TEHNIČKA TEHNIČKA MEHANIKA 1MEHANIKA 1

STATIKASTATIKA

prof. dr Dragoslav Šumaracprof. dr Dragoslav ŠumaracGrađevinski fakultet, Građevinski fakultet,

BeogradBeograd

LITERATURALITERATURADR NATALIJA NAERLOVIĆ-VELJKOVIĆDR NATALIJA NAERLOVIĆ-VELJKOVIĆ, , MEHANIKA I,MEHANIKA I, NAUČNA KNJIGA, 1988.NAUČNA KNJIGA, 1988.GRUPA AUTORA,GRUPA AUTORA, ZBIRKA ZADATAKA SA ZBIRKA ZADATAKA SA ISPITA IZ MEHANIKE IISPITA IZ MEHANIKE I

TOKOM SEMESTRA STUDENTI SU TOKOM SEMESTRA STUDENTI SU OBAVEZNI DA POLAŽUOBAVEZNI DA POLAŽU

33 KOLOKVIJUMA KOLOKVIJUMAPREDROK, PREDROK, ISPIT ISPIT

UVODNE NAPOMENEUVODNE NAPOMENE

I predavanjeI predavanje

MEHANIKAMEHANIKA JE NAUKA KOJA SE BAVI JE NAUKA KOJA SE BAVI PROUČAVANJEMPROUČAVANJEM KRETANJA TELAKRETANJA TELA

POJAM KRETANJA UKLJUČUJE IPOJAM KRETANJA UKLJUČUJE I MIROVANJEMIROVANJE

IME JOJ JE DAOIME JOJ JE DAO ARISTOTELARISTOTEL (384-322p.n.e)(384-322p.n.e)

UVODUVOD

NEPREKIDNA SREDINANEPREKIDNA SREDINA

PodPod NEPREKIDNOM SREDINOM NEPREKIDNOM SREDINOMse podrazumeva takva sredina, kod se podrazumeva takva sredina, kod koje svakoj koje svakoj geometrijskoj tačkigeometrijskoj tački odgovara odgovara materijalna tačkamaterijalna tačka sa sa pripadajućom masom, i pri tome je pripadajućom masom, i pri tome je broj tačaka neograničen.broj tačaka neograničen.

NEPREKIDNA SREDINANEPREKIDNA SREDINA

GASGAS

FLUID FLUID • MEHANIKA FLUIDAMEHANIKA FLUIDA

DEFORMABILNO (ČVRSTO)DEFORMABILNO (ČVRSTO) (SOLID BODIES)(SOLID BODIES)

• OTPORNOST MATERIJALAOTPORNOST MATERIJALA

KRUTO

• MEHANIKA 1MEHANIKA 1• MEHANIKA 2MEHANIKA 2

TELO

ŠTA JE ŠTA JE KRUTOKRUTO TELOTELO??

KRUTO TELOKRUTO TELO JE MODEL JE MODEL MATERIJALNE SREDINE KOJI MATERIJALNE SREDINE KOJI NEPREKIDNO ISPUNJAVA NEPREKIDNO ISPUNJAVA ZAPREMINU TELA, A KOJA IMA ZAPREMINU TELA, A KOJA IMA OSOBINU DA SU OSOBINU DA SU RASTOJANJARASTOJANJA IZMEĐU BILO KOG PARA IZMEĐU BILO KOG PARA MATERIJALNIH TAČAKA TE MATERIJALNIH TAČAKA TE SREDINE SREDINE NEPROMENLJIVANEPROMENLJIVA

MATERIJALNA TAČKAMATERIJALNA TAČKA

POD POD MATERIJALNOM TAČKOMMATERIJALNOM TAČKOM PODRAZUMEVA SE PODRAZUMEVA SE GEOMETRIJSKA TAČKA KOJOJ GEOMETRIJSKA TAČKA KOJOJ JE PRIDODATA MASAJE PRIDODATA MASA

KAKO SE DELIKAKO SE DELI MEHANIKA MEHANIKA

KRUTOG TELA?KRUTOG TELA?

KINEMATIKA KINEMATIKA (GEOMETRIJA KRETANJA)(GEOMETRIJA KRETANJA)

DEO KLASIČNE DEO KLASIČNE (NJUTNOVSKE) MEHANIKE(NJUTNOVSKE) MEHANIKEKOJA KOJA PROUČAVA KRETANJAPROUČAVA KRETANJA MEHANIČKIH OBJEKATA, MEHANIČKIH OBJEKATA, NE UZIMAJUĆI U OBZIR NE UZIMAJUĆI U OBZIR NJIHOVU MATERIJALNOSTNJIHOVU MATERIJALNOST, KAO , KAO NI UZROKENI UZROKE KOJI USLOVLJAVAJU KOJI USLOVLJAVAJU TA KRETANJA (SILE) TA KRETANJA (SILE)

DINAMIKA DINAMIKA

DEO KLASIČNE DEO KLASIČNE (NJUTNOVSKE) MEHANIKE(NJUTNOVSKE) MEHANIKEKOJA KOJA PROUČAVA KRETANJAPROUČAVA KRETANJAMEHANIČKIH OBJEKATA, MEHANIČKIH OBJEKATA, UZIMAJUĆI U OBZIR UZIMAJUĆI U OBZIR NJIHOVU MATERIJALNOST NJIHOVU MATERIJALNOST (INERCIJALNE EFEKTE)(INERCIJALNE EFEKTE), , KAO KAO I UZROKEI UZROKE KOJI USLOVLJAVAJU KOJI USLOVLJAVAJU TA KRETANJA (SILE) TA KRETANJA (SILE)

STATIKA STATIKA (GEOMETRIJA SILA)(GEOMETRIJA SILA)

DEO MEHANIKEDEO MEHANIKEKOJA KOJA PROUČAVA MIROVANJEPROUČAVA MIROVANJE MATERIJALNIH TELA,MATERIJALNIH TELA,KOJA SU IZLOŽENA DEJSTVUKOJA SU IZLOŽENA DEJSTVUSILA (DRUGIH TELA) SILA (DRUGIH TELA)

RARAZVOJZVOJ STATIKESTATIKE POČINJE SAPOČINJE SA ARHIMEDOMARHIMEDOM (287-212 p.n.e),(287-212 p.n.e),AA DINAMIKEDINAMIKE SASA GALILEJEMGALILEJEM (1564-1642. g)(1564-1642. g)II NJUTNOMNJUTNOM (1642-1721. g)(1642-1721. g)

OSNOVU MEHANIKE ČINEOSNOVU MEHANIKE ČINE

AKSIOMI MEHANIKEAKSIOMI MEHANIKE

ISAKISAK NJUTN (NEWTON)NJUTN (NEWTON)Philosphie Naturalis Principia Matematica:Philosphie Naturalis Principia Matematica:

Axiomata Sive Leges MotusAxiomata Sive Leges Motus

A1:A1:Svako telo ostaje u stanju mirovanja Svako telo ostaje u stanju mirovanja

ili jednolikog pravolinijskog ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod uticajem sile ne kretanja, sve dok pod uticajem sile ne bude prinuđeno da to stanje promenibude prinuđeno da to stanje promeni

Ovaj aksiom ukazuje naOvaj aksiom ukazuje na egzistenciju sileegzistenciju sile i defini i definišše silue silu..

A2:A2:Promena količine kretanja Promena količine kretanja

materijalne tačke (tela) materijalne tačke (tela) proporcionalna je sili koja dejstvuje proporcionalna je sili koja dejstvuje na tu materijalnu tačku (telo) i vrši na tu materijalnu tačku (telo) i vrši su u pravcu i smeru delovanja silesu u pravcu i smeru delovanja sile

((Ovaj aksiom Ovaj aksiom je poznat kao II je poznat kao II Njutnov zakon)Njutnov zakon)

A3:A3:Uzajamni mehanički uticaji dvaju Uzajamni mehanički uticaji dvaju tela ispoljavaju se silama koje su tela ispoljavaju se silama koje su jednakog pravca i intenziteta, a jednakog pravca i intenziteta, a deluju u suprotnim smerovima.deluju u suprotnim smerovima.

KraKraće: Akciji uvek odgovara jednaka će: Akciji uvek odgovara jednaka po intenzitetu i pravcu a suprotna po po intenzitetu i pravcu a suprotna po

smeru reakcija.smeru reakcija.

A4:A4:(Zakon nezavisnosti dejstva (Zakon nezavisnosti dejstva

(dopuna uz A2)):(dopuna uz A2)):Pri istovremenom dejstvu dve sile na Pri istovremenom dejstvu dve sile na

telo, ono opisuje dijagonalu telo, ono opisuje dijagonalu paralelograma za isto vreme, za koje paralelograma za isto vreme, za koje

opiše njegove stranice, pri dejstvu svake opiše njegove stranice, pri dejstvu svake sile posebno.sile posebno.

Ovaj aksiom ukazuje naOvaj aksiom ukazuje na vektorsku prirodu sile.vektorsku prirodu sile.

A1:A1:

stanje mirovanja stanju stanje mirovanja stanju jednolikog pravolinijskog kretanjajednolikog pravolinijskog kretanja

A2:A2:

Fvm

dt

d )(

RFamconstm

A3:A3:

II

IIII

F

F

1F

1F

2F

2F

A4:A4:

F

1F

2F

FFF

21

slaganje silaslaganje sila

razlaganje silerazlaganje sile

1F

2F F

komponente silekomponente sile

U mehanici se koriste sledećeU mehanici se koriste sledećeosnovne jediniceosnovne jedinice za merenje za merenje osnovnih fizičkih veličina:osnovnih fizičkih veličina:

• dužina dužina metar /m/metar /m/• vreme vreme sekund /s/sekund /s/• masa masa kilogram /kg/kilogram /kg/

U aksiomima mehanike U aksiomima mehanike sila se sila se definiše kao vektorska veličinadefiniše kao vektorska veličina koja je uzrok kretanju tela.koja je uzrok kretanju tela.Osnovna Osnovna jedinica za silujedinica za silu u u SI- sistemu je izvedena i SI- sistemu je izvedena i naziva se naziva se njutnnjutn /N/ /N/

211s

mkgN

Izvedene množine i deloviIzvedene množine i delovinjutnanjutna koji se najčešće koriste koji se najčešće koristesu:su:

;101;101

;101;101;10163

63

NNNmN

NMNNkNNdaN

Težina Težina 1 kg1 kg mase na Zemljinoj mase na Zemljinoj površini iznosi površini iznosi 9,80665 N9,80665 N,,

uzimajući za ubrzanjeuzimajući za ubrzanjeZemljine teže veličinuZemljine teže veličinu

g= 9,80665 /sg= 9,80665 /s22

Sila može biti:Sila može biti:• koncentrisanakoncentrisana• linijskalinijska• površinskapovršinska• zapreminskazapreminska

• koncentrisana silakoncentrisana sila

Koncentrisana sila predstavlja mehaničkiKoncentrisana sila predstavlja mehaničkiuticaj između dva mehanička objekta koji uticaj između dva mehanička objekta koji imaju dodir samo u jednoj tački.imaju dodir samo u jednoj tački.

napadna linijanapadna linija

napadna tačkanapadna tačka

• linijskalinijskaAko je dodir dva tela ostvaren po linijiAko je dodir dva tela ostvaren po liniji

koristi se termin koristi se termin linijska silalinijska sila

• površinska površinska Ako je dodir dva tela ostvaren po površiniAko je dodir dva tela ostvaren po površini

koristi se terminkoristi se termin površinska silapovršinska sila

• zapreminskazapreminskaAko je sila raspodeljena na celu oblast tela, Ako je sila raspodeljena na celu oblast tela, delujući na svaki elementarni deo mase tela,delujući na svaki elementarni deo mase tela,radi se o radi se o zapreminski podeljenoj sili zapreminski podeljenoj sili (npr. težina tela)(npr. težina tela)

dGdG

Analitički način predstavljanja sile Analitički način predstavljanja sile

xx

zz

yyi j

k

OO

Oxyz – Oxyz – referentni desni referentni desni koordinatni sistemkoordinatni sistem

i

j

k odgovarajuodgovarajući ći

jedinični vektorijedinični vektori

xxyy

zz

xxyy

zz

OO

Vektorska jednačina sileVektorska jednačina sile

FF

F’X iX i

Y jY j

Z kZ k

FF FF’’ Z kZ k== ++

prvo razlaganjeprvo razlaganje

drugodrugo razlaganje razlaganje

FF’’ == ++X iX i Y jY j

FF == ++X iX i Y jY j Z kZ k++

FF == {{XX; Y; Z; Y; Z}}

Koordinate Koordinate (projekcije (projekcije na koordinatne ose) na koordinatne ose) vektora silevektora sile

222 ZYXF

F

Xcos

F

Ycos

F

Zcos

IntenzitetIntenzitet sile sile FF

Kosinusi pravaca sile Kosinusi pravaca sile FF

xx

yy

zz

X iX iY jY j

Z kZ kFF

xxyy

zz

FF11FF22

FF33

PP11

PP33

PP22

PPkk

FFkk

FF22FF11 FF33 FFkk. . .. . .Sistem sila koji dejstvuje na neko telo obiSistem sila koji dejstvuje na neko telo obično čno se se označava na sledeći načinoznačava na sledeći način::

Njihove odgovarajuće napadne tačke suNjihove odgovarajuće napadne tačke su::

PP11 , P, P2 2 , P, P3 3 , ... , P, ... , Pkk

FFkk == {{XXk k ; Y; Yk k ; Z; Zkk}}

Stepen slobode kretanjaStepen slobode kretanja

Kretanje nekog mehaničkog objekta se proučava Kretanje nekog mehaničkog objekta se proučava upoređujući njegov položaj sa položajem objekta upoređujući njegov položaj sa položajem objekta koji se može nazvati koji se može nazvati posmatračposmatračemem. .

Matematički, posmatrač je predstavljen Matematički, posmatrač je predstavljen koordinatnim sistemomkoordinatnim sistemom..

Mehaničko kretanje predstavlja Mehaničko kretanje predstavlja promenu promenu položajapoložaja u prostoru i vremenu jednog tela u u prostoru i vremenu jednog tela u odnosu na drugo.odnosu na drugo.

Broj stepeni slobode kretanja nekog mehaničkog Broj stepeni slobode kretanja nekog mehaničkog objekta je objekta je broj međusobno nezavisnih podatakabroj međusobno nezavisnih podatakakoji jednoznačno određuju položaj tog koji jednoznačno određuju položaj tog mehaničkog objekta.mehaničkog objekta.

Primer 1: Primer 1: Tačka u prostoruTačka u prostoru

xxyy

zz

OO

PP((x,y,zx,y,z))

nn=3=3

Primer 2: Primer 2: Tačka na površi čija je jednačinaTačka na površi čija je jednačina

xxyy

zz

OO

P(x,y,z)P(x,y,z)zbxyax 2

bx

axzy

2Iz jednačine površiIz jednačine površi

ukupan broj parametara:ukupan broj parametara:pp=3 (=3 (xx,,yy,,zz))

Broj Broj zavisnihzavisnih parametara parametara rr=1 (=1 (yy))

Broj Broj nezavisnihnezavisnih parametara: parametara: nn==pp--rr, , nn=3-1, =3-1, nn=2=2

Primer 3: Primer 3: Kruto slobodno telo u prostoruKruto slobodno telo u prostoru

xxyy

zz

OO

AA((xxAA , y , yAA , z , zAA ))

Ukupan broj parametara:Ukupan broj parametara:pp=9 (=9 (xxii , ,yyii , ,zzii))

Broj Broj zavisnihzavisnih parametara parametara rr=3=3Broj Broj nezavisnihnezavisnih parametara: parametara: nn==pp--rr, , nn=9-3, =9-3,

nn=6=6

BB((xxBB , y , yBB , z , zBB ))

CC((xxCC , y , yCC , z , zCC ))AA

BBCC

222_____

ACACAC zzyyxxAC

222_____

ABABAB zzyyxxAB

222_____

BCBCBC zzyyxxBC

Primer 3: Primer 3: Kruto slobodno telo u prostoruKruto slobodno telo u prostoruMože se izabrati 6 nezavisnih parametara i naMože se izabrati 6 nezavisnih parametara i nasledeći načinsledeći način

xxyy

zz

OO

AA((xxAA , y , yAA , z , zAA ))

nn=6=6

AA AA

Ukupan broj parametara:Ukupan broj parametara: xxAA , y , yAA , z , zAA , ,

Primer 4: Primer 4: ŠtapŠtap

Štap je kruto telo kod koga je jedna dimenzijaŠtap je kruto telo kod koga je jedna dimenzijaneuporedivo veća od druge dve, pa se svrstavaneuporedivo veća od druge dve, pa se svrstavau u linijske elementelinijske elemente

LL b b x x hh

LL bb LL hh

xxyy

zz

OOAA

BB

AA

BB

CC

nn=6=6 nn=5=5

PravaPrava materijalna linija u prostoru ima materijalna linija u prostoru ima nn=5=5 stepeni slobode. stepeni slobode.KrivaKriva materijalna linija, potpuno slobodna materijalna linija, potpuno slobodnau prostoru ima u prostoru ima nn=6=6 stepeni slobode. stepeni slobode.

Primer Primer 55: : Kruta ploKruta ploča u ravniča u ravniNa sledećoj slici je prikazana ploča proizvoljnogNa sledećoj slici je prikazana ploča proizvoljnogoblika koja leži u ravni oblika koja leži u ravni xOyxOy i ima slobodu i ima slobodu kretanja u toj ravnikretanja u toj ravni

AA

BB

xx

yy

AA((xxAA , y , yAA ))BB((xxBB , y , yBB )) pp=4=4

constyyxxl BABA 22

r r = 1= 1

Broj Broj nezavisnihnezavisnih parametara: parametara: nn==pp--rr, , nn=4-1, =4-1,

nn=3=3

ll

xx

yy

AA

BBAA

BB

CC

nn=3=3 nn=3=3

Dve ploče vezane zglobno u prostoruDve ploče vezane zglobno u prostoru

nnII == 66

xxyy

zz

OO

GG

II

IIII

nnIIII == 66

pp == 1212

XXG,IG,I == XXG,IIG,II

YYG,IG,I == YYG,IIG,II

ZZG,IG,I == ZZG,IIG,II

rr == 33

nn == 12 – 3 = 912 – 3 = 9

Dve ploče vezane zglobno u ravniDve ploče vezane zglobno u ravni

nnII == 33

GG

II

IIII

nnIIII == 33 pp == 66

XXG,IG,I == XXG,IIG,II

YYG,IG,I == YYG,IIG,II

rr == 22

nn == 6 – 2 = 46 – 2 = 4xx

yy

Linijski nosač – Linijski nosač – prosta gredaprosta greda u ravni u ravni

nn == 3 – 3 = 0, telo miruje3 – 3 = 0, telo miruje

xx

yy

AA BBFF

pp == 3 moguća tri kretanja u ravni3 moguća tri kretanja u ravni

rr == 3 onemogućeno kretanje u tački 3 onemogućeno kretanje u tački AA u oba koordinatna pravca, i u tački u oba koordinatna pravca, i u tački BB u u pravcu ose pravcu ose ByBy..

AKSIOMI STATIKEAKSIOMI STATIKE

Ako se aksiomi mehanike primene Ako se aksiomi mehanike primene na tela koja miruju, onda su to na tela koja miruju, onda su to aksiomi statikeaksiomi statike. Pri tome se umesto . Pri tome se umesto drugog aksioma mehanike uvodi drugog aksioma mehanike uvodi drugi aksiom statike i dodaju još drugi aksiom statike i dodaju još dva aksioma statike A5 i A6, pri dva aksioma statike A5 i A6, pri čemu ni redosled nije sasvim čemu ni redosled nije sasvim zadrzan.zadrzan.

A1:A1:Svako telo ostaje u stanju mirovanja Svako telo ostaje u stanju mirovanja

ili jednolikog pravolinijskog ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod uticajem sile ne kretanja, sve dok pod uticajem sile ne bude prinuđeno da to stanje promenibude prinuđeno da to stanje promeni

A2:A2:Slobodno kruto telo ostaje u stanju Slobodno kruto telo ostaje u stanju

mirovanja, ako na njega dejstvuju duž mirovanja, ako na njega dejstvuju duž iste napadne linije dve sile jednakog iste napadne linije dve sile jednakog

intenziteta a suprotnih smerova.intenziteta a suprotnih smerova.

napadna linijanapadna linija

FF11

FF22

PP11

PP22

FF11 FF22= -= -

Osnovni uravnoteženi sistem silaOsnovni uravnoteženi sistem sila

A3:A3:Mehanički uticaj nekog sistema sila na Mehanički uticaj nekog sistema sila na

kruto telo neće se promeniti, ako se ovom kruto telo neće se promeniti, ako se ovom sistemu doda ili oduzme uravnoteženi sistemu doda ili oduzme uravnoteženi

sistem silasistem sila

FF11 FF22= -= -

FF11

FF22

PP11

PP22

FFPPFFPP

Aksiom A3 uvodi silu kao klizeći vektorAksiom A3 uvodi silu kao klizeći vektor

AA

FF PP

FF11 FF22= -= -F =F =

AA

FF PP

FF11

FF22BB

BB

AA= F= FFF11

BB

A4:A4:Mehanički uticaj sistema od dve sile koje Mehanički uticaj sistema od dve sile koje

deluju u istoj tački krutog tela u deluju u istoj tački krutog tela u različitim pravcima jednak je uticaju različitim pravcima jednak je uticaju jedne sile koja deluje u istoj tački, a jedne sile koja deluje u istoj tački, a

određena je dijagonalom paralelograma određena je dijagonalom paralelograma konstruisanog nad pravcima datih sila konstruisanog nad pravcima datih sila

(rezultanta tog sistema sila)(rezultanta tog sistema sila)

FF11

FF22

FFRR

PP

FF11

FF22

PP

FF11 FF22 ++FFRR = =

A5:A5:Uzajamni mehanički uticaji dvaju Uzajamni mehanički uticaji dvaju tela ispoljavaju se silama koje su tela ispoljavaju se silama koje su jednakog pravca i intenziteta, a jednakog pravca i intenziteta, a

deluju u suprotnim smerovima duž deluju u suprotnim smerovima duž iste napadne linije.iste napadne linije.

A6:A6:Svako vezano (neslobodno) telo Svako vezano (neslobodno) telo

može se posmatrati kao slobodno, može se posmatrati kao slobodno, ako se veze uklone i njihov ako se veze uklone i njihov

mehanički uticaj na telo zameni mehanički uticaj na telo zameni silama, tj. reakcijama veza .silama, tj. reakcijama veza .

Veze ili prinudeVeze ili prinudeVeze ili prinude su tela koja posmatranom teluVeze ili prinude su tela koja posmatranom teluograničavaju ili oduzimaju slobodu kretanjaograničavaju ili oduzimaju slobodu kretanja

Podsećanje na A5: Podsećanje na A5: Uzajamni mehanički uticaji dvaju tela Uzajamni mehanički uticaji dvaju tela ispoljavaju se silama koje su jednakog pravca i ispoljavaju se silama koje su jednakog pravca i intenziteta, a deluju u suprotnim smerovima intenziteta, a deluju u suprotnim smerovima

(sile (sile akcijeakcije i i reakcijereakcije).).

Šta je reakcija veze?Šta je reakcija veze?

Određivanje reakcija veza Određivanje reakcija veza predstavlja jedan od osnovnih predstavlja jedan od osnovnih zadataka statike. zadataka statike. Reakcija veze Reakcija veze ima isti pravac, a suprotan smer od ima isti pravac, a suprotan smer od onog u kome veza ne dopušta onog u kome veza ne dopušta pomeranje datom telu.pomeranje datom telu.

UkleUkleštenještenjeAko je problem prostorni veza oduzima Ako je problem prostorni veza oduzima telu svih 6 stepeni slobode kretanja. telu svih 6 stepeni slobode kretanja. Reakcija veze je sila u tački Reakcija veze je sila u tački AA sa tri sa tri nezavisne koordinate, i moment ukleštenja.nezavisne koordinate, i moment ukleštenja.

Ako je problem ravanski, onda se može Ako je problem ravanski, onda se može reći da veza oduzima telu sva 3 stepena reći da veza oduzima telu sva 3 stepena slobode kretanja tela u ravni.slobode kretanja tela u ravni.

xxyy

zz

OO

RRAA == {{XXA A ; Y; YA A ; Z; ZAA}}

RRAA

MMAA

MMAA == {{MMAx Ax ; M; MAy Ay ; M; MAzAz}}

Ukleštenje Ukleštenje prostorni problemprostorni problem

AA

Sferni zglobSferni zglob

xxyy

zz

OOAA

BBCC

222_____

ACACAC zzyyxxAC

222_____

ABABAB zzyyxxAB

222_____

BCBCBC zzyyxxBC

AA((xxAA , y , yAA , z , zAA ))

BB((xxBB , y , yBB , z , zBB ))

CC((xxCC , y , yCC , z , zCC ))

p p = 9= 9

constz

consty

constx

A

A

A

r r = 6= 6

nn == pp -- rr, , nn == 99 -- 6, 6,

nn == 33

Sferni zglobSferni zglobVeza oduzima telu 3 Veza oduzima telu 3 stepena slobode stepena slobode kretanja.kretanja.Reakcija veze je sila Reakcija veze je sila u tački u tački AA sa tri sa tri nezavisne nezavisne koordinate, tj. koordinate, tj. reakcija ima reakcija ima proizvoljan pravacproizvoljan pravacu prostoru: u prostoru: xx

yy

zz

OOAA

RRAA

XXAA YYAA

ZZAA

RRAA == {{XXA A ; Y; YA A ; Z; ZAA}}

xxyy

zz

OO

Cilindrično ležišteCilindrično ležište Ova veza između Ova veza između tela i nepokretne tela i nepokretne podloge oduzima podloge oduzima priključnoj tački priključnoj tački

tela mogućnost tela mogućnost kretanja u bilo kom kretanja u bilo kom

pravcu koji je pravcu koji je normalan na osu normalan na osu

cilindra (tj. u ravni cilindra (tj. u ravni normalnoj na z osu)normalnoj na z osu)

XXAA

YYAA

RRAA

AA

Primer oslobaPrimer oslobađanja od đanja od veza u slučajuveza u slučajucilindričnog i cilindričnog i sfernog ležištasfernog ležišta

UkleštenjeUkleštenjerravanskiavanski problem problem

xx

yyAA

YYA1A1

YYA2A2

XXAA

MMAzAz

AA

UkleštenjeUkleštenjerravanskiavanski problem problem

xx

yy

AAYYA1A1

YYA2A2

XXAA

MMAzAz

YYAA= = YYA2A2 – – YYA1A1YYAA

XXAA

MMAzAzAA

UproUprošćenošćeno

nn == 0 0

Nepokretna zglobnaNepokretna zglobna veza u ravni veza u ravni

xx

yy

AA

RRAA == {{XXA A ; Y; YA A }}

XXAA

YYAARRAA

AzAz

Moguća je rotacija oko ose Moguća je rotacija oko ose AzAz, , tj, u ravni tj, u ravni AxyAxy

nn == 1 1

AzAzPokretna zglobnaPokretna zglobna veza u ravniveza u ravni

xx

yy

AAYYAA

Moguće je obrtanje oko ose Moguće je obrtanje oko ose AzAz, , tj, u ravni tj, u ravni Axy, Axy, i pomeranje duž i pomeranje duž

xx ose, a nije moguće pomeranje u ose, a nije moguće pomeranje u pravcu normalnom pravcu normalnom

površ oslanjanjapovrš oslanjanja

RRAA

nn == 2 2

Idealno glatka povrIdealno glatka površš

xx

yy

909000

909000

AA

BB

FFA A

FFB B GG

nn == 3 – 2 = 13 – 2 = 1