Statika stavebních konstrukcí Ifast10.vsb.cz/koubova/SSKI_tema5_Kombi.pdf · Statika stavebních konstrukcí I Téma 5 Staticky neur čitý rovinný oblouk a kloubový příhradový

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 5Téma 5Staticky neur čitý rovinný oblouk a kloubový příhradový nosník

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova p řednášky

� Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

� Dvojkloubový oblouk

� Dvojkloubový oblouk s táhlem� Dvojkloubový oblouk s táhlem

� Vetknuté oblouky

� Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

� Vlastnosti příhradového nosníku a rozbor statické neurčitosti

� Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

2Osnova přednášky

� Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

� Staticky neurčitý a tvarově přeurčitý příhradový nosník

� Poznámky k řešení staticky neurčitých příhradových nosníků

Staticky neur čitý rovinný oblouk

3

Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem.Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava

Staticky neurčitý rovinný oblouk

Podrobn ější popis st řednice oblouku

Základní pojmy:

c … vrchol oblouku (nejvyšší bod oblouku)

l … rozpětí oblouku (vodorovná vzdálenost podporových bodů)

f … vzepětí oblouku (svislá vzdálenost vrcholu od nižšího f … vzepětí oblouku (svislá vzdálenost vrcholu od nižšího podporového bodu)

Φ … poměrné vzepětíΨ … sklon střednice

nebof

Φ = ( )f

Φ =

4Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

Popis střednice rovinného obloukuObr. 6.1. / str. 140

nebo

Ploché oblouky

lΦ = ( )ba x,x

Φmax2⋅

=

2,0≤Φ

Podrobn ější popis st řednice oblouku

Pro počátek ve vrcholu c je rovnice:

a) Paraboly

zz

k ba ==22

2xkz ⋅=

a) Kružnice

xkx

zψ

xx

kba

⋅⋅==

==

2d

dtan

22

2222

22

z

zx

z

zxr aabb

⋅+=

⋅+=

22 xrrz −−=


Popis střednice rovinného obloukuObr. 6.1. / str. 140

22tan

22

xr

xψ

zz

rab

−=

⋅=

⋅=

Třídění oblouk ů podle zp ůsobů podep ření

a) Dvojkloubový oblouk ns = 1

b) Dvojkloubový oblouk s táhlem ns = 1

c) Oboustranně vetknutý oblouk n = 3c) Oboustranně vetknutý oblouk ns = 3

d) Jednostranně vetknutý oblouk ns = 2


Podepření obloukůObr. 6.2. / str. 141

Dvojkloubový oblouk, silové zatížení

Deformační podmínka

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅= ∫∫∫∫

bb xxss NMNM 11 2222

δ

b,aH, XδXδ ==+⋅ 110111 0

Výpočet deformací

⋅

⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

ss

xx

ss

xA

NNx

I

MM

Es

A

NNs

I

MM

E

xA

Nx

I

M

Es

A

Ns

I

M

E

dcos

dcos

1dd

1

dcos

dcos

1dd

1

1010

0

10

0

1010

11

0

1

0

111

ψψδ

ψψδ

7Dvojkloubový oblouk

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, zatížení zm ěnou teploty

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅= ∫∫∫∫

bb xxss NMNM 11 2222

Deformační podmínka b,aH, XδXδ ==+⋅ 110111 0

Výpočet deformací

⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

xt

ss

t

xx

ss

xψh

Mtx

ψ

Ntαs

h

MtsNtαδ

xψA

Nx

ψI

M

Es

A

Ns

I

M

Eδ

dcos

∆dcos

∆d∆d∆

dcos

dcos

1dd

1

11

10

0

11

01010

11

0

1

0

111


Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, zatížení popušt ěním podpor

xxss

xN

xM

sN

sM

δbb

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅= ∫∫∫∫ dd1

dd1 2

121

21

21

( ) ( ) ( ) ( )↓↓→→ baba wwuuPopuštění podpor

Deformační podmínka 110111 dδXδ =+⋅

( ) ( )baabaa*b

bb

xx

wwl

vuw

l

vw

l

vuδRuδ

u ud

xψA

Nx

ψI

M

Es

A

Ns

I

M

Eδ

aa

−⋅+−=

⋅+⋅−⋅−=⋅−==

−=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

∑

∫∫∫∫

1

dcos

dcos

1dd

1

10

1

11

0

1

0

111

( )wwv

uu −⋅−−

(směr opačný než směr virtuální síly)

9

K výpočtu popuštění podpor u dvojkloubového obloukuObr. 6.4. / str. 144

Dvojkloubový oblouk

( )

111

δ

wwl

vuu

Xbaba −⋅−−

=

Příklad 5.1

157 K10kPa1042 −−=⋅= t α,E

Parabolický oblouk, zatížení a geometrie viz. obr. 6.5.

Přípravný výpočet:

( )x,ψx,z,k

,A,I

⋅=⋅===

==

160arctg08008025

2m240m00720

2

24

Stupeň statické neurčitosti

1=sn

10

Příklad 5.1, zadáníObr. 6.5. / str. 145


1=sn

Příklad 5.1, silové zatížení

( ) ( )

( )[ ]( )

0

sin565262

565526

0

2

0 ≤

⋅+⋅−=

+⋅−+⋅= x

ψx,N

xx,M

( )( ) 0

sin511

5511

0

0 ≥

⋅−=−⋅=

xψ,N

x,M ( ) ( )( ) ψψN

x,zM

coscos1

080221

1

21

−=⋅−=+−=−⋅−=

11

Příklad 5.1, zobrazení 0. a 1. stavuObr. 6.5. / str. 145



1634,9∆d

2661,22∆d

11112

1111

011

=≅=

=≅=

∑∫

∑∫=

i

n

ii

S

i

n

iii

S

sNNsNNS

sMMsMMS

Výpočet deformačních součinitelů pomocí numerické integrace obdélníkovou metodou:

i x z ψψψψ ∆∆∆∆x ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s M1111 M1111M1111∆∆∆∆s N1 N1111N1111∆∆∆∆s M 0 M0000M1111∆∆∆∆ s N0 N1111N 0 0 0 0∆∆∆∆s 1 -4.5 1.62 -0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 12.5 -5.8531 -13.731 13.7312 2 -3.5 0.98 -0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 33 -38.5785 -8.5506 8.5506

895,67∆d

618,589∆d

1634,9∆d

1101

004

1101

003

1111

012

=≅=

−=≅=

=≅=

∑∫

∑∫

∑∫

=

=

=

i

n

iii

S

i

n

iii

S

ii

ii

sNNsNNS

sMMsMMS

sNNsNNS

12

2 -3.5 0.98 -0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 33 -38.5785 -8.5506 8.5506 3 -2.5 0.5 -0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 47.5 -76.7386 -4.2710 4.2710 4 -1.5 0.18 -0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 56 -104.8142 -1.2836 1.2836 5 -0.5 0.02 -0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 58.5 -116.2001 0.0399 -0.0399 6 0.5 0.02 0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 51.75 -102.7924 -0.5183 0.5183 7 1.5 0.18 0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 40.25 -75.3352 -2.9172 2.9172 8 2.5 0.5 0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 28.75 -46.4470 -6.8707 6.8707 9 3.5 0.98 0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 17.25 -20.1661 -11.971 11.9708 10 4.5 1.62 0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 5.75 -2.6924 -17.821 17.8213



,,,SS

E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

481608895676185891

73130

240

16349

00720

26612212111

− −

=

+=⋅

+⋅

=

Výpočet deformačních součinitelů

E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

481608

240

89567

00720

61858914310

−=

+−=⋅

+⋅

=

kN06726101 ,

δ

δX =−=

Deformační podmínka 010111 =+⋅ δXδ


11δ

Příklad 5.1, zatížení zm ěnou teploty

( )d

7,3130

501

1010

0(tep)

10

2111

∆=∆∆≅∆=

=⋅

+⋅

=

∑∫=

t

n

iiit

S

t StsNtsNt

EAE

S

IE

S

αααδ

δ

105,1)10(1510 3550

(tep)10 ⋅−=−⋅⋅=∆= −−Sttαδ

i ∆∆∆∆s N1 N1∆∆∆∆s 1 1.2322 -0.8115 -1 2 1.1461 -0.8725 -1 3 1.0770 -0.9285 -1 4 1.0284 -0.9724 -1

10∆d1

10

15

10

−=⋅≅⋅= ∑∫=

=

i

n

ii

S

i

sNsNS

14

kN50,117,3130

104,2105,1

7,3130

105,1

73(tep)1

3

11

10(tep)1

=⋅⋅⋅=

⋅⋅=−=

−

−

X

EX

δδ


4 1.0284 -0.9724 -1 5 1.0032 -0.9968 -1 6 1.0032 -0.9968 -1 7 1.0284 -0.9724 -1 8 1.0770 -0.9285 -1 9 1.1461 -0.8725 -1

10 1.2322 -0.8115 -1

Příklad 5.1, vnit řní síly

(sil)

110(sil)

110(sil)

VXVV

NXNN

MXMM

⋅+=

⋅+=

⋅+=

1(tep)(tep)

1(tep)(tep)

1(tep)(tep)

110(sil)

1

1

1

VXV

NXN

MXM

VXVV

⋅=

⋅=

⋅=

⋅+=

15

Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 5.1Obr. 6.6. / str. 146


Příklad 5.2

2

4

7

m240

m00720

kPa1042

,A

,I

,E

=

=⋅=

Oblouk s kružnicovou střednicí, zatížení a geometrie viz. obr. 6.7.

2m240,A =

( )

22

22

8686

m86632

636

x

x,,z

,,

,r

=

−−=

=⋅+=

Přípravný výpočet:

16

Příklad 5.2, zadáníObr. 6.7. / str. 149


2286tan

x,

xψ

−=


1=sn


( ) ( )

( ) x,M

x,N

z,x,M

4979541

2sin979541cos6

6366979541

0

0

−⋅=

−≤

⋅−⋅=

−⋅++⋅−=

ψψ

( )

( ) ( )( ) ψ,ψN

z,x,M

x ,N

x,M

sin229910cos1

6316229910

2sin979541

4979541

1

1

0

0

⋅+⋅−=

−⋅−+⋅=

−≥

⋅−=

−⋅=

ψ


Příklad 5.2, 0. stav a 1. stavObr. 6.7. / str. 149


Výpočet deformačních součinitelů pomocí numerické integrace obdélníkovou metodou:

7014,9∆d

1010,35∆d

11112

1111

011

=≅=

=≅=

∑∫

∑∫=

i

n

ii

S

i

n

iii

S

sNNsNNS

sMMsMMS

i x z ψψψψ ∆∆∆∆x ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s M1 M1M1∆∆∆∆s N1 N1N1∆∆∆∆s M0 M0M1∆∆∆∆s N0 N0N1∆∆∆∆s 1 -5.5 2.8 -0.9421 1 -1.41 1.7275 -0.68 0.8078 -0.7740 1.0350 3.803 -4.4921 5.1294 -6.8587 2 -4.5 1.7 -0.7232 1 -0.89 1.3390 -1.55 3.2300 -0.9019 1.0890 8.419 -17.5083 5.8083 -7.0138

2888,26∆d

3646,152∆d

7014,9∆d

1101

004

1101

003

1111

012

−=≅=

−=≅=

=≅=

∑∫

∑∫

∑∫

=

=

=

i

n

iii

S

i

n

iii

S

ii

ii

sNNsNNS

sMMsMMS

sNNsNNS

18

2 -4.5 1.7 -0.7232 1 -0.89 1.3390 -1.55 3.2300 -0.9019 1.0890 8.419 -17.5083 5.8083 -7.0138 3 -3.5 0.97 -0.5407 1 -0.6 1.1679 -2.06 4.9337 -0.9757 1.1119 10.83 -26.0011 6.1631 -7.0231 4 -2.5 0.48 -0.3765 1 -0.4 1.0758 -2.32 5.7860 -1.0145 1.1072 11.81 -29.4759 6.3076 -6.8843 5 -1.5 0.17 -0.2224 1 -0.23 1.0254 -2.4 5.8960 -1.0261 1.0796 10.89 -26.7703 0.4367 -0.4594 6 -0.5 0.02 -0.0736 1 -0.07 1.0027 -2.32 5.3835 -1.0142 1.0314 8.908 -20.6968 0.1456 -0.1480 7 0.5 0.02 0.0736 1 0.07 1.0027 -2.09 4.3682 -0.9804 0.9638 6.928 -14.5002 -0.1456 0.1431 8 1.5 0.17 0.2224 1 0.23 1.0254 -1.71 2.9920 -0.9247 0.8767 4.949 -8.6682 -0.4367 0.4140 9 2.5 0.48 0.3765 1 0.4 1.0758 -1.17 1.4715 -0.8454 0.7690 2.969 -3.7361 -0.7278 0.6619

10 3.5 0.97 0.5407 1 0.6 1.1679 -0.45 0.2323 -0.7390 0.6379 0.99 -0.5155 -1.0189 0.8794



E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

564915

240

70149

00720

10103512111 =

+=⋅

+⋅

=

Výpočet deformačních součinitelů

E

,

,

,

,

,

EAE

S

IE

Sδ

1292127

240

288826

00720

364615214310

−=

−+−=⋅

+⋅

=

Deformační podmínka 010111 =+⋅ δXδ

kN33,4101 =−=

δδ

X


kN33,411

1 =−=δ

X

Příklad 5.2, pokles podpor

( )( )↓=

→=

==

m0150

m00120

0

,w

,u

wu

b

b

aa

−=

Zadáno: Deformační podmínka

1(pop)10

(pop)111 dδXδ =+⋅

( ) ( )( )[ ]

kN98,1056,491500344865,00012,0

00344865,0015,022991,0

m0012,0

11

(pop)101(pop)

1

(pop)10

1

=−−−=−=

−=⋅−=⋅−=

−=

∑

E

dX

R

d

δδ

δδ


Příklad 5.2, 0. stav a 1. stavObr. 6.7. / str. 149

Příklad 5.2, vnit řní síly

(sil)(sil)

1(sil)10

(sil)

1(sil)10

(sil)

NXNN

MXMM

⋅+=

⋅+=

⋅+=

1(pop)1

(pop)

1(pop)1

(pop)

1(pop)1

(pop)

1(sil)10

(sil)

VXV

NXN

MXM

VXVV

⋅=

⋅=

⋅=

⋅+=


Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 5.2Obr. 6.8. / str. 152

11 VXV ⋅=

Dvojkloubový oblouk s táhlem

Stupeň statické neurčitosti ns = 1.

Táhlo mám charakter jednostranné vazby.

Deformační podmínka:

110111 dδXδ =+⋅Deformační podmínka:

22

Dvojkloubový oblouk s táhlemObr. 6.9. / str. 153


Dvojkloubový oblouk s táhlem, silové zatížení

1 lX

d T⋅−=

d1 … protažení táhla (má opačný směr než virtuální síla)

11

AEd

TT

T

⋅−=

TT

TT

AE

lδ

δNX

⋅+

−==11

101

23

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153


Dvojkloubový oblouk s táhlem, zm ěna teploty

ltαAE

lXd t ⋅⋅−

⋅⋅−= 0

11 ∆

xx

t xψh

Mtx

ψ

Ntαδ

bb

⋅⋅

+⋅⋅= ∫∫ 11

1010 d

cos∆d

cos∆

d1 … protažení táhla (má opačný směr než virtuální síla)

AE ⋅

TT

T

TtT

xxt

AE

lδ

ltαδNX

xψh

txψ

tαδaa

⋅+

⋅⋅+−==

⋅⋅

+⋅⋅= ∫∫

11

0101

1010

∆

dcos

∆dcos

∆

24

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153


Příklad 5.3

kPa1042 7

=

⋅=−−

,E

Oblouk s táhlem je zatížen dle obr. 6.11. Má stejné vlastnosti jako v příkladu 5.1.

kPa1012

m00120

K10

8

2

15

⋅=

=

= −−

,E

,A

α

T

T

t


1=n

25

Zadání příkladu 5.3Obr. 6.11. / str. 155


1=sn


1(sil)

10(sil)111 dX =+⋅ δδ

Deformační podmínka pro silové zatížení:

101,30446 7,3130 4- ⋅==δ

1096825,3

101,20012,0

10

1040034,34,81608

101,30446 7,3130

(sil)1

51

(sil)18

(sil)11

3(sil)10

4-11

⋅⋅−=

⋅⋅⋅

−=⋅⋅

−=

⋅−=−=

⋅==

−

−

Xd

XXEA

ld

E

E

TT

T

δ

δviz. příklad 5.1

26

Příklad 5.3, silové zatíženíObr. 6.11. / str. 155


kN99,191097,3 101,304

1040,354

3(sil)1

11

(sil)10(sil)

1

=⋅+⋅

⋅−−=

⋅+

−=

−−

−

X

EA

lX

TT

Tδ

δ

Příklad 5.3, zatížení zm ěnou teploty

1051d∆3(tep) ,sNtαδ

S

⋅−=⋅⋅⋅= −∫

Deformační podmínka pro zatížení změnou teploty:

1(tep)

10(tep)111 dX =+⋅ δδ

1027109683

6102110109683

∆

1051d∆

4(tep)1

5(tep)1

5(tep)1

5(tep)1

0(tep)1

(tep)1

3

010

(tep)10

,X,d

,X,d

tαlXEA

ld

,sNtαδ

tTTT

T

t

⋅+⋅⋅−=

⋅⋅⋅+⋅⋅−=

⋅⋅+⋅⋅

−=

⋅−=⋅⋅⋅=

−−

−−

−∫

27

Příkladu 5.3, zatížení změnou teplotyObr. 6.11. / str. 155


kN58410973103041

10271051

∆

54

43(tep)1

11

0(tep)10(tep)

1

,,,

,,X

EA

lδ

tαlδX

TT

T

tT

=⋅+⋅

⋅−⋅=

⋅+

⋅⋅−−=

−−

−−

Příklad 5.3

28

Výsledné průběhy ohybových momentů v příkladu 5.3Obr. 6.12. / str. 156


Vetknuté oblouky

Stupeň statické neurčitosti ns = 3

Přetvárné podmínky pro zatížení silové a změnou teploty:

010313212111 =+⋅+⋅+⋅ δXδXδXδ

110313212111

dXXX

dXXX

=+⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅+⋅

δδδδ

δδδδ

0

0

0

30333232131

20323222121

10313212111

=+⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅+⋅

δXδXδXδ

δXδXδXδ

δXδXδXδ

Přetvárné podmínky pro zatížení popuštěním podpor:

29

Oboustranně vetknutý obloukObr. 6.13. / str. 156

Vetknuté oblouky

330333232131

220323222121

dXXX

dXXX

=+⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅+⋅

δδδδ

δδδδ

Vetknuté oblouky

( )( )( )↵=

←=

ba

ab

MX

HX

,2

,1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 011

1

222

111

=↑=↓=

→=↓=↑=

aba

aba

Hl

R l

R

Hl

vR

l

vR

Reakce v jednotlivých stavech:

( )↵= abMX ,3

( ) ( )( ) ( ) 0

11

0

333

222

=↑=↓=

=↑=↓=

aba

aba

H l

R l

R

Hl

R l

R

30

Rozklad na 0. stav a tři jednotkové stavy oboustranně vetknutého obloukuObr. 6.14. / str. 157

Vetknuté oblouky

Vetknuté oblouky, popušt ění podpor

Zadáno: ( )( )

( )↵

↓

→

ba

ba

ba

,

w,w

u,u

ϕϕ

( )wwl

vu

l

vw

l

vwuδ

d

d

ud

baabaa

b

a

b

−⋅+−=

⋅+⋅−⋅−=

=

=

−=

110

3

2

1

ϕ

ϕ

( )↵ba , ϕϕ

31Vetknuté oblouky

l

ww

lw

lwδ

l

ww

lw

lwδ

lll

abba

abba

−=

⋅−⋅−=

−=

⋅−⋅−=

11

11

30

20

Tabulka 6.7

32Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

Vzorce pro přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

Staticky neur čitý kloubový p říhradový nosník

33Staticky neurčitý kloubový příhradový nosník

Příhradový most přes řeku Ostravici

Staticky neur čité rovinné kloubové p říhradové nosníky

a) nosník tvarově určitý a zároveň vnitřně staticky určitý p + 3 = 2 ⋅ s

b) nosník tvarově přeurčitý a zároveň vnitřně staticky neurčitý p + 3 > 2 ⋅ s

c) nosník tvarově neurčitý a zároveň vnitřně staticky přeurčitý p + 3 < 2 ⋅ s

d) výjimkový případ tvarové určitosti (přeurčitosti) a vnitřní statické určitosti (neurčitosti) p + 3 ≥ 2 ⋅ s

34Vlastnosti a rozbor statické neurčitosti

Staticky neurčité rovinné kloubové příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

Staticky neur čitý a tvarov ě určitý p říhradový nosník

22025372 =⋅−+=⋅−+= svpn es

Nosník dle obr. 7.1.(a) je staticky neurčitý.

Vytvoření základní staticky určité soustavy odebráním Vytvoření základní staticky určité soustavy odebráním přebytečných vazeb:

a) odebrání 2 vnějších vazeb

b) odebrání 2 vnitřních vazeb

c) odebrání 1 vnější

35Staticky neurčitý a tvarově určitý příhradový nosník

Vytvoření základní staticky určité soustavyObr. 7. 2. / str. 165

c) odebrání 1 vnější a 1 vnitřní vazby

Po odebrání vazeb musí zůstat soustava nehybná!

Rozklad na díl čí stavy, p řetvárné podmínky

Odebrané vazby (vnější) nahradíme staticky neurčitými silami (reakcemi). Sestavíme zatěžovací stavy.

Deformační podmínky pro silové zatížení a zatížení změnou teploty:

0

0

20222121

10212111

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

δXδXδ

δXδXδ

s

n

ki,ki,k ,n,...i δXδ

s

101

0 ==+⋅∑=

Obecně: pro


Rozklad na dílčí stavyObr. 7. 3. / str. 166

Výpočet deforma čních sou činitel ů

Deformační součinitelé:

j

p

j j

j,kj,il

j

p

j j

j,kj,ip

j

l

jj

j,kj,ii,k l

A

NN

Ex

A

NN

Ex

A

NN

Eδ

jj

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅= ∑∫∑∑ ∫=== 1011 0

1d

1d

1

a) pro silové zatížení

b) pro zatížení změnou teploty

jjj

j

p

j j

j,j,ii, l

A

NN

Eδ ⋅

⋅⋅= ∑

=1

00

1


j

p

jj,i,jtj

p

j

l

j,i,jti, lNtαxNtαδj

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∑∑ ∫== 1

01 0

00 ∆d∆

b) pro zatížení změnou teploty

Popušt ění podpor p říhradového nosníku

s

n

ii,ki,k ,n,...i dδXδs

10 ==+⋅∑

Deformační podmínky:

Obecně: pro220222121

110212111

dδXδXδ

dδXδXδ

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

sk

ii,ki,k ,n,...i dδXδ 11

0 ==+⋅∑=

Obecně: pro220222121 dδXδXδ =+⋅+⋅


Popuštění podpor příhradového nosníkuObr. 7. 4. / str. 168


Zadáno:

Reakce v 1. a 2. stavu:

( )( )→

↓

a

dcba

u

w,w,w,w

Popuštění podpor příhradového nosníkuObr. 7. 4. / str. 168

( ) −

−=−= dc

xxL

wdwd 21

Reakce v 1. a 2. stavu:

( ) ( )( ) ( )↓=↓−=

↓=↓−=

L

xR

L

xLR

L

xR

L

xLR

db,

da,

cb,

ca,

22

11


( )

( )

⋅+⋅−−=⋅+⋅−=

⋅+⋅−−=⋅+⋅−=

bd

ad

bbaa,

bc

ac

bbaa,

wL

xw

L

xLwRwRδ

wL

xw

L

xLwRwRδ

2,2,02

1,1,01

1. a 2. zatěžovací stavObr. 7. 3. / str. 166


Deformační podmínky:

220222121

110212111

dδXδXδ

dδXδXδ

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

xxL −

( )bac

ca,, wwL

xwwXδXδ −⋅−−=⋅+⋅ 221111

Po dosazení:

Po úpravě:

dbd

ad

,,

cbc

ac

,,

wwL

xw

L

xLXδXδ

wwL

xw

L

xLXδXδ

−=

⋅+⋅−−⋅+⋅

−=

⋅+⋅−−⋅+⋅

222112

221111


( )

( )bad

da,,

baca,,

wwL

xwwXδXδ

wwL

wwXδXδ

−⋅−−=⋅+⋅

−⋅−−=⋅+⋅

222112

221111Po úpravě:

Řešení rovnic: dc R XRX == 21

Řešení p říhradového nosníku, dokon čení

22110

22110

b,b,b,b

a,a,a,a

RXRXRR

RXRXRR

⋅+⋅+=

⋅+⋅+=

Výpočet reakcí pro silové zatížení (obr. 7.1.(a)):

22110 b,b,b,b RXRXRR ⋅+⋅+=

Pro deformační zatížení:

Výpočet normálových sil v jednotlivých prutech:

∑=

⋅+=sn

kkj,kj,j XNNN

10

000 == b,a, RR


Staticky neurčité rovinné kloubové příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

Příklad 5.4

2825132 =⋅−+=⋅−+= svpn es

Stupeň statické neurčitosti:


Zadání příkladu 5.4Obr. 7. 5. / str. 168

Příklad 5.4, řešení

0

0

20222121

10212111

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

δXδXδ

δXδXδ

Deformační podmínky pro silové zatížení:


Rozklad na dílčí stavy v příkladu 5.4Obr. 7. 6. / str. 169


j

p

j j

j,j,ij

p

j j

j,j,ii, l

A

NNl

A

NN

Eδ ⋅

⋅=⋅

⋅⋅= ∑∑

== 1

0

1

00

1Deformační součinitelé:

(dosadíme E = 1)


Tab. 7.1 / str. 169



Tab. 7.2 / str. 170

Příklad 5.4, dokon čení řešení

( )=−⋅+⋅

=−⋅+⋅

0469110662,4967751,2824

01334287751,2824657,11962

21

21

XX

XX

Deformační podmínky po dosazení:

( )( )←==

↑==

kN819,35

kN080,103

2

1

dx

bz

RX

RX

Výpočet výsledných reakcí a osových sil:

( )

( )↑=⋅+⋅−=

→=⋅=

kN195,3919213,03

1

kN819,351

210,

2

XXRR

XR

azaz

ax


( )

( )↓−=⋅−⋅−=

↑=⋅+⋅−=

kN275,219213,03

2

kN195,3919213,03

210,

210,

XXRR

XXRR

bzbz

azaz

22110 XNXNNN j,j,j,j ⋅+⋅+= (použijeme hodnoty z tab. 7.1)

Staticky neur čitý a tvarov ě přeurčitý p říhradový nosník

Staticky neurčité rovinné příhradové nosníky

5202540

2

=⋅−+=

⋅−+=

s

es

n

svpn

Staticky neurčité rovinné příhradové nosníkyObr. 7. 1. / str. 164

int ⇒> ss nn celková statická neurčitost je částečně vnitřní

Poznámka: Do výpočtu deformačních součinitelů nutno zahrnout virtuální práci osových sil odebraných prutů.

47Staticky neurčitý a tvarově přeurčitý příhradový nosník

Staticky neurčité interakce a reakce u soustavy částečně vnitřně staticky neurčitéObr. 7. 7. / str. 171

Příklad 5.5

1

2624102

.int =

=⋅−+=⋅−+= es

n

svpn

Stupeň statické neurčitosti:

1.int =sn


Zadání příkladu 5.5Obr. 7. 8. / str. 172



Rozklad na dílčí stavy v příkladu 5.5Obr. 7. 9. / str. 173


0

0

20222121

10212111

=+⋅+⋅

=+⋅+⋅

δXδXδ

δXδXδ

Deformační podmínky pro silové zatížení:

20222121


Tab. 7.3 / str. 174


j

p

j j

j,j,ij

p

j j

j,j,ii, l

A

NNl

A

NN

Eδ ⋅

⋅=⋅

⋅⋅= ∑∑

== 1

0

1

00

1Deformační součinitelé:

(dosadíme E = 1)


Tab. 7.4 / str. 174

Příklad 5.5, dokon čení řešení

( )0190267356,4490691,2059

0123582691,2059316,5995

21

21

=−⋅+⋅

=−⋅+⋅

XX

XX

Deformační podmínky po dosazení:

( ))kN(074,39

tahkN189,7

2

81

←==

==

cxRX

NX

Výpočet výsledných reakcí a osových sil:

( )

( )↑=⋅+=

→=⋅=

kN025,333

1

kN074,391

20,

2

XRR

XR

azaz

ax


( )

( )↑=⋅−=

↑=⋅+=

kN975,63

1

kN025,333

20,

20,

XRR

XRR

bzbz

azaz

22110 XNXNNN j,j,j,j ⋅+⋅+= (použijeme hodnoty z tab. 7.3)

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

53

Documents

Statika stavebních konstrukcí Ifast10.vsb.cz/koubova/SSKI_tema5_Kombi.pdf · Statika stavebních konstrukcí I Téma 5 Staticky neur čitý rovinný oblouk a kloubový příhradový