările făcute dezordonat.

1.10 Calculul reacţiunilor

La structurile alcătuite dintr-un singur element structural se pot scrie trei ecuaţii de echilibru static şi se determină trei necunoscute (fig.1.12).

14

Fig.1.12 Reacţiuni pentru bara dreaptă simplu rezemată

Din examinarea legării invariabile a unui corp în plan a rezultat că numărul minim de legături

este trei , ceea ce înseamnă că ecuaţiile de echilibru static sînt suficiente pentru determinarea reacţiunilor unei structuri ale cărei rezemări introduc în calcule numai trei necunoscute. La calculul reacţiunilor se utilizează următoarele convenţii de semne: forţele care se proiectează în sensul pozitiv al axelor de coordonate şi momentele care se rotesc în sens orar se consideră pozitive.

( )

( )

lclPaPV

clPaPlVMl

cPbPV

cPbaPlVM

)(

0)(

0)2.2(

212

2121

211

2112

+⋅+⋅=

=+⋅+⋅+⋅−=

⋅−⋅=

=⋅+⋅⋅−⋅=

∑

∑

LL

LL

LL

LL

Dacă pentru reacţiuni rezultă semnul pozitiv, înseamnă că sensul presupus iniţial a fost corect ales, iar daca rezultă semnul negativ înseamnă că sensul real este invers celui iniţial. Calculele se verifică prin scrierea ecuaţiei de echilibru dupa axa y.

1.11 Eforturi şi convenţii de semne

Definiţia eforturilor N,T,M se face astfel: -forţa axială N, pe faţa din dreapta a secţiunii, este egală cu suma proiecţiilor pe tangenta la axa

barei a tuturor forţelor exterioare de la stînga secţiunii. -forţa tăietoare T, pe faţa din dreapta a secţiunii, este egală cu suma proiecţiilor pe normala la

axa barei a tuturor forţelor de la stînga secţiunii. -momentul încovoietor M, pe faţa din dreapta a sectiunii, este egal cu suma momentelor, în

raport cu centrul de greutate al secţiunii, ale tuturor forţelor exterioare de la stînga secţiunii.

15

Fig.1.13 Eforturi secţionale

Forţa axiala N este pozitivă cînd produce în bară întindere şi negativă cînd produce în bară

compresiune. Forţa tăietoare T este pozitivă cînd pe faţa din stînga a secţiunii este aplicată de jos în sus, iar pe

faţa din dreapta de sus în jos, fiind negativă în caz contrar. Această convenţie pentru forţa tăietoare se mai poate enunţa şi astfel: forţa tăietoare este pozitiva cînd roteşte în sens orar porţiunea de bară pe care se aplică.

Momentul încovoietor M este pozitiv cînd în urma încovoierii produse în bară se întinde o fibră conventional aleasă. La grinzile drepte se consideră ca momentul încovoietor este pozitiv, cînd întinde fibra de jos. La grinzile cotite si cadre pentru a preciza semnul momentului încovoietor se alege obişnuit convenţia ca momentul încovoietor care întinde fibra interioară este pozitiv. 1.12 Relaţii diferentiale între acţiuni si eforturi. Se consideră o bară dreaptă (fig.1.14) supusă acţiunii unei încărcări distribuite.

Fig.1.14 Element de bară Izolînd prin două secţiuni apropiate un element de lungime dx supus la o forţă uniform

distribuită, acesta va fi în echilibru sub acţiunea forţei exterioare şi a eforturilor din secţiunile de capăt. Efectul barei îndepărtate pe faţa din stînga a elementului este dat de eforturile M,T,N, iar pe faţa din dreapta M+dM, T+dT si N+dN (fig.1.15).

16

Fig.1.15 Element de bară încărcat cu o forţă uniform distribuită

Forţa exterioară se consideră o forţă uniform distribuită p, înclinată faţă de axa barei. Forţa totală pdx care acţionează pe elementul dx se descompune într-o componentă după normala la axa barei dxpn şi una după axa barei dxpt . Reducînd fortele dxpn si dxpt în axa barei se obţine şi momentul dxepmdx t ⋅⋅= . Ecuaţiile de echilibru static pentru elementul dx sînt:

∑ =+++−= 0dxp)dNN(NX)4.1( tL

∑ =−+−= 0dxp)dTT(TY)5.1( nL

0mdx2

dxdxpTdx)dMM(M)M()6.1( nj =+−++−=∑L

În ecuaţia (1.6) se neglijează termenul 2

2dxpn ca infinit mic de ordinul 2. Rezolvînd ecuaţiile se obţine:

tpdxdN)7.1( −=L

npdxdT)8.1( −=L

mTdx

dM)9.1( +=L

care sînt relaţiile diferenţiale între acţiuni si eforturi. Aceste relaţii sînt valabile pentru structurile static determinate si pentru structurile static nedeterminate, întrucît la deducerea lor nu s-a facut nici o restricţie în acest sens. Relatia (1.7) arată că derivata forţei axiale într-o sectiune este egală cu intensitatea componentei tangenţiale a forţei aplicată în secţiune, luată cu semn schimbat. Din relaţia (1.8) rezultă că derivata forţei tăietoare într-o secţiune este egală cu intensitatea componentei normale a forţei din secţiune, luată cu semn schimbat.

Derivata momentului încovoietor într-o secţiune este egala cu forţa tăietoare din secţiunea respectivă. Daca forţa distribuită este normală pe axa grinzii, componentele sînt:

0;0; === mppp tn şi relaţiile de mai sus devin:

TdxdM;p

dxdT;0

dxdN)10.1( =−== LLL

care arată ca forţa axială ramîne constantă pe intervalul în care se aplică numai forţe normale pe axa barei. Relaţiile diferenţiale (1.4) - (1.9) sînt foarte importante la trasarea diagramelor de eforturi, deoarece stabilesc legătura dintre legea de variaţie a acţiunii şi legile de variaţie ale diagramelor de eforturi. Astfel, dacă acţiunea variază după legea p=f(x), unde f(x) este o funcţie de un anumit grad, forţa tăietoare variază dupa o curbă cu un grad superior funcţiei f(x), iar curba ce defineşte momentul încovoietor are un grad în plus faţă de forţa tăietoare, respectiv două grade mai mult decît f(x). Concluzii:

17

-dacă o porţiune de bară nu este supusă la nici o acţiune forţa tăietoare este constantă deoarece dT/dx=0, iar momentul încovoietor variază liniar

-dacă asupra barei acţionează o forţă uniform distribuită, forţa tăietoare variază liniar şi momentul încovoietor după o parabolă de gradul doi.

-în cazul unei forţe concentrate normale pe axa barei, forţa tăietoare face un salt egal cu mărimea forţei, în sensul de acţionare al acesteia, ca urmare în diagrama de moment încovoietor, înclinarea tangentei la curbă se schimbă brusc şi apare un vîrf.

-în secţiunile în care forţa tăietoare este nulă sau trece prin valoarea zero, momentul încovoietor are o valoare extremă, fiind maxim sau minim.

-cînd forţa tăietoare face un salt, în diagrama de moment încovoietor panta tangentei la curbă se schimbă brusc şi în diagramă apare un vîrf.

-pe intervalele unde forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor creşte, iar unde forţa tăietoare este negativă momentul încovoietor descreşte

-în punctele în care distribuţia acţiunilor are ordonate nule, diagrama de forţă tăietoare are ordonate maxime, iar în diagrama de momente sînt puncte de inflexiune.

17

CAP. 2. GRINZI DREPTE STATIC DETERMINATE 2.1 Încărcări pe grinzi drepte static determinate -Bara simplu rezemată la capete, încărcată cu o forţă înclinată.

Cazul acesta este prezentat în figura 2.1. Componenta orizontală a forţei F produce forţe axiale N, iar componenta verticală dă forţe tăietoare T şi momente încovoietoare M. Calculul reacţiunilor folosind ecuaţii de echilibru static: ∑ α=→=α−→= cosFH0cosFH0X 11i

∑ α=→=⋅−⋅α→= sinF21V0lV

2lsinF0M 221

∑ α=→=⋅α−⋅→= sinF21V0

2lsinFlV0M 112

Pentru a construi diagrama de forţe axiale, se ia o secţiune oarecare,între 1 şi 3, în care: αcos113 FHNN x −=−==

Fig.2.1 Diagrame de eforturi pentru o barǎ simplu rezematǎ

Pe intervalul 1-3, forţa axială este constantă, şi are ca efect compresiunea barei. Pe al doilea

interval ea este nulă. Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu reacţiunea V1, este constantă pînă în punctul de aplicaţie

al forţei concentrate unde are loc un salt pînă la αsin21 F− . În continuare este constantă pînă în

dreptul reazemului unde se închide cu reacţiunea V2. Diagrama de moment încovoietor pleacă de la valoarea zero în articulaţia 1, are o variaţie

liniară pînă în punctul de aplicaţie al forţei concentrate,punct în care diagrama prezintă un maxim. Pe următorul tronson diagrama are variaţie liniară şi se închide în zero în punctul de rezemare 2.

18

-Bara simplu rezemată cu o forţă uniform distribuită

Fig.2.2 Diagrame de eforturi pentru o barǎ simplu rezematǎ încǎrcatǎ cu o forţǎ distribuitǎ

Bara din figura 2.2 este încărcată cu o forţă uniform distribuită, verticală, de sus în jos. Forţa

totală aplicată barei este F=pl iar reacţiunile din motive de simetrie, pl/2== 21 VV

Într-o secţiune x, forţa tăietoare este x)-p(l/2=−= pxVT 1x , deci variaţie liniară, expresia fiind valabilă pe tot lungul barei. Pe

reazeme forţa tăietoare este:

în 1 la x=0, 11 2VplT == ; în 2, la x=l, 22 2

VplT −=−=

Adăugînd în 2, forţa concentrată V2 diagrama de forţe tăietoare se închide. Într-o secţiune x, momentul încovoietor este:

)(221 xlxpxpxxVM x −=−⋅=

Momentul încovoietor se anulează la capete, la x=0 şi x=l şi este maxim în mijloc (unde forţa

tăietoare este nulă) la x=l/2. 824

2

maxplllplM =

−=

Se constată că forţa tăietoare variază liniar, iar momentul încovoietor variază parabolic, ambele avînd cîte o singură expresie pe toată lungimea barei. -Bara cu un sistem oarecare de forţe concentrate. La bara din fig.2.3 se determină în prealabil reacţiunile scriind ecuaţiile de echilibru static: ∑ =→=⋅+⋅→= F(FaF0M1 22 V0lV-a)-l

19

∑ =→=⋅⋅⋅→= FV0M 12 1V0aF-a)-(lF-l după care se construiesc diagramele T,M. Diagrama de forţe tăietoare se deschide cu V1=F, constantă pînă în punctul de aplicaţie al forţei concentrate, nulă în continuare, apoi salt iar în punctul de aplicaţie al forţei concentrate,constantă şi se închide în reazem.

Se observă că pe intervalul dintre cele două sarcini F forţa tăietoare este nulă, deci momentul încovoietor este constant. Se zice că pe acest interval bara este solicitată la încovoiere pură.

Dacă o bară este simetrică faţă de mijlocul ei, încărcarea este simetrică, diagrama de momente încovoietoare este, de asemenea, simetrică, iar cea de forţe tăietoare este antisimetrică (în punctele simetrice, forţele tăietoare sînt egale dar de semne contrare).

Fig.2.3 Bara cu un sistem de forţe concentrate Fig.2.4 Bara cu sarcinǎ triunghiularǎ -Bara cu forţă distribuită liniar La bara din fig.2.4 , cu o forţă variind liniar de valoare maximă p, încărcarea totală este F=pl/2. Considerînd acestă încărcare aplicată în centrul de greutate al triunghiului de încărcare, se pot determina reacţiunile scriind ecuaţiile de condiţie:

3plV0lV-l

32

2pl0M 221 =→=⋅⋅→=∑

6plV0

3l

2pllV0M 112 =→=⋅−⋅→=∑

Într-o secţiune oarecare x, forţa distribuită are intensitatea:

plxpx =

20

Se pot determina expresiile pentru calculul momentului încovoietor sau a forţei tăietoare în orice secţiune:

l2px

6pl

2xpVT

2

x1x −=⋅−=

l6px

6plx

3x

2xpxVM

3

x1x −=⋅⋅−⋅=

-Bare simplu rezemate încărcată cu momente concentrate

Fig.2.5 Barǎ cu momente concentrate Fig.2.6 Barǎ cu momente concentrate

Bara din fig. 2.5 încărcată cu un moment concentrat pe reazem, are reacţiunile egale şi de sens contrar, V1=V2=M1/l. Forţa tăietoare este constantă pe toată bara, iar momentul încovoietor variază liniar. La bara din fig.3.8 cu două momente pe reazeme, dacă M2>M1, rezultă V1>0,iar momentul încovoietor creşte mereu, de la M1 la M2

-Bare în consolă Pentru barele în consolă (bare încastrate la un capăt şi libere la celălalt), regulile stabilite

pînă aici rămîn valabile. În reazemul încastrat există un cuplu, deci diagrama de momente încovoietoare începe cu valoarea acestui cuplu.

Fig.2.7 Barǎ în consolǎ

21

La bara din figura 2.7 , ecuaţiile de echilibru dau reacţiunile: FlMFV == 11 ; . Forţa

tăietoare este constantă, pozitivă. Momentul încovoietor într-o secţiune oarecare este: FxFlxVMM x +−=+−= 11

deci variază liniar, fiind M=Fl în încastrare şi nul în capătul liber. 2.2Relaţiile de recurenţă

În problemele practice este necesar să se exprime eforturile dintr-o secţiune, în funcţie de eforturile din secţiunea precedentă şi de forţele cuprinse între cele două secţiuni. Pentru a stabili aceste expresii se porneşte de la relaţiile diferenţiale între eforturi şi încărcări care se integrează pe intervalul dintre cele două secţiuni obţinîndu-se:

(2.1) ∫ ∫ ⋅−=k

j

k

j

dxpdT ; ∫ −=−=k

jjkjjk PTpdxTT

∫∫ =k

j

k

j

TdxdM ; Tjkj

k

jjk MTdxMM ω+=+= ∫

Din relaţiile (2.1) rezultă că forţa tăietoare din secţiunea k este egală cu forţa tăietoare din secţiunea j, din care se scad forţele normale pe axa barei cuprinse între cele două secţiuni. Momentul încovoietor în secţiunea k este egal cu momentul încovoietor în secţiunea j, la care se adună suprafaţa diagramei de forţă tăietoare cuprinsă între cele două secţiuni(fig.2.8).

Fig.2.8 Variaţia diagramelor de eforturi T şi M pentru o încǎrcare uniform distribuitǎ cu variaţie

neliniarǎ. Separarea unui element de lungime ljk

22

O altă formă de exprimare a relaţiilor de recurenţă între eforturi se poate scrie dacă se izolează o porţiune de bară j-k şi la capete se aplică eforturile corespunzătoare (fig.2.8). Din ecuaţia de echilibru a momentului se obţine:

bPlTMM)2.2( jkjkjjk −+=K care arată că momentul încovoietor din secţiunea k este egal cu momentul încovoietor din secţiunea j, la care se adaugă momentul forţei tăietoare din secţiunea j şi momentul forţei aplicate pe bară între cele două secţiuni, în raport cu centrul de greutate al secţiunii k. Exemplul 1:

Se consideră grinda în consolă din fig.2.9 încarcată cu forţa concentrată şi forţă uniform distribuită. Se cere calculul reacţiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi. Reacţiunile se calculeză din ecuaţiile de echilibru static pe grinda în ansamblu. Eforturile într-o secţiune curentă se determină folosind metoda secţiunilor, scriind echilibrul părţii din stînga sau din dreapta secţiunii.

Fig.2.9 Grindǎ în consolǎ

Determinarea reacţiunii V1 din ecuaţia de proiecţie pe verticală:

KNVVYi 500302100 11 =→=−⋅−→=∑ Determinarea momentului în încastrare M1 printr-o sumă de momente în raport cu punctul 1:

60MKNm1404301210M

KNm140M0)M(

2

1

11

−==⋅+⋅⋅=−

=→=∑

Diagrama de forţǎ taietoare se deschide cu reacţiunea KNV 501 = după care are o variaţie liniara ca urmare a încărcării uniform distribuite. În continuare ramîne constantă , iar în final se închide cu forţa concentrată de 30KN.

Diagrama de moment se trasează de la stînga spre dreapta. Diagrama de moment încovoietor se deschide cu valoarea de –140KNm în punctul 1 după care are o variaţie parabolică din încărcarea uniform distribuită ajungînd la valoarea –60 în punctul 2. Din punctul 2 în punctul 3 diagrama de

23

moment încovoietor are o variaţie liniarǎ deoarece forţa tăietoare este constantă. Valoarea momentului încovoietor este zero în capătul liber de consolă.

Exemplul 2: Pentru grinda în consolă din figura 2.10 se cere calculul reacţiunilor şi trasarea diagramelor de moment. Reacţiunile se calculeză din ecuaţiile de echilibru static pe structura în ansamblu. Reacţiunea V1 se obţine printr-o ecuaţie de proiecţie pe verticală: KNVYi 600 1 =→=∑ Realizînd o sumă de momente în punctul 1 se obţine momentul din încastrare.

1203205,1400)(

1

11

=

⋅+⋅=−→=∑M

MM

Fig.2.10 Barǎ în consolǎ

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=60KN, pe intervalul 1-2 este constantă, în punctul 2 are un salt din forţa concentrată de 40KN, pe intervalul 2-3 este constantă după care în punctul 3 se închide cu forţa concentrată de 20KN. Se observă că pe intervalul 2-3 panta diagramei de moment este mai mică decît pe intervalul 1-2 deoarece pe intervalul 2-3 forţa tăietoare este mai mică decît pe intervalul 1-2. Exemplul 3: Pentru grinda în consolă din figura 2.11 se cere calculul reacţiunilor şi trasarea diagramelor de moment. Reacţiunea V1 se obţine dintr-o ecuaţie de proiecţie pe verticală iar momomentul M1 printr-o sumă de momente în punctul 1. ∑ =→=−⋅−→= KNVVYi 900303200 11

( )KNmM

MM

180

03305,13200

1

11

=

=⋅+⋅⋅+−→=∑

24

Fig.2.11 Diagrame de eforturi pentru barǎ în consolǎ

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=90KN după care are o variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite pînă în punctul 2 unde diagrama se închide cu forţa concentrată de 30KN. Diagrama de moment se deschide cu M1=-180KNm, are o variaţie parabolică pe intervalul 1-2, iar în capătul liber de consolă valoarea este zero. Datorită faptului că forţa tăietoare este descrescătoare de la stînga spre dreapta atunci diagrama de moment încovoietor este concavă (ţine apa). Exemplul 4: Pentru grinda în consolă din figura 2.12 se cere calculul reacţiunilor şi trasarea diagramelor de moment.

Fig. 2.12 Diagrame de eforturi

258,76482,3

21M

m2,31548

15Tx

722415448M

max

3

=⋅⋅=

===

=⋅⋅−⋅=

Reacţiunea V1 o obţinem printr-o ecuaţie de echilibru pe verticală. ∑ =→=−→= KNVVYi 300300 11 Momentul M1 se obţine printr-o sumă de momente în punctul 1.

KNmMMM

1600430400

1

11

=

=⋅++−→=∑

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=30KN, este constantă pînă în punctul 3 cînd se închide cu forţa concentrată de 30KN. Diagrama de moment se se de schide cu –160 , are o variaţie liniară pînă în punctul 2 unde apare un salt datorită momentului concentrat. Pe intervalul 2-3 diagrama de moment are tot variaţie liniară iar în capătul liber de consolă momentul este zero. Exemplul 5: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagrama de forţă tăietoare şi moment pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.13. Reacţiunea V2 se determină printr-o sumă de momente în punctul 1. ( )

KNV

VM

12

01024150

2

21

=

=⋅−⋅⋅→=∑

Reacţiunea V1 se determină printr-o sumă de momente în raport cu punctul 2.

KNVVM

4808415100

1

12

=

→=⋅⋅−⋅→=∑

Fig.2.13 Diagrame de eforturi

26

Momentul în punctul 3 se obţine făcînd suma momentelor tuturor forţelor din stînga secţiunii faţă de secţiunea 3. Momentul maxim se obţine calculînd aria triunghiului format de reacţiunea V1 şi abscisa pînă în punctul de anulare al forţei tăietoare. Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=48KN , urmează o variaţie liniară pînă în punctul 3 unde se ajunge la –12KN. În continuare diagrama este constantă pînă în punctul 2 unde se închide cu V2=12KN. Diagrama de moment pleacă de la zero din articulaţia 1, are o variaţie parabolică pînă în 3 cu un maxim în punctul de anulare al forţei tăietoare. Din 3 pînă în 2 diagrama de moment este liniară ajungînd în articulaţia 2 la zero. Exemplul 6: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.14

Fig.2.14 Diagrame de eforturi Reacţiunea V1 se obţine printr-o sumă de momente în punctul 2 iar reacţiunea V2 printr-o sumă de momente în punctul 1. ( )

( )

13254207761442420476

44

0107402420076

03408420100

4

3

2

21

1

12

=⋅⋅−⋅==⋅⋅−⋅=

=

=⋅−⋅+⋅⋅→=

=

=⋅−⋅⋅−⋅→=

∑

∑

MM

KNV

VMKNV

VM

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=76KN deasupra axei barei, are o variaţie liniară pînă în 3 din încărcarea uniform distribuită unde ajunge la –4 . În continuare diagrama este constantă pînă în 4 unde are loc un salt datorită forţei concentrate de 40KN. Pe intervalul 4-2 forţa tăietoare este constantă, iar în 2 se închide cu V2=44KN.

27

Diagrama de moment este parabolică pe intervalul 1-3 datorită încărcării uniform distribuite, pe intervalul 3-4 este liniară, la fel şi pe intervalul 4-2. Exemplul 7: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din fig.2.15. Reacţiunea V1 se obţine printr-o sumă de momente în punctul 2 iar reacţiunea V2 printr-o sumă de momente în punctul 1. ( )

( )

KNmMKNV

VMKNV

VM

1505695050

034086012050

1294046000

4

1

12

2

21

=⋅−⋅==

=⋅−⋅−⋅→=

=

⋅−⋅+⋅=→=

∑

∑

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=50KN, este constantă pe intervalul 1-3, în punctul 3 are loc un salt din forţa concentrată de 60KN apoi pe

Fig.2.15 Diagrame de eforturi intervalul 3-4 forţa tăietoare este constantă , în punctul 4 are loc un salt din forţa concentrată de 40KN, iar în 2 se închide cu V2=50KN. Momentul în punctul 3 se obţine scriind suma momentelor forţelor de la dreapta secţiunii 3:

KNmVM 200413 =⋅= .

Exemplul 8: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.16.

28

Reacţiunea V1 se obţine printr-o sumă de momente în punctul 2 iar reacţiunea V2 printr-o sumă de momente în punctul 1. ( )

( )

3035018040

096615180050

0361591800

3

2

21

1

12

−=⋅+−==

=⋅−⋅⋅+−→=

=

=⋅⋅−⋅+−→=

∑

∑

MKNV

VMKNV

VM

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=50KN, pe intervalul 1-3 este constantă deoarece acest interval este neîncărcat; pe intervalul 3-2 forţa tăietoare are variaţie liniară iar în 2 se închide cu V2=40KN. Diagrama de moment se deschide cu valoarea de –180KNm deoarece avem de-a face cu un moment concentrat în articulaţie, urmează o variaţie liniară pe intervalul 1-3 , în punctul 3 momentul avînd valoarea –30KNm. Pe intervalul 3-2 diagrama de moment este parabolică cu un moment maxim în punctul de anulare al forţei tăietoare şi cu valoarea zero în articulaţia 2.

Figura 2.16 Diagrame de eforturi

Exemplul 9: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.17 Reacţiunea V1 se obţine printr-o sumă de momente în punctul 2 iar reacţiunea V2 printr-o sumă de momente în punctul 1.

29

( )

( )

6036062020

036036066090100

036096603600

4

1

12

2

21

−=⋅−⋅==

=+⋅−⋅−⋅→=

=

=+⋅−⋅+⋅→=

∑

∑

MKNV

VMKNV

VM

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu valoarea de 20KN deasupra axei barei, este constantă pe intervalul 1-3, în punctul 3 are loc un salt datorită forţei concentrate de 60KN, forţa tăietoare ajungînd la –40KN sub axa barei. Pe intervalul 3-4 forţa tăietoare este constantă, în punctul 4 are loc un salt datorită forţei concentrate de 60KN. Pe intervalul 4-2 forţa tăietoare este constantă iar în 2 se închide cu reacţiunea V2=100KN.

Diagrama de moment încovoietor prezintă particularitatea că în punctul 2 are un salt egal cu valoarea momentului concentrat de 360KNm.

Fig.2.17 Diagrame de eforturi

Exemplul 10: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.18. ( )

( )

406155040

0211536156080

0648150

21

1

12

2

21

−=⋅−==

=⋅⋅+⋅⋅−⋅→=

=

=⋅−⋅⋅→=

∑

∑

TKNV

VMKNV

VM

30

Fig.2.18 Diagrame de forţă tăietoare şi moment

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu reacţiunea V1=40KN după care urmează o

variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite, diagrama de forţă tăietoare fiind descrescătoare pînă în punctul 2 unde apare un salt din forţa concentrată V2=80KN pînă la 30KN. Urmează apoi o variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite pînă în capătul liber de consolă unde se ajunge la zero.Diagrama de moment are o variaţie parabolică pe intervalul 1-2 datorită încărcării uniform distribuite , şi prezintă un maxim în punctul de anulare al forţei tăietoare.

Exemplul 11: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda dreaptă simplu rezemată din figura 2.19. ( )

( )

KNmMKNV

V

MKNV

V

M

5,3959,16459,16

05,1320845

01,43

085,632045

0

4

1

1

2

2

2

1

=⋅+−==

=⋅⋅−⋅+−

→=

==⋅−⋅⋅+−

→=

∑

∑

31

Fig.2.19 Diagrame T,M

Pe lungimea consoloi forţa tăietoare este zero deoarece nu există încărcări normale pe axa

barei pe această porţiune. Diagrama de forţă tăietoare se deschide în punctul 1 cu valoarea reacţiunii V1=16,9KN. În continuare diagrama de forţă tăietoare este constantă pînă cînd începe să acţioneze încărcarea uniform distribuită, urmează apoi o variaţie liniară, diagrama închizîndu-se în 2 cu reacţiunea V2=43,1KN.

Diagrama de moment prezintă un salt în capătul liber de consolă datorită momentului concentrat, fiind constantă pe lungimea consolei.Pe porţiunea aplicării încărcării uniform distribuite diagrama este poarabolică cu un maxim în punctul de anulare al forţei concentrate. 2.3 Grinzi cu console si articulatii (grinzi Gerber)

Grinzile cu console şi articulaţii sînt structuri static determinate alcătuite din mai multe grinzi legate între ele prin articulaţii. Aceste grinzi pot fi privite şi ca grinzi continue la care nedeterminarea statică este înlăturată prin introducerea unui număr corespunzător de articulaţii intermediare.

Grinzile cu console şi articulaţii se folosesc în special ca structuri de rezistenţă la poduri. Ele prezintă avantaje deosebite atunci cînd există pericolul tasării unor reazeme, situaţie în care dacă structura este static nedeterminată iau naştere eforturi suplimentare importante.

La structurile static determinate, deplasările de reazeme conduc la modificarea configuraţiei structurii, fără ca barele care o alcătuiesc să se deformeze. În schimb la structurile static nedeterminate aceste deplasări provoacă şi deformarea structurii deci apariţia eforturilor.

În funcţie de legăturile pe care grinzile componente le au cu baza de susţinere ele reprezintă grinzi principale şi grinzi secundare. Grinzile principale sînt acele grinzi care pot transmite integral la baza de susţinere, prin reazemele proprii, toate încărcarile ce le revin. Distribuirea grinzilor principale şi secundare trebuie să asigure invariabilitatea geometrică a ansamblului.

32

Rezolvarea se face începînd cu grinzile secundare,iar reacţiunile obţinute se transmit pe grinzile principale egale şi de sens contrar. Exemplul 1: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda Gerber din figura 2.20. Grinda respectivă se împarte în structură principală şi structură secundară. În cazul de faţă grinda 1-3 reprezintă grinda principală iar grinda 3-4 grinda secundară. Întîi se rezolvă grinda secundară, iar reacţiunile obţinute în nodul 3 pe grinda secundară se transmit pe grinda principală egale şi de sens contrar.

Fig.2.20 Diagrame de eforturi pentru o grindă Gerber

33

Fig.2.21 Diagrame de eforturi pentru grinda

Secundară 3-4

Calculul începe cu determinarea reacţiunilor grinzii secundare (fig.2.21)folosind ecuaţiile de echilibru static:

( )( ) KNVM

KNVM

800

400

43

34

=→=

=→=

∑∑

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu reacţiunea V3=40KN, urmează o variaţie liniară din încărcarea uniform distribuită pînă îndreptul reazemului 4 cînd apare un salt datorită reacţiunii V4 pînă la 30KN. În continuare diagrama are o variaţie liniară din încărcarea uniform distribuită, închizîndu-se în zero în capătul liber de consolă.

Diagrama de moment are o variaţie parabolică cu un maxim în dreptul punctului de anulare al forţei tăietoare. Valoarea pe reazem este negativă de –30KNm.

Urmează apoi determinarea reacţiunilor grinzii principale (fig.2.22) prin ecuaţii de echilibru static. ( )

( )

KNVMKNVV

MKNV

V

M

110522578

0124010560

022

024056010

0

15

2

2

1

1

1

2

=⋅=⋅==

=⋅+⋅−⋅

→=

==⋅+⋅−⋅

→=

∑

∑

34

Fig.2.22 Diagrame pentru grinda principală1-2

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu V1=22KN, este constantă pînă în dreptul forţei concentrate de 60KN unde are loc un salt în diagramă pînă la –38KN. În continuare diagrama este constantă pînă în dreptul reacţiunii V2 unde are loc un salt pînă la +40KN apoi este constantă pe lungimea consolei şi se închide în capătul liber de consolă cu forţa concentrată de 40KN. Valoarea momentului în punctul de acţiune al forţei concentrate de 60KN este egală cu produsul dintre reacţiunea V1 şi braţul de pîrghie de 5m. Pe reazemul 2 momentul încovoietor se poate obţine luînd în considerare efectul forţelor de la dreapta luat cu semn schimbat.

Exemplul 2 Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda Gerber din figura 2.23.

Fig.2.23 Diagrame T,M pentru o grindă Gerber

35

Grinda continuă se împarte în grinzi principale (2-3) şi (6-8) şi grindă secundară (4-5) Calculul începe cu rezolvarea grinzii secundare (fig.2.24) Reacţiunile V4 şi V5 sînt egale cu KN302/610 =⋅ Valoarea maximă a momentului încovoietor este în mijlocul grinzii şi este egală cu

KNmpl 458/2 = Reacţiunile grinzii principale 2-3 (fig.2.26) se determină prin ecuaţii de echilibru static obţinundu-se astfel V2 şi V3

Fig.2.24 Diagrame de eforturi pentru grinda secundară 4-5

( )

( )

80)2301210(20

023012106825

055

083072106225

0

3

2

2

3

3

3

2

−=⋅+⋅⋅−==

=⋅+⋅⋅+⋅+⋅−

=

==⋅+⋅⋅+⋅−⋅−

=

∑

∑

MKNV

V

MKNV

V

M

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu forţa concentrată de 25KN sub axa barei, este

36

Figura 2.25 Grinda 6-8

Figura 2.26 Diagrame de eforturi pentru grinda principală 2-3

constantă pînă în dreptul punctului de aplicaţie al reacţiunii V2 unde are loc un salt pînă la –5KN. În continuare diagrama este constantă pînă în dreptul reacţiunii V3 cînd are loc un salt pînă la 50KN,urmează o variaţie liniară şi diagrama se închide cu forţa concentrată de 30KN. Diagrama de moment este negativă deasupra axei barei avînd valoarea de –50KNm în reazemul 2 şi –80KNm în reazemul 3. Se observă că panta diagramei de moment pe tronsonul 2-3 este mai redusă decît pe consola din stînga deoarece pe tronsonul 2-3 valoarea forţei tăietoare este mai redusă. Determinarea reacţiunilor pentru grinda secundară 6-8 (fig.2.25) se face prin ecuaţii de echilibru static.

37

( )

( )

KNVV

MKNV

V

M

15085401210230

075

0340892101030

0

8

8

6

6

6

8

=→=⋅−⋅+⋅⋅−⋅−

→=

==⋅−⋅+⋅⋅−⋅−

→=

∑

∑

Diagrama de forţe tăietoare se deschide cu forţa concentrată de 30KN, urmează apoi o variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite pînă în punctul 6 unde are loc un salt datorită reacţiunii V6 pînă la +25KN. În continuare diagrama este constantă pînă la punctul de aplicaţie al forţei concentrate cînd are loc un salt pînă la –15KN. În continuare diagrama este constantă pînă în capătul liber de consolă cînd diagrama se închide cu reacţiunea V8=15KN. Momentul pe reazemul 6 se obţine calculînd momentul forţelor din stînga reazemului 6.

KNM 8012102306 −=⋅⋅−⋅−= Momentul în punctul de aplicaţie al forţei concentrate de 45KN se poate calcula ca fiind

KNmV 45)3( 8 =⋅−−

Exemplul 3: Să se determine reacţiunile şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda Gerber din figura 2.27.

Fig.2.27 Fiagrame de eforturi pentru o grindă Gerber Ca şi în cazurile precedente această grindă se împarte în grinzi principale şi grinzi secundare. Grinda 6-8 este grindă secundară (fig.2.28) pentru grinda 2-5. Grinda 2-5 devine grindă secundară pentru grinda 1-2. Reacţiunile V6 şi V8 se obţin din ecuaţii de echilibru static.

( )

( )KNV

VMKNV

V

M

5,76

0105,891005,13

05,131010

36100

8

86

6

6

8

=

=⋅−⋅⋅→=

==⋅⋅+⋅

+⋅⋅−→=

∑

∑

38

Figura 2.28 Grinda 6-8 Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu reacţiunea V6 este constantă pînă în punctul 7, urmează o variaţie liniară din încărcarea uniform distribuită pînă în punctul 8 cînd acţionează reacţiunea V8, forţa tăietoare ajungînd la +30KN deasupra axei barei.În continuare diagrama are variaţie liniară şi se închide în zero în capătul liber de consolă. Diagrama de moment are o variaţie liniară pe intervalul 6-7, urmează apoi o variaţie parabolică pînă pe reazemul 8 unde valoarea momentului este –45KNm Reacţiunile V2 şi V5 pentru grinda principală 2-5 (2.29) se determină prin ecuaţii de echilibru static.

Momentul în secţiunea 3 este KNmV 9.9332 =⋅ Momentul în secţiunea 4 se obţine scriind suma momentelor forţelor din stînga secţiunii:

( )

( )KNV

VMKNV

VM

2,92

0125,431074034003,31

025,43340740100

5

52

2

25

=

=⋅+⋅−⋅+⋅→=

=

=⋅+⋅−⋅−⋅→=

∑

∑

KNmMM

1,5944073,31

4

4

=⋅−⋅=

39

Fig.2.29 Grinda secundară 2-5

Momentul pe reazemul 5 se poate calcula cu forţele din dreapta secţiunii 5

KNmM 87)25.43(5 −=⋅−= Grinda principală 1-2 (fig.2.30) reprezintă o consolă încărcată cu sarcină uniform distribuită şi forţa concentrată de 31.3KN care reprezintă reacţiunea V2 luată cu semn schimbat. Reacţiunea V1 se poate obţine dintr-o ecuaţie de proiecţie pe verticală iar momentul M1 printr-o ecuaţie de echilibru static în punctul 1.

KNmMM

KNVVyi

4,570083,314810

3,11103,31800

1

1

1

1

==⋅+⋅⋅+−

=

=−−→=∑

Diagrama de forţă tăietoare se deschide cu reacţiunea V1=111,3KN, urmează o variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite,

40

Fig.2.30 Diagrame de eforturi grinda 1-2

în final diagrama de forţă tăietoare se închide cu forţa concentrată de 31,3KN Diagrama de moment se deschide cu momentul concentrat de 57.04KNm urmînd o variaţie parabolică pînă în 0 în capătul liber de consolă.

40

41

CAP.3 CADRE STATIC DETERMINATE

Asemenea structuri pot fi privite ca rezultînd din asamblarea prin intermediul unor articulaţii a mai multor bare drepte sau cotite; numărul total de legături trebuie să corespundă numărului minim necesar asigurării indeformabilităţii geometrice a structurii obţinute. Deoarece sarcinile pot fi aplicate oriunde pe barele componente, solicitarea dominantă în structură este încovoierea. În proiectarea construcţiilor nu se întîlnesc obişnuit cadre static determinate. Studiul acestora este totuşi necesar, deoarece una dintre metodele generale de rezolvare a cadrelor static nedeterminate foloseşte ca sistem de bază cadre static determinate.

Fig.3.1 Exemple de cadre

La aflarea reacţiunilor cadrelor static determinate, deseori nu este necesară desfacerea

legăturilor interioare şi separarea în porţiuni. Este suficient ca la cele trei ecuaţii de echilibru static, care se pot scrie pentru ansamblul structurii, să se adauge condiţiile de moment încovoietor nul în punctele de articulare din interiorul sistemului. Pentru trasarea diagramelor de eforturi se vor utiliza caracteristicile stabilite la studiul barelor drepte, care derivă din relaţiile generale dintre intensitatea încărcării, forţa tăietoare şi momentul încovoietor din secţiunea curentă. Este necesar să se facă permanent legătura cu fenomenul fizic al deformării structurii, care se oglindeşte în diagrama de momente încovoietoare. Intuirea directă a aspectului poziţiei deformate permite să se înţeleagă mai bine modul de comportare al structurii sub acţiunea sarcinilor şi să se controleze rezultatele obţinute prin calcul.

Cadrele static determinate se întîlnesc rar în practică , ele însă constituie schema de calcul (structura de bază) pentru rezolvarea cadrelor static nedeterminate prin metoda forţelor. Dintr-o structură static nedeterminată prin suprimarea unui număr de legături egal cu gradul de nedeterminare statică se obţine structura de bază . Cadrul din figura 3.1a este de două ori static nedeterminat; suprimînd două legături interioare se obţine un cadru static determinat. Cadrul din figura 3.1b este o dată static nedeterminat; pentru a obţine un cadru static determinat se introduce o articulaţie interioară pe rigla 1-2. Dacă la cadrul din fig.3.1c care este o data static nedeterminat se suprimă o legatură în încastrare se obţine un cadru static determinat. Cadrele static determinate sînt alcatuite din bare drepte şi din bare cotite.

Trasarea diagramelor de eforturi necesită calculul reacţiunilor, care se determină scriind ecuaţiile de echilibru static pe structura în ansamblu şi condiţiile de momente încovoietoare nule în articulaţiile interioare. Pentru a trasa diagramele de eforturi este necesar să se precizeze convenţiile de semne pentru eforturi. Astfel, convenţiile de semne pentru forţa axială şi tăietoare sînt identice cu cele de la grinzile drepte, iar momentul încovoietor se consideră pozitiv cînd întinde fibra interioară.

42

În cazul cadrelor cu mai multe deschideri (fig.3.2a) precizarea numai a fibrei interioare nu este suficientă şi de aceea se obişnuieşte să se puncteze pe figură, fibra aleasa ca bază pentru momentul încovoietor pozitiv. Aceste convenţii corespund alegerii unui sens de parcurgere al structurii de la stînga la dreapta (reprezentat printr-o sageată pe structură) , aplicînd pentru fiecare bară convenţiile de la grinda dreaptă. În ceea ce priveşte reprezentarea diagramelor de eforturi pe barele cadrului, forţa tăietoare şi axială pozitivă se reprezintă deasupra axei barei , iar momentul încovoietor pe fibra întinsă. Existenţa nodurilor rigide sau articulate aduce unele aspecte specifice în ceea ce priveşte modul de comportare la acţiunea încărcărilor exterioare.

Fig.3.2 Forme deformate sub acţiunea sarcinilor exterioare

Un nod rigid se caracterizează prin faptul că secţiunile barelor ce se întîlnesc în acest punct

au aceeaşi translaţie si aceeaşi rotire. Ca urmare a rotirii egale a acestor secţiuni, dacă în poziţia deformată se duc tangente în nod, acestea formeaza un unghi egal cu cele pe care îl formează axele barelor în poziţia iniţială nedeformată (fig.3.2).

Existenţa nodului rigid conduce la deformarea prin încovoiere a ambelor bare, deşi numai una dintre ele este încărcată direct cu forţa exterioară. Un nod articulat se caracterizează prin aceea că secţiunile barelor ce se întîlnesc în acest punct au aceeaşi translaţie, iar rotirea lor relativă este liberă să se producă, astfel încît unghiul iniţial dintre axele barelor se modifică. O astfel de comportare este exemplificată în fig. 3.2b.

Gradul de nedeterminare statica se stabileşte cu relaţia: N=3C-A-2S Unde N reprezintă gradul de nedeterminare statică, C numărul de contururi perfect închise, A numărul de articulaţii, S numărul de reazeme simple. Pentru N=0 structura este static determinată, iar pentru N>0 structura este static nedeterminată. 3.1 Bare cotite

Barele cotite pot fi privite ca alcătuite din două bare drepte legate rigid între ele, formînd un nod în punctul de legătură. Rigiditatea nodului condiţionează modul de deformare al barei cotite: tangentele duse în nod la cele două ramuri ale deformatei păstrează între ele acelaşi unghi, care există în poziţia iniţială între axele nedeformate ale barelor. Prin aceasta deformarea uneia dintre bare antrenează şi deformarea celeilalte bare. Diagramele de eforturi se întind obişnuit pe ambele bare chiar dacă numai una dintre acestea este încărcată. Privitor la eforturile care se dezvoltă în secţiunile situate imediat de o parte şi de alta a nodului rigid, trebuie reţinute următoarele: (1) Forţa axială şi forţa tăietoare îşi modifică brusc valoarea, deoarece axele pe care se proiectează

forţele situate la stînga secţiunii îşi schimbă orientarea cînd se trece de la o bară la cealaltă. (2) Momentul încovoietor rămîne acelaşi în cele două secţiuni care încadrează nodul teoretic,

deoarece aceste secţiuni au acelaşi centru de greutate, în raport cu care se ia suma momentelor

43

forţelor situate la stînga secţiunii. În diagrama M se va raporta ordonata din extremitatea uneia dintre bare (printr-un arc de cerc) la noua linie de referinţă formată de axa celeilalte bare.

Fig.3.3 diagrame T,M pentru o bară cotită

Pentru exemplificare în figura 3.3 este dată o bară cotită în unghi drept, în două situaţii de

încărcare. Reazemul simplu din 3 are reacţiune verticală.

44

În cazul a), sarcina calcă pe bara 2-3; reacţiunile din 1 şi 3 sînt ambele verticale, astfel că bara 1-2 este supusă numai la efort axial, în timp ce pentru bara 2-3 diagramele de eforturi sînt aceleaşi cu ale unei grinzi simplu rezemate. Prin deformare, bara cotită suferă o deplasare laterală şi nodul 2 se roteşte. Tangenta în 2 la ramura 2-3 a deformatei rămîne normală pe noua poziţie 1-2’ a barei verticale, care nu se deformează deoarece în secţiunile sale nu se dezvoltă momente încovoietoare.

În cazul b) sarcina calcă pe bara 1-2 producînd reacţiunile arătate pe figură. Cuplul format de sarcina P şi reacţiunea H1 este echilibrat de cuplul dat de reacţiunile verticale V1 şi V3. În reazemul 3 deplasarea pe orizontală nu este împiedicată, astfel că bara cotită prin deformare suferă o deplasare laterală în poziţia 1-2’-3 iar nodul rigid se roteşte. Prin aceasta, tangentele în 2 la cele 2 ramuri ale deformatei se rotesc cu acelaşi unghi faţă de poziţiile iniţiale ale barelor, unghiul dintre tangente rămînînd acelaşi; totodată , unghiul dintre liniile nodurilor 1-2 şi 2-3 creşte cînd aceste linii ajung în poziţiile 1-2 şi 2-3. Încastrarea dintre bare în nod este solicitată prin deformare, datorită modificării unghiului dintre liniile nodurilor, în timp ce unghiul dintre tangente rămîne neschimbat. Aceasta explică modul de deformare al barei cotite; în cazul considerat deformarea barelor se face spre interior, deci încovoierea are sens pozitiv conform convenţiei de semne indicată pe figură.

Trasarea diagramelor T şi M se face după normele cunoscute, remarcîndu-se că pe porţiunea i-2 forţa tăietoare este nulă, deci momentul încovoietor are valoarea maximă MI=Pa constantă pe această porţiune. În diagrama M, porţiunea haşurată des de pe bara 1-2, cu ordonata maximă Pab/l în dreptul sarcinii, este chiar diagrama barei 1-2 considerată grindă simplu rezemată. Restul diagramei M pe cele două bare este format dintr-o pereche de triunghiuri cu vîrfurile în 1 şi 3 avînd ordonata comună M2=Pa în nodul 2. Această pereche de triunghiuri reprezintă efectul legăturii rigide dintre cele 2 bare în nod. 3.2 Calculul eforturilor pentru cadre static determinate

Sistemele de bare ale căror axe formează o linie frîntă sau ramificată, iar nodurile realizează legături rigide sau articulate poartă numele de cadre. Prin figură indeformabilă se înţelege aceea care nu permite deplasări de felul celor care au loc în mecanisme, ci numai deformaţii şi deplasări elastice.

Calculul practic se începe cu determinarea reacţiunilor. Cadrele fiind static determinate reacţiunile se obţin prin metodele cunoscute din Mecanica teoretică. Este recomandabil ca în funcţie de situaţia reală de analizat să se scrie trei ecuaţii de echilibru pentru ansamblu şi condiţii de moment încovoietor egal cu zero în articulaţiile interioare. După calculul reacţiunilor urmează trasarea diagramelor de eforturi, care se stabilesc pe baza relaţiilor diferenţiale dintre eforturi şi încărcări, cunoscute de la grinda dreaptă. Corectitudinea trasării diagramelor de eforturi se verifică prin condiţia de echilibru static, aplicată fie nodurilor fie unei părţi a structurii. Exemplul 1: Sa se traseze diagramele de forţă axială, de forţă taietoare şi de moment încovoietor la structura din fig.3.4

45

Fig.3.4 Diagrame de eforturi pentru un cadru static determinat

Calculul reacţiunilor: ∑ =⋅=→= KN42314H0X 1i

( ) KN1V05,3205,13147VM 112=→=⋅−⋅⋅+⋅=∑

( ) KN19V07V5,3205,13140M 221=→=⋅−⋅+⋅⋅→=∑

Diagrama de forta axiala , N Pe stîlpul 1-3, în structura 1, pe direcţia axei se proiectează numai reacţiunea verticală KN1V1 = , efectul său fiind întinderea barei. Deoarece pîna în secţiunea 3 nu mai intervine nici o alta forţă rezultă ca forţa axială este constantă şi este efort de compresiune. Pe rigla 3-4, efortul axial este zero. Pe stîlpul 2-5, în secţiunea 2 acţionează numai reacţiunea KN19V2 = care are direcţia axei barei, iar ca efect o comprimă. Deci forţa axială este constantă şi este efort de compresiune.

46

Diagrama de forţă tăietoare T

Pe stîlpul 1-3 în secţiunea 1 se proiectează pe normala la axa barei numai reacţiunea H1=42KN, în continuare intervine efectul încărcării uniform distribuite, astfel încît pe înălţimea stîlpului 1-3 forţa tăietoare are o variaţie liniară, iar în secţiunea 3 forţa tăietoare ajunge zero. Pe rigla 3-4, în secţiunea 3, se proiectează pe normala la axa barei numai reacţiunea V1=1KN, în continuare forţa tăitoare este constantă pînă în secţiunea 4 cînd acţionează forţa concentrată de 20KN. În secţiunea 4 apare un salt în diagrama de forţă tăietoare, ulterioar ea închizîndu-se în zero în secţiunea 5, secţiune în care acţionează reacţiunea V2. Pe stîlpul 2-5 forţa tăietoare este egală cu zero, deoarece pe această bară nu acţionează nici o forţă transversală. Diagrama de moment încovoietor M

În capătul 1 al stîlpului 1-3 momentul încovoietor este egal cu zero deoarece în această secţiune este o articulaţie. Pe lungimea stîlpului momentul încovoietor variază parabolic. În capătul 3 al stîlpului momentul încovoietor este mKN635,1314342M 3 ⋅=⋅⋅−⋅= . Fibra întinsă este fibra interioară. Pe rigla 3-4, în capătul 3, momentul încovoietor are tot valoarea de 63KNm deoarece nodul 3 este unic şi aparţine atît stîlpului cît şi riglei. Fibra întinsă pe riglă este cea de la interior.În secţiunea 4 (punctul de aplicaţie al forţei concentrate) valoarea momentului încovoietor este de 66,5KNm, iar în secţiune 5 momentul încovoietor se anulează. Pe intervalul 3-4 momentul încovoietor variază liniar, iar în punctul de aplicaţie al forţei concentrate prezintă un maxim, KNm5,665,319M 4 =⋅= . Verificarea corectitudinii diagramelor de eforturi (a valorilor eforturilor) se face utilizînd condiţia de echilibru static a nodurilor, sub acţiunea forţelor aplicate direct în nod şi a eforturilor din secţiunile infinit vecine nodului.

47

Exemplul 2: Să se traseze diagramele N,T,M pentru structura static determinată din fig.3.5

Fig.3.5 Diagrame de eforturi pentru un cadru triplu articulat

Calculul reacţiunilor : KNVVMKNVVM 5;0459109;0)(;50459;0)( 221112 ==−⋅+⋅−==→=−⋅=∑ ∑

Verificare: ∑ =+−= 05105Y

KNHHMKNHHM drst

5;0610665;0;5;045635;0

22

3113

==⋅−⋅+⋅===−⋅+⋅=

Verificare: ∑ =+−= 055X Calculul forţelor tăietoare:

Forţa tăietoare în punctul 1 este egală cu H1=5KN, fiind constantă pe bara 1-4.Pentru bara 4-5 în secţiunea 4 singura forţă normală pe axa barei o reprezintă reacţiunea V1. T25 se obţine descompunînd forţele H2 şi V2 pe direcţie normală la axa barei.

54145

41114

55

TKNVTTKNHT

======

5665 10 TKNT ==

522225 7,6894,05447,05sincos TKNHVT =−=⋅−⋅−=⋅−⋅−= αα Calculul momentelor încovoietoare:

48

Momentul încovoietor în articulaţia 1 este egal cu zero. M41 se obţine ca fiind produsul dintre reacţiunea H1 şi braţul de pîrghie de 6m. Momentul în articulaţia 3 este egală cu zero. Momentul M53 a fost calculat luînd în considerare efectul momentelor forţelor de la dreapta secţiunii.

KNmHVM 4563 2252 =⋅+⋅= ;06 =M KNmM 3031056 −=⋅−= KNmHVM 1531063 2253 =⋅−⋅+⋅=

Calculul forţelor axiale: Pe stîlpul 1-4 ,pe direcţia axei barei se proiectează reacţiunea V1.Deoarece pînă în secţiunea 4 nu mai acţionează nici o altă forţă rezultă un efort axial constant şi de compresiune.Pe direcţia axei barei 4-5 se proiectează reacţiunea H1. ;5 41114 NKNVN =−=−=

;5 54145 NKNHN === ;0 5665 NN ==

522225 24,2447,05894,05cossin NKNHVN =−=⋅+⋅−=⋅+⋅−= αα Exemplul 3: Să se traseze diagramele N,T,M pentru structura static determinată din fig.3.6

Fig.3.6 Diagrame de eforturi pentru un cadru triplu articulat

49

Calculul reacţiunilor se face prin scrierea ecuaţiilor de echilibru static în articulaţiile 1 şi 2:

∑ = ;0)( 2M ;0220641081 =⋅+⋅⋅−⋅V ;251 KNV =

;0)( 1 =∑ M ;02410102082 =⋅⋅+⋅+⋅−V KNV 352 =

Verificare: ∑ =−+⋅−= 0203541025Y Reacţiunile H1 şi H2 se obţin prin scrierea ecuaţiilor de moment în nodul 3 la stînga şi la

dreapta. Se ştie că ecuaţiile de echilibru static se pot scrie pentru întreaga structură dar şi pentru părţi ale structurii.

;0,3 =stM 0241010425 1 =⋅⋅−⋅−⋅ H KNH 21 = ;0,3 =drM 062010435 2 =⋅−⋅−⋅ H KNH 22 =

Verificare: ∑ =−= 022X Calculul forţelor tăietoare:

Forţa tăietoare în secţiunea 1 se deschide cu valoarea reacţiunii H1 şi este constantă pe întreaga lungime a stîlpului. Pe bara înclinată 4-3 forţa tăietoare are o variaţie liniară datorită încărcării uniform distribuite. Valoarea în nodul 4 pentru bara 4-3 se obţine descompunînd reacţiunile V1 şi H1 pe o direcţie normală la axa barei.

Similar se procedează şi pentru bara 5-3, se descompun reacţiunile V2 şi H2 pe direcţie normală la axa barei. În nodul 5 pe consola 5-6 forţa tăietoare se deschide cu valoarea de 20KN (care reprezintă suma forţelor normale pe axa barei din stînga secţiunii), este constantă pe lungimea consolei şi se închide în zero cu forţa concentrată de 20KN. Pentru stîlpul 5-2 forţa tăietoare se deschide cu 2KN reprezentînd suma forţelor normale din stînga, şi se închide cu H2=2KN.

;2 41114 TKNHT =−=−= KNHVT 8,186,028,025sincos 1143 =⋅−⋅=⋅−⋅= αα KNHVT 2,13cos410sincos 1134 −=⋅−⋅−⋅= ααα

;0cos108,18 =⋅⋅−= αxTx mx 35,2= ;2 52225 TKNHT === 5665 20 TKNT == ;

352253 8,10cos20sincos TKNHVT =−=⋅+⋅+⋅−= ααα Calculul momentelor încovoietoare:

Momentul încovoietor în articulaţia 1 este egal cu zero, are o variaţie liniară pînă în 4, fibra întinsă fiind la exterior, momentul negativ.În nodul 4, fiind un nod format din 2 bare momentul se rabate şi pe bara 4-3 tot la exterior.În continuare pe bara 4-3 diagrama de moment are o variaţie parabolică datorită încărcării uniform distribuite , cu un maxim în dreptul punctului de anulare al forţei tăietoare.

Momentul M56 se determină prin considerarea momentului creat de forţa din dreapta de 20KN, consola fiind o structură static determinată..Momentul M52 se obţine ca fiind produsul dintre reacţiunea H2 şi braţul de pîrghie de 7m, diagrama avînd o variaţie liniară, fibra întinsă fiind la exterior.

;01 =M 43141 147 MKNmHM =−=⋅−= ; 03 =M KNmMM 61,13cos/35,28,18)2/1(43max =⋅⋅+= α

;02 =M KNmHM 147252 −=⋅−= 06 =M KNmM 4022056 −=⋅−=

KNmHM 542207253 −=⋅−⋅−= Calculul forţelor axiale:

Pentru stîlpul 1-4 efortul axial este egal cu V1 şi este de compresiune. Efortul N43 se obţine proiectînd pe direcţia axei barei reacţiunile V1 şi H1.În cazul efortului N34 acesta se obţine luînd în calcul şi efectul încărcării uniform distribuite, rezultînd că pe rigla înclinată 4-3 efortul axial va avea o variaţie liniară. Efortul axial pentru rigla 5-3 se obţine prin descompunerea pe direcţia axei

50

barei a reacţiunilor V2 şi H2, iar pe direcţia stîlpului 5-2 se va proiecta pe direcţia axei barei numai reacţiunea V2.

41114 25 NKNVN =−=−= KNHVN 6,168,026,025cossin 1143 −=⋅−⋅−=⋅−⋅−= αα

KNHVN 4,7sin410cossin 1134 =⋅+−⋅−= ααα ;35 52225 NKNVN =−=−= 5665 0 NN ==

KNHVN 6,10sin20cossin 2253 −=+−−= ααα Exemplul 4: (cadre multiple) Sub această denumire se înţeleg cadrele formate din părţi principale şi secundare. Particularitatea rezolvării constă în aceea că reacţiunile se calculează începînd cu cele ale părţilor secundare. Pentru exemplificare fie cadrul din figura 3.7 la care se cere să se traseze diagramele de eforturi N,T şi M.

Fig.3.7 Cadru multiplu. Diagrame eforturi structură secundară.

Determinarea reacţiunilor pentru structura secundară: ∑ =⋅=→= KN40410H0X 2i

( ) KN16V024105V0M 112=→=⋅⋅−⋅→=∑

( ) 05V44024100M 21=⋅+⋅−⋅⋅→=∑

Determinarea reacţiunilor pentru structura principală: ( ) KN32V012V44014160M 334 =→=⋅−⋅+⋅→=

51

( ) 16V012V2164400M 443=→=⋅−⋅+⋅→=∑

( ) KN8,20H01408165H6320M 33st

5=→=⋅−⋅+⋅+⋅−→=∑

( ) KN2,19H06165H0M 44dr

5=→=⋅−⋅→=∑

9614021658,20M 6 =⋅−⋅+⋅=

Fig.3.8 Diagrame de eforturi pentru structura principală.

3.3 Utilizarea simetriei şi antisimetriei

Structurile plane uzual întîlnite în practică au deseori particularitatea de a prezenta o axă de simetrie. La construcţii industriale, poduri, clădiri civile consideraţii de ordin tehnologic care derivă din modul de folosinţă, cerinţe economice şi de tipizare, cît şi cerinţe de aspect, duc frecvent la alegerea unor tipuri de construcţii ale căror elemente principale de susţinere (de exemplu cadre) rezultă simetrice. Această particularitate a structurii trebuie folosită, deoarece aduce deseori simplificări substanţiale în rezolvare, atît la trasarea diagramelor de eforturi pentru structuri static determinate, cît mai ales cu ocazia utilizării acestor diagrame la calculul deplasărilor elastice şi la rezolvarea sistemelor static nedeterminate.

52

Din punct de vedere static, noţiunea de simetrie se referă atît la configuraţia geometrică a structurii cît şi la rezemările sale. O structură este simetrică faţă de o axă atunci cînd barele şi legăturile sînt dispuse simetric în raport cu această axă. Atfel structurile din figurile 3.9 sînt toate simetrice faţă de o axă verticală care trece prin mijlocul deschiderii.

Cît timp sarcinile aplicate pe o structură simetrică sînt oarecare, desigur că nu există nici o particularitate pentru reacţiuni şi eforturi. Pentru situaţii particulare de încărcare însă, se pot face anumite observaţii utile. Fie un cadru simetric oarecare, de exemplu cel din figura 3.9a care este acţionat de o încărcare simetrică. În acest caz din cercetarea fenomenului fizic apare evident că se ajunge la o poziţie deformată simetrică, ceea ce arată că întreaga situaţie de solicitare a structurii respectă condiţia de simetrie. Ca primă consecinţă, înseamnă că reacţiunile sînt obligatoriu simetrice în raport cu axa de simetrie, criteriu care poate fi deci utilizat la determinarea lor. Astfel, pentru cadrul considerat, acţiunea reciprocă din articulaţia 3 trebuie să fie orizontală; pe această bază se pot determina şi direcţiile reacţiunilor din 1 respectiv2 folosind condiţia de concurenţă a cîte trei forţe pentru fiecare din cele două porţiuni.

Pentru cadrul din fig.3.9b înţelegem prin această denumire că încărcările de pe cele două jumătăţi ale structurii sînt simetrice ca poziţie, direcţie şi mărime, dar au sensuri opuse în raport cu axa de simetrie. Şi în acest caz, din punct de vedere fizic, apare evident faptul că structura trece într-o poziţie deformată antisimetrică faţă de axă, ceea ce arată că întreaga situaţie de solicitare a structurii respectă condiţia de antisimetrie. În consecinţă reacţiunile sînt antisimetrice în raport cu axa de simetrie. Astfel pentru cadrul considerat acţiunea reciprocă din articulaţia 3 trebuie să fie verticală (Ms). În rezemările 1 şi 2 nu pot apare, pentru sarcini verticale, componente orizontale ale reacţiunilor, deoarece condiţia de echilibru ar cere ca acestea să fie egale şi cu sensuri opuse, ceea ce ar conduce la o pereche simetrică de componente; se dezvoltă deci numai reacţiuni verticale, egale ca mărime şi avînd sensuri contrare.

53

Fig.3.9 Diagrame de eforturi (M,T) pentru o structură simetrică încărcată simetric şi încărcată

antisimetric

54

Fig.3.10 Diagrame de efort axial pentru încărcare simetrică şi antisimetrică Situaţia de simetrie şi antisimetrie se regăseşte şi la eforturi. Considerînd forţele de legătură

care trebuie introduse cînd se secţionează o bară se obţine situaţia din figura 3.9,3.10 din care se vede că perechile M şi N au caracter simetric, iar perechea T are caracter antisimetric. Aceasta înseamnă că pentru două secţiuni aşezate simetric, la o structură simetrică şi simetric încărcată, momentele încovoietoare şi forţele axiale sînt egale şi au acelaşi sens, în timp ce forţele tăietoare sînt egale, dar au sensuri contrare; aceasta deoarece perechile M,T,N trebuie să fie dispuse simetric faţă de axa de simetrie. Cînd structura ar fi încărcată antisimetric situaţia este inversă, anume momentele încovoietoare şi forţele axiale sînt egale şi cu sensuri contrare, iar forţele tăietoare sînt egale şi au acelaşi sens. Pentru o structură simetrică, încărcărilor simetrice le corespund diagrame M şi N simetrice precum şi diagrama T antisimetrică; încărcărilor antisimetrice le corespund diagrame M şi N antisimetrice, precum şi diagrama T simetrică.

Proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale reacţiunilor şi diagramelor de eforturi pot fi utilizate şi pentru sarcini oarecare, dacă se ţine seama că orice încărcare poate fi înlocuită printr-o încărcare simetrică şi o încărcare antisimetrică. Prin aceasta trasarea diagramelor de eforturi pentru încărcarea dată poate fi obţinută prin suprapunerea celor două serii de diagrame corespunzătoare componentelor încărcării. Desigur, folosind această cale, sînt de trasat mai multe diagrame, dar construcţia lor este mult mai simplă datorită tocmai utilizării simetriei şi antisimetriei.

55

Exemplul 1: Să se traseze diagramele de eforturi N,T,M pentru cadrul simetric static determinat din figura 3.11

Fig. 3.11 Exemplu structură simetrică încărcată simetric

( ) KN120V01220510208V0M 112=→=⋅⋅+⋅⋅−⋅→=∑

( ) KN120V08V5102012200M 221=→=⋅−⋅⋅+⋅⋅−→=∑

( ) KN5,37H036202,3H41200M 11st

3=→=⋅⋅−⋅−⋅→=∑

( ) KN5,37H02,3H412036200M 22dr

3=→=⋅+⋅−⋅⋅→=∑

Exemplul 2: Să se traseze diagramele de eforturi N,T,M pentru cadrul simetric încărcat antisimetric din figura 3.12

( ) KN15V0630224V0M 112

=→=⋅⋅+⋅−→=∑

( ) KN15V024V63020M 221=→=⋅−⋅⋅→=∑

( ) KN30H06H12150M 11st

3=→=⋅+⋅−→=∑

56

Fig.3.12 Structură simetrică încărcată antisimetric

57

α⋅+α⋅= cos30sin15N14 ; 8,0sin =α ; 6,0cos =α

306,0308,015N14 =⋅+⋅= 156,0158,030T14 =⋅−⋅=

5,1126305,415M 4 =⋅+⋅−=

58

59

CAP.4 ARCE STATIC DETERMINATE 4.1 Generalităţi

În alcătuirea structurilor se întîlnesc deseori elemente de construcţii care prin schematizare se reduc la bare cu axă curbă. În aplicaţiile practice, asemenea bare au de obicei drept axă o curbă plană. Privitor la modul de aplicare al sarcinilor se pot distinge două situaţii: (1) Sarcinile sînt cuprinse în planul curbei dirijate în general în sens opus convexităţii. Elementele

de construcţie care se găsesc în această situaţie poartă numele de arce şi sînt întîlnite la susţinerea acoperişurilor de hale industriale, la poduri etc.

(2) Sarcinile acţionează normal pe planul axei barei; elementele de construcţie solicitate în acest mod poartă numele de grinzi curbe plane

La un arc este necesar în primul rînd să se aleagă sistemul de axe de referinţă pentru raportarea geometrică a arcului şi a sarcinilor aplicate. Faţă de acest sistem o secţiune oarecare i este definită prin coordonatele centrului său de greutate şi prin înclinarea tangentei la arc în acel punct.

Pentru definirea eforturilor din secţiune, se adoptă şi un sistem de axe propriu al secţiunii . Sistemul de axe este format din tangenta şi normala la arc, astfel că acest sistem variază de la o secţiune la alta în lungul arcului. Deoarece toate forţele exterioare (sarcini şi reacţiuni) acţionează în planul arcului rezultă că într-o secţiune oarecare i se vor dezvolta eforturile Ni,Ti,Mi;

Caracteristica esenţială a arcelor derivă din faptul că legăturile sînt dispuse astfel ca să împiedice sau să limiteze variaţia de distanţă dintre extremităţile barei curbe(sau dintre două puncte intermediare). Prin această dispunere a legăturilor, arcele dau împingeri laterale preluate de rezemări sau de tiranţi; se ajunge la o comportare avantajoasă sub acţiunea sarcinilor, rezultînd o reducere importantă a momentelor încovoietoare faţă de cazul grinzilor drepte. Arcele static determinate sînt caracterizate prin numărul minim de legături necesar fixării în plan. Arcele sînt bare curbe sau sisteme de bare curbe plane, încărcate cu forţe acţionînd în planul lor. În practică, arcele se întîlnesc la baraje, acoperişurile halelor industriale, poduri etc. În reazemele arcelor se dezvoltă reacţiuni care au componente orizontale denumite împingeri.

Fig.4.1 Tipuri de arce static determinate

60

Această caracteristică a arcelor conduce la o reducere importantă a momentelor

încovoietoare , faţă de cazul grinzilor drepte, permiţînd astfel folosirea arcelor la construcţii cu deschideri mari. Împingerile laterale ale arcelor sînt preluate de elementele de rezemare. Cînd preluarea împingerilor nu se poate realiza în condiţii economice, deoarece conduce la dimensini exagerate pentru elementele de reazem, între extremităţile arcului se introduce un tirant(fig.4.1c). Pentru ca arcul cu tirant sa fie static determinat este necesar ca unul din reazeme să fie simplu, pentru a compensa legătura suplimentară introdusă de tirant. Secţiunile din reazemele exterioare 1 si 2 ale arcelor se numesc naşteri, iar dreapta ce uneşte cele două naşteri este linia naşterilor.

Punctul cel mai depărtat de linia naşterilor se numeşte cheia arcului; la arcele cu trei articulaţii, articulaţia interioară coincide cu cheia arcului.

Distanţa verticală de la cheia arcului la linia naşterilor se numeşte sageata arcului şi se notează cu f, iar disţanta orizotală între naşterile arcului reprezintă deschiderea arcului şi se noteaza cu l.

Structura din figura 4.2d este o bară curbă încastrată la un capat si nu se poate considera arc, deoarece nu are împiedicată variaţia distanţei între extremităţi şi prin urmare este o structură fără împingeri.

Fig.4.2 Prezentarea eforturilor secţionale

Arcul cu o articulaţie şi reazem simplu nu se foloseşte în construcţii în mod obişnuit , el constituie însa structura de baza pentru calculul arcelor plane static nedeterminate prin metoda forţelor. Arcul cu trei articulaţii se foloseşte frecvent în construcţii, singur sau împreună cu alte elemente, formînd structuri static determinate din bare drepte si curbe. Pentru calculul arcelor se consideră un sistem de axe de coordonate , faţă de care arcul sa fie definit prin coordonatele ii yx , ale centrului de greutate al sectiunii i şi prin înclinarea iϕ a tangentei la arc

61

în secţiunea respectivă(fig.4.2a). Sistemul de axe de coordonate se mai poate alege şi cu axa x dirijată după linia naşterilor, iar axa y verticală. Momentul încovoietor care întinde fibra interioară a arcului se consideră pozitiv. Convenţia de semne pentru forţa tăietoare şi axială este identică cu cea de la barele drepte. 4.2 Relaţii diferenţiale între acţiuni şi eforturi

Pentru a demonstra relaţiile diferenţiale între acţiuni şi eforturi la arc se izolează din acesta un element infinit mic de lungime ds. Asupra elementului de arc acţionează o forţă uniform distribuită p care are componentele dupa normala pn şi după tangenta pt şi eforturile pozitive pe cele două feţe ale elementului (fig.4.3). Scriind ecuaţiile de echilibru static pentru elementul de arc se obţin relaţiile diferenţiale între acţiuni şi eforturi. Ecuaţia de echilibru după tangenta la arc în secţiunea din dreapta a elementului are forma:

02

sin2

cos

sincos)1.4(

=++

−−+ϕϕ

ϕϕddspddsp

dTdNdNNa

nt

K

iar ecuaţia de proiecţie după normala la arc în secţiunea din dreapta a elementului este:

02

sin

2cossincos)1.4(

=

−++−+

ϕ

ϕϕϕ

ddsp

ddspdNdTdTTb

t

nK

Ecuaţia de momente în raport cu centrul de greutate al secţiunii din dreapta elementului de arc:

02

sin)2

cos1(

)cos1(sin)1.4(

=−−

+−−+−−ϕρϕρ

ϕρϕρddspddsp

dNdTdMMMc

nt

K

Dacă în relaţiile(4.1a,b,c) se ţine seama de faptul ca unghiul dϕ este infinit mic, se pot admite cos dϕ=1 şi sin dϕ=dϕ=ds/ρ; neglijînd infiniţii mici de ordinul doi rezultă:

Tds

dMNpdsdTTp

dsdN

tt =−=+−= ;;)2.4(ρρ

K

Se observă că relaţia care dă derivata momentului este identică cu relaţia de la bara dreaptă.

Rezultă că şi la arce, momentul încovoietor va fi maxim sau minim în secţiunile în care forţa tăietoare se anulează. Analizînd relaţiile diferenţiale ale forţei axiale şi tăietoare se constată ca ele sînt mai generale decît aceleaşi relaţii de la bara dreaptă , care se pot deduce din relaţiile (4.2), considerînd raza de curbură a arcului ρ=∞. Relaţiile (4.2) sînt valabile atît pentru arcele static determinate , cît şi pentru cele static nedeterminate, deoarece la deducerea lor nu s-au impus restricţii în acest sens.

62

4.3 Arcul cu trei articulaţii. Calculul reacţiunilor şi al eforturilor

Se consideră arcul cu trei articulaţii (fig.4.3) încărcat cu un sistem de forţe oarecare Pi.

Fig.4.3 Arcul cu trei articulaţii

Reacţiunile se consideră descompuse în componentele verticale V1 şi V2 şi componentele după direcţia 1-2, H1 şi H2’. Scriindu-se ecuaţiile de momente în raport cu punctele 1 şi 2 se obţin direct reacţiunile V1 şi V2’.

63

αγα

γα

cossincos'

'

,0sincos)''(,0'

''

,0''',0

',0',0

',0',0)3.4(

12

21

311

1313

221

112

∑∑ ∑

∑∑ ∑∑ ∑ ∑

∑∑∑

+=

=+−=

−=

=−−=

==−=

==−=

ii

iii

ii

iist

iiii

iiii

PHH

PHHXf

cPxVH

cPfHxVMl

aPVlVaPM

lbP

VbPfVM

K

KK

KKK

La fel ca în cazul cadrelor după determinarea reacţiunilor se trece la calculul eforturilor.

Eforturile din secţiunea curentă se pot obţine sub forma unor expresii care pot fi utilizate în orice secţiune x. Efortul axial N se obţine proiectînd toate forţele, din stînga secţiunii de calcul, pe direcţia tangentei la curbă în secţiunea considerată, iar forţa tăietoare se obţine proiectînd forţele pe direcţia normalei la curbă în secţiunea considerată.

∑∑

∑

−−=

−−−−=

−+−−−=

iix

iix

iix

dPHyxVM

PHVT

PVHN

'''

)cos()sin('cos'

)sin(sin')cos(')4.4(

11

11

11

γϕαϕϕ

γϕϕαϕK

Arcele cu reazemele la acelaşi nivel reprezintă cazul cel mai întîlnit în practica curentă (α=0, y=y şi f=f) şi încărcate cu forţe verticale (γi=0)expresiile reacţiunilor şi ale eforturilor capătă formele uzuale. Reacţiunile au expresiile:

fMHHH

laP

Vl

bPV iiii

03

21

21 ,,)5.4(

===

== ∑∑KK

unde ai şi bi se măsoară pe orizontală, iar M30 reprezintă momentul încovoietor în secţiunea 3 pe o

grindă simplu rezemată avînd aceeaşi deschidere şi aceleaşi încărcări verticale ca şi arcul. Eforturile au expresiile:

yHMdPyHxVM

HTPHVT

HTPVH

xiix

xix

xi

−=−−=

−=−−=

−

−=+−−

∑∑

∑

011

10

11

1

011

sincoscossincos

cossinsinsincos)6.4(

ϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕK

unde ∑−= ix PVT 10 şi ∑−⋅= iix dPVxM 1

0 reprezintă forţa tăietoare şi respectiv momentul încovoietor în secţiunea curentă pe grinda simplu rezemată corespunzătoare. Relaţiile (4.6) se folosesc la trasarea diagramelor de eforturi la arce triplu articulate cu reazeme la acelaşi nivel şi încărcate cu forţe verticale. După cum se observă, din ultima relaţie, din (4.6), diagrama de moment încovoietor se obţine prin suprapunerea diagramei pe grinda simplu rezemată cu o diagramă ce reprezintă suprafaţa cuprinsă între curbă şi linia reazemelor , cele două diagrame avînd puncte comune în secţiunile în care sînt plasate cele trei articulaţii.

64

4.4 Arcul cu tirant

Arcul cu tirant este folosit în cazul în care elementele de fundaţie nu pot prelua împingerile arcului cu trei articulaţii,. Se consideră arcul cu tirant din fig.4.4.

Fig.4.4 Arcul cu tirant

Se scrie condiţia de echilibru pe orizontală, scrisă pentru întregul ansamblu, rezultă H1=0.

Reacţiunile verticale se obţin din ecuaţii de momente în raport cu punctele 1 şi 2.

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

==−=

==−=

lbP

V,0bPlV,0M

laP

V,0lVaP,0M)7.4(

ii1ii12

ii22ii1

K

K

Efortul de întindere,din tirant, se determină din condiţia de moment încovoietor egal cu zero în raport cu articulaţia interioară 3.

∑∑ ==⋅−−⋅=f

MTfTcPlVM iist

03

13 ,02

,0 KK

Astfel, împingerea orizontală a arcului cu trei articulaţii este egală cu efortul din tirant. 4.5 Arcul de coincidenţă

Arcul de coincidenţă, este arcul la care, pentru o încărcare uniform distribuită, momentul încovoietor este egal cu zero în orice secţiune. Este necesar să se determine ecuaţia arcului de coincidenţă cu trei articulaţii, încărcat cu o forţă uniform distribuită pe toată deschiderea (fig.4.5). Sistemul de axe are originea în reazemul 1.

65

Fig.4.5 Arc cu trei articulaţii încărcat cu o sarcină uniform distribuită

Pentru obţinerea ecuaţiei arcului se exprimă momentul încovoietor în secţiunea curentă şi se

impune condiţia ca , pentru orice valoare a variabilei , momentul încovoietor să fie egal cu zero.

Se calculează mai întîi reacţiunile: 221plVV ==

∑ =−−= 04222

,0)8.4( 13 fHllplplM stKK

Rezultă:

fplH8

2

1 =

Momentul încovoietor în secţiunea curentă:

yf

plxxpxlpM x ⋅−⋅⋅−⋅⋅=822

2

Punînd condiţia Mx=0 rezultă:

)(42 xl

lfxy −=

Curba y este o parabolă simetrică ce trece prin punctele 1,2,3. Ne propunem să determinăm ecuaţia arcului cu trei articulaţii încărcat cu o presiune normală la curbă şi de intensitate constantă p, pentru care diagrama de moment este egală cu zero. (fig.4.6).

Fig.4.6 Arc cu trei articulaţii încărcat cu o presiune normală la curbă

În acest sens se utilizează relaţiile între eforturi şi încărcări. Astfe, rezultă T=0 deoarece

arcul este de coincidenţă şi respectă condiţia Mx=0. Deoarece T=0 şi pt=0 rezultă că N este constant.

Astfel se obţine ρNpn −=

66

Deoarece pn =ct. şi N=ct. rezultă că ct=ρ deci R=ρ şi în consecinţă ecuaţia arcului este un arc de cerc, deoarece are raza de curbură constantă. Dacă presiunea s-ar exercita la interior forţa axială ar fi de întindere.

Ecuaţia arcului parabolic se mai poate obţine pornind de la expresia y=ax2+bx+c unde a,b,c sînt nişte constante care se determină din condiţiile reale ale arcului cu trei articulaţii. Condiţiile pentru determinarea constantelor a,b şi c sînt: -pentru x=0, y=0 -pentru x=l,y=0 -pentru x=l/2, y=f Din prima condiţie rezultă c=0. Din a doua condiţie rezultă 0=al2+bl, deci b=-al. Din a treia condiţie rezultă f=al2/4+bl/2, de unde se obţine succesiv: a=-4f/l2 şi b=4f/l. Ecuaţia curbei ,raportată la sistemul de axe cu originea în punctul 1, este:

xlfx

lfy 44 22 +−= sau )(4

2 xllfxy −=

deci aceeaşi formă care a fost obţinută şi la arcul de coincidenţă pentru încărcarea verticală uniform distribuită pe orizontală. Exemplul 1:

Să se traseze diagramele de moment încovoietor, forţă tăietoare şi efort axial pentru arcul din fig. 4.7

Rezolvarea arcului începe prin rezolvarea unei grinzi simplu rezemate corespunzătoare,de aceaşi lungime şi cu aceaşi încărcare ca şi arcul, în sensul determinării reacţiunilor şi trasării diagramelor de forţă tăietoare şi moment încovoietor.

Reacţiunea orizontală H a arcului se obţine ca raportul dintre momentul pe grinda dreaptă simplu rezemată, în dreptul cheii arcului, raportat la săgeata arcului.

KN1205

600f

MH

03 ===

În relaţiile de mai jos xx TN , reprezintă efortul axial respectiv forţa tăietoare într-o secţiune

aflată la cota x a arcului. 0xT reprezintă forţa tăietoare , la cota x, pe grinda dreaptă simplu rezemată.

φφ cossin0 HTN xx −−=

φφ sincos0 HTT xx −=

De fapt diagrama de moment încovoietor pe arc rezultă ca diferenţa între diagrama 0xM şi

diagrama Hy, cu condiţia ca în cele trei secţiuni unde sînt articulaţii, momentul încovoietor să fie egal cu zero. În acest caz diagrama Hy are ordonate mai mari decît diagrama Mx

0, deci momentul încovoietor întinde fibra exterioară (este negativ).

yHMM xx ⋅−= 0

67

Fig 4.7 Reprezentarea diagramelor de eforturi pentru un arc triplu articulat

De obicei efortul axial, forţa tăietoare şi momentul încovoietor se calculează la naşteri la cheie şi la sfert, urmînd ca diagramele să se traseze unind aceste puncte. În cazul în care pe arc acţionează şi forţe concentrate efortul axial şi forţa tăietoare se calculează la stînga şi la dreapta punctului de acţiune a forţei concentrate.

68

În fiecare punct în care se face calculul eforturilor este necesar ca în prealabil să se determine unghiul pe care îl face tangenta în acel punct cu orizontala. Tangenta unghiului într-un punct este egală cu derivata ecuaţiei arcului.

66,1arctg66,11212

54tg),x2l(lf4tg 12121 =φ→=

⋅=φ−=φ K

01 03,59=φ

514,0cos;857,0sin 11 =φ=φ K Efortul axial şi forţa tăietoare se calculează prin intermediul relaţiilor 4.6

KN44,51857,0120514,0100TKN38,147514,0120857,0100N

1

1

−=⋅−⋅=−=⋅−⋅−=

KN100T

KN120HNst

3

3

=

−=−=

0.3x

m75,3)312(312

54)xl(xlf4y 224

=

=−⋅⋅⋅

=−=

768,0cos640,0sin80,39

833,0)3212(12

54)x2l(lf4tg

440

4

224

=φ=φ=φ

=⋅−⋅

=−=φ

KK

064,0120768,0100TKN1,156768,012640,0100N

4

4

=⋅−⋅==⋅−⋅−=

15075,3120300yHMM 0x4 −=⋅−=⋅−=

Exemplul 2: Să se traseze diagramele de moment încovoietor, forţă tăietoare şi efort axial pentru arcul din fig. 4.8

Iniţial se rezolvă grinda simplu rezemate corespunzătoare,de aceaşi lungime şi cu aceaşi încărcare ca şi arcul, în sensul determinării reacţiunilor şi trasării diagramelor de forţă tăietoare şi moment încovoietor.

Reacţiunea orizontală H a arcului se obţine ca raportul dintre momentul pe grinda dreaptă simplu rezemată, în dreptul cheii arcului, raportat la săgeata arcului. Reacţiunile pe grinda echivalentă se determină prin scrierea ecuaţiilor de echilibru static.

KNVVM

5,6709615120)(

1

12

=

→=⋅⋅−⋅→=∑

KNVVM

5,2201236150)(

2

21

=

→=⋅−⋅⋅→=∑

69

Fig.4.8 Diagrame de eforturi pentru un arc triplu articulat

Cele două reacţiuni orizontale ale arcului sînt egale deoarece arcul are reazemele la acelaşi nivel.

70

KNf

MH 75,334

13503 ===

Punct 1 Iniţial se determină valoarea unghiului pe care o face tangenta în punctul 1 cu orizontala.

6,0cos8,0sin

06,53

1

1

1

==

=

φφ

φ

Efortul axial şi forţa tăietoare se determină aplicînd relaţiile (4.6). 25,746,075,338,05,671 −=⋅−⋅−=N KN

5,138,075,336,05,671 −=⋅−⋅=T KN Punct 4

54,40832,075,33554,05,224 −=⋅−⋅−=N 0554,075,33832,05,224 =⋅−⋅=T

75,33375,331354 =⋅−=M Punct 3 (tangenta cu orizontala face un unghi egal cu zero)

5,2275,33

3

3

=

−=

TN

Punct 5 Unghiurile sînt calculate după procedeul cunoscut determinînd mai întîi valoarea tangentei unghiului.

832,0cos554,0sin

5

5

−==

φφ

61,15832,075,33554,05,225 =⋅+⋅−=N 0554,075,33832,05,225 =⋅−⋅=T

75,33375,335,675 −=⋅−=M Punct 2

6,0cos8,0sin

2

2

−==

φφ

25,26,075,338,05,222 −=⋅−⋅=N 5,138,075,336,05,222 −=⋅−⋅=T

Diagramele de eforturi au fost trasate în figura 4.8 pe baza valorilor calculate la naşteri, cheie şi la sfert. Diagrama de moment se obţine ca diferenţa dintre diagrama de moment pe grinda dreaptă simplu rezemată şi ecuaţia arcului. Exemplul 3. Să se traseze diagramele de moment încovoietor, forţă tăietoare şi efort axial pentru arcul din fig. 4.9

71

Fig.4.9Diagrame de eforturi pentru un arc triplu articulat Reacţiunile V1 şi V2 se obţin prin scrierea ecuaţiilor de momente în nodurile 1 şi 2 pe grinda

dreaptă echivalentă, ele fiind aceleaşi şi pentru arc.

72

→=∑ 0)( 2M KNVV 1250101005,1101020 11 =→=⋅−⋅⋅−⋅

→=∑ 0)( 1M KNVV 750201010051010 22 =→=⋅−⋅+⋅⋅

KNmM 5002

5101252

04 =⋅+=

KNmM 75003 =

Reacţiunile orizontale ale arcului se determină ca fiind raportul dintre momentul la cheie şi săgeata arcului.

KNf

MH 75,938

75003 ===

Punctul 1: Efortul axial şi forţa tăietoare se determină prin intermediul relaţiilor 4.6.

6,1)0220(20

84)2(4221 =⋅−

⋅=−= xl

lftgφ

01 99,57=φ , 84,0sin 1 =φ , 53,0cos 1 =φ

KNN 69,15453,075,9384,01251 −=⋅−⋅−= KNT 5,1284,075,9353,01251 −=⋅−⋅=

Momentul în articulaţia 1 este egal cu zero. Punctul 4:

6)520(520

8424 =−⋅

⋅=y

8,0)1020(8424 =−⋅

=l

tgφ

66,384 =φ 62,0sin 4 =φ 78,0cos 4 =φ

KNN 6,11978,075,9362,0754 −=⋅−⋅−= KNT 375,062,075,9378,0754 =⋅−⋅=

KNM 5,62675,935004 −=⋅−= Punctul 5:

78,0cos62,0sin

5

5

=

−=φφ

KNTKNN

375,062,075,9378,0756,11978,075,9362,075

5

5

−=⋅+⋅−=−=⋅−⋅−=

KNmM 5,187675,933755 −=⋅−−= Punctul 3:

KNN 75,933 −=

KNT st 253 =

KNT dr 753 −= Punctul 2:

53,0cos84,0sin

2

2

=−=

φφ

73

KNTKNN

3984,075,9353,07569,1153,075,9384,075

2

2

−=⋅+⋅−=−=⋅−⋅−=

Diagramle de eforturi N,T,M sînt prezentate în fig.4.9

74

75

CAP. 5 STRUCTURI PLANE ALCATUITE DIN BARE ARTICULATE ÎN NODURI 5.1 Generalitati

În categoria structurilor articulate plane, numite obişnuit grinzi cu zăbrele, intră acele structuri care, prin schematizare, se reduc la un sistem de bare prinse între ele în noduri, a cărei invariabilitate geometrică este asigurată cînd în toate nodurile legătura dintre bare se consideră făcută prin articulaţii perfecte. Se admite: (1) realizarea de articulaţii perfecte în noduri, astfel că în extremităţile barelor nu pot apărea

momente încovoietoare (2) axarea perfectă a barelor în nodul teoretic, astfel că acţiunile date de bare asupra nodului

formează un mănunchi de forţe concurente; (3) aplicarea forţelor numai asupra nodurilor, sub formă de forţe concentrate, caz specific

transmiterii indirecte a forţelor. Ultima ipoteză este în general îndeplinită, deoarece grinzile cu zăbrele au obişnuit în construcţii

rolul de elemente principale de susţinere. Pe acestea sprijină elemente aşezate transversal şi rezemate în noduri (pane la acoperişuri, antretoaze la poduri), astfel că sarcinile cu excepţia greutăţii proprii a barelor şi a acţiunii vîntului(la poduri) se transmit indirect.

Prima ipoteză se îndepărtează mult de realitate, deoarece în structurile reale prinderea barelor în nod este obişnuit rigidă. În trecut s-au construit poduri metalice la care s-au realizat articulaţii în noduri, dar experienţa a dovedit că asemenea articulaţii nu funcţionau ca atare atît datorită frecărilor cît şi ruginirii. S-a ajuns astfel la noduri rigide unde barele sînt prinse în nod prin intermediul unei piese speciale (guseu); prinderea se face prin nituire sau sudură, astfel că în nod unghiurile dintre bare devin invariabile. O situaţie asemănătoare se întîlneşte la construcţii în lemn, unde prinderea barelor se face obişnuit cu buloane sau cuie care rigidizează nodul. La construcţii de beton armat nodurile sînt monolitizate, astfel că barele rezultă încastrate una în alta.

Atît timp cît se consideră barele articulate în noduri şi transmiterea indirectă a sarcinilor, se obţin numai eforturi axiale. Axele barelor rămîn rectilinii în poziţia deformată a structurii, rezultă ca urmare a variaţiilor de lungime la bare, deoarece capetele acestora se pot roti în nodurile articulate. Rigiditatea nodurilor din structura reală conduce la o deformare mai complexă. Invariabilitatea unghiurilor dintre bare în nod face ca barele să sufere şi încovoiere. Rezultă că în barele structurii se dezvoltă concomitent atît eforturi axiale care sînt eforturile dominante cît şi momente încovoietoare care reprezintă eforturi secundare.

În rezolvarea practică se face împărţirea calculului în două etape: se consideră mai întîi structura avînd în noduri articulaţii perfecte şi se determină eforturile axiale din bare, apoi pe baza acestora se calculează variaţiile de lungime şi se determină configuraţia poziţiei deformate asupra căreia se introduce efectul rigidităţii nodurilor, din care se obţin eforturile secundare. Rezultă de aici că definirea dată structurilor articulate corespunde schematizării admise în prima etapă de calcul, pe baza căreia se pot determina eforturile dominante din bare.

În proiectare calculele se limitează obişnuit la această primă etapă pentru cele mai multe din construcţiile curente. Efectul eforturilor secundare rămîne în limite controlabile şi nu prea ridicate. Astfel la grinzi cu zăbrele metalice alcătuite din bare cu rigiditate redusă (lăţimea cel mult 1/10 din lungime) şi care sînt satisfăcător axate la noduri, efectul eforturilor secundare aduce corecţii ce rămîn de obicei inferioare unei cote de 10-15% din eforturile unitare. Astfel se pot considera în noduri articulaţii perfecte. Dacă se consideră materialul intrat în zona de comportare plastică, legătura rigidă în nod slăbeşte, astfel că modul cum lucrează efectiv structura se apropie de ipoteza simplificatoare a articulaţiilor.

Pentru structuri importante cum ar fi grinzi principale de poduri de deschideri mai mari, sau pentru grinzi cu zăbrele de beton armat care se execută în serie (elemente prefabricate), unde o

76

dimensionare cît mai riguroasă se impune, este necesar să se efectueze şi a doua etapă de calcul, introducînd efectul rigidităţii nodurilor.

Din definiţia grinzilor cu zabrele rezultă că o bară, situată între două noduri, este supusă la un sistem de forţe concurente numai la extremităţile ei. Sistemul de forţe se poate reduce la o rezultantă în fiecare capăt al barei, iar din condiţia de echilibru a barei rezultă că cele două rezultante trebuie sa fie coliniare, egale şi de sens contrar (fig.5.1a) Dacă bara este dreaptă (cazul uzual întîlnit în practică) forţa rezultantă R produce numai forţa axială în bară, care poate fi întindere sau compresiune, dupa sensul rezultantei(fig.5.1b). O bara din grinda cu zabrele introduce în calcule o singură necunoscută, forţa axiala N sau rezultanta R dirijată dupa linia care uneşte articulaţiile din capetele barei.

Fig.5.1 Reacţiuni în nodurile barelor grinzilor cu zăbrele

Realizarea practică a grinzilor cu zabrele nu satisface niciodată ipoteza admisă că barele sînt

perfect articulate în noduri (fig.5.2). Astfel, la grinzile cu zăbrele metalice prinderea barelor în noduri se realizează prin intermediul unor gusee. Grinzile cu zăbrele din beton armat se execută cu noduri rigide iar la grinzile cu zăbrele din lemn, barele se prind în noduri prin buloane, eclise.

Fig.5.2 Exemple de grinzi cu zăbrele

77

Deci, în toate cazurile practice nodurile grinzilor cu zabrele se realizează ca noduri rigide, ceea ce conduce la apariţia momentelor încovoietoare în bare. Încercările şi calculele efectuate pe grinzi cu zabrele au scos în evidenţă că dimensiunea mare a secţiunii transversale a barei este mai mică decît 1/10 din lungimea barei, efectul nodului rigid poate fi considerat ca un efect secundar, în comparaţie cu eforturile calculate în ipoteza ca nodurile sînt perfect articulate. La grinzile cu zabrele din beton armat trebuie să se ţină seama şi de momentele încovoietoare care apar ca urmare a rigidităţii nodului. Rezolvarea corectă a structurilor cu zăbrele necesită calculul forţelor axiale, care constituie eforturile dominante şi calculul momentelor încovoietoare care constituie o problema de analiză a unei structuri static nedeterminate. Calculul forţelor axiale în ipoteza nodurilor perfect articulate se rezolvă pentru toate grinzile cu zăbrele. În afară de ipoteza simplificatoare că zăbrelele sînt articulate în noduri, la definirea grinzilor cu zăbrele, s-a mai considerat că toate axele barelor concură într-un singur punct, denumit nod teoretic, şi că forţele exterioare se aplică numai în aceste noduri. În practică, centrarea barelor în nodul teoretic se poate realiza în majoritatea cazurilor, uneori sînt însă necesare mici dezaxări (la grinzile cu zăbrele cu deschideri mari , la grinzile cu zăbrele din lemn), care conduc la apariţia unor momente încovoietoare locale. Cînd forţele exterioare sînt aplicate şi între noduri, acestea se înlocuiesc cu rezultantele lor aplicate în noduri şi separat se ţine seamă de efectul încovoierii barei intre noduri. 5.2 Condiţii de determinare statică şi invariabilitate geometrică

Analiza alcătuirii constructive a grinzilor cu zăbrele în ipoteza nodurilor articulate necesită verificarea amănunţită a asigurării invariabilităţii geometrice a structurii. Pentru aceasta este necesar să se verifice dacă structura are invariabilitatea geometrică asigurată, independent de baza de rezemare de care se leagă, sau dacă structura are invariabilitatea geometrică şi fixarea în plan asigurate numai împreună cu legăturile faţă de baza de rezemare. Dacă lungimea barelor grinzii cu zăbrele se consideră fixă, adică se neglijează deformarea acestora sub acţiunea forţelor exterioare, atunci cea mai simplă construcţie cu noduri articulate care are invariabilitatea geometrică asigurată este triunghiul. De două noduri ale triunghiului se mai poate fixa prin intermediul a două bare articulate încă un nod (fig.5.3) şi aşa mai departe. Pentru fiecare nod nou în afara primelor trei noduri, sînt necesare numai două bare. Dacă se notează cu n numărul total de noduri şi cu b numărul de bare al grinzii cu zăbrele, între acestea există relaţia:

32)1.5( −= nbK

Fig.5.3 Dezvoltarea unei grinzi cu zăbrele faţă de un triunghi elementar

care stabileşte legătura între numărul nodurilor şi numărul barelor pentru o grindă cu zăbrele cu invariabilitatea geometrică asigurată. Dacă 32 −> nb structura are mai multe bare decît numărul minim necesar, iar dacă 32 −< nb , structura are mai puţine bare decît numărul minim necesar, iar dacă 32 −< nb structura are mai puţine bare decît numărul minim pentru a forma o structură invariabilă geometric. Pentru stabilirea numărului de legături interioare, trebuie analizată situaţia fiecărui nod al grinzii cu zăbrele. Astfel, dacă în nod concură numai două bare, acestea formează o singură

78

articulaţie interioară şi introduce două legături în calcule. Însă cînd în nod se întîlnesc mai multe bare , numărul articulaţiilor din nod este egal cu numărul barelor care concură în nod din care se scade o bară. Un astfel de nod va fi echivalent cu a=(k-1) articulaţii simple şi va introduce în calcul un număr de legături interioare li=2a=2(k-1), în care k este numărul barelor care concură într-un nod al grinzii cu zăbrele, iar a-numărul articulaţiilor simple dintre două bare. Astfel relaţia se poate scrie sub forma:

332)2.5( −= baK care reprezintă condiţia de invariabilitate geometrică proprie a grinzii cu zăbrele şi este analoagă cu relaţia (5.1). Pentru fixarea grinzii de baza de rezemare mai este necesar un număr minim de r=3 legături exterioare. Înseamnă că numărul minim de legături interioare şi exterioare pentru a obţine o structură cu zăbrele , care are invariabilitatea geometrică şi fixarea în plan asigurate se verifică cu relaţia:

rbn +=2)3.5( K Analizî nd relaţia (5.3) se constată că în partea dreaptă există numărul de necunoscute al

problemei, adică eforturile din bare şi reacţiunile din reazeme, iar în partea stîngă numărul de ecuaţii de echilibru static disponibile pentru calculul acestor necunoscute. Dacă numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuaţii de echilibru static grinda cu zăbrele este static determinată, iar dacă numărul de necunoscute este mai mare ca numărul ecuaţiilor posibile, grinda cu zăbrele este static nedeterminată. Gradul de nedeterminare statică este egal cu diferenţa între numărul de necunoscute şi numărul ecuaţiilor de echilibru static. Pentru exemplificare se aplică relaţiile (5.1) şi (5.3) la structurile cu zăbrele din fig. (5.4).

Fig.5.4 Exemple de grinzi cu zăbrele

Rezultă că grinda cu zăbrele din fig.5.4a cu n=10, b=17,r=3 are invariabilitatea geometrică

proprie asigurată fără rezemări şi totodată posedă şi numărul minim de legături exterioare. Satisfacerea condiţiilor (5.1) şi (5.3) este necesară, dar nu suficientă deoarece nu dă indicaţii referitoare la modul de dispunere al legăturilor interioare şi exterioare. Grinda cu zăbrele din fig.5.4b cu n=8, b=13,r=3 verifică condiţiile (5.1) şi (5.3) însă prin dispunerea greşită a diagonalei 3-4 în panoul 2-3-5-4, rezultă un mecanism în panoul 4-5-7-6. Prin urmare pentru obţinerea unei grinzi cu zăbrele corect alcătuite nu este suficientă numai verificarea condiţiilor (5.1) şi (5.3) ci trebuie ca barele să fie corect dispuse.

79

Astfel grinda cu zăbrele din fig. 5.4c are n=13, b=22, r=4, se observă că structura fără legăturile exterioare din rezemări nu are invariabilitatea geometrică proprie asigurată, panoul 8-11-12-13 rotindu-se în jurul articulaţiei 8. Dacă se verifică relaţia (5.3) rezultă că împreună cu legăturile exterioare grinda cu zăbrele din fig. 5.4c este o structură cu invariabilitate geometrică şi fixarea în plan asigurate. Grinda cu zăbrele din figura 5.4d are n=14, b=24,r=4 şi numai împreună cu legăturile exterioare constituie o structură cu invariabilitatea geometrică şi fixarea în plan asigurate. Grinda cu zăbrele din figura 5.4e este un mecanism cu un grad de libertate interior deoarece are n=23, b=42, r=3 şi din verificarea condiţiilor (5.1) şi (5.3) rezultă b<2n-3 sau b+r<2n. Structura cu zăbrele din fig.5.4f are invariabilitatea geometrică şi fixarea în plan asigurate aşa cum se obţine din condiţiile (5.2) şi (1.2) care permit analiza structurii pentru a=19, b=33 şi r=3.

În continuare se vor prezenta căile de identificare a structurilor cu zăbrele care au formă critică. Alcătuirea corectă a unei grinzi cu zăbrele trebuie să urmărească formarea de triunghiuri juxtapuse şi uneori partial suprapuse . Considerînd secţionate toate barele care concură în nodul i efectul acestora asupra nodului se reduce la forţele axiale Nij din barele concurente în nod. Ecuaţia de echilibru a nodului se scrie vectorial astfel:

∑=

=+k

jiji NP

1

0)4.5( K

care este echivalentă cu două ecuaţii de proiecţii: ∑ ∑ == 0;0)4.5( ii YXa KK

5.3 Clasificarea structurilor plane cu zăbrele

Structurile cu zăbrele se întîlnesc în practică într-o varietate mare de forme. La o asemenea structură se deosebesc barele care mărginesc structura cu zăbrele numite tălpi care după poziţia lor sînt talpa superioară S şi talpa inferioară I, barele care leagă tălpile între ele numite zăbrele ; cele înclinate se numesc diagonale D iar cele verticale se numesc montanţi V. După modul de alcătuire structurile cu zăbrele se împart în următoarele categorii: -structuri articulate simple formate dintr-o succesiune de triunghiuri, două cîte două cu o latură comună, fără ca suprafaţa triunghiurilor să se suprapună(fig.5.5a..g) care pot avea forma conturului: #cu tălpi paralele (fig.5.5a,b,c) # cu tălpi poligonale şi eventual curbe (obişnuit numai nodurile se află pe o curbă, barele între noduri se execută drepte) fig. 5.5d,e,f,h

După modul de distribuţie al zăbrelelor , structurile articulate simple pot fi: # sistem triunghiular (fig.5.5a,b,d,e,f,h) # sistem dreptunghiular (fig.5.5g) # cu diagonale în K(fig.5.5c)

80

Fig.5.5 Tipuri de grinzi cu zăbrele

-structuri articulate compuse alcătuite din combinarea sau suprapunerea mai multor structuri articulate simple, în aşa fel încît să rezulte o structură cu invariabilitate geometrică asigurată. Astfel, grinda din fig.5.6a este alcătuită din două grinzi cu zăbrele sistem triunghiular legate între ele prin bara 4-10 şi articulaţia interioară 9. Grinda cu zăbrele din fig.5.6b, numită grindă cu bare suplimentare este alcătuită din introducerea peste o structură principală a unei substructuri secundare forma 0-1-3-2 în fiecare panou.

Fig.5.6 Structuri articulare compuse

-structuri articulate complexe, alcătuite din legarea invariabilă a nodurilor după alte reguli faţă de primele două categorii. Astfel structura din fig.5.7a nu este alcătuită dintr-o juxtapunere de triunghiuri şi nu poate fi descompusă în structuri articulate simple.

81

Fig.5.7 Structuri articulare complexe

5.4 Metoda izolării nodurilor În această metodă se consideră izolat fiecare nod al grinzii cu zăbrele, prin secţionarea

tuturor barelor care concură în nod. În locul barelor secţionate se introduc eforturile axiale, considerate de întindere. Asupra fiecărui nod acţionează un sistem de forţe concurente format din forţele exterioare (acţiuni directe, reacţiuni) şi din forţele axiale necunoscute din barele secţionate.

Condiţia de echilibru a fiecărui nod permite scrierea a două ecuaţii de echilibru static, iar pentru o grindă cu zăbrele cu n noduri se pot scrie 2n ecuaţii din care se determină eforturile necunoscute şi reacţiunile. În practică, metoda izolării nodurilor nu se foloseşte sub această formă, deoarece conduce la un calcul laborios. Evitarea sistemului de 2n necunoscute se face calculînd mai întîi reacţiunile şi alegînd ordinea în care se scriu ecuaţiile de echilibru pentru noduri, în aşa fel încît să se obţină numai două necunocute în fiecare nod. Rezolvarea grinzii cu zăbrele se începe din nodul în care concură numai două bare şi apoi folosind rezultatele obţinute, se continuă calculul parcurgînd nodurile în aşa fel încît să rezulte de fiecare dată maximum două eforturi necunoscute.

Analizînd structurile articulate simple se constată că acestea satisfac condiţia de existenţă a numai două eforturi necunoscute în fiecare nod. Rezultă că metoda izolării nodurilor este o metodă de calcul specifică structurilor articulate simple. Pentru calculul eforturilor în barele grinzii cu zăbrele , după calculul reacţiunilor, mai rămîn 2n-3 ecuaţii de echilibru pentru nodurile structurii. Deci, la penultimul nod se mai poate determina o singură necunoscută, pentru că o ecuaţie de la acest nod împreună cu ecuaţiile de echilibru scrise pentru ultimul nod servesc drept ecuaţii de verificare. Dezavantajul metodei constă în aceea că o greşeală efectuată pe parcurs se va repercuta asupra calculului ulterior şi nu va fi descoperită decît în final, la verificarea ultimului nod. Deoarece nu se ştie unde anume s-a greşit , calculul trebuie reluat de la primul nod. Pentru a evita asemenea situaţii pe parcurs se pot face verificări, prin metoda secţiunilor, aşa cum se va vedea mai departe. În calculul practic, deoarece nu se cunoaşte de la început natura eforturilor din bare-întindere sau compresiune- se consideră iniţial că toate eforturile necunoscute sînt eforturi de întindere. Dacă din calcul rezultă pentru unele eforturi semnul minus înseamnă că aceste eforturi sînt în realitate eforturi de compresiune. Pentru anumite ipoteze de încărcare pot exista bare în care efortul să fie egal cu zero. Sînt unele situaţii particulare care permit să se depisteze aceste bare, din analiza condiţiei de echilibru al nodului şi anume:

82

-dacă într-un nod concură două bare de direcţii diferite şi în nod nu sînt aplicate forţe exterioare, eforturile în cele două bare sînt nule (condiţia de echilibru a nodului presupune ca forţele să fie coliniare, egale şi de sens contrar sau nule).

- dacă în nod concură trei bare, din care două sînt în prelungire, iar în nod nu sînt aplicate forţe exterioare, efortul în cea de-a treia bară este nul.

- cînd în nod concură trei bare, din care două sînt în prelungire şi în nod se aplică o forţă exterioară de direcţie oarecare, efortul în bara a treia se determină din ecuaţia de proiecţie după normala la barele în prelungire.

5.5 Metoda secţiunilor

Prin intermediul acestei metode se pot determina eforturile din una sau mai multe bare, fără să fie nevoie să se cunoască eforturile din alte bare.

În metoda secţiunilor, se secţionează structura şi se scriu ecuaţiile de echilibru static pentru una din cele două substructuri rezultate. Deoarece în plan se pot scrie trei ecuaţii de echilibru static, înseamnă că secţiunea realizată prin structură trebuie să taie maximum trei bare, pentru ca aceste eforturi să poată fi determinate. Înainte de a trece la calculul eforturilor din bare se determină reacţiunile, astfel încît în secţiunea efectuată să apară ca necunoscute numai eforturile din trei bare. Cele trei bare nu trebuie să fie concurente într-un punct sau paralele, deoarece în acest caz nu se asigură legarea invariabilă a celor două porţiuni. În acest caz numai două ecuaţii de echilibru static sînt independente. A treia ecuaţie este o combinaţie a celorlalte două. Izolarea unei substructuri se face prin secţionarea barelor care leagă cele două substructuri şi introducerea forţelor axiale din aceste bare, în nodurile de la extremităţile lor. Problema care trebuie rezolvată în metoda secţiunilor constă în determinarea rezultantei forţelor exterioare (acţiuni directe şi reacţiunile din reazeme) pe una din substructuri şi exprimarea echilibrului acestei rezultante în funcţie de eforturile din barele secţionate. Scrierea ecuaţiilor de echilibru static, pentru porţiunea izolată din grinda cu zăbrele, trebuie făcută în aşa fel încît să conducă la ecuaţii cît mai simple. Pentru simplificarea calculelor este indicat ca fiecare ecuaţie să conţină numai o singură necunoscută, şi în acest scop se scriu următoarele ecuaţii de echilibru static:

-ecuaţii de momente în raport cu punctele de intersecţie a cîte două din cele trei bare secţionate;

-ecuaţii de momente pentru calculul eforturilor din tălpi şi ecuaţii de proiecţii după normala la tălpi pentru calculul eforturilor din diagonale, la grinzile cu zăbrele cu tălpi paralele. Exemplul 1: Pentru grinda cu zăbrele din figura 5.8 să se determine eforturile din barele grinzii cu zăbrele (în secţiunea I-I) folosind metoda secţiunilor.

83

Fig.5.8 Metoda secţiunilor

∑ =→= KN20H0X 1i

( ) KN20V0410820121532016V0M 119=→=⋅−⋅−⋅−⋅+⋅→=∑

( ) KN25V016V121012204153200M 991=→=⋅−⋅+⋅+⋅+⋅→=∑

( ) 33,55N03204158203N0M 46465−=→=⋅+⋅−⋅+⋅→=∑

( ) KN66,46N03204203N0M 35354=→=⋅+⋅+⋅−→=∑

KN33,86,0

5sin

5N0sinN15200Y 4545i ==α

=→=α−−→=∑

( ) KN6,46N03204203N0M 35354=→=⋅+⋅+⋅−→=∑

( ) KN66,46N03N3204200M 24243=→=⋅−⋅+⋅→=∑

∑ −=→=+−→= KN5N0N15200Y 3434i

Fig.5.9 Sectiuena I-I (a) şi secţinea II-II (b)

Exemplul 2: Pentru grinda cu zăbrele din fig.5.10 să se determine eforturile din toate barele prin metoda izolării nodurilor.

84

Fig.5.10 Metoda izolării nodurilor

P75,0V04P33P28V0M 115 =→=⋅⋅−⋅+⋅→=∑

∑ ⋅=→= P2H0X 1i

∑ =⋅−⋅+⋅→= 08V4P33P20M 51

6,053sin ==α ; 8,0

54cos ==α

Nod 1: ∑ =→=+−→= P2N0NP20X 1313i

∑ =→=−→= P75,0N0NP75,00Y 1212i Nod 2: ∑ =→=⋅−→= P25,1N06,0NP75,00Y 2323i

P3N08,0P25,1NP20X 2424i =→=⋅+−→=∑ Nod 3: ∑ =→=⋅+α+−→= 75,3N06,0NsinP25,1P30Y 3636i

∑ =→=+⋅+⋅−−→= 0N0N8,0P75,38,0P25,1P20X 3535i Nod 6:

P25,2N06,0P75,3N0Y 5656i =→=⋅−→=∑ Exemplul 3: Grinda cu zăbrele cu tălpi paralele

Pentru aplicarea metodei secţiunilor la grinda cu zăbrele cu tălpi paralele (fig.5.11) se efectuează secţiunea I-I prin grindă, se suprimă barele 3-5, 3-4 şi 2-4 care se înlocuiesc cu eforturile de întindere 342435 ,, DIS .Pentru calculul efortului din bara 3-5 se foloseşte ecuaţia de momente în raport cu nodul 4.

hMSMhSPVhS

o4

350

435035 ;22 −=+=−+ λλ

hMIMhIVhI

03

240

324024 ;0 ==+−=+− λ

∑ −− ==+−=−+−=

γγγ

sin;0sin2sin

042

340

4234034TDTDPVDY

85

∑ −==+=−+= IIII TVTVPVVY 4545045 ;03 0

35450

3545 ; TVTV −=+ 0

46450

4645 ;0 TVTV −==+ Efortul din talpa inferioară 2-4 se obţine din ecuaţia de momente în raport cu nodul 3.

Pentru a calcula efortul din diagonală se scrie o ecuaţie de proiecţii după normala la tălpi, luînd în considerare forţele de pe substructura din stînga secţiunii I-I.

Se observă că eforturile în diagonalele grinzii cu zăbrele se calculează din forţa tăietoare T0 a grinzii orizontale corespunzătoare. Eforturile în diagonalele descendente sînt de întindere, iar în diagonalele ascendente sînt de compresiune. Variaţia eforturilor în succesiunea de diagonale este dată de variaţia forţei tăietoare din grinda orizontală înlocuitoare. Efortul din diagonala D3-4 se calculează uşor şi pe cale grafică, dacă prin extremitatea lui T24

0se duce o paralelă cu diagonala pînă intersectează linia de referinţă. Calculul efortului din montantul 4-5 necesită o secţiune prin grinda cu zăbrele de forma II-II şi scrierea ecuaţiei de proiecţii după normala la axele tălpilor pentru forţele din stînga secţiunii. În calculele prezentate mai sus s-a notat cu TII=V0-3P proiecţia pe verticală a tuturor forţelor situate în partea stîngă a secţiunii II-II care este asemănătoare unei forţe tăietoare. Pentru a exprima efortul din montant în funcţie de forţa tăietoare de la grinda orizontală corespunzătoare este necesar să se precizeze pe care talpă sînt aplicate forţele. Eforturile în montanţii din reazeme şi montantul central se determină din izolarea nodurilor 0,7 şi 12, rezultînd că eforturile sînt de compresiune şi egale cu forţele aplicate în aceste noduri.

La calculul eforturilor în structurile cu zăbrele care au diagonale în K se foloseşte metoda secţiunilor combinată cu metoda izolării nodurilor.

Fig.5.11 Grinda cu zăbrele cu tălpi paralele

86

Exemplul 4: Să se determine eforturile din barele grinzii cu zăbrele din figura 5.12 folosind metoda izolării nodurilor.

833,0sin =α ; 555,0cos =α

Nod 1: ∑ =→=⋅−→= 18N0833,0N150Y 1212i

∑ =→=⋅−→= 10N0555,018N0X 1313i Nod 2: ∑ −=→=α⋅+⋅→= KN18N0sinN833,0180Y 2323i ∑ =→=α⋅+α⋅+−→= KN20N0cos18cos18N0X 2424i

87

CAP.6 UTILIZAREA PRINCIPIULUI LUCRULUI MECANIC VIRTUAL

Exprimarea stării de echilibru pentru un sistem oarecare, supus acţiunii unui ansamblu de forţe, se poate face folosind principiul deplasărilor virtuale cunoscut din Mecanică. Pe această bază se dezvoltă întregul studiu al echilibrului, obţinîndu-se metode de lucru care conduc la soluţii simple, sugestive şi elegante.

Pentru precizarea noţiunii de deplasare virtuală, aşa cum aceasta intervine în calculul structurilor, considerăm un sistem oarecare avînd unul sau mai multe grade de libertate. Un asemenea sistem avînd mai puţine legături decît cel minim necesare asigurării indeformabilităţii geometrice şi fixării în plan, înseamnă că din alcătuirea sa rezultă posibilităţi de deplasare cinematică, fiind de fapt un mecanism. Legăturile existente îi pot permite să ia anumite poziţii deplasate, în timp ce îl împiedică de a lua altele. Primul caz se referă la deplasări compatibile cu legăturile, în timp ce deplasările care s-ar putea imagina, dar care nu sînt permise de legăturile existente, reprezintă deplasări incompatibile.

Fiecare grad de libertate existent în alcătuirea sistemului permite o deplasare distinctă compatibilă cu legăturile. Pentru sisteme avînd un singur grad de libertate, imaginea deplasărilor corespunzătoare este arătată în fig.6.1. Deplasarea poate fi dată într-un sens sau celălalt, ambele alternative constituind de fapt o singură deplasare distinctă permisă de legături. Pentru sisteme avînd mai multe grade de libertate, se pot obţine variate posibilităţi de deplasări compatibile cu legăturile, dar numărul deplasărilor distincte este egal cu cel al gradelor de libertate, orice altă deplasare putînd fi obţinută din acestea prin combinare.

Pentru exemplificare fie sistemul din fig.6.1 care are două grade de libertate (d=3x2+2x2-3x4=-2)

88

Fig.6.1 Sisteme avînd un singur grad de libertate

Menţinînd fixe barele 1-2 respectiv 4-5, rezultă posibilităţile de deplasare I şi II compatibile

cu legăturile. Alte deplasări posibile sînt de exemplu III şi IV, dar se constată uşor că deplasarea III rezultă din suprapunerea deplasărilor I şi II în timp ce deplasarea IV se obţine suprapunînd deplasarea II, dată în sens invers, cu deplasarea I. Situaţii asemănătoare se întîlnesc la orice alte sisteme avînd grade de libertate. Posibilităţile de deplasări distincte compatibile cu legăturile constituie astfel o caracteristică de alcătuire a unui sistem, în funcţie de numărul gradelor de libertate care rezultă din distribuirea legăturilor.

Fie acum un sistem oarecare-avînd grade de libertate, supus unui ansamblu de forţe, distribuit astfel încît sub acţiunea acestuia sistemul se găseşte în echilibru. Datorită stării de echilibru acţiunea forţelor aplicate nu dă sistemului nici o deplasare cinematică reală. Se poate totuşi imagina că independent de acţiunea forţelor exterioare s-ar da sistemului o deplasare foarte mică, compatibilă cu legăturile, care să-l ducă într-o poziţie infinit vecină. O asemenea deplasare poartă numele de deplasare virtuală şi trebuie înţeleasă ca o deplasare posibilă infinit mică, permisă de legăturile existente în sistem, dar independentă de modul de acţiune al forţelor aplicate, care se găseşte în echilibru.

Înseamnă că posibilităţile de deplasări compatibile cu legăturile, care rezultă din modul de alcătuire a sistemelor cu grade de libertate, reprezintă deplasări virtuale ce pot fi date acestor sisteme. O deplasare virtuală trebuie văzută ca deplasarea infinit mică de la începutul unei mişcări,

89

astfel că direcţia deplasării unui punct al sistemului coincide cu direcţia vitezei din acel punct. Studiul deplasărilor virtuale se va face deci după legile cinematicii pentru mişcări infinit mici.

Pentru o deplasare virtuală dată unui sistem, aflat în echilibru sub acţiunea unui ansamblu de forţe, corespunde o cantitate de lucru mecanic elementar datorită parcurgerii de către forţe a deplasărilor corespunzătoare. Acest lucru mecanic se numeşte lucru mecanic virtual şi poate fi evaluat pe baza relaţiei :

0PM0dL iiii =η+ψ→= ∑ ∑ Condiţia de mai sus serveşte la exprimarea ecuaţiilor de echilibru ale unui sistem oarecare.

Pentru fiecare deplasare virtuală dată se poate scrie o asemenea ecuaţie. Numărul de ecuaţii diferite de echilibru ce se pot obţine pentru un sistem este egal cu numărul deplasărilor virtuale distincte care pot fi date acestuia, deci cu numărul gradelor de libertate ale sistemului.

Ecuaţiile de echilibru, scrise pe baza folosirii principiului deplasărilor virtuale, stabilesc corelaţii directe între diferitele forţe active care acţionează asupra sistemului. Prin aceasta caracterul lor diferă de cel al ecuaţiilor de echilibru examinate anterior (ecuaţii de proiecţii şi de momente) conducînd la obţinerea unui instrument de operare mai adecvat interpretărilor de ansamblu ale fenomenelor studiate.

Deplasările virtuale au un caracter cinematic deoarece sînt date unor sisteme avînd grade de libertate. Porţiunile componente ale sistemului sînt considerate corpuri rigide, iar în ecuaţia 0=dL intră numai forţe exterioare active. În acest mod, utilizarea ecuaţiei serveşte la exprimarea condiţiei de echilibru static.

Domeniul de aplicare al principiului deplasărilor virtuale cuprinde şi posibilitatea exprimării condiţiei de echilibru static. Pentru aceasta se dau deplasări virtuale unor sisteme care nu conţin grade de libertate (sînt static determinate sau static nedeterminate). Condiţia de compatibilitate cu legăturile conduce la deplasări virtuale cu caracter elastic, reprezentate de anumite poziţii deformate. Aici trebuie considerată starea de echilibru dintre forţele exterioare şi forţele interioare, acestea figurînd împreună în ecuaţia de echilibru.

La un sistem cu grade de libertate, echilibrul nu este posibil pentru sarcini oarecare, ci numai pentru anumite situaţii particulare de încărcare. De fapt, structurile care se studiază în Statica construcţiilor nu au grade de libertate, dar ele pot fi reduse la sisteme de acest fel prin suprimarea unor anumite legături, punînd în evidenţă forţele de legătură respective. Aceste forţe de legătură intră deci în categoria forţelor active, iar mărimile lor trebuie să fie astfel încît să asigure echilibrul sistemului. Exprimarea condiţiei de echilibru prin deplasări virtuale conduce la ecuaţii în care nu intervin celelalte forţe de legătură, corespunzătoare legăturilor menţinute. Se stabilesc astfel relaţii de condiţie numai între sarcini şi forţele de legătură puse în evidenţă, care sînt singurele necunoscute. Este uşor de văzut supleţea procedeului, care introduce în ecuaţii numai necunoscutele dorite.

Cînd structura dată este static determinată, numărul necunoscutelor puse în evidenţă este egal cu numărul gradelor de libertate care rezultă prin suprimarea legăturilor respective. Deoarece pentru fiecare grad de libertate se poate scrie prin deplasări virtuale o ecuaţie de echilibru, înseamnă că se obţin ecuaţiile necesare pentru aflarea necunoscutelor. Cînd structura este static nedeterminată, obţinerea unui sistem cu un anumit număr de grade de libertate impune suprimarea unui număr mai mare de legături, surplusul fiind egal cu numărul legăturilor suplimentare. În acest caz, ecuaţiile de echilibru scrise prin deplasări virtuale conduc numai la stabilirea unor relaţii de condiţie între necunoscutele puse în evidenţă, necesare pentru asigurarea echilibrului.

Se consideră un mecanism, adică o structură cu mai puţine legături decît numărul minim necesar pentru a obţine o structură invariabilă geometric şi corect fixată în plan, caracterizată prin posibilităţi de deplasare cinematică. Legăturile existente în această structură permit ca să ocupe anumite poziţii deplasate, deplasări numite deplasări compatibile cu legăturile. Dacă asupra unei structuri mecanism acţionează un sistem de forţe în echilibru, nu se produc deplasări cinematice. Se poate imagina că structurii i se imprimă o deplasare foarte mică, care aduce structura într-o poziţie infinit vecină. O astfel de deplasare infinit mică, compatibilă cu legăturile

90

structurii şi independentă de forţele în echilibru aplicate pe structură, poartă numele de “deplasare virtuală”. Starea de echilibru a unei structuri supusă unui sistem de forţe oarecare se poate exprima şi folosind principiul deplasărilor virtuale: condiţia necesară şi suficientă ca o structură să fie în echilibru este ca suma lucrurilor mecanice virtuale produse de toate forţele aplicate pe structură, să fie nulă pentru orice deplasare virtuală, compatibilă cu legăturile.

Lucrul mecanic al unei forţe este produsul dintre forţa (P) şi proiecţia deplasării punctului său de aplicaţie pe direcţia forţei (dη), iar lucrul mecanic al unui moment este produsul dintre un moment (M) şi rotatia corpului (dψ), pe care actionează momentul. Deplasările sînt infinit mici, şi se utilizează simbolurile η şi ψ.

Astfel este necesară trasarea diagramelor de deplasare virtuală pe orizontală şi pe verticală. În calculul practic se pleacă de la o deplasare generalizată considerată unitară. În funcţie de această deplasare se calculeză rotaţiile tuturor corpurilor şi deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor şi ale rezultantelor încărcărilor uniform distribuite. 6.1 Centre absolute de rotaţie. Centre relative de rotaţie

Centrul instantaneu de rotaţie îl reprezintă punctul în jurul căruia se produce rotaţia corpului. Centrul instantaneu de rotaţie al unui corp se află pe normala la direcţia vitezei punctelor corpului. Pentru sistemele de corpuri, determinarea poziţiei centrelor instantanee, se realizează cu ajutorul teoremei de coliniaritate , teoremă care se enunţă astfel: la sistemele cinematice plane, trei centre instantanee de rotaţie, a trei corpuri oarecare, sînt coliniare. Baza de susţinere se consideră ca un corp. Pentru exemplificare se consideră sistemul cinematic, cu un grad de libertate din fig.6.2.

Fig.6.2 Sistem cinematic cu un grad de libertate

Numărul de grade de libertate cinematică se obţine cu relaţia: N=3C-A-2S, N=3x1-4-0= -1 Deoarece N<0 rezultă că sistemul este un mecanism cu un grad de libertate. Se porneşte de la o rotire ψ1 a corpului I în jurul centrului 1p. Articulaţia 12 este punct comun al I şi II, are o singură deplasare şi o singură viteză. Centrul de rotire al corpului II, şi anume

91

2p, se află pe normala la viteza v1 deci în prelungirea direcţiei 1p-12. Corpul III se roteşte în jurul centrului 3p, iar articulaţia 23, comună corpurilor II şi III, are o singură deplasare şi o singură viteză. Centrul de rotire al corpului II, 2p se află pe normala la viteza v3 deci în prelungirea direcţiei 3p-23. Rezultă că trei centre instantanee de rotaţie sînt coliniare. Astfel putem definii: -centre absolute- caracterizate prin aceea că viteza lor absolută este egală cu zero; -centre relative – caracterizate prin aceea că viteza relativă este egală cu zero. Teorema de coliniaritate a centrelor instantanee de rotaţie se poate enunţa în următoarele moduri: -centrele absolute a două corpuri şi centrul relativ corespunzător sînt coliniare; -centrele relative a trei corpuri sînt coliniare. Schematizarea teoremei de coliniaritate se poate face în modul următor: 1p-12-2p sau 12-13-23 Poziţia unui centru absolut sau a unui centru relativ se poate obţine prin intersecţia a două direcţii. În cazul mecanismului din figura 6.2 centrul absolut al corpului II se află la intersecţia direcţiilor:

ppppp

332211222

KK

KKK

iar centrul relativ 13 se află la intersecţia direcţiilor:

321213311313

KK

KKK

pp

În cazul în care un corp este legat articulat de baza de rezemare atunci în acea articulaţie se află centrul absolut al corpului respectiv. Centrele absolute ale corpurilor care nu se încadreză în această situaţie se determină prin intermediul teoremei de coliniaritate.

Pentru a evalua lucrul mecanic virtual produs de un sistem de forţe, este necesar să se cunoască deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor şi rotirile corpurilor. Aceste elemente se pot obţine din aşa numitele diagrame de deplasări, diagrame care se reprezintă în raport cu două axe normale: orizontală şi verticală. Elementul esenţial în această operaţie îl constituie cunoaşterea legii de variaţie a deplasărilor punctelor corpurilor. Concluzii:

-diagramele de deplasări virtuale se anulează în punctele în care centrele absolute se proiectează pe axele de referinţă;

-centrele relative a două corpuri reprezintă practic punctul cu deplasare comună; -variaţiile liniare ce delimitează deplasările unui corp în cele două diagrame (orizontală şi

verticală) sînt la nivelul lor normale.Prin această modalitate se poate face verificarea corectitudinii diagramelor de deplasări virtuale.

-orice deplasare,rotaţie sau translaţie, se determină prin relaţii liniare funcţie de deplasarea unitară de la care s-a plecat. 6.2 Determinarea reacţiunilor şi eforturilor pentru structuri static determinate

Pentru determinarea unui efort sau a unei reacţiuni prin folosirea principiului lucrului mecanic virtual este necesar ca structura static determinată să se transforme într-un mecanism prin eliminarea legăturii corespunzătoare efortului căutat. În locul legăturii eliminate se va introduce echivalentul mecanic.

Mecanismului astfel obţinut, aflat de altfel în echilibru sub acţiunea forţelor date şi a necunoscutei respective, i se dă o deplasare virtuală unitară şi din condiţia de lucru mecanic virtual egal cu zero dL=0, se determină efortul sau reacţiunea căutată:

∑ ∑ =++ 0)3.6( jjiis MPS ψηδK unde S reprezintă mărimea statică necunoscută, iar δs deplasarea pe direcţia sa de acţiune-translaţie ηs sau rotire ψs.

92

Pentru ca un efort să apară în ecuaţia de echilibru (6.3) trebuie pus în evidenţă. Aceasta se realizează suprimînd legătura corespunzătoare aşa cum se arată în fig. 6.3

Fig.6.3 Eliminarea legăturilor corespunzătoare eforturilor N,T,M

Exemplul 1. Pentru grinda Gerber din fig. 6.4 să se calculeze V2,M2, T2-ε, utilizînd principiul lucrului mecanic virtual.

Fig.6.4 Calcul eforturi prin deplasări virtuale pentru o grindă Gerber

93

Calculul reacţiunii V2 În cazul de faţă mecanismul se obţine eliminînd legătura corespunzătoare reacţiunii V2. Pe direcţia reacţiunii V2 se consideră o deplasare unitară, mecanismul fiind format din două corpuri. Centrul absolut al corpului I este în punctul 1 iar al corpului II în punctul 4.

Pe baza deplasării unitare de la care s-a plecat se poate calcula rotaţia corpului I: 121

1 =ψ ;

Deplasarea comună ηdintre corpul I şi corpul II se calculează pentru a se putea obţine

rotaţia 2ψ : 1215151 =⋅ψ=η ;

91215

92 ⋅=

η=ψ ;

21

126611 ==⋅ψ=η

125,135,1312 =⋅ψ=η

1085,675,423 =⋅ψ=η

10845324 =⋅ψ=η

Condiţia de lucru mecanic virtual este egal cu zero are forma: ∑ ∑ =ψ⋅+η⋅ 0MP jjii KN75,118V01V30603101210 224321 =→=⋅+η⋅+η⋅−η⋅⋅−η⋅⋅−

Calculul momentului încovoietor M2. Se obţine mecanismul cu un grad de libertate

eliminînd legătura corespunzătoare momentului încovoietor M2, aşa cum s-a reprezentat în fig.6.5b. Grinda 1-2 este fixă, deci mecanismul se formează pe porţiunea de la secţiunea 2 spre dreapta şi este compus din două corpuri. Centrele de rotaţie cunoscute sînt centrul absolut 1p şi centrul relativ 12 . Centrul absolut al corpului II se află în reazemul 4.

Se dă o deplasare virtuală corpului I, ψ1 iar deplasările celorlalte corpuri rezultă din condiţia ca într-un centru relativ deplasările a două corpuri sînt egale, iar într-un centru absolut deplasarea este egală cu zero.

11 =ψ ; 331 =⋅ψ=η ; 31

93

92 ==η

=ψ

35,45,422 =⋅ψ=η ; 1333 =⋅ψ=η ; 5,111 ⋅ψ=η

KNm105M03060310M 232112 −=→=η⋅−η⋅+η⋅⋅+ψ⋅ Semnul minus obţinut pentru momentul încovoietor indică faptul că în realitate sensul acestui moment este invers decît cel considerat iniţial, respectiv fibra întinsă va fi fibra superioară.

Calculul forţei tăietoare T2-ε . Mecanismul corespunzător calculului forţei tăietoare T2-ε este reprezentat în fig. 6.6c şi este format din trei corpuri. Caracteristica acestui mecanism este aceea că pentru orice deplasare dată, corpurile I şi II legate prin două legături paralele, vor fi paralele- respectiv centrul relativ 12 se află la infinit pe orizontală. Dînd o deplasare virtuală, de exemplu η=1 pe direcţia forţei tăietoare rezultă diagrama de deplasări din fig. 6.6c în care corpurile I şi II sînt paralele.

121

21 =ψ=ψ ; 4132 =⋅ψ=η

361

93 =η

=ψ ; 21611 =⋅ψ=η

125,15,122 =⋅ψ=η ;

365,45,433 =⋅ψ=η

94

121334 =⋅ψ=η

KN75,68T030603101T1210 243221 =→=η⋅−η⋅+η⋅⋅+⋅−η⋅⋅ ε−ε− Exemplul 2: Să se determine momentul în secţiunea i şi forţa tăietoare ε−5T pentru grinda Gerber din figura 6.5.

a) Calculul momentului încovoietor în secţiunea i Se consideră iniţial rotaţia corpului 1 11 =ψ . Ulterior se pot calcula rotaţiile corpurilor II şi III şi deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor.

2211 =⋅ψ=η ; 12

12 =

η=ψ

3322 =⋅ψ=η

43

42

3 =η

=ψ ; 5,15,123 =⋅ψ=η

5,1234 =⋅ψ=η 0420320MM 432i1i =η⋅⋅−η⋅⋅−ψ⋅−ψ⋅− 105M05,1805,1601M1M iii −=→=⋅−⋅−−⋅−

Figura 6.5 Aplicarea principiului lucrului mecanic virtual la grinzi Gerber

b) Calculul forţei tăietoare ε−5T Se consideră deplasarea pe direcţia forţei tăietoare 1=η . Deoarece corpul de la dreapta reazemului II este fix , atunci cel din stînga se translatează.

41

1 =ψ ; 21

1 =η

KN40T04201T 515 =→=η⋅⋅+⋅− ε−ε−

95

Exemplul 3 : Să se calculeze reacţiunea H2 la cadrul din figura 6.6 utilizînd principiul lucrului mecanic

virtual. Mecanismul cu un grad de libertate a fost obţinut eliminînd legătura orizontală din reazemul 2 şi pentru menţinerea echilibrului ansamblului s-a introdus reacţiunea H2. Mecanismul este format din două corpuri. Centrele de rotaţie cunoscute sînt 1p şi 12. Centrul absolut al corpului II se determină astfel:

⊥ 2211222K

KK

reazempppp

Dînd deplasarea η=1, pe direcţia reacţiunii H2 se obţin diagramele de deplasări pe orizontală şi pe verticală. Condiţia de lucru mecanic virtual este:

053040 221 =⋅−⋅⋅+⋅ ηηη H

Fig.6.6 Determinarea reacţiunii H2 utilizînd principiul lucrului mecanic virtual

Deplasările fiind ininit mici unghiurile se asimilează cu tangenta. Avînd η=1 se obţin celelalte deplasări:

125,25,2,

121,

121,

21

122121 ====== ψηψψψη

Reacţiunea H2 are valoarea:

KNHH 25,51,12

5,21502140 22 =⋅+⋅=

Semnul este plus, deci H2 are sensul ales iniţial.

96

Exemplul 4: Să se calculeze momentul încovoietor din secţiunea i la cadrul din fig. 6.7, utilizînd

principiul lucrului mecanic virtual. Eliminînd legătura corespunzătoare momentului încovoietor din secţiunea i se obţine mecanismul din figura 6.7.

Fig.6.7 Utilizarea principiului lucrului mecanic virtual pentru determinarea momentului Mi

Mecanismul format este din trei corpuri. Centrul absolut al corpului II se obţine folosind teorema de coliniaritate după cum urmează:

++

)3,2(p3)2,1(p1

p2

61

31 =ψ=ψ ; 6,35,15,121 =⋅ψ=η

6,31

2 =ψ ; 61132 =⋅ψ=η ;

Ecuaţia de lucru mecanic virtual capătă forma: KNm8,106M0230330MM i213i2i =→=η⋅⋅+η⋅⋅+ψ⋅+ψ⋅

97

Exemplul 5: Să se determine momentul din secţiunea i pentru cadrul din figura 6.8 , folosind principiul lucrului mecanic virtual. Pentru determinarea momentului în secţiunea i în acea secţiune se întrerupe continuitatea, introducîndu-se o articulaţie. Mecanismul obţinut este format din patru corpuri. Centrul absolut al corpului II se află în articulaţie la legătura cu baza de rezemare,la fel şi în cazul corpului patru.

98

Fig.6.8 Exemplu aplicare principiul lucrului mecanic virtual la cadre

Pentru determinarea centrelor absolute ale corpurilor 1 şi 3 se aplică teorema de coliniaritate după cum urmează:

+⊥

)2,1(p2reazem

p1

++

)4,3(p4)3,2(p2

p3

Poziţia centrelor absolute 1p şi 3p se obţine prin asemănări de triunghiuri. Astfel conform figurii x=27, y=6.

91

42 =ψ=ψ

271

1 =ψ ;61

3 =ψ

99

91

273311 ==⋅ψ=η ;

91122 =⋅ψ=η

31

62233 ==⋅ψ=η

041221261260MM 32143i2i =η⋅⋅−η⋅⋅−η⋅⋅−ψ⋅+ψ−ψ−

03148

9124

9172

9160

61

91M i =−−⋅−⋅=

+

KNm74M20M27,0 ii −=→−= Exemplul 6: Se cere calculul momentul încovoietor Mi şi a reacţiunii H2 la cadrul din figura 6.9: - Pentru calculul momentului încovoietor Mi se întrerupe continuitatea cadrului în secţiune i, prin introducerea unei articulaţii. Structura astfel formată este un mecanism format din 3 corpuri conform figurii 6.9b. Se consideră iniţial o deplasare unitară pe direcţia centrului relativ (1,2), pe baza căreia se vor calcula ulterior rotaţiile tuturor corpurilor.

41

31 =ψ=ψ ; 41

2 =ψ ;

41131 =⋅ψ=η

08MM 12i1i =η+ψ−ψ⋅−

0418

41

41M i =⋅+

+−

KNm4M221M ii =→=⋅

-Pentru calculul reacţiunii H2 se elimină legătura corespunzătoare acestei reacţiuni, astfel încît nodul 2 va conţine un reazem simplu. Mecanismul obţinut este format din două corpuri.

+⊥

)2,1(p1reazem

p2

81

2 =ψ ; 81122 =⋅ψ=η

21421 =⋅ψ=η ;

81

41

1 =η

=ψ

KN1818H081H 222 =⋅=→=η−⋅

100

Fig.6.9 Calculul momentului Mi şi a reacţiunii H2

101

CAP.7 LINII DE INFLUENŢĂ 7.1 Semnificaţia liniilor de influenţă

Metodele studiate în capitolele precedente permit calculul reacţiunilor şi eforturilor din structurile static determinate produse de forţe cu poziţie fixă. În practică, în afara acţiunilor permanente, cu mărime şi poziţie fixe, există şi forţe mobile, cum sînt acţiunile utile, care pot acţiona în orice punct al structurii. Ca exemple de forţe mobile se pot da: convoaiele de forţe aduse de roţile locomotivei şi vagoanelor la podurile de cale ferată, convoaiele de forţe produse de vehicule cu pneuri şi pe şenile la podurile de şosea, convoaiele produse de podurile rulante, forţa utilă formată din oameni şi utilaje, care se iau în considerare la proiectarea construcţiilor. Convoaiele de acţiuni mobile şi acţiunile utile sînt standardizate şi se dau în norme oficiale. Distanţa între forţele unui convoi mobil este constantă, iar ordinea forţelor nu poate fi modificată la acelaşi convoi. Forţele mobile dintr-un convoi nu-şi modifică mărimea şi orientarea.

Mai mult sînt unele construcţii care suportă în principal acţiunea forţelor mobile –cazul podurilor. Forţele mobile sînt reprezentate de greutatea oamenilor, a maşinilor şi utilajelor de transport. Datorită schimbării poziţiei forţelor exterioare are loc o modificare corespunzătoare a reacţiunilor şi eforturilor. Se consideră grinda simplu rezemată din fig.7.1 supusă acţiunii sistemului de forţe P1,

P2,P3,P4. Forţele au intensitatea constantă, distanţa dintre forţe este constantă, se schimbă numai poziţia forţelor.

Fig.7.1 Grindă simplu rezemată încărcată cu forţe concentrate

În poziţia din fig.7.1 a forţelor P1,P2,P3,P4 sînt aplicate în secţiunile a şi b. Un efort Si

din secţiunea i se determină ca sumă a efectelor celor două forţe :

4id3ic2ib1iai PsPsPsPsS)4.6( +++=K

unde sia reprezintă mărimea efortului Si cînd grinda ar fi încărcată numai cu o forţă egală cu unitatea acţionînd în secţiunea a iar sib reprezintă mărimea efortului Si cînd grinda ar fi încărcată numai cu o forţă egală cu unitatea acţionînd în secţiunea b. În poziţia din fig.7.1b forţele P1, P2 ,P3 ,P4 sînt aplicate în secţiunile e,f,g,h. Efortul Si va fi în acest caz:

4ih3ig2if1iei PsPsPsPsS)5.6( +++=K

Se poate trage concluzia că efortul Si se poate exprima în funcţie de forţele P1, P2 ,P3 ,P4 şi are nişte coeficienţi de forma sia , sib , sic , sid denumiţi coficienţi de influenţă şi care reprezintă efectul unor forţe egale cu unitatea.

Efortul Si variază funcţie de poziţia sistemului de forţe,şi în concluzie va exista o valoare maximă pentru acesta.Una din soluţii pentru obţinerea acestei valori maxime ar însemna să se plaseze sistemul de forţe într-o serie de poziţii şi să se determine valoarea Si corespunzătoare. Prin comparaţia valorilor din şirul astfel obţinut se poate obţine valoarea maximă. O astfel de soluţie conduce la un volum mare de calcul şi un consum mare de timp.

102

Mai economic, din punct de vedere al calculului, ar fi să se utilizeze linia de influenţă a efortului considerat. Linia de influenţă este o diagramă care reprezintă variaţia unei mărimi statice-reacţiune sau efort- cînd o forţă egală cu unitatea, de direcţie dată, parcurge structura, deplasîndu-se pe cale. Liniile de influenţă pot fi obţinute prin două metode: -metoda analitică -metoda cinematică Astfel, metoda analitică se pretează la grinda dreptă simplu rezemată, iar metoda cinematică la grinzile Gerber. 7.2 Metoda analitică 7.2.1 Grinda simplu rezemată

Pentru grinda simplu rezemată din fig.7.2 se va trasa linia de influenţă a reacţiunii V1 şi a reacţiunii V2.

Fig.7.2 Linia de influenţă pentru reacţiunea V1 şi reacţiunea V2

Linia de influenţă a reacţiunii V1 are expresia:

l

bV

⋅=

11

unde b este variabilă , forţa unitate fiind mobilă. Introducînd condiţiile la limită asupra variabilei rezultă: -pentru b=0 , V1=0 -pentru b=l, V1=1 Rezultă că atunci cînd forţa unitate se află în secţiunea 2 reacţiunea V1 este egală cu zero, iar cînd forţa unitate se află în secţiunea 1 reacţiunea V1 este egală cu 1. Deci, reacţiunea V1 variază liniar cînd forţa unitate parcurge întreaga grindă. Diagrama care prezintă această variaţie este linia de influenţă a reacţiunii V1. Linia de influenţă are o scară –respectiv ordonata- şi un semn. O ordonată a liniei de influenţă a reacţiunii V1 reprezintă mărimea acestei reacţiuni cînd forţa egală cu unitatea se află chiar în dreptul ordonatei respective.

103

Linia de influenţă a reacţiunii V2

Reacţiunea V2 are expresia:

l

aV

⋅=

12

unde a este variabilă. Din condiţiile de limită asupra variabilei rezultă: -pentru a=0, V2=0 -pentru a=l, V2=1 Cu aceste valori a fost construită linia de influenţă a reacţiunii V2. Linia de influenţă a forţei tăietoare TI

Se consideră grinda simplu rezemată din fig. 7.3 pe care se marchează secţiunea I distanţele x şi x’ sînt constante.

Fig.7.3 Linia de influenţă a forţei tăietoare şi a momentului încovoietor în secţiunea “i”

Reacţiunile au expresiile:

l

aV

l

bV

⋅=

⋅=

1,

121

Se vor analiza două situaţii: -forţa unitate se află în intervalul i-2(0≤b≤x’). În acest caz forţa tăietoare din secţiunea i este egală cu reacţiunea V1 deci

l

bVTi

⋅==

11

Din condiţiile asupra lui b rezultă: -pentru b=0, V1=0 şi TI=0

104

-pentru b=x’, l

xsiT

l

xV i

''1 ==

deci forţa tăietoare are aceeaşi variaţie ca şi reacţiunea V1.

Forţa unitate se află în intervalul 1-I(0≤a≤x) În acest caz forţa tăietoare din secţiunea I are expresia:

21

111 V

l

a

l

bVTi −=

⋅=−

⋅=−=

λ

Din condiţiile asupra lui a rezultă: -pentru a=0, V2=0 şi Ti

-pentru a=x l

xTsi

l

xV i −== K2

deci forţa tăietoare are aceeaşi variaţie ca şi reacţiunea V2 dar are semnul minus. În fig.7.3 au fost reprezentate rezultatele pe cele două intervale, obţinînd linia de influenţă a forţei tăietoare. Suma celor două segmente din secţiunea i este egală cu 1 şi reprezintă scara liniei de influenţă. Se mai constată, la această linie de influenţă faptul că cele două ramuri sînt paralele. Linia de influenţă a momentului încovoietor Mi: Se consideră aceleaşi două situaţii ca şi în cazul liniei de influenţă a forţei tăietoare Ti. Forţa unitate se află în intervalul i-2(0≤b≤x’)

xl

bxVM i

⋅=⋅=

11

Din condiţiile la limită se obţine: -pentru b=0,V1=0 şi MI=0 -pentru b=x’, V1=x’/l şi MI=xx’/l Forţa unitate se află în intervalul 1-I(0≤a≤x)

'1

'2 xl

axVM i ⋅

⋅=⋅=

Din condiţiile la limită se obţine: -pentru a=0, V2=0 şi MI=0 -pentru a=x, V2=x/l şi MI =xx’/l Se constată că pentru momentul încovoietor Mi s-a obţinut aceeaşi valoare, calculînd fie pentru forţele din stînga, fie pentru forţele din dreapta.

Scara acestei linii de influenţă este ordonata l

xx'=η

7.2.2 Grinda cu consolă

Considerînd o secţiune dată “i” în porţiunea dintre reazeme (fig.7.4a), atît timp cît sarcina de 1 parcurge intervalul 1-2 situaţia este la fel ca pentru grinda simplu rezemată, deci linia de influenţă este aceeaşi (fig.7.4b). Cînd sarcina trece pe consolă, linia de influenţă se completează ca pentru reacţiunea V1 (fig.7.4b), deoarece în acest caz TI=V1. Acelaşi rezultat se obţine şi prin folosirea deplasărilor virtuale, deplasarea corespunzătoare forţei tăietoare din secţiunea i fiind arătată în fig. 7.4b.

Pentru o secţiune k situată pe consolă, forţa tăietoare în secţiune este nulă pentru orice poziţie a sarcinii de 1 în intervalul 1-2-k, deci pe acest interval linia de influenţă are ordonate nule. Pentru poziţii ale sarcinii la drepta secţiunii rezultă Tk=1 deci tkx=1, linia de influenţă avînd ordonată constantă pe porţiunea k-3. Acelaşi rezultat se obţine şi folosind deplasarea virtuală, arătată în fig. 7.4e unde se constată că porţiunea de grindă 1-2-k nu se poate deplasa de pe reazeme, respectînd legăturile existente. Condiţia de paralelism între cele două porţiuni

105

de grindă impune porţiunii k-3 să se deplaseze paralel cu poziţia iniţială; raportul 1/ =kx δδ

dă mărimea ordonatei liniei de influenţă. Această linie de influenţă este aceeaşi ca pentru o grindă 2-3 încastrată în 2.

Cînd secţiunea ar fi situată imediat la stînga, respectiv la dreapta reazemului 2, se obţin liniile de influenţă T2

st (fig.7.4f)şi T2dr(fig.7.4g) care sînt cazuri particulare ale liniilor de

influenţă TI şi Tk. Ţinînd seama de relaţia 222 VTTstdr

+=

Fig.7.4 Linia de influenţă pentru forţa tăietoare

Deci

222 VTTstdr

=−

se constată că liniile de influenţă obţinute o satisfac regăsind linia de influenţă V2. În cazul transmiterii indirecte a sarcinilor, liniile de influenţă se obţin în acelaşi mod,

corecţia intervenind numai în panoul care conţine secţiunea, sub forma unei variaţii liniare care uneşte punctele corespunzătoare extremităţilor acestui panou.

106

7.3 Metoda cinematică

Metoda cinematică are la bază utilizarea principiul lucrului mecanic virtual. Structura trebuie transformată într-un mecanism cu un grad de libertate prin eliminarea legăturii pe direcţia mărimii statice (reacţiune sau efort) a cărei linie de influenţă urmează a fi trasată şi în locul ei se introduce mărimea statică S. Astfel structura va fi încărcată cu mărimea statică S şi cu forţa egală cu unitatea. Ca notaţii se consideră deplasarea sδ pe direcţia efortului S şi deplasarea pδ pe

direcţia forţei unitate. Expresia lucrului mecanic virtual, produs de aceste forţe, devine:

01)1.7( =⋅+ pS s δδK

Din expresia (6.5) se deduce:

s

pS

δ

δ−=K)2.7(

Dacă se consideră deplasarea pe direcţia lui S egală cu unitatea şi de sens invers sensului lui S, adică δS=-1 se obţine expresia mărimii S:

pS δ=K)3.7(

expresie care arată că în condiţia δS=-1, mărimea S are mărimea deplasării secţiunii în care se află forţa egală cu unitatea şi are şi acelaşi semn. Dacă deplasarea are loc în sensul de acţiune al forţei unitate atunci semnul deplasării

pδ este plus, iar dacă deplasarea are loc în sens invers sensului de acţiune al forţei unitate

atunci semnul este minus. Etapele de trasare a liniei de influenţă sînt:

-structura static determinată se transformă într-un mecanism cu un grad de libertate prin eliminarea legăturii corespunzătoare mărimii S şi se pune în evidenţă mărimea S.

-se consideră o deplasare virtuală δs=-1, pe direcţia mărimii statice ce urmează a fi determinată, şi se construieşte diagrama de deplasări virtuale;

-diagrama de deplasări poate fi considerată ca fiind linie de influenţă dacă i se ataşează scara δS=-1.

Linii de influenţă la grinzi Gerber: Exemplul 1: Să se traseze liniile de influenţă pentru momentul M1, ε−ε+ 44 LT,LT , 5LM (fig.7.5)

107

Fig.7.5 Linii de influenţă la grinzi Gerber

Exemplul 2: Se cer liniile de influenţă pentru reacţiuni şi eforturi la grinda din fig. 7.6 (LV2,LV4,LM4,LMi)

Fig.7.6 Linii de influenţă pentru reacţiuni şi eforturi la o grindă Gerber

108

109

CAP.8 DEFORMAREA ELASTICA A STRUCTURILOR 8.1 Vectorul forţă. Vectorul deplasare.

În cazul calculului matriceal al structurilor este necesară alegerea unui sistem de referinţă global în care se defineşte structura. Acest sistem de referinţă este necesar pentru precizarea coordonatelor punctelor de aplicaţie ale forţelor.

Vectorul-forţă se defineşte ca un ansamblu de acţiuni care se aplică asupra unei structuri. Astfel, vectorul –forţă pentru structura din fig. 8.1 este alcătuit din ansamblul forţelor şi momentelor care acţionează concomitent pe structură. Orice sistem de forţe se poate reprezenta printr-un vector ale cărui elemente sînt componentele forţelor şi momentelor care acţionează concomitent pe structură:

...... 12321 PPPPP KK=

Fig.8.1 Ansamblul forţelor şi momentelor care acţionează pe structură

Sensul pozitiv al forţelor din vectorul de mai sus precum şi sistemul de referinţă global se

prezintă în fig.8.1 Primul element al vectorului P indică mărimea forţei P1, al doilea element indică mărimea forţei P2 şi aşa mai departe. Un semn negativ în vectorul forţelor exterioare arată că forţa respectivă are săgeata opusă faţă de convenţia de semne adoptată. În general asupra unei structuri acţionează mai multe acţiuni independente cum ar fi: greutatea permanentă, acţiunile utile, acţiunea vîntului, acţiunea seismică. Dacă asupra structurii se aplică concomitent două sau mai multe acţiuni, atunci forţa generalizată se poate scrie compact, utilizînd o singură matrice [P].

Fiecare coloană din matricea [P] reprezintă vectorul forţelor dintr-o acţiune aplicată pe structură. Numărul coloanelor din matricea [P] este egal cu numărul ipotezelor de încărcare considerate.

Calculul structurilor static nedeterminate necesită determinarea deplasărilor (liniare sau unghiulare) în anumite secţiuni caracteristice. Deplasările acestor secţiuni pot fi reprezentate printr-un vector (matrice coloană) definit în mod similar ca vectorul forţă. Pentru a definii vectorul-deplasare este necesar să se precizeze secţiunile în care urmează să se calculeze deplasările şi componentele acestor deplasări. Deplasările liniare se reprezintă ca şi forţele, iar deplasările unghiulare ca şi momentele. Deplasările liniare sînt pozitive dacă se produc de sus în jos şi de la stînga la dreapta, iar rotirile sînt pozitive dacă se rotesc în sensul orar. Elementele vectorului-deplasare pentru structura din fig.8.1, se scriu matriceal astfel:

TUUUUU ].....[ 12321 KK=

110

8.2 Comportarea structurilor

Înţelegerea corectă a calculului structurilor static nedeterminate impune analiza ipotezelor simplificatoare adoptate. De exemplu, în domeniul micilor deplasări, ecuaţiile de echilibru static se scriu pe structura iniţială nedeformată.

În urma aplicării acţiunilor asupra construcţiilor acestea se deformează şi în structură iau naştere eforturi. Structura poate avea o comportare elastică sau neelastică după răspunsul pe care-l dă la aplicarea acţiunilor. Astfel, dacă după înlăturarea acţiunilor aplicate pe structură aceasta revine la poziţia iniţială, structura are o comportare elastică şi deformaţia structurii este elastică.

Dacă după înlăturarea acţiunilor de pe structură aceasta nu revine la poziţia iniţială, structura are comportare neelastică. Cînd după înlăturarea acţiunilor în structură se păstrează unele deformaţii permanente, structura se află în domeniul plastic şi deformaţiile remanente sînt deformaţii plastice. Comportarea elastică sau neelastică a structurii depinde de natura materialului folosit la realizarea construcţiei.

Dacă structura este realizată dintr-un material elastic şi se află în domeniul micilor deplasări, se poate admite proporţionalitatea între forţele aplicate pe structură şi deplasările elastice corespunzătoare.

Comportarea liniară: Analog curbei σ-ε (fig.1.4) există o relaţie de legătură între forţele aplicate pe structură şi deplasările elastice ale unei secţiuni, reprezentată prin curbele P-U (fig.8.2) de unde rezultă că forţele aplicate pe structură sînt proporţionale cu deplasările.

Fig.8.2 Relaţia forţă-deplasare (liniară şi neliniară)

P=[K]U Comportarea neliniară:

Cauzele care produc comportarea neliniară a sistemelor structurale, în cele mai multe cazuri, se încadrează în următoarele grupe:

-neliniaritatea materialului (fizică) conţine fenomenul fizic care apare în materialele de construcţie în timpul deformaţiei. Tipice pentru această neliniaritate sint diferitele materiale cu comportare elasto-plastică şi fenomenul de fluaj.

-neliniaritatea geometrică în cazul în care se admite relaţia εσ − liniară, relaţia P-U este neliniară, deplasările pot fi mici sau mari dar rotirea de corp rigid să fie mică. Relaţia deformaţie specifică –deplasare este neliniară. 8.3 Lucrul mecanic al forţelor exterioare

Prin deformarea structurii punctele de aplicaţie ale forţelor îşi schimbă poziţia şi ca urmare a forţelor exterioare produc lucru mecanic, denumit pe scurt lucru mecanic exterior.

111

Dacă forţa se deplasează în sensul său de acţiune, lucrul mecanic este denumit motor şi va fi considerat pozitiv. Dacă forţa se deplasează în sens invers sensului său de acţiune, lucrul mecanic este denumit rezistent şi va fi considerat negativ. În cazul corpurilor deformabile sînt posibile două situaţii în care forţele exterioare produc lucru mecanic.

-forţa efectuează lucru mecanic parcurgînd deplasarea produsă de ea însăşi prin deformarea structurii asupra căreia acţionează;

-forţa efectuează lucru mecanic parcurgînd deplasarea, pe direcţia sa, dar produsă de o altă forţă, ce acţionează asupra structurii. Analiza acestor două situaţii va permite evidenţierea diferenţei dintre ele.

Fig.8.3 Lucrul mecanic produs de o forţă parcurgînd deplasarea produsă de ea însăşi

Fie grinda simplu rezemată din fig. 8.3a ce se încarcă cu o forţă concentrată aplicată static.

Pe măsură ce intensitatea forţei creşte de la valoarea zero la valoarea finală P1, punctul său de aplicaţie se deplasează cu Δ11.

Pentru a determina lucrul mecanic efectuat de forţa P1 se porneşte de la variaţia lucrului mecanic.

jjjex dPdL ∆=K)1.8(

care reprezintǎ suprafaţa elementarǎ de formǎ dreptunghiularǎ, haşurat în fig.8.3. Lucrul mecanic al forţei P1va fi

∫ ∫∆

∆==n

jjjexex dPdLL0

)2.8( K

Observînd cǎ 11

1

∆∆=

PP jj rezultǎ:

∫∆

∆=∆∆∆

=0

111

11

1

2

1)3.8( Pd

PL jjjjexK

ceea ce aratǎ cǎ lucrul mecanic efectuat de forţa P1 este egal cu jumǎtate din produsul dintre forţǎ şi deplasarea pe direcţia forţei .

Fie grinda din figura 8.3 care prin încǎrcare cu forţa P1 a ajuns în poziţia deformatǎ. Dacǎ în aceastǎ situaţie se aplicǎ o nouǎ forţǎ P2, (fig.8.4) grinda se deformeazǎ în continuare, iar punctul de aplicaţie al forţei P1 se deplaseazǎ cu Δ12.Forţa P1 va parcurge aceastǎ deplasare cu întreaga sa intensitate, deci lucrul mecanic va fi:

121)4.8( ∆= PLexK

Trebuie reţinutǎ diferenţa principalǎ dintre cele douǎ situaţii de producere a lucrului mecanic de cǎtre o forţǎ ce acţioneazǎ asupra unui corp deformabil.

112

-Suprafaţa cuprinsǎ între dreapta 0-1 şi axa 0-P este denumitǎ lucru mecanic complementar. În cazul corpurilor la care relaţia forţǎ-deplasare este liniarǎ lucrul mecanic complementar este egal cu lucrul mecanic exterior.

Fig.8.4 Lucrul mecanic produs de forţa P1 parcurgînd deplasarea produsă de forţa P2

-Deplasǎrile au fost notate cu doi indici, primul aratǎ direcţia forţei pe care are loc deplasarea, iar al doilea forţa care a produs deplasarea.

-Cînd asupra corpului elastic se aplicǎ simultan mai multe forţe, expresia (8.3) a lucrului

mecanic exterior capǎtǎ forma: ∑ =∆= ),...1(2

1)5.8( niPL iiiex KK

În situaţia a doua de încǎrcare, cînd pe corpul elastic existǎ sistemul de forţe PI şi ulterior se aplicǎ sistemul de forţe Pj lucrul mecanic exterior are expresia:

∑ ∆= ijiex PLK)6.8(

8.4 Lucrul mecanic al forţelor interioare. Lucrul mecanic al eforturilor.

Se considerǎ o barǎ subţire supusǎ la întindere de perechea de forţe P. Dacǎ se presupune cǎ bara este formatǎ dintr-un şir de puncte materiale aflate la distanţa dx, sub acţiunea forţelor P douǎ puncte materiale se deplaseazǎ cu cantitatea Δ(dx), iar forţa de atracţie va produce lucrul mecanic interior dLI

)()7.8( dxPdLi ∆−=K

Semnul minus apare datoritǎ faptului cǎ forţele P se deplaseazǎ în sens invers sensului lor de acţiune, deci lucrul mecanic interior este un lucru mecanic rezistent.

Dacǎ se presupune cǎ bara este alcǎtuitǎ dintr-un mediu continuu şi prin metoda secţiunilor se izoleazǎ un element de lungime dx atunci în secţiunile de capǎt se introduc eforturile de întindere P ca acţiuni exterioare. Alungirea elementului fiind Δ(dx), lucrul mecanic al forţelor axiale va fi:

)()8.8( dxPdLef ∆=K

În acest caz dLef este pozitiv deoarece deplasarea are loc în sensul forţei axiale P. Din compararea celor douǎ situaţii rezultǎ:

efi dLdL −=

Lucrul mecanic al eforturilor are loc ca urmare a faptului cǎ se produce deformarea corpului elastic. Se obişnuieşte sǎ se utilizeze şi denumirea de energie de deformaţie acumulatǎ de corp, care se noteazǎ cu litera W. Deci:

113

WLef =K)9.8(

Din Rezistenţa Materialelor se ştie cǎ energia de deformaţie pentru un volum elementar dzdydxdV ⋅⋅= ,este:

dVdW σε2

1= , în cazul solicitării cubului elementar cu eforturile unitare normale zyx σσσ ,,

În cazul solicitării cu eforturi unitare tangenţiale zxyxxy τττ ,, atunci dVdW τγ2

1=

iar energia de deformaţie pentru întregul corp este:

∫=V

dVW σε2

1,respectiv ∫=

VdVW τγ

2

1

Energia de deformaţie pentru solicitǎri simple este: Solicitare axialǎ Deoarece N=σA şi σ=Eε rezultǎ:

∫ ∫ ∫ ∫∫ ===A

l l l

Adx

EA

NdAdx

EA

NdAdx

EW

0 0 0

2

2

22

2

1

2

11

2

1)10.8( σK

Încovoiere . În acest caz I

M y=σ deci

∫ ∫ ∫==A

l l

dxEI

Mdx

EI

MdAyWa

0 0

2

2

22

2

1

2

1)10.8( K

deoarece ∫ =A

IdAy 2

Lunecare Ţinînd seama cǎ γττ GbI

TS== K, , se obţine:

∫ ∫ ∫ ∫∫ =

==

A

l

A

ll

dxGA

TdA

bI

TSdx

GdAdx

GW

0 0

22

0

2

2

1

2

11

2

1)11.8(

ατK unde s-a notat cu

∫=A

dAIb

AS22

2

α reprezentînd un coeficient ce depinde de forma secţiunii transversale.

În cazul solicitǎrii compuse energia de deformaţie acumulatǎ de barǎ este:

∫ ∫ ∫++= dxGA

Tdx

EI

Mdx

EA

NW

222

2

1

2

1

2

1)12.8(

αK

Pentru structuri formate din mai multe bare, integralele (8.12) se extind asupra tuturor barelor. În cele ce urmeazǎ se va determina expresia lucrului mecanic al eforturilor. Solicitarea axialǎ

∫ ∫ ∫ ∫==== dxEA

Ndx

ENdxNNduLM

2

2

1

2

1

2

1

2

1)13.8(

σεK

.b. Încovoiere

∫∫ ∫ === dxEI

MdxMMdLM

2

2

11

2

1

2

1)14.8(

ρφK

deoarece EI

M=

ρ

1

c.Lunecare

∫ ∫ ∫=== dxGA

TdxTTdvL mT

2

2

1

2

1

2

1)15.8(

αγK

Pentru solicitarea compusǎ lucrul mecanic al eforturilor are expresia:

114

∫ ∫ ∫++= dxGA

Tdx

EI

Mdx

EA

NLef

222

2

1

2

1

2

1)16.8(

αK

Se constatǎ cǎ: Lef=W

Fig.8.5 Prezentarea deplasărilor generalizate pentru un element de bară de lungime dx 8.5 Lucrul mecanic total

Rezultatele stabilite în paragrafele precedente permit sǎ se evalueze lucrul mecanic total produs, în cursul deformǎrii barei sau structurii, atît de forţele exterioare cît şi de eforturi:

WLLLLLL exefexextot −=−=+= int)17.8( K

În cazul în care forţele aplicate static şi eforturile corespunzǎtoare parcurg deplasǎrile şi deformaţiile produse de ele înşile, lucrul mecanic total are forma:

∑ ∫ ∫ ∫−−−∆= dxGA

Tdx

EI

Mdx

EA

NPLa iii

iiitot

222

2

1

2

1

2

1

2

1)17.8(

αK

În cazul în care forţele şi eforturile din situaţia de încǎrcare i parcurg deplasǎrile şi deformaţiile produse de situaţia de încǎrcare j, lucrul mecanic total are expresia:

∑ ∫ ∫ ∫−−−∆= dxGA

TTdx

EI

MMdx

EA

NNPL

jijiji

ijitot

αK)18.8(

8.6 Teorema lui Clapeyron

Prin ipotezele simplificatoare ale calculului de ordinul I s-a admis cǎ energia de deformaţie acumulatǎ de structurǎ prin trecere în poziţie deformatǎ este integral consumatǎ pentru aducerea structurii în poziţia iniţialǎ, la îndepǎrtarea încǎrcǎrilor care au produs deformaţia. Structurile de rezistenţǎ care satisfac aceastǎ condiţie se numesc sisteme conservative.

De asemenea, s-a admis cǎ forţele se aplicǎ static, respectiv energia cineticǎ a sistemului în cursul deformǎrii este egalǎ cu zero. Teorema energiei exprimǎ faptul cǎ variaţia energiei cinetice într-un interval de timp este egalǎ cu variaţia lucrului mecanic, deci:

dLdE =K)19.8(

iar dacǎ intervalul de timp este reprezentat de momentele 1 şi 2 rezultǎ:

1212)20.8( LEE =−K

Considerînd cǎ momentele 1 şi 2 reprezintǎ începutul şi finalul deformǎrii structurii rezultǎ cǎ:

115

efextot LLLL −==12)21.8( K

Deoarece energia cineticǎ este egalǎ cu zero, din (8.21) rezultǎ:

0)22.8( =−=−= WLLLL exefextotK

ceea ce înseamnǎ cǎ relaţia 8.22 exprimǎ faptul cǎ în cazul sistemelor conservative, aflate în echilibru, lucrul mecanic total este egal cu zero. Relaţia de mai sus se poate scrie sub una din formele:

WLsauLL exefex == KK

Ea reprezintǎ teorema lui Clapeyron, teoremǎ care se enunţǎ astfel: “pentru un sistem conservativ, aflat în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe, lucrul mecanic produs de forţelor exterioare este egal cu energia potenţială de deformaţie acumulatǎ în sistem”. 8.7 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor deformabile

Principiul deplasărilor virtuale stabileşte condiţia necesară şi suficientă pentru exprimarea echilibrului unui sistem material: suma lucrurilor mecanice virtuale corespunzătoare tuturor forţelor la care este supus sistemul trebuie să fie nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă cu legăturile. La aplicarea acestui principiu este necesar să se precizeze pe de o parte care este ansamblul de forţe ce-şi fac echilibru, iar pe de alta care este configuraţia deplasării virtuale compatibile cu legăturile ce se dă pornind de la poziţia de echilibru.

Cît timp principiul deplasărilor virtuale a fost utilizat la rezolvarea structurilor static determinate, pentru aflarea reacţiunilor sau eforturilor, deformarea structurii nu a intervenit. Aceasta, deoarece s-a admis –pe baza ipotezei simplificatoare- că poziţia iniţială nedeformată poate fi considerată şi ca poziţie de echilibru sub acţiunea sarcinilor. Totodată, aplicarea ca acţiuni exterioare a necunoscutelor ce trebuie determinate se obţine prin suprimarea legăturilor corespunzătoare, ceea ce conduce la sisteme cu grade de libertate, astfel că deplasările virtuale au caracter cinematic, în sensul că părţile componente ale sistemului se consideră perfect rigide. Înseamnă că forţele interioare care se dezvoltă in structură sub acţiunea sarcinilor nu produc lucru virtual, deoarece deplasările corespunzătoare lor sînt nule. În consecinţă, la rezolvarea structurilor static determinate a fost suficient să se considere ca sistem de forţe în echilibru numai ansamblul forţelor exterioare (sarcini şi reacţiuni).

Problema se schimbă cînd trebuie aflate necunoscutele suplimentare la rezolvarea structurilor static nedeterminate, sau cînd se studiază poziţia deformată a unei structuri static determinate sau static nedeterminate. În asemenea cazuri este necesar să se considere situaţia de echilibru elastic a structurii şi deci deplasările virtuale trebuie date astfel încît să intervină şi deformarea elementelor ds ale barelor. Prin aceasta, forţele interioare efectuează şi ele lucru virtual, care trebuie introdus în condiţia de echilibru. Rezultă că sistemul de forţe în echilibru este reprezentat de forţele exterioare şi de forţele interioare care le echilibrează. Lucrul virtual total se obţine sumînd lucrul virtual produs de forţele exterioare cu cel produs de forţele interioare; această sumă trebuie egalată cu zero.

Privitor la configuraţia deplasărilor virtuale, în rezolvarea problemelor menţionate nu mai apar sisteme cu grade de libertate şi deci deplasările nu mai pot avea caracter cinematic. Deplasările virtuale trebuie date unor sisteme static determinate sau static nedeterminate, şi în consecinţă trecerea în poziţia deplasată trebuie să fie caracterizată prin deformarea elementelor ds ale structurii. Condiţia de compatibilitate capătă astfel o nouă semnificaţie, în sensul că alături de respectarea legăturilor existente în rezemări, mai este necesară ca în poziţia deplasată deformările succesiunii de elemente ds să fie compatibile între ele, respectînd continuitatea de material a barelor. Aceasta revine la a spune că deplasarea virtuală trebuie să fie reprezentată de o poziţie deformată posibilă a structurii, deci care să poată fi produsă în realitate de acţiunea unei cauze, oricare ar fi această cauză. Astfel, se poate considera ca deplasare virtuală poziţia deformată corespunzătoare acţiunii unui sistem de sarcini arbitrar ales, a efectului unei variaţii de temperatură.

116

O dată precizat specificul celor două elemente care intervin cînd principiul deplasărilor virtuale este aplicat la structuri deformabile şi anume alcătuirea sistemului de forţe în echilibru, precum şi caracterul deplasării virtuale compatibile, este necesar de subliniat că acestea sînt independente, în sensul că între ele nu există nici un raport de cauzalitate. Aceasta revine la a admite că cele două elemente provin de la două situaţii diferite de încărcare ale structurii considerate. În fiecare situaţie sînt desigur îndeplinite ambele condiţii (cea de echilibru a forţelor şi cea de compatibilitate a deformatei, dar pentru aplicarea principiului deplasărilor virtuale se consideră de la fiecare dintre situaţii numai cîte unul din elemente, împreună cu condiţia pe care aceasta o satisface: (1) una din situaţii dă sistemului de forţe, reprezentat de forţele exterioare şi de forţele interioare,

care îndeplineşte numai condiţia de a fi în echilibru; (2) cealaltă situaţie dă configuraţia deplasării virtuale, reprezentată de poziţia deformată a structurii,

care îndeplineşte numai condiţia de a fi compatibilă cu legăturile din rezemări şi cu continuitatea de material a barelor.

Este uşor de văzut că, dintre cele două situaţii diferite de încărcare ale structurii numai una poate fi situaţia reală corespunzătoare problemei care se studiază. Rezultă că cealaltă trebuie să fie o situaţie auxiliară aleasă în mod arbitrar, desigur astfel ca să conducă la o rezolvare cît mai simplă.

Din enunţarea principiului rezultă că dacă sistemul de forţe considerat este în echilibru şi deplasarea virtuală dată este compatibilă, lucrul mecanic virtual se anulează în mod necesar. Această enunţare conţine de fapt trei condiţii –echilibrul sistemului de forţe, compatibilitatea deplasării virtuale şi anularea lucrului mecanic virtual-care sînt însă dependente între ele, în sensul că dacă două dintre aceste condiţii sînt îndeplinite, implicit este îndeplinită şi a treia. Se pot astfel enunţa următoarele variante: (1) dacă deplasarea virtuală dată este compatibilă, condiţia de lucru mecanic virtual nul este

suficientă pentru a asigura că sistemul de forţe este în echilibru; (2) dacă sistemul de forţe considerat este în echilibru, condiţia de lucru mecanic virtual nul este

suficientă pentru a asigura că deplasarea dată este compatibilă. Acestor două variante le corespund două moduri diferite de aplicare a principiului deplasărilor virtuale, privitor la modul de alegere a situaţiei axiliare, după cum pentru problema dată este necesar să se exprime condiţia de echilibru a forţelor care acţionează structura, sau condiţia de compatibilitate a deformatei sale. 8.8 Teoremele lui Castigliano

Teoremele lui Castigliano se obţin din cele douǎ variante ale principiului lucrului mecanic virtual.

Prima teoremǎ. Se considerǎ corpul din Fig. 8.6a cǎruia i se aplicǎ deplasarea virtualǎ reprezentatǎ în fig.8.6b

Fig.8.6 Corp oarecare căruia i se aplică o deplasare virtuală

117

Lucrul mecanic virtual efectuat de forţele exterioare este:

nnex PPPL ∆+∆+∆= δδδδ ...)27.8( 2211K

Dar WLex δδ = .Considerînd variaţia energiei de deformaţie în raport cu fiecare deplasare se obţine:

n

n

PW

PW

PW

=∆∂

∂=

∆∂

∂=

∆∂

∂,....,,)28.8( 2

2

1

1

KK

Din relaţia de mai sus rezultǎ cǎ “derivata parţialǎ a energiei de deformaţie în raport cu deplasarea pe direcţia unei forţe este egalǎ cu valoarea acestei forţe “ ceea ce reprezintǎ prima teoremǎ a lui Castigliano.

A doua teoremǎ. Se considerǎ acum cǎ, în situaţia de echilibru a aceluiaşi corp, se dǎ o

variaţie δPi forţelor exterioare. Lucrul mecanic virtual are forma: nn PPPL δδδδ ∆++∆+∆= ...2211*

Conform principiului forţelor virtuale δL*=δW* Considerînd variaţia energiei de deformaţie în raport cu fiecare variaţie a forţelor se obţine:

nP

W

P

W

P

W∆=

∂

∂∆=

∂

∂∆=

∂

∂

2

*

2

2

1

1

*

,....,"

,)29.8( K

Din (8.29) rezultǎ cǎ “derivata parţialǎ a energiei de deformaţie în raport cu o forţǎ este egalǎ cu deplasarea pe direcţia acestei forţe” ceea ce reprezintǎ a doua teoremǎ a lui Castigliano”. 8.9 Teorema generală a reciprocităţii şi formele sale particulare 8.9.1 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema Betti) Utilizarea în paralel a două situaţii diferite de încărcare pentru o structură, permite să se stabilească o teoremă generală a echilibrului elastic. Fie două situaţii de încărcare (fig.8.7), anume prima caracterizată prin forţele exterioare Pi şi

eforturile M,N, iar a doua prin forţele exterioare jP−

şi eforturile −−

NM , .

Fig.8.7 Grindă dreaptă simplu rezemată în două situaţii de încărcare

Folosind principiul deplasărilor virtuale (sau legea conservării energiei) sau stabilit relaţiile:

...++=∆∑ ∫ ∫−−−

tii NdMdP δθ şi ∑ ∫∫ ++=∆−−−

...tjj dNdMP δθ

Pentru cazul deformării elastice, deplasările relative tdd δθ , şi respectiv tdd−−

δθ , au expresiile:

dsEI

Md =θ ds

EA

Nd t =δ ds

GA

kTd n =δ ds

GI

Md

t

t=φ

118

dsEI

Md

−−

=θ dsEA

Nd t

−−

=δ dsGA

Tkd n

−−

=δ dsGI

Md

t

t

−−

=φ

Introducîndu-le în cele două relaţii generale, se constată că pentru ambele membrul al doilea rezultă cu aceeaşi expresie, anume

dsGI

MMds

GA

TkTds

EA

NNds

EI

MM

t

tt

∫∫ ∫ ∫

−−−−

+++

ceea ce înseamnă că şi primii membrii trebuie să fie egali. Se obţine relaţia

∑∑ ∆=∆−−

jjii PPK)30.8(

care exprimă teorema generală a reciprocităţii, stabilită de Betti în 1872 şi care se enunţă astfel: Pentru o structură considerată în două situaţii diferite de încărcare, lucrul mecanic dat de forţele exterioare din prima situaţie parcurgînd deplasările care le corespund în poziţia deformată produsă de a doua situaţie, este egal cu lucrul mecanic dat de forţele exterioare din a doua situaţie parcurgînd deplasările care le corespund în poziţia deformată dată de prima situaţie..

De reţinut că în această teoremă, denumită şi teorema reciprocităţii lucrului mecanic, care pune în reciprocitate cele două situaţii de încărcare, intervine numai lucrul mecanic al forţelor exterioare. Aşa cum s-a arătat anterior, una dintre situaţii va fi desigur cea reală corespunzătoare problemei care se studiază; cealaltă se alege în mod arbitrar, adaptînd-o obţinerii unor rezultate simple şi expresive 8.9.2 Reciprocitatea deplasărilor unitare Se aplică relaţia 8.30 şi rezultă:

jijiji PP)31.8( ∆=∆K

Dacă se consideră Pi=Pj=1 şi se notează cu δ deplasările produse de forţe, se obţine:

jiij 11 δ⋅=δ⋅

sau

jiij)32.8( δ=δK

Relaţia 8.32 arată că deplasarea din secţiunea i, după direcţia forţei din i, produsă de o forţă egală cu unitatea aplicată în j , este egală cu deplasarea din secţiunea j, după direcţia forţei din j, produsă de o forţă egală cu unitatea aplicată în i. (fig.8.8)

Fig.8.8 Exemplu reciprocitate deplasări unitare

Reciprocitatea deplasărilor unitare se utilizează la rezolvarea structurilor static nedeterminate prin metoda forţelor.

119

8.9.3 Reciprocitatea reacţiunilor unitare În acest caz structura se încarcă numai cu deplasări. În cazul structurilor static determinate, datorită numărului minim de legături pe care aceste structuri le au pentru asigurarea invariabilităţii geometrice şi fixării faţă de teren, deplasările pe direcţiile unor legături provoacă numai modificarea configuraţiei structurii nu şi deformarea ei. Ca atare, în structură nu apar reacţiuni şi eforturi. De aceea, reciprocitatea reacţiunilor unitare este specifică structurilor static nedeterminate.

Fig.8.9 Exemplu reciprocitate reacţiuni unitare

Se încarcă structura cu o deplasare i∆ , după direcţia legăturii i, iar apoi cu o deplasare j∆ , după

direcţia legăturii j (fig.8.9). Dacă se evidenţiază distinct acţiunile şi reacţiunile se poate scrie:

∑ ∑ ∑ ∑ ∆+∆=∆⋅+∆⋅ ijiijijijjij RPRP)33.8( K

Dacă se aplică relaţia 8.33, rezultă:

jijiji RR)34.8( ⋅∆=⋅∆K

Considerăm că deplasările impuse sînt egale cu unitatea, adică 1ji =∆=∆ , şi notăm cu r

reacţiunile produse ca urmare a încărcării cu acste deplasări. În acest caz se obţine:

jiij r1r1)35.8( ⋅=⋅K sau jiij rr =

Relaţia (8.35) arată că: reacţiunea din legătura I , datorită încărcării cu o deplasare egală cu unitatea după direcţia legăturii j, este egală cu reacţiunea din legătura j, datorită încărcării cu o deplasare egală cu unitatea după direcţia legăturii i. Reciprocitatea reacţiunilor unitare se utilizează la rezolvarea structurilor prin metoda deplasărilor. 8.9.4 Calculul deplasǎrilor punctuale ale structurilor elastice. Relaţia Maxwell-Mohr

Se consideră o structură cu două situaţii de încărcare: situaţia “i” cu sistemul de forţe “Pi” şi

eforturile aferente Ni, Ti, Mi şi situaţia “j” cu sistemul de forţe “ jP şi cu eforturile jjj MTN ,, .

Din relaţia (8.18) în care se prezintă expresia lucrului mecanic total în cazul în care forţele şi eforturile din situaţia de încǎrcare i parcurg deplasǎrile şi deformaţiile produse de situaţia de încǎrcare j, această expresie devine:

120

∑ ∫ ∫ ∫α

++=∆ dxGA

TTdx

EI

MMdx

EA

NNP)36.8(

jijiji

ijiK

- ij∆ reprezintă deplasarea în secţiunea i produsă de forţele aplicate în j.

Expresia (8.36) se poate utiliza în calculul deplasǎrilor secţiunilor –translaţii sau rotiri- dacǎ se face urmǎtoarea particularizare:

-se presupune cǎ sistemul de forţe i este format dintr-o singurǎ forţǎ şi aceea egalǎ cu unitatea, PI=1

-forţa Pi=1 acţioneazǎ pe direcţia deplasǎrii cǎutate; -sub acţiunea forţei Pi=1 în structurǎ apar eforturile ni, ti, şi mi. Aceste eforturi se numesc

eforturi unitare, în sensul cǎ sînt produse de o forţǎ egalǎ cu unitatea; -sistemul de forţe Pj reprezintǎ forţele reale ce acţioneazǎ asupra structurii.

În aceastǎ situaţie relaţia (8.36) devine:

∫ ∫∫α

++=∆⋅ dxGA

Ttdx

EI

Mmdx

EA

Nn1)37.8(

jijiji

ijK

ceea ce constituie relaţia Maxwell-Mohr pentru calculul deplasǎrilor secţiunilor structurilor static determinate şi static nedeterminate supuse acţiunii forţelor.

Deoarece sistemul de forţe Pj este tocmai sistemul real de forţe pentru care se doreşte calculul deplasǎrii unei secţiuni, în pracţicǎ se renunţǎ la indicele j astfel încît expresia deplasǎrii se mai poate scrie:

∫ ∫ ∫α

++=∆ dxGA

tiTdx

EI

Mmdx

EA

Nn)38.8( ii

iK

Deplasarea Δi este o deplasare generalizatǎ, în sensul cǎ ea poate fi translaţia unei secţiuni dupǎ o direcţie oarecare, rotirea unei secţiuni (rotirea absolutǎ), deplasarea relativǎ a douǎ secţiuni.

Termenii din dreapta ai relaţiei Maxwell-Mohr au pondere diferitǎ în calculul deplasǎrilor elastice la diferitele tipuri de elemente sau structuri de rezistenţǎ. Astfel:

-la elementele şi structurile de rezistenţǎ la care efectul încovoierii este predominant (grinzi simple, grinzi Gerber, cadre)deplasarea se calculeazǎ cu relaţia:

∫=∆ dxEI

Mm)39.8( i

iK

-la grinzile cu zǎbrele, în barele cǎrora apar numai eforturi axiale, deplasarea se calculeazǎ cu relaţia:

∫=∆ dxEA

Nn)40.8( i

iK

-în cazul arcelor, la care efectul predominant este compresiunea excentricǎ (încovoiere cu forţǎ axialǎ), deplasarea se calculeazǎ cu relaţia:

∫ ∫+=∆ dxEI

Mmdx

EA

Nn)41.8( ii

iK

În cele ce urmeazǎ se prezintǎ cazurile tip pentru încǎrcarea unitarǎ, necesarǎ calculului deplasǎrilor elastice:

121

-grinzi simple:

Fig.8.10 Grinzi simple

-grinzi Gerber:

Fig.8.11 Grinzi Gerber

-cadre static determinate

Fig.8.12 Cadre static determinate

122

-grinzi cu zǎbrele

Fig.8.13 Grinzi cu zăbrele

În cazul arcelor încǎrcarea unitarǎ se aplicǎ la fel ca la cadre. Încǎrcarea unitarǎ pentru

calculul unei deplasǎri este aceeaşi indiferent de încǎrcarea realǎ ce se aplicǎ structurii. 8.10 Regula de integrare Vereşceaghin

Calculul deplasǎrilor secţiunilor prin rezolvarea directǎ a integralelor din expresia Maxwell-Mohr este greoi, în special pentru calculul efectului momentelor încovoietoare. Pentru elementele şi structurile de rezistenţǎ formate din bare avînd aria şi momentul de inerţie al secţiunii transversale constante s-a putut da o regulǎ practicǎ de rezolvare a integralelor, denumitǎ regula lui Vereşceaghin.

La stabilirea acestei reguli s-a pornit de la constatarea cǎ diagramele de moment încovoietor obţinut din încǎrcarea cu forţa unitate, PI=1 au totdeauna variaţie liniarǎ în lungul barelor drepte, deoarece aceastǎ încǎrcare este încǎrcare concentratǎ. În schimb, diagrama de moment încovoietor M, produsǎ de forţele reale poate prezenta zone cu variaţie liniarǎ cît şi zone cu variaţie neliniarǎ (curbe de gradul II sau III).

Fie un tronson dintr-o barǎ, avînd modulul de elasticitate E şi momentul de inerţie I0 pe care diagrama M are o variaţie curbilinie oarecare şi diagrama mI are o varaţie liniarǎ. Se urmǎreşte sǎ se calculeze integrala urmǎtoare:

∫ dxEI

Mmi

Fig.8.14 Regula de integrare Vereşceaghin

123

Pentru aceasta se noteazǎ suprafaţa elementarǎ din diagrama M cu dΩ=Mdx, iar ordonata

corespunzǎtoare din diagrama unitarǎ cu αxtgmx = . Cu aceste elemente se obţine:

∫ ∫ ∫Ω ΩΩ

α=Ω⋅⋅α⋅= xd

EI

tgdtgx

EI

1dx

EI

Mm)42.8( iK

Deoarece ∫ΩΩxd reprezintǎ momentul static al suprafeţei diagramei M în raport cu o axǎ ce trece

prin punctul A rezultǎ:

∫ΩΩ= gxxdA)43.8( K

Observînd cǎ gg mtgx =α se obţine expresia cǎutatǎ:

∫Ω

=EI

mdx

EI

Mm)44.8(

giK

care se interpreteazǎ astfel: “rezultatul integrǎrii a douǎ diagrame, dintre care cel puţin una cu variaţie liniarǎ, este egal cu produsul dintre suprafaţa diagramei cu variaţie neliniarǎ şi ordonata corespunzǎtoare centrului sǎu de greutate, luatǎ din diagrama cu variaţie liniarǎ, împǎrţit la EI.”

De fapt diagramele compuse se pot descompune în diagrame simple, aşa cum se exemplificǎ în cele ce urmeazǎ:

Fig.8.15 Descompunerea diagramelor compuse în diagrame simple

8.11 Deplasări elastice -Grinzi drepte Exemplul 1: Se considerǎ grinda metalicǎ din figura 8.16, şi se cere sǎ se calculeze deplasarea pe verticalǎ a punctului de aplicaţie al forţei: v3 . Se cunosc E=2,1x106 daN/m2, I=15000cm4,l=5m

124

Fig.8.16 Calculul deplasării elastice pentru o grindă simplă rezemată încărcată cu o forţă

concentrată

Se determinǎ reacţiunile şi se traseazǎ diagrama de momente încovoietoare, M, produse de forţa P. Pentru calculul deplasǎrii v3 se aplicǎ pe grindǎ în punctul 3 o forţǎ verticalǎ egalǎ cu unitatea şi se calculeazǎ reacţiunile şi se traseazǎ diagrama unitarǎ de momente încovoietoare notatǎ mv. Calculul deplasǎrii prin integrare directǎ

Deplasarea v3 se calculeazǎ cu relaţia: ∫= dxEI

Mmv v

3 . Se constatǎ cǎ diagramele M şi mv sînt

simetrice în raport cu mijlocul deschiderii, deci se va efectua integrarea pe jumǎtate din deschidere, iar rezultatul se multiplicǎ cu 2. Momentele încovoietoare M şi mv în secţiunea curentǎ, au expresiile:

2,

2

xm

PxM xx == K

Cu aceste expresii integrala devine:

∫ ==⋅=2/l

0

33

3EI48

Pl

0

2/l

3

x

EI2

Pdx

2

Px

2

x

EI

2v)45.8( K

Se constatǎ cǎ s-a obţinut acelaşi rezultat. Cu datele numerice propuse se obţine valoarea deplasǎrii (se lucreazǎ în daN şi cm):

cm65,115000101,248

500100200

EI48

Plv

6

33

3 =⋅⋅⋅

⋅⋅==

Se observǎ cǎ deplasarea este micǎ, în comparaţie cu lungimea grinzii. Deoarece în ambele diagrame M şi mv fibra întinsǎ prin încovoiere este aceeaşi, semnul integralei este plus. Dacǎ fibra întinsǎ ar fi diferitǎ în cele douǎ diagrame semnul este minus.

Deplasarea v3 a rezultat cu semnul plus. Aceasta înseamnǎ cǎ deplasarea v3 se produce cu sensul de acţiune al forţei unitate. Dacǎ semnul ar fi minus, înseamnǎ cǎ deplasarea se producea în sens invers sensului de acţiune al forţei unitate. Exemplul 2: Pentru grinda Gerber din fig.8.17 să se traseze diagramele de forţă tăietoare şi de moment încovoietor şi să se calculeze deplasarea pe verticală v3 şi deplasarea pe verticală v5,

considerînd 2KNm18000EI =

125

Grinda Gerber se împarte în grindă principală şi grindă secundară, astfel grinda 1-3 este grindă principală iar grinda 3-5 este grindă secundară. Calcul reacţiuni pentru grinda secundară 3-4:

( ) KN96V012205102010V0M 334=→=⋅⋅+⋅⋅−⋅→=∑

( ) KN144V010V612200M 443=→=⋅−⋅⋅→=∑

Calcul reacţiuni pentru grinda principală 1-2:

( ) KN120V08V10960M 221=→=⋅−⋅→=∑

( ) KN24V02968V0M 112=→=⋅+⋅−→=∑

Relaţia Maxwell Mohr pentru calculul deplasării v3 are forma: dxEI

mMv 3v

3 ∫⋅

=

Deplasarea v3 se obţine integrînd diagrama de momente M cu diagrama 3vm

cm5,3105,318000

640640

EI

1)128512(

EI

1192

3

222

2

1

EI2

1192

3

282

2

1

EI2

1v 2

3 =⋅=→=+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= −

Deplasarea v5 se obţine integrînd diagrama de momente M cu diagrama 5vm :

+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅

= ∫ 1923

224,0

2

1

EI2

1192

3

284,0

2

1

EI2

1dx

EI

mMv 5v

5

+⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅ 22

110

8

220

3

2

EI2

140

3

222

2

1

EI2

12

2

110

8

1020

3

2

EI4

140

3

2102

2

1

EI4

1 22

=⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅ 22

12

8

220

3

2

EI2

140

3

222

2

1

EI2

1 2

EI

458)66,666,266,41666,666,254,102(

EI

1−=−+−+−−

126

Fig.8.17 Calculul deplasării pe verticală v3 şi a deplasării v5;

a)diagrame T,M pentru grinda Gerber,diagrame unitare din încărcarea cu forţa unitate pe direcţia deplasărilor căutate

127

Exemplul 3: Să se traseze diagramele de forţă tăietoare şi de moment încovoietor şi să se calculeze deplasarea la grinda Gerber din figura 8.18.

Fig.8.18 Calculul deplasării v2, v3 şi rotaţiei θ4. a) diagrame de forţă tăietoare, moment, diagrame unitare de moment din încarcarea cu forţă unitară

pe direcţia deplasării căutate; b,c)rezolvare grindă 2-3 şi 4-5

128

Fig. 8.19 Diagrame T şi M pentru grinda principală 1-2

Calcul reacţiuni pentru grinda 2-3:

( ) KN406

460V04606V0M 223

=⋅

=→=⋅−⋅→=∑

( ) KN20V06V2600M 332=→=⋅−⋅→=∑

Calcul reacţiuni pentru grinda 4-5:

( ) KN35V08V48102200M 554=→=⋅−⋅⋅+⋅−→=∑

( ) KN65V048108V10200M 445=→=⋅⋅−⋅+⋅−→=∑

Calcul deplasări elastice:

m111,0EI

6,266610

3

210400

2

1

EI5

1

EI

mMv 2v

2 ==⋅⋅⋅⋅=⋅

= ∫

=⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 22

18

8

810

EI2

12

3

2840

2

1

EI2

12

3

2240

2

1

EI2

1v

2

3

m1077,0EI

6,186)32066,10666,26(

EI

1 2−⋅−=−=−+

EI

33,53)66,10633,53(

EI

11

2

18

8

810

3

2

EI2

11

3

2840

2

1

EI2

1 2

4 =+−=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=θ

-Cadre Exemplul 4:

Să se calculeze deplasarea 4v a cadrului static determinat din figura 8.20 considerînd produsul 2KNm24000EI =

Deplasarea v4 se obţine integrînd diagrama de momente M, obţinută din încărcarea cu sarcini exterioare, cu diagrama

4vm , obţinută din încărcarea cadrului static determinat cu o forţă unitate pe

direcţia deplasării căutate. Calcul reacţiuni din încărcarea cu sarcini exterioare:

( ) KN90V06121512V0M 112=→=⋅⋅−⋅→=∑

129

Fig.8.20 Diagrame de moment din încărcarea cu sarcini exterioare şi din încărcarea cu forţa unitate

pe direcţia deplasării căutate

( ) KN90V012V612150M 221=→=⋅−⋅⋅→=∑

( ) 40H048156H8900M 11

st

4=→=⋅⋅−⋅−⋅→=∑

( ) 40H04906H24150M 22

dr

4=→=⋅−⋅+⋅⋅→=∑

Calcul reacţiuni pentru cadrul încărcat cu forţa unitate:

( ) 333,0V04112V0M 112=→=⋅−⋅→=∑

( ) 666,0V012V810M 221=→=⋅−⋅→=∑

( ) 444,0H06H8333,00M 11

st

4=→=⋅−⋅→=∑

Calcul deplasare 4v :

+⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅

= ∫ 66,22

18

8

815

3

2

EI2

166,2

3

28240

2

1

EI2

166,2

3

26240

2

1

EI

1dx

EI

mMv

2v

44

130

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+ 66,23

26240

2

1

EI2

166,2

3

24240

2

1

EI2

1

m1015,1EI

4,2766)4,6386,4256,4252,8518,1276(

EI

1 1−⋅==++−+=

Exemplul 5: Să se calculeze deplasarea relativă în secţiunea 3 a cadrului static determinat din figura 8.21,

considerînd 2KNm18000EI =

Fig.8.21 Diagramă de moment din sarcini exterioare şi din încărcarea cu o pereche de momente

unitare în secţiunea 3 Calcul reacţiuni cadru static determinat din încărcarea cu forţe exterioare:

( ) KN5,7V08V241012100M 221=→=⋅−⋅⋅+⋅⋅−→=∑

131

( ) KN5,52V076108V0M 112=→=⋅⋅−⋅→=∑

( ) 5H036106H45,520M 11

st

3=→=⋅⋅−⋅−⋅→=∑

Calcul reacţiuni pentru cadrul static determinat încărcat cu perechea de momente unitare:

( ) KN5H045,76H0M 22

dr

3=→=⋅−⋅→=∑

( ) 1H016H0M 11

st

3=→=−⋅→=∑

Calcul rotaţie relativă a secţiunii 3:

+

⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

⋅=θ ∫

θ1

3

15,0

3

2535

2

1

EI5,2

15,0

3

2315

2

1

EI

1dx

EI

mM3rel

3

=⋅⋅⋅⋅−

⋅+⋅⋅⋅−

⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+ 5,0

3

2315

2

1

EI

11

3

15,0

3

2515

2

1

EI5,2

11

2

15,0

2

15

8

58,010

3

2

EI5,2

1 2

( ) rad1029,1EI

33,235,7102533,235,7

EI

1 3−⋅−=−=−−+−−

-Cadre simetrice

O structură se consideră simetrică în raport cu o axă, dacă elementele geometrice: lungimile barelor şi caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale A şi I, legăturile interioare şi cele exterioare (reazemele) sînt aceleaşi de o parte şi de alta a axei considerate. În figura 8.22 sînt prezentate cîteva exemple de cadre static determinate simetrice.

Fig.8.22 Structuri simetrice

În calculul acestor structuri apar unele particularităţi în cazul în care încărcarea este, la

rîndul ei, simetrică sau antisimetrică. În cazurile reale încărcările pot fi: -încărcări oarecare

( ) KN5H045,76H0M 22

dr

3=→=⋅−⋅→=∑

132

-încărcări simetrice -încărcări antisimetrice Orice încărcare oarecare poate fi decompusă într-o încărcare simetrică şi o încărcare

antisimetrică. Se calculează structura separat pentru încărcarea simetrică şi separat pentru încărcarea antisimetrică, şi apoi se suprapun efectele pentru a obţine situaţia corespunzătoare încărcării oarecare. În figura 8.23 sînt prezentate exemple de descompunere a unei încărcări oarecare în încărcare simetrică şi încărcare antisimetrică.

Fig.8.23 Descompunerea unei încărcări

Particularităţile care vor fi consemnate la cadrele static determinate, referitoare la

diagramele de eforturi şi forma deformată a structurii, se vor menţiona şi la cadrele static nedeterminate.

În calculul acestor structuri, utilizarea proprietăţilor de simetrie ale structurii şi încărcării conduce la reducerea sensibilă a volumului de calcule.

-Cadre simetrice încărcate simetric Exemplul 6: Fie cadrul din fig.8.24 încărcat simetric. Se cere să se calculeze deplasările

33 v,u considerînd produsul 2KNm24000EI = .

Calcul reacţiuni încărcare forţe exterioare:

( ) KN120V01220510208V0M 112=→=⋅⋅+⋅⋅−⋅→=∑

( ) KN120V08V5102012200M 221=→=⋅−⋅⋅+⋅⋅−→=∑

( ) KN5,37H036202,3H41200M 11

st

3=→=⋅⋅−⋅−⋅→=∑

Diagramele N,T,M sînt prezentate în figura 8.19.

133

Fig.8.24 Cadru simetric încărcat simetric

Din rezultatele obţinute se desprinde concluzia generală că: “la structurile simetrice, încărcate simetric, reacţiunile sînt simetrice”. Din analiza diagramelor de eforturi rezultă următoarele concluzii: “la structurile simetrice

încărcate simetric diagramele de forţă axială şi de moment încovoietor sînt simetrice, iar diagrama de forţă tăietoare este antisimetrică”.

Calculul deplasării pe verticală v3

Încărcarea unitară pentru calculul deplasării v3 este o încărcare simetrică şi în consecinţă şi diagrama unitară de moment încovoietor, mv, este simetrică. De aceea în calculul deplasării se integrează diagramele numai pe jumătate de structură, iar fiecare termen se multiplică cu 2.

Calcul reacţiuni din încărcarea cu forţă unitate:

( ) 625,0H02,3H45,00M 11

st

3=→=⋅−⋅→=∑

Calcul deplasare elastică v3 :

=

⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅= ∫ 2

2

14

8

420

3

2

EI2

12

3

24160

2

1

EI2

12

3

22,3120

2

1

EI

12dx

EI

mMv

2v

33

m1046,3EI

9,831)33,533,213256(

EI

2 2−⋅==−+=

134

Calculul deplasării pe orizontală u3

Forţa egală cu unitatea aplicată pe orizontală în punctul 3 conduce la o diagramă unitară de moment încovoietor

3um antisimetrică.

Calcul reacţiuni din încărcarea cu forţa unitate:

( ) 4,08

2,3V02,318V0M 112

==→=⋅+⋅−→=∑

( ) 4,0V08V2,310M 221=→=⋅−⋅→=∑

( ) 5,0H02,3H44,00M 11

st

3=→=⋅+⋅−→=∑

Calcul deplasare elastică u3:

+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅

= ∫ 6,13

24160

2

1

EI2

16,1

3

22,3120

2

1

EI

1dx

EI

mMu 3u

3

−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

6,13

24160

2

1

EI2

16,1

3

22,3120

2

1

EI

16,1

2

14

8

420

3

2

EI2

1 2

06,12

14

8

420

3

2

EI2

1 2

=⋅⋅⋅⋅

⋅−

Se observă că în expresia deplasării u3 termenii sînt doi cîte doi egali şi de semn contrar,

deci a rezultat u3=0.

135

Fig.8.25 Diagrame de moment încovoietor din încărcrea cu forţe unitate pe direcţia

deplasării căutate Din analiza rezultatelor obţinute în calculul deplasărilor se desprind următoarele concluzii: -rezultatul integrării a două diagrame simetrice este diferit de zero; -rezultatul integrării unei diagrame simetrice cu o diagramă antisimetrică este egal cu zero. -deformata unei structuri simetrice, încărcată simetric, este simetrică. Secţiunea de pe axa de

simetrie se poate deplasa numai pe direcţia axei de simetrie iar rotirea relativă este o deplasare simetrică.

Cadre simetrice încărcate antisimetric Exemplul 7: Fie cadrul din figura 8.26 încărcat antisimetric. Se cere să se traseze

diagramele de eforturi şi să se calculeze deplasările 33 u,v considerînd EI=18000KNm2.

136

Fig.8.26 Cadru simetric încărcat antisimetric, diagrame de eforturi N,T,M Calculul reacţiunilor:

( ) KN5,12V052052016V0M 112=→=⋅+⋅+⋅−→=∑

( ) 5,12V016V5205200M 221=→=⋅−⋅+⋅→=∑

( ) KN20H05H85,120M 11

st

3=→=⋅+⋅−→=∑

( ) KN20H05H85,120M 22

dr

3=→=⋅+⋅−→=∑

Concluzia ce se desprinde din calculul reacţiunilor este că: “ la structurile simetrice, încărcate antisimetric, reacţiunile sînt antisimetrice”.

624,0cos;78,0sin =α=α

137

Fig.8.27 Diagrame de moment încovoietor, din încărcarea cu o forţă unitară pe direcţia

deplasării căutate Diagramele de eforturi: Calculul efortului axial şi al forţei tăietoare pe stîlpul înclinat 1-4:

KN23,22624,02078,05,12N14 =⋅+⋅=

8,778,020624,05,12T14 =⋅+⋅−=

Din analiza diagramelor de eforturi rezultă următoarele concluzii: “la structurile simetrice încărcate antisimetric, diagramele de forţă axială şi de moment încovoietor sînt antisimetrice, iar diagrama de forţă tăietoare este simetrică”

Calculul deplasării v3 Forţa egală cu unitatea aplicată pe orizontală în punctul 3 conduce la o diagramă unitară de

moment încovoietor mv3 simetrică.

( ) 8,0H05H85,00M 11

st

3=→=⋅−⋅→=∑

258,045,0M4 −=⋅−⋅=

138

023

2450

2

1

EI2

12

3

24,650

2

1

EI

12

3

2450

2

1

EI2

12

3

24,650

2

1

EI

1v3 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

Calculul deplasării u3

( ) 312,0V05116V0M 112=→=⋅+⋅−→=∑

( ) 5,0H05H8312,00M 11

st

3=→=⋅+⋅−→=∑

=

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅= ∫ 25,1

3

2450

2

1

EI2

125,1

3

24,650

2

1

EI

12

EI

mMu 3u

3

m1001,1EI

3,183)66,4133,133(

EI

2 2−⋅==−

Deoarece diagrama M este o diagramă antisimetrică, rezultatul integrării ei cu diagrama mv3 este egal cu zero.

Concluziile desprinse din calculul deplasărilor sînt: -rezultatul integrării a două diagrame antisimetrice este diferit de zero. -rezultatul integrării unei diagrame antisimetrice cu o diagramă simetrică este egal cu zero. -deformata unei structuri simetrice, încărcată antisimetric este antisimetrică. Secţiunea de pe

axa de simetrie se poate deplasa numai pe normala la această axă, celelalte două deplasări sînt egale cu zero.

139

CAP.9 METODA EFORTURILOR 9.1 Gradul de nedeterminare staticǎ

Metoda porneşte de la considerarea legăturilor suplimentare ce există într-o structură static nedeterminată şi îşi propune să determine forţele de legătură corespunzătoare, alegîndu-le pe acestea ca necunoscute ale problemei. Este necesar pe de o parte să se pună în evidenţă forţele de legătură respective, iar pe de altă parte să se asigure desfăşurarea calculului pe un sistem cu rezolvare cunoscută. Se realizează aceste cerinţe considerînd suprimate legăturile suplimentare şi aplicînd forţele de legătură ca acţiuni exterioare asupra sistemului rezultat. Se obţine astfel un sistem echivalent, care ca alcătuire este static determinat, încărcat cu sarcinile date şi cu necunoscutele alese. Acesta este sistemul de bază, căruia i se va impune condiţia să se comporte la fel ca structura reală, deci să aibă aceeaşi poziţie deformată.

Alcătuirea sistemului de bază este o consecinţă a modului cum sînt alese legăturile suplimentare. Considerînd totalitatea legăturilor structurii date, forţele de legătură respective-iniţial necunoscute se pot împărţi în două categorii: un prim grup care cuprinde un număr de necunoscute egal cu numărul ecuaţiilor de echilibru static disponibile şi un al doilea grup, care cuprinde surplusul de necunoscute. Pe baza ecuaţilor de echilibru static se pot totdeauna exprima necunoscutele din primul grup în funcţie de sarcini şi de necunoscutele din al doilea grup. Acestea din urmă capătă astfel caracter de variabile independente din punct de vedere static şi pentru aflarea lor urmează să se folosească ecuaţii suplimentare care derivă din condiţia de compatibilitate.

Oricare dintre necunoscute poate fi plasată în a doua categorie, deci orice forţă de legătură poate fi considerată drept cantitate static nedeterminată, dar numărul celor privite concomitent ca atare trebuie să fie egal cu gradul de nedeterminare. Înseamnă că pentru o structură dată se pot alege mai multe sisteme de bază.

Numǎrul forţelor de legǎturǎ suplimentare, faţǎ de numǎrul minim care asigurǎ invariabilitatea geometricǎ şi fixarea structurii, reprezintǎ gradul de nedeterminare staticǎ a structurii. Diferenţa între numǎrul de necunoscute (reacţiuni şi eforturi) ale structurii şi numǎrul ecuaţiilor de echilibru static constituie gradul de nedeterminare staticǎ. Dupǎ distribuţia legǎturilor suplimentare structurile pot fi: nedeterminate exterior, interior sau atît exterior cît şi interior. Structurile static nedeterminate exterior sînt legate cu mai multe legǎturi decît numǎrul minim în rezemǎri. Astfel, structura din fig.9.1a în cele douǎ încastrǎri are şase legǎturi şi deci are trei legǎturi în plus faţǎ de cele trei legǎturi necesare pentru a obţine o structurǎ static determinatǎ.

Dacǎ se înlocuieşte fiecare legǎturǎ cu o forţǎ de legǎturǎ rezultǎ şase forţe de legǎturǎ necunoscute. Se pot scrie trei ecuaţii de echilibru static şi structura rǎmîne de trei ori static nedeterminatǎ exterior. Cadrul din fig.9.1b este de douǎ ori static nedeterminat exterior, iar grinda continuǎ din fig.9.1c este de două ori static nedeterminatǎ exterior.

140

Fig9.1 Tipuri de structuri static nedeterminate

Structurile static nedeterminate interior sînt legate în rezemǎri cu numǎrul minim de legǎturi, dar în interior dispun de legǎturi suplimentare. Cadrul din fig.9.2a este static determinat exterior, deoarece reacţiunile V1,H1 şi V6 se pot calcula din ecuaţiile de echilibru static. Cunoscînd reacţiunile se determinǎ eforturile pe barele 1-2 şi 5-6 cu metoda secţiunilor, însǎ nu se pot calcula eforturile în conturul închis 2-3-4-5-2.

141

Fig.9.2 Structuri static nedeterminate

Cadrul este static nedeterminat interior şi pentru a ridica nedeterminarea staticǎ se considerǎ

tǎiatǎ bara 3-4 la mijloc. În locul legǎturilor suprimate se introduc forţele de legǎturǎ corespunzǎtoare X1 X2 X3 . care sînt necunoscutele problemei (fig.9.2b). Structura din fig.(9.2c) este de şase ori static nedeterminatǎ interior, grinda cu zǎbrele din fig. 9.2d este de trei ori static nedeterminatǎ, iar arcul cu tirant din fig.9.2e o singurǎ datǎ static nedeterminat. Structurile static nedeterminate exterior şi interior au legǎturi suplimentare, faţǎ de numǎrul minim în rezemǎri şi în interiorul structurii.

Gradul de nedeterminare staticǎ al unei structuri se stabileşte prin procedeul contururilor închise. Acesta se bazeazǎ pe constatarea cǎ orice contur închis format din bare continue, legate rigid între ele constituie o structurǎ static nedeterminatǎ de trei ori. Acelaşi grad de nedeterminare staticǎ se obţine şi pentru conturul închis format cu terenul, dacǎ rezemǎrile sînt încastrǎri. Dacǎ structura este alcǎtuitǎ din C contururi închise, gradul de nedeterminare staticǎ se determinǎ din relaţia:

icn 3=

Structura din fig. 9.3a este de şase ori static nedeterminată exterior şi de trei ori static nedeterminată interior. Grinda cu zăbrele din fig.9.3b este odată static nedeterminată exterior şi de două ori static nedeterminată interior.

142

Fig.9.3 Structuri static nedeterminate

Dacǎ pe parcursul conturului intervin articulaţii (interioare sau exterioare) şi reazeme

simple, gradul de nedeterminare staticǎ al structurii se reduce. O articulaţie interioarǎ sau exterioarǎ în care se intersecteazǎ douǎ bare (fig.9.4g,h) introduce o condiţie suplimentarǎ cǎ momentul încovoietor este nul. O articulaţie în care se întîlnesc mai multe bare (fig.9.4i) introduce un numǎr de condiţii suplimentare egal cu numǎrul articulaţiilor a=b-1.

Dacǎ în nod se întîlnesc mai multe bare, din care unele sînt încastrate, iar altele prinse articulat, numǎrul condiţiilor suplimentare este egal cu numǎrul barelor prinse articulat. Un reazem simplu introduce douǎ condiţii suplimentare care aratǎ cǎ momentul încovoietor şi reacţiunea dupǎ direcţia deplasǎrii libere a reazemului sînt nule. Gradul de nedeterminare statică al unei structuri se stabileşte prin mai multe procedee. În cazul structurilor plane se poate utiliza relaţia generală:

crln i 3−+= care compară numărul legăturilor interioare lI şi exterioare din rezemări r, cu numărul

elementelor din alcătuirea structurii. Valoarea pozitivă a lui n reprezintă gradul de nedeterminare statică al structurii. Procedeul contururilor închise se bazează pe constatarea că orice contur închis format din bare continue, legate rigid între ele (fig.9.4a) constituie o structură static nedeterminată de trei ori.

Acelaşi grad de nedeterminare statică se obţine şi pentru conturul închis format cu terenul (fig.9.4b) dacă rezemările sînt încastrări. Dacă structura este alcătuită din cI contururi închise,

gradul de nedeterminare statică se determină din relaţia icn 3= .

Structura din fig. 9.4c are trei contururi închise şi este de nouă ori static nedeterminată, iar structura din fig.9.4d are 6=ic şi deci 1863 =⋅=n ori static nedeterminată. Dacă pe parcursul

conturului intervin articulaţii (interioare sau exterioare) şi reazeme simple, gradul de nedeterminare statică al structurii se reduce. O articulaţie interioară sau exterioară în care se intersectează două bare (fig.9.4g,h) introduce o condiţie suplimentară că momentul încovoietor este nul. O articulaţie în care se întîlnesc mai multe bare (fig.9.4I) introduce un număr de condiţii suplimentare egal cu numărul articulaţiilor 1−= ba . Dacă în nod se întîlnesc mai multe bare, din care unele sînt încastrate iar altele prinse articulat (fig.9.4j) numărul condiţiilor suplimentare este egal cu numărul barelor prinse articulat.

143

Fig.9.4 Tipuri de structuri static nedeterminate

9.2 Sistem de bazǎ

Pentru calculul unei structuri cu metoda forţelor se transformǎ structura realǎ într-o structurǎ static determinatǎ prin suprimarea unui numǎr de legǎturi egal cu gradul de nedeterminare staticǎ. În locul legǎturilor suprimate se introduc forţele de legǎturǎ corespunzǎtoare, care constituie necunoscutele problemei. Necunoscutele se noteazǎ cu Xj; indicele j ia valorile j=1,2,…n şi reprezintǎ forţe de legǎturǎ simple sau perechi de forţe de legǎturǎ egale şi de sens contrar. În scrierea matricealǎ necunoscutele se noteazǎ prin vectorul X definit astfel:

Tnj XXXXX ]......[ 21=

Structura static determinatǎ obţinutǎ din structura realǎ prin suprimarea unui numǎr de legǎturi egal cu gradul de nedeterminare staticǎ poartǎ numele de structurǎ de bazǎ (structurǎ primarǎ). Asupra structurii de bazǎ se aplicǎ forţele exterioare date P şi forţele de legǎturǎ exteriorizate X în urma suprimǎrii legǎturilor suplimentare. Structura static nedeterminatǎ din fig.9.5a se transformǎ într-o structurǎ static determinatǎ prin suprimarea unui numǎr de două legǎturi. Suprimarea legǎturilor se poate face în mai multe moduri şi de fiecare datǎ se obţine o structurǎ static determinatǎ corect alcǎtuitǎ.

144

La suprimarea legǎturilor trebuie avut grijǎ ca structura de bazǎ obţinutǎ sǎ aibǎ invariabilitatea geometricǎ şi fixarea în plan asigurate, sǎ nu aibǎ anumite substructuri cu formǎ criticǎ sau static nedeterminate. Orice structurǎ static nedeterminatǎ se poate transforma prin suprimarea legǎturilor suplimentare în structurǎ static determinatǎ.

Fig.9.5 Exemple de obţinere a sistemului de bază în metoda eforturilor

9.3 Condiţia de echilibru static

Prin transformarea structurii static nedeterminate în structurǎ de bazǎ, calculul eforturilor şi deplasǎrilor se conduce ca la o structurǎ static determinatǎ. Rezultǎ cǎ rezolvarea structurii static nedeterminate se reduce la calculul unei structuri static determinate din acţiunile exterioare P şi din forţele de legǎturǎ necunoscute Xj (j=1,2,…n). Din condiţia de echilibru static al structurii de bazǎ, exprimatǎ prin ecuaţiile de echilibru static, se determinǎ reacţiunile şi eforturile pe toatǎ structura de bazǎ din forţele exterioare P şi necunoscutele X de mǎrime arbitrarǎ.

Pe structura de bazǎ se aplicǎ pe rînd fiecare necunoscutǎ Xj şi separat forţele exterioare, trasînd diagramele de eforturi corespunzǎtoare. Rezultǎ cǎ una din condiţiile de bazǎ folosite la calculul structurilor este satisfǎcutǎ. Eforturile şi deplasǎrile produse de aplicarea pe structura de bazǎ a acţiunilor (forţe exterioare, variaţia de temperaturǎ, cedǎrile de reazeme) constituie soluţia particularǎ. Eforturile şi deplasǎrile produse de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutelor X constituie soluţia complementarǎ. Soluţia complementarǎ stabileşte contribuţia forţelor de legǎturǎ suplimentare (efectul nedeterminǎrii statice) asupra diagramelor de eforturi şi deplasǎrilor obţinute pe structura static determinatǎ. Soluţia particularǎ şi soluţia complementarǎ se combinǎ între ele în ecuaţia de compatibilitate pentru a determina valorile reale ale necunoscutelorX. 9.4 Ecuaţii de compatibilitate

145

Prin transformarea structurii static nedeterminate în structura de bazǎ în secţiunile unde s-au

suprimat legǎturi, se produc deplasǎri pe direcţia fiecǎrei necunoscute. Valorile reale ale necunoscutelor se determinǎ din condiţia ca structura de bazǎ, supusǎ la forţele exterioare date şi necunoscutele X, sǎ se deformeze identic cu structura realǎ static nedeterminatǎ. Aceastǎ condiţie constituie condiţia de compatibilitate a deformatei structurii care se utilizeazǎ în metoda forţelor şi se scrie pentru fiecare necunoscutǎ. Deplasǎrile pe structura static nedeterminatǎ, în punctele de aplicaţie şi dupǎ direcţia necunoscutelor sînt nule (sau cunoscute), deoarece deformata structurii este continuǎ şi între cele douǎ feţe ale unei secţiuni nu se produc deplasǎri relative. Deplasarea pe structura static nedeterminatǎ dupǎ direcţia necunoscutei XI se determinǎ aplicînd principiul suprapunerii efectelor.

0......)1.9(0

2211 =∆+++++= ipninjijiii XXXXD δδδδK

în care: δij este deplasarea din punctul de aplicaţie şi dupǎ direcţia necunoscutei XI produsǎ de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutei Xj=1; Δip

0 –deplasarea din punctul de aplicaţie şi dupǎ direcţia necunoscutei XI produsǎ de aplicarea pe structura de bazǎ a forţelor exterioare. Ecuaţia (9.1) poartǎ numele de ecuaţia de compatibilitate (de condiţie sau de echilibru elastic) din metoda forţelor. Scriind ecuaţiile de compatibilitate dupǎ direcţia fiecǎrei necunoscute se obţine un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute din care se calculeazǎ valorile reale ale necunoscutelor static nedeterminate:

0

...

............

...

...

)2.9(0

0

0

11

21

21

11211

1

=

∆

∆

∆

+

=

=

np

ip

p

n

j

nnnn

inii

n

n

ix

X

X

X

U

U

U

U

δδδ

δδδ

δδδ

K

sau care sub formǎ restrînsǎ se scrie astfel:

njXDU iPjiji ...2,1,0][)3.9(0

==∆+= KK

Matricea [Dij] reprezintă matricea de flexibilitate a structurii. Este o matrice pǎtratǎ şi conţine deplasǎrile unitare (coeficienţi de influenţǎ) dupǎ direcţiile necunoscutelor produse de aplicarea succesivǎ pe structura de bazǎ a fiecarei necunoscute egalǎ cu unitatea. Elementele din coloana j a matricii [Dij] reprezintǎ deplasǎrile dupǎ direcţia necunoscutelor XI (I=1,2…n) produse de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutei Xj=1 celelalte necunoscute fiind egale cu zero. Din teorema reciprocitǎţii deplasǎrilor unitare a lui Maxwell se cunoaşte cǎ δij=δji, în consecinţǎ matricea [Dij]este o matrice pǎtratǎ simetricǎ. Vectorul deplasǎrilor dupǎ direcţiile necunscutelor Δip

0 produs de aplicarea pe structura de bazǎ a forţelor exterioare se mai scrie:

njPDa jijip ,..2,1][)3.9(0

==∆ KK .

Matricea [Δip] este o matrice coloană ale cǎrei elemente reprezintǎ deplasǎrile dupǎ direcţiile necunoscutelor XI (I=1,2,n) produse de aplicarea succesivǎ pe structura de bazǎ a forţelor Pj=1(j=1,2,…n). Elementele din coloana j a matricii [Dij] reprezintǎ deplasǎrile dupǎ direcţia necunoscutelor XI (I=1,2…n) produse de aplicarea pe structura de bazǎ a forţei Pj=1 celelalte forţe P fiind egale cu zero. Vectorul P conţine toate forţele exterioare aplicate pe structura de bazǎ.

Sistemul de ecuaţii (9.2) reprezintǎ ecuaţiile de compatibilitate din metoda forţelor, de unde derivǎ şi denumirea de metoda compatibilitǎţii. Din rezolvarea sistemului de ecuaţii se determinǎ valorile reale ale necunoscutelor.

njPDX jiji ,..2,1,...][)4.9( 1 =−= −K

unde [Dij]-1 este inversa matricei flexibilitǎţii structurii de bazǎ şi reprezintă de fapt matricea de

rigiditate. Reiese cǎ prin trecerea la structura de bazǎ static determinatǎ în metoda forţelor se satisface

condiţia de echilibru a structurii şi condiţia compatibilitate nu este îndeplinitǎ. Scrierea ecuaţiilor de

146

compatibiltate permite calculul necunoscutelor reale şi asigurǎ îndeplinirea condiţiei de compatibilitate a deformatei structurii şi relaţiile între forţe şi deplasǎri.

În cazul în care determinantul matricii de rigiditate este egal cu zero atunci structura îşi pierde stabilitatea, iar una din soluţii în rezolvarea sistemului de ecuaţii o reprezintă soluţia banală. 9.4.1Calculul elementelor din matricea flexibilitǎţii structurii de bazǎ.

Matricea flexibilitǎţii structurii de bazǎ conţine pentru o structurǎ de n ori static nedeterminatǎ n2 coeficienţi de influenţǎ δij (I,j=1,2,…n). În problemele practice nu este necesar sǎ se calculeze toţi cei n2 coeficienţi de flexibilitate, deoarece conform teoremei reciprocitǎţii deplasǎrilor unitare δij=δji. Coeficienţii de influenţǎ δij se calculeazǎ cu formula Maxwell-Mohr:

∑∫ ∑∫ ∑∫++== dsGA

ttds

EA

nnds

EI

mm jijiji

jiij

αδδK)5.9(

∑∫ ∑∫ ∑∫++= dsGA

tds

EA

nds

EI

m iiiii

222

)6.9(α

δK

din care se vor lua în considerare numai anumite integrale, în funcţie de structura care se rezolvǎ. Din analiza expresiilor (9.5), (9.6) se observǎ cǎ pentru a calcula coeficienţii de formǎ δij se

integreazǎ diagramele de eforturi obţinute din aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutei XI=1 cu diagramele de eforturi obţinute din necunoscuta Xj=1. Pentru calculul tuturor coeficienţilor sînt necesare diagramele de eforturi produse de aplicarea succesivǎ pe structura de bazǎ a tuturor necunoscutelor XI=1(I=1,2,..n). Coeficienţii de formǎ δii se calculeazǎ integrînd diagramele de eforturi produse de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutei XI=1 cu ele însele şi sînt totdeauna pozitivi.

Deplasǎrile δi1 (I=1,2,..n) din prima coloanǎ a matricei [Δxx] se calculeazǎ integrînd diagramele de eforturi din X1=1 cu diagramele de eforturi din XI=1(I=1,2,..n). Analog se calculeazǎ deplasǎrile δi2(I=1,2,..n) din coloana a doua, integrînd diagramele de eforturi din X2=1 cu diagramele de eforturi din XI=1(I=1,2,..n). În final se calculeazǎ deplasǎrile δin din coloana n prin integrarea diagramelor de eforturi dn Xn=1 cu diagramele de eforturi din XI=1(I=1,2,..n) stabilite pe structura de bazǎ static determinatǎ. Din expresia (9.5) se observǎ cǎ deplasǎrile δij nu depind de forţele aplicate pe structurǎ, ci numai de structura de bazǎ, de elementele geometrice ale secţiunii barelor structurii (A,I) şi de modulii de elasticitate ai materialului (E,G). Aceasta înseamnǎ cǎ pentru o anumitǎ structurǎ de bazǎ, coeficienţii de influenţǎ din matricea flexibilitǎţii sînt invarianţi, adicǎ la schimbarea forţelor aplicate pe structurǎ se recalculeazǎ numai matricea coloanǎ a termenilor liberi din sistemul de ecuaţii. Matricea flexibilitǎţii structurii de bazǎ [Dij] se poate calcula şi în funcţie de matricele flexibilitǎţii elementelor structurale componente. Pentru aceasta trebuie sǎ se ţinǎ seama cǎ direcţiile deplasǎrilor din matricea flexibilitǎţii corespund cu direcţiile necunoscutelor X şi sînt produse de aplicarea succesivǎ pe structura de bazǎ a necunoscutelor Xj=1 (j=1,2,..n) 9.4.2 Calculul elementelor din matricea termenului liber

Calculul valorilor reale ale necunoscutelor X necesitǎ determinarea deplasǎrilor din vectorul termenului liber Δip

0produse de aplicarea pe structura de bazǎ a forţelor exterioare. Aceste deplasǎri la structurile alcǎtuite din bare se calculeazǎ cu formula Maxwell-Mohr:

∑∫ ∑∫ ∑∫++=∆ dsGA

Ttds

EA

Nnds

EI

Mm pipipi

ip

000

0)7.9(

αK în care indicele I se referǎ la

diagramele produse de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutei XI=1, iar diagramele Mp0, Tp

0, Np

0 sînt produse de aplicarea pe structura de bazǎ a forţelor exterioare. Deplasǎrile Δip0 se pot

calcula şi din relaţia matricealǎ (9.3a).

147

9.4.3 Eforturile finale în structura static nedeterminatǎ.

Dupǎ determinarea necunoscutelor , eforturile finale se determinǎ folosind principiul

suprapunerii efectelor. Momentul încovoietor pe structura static determinatǎ se stabileşte însumînd soluţia particularǎ cu soluţia complementarǎ:

∑=

+=++++=n

jjjpnnjjpp XmMXmXmXmMM

1

0

11

0......)8.9( K în care Mp

0 este momentul

încovoietor produs de forţele exterioare aplicate pe structura de bazǎ; mj- momentul încovoietor produs de aplicarea pe structura de bazǎ a necunoscutelor Xj=1; 9.4.4 Calculul deplasǎrilor pe structura static nedeterminatǎ

Deplasarea absolutǎ din secţiunea k dupǎ direcţia datǎ (δPk=1) pe structura static nedeterminatǎ se calculeazǎ din relaţia:

∑=

δ+∆=δ++δ++δ+∆=∆n

1jjkj

0

kpnknjkj11k

0

kpkp XX...X...X)9.9( K

în care Δkp0 reprezintǎ deplasarea din secţiunea k pe structura static determinatǎ de bazǎ, produsǎ de

forţele exterioare, iar δkj deplasarea din aceeaşi secţiune produsǎ de aplicarea pe structura static determinatǎ a necunoscutei Xj=1. Deplasǎrile Δkp

0 şi δkj se calculeazǎ din expresiile:

∑∫ ∑∫ ∑∫++=∆ dsGA

Ttds

EA

Nnds

EI

Mm pkpkpk

kp

000000

0)10.9(

αK

∑∫ ∑∫ ∑∫++= dsGA

ttds

EA

nnds

EI

mm jkjkjk

kj

000

)11.9(α

δK

Eforturile mk0 ,nk

0 şi tk0 rezultǎ din aplicarea pe structura de bazǎ a forţei virtuale δPk=1 în

direcţia deplasǎrii Uk iar eforturile Mp0 Np

0 şi Tp0 sînt produse de aplicarea pe structura de bazǎ a

forţelor exterioare. Diagramele de eforturi mj, nj, tj sînt produse de aplicarea succesivǎ a forţelor Xj=1,(j=1,2,…n)pe structura de bazǎ. Luînd în considerare numai influenţa momentelor încovoietoare din relaţiile (9.10) şi (9.11) şi introducîndu-le în expresia (9.9) se obţine:

∑∫ ∑∫ ∑∫α

++=∆ dsGA

Ttds

EA

Nnds

EI

Mm)12.9(

p

0

kp

0

kp

0

k

kpK

şi ţinînd seama de relaţia (9.8) rezultǎ:

∑∫=∆ dsEI

Mm pk

kp

0

)13.9( K

Demonstraţia este analoagǎ şi pentru influenţa forţei axiale şi a forţei tǎietoare. Deplasarea din secţiunea k dupǎ direcţia lui δPk=1 pe structura static nedeterminatǎ se determinǎ integrînd diagrama de moment din forţa virtualǎ δPk=1, stabilitǎ pe orice structurǎ static determinatǎ derivatǎ din structura realǎ, cu diagrama de moment încovoietor din forţele exterioare determinatǎ pe structura static nedeterminatǎ. Dacǎ la calculul deplasǎrii Δkp se ia în considerare influenţa forţei axiale şi a forţei tǎietoare relaţia de mai sus devine:

∑∫ ∑∫ ∑∫++=∆ dsGA

Ttds

EA

Nnds

EI

Mm pkpkpk

kp

000

)14.9(α

K în care diagramele Mp , Np şi Tp se

determinǎ cu luarea în considerare a aceloraşi eforturi. Etapele de calcul în rezolvarea unei structuri static nedeterminate cu metoda forţelor sînt

urmǎtoarele: -se determinǎ gradul de nedeterminare staticǎ n;

148

-se alege structura de bazǎ static determinatǎ (structura primarǎ) prin suprimarea a n legǎturi şi înlocuirea lor cu forţele de legǎturǎ Xj (j=1,2,…n), şi se traseazǎ diagramele de eforturi;

-se calculeazǎ elementele din matricea flexibilitǎţii structurii de bazǎ [Dij] -se calculeazǎ deplasǎrile Δip

0 produse de forţele exterioare; -se rezolvǎ sistemul de ecuaţii printr-o metodǎ oarecare sau calculînd matricea [Dij]

-1; -se calculeazǎ diagrama momentului încovoietor final; diagramele Tp şi Np se deduc din

diagrama Mp şi din condiţii de echilibru static. -se calculeazǎ deplasǎrile pe structura static nedeterminatǎ dupǎ anumite direcţii.

Exemplul 1:

Pentru structura static nedeterminată din figura 9.6 să se traseze diagrama finală de moment, folosind metoda eforturilor.

Gradul de nedeterminare statică se stabileşte cu relaţia.

1213

23

=−⋅=

−−=

N

SACN

Sistemul de bază se obţine prin eliminarea unei legături suplimentare şi introducerea echivalentului mecanic, în cazul de faţă momentul X1.

Din următoarele sume de moment se determină valorile reacţiunilor pentru sistemul de bază încărcat numai cu forţe exterioare.

KNV

VM

KNV

VM

5,157

0763080)(

5,22

01230243080)(

2

21

1

12

=

=⋅⋅+⋅−→=

=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅→=

∑

∑

KNmM

KNmM

KNHHMst

601230

90615

150645,220)(

5

4

113

=⋅⋅=

=⋅=

==⋅−⋅→=∑ K

149

Fig.9.6 Diagrama de moment obţinută prin metoda eforturilor

150

Similar se procedează la determinarea reacţiunilor şi pentru sistemul de bază încărcat cu X1=1.

KNM

KNHHM

VVVM

st

5.0612

11

12

10614

8

10)(

8

10180)(

4

113

2112

=⋅−=

==⋅−+⋅−→=

===+⋅−→=

∑

∑

K

K

Ecuaţia de condiţie are forma:

EIEI

EIEI

EIEIdx

EI

m

X p

22,4)5,022,015,2(

1

5,03

265,0

2

115.0

3

245.0

2

12

3

1

13

15.0

3

265,0

2

115.0

3

11

3

2

6

1

2

11

0

2

1

11

1111

=+++

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

+

⋅+⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅=

=

=∆+

∫δ

δ

Termenul 11δ se obţine din integrarea diagramei m1 cu ea însăşi, iar p1∆ prin integrarea diagramei

m1 cu Mp0.

EIEI

EIEI

EIEI

EIdx

EI

mM p

p

130)9033,5333,3320180(

1

5,03

2690

2

115,0

3

14

8

430

3

2

3

1

5,03

24150

2

1

3

15,0

3

2490

2

1

3

1

13

15,0

3

2690

2

111

0

1

−=+−+−−

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−

−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−

−

⋅+⋅⋅⋅⋅−=

=∆ ∫

Diagrama finală de moment se obţine prin suprapunere de efecte:

4,1058,305,090

4,1658,305,0150

6,748,305,090

8,30

25

45

14

41

11

0

−=−−−=

−=⋅−−=

−=⋅+−=

=

+=

−

−

−

−

M

M

M

KNM

XmMM p

Exemplul 2:

Pentru structura static nedeterminată din figura 9.7 să se traseze diagrama finală de moment încovoietor, folosind metoda eforturilor.

151

Fig.9.7 Diagramă de moment obţinută prin metoda eforturilor

152

Gradul de nedeterminare statică este:

1213

23

=−⋅=

−−=

N

SACN

Sistemul de bază se obţine prin eliminarea unei legături suplimentare şi introducerea echivalentului mecanic, în cazul de faţă forţa orizontală X1.

Din următoarele sume de moment se determină valorile reacţiunilor pentru sistemul de bază încărcat numai cu forţe exterioare.

KNV

VM

66,16

02301210361060)(

1

12

=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅→=∑

KNmM

KNV

VM

803610666,16

33,93

0683048100)(

43

2

21

−=⋅⋅−⋅=

=

=⋅−⋅+⋅⋅→=∑

Coeficientul necunoscutei şi termenul liber se determină cu relaţiile Maxwell Mohr:

EI

EIEIEIdx

EI

m

66,90

)4866,42(1

4642

14

3

244

2

112

2

111 ∫ =+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅==δ

32,1

120)360480(

1

468

610

3

2

2

14680

2

1

2

1

1

1

0

1

=

=−

=⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==∆ ∫

X

EIEI

EIEIdx

EI

mM p

p

Diagrama finală de moment se obţine prin suprapunere de efecte:

KNmM

M

XmMM p

7,7432,1480

28,5)32,1)(4(

43

3

11

0

−=⋅+−=

=−−=

+=

Exemplul 3:

Pentru structura static nedeterminată din figura 9.8 să se traseze diagrama finală de moment încovoietor, folosind metoda eforturilor. Gradul de nedeterminare statică:

KNmM

KNV

VM

KNH

N

SACN

24024304120

40

0243060)(

120430

212223

23

3

1

12

1

=⋅⋅−⋅=

=

=⋅⋅+⋅−→=

=⋅=

=⋅−−⋅=

−−=

∑

153

Fig.9.8 Structură de 2 ori static nedetrminată rezolvată prin metoda eforturilor

154

Momentul în punctul 4 se obţine ca fiind suma momentelor forţelor din stînga secţiunii.Moment în punctul 4 va da reacţiunea V1 şi încărcarea uniform distribuită.

0243041206404 =⋅⋅−⋅+⋅−=M

În pasul următor se determină reacţiunile V1 şi V2 pentru sistemul de bază încărcat doar cu X1=1.

KNV

VM

KNV

VM

66,1

010160)(

3

2

04160)(

2

21

1

12

=

=⋅−⋅→=

=

=⋅−⋅→=

∑

∑

Coeficienţii necunoscutelor şi termenii liberi se determină cu relaţiile:

EIEI

EIEIdx

EI

m

33,21)66,1066,10(

1

3

244

2

1

2

14

3

264

2

1

3

12

111

=+

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅== ∫δ

EIEI

EIEIdx

EI

m

66,74)3266,42(

1

4643

14

3

244

2

112

2

222

=+=

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ∫δ

∫ −=⋅⋅⋅⋅−==EIEI

dxEI

mm 16464

2

1

3

12112δ

∫ =⋅⋅⋅⋅⋅==∆EIEI

dxEI

mM p

p

6404

3

26240

2

1

3

11

0

1

EIEI

EIEI

EIdx

EI

mM p

p

2560)9603201280(

1

462402

1

3

14

2

14

8

430

3

21

43

24240

2

11

2

2

0

2

−=−−−=

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅⋅−==∆ ∫

=−+−

=+−

0256066,7416

06401633,21

21

21

XX

XX

În urma rezolvării sistemului de ecuaţii se obţin necunoscutele X1 şi X2.

=

−=

19,13

1,5

2

1

X

X

Diagrama finală de moment se obţine prin suprapunere de efecte.

4,201,54

76,13219,334

16,153

19,3341,54

24,10719,334240

45

42

43

31

−=⋅−=

−=⋅−=

−=

=⋅−⋅−=

=⋅−=

M

M

KNm

M

M

155

Fig.9.9 Diagramă unitară m2 şi diaagramă finală de moment Exemplul 4:

Pentru structura static nedeterminată din figura9.10 să se traseze diagrama finală de moment încovoietor, folosind metoda eforturilor. În acest caz gradul de nedeterminare statică este egal cu 2.

KNmM

VKNV

VM

36024154120

80

0481560)(

31

21

12

=⋅⋅−⋅=

==

→=⋅⋅+⋅−→=∑

EIEI

EIEI

192)14448(

1

6461

63

266

2

1

3

1211

=+

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ

156

Fig.9.10 Rezolvare prin metoda eforturilor (S.B. m1,Mp

0)

157

Fig.9.11 Diagrama m2 şi diagrama finală M

EIEI

EIEI

33,53)3233,21(

1

4643

14

3

244

2

1

2

1222

=+=

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI

24466

2

1

3

112 =⋅⋅⋅⋅=δ

EIEIEI

EIEIp

2880)48014401920(

164

8

1615

3

21

641202

116

3

26480

2

1

3

11

−=+−−=⋅⋅⋅

⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=∆

158

EIEIEIEI

EIEIp

28004

2

1

8

415

3

2

2

128801920960

464802

1

3

14

3

24360

2

1

2

1

2

2

−=⋅

⋅⋅⋅+−=

−−

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∆

=−+

=−+

0280033,5324

0288024192

21

21

XX

XX

48,4893,8 21 == XX K

Momentele finale pe structură se obţin prin suprapunere de efecte.

58,5393,86

42,6693,86120

08,16648,484360

53

35

31

=⋅=

−=⋅+−=

=⋅−=

M

M

M

92,19348,484

5,23248,48493,86480

43

34

−=⋅−=

=⋅−⋅−=

M

M

Exemplul 5:

Pentru structura static nedeterminată din figura9.12 să se traseze diagrama finală de moment încovoietor, folosind metoda eforturilor Într-o primă etapă se determină gradul de nedeterminare statică: 123 =−−= SACN .

Sistemul de bază se obţine prin transformarea articulaţiei 2 în reazem simplu şi introducerea echivalentului mecanic, în cazul de faţă o reacţiune orizontală. Pentru sistemul de bază încărcat cu sarcinile exterioare se scriu sumele de moment în nodurile 1 şi 2, determinîndu-se astfel reacţiunile V1 şi V2.

( ) KNVVM 10,023060 112−==⋅−⋅→=∑ K

( ) KNVVM 40,083060 221==⋅+⋅−→=∑ K

În cazul încărcării sistemului de bază cu X1=1 se obţine reacţiunea H1=1. Termenul 11δ se obţine prin integrarea diagramei m1 cu ea însăşi iar p1∆ prin integrarea diagramei

m1 cu Mp0.

EIEI

EIEI

p

3604660

2

1

2

1

66,424

3

244

2

112

1

11

=⋅⋅⋅⋅=∆

=⋅⋅⋅⋅⋅=δ

Ecuaţia de condiţie este o ecuaţie cu o singură necunoscută.

72,93460

72,334

43,8

036066,42

143

134

1

1

=⋅−−=

−=−=

=

=+

XM

XM

X

X

Valorile momentelor pe structură s-au obţinut prin suprapunere de efecte.

159

Fig.9.12 Structură cu 1 grad de nedeterminare statică

160

9.5 Posibilităţi de simplificare a ecuaţiilor de condiţie

În metoda generală a eforturilor, numărul ecuaţiilor de condiţie este de obicei egal cu gradul de nedeterminare statică a structurii. Cînd gradul de nedeterminare creşte, alcătuirea sistemului de ecuaţii şi în special rezolvarea acestuia devin dificile. Este deci firesc să se dea o atenţie deosebită posibilităţilor de simplificare a ecuaţiilor de condiţie. Prin aceasta, se poate extinde domeniul de aplicare practică al metodei şi la structuri cu mai multe nedeterminări, păstrîndu-se simplitatea de rezolvare.

Căile de simplificare trebuie căutate în legătură cu coeficienţii secundari ai ecuaţiilor. Aceştia au forma:

∫ ∫+= dxEA

nndx

EI

mm jiji

ijδ

şi deci valorile lor depind de perechile de diagrame unitare care sînt considerate. Obiectivul principal ce trebuie urmărit este de a obţine anularea a cît mai mulţi coeficienţi secundari. Cazul extrem, cînd toţi aceşti coeficienţi ar fi nuli, ar conduce la aflarea necunoscutelor static nedeterminate din ecuaţii independente cu cîte o singură necunoscută. Trebuie urmărit ca un număr cît mai mare de perechi de diagrame unitare să fie ortogonale. Această condiţie este îndeplinită cînd cele două diagrame se întind pe bare diferite (nu au nici o bară comună) sau cînd configuraţiile lor prezintă anumite particularităţi care conduc la anularea integralei.

Ortogonalizarea diagramelor unitare se poate obţine prin alegerea judicioasă a sistemului de bază, cît şi prin utilizarea unor necunoscute complexe rezultate din grupări adecvate a necunoscutelor iniţiale. Aici vom examina principial aceste două aspecte ale problemei, urmînd ca în continuare să se arate procedee cu aplicare practică eficientă. 9.5.1 Alegerea judicioasă a sistemului de bază

Este indicat ca alegerea sistemului de bază să se facă cu discernămînt, examinînd comparativ mai multe sisteme de bază posibile. Pentru aceasta nu este de obicei necesar să se traseze complet diagramele unitare, ci numai să se identifice barele pe care se întinde fiecare diagramă (spre a stabili acele perechi care nu au bare comune) cît şi anumite particularităţi ale diagramelor.

161

Fig.9.13 Alegerea judicioasă a sistemului de bază

Un exemplu este dat în figura 9.13, referitor la un cadru cu trei contururi şi cu încastrări şi rezemări, care este de nouă ori static nedeterminat. În figura 9.13 b şi c se arată comparativ două sisteme de bază. În primul caz s-a menţinut o singură încastrare; sistemul de bază apare ca o bară încastrată ce are mai multe braţe. Se vede imediat că diagramele date de către sarcinile unitate corespunzătoare necunoscutelor se vor întinde şi pe stîlpul care pleacă din încastrare; în consecinţă, perechile de diagrame unitare au acestă bară comună şi deci coeficienţii secundari rezultă diferiţi de zero. În al doilea caz s-au menţinut toate încastrările, secţionînd cadrul astfel încît sistemul de bază are patru porţiuni independente. Toate necunoscutele sînt perechi de forţe sau de momente, deci fiecare dă diagramă de momente încovoietoare pe cele două porţiuni vecine (fac excepţie X2 şi X5 care dau diagramă numai pe porţiunea din stînga. Urmărind barele comune, se obţine matricea coeficienţilor dată în figură. Din totalul de 72 de coeficienţi secundari, se anulează un număr de 34 coeficienţi , deci 47%, ceea ce reprezintă o simplificare substanţială.

162

Se pot examina în acelaşi mod şi alte sisteme de bază, punctînd în matricea coeficienţilor acei coeficienţi care rezultă diferiţi de zero. Compararea unor astfel de matrice schematizate poate orienta, în cazuri mai complicate alegerea judicioasă a sistemului de bază.

O observaţie utilă pentru alegerea sistemului de bază se referă la obligarea diagramelor unitare de a se anula în anumite puncte convenabil alese. Astfel, pentru o bară cotită dublu încastrată, se poate alege sistemul de bază din fig.9.13d, cu articulaţiile introduse la treimile barelor (admise cu secţiune constantă), în loc de a fi introduse în încastrări. Diagramele unitare corespunzătoare se văd în figurile 9.13e-g. Aceste diagrame sînt ortogonale două cîte două deoarece punctele de anulare din diagrama m2 corespund poziţiei centrelor de greutate ale diagramelor unitare m1 şi m3. Rezultă că toţi coeficienţii secundari sînt nuli, astfel că ecuaţiile de condiţie se reduc la trei ecuaţii independente cu cîte o singură necunoscută. Exemplificările date scot în evidenţă importanţa alegerii judicioase a sistemului de bază pentru simplificarea rezolvării. 9.5.2 Structuri simetrice

Atunci cînd structurile static nedeterminate au o axă de simetrie se pot obţine simplificări în rezolvarea sistemului de ecuaţii dacă sistemul de bază se alege suprimînd continuitatea barelor în axa de simetrie. Dacă toate necunoscutele se exteriorizează în axa de simetrie, se obţine o structură de bază simetrică asupra căreia acţionează necunoscute simetrice şi antisimetrice. Astfel pentru o structură de n ori static nedeterminată, sistemul ecuaţiilor de compatibilitate se descompune într-un sistem de p ecuaţii care conţine necunoscutele simetrice şi un sistem de q ecuaţii cu necunoscutele antisimetrice (n=p+q). În acest mod se ajunge la două sisteme de ecuaţii cu un număr mai mic de necunoscute decît cel iniţial. În cazul în care forţele exterioare sînt simetrice, termenii liberi care conţin necunoscute antisimetrice sînt nuli, deci în consecinţă necunoscutele antisimetrice sînt nule. În cazul în care forţele exterioare sînt antisimetrice, termenii liberi care conţin necunoscute simetrice sînt nuli, deci în consecinţă necunoscutele simetrice sînt nule. 9.5.3 Procedeul semistructurii

Procedeul semistructurii este utilizat la simplificarea sistemului de ecuaţii în metoda eforturilor, prin utilizarea simetriei structurii. Semistructura este obţinută secţionînd structura reală în axa de simetrie şi introducînd în acestă secţiune legături care înlocuiesc efectul substructurii îndepărtate şi asigură ca deformata semistructurii să fie identică cu deformata structurii reale. Aceste legături care se introduc în axa de simetrie se aleg funţie de conformaţia structurii reale şi de tipul încărcărilor care acţionează pe structură (încărcări simetrice sau antisimetrice). Există mai multe situaţii în practică după cum urmează: -a)axa de simetrie intersectează o riglă orizontală; -b)axa de simetrie intersectează un nod în care concură două bare sub un anumit unghi; -c)axa de simetrie intersecteză un stîlp; -Încărcări simetrice. Dacă structura este simetrică şi forţele simetrice atunci deformata structurii reale este simetrică. Secţiunea din axa de simetrie are deplasarea după verticală diferită de zero, iar deplasarea orizontală şi rotirea nule. Astfel în axa de simetrie se va introduce o încastrare glisantă care să impună aceste deplasări pentru semistructura rămasă. Acest tip de legătură se va introduce pentru cazurile “a” şi “b”. Pentru cazul “c” în axa de simetrie se va introduce o încastrare perfectă, deoarece secţiunea din axa de simetrie nu se poate deplasa pe verticală. -Încărcări antisimetrice.Dacă structura este simetrică şi forţele sînt antisimetrice atunci deformata structurii este antisimetrică. Secţiunea din axa de simetrie are deplasarea pe orizontală şi rotaţia diferite de zero, deplasarea pe verticală egală cu zero. Astfel, în axa de simetrie se va introduce un

163

reazem simplu care să permită aceste deplasări pentru semistructura rămasă. Acest tip de legătură se va introduce pentru cazurile “a” şi “b”. Pentru cazul “c” în axa de simetrie se va introduce un stîlp cu rigiditatea la jumătate faţă de valoarea iniţială . Prezentarea acestor cazuri este făcută în fig. 9.14.

Fig.9.14 Semistructuri pentru încărcare simetrică şi antisimetrică

9.5.4 Procedeul grupării necunoscutelor

Procedeul grupării necunoscutelor permite reducerea numărului de necunoscute şi a volumului de calcule. Acest procedeu se aplică structurilor simetrice încărcate simetric sau antisimetric. Pentru structurile simetrice încărcate simetric se va rezolva numai gruparea simetrică iar în cazul structurilor simetrice încărcate antisimetric se va rezolva numai gruparea antisimetrică. Numărul total al necunoscutelor grupate simetric şi antisimetric trebuie să fie egal cu gradul de nedeterminare statică.

164

Fig.9.15 a) structură iniţială; b) sistem de bază fără a se ţine cont de proprietăţile de simetrie şi încărcare; c) grupare simetrică; d) grupare antisimetrică

9.5.5 Transferarea necunoscutelor

Un procedeu simplu, prin care se obţine gruparea necunoscutelor, constă în transferarea unor necunoscute din poziţia lor iniţială în alte poziţii. În acest scop se introduc braţe fictive perfect rigide, care se consideră încastrate de capetele unei bare secţionate ca în fig.9.16 e sau i . Prezenţa barelor fictive nu aduce nici o modificare în comportarea elastică a structurii, dar permite să se intervină asupra modului de acţiune a necunoscutelor. Prin alegerea convenabilă a unor noi poziţii pentru necunoscute, devine posibilă impunerea anumitor condiţii de anulare a coeficienţilor secundari, obţinînd ortogonalizarea unor perechi de diagrame unitare.

165

Fig.9.16 Transferarea necunoscutelor

Fie exemplul din fig. 9.16 a, pentru care s-a ales sistemul de bază din fig.9.16b. Diagramele

unitare m1 şi m2, corespunzătoare necunoscutelor X1 şi X2 sînt arătate în fig. 9.16 c şi d; rezultă 02112 ≠= δδ .

Să înlocuim acum necunoscutele unitate X2=1 prin necunoscuta unitate X2’=1, aplicată prin intermediul unei perechi de braţe fictive perfect rigide, ca în fig.9.16e. Aceste noi necunoscute îi corespunde diagrama unitară m2. Dacă se alege a=2h/3, diagramele m1,m2’ devin ortogonale între ele pentru bare de secţiune constantă şi deci 0'' 2112 == δδ . Înseamnă că utilizarea necunoscutelor

X1 şi X2’,în loc de necunoscutele X1 şi X2 asigură independenţa acestor necunoscute. Semnificaţia necunoscutei X2’ apare admiţînd suprimate braţele fictive şi aplicînd efectul lor

asupra capetelor barei secţionate, ca în fig. 9.16f. Se vede imediat că prin transferarea efectuată s-a realizat de fapt o grupare a necunoscutelor X1 şi X2, în sensul că diagrama m2’ poate fi obţinută din m1 şi m2 prin combinarea 212 ' mamm ⋅+= . Înseamnă că diagrama m2’ poate înlocui una sau alta

166

dintre diagramele iniţiale m1 şi m2 dar nu poate fi considerată împreună cu amîndouă deoarece nu este diferită de ele.

Transferarea uneia sau a mai multor necunoscute prin braţe fictive se poate face în diferite moduri, ca poziţie şi direcţie. Fie de exemplu grinda cotită dublu încastrată din fig. 9.16g şi sistemul de bază arătat în fig. 9.16h unde s-a efectuat o secţionare completă în nod. Necunoscuta X1 dă o diagramă triunghiulară numai pe stîlp, iar X3 dă o diagramă triunghiulară numai pe bară înclinată, asemănătoare cu cele din fig. 9.16e şi g; în schimb X2 dă diagramă pe ambele bare, astfel că

02112 ≠= δδ .

În figura 9.16i se arată o nouă alegere a necunoscutelor, unde X2 a fost înlocuit –prin transferare- cu X2’; perechea de forţe care reprezintă această necunoscută este dirijată după linia care uneşte punctele situate la treimile extreme ale celor două bare. Diagrama m2’ este similară cu aceea din fig. 9.16f şi deci diagramele m1,m2’ şi m3 sînt ortogonale două cîte două, astfel că toţi coeficienţii secunndari se anulează.

Dacă se elimină şi în acest caz braţele fictive, reducînd pe X2’ în raport cu centrul de greutate al nodului, se constată că de fapt X2’ reprezintă o necunoscută care rezultă prin gruparea celor trei necunoscute iniţiale. Întradevăr, componentele lui X2’=1 pe direcţiile acestora sînt:

εβα cos/cos21 = a=22α , εεβα cos/)sin(23 −−=

astfel că se poate scrie

3232221212 ' mmmm ααα ++=

care reprezintă o grupare liniară a diagramelor iniţiale şi care poate înlocui pe oricare dintre ele, de exemplu pe m2 în cazul de faţă. Transferarea necunoscutelor se dovedeşte utilă în multe cazuri; alte exemplificări se vor da mai departe.

Exemplul 6: Pentru structura static nedeterminată din figura 9.17 să se traseze diagrama finală de moment încovoietor, folosind metoda eforturilor, utilizînd procedeul semistructurii.

Structura fiind simetrică încărcată antisimetric, pentru semistructură, în axa de simetrie, se va introduce un reazem simplu. Semistructura astfel obţinută este odată static nedeterminată. Sistemul de bază se obţine prin transformarea încastrării 1 în articulaţie plus echivalentul mecanic un moment X1. Calcul reacţiuni S.B. încărcat cu forţe exterioare:

( ) KN45V06608V0M 112=→=⋅+⋅−→=∑

( ) KN45V08V6600M 221=→=⋅−⋅→=∑

Calcul reacţiuni S.B. încărcat cu necunoscuta X1=1

( )8

1V018V0M 112

=→=+⋅−→=∑

Ecuaţia de condiţie, în acest caz, are forma:

→=∆+δ 0X p1111

+

⋅+⋅⋅+

⋅+⋅⋅⋅==δ ∫ 1

3

1

2

1

3

221,7

2

1

2

1

EI2

1

2

1

3

11

3

221,71

2

1

EI2

1dx

EI

m2

111

EI

18,2)083,06,0502,1(

EI

1

2

1

3

24

2

1

2

1

EI4

1=++=⋅⋅⋅⋅

+

⋅+⋅⋅==∆ ∫ 1

3

1

2

1

3

221,7180

2

1

EI2

1dx

EI

mM 1

0

p

p1

EI

3,246)303,216(

EI

1

2

1

3

24180

2

1

EI4

1=+=⋅⋅⋅⋅

167

98,11218,2

3,246X1 −=−=

Fig.9.17 Rezolvare structură simetrică folosind procedeul semistructurii.

a) structură iniţială; b)semistructură; c) sistem de bază; d) sistem de bază încărcat cu sarcini

exterioare; e)diagramă de moment 0

pM ;f)diagramă de moment sistem de bază încărcat cu sarcini

exterioare; g) diagramă unitară m1 ; h)diagramă finală de moment