Statika - tudasfelho.hutudasfelho.hu/felho/First/First_files/Statika.pdf · 1.2. Statika feladata A statika feladata egyrészről megállapítani azt a legegyszerűbb erőrendszert,

!!!!!!!!!!!!!!Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós

Statika

TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Műszaki metaadatbázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása

Nyugat-magyarországi Egyetem

!!!!!!!!!!!

GSPublisherEngine 0.0.100.17

GSPublisherEngine 0.0.100.17

tudasfelho.hu

A pályázat keretein belül létrehoztunk egy speciális, felhő alapú adatbázist, tudásfelhő néven, ami egymástól függetlenül is értelmes tudásmorzsákból építkezik. Ezekből az elemi építőkövekből lehet felépíteni egy-egy órai tananyagot, vagy akár egy tantárgy teljes jegyzetét. A létrejött tananyagokat a program online „fordítja” le egy adott eszközre, így a tananyagok optimálisan tudnak megjelenni a diákok okostelefonján, vagy akár egy nagy előadó kivetítőjén is. A projektben résztvevő oktatók a saját maguk által fejlesztett, létrehozott tananyagokat feltöltötték a felhő alapú adatbázisba. A felhasznált anyagok minden eleme mindig magával viszi az eredetileg megadott metaadatokat (pl. fénykép készítője), így a felhasználás során a hivatkozás automatikussá válik. !Ma nagyon sok oktatási kísérlet zajlik a világban, de még nem látszik pontosan, hogy a „fordított osztály” (flipped classroom) vagy a MOOC (massive open online courses) nyílt videó anyagai jelentik a járható utat. Az azonban mindenki számára világos, hogy változtatni kell a megszokott módszereken. A kidolgozott tudásfelhő keretrendszer egyszerre képes kezelni az egyéni tanulási utakat, de akár ki tud szolgálni több ezer hallgatót is egyszerre. !Minden oktató a saját belátása szerint tudja alkalmazni, használni, alakítani az adatbázisát, valamint szabadon használhatja a mások által feltöltött tanagyag elemeket anélkül, hogy a hivatkozásra külön hangsúlyt kellene fektetnie. Az egyes elemekből összeállított „jegyzetek” akár személyre szabhatók, ha pontosan behatárolható a célcsoport tudásszintje. !Az elkészült tananyagok nem statikus, nyomtatott (PDF) jegyzetek, hanem egy állandóan változó, változtatható képekből, videókból és 3D modellekből felépített dinamikus rendszer. Az oktatók az ipar által megkövetelt legmodernebb technológiákat naprakészen tudják beépíteni a tudásfelhőben tárolt dinamikus „jegyzeteikbe” anélkül, hogy új „PDF” jegyzetet kellene kiadni. Ez az online rendszer biztosítja a tananyagoknak és magának az oktatásnak a fenntarthatóságát is. !A dinamikus, metaadat struktúrára épülő tananyagainknak ebben a jegyzetben, csak egy pillanatfelvétele, lenyomata tud megjelenni. A videóknak, az interaktív és 3D struktúráknak, valamint a frissülő tartalmaknak a megjelenítésére így nincsen lehetőségünk. !Az e-learning nem feleslegessé teszi a tanárokat, hanem lehetővé teszi számukra, hogy úgy foglalkozhassanak a diákjaikkal, ahogy a mai, felgyorsult világ megköveteli.

1

1. Bevezetés, alapfogalmak

1.1. Erő

Az erő nem definiálható, fizikai-tapasztalati alapfogalom. Az erő két különböző test egymásra

gyakorolt hatásaként tapasztalható, melynek során megváltozik vagy megváltozhat a test(ek)

mozgásállapota. (Például ha egy mozgásban lévő testet megállítunk vagy egy nyugalomban

lévő testet mozgásba hozunk, akkor erőt fejtünk ki.)

Az erő vektormennyiség, amit

- nagysága – ami az erőegységhez viszonyított abszolút szám

- iránya – ami az erő hatásvonalával, egyenesével párhuzamos egyenes

- értelme – amit az erő irányában felvett nyíl határoz meg

- támadáspontja

jellemez. Az erő hatásvonala mentén tetszőlegesen eltolható. Az erő a hatásvonala mentén

bárhol tetszőleges irányú vetületekre bontható fel.

Az erő mértékegysége: Newton [ ]⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ⋅=

2s

mkgN .

1. ábra: Az erő jellemzői

Két test mindig egy felület mentén érintkezik egymással. Az egymásra kifejtett erőhatás e

felületen adódik át – ha ez a felület kicsi, akkor jó közelítéssel pontnak, pontszerűnek tekint-

hető, és az erőt koncentrált erőnek (F [kN]), ellenkező esetben megoszló erőnek (vonal (q

[kN/m]), felület (q [kN/m2]) vagy térfogat (q [kN/m3]) mentén megoszló) nevezzük. A mű-

szaki, mérnöki gyakorlatban a nehézségi erő a legfontosabb.

Ha egyidejűleg több erő is hat egy testre, akkor azt erőrendszernek nevezzük. Ha az erőrend-

szer erői (hatásvonalai) egy síkba esnek, akkor síkbeli erőrendszerről beszélünk. Ha az erő-

rendszer erőinek hatásvonalára nem lehet egy síkot ráfektetni, akkor térbeli erőrendszerről

beszélünk.

1.2. Statika feladata

A statika feladata egyrészről megállapítani azt a legegyszerűbb erőrendszert, amivel egy adott

erőrendszer helyettesíthető – ez az eredő meghatározás. Másrészről az a feladat, hogy egy

2

adott testet kiegyensúlyozzunk, meghatározzuk azokat a feltételeket, amelyek mellett a test

nyugalomban marad.

1.3. Egyensúly

Ha egy nyugalomban lévő, merevnek tekintett test a reá működő erők hatására nyugalomban

marad, akkor azt mondjuk, hogy a testre ható erők egyensúlyban vannak, azaz a test egyen-

súlyban van.

1.4. Alaptételek, axiómák

I. Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha az a két erő közös hatásvonalú,

egyenlő nagyságú és ellentétes értelmű.

II. Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik egy síkban van-

nak, a hatásvonalaik egy közös pontban metszik egymást és a vektorháromszög foly-

tonos nyílfolyammal záródik.

III. Egyensúlyban lévő erőrendszer esetén nem változik meg az egyensúly, ha az adott

erőrendszerhez(től) hozzáadunk vagy elveszünk egy önmagában egyensúlyban lévő

erőrendszert.

IV. Két test egymásra kifejtett erőhatása párosával egyenlő nagyságú, közös hatásvonalú

és ellentétes értelmű (Newton féle akció-reakció, hatás-ellenhatás törvénye).

1.5. Nyomaték (síkbeli erőrendszer esetén)

Adott erő adott pontra vett nyomatéka alatt az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzatát

értjük, ahol az erőkar alatt adott erő hatásvonalának (egyenesnek) adott ponttól mért távolsá-

gát értjük. A nyomaték mértékegysége: [ ]mkN ⋅ vagy [ ]mN ⋅ . A nyomaték értelmezhető úgy

is, mint egy erőpár, ahol a két erő nagysága azonos, hatásvonalaik párhuzamosak, de ellenté-

tes értelműek és nem esnek egy egyenesbe. Ennek az erőpárnak így erőhatása nincs, csak for-

gatóhatása.

A nyomaték meghatározásához szükséges erőkar leolvasása (2. ábra) a következő elgondolás

szerint történik: az adott pontból (amire a nyomatékot felírjuk) merőlegest állítunk az adott

erő hatásvonalára – a merőleges egyenes hossza az erőkar nagysága!

3

2. ábra: A nyomaték számításához szükséges erőkar fogalma, meghatározása

A feladatok megoldására két lehetőség van: a számító és a szerkesztő eljárás.

Vetületi tétel: egy erőrendszer egyes elemeinek tetszőleges irányra vett előjelhelyes vetület-

összege egyenlő ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő) erejének ugyanazon irány szerinti

vetületével.

Nyomatéki tétel (síkbeli erőrendszerek esetére): egy erőrendszer egyes elemeinek adott pontra

vett előjelhelyes nyomatékösszege megegyezik ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő)

erejének ugyanazon pontra vett nyomatékával.

1

1. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszerek

A fejezetben olyan erőrendszerekkel foglalkozunk, ahol az erőrendszer valamennyi elemének

hatásvonala ugyanabban a pontban metszi egymást.

1.1. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatáro-zása

E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor adott egy erőrendszer valamennyi eleme

(nagysága és iránya) és egy viszonyítási koordinátarendszer (ez a viszonyítási koordináta

rendszer a példákban adott, de tudni kell, hogy tetszőlegesen felvehető bármilyen elhelyezke-

déssel). A feladat ilyenkor a következő: meghatározni az erőrendszer helyettesítő, azaz eredő

erejét. Ki kell számolni az eredő erő nagyságát, meg kell határozni az eredő erő hatásvonalá-

nak irányát a viszonyítási koordinátarendszerhez képest. E két adat meghatározásából áll az

eredő erő számítása közös metszéspontú erőrendszer esetében!

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti x-y viszonyítási koordináta rendszer, F1és F2 erők. A viszonyítási ko-

ordináta rendszer középpontjához csatlakozik két rúd. Egyik rudat az F1, a másik rudat F2

nagyságú és értelmű erő terheli. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét!

1. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredője

Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása:

x irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden

olyan elemét, amelynek hatásvonala párhuzamos az x tengellyel:

[kN]4010060FFF 21x −=−=−=∑

Az egyenlőségben az F1 erő pozitív előjellel szerepel, mivel F1iránya egybeesik a viszonyítási

koordinátarendszer pozitív irányával, míg az F2 erő negatív előjellel szerepel, mivel iránya

ellentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény szerint az erő-

rendszer eredőjének nagysága 40 [N], hatásvonala egybeesik az egyes elemek hatásvonalával,

míg iránya ellentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény feltün-

tetése helyesen:

)[kN](40FR ←= .

Az eredményül kapott erő előjele mindig az erő irányára utal a viszonyítási koordináta rend-

szer adott pozitív irányához képest!

2

Megoldás szerkesztéssel:

először felvesszük a léptéket (2. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének

a figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő

hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes

hossza a léptéknek megfelelően 6 cm (3. ábra).

2. ábra: Lépték felvétele - az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével

3. ábra: F1 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes

Ezt követően az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2 erő

értelmével megegyező irányban (4. ábra).


Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A

helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F2 végpontjával egyezik meg. Ezt a két

pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (5. ábra).

5. ábra: Eredő erő meghatározása - egyenes húzása P pontból F2 végpontjába

3

A eredő erőnek megfelelő egyenes („P”, „F2 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek

megfelelően feltüntetjük az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 4 cm, ami

40 [N] –nak felel meg. A szerkesztésből adódóan az eredő erő hatásvonala párhuzamos a vi-

szonyítási koordinátarendszer x tengelyével. Az eredő erő értelme az ábráról leolvasható, a

szerkesztésből adódik.

1.1.2. példa

Adott (6. ábra) egy közös metszéspontú erőrendszer öt eleme, a nagyság és az irány. Adott

F1=18 [kN], F2=16 [kN], F3=11 [kN], F4=25 [kN], F5=19 [kN] és α1=22 [°], α2=20 [°], α3=28

[°], α4=32 [°], α5=14 [°]. A közös metszéspont a viszonyítási koordináta rendszer középpont-

ja. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét!


x irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden

olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelyek hatásvonala párhuza-

mos az x tengellyel

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [kN]09,1114-90cos9132cos5228-90cos1120cos6122cos81

α-90cosFαcosFα-90cosFαcosFαcosF

FFFFFF

5544332211

5x4x3x2x1xx

=°°⋅−°⋅−°°⋅+°⋅+°⋅=

=°⋅−⋅−°⋅+⋅+⋅=

=−−++=∑

6. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredőjének meghatározása

Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének x tengelyre vett vetületének nagysága 11,09

[kN], hatásvonala párhuzamos az x tengellyel, értelme megegyezik a viszonyítási koordináta-

tengely pozitív értelmével. Az eredmény feltüntetése helyesen:

4

)[kN](09,11FF Rxx →==∑ .

y irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden

olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelyek hatásvonala párhuza-

mos az y tengellyel

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [kN]25,314-90sin9132sin5228-90sin1120sin6122sin81

α-90sinFαsinFα-90sinFαsinFαsinF

FFFFFF

5544332211

5y4y3y2y1yy

=°°⋅−°⋅+°°⋅+°⋅+°⋅−=

=°⋅−⋅+°⋅+⋅+⋅−=

=−+++−=∑

.

Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének y tengelyre vett vetületének nagysága 3,25

[kN], párhuzamos az y tengellyel, értelme ellentétes a viszonyítási koordinátatengely pozitív

értelmével. Az eredmény feltüntetése helyesen:

)[kN](25,3FF Ryy ↓==∑ .

Az eredő erő nagyságát a következők szerint kapjuk meg:

[kN]11,5625,309,11FFF 222Ry

2RxR =+=+= .

A következő lépés az eredő erő, helyzetének megadása a viszonyítási koordináta rendszerben

– hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koordináta rendszer tengelyeihez képest.

Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár be a viszonyítási

koordinátarendszer tengelyeivel. A 7. ábra jelöléseit használva a vízszintessel bezárt szög

legyen α. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazásával történik.

7. ábra: Az eredő erő helyzete a viszonyítási koordináta rendszerben

][7,373,25

11,09arctan

11,563,25

arccos11,5611,09

arcsin

FF

arctanF

Farccos

FF

arcsinα

Ry

Rx

R

Ry

R

Rx

°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛=

=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

.

A harmadik lépés az eredő erő helyének a meghatározása, azonban közös metszéspontú erő-

rendszereknél ez egyértelmű – az eredő erő hatásvonala is az eddigi közös metszésponton

megy át.



a figyelembevételével tesszük meg.

5


Következő lépés: egy tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő hatásvonalával párhuzamost

húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes hossza a léptéknek megfelelő-

en 3,6 [cm] (9. ábra).


Következő lépés: az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2

erő értelmével megegyező irányban (10. ábra).







6





Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A

helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F5 erő végpontjával egyezik meg. Ezt a

két pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (14. ábra). Az eredő erőnek megfe-

lelő egyenes („P”, „F5 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetjük

az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 2,31 [cm], ami 11,55 [kN] –nak felel

meg. Az eredő erő iránya leolvasható (14. ábra), a szerkesztésből adódik. A 15. ábra mutatja

meg pontosan az eredőnek a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögét.

7

14. ábra: Eredő erő meghatározása - egyenes húzása P pontból F5 végpontjába

15. ábra: Az eredő erő helyzete a viszonyítási koordinátarendszerben

Az eredő erő helye pedig egyértelmű, a támadáspont a közös metszéspontban lesz.

1.2. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása

Kiegyensúlyozási feladatok esetében a tartószerkezetekre ható erőrendszer eredője nulla –

máskülönben nem lenne egyensúlyban. Az erőrendszert a megadott külső erők és a kénysze-

reknél ébredő ismeretlen kényszer (reakció vagy támasz) erők alkotják. A kényszereknél éb-

redő reakcióerők tartják egyensúlyban az adott szerkezetet. Ezért hívjuk kiegyensúlyozásnak

ezt a típusú feladatot, mert kiszámoljuk, hogy a támaszoknál fellépő erőknek mekkora nagy-

ságúnak és milyen irányúnak kell lenni, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el, azaz egyen-

súlyban legyen.

E témakörben olyan egyszerű eseteket vizsgálunk, amikor adott egy külső terhelő erő, és meg

kell határozni a támaszoknál (kényszereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket)

erőket. A közös metszéspontú erőrendszer jellegzetessége, hogy az adott külső erők és a tá-

maszerők hatásvonalai egy adott pontban metszik egymást. A feladat megoldásához itt is cél-

szerű felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert, amit javasolt az erőrendszer közös met-

széspontjában elhelyezni. A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer

hiányzó elemeit, azaz a támaszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat – az irá-

nyuk (hatásvonal, értelem) adódik!

8

A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el mint eredő erő szerkesztésekor. A lépték felvé-

tele után az ismert erőt felmérjük, majd annak támadás- és végpontjában párhuzamosokat hú-

zunk az ismeretlen nagyságú, de ismert hatásvonalú erőkkel.

1.2.1. példa:

Adott a 16. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok

helye (a=3 [m], b=2 [m], c=4 [m]) és a C csuklót terhelő F=34 [kN] koncentrált erő. Határoz-

zuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerőket!

16. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása - daruszerkezet

A számító eljárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagyságukat és irányukat (ér-

telmüket), meg kell becsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példában: az A és B csuklóknál

fellépő reakciók nagyságát FA-nak és FB-nek feltételezzük. Az irányuk: mivel az AC és BC

tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószer-

kezeti elemen nincs erő (önsúlytól eltekintünk) – ez azt jelenti, hogy ebben a két tartószerke-

zeti elemben rúdirányú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakban csak rúd-

irányú erő ébred! Amiből következik, hogy ezek a tartószerkezeti elemek rúdirányban akar-

nak elmozdulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarják megakadályozni. Azaz az ismeret-

len támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hossztengelyével, a kér-

dés csak az értelmük. Ha azt nem tudjuk kikövetkeztetni a külső ható erőkből és a tartószer-

kezet elrendezéséből, akkor feltételeznünk kell (17. ábra)! A következő lépésben a vetületi

egyenleteket használjuk fel, amit egyensúlyozási feladatok megoldása során vetületi egyensú-

lyi egyenleteknek nevezünk. Az egyenlőség egyik oldalán az erőrendszer valamennyi, ismert

és ismeretlen elemének összegezzük előjelhelyesen a viszonyítási koordinátarendszerrel pár-

huzamos komponenseit, és ezeket egyenlővé tesszük nullával. Ugyanis ha az erőrendszer ere-

9

dője nulla, akkor 0FFF 2Ry

2RxR =+= egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha az eredő erő vi-

szonyítási tengelyre vett komponensei külön-külön egyenlők nullával.

17. ábra: Támaszerők nagyságának és értelmének a feltételezése

( ) ( )βcosFαcosF0F BAx ⋅+⋅==∑ és

( ) ( ) FβsinFαsinF0F BAy −⋅+⋅==∑ .

Előbbi két egyenletben két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hogy a két egyenletből álló két-

ismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk. Az α és β szögek meghatározása:

][38,6623

4arctan

bac

arctanα °=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛

+=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

+= és

][63,4324

arctanbc

arctanβ °=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛= .

Behelyettesítés a vetületi egyenletekbe:

( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 63,43cosF38,66cosFβcosFαcosF0F BABAx és

( ) ( ) ( ) ( ) 4363,43sinF38,66sinFFβsinFαsinF0F BABAy −°⋅+°⋅=−⋅+⋅==∑

Az első egyenletből:

( )( )°

°⋅−=

38,66cos63,43cosF

F BA ,

majd behelyettesítve második egyenletbe:

10

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) 4363,43sin38,66sin38,66cos63,43cos

F

4363,43sinF38,66sin38,66cos

63,43cosF0

B

BB

−⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡°+°⋅

°°

−⋅=

=−°⋅+°⋅°

°⋅−=

, ahonnan

( )( )

( ) ( )[ ]kN3,376

63,43sin38,66sin38,66cos63,43cos

43FB =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡°+°⋅

°°

−=

.

Visszahelyettesítés után FA-ra a következőt kapjuk:

( )( )

( )( ) [ ]kN36,338,66cos

63,43cos37,3638,66cos

63,43cosFF B

A =°

°⋅−=

°°⋅

−= .

Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagysága [ ]kN36,3FA = és [ ]kN37,63FB = . Az FB

kényszererőnek feltételezett értelem helyes volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonban az Fa

támasznál feltételezett támaszerőnek az előjele negatív, ami annyit jelent, hogy az ismeretlen

értelmű erőnek a feltételezett irány nem volt jó! A valós értelme az erőnek éppen ellentétes

(18. ábra).

18. ábra: Az ismeretlen támaszerők nagysága és értelme helyesen ábrázolva

A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el mint az eredő erő meghatározása esetében.

Azzal a különbséggel, hogy kiegyensúlyozási példák esetében a léptékhelyesen felvett

erőknek nyílfolytonosan záródniuk kell, hiszen az eredő erő nulla. Jelen példában első

lépésként felvesszük a léptéket (19. ábra).


11

A következő lépés, hogy az ismert ható erőt, az F koncentrált erőt léptékhelyesen felvesszük

(20. ábra).

20. ábra: Ható külső erő felvétele léptékhelyesen

A számolási megoldásnál már kifejtettük, hogy a támaszoknál miért csak a tartószerkezeti

elemek (AC és BC elemek) hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők ébrednek. Ha ezt

beláttuk, akkor a szerkesztő eljárás következő lépése, hogy párhuzamost húzunk a már felvett

F koncentrált erő támadáspontján át az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével (21. ábra).

Ezután az F koncentrált erő végpontján át a BC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk

párhuzamost (22. ábra).

21. ábra: Párhuzamos az AC elem hossztengelyével az F erő támadáspontján keresztül

12

22. ábra: Párhuzamos a BC elem hossztengelyével az F erő végpontján keresztül

Következőként a két párhuzamost meghosszabbítjuk, hogy metsszék egymást (23. ábra). A

metszéspont fogja meghatározni a csuklóknál ébredő reakcióerők nagyságát és értelmét. A

nagyságot a felvett lépték alapján határozhatjuk meg, míg a támaszerők értelme adódik, hi-

szen folytonos nyílfolyammal kell záródnia a vektorsokszögnek (23. ábra).

13

23. ábra: A reakcióerők nagysága és értelme a szerkesztő eljárásból

Egy harmadik megoldási lehetőség, hogy az előbbi vektor-háromszöget nem léptékhelyesen,

hanem csak vázlatosan vesszük fel (24. ábra). Ebben az esetben a vektorok iránya, azaz az

általános háromszög belső szögei és egyik oldala (F erő) ismert. A feladat, hogy a háromszög

ismeretlen oldalainak a hosszát trigonometrikus összefüggések felhasználásával kiszámítsuk.

14

24. ábra: A közös metszéspontú erőrendszer elemeiből felvett vektorháromszög vázlata

A sinustétel alkalmazása: ( ) ( ) ( )α90sin

Fβ90sin

Fαβsin

F BA

+°=

−°=

−, amiből külön-külön kife-

jezhetjük az FA és FB ismeretleneket. Eredményül az előbbi két módszerhez hasonlóan

FA=36,3 [kN] –t és FB=63,36 [kN]-t kapunk.

1.2.2. példa:

Adott a 25. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok

helye (a=4 [m], b=2,5 [m], c=4,5 [m]) és a C csuklót terhelő F=27 [kN] koncentrált erő. Fel-

adat, hogy meghatározzuk az A és B csuklóknál fellépő támaszerőket! Feltételeznünk kell az

ismeretlen reakció erők nagyságát és értelmét (26. ábra)! A hatásvonaluk ismert, mivel az AC

és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Így

ezek az elemek hossztengelyükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. Ezt az elmozdulást

akadályozzák meg a támaszoknál fellépő kényszererők, amik hatásvonala így az AC és BC

tartószerkezeti elemek hossztengelyével párhuzamos.

15

25. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer

26. ábra: Reakció erők nagyságának és értelmének a feltételezése

Következő lépésként célszerű felvenni a viszonyítási koordinátarendszert, és elhelyezni abba

a pontba, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egymást – jelen esetben ez a C

pont. Ugyanekkor feltüntetjük a két tartószerkezeti elem hossztengelyének (azaz a feltételezett

reakcióerők hatásvonalának is egyben) a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt

szögeit (27. ábra). Ezután kezdhetjük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítjuk

ki: [ ]°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛= 582,54

arctanba

arctanα és [ ]°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛= 41,634,54

arctanca

arctanβ .

Következő lépésben írhatjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket:

( ) ( )βcosFαcosF0ΣF BAx ⋅+⋅−== és ( ) ( ) FβsinFαsinF0ΣF BAy −⋅+⋅==

16

27. ábra: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeinek a bezárt szöge

A kér egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a követke-

zőket kapjuk eredményül a reakcióerőkre: [ ]kN47,20FA = és [ ]kN51,14FB = . Ezek a reakció

erők nagysága. Mivel az egyenletrendszer megoldásából pozitív értékeket kaptunk megoldá-

sul, ez annyit jelent, hogy a támaszerőknek feltételezett értelem helyes volt, azok megfelelnek

a 27. ábra szerint feltüntetettnek.

A szerkesztő eljárást a lépték felvételével kezdjük (28. ábra).

28. ábra: Lépték felvétele a szerkesztő eljáráshoz

Következő lépésként az ismert F koncentrált erőt mérjük fel (29. ábra).

29. ábra: Szerkesztő eljárás - F koncentrált erő felmérése

17

Ezután az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk párhuzamost a F erő támadás-

pontján át (30. ábra), majd a BC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk párhuzamost

az F erő végpontján át (31. ábra).

30. ábra: Szerkesztő eljárás - párhuzamos az A csuklónál ébredő támaszerő hatásvonalával

31. ábra: Szerkesztő eljárás - párhuzamos a B támasznál ébredő kényszererő hatásvonalával

A két párhuzamost meghosszabbítjuk, hogy metsszék egymást, így megkaptuk az erőrendszer

elemeinek a vektorháromszögét - az ismeretlen reakcióerők nagyságát a felvett lépték segítsé-

gével olvashatjuk le (32. ábra). A támaszerők értelme pedig adódik abból, hogy az erőrend-

szer elemeinek folytonos nyílértelemmel kell záródniuk a vektorháromszögben.

A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy az erőrendszer elemeinek hatásvonalait vázlatszerűen

rajzoljuk meg. Ebben az esetben a háromszög belső szögeinek és egyik oldalának az ismere-

tében trigonometrikus összefüggések felhasználásával számolhatjuk ki az ismeretlen reakció-

erőket.

18

32. ábra: Szerkesztő eljárás - reakcióerők leolvasása a lépték ismeretében a vektorháromszögről

1.2.3. példa:

Adott a 33. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, ami egyik végén egy csuklóval (A

pont), másik végén egy görgővel (B pont) van megtámasztva. F = 17 [kN], a = 1 [m], α1=50

[°] és α2=30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket!

33. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása

34. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és

irányának feltételezése

Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. En-

nek a három erőnek kell egyensúlyban lennie. Három erő egyensúlyának a feltétele, hogy ha-

19

tásvonalaiknak egy pontban kell metszeniük egymást és a vektorsokszögnek folytonos nyílér-

telemmel kell záródnia. A vetületi egyenleteknek egyenként zérussal kell egyenlőnek lennie.

Sinus tételből: ( )

( )( )( )

( )[m]1,63

70sin50sin2

α90α180sinαsin2

b21

1 =°°⋅

=−°−−°

⋅=

Cosinus tételből:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [m]48,30390cos63,114263,114α90cosb4a2b4ac 221

22 =°−⋅⋅⋅⋅−+⋅=−⋅⋅⋅−+=

Cosinus tételből: ( )

( )( )

( )][9,23

1448,3263,11448,3

arccos4ac2

b4acarccosβ

222222

°=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−⋅+

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅−+

=

x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°°⋅−°⋅+°⋅−=

=°⋅−⋅+⋅−==

30-90cosB23,9cosA50cos17

α-90cosBβcosAαcosF0ΣF 21x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°−°⋅+°⋅+°⋅−=

=−°⋅+⋅+⋅−==

3090sinB23,9sinA50sin17

α90sinBβsinAαsinF0ΣF 21y

A két egyenletből álló két-ismeretlenes egyenletrendszer megoldása A-ra és B-re:

A = 16,07 [kN] és 7,53 [kN].

Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek felté-

telezett értelmek helyesek!

1.2.4. példa:

Adott a 35. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F

= 23 [kN], a = 2 [m] és α=40 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket!


20

36. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és

irányának feltételezése

x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅== 40sinA40sin32αsinAαsinF0ΣFx →A = -23.

Ez azt jelenti, hogy az A támaszerő nagysága 23 [kN], iránya azonban ellentétes azzal, amit

feltételeztünk (Hiba! A hivatkozási forrás nem található.).

37. ábra: Rosszul feltételezett A reakcióerő irányának javítása

y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

( ) ( ) ( ) ( ) B40cos3240cos32BαcosAαcosF0ΣFy −°⋅−°⋅−=−⋅−⋅−== →B = -35,24.

Ez azt jelenti, hogy az B támaszerő nagysága 35,24 [kN], iránya azonban ellentétes azzal,

amit feltételeztünk (38. ábra).

21

38. ábra: Rosszul feltételezett B reakcióerő irányának javítása

1.2.5. példa

Adott a 39. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F

= 40 [kN], a = 3 [m], b = 1 [m] és α=60 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket!


Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reak-

cióerők alkotják – három erő összesen.

Az egyensúly feltétele, hogy ennek a három erőnek a hatásvonala egy pontban metssze egy-

mást. A B pontban a támaszerő hatásvonalának az iránya ismert, mivel a BC tartószerkezeti

elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagyságát és értelmét vesz-

szük fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszabbítva metszésre hozzuk az F erő hatásvo-

nalával (40. ábra). Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az egyen-

súly feltételének a teljesítéséhez. Ebben az esetben – az előző példákhoz hasonlóan - a sinus

22

és cosinus tétel felhasználásával tudjuk kiszámolni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi

egyensúlyi egyenletek felírásához kellenek.

40. ábra: Támaszerő értelmének feltételezése, majd hatásvonalának meghosszabbítása az F erő hatásvonaláig

Ehelyett a nyomatéki tételt használjuk fel az ismeretlen kényszererők kiszámításához. Mivel a

tartószerkezetre ható erőrendszer eredője zérus, így az erőrendszer egyes elemeinek nyoma-

tékösszege a tartó (a sík) bármely pontjára nézve nullának kell lenni. Nincs más teendőnk,

mint kiválasztani egy olyan pontját a tartónak, amelyen lehetőség szerint átmegy valamelyik

ismeretlen erő hatásvonala – így lehet a nyomatéki egyensúlyi egyenletben az ismeretleneket

a minimálisra csökkenteni.

Jelen példában felvesszük előbb az Ax, Ay, Bx, By ismeretlen nagyságú és irányú erőket (41.

ábra), majd az A pontra alkalmazzuk a nyomatéki tételt, felírjuk a nyomatéki egyensúlyi

egyenletet. Az egyenlet felírásához nemcsak egy viszonyítási koordinátarendszert, hanem egy

viszonyítási forgatási irányt is célszerű felvenni (41. ábra)!

23

41. ábra: Ismeretlen reakcióerők felvétele a nyomatéki egyenlethez

[ ]kN33,353

1)(340a

b)(aFB

aBb)(aFsinα

aBb)(aF0ΣM yA

=+⋅

=+⋅

=⇒

⇒⋅++⋅−=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛⋅++⋅−==

.

1

1. Síkbeli párhuzamos erőrendszerek

Ebben a témakörben olyan erőrendszereket vizsgálunk melyekben valamennyi erő hatásvona-

la párhuzamos egymással. Ahogy a közös metszéspontú erőrendszereknél, itt is kéttípusú pél-

dákkal találkozhatunk – eredő erő számítással és kiegyensúlyozással.

1.1. Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredő erejének meghatározása

A feladat, hogy az erőrendszer eredőjének a nagyságát, helyzetét és helyét meghatározzuk a

viszonyítási koordináta rendszerben. A számító eljárás során a viszonyítási koordinátarend-

szert vesszük fel elsőnek. Ezt célszerű úgy megtenni, hogy valamelyik koordináta tengelyt

párhuzamosnak választjuk az erőrendszer elemeinek a hatásvonalával. Az eredő nagyságának

meghatározásához a vetületi egyenletet használjuk fel, helyzete egyértelmű, helyének meg-

adásához pedig a nyomatéki tételt fogjuk használni.

1.1.1. példa

Adott (1. ábra) egy párhuzamos erőrendszer három eleme és elhelyezkedésük a

viszonyításimkoordináta rendszerben.


y irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer vala-

mennyi elemét

[kN]41281932FFFΣF 321y =+−=+−= .

Az eredő erő nagysága tehát FR=41 [kN]. Helyzete egyértelmű, párhuzamos az erőrendszer

egyes elemeinek a hatásvonalával. Értelme megegyezik a viszonyítási koordinátarendszer y

tengelyének pozitív értelmével, mivel a vetületi egyenletből pozitív számot kaptunk.

1. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása

2

Az eredő helyét kell meghatározni még a viszonyítási koordinátarendszerben. Ehhez a nyo-

matéki tételt alkalmazzuk, miszerint egy erőrendszer eredőjének adott pontra vett nyomatéka

meg kell, hogy egyezzen az erőrendszer egyes elemeinek ugyanazon pontra vett nyomaték-

összegével. Az adott pontot célszerű a felvett viszonyítási koordinátarendszer középpontjának

választani, illetve egy viszonyítási forgatási irányt is célszerű felvenni – jelen példában a po-

zitív forgatási irány az óramutató járásával ellentétes iránynak felel meg (2. ábra).

2. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredő erejének a meghatározása - nyomatéki tétel felírása az eredő helyének a

számításához

332211RR0 kFkFkFkFΣM ⋅+⋅−⋅=⋅= . Amennyiben minden ismert adatot behelyettesítünk

az egyenletbe, akkor csak a kr lesz ismeretlen, ami nem más, mint az eredő erő hatásvonalá-

nak távolsága a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyétől.

0,3820,2912,123k14ΣM R0 ⋅+⋅−⋅=⋅= . Az egyenlőségből, ha kifejezzük a kR-t, a követke-

zőt kapjuk: [m]2,06kR = .

Megoldás szerkesztéssel. Az áttekinthetőség miatt az erőket egymás mellett rajzoljuk. Első

lépésként felvesszük a léptéket (3. ábra).


Ezután a léptéknek megfelelően tetszőleges helyre felmérjük az F1 erőt (4. ábra).

3

4. ábra: Eredő erő szerkesztése - F1 erő felvétele

Következő lépésként az F1 erő végpontjából az F2 erőt mérjük fel léptékhelyesen (5. ábra),

majd az F2 erő végpontjából az F3 erőt (6. ábra).


Az eredő erő nagyságát az F1 erő támadáspontjából az F3 erő végpontjába húzott egyenes le-

olvasása után kapjuk meg (7. ábra). Az eredő erő helyzete, iránya adódik a szerkesztésből.

Meg kell még határozni, hogy a felvett viszonyítási koordinátarendszerben hol helyezkedik el

az eredő erő.


4

7. ábra: Eredő erő szerkesztése - eredő erő leolvasása

Az eredő erő helyzetének a kiszerkesztéséhez a vektor- és kötélsokszög szerkesztést használ-

juk. Először is újabb léptéket veszünk fel a távolságok felméréséhez (8. ábra).

8. ábra: Lépték felvétele a távolságok felméréséhez

A (9. ábra) szerint a léptéknek megfelelően felvesszük az erőket a viszonyítási koordináta-

rendszerben. Az ábrát kiegészítjük a jobb oldalán a már megismert vektorsokszöggel, ami

mellé tetszőleges helyre egy P pontot veszünk fel, amit póluspontnak nevezünk (10. ábra).

Fontos, hogy a póluspontnak a helye nem befolyásolja a végeredményt, ezért vehetjük fel

tetszőleges helyre. Következő lépésekben az erőrendszer egyes elemeit úgynevezett segéd-

erőkkel felbontjuk, helyettesítjük őket. Ehhez a P póluspontot használjuk fel. Először az F1

erőt bontjuk fel/helyettesítjük S1 és S2 segéderőkkel (11. ábra), azaz F1 erő az S1 és S2 eredő-

jeként fogható fel.

5

9. ábra: Erőrendszer elemeinek léptékarányos felvétele a viszonyítási koordinátarendszerben

10. ábra: A vektorábra és a póluspont felvétele

Következő lépésben az F2 erőt bontjuk fel, annyi megkötéssel, hogy az egyik összetevő az S2

erő ellentettje, azaz –S2 legyen. A másik összetevő S3 erő lesz (12. ábra). Hasonlóan járunk el

az F3 erő felbontásával is – az egyik összetevő az S3 erő ellentettje, azaz –S3 legyen. A másik

összetevő S4 erő lesz (13. ábra).

6

11. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkkel

12. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkkel

13. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S4 segéderőkkel

7

Ezután az S segéderőkkel helyettesítjük az erőrendszer egyes elemeit – a szerkesztést a 13.

ábra bal oldalán folytatjuk. Az F1 erőt S1 és S2 erőkre bontottuk fel, tehát a három erő hatás-

vonala egy tetszőleges pontban, legyen K1 pont, metszik egymást. Ezt a K1 pontot tetszőleges

helyen felvesszük az F1 erő hatásvonalán, majd ezen a ponton keresztül párhuzamost húzunk

S1 hatásvonalával úgy, hogy másik erő hatásvonalát ne metsszük el (14. ábra).

14. ábra: Párhuzamos S1 segéderő hatásvonalával K1 tetszőlegesen felvett ponton át

Következő lépésében az S2 segéderő hatásvonalával húzok párhuzamost még mindig a K1

ponton keresztül, de úgy, hogy elmetssze az F2 erő hatásvonalát is (K2) – hiszen az S2 segéd-

erőt felhasználtuk az F2 erő felbontása során is (15. ábra).

15. ábra: Párhuzamos S2 segéderő hatásvonalával K1 tetszőlegesen felvett ponton át, kimetszve K2 pontot

8

Az F2, S2 és S3 erők közös metszéspontja a K2 pont lesz. Emiatt következő lépésként S3 se-

géderővel húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy metssze F3 erő hatásvonalát (16. ábra).

16. ábra: Párhuzamos S3 segéderő hatásvonalával K2 ponton át, kimetszve K3 pontot

Utolsó előtti lépésként S4 segéderővel húzunk párhuzamost a K3 ponton át, mivel az F3 erőt S3

és S4 segéderőkkel helyettesítettük (17. ábra).

17. ábra: Párhuzamos S4 segéderő hatásvonalával K3 ponton át

9

A jobb oldali vektorsokszögből adódik, hogy az eredő erőt S1 és S4 segéderőkkel helyettesítet-

tük. Eszerint az S1 és S4 segéderők, illetve az eredő erő hatásvonala egy pontban kell, hogy

metsszék egymást. Utolsó lépésként az S1 és S4 segéderőkkel húzott párhuzamosokat metszés-

re kell hozni – K4 pont. Ezen a ponton kell átmennie az eredő erő hatásvonalának, aminek az

irányát már ismerjük. Ezzel az eredő erő meghatározás feladata teljessé vált.

18. ábra: Eredő helyének meghatározása - S1, S4 segéderő meghosszabbítása, metszése, K4 pont megadása

Az eredő erőnek a helye, távolsága a viszonyítási koordinátarendszertől, leolvasható az ábrá-

ról. Eszerint az eredő erő hatásvonala és a viszonyítási tengely távolsága 2,06 [m].

A 14. ábra - 18. ábrasorozat jobb oldala a vektorsokszög, míg a segéderőknek a baloldali, pár-

huzamos része a kötélsokszög.

1.2. Síkbeli párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása

E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor egy tartószerkezeti elemre (pl.: gerenda) egy

vagy több külső terhelő erő hat, amelyek hatásvonalai egymással párhuzamosak. A tartószer-

kezetet különböző kényszerek (merev befogás, csukló, görgő) támasztják meg, biztosítva ez-

zel az egyensúlyt, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el. Meg kell határozni a támaszoknál

(kényszereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket) erőket. A feladat megoldásához

itt is célszerű felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert és egy viszonyítási forgatási

irányt is. A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiányzó elemeit,

azaz a támaszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat és az irányukat (hatásvo-

nal, értelem)!

A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el, mint eredő erő szerkesztésekor.

10

1.2.1. példa

Adott az 19. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, baloldali végén egy csuklóval (A

pont), jobboldali végén egy görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztenge-

lyére merőlegesen terheli F1=19 [kN], F2=26 [kN] és F3= 15 [kN] koncentrált erő. Elhelyez-

kedésük ismert, a = 1 [m].

19. ábra: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegyensúlyozása - reakció erő meghatározás

A számító eljárás során az első lépés, hogy a támaszoknál fellépő támasz erők nagyságát és

irányát feltételezzük. Az A csukló megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását mind x, min

y irányokban. Ezért ott Ax és Ay erőket is feltételezünk. A B támasz csak a támaszra merőle-

ges elmozdulását akadályozza meg a tartószerkezetnek, így ott csak egy y tengellyel párhu-

zamos hatásvonalú erő nagyságát és értelmét feltételezzük (20. ábra). A tartószerkezetet terhe-

lő erőrendszernek így öt eleme van jelen példában, F1, F2 és F3 ható erők és FA, FB ismeretlen

erők.

20. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - támaszerők nagyságának és irányának feltételezése

Az egyensúly feltétele, hogy az eredő nagysága nulla legyen. Ha ez fenn áll, akkor a tartó-

szerkezet sem x, sem y irányban nem mozdul el. Azonban ha az eredő erő zérus, az nem je-

lenti automatikusan, hogy nem mozdul el a szerkezet. Ugyanis az eredő erő lehet erőpár is.

Azaz az erőrendszer eredőjének erőértéke zérus, de nyomatéka van. Ebben az esetben a tartó-

szerkezet egy adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egyensúly feltétele,

hogy a tartószerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végez. Ehhez nem elegendő a már

ismert két vetületi egyensúlyi egyenletet felírni:

11

xx A0ΣF −== és 321(y)yy FFFBA0ΣF −+−+== .

Matematikai szempontból sem megoldható a két egyenletből álló három-ismeretlenes egyen-

letrendszer. Az erőrendszerre ugyanúgy érvényes a nyomatéki tétel is. Ha azonban az erő-

rendszer eredője nulla, annak nyomatéka bármely tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla

lesz. Így írhatjuk fel tetszőlegesen választott pontra a nyomatéki egyensúlyi egyenletet. A

pontot, amire vesszük az erőrendszer valamennyi elemének a nyomatékösszegét, úgy célszerű

felvenni, hogy az egyenletben az ismeretlenek száma minimális legyen. Ezt úgy érhetjük el,

hogy a nyomatékot olyan pontra írjuk fel, amelyen minél több ismeretlen erő hatásvonala át-

megy. Jelen példában először az A pontra írunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

3a)1,75a1,75a(1,5aB1,75a)1,75a(1,5aF1,75a)(1,5aF(1,5a)F

0ΣM

123

A

+++⋅+++⋅−+⋅+⋅−=

== .

Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel Ax és Ay

hatásvonala is átmegy az A ponton, így nyomatékuk az A pontra zérus. Behelyettesítés után:

[m]8B[m]5kN][91[m]25,3kN][62[m]5,1kN][510ΣMA ⋅+⋅−⋅+⋅−== . Az egyenletből B-

re a következőt kapjuk: B = 4,125 [kN]. Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt je-

lenti, hogy a B erőnek feltételezett irány helyes volt, az eredmény felírása helyesen:

B = 4,125 [kN] (↑).

A következő lépésben a B pontra is felírunk egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

3a)1,75a1,75a(1,5aA1,75a)1,75a(3aF1,75a)(3aFa)3(F

0ΣM

y321

B

+++⋅−++⋅++⋅−⋅=

==.

Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen az A támasznál fellépő Ay reakcióerő, mivel Ax és

B(y) hatásvonala is átmegy a B ponton, így nyomatékuk a B pontra zérus. Behelyettesítés után:

[m]8A[m]5,6kN][51[m]75,4kN][62[m]3kN][190ΣM yB ⋅−⋅+⋅−⋅== . Az egyenletből Ay-

ra a következőt kapjuk: Ay = 3,875 [kN]. Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt

jelenti, hogy az Ay erőnek feltételezett irány helyes volt, az eredmény felírása helyesen:

Ay = 3,875 [kN] (↑).

Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletből egyértelműen kiderül, hogy az A pontban feltéte-

lezett Ax reakcióerő zérus.

Az y irányú vetületi egyenletbe, ha behelyettesítünk, ellenőrizhetjük a nyomatéki egyensúlyi

egyenletek eredményeit: 516291125,4875,30ΣFy −+−+== . Az egyenlőség fennáll. Az A

reakcióerő nagysága megegyezik az Ay-nal ( [kN]3,8753,8750AAA 22y

2x =+=+= ), ha-

12

tásvonala párhuzamos az y tengellyel, míg értelme pozitív a viszonyítási koordinátatengely-

hez képest.

A szerkesztő eljárás nagyon hasonlóan zajlik, mint a párhuzamos erőrendszer eredőjének a

14. ábra - 18. ábrasorozaton bemutatott eljárása. Először felvesszük a léptéket mind az erőnek,

mint a távolságnak (21. ábra), majd léptékhelyesen felvesszük a tartószerkezetet és a rá ható

erőket (22. ábra).

21. ábra: Lépték felvétele

22. ábra: A tartószerkezet és a rá ható erők léptékhelyes felvétele

23. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - vektorábra rajzolása

13

A következő lépésben az 22. ábra jobb oldalára egymás után felmérjük a ható erőket, F1, F2 és

F3 koncentrált erőket (23. ábra) és egy tetszőleges helyre felvesszük a P póluspontot. Az F1,

F2 és F3 koncentrált erőket felbontjuk, helyettesítjük S segéderőkkel. Először az F1 erőt bont-

juk fel S1 és S2 segéderőkre (24. ábra). Ezután az F2 erőt helyettesítjük –S2 és S3 segéderőkkel

(25. ábra), végül F3 erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre (26. ábra). Tudjuk azt, hogy az erő-

rendszer két ismeretlen elemét, A és B erőket, ha felmérjük a vektorábrába, akkor a vektor-

sokszögnek folytonos nyílértelemmel kell záródnia. Így lesz az eredő erő nulla, így lesz

egyensúly. Az A és B erők nagyságának a megszerkesztéséhez a kötélábrát kell megrajzol-

nunk.

24. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre

25. ábra: F2 erő felbontása -S2 és S3 segéderőkre

14

26. ábra: F3 erő felbontása -S3 és S4 segéderőkre

Először párhuzamost húzunk S1 segéderővel az A ponton keresztül, hogy metssze F1 erő ha-

tásvonalát (27. ábra) – ugyanis S1 segéderő ellentettje, -S1 az A reakcióerőt helyettesítő erő

egyike lesz. Az A reakcióerő hatásvonalának pedig egyetlen pontját ismerjük, magát az A

pontot. Azért nem a B pontból indítjuk a szerkesztést, mert a B támaszerőnek a hatásvonala

ismert – görgő esetében támaszra merőleges. A kötélábra szerkesztése végén az utolsó segéd-

erőnek (S4) metszeni kellene az A támaszerő hatásvonalát, azaz az A ponton kellene áthalad-

nia. Ez pedig nem lehetséges – csak véletlenszerűen sikerülhet.

27. ábra: Kötélábra - párhuzamos S1 segéderővel az A ponton át

15

28. ábra: Kötélábra - párhuzamos S2 segéderővel K1 ponton át, metszve F2 hatásvonalát K2 pontban

Következő lépésként S2 segéderővel húzunk párhuzamost a K1 ponton át úgy, hogy S2 hatás-

vonala metssze F2 hatásvonalát (28. ábra). A metszéspont K2. Ezután S3 segéderő hatásvona-

lával húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy elmetsszük F3 hatásvonalát a K3 pontban (29.

ábra). Végül K3 ponton át húzunk párhuzamost S4 segéderővel, hogy metssze B támaszerő

hatásvonalát (30. ábra). A metszéspont K4. Ezután összekötjük A és K4 pontokat, az egyenest

záróvonalnak nevezzük (31. ábra).

29. ábra: Kötélábra - párhuzamos S3 segéderővel K2 ponton át, metszve F3 hatásvonalát K3 pontban

16

30. ábra: Kötélábra - párhuzamos S4 segéderővel K3 ponton át, metszve B hatásvonalát K4 pontban

31. ábra: Kötélábra - záróvonal szerkesztés, A és K4 pontok összekötése pontvonallal

Végül a záróvonallal párhuzamost húzunk a vektorábrán szereplő P pólusponton keresztül

(32. ábra). Jól látható a kötélábráról, hogy az A támaszerőt a (-)Z és (-)S1 segéderők helyette-

sítik – ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az A pontban, míg a B támaszerőt

(-)S4 és Z segéderők helyettesítik – ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az K4

pontban.

17

32. ábra: Záróvonal behúzása a pólusponton át, K5 pontot kimetszve a vektorábrából, a reakció erők leolvasása

A vektorábráról leolvashatjuk a felvett lépték segítségével a támaszerők nagyságát!

1.2.2. példa

Adott a 33. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer,

az F=11 [kN] koncentrált erő, q1=5 [kN/m] és q2=3 [kN] vonal mentén egyenletesen megoszló

erők, illetve az a=2 [m] távolság.

33. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egye-

nes tengelyű tartószerkezet

Első lépésben a megoszló erőket helyettesítjük koncentrált erőkkel – erre azért van szükség,

mert a megoszló erőknek a nyomatékát egy tetszőlegesen választott pontra a helyettesítő

erőknek a hatásvonala fogja meghatározni, ezek alapján olvassuk le az erőkarokat. A q1=5

[kN/m] egyenletesen megoszló terhelés 1,5a = 3 [m] hosszon hat, míg a q2=3 [kN/m] egyenle-

tesen megoszló terhelés 3a = 6 [m] hosszon hat. A helyettesítő erők nagysága:

[kN]152)(1,55(1,5a)qQ 11 =⋅⋅=⋅= és [kN]182)(33(3a)qQ 22 =⋅⋅=⋅= .

Látható, a helyettesítő erő nagysága az azt szimbolizáló téglalap területével egyezik meg,

ezért a hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlypontjába helyezzük el (34. ábra).

18

34. ábra: Egyenletesen megoszló erők helyettesítése koncentrált erőkkel

Ezután a tartót megtámasztó kényszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagyságát

és irányát. Az A pontban egy csukló a támasz, ami megakadályozza a tartószerkezet elmozdu-

lását x és y irányokban. Így az A pontban Ax és Ay kényszererőket feltételezünk. A B pontban

egy görgő a kényszer, így ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk

(35. ábra). Ezután már felírhatjuk az egyensúlyi egyenleteket.

35. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának, értelmének feltételezése

Először az A pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3,5aB2,5aF2

3a1,5a3aq

21,5aq

aa1,5aBa1,5aF2

aaa1,5aaaaq

21,5a

1,5aq

aa1,5aBa1,5aF2

aaa1,5aQ

21,5a

Q0ΣM

2

21

21

21A

⋅+⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⋅⋅−⋅

−=

=++⋅++⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +++⋅++⋅−⋅⋅−=

=++⋅++⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +++⋅−⋅−==

.

Behelyettesítés után:

( ) ( ) ( ) ( )23,5B22,511223

21,52332

21,550ΣM

2

A ⋅⋅+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−== .

Az egyenlőségből a B ismeretlent kifejezve: B = 26,5 [kN].

A B pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

19

( )

( ) ( )( ) ( )

( ),5a3AaF2

3aq2

25,8aq

1,5aaaAaFa2

aaaaaaq

21,5a

aa1,5aq

1,5aaaAaFa2

aaaQ

21,5a

aaQ0ΣM

y

22

21

y21

y21B

⋅−⋅+⋅⋅

+⋅⋅

=

=++⋅−⋅+⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −++

⋅++⋅+⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅⋅=

=++⋅−⋅+⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −++

⋅+⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅==

.


7A2112

3232

25,8250ΣM y

22

A ⋅−⋅+⋅⋅

+⋅⋅

== .

Az egyenlőségből az Ay ismeretlent kifejezve: Ay = 17,5 [kN].

Ellenőrzésként az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet írjuk fel:

( )( ) 026,517,511222321,55

BAFaaaq1,5aq0ΣF y11y

=++−++⋅−⋅⋅−=

=++−++⋅−⋅−==.

Az x irányú vetületi egyenletben csak az Ax ismeretlen szerepel, ami így nullával egyenlő.

A keresett reakcióerők eredményei helyesen feltüntetve:

Ay = 17,5 [kN] (↑) és B = 26,5 [kN] (↑).

1

1. Síkbeli általános erőrendszerek

Síkbeli általános erőrendszer esetében az erőrendszer egyes elemei egymáshoz képest teljesen

általános helyzetben helyezkednek el. Eddigi ismereteinket felhasználva vagy eredő erő szá-

mítás, vagy kiegyensúlyozás a feladatunk.

1.1. Síkbeli általános erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása

1.1.1. példa

Adott a (1. ábra) az x-y viszonyítási koordináta rendszer, F1 [kN], F2 [kN] és F3 [kN] erők

nagysága és iránya a viszonyítási koordináta rendszerben, M [kNm] koncentrált nyomaték és

a [m] távolság. F1 = 5 [kN], α1 = 85 [°], F2 = 4 [kN], α2 = 50 [°], F3 = 15 [kN], α3 = 15 [°], M

= 19 [kNm] és a = 1,6 [m] távolság.

1. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredő erejének meghatározása

Megoldás számítással:

első lépésben a vetületi tételt alkalmazzuk a viszonyítási koordinátarendszer két tengelyére.

Az x irányú vetületi egyenlet:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 86,1115-90sin5150-90cos485-90sin5

cos1551sin504cos855

α-90sinFα-90cosFα-90sinF

cosαFsinαFcosαFFFFF

332211

3322113x2x1xx

−=°⋅−°⋅+°⋅−=

=°⋅−°⋅+°⋅−=

=⋅−⋅+⋅−=

=⋅−⋅+⋅−=−+−=

°°°

°°°

∑

.

Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer x tengelyére vett vetületé-

nek nagysága 11,86 [kN], értelme pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen

felírva: )( [kN]11,86FF Rxx ←==∑ .

Az x irányú vetületi egyenlet:

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 29,615-90cos1550-90sin485-90cos5

sin1515cos504sin855

α-90cosFα-90sinFα-90cosF

sinαFcosαFsinαFFFFF

332211

3322113y2y1yy

−=°⋅−°⋅+°⋅−=

=°⋅−°⋅+°⋅−=

=⋅−⋅+⋅−=

=⋅−⋅+⋅−=−+−=

°°°

°°°

∑

.

Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyére vett vetületé-

nek nagysága 6,29 [kN], iránya pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen fel-

írva: ( )↓==∑ [kN]29,6FF Ryy .

Az eredő erő nagyságát a következők szerint kapjuk meg:

[kN]13,426,2911,86FFF 222

Ry

2

RxR =+=+= .

A következő lépés az erőrendszer eredőjének az elhelyezkedése, helyzetének megadása a vi-

szonyítási koordináta rendszerben – hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koor-

dináta rendszer tengelyeihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala

mekkora szöget zár be a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel. A 2. ábra jelöléseit

használva az α a vízszintessel bezárt szög. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazá-

sával történik.

2. ábra: Eredő erő nagyságának és helyzetének a meghatározása a viszonyítási koordináta rendszerben

][27,911,86

6,29arctan

13,42

11,86arccos

13,42

6,29arcsin

F

Farctan

F

Farccos

F

Farcsinα

Rx

Ry

R

Rx

R

Ry

°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

.

Végül pedig azt kell meghatároznunk, hogy az eredő erő hol helyezkedik a viszonyítási koor-

dináta rendszerben. Ehhez a nyomatéki tételt használjuk fel, azaz az erőrendszer minden

egyes elemének vesszük a nyomatékát egy adott pontra, jelen esetben a viszonyítási koordiná-

ta rendszer középpontjára, és előjelhelyesen összegezzük őket. Az egyenlet helyes felírásához

és az előjelhelyes összegzéséhez célszerű felvenni egy viszonyítási forgatási irányt (a viszo-

nyítási koordináta rendszerünk jobbforgású, ami egyértelműen meghatározza a viszonyítási

3

forgatási irányt is). Adott pont körüli pozitív forgatásnak az óramutató járásával ellentétes

irányt értjük.

3. ábra: Erőrendszer egyes elemeinek nyomatéka a viszonyítási koordináta rendszer középpontjára

A 3. ábra az egyes erők hatásvonalának a meghosszabbítását mutatja, illetve az origóból ezen

egyenesekre bocsátott merőlegesek (k1, k2, k3) vannak feltüntetve. E merőleges egyenesek

hosszát kellene kiszámolni a nyomatékok meghatározásához, ami lehetséges, de hosszadal-

mas. Ehelyett a következőket tesszük. Az egyes erőknek a vetületi egyenletek során már ki-

számítottuk az x és y irányú komponenseit. A nyomatéki tétel értelmében, ha az adott erő

egyes komponenseinek a nyomatékát vesszük külön-külön adott pontra, ugyanazt kapjuk,

mintha magának az adott erőnek vettük volna a nyomatékát az adott pontra. Ennek figyelem-

be vételével a nyomatéki tétel első részének alkalmazása:

,531291)6,1(3)(15sin51)(1,6)(15cos51

)(1,6)(50cos4)6,1(1,9)(50sin4)(1,6)(85sin5)6,1(3)(85cos5

Ma)(3)(αsinF)(a)(αcosF

)(a)(αcosF)a(1,9)(αsinF)(a)(αsinF)a(3)(αcosF

Ma)(3F)(aF)(aF)a(2F)(aF)a(3FM

3333

22221111

3y3x2y2x1y1xO

−=−⋅⋅°⋅−⋅°⋅+

+⋅°⋅+⋅⋅°⋅−⋅°⋅−⋅⋅°⋅=

=−⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

=−⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅=Σ

Ez azt jelenti, hogy az erőrendszer egyes elemeinek origóra (O pont) vett eredő nyomatéka

12,53 [kNm] nagyságú. A forgatóhatás iránya az óramutató járásával megegyező irányú. Ezt

onnan tudjuk, hogy az eredményre negatív értéket kaptunk, ami a felvett viszonyítási forgatási

irányunkkal ellentétes irányt jelent. Ez az érték és a forgatás iránya meg kell egyezzen az erő-

rendszer eredőjének ugyancsak az origóra vett nyomatékával. Figyelembe véve, hogy az ere-

dő hogyan (α, β szögek) helyezkedik el a viszonyítási koordinátarendszerben, a 4. ábra szem-

lélteti az eredő erőnek a helyét. A kérdés a kR távolság. A nyomatéki tétel második részének

alkalmazása: RRO Fk[kNm],5312M ⋅==Σ , ahonnan

4

[m]93,0[kN]13,42

[kNm]12,53

F

Mk

R

OR ==

Σ= .

4. ábra: Eredő erő elhelyezkedése a viszonyítási koordinátarendszerben



a figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott G pontból az F1 erő

hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes

hossza a léptéknek megfelelően 2,5 [cm] (6. ábra). Következő lépésekben az F2 és F3 erőket

mérjük fel (7. ábra és 8. ábra).

5. ábra: Erőlépték felvétele

6. ábra: F1 erő léptékhelyes felvétele

5



Az eredő erő támadáspontja a tetszőlegesen felvett P pont lesz, és az F3erő végpontjába mutat.

Ez meghatározza az eredő irányát és értelmét is (9. ábra).

9. ábra: Az eredő iránya és értelme

A következő lépés az eredő helyének (kr) a meghatározása az adott viszonyítási koordináta-

rendszerben. Ehhez a vektor és kötélsokszöget kell megszerkesztenünk.

Azonban mielőtt ezt megtesszük, nagyon lényeges, hogy az erőrendszerben működő nyoma-

tékot (erőpárt) is figyelembe vegyük! Az M nyomatéknak ugyanis az eredő erő nagyságára

nincs hatása (erőértéke nulla), de az elhelyezkedésére igen! Először a távolságléptéket vesz-

6

szük fel (10. ábra). Ezután az M koncentrált nyomatékot helyettesítjük az FM erőpárral (11.

ábra). Az FM erő értéke: [ ] 1F1FkNm6M MM ⋅+⋅==

→ [ ]kN3FM = .

10. ábra: Távolságlépték felvétele

11. ábra: A koncentrált nyomaték helyettesítése erőpárral

Ezt az FM erőt kell kétszer felvennünk a vektorsokszögben egy tetszőleges helyre – jelen pél-

dában az F2 erő végpontjából mérjük fel. Az erőpár másik, ellentétes értelmű tagja ugyanebbe

a pontba fog mutatni (12. ábra), és innen folytatódik az adott erők további felvétele.

12. ábra: Az M koncentrált nyomaték figyelembe vétele, mint erőpár

Most már nekifoghatunk a vektor- és kötélsokszög szerkesztésének. A tetszőleges helyre fel-

vett póluspontot P – vel jelöljük, és megrajzoljuk a S segéderőket. Először az F1 erőt bontjuk

7

fel S1 és S2 segéderőkre a vektorábrán. S1 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk a kö-

télábrán oly módon, hogy egy tetszőleges K1 pontban elmetssze F1 erő hatásvonalát (13. ábra).

Ezen a K1 ponton át párhuzamost húzunk S2 erő hatásvonalával is.

13. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre, K1 pont meghatározása

Ezután F2 erőt bontjuk fel -S2 és S3 segéderőkre a vektorábárán. A kötélábrán a K1 ponton

átmenő S2 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk F2 erő hatásvonalá-

val. A metszéspont a K2 pont lesz, amin keresztül párhuzamost húzunk S3 segéderő hatásvo-

nalával (14. ábra).

14. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkre, K2 pont meghatározása

A következő lépésben a felfelé mutató FM erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre a vektoráb-

rán. A K2 ponton áthaladó S3 segéderőt meghosszabbítjuk a kötélábrán, hogy metssze a felfele

mutató FM erő hatásvonalát (15. ábra). K3 lesz a metszéspont, amin keresztül párhuzamost

húzunk S4 segéderő hatásvonalával is.

8

15. ábra: FM (↑) erő felbontása –S3 és S4 segéderőkre, K3 pont meghatározása

Ezután a lefelé mutató FM erőt kell felbontani segéderőkre. Ezek a –S4 és S3 erők lesznek. A

kötélábrán S4 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk a lefelé mutató

FM erő hatásvonalával. K4 lesz a metszéspont. Ezen a ponton át húzunk párhuzamost az S3

segéderővel (16. ábra). Következő lépésként az F3 erőt bontjuk fel –S3 és S5 segéderőkre a

vektorábrán. A kötélábrán a K4 ponton átmenő S3 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk,

metszésre hozzuk F3 erő hatásvonalával.

16. ábra: FM (↓) erő felbontása –S4 és S3 segéderőkre, K4 pont meghatározása

K5 lesz a metszéspont (17. ábra), amin keresztül párhuzamost húzunk S5 segéderő hatásvona-

lával.

9

17. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S5 segéderőkre, K5 pont meghatározása

Végül a legelső lépésben a tetszőleges K1 ponton át felvett S1 segéderő hatásvonalát metszésre

hozzuk a legutolsóként a K5 ponton keresztül felvett S5 segéderő hatásvonalával.

18. ábra: K6 pont, az eredő helyének a meghatározása

10

K6 lesz a metszéspont. Ezen a ponton kell az eredő erőnek áthaladnia – párhuzamost húzunk

az FR eredő hatásvonalával K6 ponton keresztül (18. ábra).

19. ábra: A teljes vektor és kötélábra

A teljes vektor és kötélábrát a 19. ábra mutatja.

1.2. Síkbeli általános erőrendszer kiegyensúlyozása

1.2.1. példa

Adott a 20. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer,

az F=7 [kN] koncentrált erő, α=60 [°], q1=2 [kN/m] és q2=3 [kN] vonal mentén egyenletesen

megoszló erők, illetve az a=2 [m] távolság.

20. ábra: Egyenes tengelyű tartó általános terhelése

Megoldás számítással: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú

erőket (21. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra.

11

21. ábra: Ismeretlen nagyságú és irányú reakcióerők felvétele

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )221,52Bsin60221,572

25,1221,525,123

2

21,52

a1,5a2Bsinαa1,5aF2

a5,1a1,5aa5,1aq

2

1,5aq0ΣM

2

2

2

1A

+⋅⋅⋅+°⋅+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅++⋅⋅⋅+⋅−

⋅⋅−=

=+⋅⋅+⋅+⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅+⋅−

⋅−==

B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,23 [kN] (↑).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )221,52A2

25,125,1221,52

2

25,123sin6021,57

a1,5a2A2

a5,1a5,1a1,5aq

2

a5,1aqsinα1,5aF0ΣM

y

2

y1

2

2B

+⋅⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+

⋅+⋅+°⋅⋅⋅=

=+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅⋅++⋅

+⋅⋅==

Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =11,84 [kN] (↑).

Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is:

⇒−⋅== xx AcosαF0ΣF Ax =3,5 [kN] (←).

Az reakcióerő nagysága: kN,351284,115,3AAA 222

y

2

x=+=+=

Az ismeretlen erőknek feltételezett irányok, értelmek minden esetben jók voltak!


22. ábra: Erőlépték felvétele

Elsőként felvesszük a léptéket (22. ábra). Lehetőség szerint mind az erő-, mind a távolság

léptéket úgy határozzuk meg, hogy a lapon kényelmesen, de jól láthatóan legyenek feltüntetve

a tartó méretei, illetve az erők nagyságai. Arra is gondolni kell, hogy a szerkesztés folyamán

az erők hatásvonalai egy esetleges távolabbi pontban metsződnek. (Ennek kézi szerkesztésnél

van jelentősége, számítógépes kivitelezés esetén természetesen korlátlan felület áll rendelke-

zésünkre.)

12

23. ábra: Külső erők léptékhelyes felmérése

A következő lépésben (23. ábra) a tartószerkezetet vesszük fel léptékhelyesen az ábra bal ol-

dalán (kötélsokszög kiindulási alapja), majd jobbra a tartószerkezetre ható külső, aktív erőket

vesszük fel léptékhelyesen – vektorsokszög kiindulási alapja. A megoszló erőket a helyettesí-

tő erőikkel (Q1, Q2) vesszük figyelembe. Ezután (24. ábra) az vektorábrától jobbra tetszőleges

helyen felvesszük a P póluspontot. F erőt felbontjuk S1 és S2 segéderőkre. S1 segéderő hatás-

vonalával párhuzamost húzunk az A ponton keresztül, hogy metssze F erő hatásvonalát. A

metszéspont a K1. A következő lépésben (25. ábra) Q1 erőt bontjuk fel –S2 és S3 segéderőkre a

vektorábrán, majd a kötélábrán S2 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk K1 ponton át,

hogy elmetsszük a Q1 hatásvonalát. A metszéspont K2. Ezután (26. ábra), ismét a vektorábrán,

felbontjuk a Q2 erőt –S3 és S4 segéderőkre. A kötélerő ábrán S3 segéderő hatásvonalával pár-

huzamost húzunk K2 ponton át, hogy metsszük Q2 hatásvonalát. A metszéspont a K3.

13

24. ábra: F erő felbontása S1, S2 segéderőkre, K1 pont meghatározása

25. ábra: Q1 erő felbontása –S2, S3 segéderőkre K2 pont meghatározása

14

26. ábra: Q2 erő felbontása –S3, S4 segéderőkre K3 és K4 pontok meghatározása

27. ábra: Záróvonal meghatározása, A és B reakcióerők leolvasása a vektorábráról

15

Most az S4 segéderő hatásvonalával húzunk párhuzamost a K3 ponton át, hogy elmetsszük a B

támaszerő hatásvonalát. Az újabb metszéspont K4.

Tudjuk azt, hogy a vektorábrán Q2 végpontja az egyben az ismeretlen B kényszererő táma-

dáspontja is. A B erő végpontja a szintén ismeretlen A támaszerő támadáspontja lesz. Azt

azonban tudjuk, hogy az A erőnek az elsőként felvett F erő kiindulási pontjába kell mutatnia,

különben nem áll fenn az egyensúly (ekkor kapunk nullvektort az erőrendszer eredőjére). A

jobboldali vektorábrán láthatjuk, hogy egy berajzolt segéderő mindig két erő felbontásakor

jelenik meg, csak ellentétes értelemmel.

Ez annyit jelent, hogy következő lépésként a K4 ponton keresztül kellene egy párhuzamost

húznunk azzal a segéderővel, ami a póluspont és a B erő végpontját köti össze. Ennek a se-

géderőnek az ellentettjével kellene az A erőt is felbontani. Ennek értelmében ennek az isme-

retlen segéderőnek a K4 ponton és az A erő hatásvonalán mindenképpen át kell haladnia. Az

erő hatásvonalának pedig egyetlen pontja ismert, mégpedig maga az A pont, ahonnan a kötél-

ábra szerkesztését elkezdtük.

A szerkesztés befejezéseként (27. ábra) semmi más dolgunk, mint K4 és A pontokat összeköt-

ni a kötélerő ábrán. A két pontot összekötő egyenest nevezzük záróvonalnak. Végül a záróvo-

nallal húzunk párhuzamost a vektorábrán a P pólusponton keresztül. Ez az egyenes fogja ki-

metszeni nekünk a függőleges helyzetű B támaszerő végpontját, ami az A támaszerő táma-

dáspontja is. A léptéknek megfelelően le kell olvasni az eredményeket!

A további példákban a megoldás csak számító eljárással határozzuk meg, a szerkesztő eljárást

már nem ismertetjük.

1.2.2. példa

Adott a 28. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, az F=20 [kN] koncentrált erő, q=5

[kN/m] vonal mentén egyenletesen megoszló erő, M=8 [kNm] koncentrált nyomaték, illetve

az a=1 [m] távolság. Határozzuk meg a támaszerőket!

28. ábra: Kéttámaszú tartó kiegyensúlyozása

16

Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (29.

ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra. Az A pontban csak

függőleges, y irányú erőt veszünk feszünk fel, mivel x irányú erő nincs az Ax kivételével nem

működik az erőrendszerben.

29. ábra: Ismeretlen támaszerők felvétele / feltételezése

( )

( ) 14B1022

10,751211,25110,751258

4aBaF2

0,75a2a1,25aa0,75a2aqM0ΣMA

⋅⋅+⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅+⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +++⋅+⋅−==


537,05,2583024A

5a37,0a5,2qM3aF4aA0ΣM B

⋅⋅++⋅+⋅=

=⋅⋅++⋅+⋅==

A ismeretlenre a következőt kapjuk: A = -18,17 → A=18,17 [kN] (↑).

1

1. Igénybevételek – rácsos tartók

A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására annak

belsejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven

igénybevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly

módon határozzuk meg, hogy a K-keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők eredőjét

számítjuk ki. Megkülönböztetjük a normál igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyével

párhuzamos hatásvonalú erők eredője), nyíró igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyére

merőleges hatásvonalú erők eredője) és a hajlító igénybevételt.

Rácsos tartókról abban esetben beszélünk, ha a tartószerkezetet rudakból építjük fel, amelyek

csuklóval kapcsolódnak egymáshoz. A külső terheléseket csak a csuklókban visszük fel a tar-

tóra. A közös metszéspontú erőrendszereknél tanultak alapján ilyenkor a tartószerkezeti ele-

mekben, a rudakban jó közelítéssel csak normál igénybevétel lép fel. Ez az igénybevétel két-

irányú lehet – húzás (+) vagy nyomás (-).

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti rácsos tartószerkezet, az F=6 [kN] koncentrált erő, illetve az a=2,4 [m]

távolság. Határozzuk meg a támaszerőket és a rudak igénybevételeit!

1. ábra: Rácsos tartó szerkezet

Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket

(2. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet az A és B pontokra, végül pedig vetületi

egyensúlyi egyenletet írunk fel.

2

2. ábra: Rácsos tartó kiegyensúlyozása - támaszerők felvétele

2,42B2,462,4262,4362,446

2aBaF2aF3aF4aF0ΣM A

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==

B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=-30 →B= 30,0 [kN] (→),

2,42A2,462,4262,4362,446

2aAaF2aF3aF4aF0ΣM

x

xB

⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅−⋅+⋅+⋅+⋅==

Ax ismeretlenre a következőt kapjuk: Ax = 30,0 [kN] (←),

yyy A64AF40ΣF +⋅−=+⋅−==

Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay = 24 [kN] (↑).

Most már ismerjük a tartószerkezetre működő külső erőrendszer minden elemét (3. ábra).

3. ábra: Rácsos tartóra ható erőrendszer

3

A következő lépésben az egyes rudak igénybevételeit kell meghatároznunk. Ezt kétféle mód-

szerrel tehetjük meg. Az egyik az úgynevezett csomóponti módszer, a másik a 3-as átmetszés

módszere.

A csomóponti módszer lényege, hogy a rácsos tartószerkezetnek egy olyan csomópontját,

csuklóját választjuk ki először, amelybe legfeljebb két ismeretlen tartószerkezeti elem, rúd

csatlakozik. A kiválasztott csomópontot, mint egy egyensúlyban lévő közös metszéspontú

erőrendszert tekinthetjük. A feladat, ennek az egyensúlyi erőrendszernek az ismeretlen eleme-

it, azaz a csomópontba befutó két ismeretlen rúderőt meghatározni! Jelen példában kettő

olyan csomópontot találunk, amelyikbe maximum két ismeretlen rúd csatlakozik be. Az

egyik a B, a másik a 4-es csomópont.

Válasszuk el a 4-es csomópontot a tartó többi részétől (4. ábra). Ezzel idézőjelesen elmetszet-

tük az S45 és S34 rudakat. Felszabadítottuk, láthatóvá tettük az átvágott rudakban lévő belső

erőket, igénybevételeket. Megjelenítjük a belső erőket oly módon, hogy az átmetszésnél a rúd

hossztengelyével párhuzamos irányban felvesszük az S45 és S34 ismeretlen rúderőket (5. ábra).

4. ábra: A 4-es csomópont különválasztása a tartószerkezettől

5. ábra: Ismeretlen rúderők megjelenítése

Hogyan kell értelmeznünk a felvett ismeretlen rúderőket? Az S45 és S34 erők belső erőket je-

lölnek. A nyilak értelmei azt mutatják meg nekünk, hogyan reagál az adott rúd anyaga, belső

része a két végén lévő terhelések hatására. Ha az 5. ábra szerinti feltételezéseket vesszük ala-

4

pul, akkor a 4-5 rúd másik, 5-ös csomópont felőli végén éppen ellentétesen kell mutatnia S45

rúderőnek. Ehhez hasonlóan a 3-4 rúd 3-as csomópont felőli oldalán is ellentétes irányban kell

feltételezni az S34 rúderőt (6. ábra).

6. ábra: Rudak ismeretlen belső erőinek feltételezése

A 6. ábra bal oldala szerinti jelölés azt jelenti, hogy a 4-5 rudat a két végén nyomják a külső

erők, míg a jobb oldala szerint a 4-3 rudat húzzák a külső erők (7. ábra)!

7. ábra: Normál (húzó vagy nyomó) igénybevétel értelmezése

Ezek alapján írjuk fel a két vetületi egyensúlyi egyenletet a 4-es csomópontra ható erőrend-

szer kiegyensúlyozása végett (5. ábra). Ehhez előbb meg kell határoznunk az S45 rúderő víz-

szintessel bezárt szögét (α):

[ ]°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛= 26,574a

2aarctanα ,

cosαSS0F 4534x ⋅−==∑ és

sinαSF0F 45y ⋅−−==∑ → S45 = -13,41 → S45 = 13,41 [kN] (húzott, (+)).

Mivel S45 rúderőre negatív értéket kaptunk, ez azt jelenti, hogy a belső erőnek felvett értelem

(irány) nem jó, éppen ellentétes (8. ábra). Azaz 4-5 rúd húzott tartószerkezeti elem lesz.

5

8. ábra: 4-5 rúd normál igénybevétele helyesen

Az x irányú vetületi egyenletet írjuk fel ismét, immár a 4-5 rúd igénybevételének ismeretében:

cosαSS0F 4534x ⋅+==∑ → S34 = -12,0 → S34 = 12,0 [kN] (nyomott, (-)) (9. ábra).

9. ábra: 3-4 rúd normál igénybevétele helyesen

Következő lépésként tovább léphetünk egy újabb csomópontra, ahova csak két ismeretlen rúd

csatlakozik. Ez a 3-as csomópont, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen

rúderőket (belső erőket) felvesszük (10. ábra).

10. ábra: A 3-as csomópontba csatlakozó ismeretlen (S35, S32) rúd(belső)erők feltételezése

A 3-as csomópontra felírt vetületi egyenletek:

3234x SS0F +==∑ → S32 = -S34 = -12,0 → S32 = 12,0 [kN] (nyomott, (-)),

35y S0F ==∑ → S35 = 0, azaz 3-5 rúd úgynevezett vakrúd (11. ábra)!

11. ábra: 3-5 és 3-2 rudak normál igénybevétele helyesen

6

Most már az 5-ös csomópontot is vizsgálhatjuk, ahova 2-5 és 5-6 ismeretlen rudak csatlakoz-

nak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmet-

szett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (12. ábra).

12. ábra: Az 5-ös csomópontba csatlakozó ismeretlen (S25, S56) rúd(belső)erők feltételezése

Az 5-ös csomópontra felírt vetületi egyenletek:

cosαScosαScosαS0F 255645x ⋅+⋅+⋅−==∑ → 56564525 S-41,13S-SS ==

és

sinαSsinαSFsinαS0F 255645y ⋅−⋅+−⋅−==∑ .


°⋅+°⋅−°⋅+−°⋅= sin26,57Ssin26,5741,31sin26,57S6sin26,57-13,410 5656 →

[kN]12,02sin26,572

sin26,5713,416sin26,5713,41S56 =

°⋅°⋅++°⋅

= (húzott, (+)) → S25 = -6,71→ S25 =

6,71 [kN] (nyomott, (-)) (13. ábra).


Ezután a 6-os csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 6-7 és 2-6 ismeretlen rudak csatlakoznak. Az

eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett isme-

retlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (14. ábra).

7

14. ábra: A 6-os csomópontba csatlakozó ismeretlen (S67, S26) rúd(belső)erők feltételezése

A 6-os csomópontra felírt vetületi egyenletek:

cosαScosαS0F 6756x ⋅+⋅−==∑ → [kN]21,20SS 5667 == (húzott, (+)),

és

sinαSSFsinαS0F 672656y ⋅+−−⋅−==∑ → 6S26 −= → [kN]6S26 = (nyomott,(-)) (15. áb-

ra).


Következő lépésben a 2-es csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 2-7 és 1-2 ismeretlen rudak

csatlakoznak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az

elmetszett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (16. ábra).

8

16. ábra: A 2-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S27, S12) rúd(belső)erők feltételezése

Mielőtt felírnánk a vetületi egyensúlyi egyenleteket, meg kell határoznunk az S27 rúderő ha-

tásvonalának vízszintessel bezárt szögét (β).

[ ]°=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛= 56,312a

3aarctanβ .

A 2-es csomópontra felírt vetületi egyenletek:

1227

12272532x

Scos56,31Scos26,576,7112

ScosβScosαSS0F

+°⋅+°⋅+=

=+⋅+⋅+==∑ → °⋅−−= cos56,31S0,18S 2712 ,

és

°⋅+−°⋅−=

=⋅+−⋅−==∑

sin56,31S6sin26,5771,6

sinβSSsinαS0F

27

272625y → [kN]82,01S27 = (húzott, (+))

Visszahelyettesítés után:

0,42cos56,3110,8218-cos56,31S0,18S 2712 −=°⋅−=°⋅−−= → [kN]24,0S12 = (nyomott,(-))

(17. ábra).

9


Ezután az 1-es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett

ismeretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (18. ábra).

18. ábra: Az 1-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S17, SA12) rúd(belső)erők feltételezése

Az 1-es csomópontra felírt vetületi egyenletek:

A112x SS0F +==∑ → SA1 = -S12 = -24,0 → S12 = 24,0 [kN] (nyomott, (-)),

17y S0F ==∑ → S17 = 0, azaz 1-7 rúd is vakrúd (19. ábra)!

19. ábra: 1-7 és A-1 rudak normál igénybevétele helyesen

Most a 7-es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett is-

meretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (20. ábra).

10

20. ábra: A 7-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (SB7, SA7) rúd(belső)erők feltételezése

A 7-es csomópontra felírt vetületi egyenletek:

cosαScosβScosβScosαS0F B7A72767x ⋅+⋅+⋅−⋅−==∑ → →

A7A7

B7 S62,083,26cos26,57

cos56,31S cos56,3182,01cos26,5712,02S ⋅−=

°°⋅−°⋅+°⋅

=,

sinαSsinβSFsinβSsinαS0F B7A72767y ⋅+⋅−−⋅−⋅−==∑ →


°⋅⋅−+°⋅−−°⋅−°⋅−= sin26,57)S0,62(26,83sin56,31S6sin56,3110,82sin26,5720,120 A7A7

→ 82,10SA7 −= → [kN]82,10SA7 = (nyomott, (-)) →

[kN]33,5410,820,6226,83S62,083,26S A7B7 =⋅+=⋅+= (húzott, (+)) (21. ábra).

21. ábra: A-7 és B-7 rudak normál igénybevétele helyesen

Befejezésként már választhatjuk mind az A, mind a B csomópontot, hogy meghatározzuk az

utolsó ismeretlen rúderőt (SAB). A B csomópontot, ha vesszük, kevesebb számolással érhe-

tünk el eredményt. Különválasztjuk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen rúderőt (belső erőt)

felvesszük (22. ábra).

11

22. ábra: A B csomópontba csatlakozó ismeretlen (SAB) rúd(belső)erő feltételezése

A B pontra felírt x irányú vetületi egyenletet eddigi számolásunk ellenőrzéseként írhatjuk fel:

BcosαS0F B7x +⋅−==∑ → B = SB7 = 30 [kN].

Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletből határozhatjuk meg az SAB rúderőt:

ABB7y SsinαS0F −⋅−==∑ → -15sin26,57-33,54sinαSS B7AB =°⋅=⋅−= → SAB= 15 [kN]

(nyomott, (-)) (23. ábra).

23. ábra: A-B rúd normál igénybevétele helyesen

Ezzel a tartószerkezet minden elemének igénybevételét ismerjük, az eredményeket úgyneve-

zett rúderő-táblázatban foglalhatjuk össze.

S1A S12 S23 S34 S45 S35 S25

húzott rúd 13,41 ∅

nyomott rúd 24,0 24,0 12,0 12,0 ∅ 6,71

S56 S26 S27 S67 S17 SA7 SB7

húzott rúd 20,12 10,82 20,12 ∅ 33,54

nyomott rúd 6,0 ∅ 10,82

12

A másik eljárás a rudak igénybevételének a meghatározására a 3-as átmetszés módszere. Az

eljárás lényege, hogy a tartószerkezetünket két, különálló részre választjuk szét. Ezt úgy tehet-

jük csak meg, hogy maximum három darab rudat „átvágunk” (24. ábra)!

24. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3-as átmetszéssel – S12, S27, S67 rudak átvá-

gása

A 24. ábra szerinti, hullámvonalal jelölt átvágással a tartó S12, S27 és S67 rúdjait vágtuk át,

szabadítottuk fel a rúderőket! Az egyik, tetszőlegesen kiválasztatott tartórészen dolgozunk

tovább – legyen ez a jobb oldali része a tartónak (25. ábra).

25. ábra: A szétválasztott tartó jobb oldalának a kiválasztása

13

Felvesszük a felszabadított, de ismeretlen belső erők, az igénybevételek nagyságát és értelmét

(húzott vagy nyomott) (26. ábra). Ezek lesznek az S12, S27 és S67 rúderők, ez a három felsza-

badított belső erő fog egyensúlyt tartani a jobboldali tartórészre működő külső erőkkel (F, B,

Ax, Ay). Csak azokat a rúderőket vehetjük figyelembe, amelyeket átmetszettünk!

26. ábra: Rúderők feltételezése a 3-as átmetszés módszerében

Ennek megfelelően a már ismert egyensúlyi, a nyomatéki és vetületi egyensúlyi egyemleteket

használjuk fel az ismeretlenek meghatározására. Ha a 7-es csomópontra írunk fel nyomatéki

egyensúlyi egyenletet, akkor az S47, S27 rúderők nem fognak szerepelni az egyenlőségebn,

mivel hatásvonaluk átmegy a kiválasztott ponton.

2

aB

2

a3A

2

a3S0M x127 ⋅−⋅⋅−⋅⋅−==∑ →

40

2

2,43

2

2,403

2

2,4303

2

a3

2

aB

2

a3A

Sx

12 −=⋅

⋅−⋅⋅−=

⋅

⋅−⋅⋅−= .

Mivel negatív értéket kaptunk az egyenlőségből S12-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk

neki értelmet, az nem jó. A belső erő a valóságban éppen ellentétesen fog mutatni, azaz S12

nyomott rúd lesz lesz.

S12=40 [kN] (nyomott, (-)).

Következő lépésként az 1-2 és 2-7 rudak metszéspontját választjuk ki a nyomatéki egyensúlyi

egyenlet felírásához. Ez a pont a valóságban a 2-es csomópont!

a2Aa2B2

a3cosαSasinαSaF0M y67672 ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−==∑ →

14

13,20

2

2,43cos26,574,2sin26,57

4,264,2203-4,2242

2

a3cosαasinα

aFa2B-a2AS

y

67 +=⋅⋅°−⋅°

⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅=

Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S67-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk

neki értelmet az jó, azaz S67 húzott rúd lesz.

S67=20,13 [kN] (húzott, (+)).

Végül egy vetületi egyensúlyi egyenletet írhatunk fel.

426sin56,31Ssin26,5713,02

AFsinβSsinαS0F

27

y2767y

+−°⋅−°⋅−=

=+−⋅−⋅−==∑→

Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S27-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk

neki értelmet az jó, azaz S27 húzott rúd lesz.

S27 = 10,81 [kN] (húzott, (+)).

Amennyiben további rúderőket szeretnénk meghatározni, ahhoz egy másik helyen kell az át-

metszést elvégezni (27. ábra).

27. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3-as átmetszéssel – S56, S52, S23 rudak átvá-

gása

Ezután ugyanaz az eljárás menete, mint az előbb. A kettéválasztott tartónak most nem a jobb,

hanem a bal oldalát tarjuk meg (28. ábra), majd feltételezzük az átvágott rudaknak a nagysá-

gát és értelmét (29. ábra). Végül pedig felírjuk az egyensúlyi egyenleteket!

2

2,4S2,46

2

aSaFM 23235 ⋅−⋅=⋅−⋅=∑ →

S23 = 12,0 [kN] (nyomott, (-)).

15

28. ábra: A második helyen szétválasztott tartó bal oldalának a kiválasztása


4,22sin26,57S4,26a2sinαSaFM 25254 ⋅⋅°⋅+⋅−=⋅⋅⋅+⋅−=∑ →

S25 = 6,71 [kN] (nyomott, (-)).

°⋅−−°⋅−=⋅−−⋅−==∑ cos26,57S12,0cosn26,576,71cosαSScosαS0F 56562325x →

S56 = -20,13 →

S56 = 20,13 [kN] (húzott, (+)).

Láthatjuk, hogy a 3-as átmetszés módzserének eredményeit ha összehasonlítjuk a csomóponti

módszer eredményeivel, ugyanazt kapjuk. Azt, hogy mikor melyik módszert kell, illetve cél-

szerű alkalmazni, azt mindig a feladat jellege határozza meg!

1.1.2. példa

Adott a 30. ábra szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet, az F=20

[kN] koncentrált erő, illetve az a=1,0 [m] távolság. Határozzuk meg a támaszerőket, az S17

rúderőt csomóponti módszerrel, míg S23 és S67 rudak igénybevételeit a 3-as átmetszés mód-

szerével!

16

30. ábra: Rácsos tartószerkezet

Rúderők meghatározása azok nagyságának és irányának a feltételezése után:

1201420182011120112B

aFa4Fa8Fa11Fa12B0M A

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑ → B = 40 [kN] (↑).

024A04F4AB0F yyy ⋅−+=⋅−+==∑ → Ay = 40 [kN] (↑).

31. ábra: Adott rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők

17

Az S17 rúderő meghatározása csomóponti módszerrel:

32. ábra: Az A csomópontra ható erők, az S1A és SA7 ismeretlen rúderők feltételezése

[ ]°== 45,03a

3aarctanα és [ ]°== 75,96

a

4aarctanβ

°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ cos45,0Scos75,96ScosαScosβS0F A71AA71Ax →°

°⋅−=

cos75,96

cos45,0SS A7

1A

40sin45,0Ssin75,96SAsinαSsinβS0F A71AyA71Ay +°⋅+°⋅=+⋅+⋅==∑


40sin45,0Ssin75,96cos75,96

cos45,0S0 A7

A7 +°⋅+°⋅°

°⋅−= →

SA7 = 18,86 [kN] (húzott, (+)).

Visszahelyettesítés után:

S1A = -54,98 →

S1A= 54,98 [kN] (nyomott, (-)) (33. ábra).

33. ábra: S1A és SA7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása

18

A következő lépés az 1-es csomópontra ható erők vizsgálata (34. ábra).

34. ábra: Az 1-es csomópontra ható erők, az S12 és S17 ismeretlen rúderők feltételezése

°== 57,622a

aarctanγ és °== 33,69

3a

2aarctanδ

°⋅+°⋅+°⋅=

=⋅+⋅+⋅==∑

cos33,69Scos26,57Scos75,9698,45

cosδScosγScosβS0F

1217

12171Ax →

°°⋅+

−=cos26,57

cos33,69S13,34S 12

17

20-sin26,57Ssin33,69Ssin75,9654,98

F-sinγSsinδSsinβS0F

1712

17121Ay

°⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅+⋅==∑


20-sin26,57cos26,57

cos33,69S13,34sin33,69Ssin75,9654,980 12

12 °⋅°

°⋅++°⋅+°⋅= →

S12 = -41,2 →

S12 = 41,2 [kN] (nyomott, (-)).

35. ábra: S12 és S17 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása

19

Visszahelyettesítés után (figyelem, az S12 rúdról immár tudjuk, hogy nyomott tartószerkezeti

elem, ezért ezt az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletben figyelembe kell venni!):

°°⋅−

−=°

°⋅−−=

cos26,57

cos33,692,1413,34

cos26,57

cos33,69S13,34S 12

17 →

S17= 23,41 [kN] (húzott, (+)) (35. ábra).

Az S23 és S67 rúderők meghatározása 3-as átmetszés módszerrel:

A megfelelő helyen kettéválasztjuk a tartót oly módon, hogy a keresett rúderőket felszabadít-

suk az átmetszéssel. Ezután megtartjuk a kettévágott tartó bal oldali részét és felvesszük az

ismeretlen nagyságú és értelmű rúderőket (36. ábra).


Az S76 és S26 rudak metszéspontja a 6-os csomópont – erre írunk fel először nyomatéki egyen-

súlyi egyenletet:

12S160415021202

a2Sa6Aa5Fa2F0M

23

23y6

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑ →

S23= - 50,0 →

S23= 50,0 [kN] (nyomott, (-)).

20

A 7-6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 4318,3a

aarctanϕ .

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 2-es csomópontra:

)18,431sin-138,431cos(S14041302

asinS-a3cosSa4Aa3F0M

76

7676y2

⋅°⋅⋅°⋅+⋅⋅−⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅==∑ ϕϕ →

S76= 39,53 [kN] (húzott, (+)).

1

1. Igénybevételek – kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók

Az egyes igénybevételekről, belső erő típusokról már ejtettünk szót. Ebben a fejezetben olyan

egyenes tengelyű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelyekre nemcsak tengelyirányú, hanem

hossztengelyre merőleges külső erők is hatnak. Így nemcsak normál, hanem nyíró és hajlító

igénybevételek is fellépnek. A feladat, hogy a belső erőknek a változását a tartó hossztengelye

mentén megszerkesszük, illetve megrajzoljuk. Ehhez a tartó valamennyi keresztmetszetében a

fellépő igénybevételeket ismernünk kell.

Az igénybevétel (belső erő) definícióját megismételjük: a tartószerkezet egy tetszőleges K

keresztmetszetének igénybevételén az adott K-keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők

(külső és reakció erők) eredőjét értjük!

1.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai

Jelölések: N - normálerő ábra

T – nyíróerő ábra

M – hajlítónyomatéki ábra

1. A tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ábra vonala a tartótengellyel

párhuzamosan halad.

2. Koncentrált erő helyén az N és T ábrán az erő megfelelő irányú összetevőjének megfe-

lelő ugrás van.

3. A nyomatéki ábra vonala lineárisab haladazon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. Az

erőhatás helyén az M ábrában törés van.

4. Az M és T ábra között differenciális kapcsolat van. A nyíróerő ábra függvényét integ-

rálva kapjuk a nyomatéki mábra függvényét, illetve a nyomatéki ábra függvényét de-

riválva kapjuk a nyíróerő ábra függvényét.

5. Előző pontból következik, hogy a nyomaték helyi/lokális szélsőértékei ott lépnek fel,

ahol a nyíróerő nulla.

6. A tartó végein, ha nincs koncentrált nyomaték, akkor a nyomaték nulla.

7. Koncentrált erő helyén a nyomatéki ábrában törés van.

8. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes,

meredeksége a teherintenzitás.

9. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes,

meredeksége a teherintenzitás.

10. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán az M ábra parabola, adott pontjához

húzott érintő iránytangense az adott hely nyíróereje.

2

11. Az N és T ábrán a koncentrált nyomaték nem okoz változást.

12. A koncentrált nyomaték helyén az M ábrán a nyomatéknak megfelelő ugrás van.

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=7 [kN], q1=2 [kN/m] és q2= 3

[kN/m], a = 2 [m] és α=60 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevé-

teli ábrákat!

1. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – terhelések és támaszerők

A támaszerők kiszámítása:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )221,52Bsin60221,572

25,1221,525,123

221,52

a1,5a2Bsinαa1,5aF2

a5,1a1,5aa5,1aq

21,5aq

0ΣM

2

2

21

A

+⋅⋅⋅+°⋅+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅++⋅⋅⋅+⋅−

⋅⋅−=

=+⋅⋅+⋅+⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅+⋅−

⋅−==


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )221,52A2

25,125,1221,52

225,123

sin6021,57

a1,5a2A2

a5,1a5,1a1,5aq

2a5,1aq

sinα1,5aF0ΣM

y

2

y1

22

B

+⋅⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+

⋅+⋅+°⋅⋅⋅=

=+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++⋅⋅++⋅

+⋅⋅==

Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =11,84 [kN] (↑).

Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is:

⇒−⋅== xx AcosαF0ΣF Ax =3,5 [kN] (←).

Az reakcióerő nagysága: kN,351284,115,3AAA 222y

2x

=+=+= .

Először mindig a normál igénybevételi ábrát rajzoljuk meg. Azokat az erőket összegezzük az

egyes keresztmetszetekben, amelyek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelyével. Ebben

az esetben az Ax-ből és az F erő x irányú komponenséből származik normál igénybevétel. A

2. ábra mutatja a normál igénybevételnek az elsozlást a tartó hossztengelye mentén. A szer-

kesztési szabályoknak megfelelően láthatjuk, hogy a tartóra két helyen koncentrált normál erő

3

(Ax és F) hat. Ezeken a helyeken azonos nagyságú, de ellentétes irányú ugrás található, mivel

a két erő értelme ellentétes. A terheletlen szakaszon a tartó hossztengelyével párhuzamosan

haladunk. Nagyon egyszerűen ellenőrízhetjük, hogy jól dolgoztunk-e. Ugyanazon keresztmet-

szetben két oldalról nézve a belső erőknek ki kell egyensúlyozniuk egymást. Azaz azonos

keresztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagyságú, de ellentétes értelmű erőket kell

kapni eredményül.

2. ábra: Normálerő ábra

Előbb az A ponttól tetszőleges x < 5 m távolságban található K keresztmetszetet viszgáljuk. A

3. ábra felső részén láthatjuk, hogy a K keresztmetszettől jobbra eső tartószerkezeti részt meg-

tartottuk. A balra található összes (jelen esetben egy) normálerőnek a hatását vettük figyelem-

be a vizsgált K keresztmetszetre. A 3. ábra alsó részén a tartó bal oldali részét tartottuk meg,

és a K keresztmetszettől jobbra lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált keresztmet-

szetre. Látható, hogy két oldalról nézve ugyanazon K keresztmetszetben a belső erő nagysága

azonos, értelme ellentétes.

3. ábra: Normál igénybevétel értelemezése ugyanazon K keresztmetszetben, két oldalról nézve

A normálerő ábra alá közvetlenül rajzoljuk a nyíróerő ábrát. Azoknak az erőknek a hatását

vizsgáljuk, melyeknek a tartó hossztengelyére merőleges komponense van. Ezek az Ay, q1, q2,

4

Fy és B erők. A tartó bal oldalán az A pontban az Ay koncentrált erőhatás miatt az erő nagysá-

gának megfelelően ugrunk (4. ábra), a nyíró igénybevétel értéke az A keresztmetszetben

11,84 [kN] – első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helyzetű egyenessel indulunk el az ug-

rással ellentétesen, mivel q1 és Ay egymással ellentétes irányba mutatnak – második lépés. A

C kerestmetszet nyíró igénybevételének meghatározás a keresztmetszettől jobbra és balra eső

nyíróerők eredőjének a külön-külön meghatározásával (5. ábra).

4. ábra: Nyíróerő ábra - első, második lépés

5. ábra: C keresztmetszet nyíró igénybevételének értelemezése két oldalról nézve

Ha a C keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük:

84,53284,113qAT 1ybC =⋅−=⋅−=∑ → [ ]( )↑=∑ kN84,5T b

C .

Ha C keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:

83,55306,615,235qFBT 2yyj

C −=⋅−−=⋅−−=∑ → [ ]( )↓=∑ kN83,5T jC .

Láthatjhuk, hogy ugyanazon keresztmetszetben két oldlaról vizsgálva a két nyíró igénybevétel

éppen kiegyenlíti egymást. Azaz a C keresztmetszetben fenáll az egyensúly, mivel a nagyság

5

megegyezik (a minimális eltérés a kerekítésekből adódik), míg az irányok ellentétesek egy-

mással.

Innen a q2 megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egyenessel haladunk to-

vább egészen az F koncentrált erő támadáspontjáig – harmadik lépés, ahol az F erő y kompo-

nensének megfelelően ugrunk lefele (6. ábra) – negyedik lépés.

6. ábra: Nyíróerő ábra – harmadik, negyedik lépés

Ha a D keresztmetszet igénybevételét vizsgáljuk két oldalról nézve, akkor egyértelmű az utol-

só két lépés (7. ábra). Ha a D keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük:

16,0233284,112q3qAT 21ybD −=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ → [ ]( )↓=∑ kN0,16T b

D .

Az ábrán az erők nagysága és a geometria miatt nehezen látható, de a nyíró erő értéke a ten-

gely alá esik a vizsgált kresztmetszetben. Ezután jön az F erő y komponensének a figyelem-

bevétele:

6,226,060,16F0,16233284,112q3qAT y21ybD −=−−=−→−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ →

[ ]( )↓=∑ kN6,22T bD .

Ha D keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:

6

7. ábra: D keresztmetszet nyíró igénybevételének értelemezése két oldalról nézve

23,63315,233qBT 2yj

D =⋅−=⋅−=∑ → [ ]( )↑=∑ kN23,6T jD .

Az F erő y komponensének a figyelembevétele:

→ 17,006,623,6F23,63315,233qBT y2yj

D =−=−→=⋅−=⋅−=∑ →

[ ]( )↑=∑ kN17,0T jD .

Innen továbblépve a q2 megoszló terhelésnek megfelelően ferde helyzetű egyenssel haladok

tovább a következő koncentrált erőhatásig, ami a B erő – ötödik lépés. Végül pedig a B kon-

centrált erő nagyságának megfelelően felfelé ugrunk – hatodik lépés (8. ábra).

8. ábra: Nyíróerő ábra – ötödik, hatodik lépés

A B keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D ke-

resztmetszeteké.

7

Az utolsó igénybevétel fajta a hajlítónyomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztenge-

lye mentén. Ezt az ábrát közvetlenül a nyíróerő ábra alá rajzoljuk. Fontos tudnivaló (ahogy a

szerkesztési szabályoknál már említettük), hogy a nyomatéki és nyíróerő ábra között differen-

ciális kapcsolat áll fenn. Ennek figyelembevételével legelőször megnézzük, melyik kereszt-

metszetben áll fenn a T = 0 egyenlőség – ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőérték-

nek kell lenni. Ezután megnézzük, hogy a tartó végein működik-e koncentrált nyomaték – ha

nem, ott a nyomaték értéke zérus. Végül pedig megtekintjük, hogy a tartón működik-e valahol

koncentrált nyomaték – ha igen, ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezek figyelembevételével

tesszük meg az első lépést a nyomatéki ábra rajzolásakor. A 9. ábra mutatja, hogy T = 0 a D

keresztmetszet közvetlen közelében lesz – mivel nagyon kis távolságról van szó, ezért úgy

tekintjük, hogy a D keresztmetszetben van a zérus. Azt is láthatjuk, hogy a tartón sehol, se a

végeken, se a tartószerkezeten nem működik koncentrált nyomaték, így a tartó két végén zé-

rus a nyomaték, és nem lesz ugrás sem a nyomatéki ábrában.

9. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – első lépés

Következő lépésben a D keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oladalról

nézve, megkeressük a lokális szélőértéket (10. ábra).

8

10. ábra: D keresztmetszet hajlító igénybevételének értelemezése két oldalról nézve

2,32584,115,332223

5A5,33q2

2qM

2

y1

22b

D −=⋅−⋅⋅+⋅

=⋅−⋅⋅+⋅

=∑ →

2,32M bD =∑ [kNm] ( ) és

19,32323,515,1333B5,13qM 2jD =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ → 19,32M j

D =∑ [kNm] ( ).

Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 32,2 [kNm], és mindkét

esetben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon D keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybe-

vételek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fenáll.

Következő lépésben a C keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oladalról

nézve (11. ábra).

11. ábra: C keresztmetszet hajlító igénybevételének értelemezése két oldalról nézve

52,62311,84232

3A23q

M2

y

21b

C −=⋅−⋅

=⋅−⋅

=∑ → 52,62MbC =∑ [kNm] ( ) és

53,26523,51206,6253

5B2F2

5qM

2

y

22j

C =⋅+⋅−⋅

−=⋅+⋅−⋅

−=∑ →

53,62M jC =∑ [kNm] ( ).

9

Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 26,52 [kNm], és mindkét

esetben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon C keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybe-

vételek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fenáll.

Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (12. ábra). Négy „nevezetes

pontunk van. Mivel a tartó hosztengelye mentén végig megoszló terhelés működik, ezért a

nyomatéki ábra végig másodfokú függvény (parabola) szerint változik.

12. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – második lépés

1.1.2. példa

Adott a 13. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], a = 1 [m]

és α = 30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

10

13. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria

ismeretében

A feladat megoldását, a felírt egyebleteket most már kevesebb magyarázó szöveggel egészít-

jük ki.

Először a támaszerőket kell meghatározni. X irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása:

°⋅−−=⋅−−==∑ 03cos51AαcosFA0F xxx → 13Ax −= →

13Ax = [kN] (→).

Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

16B1503sin511217

174

a6Ba5αsinFa2a7

a7q0M A

⋅⋅+⋅⋅°⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅⋅⋅−==∑

→

25,27B = [kN] (↑).

A B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

16A103sin5111,5174a6AaαsinFa1,5a7q0M yyB ⋅⋅−⋅°⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑ →

25,8A y = [kN] (↑) (14. ábra).

A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénybevétel szempontjából (15.

ábra):

0,13AN xbC

==∑ [kN] (→) és 13,030cosFM xjC

=°⋅−=∑ [kN] (←).

11

14. ábra: Támaszerők és normál igénybevételi ábra

A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

25,8AT ybC

==∑ [kN] (↑) és

25,8-25,7230sin51174B30sinFa7qT xjC

=+°⋅−⋅⋅−=+°⋅−⋅⋅−=∑ → 25,8T jC

=∑ [kN]

(↓).

A D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

15. ábra: A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

75,714425,8a4qAT ybD

−=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ →

75,7T bD

=∑ (↓) és =↓+↓=∑ )(F)(7,75T ybD

15,25 [kN] (↓).

25,1525,72134Ba3qT jD

=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ [kN] (↓)

A B keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

25,197,5-15425,8F-a5qAT yybB

−=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ →

25,19T bB

=∑ (↓) és 825,2725,19B25,91TbD

=+−=+−=∑ [kN] (↑).

0,8124a2qT jB

−=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ →

0,8T jB

=∑ [kN] (↓) (16. ábra).

12

16. ábra: Nyíró-igénybevételi ábra

Az F keresztmetszet pontos helyének a meghatározás amitt fontos, hogy a nyíróerő értéke ott

nulla. Ez azt jelenti, hogy az F (és B) keresztmetszet(ek)ben lokális nyomatéki szélsőérték

lesz.

Az F keresztmetszet helye a C-től számítva:

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]m063,2kN/m4

kN25,8kN/mq

kNTx C

F === ,

Az F keresztmetszet helye a D-től számítva:

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]m937,1kN/m4

kN75,7kN/mq

kNTx D

F === (16. ábra).

Az F keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából (17. áb-

ra):

0~063,2425,8063,2qAT ybF

=⋅−=⋅−=∑

0~25,275,7937,44BF4,937qT yjF

=+−⋅−=+−⋅−=∑

13

17. ábra: Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

A hajlító igénybevétel meghatározása az F keresztmetszetben kétoldlaról nézve:

75,162

063,24063,325,8

2063,2

q063,3AM22

ybF

−=⋅+⋅−=⋅+⋅−=∑ →

75,16M bF

=∑ [kNm] ( ),

75,16937,2,2572937,15,72

4,9374937,2B937,1F

24,937

qM2

y

2jF

=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅−⋅−=∑

→ 75,16M jF

=∑ [kNm] ( ) (19. ábra).

A hajlító igénybevétel meghatározása a B keresztmetszetben kétoldlaról nézve:

0,817,5254

625,81F25q

6AM2

y

2

ybB

=⋅+⋅

+⋅−=⋅+⋅

+⋅−=∑ → 0,8M bB

=∑ [kNm] ( ),

0,8224

22q

M22

jB

−=⋅

−=⋅

−=∑ → 0,8M jB

=∑ [kNm] ( ) (20. ábra).

A hajlító igénybevételi ábra (18. ábra) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges

keresztmetszet igénybevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. Ami érde-

kes lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a hajlító igénybevétel

értéke zérus. Láthatjuk, hogy ez a keresztemetszet valahol közelítően a D és B keresztmetsze-

tek közé esik. Pontos meghatározása:

( ) ( )2x4

2-x25,722xq

2-xB0M22

j...

⋅−⋅=

⋅−⋅==∑ →

A másodfokú egyenletből: x1 = 11,2 [m] és x2 = 2,44 [m]. Mivel a tartó hossza összesen nincs

11[m], ezért csak az x2 = 2,44 [m] a jó megoldás. Azaz a nyomaték a tartó jobb oldali végétől

(E keresztmetszet) 2,44 [m]-re lesz zérus!

14

18. ábra: Nyomatéki ábra

19. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve

20. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve

15

1.1.3. példa

Adott a 21. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], a=1 [m] és

α = 30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

21. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnyúló tartó

14,5B1)(2,5154-12,512-10,5133

a4,5Ba)a(2,5a5q-a2,5F-a0,5a3q0M 21A

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑ →

B=21,22 [kN] (↑),

14,5A-12211)3,51(1,51331154

a4,5A-a2Fa)3,5a(1,5a3qaa5q0M y12B

⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==∑ →

Ay=19,78 [kN] (↑),

Ax=0.

Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

612qa2qT 11bA

−=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ → ∑bA

T = 6 [kN] (↓), majd ugrás az ábrán

13,78A6T ybA

=+−=∑ [kN] (↑).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

78,1078,91133Aa3qT y1bC

=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ [kN] (↑).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

78,478,9111,54-133Aa5,1q-a3qT y21bD

=+⋅⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅−=∑ [kN] (↑), majd ugrás az

ábrán 7,22124,78F4,78T bD

−=−=−=∑ → 7,22124,78F4,78T bD

−=−=−=∑ →

7,22T bD

=∑ [kN] (↓).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

22,15-1219,7813,54-133FAa3,5q-a3qT y21bB

=−+⋅⋅⋅⋅−=−+⋅⋅⋅⋅−=∑ →

22,15T bB

=∑ [kN] (↓), majd ugrás az ábrán 622,2122,15-T bB

=+=∑ [kN] (↑).

16

22. ábra: Nyíró igénybevételi ábra

Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )6

2123

2a2q

M22

1bA

=⋅⋅

=⋅⋅

=∑ [kNm] ( ).

-614,522,1212,5211)1(2,5154213

a4,5Ba2,5Fa)a(2,5a5q2aq

M

2

2

21j

A

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅

−=

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅

−=∑

→

6M jA

=∑ [kNm] ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )94,171222,12

213,54

a2B2

a3,5qM

222j

D=⋅⋅+

⋅⋅−=⋅⋅+

⋅⋅−=∑ [kNm] ( ),

( )

( )95,1712,578,91

211,54

1)1,51(1,5133

a2,5A2

a1,5qa)1,5a(1,5a3qM

2

22

1bD

−=⋅⋅−⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅⋅=∑

→

95,71M bD =∑ [kNm] ( ).

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )5,4

211,54

2a1,5q

M22

2j

B=

⋅⋅−=

⋅⋅−=∑ [kNm] ( ),

17

( ) ( )

( ) ( ) 49,414,578,91122113,511,51332

13,54

a4,5Aa2Fa3,5a1,5a3q2

a3,5qM

2

y1

22b

B

=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

=∑

→

=∑bB

M 4,49 [kNm] ( ).

23. ábra: Hajlító igénybevételi ábra

1

1. Igénybevételek – merev befogású, egyenes tengelyű tartók

A mereven befogott tartók reakcióerőinek a számítására korábban nem tértünk ki, ezért ezzel

most részletesen foglalkozunk.

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=8 [kN], q=2 [kN/m], M= 25

[kNm] és a=1 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Első lépésben a kényszernél fellépő ismeretlen nagyságú és irányú reakciókat kell meghatá-

rozni. A merev befogás megakadályozza a tartó x és y irányú elmozdulását, illetve az elfordu-

lást a sík normálisa, a z irány körül. Ennek megfelelően az A pontban x és y (Ay) irányú tá-

maszerők (Ax és Ay) és forgatónyomaték (MA) ébred. Ezek nagyságát és irányát vesszük fel a

2. ábra szerint.

1. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó

2. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó –ismeretlen reakciók felvétele

Az ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használ-

juk fel:

x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

xx A0F ==∑ ,

y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

8162AFa6qA0F yyy −⋅⋅−=−⋅⋅−==∑ → Ay=20 [kN] (↑),

2

az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

( ) ( )168

2

16252Ma6F

2

a6qMM0M

2

A

2

AA ⋅⋅−⋅⋅

−+=⋅⋅−⋅⋅

−+==∑ → MA=59

[kNm] ( ).

Normál igénybevétel nem lesz a tartón, a nyíró igénybevételi ábra szerkeztését az eddig tanul-

tak szerint végezzük el. Az A pontban az Ay, tengelyre merőleges erő hat, mint nyíró erő.

Ennek megfelelően ugrás lesz a ebben a pontban, míg a C pontban, a tartó másik végén, szin-

tén ugrás lesz az ábrán. Ez az F koncentrált erő miatt (3. ábra).

A nyomatéki ábra szerkesztése során annyi ujdonság lesz az eddigi példákhoz képest, hogy a

szerkesztési szabályok (Hiba! A hivatkozási forrás nem található.) 12. pontja értelmében a

tartón működő koncentrált nyomatéknak megfellő ugrás lesz a hajlító igénybevételi ábrán. A

tartó bal oldali végén, az A pontban az MA koncentrált nyomaték működik. Mivel a nyomaték

értékét kivétel nélkül a tartó húzott oldalára mérjük fel, abba az irányba ugrunk, amelyik ol-

dalt a koncentrált nyomaték húzza.


Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve:

59MM AbA ==∑ [kNm] ( ), és

( ) ( )5925168

2

162Ma6F

2

a6qM

22jA −=+⋅⋅−

⋅⋅−=+⋅⋅−

⋅⋅−=∑ → 59M j

A =∑

[kNm] ( ).

Láthatjuk, mindkét esetben azonos eredményt kapunk, a nyomaték nagysága 59 [kNm] és a

felső a húzott oldal!

3

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve (4. ábra):

( ) ( )81302

2

13295a3A

2

a3qMM

2

y

2

AbB =⋅⋅−

⋅⋅+=⋅⋅−

⋅⋅+=∑ [kNm] ( ) és az M koncent-

rált nyomaték figyelembevétele:

8M bB =∑ ( ) + 25 ( ) =33[kNm] ( ).

4. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

( ) ( )33-138

2

132a3F

2

a3qM

22jB =⋅⋅−

⋅⋅−=⋅⋅−

⋅⋅−=∑ → 33M j

B =∑ [kNm] ( ) és az M

koncentrált nyomaték figyelembevétele:

33M jB =∑ [kNm] ( ) – 25 [kNm] ( ) = 8 [kNm] ( ).

A hajlító igénybevételi ábrát a 5. ábra mutatja.

4


1.1.2. példa

Adott a szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F1=10 [kN], F2=15 [kN], q=3 [kN/m], M=

40 [kNm], a=2 [m], b=2,5 [m], c=d=1 [m], e=1,5 [m] és α=68 [°]. Határozzuk meg a támasz-

erőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

6. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó

Egyensúlyi egyenletek:

°⋅+=⋅+==∑ cos6810AcosαFA0F x1xx → Ax=3,75 [kN] (←),

51sin68011,5)(13AFsinαFe)(dqA0F y21yy +°⋅−+⋅−=+⋅−+⋅−==∑ →

Ay=1,77 [kN] (↑),

5

( )

( ) )5,2(2sin68012

5,1115,225,11q1)15,2(25104M

b)(asinαF2

edcbaedqd)cb(aFMM0M

A

12AA

+⋅°⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++++⋅+⋅−+++⋅++

=+⋅⋅−⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++++⋅+⋅−+++⋅++==∑

→MA=45,15 [kNm] ( ).

7. ábra: Normál és nyíró erő ábra

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (7. ábra):

1,77AT ybC ==∑ [kN] (↑), majd az F1 erő y komponensének megfelelő ugrás: 1,77T b

C =∑

(↑) + F1y (↓) = 1,77 - 9,27=-7,5 → 7,5 [kN] (↓).

5,7)5,1(1351e)(dqFT 2j

C =+⋅−=+⋅−=∑ [kN] (↑), majd az F1 erő y komponensének meg-

felelő ugrás:

5,7T jC =∑ (↑) + F1y (↓) = 7,5 - 9,27=-1,77 → 1,77 [kN] (↓).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (7. ábra):

5,10-1327,977,1dqFAT 1yybD =⋅−−=⋅−−=∑ →10,5 [kN] (↓), majd az F2 erőnek megfe-

lelő ugrás: 5,01T bD =∑ (↓) + F2 (↑) = -10,5 +15=4,5 [kN] (↑).

5,41,53eqT jD −=⋅−=⋅−=∑ →4,5 [kN] (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás:

5,4T jD =∑ (↓) + F2 (↑) = -4,5 +15=10,5 [kN] (↑).

6

8. ábra: Nyomatéki ábra

A nyomatéki ábrán (8. ábra), a tartó bal oladli végén az MA nyomatéknak megfelelően ug-

runk. Az alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk.

A B keresztmetszet nyomatékának számítása:

69,48277,115,54aAMM yAbB −=⋅−−=⋅−−=∑ → 69,48Mb

B =∑ [kNm] ( ), majd az M

ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:

69,48MbB =∑ ( ) + 40 ( )=-48,69+40=-8,69→8,69 [kNm] ( ).

=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +++

⋅+⋅−⋅−++⋅=

=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +++

⋅+⋅−⋅−++⋅=∑

15,22

5,111,5)1(35,227,91)1(2,551

cb2

ede)(dqbFd)c(bFM 1y2

jB

=8,7 [kNm] ( ), majd az M ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:

7

7,8M jB =∑ ( ) + 40 ( ) = 8,7+40 = 48,7 [kNm] ( ).

A C keresztmetszet nyomatékának számítása:

12,31)5,2(277,10415,54b)(aAMMM yAbC −=+⋅−+−=+⋅−+−=∑ → 12,31Mb

C =∑

[kNm] ( ),

13,131)(15112

1,51)5,1(13d)(cFc

2

ede)(dqM 2

jC =+⋅+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++

⋅+⋅−=+⋅+⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ++

⋅+⋅−=∑

[kNm] ( ).

1

1. Igénybevételek – tört tengelyű tartók

Ebben a fejezetben a törttengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztését és az

egyes keresztmetszetek egyes igénybevételeinek a kiszámítását tanulmányozzuk. Az belső

erőkre vonatkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint

az előző két fejezetben.

A nehézséget a következő szokta okozni. Egyenes tengelyű tartók esetében hozzászoktunk,

egyértelmű volt, hogy a tartó hossztengelye egybe esik az x viszonyítási tengellyel. Ebből

adódóan magától értetődőnek tűnik, hogy egy x iránnyal párhuzamos hatásvonalú erő normál

igénybevételt okoz. Előbbi, a köztudatban hibásan keringő megállapítás a tört tengelyű tartók-

ra nem érvényes!

Mindig az adott külső erő (ható és reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hossztengely-

ének egymáshoz képesti elhelyezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk. Azokra kell

alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szabályokat.

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=10 [kN], q=3 [kN/m], a=0,5 [m]. Hatá-

rozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

1. ábra: Tört tengelyű tartó

Először a kényszernél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (1. ábra),

majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.

10AFA0F xxx −=−==∑ → Ax=10 [kN] (→),

0,533Aa3qA0F yyy ⋅⋅−=⋅⋅−==∑ → Ay=4,5 [kN] (↑),

( ) ( )A

2

A

2

A M2

5,0335,001M

2

a3qaF0M −

⋅⋅+⋅=−

⋅⋅+⋅==∑ → MA=8,38 [kNm] (

).

2

A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) normáligénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax és F) a tartórész

hossztengelyével.

Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata:

0N bA =∑ , majd az Ax-nek megfelelően ugrás 10A0N x

bA =+=∑ [kN] (→).

2. ábra: Normál igénybevételi ábra – vízszintes (AB) tartó elem

A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:

10AN xbB ==∑ [kN] (→), illetve

10-FN jB −==∑ → 01N j

B =∑ [kN] (←).

A függőleges tartószerkezeti elem (BC) normáligénybevételének meghatározása során azok-

nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartó-

rész hossztengelyével.

A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:

05,0335,4a3qAN ybB =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ , illetve ha a B keresztmetszettól jobbra lévő normál

(y iránnyal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatjuk, hogy nincs ilyen

erő! A függőleges tartószerkezeti elem normáligénybevétele zérus (3. ábra).

3. ábra: Normál igénybevételi ábra – függőleges (BC) tartó elem

A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyére.

3

Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata:

0T bA =∑ , majd az Ay-nak megfelelően ugrás 5,4A0T y

bA =+=∑ [kN] (↑).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:

05,0335,4a3qAT ybB =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ .


A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:

10AT xbB ==∑ [kN] (→).

A hajlító igénybevételi ábra megrejzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A

és C pontok) van-e koncentrált nyomaték. Mivel az A pontban van (MA), ezért ott ugrás lesz a

nyomatéki ábrán. Ezután megnézzük, hogy működik-e valahol a tartó hossztengelye mentén

koncentált nyomaték. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki

lokális szélsőértékhelyet nem kell keresnünk, mivel a nyíró igyébevételi ábra sehol sem met-

szi a nulla vonalat.

Az A keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata:

0M bA =∑ , majd az MA-nak megfelelően ugrás 38,8M0M A

bA =+=∑ [kNm] ( ).

A B keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata:

55,035,4,501,55,03338,8a3Aa1,5a3qMM yAbB =⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=∑ [kNm] ( ),

55,010aFM jB −=⋅−=⋅−=∑ → 5M j

B =∑ [kNm] ( ) (5. ábra).

5. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

4

6. ábra: A vízszintes (AB) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata során arra kell figyelni, hogy a sarok-

kapcsolat a nyomatékot továbbadja egyik tartószerkezeti elemről a másikra (7. ábra). A nyo-

matéki ábrán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni!

7. ábra: A fűggőleges (BC) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája

1.1.2. példa

Adott a 8. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=3 [kN/m], M=4,0 [kNm],

a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

8. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése

5

Először a kényszereknél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (8. ábra),

majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.

14,5B112313154a4,5Baa2qa3FM0M A ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−==∑ →

B = -7,78 → B=7,78 [kN] (→),

112311,55144,5Aaa2qa1,5FM4,5A0M xxC ⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅==∑ →

Ax = 7,22 [kN] (→),

0,613A4,522,74-11,515-12123

a3A4,5AM-a1,5F-a2a2q0M

y

yxB

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅==•

∑

→

Ay = 6,0 [kN] (↑) (9. ábra).

9. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével

A függőleges tartószerkezeti elem (AC) normáligénybevételének meghatározása során azok-

nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartó-



0N bA =∑ , majd az Ay-nak megfelelően ugrás 6A0N y

bA =+=∑ [kN] (↑).

A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a fűggőleges (AC) tartórészen (10.

ábra):

6AN ybC ==∑ [kN] (↑), illetve

6

612-3a2-qN jC −=⋅⋅=⋅⋅=∑ → 6N j

C =∑ [kN] (↓).

10. ábra: Az AC tartószerkezeti elem normál igénybevétele

A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) normáligénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax, F és B) a tartó-


A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:

7,78157,22FAN xbC −=−=−=∑ → 7,78N b

C =∑ [kN] (←), illetve

7,78BN yjC ==∑ [kN] (→).

A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata:

0N jB =∑ , majd az B-nek megfelelően ugrás 7,78B0N j

B =+=∑ [kN] (→), illetve

7,78157,22FAN xbB −=−=−=∑ → 7,78N b

B =∑ [kN] (←) (11. ábra).

11. ábra: A BC tartószerkezeti elem normál igénybevétele

A függőleges tartószerkezeti elem (AC) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ax, F és B) a tartó-

rész hossztengelyére.


0T bA =∑ , majd az Ax-nek megfelelően ugrás 22,7A0N x

bA =+=∑ [kN] (→).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (12. áb-

ra):

7,78157,22FAT xb

C −=−=−=∑ → 7,78T bC =∑ [kN] (←), illetve

78,7BT jC ==∑ [kN] (→).

7

12. ábra: Az AC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele

A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyére.

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:

6AT yb

C ==∑ [kN] (↑), illetve

612-3a2-qT jC −=⋅⋅=⋅⋅=∑ → 6T j

C =∑ [kN] (↓) ().


0N jB =∑ .

13. ábra: A BC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele

A hajlító igénybevételi ábra megrejzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A

és B pontok) van-e koncentrált nyomaték. Mivel nincs, ott a nyomaték értékek zérus. Ezután

megnézzük, hogy működik-e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentált nyomaték. A

fűggőleges tartószerkezeti elemen működő M koncentrált nyomaték miatt a hajlító igénybevé-

teli ábrán ugrás lesz abban a pontban. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk,

hogy nyomatéki lokális szélsőértékhelyet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk.

A D keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (14. ábra):

8

14. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

10,8311,57,22a1,5AM xbD =⋅⋅=⋅⋅=∑ [kNm] ( ), majd az M-nek megfelelően ugrás

83,6483,10483,01M bD =−=−=∑ [kNm] ( ),

84,61378,71112315,151a3Ba1a2q5,1FM xjD −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ a →

84,6M jD =∑ [kNm] ( ), majd az M-nek megfelelően ugrás

84,10484,6M jD −=−−=∑ → 84,10M j

D =∑ [kNm] ( ).

A C keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (15. ábra):

15. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

6,011,515-4-14,57,22a1,5F-M-a4,5AM xbC =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑ [kNm] ( ),

6,011123a1a2qM jC −=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=∑ → 0,6M j

C =∑ [kNm] ( ).

Az E keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (16. ábra):

9

16. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

0,01212311,515-4-14,57,22136

a2a2qa1,5F-M-a4,5Aa3AM xybC

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ ,

0,0M jC =∑ .

Ezek alapján már megrajzolhatjuk (megszerkeszthetjük) a hajlító igénybevételi ábrát (17. áb-

ra).

17. ábra: A hajlító igénybevételi ábra

1.1.3. példa

Adott a 18. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F1=15 [kN], F2=10 [kN], q=4 [kN/m],

M=15 [kNm], α=40 [°], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igény-

bevételi ábrákat!

10


15A10112cos405113,5sin4051511124

a5AaFa2cosαFa3,5sinαFMaa2qM 211B

⋅⋅−⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅

=⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑ →

A=4,75 [kN] (↑),

1575,410113,5sin4051511124-12B

a5AaFa3,5sinαFMaa2q-a2BM

x

21xC

⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=∑ →

Bx=-13,49 → Bx=13,49 [kN] (←) és

15B1249,311124-5111,5sin4015-101

a5Ba2Baa2q-Ma1,5sinαF-aFM

y

yx12D

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅°⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑→

By=4,89 [kN] (↑).

11

19. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével

Az igénybevételi ábrák megrajzolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet

(AD, DC és BC) külön-külön vizsgáljuk. Az egyes részek különböző igénybevételének a

meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelyének és a tartó egészén

működő egyes erők hatásvonalának a viszonyát kell szem előtt tartanunk.

A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) normál igénybevételi ábráit a tartórészek

hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg. A vízszintes

tartószerkezeti elem (DC) normál igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyével párhuzamos

hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg (20. ábra).


0N bA =∑ , majd az A-nak megfelelően ugrás 75,4A0N b

A =+=∑ [kN] (↑).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:

75,4AN bD ==∑ [kN] (↑), illetve

75,489,440sin15BFN y1yjD −=+°⋅−=+−=∑ → 75,4N j

D =∑ [kN] (↓).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:

10FN 2bD ==∑ [kN] (→), illetve

10,013,49124cos4015Ba2qFN x1xjD −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ → 0,10N j

D =∑ [kN] (←).

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata:

21,4913,49124Ba2qN xjE −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ → 49,21N j

E =∑ [kN] (←), majd az F1x -

nek megfelelő ugrás:

12

0,01cos401521,49cosαF21,49N 1jE −=°⋅+−=⋅+−=∑ → 10N j

E =∑ [kN] (←), illetve

10FN 2bE ==∑ [kN] (→), majd az F1x-nek megfelelő ugrás:

21,49cos401510cosαF10N 1bE =°⋅+=⋅+=∑ [kN] (→).

A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:

21,49cos401510cosαFFN 12bC =°⋅+=⋅+=∑ [kN] (→), illetve

21,4913,49124Ba2qN xjC −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ → 49,21N j

C =∑ [kN] (←).

A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:

4,89sin40154,75sinαFAN 1bC −=°⋅−=⋅−=∑ → 89,4N b

C =∑ [kN] (↓), illetve

89,4BN yjC ==∑ [kN] (↑).


0N bB =∑ , majd a By-nak megfelelően ugrás 89,4B0N y

bB =+=∑ [kN] (↑).

20. ábra: Normál igénybevételi ábra

A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) nyíró igénybevételi ábráit a tartórészek

hossztengelyére merőleges hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg. A vízszintes

tartószerkezeti elem (DC) nyíró igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyére merőleges ha-

tásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg (21. ábra).

Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata:

0T bF =∑ , majd az F2-nek megfelelően ugrás 0,10F0T 2

bF =+=∑ [kN] (→).

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:

0,10FT 2bD ==∑ [kN] (→), illetve

0,0149,3112440cos51Ba2qFT x1xj

D −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ → 0,10T jD =∑ [kN] (←).

13

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:

75,4AT bD ==∑ [kN] (↑), illetve

75,44,89sin4015BFT y1yj

D −=+°⋅−=+−=∑ → 75,4T jD =∑ [kN] (↓).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata:

89,4BT yj

E ==∑ → [kN] (↑), majd az F1y -nak megfelelő ugrás:

75,4sin40154,89sinαF4,89T 1j

E −=°⋅−=⋅−=∑ → 75,4T jE =∑ [kN] (↓), illetve

75,4AT bE ==∑ [kN] (↑), majd az F1y-nak megfelelő ugrás:

-4,89sin40154,75sinαFAT 1bE =°⋅−=⋅−=∑ → 4,89T b

E =∑ [kN] (↓).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:

89,4-sin40154,75sinαFAT 1bC =°⋅−=⋅−=∑ → 89,4T b

C =∑ [kN] (↓), illetve

89,4BT yj

C ==∑ [kN] (↑).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:

21,49cos401510cosαFFT 12b

C =°⋅+=⋅+=∑ [kN] (→), illetve

49,1213,49124Ba2qT xj

C −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ → 49,12T jC =∑ [kN] (←).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata:

0T bB =∑ , majd a Bx-nek megfelelően ugrás

49,1349,310B0N ybB −=−=−=∑ → 49,13N b

B =∑ [kN] (←).


A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve magán a

tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek) és az

egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg.

Az F keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (22. ábra):

14

22. ábra: A F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

0M bF =∑ , illetve

0~1,05,04,891,01,013,49151,01,0cos40151,01,5sin4015

a5,0Ba1,0BMa1,0cosαFa1,5sinαFM yx11jF

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑

A D keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (23. ábra):

23. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

10,01,010aFM 2bD =⋅=⋅=∑ [kNm] ( ), illetve

100,15,089,40,12,049,310,10,124511,01,5sin4051

a5,0Ba2,0Baa2qMa1,5sinαFM yx1jD

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅°⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=∑ →

0,10M jD =∑ [kNm] ( ).

Az E keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (24. ábra):

15

24. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

2,881,0101,01,54,75aFa1,5AM 2bE =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ [kNm] ( ), illetve

87,20,15,389,40,12,049,310,10,12451

a5,3Ba2,0Baa2qMM yxjE

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ → 87,2M jE =∑ [kNm] ( ).

A G keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (25. ábra):

25. ábra: A G keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

66,121,02,0sin40151,0101,03,54,75a2sinαFaFa3,5AM 12bG =⋅⋅°⋅+⋅+⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑

[kNm] ( ), majd az M-nek megfelelő ugrás:

66,271566,21M66,21M bG =+=+=∑ [kNm] ( ), illetve

65,270,15,189,40,12,049,310,10,124

a5,1Ba2,0Baa2qM yxjG

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ → 65,27M jG =∑ [kNm] ( ), majd az

M-nek megfelelő ugrás:

65,121565,27M65,27M jG −=+−=+−=∑ → 65,12M j

G =∑ [kNm] ( ).

A C keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (26. ábra):

16

26. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

=⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅+=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+=∑

1,05,04,751,0101,03,5sin401515

a5,0AaFa3,5sinαFMM 21bC

=35,0 [kNm] ( ), illetve

0,35~0,12,049,310,10,124a2,0Baa2qM xjC −=⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ → → 0,35~M j

C =∑

[kNm] ( ).

A tartó hajlító nyomatéki igénybevételi ábrája (27. ábra):

27. ábra: Hajlító nyomatéki igénybevételi ábra

1.1.4. példa

Adott a 28. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=16 [kN], q=3 [kN/m], M=20 [kNm],


17


A reakció erők kiszámítása (29. ábra):

25,17,6A25,12,46125,15,625,14302

a7,6Aa2,4Fa5,6a4qM0M B

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑ →

A=18,21 [kN] (↑),

xx B0F ==∑ = 0 [kN] és

25,17,6B25,15,216-25,1225,14302

a7,6Ba5,2F-a2a4qM0M

y

yA

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−==∑→

By=12,79 [kN] (↑).

29. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők

18

A normáligénybevételi ábra (31. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes

elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei

határozzák meg.


0N bA =∑ , majd az A-nak megfelelően ugrás:

21,18A0N bA =+=∑ [kN] (↑), illetve

18,2112,79161,2543BFa4qN yjA −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 21,18N j

A =∑ [kN] (↓), majd

az A-nak megfelelően ugrás:

018,2118,21A18,21N jA =+−=+−=∑ [kN].


21,18AN bD ==∑ [kN] (↑), illetve

21,1879,216125,143BFa4qN yjD −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 21,18N j

D =∑ [kN] (↓).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

0N bD =∑ , illetve

0N jD =∑ .

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (30. áb-

ra):

30. ábra: Az EB tartószerkezeti elemre ható normál és nyíró erők

05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinαAN bE =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ [kN] ( ), illetve

05,2sin39,812,79sin39,816sinαBsinαFN yjE −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ → → 05,2N j

E =∑ [kN]

( ).

Az F keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (30. ábra):

19

05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinαAN bF =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ [kN] ( ), majd

IIF -nak megfelelően ugrás:

19,8sin39,81605,2sinαF05,2N bF −=°⋅−=⋅−=∑ → 19,8N b

F =∑ [kN] ( ), illetve

19,8sin39,812,79sin39,8BN yjF =°⋅=°⋅=∑ [kN] ( ), majd


2,05sin39,8168,19sinαF8,19N jF −=°⋅−=⋅−=∑ → 05,2N j

F =∑ [kN] ( ).

A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (30. ábra):

19,8sin39,861sin39,825,143sin39,821,81

sinαFsinαa4qsinαAN bB

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ →

→ 19,8N bB =∑ [kN] ( ), majd yIIB -nak megfelelően ugrás:

0sin39,812,798,19sinαB8,19N ybB =°⋅+−=⋅+−=∑ , illetve

0N jB =∑ , majd yIIB -nak megfelelően ugrás:

8,19sin39,812,790sinαB0N yjB =°⋅+=⋅+=∑ [kN] ( ).


A nyíróigénybevételi ábra (32. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes

elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei hatá-

rozzák meg.


0T bA =∑ , illetve 0T j

A =∑ .


0T bD =∑ , illetve 0T j

D =∑ .

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

18,21AT bD ==∑ [kN] (↑), illetve

18,2112,79161,2543BFa4qT yj

D −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 18,21T jD =∑ [kN] (↓).

20

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

21,325,14318,21a4qAT bE =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ [kN] (↑), illetve

21,312,7916BFT yj

E −=+−=+−=∑ → 21,3T jE =∑ [kN] (↓).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (30. ábra):

2,47cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosαAT bE =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ [kN] ( ), illetve

2,47cos39,812,79cos39,816cos39,8BcosαFT yj

E −=°⋅+°⋅−=°⋅+⋅−=∑ → → 47,2T jE =∑

[kN] ( ).

Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (30. ábra):

47,2cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosαAT bF =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ [kN] ( ), majd

⊥F -nek megfelelően ugrás:

9,82cos39,8162,47cosαF2,47T bF −=°⋅−=⋅−=∑ → 82,9T b


82,9cos39,812,79cos39,8BT yj

F =°⋅=°⋅=∑ [kN] ( ), majd ⊥F -nek megfelelően ugrás:

2,47cos39,8169,82cosαF9,82T jF −=°⋅−=⋅−=∑ → 47,2T j

F =∑ [kN] ( ).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (30. ábra):

82,9cos39,816cos39,81,2543cos39,818,21

cosαFcosαa4qcosαAT bB

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ →

→ 82,9T bB =∑ [kN] ( ), majd ⊥yB -nek megfelelően ugrás:

0cos39,812,799,82cosαB9,82T ybB =°⋅+−=⋅+−=∑ , illetve

0T jB =∑ , majd ⊥yB -nek megfelelően ugrás:

82,9cos39,812,790cosαB0T yj

B =°⋅+=⋅+=∑ [kN] ( ).

21


A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve a magán a


egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (37. ábra).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (33. ábra):


0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543

a7,6Ba5,2Fa2a4qM yjC

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ → 0,20M jC =∑ [kNm] ( ), majd

a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk

020,020,0M20,0M jC =+−=+−=∑ .

0M bC =∑ , majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk

20,020,00M0M bC =+=+=∑ [kNm] ( ).

22

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (34. ábra):


0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543

a7,6Ba5,2Fa2a4qM yjD

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ → 0,20M jD =∑ [kNm] ( ), illet-

ve

20,020,0MM bD ===∑ [kNm] ( ).

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (35. ábra):


56,331,253,612,791,251,216a6,3Ba1,2FM yjE =⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅−=∑ [kNm] ( ), illetve

55,3325,1421,810225,1225,143a4AMa2a4qM bE −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ → →

55,33M bE =∑ [kNm] ( ).

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (36. ábra):

23

36. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

37,381,254,212,79a4,2BM yjF =⋅⋅=⋅⋅=∑ [kNm] ( ), illetve

37,3825,12,521,810225,12,325,143a2,5AMa2,3a4qM bF −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ →

→ 37,38M bF =∑ [kNm] ( ).


1

1. Igénybevételek - Gerber tartók

Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztésé-

vel foglalkozunk, amelyekben egy (vagy több) plusz csuklót építünk be a szerkezetbe. A több-

letcsuklók számának megfelelően a kényszerek szabadsáfokának a számát is ugyanúgy növel-

jük a szerkezet stabilitásának megőrzése miatt. Az belső erőkre (igénybevételekre) vonatkozó

szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző fejeze-

tekben. Amit tudni kell, hogy a szerkezetbe épített csukló(k) az erőket (N, T) átadják, de a

nyomatékot nem. A nyomatéki ábra a csukló pontjána zérus értéket vesz fel. Ezt használjuk ki

a többlet kényszer(ek)nél ébredő ismeretlen többlettámaszerő(k) meghatározására.

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti Gerber tartószerkezet! F1=35 [kN], F2=20 [kN], q=4 [kN/m], a=2,0

[m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

1. ábra: Gerber tartó; támaszerők feltételezése

Reakcióerők meghatározása (2. ábra):

Tudjuk, hogy a D pontban beépített csukló nyomatékot nem ad át, ami annyit jelent, a D ke-

resztmetszet hajlító igénybevétele zérus: 0MM jD

bD ∑∑ == .

2

)0,2(1,3540,21,35C

2

a)(1,35qa1,35C0M

22jD

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅==∑ →C=5,4 [kN] (↑).

0,254,50,22,25B0,2022

)0,25(4

2

0,240,253

a5Ca2,25BaF2

a)5(q

2

aqaF0M

22

2

22

1A

⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅

−⋅

+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅

−⋅

+⋅==∑

→ B=24,0 [kN] (↑).

0,25A0,22,750,240,26530,24022

)0,2(64

a5Aa2,75Ba6Fa4F2

a)(6q0M

2

12

2

C

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

==∑

→ A=73,6 [kN] (↑).

2

xx A0F ==∑


A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevé-

tel nem ébred.

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

0T bE =∑ , majd ugrás az F1 erőnek megfelelően:

35350F0T 1bE −=−=−=∑ → 35T b

E =∑ [kN] (↓), illetve

352,06420245,473,6a6qFBCAT 2yj

E =⋅⋅−−++=⋅⋅−−++=∑ [kN] (↑), majd ugrás

az F1 erőnek megfelelően:

035-35F-35T 1j

E ===∑ .

Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

432,04-35aqFT 1bA −=⋅−=⋅−−=∑ → 34T b

A =∑ [kN] (↓), majd ugrás az Ay erőnek meg-

felelően:

30,673,643A43T ybA =+−=+−∑ [kN] (↑), illetve

6,302,05420245,4a5qFBCT 2j

A −=⋅⋅−−+=⋅⋅−−+=∑ → 6,30T jA =∑ [kN] (↓), majd

ugrás az Ay erőnek megfelelően:

4373,630,6A30,6T yj

A =+−=+−=∑ [kN] (↑).

Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

6,226,370,22435Aa2qFT y1bF =+⋅⋅−−=+⋅⋅−−=∑ [kN] (↑), majd ugrás az F2 erőnek

megfelelően:

2,62022,6F22,6T 2bF =−=−=∑ [kN] (↑), illetve

6,22,044245,4a4qBCT jF −=⋅⋅−+=⋅⋅−+=∑ → 6,2T j

F =∑ [kN] (↓), majd ugrás az F2

erőnek megfelelően:

3

22,6202,6F2,6T 2j

F −=−−=−−=∑ → 22,6T jF =∑ [kN] (↓).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

4,76,37200,225,3435AFa25,3qFT y21bB −=+−⋅⋅−−=+−⋅⋅−−=∑ → → 4,7T b

B =∑

[kN] (↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően:

16,6247,4B7,4T bB =+−=+−=∑ [kN] (↑), illetve

6,160,275,244,5a75,2qCT jB −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ → 6,16T j

B =∑ [kN] (↓), majd ugrás a B

erőnek megfelelően:

4,724,661B,661T jB =+−=+−=∑ [kN] (↑).

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

4,5426,370,265,440253BAa65,4qFFT y21bD =++⋅⋅−−−=++⋅⋅−−−=∑ [kN] (↑),

illetve

4,50,235,144,5a35,1qCT jD −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ → 4,5T j

D =∑ [kN] (↓).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

4,52,06420532473,6a6qFFBAT 21ybC −=⋅⋅−−−+=⋅⋅−−−+=∑ → 4,5T b

C =∑ [kN]

(↓), majd ugrás a C erőnek megfelelően:

04,55,4C5,4T bC =−=−=∑ , illetve

0T jC =∑ , majd ugrás a C erőnek megfelelően:

4,55,40C0T bC =+=+=∑ [kN] (↑).


4



egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (5. ábra). A nyíró erő az A, G,

B és H pontokban lesz zérus. A G és H pontok helyének a megadása (4. ábra):

65,04

2,6

q

Tx F

FG === [m] vagy 85,14

7,4

q

Tx B

BG === [m] és

15,44

16,6

q

Tx B

BH === [m] vagy 35,14

5,4

q

Tx C

CH === [m].

4. ábra: A nyíróerő zérus értékei - a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei

Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0,782

0,240,235

2

aqaFM

22

1bA =

⋅+⋅=

⋅+⋅=∑ [kNm] ( ), illetve

0,782

)0,25(40,2020,225,2420,254,5

2

a)5(qaFa25,2Ba5CM

2

2

2jA

−=⋅⋅

−⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅−⋅⋅+⋅⋅=∑

→ 0,78M jA =∑ [kNm] ( ).

A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,21,3256,372

)0,2(2,32540,2325,0020,2325,253

a1,325A2

a)(2,325qa325,0Fa325,2FM

2

2

21bG

= 23,96 [kNm] ( ), illetve

5

96,232

)0,2675,3(40,2925,0420,2675,34,5

2

a)675,3(qa925,0Ba675,3CM

2

2jG

−=⋅⋅

−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅+⋅⋅=∑

→ 96,23M jA =∑ [kNm] ( ).

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,225,26,372

)0,2(3,2540,225,1020,225,353

a25,2A2

a)(3,25qa25,1Fa25,3FM

2

2

21bB

= 30,8 [kNm] ( ), illetve

8,302

)0,275,2(40,275,24,5

2

a)675,3(qa925,0Ba675,3CM

2

2jB

−=⋅⋅

−⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅+⋅⋅=∑

→ 8,30M jB =∑ [kNm] ( ).

A H keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,2075,2420,2325,46,372

)0,2(5,32540,2325,3020,2325,553

a075,2Ba325,4A2

a)(5,325qa325,3Fa325,5FM

2

2

21bH

= -3,65→ 65,3M bH =∑ [kNm] ( ), illetve

65,32

)0,2675,0(40,2675,04,5

2

a)675,0(qa675,0CM

22jH =

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅=∑ [kNm] ( ).


6

1.1.2. példa

Adott a 6. ábra szerinti Gerber tartószerkezet! F=16 [kN], q=3 [kN/m], a=2,0 [m]. Határozzuk

meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

6. ábra: Gerber tartó; támaszerők feltételezése

Reakcióerők meghatározása (7. ábra):

0MM jC

bC ∑∑ == .

2

0,230,2B

2

aqaB0M

22jC

⋅−⋅=

⋅−⋅==∑ →B=3,0 [kN] (↑).

2,03,2532

2,0)(3,2532,01,2516M

a3,25B2

a)(3,25qa1,25FM0M

2

A

2

AA

⋅⋅+⋅⋅

−⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅

−⋅⋅−==∑

→ MA=83,875 [kNm] ( ).

0,225,3A875,830,22612

)0,2(3,253

a25,3AMa2F2

a)(3,25q0M

y

2

yA

2

B

⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅

==∑

→ Ay=32,5 [kN] (↑).

xx A0F ==∑


A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevé-

tel nem ébred.

7

Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

0T bA =∑ , majd ugrás az Ay erőnek megfelelően:

5,3232,50A0T ybA =−=+=∑ [kN] (↑), illetve

32,53162,03,253BFa3,25qT jA −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 32,5T j

A =∑ [kN] (↓), majd

ugrás az Ay erőnek megfelelően:

05,325,32A32,5T yj

A =+−=+−=∑ .

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

252,01,25332,5a1,25qAT ybD =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ [kN] (↑), majd ugrás az F erőnek megfelelő-

en:

9,01625F25T bD =−=−=∑ [kN] (↑), illetve

0,932,023Ba2qT jD −=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ → 0,9T j

D =∑ [kN] (↓), majd ugrás az F erőnek

megfelelően:

25169,0F9,0T jD −=−−=−−=∑ → 0,25T j

D =∑ [kN] (↓).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

3612,02,25332,5Fa2,25qAT ybC =−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ [kN] (↑), illetve

330,23BaqT jD −=+⋅−=+⋅−=∑ → 0,3T j

D =∑ [kN] (↓).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata:

0T jB =∑ , majd ugrás a B erőnek megfelelően:

0,330B0T jB =+=+=∑ [kN] (↑), illetve

0,35,23162,03,253AFa3,25qT ybB −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 0,3T b

B =∑ [kN] (↓), majd

ugrás a B erőnek megfelelően:

00,30,3B0,3TbB =+−=+−=∑ .


8



egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (10. ábra). A nyíró erő az E

pontban lesz zérus. A E pont helyének a megadása (9. ábra):

33

9,0

q

Tx D

DE === [m] vagy 0,13

3,0

q

Tx B

BG === [m].


Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0M bA =∑ , majd az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

83,87583,8750M0M AbA =+=+=∑ [kNm] ( ), illetve

875,832

)0,225,3(30,225,1610,225,33

2

a)25,3(qa25,1Fa25,3BM

2

2jA

−=⋅⋅

−⋅⋅−⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅−⋅⋅=∑

→ 875,83M jA =∑ [kNm] ( ), majd

az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

083,87583,875M83,875M AjA =+−=+−=∑ .

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0,210,21,255,232

)0,2(1,253875,38a1,25A

2

a)(1,25qMM

2

y

2

AbD =⋅⋅−

⋅⋅+=⋅⋅−

⋅⋅+=∑

[kNm] ( ), illetve

122

)0,22(30,223

2

a)2(qa2BM

22jD −=

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅=∑ → 0,12M j

D =∑ [kNm] ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

9

02,02,2532,52,0162

2,0)(2,25383,875

a2,25AaF2

a)(2,25qMM

2

y

2

AbC

=⋅⋅−⋅+⋅⋅

+=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅

+=∑

, illetve

02

0,230,23

2

aqaBM

22jC =

⋅−⋅=

⋅−⋅=∑ .

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

5,12,02,7532,525,1162

2,0)(2,75383,875

a2,75Aa5,1F2

a)(2,75qMM

2

y

2

AbE

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

+=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

+=∑

→ 5,1M bE =∑ [kNm] ( ),

illetve

5,12

)0,25,0(30,25,03

2

a)5,0(qa5,0BM

22jE =

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅=∑ [kNm] ( ).


1

1. Igénybevételek - három csuklós keretek

A három – csuklós keretek támaszainál ébredő reakcióerők meghatározásánál ugyanazt az

elvet használjuk fel, mint a Gerber-tartók esetében. Az eltérés annyi lehet, hogy itt – a fejezet

címének megfelelően – legfeljebb egy csuklót építünk be a szerkezetbe. Az igénybevételi áb-

rák meghatározása során ugyanazok az elvek szabályok érvényesek, mint a tört tengelyű tar-

tók esetében.

1.1.1. példa

Adott a 1. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], M=25 [kNm],


1. ábra: Tört tengelyű tartó - három csuklós keret; támaszerők feltételezése


0,1A1,07,6A1,02,4151,05,61,04425

aAa7,6Aa2,4Fa5,6a4qM0M

xy

xyB

⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=

=⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑→

xy A6,7A6,1500 +⋅−= → 6,1506,7AA yx −⋅=

0,12A0,14A0,120,14452

a2Aa4Aa2a4qM0M

xy

xybE

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+==∑ →

02)6,1506,7(A4A572A4A570 yyxy =⋅−⋅−⋅−=⋅−⋅−= →

Ay=18,66 [kN] (↑) →

Ax= −8,78→ Ax= 8,78 [kN] (→).

2

aBa7,6B0,12,5510,120,14452

aBa7,6Ba2,5Fa2a4qM0M

xy

xyA

⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑→

xy B6,7B850 +⋅+−= → 6,7B85B yx ⋅−=

0,11,2510,13B0,13,6B

a1,2Fa3Ba3,6B0M

xy

xyjE

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑ →

0183)6,7B(856,3B183B6,3B0 yyxy =−⋅⋅−+⋅=−⋅+⋅= →

By=12,34 [kN] (↑) →

Bx= −8,78 → Bx= 8,78 [kN] (←).




határozzák meg.


0N bA =∑ , majd az Ay-nak megfelelően ugrás:

66,18A0N ybA =+=∑ [kN] (↑), illetve

18,6612,34151,044BFa4qN yjA −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 66,18N j

A =∑ [kN] (↓), majd az

Ay-nak megfelelően ugrás:

018,6618,66A18,66N yjA =+−=+−=∑ [kN].


66,18AN ybD ==∑ [kN] (↑), illetve

3

66,1834,21510,144BFa4qN yjD −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 66,18N j

D =∑ [kN] (↓).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

8,78AN xbD ==∑ [kN] (→), illetve

8,78BN xjD −=−=∑ → 8,78N j

D =∑ [kN] (←).

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:

78,8AN xbE ==∑ [kN] (→), illetve

8,78BN xjE −=−=∑ → 8,78N j

E =∑ [kN] (←).

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (3. ábra):

3. ábra: Az EB ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

04,5sin39,81,044cos39,8 ˙8,78sin39,818,66

sinα0,14qcosαAsinαAN xybE

−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ →

→ 04,5N bE =∑ [kN] ( ), illetve

04,5cos39,88,78sin39,812,34sin39,815cosαBsinαBsinαFN xyjE =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑

[kN] ( ).

Az F keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (3. ábra):

04,5sin39,80,144cos39,878,8sin39,866,81

sinαa4qcosαAsinαAN xybF

−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ → 04,5N bF =∑ [kN] ( ), majd


64,14sin39,81504,5sinαF05,5N bF −=°⋅−−=⋅−−=∑ → 64,14N b


64,41cos39,88,78sin39,812,34cos39,8Bsin39,8BN xyjF =°⋅+°⋅=°⋅+°⋅=∑ [kN] ( ), majd


04,5sin39,81564,41sinαF64,41N jF =°⋅−=⋅−=∑ [kN] ( ).

4

A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (3. ábra):

64,14sin39,815sin39,81,044cos39,88,78sin39,818,66

sinαFsinαa4qcosαAsinαAN xybB

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ →

→ 64,14N bB =∑ [kN] ( ), majd yIIB és

xIIB -nak megfelelően ugrás:

0cos39,878,8sin39,812,3414,64cosαBsinαB14,64N xybB =°⋅+°⋅+−=⋅+⋅+−=∑ , illetve

0N jB =∑ , majd yIIB és

xIIB -nak megfelelően ugrás:

64,41cos39,88,78sin39,812,340cosαBsinαB0N xyjB =°⋅+°⋅+=⋅+⋅+=∑ [kN] ( ).




rozzák meg.


0T bA =∑ , majd az Ax erőnek megfelelő ugrás:

78,878,80T bA =+=∑ [kN] (→), illetve

8,78BT xj

A −=−=∑ → 8,78T jA =∑ [kN] (←).


8,78AT xbD ==∑ [kN] (→), illetve

8,78BT xj

D −=−=∑ → 8,78T jD =∑ [kN] (←).

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

18,66AT ybD ==∑ [kN] (↑), illetve

18,6612,34151,044BFa4qT yj

D −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ → 18,66T jD =∑ [kN] (↓).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

5

66,20,14418,66a4qAT ybE =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ [kN] (↑), illetve

66,212,3415BFT yj

E −=+−=+−=∑ → 66,2T jE =∑ [kN] (↓).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (3. ábra):

66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cosαa4qsinαAcosαAT xybE

=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ → 66,7T bE =∑ [kN] ( ), illet-

ve

66,7sin39,88,78cos39,812,34cos39,815

sin39,8Bcos39,8BcosαFT xyj

E

−=°⋅−°⋅+°⋅−=

=°⋅−°⋅+⋅−=∑ → 66,7T jE =∑ [kN] ( ).

Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (3. ábra):

66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cosαa4qsinαAcosαAT xybF

=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ → 66,7T bF =∑ [kN] ( ), majd


86,3cos39,81566,7cosαF66,7T bF −=°⋅−=⋅−=∑ → 86,3T b


86,3sin39,88,78cos39,812,34sin39,8Bcos39,8BT xyj

F =°⋅−°⋅=°⋅−°⋅=∑ [kN] ( ), majd


66,7cos39,8153,86cosαF3,86T jF −=°⋅−=⋅−=∑ → 66,7T j

F =∑ [kN] ( ).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (3. ábra):

86,3-cos39,851cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cosαFcosαa4qsinαAcosαAT xybB

=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ →

→ 86,3T bB =∑ [kN] ( ), majd ⊥yB és BxII-nak megfelelően ugrás:

0 sin39,878,8cos39,812,3486,3sinαBcosαB3,86T xybB =°⋅−°⋅+−=⋅−⋅+−=∑ , illetve

0T jB =∑ , majd ⊥yB és BxII-nak megfelelően ugrás:

86,3 sin39,878,8cos39,812,340sinαBcosαB0T xyj

B =°⋅−°⋅+=⋅−⋅+=∑ [kN] ( ).

6



tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek), az egyes

keresztmetszetek hajlító igénybevételei és az E pontban található csukló határozzák meg (10.

ábra).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (6. ábra):


78,330,1278,81,07,612,341,05,2151,021,044

a2Ba7,6Ba5,2Fa2a4qM xyjC

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ → 78,33M jC =∑

[kNm] ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk

78,825,078,33M78,33M jC −=+−=+−=∑ → 78,8M j

C =∑ [kNm] ( ), illetve

8,781,08,78aAM xbC =⋅=⋅=∑ [kNm] ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően

ugrunk:

7

78,3325,078,8M78,8M bC =+=+=∑ [kNm] ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (7. ábra):


57,420,1378,81,07,612,341,05,2151,021,044

a3Ba7,6Ba5,2Fa2a4qM xyjD

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ → 57,42M jD =∑

[kNm] ( ), illetve

56,241,028,7825,0a2AMM xbD =⋅⋅+=⋅⋅+=∑ [kNm] ( ).

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (8. ábra):


008,0

0,10,378,81,03,612,341,01,215a0,3Ba6,3Ba1,2FM xyjE

≅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∑ ,

illetve

.008,00,1278,80,1466,81520,120,144

a2Aa4AMa2a4qM xybE

≅−=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑

8

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (9. ábra):

9. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

06,120,10,278,81,04,212,34a0,2Ba4,2BM xyjF =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ [kNm] ( ), illetve

05,120,178,80,12,566,81520,12,30,144

aAa2,5AMa2,3a4qM xybF

−=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ → 05,12M bF =∑ [kNm] ( ).


1.1.2. példa

Adott a 11. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! q1=4 [kN/m], q2=3 [kN/m], q3=3

[kN/m], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

9

11. ábra: Tört tengelyű tartó - három csuklós keret; támaszerők feltételezése


0,18A0,120,1430,120,1430,160,144

a8Aa2a4qa2a4qa6a4q0M

y

y321B

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑→

→ 0,12A y = [kN] (↑).

a8B0,120,1430,160,1430,120,144

a8Ba2a4qa6a4qa2a4q0M

y

y321A

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑→

→ 0,16B y = [kN] (↑).

0,120,143a5B0,1461

a2a4qa5Ba4B0M

x

2xyjD

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑ →

→ Bx= −8 → Bx= 8,0 [kN] (←).

0,130,1430,15A0,14210,120,144

a3a4qa5Aa4Aa2a4q0M

x

3xy1bD

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==∑ →

→ Ax= 4,0 [kN] (←).

10




határozzák meg.


0N bA =∑ , majd az Ay-nak megfelelő ugrás:

0N bA =∑ +Ay=0+12=12,0 [kN] (↑), illetve

12161,0431,044Ba4qa4qN y21jA −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ → 12,0N j

A =∑ [kN] (↓),

majd az Ay-nak megfelelő ugrás:

0.1212A12N yjA =+−=+−=∑

A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-

men:

=∑bCN Ay=12,0 [kN] (↑), illetve

12161,0431,044Ba4qa4qN y21jC −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ → 12,0N j

C =∑ [kN] (↓).

A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

11

13. ábra: A CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

67,10cos1421cos144sin1421cosαQcosαAsinαAN 3xybC =°⋅+°⋅−°⋅=⋅+⋅−⋅=∑ [kN] (

), illetve

10,67cos148sin1416 sin1412sin1416

cosαBsinαB sinαQsinαQN xy21jC

−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅−⋅+⋅−⋅−=∑ → 10,67N jC =∑ [kN] ( ).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

79,6sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQcosαQcosαAsinαAN 13xybD

=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ → 79,6N bD =∑ [kN] ( ), illetve

79,6cos148sin1416 sin1412cosαBsinαB sinαQN xy2jD −=°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ →

79,6N jD =∑ [kN] ( ).

A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

73,8sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQcosαQcosαAsinαAN 13xybD

=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ → 73,8N bD =∑ [kN] ( ), illetve

73,8cos148sin1416 sin1412cosαBsinαB sinαQN xy2jD −=°⋅−°⋅−°⋅=⋅−⋅−⋅=∑ →

73,8N jD =∑ [kN] ( ).

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

63,11sin1421sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQsinαQcosαQcosαAsinαAN 213xybE

=°⋅+°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ → 63,11N bE =∑ [kN]

( ), illetve

12

14. ábra: A DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

63,11cos148sin1416 cosαBsinαBN xyjE −=°⋅−°⋅−=⋅−⋅−=∑ → 63,11N j

E =∑ [kN] ( ).

Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a EB függőleges helyzetű tartószer-

kezeti elemen:

160,1430,14421a4qa4qAN 21ybE −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ → 0,16N b

E =∑ [kN] (↓),

illetve

16,0 BN yjE ==∑ [kN] (↑).


160,1430,14421a4qa4qAN 21ybB −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ → 0,16N b

B =∑ [kN] (↓),

majd ugrás a By-nak megfelelően:

01616B16N ybB =+−=+−=∑ , illetve

0N jE =∑ , majd ugrás a By-nak megfelelően:

16,0160 B0N yjE =+=+=∑ [kN] (↑).

13




rozzák meg.


0T bA =∑ , majd az Ax-nek megfelelő ugrás:

440=A0T xbA −=−−=∑ −4,0 → 4T b

A =∑ [kN] (←), illetve

0,481,043Ba4qT x3j

A =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ [kN] (→), majd az Ax-nek megfelelő ugrás:

044A4T xj

A =−=−=∑ .

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-

men:

0,840,143Aa4qT x3bC =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ [kN] (→), illetve

8BT xj

C −=−=∑ → 0,8T jC =∑ [kN] (←).

A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

9,71sin1412sin144cos1412sinαQsinαAcosαAT 3xybC =°⋅−°⋅+°⋅=⋅−⋅+⋅=∑ [kN] ( ),

illetve

71,9sin148cos1461 cos1421cos1461

sinαBcosαB cosαQcosαQT xy21j

C

−=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ → 71,9T jC =∑ [kN] ( ).

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

14

81,5cos1461sin1412sin144cos1412

cosαQsinαQsinαAcosαAT 13xybD

−=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅=∑81,5Tb

D =∑ [kN] ( ), illetve

81,5sin148cos1461 cos1421sinαBcosαB cosαQT xy2j

D =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ [kN] (

).

A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

95,1cos1416sin1412sin144cos1412

cosαQsinαQsinαAcosαAT 13xybD

−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ → 95,1T bD =∑ [kN] ( ), illetve

95,1sin148cos1416 cos1412sinαBcosαB cosαQT xy2j

D =°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ [kN] (

).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

59,13-cos1412cos1416sin1412sin144cos1412

cosαQcosαQsinαQsinαAcosαAT 213xybE

=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=∑ → 59,13TbE =∑ [kN] (

), illetve

58,13sin148cos1416 sinαBcosαBT xyj

E =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ [kN] ( ).

Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a EB függőleges helyzetű tartószerke-

zeti elemen:

0,80,1434a4qAT 3xbE =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ [kN] (→), illetve

8 BT xj

E −=−=∑ → 8,0T jE =∑ [kN] (←).

A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata:

0,80,1434a4qAT 3xbB =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ [kN] (→), majd ugrás a Bx-nek megfelelően:

088B8T xbB =−=−=∑ , illetve

0T jB =∑ , majd ugrás a Bx-nek megfelelően:

880 B0T xj

B −=−=−=∑ → 0,8T jB =∑ [kN] (←).

15



tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (17. ábra) (T=0 helyek),

az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és a D pontban található csukló határozzák

meg (17. ábra).


A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

67,22

1,3333,1333,14=

2

xxqxAM AG

AG3AGxbG −=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=∑ → 67,2M b

G =∑

[kNm] ( ), illetve

16

( )

( ) 67,233,180,18610,140,120,1430,120,1442

2,6767,23

=xBa8Ba4a2a4qa2a4q2

xxqM AGxy21

GCGC3

jG

=⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=

⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=∑

→

→ 67,2M jG =∑ [kNm] ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0,80,120,1430,144=a2a4qa4AM 3xbC =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ [kNm] ( ), illetve

( )( ) 80,1480,18610,140,120,1430,120,144

=a4Ba8Ba4a2a4qa2a4qM xy21jC

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ →

0,8M jC =∑ [kNm] ( ).

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

( ) ( )

( ) ( )

51,42

cos1458,2cos1458,24

sin1458,20,120,143cos1458,221sin1458,20,144

=2

cosαxcosαxq

sinαxa2a4qcosαxAsinαxa4AM

CFCF1

CF3CFyCFx

b

F

−=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ °⋅⋅°⋅⋅+

+°⋅+⋅⋅⋅⋅+°⋅⋅−°⋅+⋅⋅−=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅⋅⋅⋅+

+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−=∑

→

→ 51,4M bF =∑ [kNm] ( ), illetve

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

→=

=⎟⎠

⎞⎜

⎝

⎛ °⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅−⋅−°⋅−⋅⋅⋅⋅−

−°⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅−=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−

−⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑

51,4

2

cos1458,20,14cos1458,20,1440,12cos1458,20,180,143

cos1458,20,1861sin1458,20,148

=2

cosαxa4cosαxa4q

a2cosαxa8a4qcosαxa8Bsinαxa4BM

CFCF1

CF2CFyCFxjF

51,4M jF =∑ [kNm] ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

00,120,1440,130,1430,14210,154

=a2a4qa3a4qa4Aa5AM 13yxbD

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=∑ , illetve

00,1580,14610,120,143

=a5Ba4Ba2a4qM xy2jD

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=∑.

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

17

( )( ) 320,1440,18210,120,1430,140,120,1440,120,143

=a4Aa8Aa2a4qa4a2a4qa2a4qM xy312bE

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ →

→ 0,32M bE =∑ [kNm] ( ), illetve

320,148=a4BM xjE −=⋅⋅−⋅⋅−=∑ → 0,32M j

E =∑ [kNm] ( ).


Documents

Statika - tudasfelho.hutudasfelho.hu/felho/First/First_files/Statika.pdf · 1.2. Statika feladata A statika feladata egyrészről megállapítani azt a legegyszerűbb erőrendszert,